新课标二卷导数
每天一道数学题，强身健体，提神醒脑啊，这是二零二零新科标二卷的导数压轴题啊。这道题的话呢，有三问啊，我们先来看第一问啊，这是个三角函数的啊， 呃，那么这个形式相乘，他说在讨论在领导拍上的一个单调性啊，这道题三问的话呢，是递进的这么一个关系啊，呃，我们还是设计的不错的啊。首先第一问啊，我们看， 呃，那么第一问的话呢，你直接可以求导哈，一种直接求的乘法，对吧？一种也可以先化解一下。我这道题先化解一下啊。 行啊，那是建议先化解一下，你方便找周期啊这些的啊游戏。对于第二问啊，那我们这里边的话呢，是三 s 方，他的用到一个公式是这个二倍角公式，是啊，二分之一减去扣三二 s 啊，这个你要熟。好吧，那么三二 s 的话呢，就可以先不动啊， 这么一个情况，那这样的话，你看你可以乘开嘛，乘开之后是二分之一的三，这个二 x 乘以扣三这个二 x 啊。呃，这个地方是 先是这样啊，再减去一个二分之一的三二 x 乘以这个扣三二 x。 好吧，那么这个的话呢，前面你可以先不动啊，然后的话呢，后面的话呢，我们可以写成是四分之一的三四 x， 这时候其实你可以找周期的哈，比如说他的这个周期是谁呢？ t 等于二拍除以二啊，就是这个拍哈，这个地方的周期的话是二拍除以四哈，就是这个二分之拍。哎，注意哈，这两个周期不一样的怎么办啊？你这种的话呢，就是我们需要找这两个周期的最小公倍数啊，他其实周期是拍好吧，所以这个函数大家第一问可能没有用到这个啊。 那好，那接下来的话我们说这是呃相当于把它化解了一下，他让你求的是单调性，我们要求导了，对吧，求导的话是二分之一的啊三这是复函数啊二 s 啊，求完导再对这个二 s 求导是二哈减去四分之一的这个啊写错 cosine x， 这是 cosine 这个四 x 再乘以这个四，好吧。啊先外层后内层，然后这样的话呢是扣三二 x 再减去的这个地方是扣三这个四 x 啊，然后的话继续啊。 呃继续的话你把它这个化减化减的话我们这个地方因为你让他待会让他等于零嘛，这样子不太好啊。所以我们把这个后面的话呢是这个扣三四 s 化成是呃二倍的扣三二 s 的平方再减去一个一，好吧，然后我们再把这个东西的话呢写降密啊，降密写写 cosine 二 x 好，然后在这个地方的话呢是减加上一个 cosine 二 x 加个一哈，你可以这个意思分解一下吧，这个这是一二一一啊，然后他是这个正一哈，所以给到他哈，所以到这一步的话我们可以写成是这个一减去扣三二 x， 然后是二倍的，这个扣三的话 是二 s 再加上一个一，好吧，这个地方注意哈，就是他是一个大于等于零的数码啊，所以主要看后面啊啊看后面的话呢，你的 s 是零点拍吗啊提上这一问说的是对吧。那所以的话呢，其实我们呃其实可以先这样子啊啊你可以把这个什么呢？扣三二 s 这个画一画啊， 啊，然后我们这里面的话呢，你可以画出来是这样一个图形啊，呃，我们可以画成是 co 三二 x， 也可以画成是这个 co 三 x， 我就画这个 co 三 x 吧，好吧，这是一个周期内的哈，因为 x 是零到拍的话，二 x 是零到二拍， 然后你可以算一下它等于零的时候啊，我们这个呃，扣三二 x 是等于负二分之一的，那这个二 s 这个角应该等于谁？好吧，这里你写一写哈啊，也就是说令这个 fps 等于零的时候，可以得到这个扣三的话，二 s 等于负二分之一啊，进而 的话可以得到二 s， 在这个范围之内哈，他应该是取到的是三分之二派，还有一个是三分之四派，好吧，也就在这个位置哈，在这个位置一个三分之二派，一个三分之四派，这样的话，得到 s 的话，应该是三分之派或者是三分之二派，好吧，所以的话呢，这是他的情况哈，所以他其实在一个什么呢？