山东潍坊试卷
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00:23查看AI文稿AI文稿二零二六年的潍坊市中考改成全省统考，试卷变化到底是变简单了还是变难了？很多家长觉得我们潍坊卷难， 但是他的思维很直接，省卷虽然看起来简单，但是有很多的弯弯绕。那到底是省卷简单还是我们潍坊卷简单？很简单呀，你做做试试不就知道了吗？准备好我们往年的山东省省卷，想的家长六六六先做做，看看怎么样。
18潍坊前程官方号
24:57查看AI文稿AI文稿这道题是刚刚结束的二零二六年山东省省通考数学试卷最后一道压轴题， 这个题目的难度的确比较大，我们一起来梳理一下这道题的思路。 先读一下题，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c 角， b、 a、 c 等于一百二十度。这个题目的主题看就这么短，主题看表达的就是一个这是个特殊角的等腰三角形， 顶角是一百二十度，意味着两个底角各是三十度， 那么剩下的就是分题干了。我们来看第一小问，如图一，若 a、 d 等于 c， e， a、 d 等于 c、 e 来 将 a、 c 顺时针旋转六十度至 af， 旋转有一个基本性质，对应顶点与旋转中心距离相等。也就是说，只要牵扯到线段的旋转问题，一定存在等腰三角形，而这个题他的旋转角又等于六十度。 也就是说，这个三角形 a、 f、 c 是 一个等边扇形，你这个 c、 f 一 连是一个自然而然想到的思路哈，太特殊了。这个 也就意味着他是个等边三角形，这两条边又是相等的等边三角形，三个角都是六十度，这个角是一个六十度。刚才讲到这是个一百二十度角，那么你旋转六十度，这是一百二，你旋转六十，剩下的又是一个六十。 这样就很容易发现， a、 d、 f 和 c、 e、 f 这两个三角形可以通过两组边及其夹角分别相等来得到这两个三角形全等，从而得到 d、 f 和 e、 f 的 相等哈。 第一问相对来说比较简单，比较简单， 不多说了哈。那么来看一下第二问，如图二作， a、 d 垂直于 a、 c。 一 边读题，一边把文字信息转化到图形等当中， a、 d 垂直于 a、 c、 ef 分 别是线段 a、 c、 a、 b 上的点，且 c、 e 等于两倍的 af， 这两条线段存在两倍的数量关系，那么我是其中短的一个为 x， 长的就是个二。 x 判断 d、 f 与 e、 f 的 数量关系，并证明 d、 f 在 这， e、 f 在 这，它们两个在一个同一个三角形 d、 f、 e 中判断它们的数量关系，那么你来看哈，这里 有第二问，给了两个新的条件，一个是垂直，一个是二倍关系，这个垂直非常好用。 主题干中就提到特殊的等腰三角形，特殊角的等腰三角形，这里存在三十度角，顶角是一百二十度，你又做了垂直，也就意味着这个小角变成三十度， 一、二、三这三个角相等，也就是说，哎，他俩相等，我为什么取他俩？这里是不存在着 那个线段存在着一比二的关系啊。 a、 f、 d 和 c、 e、 d 这两个三角形 想方设法来证明它相似，那么再找条件找什么呢？有线段了，有一组线段的比例是一比二了，还有角，那么一猜就是用两边对应成比例及其夹角相等。那么我现在目的性比较强啊， a、 d 和 c、 d 怎么证明他一比二啊？这就好了，又在 a、 d、 c 这个三十度、六十度、九十度的直角三角形中，利用三十度角所对直角边等于斜边的一半这个性质，你会发现 a、 d 和 d、 c 很 容易证明他俩是一比二的关系，那么 a、 f、 d 就 和这个 c、 e、 d 就是 相似了， 它俩就相似。相似之后我要得到什么呢？