新Ⅰ卷数学大题难
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17:29查看AI文稿AI文稿大家好，今天我来讲一下去年二零二一年新高考全国一卷的最后一道导函数大题，他综合利用了构造函数和极致点偏移这两种方法都是常见的这个导函数大题的考点。 然后有的人可能要说，老师，这道题你不是一开始就讲过了吗？咱现在换一种新的方法，你看我讲这道题啊，咱现在来看一下吧，一共有两问啊，乍看起来还是挺简单的，一会做起来就不简单了，来看第一问吧，第一问肯定你是可以做出来的啊，咱第一问结的时候，只需要求一下倒就行了。 这个函数呢，咱把括号乘开吧，把 x 减去 x l x。 那注意啊，他这个定义域的话，咱就写明白了，定义域实际上就是这个零到正无穷，因为有 low n 呢，对吧？这个 x 作为真数，只能是零到正无穷，然后接下来求导呗， 求导之后的话，就变成了一减一，减多少呢？一减 low x， 然后再减去 x 乘 x 分之一，这个实际上就是减去一嘛，最终就是负的 low x。 所以呢，我们现在让谁啊？让它等于零，导函数等于零，实际上就得出来，这个 x 呢，是等于一的。 那也就是说，当 x 在什么方面的时候，在零到一之间的时候，你负的 l x 这个图像呢，其实很好画，就大概是这么画的吗？这个就是 y 等于负的 l x 这个图像，然后这就是一，所以你应该很清楚了吧，零到一之间呢，这个导函数它显然是在 x 轴上方， 这个 f 撇呢，是大于零，那原函数它就是单调递增呗。但是呢，当 x 在一到正无穷的时候呢，这个导函数就到 x 轴 下方，也就是说导函数就小于零，那这个圆函数单调递减呗。最后你写一下答画就行了。重点是这个第二文啊。第二文的话，现在看他是怎么回事呢？他说 a 和 b 是两个不相等的正数，注意啊，是两个正数，而且不相等， 并且给了一个 b 倍的 lon a 减去 a 倍的 lon b 等于 a 减 b， 这个究竟怎么回事咱不知道，看最后这个问题。 最后这个问题是让你证明， a 分之一加上 b 分之一，这两个数加起来呢，是在二到 e 之间的，究竟这个二是什么？ e 是什么咱也不知道， 顶多你可以想到什么呢？其实第一问已经知道了， x 等于一啊，它是一个极什么值啊？它是一个极大值点， x 等于一是个极大值点，这个二呢，有可能哈，有可能是二倍的那样一个极大值 值，但是究竟是不是，嗯，咱也不知道啊。二倍的极大指点。那咱现在这样吧。第一步，已知条件总要转换一下吧。转换成什么样子？这个样子太不好了，为什么 b 和 a 一直含到一块？这我也不知道怎么办，咱有没有某种方法能把 a 和 b 分开？ 问题中已经强烈提示你了。问题中强烈提示你，咱看一下哦，问题中，咱只要把已知条件这个方程里边都变成 a 和 b 的倒数就行。什么意思？所以说已知条件左右两边干嘛呀？ 已知条件左右两边同除 a 乘 b 这个整体，那左边如果除 a 乘 b 的话，咱先写呗。左边除 a 乘 b 啊，就是 b 捞完 a 减去 a 捞完 b， 右边也是 ab 分之 a 减 b， 因为 a 乘 b 是个正， 这是没问题的啊，那继续呗，左边的话继续变啊， b 和 b 斜掉，变成了啊 a 分之一，再乘，捞完 a 啊，然后减去好 b 分之一，捞完 b 这个等号右边的话就变成了 b 分之一，减去 a 分之一，这个就太好了， 终于把这个 a 和 b 分开了。你看这个位置只含有 a， 这个位置只含有 b， 然后右边 a 和 b 呢？也是很容易移向分开的， 但是分开之前的话，大家要注意一点，其实你这个捞完 a， 我们最好都改成什么形式？问题中嘛，让你证明了，这样一个形式里头，人家 a 和 b 都是以倒数形式，都是以 a 分之一和 b 分之一出现的， 所以我们捞很 a 的话，也写成这个捞很 a。 哦，知道了，所以我们应该写成负的捞很 a 分之一，包括这个捞很 b， 其实也应该改造成负的捞很 b 分 之一。