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07:52查看AI文稿AI文稿天津队的十八题设椭圆 x 方比 a 方加上外方比 b 方等于一啊，左右顶点分别为 a 一 a 二，右焦点为 f， 已知 a e f 长度为三， a 二 f 长度为一。让我们求椭圆的方程及其离心率。我们来画一下这个图啊。先这就相当于告直接告诉了我们啊， a e f 加上 a 二 f， 它是等于二 a 的，从而我们就求出 a 啊， a 等于二，并且呢， a e f 的长啊， 他就是 a 加 ca 加 c 等于三， c 就等于一，所以 b 就等于根号三。椭圆的方程就是 x 方比 四，加上外方比三等于一，就直接就写出来了离心率 e 呢就是 a 分之， c 就是二分之一，直接大家就很快就写出来了这一位，我们来看第二位啊，已知点屁是椭圆上一动点， 并且不与端点重合，直线 ap 交 y 轴与 q 点，三角形 aepq 的面积是三角形 aifp 面积的二倍。让我们求直线 ap 的方程，我们先画一下这个图，看看这两个三角形的面积，我们能找到什么关系啊。 我们假设 p 点在这，那么 a 二 p 啊，它就是在这，这就是 q， 他说 a e p q， 这是 a e p q 这个面积它等于二倍的 a 二 f p， a 二 f p， 我们看啊，这 a e p q 求面积的话，他是不是都不太好求感觉，但是我们如果把这个下面就三角形 a e f p 这个给他加上去啊，很好算很多了。我们看啊， s 第二位是 s 三角形啊， a 一 a 二的 q， 它是不是就等于 s 三角形 a e p q 加上 s 三角形 a 一 a 二的 p， 对吧？然后又因为呢， a 一 p q 啊， 它是二位的，这个 a 二 f p， 所以它就等于 二倍的 s 三角形 a 二 f p 加上 s 三角形 a 一 a 二 p， 这样的话呢， s 三角形 a e a 二 q 啊，我们是可以给他直接写出来的，因为底和高，我们都可以很容易的给他求出来，就是二分之一的 底是 a 一 a 二，高是 q 点坐标，我们给它 x q y q p 点的坐标呢，是 x p y p， 我们给它表示，这样写一下，乘以 y q， 给它加个绝对值吧。就是这样，然后 s 三角形 a 二 f p 还是不是就等于二分之一的 a 二 f 乘以 y p， 这个，因为 a a 一啊，它是四，这个就它就等于二倍的 y q， 这个呢， a f 一呢，它是一，就等于二分之一的 y p， 这都给它求出来。然后 s 三角形 a 一 a 二的 p 呢，它是不是就等于二分之一的底是 a a a 二乘以 y p， 它是不是就等于二倍的 y p， 这样的话呢，我们给它带入上面的式子， 就是二倍的 y q 等于三倍的 y p， 所以 y p 比 y q 啊， 它坐标啊，就是二比三，这两个坐标的笔，我们给它求出来了，它就相当于 p 点是 a a l q 的三等分点，所以 x p 呢，比上 a 啊，就等于三分之一， 所以我们就可以得到 x p， 它就等于三分之二 x p， 我们给它求出来。并且呢，又因为呢 y q， 它是大于 y p 的，所以啊， x p 大于零，就得到 x p 呢，它就等于三分之二了， x p， 我们就给它求出来了，这 x p 求出来了， p 点的坐标，我们求出来了吗？相当于，那么 y p， 我们就可以代入椭圆方程啊 vip， 它就等于正负啊，三分之二倍的根号六，所以这样的话，我们就求出 aip 的斜率， 他就等于正负的二分之根号六，所以直线 alp 的方程啊，他是 y 就等于正负二分之根号六倍的 x 减二， 这样就给他求出来了，根据面面积比在这换算就可以求出来了。当然这题你如果不根据这种坐标之比来进行求解的话， 或者直接就是设出 lp 的直线方程，然后与椭圆进行连力，然后根再根据伟大定理分别表示出 p 点和 q 点的坐标，然后再进行划算求解也是可以的。我在这 简单的写一下吧，我就不详细的给大家算了，我具体的设直线的方程这种思路给大家写一下，就是第二种方法，就是 a r p 的方程， k b 的 x 减二，因为 k 是要存在的，如果 k 不存在的话，它与 y 轴也没有交点，下面就将 x 方比四加上 y 方比三等于一，与 y 等于 k b 的 x 减二相连立， 从而就可以求出呀 p 点的坐标给他带入进去。三加上四 k 方倍的 x 方减去十六倍的 k 方， x 方 加上十六 k 方减十二等于零。我们根据尾答定理啊，就是 x p x a 二，它就等于三加四， k 方分之十六， k 方减十二，我们从而就可以除出 x p 啊，因为 x a 二的坐标是知道的，它是三加四 k 方分之 八 k 方减六，就可以求出 x p 的坐标， x p 的坐标求出来了，那么 p 点的坐标我们就给它求出来了，就得到 p 点的坐标呢？ p 点的坐标求出来，然后 q 点坐标我们也可以给它求出来。 q 点坐标求出来了之后，根据面积计算，然后求得直线的斜率 k。 因为这题主要考察的就是我们在求面积的时候，如果你单求，就是根据点到直线的距离公式在这算他会稍微复杂一点，我们就把这个面积给他转换成 三角形 a a 一 a 二 q a 一 a 二 p 和 a 二 f p， 因为它是横坐标 x 轴，这样只要知道动坐标的值，给它带入进去就可以换算了，这样的话求它会比较方便一点。 然后求过之后，同样的也是得到 k， 得到 k 等于正负二分之根号六，然后就求出 lp 的直线方程了。
21讲数学的小宫哥
