2022高考数学试卷新课标
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18:44查看AI文稿AI文稿大家好，今天我来讲一下二零二二年最难的高考数学试卷。新高考一卷的数学试卷，他不仅有难度，而且呢计算量还非常大。其实我本来想起的这个题目是两千年之后最难的高考数学试卷，但是有两千零三年的数学试卷摆在那，究竟哪一年最难？这个你们自己来看啊。 那好，现在咱就直接来看一下两千零二年新高考一卷数学他究竟长什么样子。试卷的话我给大家找到了，就是这样的，你看前头前三道题的话，还是中规中矩啊。往后来说的话，你看看一直到第六题都没有说特别特别难的题目， 然后到哪呢？第七题，第八题就很难了，而且他这个前八题是单选题啊，然后从第九题到十二题，这四道题呢，是多选题，多选题肯定比单选题要难一些，这套试卷的话提量很多，咱们找两道最有代表性的试题来讲 想一想啊，一道小题，一道大题，小题的话就是你看到的这个第七题啊，我们一会再往后看，这个第七题的话，经典的比较大小，看到了吧，这形象是不一样的。 a 的话，你可以认为是一个指数类型， 然后 c 的话是什么类型啊？是一个对数类型，然后 b 的话是一个分数。嗯，那既然如此的话，那究竟怎么来比呢？由去年应该是已卷吧，去年已卷应该有一道题也是类似的构造函数。那这个题我也构造函数 比较一下啊，如果运气好的话，咱们比较两次大小就行了啊，如果运气不好的话，那就得比较三次了啊。那好，先比什么呢？ 嗯，那第一步我们先比一下 a 和 b 吧。嗯，当你要比较这个 a 和 b 的大小的时候，咱们先观察一下。嗯，这两个数字啊，零点一，那不就是十分之一吗？十分之一的零点一次 方，然后呢， b 它是等于九分之一的，那你要想的是怎样能够让这个零点一和九分之一产生联系，那这样吧，左右两边我们分别成十，这个不同方向是不变的啊，那就变成了 e 的零点一次方， 然后右边的话就变成了九分之十，其实零点一的话就是十分之一，你只需要把这个十分之九倒过来，然后一再减去，那个十分之九不就是零点一吗？所以他们之间呢，有这样一个关系。 那继续啊，首先我们这样吧，取什么呢？左右两边取这个怎么回事吧？左右两边取对数，取对数的话，其实这个捞硬一的零点一次方，这个不就是零点一吗？对吧？他不能和方向不变就行了。 然后右边的话，实际上就是捞按多少，捞按九分之十，嗯，再继续看啊，九分之十，九分之十。哎，你说这个零点一零点一的， 我改一种写法，其实就是十分之一。哦，那我懂了，那一减去多少？一减去十分之九和捞按九分之十，你看一个十分之九，一个九分之十，他俩就是到处的关系。所以接下来勾到什么样的函数，你应该是有想法了吧？实际上的话你看，嗯，我们右边 就直接把它写成乱 x， 这个 x 的话，其实就是那个九分之十啊，他是大于一的，然后左边的话应该怎么办呢？你应该减的是一减去 x 分之一吧，他俩是倒数的关系，所以我们接下来构造怎样的函数呢？构造完函数之后呢，比较这个函数跟零的大小就行了。 构造一下啊，这个 fx 等于 lowrx， 减去谁啊？减去一减 x 分之一，其实就是 lowrx 加上 x 分之一，再减一就是他的，其实 这个 x 呢，就是多少？就是我画圈的这样一个九分之十，所以我们让 x 大于一就可以了。那继续来啊，接下来的部分呢，就是讨论这个 fx 他究竟是比零大还是比零小就行了。那求导呗。那我继续求导了啊， 这个非常简单啊，求老，以后的话稍一化点，就是这样一个结果，你要注意的话是 x 是怎么样的？ x 是大于一的，所以呢？ 好，大于零对吧？导航数大于零的话，就意味着元函数大量递增，而且你算一下这个 f 一特殊值吗？ f 一等于几？ 再入他等于多少啊？啊？老按一再加哦，他等于零啊，所以应该清楚了吧。所以说这个 f x 他是怎么样的？他在这样一个一到正无穷上是单调递增的。那既然单调递增的话就好说了，所以说 本身这个 f 九分之十肯定大于 f 一等于几啊，肯定是大于零的吧。那既然大于零的话很好讲，那实际上就是 lower 多少喽？按九分之十减去一，减去十分之九，他大于几啊？大于零吗？