23年数学甲卷文科
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01:16查看AI文稿AI文稿这是全国假券的文理的第十八题啊，这个题呢，它是一个开放性比较强的题，那么他让你在这三个条件当中任选两个，推出第三个 啊，这个一看，我肯定会选一三去退二哈。有的要明白，等差数列 意味着什么呢？意味着后向前，前向是一个长数啊，是一个长数，也就连你知道了这个 d 也知道了，那么因此这个 sn 等于啊，对 a 一，正好配 a 一哈，而你这个根号 s 蹲，那么因此这个根号 a 一啊，那你的目标要使得他减，他是 长序，让你看一下，等于 n 倍跟号 a 一，而这里是等于 n 减一倍跟号 a 一， 那么你根号 s n 减去根号 s n 减一 a， 这个地方，这个 d 不就刚根号 a 的吗？ d 档号等于根号 a 的吗？数，那我当然就证出你是一个等差数了。
1684🎀娟娟老师🎀
02:25查看AI文稿AI文稿十九题的第二问跟甲卷理科的立体结合重复了，我们就不再讲了，看一下第一问的步骤规范。第一问我们去求他的体积，采用了倒推的分析方式， 三棱锥的体积是等于三分之一乘以底面积再乘以高的，那么以 f 为顶点三角形 b、 e、 c 就是底面 高，是谁呢？就是过顶点 f 垂直于底面的那条线，那看起来很像 fc， 到底是不是他，我们得证明 fc 垂直于底面， f、 c 在 c c 一上， c、 c 一是一条侧棱，由于是直三棱柱，侧棱垂直于底面， 所以说 f、 c 就是高，那么它的长度是多少，需要把侧棱的长度求出来。那么侧棱 b、 b 一是等于 a、 b 的，这是因为它的侧面是一个正方形，有了高以后，我们再看底面积， 由于点 e 是 a、 c 的终点，只要把大三角形 a、 b、 c 的面积求出来就可以了。 他知道两条边，但是不知道具体是一个什么样的三角形，我们可以根据这个条件来去证明垂直。我们结合 b、 b 一垂直于 a、 b 和这个条件，推出了 a、 b 垂直于右边的这个侧面， 进一步推出 a、 b 垂直于 b、 c， 那么这就是一个等腰直角三角形，可以求出它的 面积来，然后就可以得到三角形 e、 b、 c 的面积，利用三分之一底面积乘以高，就可以算出它的体积。 在写步骤的时候，要注意直三棱柱的直接结论是线面垂直，而不是线线要通过线面推线线， 然后再证明线面垂直的时候，不要忘记写两条直线交于一点。求体积的时候，我们建议要分开写步骤，就是底面积单独求，高也单独求，而不是直接写出来往下拖。是 这样的话，哪一步错了，只扣那一步的分，不至于把整个题目的分给扣掉。
108袁来有数(高中数学)
01:29查看AI文稿AI文稿十三题是一个平面项链的题目，给了项链 a 的膜，项链 a 减项链 b 的膜，项链 a 点成项链 b， 求的是项链 b 的膜， 像这样的条件，我们的关键点应该在这个项链 a 减项量 b 的膜上，为什么呢？因为对这个膜，我们一般的处理方式是平方， 一旦对他平方里面会出现 a 魔方 b 魔方以及项链 a 点成项链 b， 这样就可以把条件和要求的联系在一起。所以我们对项链 a 减项链 b 的膜进行平方，那么它等于二十五，展开就是项链 a 的平方减两倍的 项链 a 点成项链 b， 加上项链 b 的平方等于二十五，那么我们把项链 a 的膜等于三，带入进去，可以得到九减二，乘以项链 a 点成项链 b 是一， 再加上项链币的平方等于项链币膜的平方，那么等于二十五， 这样的话，一项就可以得到项链币膜的平方，他等于十八，然后项链币的膜就等于根号十八，也就是三倍根二。
749袁来有数(高中数学)
