全国三卷数学
我开始从前。
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16:06查看AI文稿AI文稿各位观众朋友大家好，我是思源啊，那么今天呢，继续给大家讲解二零二零高考理科数学全国建三的第一道大题，也就是这道数列大题啊，我们一起来看一下这道题怎么样？ 首先他告诉我们一个数列满足他的手相等于三，然后给了我们一个这个公式叫啥呀？是不是叫地推公式啊？那么知道地推公式之后，按理来说我们就应该能够求出通向公式和前向和公式等等等等啊，看一下题目中他让我们求什么？ 第一问，他让我们计算 a 二 a 三，并猜想他的这个数列的通向公式，并加以证明，这是一个证明题，懂吧？一般呢，我们证明这种题目的话，用什么用数学归纳法可能比较简单一点啊，那么我们就一起来证一下。那么前面的 a 二 a 三呢， 肯定需要用到地推公式去进行计算，那么我们就一起来算一下。首先呢，我们要写，因为已知这个什么呀， a 一等于三，然后 a n 加一等于个三倍的 a n 减去个四 n， 所以呢，这个 a 二呢，它就等于个三倍的 a 一减去个四，对不对啊？它就等于个 三乘三减四等于五，这就是 a 二算出来了，那么 a 三呢，就等于个三倍的 a 二 减去个四乘二，对吧，那么就等于个三乘五减四乘二，他呢就等于个七，这就是我们把这个什么呀， a 二 a 三计算出来了，前半部分完成了，他让你猜想 a n， 那么我们就看一下啊， a 一是 三， a 二十五， a 三十七，那么我们可不可以猜这个数列它就是什么呀？三五七，九十一，十三十十，十七十九等等乱七八糟的这些基数啊，对吧？那么我们就猜猜什么呀？它的通向公式，猜想 这个 an 他就等于个二， n 加一，这里的 n 属于正整数，对吧？那么你看 n 等于一的时候是不是 a 一等于三， n 等于二的时候是不是 a 二等于五，三的时候是不是 a 三等于七？哎， 既然我们猜出来这个东西的话，那么我们就要用数学归纳法去给他证明了，对吧？数学归纳法呢？怎么证明呢？我们一起来证一下啊！第一步，当 n 等于一十，那么 a 一呢？就等于个二，乘一加一等于个三，然后写个 成立，这一步呢，你一定要记住啊，你要写成你猜的这个公式，你把数字一带进去的这种形式你而而你不能直接写成 a e 等于三，因为什么题目中告诉你了 a e 等于三， 那我们不知道你这个 a 一等于三到底是抄的题目中的已知条件，还是你猜想的那个推出来的以及证明的过程，懂吧？所以你要写这种计算步骤啊。那么第二步呢？当 n 大于等于二的时候，当 n 大于等于二的时候， an 我们是不是猜的等于个二， n 加一啊，那么我们就现在认为这个是正确的，那么怎么正呢？就是当 n 等于 k 时，这里要假设啊，假设 当 n 等于 k 时，记这个 a， k 等于个二， k 加一，它是成立的， 同样的，这个 k 它是属于正整数，对吧？那么这个时候呢，我们得出来了， ak 等于二， k 加一，它是成立的。那么我们看一下由这个地推公式可以得出什么啊？由这个 an 加一是不是等于个三 n？ a n 减去个四 n， 可得得什么呀？就是把 kn 换成 k， 对吧？ ak 加一等于个三倍的 ak 减去个四 k， 对吧？那么这里呢，把 ak 再换成上面的这个我们已知的成立的东西，对吧？看一下他能不能变成这个 我们猜想的那个公式啊？他就变成了三倍的二 k 加一，再减去个四 k， 把它再画一下，就变成了二倍的 k 加一，然后再加上个一，这是不是就是成立的呀？你看 ak 等于二， 二 k 加一，对吧？然后 ak 加一等于二倍的 k 加一，加一就是什么 k 加一和 k 加一，这边的 k 和 k 是不是同样的？就是换了一个字母啊？所以我们就可以得到固这个假设，他是成立的，对吧？ 这个假设是成立的，我们再写综上所述。