高考数学切线方程
两秒求切线方程！大家好，我是凯哥，今天两秒求切线方程。留一代，一法去掉平方一乘 x， 三乘 y 等于十，结果 x 加三， y 减十等于零，结果必对。去掉平方一乘， 去掉外方三分之八，结果化减， x 加三， y 减九，等于零，结果必对。这边同样的，去掉平方，由一带一法乘以 x， 把 y 去掉，根号六， 化减，结果二 x 减根号六， y 减二等于零。像这种怎么办呢？一样的，留一带一法，把一带进去，留一个 x 减二，把一带进去一减二，加上 y 加一留一， 一个带一个，等于五化减，最后结果 x 减二万加一，结果必对。关注海哥，每日更新，带你少走弯路！
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23:11查看AI文稿AI文稿最近不少高二同学应该都学完了导函数的知识吧，那么在每年高考数学中，其实有一个考点一直会出现，就是切线和公切线的问题。那么我们先说一下什么是切线问题啊？最简单的情况就是已知 f x 这样一个解析式，那么图像的话大概就长这个样子， 然后呢，让你求他的某一个切线是什么？那么某一个切线的话，他有可能是告诉你切点的， 但也有可能不告诉你切点，告诉你过另外一个点，这个点有可能在这个解析师上，也有可能不在这个解析师不在这个图像上，能清楚我的意思吗？所以说第一个切线问题相对来说不是那么麻烦，一会我们主要研究的是通用的方法， 更难的情况是什么情况呢？是公切线的问题，就是已知 f x 和 j x 解析式不一样，那图像一般也不一样， 两个函数虽然图像不一样，但是他们两个呢？有可能出现一条公共的切线 l。 什么叫公共的切线？就是 l， 他既是 f x 的切线，也是 g x 的切线。那如何求这个公切线问题呢？肯定是后者更麻烦一些。我们这节课研究一下通法啊， 通法的话是什么方法？先不告诉你，你一会你自己就能总结出来了。看了二零二三年假卷，去年的吧。然后这个是最简单的情况， 因为 f x 这样一个函数解析式给你了，并且这个点是什么？很明显它就是切点，切点的话， 他肯定是在这个解析式上的吧，你不信你把 x 等于一带入一加一分之一的一次方，那不就是二分之一啊。所以首先缺点就告诉你了，那么缺点告诉你之后的话，那接下来我们就 就是求导吧，求导的过程非常简单，我就写成这个样子了，那你说缺点，有了缺点的话，切线肯定是过这个缺点的，那么另外有了点还得有斜率吧？斜率？怎么斜率？根据我们学过导函数的知识，实际上他就是等于你把 f 撇一，你把这个一 x 等于一带入这个导航数里头，对吧？那最终就求出来了吗？一加一分之，那不就是二的平方吗？然后二的平方分之多少呢？二的平方分之，这个是一乘一的意思哦，四分之一啊， 也就是说斜律我们知道了，然后呢，点也知道了，知道点，知道斜律，大家还记得这个东西吧，这不就是直线的点斜式方程吗？点斜式方程我们只需要知道两点，比如说斜律知道， 然后呢，过 x 零， y 零这样一个定点，那此时直线方程不就是 y 减 y 零，再乘斜略被的 x 减 x 零吗？所以接下来我们只需要套用点斜式方程，直线的点斜式方程就可以了，那么切线就出来了，因为切线 首先是过一逗号二分之一这个点的，其次呢，还知道斜率，我们把斜率求出来了，所以直接套点就是方程。 那么最终呢，稍微整理一下，整理一下不就变成了四分之一， x 加上四分之一吗？清楚了吧？所以这个题的话，显然就是选 c 呢。这个题非常简单，因为他已经给了缺点了，但是 万一给的你那个点，他不是缺点，你注意这道题仔细读了啊， y 等于 low， 这个题两个。首先就要需要注意的一个点呢，就 是这是 x 绝对值，他可不是 x 啊， x 绝对值。其次呢，是过圆点，人家说了圆点一定就是那条切线的切点嘛？ 不一定哈，所以这个圆点怎么办？再说了，这个 lon x， 其实 x 就不可能等于零，缺点不可能是圆点的，他只是说那两条切线过圆点而已。这个时候怎么办呢？很简单，我们只需要掌握一种方法，待定切点法。 