2023新高考二卷数学概率题讲解
二十二题的第二问又给了一个函数 f x， 说 x 等于零是 f x 的极大支点，那就是说他在零的左侧单调递增，在右侧单调递减， 这样的话他在零的附近是左增右减，那么零处就是极大支点。由于这个函数当中有 lone， 所以他对定域是有限制的， 就是要满足这个一减 x 方要大于零，于是 x 应该属于负一到一。另外注意到这里是扣三，后面又是 x 方，所以可以判断他是一个偶函数。 因为 f 负 x 等于 q 散负 a， x 减去 l， n e 减负 x 的平方。 根据诱导公式，扣三负二法等于扣三二法，所以这里就等于扣三。 ax 减去 l， 后面负 x 的平方等于 x 方，所以就是一减 x 方，于是等于 fx， 所以 f x 为偶函数，那么它就关于 y 轴对称， y 轴就是 x 等于零这条直线。 这样的话，我们只需要判断右边是不是单调递减，因为如果右边单调递减，那么左边关于外轴对称就会单调递增，就能满足。 x 等于零是他的极大支点， 而这个右边呢，不一定真的是零到一上，单调底线有可能比零到一更小一点， 比如说零到某一个数单调递减，只要保证从零开始往右的一小段是减的，那么左边对称过来就能符合题。 我们注意到，在第一问的时候，让我们证明了一个不等式的恒成力作为同一道题，应该不是一个孤立的存在， 所以说他第二问应该想让我们用第一问这个不等式的结论来进行放缩。第一问的时候，我们证明了 x 大于零，小于一的时候，这个不等式是成立的， 这个不等式其实是对散这个三角函数进行的放缩，而我们 f x 当中呢，是含有的抠散，所以呢，我们可以联想到应该是对他倒数进行的放， 因为扣散球弯倒才会出现三 f x 撇等于这是一个复合函数的球倒，球倒的时候要注意内倒成外倒， 那么它求完导应该等于负的 a 乘三 a x 加一减 x 方分之二 x， 那么这里就出现了三 a x， 这个 a x 就可以看成一个整体，把 x 给带换下来，这样就能用到第一问的这个结论进行放缩。但是现在还有一个问题，就是第一问的这个范围是 x 大于零小于一， 但是现在这个 a x 的范围呢，是无法确定的。虽然我们有一个偶函数，对于定域负一到一内只考虑右边， 可以只考虑 x 属于零到一，但是 a 的范围不知道，所以这个时候呢，我们就得想办法先把 ax 整体放在零到一这个区间内。 当然如果你额外证明一下 x 大于零，这整个零到正无穷的范围内，这个不等式都成立，也可以把这个限制在大于零的范围内来进行整体代换。 不过由于第一问我们给的这个范围呢是零到一，这里呢，我们就用这个区间把 a x 限制进去， 我们注意到这个端点是一，而 x 呢，如果给他取个 a 分之一的话， a 乘 a 分之一恰好就等于一，这样我们就可以想办法把它放到这个零到一的范 为内了。但是刚才我们提到的这个 a 分之一 a 做了分母，那么就要先讨论当 a 等于零的情况，这个时候 fx 就等于了 抠散零减去后面，那就是一减 line， 一减 x 方，那么 f x 撇儿等于这里呢是零，所以就只有二 x 比一减 x 方。 由于我们呢，只需要考虑零到一的范围内，在这个范围内分子大于零，分母呢，一减 x 方也大于零，所以整个 f x 撇就大于零， 那么 f x 在零到一上就单调递增，而我们想要的呢，是在零的右侧 先单调递减，所以他跟提议是矛盾的，不符合。提议讨论完 a 等于零，那还剩下 a 大于零和 a 小于零。比如说，我们可以先考虑当 a 大于零的情况， 这个时候呢， a 大于零， x 属于零到一。如果我们把 x 的范围限制在大于零小于 a 分之一的范围内，那么 a 乘 x 就会大于零小于一了， 这样它作为一个整体就可以代换 x 的位置，因为它符合了第一问的那个区间。 于是这个时候我们可以取 x 属于零到 a 分之一，那么 ax 就大于零小于一。有第一问的结论可 已得到。把 a x 这个整体带换掉这里所有的 x， 那么就是 a x 减 a 方， x 方 小于散 ax 小于 ax， 这样就把 fx 撇当中的散 ax 进行了放缩。由于这里呢，还有两边同乘以负 a， 当 a 大于零的时候，负 a 小于零，那么两边同乘以它不等号改变方向，所以负 a 乘以三， ax 就应该大于负 a 方 x 小于 a 的三次方 x 方减 a 方 x， 那么在两边同时加上这个分式，就可以得到 f x 片的放缩，所以 f x 片应该大于一减 x 方分之二， x 减 a 方 x 小于一减 x 方分之二， x 加 a 的三次方 x 方 减 a 方 x。 这样我们完成了对导函数 f x 撇的放缩。放缩往往的走向是利用不等式的传递性来找到横， 什么意思呢？就比如说 f x 撇大于左边这一堆，如果左边这个东西呢又大于零，那么 f x 撇就会横大于零， 这样就能保证 fx 单调递增，这是一个放缩的基本路径。那我们就考虑一下左边这个怎么才 会横大于零呢？注意到他们两个可以提出来一个 x， 那么可以变成 x 倍的一减 x 方分之二减去 a 方。由于 x 属于零到一的范围内，那么 x 方也属于零到一，所以一减 x 方 肯定是小于一的，那么他的倒数一减 x 方分之一就大于一，于是这个一减 x 方分之二是大于二的。所以我们只需要满足后面的这个 a 方小于等于二，就能够保证他两个相减大于零。 于是我们就得到了接下来的分类点，那也就是当 a 方小于等于二，这是在 a 大于零的前提下。所以 呢，这个解出来，我们只取大于零小于等于根号二。那么按照我们刚才的分析呢，当 x 属于零到一的时候，这个一减 x 方就在零到一这个范围内，就可以得到一减 x 方分之二是大于二的。 但是现在呢，就有一个问题，就是刚才我们是取了 x 属于零到 a 分之一，才用了第一问的放缩，但是现在呢，我们又考虑了 x 属于零到一， 这样的话，他们两个就可能产生不一致的情况，如果我们要选的是上面的这个零到一，他可以满足这个大于二，但是呢，他不一定满足这个 ax 介于零到一之间。而如 如果我们选的是下面的这个零到 a 分之一，又不一定能保证这个形式大于二了，所以为了能够让这两部分同时满足，我们可以取他们两个的交集。 由于不确定 a 分之一和一的大小关系，那么取交集的时候，我们可以取另外一个字母，比如说 b 让他等于一和 a 分之一这两个当中较小的那个，那么这个就是最小之函数，也就是说把他俩括起来，是找他们俩更小的那个，谁小谁就等于 b， 那这个时候我们就可以找到他们两个的交集，那就是啊， x 啊大于零小于 b， 当 x 属于零 到 b 的时候，既满足了上面的放缩，也满足了刚才分析的这个东西。大于二，一减 x 方分之二大于二， 那么由于 a 方小于等于二，这个一减 x 方分之二减 a 方就会大于零，所以这个时候 f x 撇就大于 x 乘以一减 x 方分之二减 a 方， 后面这个大于零， x 也大于零，所以乘积就大于零， f x 撇大于零， f x 就在这个区间零到 b 上单调递增， 又是零的右侧先增了，所以仍然不符合题。这样 a 方小于等于二的情况讨论完了， 我们讨论当 a 方大于二，也就是 a 大于根号二的时候，刚才用的是不等式，左边的放缩，现在我们再看一下右边的放缩， f x 片小于它，如果它又小于零的话，那么它就可以得到 f x 片小于零， 而右边的这一堆呢，可以提出来一个 x 变成 x 倍的一减 x 方分之二，再加 a 的三次方， x 减 a 方。那么在 x 为正的情况下，要想让它整体小于零， 只需要后面这个括号内的式子小于零。