01:23查看AI文稿AI文稿第九题， s n 是等比数列 a n 的前向和告诉我们 s 二和 s 四的值了，求的是 s 六，那么我们需要知道等比数列他的前向和有个性质， sk s 二 k 减 s k， s 三 k 减 s 二 k， 他们三个也成等比数列。在这道题当中，如果我们把 k 认为它等于二， s 四的这个四就是二 k， 六就是三 k， 所以说 s 二 s 四减 s 二， s 六减 s 四，他们三个成等比数列， s 二就是四， s 四减 s 二呢是六减四等于二。然后这个值 那就可以通过前两项求出来。由于他们三个成等比数列，所以这里的公比是二分之一，那么在这个二的基础上，再乘二分之一就等于一， 于是 s 六减 s 四等于一，那么 s 六等于 s 四加一就等于七，所以选择 a 相。
799袁来有数(高中数学)
01:17查看AI文稿AI文稿第四题是判断函数的单调性。让我们判断下列函数中为增函数的是哪一个。 a 选项，一次函数，决定他单调性的是他的斜率。 k 现在等于负一小于零，单调递减。 a 选项排除 b 选项是一个指数函数，当底数大于零小于一的时候，是单调递减的，排除 c 选项是一个二次函数，他关于外轴对称是先减后增的，也排除 d 选项是一个密函数，可以化成 x 的三分之一次方密函数。这里的密如果大于零，那么他就在零到正无穷上是单调递增的。而由于 f x 等于负的 fx， 它又是一个积函数，所以它关于原点对称，那么负无穷到零也单调递增，并且它的 f 零是等于零的，这说明在原点这里呢？ 左右这两个单调增区间是连起来的，所以他应该是在整个 r 上都单调递增，于是我们选择递向。
595袁来有数(高中数学)
02:22查看AI文稿AI文稿二十题倒数题第一位是讨论 fx 的单调性。那么首先我们写出来 fx 的定义域，由于有浪人 x， 所以 x 是大于零的，开区间零到正无穷。然后对 fx 求导， fx 的导等于二， a 方 x 加 a 减 x 分之三， 这个呢，有分式可以进行通分，通分得到 x 分之二， a 方 x 方加 ax 减三。然后分子上这个二次函数可以十字相乘， 可以达到 a， x 减一乘以二， a x 加三。由于 x 大于零， 分母就是横为正的 a 也大于零，这是题目条件说的，所以说分子的这个因式也是横大于零的。那么我们需要判断符号的就只有一个， ax 减一。 我们领 fx 的导等于零，可以得到 x 等于 a 分之一。 a 分之一是大于零的，说明他在定义域内，而 而 ax 减一这个一次函数在定域内又是单调的增大。所以当 x 大于零小于 a 分之一的时候， fx 的岛小于零，当 x 大于 a 分之一的时候， fx 的岛大于零，于是 fx 在区间零到 a 分之一上是单调递减的，在 a 分之一到正无穷上单调递增。 每次讲到单调性的问题，总有些同学呢会说，这里要不要写 b， 我们之前早就解释过很多次这个问题了，单调区间一个函数在一点处是不具有单调性的， 所以说单调区间写成全开是没有问题的。如果定义内有他，他这里可以写开，也可以写 b， 但如果定义当中没有他，就必须要写开，为了方便呢，我们一律写开就可以。
499袁来有数(高中数学)
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01:36查看AI文稿AI文稿第十四题说以织一个圆锥的底面，半径为六，体积是三十派，求的是他的侧面计。我们先画一个圆锥，根据圆锥的体积公式， 体积 v 等于三分之一，乘以底面积，就是派 r 方，再乘以高 h。 现在呢，告诉我们底面半径为六，我们把六带入进这里，也就是三分之一乘以派，乘以三十六，再乘以 h， 这样等于三十派。那么可以求出来，高 h 等于二分之五， 而圆锥的侧面积需要我们知道圆锥的侧面。展开图，他是一个扇形，根据扇形的面积公式，他等于二分之一，弧长 乘以半径，弧长就是底面圆的周长，应该是二派乘以 r， 他的半径是扇形的母线长，可以在这个直角三角形当中利用勾股定理求出来。那么母线长 l 等于根号下二分之五的平方，加六的平方，也就是根号四分之二十五加三十六， 得到二分之十三，所以他的侧面积应该等于二分之一，乘以二派 r 再乘以 l， 就等于派乘以六，再乘以二分之十三，计算出来就是三十九派。