待定切填法的话，因为这道题你要注意啊，我们现在考虑的是 x 大于零，一会还得考虑 x 小于零，你说为什么要考虑 x 大于零和 x 小于零这个情况？原因就在于这个解析室里头 有绝对值啊，清楚了吧，那有绝对值的话，肯定要分 x 大于零和 x 小于零两种情况了。有同学就要说了， 老师你光分大于零小于零，你怎么不写这个等于零的情况呢？因为 x 等于零的时候，老演零是没有意的，他定义于里头根本就没有零。所以我们不需要考虑 x 等于零的情况啊，我们先考虑当 x 大于零的时候， 假设切点，假设切点就是我们这节课要说的求切线方程的方法。什么方法？待定切点法？ 你看横坐标是含有 x 零的，纵坐标代入解析式里头也是啊，用 x 零表示出来的。那么接下来 求导吧。求导主要是为了确定那条切线的斜率是多少，对不对？那好，斜率知道了，点知道了，其实你这个点和斜率都是用 x 零来表示的，我们最终只需要把这个 x 零等于几求出来就一切都解决了，所 以这个方法叫待定切点法，清楚了吗？所有的都是用这个切点的横坐标表示出来，我们只需要求切点的横坐标 x 零等于多少就可以。那么接下来你看斜律有了，点有了，直接根据 点斜式方程吧。这个跟第一题就一样了，那么 y 减 y 零等于斜律位的 x 减 x 零， 那么他说了过什么？切线是必须过远点的，过远点的话，那接下来我画横线的这个方程，肯定是要把这个远点坐标零的话零带入的，这个非常简单，带入以后的话就变成了零，咱就不写了啊，负的 low x 零等于一， 不就是 low x 零等于一吗？哦，负号都消掉了，所以 x 零等于一啊，你 x 零都求出来了，你说切线 方程出来了吗？只需要把 x 等于 e 带入这个里头， y 减 e 等于一分之一，然后 x 减去 e， 你说是不是这个样子呀？当然最后呢，我们要一般情况下整理成这个一般式哈， 那么代入以后，一整理就变成了 x 减 e， y 这个 e 就是那个自然长数啊，等于零，清楚了吧。那么再接下来的话，你还需要求另外一种情况吗？不用去求了，我直接写都能写出来。 有朋友说，老师，你凭什么根据圈一就能写出圈二？另外一条这个切线的方程呢？很简单，原因在于什么呢？ 在于你这个 lon 绝对是 x 这个图像，它是关于谁啊？这个函数图像，显然它是关于外轴对称的，它是一个偶函数，因为有绝对号码。那既然是一个偶函数的话，你看你有 右侧的这样一条切线，我们刚刚求出来是 y 等于一分之一 x， 那左边这个切线不也是吗？它俩什么关系啊？ l 一和 l 二这两条切线 他俩都过远点，他俩的斜率正好是反过来的，那另外 l 二不就是负的一分之 e x 不就行了吗？两个斜率是互为相反数的，所以就直接写出来了。根据对称性小题，我们一写就写出来了， 所以两个横线上分别是 x 减意外等于零和 x 加意外等于零。清楚了啊，这是第二题，一定要记住待定切点法，这个就是通用的方法，能解决所有的切点问题。 那现在看了啊，是我的切线问题，第三题的话也是也是啊，二零二二年新高考一卷的，他说的是什么呢？说的是 若曲线怎么样？就是这样，一个曲线有两条过圆点的切线，注意是有两条。其次是过圆点的切线，他不是说圆点就是切点吧，清楚了吧，圆点不一定是切点啊。 所以这个时候怎么办呢？还是得用什么方法？得用带顶切点法。首先我们假设切点横坐标是 x 零，你切点肯定是在这个图像上，在这个解析式上的，我们把 x 零带入以后呢，就是 x 零加 a 再乘以的 x 零次方，这个就是切点坐标带顶切点法。 那么接下来的话，我们要求什么点加入出来了，那么接下来斜率还得加入出来吧。斜率好说呀，斜率你把 x 零带入这个导函数里头，就变成了一的 x 零次方加上 x 零加上 a 再乘以的 x 零，是吧？你看斜律有了点呢？也有了，都是用含有 x 零的式子表示出来的，那么接下来根据什么？根据直线的点斜式方程，那么切线 它的方程就出来了吧， y 减去 y 零等于斜律辈的 x 减 x 零就是它。 人家说了这个切线怎么样，这个切线还必须是过远点才行。那好说，我们接下来只需要带入就行吧。跟刚才那道题一样的，把这个零多少零远点带入这样一个解析师里头，只不过这解题是看起来稍微复杂一些而已。 