老师做2022新高考一卷数学
我做的是新高考一卷，做了之后呢又花了几个小时再分析了一遍。试题的难度的话应该是属于中等偏上，但是整个试卷的计算量非常的大，所以可能对于学生来讲的话，两个小时是非常紧凑的。比较心疼我的学生。
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15:00查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，我是沈老师，今天得给大家讲解一下今年新高考依据儿的原追曲线的大题。嗯，今年新高考依据儿很多同学觉得很难是吧？这道题目很多同学可能都没有时间做到。呃，这道题目其实是不是一道新题啊？这是一道老题，老高考题是零九年 辽宁高考的一道原体，几乎都没改，只不过当时考的是椭圆，现在考的是双曲相，当时考的是第二小问，现在把它直接放到了第一小问，所以我们从大出题还是挺狠的啊。 当然这道题目的运算量还是比较大的。那这道题目应该怎么来处理呢？应该怎么来处理呢？呃，这道题目我给大家讲三种办法，今天给大家讲第一种办法。我们首先来看一看这道题目，他说已知这个点，告诉你双曲线，然后直线 l 交 cpq 两点，直线 apaq 的斜率之和为 零。这道题目其实就考察一个定点定制的一个问题，告诉你，这个点在双曲线上立即可以求助双曲线的方程，往里面一带，直接可以求助 a 方。当然这个我就不求了，比较简单，应该等于二分之 a 加四方减去 y 方等于一， 往往这就是第一小分。今年没有考第一小分，所以你算出这个鼓励只能拿个一分两分吧，是吧？好，那接下来怎么办？接下来我们来画图吧，没有好的办法画图。 他说直线 l 与椭圆交与与双曲线交于 pq 两点， a 点是二幺，比如这个是 a 点， 比如这个点是屁颠。他说 apaq 的旋律什么呢？之和为零吗？是不是？然后 pq 这段时间就是直线 l 吗？ 我把图像画标准好，这是直线 a 号，就是让你求这一条直线的旋律。我之前去 给大家讲过一个重要的结论，我说过只要在图案里面或者双曲线里面，只要设计到两条直线，这两条直线的斜对之和是定直，或者斜对之机是定直，那他跟这个 远离曲线焦于两点，那这两点所在的直线一定过。定点有一种情况例外，哪一种情况例外就是这两条，当这两条直线斜律之和是定直，并且这个定直是零的时候，这条直线哪一条直线就这条直线他就不过定点了，但是 他的协律是定制。当然其实这段题目如果你在处理的时候，你不知道这个二级结论，一样的可以做，一样的可以做，那怎么来做呢？我们来想啊， 这条直线跟这条直线斜率之和为零，说明什么意思呀？说明这两条直线的斜率互为相反数，互为相反数，互为相反数的话，那我如果把这条直线的斜率说出来，那这条直线不就也有了吗？对不对？你想一下，这条直线有， 有了，对不对？ a 点坐标也是确定的，对不对？那我可以求助 p 点坐标吗？ p 点坐标有了，同样的方法，我一样的可以记住 q 点坐标吗？ p 点坐标有了， q 点坐标有了，那他们之间的旋律不就可以求出来吗？看看到底是不是一个定制呗，对不对？看看能不能求出来呗，对不对？所以这道题目我们可以怎么办？可以 射直线 ap 的旋律，我们在受这条直线的时候，我们要想一想这一条直线有没有可能竖直？很显然这条直线不可能竖直，所以我们来做一种显然 直线 ap 和 iq 不可能竖直，既然他们不可能竖直，我们就可以把直线 ap 竖出来。 ap 的结线是把它设为 y 减去一等于 k 背的 x 减二。你想一下 ap 这一条直线射程，他那必然。我们的 aq 这一条直线不也有了吗？ y 减一等于负 k 倍的 x 减二嘛，因为他们的旋律互为相反数嘛，所以这条直线有了，那另一条直线就有了。这个其实在我们高考里面考的还是比较多的，我们高考里面考过什么呀？像一零年三档高考考过什么样？就这条直线的斜率跟这条直线正好垂直，我把这一条直线的旋律射出来，那这一条直线的旋律不也可以表示出来吗？对不对？ 这个在高考里面考的比较多，明白吗？所以我们可以把 ap 这个字也说出来，那 aq 这个字也有了，那我要求出批点的坐标吗？对不对？这个也是我们高考里面的一个高频考点，就是已知 a 点的坐标，求另一点，已知一点求另一点，我们可以利用伟大定理怎么办？ 连理方程就是把这条直线跟这个双曲线连理方程。我们先来用 ap 跟双曲线连理方程，你看啊，我写的右边，首先这个双曲线是二分之 x 方减去 y 方等于一，这条直线 ap 这一条之前说的呢，就是 kx 减去 y 加上一减去二 k 等于 年龄，年龄，大概年龄放在这一步，我大概一定要会回答定理的，应节定理你一定要会背，你不会背的话你去死算。我告诉你这一套是能算死你。所以我就不写了，我直接来背啊。呃，我们其实可以把屁点坐标设为 xe yim 不对，右点坐标设为 sry 啊，是不是 a 点坐标是确定的，所以这条直线 ap 这一条直线跟这个双据线连立的话，一个点是 a 点，一个点是 p 点，我们可以接受 apsa 加上 a s p s p 我设为 a x 一了吗？各位，所以他应该得多少呢？这时候我也答对你要背啊。二开方，嗯，减一，是不是然后分子呢？分子把它擦掉分两倍就是负四倍的 k 乘以一减二 k， 负四倍的可以乘以几号？可以，这个应该没问题。是不是然后呢？ xa 乘以 s 一，我们一样的可以测出来，就应该等于二开方减一，然后 两倍的一减去二开方，嗯，减去负一加上一就应该等于他，当然你可以画脸一下吧。你可以，他就应该等于什么呢？他就应该等于二开方，减一分子就应该是，嗯，八开方， 然后是减去四 k， 他就应该等于什么呀？二 k 方减一分子就应该是，嗯，四 k 方，是吧？八 k 方，或者你把前面那个二造型嘛 括号里面就是四 k 方减去四 k 加二是吧，没问题吧。所以这个年例出来的方程就出来了。就应该是什么呢？就应该是二 k 方减一 x 方，然后是 减去八 k 方减去四 k x， 然后是加上两倍的四 k 房减四 k， 四 k 方减去四 k 加二等于零。我是先写作为答对你再去写作远方程的，明白没有？然后我需要求出 x e 的坐标呗，就是求出这个东西呗，对不对？其实很简单，为什么呢？因为 a 点 的红色标这个东西是确定的，这个东西等于几啊？这个东西 xa 就应该等于三，直接等于二嘛，是不是？所以我们的 axc 就出来了，是不是？所以我们的 axc 就有了 axc 就等于二除以二，说白了就应该等于什么呀？二开三减一， 二 k 方减一除以二，说白了就是四 k 方，然后是减去四 k 加二。同样的，我们还要去除 y 一吗？对不对？ y 怎么来求呢？你？我们可以继续背为大定理吗？就是 y a 乘以 y 一吗？是不是？这个等于什么呀？为大定理还是二 k 方减一吗？当然，我这个地方哎，给你写全吧。 就应该等于什么呢？就应该等于 k 倍的 x 一减二，然后是加一，对不对？乘以 k 倍的 xa 减二加一， 当然后面是背的，这个等于多少？等于二 k 方减一分之多少，嗯，两个相乘，这应该等于负的括号， 两个人相乘，这个等于负的括号。嗯，一减二 k 方，括号一减去二 ok 方，然后减去二 ok 方，这个等于他。而我们知道 ya 等于几， ya 其实是等于一的，是不是？它之后等于一，是不是？所以我们直接求出 ya 就等于后面的这个东西，就应该等于什么呀？ 二 k 方减一，然后把上面换点一下，上面框里面就是四 k 方，减去二 k 方，对二 k 方，然后加个符号，负二 k 方， 然后是，嗯，减去四 k， 前面有个符号，加上四 k， 然后里面是加一，然后是减一。所以其实我们到目前为止就把 p 点坐标取出来了， p 点坐标就应该是，嗯， 二 k 方减一分之四 k 方减去四 k 加二，然后重左标就应该是 二 k 方减一分子负二 k 方加上四 k 减一，这个 p 点坐标。那我们接下来需要把 q 点坐标求出来，当然这个地方就不能再去求一遍了，我们直接同理了。为什么呢？因为你求 q 点坐标，说明这条直线 这个双曲线连离对不对？但是你要知道，这条直线跟刚才这条直线说白了就是把这个开换成了副开而已，所以你求出来的 q 点做标，只需要把这里面的开换成副开就 ok 了，所以直接两个字，同理， 同理。我们的 q 点坐标就应该是，你看啊，二 k 方减一换来负 k 还是二 k 方减一分子四 k 方造型把 k 换来负 k 就变成加四 k 加二，是不是他的重坐标？你看啊，今天是二 k 方减一，前面还是负二 k 方，然后加四 k 就变成减四 k 减一，所以这里是 q 点坐标， q 点坐标也有了， 一点坐标也有了，那我们直接可以求出 kpq 吗？ kpq 就等于中坐标之差吗？你会发现他的他都有分母啊，可以放减音，直接不要，那直接就是中坐标，中坐标，你看一看分母做差的话，说白了就是八 k， 对不对？分子做差的话，说白了就是负八 k， 所以就应该等于复印，所以这一条直线的限制就等于复印，所以第一项我们就解决了。 呃，其实呢，还是有一丢丢大的，对不对？我们再来看第二小纹，第二小纹应该怎么处理？同样的，我先把头画出来啊。 好，我们来看看。人家告诉你天津的 phq 就是告诉你这个角的正确级告诉你这个角的正确级其实就是告诉你这个角的度数确定的，能理解吗？这个角的度数确定的，其实就是告诉你这两条直线都是确定的，因为这两个人的旋律 护一下感受吗？对不对？所以这两个直接都确定了，其实就是在告诉你 apq 三个点都是确定的，所以这道题目的处理办法非常多，只不过这 都没第二句话。男男在哪里提什么呀？他的数字不巧妙。我们来做一做。人家告诉你 paq 的正确值是等于二根荒怎么办？我其实想把两边之间的旋律解出来，是不是怎么办？你可以做个垂线，你看我一点做个垂线你会发现怎么样这个脚你把它记住啊发的话那右边这个角你看这个角是啊发，那右边这个角也是啊发对不对？所以天津的你看啊，天津的 pxq 叫 piaku。 说白了就应该等于什么呀？甜甜的阿尔法就应该等于二个花。 其实我们就可以把阿发的真切子切出来。为什么要把阿发的真切子切出来？