综上所述什么呢？ a n 等于二 n 加一，这里 n 属于正整数，它是 成立的，也就是 an 的通向公式，它是 an 等于二 n 加一，对吧？这就是第一问，我们给大家证明出来了，当然这是在这道题是证明题的基础上，我们来给大家来解决的。假如说他不是证明题，而把这后面的这个题目中并加以证明， 这个给他划掉了，那么我们应该怎么解决呢？这里就要用我们在求通向公式时候的一般方法，比如说什么由地推公式求通向公式，就什么累加呀，或者累成或者地规，对吧？这三种方法，那看用哪种方法合适呢？就要根据地推公式的不同来选择不同的方法，这个呢，我们 现在嗯给大家来讲一下吧，那么看我们由地推公式怎么来得到这个通向公式？看这个地推公式是不是 an 加一，等于个三倍的 an， 再减去个四 n 啊？我们要想使用那个球 什么呀？通向公式的一般方法就是什么累加累成和低规，首先你得把这个式子进行变形，那变形成什么程度呢？就是 an 加一，再加上一个什么东西，就等于个三 三倍的括号。 an 再加上个什么样的东西，这两个圈呢？他应该是一模一样的东西，对吧？能变换成这样吗？当然可以，但是呢你会变换后发现呢，他们两个之间有什么可以用累加累成或者地规来消除吗？ 不太容易，为什么？因为他两个变成相同的了，那这时候我们就要再进一步的对他进行变形，而造成一个什么印象呢？就是使用累乘法的时候可以凉凉抵消，那么我们就给他 再变形一个，加上个圈，再加上个三角形，这个三角形呢，就是一个长数，对吧？然后变成三倍的 an 加上个圈，再加上个三分之一倍的三角形，对吧？变成这种形式之后，你要使他 两个呢？凉凉抵消，就是给下面的那一项中的就是你下面啊，把这个 n 加一换成 n 之后，那么就是 a n 加上个，当然这个圈里面可能要变啊，这个三角形他是不会变的，我给大家写一下，变他就等于个三倍的括号，下什么 a n 减一，然后加上个什么圈啊？再加上个三分之一三角形钥匙，这个东西等于什么呀？ 这个东西之后，你看你把它左和左相乘，右和右相乘，这两个是不是就可以凉凉抵消啊？所以我们以这种思路来进行这个地推公式的划划分啊， 我们一起来画一下啊。首先先用这种形式，就是 a n 加一，加上一个圈，等于一个三倍的 a n 再加上一个圈，把这个圈 圈先算出来，能不能算？当然可以，就什么看啊，把下面的这个式子给他变成这种形式，你就给他盛开了，然后看跟下面的比较，对吧？那么就可以得出这个圈呢，其实等于个 负二 n， 那么就把式子变成了 an 加一，减去一个二 n 等于个三倍的 an 减去一个二 n， 对吧？变成了这种形式之后，我们看 按照我们刚才那个累乘法的话，是不是应该是 a n 减去个二倍的什么 n 减一，等于个 三倍的 an 减一，减去一个二倍的 n 减一啊？是不是化成了这种形式？我们发现看这两项他两两能抵消吗？不能抵消，所以我们要继续将这个式子进行变形， 继续变形呢，就是我们刚才说的 an 加一，减去个二 n， 再加上个三角形，等于个三倍的 an 减去个二 n 加上个三分之一倍的三角形，对吧？这个三角形呢，它是一个长数了啊，不再是含有 n 的变量，那么我们就可以来继续写，就是 an 减去一个二倍的 n 减一，再加上个三角形。等于个三倍的 an 减一，再减去个二倍的 n 减一，再加上个三分之一倍的三角形。这里呢要求什么？要求能量量抵消的话，就是 这一项，他要等于这一项，那么就很简单了，对吧？就是负二倍的 n 减一，加上一个三角形，等于个负二 n 加上个三分之一倍的三角形，对吧？那么我们由此可以解出来， 这个三角形呢？它就等于个负三，懂吧？三角形等于负三之后，那个地推公式最后就变形成了 a n 加一，然后减去一个二 n 再减三，等于个什么 a 啊？三倍的 a n 减去个二 n 再减一，这种形式我们可能看起来不太方便啊，再给他画一下，就是 an 加一，再减去一个二， n 加三，对吧？