你看， 我们，当你这个呃 s 的零到二拍的时候啊，我们说你等于零的点找到了，就是零点哈，那你在这个地方啊，整体来讲的话呢，这个值他肯定是个大一点的增函数，在这的话呢，他整体是小一点的减函数，在这又是一个增函数， 所以我们就出来了哈，这是第一问哈，啊，你写一写啊，就零到这个三分之拍是一个总的啊，然后我们三分之拍到这个三分之二拍是一个减的，再三分之二拍到这个拍又是一个总的，好吧，这是第一问啊，然后我们在 看一下第二问啊，其实第一问做完第二问就好做了啊，他求的是 f x 小于等于八分之这个三分，呃，三倍刚好三。那么其实第一问的话，领导拍我们说周期就是拍吗？你研究的一个周期内的图像找到一个周呃，整个一个周期 的最大值，这就可以了啊，所以我们这里面写一写啊。你呃翻到这个地方就是刚才这个地方来啊，你 f x 的话，根据第一问是二分之一的三，二 x 减去的话呢，四分之一的三，这个四 x， 所以我们的周期是二拍除以这个二啊，是等于这个拍啊，然后我们就根据刚才这个情况的话呢，其实你大概要叙述一下，比如说极大极小知点啊， 他在一个周期内的话呢，是一个先增后减再增的这么一个情况啊，这个地方的话呢，是 s 等于呃三分之派，这个地方是 s 等于三分之二派啊，这个地方的话呢是 s 等于 零方，这个方式还等于他一个周期的图像就画完了哈，我们要找的是他的这个最什么呢？绝对值的最呃大值要小一点他，所以你要算的是这个哈，这个，这其实这四个都需要算好吧啊，因为的话呢，这个图像来讲的话，你看我们也画不准嘛，有可能是这种啊， 这样子的话，你看最最值可能在这个极大极小再去去去去，他有可能是这样子的呀，是吧？所以的话呢，我们去都要算啊，你算一下这个 f 零 f 零险就是零哈， f 零是等于这个 f 拍的哈， 然后的话再算一下 f 三分之拍啊， f 三分之拍的话带你一算哈，他其实，呃刚好的话呢，是这个八分之三倍的钢化三啊，然后的话呢， f 三分之二拍啊，这个算出来是负的八分之三分这钢化三啊，所以的话呢，你看 fs 的绝对值的话呢，整体就小一点，你这个八分之三倍钢化三啊，这是第二个好吧。 呃，这道题第三问啊，说第三问是比较有意思啊。第三问的话呢，是这么说的啊，他说 n 属于 n 星啊，占整数三 s 方三二 s 方啊，三，这个四 s 平方啊，都是平方啊，一直到三二到 n 次方的这个 x 的平方 啊，每一个都有平方啊，每个都有平方，都有平方的话呢？呃，然后我们是由三 x 到三二 x 啊，它是二的 n 次方，总共有 n 个哈， n 个小一点。右边那个。因为每一个都有平方的话呢，有些时候我们可能会想到说 把它这个都开个根号啊，都都开个平方，这个开根号是不是你这里的话是四分之三的这个 n 次方吗？有可能都开个根号啊，是是这么一个情况，就这是要这个结论的一个稍微的一个变换啊，也可以去我们结合我们看。呃什么情况呢？我们结合到肯定要用到前面这些结论啊，尤其是第二个，因为第二个你看他是一个最直的这么一个放缩， 所以这道题的话呢，你看怎么分析哈？来我们写一写哈。首先来讲的话呢，根据 f x， f x 是谁呢？绝对值它加上一个， 这个是三 s 的平方，乘以这个三二 x， 然后的话呢，他要怎么样呢？呃，他这个地方要小于等于八分之三倍的这个根号三啊，然后你看他的结构跟这个形式的话呢，不是完全一样的哈。呃 那么接下来怎么思考呢？一种方式是说，哎，这里有方方方的，我能不能把这个方单独的跟这个拆开呢？是吧？那你有可能要把这个除过来啊， 但是你除过来不好放缩哈，我们且不考虑他是不是零的情况下，假如他不是零的话，你看你再除过来三二 x 绝对值，你这怎么放松呢？你这个值可能是很大的呀，他这个地方可能接近零啊，所以这个除过来不行了。那怎么办呢？呃你可以这么去想啊，就是我们要出现这些吗？