因为这个角的真切子一旦切出来，那这一这个角我需要求他的清洁角，他的清洁角的真切子一定跟他是互为倒数的，他就出来了，明白没有？所以我们来求一求。天津的阿尔法等于阿根黄阿比较旺世，所以就是两边的天津的阿尔法 比上的量一减去天津的二宝方就应该等于二的话二约掉。嗯，就应该等于跟后二 天定的耳画方，然后是加上天定的耳放跟花一个左边去，嗯，减去跟花是不是等于零啊？所以我们可以叫做跟后二一，然后是跟后二一 减，是吧？所以天津的阿发就应该在这上，天津的阿发直接可以隐私问题应该等于二分之跟后二或者是。嗯，负的跟后二 是不是天津阿发有了？那我们就可以去做这个角，这个角，这个角的正确之也就是这条之间的旋律，明白没有？这条之间的旋律， k 就应该在一个上，你看这个 k 就应该在一个上， k 就应该跟这个天津的阿发是互为倒数的关系。 k 就应该等于什么呀？嗯，倒数就是跟后二或者呢？负的二分之跟后二。两个都能要吗？两个都能要吗？ 估计不能得有啊，这个要把它舍去。为什么呢？这个要舍去，为什么要把它舍去呢？因为你要看得出来，因为这一道这一道题目的值。这个 这个双曲线是二分之 x 方，减去 y 方等于你会发现他是间接线，他的间接线是我还等于间接线， 也要对数字敏感，他的禁令线是我还等于正负二分之跟后二 x， 所以很明显这个是间接线。这个旋律是间接线。什么意思呢？就这一条直线跟这个间接线平行，那就不可能， 不可能。教育两个点啊，是不是？能理解吗？就跟间接正好平行吗？对不对？是不是所以这个这个结果要把那个也省掉，你不可能跟他平行吗？对不对？你跟他平行，怎么可能呢？对不对？是不是所以不可能跟间接平行，所以这个结果要把它省掉，所以我们的开等于跟后二开，如果等于跟后二的话， 那 p 点坐标， q 点坐标全有了，因为我刚才求出来了，你看 p 点坐标不就是他吗？ q 点坐标不就是他吗？是不是？所以我把 p 点坐标把这个跟话带进去，你看 p 点是多少？跟话带进去，把这个复制过来吧，你看 把它复制过去啊，算一算， 你看啊，那我们真正的皮点做不就全有了吗？皮点做不要，这应该是把钢化变进去，就应该是二四得八，八减去四，跟后二加上二，然后 四点一等于三，是吧？分这个重度标的重度标记得都不要是吧？跟后话带进去二四三，然后跟后话带进去二负四负四 加上四根花减一，是吧？等于多少？其实这个分子就是三分之十减四根花，是吧？三分之十减这四根花，三分之十 减去四根黄，是不是这种的？其实就没必要求，为什么呢？你看说的就是 x 一等于三分之十减去四 花，同样的我们的五，这个 x 二呢？ x 三，你也求求求，就应该等于多少分？不可能都是一样，对不对？三分之十哦，加上四根花是不是就中间不一样，是不是？为什么这个都不需要求呢？你看 我们现在要求这个三角形的面积吗？对不对？这个三角形的面积可以找来，可以切出 ap 的长度， aq 的长度吗？对不对？这两个都是斜插吗？对不对？然后这个角的正前置有了吗？那这个角的正前置不也有了吗？对不对？你看这个角的正前置是二个花，那这个角的正前置呢？你看有这个东西，我们可以切出这个角的正前置三 九。 pnq 今天来多少？今天有三分之二的话，大家真的不会啊，挣钱就有了。那这个三角形的面积怎么办？三角形的面积就应该等于二分之一个 ap 的长度，你看 ap 的长度乘以 aq 的长度，然后再乘以三 上一角 p iq， 所以就应该在二分之一 ap 的长度。 ap 的长度就是一个嫌长嘛，对不对？根号下一加开方，一加开方开是二嘛，对不对？开始根号二嘛，对不对？一加二是不是？然后呢？就应该是， 嗯， x 一减去 axa， 减去 axa 就是二，是不是没问题？这些办公室，然后 aq 就应该是同样的根号下一加开方开始负根号码平方就是二，所以就是 x 二减去二，明白没有？然后再乘以杀人。这个角就是乘以三分之二等号啊，我们来算一下计算呢，有点恶心啊。呃， 二跟这个二略掉，这个是根号三，根号三，三略掉，是不是？所以就应该等于根号二绝对值，然后是什么呢？ x 一乘以 x 二 减去两倍的 x， 一加 x 二，然后是加上四，很明显 x 一 x 都有了吗？对不对？ x 一乘 x 啊，说白了就应该等于多少啊？ x 乘 x 就应该等于九分之，嗯， ax 一长一个色，九分之一百，减去四十六十六，你猜一下，三十二，所以这个这个技术量超级恶心。减去两倍的， 然后是香蕉，香蕉就应该是三分之二十，然后加上四，只有这个结果等于多少？九分之多少？三十六，六十八，你看这是六十八，九分之六十八减去九分之乘以三一百二十，然后加上九分之多少？四九三十六，是吧？ 四九三十六。嗯，用一百二十减去六十八减去三十六吗？一百二十减去六十八，再减去三十六，减去多少？这个是一百零四是吧？一百二十减去一百零四等于十六，所以上面是十六，就是九分之十六开花，所以结果就等于九分之十六开花。 所以这道题目难。难在哪里？呃，数据不好计生量，超级恶心，明白没有？好，那这节课就给大家讲到这里啊，我们下期视频继续给大家讲。第二种办法。第三种办法。好吧？好，拜拜。
179泰州沈老师
17:48查看AI文稿AI文稿大家好，今天呢，我们专门来讲一讲二零二二年新高考一卷的这个导函数大题啊啊，一共是有两问，这个第二问还是挺有意思的，第一问咱们就快速说一下啊，他说的是函数 f 等于 e 的 x 方，即有指数函数，指数类型的吧，然后也有这样一个对数的类型的，都有 ax， 然后啊，他说的是这两个函数都有相同的最小值，首先的话，咱要注意， fx 定义域的话是全体实数哈，然后这个 gx 的话，他这个定义域就不是了，因为有 lower， 所以他这个 x 定义域呢，就是自变量啊，他这个定义域的话，肯定是零到中穷， x 得大于零才行，这是他的定义欲零到中穷。 那么现在他说有相同的最小值的话，我们先研究这个 f 吧，先研究这个 f 的话，我们会发 发现这个 a 不是随便取的啊，你看一下现在我们 f x， 首先我简写了啊，知道我的意思就行，他的定义域的话是 r， 是全体实数，我们对他呀，求一下导， 求完导之后的话，它是一的 x 方减去 a。 大家要知道一个问题，就是根据指数函数，它肯定是大于零的 正数，再减去负。哦，懂了，也就是说第一种情况，我们看一看，如果说 a 小于等于零，那负 a 不就大于等于零啊，也就是 f 撇啊， x 啊，你一个再加上这个负 a， 那肯定就是正的呀。他是正的话，就意味着此时 f x 在整个定义域范围内，在整个 r 上是怎么样的？告诉我，在整个 r 上，它永 是单调递增的呀，那这样的话，他还有最小值吗？没有最小值，在整个 r 上是单调递增的，这个就肯定不行。所以说我们啊，反过来，这个 a 只能是大于零才可以了。能清楚我的意思吧，当这个 a 大于零的时候，我们令 f 撇 x 等于零，也就是说一的 x 方等于 a 啊，这很简单，求一下就行了，那 x 就是等于捞很 a 的，我们可以轻松的发现。怎么回事哦，原来在夫穷 到什么范围内，到 low on a 这样一个范围内啊。它这个函数啊，是单调递减的，因为此时它是负的嘛，倒函数，然后在 low on a， 就是当 x 大于 low on a 的时候，哦， e 的 low on a， 此方点就会哦大于零了。这种情况下就是单调递增的，这是 f x 的单调性。那有了单调性之后的话， 所以最小值清楚了吧？我们 f 这个函数第一个最小值呢，它就是当这个自变量等于 low a 的时候，我们求一下等于多少吧，求出来等于 e 的 low a。 什么？这根据对数横等式，它其实就是 a 啊， a 减去 a 乘 low a。 好，原来那个最小值是这么写的， a 减去 a 乘 low a， 这个有用啊， 那接下来怎么样？接下来就是要研究这个 g x 了，它的话，我们也对它进行求导啊，这个就比较简单了，直接求导它的话，就变成了 x 减去多少？应该是 a 减去 x 分之一。咱们写一下啊，变成了 a x 减。一清楚我的意思了吧， 既然 x 是正数，我们让导航数为零，此时 x 推出来等于 a 分之一，反正 a 分之一是个正数，也就是说很轻松的，我们可以得出来，在 定义域，定义域是零到中穷啊，零到 a 分之一，它是负的，导函数负，那元函数不就单调递增吗？那 a 分之一到中无穷，单调递增好，单调递减，单调递增，所以有最小值了。那最小值对于第二个函数来说，是当自变量取这个 a 分之一的时候，它是等于 a 乘 a 分之一，那就是 一减去捞按 a 分之一，其实就是一加上捞按 a。 哎，能清楚这个意思吧？ 当你求出来这个之后的话，就很简单了，他说两个函数啊，有什么值，那其实就是圈一和圈这两个值得相等才行啊，最小值相同，所以啊，我们就得出来了， a 减 a 倍的 low on a 等于一，再加上 lown a， 能清楚我的意思吧？而且我们已经得出来了， a 是必须大于零的。我们一开始就分析出来了， a 小于等于零，不合要求，只能是大于零，是一个正数。那你说现在怎么去求解吗？这个求解过程的话我说一下啊，咱们利用函数来求，不是你直接肉眼看出来的啊，你这个不行，怎么解呢？咱们这样来解，根据刚刚写出来的 f 的最小值， 这是 f 的最小值吧。那第二个函数的最小值是多少呢？是这个一加上让 a， 我们很容易变形嘛，就稍微变形一下，反正 a 是正数的啊，咱们可以挪一下变成什么样子了，其实就变成了这个 老按 a， 再减去 a 加一分之 a 减一，你就没有什么想法呀。哦，这么回事，原来我要解这个 a 等于几，那我凑一个函数吧，我把 a 先看成变量，那不就是引入一个函数吗？利用这个 h x 等于 l x 加上多少呢？或者说减去 x 加一分之 x 减一是这个道理吧。啊，那接下来的话，你要注意，我们一开始已经判断了 a 大于零，那 x 就是大于零的，因为你就是变形过来的嘛。 哎，再往后我想问问怎么处理，求导呗，看他是不是一个单调函数啊。好，我们看一下他，求一下啊。嗯，这个具体求导过程的话我就不再多说了啊，也并不是特别复杂，但是处理之后的话，他的导函是得这样一个结果， x， 哦，这是反正分母能够看出来肯定是正的，因为 x 大于零，然后分子的话也是平方加一哦，他怎么样啊？