把 y 等于零，还有 x 等于零带入，最后一整理就变成这个样子了。但是还得化减啊，要不然这个形式太复杂了。化减之后原来 就长这个样子呀。是关于 x 零的什么一元二次方程吧，你注意几个？有两条切线，那肯定就有两个不同的切点嘛。两个不同的切点，那其实意味着我们假设出来的切点有几个呀？有两个， 两个的话，不就代表切点的横坐标一定是两个吗？也就是说，关于 x 零的这个方程，一定是由两个不相等的实数根，或者说有两个解的，它等价于什么？ 一元二次方程，有两个解不就等加于判别是大于零吗？所以接下来你只需要研究判别是大于零就可以了。就这个方程， b 方减 c， c 这道题里头其实就是 a 方减去四倍的负 a 再乘一，那其实就是 a 方加四， a 大于零很好解。 大区两边吗？所以是负四的左边或者零的右边都可以，最终他的范围我们写成集合的形式，横线上直接写服务琼 到负四并上零到中穷都是开区减就行了，清楚了哈。哦，还是待定前减法，只不过最后结合了一下一元二次方程两个解判别是大于零的这样一个知识点，很简单。 那么第四题的话说，真的有一定难度，虽然表面上看起来他也是一个高考原题，看起来是 y 等于一的 x 方，他呢，图像确实啊，是挺好画的，但是哈， 大家看了，他说的是过 a 逗号 b 这个点的话，人家说是缺点吗？不一定是缺点，然后这个点的话，人家说过 a 逗号 b， a 逗号 b 这个点一定在这样一个函数图样上吧？也不一定。所以说 a 逗号 b 究竟是谁不知道。然后呢，跟 ab 有关的出现了四个不等式，让你选择哪个不等式是正确的？ 哎，你说哪个不等式是正确的？其实哈，你说高考时候做小题，尤其是这样的选择题，我们是不是只要怎么样，只要选对那个选项就行了？有些题目你画图就能够完全解决。你像这道题就是我只需要画一个图，你看，因为他这个函数 是向下图的这样一个函数。那既然是向下图的这样一个函数的话，哦，我知道了，所以切线这边有一个切线，哎，右边也有一个切线，那 a 号 b 大概就是这样的，所以 a 的号 b 一定在哪啊？ a 的号 b 这个点 肯定是在 x 轴和这个函数图像 f x 等于 e x 之间的，也就是说，我画出来这个图像之后，请你告诉我，这个点 a 怎么表示？横坐标都一样都是 a 呀，纵坐标就是一的 a， 什么 a？ 所以点 a 在点 b 的上方，点 b 就是 a 多号 b， 所以说中坐标 b 是小于一的 a 次方的满足要求的选项只有 c， 所以这个题就做完了，而且你就是正确选项清楚了。好吧， 这个题确实可以这样做，因为是小题。那如果作为大题，我们应该怎么写过程呢？其实还是带定切点法。一开始怎么办？ 我们假设啊，过那个切线啊，过点他的切线，然后应该说的是切线的切点啊，切点为 t 逗号 e 的题词方，这个是切点还是带定切点法吧。那么再接下来假设出切点来以后的话，那斜率是多少？斜率很简单啊，你求到以后也是 e 的题词方，是不是好斜率有了， 然后呢？点也有了你的题词方，然后呢，我们用点斜式方程就表示出来了， y 减去纵坐标，等于 k 倍的 x 减去横坐标，那么整理之后呢，其实就长这个样子了。这个方程我们就写出来了啊，还是带点切减法， 那么只不过这个 t 是切点的横坐标，那么你要注意的是人家怎么样？哎，人家是这样的呀，他这个切线是必须过 a 和 b 的，你刚才第二题和第三题带的是零逗号零是因为过远点，现在过 a 逗号 b， 那你就带入呗，把动作 不要换成 b， 把横组不要换成 a， 那不就变成这个样子了呀，我画横线的，也就是圈一这样一个方程的话，接下来其实就可以帮助你解完这个问题了，我们研究谁呢？你看右边 右边，我们是不是可以把这个 t 看成一个自变量，看成一个自变量，把 a 呢看成一个数字，这样来对待。 哦，也就是说等号右边啊，他是一个关于 t 的函数，那么接下来我们对这个函数进行求导，那求导之后我们想干嘛呢？求导之后很简单啊，你看这个导函数嘛， 这个 e 的 t 次方肯定是正的，不用去研究它，我们只用考虑谁，只用考虑 a 减 t 究竟是正的还是负的。显然 t 比 a 小的时候，导函数是正的，它就是个增函数，能清楚了吧？ 