21年广东数学
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00:54查看AI文稿AI文稿你知道数学一百四十分在高考中是什么水平吗？去年二五年高考后，福建省教育厅发布了数学学科评价报告。报告中提到， 全省二十二点八万左右的考生中，考一百四十分以上的人数占比百分之零点零一，也就是万分之一左右。用人数乘以这个比例算下来，其实 二十最多，不过二十五人，全省达到了一百四十分以上。根据官方数据，广东省的高考人数大概是福建省的三倍出头，也就是说，同比算的话，应该有七十五人左右。但事实上，去年考后呢？网上流传的数据 关于一组抽样的，就是说全省高考数学的平均分，广东省还比福建低不少，也就是说，去年广东全省高考数学过一百四十分的不到一百人。
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01:42查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，我们来看题，已知 sine alpha 等于负的五分之四，且 alpha 角是第三象限角，现在要求的是 cosine alpha。 题目告诉我们 alpha 角是第三象限角，就是让我们可以判断 cosine alpha 的 正负。好，那有同学不知道这个象限角到底是什么东西，老师给大家画个图。 好，我们的象限他是从右上角开始逆时针的旋转，右上角是第一象限，那左上角是第二象限，左下角是第三象限，右下角是第四象限，就是这么逆时针过来的，这个象限大家一定要记住哈！那题目告诉我们，阿法角是在第三象限角，也就是在这个位置， 那我们怎么去判断正负呢？ sine alpha， 它的正负看的是 y 的 正负， cosine alpha， 它看的是 x 轴的正负。那如果 alpha 角是第三象限角，我们很容易判断 x 为负的， y 也为负的。 好了，现在进入正题，我们要求的是 cosine alpha， 这里有个公式， sine alpha 的 平方加上 cosine alpha 的 平方等于一，这个公式是一定要记住的。好，所以我们知道 cosine alpha， 它是等于正负，根号一减去， sine alpha 的 平方等于正负，根号 一减去三。以阿法的平方等于二十五分之十六，一，其实就是二十五分之二十五，然后减去二十五分之十六，等于二十五分之九。好，那现在又等于正负根号的二十五分之九，我们直接开出来等于正负五分之三， 那我们前面知道了， y 是 负值，所以我们的 cosine 也是负值，所以这里取的是 cosine 等于负的五分之三。那这道题的答案选的是 b 选项，同学们听懂了吗？
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05:56查看AI文稿AI文稿选择题第一题，下列实数中最大的数是 pi 的 话是约等于三点一，四根号二的话约等于一点四，一四负二绝对值的话就是负二的正数等于二， d 的 话是三，所以最大的是选 a pi。 然后第二、第二小题，根据国家卫卫建委委员会发布，截至二零二一年五月二十三日，三十一个省区市及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠疫苗 五万一千零八十五点八万记似。将这个数用科学计数法表示为，首先我们把它整理为标准的一个形式， 五幺零八五八一二三。所有的科学计数法，我们第一步就是把它整理成标准形式，然后第二步的话，把小数点这个是小数点的位置，把小数点移到 前面只有一个正整数的位置，所以的话我们移到这里，前面只能有一个正整数，所以小数点必须是移到这里。然后我们数下，从这里移到这里，小数点移到多少下？ 一下、两下、三下、四下、五下、六下，七下，八下，所以是十的八次方，小数点移多少下就是十的几次方，小数点一定要移到最后，移到小数点前面只能有一个正整数， 非零的正整数，所以只能移到这里，然后小数点从小数点的位置移到这里，一共移了八下，就十的八次方，然后这里照抄，所以答案选 d 五点一零八五八乘以十的八次方。所有的科学计数法都是这样的，第一步把它整理成标准的形式，第二步的话把小数点移到 小数点前面只有一个正整数的时候，然后数一下一共移了多少下，就十了几次方，前面这里就照抄就可以了，移好的这个位置照抄就可以了，所以答案选 d。 然后第三题 同时正两枚质地均匀的色子，则两枚色子向上点数之和为七的概率为正色。正色子概率，所有的概率的话，大家记住先干嘛后干嘛，有哪几种可能一定要等。可能 先干嘛的话是先增了一下色子，有一二三四五六种可能，第二的话是后干嘛， 后的话又增了一下色，色子也有六，每一个都有六种可能，一二三四五六，这个我就不列出来了，六个后后的话又六个六六三十六，所以一共有的话三十六种可能。然后他说色子向上点数之和为七，一的话只有先，如果是摔到一的话，后面只有六 才是加起来等于七。所以这里有一种可能，二的话只有五才能是七，三的话只有四才能是七，四的话只有三才能是七，五的话只有二才能是七。猜到六的时候的话只有一才能是七，所以一共有六种等于七的可能，所以 一共的话是三十六分之六等于六分之一。