高考单选数学
好，这个讲是二零二六年新高考一卷的第八题啊，我们看下这道题，它集合 u 呢，是空间中六十四个点构成的集合啊，点 p 呢？是一一一 即样本空间 omega 是 cap 啊，就是集合 p 啊，在 u 中的补集，从 omega 中随机取一个点啊，定义随机变量大 s 如下啊，对，这个样本空间中的每个点，令这个大 s a 啊，等于 s 一 加 s 二加 s 三啊，则这个大 s 的 数学期望啊是什么？ 首先我们要知道，这个集合 u 当中为什么有六十四个点啊？你看这里面这个 s i， 它是从这个负二、负一、一二这四个数里面选的，是吧？好，所以你看 s 一 有几种选法？ s 一 有四种选法， 那么这个 s 二也是从这四个数里面选的。 s 二也有四种选法，对吧？那么 s 三也有四种选法，所以总共是六十四个啊，总共有六十四个选法，所以总共是六十四个点，懂了吧？啊，所以它是总共有六十四个点， 那么你看这个样本空间啊，样本空间 omega， 它等于什么呢？它等于 c、 e、 u， 然后呢，这个 p， 它是什么意思呢？就是啊，这个屁点啊，这个屁点，这个集合在这个全集优中的补集啊，就是在这个全集优当中把这个屁点给去掉 啊，那全集优中本来是六十四个点，是吧？你把这个屁点去掉之后，还剩多少个点？是不？还剩六十三个点，对吧？啊，所以这个样本空间中啊，样本空间中有六十三个点， 没有问题吧？啊？样本空间中有六十三个点，他既然有六十三个点啊，他求的是什么啊？这六十三个点的这个啊，所有的坐标啊，加在一起啊，他的数学期望，是吧？来，我们就是画一画一，画一张表啊，把数学期望给算出来就可以了啊，比如说大 s， 大 s 这是概率 p， 大 s 呢，总共有六十三，六十三个点，是吧？然后和的话六十三个点，他这个所有的坐标和的话有六十三种可能啊，比如说他可能是 a 一， 也可能是 a 二，也可能是 a 三点点，一直到 a 六十三啊，总共有六十三种可能，是吧？ 然后每一种可能的话都是什么？他对应的概率是不是都是六十三分之一啊？是吧？总共是六十三个点啊，每个点取到的概率是不是都是六十三分之一？这没有问题吧？啊？比如说你看第一个点啊，第一个点取到的概率就是六十三分之一 啊，第二个点取到概率也是六十三分低，第三个点也是六十三分低啊，一直点点点啊，这个 a 六十三啊，就这个点对应的概率也是六十三分低，每个点被取到的概率都是六十三分低。那么求他的数学期望来，我们直接算一下他的数学期望啊， e 的 s 就 等于什么 a 乘以六十三分之一，加上 a 乘以六十三分之一，一直加到 a 六十三乘以六十三分低，对吧？啊？所以呢，其实就是什么六十三分之一 来乘以什么 a 一 加 a 二，一直加到什么 a 六十三就可以了，我只要求出什么呢？ a 一 加 a 二，一直加到 a 六十三就可以了。 那 a 一 加 a 二，一直加到 a 六十三，怎么去算呢啊？因为我们知道这个六十四个点啊，这六十四个点一定是关于啊零对称的啊，这六十四个点一定是关于 零对称，他为什么是关于零对称呢？因为你想这六十四个点都是从负二负一一二里面取的，你看负二负一一二是不是本身就是关于零对称的，对吧？所以这个六十四个点一定也是关于零对称。 那六十四个点关于零对称的话，那么六十四个点之合一定等于零，能理解了吧？啊，六十四个点啊，所有的坐标之合再加在一起一定等于零，能懂了吧？好，所以我就知道这里面 a 一 加 a 二，一直加到 a 六十三， 这是六十三个点，是吧？去掉点 p 之后的六十三个点，再加上点 p， 点 p 对 应的点，点 p 对 应的点是 之和是几啊？是三是吧？啊，再加上这个三一定等于零，这就是六十四个点，是吧？啊，六十四个点啊，他之和他一定等于零，因为六十四个点你加在一起之后啊，他一定是关于这个零对称的，所以加在一起一定等于零就可以了。那我就知道， a 一 加 a 二，一直加到 a 六十三就等于负三，那么它等于负三的话，最后结果呢？就是负三比上六十三就等于负的二十一分之一，对吧？那负的二十一分之一的话，所以这道题选择 a 选项 啊，这就是题吧。啊，其实很好理解啊，你就会分析就可以了，是不是啊？数学期望啊，你就发发现我要去算 a 一 加到 a 六十三， a 一 加到 a 六十三等于几呢？那 a 一 就是这六十四个点之合啊，是零是吧？那这个六十三个点之合就是负三啊？就是负三比乘六十三负的二十一分之一就可以了，应该没有问题吧？好，这呢就是一颗转钮向他帮助。好，谢谢大家。
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06:59查看AI文稿AI文稿好，这个讲的是二零二六年新高考一卷的第七题啊，我们看一下第七题，那么前面呢，我们就不读了啊，他说啊，这一组数列就相当于一组数列啊， a 一 等于一， a 二等于 a 三等于三 啊， a 四等于 a 五等于五， a 六 a 七一直到 a 十二是一个首项为奇，公差为二的等差数列。 a 一 到 a 十二分为六组啊，每组两个数，使得每组两个数之合可构成一个象数为六，公差为 d 的 等差处理啊，求 d 的 值等于几啊？ 那我把 a 一 到 a 十二所有的数全部写出来不就行了吗？你看 a 一， 它是等于，来我写一下啊， a 一 是以 a 二和 a 三的都是三啊，就是三三， a 四和 a 五都是五，是吧，就是五 五就可以了啊，从 a 六开始啊，他是首项为七，公差为二的等差数列。我们直接写啊，那 a 六的话就是七，那 a 七的话就是九，是吧，然后 a 八的话就是十一，那 a 九的话就是十三，那 a 十的话就是十五， a 十一的话就是十七啊， a 十二的话就是十九就可以了，是吧？啊，这呢就是十二个数啊，这十二数，我把这十二数要分成六组，你看啊，要将这十二个数分成六组。来，我们分一下啊，把这十二个数啊，分成几组呢？ 分组啊，分成六组，分成六组，然后每组两个数啊，使得每组两个数之合啊，可构成一个象数为六啊，公差为 d 的 等差数列啊。你比如说分成的第一组的两个数啊，加在一起是 b 一， 第二组两个数加在一起是 b 二，第四组是 b 四，第五组加在一起是 b 五， 第六组加在一起是 b 六，那我问大家，从 b 一 加到 b 六，他的一个数值是不是一个定值啊？你看，我们看一下这个 s 六啊， s 六就是 b 一， 加上 b 六就是 b 一 加 b 二，一直加上 b 六， 这个数怎么怎么计算？是不是把这所有的数加在一起来，我们把这所有的数加在一起啊？就是，你看啊，一加三，再加三，再加五，再加五，再加七，再加九，再加十，一加十三加十五加十七加十九，把这所有的数加在一起啊，加在一起之后就是一百零八， ok 啊，因为你想 b 一 就是这十二个数当中的两个数吗？是吧？ b 二就是剩也是两个数啊，这十二个数当中的两个数，是吧？啊，所以呢， b 一 加到 b 六，就相当于这十二个数加在一起，这应该没有问题，对吧？啊？这十二个数加在一起的话就是一百零八， 那又因为我们知道这个 b n 呢，它是一个等差数列，就是 b 一 到 b 六，它是一个等差数列，那等差数列的话，我我就直接带这个等差数列的求和公式不就可以了吗？它直接是六倍的 b 一， 对吧？六倍的 b 一 加上二分之六乘以六减一，就六乘以 d 等于多少？等于一百零八就可以了。那化简一下啊，来，化简一下就是六倍 b 一 加上十五倍的 d 等于一百零八啊，两边同时除以三啊，两边同时除以三的话，那左边呢？就直接是啊，二比一 再加上五 d 是 吧？二比一加上五 d， 这个没有问题吧？啊？等于三十六就可以了，二比一加上五 d 等于三十六，那么这里面 d 的 值啊， d 的 值只能是二四六八，对吧？啊，从这二四六八里面选，那我就直接一个一个往里面带不就行了吗？对不对？来，我们一个一个带进去。 