我们假设把括号内的这一堆设成是一个新函数 fx， 为了满足这个放缩呢？我们仍然取定 域是零到 a 分之一。由于这个时候 a 是大于根号二的，那 a 分之一肯定小于一，所以它和零到一的交集就是零到 a 分之一。对 fx 求导，等于 一减 x 方的平方分之四 x 加 a 的三次方。当 x 属于零到 a 分之一的时候，底下大于零，上面分子也大于零，现在的 a 也是大于零的，所以整个 f x 撇大于零。 于是 fx 在零到 a 分之一上单调递增，他在零到 a 分之一上单调递增。我们看一下他的两个端点，零和 a 分之一，他们的正负 five 零 等于二加零减 a 方，也就是二减 a 方。由于 a 方大于二，所以它小于零 f i a 分之一把它带入到这里，那就是 a 方减 a 方消掉了，等于一减 a 方分之一分之二。 a 方大于二，那么 a 方分之一是小于二分之一的，所以他也是大于零的。这样我们画一个示意图，会发现在零到 a 分之一这个范围内， fx 单调递增，并且左端点为负，右端点为正，那么这之间就应该存在一个零点 x 零，所以存在 x 零属于零到 a 分之一，使得 f x 零等于零。那么在零到 x 零这个区间内，整个 f x 是小于零的， f x 是括号内的这部分，它小于零， 而 x 又大于零，那么它们两个的乘积 x 乘负 x 也就小于零。 而我们的这个放缩呢？说 f x 片是小于 x 乘 f x 的，所以 f x 片就会小于零，那么 f x 就在零到 x 零这个范围内单调递减。 也就是说，这里存在某一个 x 零，使得它零到 x 零的时候单调递减了，又根据它是一个偶函数，左边就单调递增，所以零确实是极大支点。 这种情况符合题。我们把它写下来， f x 撇儿小于 x 乘以 f x 小于零， 那么 f x 在零到 x 零上单调递减，又因为 f x 是偶函数，所以它在负 x 零到零上 单调递增，左边增右边减，那么 x 等于零是 fx 的极大指点，这种情况就符合题。这样我们就把 a 大于零讨论完了，发现只有当 a 大于根号二的时候是符合题意的。 那么当 a 小于零时，这个时候只需要利用一下刚才的结论就可以了。因为呢， cosin a x 等于扣三负 ax， 如果 a 小于零的话，那么这里的负 a 就会大于零，所以这里的负 a 就代替了刚才 a 大于零的时候的 a 的位置。 那么按照刚才的分析，这个负 a 就要满足大于根号二。所以按照刚才的分析，我们容易得到负 a 必须大于根号二，也就是 a 小于负根号二。 最后综上， a 的范围应该是负无穷到负根号二，并上根号二到正无穷。
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35宇数-汪老师
25:52查看AI文稿AI文稿好，立体几何在历年的高考当中是必考的一个内容，那么立体几何的解答过程啊，有的时候用几何法，有的时候用坐标法， 用几何法呢，通常呢我们需要做辅助线，这呢可能有一定的难度，用坐标法呢，可能会涉及到一些个计算，计算量呢有些大，那么还有没有其他的办法 去解决立体结合当中的，比如说求某些角的有关问题呢？这个回答是肯定的，今天呢，我就给同学们介绍一种既不用坐标法， 也不用几何法去如何求在立体几何当中有关角的一些个问题。 首先呢，我们先看下面这样一个事实，在空间四边形当中有如下这样一个重要的结论，我们看， 比如说空间四边形 a、 b， c， d， 它的两条对角线 a c 和 b d， 那么它的数量金 和这个空间四边形的四个边之间有怎样的关系呢？我们很容易证明他有这样的关系， 向量的平方也是它膜的平方，所以说呀，那么这个空间四边形对 表现的数量级，他跟他和这四个四条边他们之间的关系啊，是这样，那么这个 问题啊，很容易证明，我们把这个结论称之为空间四边形对角线向量定理。 那么这个定理啊， 如何去记呢？我们仔细观察这四个字母，我们把字母 a 和字母四 d 看成是 y 字母， 把这个 c 和二 b 呢看做内字母， 那么这两个项目的数量级呢？右边的表达式就应该等于两个外字母的平方， 这个呢是俩俩内的平方， 然后减去外内的平方，再减去内外的平方， 这样呢，我们就把这个定理啊给记住了，对吧？ 那么这个证明啊，也非常容易啊，我们可以利用向量 ab 和向量 ac 的数量机写出一个式子， 然后呢，再用向量 ac 和向量 ad 的数量级再写出一个式子，然后两式一减，就是这个式子，或者是 我们由右边可以推出左边，我通过右边数量机的运算法则进行运算，可以推出他等于左边啊，这里啊，我们简要的说明一下啊，比如我们正的一下右边， 我们把这个项链和这个项链利用平方叉得到 a d 向量加 a b 向量点儿乘上， 然后我们把这两个相应的平方合到一起，加上 等于 这个等于向量 b d， 这个等于项量 b b， 然后提出向量 b d 剪， 显然这个项链和这个项链相加， 这两个项链你看都在哪呢？ 这两个项链合到一起就是项链 a c， 这两个项链合到一起也是项链 a c， 你看这是不是就等于左边呢？二倍的， 那么这个定理啊，这个事实呢，我们还可以通过 他得到两个推论，推论一， 如果向量 a c 和向量 d b 要是互相垂直的话， 那么他的引流，所以说呢，我们可以得到这样的柿子 弱则 等于， 这很容易吧，我们再看一下推动二， 根据数量级定义它的 a c 膜乘 b d 膜，再乘口感音 a c b d 夹角余弦，那么我们就可以得到这样一个结论， 等于 分子就是， 所以啊，我们可以得出这样两个结论， 下面呢，我们就利用啊这个定理去解决一些高考真题。 一七年全国二卷第十期有一个直三轮扣，这个角是一百二十度， a b 长得二， b c c e c 得一，求叶面直线 a b 一和 b c 所乘角的余弦值。 那么我们利用刚才我讲的四边形对角线向量定理啊，我们可以这样来做，首先我们看他要求的 a b 一和 b c 一这两个叶面直线所成角，那么我们看成两个项链， 这两个向量的所乘的角的余弦值。我们先把它算出 分母是二倍的向量， a b 一的门称 分子，两个 y 字母 加上两个内字母， 减外内， 再减内外， 你看是不是直接就可以算了他，我们算一下他等于多少呢？二， a b 一等于多少啊？根号五吧， b c 一得杠二吧。 a c 一， a c 一的长等于多少？ a c e 的长呢？我们需要算一下，这是先把 a c 长算出它等于根号七，这个容易算啊，这是二，这是一角角一百二，用余弦定理可以算出它的根号七，那么一，这是直角三角形，所以说 a c 一的平方应该等于八，对吧？ 加上 b e b 的平方的一减， a b 方 减四， b 一， c 一方减一， 那么计算的结果是不是很快就出来了，等于五分之， 很好使，这样呢，我们就可以啊，选出选项是 c， 这种办法是不是很快就出来，对吧？哎， 那么如果不这样做的话，那么我们应该是通过平移，然后呢解三角形，或者是用坐标法，当然这种算法是最简单， 那么如果要是选择和填空，不要求解题过程的话，那么你利用这个结论是不是很快就得到答案了？ 我们再看下一个高考题，二零二三年全国二卷第二题三棱锥 a、 b、 c、 d 中 d、 a、 d、 b 和 d、 c 相等 b、 d 和 c、 d 垂直角 a、 d、 b 等于六十度。 呃，角 a、 d、 c 也等于六十度啊，这个还有一个条件啊，角 a、 d、 c 也等于六十度， 意为 b、 c 的终点。