514袁来有数(高中数学)
01:36查看AI文稿AI文稿第十二题， f x 是定义在 r 上的积函数，所以我们有 f 负 x 等于负 f x， 于是在结合这个条件， f 一加 x 等于 f 负 x， 就可以得到 f 一加 x 等于负 fx， 那么要求的 f 三分之五就可以写成 f 三分之五等于 f 一加三分之二，这样的话相当于把这里的 x 换成了三分之二去带入， 那么根据这样一个等式，他就应该等于负的 f 三分之二，现在呢，我们再把三分之二也写 乘一加 x 的形式，他就是啊 f 一加负三分之一， 而前面还有一个符号，不要忘记负的 f， 他。然后再根据这样一个等式， f 一加负三分之一，就是把 x 换成了负三分之一，那么 f 一加负三分之一应该等于负的 f 负三分之一， 而这个时候前面还有个负号，所以负负得正实际上就等于 f 负三分之一，那么根据这个条件，他是等于三分之一的，所以选 c。
691袁来有数(高中数学)
03:37查看AI文稿AI文稿第十五题 f x 解析式是一个 q 三的一角一函数，给了他的部分图像，让我们求的是 f 二分之派。 对这种有图像求解析式的三角函数题呢，我们对这些参数的求的顺序应该是从左向右， 由于 a 已经知道了等于二，我们去求欧米伽，欧米伽需要周期，而图中给标注了这样两个点，从三分之派到十二分之三派是四分之三个周期， 于是四分之三个 t 等于十二分之十三派，减去三分之派，也就是四分之三派，所以周期 t 等于派，那么欧米伽等 等于二派除以 t 等于二，于是现在解析式就变成了 f x 等于二倍的 q 三二 x 加 f， 现在要求 f f 只需要代入进去一个点就可以了。 现在有两个点，一个是三分之派斗零，另一个点是十二分之十三派斗二，这两个点是带入哪个都行吗？我们应该优先带入他的最值的那个点。 为什么要这样，因为这个三分之派豆零呢？它是一个平衡位置，把它带入进去求的时候会有两种可能，一种可能是现在的这个图像，另外一种可能是和他完全关于 x 轴对称的这个图像。因为这两个图像呢，他们的 a 都等于二，他们的欧米伽也相同，而且都过三分之排豆零。为了避免这种情况出现，我们意识到题目也没有限制 five 的趋势范围， 所以要优先带入最大支点，那么把这个点十二分之十三派逗二给他带入进去，可以得到两倍的 q 三，六分之十三派加快等于二， 那么这里边的这个六分之十三派可以给他分出来一个二派，然后再加六分之派，这样的话，由于诱导公式当中二派可以直接忽略掉，所以实际上就只剩一个六分之派了， 那两边还可以同时约掉一个二，就可以得到扣三六分之派加 f 等于一，那么扣三多少等于一呢？扣三零加二 k 派， 所以六分之派加 fi 等于二 k 派，其中 k 属于 z， 那么就可以求出 fi 等于负六分之派，加上 rk 派，我们把 fi 再带入进去，可以得到这里是负六分之派加二 k 派， 二 k 派作为偶数个派又可以忽略掉了，所以他的解析是， fx 就等于两倍的扣三二 x 减六分之派，那么现在就可以求 f 二分之 派等于两倍的扣三派减六分之派，那也就是两倍的扣三六分之五派等于二乘负二分之跟三，所以最终结果就是负跟三。
763袁来有数(高中数学)