第一种情况，当 d 等于二十，如果 d 等于二十，我直接带进去啊，是不是就能得到这个二倍的 b 加上十 等于三十六，所以 b 一 等于几啊？我们解一下 b 的 值等于几来算出来啊， b 的 值的话就是三十六减十啊，三十六减十的话就是十六啊，三十六减十是二十六，二十六再除以二是十三，是吧？ b 等于十三，那 b 等于十三的话， b 一 就是。你看这里面能不能找到两个数加在一起是十三，来，我们看一下， 一和十二加在一起是十三，没有十二，对不对？三和十加在一起是十三啊，也没有这个数，是吧？然后五和这个八加在一起是十三也没有，七和六加在一起是十三也没有啊，九和四加在一起是十三也没有，十一和二加在一起也没有二，对不对？ 十三和零加在一起是十三的啊，所以这种情况直接舍掉就可以了， 没有问题吧？ b 一 的意思就是什么啊？就是第一组嘛，就是，呃，其中的两个数加在一起是 b 一， 是不是啊？这个地方要知道啊，所以 b 等于十三，直接使掉来。第二种情况，当 d 等于四十， 如果 d 等于四的话，来，我直接往里面带啊，带到这里面它就直接是二倍的 b 一 加上四五，二十等于三十六，那 b 一 的值等于几呢？我们算一下 b 的 值啊， b 一 的值就等于三十六，减去二十是十六，十六除以二是八啊，有没有两个数加在一起是八的啊？当然有啊，你看五和三加加在一起，一和七加在一起都是八啊，我先放在这啊，来，我们再看第三种情况。第三种情况就是当 d 等于六十， 那如果 d 是 六的话，直接带进去啊，就是二倍， b 加上三十等于三十六， 那 b 一 等于几？ b 一 就等于三，那有没有两个数加在一起是三的，没有啊，对吧？啊，两个数加在一起没有是三的，对吧？啊，你比如说一和三最最小的两个数加在一起都是四了，都大于三了，是吧？啊，所以没有两个数加在一起是三啊，所以这种情况直接舍掉 就可以了，是吧？来第四种情况啊，第四种情况，当 d 等于八十， 那如果 d 等于八的时候啊，往这里面带二倍的 b 一 啊，加上五八四十，是吧？等于三十六，所以 b 一 呢，等于负值是吧？ b 一 等于什么？负二，那肯定更要舍掉了，对吧？这两个数任何的两个数加在一起都是正数啊，他不可能是负数， 能理解了吧。啊，所以啊，这个啊， d 等于啊，八啊，也舍掉啊，所以这里面 d 只能等于几啊， d 只能等于四啊，所以这里选 b 啊，就可以了。 你看这种类型题目其实很简单，对不对啊？其实就是把这东西分成六组，那分成六组之后，然后你要知道这个六组的这个数之合，他刚好就是这个上面的十二个数之合就是一百零八， 就相当于 b 一 加到 b 六等于一百零八，直接带等差数里的求和公式就可以了。你知道 b 一 和 d 的 关系，你把这里面 d 一个一个往里面带，把 b 一 一个一个算出来，看哪种情况满足 d 的 啊？所以这里面是选择 d 选项。好，这是题七，应该没问题吧。
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02:48查看AI文稿AI文稿好的，那么亲爱的同学，时间不回三天前二卷高考考场上，试卷发下来，一眼就看到了大家最拿手的三角函数题， 跟去年一样，依旧在压轴部分，废话不多说，等题提出来，看到二倍角，先将其打开，把括号去掉，同时画生硬，认真一计算余弦就得到。根据余弦算真弦，通过牵线定符号所得数值全代入，仔细算出答案来。这五分来的还是比较容易的，看来这一百分不稳了， 想回到第一题，一看是送分复式题，原式提出来，平方差打开 i 方式负一整理出答案，选 b 进入下一题，原来是人机向量题，一看和差提出来，两边同时给平方打开，得到一二式，再用一式减二式算出四倍向量极那么一倍，也知道这五分依旧轻轻松松 来到下一题。集合题虽迟，但到集合 a， 不 管，咱看集合 b 开根数不变，只有零或一，将只带回去得到 b 集合上 b 下视角只有零和一，又是毫不费力的拿下五分，前三道选择题白给了十五分，相信大家都能稳稳接住。我们来到第四题， 一看是我最擅长的双曲线，接过两点带回方程，连立方程解得 a， b 带入间接线方程，五分又轻松入站。大家灰头土脸的准备了这么久的解析几何，就考这么简单，属实有点难受了。 我们接着下一题，一看是立体几何题，题目读过去，轮胎画出来，数据标上去，再来看索求索求体积，摆出公式分析图像，再取面积带入正三角公式，求出上下底面积，再坚持往公式带，认真算出答案来。在这里遇到轮胎这位熟悉的陌生人， 估计有不少同学栽了跟头，毕竟轮胎体积公式过于小众，但是难度不大，我们看看下一题有没有上点强度。 许多同学的噩梦排列组合体时隔两年再次登场，但是不要慌，其实很简单，八人分两组，每组四个人，甲乙在一起，先将其捆绑，一定要分开，将其间隔开，排列清晰，分类讨论。甲乙如果在 a 组点定，自然二选一，剩余四人选一人分布，将其两相成 甲乙。如果在 b 组，丙丁依旧二选一，剩余四人选一人，根部仍然两相同。两种情况下叠加算术总方案出来，出现的排列组合题，如同打理凌乱的房间点，不断理还乱。我们进入下一题， 哎，已经解决掉了，那么恭喜大家前期的单选择题全部做对，一起来看看单选压轴是怎么个事？果然是前几题没有出现的函数内容。作为压轴题， 每式提出来一项，得一式调整自变量带入得二式连立一二式得出周期来通过偶函数，再得第三式，一三式连立得出对称轴，则在域内满足原式带入数值，求出 a i， 进一域内取一值 k， 居心至得 f 一， 将一带回原式去求得函数值为零，再将自变量带入，结合 a、 d 求出 b， 难度不大，但是较为复杂。在这里祝愿大家会做的同学没有失误，不会做的同学梦的都对。剩下的题目我们下期再见！
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07:21查看AI文稿AI文稿考场看到这个题的同学会心态是崩的啊，大部分都心态崩的，这多吓人，这有种新定义的感觉，定了这样一种集合啊，很扎心。这里面还有集合，就非常复杂了。 第八题呢，他说总共有四个数，任意的取三个，构成空间里面的一个点， 一共有六四个点，我专门验证一下，为什么六四个点，每个点是不是随便取一个，每个点都有四种机会啊？负二负一，一二有三次机会啊，他有四种可能性他有四种可能性，他有四种可能性。分布用乘法啊，确实是六十四，对吧？确实六十四。来， 然后你们看一下啊，把这个点扣掉了，直接把它去掉了， cap 是 不是就把它去掉了？去的补集，然后就剩下六十三个点的期望， 用剩下六十三个点的核的期望，这个对大家来说是不是有点难受？光平时说的期望，我们平时的期望多简单，对吧？可能的取值一二三四五，把它们概率算出来，一算，这就不好做了。 然后怎么做呢？同学们，我跟你们解释一下好不好，怎么做？你们猜一下，答案是正的还是负的？你们想一想 我，我教你个非常简单的方法，几秒钟能做出来。你们猜一下，答案是正的，负的。如果兄弟们，我这个兄弟姐妹们啊，上次有个学生给我提个意见，勇哥，我是女生，你每次叫兄弟们，我就很奇怪，能不能以后叫他兄弟姐妹们？可以，兄弟姐妹们，如果没有把这个点去掉， 那是不刚好都对称的。随机都负二负一，一二都对称的，如果没有把这个点去掉，那么期望就是零，因为都是对称的呀，但是刚好去掉了一个正的，所以答案一定在 a 跟 b 里面选，那么一定在 a 跟 b 里面选好。 所有同学，我问你们一个这样的问题啊，你比如说有五个数， 负二、负一、零一二，他的期望是几，他的期望是几？有五个数，负二负一、零一二，他的期望是几百分百是零，对吧？好，如果说 我把这个一给去掉了，我把一给去掉了，期望变成几了，你的这个跟这个的， 那我再给你举个例子啊，来，负二、负三、负二、负一、一二三，这六个数的期望一定是零，对吧？我现在去掉一个一，去掉一，期望变成几了。 期望是不是就是平均值的意思？平均值的意思，那是不是就他们总和再除以总的数字，对不对？