然后呢，当这个 t 怎么样的时候？比 a 大的时候，我这个函数是减函数，所以所有的 f t 都是怎么样的，这都不用我说了吧。所以接下来你应该清楚了，它就是小于 f， 谁所有的 ft 其实都是小于这样的函数，我写了哈，都是小于这个 fa 的。 a 是一个其他之点嘛？我把 fa 带入，那么就是其他之点所对应的众多标。你把 fa 算一下，带入这样一个解析式里头哈， 那就变成多少 e 的 a 次方，然后呢？ a 加一再减 a， 哎，那最后不就是 e 的 a 次方吗？ f t 是谁？ f t 就是 b 啊，同志。所以我们最后得出来 b 是小于 e 的 a 次方的， 满足要求的选项只有 c 选项，所以我最后还是能够得出来 c 是对的，现在清楚了吧。好，那么接下来就是什么问题了，最难的问题还是公切线问题， 因为他往往会给你两个函数，他的图像也不一样，但是人家却有公共的切弦，这个问题肯定更难一些。比如说我们看一下这个去年前年假卷的那样一个最后一道压轴答题啊，有两问。第一问的话 还是比较简单的，因为他是让这个切点，他已经告诉你 f x 长这个样子是完全确定的函数，然后这 x 呢，含有参数 a， 然后两个曲线看好了哦，曲线 y 等于 f x， 在这个点处，你 x 一等于负一呢？ f x 第一不就是 f 负一吗？那你最后可以代入啊，等于零，所以这个点其实就变成了什么，就变成了负一，逗号零，清楚了吧？那点知道了，那斜率不是也可以求出来吗？我们只需要对 f x 进行求导，三 x 方减一， 那斜率的话，其实就是 f 把这个导函数里头的自变量 x 变成负一，那斜率也有了，点有了，然后斜率呢，最后也能够求出来，应该是二 斜率等于二，点有了，所以那个切线方程是不是就完全确定了？剩下的就非常简单了啊，这是第一问，我们一会主要研究这个。第二问啊，好，写出来之后就这个样子吧，啊，这就是斜率。然后呢，这个就是点。写完之后的话，他又说这条切线是公 切线，它不仅是谁，它不仅是 f x 的切线，它还是 j x 的切线啊。所以接下来对这个 j x 也要用待定切点法来求这个切线方程了。我们假设这个切点呢，在 j x 上的切点是 x 二， j x 二，这是切点， 那么这个斜率的话也好说，我们对 j x 求导，把这个横坐标 x 二带入清楚了吧。那你说写到这之后的话，有同学就不明白了，老师，凭什么后边还等于二呢？原因就在于你这个公切线 是不是公切线，它既是 f x 切线，也是 g x 切线，所以这撇 x 最后求出来，它的斜率得一致，也等于二才行啊，那求出来这个 x 二也是等于一的，清楚了吧。那么既然 x 二等于一， 那 g x 二是不是也可以求出来啊？也可以求出来是等于四的，也就是移动号四，那后边呢？后边应该就好说了吧。这我写一下啊，也就是这个切线方程确定了之后呢， 这个切点是他，然后把这个切点带入这样一个切线方程上， y 等于二倍的一加一。 哦，那不就是等于四呀？那么 j x 的坐标 j 一所对应的那样一个纵坐标，也就是 e 加 a， 它也是等于四，所以 a 等于三就求出来了。这个是第一问， 我们重点研究的是第二问，第二问的话可不一样了，第一问和第二问没什么联系。第二问直接让你求 a 的范围的，也就是他俩有公切线的时候求 a 的范围，怎么求 a 的范围呢？这才是重要的 啊。第二问，那我们首先用待定切连法先表示出 f x 的切线来，这个是很容易求的吧，那你说这个三 x 方简易是怎么得出来？通过求导把 x c 带入得出来的，整理以后就得这个样子 清楚了哈，这个是斜截式，这就是 k， 这就是那个总结句嘛，那继续往后边斜。嗯，那对于 j x 这样一个函数，也是根据带点切点法，我们假设切点就是他，那么哦，在这个 x 二所对应的导航，这个值就是斜率，你看斜率有了， 点也有了，那么接下来根据直线的点斜式方程，我们很快就可以得出来 j x 的切线了。第一个切线呢，注意圈一是 f x 的切线，第二个切线呢？这个是 j x 的切线，因为是公 线线，所有我们要求什么？