我能够得到对应角相等，还能得到对应边，也符合一比二的关系。 乘比例它也是一比二，就 d、 e 和 d、 f 和 d、 e 也是一比二，并且能得到角一等于角二， 得到角一等于角二。因为这中间他俩还有一个角，是一个公共的，他俩夹着一个角， 所以说一加三就是二加三，也就我可以求得这个 f、 d、 e 这个角，他就等于 a、 d、 c 这个角 a、 d、 c 角，刚才说了是那个三十、六十、九十度的直角三角，所以 f、 d、 e 就是 一个六十度角。 得到这一个六十度角之后呢，进一步来看，你看啊， a、 d、 c 刚才我发现了一比二， 现在你又证了 d、 f、 d、 e 又是一比二，并且 a、 d、 c 和 f、 d、 e 夹的是相等的角，所以我再次利用两边对应成比例及其夹角相等，就可以得到 f、 d、 e 和 a、 d、 c 相似。 这一个依然是类 s、 a、 s 它俩相似之后，我就可以根据对应角相等来得到 f 顶点处的这个角就等于 a， 顶点处的这个直角就是角 d、 f、 e， 它就等于角 d、 a、 c 都等于九十度。一旦证明了 f 顶点处是一个九十度角，我就发现了这个三角形 f、 d、 e 又是一个六十度、九十度、三十度的特殊的 直角三角形。那么我根据嗯，勾股定律也好，根据锐角三角比也可以，就很容易能得到 e、 f 就是 d、 f 的 根三倍， 这就很容易了。这是第一种思路，还有一种思路，第一问依然是一样的，和这里是一样哈， 依然是通过两组边对应乘比例及其夹角相等得到 a、 f、 d 和 c、 e、 d 相似。相似之后呢，我这次不去利用这个最后一组对应边乘比例了， 我只需要利用得到相似三角形的对应角相等，得到角一等于角二，进而利用这个公共角中间夹的这个，得到这个 f、 d、 e 是一个六十度，一旦得到这个六十度，我利用一个二极定力，就能得到 a、 f、 d、 e 四点共圆。这是一个引圆问题哈，那这个二极定力是什么呢？是 如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上，这就是一个二极定力哈，四点共圆， a、 f、 d、 e 这个角是六十度， 这个 a 顶点处的这个大角就是这个大的等腰三角形的顶角是个一百二十度， a 顶点处的这个大角和 d 顶点处的这个 f、 d、 e 恰好是互补的，所以 a、 f、 d、 e 四点共圆，四点共圆，我就发现 a 顶点处恰好是有一个直角，就是 d a、 e 这个圆周角是个直角，那么意味着 d、 e 是 一个直径， d、 e 是 一个直径，那么直径所对圆周角是直角吗？ f 顶点处，这就是一个直角，正出它直角来了。后边就是这一个 说的，你利用锐角三角函数也好，利用勾股定律也行，就能得到 fe 和 df 的 比式啊， 根三比一了。其实我们得到三十、六十、九十的时候，我们被常见勾股数一比根三比二，就已经知道是根三比一了，是不是？但是你写步骤的时候，你要么用锐角三角函数来表达，要么用勾股定律来表达一下哈。这是这个题，两种思路 来看一下第三问，第三问难度大一些哈。读题在二的条件和结论下，二的条件就多了两个，一个是垂直， 一个是二倍关系。它的结论我能得到 d、 d、 f 和 e、 f 父子符合一比根三的关系，是不是我在得这个结论的关 过程中呢？当然我推出来了很多的可用条件，那么再往后读，看看第三又给了什么样的条件。它延长 e f 至点 g， 使 f g 等于 e f， 也就是 f 充当了一个中点的角色。 它本身我在第二问中证明了它垂直，是不是啊？证明了它是垂直，你现在又是个终点，我立马就联想到了线段的垂直平分线，所以自然而然我就想连接 d、 g、 d、 g， 一 连 d、 e、 g 就是 一个等腰三角形，因为线段垂直平分线上的点到线段两段距离相等。