总共有几个数？现在总共有五个数， 本来有一的时候他的和是零，现在没有一了，和就是负一，所以负一除以五。这样讲这个题你们能不能听懂？我去掉了一，期望就变成负五分之一，能不能懂？ 好，我把这个一给去掉了，那么剩下这五个数期望负五分之一，好说吧，是不是本来如果有一的话，它是和为零，这是因为没有一了，和就变成负一了？有五个数，负一乘以五，很好理解， 现在刚好都是对称的，你这边这三个点有负二、负二二、负二、负二、负二，我的这边就一定有跟你对称的二二二，你这边有负二 负一一，我这边就一定跟你有对称的二一负一两边都是对称的，所以他们的和六十四个的和刚好是零，六十四个数的和刚好是零，这个这句话没问题吧？然后去掉了这个， 去掉这个，那么它们的核就变成几了。同学们，那么剩下六十三个数，这个 x a 就 剩下六十三个数，它的核是几？ 刚好去掉个一一样，如果不去掉它，它的核是零一去掉它核就变成了 负三。所以根据我们这个感觉，看到没有六十三个数和是负三，请问这六十三个数的平均值是几？期望就是平均值啊，负三除以六三负到什么？ 简不简单？听懂没有？你看我用这个例子给你们举清楚啊。五个数和呢？是负一就除以五就行了。期望就是平均值，对吧？期望就是平均值， 这句话我就能理解了啊。你看六十三个数的和是负三，因为刚好扣掉了它，如果不扣掉它就是零，刚好扣掉它，所以和就负三了。六十三个数负三除以六三结束， 那么我们继续看多选题。好吧，基本多选题 到时候可以回放了。负三是咋来的？本来六十三个，本来应该六十四个数的和是零的，去掉一个三，他的和是三嘛？那不剩下的和不是负三了吗？好吧，来第九题，简单题 a 选项有没有问题？没问题啊，刚那些常规可以做吗？兄弟们？常规真做不了， 这个你长期做不了。你说我能不能把所有的可能局直算出来算他的期望？好家伙，负二负二，负二就有可能有负，六 有负，五有负，四有负，三有负，二有零有一有二等等一个把它所有的概率都去算一下，真的就就就就很复杂了。那都总共六十三个点，你要每一个都算概率有点复杂好吧，直播有回放吗？有回放的尽量听直播课啊。 等你算完天都黑了，我的考场我都觉得时间是不够的，你这样做后面就根本没时间了。 b 选项，他的模是根号下三的平方加上二的平方，根号下十三不是五 错。 c 选项 z 的 平方就等于三的平方就是九加上十二， a 加上二， a 的 平方，二 a 的 平方就是负四，所以呢，五加上十二 a 正确对吧？ d 选项啊，他除的，他除了就不算的算呢？ d 选项 z 加三就是六加二 a， 数学问题拿到手啊， z 减 a 就是 三减 三加二再减 a， 三加 a， 刚好一除等于二也正确。所以答案是什么呢？ a， c， d 有 没有问题？ 没毛病吧。好了，一千多个朋友，继续听啊。下一个题，这个题我觉得有很多同学又不一定好做啊，为什么呢？在考场这个题又开始有点有点抽象了，图也没给你，也不是。
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05:50查看AI文稿AI文稿针对高考不要再一味的片面的去创新，因为所有的创新事实上是什么？所有的创新实质上还是先有教材，再到推导， 你推导完了之后你去应用，如果这三个环节你都没有问题，你再去创新，所以我们不能一篇概全哈，不能因为十九题完了都需要创新。其实在高一高二里边所有的核心还是教材，教材一定是大家掌心的宝。 我们来看这个第六题啊，我们用斜修算算，我们再用教材的母本算算，我们来看这个题啊，已知函数最大值为一，他问你 h 多少，那么当然在这里边的话，我可以用什么？我可以用第一种方法，第一种方法的话，我用咱数学里边的模型啊，什么模型？ 我们说数里边的话有无理数，也有有理数，所以在这里边的话对比二分之一一二分之三二，所以在这里边 e 的 x 方它只能取谁？它只能取 e 的 零次方，而 e 的 零次方取的是一，相当于此刻 x 取零， 所以零加二除上一个一加 a， 那 么这个 a 只能取一。这第一种啊，作为选择题的非常适用，但是的话，大家要知道其实它的模本是什么？它的模本还是在初升高里边所学的指数函数的特点。 然后的话，接下来我们来看教材啊，我们用方法二，方法二来说相对来说比较保守，我跟大家说过，在高考卷里边怕的是什么？怕的是张老师，我想不到。 所以我们在高考卷大家要的是什么？一定是读你的实力，我们不能读运气，所以我们比较保守的方法是我们在高二所学的导数， 所以在这里边我要求的函数的最值，那我们说最值的话，在高二学，高一学我们都讲过，是不是啊？我要求最值，最值，在这里边我们怎么去转化所有的最值？导数是万能的，所以我可以求函数的 单调性，那么单调性出来之后的话，我们说最值的出处有两个位置，第一个位置的话叫什么？叫函数区间的端点值，第二个的话叫我们所说的 极值。如果是双开的区间取极值，如果是有 b 区间端点和极值作对比，那么来看这个题啊，所以在这里边我对这个函数进行求导，它是一个什么？它是一个 分式，分式求导的话，相当于分母去平方 e 的 x 方加 a 括号平方前导后不倒，后倒前不倒，所以前导是一前导 后不倒，减去一个前边不倒，乘上后边倒。所以我们说导函数最终的目的是什么？你要拿到它的编号零点，所以在这里边这个分母根本不起作用。导函数最主要看的是分子，它俩可以合并，是吧？提出来 e 的 x 四方相当于是负 x 减一 加上个 a， 那 我们说导函数等于零，求出来的变号零点是原函数的极值点，所以在这里边我令这个数字等于零，我可以得到谁？我令这里边的导函数等于零，相当于可以得到谁？ 它两相加等于零，一个项 a 等于 x 加一乘上 e 的 r 是 零次方， 那我们说这个式子一定存在吗？一定存在，为什么？因为这个 a 属于全体乘积 r， 所以 在这里边，当前仅当 x 取 x 零的时候，我们说它去相等，那么这个时候的话，我们用穿针引线存在一个 x 零负的说明，它是个下穿， 上正下负，所以原函数相当于是先增再减，先增再减，增上去那个位置是什么？就是最大值，所以在哪处取？在 x 零处取，所以我们说 f x 的 最大值相当于是 f x 零， f x 零带进去相当于谁啊？相当于，这里边对应的是 x 零加二，把这个 a 换成它，所以我们提出来一个 e 的 x 零相当于是 x 加二，它等于几？它等于一，它俩一约分是不是解出来 x 零去零，如果 x 零带的这个式子一一 a 是 不是一？所以同样我们算出来 a 是 一。好，除了这两种方法之外，我想跟大家讲下第三种方法 非常简单，百数有点长，各位啊，来往右边写。我们在这里边除了这两种方法之外，还有一个第三种方法，第三种方法比第一种方法还要再简单。 我们在高二里边我们学过一种方法，叫什么叫切线放松，曲线和直线最完美的状态就是相切。我给大家举个例子啊，我们在高架桥上，你遇到岔道，遇到 s 弯，你是不是要减速？你考驾照的时候，那个 s 弯是不是要减速？为什么？如果那个弯道你不减速 飞出去了，所以切线放松是一种非常完美的临界，那么在这里边放松，放，谁放？他放。 我们来看第三种方法多简单啊， e 的 x 方大于等于 x 加一，当 x 取零的时候，这个位置取等，那你把它放松一下，它相当于谁？小于等于 x 加二，除上一个 e 的 x 方放成 x 加一，那么在这里边它最大取一是不是相当于取等条件成立？什么时候成立 他俩相等才会取一，所以你这个一加 a 取的是二，你这个 a 只能取一，所以切线放缩比你这个鞋球还简单哈。这是一个小小的选选择题，然后在这个选择题里边，我给大家标识一下啊， 这一部分来源于教材这一部分来源于教材， 然后在第一种斜修的模型里边，来源的是初升高里边的什么指数函数依然来源于教材。所以谁说的教考分离，学考分离，你再怎么创新发现没有，他还是模本是最重要的。好，这题思路就讲到这里。
857张老师讲数学思维.