第一问，证明 b、 c 垂直于点，我们可以这样来证明啊，我们 写在这吧，口才音向量 d， c 啊，向量 b， c 啊，向量 b， c 和 d， a 这两项量的甲者余年我算一下，他等于零就可以了，看，对吧？他等于分母。 分子呢，就是两个外字母 加上两个内字母， 减去外内， 减去内外 b、 a 方，我们不妨列 d， a、 d、 b、 d、 c 都等于一， 那么 b、 a 方得多少啊？是不是也得一啊？ 等边三角形对吧？ c、 d 方是不是也得一啊？ b、 d 方 是不是有点一样？ c 方 c 方 a、 d、 c 也是等边三角形。 因为 a、 d、 c 等于六十度嘛， 等于。所以啊， b、 c 和 d、 h 看我们是不是就是不用做辅助线就可以正常，对吧？呃，第二 第二呢？如果向量 e、 f 等于向量 d， a。 如果向量 e、 f 等于向量 d、 a 的话，那说明 零四边形 d、 e、 f、 a 是平行四边形。现在让我们求这个二面角的正线值。首先我们看这个二面角是哪两个向量所乘的角呢？棱是 a， b， a， b， a， d， b 是等边，所以说取 a、 b 的终点 o， 取 a， b 终点 o 连 o d。 哦，连 o d 啊， 那么 o、 d 力量和棱 a、 b 是垂直的。 先往再看这个 d、 e 啊，和 c、 b 是垂直的，我连接一下 a、 e， 那么 d、 e 呢？等于 b、 c 的一半，等于二分之杠二 a、 e 呢？在这个三角形当中，我们看在这个三角形当中的话呢，它也是 可以算出是二分之根号二，因为这个是二分之根号二，这个是一，对吧？因为这个是一， 这个是一，这是刚好二，所以说我们可以算出这个三角形的中线长啊，实际上这也是个直角， 那这样一来的话呢，我们就可以得到 d e 和 e a 也是垂直的一嘛，二分之二，二分之二，对吧？勾股定理在 e 定理，所以说 d e 呢，就和面 a c、 b 是垂直的， d e 呢又和 a f 平行，所以说 a f 呢，也和这个面是垂直的，这样一来呢， a f 就和 a b 是垂直的，我们可以可以证明啊，我们就简单一些了啊，可证 a f 和 a b 也是垂直， 这样一来我们就得到了 o d 啊， o d 这个项链和 a f 这个项链 所夹的角，就是这个二边角的平面角，对吧？接下来呢，就是 o d 和 a f 这两个项链所乘的角，就是这个二面角的平面角。我们算他的一边直 分母二倍的 o d d 长横 o f 的长分子是两个外字母， 在平方加两个内字母，平方减外内 减内外， 我们只要把这个值给他算出就 ok 了。我们现在开始算二， od 的长， o d 的长，这是等变三角形的中线嘛，对不对？那 o d 的长显就是二分之根二三， a f 的长，也就是 d e 的长是二分之杠二， 那么 o f 的长呢？我们把 o f 的长啊换一下，因为这是个直角，对吧？ o f 的长呢，应该是 o a 方加上 a f 方， o a 方这里就没有了，对吧？给约掉了。然后呢，实际上这是 a f 方， a f 方加上 d a 方，对吧？ 然后再减去 d x， 我们继续算分母呢，那就是二分之刚好六了。 那么 a f 方就是 d e 方，等于二分之二，在平方， d a 的平方呢？就是一。现在看一下这个 d f 啊， d f， 那么这个 d f 方等于什么？关键在这里，是吧？ d f 方呢，我们可以把它放到这个三角形里， 这个三角形这个角啊，应该是一百三十五度，因为 a e d 九十， a e f 四十五， a f 和 a e 是相等，对吧？ 所以一百三十五。这样话呢，我们可以根据余弦定理就可以直接算出 df 方， df， 对吧？对，就是他，那么这个结果呢，我们很容易算出他等于多少呢？等于负三分之幺六， 这说明啊，这个二面角的平面角呢，是一个钝角，他的余弦值是负三分之八六，那么我们就不难算出他的正弦 值啊，是三分之刚好三，所以这个答案呢，那就是三分之刚好三，我们是不是就把这个问题给解决了？ 因此呢，我今天提供的方法，这是一种啊，全新的方法，当然考试的时候可不可以这样做， 如果你把四边形对角线向量定理啊，先说明，以后再利用他去这样书写过程，我认为他没有理由给你扣分，但是你不能直接用，对吧？ 这是今天呢，我给同学们提供啊，除了几何法和自个法以外的另外一种方法，仅供同学们参考。
474伯麟数学
13:32查看AI文稿AI文稿评论区自己领取下，你看概率题，只要学会分析，他就不会怎么难吧。那有的题啊，他常规概率都分析腻了，他可能就会加点条件概率。 那这一类问题其实也很容易，因为条件概率，你只要记熟了他的全概率公式以及呃乘法公式或者说背页式公式啊，不管怎么变，你都可以做出来。 咱同样拿一个最近考的一个一模试卷来举个例子啊，他说为了丰富课外活动，什么举行了个羽毛球团体赛，这个羽毛球也是高考的一个常客了，赛制采取五局三胜制， 每局都是单打，那么每队有五个球员，你懂这个意思吧？是个团体赛嘛，也就是我们现在有两个队伍，每一个队伍啊，都有五个人， 这五个人呢，他们像田鸡赛马一样啊，不断拉两个人出来单打，单打，单打一共要打五局，只要有三个人取得胜利啊，那么就这一个团体就获得了胜利， 然后比赛中每一个队员最多只能上一场，并且是随机的顺序，那么结果也互不影响啊。经过小组赛后， 最终甲乙两队进入最终的决赛，也就是最后是甲乙两个队对决。根据前期比赛的数据统计啊，发现甲队中有一个明星球员 m， 这个 m 人他就不得了了， 他对乙队的每一个队员胜率均为四分之三，他特别的厉害，对吧？而甲队的剩余四个队员呢，也就剩余这四个普通人，比方说甲叫 a、 b、 c、 d 力吧，那么他对一队的每一个队员的胜率啊，只有二分之一，就是对半分吧。我们先来看一下第一问吧，第一问就非常简单了，随便讲一下， 他说求甲对 m 这个明星啊，他在前四局中没有出场的情况下，那没有出场你就不需要考虑这一点？能不能不需要考虑不就不存在条件概率了吗？概率都相等了吗？然后问你，甲乙两队比赛了四局，甲最终获胜的概率？ 好，那么既然，呃，一共比了四局，甲队又获胜了，那我们分析一下他们获胜的情况，是不是一定是甲胜了三场，然后乙胜了一场啊？ 因为五局三胜制嘛，谁胜到三场谁就获胜。所以我们只要分析清楚假胜的是哪三场，是不就清 轻松搞定了？你可以画个梳妆图啊，但没必要我们直接就画这个小填空呢。这假设就是第一场、第二场、第三场、第四场吗？ 那么假胜的三场是哪三场呢？有可能胜的是后面三场，对吧？也就是说甲有可能第一场输了第一场是乙赢了，后面三场都假赢了，是不是符合甲最终获胜啊？ 那么还有可能是什么？有可能是甲赢了后两场和第一场，然后乙赢了第二场吧，也可能是甲最终获胜吧， 还有可能是假赢了前两场和最后一场，然后赢了第三场，是不是也可以假设中获胜？你看，我偏偏就没有写这个假赢了前三场和已赢了最后一场，你说为什么？你想啊，五 五局三胜制，你假都赢了前三场了，还有第四场吗？没有了呀，所以说此时进行了三局就结束了，这种情况是不符合要求的。 那我们想算，呃，假最终获胜概率，是不是只需要把这三种情况的概率都算出来求和就行了。 三种情况的概率是一样的，因为此时没有明星球员 m 了，那么假队员对乙队员的胜率恒定都是为二分之一嘛。所以说，这三类情况的概率其实是相同的。比方说来算第一类， 第一局是已胜了，已胜的概率是多少啊？二分之一嘛。第二局是假胜了，假胜的概率多少？二分之一啊。那第三局假胜的概率是不是已二分之一啊？