大于零的话不就相当于这个 b 减 a 大于零，所以说 b 大于 a， 你看构造函数还是很好用的吧。 所以现在我们第一步就求出来 b 大于 a 了。好比完 a 和 b 之后呢，首先我们再比一下这个 a 和 c， 那这些部分我就先擦掉了啊，看一下 a 和 c， 还是看他们俩长得什么样子，一个是零点一， e 的零点一。 呃，这个的话，我们可以构造一个 x e 的 x 次方，这个再说啊，我们还看一下 c 的形式， c 的话是负的，劳恩零点九，这个零点九和零点一 加起来不就是等于一吗？所以我们改造一个样子，它实际上就是一减去零点一。那好了，左边啊，这个 a 我们构造成什么样子呢？其实就只需要构造成 x 乘 e 的 x 次方，右边的话就是捞按一减 x 就行了， 是吧？嗯，那接下来的话只需要做一个叉，当然你需要注意的是啊，这个 x 肯定是零点一，他其实就是零到一之间的这样一个正数就行。 那构造另外一排数 gx， 它是等于 x 乘 e 的 x 方，减去这个捞一减 x 的二，当然前头有个负号， 那整理一下吧，整理之后的话就变成了 x， e 的 x 方加上劳恩一加 x 就行，当然要注意 x 的取出范围啊。那么继续来看，实际上 x 就是那个零点一，那有一个特殊值，这个 g 零和 g 一，一和零一般都是特殊值啊， 你把这零带入零，再加上捞按一，那不还是零加零，他最后等于零了，这还是挺有用的啊，那导航数肯定需要求一下，这个求导完了之后的话，长这个样子我就直接画了啊。嗯，可以确定的是， 他这个分母肯定是负点，因为 x 是零到一之间的一个数字，但是分子没办法，分子没办法的话，那分子我们只能构造另外一个函数了， x 方减一， e x 加一。我们现在就是想确定一下，当 x 在零到一之间的时候，这个 hx 究竟是正的呢，还是负的，对吧？这一点还是挺重要的。 嗯，怎么判断呢？来还是继续啊。首先有一个特殊值， h 零，咱们求一下，这个看求出来是多少啊？ h 零，那不就是负一乘一的零，次方乘一再加，哦，它是等于零的啊，这个 还是挺重要的。那现在我们可以求到了，求到完了之后，我直接整理成最终的结果啊， x 方加二， x 减一。大家要注意的是，这个一的 x 次方，他肯定是正的啊，这个不用多说什么。那右边这一部分的话，究竟是正还是负？这个你讨论一下 关于 x 的这样一个抛物线的形式就行了，这个很容易得出来啊。肯定啊，当什么当 x 在零到根号二减一之间的时候呢？他这个 x 方加上二 x 减一，这个整体 他是负数啊。那你想啊，这个零点一在不在这个零到根号二的简易里头？肯定是在的啊，因为根号二约等于一点四吗？他是零点四几几，对吧？所以说肯定为负的，为负的话，所以说这个 h 片本身就小于零了。 h 片小于零的话，所以 h x 在哪啊？在这个零到根号二减一之间是单调递减的，所以 hx 小于多少？小于 h 零小于零，小于零的话，小于零。也就是说这个分子是什么呀？ hx 实际上就是这一部分的分子，分子也是负的， 那反而就负负得正了。你看啊，他为什么？他，当然啦，是正数还是负数啊？这片当然就为正了，他在哪为正呢？在零到跟二减一之间为正的那 时间这片为证的话，所以现在应该清楚了吧，这零点一他是大于这零，他是大于零的，实际上你带入这个零点一，带入这个解析室里头的话，实际上也就是零点一，一的零点一四方大于这个副的，老按一减去零点一，那不就 就是 a 大于 c 的意思吗？第一问的话，我们是求出来谁啊？求出来 a 小于 b， 就第一种情况， a 小于 b， 所以最终综上所述一下，我们比掉了两个大小就可以了吧？ c 小于 a 小于 b， 是吧？所以这道题选 c 就行。这个呢，是选择题小题里头最有代表性的一道题目了。 第七题讲完了之后的话，后边这些题目大家浏览一下就行。很多题目还是需要花时间的，比如说第九题到十二题，他是多选题，每一个选项都得看过之后才能够确定，对吧？然后你往后看嘛， 现在我想讲的是大体里头最经典的一道，哪个题呢？二十一题，现在你看好了啊，这个二十一题。二十一题的话，先来看这个第一问吧，他说的是点 a 在这样的双据线上，那我们首先得把这个双据线，其实也就是把 a 方把 a 求出来，把这个参数怎么求这个参数？ 