要求他俩的斜率得一致，并且要求他俩的结距也得一致，所以接下来就得要求什么？斜率等于斜率吧，然后圈一和圈二的这个纵截距等于纵截距吧，你得保证两个同事成立。 我们最终求的是 a 的范围啊，你先看第二个方程 a， 它是等于 x 二的平方减去二倍的 x 一的三次方的，是不是？那么再继续画 看好了，我们把 x 二消掉。怎么消掉？你把它这个 x 二带入第二个里头不就消掉了吗？最后呢，这个方程就变成了仅仅含有 x 一的方程，你要注意 x 一是什么？ x 一人家是在哪的呀？ x 一是在 f x 这样一个切点的横坐标。那好了， x e 的范围肯定是任意实数啊，因为 f x 它的定义域就是任意实数，所以 x e 的范围也是任意实数。那你要注意的问题是什么呢？你要注意的问题，你其实不就是求右边这样一个值域吗？如果我们把 x e 看成自变量的话，那右边实际上就是一个新的函数啊，我们把这个函数构造出来不就行了？ 你看是不是四分之九 x 四次方，二 x 三次方，这是一个四次函数，一元四次函数啊。 这个四字函数的话，接下来求导，因为我们现在就想得到 h x 的值欲，怎么求呢？求到以后呢？我们意识分解，你可以先把这个三 x 提出来，里头就变成了 x 方，减二 x x， 嗯，然后呢？再来一个负一，是这样吧？嗯啊，当然了，还有一个三 x 方啊。那么再音是分解三 x 乘 x 这乘法拆两边吧， 然后呢，负一加二，所以最后呢，因式分解之后很轻松，先提一个公因式，然后再用十字相乘法，就得出这个结果来了。我们要得的是导函数等于零的值，这得出来有三个 x 满足要求，其中一个是零， 另外一个呢，是负的三分之一，还有一个是一。那么接下来我们分析一下就行了啊，当 x 在负三分之一到零之间的时候，倒数是大于零的，当 x 大于一的时候，倒数也是大于零的。继续 当这个 x 小于三分之一，或者 x 在零到一之间时候，倒数是小于零的。那接下来我们换一个表格更清楚了，你看符 穷到三分之一之间是单调递减的哈，然后呢，到了这个负三分之一到零之间，又是单调递增，然后到这个零到一之间又是单调递减，然后继续往上写，就是这个样子吧。那么你看好了这个呢？ 他最低的点在哪啊？最小的值其实就是一逗号负一这个值，这个点是最低的啊，你看这几个值吗？最小的值当然是那个负一了，所以说他的值域是在什么范围内的？是在负一 到正无穷这样一个范围内。既然这个 h x 的值域是在负一到正无穷这个范围内，我们根据一开始构造的这样一个函数，那所以 a 的范围其实就是 h x 的值域负一到正无穷，清楚了吧？那么这节课大家学会了切相问题了吗？不管是切相问题 还是公切的问题，大家都要记住一个方法，非常通用的方法就是待定切点法，我们只需要把这个切点 x 零 f x 零表示出来， 你看然后呢？这个斜率就是 f 撇 x 零，不管是斜率还是这个点，点有了，斜率有了，都用含有 x 零的式子表示出来了。 那么接下来根据直线的点写方程，这个切线不也是用含有 x 零的式子表示出来的吗？最后我们把点带入 x 零，一旦算出来了，这个切线方程就算出来了。清楚了啊。分享课堂知识，感受数学之美。我是安分老师，下节课再见。
1292会放羊的教书匠![[高考数学]如何快速求圆的切线方程，90%的高考题都这样！ #高中数学 #高考数学 #圆的切线方程](https://p3-pc-sign.douyinpic.com/image-cut-tos-priv/e88eebe518bc12dc3282c84e9fb43b57~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2106453600&x-signature=cqgQV0NYA8shsM7D2ysYJoURmMQ%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=20261004140153BE6F255BFABD04A8C6D1)