分布原理全部一乘就行了嘛。然后，三种情况的概率 都是这么多，所以第一题的答案 p 是不是分分钟算出来呀？等于十六分之十三？好，那么从第二问开始才是正猜啊。题目说，甲乙两队比赛了三局甲最终获胜的概率是多少？ 那么首先比赛的三局假就获胜，意味着啥呀？他是三胜之吗？意味着这三局一定全部都是假胜。所以说这三局是假三胜啊，已是一局都没胜 好。那么你难道就直接说，哦，假设了三局吗？每一场胜的概率都二分之一合在一起啊，概率八分之一，真的是这样吗？当然不是了，你要想想，在这三局里，有 m 参与获胜的概率与没有 m 参与获胜的概率， 这两者是不一样的吧。所以我们一定要进行一个简单的分类，你可以直接使用条件概率公司去算，但我觉得用树状图先写一下呢，哎，可能看起来更加的清晰。 比方说，在没有 m 参与的情况下，那么这三局假队获胜的概率是多少啊？这个就简单了吧，假队在没有 m 情况下，每一局获胜的概率都是二分之一吗？那么合在一起获胜的概率是不是八分之一啊？ 那如果这三局在有 m 参与的情况下，获胜概率是多少啊？很简单嘛，首先这个 m 要赢，赢的概率是多少？是四分之三，另外另外两个普通球员也要赢。另外两个普通球员赢的概率啊，都 都是二分之一，所以合在一起咱们得到的这个概率是多少啊？呃，乘在一起是不是十六分之三呢？好，那现在问题来了， 那么假最终获胜的概率是这两个数值之和吗？当然不是了，为什么？ 因为无 m 和有 m， 他的概率其实是不一样的。这也是这道题非常容易错的一个地方。很多人根据直觉就说，哎呀，无 m 有 m， 概率都相等嘛，都等于二分之一，所以我们令他们相加乘个二分之一收工了。真的吗？ 我们不妨来想一想，算一算比赛的这个三局里面，他有 m 参与的概率是多少？那么咱都知道概率公式是不是等于总共的 个数，分之符合条件的个数啊。那么总共个数有多少种呢？我们就来看这个甲嘛，因为 m 在甲队里面，甲队有几个人？有五个人， 那我们从五个人中啊，要抽三个人来比，这三局一共有多少种抽法呀？当然就是 c 五三嘛， 我们从五个人中抽三个人比成三局，那有人说，为什么不是 a 五三呢？你写 a 五三可以，那分子也就是 a 嘛，就是你抽了三个人以后，你又排了个序，谁做第一局，谁排第二局。没那个必要嘛，我们抽三个人就行了。 再来看分值，符合条件，符合什么条件？有 m 嘛？也就是说我们甲从这五个人中抽了三个人出来，是有 m 参与的，那么 有 m 参与，先把 m 给选上，那么抽的这三个人中的剩余两个人是哪两个呀？我们是不是再从原来的这四个普通人中啊，就是除去 m 以外的四个普通人中再选两个人出来参与比赛呀， 是不是这就是符合条件的个数？这是最简单的排列组合吧。那我们来算一下，呃，这个概率是多少啊？分子是四乘三除以二分母 c 五三，也就是 c 五二嘛，也就是五乘四除以二，两个月，两个月合起来等于多少？五分之三， 所以有 m 参与的概率是五分之三，没有 m 参与的概率呢？其实是五分之二，那么我们最终获胜的概率应该就知道了吧。如果把最终的获胜的 概率是为 p 的话，那么就由五分。利用分布原理啊，有五分之二的概率是没有 m 参与的，那么没有 m 参与的情况下，获胜概率是八分之一， 然后有五分之三的概率是有 m 参与的，那么有 m 参与的情况下，获胜的概率是多少啊？十六分之三， 那么我们是不是就可以算出此时对应的答案了？呃，这个和弦是五八四十，也就是八十分之四，这个是八十分之九啊，和弦是八十分之十三。那肯定有人说，咱们在考试中怎么写啊？我们可以利用条件概率来写这个式子啊，更加的严谨。 我们来看标答第二问写的一个过程啊，那么他把这个假队最终获胜的概率呢？是 作为事件 c， 然后把前三局中有明星球员 m 上场的这个事件设为 d。 好，那么，呃，最终获得胜率的概率等于多少啊？由全概率公式嘛，是不是分为两种情况， 在有 m 上场的情况下，然后再乘以此时获胜的概率，然后再加上没有 m 上场的情况下，乘以此时的概率吧。 这个和我们刚才写的那个数字的概率是指其实是一样的，但是你这样写这个过程呢，就会显得更加的严谨，任何人都扣不了你的过程分吧。 你不妨暂停看一下答案的书写步骤啊。比方说 p d， 这个 d 代表的是前三局有 m 上场这个事件，那么 p d 就代表了前三场有 m 的概率。咱 刚刚算过五分之三吧。那么 pd 杠一下呢？就是前三场是没有 m 上场的概率吧。那么在对应情况下的条件概率是不是？这里也是我们刚刚算过了最后全概率公式就可以收网了？ 再来看第三问，他说已知甲乙两队比赛了三局，然后甲最终获得了胜利。哎呦，这个条件是不是刚才我们求的这个结论呐？ 然后用我们求假明星球员 m 上场的概率，嘿，这个要问的问题是不是咱刚刚设过的一个要讨论的条件呐？ 这种条件与结论互换的玩意，咱们用什么公式求概率啊？当然是贝耶斯公式了。那有人说贝耶斯公式，我就是不会啊，不理解啊。没关系，我们无脑套条件概率公式 就行了。那么首先比赛了三局，甲就获得了胜利，那么一定是这三局啊，甲全部都获取了胜利才行吧。 好，那么我们要求的这个概率怎么表示呢？哎，利用第二问，咱设过的这两个事件嘛，是不是在假获取最终胜利的情况下，这个 m 上场比赛的概率啊？好，这个式子我解释一下它的含义啊。你看， 这个指的是在假三局获得最终胜利的情况下，第一事件发生的概率。第一事件是什么？就是说这前三局 m 上场比赛的这个事件他发生的概率吗？那他不就代表的是我们要求的这个概率吗？ 这讲的应该很细了吧。好，我们想求他怎么办呀？当然是利用条件概率的乘法公式了，你除了他也没有别的可以选嘛，这些公式是一定要记牢了。先来看这个分母啊，是不是咱刚刚求过 第二问的结论就是它呀，那这个分子 p c d 怎么求呢？哎，你看看，我们是知道这个的， 那么 p c d 是不是可以通过它来求啊？好，我们再对上面使用一下条件概率的乘法公式啊， 它是不可以写成是 p d， 然后再乘以 p c 杠 d 啊？千万别问我为什么呀，这我也不知道该怎么回答你了。好，写为这样以后，那你再看这个分母 五，咱们知道是等于八十分之十三的，那这个分子 p d 等于多少啊？哎，在第二文中是不是也写出来了，这一项是等于五分之三的，那这个 p c 杠 d 呢？这里写出来是不是十六分之三呐？ 哎，两个分母异域，分子异域是不是等于十三分之九？总结一下，对于这种条件概率问题，他的做法是非常非常死板的。首先你先把事件设出来， 那么怎么样设事件呢？有人说我事件就不会设。第一，他要你求什么的概率，你就把这个概率给设成一个事件。第二， 如果你比赛三局，你会发现，哎，他有两种情况啊，在不同的条件下概率是不一样的，那么你把这个条件就设为一个实践，然后再 把要求的内容用那些条件公式写出来，再把其中的每个概率都算出来就搞定了。条件概率永远是这么几个步骤，千万不要忘记了。
68海淀冉野老师