答案选 b。 然后第四题做第四题之前的话，大家记一个指数公式，三的 m 次方乘以三的 n 次方 等于三的 m 加 n 次方。三的 m 括号 n 次方等于三的 m 乘以 n 次方。这个公式大家一定要记住，记牢，指出公式，只要记得住这个公式，这个题目就立马做完了。然后看咱们看这里，三的二 m 加三 n 次方。我们根据这个公式就直接可以拆成，三的二 m 乘以三的三 n 次方，三的二 m 的 话，这里又可以拆了 三的二 m n 次方的话，这可以变成括号三的平方的 m 次方，所以就变成了九的 m 次方，这里的话也是一样，可以加个括号三的三次方，括号的 n 次方，根据的是这个公式，括号的这个， 所以的话，这里就变成了九的 n 次方，二十七的 n 次方，三三得九三九二十七，二十七的 n 次方，那这里就九 m 乘以二十七的 n 次方，九 m 乘以二十七的 n 次方的话，三乘四等于十二，所以答案选 d。 然后第五题第五题的话，一个数的绝对值加上这个数的平方根等于零，一个数的绝对值一定大于或等于零，一个数的平方根也一定大于等于零，这是定律。所以的话，这两个大于等于 零的数相加等于零，所以一定是这里等于零，这里这里也等于零。所以这里的话，这个数字其实是很整洁的，咱们可以用配方法整理一下， 整理一下的话，就直接变成了根号八 a 减二， b 画号的平方， 这个完全配方公式，配方公式大家一定要会，如果不会也没问题，直接把根号三带到这里面去， a 等于根号三，带到里面去，然后解方程就可以了，也是一样的， 因为它是等于零的。然后这里的话，我们求到 a 四根号三， a 四根号三的话，带到这里面去。三乘以根号三，它减去二乘以 b， 它等于零，所以的话， b 等于的话是二分之三，根号三， 所以 a 乘 b 的 话，等于二分之三，根号三乘以根号三等于二分之九。答案选 b。
1621广东中考数学真题赏析
05:02查看AI文稿AI文稿这个视频我们讲一下二零二一年广东省中考数学试卷的二十三题，如图，边长为一的正方形 a， b， c， d 中点一为 a， d 的 中点， 所以 a， 这里我们可以标一个长度二分之一 d， 这里也标个长度二分之一 c、 d 标个一， ab 标个一， bc 也标个一，然后连接这一个 b， 将三角形 a、 b、 e 沿 b、 e 折叠，得到三角形 f b， e， d， f 交 a、 c 于点 g， 让我们求 c g 的 一个长， 那么这里的话，我们可以把这一个 b f， 我 们把它延长，跟这个 c、 d 会有一个交点， 比如说我们假设这个交点是 m 吧，然后我们再把这个 e m 把它连起来，我们交代一下辅助线吧，先写一个解， 延长 b f， 交这一个 c、 d 与点 m 连接 e m， 我们知道这一个，呃，因为这一个 d e， 它会等于这一个 e、 f， 它会等于二分之一，因为是折叠上去的，然后这一个 e m， 它又会等于这一个 e m， 所以我们会发现这一个上面这一对小直角三角形，它是全等的直角三角形，这一个 e、 d、 m 全等于直角三角形 e、 f、 m， 这个可以通过 h l 来验证它，它全等，那么全等以后的话，我们就可以说这一个 dm， 它会等于这一个 f m。 我 们不妨假设这一个 d m m f 的 长就是 x， 我 们假设它等于 x， 那 接着的话，我们就可以求出这一个 c m 的 长来， c m 就是 e 减 x， 然后这一个 b m， 它就应该是一加 x， 因为这个 a b 跟这个 b f 的 长是相等的，所以 b f 也是一，而 m f 是 x， 所以 b m 的 长就是一加 x， 那 么我们在这一个直角三角形 b、 c、 m 当中，我们可以使用一下勾股定律，那就会有这个一减 x 的 平方，加上一的平方会等于一加 x 括号的平方。那么解一下这个方程，我们 应该可以得到一个呃四 x， 然后他会等于一，所以求到 x 是 等于四分之一，那么 x 等于四分之一的话，我们就可以求出这一个 cm 的 长来， 所以 c m 的 长就应该是一减 x， 它就等于四分之三。那么在这里的话，我们会发现其实这里有一个八字形的一个相似，我们说，呃，因为这一个 c d 平行于这一个 a b， 然后我们就可以说这一个三角形 c、 m、 g 相似于这一个三角形 a、 b g， 所以 我们就会发现这一个 c g 比上这一个 a g， 它会等于这一个 c m 比上这一个 a b， 这个 c m 的 长是四分之三，那比上 a、 b 的 长， a、 b 的 长是一，我们就不用比，它其实就是四分之三， 所以我们就可以把它理解成这一个 c、 g， 它是占三份的， a、 g 是 占四份的，那么整一个 a c， 它的长就是七份。接着我们就说，因为 这一个 a c， 它是等于根号一的平方，加一的平方等于根号二， 所以我们就可以说这一个 c g 的 场，它就应该是等于七分之三，乘以这一个根号二，所以最后的答案就是七分之三倍，根号二。