13:06查看AI文稿AI文稿大家好，今天我来讲一下如何快速求圆的切减方程。最后我会讲几道高考原题的，主要是近两年的二零二一年，还有二零二零年的高考原题。然后咱们来看， 嗯，就是这样一个问题，已知点 p， 他这样一个坐标是知道的， x 的外形是已知的，然后他这个解题是呢， x 方加外方等于 r 方，这个 r 呢，也是已知的。 然后现在求的就是过点 p 的起点方程。首先排出一种情况，如果说这个点 p 他是在圆欧的内部，那过点 p 的直线不可能跟圆相切，所以只可能是这个点 p 在圆上，或者说翘在圆外，只有这两种情况。 那么这种情况的话，你看，如果点 p， 他就是在圆上的，那直接写 x 零乘 x， 然后加上 y， 零乘 y 等于 r 方就行了。我们随便举一个例子，比如说你如果是 x 方加 y 方等于一的平方，实际上也就 是这样一个单位的标准源。然后点屁的话，我随便写一个吧，比如说啊，他这个是二分之根号二，二分之根号二，显然你把点屁带入啊，二分之根号二，这点屁是在上边，那在上边的话，咱们直接求过点屁的前方程，注意啊，求的是过点屁的前方程。 那这个时候我们直接套公式，二分之根号二 x， 然后加上二分之根号二 y 等于一，然后把一移过来，这不就是这样一个标准方程了吗？这就是肯定是原的起点方程。不禁不信呢，你用距离法判断一下，他的距离就是圆心到这条直线的距离是否等于一，肯定是等于的，这个我就不多说了， 那么这个是怎么算出来呢？我先讲第一种方法，那这种方法的话，我主要是用的什么方法啊？我要用一下这样点斜式了，你先看一下这个图吗？图的话我给大家画一下吧。其实封面上那个图已经画的非常清楚了啊，因为此 是 op 的斜率，他怎么样，他肯定是等于外零比上 x 零，这个很好求，然后因为此时 op 呢，是垂直于这样的指甲熬的， 所以说你说 op 的斜率和这个 l 的斜率乘积等于几？等于负一啊，垂直斜率乘积就是负一的意思，所以斜率知道了，然后直线 l 的斜率知道了，而且点撇知道，点僻知道了，斜率知道了。所以说咱们直接写什么呀，写这样的点斜式方程就行了。我就直接写了啊， y 减去 y 零 等于负 y 零 x 零，这个就是 x 减 x 零了，那接下来怎么办呢？那接下来整理一下很简单的嘛， 接下来整理之后就变成了 x 零乘 x 加上 y 零乘 y 等号，右边就变成了 x 方加 y 方， x 方加 y 方加 y 零的平方不就是 l 方吗？所以你看这样的切 方程是不是直接就求出来了？当然有些说老师你不太严谨，确实不太严谨啊。第一种情况就是当这个 k 存在的时候，你这个是没问题的，也就是说无论是 op 还是这个 l， 他的协力都是存在的。第二种啊，当这个 op 或者说直线 l， 他这个斜率不存在的时候呢，你单独讨论讨论肯定也是成立的，这样的话就可以了，反正最后呢，都符合这样一个形式。这个呢，是用点斜式方程还有斜率之间的关系求出来的，那么来看啊，嗯，你现在好奇的可能是，如果点 p 他不在这样一个圆上的，那点 p 不在原上也好说， 点屁不在圆上，咱们就用具体法呗，注意点屁，如果是在圆外，在圆外的话，我们需要先分什么？先分斜律存在的情况，此时这条直线就长什么样子啊，就是 x 等于 x， 零是垂坠 x 轴的。如果斜律怎么样？这 写反了，同学们啊，上边应该是斜律不存在的时候，下边应该是斜律存在的时候啊，当这个斜律存在的时候，咱们就写成点斜式方程，然后再利用这样一个距离公式就行了。话不多说，来做两道题。第一道题的话，我们判断一下， 当你把这个点 p 带入的时候，一方加一方大于一，这个点 p 是在原外的，在原外的话就只能用距离法了吧。那距离法的话，我们先讨论这样的 k， 嗯，不存在的时候 对不对？当这个 k 不存在的情况下，此时 x 等于 x 等于一，他跟圆形的距离正好等于半径啊，所以说 x 等于一，这个方程是符合要求的。那看第二个，如果说斜律存在呢？斜律存在的话，此事就好说了。 如果说斜律存在的话，咱们应该怎么去假设呀？假设是 y 减一等于 k 倍的啊， x 减一吗？这就是过点 p 的这样一个点斜式方程，而且呢，我们需要把它整理，因为接下来你要用距离啊，所以要整理成这样的一般式的形式， kx 减外，然后等于一减去，再加上一减 k 等于零，这个是很好画的， 那么接下来用距离公式吧，你把哪个点呢？