等于个三倍的 a n 减去一个二， n 加一，哎，变成这种形式，我们是不是就好算了一下，记得这个公式啊，我给大家清一下屏，重新写。那么刚才我们得到了由这个地推公式来变形后的公式是， an 加一，减去一个二， n 加三，对吧？他等于个三倍的 a n 减去一个二， n 加一，这种形式，那么我们就要运用累乘法来进行解了，对吧？那么就是 an 减去一个二， n 加一，哎，我们发现 an 减二， n 加一， an 减二， n 加一，是不是在这同时出现了呀？那么他就等于个三倍的什么 a n 减一，然后再减去一个二， n 减一，对不对？换成这种形式，那么 a n 减一呢？减去一个二， n 减一，他就等于三倍的 a n 减二，减去一个二， n 减三，是不是这种形式？然后等等等等等，划到倒数第 二项，那么 a 三减七，等于个三倍的 a 二减五，然后 a 二减五，等于个三倍的 a 一减三，是不是画成这种形式了？然后呢？不要管上面的这一个，因为什么呀？我 我们要求的是 an 的通向公式，那就是跟 an 有关的，对吧？我们留个 an 就行了，把这个这几个式子左和左相乘，右和右相乘，会发现什么？约钓约钓约钓约钓，对吧？然后约约约约，最后剩下什么？ 看啊？最后剩下了 an 减去一个二， n 加一，他就等于个三的，这一共有多少项？从一到 n 减一，是不是一共有 n 减一项， 对吧？一共有 n 减一项，再乘上个，最后剩下那个 a 一减三，然后看啊，题目中告诉我们 a 一等于三，对吧？所以说后面这一项它直接就等于个零了，那么 a n 算出来等于个二， n 加一，有没有问题？跟我们猜的也没问题，对吧？这里呢就是 告诉我们，如果这不是一个证明题的话，我们用地推公式能不能求出通向公式，对吧？这就是我们平时练习的时候，这个技巧当然有点复杂，就是什么对这个地推公式进行变形，对吧？变什么？加上个圈啊，加上个三角形啊，这个技巧呢，你自己要熟练。我可能 说的时候有些复杂，大大多数同学可能不太理解，为什么要变成加上个圈和又加了个三角形，这种形式就是我们做的题多了之后，你就要发现，要想使他凉凉抵消，你必须得变成这种形式，对吧？或者说你有更好的方法也可以说出来，我们互相讨论一下啊。那么接下来我们再看第二问， 第二个呢？它求一个新数列，它的前 n 相和，对吧？要想求新数列，它的前 n 相和，我们首先得知道这个新数列它是个什么东西，那么我们先来看一下它到底是个什么东西啊？那么首先我们就另这个 b n 等于二的 n 次方倍的 a n， 对不对？ 所以说看一下他是什么？那由第一问我们是不是得出来了，是吗？我们就写啊，由一 之这个 an 的通向公式，它是等于二 n 加一的，对吧？当然这个 n 属于正整数，所以呢，这个 bn 它就等于二的 n 次方，再乘上个二 n 加一，对不对？这 n 是正整数，我就不写了，你写上。 然后呢，这个 s n 它是不是就等于 b 一加 b， 二加 b 三一直加，加到最后加到个 b n 啊？那么给它划开一下看一下，就是 二的一次方乘上个二乘一加一，也就是三，对吧？我直接写二乘三加上个二的平方，再乘上个二乘二加一是多少呢？是五，对吧？然后 再加上个嗯，二的三次方乘上个七，然后一直加，加到后面是多少？二的 n 次方乘上个二 n 加一啊。看这种形式我们明显就要用到什么呀， 错位相减法，对吧？因为他们都是有什么二的一次方，二的平方二十三次方，一直到二的 n 次方，给他同时乘上一个二之后，刚好可以完成错位相减这一个步骤，那么我们就同时乘上个二那么二倍的 sn， 他就等于为了使减的时候方便我们先人为的错一位啊。当然你如果 不人为错，你能算出来就是你方便计算啊，按照你的那种方法算的话啊，容易的话，那你就不要错了啊，不要人为的错，我们就写零加上个二的一次方，那就二的平方乘上个三，然后错到这来，二的三次方乘上个五，一直加，加到最后， 这是加上个二的 n 次方乘上个二， n 减一，然后再加上个二的 n 加一次。