11:54查看AI文稿AI文稿啊，大家好，这里是 j 样数学，今天我们一起来看一下全国新高考一卷的第二十一题，这是一道概率统计模块的大题， 这道题目我认为是不太难的，由于是对于，尤其是对于我们二三届的考生来说，这道题考察的知识可以说是非常熟悉的，因为在我们今年的模考题里面，不止一次的出现了这样概率与数列地推结合的题目。比方说我们今年 一道很精彩的题目，也就是杭州二模的这一道二十一题，他与我们的马尔科夫恋进行了结合。啊，我人我认为这道题是非常好的，你可以把它当成一个阅读材料来做，因为他你可以看到他的文字描述还是很多的，然后还有给出的具体的数学模型。 呃，我认为你可以在这道题里面学到很多，你可以更能理解这些所谓的赌徒模型啊什么的数学模型，或者说概率模型与我们的地推公式是如何结合的，好吧，然后包括还有我印象里还有我们的广州一模， 广州一模也是考到了这样的一个概率地推，我认为我记得是考的 exi 和 exi 减一吧，也是考的一个与地推结合的 啊，当然还有很多，其他的我就不再列举了啊，我们先来看一下这道题目。嗯，首先啊，我们先来读下题吧，假一两个人投篮，每次由一个人投篮，规则如下，若命中则继续投， 若没有命中，就换成对方去投。无论之前的投篮情况如何，甲的命中率为零点六，乙的 命中率为零点八，那乙投篮比甲厉害一点。由抽签确定第一次投篮的人选。第一次投篮是甲乙的概率，各为零点五。好，第一问求第二次投篮是乙的概率， 大家可以先思考一下这个第一问，我问你第二次投篮是乙的概率，我觉得大家很容易的就会想到，我们必须得问自己一个问题，第一次投篮是谁，对吧？这是我们很关心的问题， 如果第一次投篮是甲，那么对应的第二次是甲的概率和是乙的概率。如果第一次投篮是甲，那么第二次投篮是甲的概率。根据我们的规则，也就是甲第一次投篮命中了， 也就是他的零点六，第二次是乙，也就是甲没有命中，也就是零点四。那么如果第一次是乙，第二次投轮是甲的概率，也就是第一次乙没有投中，也就是零点二。也然后第二次投轮是乙的概率，也就是乙命中了，也就是零点八。 好，所以我们可以比较简单的求来第二次突然是乙的概率，也就是比如我们把这个技为试进 a 吧 pa 也就等于二分之一。我们先算第一次投篮是假的概率，那 第一次好像是假的情况，第一次好像是假，第二次是以就是二分之一乘以零点四，再加上二分之一乘以我们的零点八，就等于零点六。好，第一问就这样轻松愉快的结束了。在第二问求 ti 次投篮是假的概率。好，我认为我们做这个第二个应该要收到第一问的启发。第一问问我们第二次投篮是乙的概率，我们要考虑第一次投篮是谁，那同样的，我们现在要考虑第挨次投篮是假的概率，我们就得想到第挨减一，一次投篮是谁， 那跟第一问同样哦，第二减一次如果是假的话，第挨次是假的概率是不是就是零点六？同理，零点四下面是乙乙，这个图也是同样的，我这里就不再赘数了，可以吧？那么我们就可以很容易的写出来 d， 然后我们 g p i 为 d i 次投篮是 假的概率，我们就可以写出来 p i 是不是等于这个和这个。那么 d i 减一次是假的概率是什么呢？ p i 是 d i 次投篮是假的概率， p i 减一不就是 d i 减一次投篮是假的概率吗？那也就用 p i 减一乘以零点六，加上 d i 减一次是乙的概率，也就是一减 p i 减一乘以我们的零点二， 这个式子展开也就是零点四倍的 pi 减一加上零点二， ok， 那这个式子又是什么呢？ 这个式子是不是就是我们说的地推公式啊？ 就我们现在知道这个书列的地推关系，我们现在要求 d i 次投篮是假的概率，也就是要求 p i。 换而言之，由地推关系是我们要求通向公式。 好，这是个很有意思的问题，可惜这个题目太简单了，我们可以用待定系数法，或者说你装逼一点，是所谓的不动点法，对吧？好，这里我就用待定系数法来演示 p i 加 b 等于，显然是要构造一个等比数列吧。 p i 减一加 b， 对吧？那我们就可以算出来，负的零点六 b 应该是等于零点二的 b， 也就等于负的三分之一，所以 p i 减三分之一是等， 因为这出现分数了，我就把零点四也换成分数， p i 减一减三分之一。好，现在我们就构造了一个新的数列，我们相当于可以把这个就记过 a n 吧，等于 p n 减三分之一， 那么这个新的数列 an 就是一个以五分之二为公比的等比数列。好，那我们现在肯定要考虑一下，因为我们要求 pi 嘛，求 pi 就相当于要求 ai， 那我们就得把这个 an， 这个数列研究清楚， a 一是啥？ a 一是不是就是 p 一减三分之一？ p 一第一次投篮是假的，概率二分之一喽，六分之一。所以 an 的同样公式很简单，也就是六分之一乘以五分之二的 n 减一次方好，我们要求 pi， p i 也就等于 a i 加三分之一，也就等于三分之一加上六分之一乘以五分之二的 n 减一次方。好，那我们的第二问也轻松愉快的结束，所以前两问还是比较轻松的吧。好，我们现在看第三问。 第三问看起来可能有一点吓人，因为他这一串东西啊，是一个偏数学的语言，但是我觉得咱们学数学的不就是要学会翻译这种数学语言变成我们能听懂的东西吗？对吧？我们来看一下他到底说的啥呀？ 若随机变量， x i 服从两点分布，然后交代一下他两点分布的概率。好，我们就写一下吧， x i 服从于两点分布， x i 零一 pxi 等于一是 qy， ok， 那就是说这个是 qy， 那这个就是一减 qy 喽，这不就是个两点分布吗？则一，这一坨东西等于这个好，这个公式你乍一看好像哎，有点复杂，不好翻译 好。但是他问的问题，其实我觉得指向性是很明确的，你看他问什么，即前 n 次，即从第一次到第 n 次投篮，假投篮的次数为 y， 求 ey， 我觉得是很自然的就可以想，你怎么知道前 n 次假投篮了几次呢？你是不是得看第一次是不是假，第二次是不是假，第三次是不是假，不拉不拉，以此类推，对吧？好，那我们这里我们就记好，这里是草稿啊， x i 为 d s 投篮， 假投篮的次数。 换而言之，如果 d s 是假投篮，那么 x i 就取一，如果不是假投篮，那就取零，那我们就可以写出来 x i 的分布列零 一。哎，这里就不是 q i 了，因为我们第二个已经写了 d i， 字头栏是假的，概率是 p i， 对吧？你看我们的公式还在这儿呢，对吧？所以这里就是 p i， 这就是一减 p i， 对吧？ 那我们要求什么？我们就求 y y 是不是就等于 x， 一加 x， 二加点点点，一直加到 x n， 也就是 c 个码 i， 从一到 n 的 x i， 哎，你看 e y， 根据题目给的公式，是不是就等于，哦，还没有。 e y 就是 e c 个码 i， 从 e 到 n 的 x i， 然后根据题目给的公式，是不是就是 c 个码 i 从一到 n 的 p i， 没问题吧？那这个东西，你看我们会不会这个东西的求和，我觉得还是比较简单的，我们就可以直接写吧。首先 p i， 它是一个长竖向加一个等比数列的通向，那前面三分之一喽，三分之一永远不变 求和，也就是三分之 n 加上后面一个等比数列求和。我们直接套公式，一减 q， 一减五分之二分之 a， 一 把一带进去六分之一乘以五分之二的零次方，也就是六分之一一减五分之二的 n 次方，没问题吧？好，让我们简单化解一下这个式子，等于三分之 n， 加上 用除以五分之三分之五、十八分之五倍的一减五分之二的 n 次方，好，那么这个第三位也做完了， 所以不难看出啊，我觉得只要不是第一次碰到这种概率与数列地推结合的问题，做出前两问肯定是轻轻松松的吧。至于第三问，我个人认为他这个问题的指向我觉得还是比较显然的，所以我觉得这道题还是不是很难啊。 然后作为一道高考题来说，我觉得这道题出的可能还没有所谓的这个杭州二模的这一道题目说的好， 因为他跟马尔克夫恋去结合，我觉得这个确实挺好的，帮助我们大家可以更好地理解这个概率吧。然后也没有说像一九年那样， 因为一九年的这一道概率题，可以说是概率与数列地推结合，首次登上我们高考的历史舞台，对吧？当时在全国也是引起了很大的反响，包括我作为这个二一届的考生啊， 我们的那个一轮复习书，二轮复习书上面都是有这道题目的，我是我们所有普通的学生，都至少做了三遍以上这个题目，所以我觉得可能还没有这两道题目带给我的感觉好， 那么在这里我也是推荐大家去做一下。我提到这两道题，一个是一九年的这一道老鼠题，一道是这个杭州二模的马尔克夫恋这道题。好，那么这期视频差不多就到这里，然后下一期视频，我想给大家讲解一下我们 高中第一次碰到的概率地推问题，大家还记得不？也就是我们的错牌问题啊，这是下期视频的主题。好，那么这期视频就到这，我们下期见，拜拜。