所以我知道了。所以 hx 在整个定义域上，在整个零到真无穷上，是一个单调递增的函数。那 有没有某个值能够让 h 哦清楚了 h 几等于零啊？首先我跟你说一下，这个圈一就这个等式 h a 等于零吧，而且你猜嘛，当 a 等于几的时候， h 一等于零吧，那这个 a 只能等于一，你说为什么？比如说这就是 h 的函数，它永远单调递增 只有一这样一个值，能清楚我的意思吗？那就是这样一个，一的左边他是在 x 轴以下的哦，一的右边他就到 x 轴以上了，因为他是个单调递增的函数。你这道题必须说明他是单调递增才能够说明哦，原来这个 a 只能等于一清楚了吗？ 第一题不难，但是啊，很多同学写到这以后呢，后边的过程就没有写，直接来了个 a 等于一，你怎么知道这个方程只有一个解呢？对不对？万一那个函数 a xx， 人家有两个零点，可能就不止一了，可能还有个三等等吧，清楚了吧。所以这个题要严谨，必须要写这样一个单调性的。呃，讨论好 a 等于一，那么第一问的话，我们就解决了哈。 a 是等于一的，我们看第二问，第二问挺有意思，也复杂一些，其实也不复杂，这个第二问，第二问怎么说的呢？ 第二问的话，就是在第一问的基础上已经确定了 a 等于一了哈，然后那 f x 就是一的 x 方减去一倍的 x， 那 g x 就是一倍的 x 减去 low x 哈。 他说，请证明存在这样一条直线， y 等于 ay 等于 b， 那 y 等于 b 肯定是一条水平的线，他是平均 x 轴的，或者说垂直于 y 轴的。然后他跟两条曲线， y 等于 fx 和 y 等于 gx， 有三个不同的焦点，必须是恰巧直， 只有三个，四个不行，两个也不行，理解吧。并且从左往右三个焦点的横坐标三个焦点啊，这三个不同焦点，他是成等差数列的好，跟数列结合了一下， 那这个题怎么挣？其实刚才我们括号一的话已经分析过这些了， f x 在服务群到捞 a， 捞 a 不就是零吗？单调递减，零到正空琼，单调递增，那 gx 就是零到一之间是减，然后一到正空琼增那，并且他们最小值相等的话，我们可以求一下这道题，他这个最小值， 最小值等于几啊？等于 f 零，好，然后这呢？这是一，我们随便带一下啊，他呢？最后算出来，嗯？是等于几啊？都是最小值吗？我们随便带一个，比如说带第一个一的零，次方减零，哦，等于一啊，也就是说你画这个草图的话，你看 我用红笔把这个 f 表示出来了，但是为了防止你就搞错哈，最小这是一，那我呢，用蓝笔来画一下 j x 草图，行吧，我只能说大概是这样哈。哎，这是一个一， 能清楚我的意思哈，当他等于一的时候，横坐标是一，正坐标也是一，这时蓝色的图像呢，是 gx， 他这样一个草图，红色呢是 fx， 大概就是这样。那么接下来我们讨论一下啊，就是当这个 y 等于 b， 他这个 b 水平线小于一的时候，肯定不行，因为此时， 哦，我知道了，它跟 f 没有交点，跟 g x 也没有交点，那其实等于一也不行，也是要舍掉的，因为这种情况下， y 等于比例向上平移吗？哎，正好是最小值等于一不行吧，因为等于 e 的时候，他跟 f 一个焦点，跟这一个焦点只有两个，我们的要求是三个都不行，是吧？那怎么分析这道题呢？咱们往下你其实马上就知道了啊，我们需要分析一点 这个，当这个草图画出来之后的话，我想说的是，此时外抖音币其实只能过 m 点。 m 点是什么点？ m 点就是这个 f x 跟 g x 的肯定是有一个交点。为什么我这么肯定啊，你看，这是零到一吧， 这个点呢，是一到一吧，这个都清楚啊，那你零的右边我这个 f 蓝色这个图像是单调递增的呀，是不是？那在零到一之间，我们先研究零到一之间图像啊， 对于 g x 来说，它肯定是单调递减的，一直减到一都好。一这样一个点啊，它纵读标都是一好。原来是这么回事，所以在零到一之间肯定存在一个 焦点啊，从这个焦点的话，我们就写成什么点呢？写成这个 m 点，是吧？但是有一个问题，就是你有没有可能这种情况啊？我 f 过了 m 点之后，我增长放缓，很缓， 但是我这个 g x 啊，比较快，能不能行呢？就是说我这个 f 是长这个样子的，然后啊，我这个 g 长什么样子呢？我这个 g 可能是长这个样子，清楚吧，这是 f， 这是 j x， 那右边会不会还有一个焦点呢？除了这个 m 点，会不会还有一个 n 点？我这个 y 等于 b， 可能是过 m 点也行，过 n 点也行，是不是能清楚我的意思啊？我想告诉你的是不可能的， 因为 f 点增长很快，然后这点增长很慢，你要确定就是右边它俩不能再相交了，能清楚我的意思哈，不能再相交了，那怎么确定？就 x 等于 你的右侧这一部分？ f x 永远是在 j x 的什么上面， 这个图像永远是在他图像上面的，能清楚吗？哦， f 永远在这个图像上面，在 x 等于一的这个右侧，如何确定？那当然是要用减法了，你顶住一个函数，这一步是必须写的很关键的一步啊， f 减去这，然后等于多少呢？这个我们直接写就行， 就得这样一个函数，我们现在只用研究大于一的这一部分啊， x 大于一的这一部分，那求导呗， 对吧？求导之后的话，这个非常简单啊，他是加上 x 分之一，再减去多少，减去二来看好了啊，当 x 大于等于一的时候，我们这个 e 的 x 次方是大于等于 e 的， 也就是说，此时这个导函数 u p x 它是怎么样？大于等于多少啊？一减去二，这明明就是个正数，咱俩这个正数少了，肯定是大于等于号还是大于零的呀，也就是说一的右侧永远是大于零。哦，我知道了，单调递增吧，也就是 u x 在一到中穷上永远是单调递增的这样一个函数。因为你这个 u 一，我们算一下等于几啊？是个正的还是负的，你带入啊，一的一次方减去二，一减去二大于零吧，也就是这个位置，我们已经确定了，这个 f 一他是在上方的，这一是在下方，并且这个 f 还增长的更快一些。清楚了哈，所以说呀，这个 u x 永远是个正数，在什么上面？在零到？ 呃，在这个一到正无穷上永远是个正数啊，它是正数，不就意味着 f x 减去 j x 大于零的意思，也就是说， f x 大于 j x， f x 的图像肯定是在 谁的上方？在 j x 的上方，我们已经证明完了，你必须证明这一条清楚了吗？也就是说，除了 m 这唯一一个焦点，没有第二个焦点了。那经过这样一轮分析，所以清楚我的意思了吗？接下来我们就可以下结论了哦，经过刚才的讨论，还有图像可以分析出来，此时 这个 y 等于 b 水平线只能在哪，只能是恰好过这个 m 点了。清楚了哈，那此时这个 m 点的话，具体不知道是零到一之间哪个数字，但是我们能够确定的是它这个横坐标 m 点，这个横坐标小 m 肯定是在 零到一之间的零点几，是吧？那好，当你确定完这点之后的话，我想说的是这道题啊，大概率基本上已经解决了，接下来就是一些细致末节的事情。清楚了啊，那怎么写呢？看，首先，因为 f 等于 g m 这个显而易见啊，其实它就是 m 点的纵坐标，是吧？嗯，所以呢，相当于你把这个解析式带入一的 m 次方减 x 呢，就是 j m， 这是左边啊，右边的话就是 m 减去 low m 没问题，那我再写一种，改一种样子吧，其实也就是什么呢？你更加能看出来， e 的 m 次方加上 low and m 等于二倍的。哎，老师，这个究竟是什么意思啊？ 其实马上你就知道了啊，现在请你看好了，见证奇迹的时刻到了啊，你现在只需要令 fx 等于 b 横坐标吧， 他这个纵坐标等于 b 的时候，横坐标不就是 f m 吗？我们得出来这样一个方程，其实就是 e 的 x 方减 x 等于 e 的 m 次方减去 m 等于多少？那这个 b 的话，实际上我们也可以写成什么样子呀？也可以写成这个 g m， g m 在哪？在这呢啊，就是 m 减去 low m， 你现在还看不出什么东西来吗？其实这个方程，比如说，我们先看第一个方程，我们解得 什么，你画圈这个方程解得一看，这个 x 就是等于几的，就是等于 m， 但是还有另外一个解，看谁呢？看这一部分，画圈这两个等式，老师他怎么去看 看呀？你看不出来，我写一个东西你就能看出来了，你为何不写成 e 的 x 方减去哦， low n 多少呢？减去 low e 的 x 次方呢？ x 就是 low e 的 x 方啊。另外第二个圈的话，我们就写成 m 减去 low m， 也就是说 e 的 x 方对应的是等于 m 啊，那 x 不就等于 low m？ 哦，原来解出来两个解啊，横坐标，另外一个是 low m。 哪个横坐标啊？我们要得的，刚刚已经说的非常非常的清楚了，你要得的一个横坐标是 m， 我们要研究的是 f x 跟 y 等于 b 这条线，那他不就是 low m 吗？ 清楚我的意思了吧。哦，横坐标是 low m 啊，知道了，还有第三个点啊。嗯，第三个点，右边这个点，画个问号，他究竟等于多少？ 还是老方法？那接下来需要干嘛呢？只需要六 j 谁啊？ j x 等于 b 等于 f m， 它结法其实也一样的，我就不详细说了，它其实相当于 x 减去 low on x， 这不就是它吗？ j x 这个函数啊，等于 b， b 的话 相当于谁？相当于一的 m 次方减去 m， 这就是 f m。 那这个 b 其实也可以写成 m 减去 low m， 接出来也是啊，两个值，一个是 m， 横坐标就不用说了。那另外一个横坐标 它是等于多少呢？等于 e 的 m 次方， e 的 m 次方肯定是大于一的，因为 m 是零到一之间的一个数字嘛，咱已经分析出来了。哦，原来这个横坐标，第三个横坐标等于 e 的 m 次方啊。它现在也让你研究的是这画圈部分， 这三个横坐标究竟是不是等差数列的关系？肯定是等差数列的关系，一个是老 m， 一个是 m， 还有一个是 e 的 m 次方，为什么肯定成立啊？我问你， low m 加上 e 的 m 次方，等不等于二倍的 m 等于啊，这不就是等差数列的意思啊，等差数列哦，等比中等差中相啊，第一个数字加上第三个数字，等于中间这个数字的两倍。 那成立吗？我们刚才圈一都已经说过，他就是成立的呀，所以怎么样？所以就可以说了。所以这三个数字 lm， m， 还有一的 m 次方乘等差数列。 ap 就是等差数列的意思，所以清楚了吧。这道题的话，其实第二问也不能算太难，你好好分析一下， 总能够得出来的。这个函数图像有一部分特别重要那种。那部分啊，就是这个 f x 在 e 的右侧，永远是在 j x 上方，你得分析出来。你不写这一步分析你就得不了满分，清楚了吧。分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见。