方乘上个二， n 加一，对不？对啊？那这里我们给他人为的补上个零，然后错位相减上减下，对吧？上减下上面大一点，那么就是 sn 减二倍的 sn， 他呢？等于个 二乘三，然后再加上个什么呀？二倍的二的平方，再加上个二倍的二的三次方一直加，加到最后加到个二倍的什么啊？ 二的 n 次方再减去一个二的 n 加一次方倍的二， n 加一。能不能明白？因为上减下最后一项是个负的啊，然后就把它进行化减一下，那么就是负的 s n， 它呢等于二乘三十六，然后后面的这一串呢，对吧？这从这到这，它是以什么是 二的三次方为首项，二为公比的一个等比数列，我们可不可以用等比数列的前两项和公式给他来解决一下？当然可以，那么就是一减二分之多少？ 首项是二的三次，方乘上个一减二的一共有多少项呢？就是这是 n， 对吧？ n 减二，再加上个一，那么就是 n 减一项，对吧？再减去个最后的二的 n 加一次方倍的二， n 加一，然后把它进行化减，就是什么？ sn 等于个二， n 减一倍的二的 n 加一次方，再给他加上个二啊，这就是最后 sn， 他的什么呀？前这就是他的公式啊。 那么这道题呢，可以总结下来，说什么跟我们平常练习那种题的套路啊，都是差不多的，也不算太难，就是什么你在计算的时候比较细心， 要细心一点就行，特别是第二问，因为第一问是个证明题，你用数学归纳法去解决，不像我们他如果不是证明题，你要用低推公式去解决的话，那么困难啊，那么具有技巧性。那么今天这道题呢，也就先给大家讲解这里啊，如果你喜欢我的视频，欢迎点赞评论，双击关注，谢谢大家！
86思源小课堂
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15:00查看AI文稿AI文稿大家好，我们看一八年全国理科三卷的第二十一题，函数 f x。 第一问，若 a 等于零，证明当 x 大于负一小于零时， f f 是小于零，当 x 大于零时， f x 大于零。那么读这个题了，我们就应该知道 f 零等于零，这个第一问呢， 比较常规，也比较容易。第二问，若 x 等于零，是 fx 的极大指点，求 a 的值。 这一问呢，读起来题目很好理解，但是做起来有相当的懒惰， 我们重点讲如何运用高中范围内的知识来解答第二问，当然我们先看 第一问， a 等于零， fx 表达式 f 零等于零，对 fx 求倒， f 一撇 x 等于他，我将这个式子稍作变化，将它写成他，写成他。之后呢，我们看到内衣加 fx 递增，哎， 一加 x 分之一了，在 x 大于负一的条件下递减，因此 f 一撇 x 不具备 简单的单调性，我们需要对他再次求导。求导之前，我们算出 f 一撇零等于零， f 两撇 f 计算整理之后是他，那么这一个 f 良品 f 的正负啊，就直接取决于 开始的正负， f 两撇零等于零。 这样呢，我们就可以大概的画出 f 两撇 x 的图像，不需要太准确，因为我们只是取他的正负，与 f 两撇 x 相对应，我们就可以得到 f 一撇 x 的图像，那么 f 一撇 x 就会在 x 等于你们的这个地方取得唯一的极值，并且是极小值， 这个几小子呢，就是零，这样 f 一撇 x 呢，就横大于等于零，那么 f x 呢，就 在整个定义域内单调递增啊啊 等于零，所以他会通过原点，这样就证明了。那么第二问，我们说 某个点是函数的极大指点，那么这个点的一阶导航数肯定可以 鱼鳞。我们平常见到的 最普遍的情况是在 f 一撇等于零的情况下， f 两撇小于零，这样呢，这个点 就对应 fx 的极大起点，我们按照这个常规的思路 来做这个题，当然这 可以快速的对 a 的这个曲子的方向做一个分析。