对吧？那你可以再写一个吗？比如说你要出现 二 s 你再写个 f 二 s 呀， f 二 s 又如何呢？它就是这个平方了，再乘以这个三四 s 了，哎，你会发现你看是这样子的，这个它也小一点， 那然后呢？那你然后你看他就会有这些哈，但是他还有多余的恶心的这些东西怎么办呢啊？这个确实会难哈，再往下多写一写，我再给你写几个找找规律哈，就多写几个哈，慢慢来。你看他是三四 s 这个平方哈，再乘以三， 这个是八 x， 然后它小于等于的话呢是八分之三倍的根号三哈。呃，还有一点你要观察到的是啥呢？这接下来就不写了哈。差不多了，我们要刚才讲说这个地方你要证明它的时候你可以把它平方就是 它的，它的变形它可以等价于谁呢？你证明开根号哈，就是三 x 三这个什么呢？三二 x 一直到这个最后一个是三二的 n 次方在 x 啊，然后的话它小一点，右边那个，你把那个开根号啊，开根号其实就四分之三，开根号是二分之根号，三乘以这个 n 次方啊，不是乘以 n 次方，是 n 次方，好吧，就等价要证明这个你要知道啊，那其实的话，你发现这个数啊，跟这个数相是有关系的啊， 它形象是等于谁的呢？等于这个二分之根号三的三次缝的，好吧，这个待会可能会有用哈，这是它的一个联系。 那然后的话呢，你看我们这样写下去，一直要写的谁呢？二的 n 次方 x 嘛，所以你这个最后的话要写一个 f， 注意哈，二的 n 次方，你可能会写二的 n 次方哈，但是你写二的 n 次方，待会你会发现有问题啊，所以其实写的这个啊，你可以你可以写成二的 n 次方，然后再 这一调整，这个平方，再乘以这个三，后面才是二倍的他哈，二倍的他，那么才是一个二的 n 次方，再乘个 x， 好吧，这个结果，然后的话，他又写了一个八分之的话， 三倍杠三。好，这是我们写的很多啊，然后的话呢，为的是出现这些哈，但是他恶心的又多了，这些怎么办呢？他们提上要求把他们乘到一起去，所以我们就把这些式子哈，就各式相乘哈，各式相乘， 这是按照题上的这个左边这个结构， ok 吧，成完之后的话，你发现他有什么呢？你看他有三 s 的这个平方，三二 s 的话，他会有三次方，三四 s 也会有三次方， 然后一直到后面啊，这个三二的 n 减一次方， x 也会有三次方，这个三二的 n 次方， x 的话呢，却只有一次方了，你看是不是哈？这里，呃，所有的次数从中间列次都是三次，就这个地方两次，这个地方一次是不整齐的， 对吧？那我们要干嘛呢？你看他这个地方是小于等于这个八分之三倍的根号三的，这个 有多少项啊？你数一数啊，这是 f x f 这个二 x 二四二的 n 减一次方，这是二的零次方，二的一次方啊，一直到二的 n 减一次方，所以它有 n 项啊，在这个地方的话是 n， 好吧， 那 n 的话呢？形象来根据刚才我们这个啊，就是你看这里的话呢，是他不是二分之刚好三的这个三次方吗？所以的话，其实你这是 n 次方，再来个三次方，可以啊。 啊，那这样的话，我们要证明的，刚才那个结论，要证明他小于这个哈，就是这个东西哈，那只要你对他进开三次方根，是不是就是刚才是就得到右边那个数了，但是的话呢，这个地方不太行，那怎么办呢？我们可以凑一凑吗？啊？就是这样的话，你看这个东西显然是成立的，对吧？我们凑一凑，凑整齐一点哈，就是你给他凑成三次方， 这个地方也缩成三，这个地方就是三次方，最后这个的话呢，我们也给他缩成三次方，那他小一点就行了，小一等于二分之根号三的这个 n 次方，在 来个三次方，这时候你会肯定右边多了一些啊，就是多了一个这个三 x， 你成了一个他，原来是两次还多了一个这个东西的平方啊，对吧？啊？这是成了一个绝对值嘛？啊？这个非复数啊，不能发布改变方向，所以这个就小于他了呀。