08:44查看AI文稿AI文稿回归基础系列给大家讲一个最后一卷第七分的一到五，单选的一到五。好，来看。 嗯，前面很简单，我直接展开算， z 乘以 i 加上一个二 i 等于一个 z， 先把它用乘法分距展开，然后再把含有 z 的 项合到一起。 那比如说二 i 等于 z 减去 z i， 它就等于 z 倍的一减 i， 那 就二 i 等于它。进而 z 就 等于二 i 比上一个一减 i， 然后把它分子、分母都乘以一个一加 i， 化简一下就可以了。我就不再化了好吗？不再化了，你自己给它算下去。第二题，这是一个一元二次不等式。一元二次不等式，我很明显能看到它的开口向上的，然后十字相乘一下 x x， 然后负三和一，它的根就是三和负一，一个是负一，一个是三。 要小于零，那就是 x 轴下方的部分。负一三，那就 x 大 于负一小于三，这奇克 a 就 算出来了。大于负一小于三，并上一个小于二，你可以画到数轴上， 负一到三小于二，它们并到一起就应该是小于三了。这就很明显，并就是所有元素合到一起。好，接下来，接下来是 我把它往上升。升啊，只要你能看全，来看第三题。 第三题说加一两个车间一月份到十一月份的统计，这是这个统计图，在这放着呢，咱看一下。 a 说以车间产量的中位数为六月份的产量中位数，一定是从小到大排。朋友们，那一月到十一月一共十一个数字，十一个数字，那最中间只有一个就是第六个数字，那我看从小到大排第六个数字是多少？ 很显然，它是最小的，一二三、四五、六，这是第六个数字，对应的是五月份，所以这应该是五月份的产量，不是六月份。所以 a 选项错误， b 选项甲的极差大于乙的极差，极差就是最大值。减去最小值来我看看甲的极差， 假的最大值在这，假的最小值在这，这和这，这是假的极差。那乙的极差，乙的最大值在这，最小值在这。很明显，同学们，很明显，乙的极差肯定是要更大的，乙的极差要更大，而不是假的极差更大。 c 选项甲的平均值小于乙的平均值，你看甲是在这些地方，乙是在这些地方，那甲这个数据整体上是在乙这个组数据的上方的，甲整体在乙的上方，所以甲的平均值比乙的平均值大。大。所以排除法我就知道，选 d， 你 不用一个一个算，你也算不了，你不知道每个数据分别是多少。好，接下来 d 选项为什么对，为什么对？我给他解释一下。 甲产量的第八十百分位数大于乙产量的第八十百分位数。首先一共十一个数字，十一乘以百分之八十等于八点八，八点八是一个小数呢，就直接要他的下一位就是第九位，那我就分别找到甲乙两个车间，他的第九位是多少就行了。第九位 我找了一下，我从小到大找了一下，应该甲对应的是这个数字，乙对应的是这个数字。我找了一下，啊，所以 假车间啊，假车间是他，以对以车间是他，所以假车间大于以车间是正确的。你可以按照这个从小到大顺序数一下，看第九个是不是他俩。好吧，好，第四题，第四题 说它的展开式中所有项的二项式起数。你记住，但凡满足 a 加 b 的 n 次方的形式，它的二项式起数永远都是二的。 n 次方跟里面的数字无关，只跟它的次数有关。所以二的 n 次方等于六十四，那 n 就 等于六。所以这个解析式我就知道，应该是它减它的六次方， 然后它要常数项，它要常数项，那我给它通项写出来通项， d， r 加一项等于 c n r 三 x 的 六减二次方和它的 r 次方。因为人家是 a 加 b 的 n 次方，叫二象式，所以你把这个符号你归成它，你把它变成三 x 加上负它。好吧， a 和 b 分 别，它是 a， 它是 b 才对。然后我给它化简一下，把系数拿到一起，三的六减 r 次方，负这个负二分之一， 负二分之一的 r 次方，这些都叫系数。然后把未知数合到一起， x 的 六减 r 次方，这是一个未知数， 然后根号 x 是 x 二分之一次方， x 二分之一， x 负二分之一次方，那就是负二分之一 r 次方。 那我只要让它等于零，要常数项吗？ x 次数需要等于零，那此时 r 等于几四吧？ r 等于四，六减四，再减去一个二就等于零，所以 r 等于四，那它的系数就应该是 c 六四三的六减四次方。负二分之一的四次方，你算它 等于多少就是多少了。好吧，这个 c 六四怎么算？ c 六四听清楚了，六倒着往后乘四位啊，它就等于 c 六二。你先记住这个吧， c 六四就等于 c 六二。 c n m 就 等于 c n n 减 m， 我 这没办法再给它长时间推公式啊，就是 c 六四等于 c 六二， c 七四等于 c 七三， 对吧？他俩相加等于七也是相等的啊。那 c 六二就是六道的往后乘两位，六乘五，比上二道的乘到一，放到分母上，所以这就是十五，他就是十五，其他你自己去算，好吗？ 好，接下来第五题。第五题是这种充分条件比较条件的题。我原本看到这道题之后，我就想， s n 是 一个关于 n 的 二次函数的形式， 我刚开始想，他肯定是一个等差数列，但是如果他加常数项，他就不是等差数列了，他如果不加这个一，他就是等差数列，所以他现在他不是一个等差数列，我只能常规的去算。你看，我让 n 等于一，令 n 等于一，算出来 a 一 s 一 就是 a 一 吗？是 a 加 b 加一，算出来是他。 那当 n 大 于等于二的时候，当 n 大 于等于二的时候，我再写一个十四， s n 减去 s， n 减一，这不就是 a n 吗？ 因为 s n 是 a 一 加到 a 二加 a 三，一直加到 a n， 然后 s n 减一，是 a 一 加 a 二，一直加到 a， n 减一，那它比它多了一项，就是这一项。 然后你就算嘛， a n 方加上一个 b， n 加一，减去一个 s， n 减一，把里面的 n 都换成 n 减一， a 乘以 n 减一的方加上一个 b 乘以 n 减一，加上一个一。好，你算这算的是多少呢？ 算出来应该是二倍的 a， n 减 a 加 b， 这个你自己算啊。这个 a n 是 a 乘以 n， a 是 一个数字， n 是 一个数字。哦，它这个东西可不是下标，可不是下标，你能算出来这个式子？