百校四
角平分线四个基本的考虑方向你都会吗？二零二六百校联考四 b 卷的十五题和二三题，我们一起来看一下 十五题。矩形 a、 b、 c、 d 中 ab 等于六， e 是 bc 的 终点， 做一个 e、 a、 d 的 角平分线，然后与 c、 d 交于点 f， 其中已知 a、 e 是 十，那六十矩形，所以 b、 e 就 应该等于八。 同时刚才说了 e 是 一个中点，所以 e、 c 也是八。然后求一下阴影部分的面积。 这个题其实很好分析，阴影部分它是一个不规则图形的面积，所以我们不能够直接去求，可以选择整体减空白。整体的话，矩形宽是六，长是十六，可以直接求 空白的话，左边这个空白六、八十可以求面积，所以核心点就变成了求右边这个空白三角形的面积，而右边这个三角形，它的 a、 d 是 十六。如果我能知道 d、 f 的 长，这个题就结束了。 所以最后的问题，表面看是求面积，实际上我们可以转化成求线段 d、 f 的 长，还是传统的线段计算。那接下来就看这个 d、 f 到底该如何去求。 这个题最大的特征就在于这里有一条角平分线，所以我们需要把角平分线的常见四种基本想法全部都给大家试一遍。 对到这里的法一、法二、法三、法四四个方法，第一个思路是角平分线加平行一定会出等腰。 由于本身题目是一个矩形，他一定有 a、 d 平行 bc， 所以 我们就可以借助这个平行线来把这个等腰向量给他找到这里由于线段长度不够，所以看不到，需要大家去延长， 把 a、 f 延长，然后与 b、 c 的 延长线相交，交点为 m 点，延长出去以后，这个阿尔法角通过内错角就可以跑到这个位置， m 处也是阿尔法。所以你会发现三角形 a e m 就是 一个等腰三角形， 那 a e 就 等于 em， 我 们知道 a e 是 十，所以 em 也是十， dc 是 八，所以 cm 就是 二。 然后继续这里延出去以后，同时还可以看到一个八字形相似，但相似比是十六比二，也就是八比一，因此 b f 比上 c f 也是八比一。 所以这样的话我们就可以求出来，那 d f 就 占整个 c d 长度的九分之八，也就是六乘上九分之八。最后答案是三分之十六，只要 d f 求出来，这个题就结束了。 那最后算面积，整体减空白六乘十六，整体是一个九十六，减去一个六乘八除以二 二十四，再减去一个三分之十六乘十六，除以二，是三分之一百二十八。最后答案就是三分之八十八。这就是第一个方法，角平分线加平行处的腰，难度不大。 第二个思考方向，我们可以利用角平分线的对称性，就看到角平分线我可以垂两边做对称形全等。 那由于 a f 这条角平分线，它已经向 d 点做了一条垂线了嘛，所以我向另一边也做一条垂线，也就是过 f 去做 a e 的 垂线与 a e 的 延长线相交。那我们假设一下这个焦点是 m， 这就完成了角平分线垂两边，然后我们再根据这幅图做一些非常的计算。这个题中我们可以看到六八十，它是一个三比四比五的三角形，而把这个角对拧过来以后，说明下面这个位置也是一个三四五的三角形， 再把这个角对顶过来以后，这个小不点他也是三四五三角形。所以我们只要利用三比四比五这个三边之比，就可以把 c、 f 求出来，也就可以把 d、 f 求出来了。 好，开始算 a， d 是 十六，那所以 a m 也是十六角，平分线对称全等，而上半部分的 a、 e 是 十，那么 e、 m 就 等于六。 然后接下来利用三比四比五的比例，六对应的是那个四，所以六除以四乘三就是这一段，那也就是二分之九，然后六除以四乘五，就是这一段，也就是二分之十五。 ok， 那 总共 e、 c 长度是八，这里占了二分之十六，所以一减下来以后，这一小部分应该是二分之一， 然后在这个三角形中继续用三比四，并用，它对应的是那个三份，所以求 c、 f 的 话，就用二分之一除以三乘四就可以了。二分之一乘三分之四，这个结果就等于三分之二， 那求出来以后， df 就 可以求了， df 就 应该等于总共是六六，减去三分之二，也就是三分之十八。一旦 df 求出来，后面算法是一样的，用整体减空白就可以求出阴影部分的面积。 