然后呢？然后我们要证明的是这个三次方小于等于他就可以了，那所以把它放错掉了， 放的是一就可以了，是不是？那他的话是肯定是这个小于一的，这个肯定要小于一啊，所以整体来讲他肯定是小于等于二分之刚好三的 n 次方，再来个三次方的。 好吧，哎，这样的话你看，所以我们说你把整个来讲的话呢，这个两边同城开，同时这个开个三四方根， 是不是得到我们刚才要证明那个结果来，他就小一点的这个二分之刚好三的这个 n 次方。好吧，这是这道题这么一个放缩的想法跟流程哈，你仔细的话呢，可以多看几遍啊，琢磨琢磨吧。
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15:37查看AI文稿AI文稿好，我们来看一下二零一五年新课标二卷理科的第二十一题。设函数 f x 等于 e 的 m x 米加上 s 方减 m x。 第一问，证明 f x 在负无穷到零上是单调递减，零到中穷单调递增。第二问，对任意 s e s 二属于负，一到一都有 f s 一减 f s 二绝对值需要等于一减一求 m 的范围。那我们首先来看第一问，第一问呢，其实就是要我们判断这个函数的单调性， 判断单调性呢，就是看导函数它在不同区间上的正负。那首先我们要求导 f s 一撇，那么第一项求导是 m e f x， 然后再加上二 x， 再减去 m。 好，我们看要判断这个导数它的正负，这里边呢，因为含有 m， 因此我们在判断的时候呢，我们这里边 方式有两种，因为直接无法判断。有两种方式，一种就是对 m 分类讨论，另一种呢就是我们再求导数，根据二阶导数判断一阶导数的单调性，然后结合单调性再判断一阶导数的正负。 那我们现在分别来看一下两种不同的做法。首先看方法一就是对 m 分类讨论， 这里啊，我们可以把这个上面式子进行一下整理，把含 m 的放在一起，这就 e m x 再减一，加上二 x， 把前面这个式子作为一个整体，把后面这个作为另一个整体，两部分 分别来判断。那我们把这个 m 分成两种情况，当 m 大于等于零的时候， m 大于等于零的时候，这种情况呢，我们分别来判断这两段， 这两段的时候这个倒数的正负，那当 x 属于负无穷到零的时候，我们看这个 m e m x 减一，这项的值。 呃，我们看 m 大于等于零， x 是小于零的，那 m x 就应该是小于等于零， e 的 m x 是 me， 那就应该是什么呢？就应该是小于等于一，再减一，就是小于等于零，这项小于等于 m 大于等于零，那乘完之后应该是小于等于零，那因为 x 小于零，所以 呢？二 x 肯定是小于零，那么这两项加在一起呢？我们就得到应该是 f s 倒数应该是什么？所以小于零啊，小于零，所以 f x 呢？这个时候 f x 是单调递减的 f x 啊，这个时候单调递减。好，我们再看。当 x 属于零到正午群的时候，这个时候 m 乘以 e m s 减 e， 因为 m 大于等于零， x 大于零，那 m x 乘积大于等于零，那 e 的 m x 私密就应该是大于等于一再减一，这是大于等零，那再乘个 m 还是大于等于零， s 大于零，所以 r s 大 大于零，那两项加在一起，倒数应该是大于零，所以 f x 单调底增，那于所给这个条件是符合的。我们再看第二种情况，当 m 小于零的时候， 还是先先看 x 属于负无穷到零时， m e m x 减一，我们判断一下它的正负。 m 小于零，那 x 小于零，乘积应该是大于零，是吧？乘积大于零，那 e 的 m x 私密应该大于一，大于一的减一肯定是大于零，这项大于零， m 小于零，两项乘法应该小于零。 那二 x 呢？