你这可以暂停一下，自己展开算一下。 好，我算算 a， n 是 等于它了。二乘以 a 乘以 n， 这就相当于是 a， n 是 一个关于 n 的， n 是 一个未知数，关于 n 的 一个依次函数的形式形容 y 点 k， x 加 b， n 是 那个未知数，前面这个系数就是 k， 只要这个 k 大 于零，也就是 a 大 于零，他就是单调递增的。可我这算出来，他要想单调递增， a 必须要大于零。但是同学们，这前提是 n 大 于等于二呀，前提是 n 大 于等于二。为什么我要 n 大 于等于二？因为只有这样，我才能写 s， n 减一吗？ 你还得再确认一个东西，就是 a 二要大于 a 一， 因为我刚才是从第二项起，它是一个递增的。那第一项是否满足呢？我得试一下，你看这个 a 二 a 二算出来是多少？把 n 二带进去。四、 a 减 a 加 b， 这是 a 二要大于 a 一， a 一 是 a 加 b 加一三， a 二 a 二， a 大 于一， a 大 于一， a 大 于二分之一。 好，也就是说，刚才 n 大 于等于二的时候，他想递增，需要 a 大 于零。现在我带上 a 一 之后，整个函数要想递增， a 需要大于二分之一， 那我就知道 a， 如果他要想递增， a 就 大于二分之一，他大于二分之一，他就递增。所以是互为重要单元。选 c 这个地方，这道题朋友们已经不基础了。确实已经不基础了，你要反反复复的多想几遍好吗？好的，这题就讲完了，好好消化一下。
583张杰杰数学
04:52查看AI文稿AI文稿暑假学出身高，到底学到什么程度？其实我给大家讲个大白话，大白话就是高考考到哪，你学到哪，然后的话，如果讲的这个含蓄一点，就是教材的基础，中等八高有能力往上拖拖。我们来看这个高考题，二零二零年全国二卷单选的亚洲。这个题是什么阶段学的？是初升高学的，高一上去学的， 然后高三作为复习的。我们来看这题啊，以及 f s 是 定义在 r 上的偶函数， r 上的偶函数有什么特点？想一想啊。然后的话，这是第二个式子， 当 x 属于这个区间的时候，这是第三个条件，那么这个在教材里边哪有他在高一上学期函数板块函数的性质，教材的第三单元 也是初升高里边我们学很容易脱节的点啊。来我们来看这个题啊，我把这个题一点一点给大家猜一猜，这个 d 在 r 上的偶函数， r 上的偶函数有什么特点？也就是第一个条件的转化，相当于 f x 等于 f 负 x， 括号相加除以二，出的是对称轴。然后的话，题目里边又告诉你第二个条件， f x 加上一个 f x 减二，它等于零，那么这两个 x 出的是什么？同号，那它俩相等，我把它带入进去之后，这个时候我可以得到谁？ 我可以得到 f 负 x 加上一个 f x 减二，它等于几？等于零？我们说同号考周期， e 号考对称， 这两个括号里边的 x 是 不是 e 号关系？它是负的，所以 e 号考对称，括号相加除以二， 负二除以二，相当于是负一，尾巴除以二。零，这个叫什么？这个叫对称中心啊，这是教材第三单元的内容啊。对称中心，那我们说这里边的话，括号相加除以二，这什么轴？ y 轴对称 y 就是 s， 取零，这个叫什么？这个叫对称轴，那我们说对称中心，对称轴之间，它俩形成的是什么周期？那么这一部分周期要求大家会推到， 就是在高一学的时候啊，要求大家会推导。所以的话，在这里边轴是零，心是负一到零，它俩之间的四倍形成周期，所以周期为四，那周期为四的话，来我们接下来转化第三个条件，那第三个条件怎么去转化？它是 x， 属于这个区间的时候， 他大家认识吧？初中都认识，这叫什么？一元二次函数，开口向上，然后的话在中间加了一个对称轴，对称轴是几负的二， a 分 之 b， 对 称轴是 r， 等于负的二分之 a， 左边有一个值，对的谁？二分之三，那右边这个值大家能不能减？ 这个我们第一个条件第二天得出是不是周期，我们说加周期，减周期并不会改变它的函数值，为什么呀？因为在这里边周期指的是固定的间隔函数，图像完全重复，所以加周期，减周期，不会改变它的函数值。那你这个时候要想一想，这是加还是减？ 我们来看这个区间，这个区间是谁？二分之三到三，所以如果我一旦给他加一个四，他会越加越多，所以毫无疑问这里边是减周期。 二分之三，减去个四等于谁？二分之八，负的二分之五。那我们说它是一个什么函数？它是一个偶函数 x， 取正取负，并不会影响它的函数值，所以这个位置取谁？ f 二分之五，那换句话说这个位置是谁？ 这个位置是二分之五，二分之三，二分之五中间加了一根轴，所以这个轴是几？这个轴的话是不相当于它俩相加，除以二轴是二，那轴是二的话，相当于 h 的是负四。 h 负四的话，我们是不是还有这个尾巴？ 是不是啊？这个区间取的是谁？二分之三到三，所以三一定在上方，那这个位置是三的话，我们走走走走走，对过去对不对？应该减一。为什么呀？一加三除以二是对称轴，所以接下来相当于。我要知道 f 一 f 一 在哪里？ f 一 在哪里？我让 x 取一的时候，我可以得到谁？ f 一 加上一个 f 负一等于一个零，而 f 一 和 f 负一是什么关系？当 f 取一的时候， f 一 等于 f 负一，那换句话它就是个零，它要是个零的话，那是不是相当于我能够得到一减去一个四减周期相当于 f 负三是个零， 它是一个偶函数， f 负三相当于是 f 三， f 三取零，那我把 f 三带进去，相当于谁？ 三的平方九减去一个三，相当于三，乘上一个四，然后的话，再加上个 b， 它等于几？它等于零， 我是不是可以求出这个 b 的 数值？所以啊，你看整个这道题，他是出生高里边学的，在出生高的层次，他属于中等题，他连压轴都算不上，但是的话在高考卷考的是单纯的压轴第八题。所以各位教材不重要吗？高考任何时候考，他都没有脱离教材， 他一定是模板。所以你说出生高我们学到什么样的深度，把教材老老实实，你教材能掌握了百分之八十五，你的出生高相当棒。这个题我们就到此结束。
856张老师讲数学思维.