刚才说了 d、 f、 e， 我 证明了它是一个三十、六十、九十的这样三角形，这是三十， 这是三十，这是三十。我突然就发现了这里又存在一个四点共圆问题，就是说又存又含有一个引圆。哪四点共圆呢？是 f、 g、 b d、 f、 g、 b、 d 这四点共圆。 这个也用的是一个二极定律，这个二极定律是两个相等的角位于一条线段的同侧，并且角的两边都经过这条线段的两个端点，那么 这个角的两个顶点以及线段的这两端点，这四个点就在同一个圆上， 这是这一个二极定力。四点共圆。我发现 f、 g、 b、 d 四点共圆之后，我知道这一个 是垂直，是因为我在第二问中就正了，这是个垂直，因为 f 是 圆上一点，所以说 g、 f、 d 是 一个圆周角， 九十度的圆周角所对的是直径， d 既变直径，那么我把 g b 一 连，那么 g b d 又是一个九十度的圆周角，或者是说我四点共圆，我 g b 一 连，根据， 嗯，圆内接四边形，对角互补，根据这个九式直接得到。这个九式是一样的哈， 这是个九十度，这里是一个三十度，那么这里就是一个六十度角。六十度角也很特殊，我们想可能会有大用处，但是这个垂直平分线一步一步一步分解，到目前为止，我感觉再往后就走不动了， 走不动，哎，怎么办呢？这里还有一个 ab 等于六，还有一个 ag， ag 等于二根七， a b 等于六，也就意味着 a c 等于六，等于三角形吗？这是二 x， 也就 a e 是 一个六减二 x， 这些目前没法用。那么这个中点除了在垂直平分线上用到这个中点，中点还常常联系什么？怎么用呢？ 背长中线，这是一种常用的中点的辅助线做法哈，背长中线，还有一个就想方设法构造多个中点来形成三角形的中位线这两种思路。那么我们先来看一下背长中线，试一下吧。本身 f 是 个中点， af 是 中线了，把 af 这个中线倍长到这，打个比方是个 m， 得到这个 m 之后，我先连 gm 吧， 连 g m， 也就是说我被长中线用的这个八字模型是左右这个八字， g a f m， g f e 这个八字哈， 根据的是 s a s 全等中点中点相等线段，还有对顶角 s， a， s 正全等。正全等之后，这个六减二 x 就 转化到这来了，六减二 x 就是 这个 g m 根据全等得到对应边的相等，全等还能得得到对应角的相等，因为 a 顶点处的这个大角就是 b a c 这个顶角是一百二，我能得到 g m a， 这里也是个一百二十度角， 这是个一百二十度角，那么它的邻补角 g m b 就是 一个六十度。当我得到这个六十度的时候，我就发现 o 六十六十，剩一个内角和六十 g b m 就是 一个等边三角形。 一旦得到了这个等边三角形，思路就相对清晰了。再把 ag 这个条件加进来，我就想方设法把 ag 这条线段 让它转化到一个直角三角形中。或者说我要想方设法构造一个直角三角形，让它包含了 ag 这一条线段，那这样的话，我过 g 点往 ab 做垂线，垂足为 m 吧，有 m 了为 n 吧， 这样我就构成了一个直角三角形， a g n a g n， 我 在这个直角三角形里运用勾股定律就可以求得 x， 为什么这个可行？就是因为 gbm 是 一个等边三角形， 等边三角形存在三线合一，所以我做垂直之后，它能把边平分， 他能把边平分。哈，那你想本身这个等边三角形边长是六减二 x， 这个转化过来的六减二 x， 那 平分就是三减 x， 本身是六，这个 b n 是 三减 x， 所以 这个 a n 很 容易得到，是一个六减。