2266会放羊的教书匠
01:28查看AI文稿AI文稿从二至八七个整数周随机取两个数，互置的概率为多少？ 七个中取两个数，七七二相当于握手问题，七个人没两个人握手，握手几次？ 七个人，每个人不能和自己握手，除了自己。每个人可以和六个人握手，你和他，他和你重复了除以二，所以一共有二十一种情况，只有公因数一的两个数或为质数找，互质不好找，我们可以找不互质的数， 二四六八都是偶数，除了公因数一之外还有二。所以四个数中取两个数，不复制的 数有多少个？四乘三，除以二有六个，还有两个数三和六，除了公因数一，还有三，三和六也不复制。两个取两个二乘一，除以二等于一。 我们把总数二十一减去，不复制的数就是复制的数，再除以总数，就是概率约分化减三分之二选四。 b。 你学会了吗？可以给老师一个免费的小红心，顺便关注一下，谢谢您了！
2550刘老师数学&物理
16:12查看AI文稿AI文稿各位超哥抖，我是幺四九，今天呢，我们来看一下二零二二新高考一卷主题金奖，这张试卷呢，应该是近十五年以来最难的一张全国卷，没有之一。前面说的比较难的卷子跟他比起来呢，就是弟弟中的弟弟， 整张试卷呢，计算量是暴增的，第七题，第八题，第十一题，第十二题，第十六题，圆锥曲线倒数计算量普遍变大，对吧？并且呢，你要注意，倒数圆锥曲线函数，高考他是难度呢，是在逐年递增，特别是这个函数啊，一年考的比一年难，你复习的时候一定要更加深入，一定要把这些该复习的点都复习了， 也就是说，原来你复习成能够识别他，对吧？现在呢，要灵活应用，对吧？你现在要要能够更加灵活，你才能适应我们现在这个高考的一个要求。那考完之后呢，很多超哥私心直接炸了，对吧？很多人都在来感谢超， 为什么？因为我们前面几天发的视频压重了很多很多的点，而且呢，我们拿几个举个例子，比如说我们的帕德毕竟和我们的泰勒公式，对吧？处理今天新高考的这道比大小 和我们假券第十二题简直不要太方便，对吧？因为这个第七题啊，你用常规的啊，放松或者是构造函数，我觉得 一百个人里面连一个人能做对都没有，对吧？这个题不是很好算，就算你知道那样算，算起来很困难，但是用我们的帕德毕竟和泰勒公式可以很快搞定。也就是为什么超哥天天给你讲这些各种各样的方法， 因为高考他真考能听懂吗？对吧？第二个，我们振能追外接球二结论，对吧？还有从幺七年到现在没考的这个导数数列结合压轴，我们家老师压题卷总共就四道导数题啊，给你选了一道题，一模一样，还有短点效应，对吧？那个第二问 又考对不对？也是我们四道题其中之一，你看这个概率有多少，对吧？还有呢？我们的其字画，我们的正前平方差，对吧？大家去看那个评论区啊，你可以去看一下评论区到底有多少人感谢的好这些呢？还有这个相关系数，对吧？我们来给大家取一下，你看这个相关系数， 这个来，你这个公式不知道他，他，当然他问的是 r， r 跟 b 分子是一样的，分母遗有一部分分母的一半也是一样，对吧？你如果不知道这个公式， 你这个式子你要算，你要算三十个式子算死你在考场中，对吧？所以呢，看超哥视频没毛病，对吧？有条件的可以来加入政客， 我就问一下，嗯，今年的这个战果是辉煌的，对吧？好，我们就给大家就说这么多，我们就现在呢，来进行一个主题，金奖。那第一题很简单，对吧？埃克斯大 大于零等于零小于十六，对吧？那 x 大于等于三分之一，那焦急不就是 d 吗？ 对吧？来第二题，那就是一减 z 等于 i 分之一，对吧？那 z 就等于一减 i 的平方分之 i， 那就等于一加 i， 那他的共额不就等于一减 i 吗？两个相加，那不就是 二吗？对不对？好，三角形 abc 中，那大家来看好了，他告诉你的是 dbd 等于二倍的 d， 那就三等分点，这是一份，这是两份，你看他问的是谁，他问的是 c、 a、 c、 d 和 c、 b 的关系。那不就是三点贡献定理吗？来，过地点做 b、 c 的平行线，过地点做 a、 c 的平行线， 对吧？那你会发现这是一份，这是两份，这是两份，这是一份，太好写了。 c、 d 项链等于三分之一 c、 b 项链，再加三分之二 c、 a 项链，对吧？好，你把它也称三倍的 c、 d 项链 等于 c、 b 项链，再加二倍的 c、 a 项链。那 c、 d 项链是谁啊？嗯，三 n 减二 m 等于 c、 b， 答案选 b， 对吧？太简单了，来，继续往下看， 我告诉你，十二年就学了一个公式，对吧？这个公式能够解决你小学、初中、高中所有的体积公式就这一个，无论任何图形，能听懂吗？好，那这个题且就是让你求一个轮胎的体积嘛。其实你背会这个公式，你考场 就直接用了，对吧？这个很简单，上面一百四，啊，是，是一百四，这是一百八，高是几？高是九，对不对？你用它减它吗？求体积来微，等于三分之一 h 乘以多少呢？ s 上幺四零， s 下一 l 八零， 再加根号幺四零乘幺八零，对吧？那就是三分之一乘以九，三百二再加。你看，这里有 拿一个根号七出来，对吧？这里有零零，再拿一个十出来，剩下了三十六，那就是再乘六，对不对？来，这个数字你看好了，那就是三乘以三百二，再加 一百，这个乘一下嘛，对不对？乘下来的话呢，要等于一百五十九，对吧？一百五十九，那这就是三乘以 四百七十九。你看好了，我就不用管这后面单位了，这后面单位我都不变，我就看是一点零还是一点二，还是一点四还是一点六，三四一十二，三七二十一，答案直接选 c， 都不想细算，对吧？好，我们来看下面一道题。什么叫复制？除了一和就是这两两个数，你别说二三，就是复制的， 他们俩除了一些没有别的公元数，对不对？那大家想，那你写二的时候你怎么写呢？ 你写二的时候，四就是他的公积数，对不对？三五七六八都不行。你写三的时候呢？四 五六不行，对不对？七可以，八可以来，你写四的时候呢？五行不行，可以啊，对吧？六不行，因为他们有二，对吧？七行不行？可以啊，八行不行八不行。你写五的时候，六行不行可以，你写七行不行？可以，你写八行不行可以。你写六的时候，七行不行 可以，八行不行，八不行，对不对？你写七的时候呢？这是？八来一，二三四五六七八九十十一，十二，十三十四。上面十四个，七个数，二到八，七个数，七个数选二， c， 七选二，对吧？二十一分之十四，三分之二，对吧？赶紧选 d， 继续往下 周期为 t， 告诉你 t 的范围其实就是告诉你奥米卡的范围，奥米卡分之二，派大于三，分之二，派小于派，那奥米卡不就大于二，小于三吗？ 对吧？哦，那大二小于三。他告诉你 fx 图像关于他对称，来，你首先画一个正前函数图像，你来看一下正前函数图像，他都是关于我们的这个在 x 轴上的点对称，你要关于二分之三派都二对称，其实是相当于这个图像咔嚓咔嚓往上平移两个单位，对不对？ 所以呢， b 等于二没有问题吧？那 b 等于二的话，他告诉你他中心对称，你要注意他的中心对称点有什么？你往上往下平，他的 x 是不变的呀，你看你往下往上平，他的 x 不变。中心对称点呢？横坐标他是不变的。 那正前图像的横坐标有什么特点呢？也就是他呢，都要等于 k 派才可以，对吧？你把二分之三派带进去来，二分之三派乘奥米噶，再加四分之派等于 k 派。 所以啊，你看，等于 k 减四分之一，再乘三分之二。然后呢，你来看一下啊，你用 k 等于一， 算不在二到三， k 等于二算不在二到三， k 等于三算不在二到三， k 等于四，算出来欧尼嘎等于二分之五。他在二到三， k 等于。 我看下有没有另外的解。 k 零五算出来奥秘噶等于，呃，六分之十九，超了，超三了，对吧？奥秘噶等于二分之五。奥秘奥零二分之五。这个函数图像很简单了呀，三印二分之五乘以我们的奥秘噶，再加四分，呃 啊，乘以我们的 x， 再加四分之派，对不对？来，你把二分之派带进去，把二分之派带进去的话， 这个式子你是不是还要再加几？再加二，对吧？那就是负一，再加二等于一，答案选 a。 这道题考完超哥的私信直接报了，因为这个视频你看六月二号对吧？五月十二号。呃，刚发没多久，但是呢，这道题在考场中极难对吧？你用构造跟放缩非常难，构造的话好想不好算，放缩的话，这些放缩的不等式压根不是你平常见到的不等式。你现在看到很多人跟你讲 长得各种各样，不能是放出来，我跟你说，在考场中他是算不出来的，能听懂吧？真正在考场中用放缩和构造算出来的学生，这道题其实是不超过百分之一的。这道题 做对的人极少，但是超哥却做对的却很多，为什么？因为我们刚给你讲过，对吧？因为你大家知道，去年考过劳运一点零，今年我就猜到他会考这些东西， 对吧？你就比如说今年的一些函数的一些啊，代换啊，算周期啊，这真的是超哥在我们系统班里给你反复强调的内容啊。好，那我们来给大家看一下啊。这个用帕德毕竟怎么算其实非常简单，对吧？你当 x 大于等于负一小于等于几的时候呢？用帕德毕竟算出来呢， 能精确到小数点后三位，你想想他多厉害。小数点后三位，一打 x 等于 x 的平方再加六 x 再加十二，除以 x 平方 减六 x 再加上你，比如说你一的零点一，一的零点二，一的零点七，你现在知道的是，所有这一道飞之间的数，你往里带啊，都能够精确到小数点后三位。 如果 x 大于等于负二，小于等于二，那这只能精确到小数点后两位了，对不对？他没有达到三位这么精确，其实两位也能够你帮帮你算很多题了，同学们， x 等于零点一带进去，对吧？ e 的零点一约等于零一点幺零五幺七，那零点一 e 的零点一就约等于零点幺幺零五幺七，好，九分之一约等于零点幺幺幺幺幺， 对不对？那同样道理，劳音一加 x 约等于三， x 的平方加六 x 除以 x， 平方加六 x 再加六 x 等于负的零点一，给我往里带，算出来，捞应零点九，约等于负的零点幺零五三，对吧？