把圆心道这条直线的距离。圆心是零多少？零，那其实就是一减 k 的绝对号，根号下一加 k 方， 嗯，然后他等于多少呢？我算一下啊，他正好距离是等于半径，这个题的半径等于一等于一的话，我们很快就算出来这样的一减 k 的绝对号等于根号下 k 方加一了，左右两边平方，平方之后的话， 你想一下是多少啊？那就是 k 方减二， k 加一等于 k 方加一，我们算出来斜律等斜律等于几多少？ 那斜律正好等于零啊，二十 k 等于零嘛？斜律等于零的话，这个好说，斜律等于零，我们需要带到这样一个式子里头，对吧？斜律等于零，那最终算出来外等外等于确实跟他是相似的，这不就结束了吗？所以一定要分斜律存在和斜律不存在两种情况。 那那么来看这道题啊，就是说已知这个点批他怎么样呢？他是这样的，他是在原上的，此时你带一下二分之一的平方，加上负二分之根号三，他的平方怎么样？等于一吧。那此时他这个切线方程我们需要怎么求啊？这两年高考考的是小题吗？咱就直接写了啊，如果是大题，还是需要大概写一下过程的 二分之一减去二分之刚好三， y 等于一，我们把一移过来好了。标准方程就是这样的，一般方程求出来了，那不就完了吗？来看第二种情况，第二种情况其实也一样，刚才我们来求的话是怎么样？这个圆非常简单， 他的圆心是零的，号零是 x 方加外方等于二方。现在的话，他这个圆心就变成 a 的号 b 了啊，难度肯定是上升了一点， 但是我们发现这样的规律，这样的形式还是依然成立的。现在我们用什么方法来求呢？我们首先用这种方法来求，用销量的方法。大家看好了，我仍然记这个圆心是点欧，不过此时点欧坐标是 a 的号 b， 这个你要清楚了。然后切点的话还是点 p， 他的坐标是 x 零 y 零吗？ 嗯，然后现在怎么样呢？还是求这样的切线方式？切线的话肯定垂直。图中看好了，同学们，我们这样的 op 肯定是垂直于什么，因为你求的就是 m 点的方程。我假设这个 x y 在这个直线 l 上看图了，因为 op 垂直于 pm， 所以这个 op 相量，他和 pm 相量，他这个数量即是等于零的。换成 坐标啊，这个 op 的其实就是 x 零减 a， 逗号 y 零减 b， 那这个 pm 的话也是后减，前 x 减 x 零，逗号 y 减 y 零，他等于零啊，那就整理一下吧，就变成了 x 零减 a， 然后这个里头的话是 x 减 x 零，再加上 y 零减 b， 跟咱需要的形式已经非常接近了， y 减 y 零，但是差一个什么，人家右边是 r 方，你右边是零，肯定还不够吧。那接下来怎么去求？接下来你整理一下不就可以了吗？对吧？ x 零减 a 乘 x 减 a， 然后 y 零减 b， 再乘什么呢？再乘 y 减 b， 然后右边的话就会变成什么？就会变成 x 零减 a 的平方，加上 y 零减 b 的平方，那其实是一样的，他等于 r 方啊，他本来是什么？本来就是圆的，这个标准方程 乘法等于二方，那你看最后形式是不是凑上了？凑上了呀，所以就对了。你说是项链的方法好用呢？还是点鞋是好用？项链好用。为什么？首先他这个项链他就不用考虑什么了？他不用考虑垂直，就垂直的时候斜率不存在的情况直接来算就行，对吧？数量就等于零。 继续来看下一种情况，下一种情况其实也一样啊，一定要分类讨论，当斜律还是啊不存在的时候，我们是怎么样的？这条直线垂直 x 轴，当斜律存在的时候呢？用点斜式，最后呢，让这个距离就是圆心到直线，距离等于半径去求个方程就可以了。接下来我们做三道高考原题， 这个高考题的话是今年刚考完的啊，这个题的话我说一下，这个题是多选题，多选题的话他到底选什么呢？我说一下啊，首先我想说的是 a 肯定是对的，为什么？你看那 a 点，不就是 p 一点 x 零 y 零吗？对不对？因为点 a 在圆上，点 a 在圆上的话，他的切线方程我们就可以直接写啊，过点 a 的切线方程， a 乘 x 加 b 乘 y 等于 r 方，你说是不是这条直线跟这条直线一模一样，所以说 a 肯定是对的。 嗯，然后看一下，看一下这个 b 选项对不对呢？ b 选项我想说的也是对的，因为 b 选项点 a 在圆内的话，这个实际上意味着 a 方加 b 方是小于二方的， 然后此时相离，相离的话，咱需要算的是圆心啊，谁呢？圆心是零的和零吧，圆心到谁的距离啊？看 b 选项了啊，圆心到这条直线的距离，我们算一下，他是等于根号下 a 方 加 b 方啊，然后这个里头零都好零代入啊，然后这个是 r 方，他呢？想，你想啊，他这个分母肯定是根号加 a 方， b 方肯定是小于儿子，所以说他是大于儿，也就是零的号零。圆心道直线的距离大于儿怎么样啊？他不就是跟圆相里吗？所以说 b 是对的，同理可得这个 d 也是对的， c 就不对了啊，这就不多说了， 咱们来看第二题。第二题你看了，现在你也发现了，其实在高考中考小题的时候，他经常把圆和这个直线放到一块考察，考察的是什么呀？考察的主要是相切的关系，相切是考察最多的，有的时候偶尔也会让球下嫌长啊。相交的情况 来看吧，如果斜立为根号三的直线于外轴交于点 a， 那我们呢，就不妨假设这个外等于根号三倍的 x 加这样的小 a 吧，其实点 a 坐标就可以写为零号 a。 然后呢，与这个圆啊相切于点臂，你相切的话，可以这么来处理啊。当然，我提供一种思路，相切于点臂 的话，那实际上我咱们一会还得求这个点币的什么点币的坐标吧，然后现在让你求的是这个 ab 哦，当我看到这的时候，我想起来了，这个根号三的斜率相当于什么？相当于这个摊阵的 c 的倾斜角是多少度啊？倾斜角也就是跟 x 正方形的夹角是六十度啊， 那既然是六十多的话，这个题我感觉用几合法就行，咱们就不用用几具体法了。也就是说，你看图，在图中他这个圆心是零的号一，那四点坐标零的号一啊，半径的话是是什么样的？半径也是一，所以说他跟这个 xl 正好相切。那这种情况下，咱们画一下这条直线， 画完这条直线以后，那太简单。 b 点是七点吧，半点是一吧，你这个角是六十度，上面这个角角一是多少角？一就是三十度，也就是说在直角三角形 cba 中相切，不就是说直角吗？在这样一个直角三角形中，那太简单了。所以 ab 等于多少啊？他当然等于根号三倍的比 c， 他实际就是等于根号三。这个题就算完了， 可能有些要说了，是他就一定说是左边相切，右边怎么相结一能，但是呢，图像是对称的，不信你自己画一下。就是说在 b 一这样一个位置，此时这个是 a 一，图像是完全对称的，我就不说了，所以说他这个长度仍然是根号三。这个题你写根号三就对了，咱们用几合法就行，不用去理发。 然后这个第三题的话，看起来就麻烦了，因为是一条直线和两个圆，那还是距离问题。同学们既然相亲了，我就先把这条直线写成这种距离法，就是一般式的形式，减 y 加 b 等于零。那首先来看了啊，第一的话代表什么呢？第一代表就是原 第一个圆心啊，零多少？零跟之前的距离，这个代入呢？零多少零代入以后很容易，根号下 k 方加一绝对是 b， 然后他是等于半径一的，其实两个圆的半径都等于一。我们看一下第二个， 这个代表圆心四的号零啊，第二个圆的圆心是四的号，零跟直线的距离，那就是四 k 加上 b 还是跟号下， 这样的啊，等于一，第一个式子和第二个式子，因为他都等于一嘛，所以我们马上就能看出来，这根号下 k 方加一绝对值 b， 他是等于根号下 k 方加一绝对值四。 k 加 b 的， 我们一定要清楚啊，绝对值相等，他是相当于什么？相当于平方相等的意思，这样的话我们一算就能算出来了，整理一下，最终结果会变成一个 k 倍的多少。二 k 加 b 的形式等于零。这道 题他一开始就告诉你， k 是大于零，是正数，那既然 k 是正数的话，那好说。所以此时这个二 k 加 b 等于零，我们还不如直接写成这样的， b 等于这个负二， k 的形式 带入哪呢？ b 等于负二，可以带入圈一，那你不就可以把 k 求出来吗？ k 的话最终算出来是正数啊，我们只取正数三分之刚好三， 所以说 b 的话就等于负二， k 等于三分之，负二倍的刚好三。所以两个横向的答案不就出来了吗？现在你会算这种相切的问题了吗？分享课堂知识，感受数学之美！我是杨帆老师，下节课再见！
1703会放羊的教书匠