01:25查看AI文稿AI文稿第五题，让我们求点三豆零到这个双曲线的一条渐进线的距离。这个双曲线 a 方是十六， b 方是九，那么 a 等于四， b 等于三。由于双曲线的焦点在 x 轴上， 所以它的渐进线方程就是 y 等于正负 a 分之 b， x 正负四分之三 x。 由于这两条渐进线呢是对称的，所以呢，点三豆零作为 x 轴上的一个点 到这两条渐进线的距离都是一样的，所以我们可以任选其中一条。比如说选 y 等于正的四分之三 x， 那么就要用点到直线的距离公式，点到 到直线的距离需要把直线画成一般式，那么他是三 x 减四， y 等于零。根据 d 等于根号下 a 方加 b 方，就是根号下三的平方加负四的平方 分支 ax 零加 by 零加 c 的绝对值。把这个点的坐标带入这个方程的左边，那就是三乘三等于九，减去四乘以零的绝对值化减得到五分之九，选 a。
1035袁来有数(高中数学)
07:59查看AI文稿AI文稿各位同学好，我是叶老师。那么我们二三年的高考呢，已经正式落下帷幕了。从今天开始呢，叶老师将从全国各地区的数学物理理论试卷当中呢，我们选取一些比较有代表性的题目，一起来讲解一下。 今天这期视频。我们先来看看全国假卷理科数学试卷当中的这道选择压轴题表现如何。先看一下题目已知一个椭圆，椭圆上有一点 p， 那么这个 p 点啊和两个焦点构成了一个角，这个角的余弦值呢是五分之三。现在让你求 po 的长度。 表面上看像是一个关于椭圆的一个问题，椭圆的方程啊，已经给你了。所以呢，我们先把椭圆的这个基本要素呢表示出来，那么它的半长轴 a 等于三， b 等于根号六， c 自然就等于根号下九减六，也就是根号 三。这个题虽然在椭圆的背景之下，但是我们分析以后啊，会发现核心考察的并不是这个椭圆， 而是在于这个三角形，他们这个 p 点和 f 一 f 二构成这个三角形啊。在圆周曲线当中啊，是很特别的一个三角形，我们通常叫他焦点三角形。那么这道题关键就在于这个焦点三角形上。那么这里呢，易老师，我们用两种思路来解决这个问题。 第一种思路呢，就是我们直接在这个三角形当中来求这个线段 pu 的长度。换句话说呢，就是我们把这个题啊，给他当成一个解三角形的问题来解决。 所以我们先把这个焦点三角形给他抽象出来。那么这个三角形两个边 p f 一， p f 二，也就是两个交半径，我们分为 用 r 一和 r 二来表示。他们的夹角呢，我们用 c 特来表示。根据已知条件，我们知道这个 c 特的余弦值呢，是五分之三。 要求的这个 p o 啊，它是底边 f 一 f 二的一个中线。那么说到中线啊，我们可以联想到我们在三角板块当中学习过的一个公式，叫做中线长公式。 那么根据中线长公式呢，这个 p o 的平方就应该等于这两个零边的平方和的一半，也就是二分之一 r 一的平方加上 r 的平方，再减去底边一半的平方，也就是 c 的平方。好整理一下，也就是二分之一 r 一的平方加上 r 二的平方再减三。 那么我们要求 p o 啊，关键就在于这个 r 一的平方加上 r 的平方。所以我们现在需要关于 r 一 r 二的方程。首 首先我们可以联想到的是椭圆的第一定义，那么这个 r 一加上 r 二呢？就等于 r a h 六。但是我们要的是 r 一的平方加上 r 的平方。所以我们需要把这个式子两边同时平方。我们得到 r 一的平方加上 r 的平方，加上二倍的 r 一， r 等于三十六。 那么现在呢，我们就得到了关于 r 一 r 的两个方程。 p o 的平方等于二分之一， r 一的平方加上 r 二平方减三， 二一平方加上二平方，加上二倍的二一二二等于三十六。连列这两个式子啊。其实我们可以把二一的平方和二二平方给他消掉， 也就是 p o 的平方等于十八，减去二一二二减三等于十五，减去二二一二二。那么问题就转化成我们来求二二一乘以二。这笔求二二一平方加上二二的平方要 简单的多，但是呢还不够，我们还需要一个关于 r 一 r 的方程。这个时候我们联想到这个甲角 c 特，有甲角 c 特的余弦值，还有 c 特的对边的长度。那么我们可以联想到的是余弦定理。 根据预先定理，我们得到 r 一的平方加上 r 的平方，减去二倍的 r 一二乘以五分之三，等于十二。我们在连力上面的这个二一平方，加上二二的平方，加上二二倍的二一二等于三十六。