所以说这样一个方程继续改变，就变成什么样子了。把符号提出来啊，负的 a 分之一， a 分之一。注意负负得正啊，两个负号，那就变成了加上 b 分之一 loin b 分之一，它就等于 b 分之一减 a 分之一。太好了，现在大家肯定知道，我们把 a 分之一和 a 分之一肯定想放到一块，把这个 b 分之一和 b 分之一放到一块。那行吧，那这个 a 分之一的话，把这个负 a 分之一挪过来啊， 变成了 a 分之一，减去 a 分之一， low on a 分之一，然后等号右边就变成了 b 分之一，减去 b 分之一， low on b 分之一。可能有同学说，老师你改成这个样子究竟有什么用？我再写一下，你应该就知道怎么回事了。 我左边把这个 a 分之一提出来，一减 low and a 分之一，右边呢？右边呢？我把这个 b 分之一提出来，然后变成了一减去捞案 b 分之一不用多说什么了，你现在应该知道他是一个构造新函数构造函数的问题了吧？那我应该构造是怎么样的类型啊？ 哦， a 分之一和 b 分之一等号左右两边它逻辑类型是一样的，逻辑位置是一样的，所以我构造肯定构造一个它等于哦 x 乘一减 low x 的形式。这不就是题目中第一问的这样一个函数吗？ 哦，原来是这样啊，原来这个函数我现在终于知道是怎么回事了。所以现在请大家观察一下，仔细观察一下圈一。 由圈一这个式子的话，我们事实上完全可以干嘛？我们令这个 x 一就等于 a 分之一，令这个 x 二就等于这个 b 分之一，对吧？那圈一的话，这样一个方程，它 完全等价于 f x 一，它等于什么？等于 f x 二啊？天呐，本来应该是 f a 分之一等于 f b 分之一吧，咱就直接写成 f x 一等于 f x 二。那么你这样转换之后的话，我们需要证明的就变成了什么，就变成了我们现在 只用证明什么呀？注意， x e x 二肯定是两个正数，对吧？因为 a 和 b 都是两个不相同的正数。那现在事实上我们只需要证明什么 啊？我们只需要证明这个 x 一加 x 二大于二，但是小于 e 就可以了。 现在呀，我们就有必要把什么画出来？现在我们有必要把这个 fx 的草图给画出来了，但是画这个草图之前的话，有几点特别重要，除了这个第一问中零到一上单调递增，然后一到正无穷上单调递减之 之外，他你得把这个 fe 求出来啊，这个 fe 等于一，这个没问题，其实还有一个零点，这个题的话，你看括号里头 fx 这个 x， 那不管了，这个一减去 lower x， 你说这个括号什么时候等于零啊？一减，哦， lower e， 所以说 fe 它呢？你可以带进去，它是等于零的啊， e 都好零，这个 e 它是一个零点啊。所以现在呢，根据这个单调性，还有这几个特殊的极致点，还有零点，咱们就可以把谁画出来，就可以把 fx 草图画出来，我就画到左边这个位置了。 好了，这个图像呢，很快就画出来了，大概就长这个样子。那么画完之后的话，咱们需要判断一下这个 x e 和 x r 分别是它的范围是多少啊？你要注意的是，咱可以假设这个 f x e f x r 就是已知这个 f a 分之一， f b 分之一， 咱假设它是等于 k 的，那其实也就是说什么意思？也就是说 y 等于 k 啊， f x 等于 k， 它是有 x 一和 x 二这两个不同的焦点，这两个不同的解的，那 x 一的话，咱实际上就相当于图中的可以假设这个 x 一小一点啊， 就是左边这样一个横坐标，然后右边的话，这个 x 二就是这个蓝线 y 等于 k 这条水平线跟谁啊？跟这个 y 等于 fx 右边这个焦点的横坐标了， x c x 二。所以由图可知，我们很快就求出来了这个 x 一和 x 二的范围， 这个 x 一显然只能是这个零到一之间了，然后 x 二的话，它只能是在一到一之间，这样才能保证 y 等于 k 是有什么，它是有两个不同的解的 x 一和 x 二。那么求完这个范围之后究竟有什么用呢？ 