括号里边 三减 x 就是 一个三加 x， 那 么这个 g n b 这个三角，这样三角形是三十六十九十度的，这样三角形上边也提到它符合一比根三比二的关系， b n 是 一， g n 就是 根三，那 b n 现在是一个 三减 x， 那 么它就是根三倍的括号里三减 x。 好了，那么在 a g n 这个直角三角形中，我就可以用勾股定律 这样解出来就可以了。我不具体展开来解了，你解到会解到两个 x， 一个是一， 一个是二，自行解出来即可哈，这是第一种思路。那么接下来来讲第二种方法，就没有用到这个隐形元的方法哈。来看我把这条件继续往上转移，转移 好，我看到了中点，每往垂直平分线上去联想，我直接想到了被长中线，直接想到了被长中线，就 在 b f 上取一个点 m， 使 f m 等于 a m 被长中线之后，我可以连 g m 这个线段，也可以连 em 这个线段。刚才连 g m 是 因为我这边想到了那个 用到了垂直平分线，发现了这个隐形元。现在如果你说我没有发现这个隐形元，我连的是这个， 连的是这个。利用上下这个八字模型， a g f e m f a 这个八字模型，我就把 a g 这条二根七的线线段转化成了 me， 转化成了 me， 怎么来用这个 me？ 哈， 依然是把这个 m e 想方设法放到一个直角三角形中，这个放的时候呢？怎么放嘞？我把 b a 延长一下， 我为什么延长它呢？是因为 a 顶点处的这个 b a c 这个顶角是一个六十度，它的零步角就是个一一百二十度，它的零步角就是个六十度，六十度就是一个特殊角啊，懂吧？特殊角延长它了之后，过点 e 干嘛嘞？做 b a 沿所在直线的垂线，这是那个 n， 垂足是 n。 这时候的时候，我先在 a n e 这个三十度、六十度、九十的、九十度的直角三角形中用什么？用勾股定啊？不用，用勾股定律也行，用三角函数也行。 根据三十度角所对的直角，边等于斜边的一半也行。反正 a n 就 等于三减 x， 这个 e n 就 等于根三倍的三减 x， 一 比根三比二的关系嘛。 然后这个知道 a n 和 e n 之后，我把视线扩大到了 n m e n m e 这个直角三角形中就包含了这条已知的线段，充当了一个斜边，那么这个直角边有了，那 m n 需要再被表示出来， m n 怎么表示呢？这是个三减 x， 这里有一个 x， 这又一个 x 被长中线吗？那么最后 m n 就是 一个三加 x。 同样的道理， 你利用 m n 的 平方加上 n e 的 平方，就等于 m e 的 平方，依然可以把 x 求出来，因为这个里边只含有一个未知数 x， 你 得到 x， e 等于一， x 二等于二。依然是两个答案，殊途同归。这是第二种做法。 嗯，第二种做法就没有用。这个隐形圆用的也是背长中线这一个思路。 中间呢，用到了特殊角的邻补角是依然是特殊角，一百二十的邻补是六十，出现了一个特殊的。这样算一下。这个题还有一种做法，我进一步说一下哈来，首先还是把信息再在这上面标一下 好，在二的条件和结论下，二的条件标好了，它进一步增加了条条件，就是六，这是六，这二 x， 这是六减二 x， 这个是个二跟七。我又看到这是一个终点，终点。刚才提到 终点可以往那个背长中线上来考虑。辅助线。那么终点还可以往哪呢？往中位线上来考虑，就是创造多个中点来形成三角形的中位线。那么依照这个思路，我会延长 g a 到点 m， 使 am 等于 g a， 那 么 a 就 充当了一个 g m 的 终点，这是一个终点，这是一个终点，这俩终点就充当了三角形。把 e m 一 连三角形 g e m 的 中位线。那么中位线呢？是平行于第三边边顶，等于第三边的一半，这是 x， 这个就是个二 x。 哎，我突然发现这也是个二 x， 我 就在想，是不是 会不会 emc 会是一个等边三角形，因为他俩恰好相等吗？