当 a 大于零的时候，由于对比 a 等于零的情况，那么多出了一项 a x 的平方乘以任意一加 x 这一项，而任意一加 x 大于零的情况下呢，大于零，那么多出来的这一项呢，也就会大于零。 也就是说，当 a 大于零的时候， fx 的图像在外轴的右方会出现在他等于零的时候，这个函数图 走向的上方，因此他不满足第二问的这一个条件，这样呢， a 就只能小于你。 我们先算出 f e， p， x， 那么将零带入 f 一撇 x， f 一撇零等于零。接下来我们求 f 两撇 x， 那么 f 两撇 x 的表达式呢？已经比较复杂，但是没关系， 因为我们只是要求 f 两撇零，将零带入 f 两撇 x， 算出来的 f 两撇零呢等于零。 那么这和我们平常习惯的经常去处理问题的这一个情况啊，不太一样。这种情况 想我们需要展开联想，我们想到什么 什么呢？有没有一个我们熟悉的函数，他的一阶导航数和二阶导航数在某一个点上，比如说在 x 等于零的时候都等于， 然后这个函数呢，在 x 等于零的时候呢，取得 即大致，那么我们应该能够联想到 y 等于负而开始的四次方，我们看这是他的图像， x 等于 零是他的极大指点，他的一阶倒盘数在 x 等于零的时候等于零，他的二阶倒盘数等于零，他的三阶倒盘数还等于零， 他的世界导航数不等于零，并且是一个负数。 那么再对比一下另外一个函数 y 等于 x 的立方，他的图像是这样， 非常相似于第一位里面我们得到的 a 等于零的时候的这个图像，那么在 x 等于零的这个地方，他的一节导航数等于零，他的二阶导航数等于零啊，他的三节导航数呢？不等于零，这样我们就应该 可以推断得到，在 fx 的一接二 接导航数都等于你们的情况下，要想这个点是他的极大致点， 前提条件是他的三阶导航数也等于零，这样我们就对 f 六 两撇开始再次求导，得到 f 三撇开始，那么 f 三撇开始呢？是一个已经非常复杂的式子，这个是我们 千万不要想着对他去进行整理，因为我和这里一样，只需要求出 f 商品名就行了。 那么将您带入 f 三撇零很容易算出来，等于六 a 加一，那么令他等于零， a 就等于负六分之一，这就是答案。借这个机会，我们把这一个问题啊讲的透彻一点。我们先看 如果 f x， 他的一接二接导函数都等于零，在 x 等于 零这个地方，他的一接二接导航数都等于零，如果他的三接导航数 是这么一个样子的话，那么我们从三阶 向下推倒到元函数 fx， 如果他的三阶导航数是一个单调递减的，并且经过圆点的 这么一个状态的话，那么 f 两撇开始就是这么一个图像，与他这一个 f 三撇的零点对应，这一个极指点，并且是极大指啊。 f 两撇 零呢，等于零，那么由 f 两撇式的图像就可以得 到 f 一撇 x 的图像啊。由于 f 一撇零呢等于零，所以 f 一撇 f 图像是这样，那么 由 f 一撇的图像就可以推演得到 fx 的图像， 而 fx 在 fx 等于零这个地方就是是他的极大值。我们再看，如果 f f 开始的一接二接倒函数都等于零，而圆函数 f 零等于零，在这个情况 看一下，如果他的商阶导航数不等于你，我们同样顺势推倒下来，最后得到 fx 的图像是一个什么样子？ 假设这是 f 三 tx 的图像，那么 f 三撇零不等于零。 在 f 三撇零的零点会对应 f 两撇的极大指点。由于 f 两撇零等于零， 所以这个极大字典一定在 x 轴的上当，这样就得到 f 良品 x 的图像，那么 f 良品存在两个 零点，在这个零点会对应 f 一撇 f 十的极小值， 在这个点会对应 f epx 的极大值，而 f 一撇零吗等于零，因此这是 f 一撇 x 的图像，那么由 f 一撇开始的这一个零点 会对应 f 开始的一个极大指点，而从这个点开始， f 一 px 始终小于零，因此 fx 会单调递减。
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