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03:52查看AI文稿AI文稿同学们好，欢迎来到老戴数学讲堂，我是老戴，今天我们介绍的是三家证书考试数学真题拆解系列二零二一年真题的第六部分。 下面我们来看真题。十九、已知数列 a n， 它的前 n 向和 s n 是 等于 n 加一，则 a 十等于多少？那么根据啊，我们的公式啊， 那么通向这个 a n 的 话，就第十项，第十项 a 十是等于 s 的 十去减上 s 的 九 啊，就前十项和减上前九项的和自然得到了，就我们第十项。那么代进公式来，它就应该是啊，跟这个公式就是十乘上这个十一减上九乘上十， 那么这个是一百一十减上九十，那么等于二十，所以呢，第十项它是等于二十。 那再来看整体二十，以点 m 三一为圆心的圆，以 x 轴啊，相交以 a b 两点， 若三角形 m a b 为直角三角形，则该圆的标准方程。为什么？ 那首先沿心，我们知道沿心知道的话，它的标准方程大概是长什么样子的？就是 x 减三括号的平方加上 y 减一括号的平方，等于二的平方 啊，那么它的标准方程肯定这样子，那接下来呢，我们要把这个 r 平方就是半径的平方算出来，那我们来画一下它这个草图啊，这个圆呢，它的一个简单的一个草图，那么圆它的草图，我们看到沿 c 沿 c m 是 在三一这个位置啊， 三一这个位置也就这个位置是沿 c。 好，这个圆跟我们 x 轴交于 a b 两点，然后这里连接起来， 那么这里呢，也连接起来啊，这个是 m， 然后呢，这个是 a 点，这个是 b 点。 好，从这里给这个圆心坐标三跟一 y 呢，是一，那我们可以知道啊，这里呢是它的长度啊，是一二， 那我们还有知道了 m a， 它其实是半径 r， 然后 m b 的 也是半径 r。 好， 关键点来了，他这里说我们这个三角形的 m a b 为直角三角形 啊，直角三角形，那这一个他的中线就三线合一啊，是他的平分线角平分线啊，然后也是他的高，也是他的这个中线，那很明显的我们可以知道这个是一的话，那这里的也是一，那这个二的平方我们就可算出来，二 的平方啊，是等于二的，那二的平方乘二，这个算出来了，我们这个标准方程也就出来了，所以 最终它的标点方程是 x 减三，括号平方加上 y 减一，括号平方等于二，这是它的标点方程。那么好，同学们，二零二一年专题第六部分我们讲，讲到这， 那么接着老戴所讲视频，对你有所帮助的话，给老戴点点关注，点点赞，我们下期视频再见。
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04:00查看AI文稿AI文稿东莞宝爸宝妈别划走，今天只聊中考最拉分的数学。我扒了二零二一到二零二五五年广东卷，用真题讲透现在数学怎么考，怎么复习，不白刷题，全是干货，建议收藏转发！今天讲五件事，五年难度变化题型，新坑 必考知识点、压轴题真相，最后给你实用！备考建议，先定心，二零二一年那种考完哭的地狱难度不会再有了。当年难度零点六五，东莞均分暴跌，一百分就是年级前几。但二零二四年开始难度回升，二零二五年尤其明显， 会而不对成常态。总结，死记硬背没用了，现在拼真理解看真题。二零二四压轴题是典型代表，矩形折叠加反比例加圆综合难，在几何代数来回切换核心考三点，竖形互易轴对称勾股计算，动态临界分析， 说白了就是考数学思维。第一个要命变化是题结构改了，以前七级两重一难，课本吃透就能考九十，现在六级三重一难，中档题涨到百分之三十，光背公式做例题不够，题型一遍就懵的孩子最吃亏。第二个变化， 二零二四年起，考试时间从九十分钟变一百二十分钟，别以为是好事，这说明题量、阅读量、计算量都涨了，很多孩子最后半小时脑子转不动，会做的也写错，现在拼的还有专注力和耐力。好消息， 题型框架没变，还是时选择三十分五填空题十五分，解答题占大头。坏消息，题干越来越长，坑越来越深， 一道选择读题就要一分钟，稍不注意就看错条件。这两年最大趋势数学全跟生活挂钩。二零二五考低空经济，万绿湖侧距离沟谷树种花，二零二四考新能源，端午旅游，还有传统文化题，别让孩子死读书，平时多看看新闻，不然连题都读不懂。 中考数学就考四大模块占比五年没变。数与代数百分之四十到四十五约五十四分，重中之重。 图形与几何百分之三十五到四十中档压轴主力统计与概率百分之十纯送分。综合与实践百分之七到八。二零二二新增最拉差距数与代数，抓两个高频二次函数每年压轴考图像解析式最值加几何综合分式方程每年考，应用题 一定要检验，每年都有孩子忘写，丢分太可惜。图形与几何抓三个解，直角三角形每年考测量题 背书三角函数就拿分，圆长结合三角形，四边形考垂径圆周角切线，正方形是旋转折叠的高频在体，统计概率是慈善体。十二到十五分必拿满重点记中位数，五年考十三次，别跟种树搞混。综合实践考现场学习能力，比如二零二五年的黄金分割，新定义， 别慌，读懂定义转化成式子就不难。我统计了五年真题，这十个知识点考的最多，赶紧让孩子记下来， 没掌握的赶紧补。中位数十三次借直角三角形十二次勾股定律十次正方形性质十次圆周角定律十次二次。函数每年压轴，分式方程每年必考，科学技术法每年一题全等三角形每年证明一次，函数每年应用。最后 给大家三个最实在的备考建议，第一基础题一分都不能丢，百分之六十都是送分题，每天十道计算五个公式错题本每周复盘，别小看计算算错，丢失几分太远了。第二，中档题是题分关键，现在占百分之三十是拉开差距的分水岭。重点列函数、综合 几何、相似应用题，总结解析模型，举一反三。第三，压轴题要学会取舍，先把基础中档全做完，检查好再冲难题，别死磕，最后一题 能写一步是一步步骤分也是分。懂管的家长们，中考数学拼的不是智商，是细心方法和积累，抓牢基础， 突破中大策略，压轴孩子一定能考好！祝二零二六届学子金榜题名，考上新一高中！觉得有用就点赞、收藏、转发给身边家长吧！