是不是啊？ 到现在我就想他，我就朝着等边三角形上努力，刚才用到了是中位线，是等于一半，所以这是 x， 这是二 x。 接下来用中位线平行 平行见平行找角，这是一个一百二十度角，就能得到他的内错角，这个也是一个一百二十度角，这个是个一百二十度角，他的邻补角就是一个六十度角， 有一个角是六十度的等腰三角形就是等边，我就得到了 emc 这一个三角形是一个等边三角形， 这一，这，这是一个等边三角形。之后我就得到 c m 也是一个二 x。 下一步的思路和前一个差不多了。又， 我要把 am 这条线段， am 等于 ag 吗？ a 是 中点这条已知线段，让它放到一个 直角三角形中。等边三角形，三线合一，所以我是过 m 点往这做的垂线，这是那个 n， 现在我需要用的是 amn 这一个直角三角形来求 x 的 值。 a， m 是 二根七 m， n 是 一个，这是二 x， 这就是个 x。 三线合一，垂直，也是底边上的中线，所以这是个 x， 这是 x， 一 比根三比二，这个 m n 就是 一个根。三 x， 这个 a n， a n 就是 一个本来 a c 等于 ab 是 一个六右半 n， c 是 个 x， a n 就是 一个 六减 x。 所以 这次那利用的是 m n 的 平方，加上 a n 的 平方，等于 a m 的 平方，依然是只含有 x 这一个未知数， 你求出来殊途同归。 x 一 等于一， x 二等于二，依然是两个答案，这是这个题，从三个方面三种做法都能解出这个题来。
58初中数学教书匠
23:07查看AI文稿AI文稿好的，我们处理一下这道题啊。这个是，呃，高一下学期质量评价这这道题呢是潍坊的这个高一的期末考试题，这道题处理的质量非常高。呃，这次期末考试的 这个注本限呢，花了八十七分。我们一起看一下这道题你需要注意哪些点以及需要掌握的知识点。 呃，第一道题呢？先看单选择题。呃，单选择题一共有八道题，每道题是五分，总共四十分。那么这八道题呢？我觉着，呃，你也就是第八题。 呃，第八题可以丢分哈。其其其他的。呃，这七道题应该是不能不能丢分的啊。那么第八题其实也很简单，我们一起看一下。这先看第一题哈，第一题呢，他考的是这个，呃复数的知识，嗯， 很简单，是一个考的分母的一个有理化的一个过程。那么一减 i 呢？我可以用一减 i 乘以一加 i 用，嗯，考的是它的平方差嘛。嗯，一减 i， 那 这样的话 分母呢，就是一方减 i， 方是二，那就二分之二乘一加一加 i 等于多少？一加 i， 这样就结束了。第一问，那其实第一问呢，可完全可以口算它。 嗯，第二问，这个知识点很多同学做错了，做错的原因呢？主要是，呃他对知识掌握的不太 太好。那第二问，他主要考察的知识点呢？首先我们看一下，呃，角二法的顶点为坐标原点，使边与 x 轴非负半轴重合，这个点位于啊二法中边上的一点。那这个很明显是考一个相信角的知识， 那相信角的知识呢？而且是一个口算二零二零二六派加二，反正这个肯定是考诱导公式了，那这个知识点就是相信角和诱导公式的知识。你首先要知道， 呃，做数学题肯定要把它画到最简嘛。口顺这个二零二六派加二法，呃，肯定要知道它是偶数倍的派，然后是等于口顺二法，那么然后这个点位于这个呃， 角二法中边上，那么你要知道这个 x 和 y 分 别是对应 x 与口顺二法有关， 那么结果当中，因为它是 x， 它 x 是 根三，然后我们看一下这个斜边肯定是根三的平方加一的平方，再看根号是二，那结果肯定是选 d 啊，对吧？那 x 比上，嗯， 斜边是相当于是口算二法，对吧？这个知识点呢，就是与我们小册子上这个三角函数的知识点就比较，嗯， 比较一致了哈。