因为这个 x 的范围是小于零，所以还是小于零，那两个负的加在一起，所以它的导数还是小于零，所以 f s 对应的是单 调节，那当 s 属于零到正目群的时候， m e m s 减一，我们看 m 小于零， s i 零，那么 m x 应该小于零， e 的 m x 是 me， 应该是小于一，小于一的减一是小于零， 前面呢， m 是小于零，两个负的乘积是大于零。二， x 呢？因为 s 大于零，所以是大于零，两个正的加在一起啊，我们看这个倒数应该是大于零，所以 f s 单调递增，因此 我们能得到，不管是 m 取的是哪一个范围，这个都有 f x 在负无穷到零上时，单调递减，零到正无穷上时，单调递增。好，这是方法一， 我们再看方法二。方法二就是我们看第一阶倒数呢，我们无法判断正负，那我们可以再求他的倒数，我们再求一下他的倒数，求二阶倒，我们把它再求倒。那第一项呢？就是 m， 这个后面球岛还有一个 m， 就是 m 方 e m x， 后面这个球岛是加上二。 好，那我们看这个式子， m 方是正， e 的 m s 米是正，乘积是正，加二肯定大于零， m 方是大于等于零，然后也就是前面应该是大于等于零，再加上肯定是大于零， 那大于零说明一节导函数是单调递增的，又因为我们能够得到是 f 零一撇等于多少，我们看把零带入到一节导函 函数里面，那这里面这个是 e 的零，字密有一就是 m 加上零减 m 就等于，那这个时候说明什么呢？我们大致画一下图，一阶段函数整个是单调递增，并且在零处 函数值等于零，所以就说明 f x 一撇在负无穷的零上，就是应该这么写，是吧？ 当 x 属于负无穷到零的时候， f x 倒数是小于零，是吧？这是负的。那所以这个时候 f x 单调递减，当 x 属于零到中穷的时候，一节导函数单调递增，所以 f x 一节档函数是大于零，所以 ipad 单独递增。因此我们得到 fs 还是依然满足呃，所需要证明这个结论。好，这就是第一问，我们用了两种方法。好，下面我们来看第二问。 呃，第二问呢？说，对任意 s e， s 二属于这个范围都有 f s 一减， f s 二绝对值小于等于一减一，求 m 的区别范围。那这里边呢，我们看一下，我们先把这个第一问，这个擦掉啊， 我们来看一下第二本，任意的 s e， s 二属于给零区间都有这两 的叉，绝对只是小于等于一减一。那问题就等价于什么呢？是不是等价于 f x 的最大值，减去 f x 的最小值，小于等于一减一啊？等一下这个事。好，那么我们由第一问知道这个函数 f x 他是什么情况，是不是先减后增啊？ 那么零，这应该是极小值，所以我们得到 f x 的最小值是不就是 f 零啊？我们把零带入进去 e 的零词密是一，后面的是零啊，那就等于一， 也就是最小值是亿。那么最大值应该是谁呢？最大值我们看，因为这个 s 取值范 是负一到一，那么 f x 它的最大值应该是哪个呢？应该是这两者较大的里边， f 负一和 f 一 这里面交大者就是这个函数的最大值。那要让这个上面这个式子横成立，其实我们只需等价于什么呢？是不是就等价于 f 负一减 f 零 是吧？小于等于一减一，同时满足 f 一减去 f 零小于等于一减一即可。因为这两个 最大值在这两者之间区，只要他俩同时满足，那就一定满足。上面这个都有恒成力。好，我们进一步把它写一下。呃，把这个代入 f 负一等于多少呢？ f 负一就是 e 的负 m， c 加上一，加上 m 减去 f 零就减一，小于等于一减一，把 f 一带入，那就是 e 的 m 加上一， 然后减 m， 后边再减个 f 零，再减一小于等于一减一。那我们可以把这个式子整理一下，这个正一负一，正一负一消掉，也就是说我们进一步得到的是 e 的负 m 词密加上 m 小于等于一减一， e 的 m 字密减 m 小于等于一减一。