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02:17查看AI文稿AI文稿后面同学不要再笑了，哈哈哈，好，我们接着讲数学模拟卷的二一，就是第一题，我们看到他一开始就说了两个几何对，一个 m 和 n， 那 我们先把这两个几何的那个图给画出来， 他说 x 带等于负一小于二，画坐标轴。第一件事先标个零啊，我们有始有终，负一 二， x 大 于等于负一有等于的，我们这个圆圈实心了，实心因为代表了负一也包含在里面，这样子小于二，这样子 空心的，因为它没有包含二。 ok， 我 们看到这个 n， 后面同学不要再笑了，哈哈哈。依旧画个坐标轴，先画个零，一和四在这边， 对吧？没有说等于空心，有等于实心。 这两个集合的图是不是出来了？对，我们这个分析全错啊，这个分析不能这么分析。嗯，我们要把两个图画在一个坐标轴上， 零负一，一二三四。好，差不多。就这样，我们看到 m 已经出来了，把这个 n 也画上去， 然后我们看到他问的是 m， 上并下交交集，交集问的是相同点，我们看到这两个集和它们共同点哪里？ 这一段那就是一和二，我们看到选项是 x 小 于二大于一，是不是不知道？我们就结束了，哈哈哈。
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08:39查看AI文稿AI文稿医卷的高考真题是关于概率统计的，首先我们来读题目，医医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地的卫生习惯的关系，那么这个表格就是疾病，这就是生病的和未生病的。 不够良好的和习够习惯良好的人在已知患病中调查了一百例，同时在未患病中调查了一百例，生病和未生病是各一百。得到了以下数据，我们可以把这个 不够良好的也给它加起来，是五十人，良好的是一百五十人。首先这个公式我们要清楚公式，这个表格第一个格子是 b， 第三个格子是 c， 第四个格子是 d， 这个是 a 加 c， 这个是 b 加 d， 这个是 a 加 b， 这个是 c 加 d， 整个的 n 是 等于 a 加 b 加 c 加 d。 好， 那我们看一下下面给我们的这个参数也在这里。这个参数是怎么看的？我去算这个卡方，卡方跟下面的这些数据相比， 那么第一个零点零五对应的是百分之九十五，零点零一对应的是百分之九十九，零点零零一对应的是百分之九十九点九。如果是卡方大于等于某一个数字，那我们就是有把握。 如果卡方是小于这个数字，我们不能说明它有把握认为无关，我们应该说没有把握认为它有关，那这个是前提的一点，这是储备。那第一问，他问的是能否有九十九的把握，认为该患病群体与未 患病群体的卫生习惯有差异。那首先那这个我们直接算卡方就好了，卡方等于 n， n 是 所有的加起来，对吧？是二百 乘以 a d， a 是 四十， d 呢是九十，减去 bc， bc 是 十，乘以六十平方 除以 a 加 c 是 五十，分别把这四个数字写到下面，那就是乘以一百五十，再乘以一百，再乘以一百。好，那这个时候我们算这个括号里面的和外面约分，那你看，我同时可以提出来一个一百， 那我提出来一个一百，这里还一个平方，是不是相当于上面约了一千？那所以下面我们也要约掉一千。好，现在我们整理一下，上面还剩二百乘以四九，三十六减去六的平方除以 五十乘以一百五，此时二百，我们可以约掉两个零。下面三十六减六等于三十的平方，先不要算出来，先写两个三十，然后再除以五乘以十五，再进行约分， 去掉还剩二五，还剩六，所以就等于二十四。好，现在第一问，他让我们比的是百分之九十九，对不对？好，所以我们要跟谁比？是不是跟刚刚说的百分之九十九零点零一下面的数据这个数据对比？ 因为它二十四是大于六点六三五的，所以有百分之九十九的把握认为它有关。把这句话抄下来啊，认为它是有关的。好，接着我们再看一下第二问，首先读题， 从该地人群中任选一人， a 代表的是选到的人卫生习惯不够良好， b 代表的是选到的人患有疾病的。给了你这两个数据，说它的比值是卫生习惯不够良好，对 患该疾病风险程度的一项指标记为 r 二， r 二是等于这两个数据相除。好，现在让你证明第一份的 r 二也是等于这两个东西相乘，那实际上就是想让我们证明， p b、 杠 a 除以 p b 以八杠 a 除以，它俩的比值是等于。题目给我们的这个数就是 p a， 杠 b 除以 p a 以八杠 b 乘以 p a。 一 杠比一杠除以 p a， 杠 b。 那 此时我们先算左边，左边是等于，这里其实就利用我们之前学的 条件概率的乘法公式就好了。 p b、 杠 a 是 等于 p a、 b 除以 p a。 用这一个公式就好了，好，所以 p b、 杠 a 是 等于多少？是不是 p a、 b 除以 p a。 