那么连力这两个式子，我们就可以求出二一乘以二。 我们把这两个式子做叉以后呢，就得到五分之十六。 r 一 r 二等于二十四，也就是 r 一 r 二等于二分之十五。我们带入上面这个式子当中呢，就可以得到 p o 的平方呢，等于十五，减去二分之十五，也就是二分之十五。所以 p o 就等于根号下二分之十五，也就是 二是根号三十。所以这道题的答案呢，就是 b 选项。那么我们这种方法是把问题完全转化成了一个解三角形的问题。 那我们第二种方法就是我们从解析几何的角度来解决它。我们要想求 p o 的长度，那么其实我们只要求出 p 点的坐标就可以了。我们还是要借助这个焦点三角形。这个焦点三角形啊，它有很多非常有用的性质啊，其中有一个性质呢，就是关于这个焦点三角形面积的。 那么这个三角形的面积呢？等于 b 方乘以弹进的二分之 ct， 也就是六乘以弹进的二分之 ct。 弹进的二分之 ct， 我们可不可以求出来呢？当然是可以的， 因为题目告诉我们，考察 ct 等于五分之三了。那么我们直接利用绊脚公式啊。这里注意这个二分之 ct 啊，他肯定是一个锐角，所以我们取正值。 那么弹性的二分之 set 呢，就应该等于根号下一减 cosinesset 比上一，加上 cosesset， 也就是二分之一。 所以这个三角形的面积呢，就等于六，乘以二分之一等于三。同时这个三角形的面积，我们还可以通过二分之一底乘高来求他。那么也就是二分之一乘以这个焦距二倍，根号三。再乘以高， h 等于根号三， h 等于三。 那么我们得到这个 h 呢，就等于根号三。那么这个 h 呢，其实就是 p 点到这个 x 轴的距离，也就是 p 点的纵坐标的绝对值。 那由于是对称的，我们就取这个 y p 是正值，所以 y p 就等于格号三。那么 p 点的纵坐标呢？我们就求出来了。我们把这个纵坐标带入到这个椭圆的方程当中啊，就可以求出 p 点的横坐标。那 s p 呢？它有两个，是正负二分之三位根号二。那其实呢，满足这个条件的 p 点有四个，是正负二分之三位根号二和正负根号三。那不论是哪个 p 点，他到 o 点的距离呢？都是一样的，我们随便选一个就可以了。 那么得到这个 p u 的长度呢？就等于根号下二分之九加上三，也就是根号下二分之十五，也就是二分之根号三十。所以这道题的答案呢，就是 b 选项。 那么上面呢，我们通过两种不同的思路呢，把这道题我们来解决了。那么方法没有优劣之分，关键就在于哪种方法它适合你啊，哪种方法是你更容易想到，你更擅长的。 最后呢，我们简单来总结一下这道题。那么这道题的整体难度比较一般，易老师呢，只能给他两颗星。表面上是一个关于椭圆的一个问题，但实际上呢，他只是 靠着椭圆的外壳，核心考察的并不在于这个椭圆上。而我们用了两种方法。那么第一种方法呢，就是直接在这个三角形当中，我们来求这个中线 p o。 相当于是我们把一个解析几何问题转化成了一个解三角形问题 啊。这里核心用到的知识点呢，就是鱼线定理。中间呢，我们还借用了这个中线长公式。那么如果你不知道中线长公式啊，我们通过鱼线定理也是可以很容易推导出来的。 第二种方法呢，我们就是利用了解析几何的思想啊，我们来求 p 点的坐标。那么我们借用了这个焦点三角形当中其中一个非常有用的一个性， 就是它这个面积公式 s 等于 b 方乘以弹力的二分之 ct。 那通过这个面积公式呢，我们求出了啊 p 点的纵坐标，再带入到椭圆当中，求出它的横坐标，进而求出这个 p o 两点的距离长度。那么显然啊，这个今年全国假卷的这个选择题啊，并不想难为各位同学啊。那么这个题呢，作为一道练习题呢，还是不错的。但是啊，作为一道高考的压轴题来讲，他的总体难度呢？还是偏低了 啊，表现比较一般。那么下期视频呢？来看看全国假卷的这个填空的压轴体表现如何好。那么我们今天这期视频呢？就讲到这里，我是易老师，我们下期见。