三角函数值在这个各项线的符号，我们总结呢，就是乘 r 法的正负与 y 轴有关，口乘 r 法的正负与 x 有 关。所以这个题可以瞬间就口算出来了 啊，基本不用算啊，我们写一下过程吧，方便一些同学。呃，了解一记哈。口乘二零二六派加 r 法呢，它等于一个口乘 r 法， 口算 r 法呢，正负符号呢，是与 x 有 关，肯定是正的，所以你可以把 b 和 a 排除掉。然后呢，就是根三除以斜边，斜边是二，所以选选 d 啊，这没什么难度啊。然后我们看下第三题， 第三题这道题呢，考的是这个向量，呃，两个向量平行，呃，向量 a 平行于向量 b， 我 们可以知道对应，呃，坐标乘比例嘛。那么 x 比上一等于这个四，比上负二等于多少， 呃，负二，对吧？所以 x 等于负二选 a， 这个几个都没有什么难度啊，我们看一下这个第四题。呃，第四题，这道题呢？ 嗯，他主要的考察知识点就是，你看三角形里面 bc， 呃， bc 对 应的是这个 a， 对 吧？小 a 等于二， 然后 ac 等于 b 呢，对应的小 b 呢，就等于一，然后 c 等于。呃，一百二十度，求的是这个 c， 那 很明显用的是呃余弦定律，余弦定律，呃，这个需要掌握扎实啊。余弦定律说的是这个 c 方等于这个 a 方加 b 方减二， ab 乘以口算 c， 所以 这个地方呢？嗯，纯粹是口红，是很基础，没有什么难点。嗯， a 呢，对应的是二，那就是二的平方加一的平方减去二，乘以 二，再乘以一，再乘以口算一百二十度。这个常见角的这些三角函数值，你需要背的很扎实。口算一百二十度呢，它对应的是这个负的二分之一， 所以呢，我们看一下四加一是五，然后这个是正的啊，五加二是七，所以 c 方等于七， c 等于根号七啊，我们选 c， 这个没什么难度啊。 嗯，好，这是第四题，然后我们看一下第五题哈。嗯，第五题对应的知识点呢，是考这个单调性三角函数的单调性。那么这个题呢，一些同学就做错了哈，等于，嗯，四倍的甚，这个二 x 减六分之派，其中 x 呢，属于这个零到二分之派。那单调递减区间呢？我们有好几种做法，那么常用的做法呢？我们还是习惯用这个。 呃，整体法，所谓的整体法呢，就是你看， x 属于这个零到二分之派，那么我们设什么呢？呃，把 x 等于这个二， x 减六分之派，那它属于什么呢？呃，把 x 等于零带进去，这个，这个结果是负的六分之派， 然后把这个二分之派带进去呢？是派减，六分之派是六分之五派，然后呢，对于它就是一个整体，我们就可以用替换法 s f t 就 等于四倍的分 t， 那 我们学过分 t 函数的这个单调性， 他的单要求他的单调递减去减嘛，所以我们可以画一下他的图像，然后因为他是个选择题吗？我们尽可能的简化去做哈。呃，好 啊，这个地方是派，呃，这个是二分之派，那这个是二分之三派，那很明显大家的理解是二分之派到二分之三派，那对应的 他的这个呃值呢？我们看一下，那很明显是从负六分之派取值到六分之五派，在这这一块呢，有增有减， 那很明显的话，我们是让这个 t 除以这个二分之派到这个是不是六分之五派，他是单要递减的。对啊，那对应的 x 的 取值呢？就是二 x 减六分之派，是不是大于二分之派， 是吧？小于这个六分之五派，然后对应的减的值呢？你看，嗯，到 x 等于二分之派的时候，他等于六分之派，所以结果当中肯定有一个二分之派 啊，二分之反。然后我们看一下选项当中哈，要么选 c， 要么选 d， 然后你再解一下这边哈，一九十度加这个啊，九十度加这个，三十度是一百二，一百二除以二呢？是刚好是六十度是三分之反，所以我选 d 啊。这道题，嗯，这是 传统的这个解法，就应该这样解哈。嗯，其他的方法大家可以自由的去发挥哈。