下面是不是 p a， b 八除以 p a 八。 p b 八 a 一 八除以 p a 一 八。好，你把它算出来是等于 p a、 b 除以 p a， b 八除以，这边是 p b a 一 八除以 p a 一 八 b 八。 好，除以它就乘以它的倒数。好，那乘起来，上面就是 p a、 b 乘以 p a 一 八 b 一 八除以 p a， b 八乘以 p b a 八。这个是左边好，接着我们再算一下右边的话， p a， 杠 b 除以 p a 一 八杠 b 乘以 p a 一 杠 b， 一 杠除以 p a， 杠 b 八。还是套条件概率的公式，那就是 p a、 b 除以 p p b。 再除以 p a 一 八 b 除以 p b。 重于 p a 一 八 b 一 八除以 p b 一 八 除以 p b 一 八。好，能约分的约分就等于 p a、 b 除以 p a 一 八 b。 右边这边是 p a 一 八 b 一 八除以 p a b 八。那我们是不是发现左边是等于右边啊？所以我们的 r 等于 p a， 杠 b 乘以 p a 一 八，杠 b 八除以 p a 一 八 杠 b 除以 p a， 杠 b 八。就证明完了。第二问就写完了。接着我们再看一下这一小问好。这一小问首先读题目，利用该调查数据给出 p a、 杠 b、 p a、 杠 b 八的估计值，并利用前一问的结果算出 r 的 估算值。 好，那我们首先找一下数据，首先搞清楚， a 代表的是把它圈出来， a 代表的是选到的卫生习惯不够良好的， b 表示的是带有患疾病的人。所以我们首先算一下 p a 杠 b 啊，是等于 p a b 除以 p b 啊，也是等于 n a b n a b 代表情况总数除以 n b 好。 n a b 的 话，就是说 a b 同时发生不够良好，又患了疾病，是不是？这里四十人除以 b b 代表的是患有疾病的，一共是一百个人，所以说是等于零点四。我们接着再算 p a 杠 b 八是不是等于 p a b 八除以 p b 八 好。 p a b 一 把 a 代表的是不够良好， b 一 把代表的是不患疾病，那不够良好不患疾病呢？是不是十个人总人数是一百个人，只等于零点一？好，那接着这两个是不就完成了？一个是零点四，一个是零点一。那接着再算 r r， 目前我们已经算了这一个，是不是再算一下这两个就好了？ 好，那再算一下 p a 一 八，杠 b 一 八是等于 p a 一 八， b 一 八除以 p b 一 八。那我们看一下习惯良好且未生病的有九十个人，除以一百是等于零点九，好， ok 了。再算 p a 杠 a 一 八杠 b 是 等于 p a 一 八，杠 b 除以 p b， 那 a 一 八代表的是习惯良好， b 代表的是生病的，那习惯良好生病的是六十个人。 好，六十除以一百等于零点六，好，我们再把它带进去 r 的 话，就等于零点四乘以零点九，除以零点一乘以零点六等于六。好，最后一问也就算完了，这就是二二年的一卷的一道高考题。
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01:23查看AI文稿AI文稿大家好，我是升值小习学姐，今天讲二次函数的减减区间。二次函数的表达式是 y 等于 a， x 的 平方加 b， x 加 c。 敲重点， a 不 能等于零，当 a 大 于零的时候，是一个开口向上的二次函数。我们做一个对称轴，对称轴的表达式是， x 等于负的二， a 分 之 b， 它左边是一个单调递减区间，它是负无穷到负二。 a 分 之 b 的 右边是一个单调递增区间，它就是负的二， a 分 之 b 到正无穷。当 a 小 于零的时候，它是一个开口向下的二次函数，它的原理跟 a 大 于零是一样的。当左边是一个单调递增， 所以还是负五的 a 分 之 b 到正无穷，右边是单调递减，是负无穷到负的 a 分 之 b。 那 我们来看下面这道题。 y 等于 x 的 平方减二， x 的 单调增减减式。首先它的 a 是 等于一， b 等于负二，我们代入这个表达式就可以知道， x 等于负的二乘一， b 是 负二，你就等于一，所以它的单调增区间是一到正无穷，你明白了吗？
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22:16查看AI文稿AI文稿首先，十六题，这一看就是一个啥呀，分式方程的题，但是他考的稍微跟常规的题不一样一点，一般的就是直接解就完了。但他这个题呢，是让小李先解了一下啊，但小李还不争气，解错了， 需要你去看他哪步弄错了啊。然后呢，重新按照正确的过程写一遍啊，但是没啥难度。 好，这是十六题，接下来继续十七题。十七题呢，是个圆，这个圆的题呢，基本上也就是课后题水平啊，咱们一起边读题边就做出来了，他告诉我们说这是个直角三角形， a c 是 斜边，那所以这标个直角 告诉 o a 为半径的圆，与这个边 bc 相切了。各位一看到相切要想到干什么切线，我是不是要想着去连接切点和圆心啊，所以这里面顺手把 o d 连起来， 连起来以后就得到垂直。然后呢，接下来呢，他让我去证明啥呢？证明 a d 是 个角平分线啊，就是这两个小角是相等的。 好，那接下来你就去倒角就完了吗？