这就是第二个思路，利用对称思想来做第三个思路，角平分线出现以后，往往会有二倍角的存在，所以我们看看能不能利用二倍角模型来对这个题进行求解。 我们看到了这个位置是六八十，他是阿尔法，其实这个角就是阿尔法，所以阿尔法就是三四五的小锐角。那么根据二倍小模型的结论，那么阿尔法就应该是一比三比根号十的小锐角， 所以既然是一比三比根号十，所以这个是三，这个是一，那 d f 就 等于三分之十六。直接搞定， 抽出 df 来以后，这个题又可以做了，所以如果掌握二倍角模型的话，这个题看一眼，答案基本就出来了，这是最简单的一种方法。最后一个思路，法四， 我们还可以利用角平分线定理来解决。角平分线定理是在三角形中发生的，而很明显这里是没有合适的三角形的，所以我们可以自己来做一下。我索性就把这个矩形从一直给它切开 过一点，做 a d 的 垂线，垂足为 m。 切开以后，那这个十六就变成了两边都是 八。其实我们也可以发现，这个 m n， 它就是三角形 a f d 的 一条中位线，你目标是求 d f， 那 我只要能把 m n 求出来，乘二就是 d f 了， 所以是做了一个小小的转化。那 m n 怎么求呢？这个时候就可以在这个脏器中利用角平分线定力来解决了。角平分线定力告诉我们， a e 比上 a m 就 等于 e n 比上 n m， 然后你去算 a e 是 十， a m 是 八，十比八，也就是五比四，所以 n e 比 n， m 也是一个五比四 倍，就说明这个 m n 占整个的九分之四，所以这里就可以求 m n 了。 m n 就 等于六，乘上一个九分之四，答案应该是三分之八， 而这是中位线，那 d f 它的两倍 d f 就 等于三分之十六。 ok， 求出 d f 来以后，那就这个题结束了，整体减空白，最后答案还是三分之八十八。 所以这个题他把角平分线的几个思考维度展现的是淋漓尽致，大家一定要会用，一定要记住角平分线的四个思考方向，角平分线加平行出等腰角平分线的对称性， 还有二倍角模型以及角平分线定例。接下来看二三题，这是一个折叠问题。 在数学活动课上，同学们以直角三角形为背景开展折叠，已知在 r、 d 三角形 a、 b、 c 中， a、 c、 b 是 直角，然后将 a、 b、 c 按不同方式折叠，然后让你完成回答。第一问，它是将角 b 发生折叠，让 b 点落在 a、 c 上的 d 处。 好，接下来如果 b、 e 平行 ab， 那 么让你判断四边形 b、 f、 b 的 形状。这是一个经典的菱形判断问题。在我们的考试中，第一问中非常容易出现两组菱边相等，加上一组平行正菱形，它是一种固定的证明模式啊。 由于折叠 b、 e 等于 d， e， 由于折叠 b、 f 等于 d、 f， 两组邻边相等，然后外带一个平行，那阿尔法，阿尔法折前折后一样。平行的主要作用是在内侧角上面这个阿尔法，那内侧折下来下面这个阿尔法， 所以就会有等角对等边，得到了 b、 e 等于 b、 f， 进而可以证明四条边都相等， 这就是菱形固定的一个证明套路，大家可以积累一下，然后看第二问。第二问是换了个角折叠，把角 c 折到了 ab 上的 d 处，然后给了我们点数据，一个是 ac 等于六，一个是 bc 等于八。同时折叠的时候还要求 cf 这个角得等于角 b， 那 角 b 这个角的特征是六八十，也就是三四五的角，让我们求最后 ef 的 长， 这个题我们直接把 c、 d 连起来就可以了，连起来以后你就可以发现，对一点连线会被折痕，垂直平分，所以这个位置是垂直，那这个阿尔法他就可以进一步去倒角，在这个位置也是阿尔法。角含两个相等， 我们就可以发现这个三角形，它是一个等腰三角形。在直角三角形中沿直角点点，要想切出一个等腰来，说明这个地点一定是终点，另一半也一定是等腰，这个我们通过倒角就可以证明他是阿尔法，他是阿尔法，对吧？那阿尔法的余角是这个角， 阿尔法的与角是这个角，所以这两个角是相等的。因此 c、 d 是 等于 ad 的， 同时阿尔法等于阿尔法， c、 d 还等于 b、 d， 所以 ad 就 等于 b、 d 就是经典的斜边中线，它的一个逆用，所以 d 是 中点，这个 a、 d 和 b、 d 它就都是五，包括这个 c、 d 也是五了。