211牛马大王
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20:27查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好啊，昨天这个我们的二卷考试结束了啊，那么昨天呢，有一些这个试卷呢，不是很完整啊，所以说我昨天呢就是草率的就是做了一道这个数列的题目，今天呢，我们得到了一个基本比较完整的这个考试卷啊，那么针对这考试卷呢，我把这个 解析呢给大家分析一下啊，整体来看，我们这个单选呢，其实难度并不大啊，好，我们来逐一说啊 啊，第一题呢，我们说的是这个复数 z， 复数 z 我们知道呢，这个考的跟去年一样，就是考乘法啊，考乘法呢比较简单啊， 么一三得三，对吧？然后呢，就是减，哎，然后再加上三三得九，哎，然后再减去三倍的 iphone， 我们的 iphone 是负一负一，乘负三就等于正三倍， 对吧？正三加三呢，我们知道，就是六啊，加上八，哎，那么这个点我们知道，当然由于他都是正的，所以他必然位于第一象限，所以说第一题答案就选了 a 啊，非常简单，一上手了很容易。下面我们看第二题，第二题呢， 说集合 a 是集合 b 的子级，求 a 的值，这个没有去考我们的消并补，但是他考察的是什么呢？就是我们集合的子级关系，同时呢，这里边还有一个点，就是 啊，结合中元素，应该是互译性，对吧，但是如果你要觉得做起来比较麻烦，你就直接代入，你觉得哪个数看起来比较舒服，你就把这些代入，你比如说你把这个 啊，这个带进去啊，那当然就变成负一了，然后呢，这就是负一，然后把一已带入呢，你看这就是零，你看一负一，零零负一，那么零负一必然是啊，零负一的自己，所以答案就选二 b 啊，这题 这是没有必要算的啊，下面再看第三个啊，第三个呢是分层重要啊，分层重要呢，这个是我们统计学的第一个重要的考点，分层重要就按比例呗，是吧？这两层一共抽取了六十名学生，而且初高中部呢，他是四百和两百，我们知道他就是四比二的关系 啊，四比二的关系，对吧？那也就是说他从这个四百人当中四比二呢，我们知道这里边对应的应该是多少， 那是不应该是四十，对吧？这个六十人当中啊，按照四比二分呢，他应该是四十加二十这么一个比例，然后呢，我们这个四十，当然初中的就在初中抽的，所以说这个呢，就是 c 四百抽了四十， 对吧？ c 四百凑了四十，然后下一个呢，就是 c 二百凑了二十，所以说这个题呢，哎，答案就选二 d 啊，那个四 d 啊， 这个我们知道，就比较简单啊，比较简单考的就是分层抽样和这个一个简单的排列组合知识啊，非常简单，一上手就能做。对啊，这个基本上我们大多同学都能做。对啊，所以这个也没什么难度 啊，所以很简单，下面我们再看一下这个呢，我们这是这个在昨天下午一点半的时候，我们做直播的时候，得讲说函数的性质是必考内容，那么这个考的比较简单，比较基础啊，就是考函数的基础性 啊，连对称中心对着轴都没考，就考基友性，那么我们知道这是两个函数构成的，对吧？所以他的基友性必然是有两个函数乘几个来的，那么我们知道这个是基函数， 对吧？那当然这个也得是减数，因为 x 加一三十六是减数， a 显示等于零，所以这道题选二 b， 你看一上手这个这个四个题呢，就非常简单啊，非常简单啊， 好，下面我们再看第五题，第五题呢，考椭圆，那当看到椭圆之后，我们心里就应该想，这个解答题考的应该是双曲线了，对吧？考双曲线了，我们来看一下这个考的什么东西呢？这是直线跟啊，这个直线与什么呢？与椭圆的一个位置关系啊。然后呢，这个直线呢？当然没有说过定点，但他是一个 斜率为一的啊，这样的一个平行直线数也很多条直线与 c 呢，交于 a b 两点，然后三角形 f e， a b 呢，和三角形 f 二 a b 的面积之比啊，这个面积 这笔上啊，也就是说 f a b 的面积呢，是这个面积的两倍啊，求 m 的值，我们知道求值是早方程吧，但是我们倒不建议大家这种题吧，一上来就点到直线距离公式来解这个问题，因为我们知道这个 a b 弦长是一样的，所以这道题本身来讲，就是 f 一到这条直线的距离 离和 f 二到这条直线的距离啊，他只比为二。那么当然了，你可以啊，用这个解析法，因为我们知道这 f 一呢，你可以用一下这个 椭圆中 abc 的关系，对吧？什么关系呢？就是这个西方呢，等于 a 方，然后减去 b 方，这个 a 方我们知道就是三吗？对吧？就变成三，减一了就变成二，所以西呢，就是根号二，也就是这个椭圆呢，要画起来的话，他这个左焦点吧，他的坐标啊是多少呢 啊？负的根号二零啊，它这右脚点 f 二的坐标呢，就是根号二都零，然后我们的做法是什么？有一条直线，这个，对吧？哎，然后呢，它形成了这样一个三角形， a b f 一这么一连，对吧？ 还有一个就是 a b f 啊，这个三角形面积是这个三角面积的两倍，对吧？那当然我们普遍的做法就是直接做啊，直接做就直接找，利用这个两倍找到等式，可以就是我们说的这个 距离，还有这个距离，对吧？因为你三角形面积呢，我们知道第一个三角形叫 s， 三角形 f e a b 呢，它的面积等于二分之一， a b 乘以 f 一到这条直线的距距离，我们估计也称为对一个一吧。啊， 那么第二个三角形是 f 二啊，这个 ab， 那么这个三角面积是二分之一，也是 ab 啊，再乘以得二吧，那么我们知道他的一比的时候，实际上就是得一和得二比等于几啊？哎，等于二，那么下面呢，我们知道就可以利用下点到直线距离公式，对吧？我们这个得一呢，就 可以把这个点啊负根号零带到这条直线里面去啊，获得得一的结果，那就是负啊，根号二带到 x 里面加 m， 然后再减去 y 的零，就不用减了啊，再比上根号下 a 方加 b 方，这个 a 方是一， b 方也是一，这是得一，同理得二呢，我们知道代弱的就是什么就变成根号二了啊， 就是刚二加 m 的绝对值，比上刚好下二，那这个呢，比一比等于二，然后呢，我们就把这个哎 m 就求出来了，对吧？哎，这是我们说的解析法，但是其实这个根本就不需要，你要是有点粗重的知识的话，你知道其实这里边就是一个相似比的问题啊，你看这一段长 比这长是二比一，所以这个比，这个就是什么呀？二比一，所以说呢，你就知道什么呢？说这个点它在整个线上是什么关系呢？它是整个 线段啊，这个焦距二七二七就二倍杠二嘛，对吧？它长度的三分之二，对吧？三分之二是吧，所以说它代表的是什么呢？代表的就是三分之四倍杠二， 当然了，这个点的坐标其实我们就知道了，因为这段长，我们知道是说是这个根号二，是吧？所以再减去根号二呢，我们知道他就等于三分之多少根号二，而三分之根二就是 a， b 呢，穿过了这个点，对吧？他的坐标呢，就是三分之根号二，逗零， 然后呢，这条直线既然过三分之二豆零呢？你直接带到直线里面就完了啊， x 是三分之根号 y 呢，值是零，那这个 m 值当然就得负的三分之二啊，所以 c 就完事了，第五题就选 c 了啊，第五题就做完了啊，那么 现在啊，我们继续往下看啊，继续往下看，就是前几个其实都是很简单的啊，继续往下看，那么下面我们再看第六题啊，第六题是什么呢？