他题目的话说的是点 a 在这样的双据线上，然后直线 l 分别交 c 于 pq 两点，然后 ap 和 aq 的斜率之和为零，然后如何求这个 l 的斜率呢？ 这样来看，你有题的话，肯定知道 l 的斜率是存在的，他如果不存在垂直的话，那点 a 就应该是左右顶点的位置，点 a 不是左右顶点啊，所以说 l 的斜率肯定存在，只要你知道就行。那我们先求一下这个双面线长什么样子吧。这个好说啊，带入 点 a， 这个二十多号零，但是以后的话就变成了 a 方分之四减去 a 方减一分之一等于一，是吧？然后化减一下。嗯，化减一下啊，化减的话之后就很简单了，变成了 a 的四次方减去四， a 方加四等于零，然后呢，就算出来这个 a 方是等于几的， a 方是等于二。所以说这个双曲线的方程我就直接写了啊，你把 a 方等于二带入，那其实就是，嗯，二分之 x 方减去一分之外方等于一，这个是双曲线。 那么刚才咱也说过，这个 l 的斜率肯定是存在的，有理可治，它的斜率存在，所以我们在假设的时候啊，直接假设这个 l， 它的简易式是 y 等于 kx， 不要加 b 了啊，要不然跟这个双线有可能重合了，咱就加 m。 那现在双据线和这个直线的话，需要连理一下。 当然假设的过程中，咱肯定一开始也是要假设这个点 p 和点 q， 他是坐标的，分别是 x 一， y 一和这个 x 二 y 二，连理一下啊，连理完了，其实他需要计算量还是挺大，我就直接写最 最终的结果了，他是二 k 方减一 x 方再加上四 km， x 再加上二 m 方加二等于零，就是这样啊，然后你看 x 一加上 x 二，这是等于多少啊？等于负四 km 比上二 k 方减一，然后 x 一乘维拉定理吗？这个相信大家都会，这个是二 m 方加二，二 k 方减一就是他了。 那接下来还有哪个条件没用过呢？不就是 ap 和 aq 斜率之后为零吗？那就写上啊 ap 加上 aq 斜率，这个两点之间斜率攻守我就直接套了啊， x 一减二分之，然后外一减，然后也是啊， x 二减二分之外二减去一，然后 整理一下。当然了，你这个外要变成 x 的形式，我就再变一步吧，这个就变成了多少？变成了 kp 的 x 一加上 m 减一，然后后边也是这个是 x 二减二， 这是 k 倍的 x 二加 m 减一，那等于多少？等于零？等于零的话，还是需要化减的啊，化减之后这个式子也是挺复杂的，需要花很长的时间。那行了，咱们就接下来化减一下啊， 化解以后的话，这个狮子里头只含有 x 一加 x 二和 x 一乘 x， 看了这个 x 一加 x 二， 他乘的是二 k， 他这个系数，这个要注意。然后呢，这个 x 一加 x 二，整理之后是 m 一减去啊一，再减去二 k， 这个是 x 一加 x 二，放到一块后边啊，就是不含有 x， 那就是负四倍的 m 减一等于零，那接下来肯定是带有圈一啊，把这个 x 一加 x 二还有 x 一乘 x 二都换成 k 和 m 的这样一个表达式，那最终会化减成什么样子呢？经过很多很多的计算，最终会化减成 k 加一，然后 m 加上二， k 减一等于零的形式。 不过你需要注意的是，因为点 a 他不在哪，因为点 a 他是不在 l， 也就是不在外，等于 kx 加 m 上的 只有啊，只有点 a 二到一带入之后，他这个才能成立，才能等于零，所以他肯定不等于零啊，点 a 不在上边，所以只有可能是 k 加一等于零了。 k 加一等于零不就是 k 等于负一的意思啊。所以说第一问的话，咱们已经求出来了，这个直线 l 他的斜率就是等于负一的，这第一问也还好，但是计算量非常大。 我们现在继续来看这个第二问。第二问的话大概是需要画这样一个图，我先画一下吧，然后他们之间的这样一个倾斜角，一个是碑的，一个是 rf， 这个应该是没问题的。那我们看图的话肯定是可以看出来。首先这个第二题 rf 加上碑的， 他是等于派的，没问题吧？他是有什么推出来的呀？他其实就等价于这个 ap 斜率加上 aq 斜率等于零，就代表了他们的倾斜角质和是等于派的，这个是第一条，还是挺重要的， 那另外还有一条，还有哪一条呢？你要注意的是他给的条件是贪正的 paq。 