那你会发现有很多倒角的条件，刚刚切线的垂直，已知的垂直构成了一组平行，那平行的话，我就可以得到这个阿尔法角 跟这个角是相等的，内错角相等。而接下来的目标就很明确了，我要证明阿尔法跟问号相等，那不就结束了吗？因为这两个线呢，都等于半径吗？ 问题搞定，所以你会发现这个题其实就考了一个基本的切线性质，你说它涉及到点倒角，也是最基本的倒角啊，没什么好说的。好了，十七题搞定啊， 来十八题啊，各位，最简单的二次函数实际应用啊，不过呢，它包含了一个间隙的操作啊，那这个这个也没有啥好说的，它都明确告诉你间隙了啊，其实间隙的题有的小伙伴会比较恐惧，间隙的题的难点在于，你不知道什么时候要间隙啊， 告诉你要间隙了，其实也就那样，那么这道题的话呢，它的答案同样不为一啊，因为间隙的方式是你自己去选的，当然了，我肯定不会为难自己啊，我肯定选择这里面横平竖直的线当 x 轴， y 轴啊，所以呢，你有几种选择啊？一种呢， 就像图中这样，用这个桥面当 x 轴啊，用这个中间这根竖线当 y 轴啊，那么你就可以解出来对应的一个表达式，然后当然了，你也可以选择用啥呀，也可以选择用这个海平面当 x 轴， 然后呢，选择用左边这条线去当 y 轴啊，也可以啊，也可以自己选择就行了，为了简单的话，一般还是会让中间这个点当圆点， 然后呢，稍微提一嘴就是间隙完了以后，下一步通常要干啥呢？你要把这个图里面能标的点坐标标一下啊，根据他给的长度，那你会发现这个抛物线跟 y 轴的焦点坐标可以表示出来， 然后呢，抛物线上两侧的这两个点坐标呢，也可以表示出来，你把这些点坐标一表示，这个表达式你肯定就能求了啊， 这个题也没啥难度好的，最基本的实际应用啊，对了，讲到这了啊，顺便一题，二次函数实际应用呢，现在全国很多地区都会考， 如果你当地会考这种题，你做的时候又会遇到一些困难，建议你可以去马哥的主页搜一下二次函数实际应用到马哥的主页啊，看他主页里面实际应用的视频， 他里面把中考里面会考到的实际应用的常规考法已经说的差不多了啊，你把那个看了，这类型题你多练练就肯定能搞定好，这个题就过了，然后接下来十九题啊，十九题呢，我提前告诉大家在考啥吧，这个题其实是在考 特殊四边形的性质和判定啊，咱们一起来看一下吧，他现在给了你一个直角三角形，告诉地点是斜边的终点， 直角三角形，斜边中点，想到什么斜边中线定里嘛。所以呢，我的 c、 d 就 等于斜边 a b 的 一半，那么 再具体一点，其实就是这三个圈线段都相等。那么建议大家做题的时候啊，在尤其是在草稿纸上，你看到这么多相等的线段，你最好呢顺手去设个字母， 这样的话，一会得到其他等量的时候，你能看得更清楚啊，就是注意基本的几何习惯，射 好。然后接下来呢，他又给了两组平行啊，告诉这两条线是平行的，告诉 c、 d 和 a、 e 也是平行的。这么多平行就得到啥了？这么多平行，你是不是顺手就发现了这里有一个蓝色的 平行四边形，而且再仔细看一眼，会发现都不光是平四了，直接是什么了，平四有了菱边箱的直接就成菱形了啊。所以呢，已知条件里面已经给了蓝色四边形是菱形了，蓝色四边形是菱形了。 将来呢，给了三个命题，让你任选两个命题，判断真假证明或者举反例啊，真命题证明，假命题举反例。又是一个比较有自由度的题啊，三选二，三选二的话，如果你先看出来是菱形， 那大家估计直接就选命题二三了啊，是比较简单的，不过咱们可以都看一下啊。先来看命题一，我现在已经知道这是个菱形了，他告诉我连接一个 b e， 连接 b e 以后呢，跟 a c 交于一个点 f， 现在呢，让我去判断这两个阴影三角形是不是面积为二倍关系。首先你一看到这样的两个阴影三角形，问你面积关系，你要想到啥呀？你要发现这两个三角形他俩的关系是有相同的高， 有相同的高啊，各位，看到两个三角形有相同的高，我们要想到面积比，其实就是底边的比，这里 s 一 比 s 二，其实就是这里面底边 a 比 b， 因为高相同嘛，面积比就是底边比，所以你换这个问题，要正面积关系，直接就变成了正正这两个三角形底边的关系， 求它俩的比，而求它俩的比，那这里有平行直接就可以得到。一个啥呀，直接就可以得到。这里有一个 f 为交叉点的八字相似， 那上面下面相似比是一比二，所以这两段对应边的比也是相似比一比二， 相似比是一比二，所以底边比一比二，面积比也是一比二。问题就结束了啊，注意啊，这里这两个三角形不是相似三角形啊，是同高三角形，底边比一比二，面积比一比二，所以这是个证明题。 这个就是用了一个底边比面积，用了一个基本的平行想 a 八啊，平行想 a 八就秒了。 然后接下来，命题二，命题三其实是更好的选择。命题二呢，让你连接一个 d e， 证明这是个垂直。 我的天呐，这不是送分吗？菱形连了对角线以后问，对角线垂直啊，直接得，所以正个菱形直接得垂直，第二问就正出来了，秒了啊，证明题考的是菱形的性质。然后呢，再来第三问，命题三， 命题三还是连 d e？ 现在呢，让你去证明 d e 和 bc 是 相等的，你要证这俩相等，那这俩所在的图形看着就像个啥呀，就像个平行四边形吗？那这就结束了呀， 你会发现这个 a 和这个 a 它俩呢是相等的，同时已知又给了它俩是平行的阴影，是平四对边相等，直接结束。所以考的是一个平四的性质和判定， 也是真命题。整个题就完了啊。