那么第六题这道题呢，他考察的知识点呢，也很简单，很明显就是考一个解三角，以及 一些常见的呃，在这样三角形里边勾股定律的一些应用哈，我们读一下题，要测的是 m、 n、 n 之间的距离，嗯，然后他选了 ab 两个观测点，然后 ab 呢，长是十二， 在角 a 处，在 a 处呢，测得这个角 m a n 等于这个是三十度，在 b 处，这个 b a、 n 呢，等于三十度，那就说这是个六十度的角，在角 b 处测得角 a b m， 那 也是六十度，那说明这是一个等边三角形啊。 然后角，呃，这个 m b， n， 这个是三十度，然后观景台 m n 之间的距离，那么这个题就很简单了哈，那么这个是六十度，而且 ab 是 十二，那证明 b m 也是十二。我要，我要求这个 m n 的 距离， 那我必须得是不是把这个，呃，把这个三角形当中的你看有这个角了，然后再求出这个边或者是这个边来，是不是可以用余弦定力，然后把 m n 求出来。好，那么 mb 是 a 和 ab 相等，是十二， 然后我们再放到三角形 a b 当中，那三角形 a b 当中呢，这个是六十度，这是三十度，是九十度，这个角是三十度，所以 b n 比上这个 a b 就是 坦仁的三十度，坦仁三十度是三分之根号三，所以 b， 嗯， b n 的 长度呢，就是十二乘以三分之二三是四倍的根号三嘛，所以 m n 就 求出来了啊。那这个题就非常简单哈，我们简单写一下过程啊，刚才根据我们刚才推的 m n 的 平方，是不是就等于这个 b m 的 平方加上 b n 的 平方，减去两倍的 b m 乘以， b n 乘以，是不是口寸三十度啊？口寸三十度是 这个二分之根号三啊，等于是不是十二的平方加上呃， b n 五钢球是四倍根号三， 那就四倍根号三的一个平方减去二乘以十二乘以四倍的根号三乘以二分之根号三嘛，好，它就等于一百四十四加上四十八， 对吧？减去呃，那么二分他二和这个二分之根号三的二约掉，然后这个是四十八，呃，四十八乘以三，四十八乘以三呢，刚好是一百四十四吗？对吧？所以结果就是四十八， 那你求 m n 的 话，那你就等于什么啊？等于开根号吗？对吧？根号四十八啊，根号四十八，那结果呢？很明显我们选的是呃 d 啊，就四倍的根号三 啊，米啊，这个题呃没有什么难度，所以说前六道题呢，我们呃很快就能秒掉哈，这几五六分钟的时间就可以把它做出来，节省大量的时间做后面的题啊。这这前面这六道题呢，纯粹就是考你这个 基础知识或者说一些小小的一些技巧，属于这个平时就考个六七十分七八十分的人就应该能做很快的做出来哈。然后你如果前面这个嗯，第一题到第六题犯错，说明你基础就不不扎实啊，只是没有学明白， 那这块呢，纯是基础题，没有什么难度哈，所以我们过去我们看一下后面的题啊，我们看一下这个第七题， b g t 考的是项量题哈，项量题这道题我觉得出的呢，嗯，哎，出题人还是比较哎，比较这个仁慈的哈，他没有出的特别的难啊，还是很方便的 呃，去思考这个这个事啊。然后我们看第七题，这个，它是矩形 a， b， c， d 当中啊，然后我们画一下哈，这是，呃， a， b， c， d 啊，注意，你画的时候一定是按，要么是你这个顺时针，要么你是逆时针哈你，你不能说 ab， 这是 d， 这是 c， 那 就不对了哈， 一定要按照这个顺序画，然后 a e 呢？向量 a e 是 等于四分之一的 ad， 那 e 点在这，那也在这，然后 b f 呢？都是三分之二的这个 bc， 那 f 点在这，然后呢？ a f 我 们画一下好在这，然后和 b e， b e 呃角与点 p 点 p 啊，然后呢，他说这个向量 a p 啊，等于南北的一个向量 a f， 向量 b p 等于 miu 的 向量 b e。 问， lamb 的 加 miu 等于多少啊？