那 ef 垂直平分， c、 d， 所以 上下各自是二分之五， 然后这个三角形它又是一个三四五三角形，所以你利用三比四、比五这个三边比例就可以求出 e、 f 的 长了。二分之五对应的是那个三，所以这一段就应该是四，也就是二分之五除以三乘上四，这个结果是三分之十。 然后另一边这个三角形也是三四五三角形，这个二分之五对应的是四啊，所以是二分之五除以四乘以三，这个结果就等于八分之十五，所以最后 e、 f 就 等于三分之十，加上八分之十五就可以了， 通分一下二十四，分之一百二十五， 这就是第二问，主要就是利用到三四五的比例，以及你要发现地点，他不是别的点，正好就是终点。第三问，折的角又发生了改变，这次折的是角 a， 那 其实图一和图二都不能用了，那我们最好是自己重新来画一幅图， 根据题意把这幅图先画出来，把角 a 折到 b、 c 上的 d 处，然后与 a、 c 交于点 e 与 ab 交于点 f。 这个图画出来以后，它的要求是 c、 d、 e 和 b、 d、 f 同时为等量。 平时我们做的题可能出现一个等腰，这里要出现两个等腰，感觉上好像非常的难。实际上你去观察 c、 d、 e 和 b、 d、 f， 你 就发现并不是我们想象中的那样。因为你去看 c、 d、 e， 它其实是一个直角方程， 如果它同时还是等腰的话，它只能是等腰，直角反而是变简单了，也就是告诉我们这两个角只能都是四十五度，没有别的选项，也就不涉及对它的分类讨论。那我们分类讨论主要是对 bdf 进行分类， 最后求的是 bc， 他 只已知了一个 a、 c 长度是二，那我们接下来分类分三种情况，第一种情况 b、 d 等于 b、 f。 第二种情况 db 等于 f、 d， 理论上应该是这三种。然后看这三种情况对应下又应该如何去处理 这个题，我们可以先做一些简单的标注，你看这里，由于折前折后角度相等，假设角 a 是 阿尔法的话，折过来这个角也是阿尔法，那角 b 就 应该是九十减阿尔法，所以其实角 b 我 们是可以表示出来的， 那同时这里固定为四十五度，用一百八减四十五减阿尔法，就是 d 处的这个角吗？所以它就等于一百三十五减阿尔法。 这个三角形已经两个角一致了，那利用内角和定力，一百八减去它，再减去它，所以 f 处的这个角它也是可以表示的，那么这个角应该等于二阿尔法减去一个四十五度。 ok， 那 既然这个三角形的三个角全部都一致了，那这三种情况直接利用等角去列等量关系就行了吗？ b、 d 等于 b、 f， 那 不就是这两个角相等吗？所以等式往出一列，一三五减 r 法就等于二， r 法减四十五度。这样就可以计算出来， r 法刚好等于 六十度，说明这个 a、 c、 b 是 一个三十、六十、九十三角形，那 a、 c 是 二， b、 c 不 就等于二倍更好三了？所以第一个答案 b、 c 等于二倍更好三。 第二种情况， db 等于 df， 说明这俩角相等。我们还是列出来九十减 r 法等于二， r 法减四十五度。这个一算的话， r 法正好等于四十五度， 那 r 法是四十五度，说明这个 a、 c、 b 是 一个等腰直角三角形，所以 bc 正好就等于二嘛，它和 a、 c 是 一样长的。 最后 f、 b 等于 f b， f、 b 等于 f b， 说明一百三十五减阿尔法，应该等于九十减阿尔法。然后你发现这两个阿尔法抵消了一三五等于九十，永远都不成立，那这种情况就是不存在的。 因此最后答案只有两个，一个是二倍根号三，一个是二。那我们今天讲解就到此结束。
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35江涛数学
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30江涛数学
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418睿妹妹