那很简单了，负的捞应零点九，约等于零点幺零五三，就是一个很简单的计算啊，对吧？带进去直接算了， 叫做 b 大于 a 大于 c， 两分钟五分到手，对不对？他没有占用你的算力，对吧？你如果构造来 x， 劳影 x 一减 x x， 对吧？负的劳影一减 x， 你去算来告诉你，这样构造你算下来坑你，仿佛你，你把它算出来啊，就仿佛做了一道导数题的第二问，能听懂吗？就算你算出来，也会让你后做后面的题很疲惫，这就是为什么 教你技巧，教你大招，全网没有一个老师教你用帕得的印算，对吧？但是超哥在考前就教你了，对不对？所以跟着超哥走，数学幺四九从来就不是一句口号。我们继续再往下来看 下面这道题啊，正能正，四能住，这个题也是我们系统班讲的，叫做正能追半接球的长度，对吧？并且你看，我还给你加红了这个公式。 l 方除以二二二 h 等于二，对吧？这道题用这个公式就很快，你如果不用这个公式算啊，算的超慢， 对吧？好，我们继续来看这个题怎么做啊？这个题其实很简单，你看我稍微给你刷。这公式咋来的？其实很简单，你看，我们把这个图给你来算一下，你看这个是 h 减去，我们的 就是 r 方，你看这个 r 方，就底面这个平方 h 减去 r， 整个的是 h 减去，这段儿不就这段吗？这个平 加这个平方等于这个平方，那花甲完之后呢？ r 就等于 h 方，加 r 方除以二 h， 那你就会发现 h 方加 r 方，他又等于 l 方，所以呢，这个公式就出来了，叫做 r 等于我们 l 方除以二 h， 对吧？这狗是这样来的，你看我还给你着重标起来了。所以呢，这道题我们首先来画一个 正四轮追，对吧？好，正四轮追，你已经知道了 r 等于 l 方除以 r h， 并且你会发现告诉你就是 l 的信息，对吧？外接球体积三十六派 来三十六派，我们来看一下，叫做他的体积就是三分之四派乘 r 的三次，对吧？那就是二 h， l 方括号的三次方等于三十六派，派和派约四和四 约九二十七，那就是八 h 三次方， l 六次方等于二十七，对吧？那你会发现呢， l 六次方等于三的三次方，乘二的三次方乘以 h 三次方，所以 l 平方 就等于六 h， 对吧？那我们来算一下他的体积，他的微等于多少呢？他的微等于三分之一乘以我们的 h， 再乘以它底下的这个面积，对吧？那底下的面积怎么表达？你看，关键步骤来了，我们来给大家讲一下啊，你看这个长呢是 l 对不对？这个呢是 h， 然后呢，这个边，这个边底下，你也注意叫做正四纹锥，底下是个正方形， 对吧？底下是个正方形，大家想你现在表示他的一个面积，对吧？你要表示他的面积，那这个长是不是应该是根号下 l 方减 h 的平， 那你看好了，你要知道他是九十度啊，那九十度那不就是根号下 l 方减 h 的平方，括号的平方就是边长乘边长， 他乘他再乘多少？再乘二分之一，就是啊，他的面积你还要再乘几啊？我还要再乘四，为什么？因为他有四块，对不对啊？三角形面积公式，二分之一比三十七嘛，再乘以四，所以呢，这时候大家看好了，这也就是说呢，他等于，呃，约掉三分之 二 h 乘以括号 l 的平方减去 h 的平方，这时候你要注意到了，叫做 l 方等于六 h， 你这时候是全化成 l 呢？还是全化成 h 呢？题目中告诉你的是 l 的范围，你把它换成 l， 对不对？所以呢， h 就等于六分之 l 平方，那所以呢，这个就是三分之二乘以六分之 l 方括号，对吧？那这个时候呢，那就是 l 的平方减去三十六 l 的四次网，这时候你看好了，那就是六分之。 说错了，他跟他约九分之一括号 l 的四次方，减去三十六分之 l 的六次方， 对吧？这道题算到这里你都想笑，你到这一步直接一步均值，不等于是让同学们把五分得了，开开心心不就完了吗？对吧？你非要搞一个四次跟六次放这里，四次跟六次怎么办呢？零 t 等于 l 的方，对吧？那这个数字就给他化解，叫做九分之一括号 t 方减三 十六 t 三次，好来对他求导，九分之一括号二 t 减去十二分之 t 方，然后九分之一括号二十四，对吧？那就是，呃呃，十二十二，那就是二十四 t 减 我们的气方，好，那，那也就是一个点是零，一个点是二十四，开口向下一个点是零，一个点是二十四。你要注意 l 的方式，三到三米高三，那 七的范围数应该是九到多少？二十七对不对？你会发现九到二十七，从九到我们的二十七，在这刚好他在这范围内从九到二十四单调递增， 然后先单调递增，后单调递减，所以他最大值应该是 l 等于二十四，对吧？ l 的，呃， l 平方等于二十四，那也就是 t 等于二十四的时候，那就带进去九分之一括号二十四的平方减三十六乘二十四的三次方，你看这个计算量对不对？二十四，他非要你在这算，对吧？好，最后算下来呢，叫做三分之六十四， 对吧？好，那这个题其实啊，你如果会这个公式好像也没有那么难，对吧？
6471中科院超神讲数学
12:23查看AI文稿AI文稿大家好，我是沈老师，今天来给大家讲解一下新高考一卷选择题第七题，这道题目我个人觉得也是这份试卷小题里面最难的一道题啊，大家考察期间方式，所以如果你在这个二级结论里不知道的情况下，这道题目在考场上很难受的出来。 当然也有同学说这道题目可以用高冷数学的开的展开是可以做的，当然是可以的，这道题目如果你会那么一丢丢，这个开的展开，这道题目可以秒杀。 当然我最后也会给大家讲解一下探头展开。好，我们首先来用高中的方法，就是用切线放松来把这道题目处理出来。呃，首先切线放松，我们在处理这道题目的时候，你首先在脑子里面又有切线放松的概念， 就是我们常见的指对的一些缺陷，你必须要知道啊，我这边给大家列举出来。呃，首先最常见的一个就是关于对数的，好吧，对数的我们有个切线方说是什么呀？ x 减一大于等于 nine x， 这个相信所有同学都应该要会吧，是不是？当然这个是对待器，一个变形，把这里面的 x 全部换成 x 加一，这个十字就变成了。什么呀？ x 大于等于 nine x 加一， 他也是成立的。当然在对数里面还有一些放缩，比如相当于 x， 嗯，大于等于一减去 x 分之一，他也是成立的。嗯，还有一个，嗯，像这个日分子 x 大于等于 nine x， 它也是可以的。日本字 x 大于等于 nine x， 在对数里面你基本上会这三个就够了。大概有的时候还有个飘带方式用的不多，你基本上这三个会了就够了。 当然如果在大题里面你用到气垫房的，记住了，一定要证明，一定要证明，不能直接用。小题里面你直接用就行了。大题里面你需要证明，怎么 证明呢？证明也是比较简单的，你只需要把右边的移到左边去构造一个目标函数。举个例子，第一个函数就变成了减去。诺言老师，你只要研究这个函数的单调性，研究这个函数的最小值大于零就行了，所以他的证明也是比较容易的对他进行求导。好在指数里面也有几个常见的这个千千万说这个例子，嗯，像这个日的 x 次方大于等于 x 加一， 比如像日的 x 次方大于等于日 x， 当然还有一个，比如像日的 x 次方分之一大于等于一减 x， 基本上会这么几个就够了。当然第三个也可以理解为把第一个这个 x 换成负 x， 他也是成立的，能理解吗？所以你知道这些切换说之后啊，这道题目的处理起来就比较容易了。我们首先来看 a 是一个东西， b 比较简单，就是九分之一， c 是负的 non 零点九，我们先来看看 c 吧， c 他说等于负的 non 零点九，变形一下，画脸一下， 把符号拿上去，就是九分之十，就是 non 九分的十，说白了就应该等于 no 一加九分之一，你不觉得他跟 b 长得有点像吗？ b 就是九分之一吗？对不对？ b 应该等于九分之一， 你不觉得这两个人长得很像吗？典型的他就是哪个？就是我说的这个，这个解放手，只不过把 x 取成，取成，取成这个九分之一嘛，对不对？ 取成九分之一吗？所以九分之一大于等于 no 九分之一加一，所以也就是我们的 b 大于等于 c， 那 b 能不能等于 c 呢？是不能的，什么情况？只要取 c 取这个等号，是这个 x 取零的时候， 能理解吗？ x 取零的时候，很明显，我这个 x 取的九分之一，他不是零，所以这个地方取不了的。好，所以我们得出 bc 比较大。好，这里看看 a 吧。 a， a 等于零点一的日的零点一四方 a 比较难一点，因为我们正常的对他进行倾向方说，你看日 多少次方，我们想到这两个对不对？这个我们试一试第一个，试一试第一个，那就他就应该是怎么了？大于等于零点一乘以日的零点一次方，说白了就是零点一加一，他就应该等于多少？应该等于零点幺幺， a 是比零点一一要大的，而 b 等于九分之一，九分之一你自己就算一下，他就应该等于零点幺幺幺幺幺幺幺。选还很明显， b 也是比他要大的，所以你根本看不出 a 和 b， 所以更大，两个人都比零点一一大，但是你能说的说的看得出 a 和 b 谁大吗？看不出来，所以我们这样切电话说是不行的， 该怎么办呢？我就想到了下面这个解决方式，这里面也有日 x 对不对？只不过你把它稍微变形一下呗，你把日 x 发到右边来，那不就变成了日的 x 方小于等于一减 x 分之一吗？能不能把一减 x 存过去呢？因为我 x 这里面是取零点一，当然是可以数过去的，所以我们就得到了。你看 a 等于零点一乘以 日的零点一次方，他就应该小于等于零点一乘以多少？乘以一减去零点一分之一，说白了就应该等于零点九，嗯，零点九，嗯，九分之十是吧？ 来个三，零点九，十分之九，九分之十，九分之十，也就是等于九分之一，是吧？我们会发现 a 比九分之一要小，当然能不能取的号肯定是取不到，什么时候取的号，哎，他是取零的时候取的号，所以他是取不到的号的，所以我们立即可以得出 a 小于一， 不是？所以 a a 比 b 小， a 比 b 小， c 也是比 b 小的，我们可以得出应该是 b 最大，但问题是 a 和 c 的大小我们也是要比较的，所以我们到目前为止可以排除 a 与 b 打。那 a 和 c 的大小管理我们怎么去处理呢？那这个我只能采用各招函数，怎么办呢？就是我 叫 a 和 c 随大随小，就差就是 a 减 c 等于什么呀？就应该等于零点一乘以日的零点一次方，那就应该是加上 nine 零点九，然后怎么办？