那行，那我继续来写了啊，贪正的 paq， 其实贪正的 paq 的话，咱们先来研究一下这个角吧。首先根据外角关系，这个角 paq 再加上 f 肯定是等于 外角杯子的三角形外角关系，所以说这个角 paq 他是等于多少？等于杯他减去 f 的，所以说瘫着的角 paq， 他其实就相当于 贪真的脚多少啊，其实就是背的减去 r 分，现在你把圈一带入吗？带入以后的话，实际上就是多少，就是贪真的派减去 r 分，再减 r 分，那就是减去二倍的 r 分等于多少啊？等于 r 分。好，二， 那你要注意的是，你说摊着的 r 和摊着的派件 r 法，当两个脚互补的时候，你说他们之间的摊着的值也就是正确值，什么关系？ 是反过来是相反数的关系，对吧？那接下来就是什么公式了？就是二比较公式了吗？那再往后边写就行了啊。嗯，接下来我们就是想算出来这个摊子的 f 究竟 多少看了，根号二倍的瘫着呢， f 的平方减去瘫着呢， f 减去根号二。这个很简单，我们可以得出来。求助下，这个瘫着呢 f 等于多少啊？等于根号二啊。 既然贪着呢儿不等于更换二的话，那你想一想，贪着呢儿不等于更换二，那贪着呢背的不就是负的 根号二吗？所以 ap 和 aq 直线应该都有了吧。 ap 看一下啊，它等于多少？等于根号二倍的 x 减二加一。为什么减二加一？因为过 a 点啊。 a 点坐标不就是二等于一吗？这个还是很简单的啊，点些是， 那再继续了。呃，还有一个，这个 aqaq 的斜率实际上是等于负的根号二，那就是外等于负的根号二 x 减二，然后再加一，这个也是没有什么问题的。 那接下来需要跟谁连理啊？肯定是需要跟谁需要跟双曲线连理一下。那接下来看了啊。嗯，先让 ap 于二分之 x 方减去外方等于一连理一下啊。嗯，连理之后的话，会出现这样一个方程，把这个外削掉，变成了二分之三 x 方加上二倍的一减二倍根号二， x 再加上十减去。 嗯，这个四倍根号二等于零。那么因为根据伟大定理吗？ xb 加上 xa， 你 a 和 p 横坐标其实就是这样一个一元二次方程，它的两个结 等于多少呢？实际上就是 xp 加上二，他是等于，根据维达定理，实际上是等于二分之三分之 四倍，根号二再减二的，从而就求出来这个点屁的横坐标，那么点屁横坐标求出来了，那么点屁重坐标你带入 ap 这条直线进行式里头就出来了。所以点屁坐标我就直接写了啊，他的横坐标实际上就是 三分之十减去四倍根号二，那纵坐标的话是三分之四倍，根号二减去五，这就是点屁坐标。那么接下来还有谁啊？ 其实还有一个，同还有一个这个点 q 的坐标，点 q 的坐标的话是，你只需要连理一下这个双据线和 aq 这个解释就行了。 好，点 q 坐标我们也是可以求出来的啊。既然 pq 两个点都有了，所以 pq 这条直线是不是非常好求了啊？ pq 这条直线就是 x 加外减去三分之五等于零。你要注意这道题求的是什么？这道题实际上求的是 p paq 之间的面积啊。 paq， 你看 pk 我了吧，这个姐姐是。然后啊，我们再求一下这个距离就行了，用 pq 的长度，然后再乘点 a 到 pq 之间这样一个距离，再乘一个二分之一就行了。 应该是这个道理吧，那这个距离就其实就是点 a 到 pk 的距离，我就直接带了啊，把 a 点带入二加一，减去三分之五，然后再除根号二，那根据点到直线距离攻势的话，求出来是三分之二倍的， 等好二，就是这样一个道理。然后 pq 的话，你看是不是也有了 p 点？有了 q 点有了，那 pq 的距离肯定就有了。所以说三角形 pqa， 它的面积是等于二分之一 pq 程距里的，那么最终取出来应该是个九分之十六分的根号二。那这道题就解完了。其实我把中间很多 我化检的过程，计算的过程给省去掉了，如果真的要算这道题的话，大概需要十五分钟左右的时间。所以说这套试卷真的非常难，计算量很大。相反来说，最后一道题他反而不是特别难。之前我讲过啊，用 同购的技巧可以轻松的解决这个问题。那这节课我们就讲到这了啊，分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下期课再见。
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