说这个啊，函数 f x 在区间一到二单调递增，这个我们知道是高考必考内容，对吧？嗯，在这个 昨天下午我们进行复习的时候，我也说了，我说这个函数一上来就先求导啊，他单调递增就求导，之后大于等于零就完了啊，大于等于就完了。所以首先呢，我们得会导，把这个过程写在下面啊， 倒一下并不难，对吧？这个作为系数啊存在就不用管它，那么 e x 还是 e x， 对吧？烂 x 是 x 分之一，然后它横大于等于零，那么我们知道这个横成立吧，其实我们在 这个前天晚上在在这讲的时候也直接说过啊，就是什么呢？就是解题当中你需要注意步骤，这不就横成立吗？对吧？ 横成立求最直问题。那么昨天呢，我其实也讲说一个高考卷最直问题是一定要考到的啊，然后呢，我们用的话叫餐便分离，所以说我就变成什么呢？就是这个 a 对吧？大于等于啊， x 分之一，再除以 e x e 还在分母下面啊，就是这样。然后根据提议呢，横因为横小取 max 最大， 当然你要想对这求导歧视，我觉得也不反对，但是其实我觉得根本没必要，你就可以用咱们讲的推崇解理法，这个第三季直接做就行了。怎么做呢？因为我们知道这个结果 啊，这四个结果必然是这种式子的结构，你觉得他能等于一方吗？如果要等于一方的话，说明 x 是负二，对吧？那你这个 f 二到这怎么变成这个值呢？所以这不可能，对吧？当然 e 也不可能的，因为作为 e 来说也是负一，你要负一的话，这种结果 应该是负的一，对吧？所以这个也是错的，你看一的负一次方，我们知道这个就比较靠谱了，对吧？ x 等于负一的时候 是吧？大 x 等于什么呀？你可以试一下啊，这个就 x 等于啊，这个 x 等于一的时候，你试一下，在 x 等于一的时候啊， x 等于一代入就是一啊，乘以一，一分之一啊，就变成了一分之一，分之一就是一的负义词啊，你发现这个式子结构在 x 等于一的时候确实可以等于这个值 啊，确实，肯定值，所以答案就选西了啊，答案就选西了，当然你要求导啊，去算一下他的最大值也没有问题，但是我觉得比较浪费时间，那么负二次方我们知道相当于 x 等于二了，对吧？还得二，这是不可能的，没有这个数， 所以正确答案选 c 的其实根本不需要算啊，根据我们曾经讲过的这个最值问题啊，他的最值一定是带入 某一个 x 代进去取得的这个值，只不过这个值吧，不需要算啊，不需要算，当然这个原因也曾经我们也讲过一个函数的最值呢，他不是在定义的边界处，你看边界处取得一定是在极致点处取得， 就是这样啊。好了，六题完事，下面我们看第七题啊，说阿尔法锐角口塞阿尔法得这个问赛二分之二得多少？其实我们知道这个口塞阿尔法和二分之阿尔法这个关系，我们在这个 昨天下午啊，在这个考场之前的时候直播的时候我们就说过，这事在三角横等变换当中呢，一定要注意我们已知和结果之间的什么呢？哎，角的矛盾对吧？哎， 我们一只脚是阿尔法所学的二分之二法，我们知道是很简单，直接用二只脚公式就推倒过来了，对吧？哎，一步到位啊，怎么一步到位呢？考三亚阿尔法是不等于 一减二三方，对吧？哎，一减二三方，这不就那就就直接等于什么呢？四分之一加上根号五喽， 是不是？哎，那这样的话呢，我们就直接把这个三二分加二求出来，然后把这一挪这个，把这个数挪到左边来，一减去，四分之一加刚好五 啊，等于二倍三，二分之二八的平方，然后把二倍除过去，然后再开根号，当然了，我们有同学可能会觉得这个恐怕开根号这数并不是很好算，这样啊，如果你要是觉得解方程开根号这数不好算怎么办？你别忘了，这不还有选项的吗？ 你可以把 a、 b、 c、 d 的这四个选项给他，怎么你给他带进去不就完了吗？对不对？你直接给他带入进去，这事就解决掉， 其实也没什么可就说啊，你直接你看，当然你这个事其实可以做的，就是说你要正常做是没有问题，如果我说你要假如说你这个解方程的能力啊，又不是很够，那么怎么办？你就用刚才我说的方法啊，你就用刚才我说的方法，你就这么做一下啊， 啊，这个我们整理完结果是多少呢？是十六分之啊，六啊，减去二倍，根号五十六分之啊，就是我把这个挪过去，这样，然后呢，你相信他要开车号能开着一定是一个完全平方，对吧？所以这就考眼力的时候呢，这就是四 的平方，对吧？然后你这个呢，应该是根号五的平方减去二倍，根号五乘了个一，再加上一的平，这就是个完全平方式啊，他其实就是四分之根号五减一，括号的平方啊，当然了，我们一开 号答案就是四分之钢号五减一了啊。对于能力比较强的同学，我觉得开个号并不是个事，但是如果你没有这个实力的同学，别忘了选择题，其实我们选项直接带入也可以啊，然后我们选取正的啊，四分之啊，这个钢号五减一，四分之钢号五减一，所以第七题答案就选了 sd 啊， sd 好了，那么到现在为止呢，我们一看啊，这一共几道题，一共七道题了，对吧？这七道题呢，我们基本上呢，都涵盖了几乎的这个所有内容了，几乎所有内容了，对不对？哦，那下面就剩最后一道题了，最后一道题了啊， 这前七道题呢，我们就做完了啊，比较简单，你看复数集合，这是一个排列组合和凑样合在一起，这是考了函数的接口性，函数的单调， 这是直线和这个土耳相交问题，这是三角环的变换啊。那第八题呢，你看这整个里边的数列，三角都是核心的部分，所以第八题他考了一个数列，但是数列对我们来讲也并不是很复杂，对吧，你看等比我们心里就有底了，对吧？ 等比呢，和等差差不多啊，就是代公式解方程，你看 s 四等于负五， s 六等于这个，那条件都是够的，你就代公式解方程就可以了， 对吧？正常解就完事了啊，这是没啥说的啊，但是有一点是什么呢？就是啊，在解的时候要注意一下我们计算的优化，否则的话，这也是容易算错的，要不然他作为第八题其实还是有一定的原因的， 但不过呢，我在这里要跟大家提一点啊，就是说如果你要是计算力不够啊，或者能力技术不够，我们可以说点题外话。啥呢？其实我们在这个考试前呢，也在跟大家说这点啊， 同学老师有没有这个选择题一个什么规律啊？在问这个事，那么根据我的研究呢，就是选择题啊，普遍是这样，就是选择题呢，他的正确个数要基本一致啊，不能相差太多， 也就是说 abcd 啊。这个八道题普遍来讲呢，是两个 a， 两个 b， 两个 c， 两个 d， 可能性比较小，因为如果是这样均匀，绝对均匀的话呢，他就容易蒙题了。所以呢，我们又相差的不能太多 啊，但又不能完全一致啊，这个我们觉得最佳组合方式其实就是一三二二，所以我跟同学讲，如果你实在要是后面题做不出来怎么办呢？ 你可以尝试一下用我讲的这个规律啊，就是一三二的规来做一下，不妨呢，你可以统计一下前七道题，你看 a 呢，有一个，只有一个 a， 对吧？所以说你第八题如果选 a 的话，就变成两 a 两 b， 两个 c， 两个 d 了，对吧？你看两个 b， 两个 c， 两个 d， 那那就是绝对平均了，可能性比较低，所以说这个权益要慎选啊，那当然，这个一百二十呢， 他是对应了这个 a 来的负的嘛，一百二十对吧？所以说如果你要选得的话，也存在一个问题，你看在这个正确分配上，你看 ab 得 b， 然后下面就是 cc 得得， cc 得得呢，规律性也太强了，因为高考中呢，像选择题的安排，他也是有一定的原因的啊，就是他 不容易形成规律性的东西，所以选 d 要深选，那么剩余的就是 b 和 c 了，那么 b 和 c 要怎么选呢？