整个题的三个小命题里面，二和三比较简单啊，实际做的时候你稍微扫一眼， 肯定选那个过程少的，后两个直接一正就完了，考点就是四边形的性质与判定，没别的了。好了，二十题啊，二十题，你就大致一瞅这个题干的前半截啊，这又是初中考试里面很经典的数据统计问题， 数据统计问题，而且这个数据统计问题，他在数据统计的这个领域里面都算比较简单的啊。 首先呢，就是给了个 a、 b、 c、 d 选项的问卷，然后呢，问卷的结果给你全弄出来了啊，现在问你参与问卷调查的学生人数， 他怎么好意思考的人数每个都知道啊。所以呢，考一个加法。然后再接下来呢，说一千个学生中参加体育活动不低于两小时的， 不低于两小时的就是四 d 嘛，那四 d 是 七十五个人，总共是两百个，七十五除两百乘个一千啊，是不是最基本的数据统计题？ 这是前两个空啊，然后接下来第三个空，第三个空呢，也是经典问法啊，问，你说给你这么堆数据了，你给咱提炼一下信息， 给校方提点建议啊，这种题就是答案不唯一，言之有理即可啊，这里呢，我就不解释了啊，数据统计里面的 常规题，那么到说好的今天的最后一题了，来我们一块看吧啊，这道题呢，整个题干很长啊，估计在试卷上占了整整一页。他首先给了一个阅读材料，告诉我们说，在锐角三角形里， 三个角的对边是小 a， 小 b， 小 c， 那 么这时候一定会有这样的一个结论，就是一条边除以他所对角的正弦值，等于另一条边除以所对角正弦值，等于 最后一条边除以他所对角的正弦值。这个东西其实有名字的啊，上了高一马上就会学到啊，这个是正弦定律。 然后呢，人家的材料里说的也没错，这个确实是解三角形的一个非常重要的公式。然后呢，这个话都说的没问题啊，问题在哪呢？就是其实做这个题并不需要这个公式啊，所以我觉得可能有的小伙伴 多了这个公式，反而多了一些负担。然后呢，有了这个公式以后，接下来呢，他给了一个啥呀？给了一个这样的一个图啊，就是有一个景点吧， 咱也没去过广东省万绿湖啊。然后这个万绿湖里面呢，有两个地方啊，一个是 a 点，一个是 b 点，然后现在呢，这个出题老师说想要去测一下 ab 两个地方的实际距离， 那么测高题大家都熟啊，就是如果两个地方的距离能直接测，那也不会考你啊，所以现在呢，他其实就是想让你 测这个长度，但是呢，你又没法直接得，没法直接得，然后呢，就开始了后续的一系列操作啊。然后呢，首先呢，他给了一个现成的方案，就是我现在想测 a b 之间的距离，然后呢，没法直接求 啊，他就折中了一下，他说有这样的一个测量方案，先在空旷的地方找了一点 c， 这里你要注意理解它的意思啊， 这个 c 点呢，是人家测量的时候随便找的一个地方啊，空旷地方随便找，找了一个 c， 找了 c 以后呢，接下来呢， 量了好几次，量到了一个相对准确的角 a 和角 b 的 值，两个角有了，同时呢，又有测距仪，测距仪呢，帮你测出来这两个线段的长度。 现在呢，让我去利用这些数据求 ab 的 长，这就是人家给的方案啊，人家给的方案。然后接下来呢，果不其然，第一问呢，就是让你利用刚刚的这个正弦定律的结论 和刚刚测出来的这些数据，求一下 ab 的 长度。那这就很简单了，刚刚说的正弦定律是啥呀？正弦定律就是边除以对角，正弦等于边除以对角正弦。 那他现在都帮你把这么多角都搞出来了，你要求 a b 边那 a b 的 对角，那这玩意儿是不是就可以内角和算出来？哎，于是接下来呢，你会发现，求 a b a b 除以 c 零八十六度，它就等于啥呢？ 等于这边的三四幺除以 seven 四十三度，也等于三八八点五除以 seven 五十一度。你就去列这个方程算就行了，甚至你会发现，都不用都列啊，你列一组比例就行了， 套公式列一组 ab 的 长，直接算出来。这个第一问呢，就很传统的测量题，而且是最直白最简单的那种。接下来的这一问呢，其实是让我有点一开始没看明白，他是想干啥啊。接下来呢，他给了一个第二问，说 让你设计其他方案。注意，关键是设计方案啊，设计其他方案，去测量这个 ab 之间的距离，去测量这个 ab 的 长度。 然后呢，能够用的工具呢？就是刚刚说过的测角仪，测距仪和无人机啊，然后呢，要最终写出你的方案和所用的数学知识。所用的数学知识倒是罢了啊，你但凡会算，你肯定会说，主要是写出方案， 然后呢，以及他没给个具体的条件呢？还有的小伙不知道该咋办了啊，我第一眼看的时候我也有点蒙啊，这到底要干啥好？那么其实这个题在说啥呢？这个题就是一个非常实际，非常真实的一个题目啊，现在呢，就是 真实的一个问题摆在你面前了，我需要去测 ab 之间的距离，然后呢，没法直接测，你利用这些现有的工具，想尽你能想到的所有办法把它测出来， 当然了，肯定利用你初中学过的知识，那么这里要测 ab 间的距离，其实你结合刚刚的题目描述啊，你就会发现，我们其实是可以把这个 ab 抽象成一个具体的线段，现在呢，其实就是你要想办法把这样一条线段的长度量出来。那我们这时候可以想一下啊，各位，这就是一个典型的测量题嘛， 那么咱们初中课本里面，其实举例给大家看过很多这种没法直接量的距离如何测量，给过很多这样的例子， 那么在这道题目中，它相当于已经通过啥呀，通过三角函数的方式给了一种方案了。 那我们想一想啊，如果你要测量，除了三角函数，还有哪些方法可以用？