04:35查看AI文稿AI文稿我们来看一下今年新高考一卷的第八题，设集合， u 是 后面这一串东西，看集合怎么看？我们找到竖线，竖线前面他告诉你这一个集合是一个点集，竖线后面 他是解释这一个点集他是怎么构成的。 x i 是 属于负二一，负一二 i 等于二三，也就说明了这一个点集的每个坐标，它都是从这四个数里面去取的，为空间六十四个点构成的一个集合。这个六十四个点是怎么来的呢？我们来看一下，每个点是 x 一、 x 二、 x 三， 那么 x 一 有几种取法啊？是不是有四个数可取？所以说有四种， x 二也有四种取法， x 三也有四种取法，所以说一共有六十四种取法，也就对应于六十四个点。 好，我们继续往下看，点 p 一 一即样本空间 omega 是 p 对 于 u 的 一个补集，也就 omega 是 六十四个点，去掉 p 这个点，从 omega 中随机取一个点， 定义随机变量 x 如下， omega 中的每个点，这个随机变量是这三个坐标之和，则 x 的 数学期望是多少？我相信很多同学读到这里就蒙了，不知道怎么下手， 别慌，会哥教你怎么下手，怎么下手，题目问什么？我们就一般怎么下手，题目问的是期望，那我们就来看一下期望呗，期望他是怎么计算得到的呢？是不是随机变量 x 找到它能取哪些值，然后再取特定值下它的概率是多少？把上下乘起来，上下乘起来，上下乘起来，把这些乘积全部加起来，这就是我的数学期望。所以说怎么入手呢？第一步，找 x， 它能取什么值？我们来看下 x 是 三个坐标相加，这三个坐标又是每个坐标，又是从四个数里面取的，所以说取法有很多，那么我们避免遗漏，我们就从最小的开始，最小能取到多少？这三个数我都取负二呗， 那就是负六，那再小一点是不是就负五？我们来验证一下负五能不能取到？是可以的，负二负二，负一负四呢？ 能取到吗？可以负二负一，负一负三可以三个负一，负二也可以，负一也没问题，零也可以，一个负二，两个负一。接下来我们来看一下一呢， 在这里我们就学聪明一点了，我们来看一下这四个数，它是关于零对称的，所以说我们就直接写了， 但是我们这一个欧米伽，它是去掉了 p 一 一一，这个一一加起来是三，所以说我们就重点注意一下这一个三， 这个三，除了三个取一，还有别的取法能取到三吗？好像没有了，所以说这一个三， 我们这一个就取不到。好，那接下来怎么办？是不是就找概率了？取负六，它能取到负六的概率是多少？ 我一共有分母六十三个点，它有几种取法取到负六呢？就只有一种吧，负二，负二，负二就只有这一个点，所以说它对应的概率是六十三分之一，接下来算负五吗？ 不算，因为刚刚我们已经注意到了对称性，那我们就看一下六这里六，它的概率是不是理应也是六十三分之一，对吧？我们来看一下期望是不是相乘，相加， 把它相乘，那这两个相加是不刚好抵消掉了，就变成零没了？那按照这一个道理，是不是负五和五也没了，负四和四也没了？这里负三和三，因为三取不到，所以说负三暂时约不掉。负二和二没了，负一和一没了，那还剩下一个零怎么办？ 直接约掉。为什么？你看假设零的概率，我算出来了，那零乘以概率是不是还是零？所以说也约掉，所以说最终我们要求的东西就是只剩这一个了。 把负三他对应的概率是多少呢？分母是六十三，我们来看负三有几种取法渠道只有一种吧，也就负一、负一，负一。 那相乘起来是不是就是负二十一分之一选 a 走人八题也不过如此吗？数学跟着慧哥学，让你从无从下手到有迹可循。
126慧哥玩转数学
06:41查看AI文稿AI文稿单选押注题，你还在瞎蒙吗？主播整理了四十套试卷的第八题，看完后单选轻松满分！这个视频五分钟教会你只对同构押注题。已知函数 f x， 它是等于 a x 乘上 e 的 x 次方，加上绕 n x 分 之 a， 而 g x 呢，它是等于 x 的 平方减 x。 若存在一个时数 x 零使得 f x 零，它小于等于 g x 零，则时数 a 的 取值范围为多少？那在这我们需要注意的是， 这个函数 f x， 它的解析式是等于这个 ax 乘上 e 的 x 次方，加上这个绕 n x 分 之 a。 结合对数函数的性质，我们需要知道的是， x 分 之 a， 它是大于零的，也就是说 x 和 a 它应该是同号。所以再 去看它后面这个条件的时候，那对应的 x 呢？我们也知道它是小于零的， 当 a 它大于零的时候， x 它对应的也应该是大于零的。然后这是我们需要注意的第一个。第二个，它说是存在一个 x 零，使得对应的 f x 零呢，是小于等于 g x 零的，那我们起码是分这个 x 小 于零，还有 x 大 于零两种情况去和它探讨，那这里存在，而且 x 零它是同一个，也就是我只需要满足有一个就可以了。 所以在不同的这个定律上，那我只需要给他找到一个，是不是就可以对应的去求这个 a 它小于零， a 大 于零这两个大致的一个范围，然后再去给他求这个精确的范围。所以首先我们来看一下， 当 a 它小于零的时候，那对应的 x 它是小于零的。所以我们在这里呢，我只需要给你找到一个我对应的 f x 零小于等于 g x 零就可以，那我不妨就令这个 x 它等于 a， 所以 带进去 fa 呢？它就是等于 a 的 平方去乘上一个 e 的 a 字方， 然后它再加上这个绕 n a 分 之 a， 那 也就是绕 n 一， 它是等于零，那 a 的 平方却乘上这个 e 的 a 次方 a 我 们知道它小于零，而对呢，指数函数 它小于零的时候，你的 e 的 a 次方，它是不是应该小于一？小于一，也就是说它应该小于 a 的 平方，而 a 的 平方，我们又可以知道它是小于什么？它是小于 a 的 平方， 减去一个 a， 因为 a 它是负的，所以在这里 a 的 平方减去 a， 我 们又可以知道它是等于这个 这 a， 那 这样的话，是不是就可以知道对应的 a 小 于零，它是符合题义的？那实际上 a c 这两个选项是不是就可以排除？因为负无穷到零这个范围上，它是符合的？然后再看，对于当 a 它大于零的时候， x 它也应该是大于零的，那这个时候我们想要知道 f x 它小于等于 g x 的 时候， 那实际上对应的就相当是 a x 去乘上 e x 次方，加上这个绕 n x 分 之 a， 它是小于等于这个 x 的 平方，减去一个 x， 它是相当是有解的一个问题。 那这种呢，实际上我们是可以给他构造一个新的函数，构造新函数，利用求导去判断它的单调性，给他去求这个 a 的 范围就可以了。所以在这里这个式子呢，那我们可以给他转化一下，就是 我给他写成 a x 去乘上 e 的 x 次方，然后把右边的减 x 给他移到左边，就是加上 x， 然后再加上一个绕 x 分 之 a， 它小于等于这个 x 的 平方。 那接下来为了方便计算呢？我们这个不等式还可以给它转化，就是说给它转化成 a x 去乘上 e 的 x 次方，再加上这个 x， 然后加上一个绕 x 分 之 a， 然后给它加上一个绕 x 的 平方，然后小于等于 x 的 平方去加上这个绕 x 的 一个平方， 然后这里呢 ax 去乘上这个 e 的 x 次方呢？我们是可以给它写成就是 ax 给它写成 e 的 绕 n a x 次，然后乘上 e 的 x 次，它是不是就相当是再加上一个 x， 然后去给它加上这个 x？ 那 这里利用这个对数函数的公式，它是不是就可以写成绕 n x 分 之 a 乘上一个 x 的 平方，也就是给它加上一个绕 n a x， 然后它是要小于等于这个 x 的 平方去加上这个绕 x 的 平方，那这个时候我们就可以给它构造一个新的函数，就是构造这个 h x 呢，它是等于 x 去加上一个 绕 x， 因为在这里前提条件是 x 它是大于零的，绕 x 也是单调递增的，那整个 h x 它是不是在这个零到正无穷上就是单调递增的？