好，我们看右侧是一样的，都是一减一，那只需要左侧这两个是都小于等于一 减一即可。而左侧这个式怎么一观察？它的结构其实是一一致的结构。 那这里边我们就可以构造一个函数，构造一个新函数，让这个新函数呢？小于等于一减一。横乘例，我们看这个时候 m 的取值范围是什么？我们可以构造一个新函数，我们令 g x 等于什么呢？等于 e 的 x 次密 减 x， 我们构造这样一个函数，我们看，那也就是说这个原问题就等价于什么？看原问题，上面这个左边这两个不等式，它就相当于什么？是不相当于 g 负 m， 是不是 g 负 m， 下面这个是 g 什么？ g m 是吧？小于等于一减一，一减一。好，也就让它成立即可。那现在呢？我们把这个函我研究一下这个 g s 函数，我们求导数，求导数呢？ e 的 e 的 x 是密减一，那另得等于零，我们得到这个 x， 也就是它的极值，极值点 x 应该等于零，那当 x 属于 负无穷到零的时候， g x 倒数是 小于零的，所以 g x 是单调递减的，当 x 数域零到中五穷的时候， g s 倒数是大于零， g s 单调 递增，那这个时候呢？我们可以结合图像来看一下。呃，那么 g 零等于多少？那我们看 g 零先减后增，零是几十点 g 零，我们代入零， e 的联系名是一，那就是一减零就是一。好，我们把这个图像大致画一下，也就是这个位置是一，先减后增， 先减后增，然后呢，我们发会发现一个事情，这个一减一减一是谁？我们当这个 x 取一的时候，也就是 g 一正好是谁啊？一减一， g 的时候一减一，而且我们还可以算一下负一的时候，负一的时候呢，我们看负一 的时候，代入应该是 e 的负 e c 米就是 e 分之一加上 e。 好，那么这个时候我们大致画一下这个图，大致能画出来 应该是这样一个情况，就是这个先减，然后再增， 这是负一，这边是正一等于一的时候，是对应的是一减一，那么一分之一加一，这个是一减一，大概是多少？我们看一减是二点七减一，一点七几的一个数，而一分之一， 呃，加上一应该是不超过一点五的一个数，所以这个一分之一减一呢？要比他小，应该在这一分之一。一分之一加一啊，在下边比他小这个位置。 那现在我们看，我们要找的是一个 m 和负 m 这个自变量， m 负 m， 那 g 负 m 应该小于等于一减一， g m 小于等于一减一，同时成立，我们找这样 m 的范围。 好，我们看画一条横线，这个横线就是 y 等于一减一，函数值 一减一，那我们会结合图像会发现，当这个 m 大于等于负一小于等于一的时候，在正负一之间的时候，那显然这个函数值 g m 和 g 负 m 都应该是什么呢？是不是都应该是小于等于一减一的？ 当 m 取正负一之间的时候，我们看我们会有 g m 是小 小于等于一减一，即负 m 也小于等于一减一乘以是可以的，也就是说在这个范围内是可以。那我们再看当 m 大于一的时候呢？ 当 m 大于一的时候， gm 是不是根据这个函数的单调性，大于一的时候是单调递增？ gm 一定是大于之一的之一等于减一，那就不满足这个小的一减一，所以这个时候不成立，不符合 题。我们再看，当 m 小于负一的时候行不行呢？当 m 小于负一的时候，则负 m 是不是就大于一啊？负 m 就大于一，那负 m 这个值大于一， 那 g， 所以 g 负 m 是不是就大于 g e， 而 g e 等于一减一， 那 g f m 就要大于一减一，那就不满足这个什么 g f m 小于等于一减一，是什么也不合体，不符合 题。所以我们能够取得 m 的范围， m 就是在负一到一之间是可以成立的。好，那么这个题呢，我们就说到这里。
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