这个我觉得大家应该不难想，咱们要去测量， 在初中课本里面，除了三角函数，还有哪个章节讲到了怎么测量，是不是很容易想到就是相似三角形啊？因为所谓的几何测量题，其实通常就考两种啊，一个是三角函数，一个是 相似。如果他已经用过三角函数了，那接下来呢，我就可以考虑去用用相似。那要用相似， 我要去怎么量呢？我们可以同他的测量方案里面去得一些灵感，在他的测量方案里面，你会发现其实很随意的， 除了 ab 不 能测以外，它随便的取了一个点 c 啊，随便取哪里，哪里方便取哪里都能取。取了这个点 c 以后呢，它用无人机可以测角度，用测距仪可以测长度， 说白了就是我们在能够得角度，能够得长度的前提下，想尽自己的办法去求这个 ab 长就行了。 那么再结合我刚刚说的常见的测量方式，就是相似或者三角函数。哎，那这时候呢，我是不是就可以考虑一下相似了，怎么去搞呢？既然点是可以随便取的，距离是可以测的，那我是不是可以随便在平面内取一个点地呢？ 取了点地以后呢，你会发现，这两节的长度你肯定是可以测出来的，用测距仪直接测就行了。 那这两段都能测出来了以后呢，我要求这个 a、 b， 怎么求呢？那我是不是可以给它造出来一个相似呀？那最基本的相似是啥？最最最最基本的相似，它是不是就是 a 字相似或者八字相似， 对不对？好，那现在我就可以造一个这样的相似，咋造呢？哎，我可以去延长一下我的 b d 和 a d， 延长 b d 和 a d 以后呢，我可以用测距仪找一个等于 k b 的 b、 d 的 线段，找一个等于 k、 b 的 a、 d 的 线段。你把这个图搞出来以后呢，你会发现，哎，这里面 a 加角 b， 这里 k a 加角 kb， 所以 很明显是不是正出了一个八字形的相似。 而有了这个八字形的相似以后呢，你 e、 f 两个点之间的距离是可以测的，那 e、 f 长度有了，利用相似问号就解出来了。 其实一说你会发现，这个图你课本里面都见过的，这是相似测量最基本的一个场景，只不过这道题呢，需要你自己去把这个方案设计出来，但是考的就是最基本的相似的知识。 而且呢方向我觉得也很好想的啊，他给了你一种方，让你设计另一种吗？他给的是三角函数，那我们很自然能想到另一种测量方法是相似，对吧？然后呢，这个图做出来以后啊， 接下来呢方案设计我们稍微看一眼啊，写方案设计的过程呢？你主要还是参考他的写法， 就像他的写法里面在空旷地直接找了一个 c， 那 你就说空旷地找个 d， 你 就照着他的写法去写就行了。他说利用测距仪多次测量取平均值，那你就照着他来嘛，你也测出了 b、 d 和 a、 d 的 长度， 然后呢，测完了以后延长延长，又用测距仪测出来两个长度啊，然后呢，最后 这两个长度有了以后呢，八字相似就有了，那我就还需要去测一个 ef 的 长度，所以第四步测 ef 的 长，最后利用相似三角形就求出最终的结果了，那这个相似三角形就相当于回答了他说的你的方案用了什么？数学知识。 这就是一个方案设计的完整的题目，在题目的描述中告诉你，不能直接测啊。不能直接测的原因有很多啊，我举个例子，比如说 a 和 b 两地之间隔了个山， ab 之间这有一座大山， 然后呢，把他俩隔开了，然后呢，但是呢，你 d 到 a 没删， d 到 b 也没删，那么这两节长度都能测，这是不是一个典型的场景？标答里面还有一种思路啊，标答里面还有一种思路，也可以看一下啊，还有一种思路是这样的， 然后呢，他说在平面内取了一个，找了一个点 e， 然后呢，通过无人机多次测量呢？ 然后呢，量出来这个 a、 e、 b 等于九十度，就你会发现，你想尽办法，用尽你所能用到的所有的方式去想办法求 a、 b 长就行了。 那么我们就可以想着，哎，我在这直接去造一个九十度，直接量了半天，量出来一个九十度的点，有了这个九十度的点以后呢，你把这个 小 a 小 b 的 长度一量，小 a 小 b 的 长度一量，那么 ab 的 长度用勾股定，你就直接求了，这也可以。所以这个题他其实你带入实际情景去想的话，其实没多难，就是利用初中所学的知识， 利用这个无人机测角仪可以测角度的特性，测距仪可以量长度的特性，你通过量角度，量长度， 想尽自己的办法把 a b 长求出来。如果这么做的话，接下来的方案也可以写啊，你就说在空旷地选择了一个点 e， 然后呢，通过无人机多次测量并取平均值，然后呢，测得了角 a e b 等于九十度 啊，如果它不是九十度，你就一直换地方，一直换到它是九十度为止。总之，最后你总能找到一个地方是九十度，找到这个九十度点 e 以后呢，下一步就是啊，通过测距仪多次测量，量出了 b e 和 a e 的 长度， 最后勾股定律求出 ab 长，这也是一个满分的方案。等边三角形，理论上可以啊，你能造直角三角形，那当然也可以造等边，如果是造等边，那就是这么说了，你说 在平面内选了一个点，通过多次测量呢，量出来这个角是一个六十度，然后呢，接下来呢，又另外选了一个点，通过多次测量呢，量出来这个角也是六十度，得到两个六十度以后呢，你就把这两条线延长，找到一个焦点， 然后呢，现在呢，用测距仪测 a 到焦点的距离，那么 ab 的 长度也就搞出来了， 所以造个等边也可以，所以这个题它其实就是你用尽你学过的所有的方式，在能搞角度、能搞长度的前提下，想办法把 a、 b 的 长弄出来就行了。
79胖叔初中数学