然后因为 我们 h e 的 x 去加上这个绕 n a x， 可以 知道它相当于小于等于 h x 的 一个平方， 再根据它是单调递增的，所以实际上就是 e 的 x 去加上这个绕 n a x， 他应该是小于等于 x 的 平方，那也就是说 a x 乘上 e 的 x 值方，他是小于等于 x 的 平方。那这样的话是不是就可以推出来 a 他 应该是小于等于 e 的 x 分 之 x， 因为是存在，那也就是相当是我只需要知道右面这个式子它的这个最大值是不是就可以了？所以我们接下来给他构造一个新的函数， 不妨令这个 n x 它是等于 e 的 x， 次分之 x， 那 我们对它进行求导出 n 撇 x， 它就等于 e 的 x 分 之一减去一个 x， 那 当这个 x 它是大于零小于一的时候，对应的 n 撇 x， 我 们可以找它是大于零的，那对应的 n x 在 这个范围上就是单调低 增的。而当这个 x 它大于一的时候， n 撇 x 呢？可以知道它是小于零的，那对应的这个 n x 就 可以知道在这个范围上它是单调递减的，那先增后减，是不是就可以知道了我对应的这个 n x， 它就应该是小于等于这个 n 一， 而把这个 x 等于一给它带进去呢？它就是等于一分之一，所以就可以知道了，这种情况下， a 它应该是小于等于一分之一，但前提条件它是大于零的。那这样的话， 再结合我们前面分析的富无穷到零，它是符合的，是不就可以选出来应该是四零选项？
77沐沐数学课堂
03:13查看AI文稿AI文稿不会吧不会吧，求醉急，有人还想不到宿心结合吗？高考押注急，只需要简单结合图像即可迅解答案，让主播用三十秒带你掌握求醉急的真谛！来看这道二零二四年的新高考二卷，也是我在考场上考的那套卷子。 其实刚看到这道题的时候，这是我们的第八题，有单选最后一道题。我在想，哎呦，这个题好奇怪哦，平时没有见过， 但是当我看到 a 方加 b 方的时候，我突然就把心放在了肚子里，因为我想到一个什么事情呢？叫竖形结合， 它一定是根据一个点到一个曲线或直线求的最值。 于是我反过来看这个函数，当 f x 等于零啊，这个事我非常容易的可以得到。什么呢？ 我想让这个 f x 等于零，但如何等于零呢？我让 line x 加 b 等于零，哎，那我可以得到 x， 我 负一个值就是一减 b， 那 f 一 减 b 等于零，那很显然，零的导数是零，那它的导数也一定是零。 那我们先导一下， f x 等于 line， x 加 b 加 x 加 a， x 加 b 等于零，当 x 等于一减 b， 哎，这个时候可以非常快的得到，一减 b 加 a 等于零。 其实到这里这道题已经算结束了，但这个最值，我们应该如何快速的求呢？哎，通过 如果这个点在这条直线上，那么它的原点的距离就是点到直线的距离，那么根据公式， d 等于一分之一的平方，加上负一的平方等于二分之根号二， 那么 a 方加 b 方就得二分之根号二的平方得二分之一，这道题就直接拿下。 当我翻面的时候，我看到别人还在算的时候，我是非常激动而且非常自信的。其实在高考考场上，我们都是敬那些未被标准答案所驯服的灵魂，我们要多想大于多算。 说句题外话，很多人都会在想，如果我会穿越，你会回到哪一天？可能对我来说就是在考数学的那一天吧。我可能会在高考考场上多考那么十多分， 去弥补一下我没有考上理想大学的遗憾吧。但是你要记住， 现在的每一份努力，都是在以后注定遇见更好的人，爬上更高的位置，看到更美的风景。高三加油！
97圆梦数学 斐霖
07:42查看AI文稿AI文稿斜修做题就是快，只需七分钟，满分拿下。二四年高考。单选第一道比例题却是焦急，那我们可以先把这个三带进去，三的立方是 等于二十七的，二十七他显然不在 a 级和里，那就不在他们交集里，所以二 b 排除同理的负三带进去，等于负的二十七也不行，所以 c 排 c 排除，那对于这个多选项，这个二带进去二的三次方是八，对吧？八也不在 a 级和里，所以多也不行，那就只能选 a。 那对于这个，我们把一加 i 看成是一加 i 比一，那就等比定律，那就是这加一加 i 比上这减一，再加一，就是这本身等于一加 i， 左边又等于一加上这分子一加 i， 那 这个一和这个一交掉，那就是这等于 一加 i 比 i， 就 等于 i 减 i 减 i， 所以 选 c 选项， 那第三题，这个 b 的 那个项链是二逗 x， 这个是二逗 x 减去四，那它们相乘，再相加 四，加上 x 乘以 x 减四等于零。那么你代一下呗，把负二代进去，就是负二乘以负六，不行，显然不行，是正的负一也是正的不行。先代一下，一乘以负三，那加起来不是零，那只能选四。 d 选项， 那看第四题，我们可以把这个 alpha 看成是四分之派，这样子，我们的贪婪的贝塔就等于二，那就是萨因贝塔等于两倍 cosine 贝塔，那左边这个 alpha 看成四分之派，那展开就是 cosine 四分之派， cosine 贝塔呢？就是二分之根号二提出来， cosine beta 减去 cosine beta 等于 m， 那 因为我们的上引 beta 等于两倍的 cosine beta， 那 就是负的二分之根号二负的倍，它等于 m， 那 cosine beta 就 等于负。根号二 m， 那 我们要算的这个也同样的把 alpha 看成四分之 pi， 那 就是二分之。根号二 cosine beta 加上 cosine beta 就等于二分之。根号二乘以三倍的口，再被它就等于二分之。根号二乘以三，再乘以负的根号二 m， 那 根号二比二和根号二敲掉，那就是等于负三 m 喽，那就选 a 选项。 对于第五题，他们的圆锥和圆柱的圆，圆柱和圆锥的底面半径成龙呢，就设为小 r 侧面积，那圆柱的侧面积是什么呀？二派 r 乘以这个高高，他给的是刚好三的，他等于 这个圆锥的测面积是 pi， r 乘以 l， 这个 l 是 母线，那就是 pi r 母线是这个底面半径的平方加上高的平方，那就等于这个 pi r 消掉，那也就是 r 方加三等于十二， r 方等于九， 那圆圆锥的体积，圆锥的体积是三分之一 pi， r 方乘以这个高，根号三， r 方是九，那三分之一和九变成这个三，那就是三倍。根号三 pi， 所以 选二 b， 那 第六题他说一个分段函数在 r 上，它的递增，那他在他的左侧和右侧都要递增，并且要让他的右侧也要比左侧要高，这样子， 那让我们看一下把，对于 c 和 d 选项，它们都有一，先把一带进去看行不行？那如果把一带进去的话，就是那左边左边这段就是负 x 方减二， x 减一等于负的 s 加一的平方， 那他在对称轴是负一，开口向下，他有一段递减了，所以这个 g 是 不可以的，那就 c， 呃，是 d 选项都排除了，那对于 ab 选项， a 选项有个负无穷，那我们可以让 a 比较小嘛？比如说是负一百，试一下 a 等于负一百，那左侧，那在这个 s 小 于零的时候，如果我们让这个 s 去零的左边，就是很靠近很靠近零，那他的 f x 就 约等于什么呀？ 是不是也等于？因为 x 很 小很小，那负 s 方就可以忽略把它看成零嘛？那二 a 负二， s 也可以看成零，那减去 a 就 相当于是一百了，对吧？那那 s 等于零的时候呢？ f x 等于什么呀？ 是等于 e 的 零，次方加论一等于一，显然，那那也就是说在 s 很 靠近零的时候，它是很大的， 然后 s 等于零的时候呢？他又等于一了，那这一段他就呃，他就不递减了，他就是递减了，他就不递增了，所以他就不符合提议，所以 a 等于一百是不行的，也就是 a 选项是排除的，那只能选二。 b 选项， 那我们看第七题，那画这两个函数的图像，那对于这种伸缩变化，我们可以先呃，先伸缩再平移，那就可以把它拆成这样子， 提个三出来，变成 x 减去十八分之 pi， 这样子，就是先先伸缩再平移，那它的 t 就 等于二 pi 比上三，那就是三分之二 pi 喽。那我们先把 side 画出来， 对于 side x， 它在零到二 pi， 它是这样子的，那对于这个它如果先它伸缩，它先伸缩，就是三个周期，是二 pi 嘛？