如果你要看到了说 s 等于负，估计你还能想到，这恐怕这个数应该是取负的，不应该取正的啊，这就是我说的大体上这个意思，也就是说在你如果时间不够，不太会啊，那你最有可能就该选 c， 这是我们猜测到底是不是啊，那个下面我们来算一算啊，啊，下面我们来算一算啊，好，我们就正常来算一下，因为两个公式嘛，我就直接解了， s 四呢，我们知道他就等于 啊，这个 a 一乘一减 q 的四次方比上一减 q 这个值呢，等于负啊，这是一式，但是我们知道这个数量都比较大，你看四次方挺大的啊， 然后下面 s 六啊，这个 s 六啊， s 二两边都有 s， 这个其实比较好，因为我们知道两边都有 s 的话，它必然都会有 a 一和 e 减扣，但是能约掉的啊， 所以这 s 六呢，我们就写成 a 一乘一减 q 的六次方比上一减 q， 它等于二十一倍的 s。 二呢，就是 a 一乘一减 q 的平方比上一减 q， 你看这个一减 q 约掉， a 也约掉了，对吧？然后这里面需要一个 问题，就是这个东西吧，算到六次方怎么办呢？其实这个可以看作是三次方的平方，或者是平方的立方啊，也就是说这个一可以看作一的立方，然后 q 六次方可以看作平方的三次方 啊，为什么这样呢？因为我观察到右边有个一减 q 平方，我们可以另一下立方叉公式，这个立方叉公式我们在高考前两天，我们在这个梳理教材必修一的时候就说过啊，在必修一里面就有个叫做 等式，当中的横等式讲就是因式分解啊，所以像等比这样，要学会适当的因式分解，尤其是啊，平方插公式啊，立方插公式啊，等等这些东西啊，好，那等什么呢啊？就是 a 的立方减 b 的立方，就得 a 减 b 啊，再乘以 a 方加上 ab 啊，这是加号 变变号了，再加上 b 方， b 方啊，就是 q 的四方，这个东西等于二十一倍的块一减 q 的平方啊，所以这样的话呢，我们就把这个约掉啊，事实上我们用这个公式也是有原因的，公式的一的话，这事不成，你可以试啊，然后这样的话呢，我们得到这个结果， q 的四方加 q 的平方 啊，加 q 平方，然后啊，减掉二十等于零啊，这个我们知道这个是 q 方的方啊，一直分解了啊，这些变成了四五，那应该是，嗯， 数四正，对吧。哎，这样的话呢，我们得到这个代表是 q 的平方，一个 q 的平方，所以 q 方减四乘以 q 方加五点零，那显 q 方就在一起了，哎，就等于四，对吧。那当然我需要把把这 q 方减四，然后给带回去，是吧？带回去然后再算这个 q 呢，其实也是可以，这是没没有问题的，但这里边有个啥问题呢？为什么有的取负取胜呢？我想就涉及到一个开杠号的问题，对吧？所以说你就公比 q， 你一会在二，你还是负二啊，这就有点麻烦，对吧？所以呢，我们在想小题当中有没有这种规律，不用去讨论这个事也能算对的方法 啊？颜色这个方法，我觉得如果要这样的话，我觉得就比较好一些啊，就比较好一些啊，那么下面呢，咱们来算一算啊，那这个时候是不是就是这样啊，我们看一下，呃，这个 s 八呢，我们看一下啊，和 s 四之间有没有什么关系，你看 对吧？你看四和八，所以我们想能不能利用他俩之间的这个商的关系， a 一乘一减 q 的八次方啊，再比上一减 q， 然后 s 四呢，我们知道等于 a 一乘一减 q 的四 啊，这个，然后再除以谁一减 q， 你看他俩一除的时候，这都约掉了，对吧？这都约掉了啊，正好呢，这我们知道这个又是一个平方加公式，所以变成了一减 q 的什么呢？ 四次方的平方，对吧？所以上面就变成了一加 q 的四方，再乘一减 q 的四方，然后又约掉底下一减 q 的四方就约掉了，这个数等于多少呢？哎，就等于 s 八，对吧 啊？再除以什么呢？负，因为 s 四呢，就是负，是不是啊？那当然，这个数我们刚才也算 q 方等于四嘛，对吧， 这就是四的平方，就是十六啊，加一等于十七，所以 s 八呢，最终结果等于十七啊，乘以负五，答案就得负到八十五，你看啊，离我们之前预想差不多，这正好也选 也达到了我们说的选择题的标准啊，就是一二三二二这样一个标准。好了，这样的话呢，我们就把这个单选跟大家说完了， 也比较简单。整个来说呢，这个单选题没有什么特别拐弯的啊，第八题可能算起来稍微复杂一点，这需要大家呢会一些这个音质分解的这个本领，要不然算起来可能稍微慢一点，计算需要优化一下啊，所以整个呢，前八道题就是这样。好了，就讲到这里。
23育世新才于校
05:07查看AI文稿AI文稿我们对二十二题第二问另外一种大家常用的方法做一个说明。由于题目说 x 等于零是 fx 的极大支点，那说明在零的附近是左边增右边减的，这样他才会是极大支点。 于是 f x 的一阶倒 f x 撇它应该是左正右负，零是它的一个零点， 于是我们就会发现在零的附近呢，他的一阶倒是单调递减的，这样才能满足他左正右负，零处恰好倒数等于零， 于是呢，在零处的切线就应该斜率为负，零处的切线就是 fx 在零处的二阶段， 那么 f 两撇零就必须要小于零。我们对这个函数求完一阶倒之后，再求二阶倒，会发现他的二阶倒等于 负 a 方扣三 a， x 加上一减 x 方的平方分之二倍的一加 x 方， 那么我们把零带入进去， f 两撇零等于二减 a 方，让它小于零就可以得到 a 是小于负根二，或者 a 大于根号二，这样二接到在零处，函数值就会满足小于零。并且呢， 我们把零带入一届岛，经过验证，发现他恰好是等于零的，所以我们会发现他同时满足了这两 点，那么我们就非常简单的得到了 a 的取值范围。这样看起来呢，用这个思路比我们之前讲的法一要简单很多，但是这样做行不行呢？ 这样做主要会有两个大的问题。第一个问题呢，就是他不充要，比如说 ux 等于零是他的极大支点，为什么一定能推出 f 二接到零就小于零呢？ 我们假设他的一阶倒是这样一种情况，在零的附近，他比较类似于负 x 的三次方的图像， 会发现他左边越来越平缓，直到零的时候他接近于平的，于是他其实在零这一点处是切线斜率为零的，那么 作为一阶倒，他也符合左边为正，右边为负的要求，于是满足原函数先增后减。但是呢，由于这个一阶倒，他在零处的切线等于零，所以二阶倒的零并不是小于零，而是等于零的。 反过来，如果没有对这个函数连续可倒的判定，即使满足了 f 零撇等于零， f 两撇零小于零，也不能推出 x 等于零是他的极大支点。 当然这些问题我们可以想一些办法去尽量避免。比如说二接到零等于零的情况，也就是 a 等于正负根号二，可以分别带回去验证一下符不符合题意。而 他的连续可倒，那我们可以根据高中阶段对函数的经验，如果他不是个分段函数，如果他也没有绝对值，那么他大概率连续可倒。 但是这也不是一个严格规范意义上的证明。换个角度来说，即使你解决了我们刚才举的例子这样的问题，你怎么就能保证他冲药了呢？会不会还有别的问题没有考虑到呢？ 那所以说，如果要用这个东西，我们还是需要先严格的证明，但是用高中阶段的知识对他去证明还是有一定难度的。那么这就涉及到了第二个问题，就是这是一个在高观点下得到的结论，对于高中阶段呢，属于 二级结论，他的证明呢，我们常见的往往是利用二阶泰勒展开，那我们这里没有必要展开去讲。所以说，如果采用这种做法，并且想把步骤写的很完美是比较困难的。 不过呢，在考场上还是因人而异，我们根据自己当时的时间、能力以及自己的预期来做选择，如果你想拿到所有的分，想把它拿满， 最好还是选通法。就像我们上次讲的那个方法，他其实要用第一问的结论，这也是命题人的意图， 而如果并没有，至于非要拿满分，只是说我拿分就行。能把这个结论找到，先探一探路，当然我们可以选用这个方法，所以大家可以根据自己的情况做出取舍。
189袁来有数(高中数学)