把它的数字都写成同一个数，那就应该等于零点一日的零点一次方，然后加上 non 一减去零点一， 然后怎么怎么看？然后我们就构造出了一个新的函数， fx， 这个函数你看，我就把它构造为 x 乘以一点 x 加上 n 一减 x。 说白了我只需要研究一下 f 零点一到底是正的还是负的不就行了吗？ 我只要看 f 零点一的正，负心，能理解吗？那 f 的正负心怎么去研究呢？说白了我要研究这个函数单调性很明显，这个函数超越，而我们现在对应的这个函数零点，能不能看出来？能不能看出来这个函数零点？你把零带进去试一试。哎，零带进去正好是什么呀？我把零带进去，正好发现这个函数的 f 零正好等于零，说明什么意思？ 说明这个函数 f 零等于零。如果我知道这个函数，举个例子，他在零到一场单调 dc， 那我的 f 零点一一定是真的，明白没有？所以接下来我们需要研究 fx 单调性。那 fx 单调你怎么去研究？那必然就是求导了，我们来找一找， 一接到就应该等于 x 加一乘以日的 x 次方，嗯，然后是减去一减 x 分几。其实我们只需要研究零到一之间，为什么呢？因为我们 x 是取零点一的，所以我只需要研究零到一区间上的单调性就行了。好，我们来看看他的单调性是什么样子？零到一上，这个肯定是真的。那这个呢？ 这个含片也是真的，真的减，真的，嗯，判断不出来，判断出，判断不出胆子，行，怎么办？继续打吧，只要你判断不出来，继续打。二跌倒，那就变成了 x 加二乘以一的 x 次方，然后减去。嗯，一减去 x 夸的方阵计，那 他的代表性知道吗？这个肯定是真的，本来是真，他本来是真，然后倒过来是单调立减，那真减减，真减减，那必然。这个函数一定是单调立正，这个函数二阶倒，一定是单调立正。我们来看看二阶倒在零这块去多少？把零倒进去 就是二减一。二零什么意思？二届岛在零这一块，二阶岛的含出来大概是这个样子，就是在零这一块，他可能是正的，明白没有？而且他是一个单调递增，那就说明什么意思？说明二阶道一定是正数，一定是正数，那就说明一届岛一定是单调递增，在慢慢的往上退，一届岛一定是单调递增。 一届岛，既然他是一个单的地震，我再来看看一届岛在零这一块去多少？把零带进去，嗯，一减一，然后等于零。什么意思？一届岛的含出来就算了，在零这一块上去零，对不对？而且他是一个单的地震，说明什么意思？说明一届岛也是一个正数，一届岛是一个 正数，永远都是正数，那我们就可以得出 f 的原函数达到地震，原函数单调递增，说明什么意思？说明，而我知道在这个零这块，他是取零吗？对不对？所以原函数他是这个样子，所以我要求的 f 零点一， f 零点一肯定在这个地方，所以他一定是真的 f 零点一一定是大于零的，所以他一定是大于零的。 所以我们就得出了 a 一定是大于 c 的，而 b 是最大的，所以 b 大于大于 c， 所以这道题目我们就求出来了。这道题目还是比较难的，选择 c。 我们利用气象放缩，这道题目不仅利用到了气象放缩，还利用了各招函数研究，大家去研究这一则 好。当然这道题目有很多同学说，这道题目用高等数学的态度展开，能不能做是可以的，而且是直接秒杀掉。泰乐展开是个什么东西？我给大家简单说一下吧。好吧，泰乐展开，泰乐展开是这么说的，他说对于任何一个函数，我们都可以用 一个多项式函数对他进行逼近，什么意思呢？最常见的我们指数函数、对数函数，包括正前函数、余线函数，我们都可以把它化成一个多相式函数，用这个多相式函数来逼近他，怎么来逼近呢？就是 fs， 任何一个函数， 他应该等于在其中某一点的函数值加上这这一点的导数，一阶倒除以一的阶乘乘以 x 减去 x， 零， 加上在这个点的二阶岛除以二的阶层乘以 x 减去 x 零的平方，一直而无限的加下去，那你加吧， 这就是这个，这就是态度展开。你想一下， fx 就是一个数字，一接倒把一个是那个，他也是一个数字，他也是一个数字，这不就是关于 x 的一个多项式的函数吗？当然，当 x 零取零的时候，当 x 零取零时，他就变成了 f， fx 就应该等于 f 零加上 f 零除以一的阶层，就是 x 加上二的阶层， f 二接到零，然后是 x 的平方，等等等等等等无限加热，这就叫做麦克劳林展开，麦克劳林不是人的名字啊， 当然你不需要管这么多，为什么呢？因为高中也不可能考他，你只要会一点点就行了，你只要会用就行了。好，那这个地方我们就可以把我们高中常见的几个函数举个例子，像日本 x 四方这个函数，我们利用快乐展开，展开之后你就会发现，他应该等于一加上 x 加上二的阶层分子， x 的平方加上三的阶层分子 x。 三层后面都不需要了，后面都不需要了，因为我们高中只要研究前三个就够了，你只要会前三个就够了。后面你都不需要记了。后面还有很多无数个也不需要记了，你只要会前三个 就够了。好，同样的，我们常见的还有相当于 x 加一这个函数，就应该等于 x 减去二分之 x 方，然后加上三分之 x 的三次方，后面还有五十个，不要管他，你会前三个就 ok。 当然还有正弦，像上映， x 就应该等于什么呢？就应该等于 x 减去三个阶层 x 的三次方 加上五的阶层 x， 五次方，后面不要管了。同样的，我们还有余弦，余弦就应该等于科三， x 就应该等于一减去二的阶层 x 的平方加上四的阶层 x 的四次方，后面不要管了。所以你基本上会这几个展开式就 ok 了。什么意思呢？你只要会这几个东西，那这一道题目就简单了，你首先来看看。 呃，像这个 bb 选项 b， 说白了就应该等于九分之一，九分之一就是什么呀？你算一算呗，你不会算吗？小学的计算吗？一除以九吗？等于零点一一一一一，无限的玄幻下去。我们再来看 cc 就 等于什么呀？负的 nine 零点九他就应该等于什么呀？把符号拿上，取十分就九分之十，九分之十不就是 noying 一加九分之一吗？ 说白了他的展开不就有了吗？他的展开不就是他吗？然后把这个 x 全部换成九分之一不就行了吗？所以他就应该等于九分之一，减去二分之九分之一的平方，加上三分之九分之一的立方，所以你就可以把它算出来， 这不就是一个小学的运算吗？对不对？这个我就不算了，算出来大约应该是零点幺零六，你自己算一算，这就是小学运算了，对不对？好，再来看看。哎哎，最复杂的零点一，日的零点一四方吗？ 不就等于零点一乘以日的零点一次方吗？日的零点一次方，我们利用这个展开不就出来了吗？这个展开，嗯，就是令 x 等于零点一嘛，对不对？就是，嗯，等于多少？一加上零点 一，加上二分之零点一的平方，你自己去拆开来算一算，我就不算了，应该是零点幺幺零五。很明显， abc 三个数我们都用小数表示出来了，谁大谁小赢不了了。 b 大于 a 大于 c， 所以这道题目就秒杀大于了。所以胎的展开，我们在高中里面只要会这么一点点就够了。对于一些比较大小的题目啊，我们都是可以处理的。好，那，呃，一， 当然，如果考了大理，我这边再说一丢丢，如果考了大理，你用到这个东西，其实他是大于他的，明白没有？那如果你要用到他，你需要对他进行证明。怎么证明呢？其实很简单，就是把他移到左边就更早。函数研究这个问题跟期间方式的证明是一模一样，能理解吗？所以，呃，那这几个就给大家讲这么多啊，大家回去好好体会一下。
83泰州沈老师
08:57查看AI文稿AI文稿同学们大家好，我们今天呢，来分享二零二二年全国新高考一卷单项选择题，压轴题、例题解答问题。这道题呢，大家的反馈呢，都是比较难，那我们来分析一下这个题目，看看我们如何把这个题目进行拆解啊。 我们先看他说已知正四棱锥侧棱长为 l， 其各顶点都在同一个球面上，该球的体积是三十六派，其中的 l 是大于三，小于三倍镜号三，让我们判断正四棱锥体积的取值范围。 我们先画一下这个大致的一个图形啊，正四棱锥 p， a， b， c， d， 然后呢，底面中心，比如是 m， 正四轮追他， 底面就是个正方形了，那这样的 m 就是底面的中心。我们先拆解看第一个条件说，他说这个外接球的体积是三十六派，那是不是应该是三分之四派， r 的立方啊，等于三十六派， 那我们有 r 等于三，也就是外接球的半径来看第二个条件，第二个条件他只给出这个侧棱长的取值范围 没有了。下面呢，就让我们求这个正四轮的体积，那它 v 是不是应该等于三分之一的底面积乘以高啊？它的底面积呢，应该是三 分之一 a 方乘以 h， 这里面呢， a 是底面边长啊， a， b 等于 a， h 就是高 p， m 等于 h。 如果让我们求 v 的趋势范围，我们是不是很自然的想到，就是说，如果这个题里面，我们能够得到 a 方跟 l 的一个关系，还有 h 与 l 的关系，那这样呢，我们这个 v 啊，实际上它就应该等于一个 l 的一个函数， 而我们的 l 是有取值范围的，这样我们就可以得到 v 的取值范围，这是一个很正常的一个想法，那我们这道题的核心是不是应该转化为如何建立 a 方与 l 的关系，还有 h 与 l 的关系？那我们把这个红色的三角形啊， 我们把它画出来，它应该就是这个图形，那对应的点就是这个是 a， 这个是 c， 这个是 p， 这个是 m， 因为这个正正四棱锥啊，它是有一个外接球的，那个外接球的球形应该在哪里？它是不一定在 pm 这条直线上， 我们就假设这个外界球的球形在这个地方叫 o， 那在这个图里面，我们是不是就有 o， a 等于 o， p 等于三啊？ 我们先看这个三角形 p m， c。 由勾股定理，我们是不是有 l 的平方，应该等于 h 的平方加上二分之一 a 方。 我们再看三角形 o a m， 它是不是有 h 减三的平方，加上二分之 a 方，它应该等于三的平方。 我们化解一下，它也就是 h 的平方减去六， h 加二分之 a 方等于零， 这个是一式，这个是二式 u e 二，我们是不是可以得到 h 应该等于六分之 l 的平方，然后带回去，我们就有二分之 之一的 a 的平方等于 l 的平方减去 h 的平方。 所以我们是不是得到了 a 方跟 l 的关系啊？ a 方应该等于二， l 的平方减去十八分之 l 的四次方， 这时候我们是不就得到了 v 跟 l 的关系式啊？ v 应该等于三分之一的 二， l 的平方减去十八分之 l 的四次方，再乘以一个六分之 l 的平方， 其中呢， l 的平方是不是应该是属于九到二十七， 然后我们换圆啊，我们设 t 等于 l 的平方， 这时候 v 应该等于十八分之一二， t 的平方 减去十八分之 t 的立方， 这是关于 t 的三次函数啊，我们如果想求它的最值的话，我们是不是用导数来求？ v 一撇应该等于十八分之一乘以四， t 减去六分之 t 的平方， 然后我们另这个 v 一撇等于零， 这样呢，我们可以得到 t 一等于零， t 二等于二十四。 我们判断一下导数的符号零二十四，正负负先减后增再减，在二十四的时候取到最大值， 所以呢， v 的最大值应该等于在二十四的时候取到。我们把二十四单进来算一下， 他应该是十八分之一的二，乘以二十四的平方减去十八分之一二十四的立方，他应 应该是等于三分之六十四， 算到这呢，我们是不是选 c 就可以了，那 v 的最小值呢？ v 字小，这应该是在 t 方等于九的时候取答，它应该等于四分之二十七。 那这道题呢，我们就解完了，我们回顾一下这道题目，其实呢，这道题目我们用到的主要的思想就是画规， 相当于我们先把这个体积表示出来，表示出来之后呢，我们最后呢把它表示的变量跟我们题目已知的变量结合在一起，这个呢，我们用方程的方法把它结合在一起就可以了。这里面我们主要用到了勾股定理啊，两个 三角形的勾股定理，相当于说是把 a 方和 h 都用 l 表示出来，都用 l 表示出来。但是呢，我们最后呢得到的表达式呢？因为它是个三次表达式啊，这个三次表达式的最值呢，我们要通过导数来把它去计算出来。 为什么有些同学会的招挺难呢？是因为我们并没有在平时的学习中深入的分析数学里面的本质的思想，我们只是经常更多的时候去关注大招解题技巧这些东西， 然后我们就会想，这个外界球没有什么公式啊，实际上没有，我们外界球最根本的一点就是欧到各个顶点的距离相等， 在这里面我用到了 o a 等 u p 啊，过多的关注大招呢，会有时会导致我们 进行本末倒置，而我们忘了我们学习数学的根本是什么。这道题不论从计算还是从他的思想上都没有说难到一个什么程度， 我个人觉得这是出的非常好的一道题目，而且纵管整个新高考一卷，也没有那些秒杀大招能解决的问题，尤其是什么定理分旋这种问题。 希望大家以后在这个数学的学习中更关注我们的基础知识和一些基本的数学思想和解题技巧，这个才是以不变应万变的一个根本。
18:44查看AI文稿AI文稿大家好，今天我来讲一下二零二二年最难的高考数学试卷。新高考一卷的数学试卷，他不仅有难度，而且呢计算量还非常大。其实我本来想起的这个题目是两千年之后最难的高考数学试卷，但是有两千零三年的数学试卷摆在那，究竟哪一年最难？这个你们自己来看啊。 那好，现在咱就直接来看一下两千零二年新高考一卷数学他究竟长什么样子。试卷的话我给大家找到了，就是这样的，你看前头前三道题的话，还是中规中矩啊。往后来说的话，你看看一直到第六题都没有说特别特别难的题目， 然后到哪呢？第七题，第八题就很难了，而且他这个前八题是单选题啊，然后从第九题到十二题，这四道题呢，是多选题，多选题肯定比单选题要难一些，这套试卷的话提量很多，咱们找两道最有代表性的试题来讲 想一想啊，一道小题，一道大题，小题的话就是你看到的这个第七题啊，我们一会再往后看，这个第七题的话，经典的比较大小，看到了吧，这形象是不一样的。 a 的话，你可以认为是一个指数类型， 然后 c 的话是什么类型啊？是一个对数类型，然后 b 的话是一个分数。嗯，那既然如此的话，那究竟怎么来比呢？由去年应该是已卷吧，去年已卷应该有一道题也是类似的构造函数。那这个题我也构造函数 比较一下啊，如果运气好的话，咱们比较两次大小就行了啊，如果运气不好的话，那就得比较三次了啊。那好，先比什么呢？ 嗯，那第一步我们先比一下 a 和 b 吧。嗯，当你要比较这个 a 和 b 的大小的时候，咱们先观察一下。嗯，这两个数字啊，零点一，那不就是十分之一吗？十分之一的零点一次 方，然后呢， b 它是等于九分之一的，那你要想的是怎样能够让这个零点一和九分之一产生联系，那这样吧，左右两边我们分别成十，这个不同方向是不变的啊，那就变成了 e 的零点一次方， 然后右边的话就变成了九分之十，其实零点一的话就是十分之一，你只需要把这个十分之九倒过来，然后一再减去，那个十分之九不就是零点一吗？所以他们之间呢，有这样一个关系。 那继续啊，首先我们这样吧，取什么呢？左右两边取这个怎么回事吧？左右两边取对数，取对数的话，其实这个捞硬一的零点一次方，这个不就是零点一吗？对吧？他不能和方向不变就行了。 然后右边的话，实际上就是捞按多少，捞按九分之十，嗯，再继续看啊，九分之十，九分之十。哎，你说这个零点一零点一的， 我改一种写法，其实就是十分之一。哦，那我懂了，那一减去多少？一减去十分之九和捞按九分之十，你看一个十分之九，一个九分之十，他俩就是到处的关系。所以接下来勾到什么样的函数，你应该是有想法了吧？实际上的话你看，嗯，我们右边 就直接把它写成乱 x， 这个 x 的话，其实就是那个九分之十啊，他是大于一的，然后左边的话应该怎么办呢？你应该减的是一减去 x 分之一吧，他俩是倒数的关系，所以我们接下来构造怎样的函数呢？构造完函数之后呢，比较这个函数跟零的大小就行了。 构造一下啊，这个 fx 等于 lowrx， 减去谁啊？减去一减 x 分之一，其实就是 lowrx 加上 x 分之一，再减一就是他的，其实 这个 x 呢，就是多少？就是我画圈的这样一个九分之十，所以我们让 x 大于一就可以了。那继续来啊，接下来的部分呢，就是讨论这个 fx 他究竟是比零大还是比零小就行了。那求导呗。那我继续求导了啊， 这个非常简单啊，求老，以后的话稍一化点，就是这样一个结果，你要注意的话是 x 是怎么样的？ x 是大于一的，所以呢？ 好，大于零对吧？导航数大于零的话，就意味着元函数大量递增，而且你算一下这个 f 一特殊值吗？ f 一等于几？ 再入他等于多少啊？啊？老按一再加哦，他等于零啊，所以应该清楚了吧。所以说这个 f x 他是怎么样的？他在这样一个一到正无穷上是单调递增的。那既然单调递增的话就好说了，所以说 本身这个 f 九分之十肯定大于 f 一等于几啊，肯定是大于零的吧。那既然大于零的话很好讲，那实际上就是 lower 多少喽？按九分之十减去一，减去十分之九，他大于几啊？大于零吗？大于零的话不就相当于这个 b 减 a 大于零，所以说 b 大于 a， 你看构造函数还是很好用的吧。 所以现在我们第一步就求出来 b 大于 a 了。好比完 a 和 b 之后呢，首先我们再比一下这个 a 和 c， 那这些部分我就先擦掉了啊，看一下 a 和 c， 还是看他们俩长得什么样子，一个是零点一， e 的零点一。 呃，这个的话，我们可以构造一个 x e 的 x 次方，这个再说啊，我们还看一下 c 的形式， c 的话是负的，劳恩零点九，这个零点九和零点一 加起来不就是等于一吗？所以我们改造一个样子，它实际上就是一减去零点一。那好了，左边啊，这个 a 我们构造成什么样子呢？其实就只需要构造成 x 乘 e 的 x 次方，右边的话就是捞按一减 x 就行了， 是吧？嗯，那接下来的话只需要做一个叉，当然你需要注意的是啊，这个 x 肯定是零点一，他其实就是零到一之间的这样一个正数就行。 那构造另外一排数 gx， 它是等于 x 乘 e 的 x 方，减去这个捞一减 x 的二，当然前头有个负号， 那整理一下吧，整理之后的话就变成了 x， e 的 x 方加上劳恩一加 x 就行，当然要注意 x 的取出范围啊。那么继续来看，实际上 x 就是那个零点一，那有一个特殊值，这个 g 零和 g 一，一和零一般都是特殊值啊， 你把这零带入零，再加上捞按一，那不还是零加零，他最后等于零了，这还是挺有用的啊，那导航数肯定需要求一下，这个求导完了之后的话，长这个样子我就直接画了啊。嗯，可以确定的是， 他这个分母肯定是负点，因为 x 是零到一之间的一个数字，但是分子没办法，分子没办法的话，那分子我们只能构造另外一个函数了， x 方减一， e x 加一。我们现在就是想确定一下，当 x 在零到一之间的时候，这个 hx 究竟是正的呢，还是负的，对吧？这一点还是挺重要的。 嗯，怎么判断呢？来还是继续啊。首先有一个特殊值， h 零，咱们求一下，这个看求出来是多少啊？ h 零，那不就是负一乘一的零，次方乘一再加，哦，它是等于零的啊，这个 还是挺重要的。那现在我们可以求到了，求到完了之后，我直接整理成最终的结果啊， x 方加二， x 减一。大家要注意的是，这个一的 x 次方，他肯定是正的啊，这个不用多说什么。那右边这一部分的话，究竟是正还是负？这个你讨论一下 关于 x 的这样一个抛物线的形式就行了，这个很容易得出来啊。肯定啊，当什么当 x 在零到根号二减一之间的时候呢？他这个 x 方加上二 x 减一，这个整体 他是负数啊。那你想啊，这个零点一在不在这个零到根号二的简易里头？肯定是在的啊，因为根号二约等于一点四吗？他是零点四几几，对吧？所以说肯定为负的，为负的话，所以说这个 h 片本身就小于零了。 h 片小于零的话，所以 h x 在哪啊？在这个零到根号二减一之间是单调递减的，所以 hx 小于多少？小于 h 零小于零，小于零的话，小于零。也就是说这个分子是什么呀？ hx 实际上就是这一部分的分子，分子也是负的， 那反而就负负得正了。你看啊，他为什么？他，当然啦，是正数还是负数啊？这片当然就为正了，他在哪为正呢？在零到跟二减一之间为正的那 时间这片为证的话，所以现在应该清楚了吧，这零点一他是大于这零，他是大于零的，实际上你带入这个零点一，带入这个解析室里头的话，实际上也就是零点一，一的零点一四方大于这个副的，老按一减去零点一，那不就 就是 a 大于 c 的意思吗？第一问的话，我们是求出来谁啊？求出来 a 小于 b， 就第一种情况， a 小于 b， 所以最终综上所述一下，我们比掉了两个大小就可以了吧？ c 小于 a 小于 b， 是吧？所以这道题选 c 就行。这个呢，是选择题小题里头最有代表性的一道题目了。 第七题讲完了之后的话，后边这些题目大家浏览一下就行。很多题目还是需要花时间的，比如说第九题到十二题，他是多选题，每一个选项都得看过之后才能够确定，对吧？然后你往后看嘛， 现在我想讲的是大体里头最经典的一道，哪个题呢？二十一题，现在你看好了啊，这个二十一题。二十一题的话，先来看这个第一问吧，他说的是点 a 在这样的双据线上，那我们首先得把这个双据线，其实也就是把 a 方把 a 求出来，把这个参数怎么求这个参数？ 他题目的话说的是点 a 在这样的双据线上，然后直线 l 分别交 c 于 pq 两点，然后 ap 和 aq 的斜率之和为零，然后如何求这个 l 的斜率呢？ 这样来看，你有题的话，肯定知道 l 的斜率是存在的，他如果不存在垂直的话，那点 a 就应该是左右顶点的位置，点 a 不是左右顶点啊，所以说 l 的斜率肯定存在，只要你知道就行。那我们先求一下这个双面线长什么样子吧。这个好说啊，带入 点 a， 这个二十多号零，但是以后的话就变成了 a 方分之四减去 a 方减一分之一等于一，是吧？然后化减一下。嗯，化减一下啊，化减的话之后就很简单了，变成了 a 的四次方减去四， a 方加四等于零，然后呢，就算出来这个 a 方是等于几的， a 方是等于二。所以说这个双曲线的方程我就直接写了啊，你把 a 方等于二带入，那其实就是，嗯，二分之 x 方减去一分之外方等于一，这个是双曲线。 那么刚才咱也说过，这个 l 的斜率肯定是存在的，有理可治，它的斜率存在，所以我们在假设的时候啊，直接假设这个 l， 它的简易式是 y 等于 kx， 不要加 b 了啊，要不然跟这个双线有可能重合了，咱就加 m。 那现在双据线和这个直线的话，需要连理一下。 当然假设的过程中，咱肯定一开始也是要假设这个点 p 和点 q， 他是坐标的，分别是 x 一， y 一和这个 x 二 y 二，连理一下啊，连理完了，其实他需要计算量还是挺大，我就直接写最 最终的结果了，他是二 k 方减一 x 方再加上四 km， x 再加上二 m 方加二等于零，就是这样啊，然后你看 x 一加上 x 二，这是等于多少啊？等于负四 km 比上二 k 方减一，然后 x 一乘维拉定理吗？这个相信大家都会，这个是二 m 方加二，二 k 方减一就是他了。 那接下来还有哪个条件没用过呢？不就是 ap 和 aq 斜率之后为零吗？那就写上啊 ap 加上 aq 斜率，这个两点之间斜率攻守我就直接套了啊， x 一减二分之，然后外一减，然后也是啊， x 二减二分之外二减去一，然后 整理一下。当然了，你这个外要变成 x 的形式，我就再变一步吧，这个就变成了多少？变成了 kp 的 x 一加上 m 减一，然后后边也是这个是 x 二减二， 这是 k 倍的 x 二加 m 减一，那等于多少？等于零？等于零的话，还是需要化减的啊，化减之后这个式子也是挺复杂的，需要花很长的时间。那行了，咱们就接下来化减一下啊， 化解以后的话，这个狮子里头只含有 x 一加 x 二和 x 一乘 x， 看了这个 x 一加 x 二， 他乘的是二 k， 他这个系数，这个要注意。然后呢，这个 x 一加 x 二，整理之后是 m 一减去啊一，再减去二 k， 这个是 x 一加 x 二，放到一块后边啊，就是不含有 x， 那就是负四倍的 m 减一等于零，那接下来肯定是带有圈一啊，把这个 x 一加 x 二还有 x 一乘 x 二都换成 k 和 m 的这样一个表达式，那最终会化减成什么样子呢？经过很多很多的计算，最终会化减成 k 加一，然后 m 加上二， k 减一等于零的形式。 不过你需要注意的是，因为点 a 他不在哪，因为点 a 他是不在 l， 也就是不在外，等于 kx 加 m 上的 只有啊，只有点 a 二到一带入之后，他这个才能成立，才能等于零，所以他肯定不等于零啊，点 a 不在上边，所以只有可能是 k 加一等于零了。 k 加一等于零不就是 k 等于负一的意思啊。所以说第一问的话，咱们已经求出来了，这个直线 l 他的斜率就是等于负一的，这第一问也还好，但是计算量非常大。 我们现在继续来看这个第二问。第二问的话大概是需要画这样一个图，我先画一下吧，然后他们之间的这样一个倾斜角，一个是碑的，一个是 rf， 这个应该是没问题的。那我们看图的话肯定是可以看出来。首先这个第二题 rf 加上碑的， 他是等于派的，没问题吧？他是有什么推出来的呀？他其实就等价于这个 ap 斜率加上 aq 斜率等于零，就代表了他们的倾斜角质和是等于派的，这个是第一条，还是挺重要的， 那另外还有一条，还有哪一条呢？你要注意的是他给的条件是贪正的 paq。 那行，那我继续来写了啊，贪正的 paq， 其实贪正的 paq 的话，咱们先来研究一下这个角吧。首先根据外角关系，这个角 paq 再加上 f 肯定是等于 外角杯子的三角形外角关系，所以说这个角 paq 他是等于多少？等于杯他减去 f 的，所以说瘫着的角 paq， 他其实就相当于 贪真的脚多少啊，其实就是背的减去 r 分，现在你把圈一带入吗？带入以后的话，实际上就是多少，就是贪真的派减去 r 分，再减 r 分，那就是减去二倍的 r 分等于多少啊？等于 r 分。好，二， 那你要注意的是，你说摊着的 r 和摊着的派件 r 法，当两个脚互补的时候，你说他们之间的摊着的值也就是正确值，什么关系？ 是反过来是相反数的关系，对吧？那接下来就是什么公式了？就是二比较公式了吗？那再往后边写就行了啊。嗯，接下来我们就是想算出来这个摊子的 f 究竟 多少看了，根号二倍的瘫着呢， f 的平方减去瘫着呢， f 减去根号二。这个很简单，我们可以得出来。求助下，这个瘫着呢 f 等于多少啊？等于根号二啊。 既然贪着呢儿不等于更换二的话，那你想一想，贪着呢儿不等于更换二，那贪着呢背的不就是负的 根号二吗？所以 ap 和 aq 直线应该都有了吧。 ap 看一下啊，它等于多少？等于根号二倍的 x 减二加一。为什么减二加一？因为过 a 点啊。 a 点坐标不就是二等于一吗？这个还是很简单的啊，点些是， 那再继续了。呃，还有一个，这个 aqaq 的斜率实际上是等于负的根号二，那就是外等于负的根号二 x 减二，然后再加一，这个也是没有什么问题的。 那接下来需要跟谁连理啊？肯定是需要跟谁需要跟双曲线连理一下。那接下来看了啊。嗯，先让 ap 于二分之 x 方减去外方等于一连理一下啊。嗯，连理之后的话，会出现这样一个方程，把这个外削掉，变成了二分之三 x 方加上二倍的一减二倍根号二， x 再加上十减去。 嗯，这个四倍根号二等于零。那么因为根据伟大定理吗？ xb 加上 xa， 你 a 和 p 横坐标其实就是这样一个一元二次方程，它的两个结 等于多少呢？实际上就是 xp 加上二，他是等于，根据维达定理，实际上是等于二分之三分之 四倍，根号二再减二的，从而就求出来这个点屁的横坐标，那么点屁横坐标求出来了，那么点屁重坐标你带入 ap 这条直线进行式里头就出来了。所以点屁坐标我就直接写了啊，他的横坐标实际上就是 三分之十减去四倍根号二，那纵坐标的话是三分之四倍，根号二减去五，这就是点屁坐标。那么接下来还有谁啊？ 其实还有一个，同还有一个这个点 q 的坐标，点 q 的坐标的话是，你只需要连理一下这个双据线和 aq 这个解释就行了。 好，点 q 坐标我们也是可以求出来的啊。既然 pq 两个点都有了，所以 pq 这条直线是不是非常好求了啊？ pq 这条直线就是 x 加外减去三分之五等于零。你要注意这道题求的是什么？这道题实际上求的是 p paq 之间的面积啊。 paq， 你看 pk 我了吧，这个姐姐是。然后啊，我们再求一下这个距离就行了，用 pq 的长度，然后再乘点 a 到 pq 之间这样一个距离，再乘一个二分之一就行了。 应该是这个道理吧，那这个距离就其实就是点 a 到 pk 的距离，我就直接带了啊，把 a 点带入二加一，减去三分之五，然后再除根号二，那根据点到直线距离攻势的话，求出来是三分之二倍的， 等好二，就是这样一个道理。然后 pq 的话，你看是不是也有了 p 点？有了 q 点有了，那 pq 的距离肯定就有了。所以说三角形 pqa， 它的面积是等于二分之一 pq 程距里的，那么最终取出来应该是个九分之十六分的根号二。那这道题就解完了。其实我把中间很多 我化检的过程，计算的过程给省去掉了，如果真的要算这道题的话，大概需要十五分钟左右的时间。所以说这套试卷真的非常难，计算量很大。相反来说，最后一道题他反而不是特别难。之前我讲过啊，用 同购的技巧可以轻松的解决这个问题。那这节课我们就讲到这了啊，分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下期课再见。
6245会放羊的教书匠
01:10查看AI文稿AI文稿老师，您是教什么学课的呢？数学是毕业于哪所大学？什么专业的？是毕业于复旦大学数学系。还记得当年高考是多少分被录取的吗？我没有参加高考，我保送啊。 那是不是学数进的天赋都很高的？哦，我不这么认为，我也是学数进的。错，我从来不认为我是一个天赋比较高的。我拿过的最低分数是一百分的卷子，考了十七分。 现在任教多少年了？六七年吧。可以介绍一下你在数学竞赛上面取得的一些相关成绩。高二的时候拿过数学竞赛的一等奖，然后高三的时候进了数学的省队。 昨天下午的高考，数学结束了。您关注了网友的一些评论没有？我没有关注，但是也被关注了。数学特别难，感觉非常算不出来，真的没有料到会这么难，学，极难。很多人都在讨论这件事情，群里面也有老师在说，这个卷子非常难，这种难度一定要自己去认真去做一下，然后两个小时看看自己能做好。 这个老师给我出来的这个评价说是能够上一百三就算很厉害的选手了。听说这是最近十年来最难的高考，是不是真的啊？这个我不太清楚，我还没有看，要不要今天来挑战一下，用两个小时来完成这套试卷。好的好的， 在试卷已经打印完成了，我们继续开始， 未完待续。
8.6万Teach实验室