那就是这样子， 这样子三个角就是二派，这个点刚好到二派这里，那他再向左加右减，向右平移十八分之派个单位就平移一点点，平移一点点，一点点，一点点，非常非常小， 非常非常小。那平移这一点点，那就去数呗。一个焦点，两个焦点，三个焦点，四个焦点，五个焦点，六个焦点，所以选 c 选项， 所以我们的 c 选项，那看第八题。嗯， f x 大 于它们相，前两个相加小于三的时候， f x 等于这个，那我们就算一下， f 一 就等于一， f 二就等于二， f 三， f 三我们算不出来，但是它是大于前两个相加就是大于三喽。 f 四就大于前两个相加大于五， f 五就大于前两个相加大于八，那 f 六大于前两个相加大于十三，那我们的 f 七大于前两个相加就 大于二十一大于二十一，加十三大于四十大于三十四， 那 f 九就大于前两个相加大于五十五，那 f 十就大于前两个相加八十九。 那我 f 十是大于八十九，所以它不一定大于一百，所以它不一定对，它不是一定对的。那 f 十它只是比八十九要大就可以了，对吧？那它不一定小啊，我可以很大很大，加多几个零都可以， 所以 c 选项是不行的。那同理喽，这个四 d 选项也是不行的喽。我 f 十可以无穷大，那同样的，它是它每一个数都比前两个数加起来还要大，那 f 二十也可以很大很大很大，所以也不行，所以只能选二 b 选项。
4634小林高中数学
00:13查看AI文稿AI文稿还记得二二年这道单选择题吗？有多少学子忘记或不理解护智概念，从而透析这五分单选？
4086数理化加油站
01:57查看AI文稿AI文稿三分钟学道高考题，今天我们来看武汉五调单选的压轴题啊，这道题的考察角度非常新颖啊，符合高考的命题趋势，因为它重点考察了三角函数的内在参数之间的逻辑关系啊。废话不多说，我们直接看题啊。题目描述，函数 f x 满足一个横乘立的不等式要求，这个参数欧米的曲值范围。我们来观察这个不等式。右边这个三角函数， 它有两个特点，第一个，它是一个偶函数。第二个，它的零点是相对固定的，因为绝对值的这个零点，而且还是极大值最大值，那它这个零点是非常重要的。左边这个 f x， 它包含了 omega 和 five， 两个参数都未知，两个自由度都可以进行调整。我要想满足它的绝对值 小于等于这个的绝对值，在零点处一定能让左边的为零。那我可以利用第一条，利用特殊的零点，我可以确定出啊， five， five 是 等于二分之派的。 第二个，对于这个参数当中的偶迷格，我要想满足小于等于这个固定的图像，我举一个特殊的例子，哎，这种可以满足， 那也就说我把三 x 这里边的每一个周期内，我都可以把它分成整数个。但是呢，随着这个偶迷格，三角函数，这个偶迷格是比较特殊的啊，很多学生只注重了其中的一部分啊，随着偶迷格的变大，他的周期会变小，这是他的第一个特点。 第二个，它在 x 等于零处的切线斜率也会变大。我什么意思呢？也就说，当我这里边的偶米一个变得非常非常大的时候，把其中三 x 里边的周期会分割成无限小，但这里面也会面临着一个问题，它在 x 等于零处的切线斜率可能会远远大于三 x 的 斜率，所以呢，我们用一个极限 思想来逼近他，也就这个函数 f x 在 x 等于零出的导数，他应该是小于等于二三 x 在 x 等于零出的导数。因为这两个函数全都是偶函数，所以呢，我可以求解出偶米一个小于等于二偶米一个分别等于正负二，正负一零。经过验证，这五个都可以取得啊。 当然，除了这道方法呢，我们如果利用泰勒展开啊这道题也也是可以非常快速的获得啊，感兴趣的小伙伴可以自己自证一下。
128H高考数学郝老师
05:17查看AI文稿AI文稿二三题，这个题是个高考真题啊，你看，其实你看它，它其实没有考察咱们函数过多的知识点，就是考察你就分析这个函数的这个分分析问题的能力，它还是个单选压轴题，他说已知函数 f x 定义域是 r， f x 大 于它， 且当 x 小 于三的时候给你解释了，则下面结论正确的事，说白了就让你求一下，就是让你预估一下 f 十 f 二十的值是多少，那其实这题很好分析，因为你就这一个条件加这一个条件， 而且只有当小于三的时候，你是有解释的，那你说你这个 x 你 怎么办？你是不先往里带数啊，对不对？先让 x 三 x 三，你是不是发现 f 三应该大于谁？它是三，它是三，它是三，它是不是应该大于 f 二加上 f 一， 对吧？而 x 小 于三的时候，它是都得，它是有解释的，所以这是多少，它就是二，它就是一，所以通过这个式子得到 f 三，其实是大于三的， 对不对？那接下来就很明显了， f 四， f 四大于谁？ f 四大于 f 三加上 f， 而 f 二得二， f 三大于三，所以这个 f 四它现在大于五， 是不是？他大于三，他得二吗？然后呢？其实就没有别的方法，你就只能去这一个个算了。 f 五大于谁？ f 五大于 f 四加上 f 三， f 四大于五， f 三大于三，所以他俩 f 五应该大于八，对吧？ f 六， f 六大于 f 五加 f 四，所以你发现他大于谁？他大于八，他大于谁？他大于五，所以 f 六大于十三。其实你都不用再写了，你就应该找到规律了，你不可能一个个在写，你发现什么规律？ 你从从这开始，从这开始看，你发现 f 五大于 f 三， f 四加 f 四是多少？ f 四大于这个五， f 三呢，大于这个三，所以 f 五就大于它俩相加， f 六就大于它俩相加，这就是这个规律。其实没有什么用啊，就是让你自己算数算的快，你就不用再一个个写 f 七大于 f 六加 f 五，一个个写，你考试时候写到啥时候去，那不累死了吗？所以你自己就看出来啊。原来我要这么算， 所以你会发现这个时候你就不用再写了，你就直接能预测出来 f 七大于谁？ f 七应该大于 f 六加 f 五直接大于它俩相加，大于谁大于二十一。 f 八呢？ f 八直接大于它俩相加是不大于三十四？ f 九呢，是不大于它俩相加是不五十五？ f 十呢，是不大于它俩相加是不大于八十九？ 那我问你，你能推出 f 十大于那个大于一百吗？你不能。你能推出 f 大 于一百吗？你不能。然后接下来看， f 十一呢？ 你能推出它小一千吗？不能，你只知道它比八十九大，它不一定小于一千，对吧？那我上来 s， f 三就可以直接取一千， f 三可不可以得一？ f f 三可不可以得一千？当然可以了， f 三只要比它俩大就行， f 三都可以取一千，所以这个选项都不对，一看就不对，能理解吗？所以说 f 十一的谁？ f 十一应该是它俩相加大于谁？五十加八十一百三，一百三是不一百四十四， f 十二呢？ f 十二大于它俩，一加是二百三十四，二百三十三， f 十三呢？它俩相加多少？你你会发现它开始慢慢变大了，大概是三百七十七。 f 十四呢？大于谁？ f 十四大于它俩，相加三百七十七，它俩相加是五百，正好六百一， 是吧？是不六百一十， f 十五呢？二十。那现在是不九百八十七了， f 十六呢？ f 十六是不大于六百一十，加上九百八十七是不干出一千多了。 所以说这逼就对了。为啥呀？你 f 十六都大于一千多了， f 二十肯定比一千大，对不对？那你能求出 f 二十小于一万吗？当然不能了，还是那句话，我都可以让 f 三直接得一万， f 三直接得一万， f 二十就不可能比一万小，因为 f 三、 f 二十肯定都比 f 三大， f 三得一万可不可以？当然可以了，所以你看这就是没有任何技术含量的高考单选择题、压轴题，他要他考察什么？你看你学了那么多函数的知识点， 他其实考察你就是考察你这个学生到底能不能读明白题，到底能不能听明白话。你这整个学了这三年的是啥意思？很幼稚。 其实我跟孩子说实话，就这种题小学生都会做，只要他能读懂题，你看这个题，他就是小学生题。所以现在的高考他就是这样的啊，不再是那种套路， 没有必要给你来套路学生的薄弱点。你不要看这个题，你看起来，现在我给你讲的很简单，其实你们的，你们的能力就仅这种问题，能力其实很弱，但是一定要好好练。那我们看二十四题。