别着急，实际上他让你证明的是两个不等号啊，我们先证明什么？注意了，我们先证明这个 x 一加 x 二 大于二，一会再证明这个小于一啊。大于二的话，转换一下吧。那么我们现在转换成什么形式呢？我们现在啊，转换成它就相当于 x 二是大于二加 x 一。这就是急着点偏移的一道题目，急着点呢，是向左偏呢？ 那么继续看了啊，那接下来不行吧，你想一想，这个 x 二它的范围是什么？哦，是一到 e 之间，这个不用多说了。哎，那二减 x 一呢？ 因为 x 一它就约等于零点几吗？二减 x 一，那不就是约等于一点几？所以说，无论是 x 二还是二减 x 一，它都是比一 一大的。这两个画圈部分的整体既然经过分析之后，他比一大，也就表明，你看 fx 怎么着来着？ fx 他在一到正无穷上是单调递减，那结合这个 fx 在一到正无穷上单调递减的这个性质，你现在告诉我 这个 f x 二和 f 二减 x 一哪个大哪个小啊？肯定是小于号，正好反过来了，因为是单调递减。 那么再继续，你想这一部分，这个不等式啊，虽然已经写到这，但是不太满意，不满意的地方就在于，你一个不等式里头既有 x 一又 x 二，那怎么办呢？咱们尽可能都只转换成 x 一，或者只含有 x 二。 这样吧，人家已知条件，咱刚才已经推出来了。这个 f x 一是等于 f x 二的呀。所以说，我们左边这个 f x 二，你干嘛不写成 f x 一，它是小于 f 二减 x 一呢？ x 一的范围是什么？ x 一的范围就是零到一之间，所以它其实就相当于让我们证明。 当什么呀？同学们注意啊，我要移向了，我要把这个不懂号右边移到左边来了。实际上我们只需要证明什么，我们只用证明 当 x 在什么，这个 x 就相当于 x 一啊。当这个 x 在 x 一这个范围内，在零到一这个范围之间的时候呢？我们新构造的这样一个函数，这个函数我用 h x 来表示， 你看，它就是 f x 减，去把右边移过来，那不就变成了 f 二减 x， 我们只用证明它小于零，不就等价于 这个 f x c 小于 f 二减 x。 哦，明白了，每一步，每一步我们都是等价变化的。那怎么证明啊？好证明用求导的方法呗。 现在呢，我们这个 h 要求导了啊，这个 h 呢？求导完了以后呢？你自己带入求导一下。这个求导很简单的啊，求完之后呢，咱稍微整理一下，就是负的 long x 二减 x， 这个根据复合函数同增异减这样一个性质，咱们现在研究的是什么？ x 在零到一之间， 零到一之间的话，这个内层显然是一个 t 等于 x 二减 x， 开口向下啊，然后对称轴是一啊，零到一之间，内层是个增函数，但是外层有负号，是个减函数，同增一角啊，所以呢，他怎么样啊？这个函数呢，他在零到 一之间，它是单调递减的，这个 h 片是单调递减的啊。那 h 片如果是单调递减的话，那就意味着 h 片这个整体它是大于 h 一的，因为我们只研究零到一之间 h 一，你一算它等于几啊？等于零。哦，原来这个一阶导函数是大于零的，是个正数啊。一阶导函数永远大于零，是个正数，那就意味着这个圆函数，它在规定的零到一上是单调递增的。 那单调递增的话，我们不是研究这个 h x 怎么样小于零嘛？小于零小于零，不就是求最大是比零小，也就是说 h x 它就是小于谁的，就是小于 h 一。这个 h 一你可以算一下， 带入以后不就是 f 一减去 f 一，它就是等于零。好了，这不就证明完了吗？我们只要证明这个 h x 是小于零的，不就相当于证明完 画圈这一部分吗？因为每一步都是等价转换，所以最后其实就相当于证明什么？就相当于证明了 x 一加 x 二，他是大于二的。你大概分析一下，最后再说明啊，经过分析可得，那就相当于证明了 a 分之一加上 b 分之一是大于二的。 好了，前头这一部分大于二，我们就已经证完了，是不是还得继续证明什么？继续证明这个 x 一加上 x 二是小于 e 的。那么接下来怎么去证明 x 一加上 x 二是小于 e 呢？那继续写吧，咱们这样来证啊， 已知条件还是跟前头完全一样的。我们第二步啊，就是接着来证明这个 x 一加 x 二，其实就是 a 分之一加 b 分之一，它是小于一的，怎么去证明这一步呢？看好了啊，首先 f x 一等于 f x 二，我们呢，给它展开 带入简介式里头，它就相当于 x 一乘一减 low x 一，它是等于 x 二乘这个一减 low x 二的。 然后看好接下来我要怎么变形。你要注意的是，我们先观察这个 x 一啊，这个 x 一，刚才我们画图，在图像里头已经知道了，他是在零到一之间的， 零到一之间的话，这就意味着 low on x， 它是一个负数啊，它是一个负数的话，一减去负数肯定就大于一了吧。所以现在你应该知道我要怎么写了吧。那就相当于一减去 low on x， 减去一个负数肯定大于一， 那大于一的话，左右两边我要同乘一个。什么？左右两边我同乘 x 一这个正数了。然后看好了啊，它就相当于 x 一，然后一减 lower x 一，然后大于 x 一。因为左右两边都 乘的是 x 一这正数，所以没有问题。那么为什么要这么写呢？马上你就知道了，看好了啊，同学们啊。呃，接下来我们要证明这个 x 一加上 x 二是小于一的，对吧？ 然后我们先不要着急写那个 e， 我们这个 x 一小于十来着，哎，小于画圈部分，这个 x 一 一减去捞按 x 一，再加上 x 二。但是我们不满意，不满意的地方在于这个不等号右边呢，既有 x 一，又有 x 二， 别着急啊，根据现在的画双横线的这个等式，这是已知条件的啊，相当于我们已经正出来了，那不就相当于 x 二画横线部分直接转换成 x 二，然后再乘一减 low on x 二，这样的话，不等号，右边就只含有 x 二了。那他 太好了， x 二的范围是什么来着？一开始我们也求出来了，根据这个图像， x 二的范围是在一到一之间的，现在应该清楚怎么回事了吧？我们只需要证明画圈部分这个整体比一小，那此时 x 一加 x 二，根据不同号传递性，他就肯定比一小了， 应该理解了吧。那接下来我们只需要构造一个新的函数。注意啊，此时的 x 二都画成 x 了， x e 减 l x 再加上 x， 然后呢，一定要注意，这个 x 就是原来那个 x 二啊，它的范围是一到一之间。那行吧，我们对这个 g 求导啊， 这一撇儿的话，你可以自己求一下，非常简单。第一，减去 low on x。 现在你完全可以分析一下吗？由 low on x 在一到 e 之间这样一个值域，因为 x 在一到 e 之间，所以这个 low on x 的话，它肯定是在多少零到一之间，也就说 low on x 比一小，那此时这一片 x， 这个整体不就比零大吗？这一片比零大，那就相当于 j x， 它在规定的一到一上是一个单调递增的函数啊。 那 j x 是一个单单调递增的函数，那就相当于 j x， 它是小于那个 j e 的。这个 j e 呢？咱们算一下，代入以后啊，就代入这样一个解析式里头，它算出来其实就是正好等于一。 啥意思啊？同学们，我 j x 小于一， j x 是谁？ j x 不就是画圈部分这样一个范围吗？哦，我理解了。 所以呢， x 一加 x 二，它是小于这个 j x， j x 本身是小于 e 的，那根据传递性，所以不就相当于证明了 x 一加 x 二它就 不是小于一的吗？那现在你学会这道题了吗？这道题综合利用了哪几点呀？大家一定要注意，一开始的时候你必须先转换成什么，你必须先把这样一个方程转换成这种类似的， a 分之一一减 lower a 分之一等于这个 b 分之一， e 减 lon b 分之一的形式，然后进而转换成 f a 分之一等于 fb 分之一。其实也就相当于此时画圈部分的 fx 等于 fx 二。接下来就知道是利用极致点偏移了， 证明左边这个记者点便宜。大于二还是容易的，但是证明后边这个小于一就不是那么容易了，就不容易想到了。那如果考场上让你做这道题的话，你需要花多长的时间呢？分享课堂知识，感受数学之美！我是杨帆老师，下节课再见！
2028会放羊的教书匠