那这道题呢，很多同学就不会了。这道题其实可以有两种做法，一种是这个间呃间隙，另一种就是传统的向量的做法。 我们先把这个向量 a p。 你 做个题的时候不要慌，先把它表示出来嘛。向量 a p 等于南北的向量 a f， 那 af 我 看一下它等于什么呢？ af 很 明显是两个向量的和吗？啊，或者是两个向量的差，那向量 af 就 等于向量 ab 加向量 bf 啊，等于南北的一个向量 ab 加上向量 bf 啊，向量 bf 我 写的慢一点， 那它又等于什么呢？我们继续往后写，向量 ab 加上向量 bf， 我 们知道是三分之二倍的向量 bc 啊，我们写上 ok 啊，然后他已经画到，已经画到最简了，不能再往后画了。那什么放这，然后我们看一下像量 b p 吗？还给还给了我们条件，像量 b p， ok， 像量 b p 是 不是等于 m 位的一个向量 b e 吗？ 呃，所以他能用 m 位的向量 b e 的 话啊，我们看一下 b e， 向量 b e， 那 我们可以是不是 等于向量 b a 加上向量 a e 啊，那么 就是首尾相连吗？类似于他这个原理啊，等于六倍的一个，那向量 b， 我 们先放这啊，加上向量 b a e 的 话呢，等于四分之一的 ad， 那 这个地方要注意，四分之一的向量 a d 和向量 bc 是 相等向量啊，那他就等于四分之一的，我可以，是不是可以画成这个什么 啊？ ad 和 bc 还是相等向量，那么这个 ad 和 bc 我 就可以画成像量 bc 嘛， ok 啊，然后就等于 m 倍的一个，是不是负的向量 a b 啊，注意，这个地方我要和它画成画成一样的哈， 加上四分之一的这个向量 b c， 尽可能的去往相同的方向，相同的基底去表示一个向量啊。 ok， 那 这个地方你看它里边有这个 a b， 这里边有 a b， 那 么 ap 和 b p， 我 尽可能的也是往这个 a b 上面画。 那向量 a b 的 话是等于什么？是不是我们可以得到这个向量 a p 减去向量 b p 啊，减去一个向量是不是等于加上它的相反向量啊？就向量 a p 加上向量 p b 等于向量 a b， 对 吧？我就可以给他呃，写一下等于两倍的向量 a b 啊，加上三分之二倍的向量 b c。 好 好的，然后减去一个 m 倍的一个负的向量 b c ok 啊，然后加上一个四分之一倍的向量比 c 啊，那这样的话，我们再化简化简一下这个这个值哈，看它等于多少。好啊，这等于，那我们看一下，这是 ab 减去 m， 那 呃，负 m 乘以它呢？刚好结果就是两倍的向量 ab， 对 不对？然后加上一个 m 倍的向量 ab， 好，我们把向量 a b 放到一起，然后加上三分之二倍的一个 lamb 的， 呃，向量。向量 b c， 然后减去四分之一 m 倍的向量 b c， 啊， 好，这个向量 b c 和这个啊，它们合到一起，等于看左边是不是就向量 ab 啊。向量 ab 等于 lamb 的 加上 m 倍的一个向量 ab， 好的，然后加上三分之二 lamb 的， 减去四分之一 mu， 括号啊，括号。然后向量 bc 这个东西，你看哈，这个向量 ab 等于一个多少倍的向量 ab 加上向量。我们看一下，向量 bc 是 往这的向量 ab， 他 们刚好是垂直向量。那也就是说这个 这块 lamb 的 加上 mu 等于几？等于零嘛？ 啊，等于零。所以，呃，这样的话，我们可以把 lamb 的 没有都求出来。那但这个题呢，它只考虑 lamb 的 加 lamb 的， 所以等于一就选就选 b 嘛，对吧？没什么难度啊，也都很简单。嗯， 然后其实难度稍微难一点，稍微难一点的是第八题哈，那第七题其实就已经开始给你上强度了，那主要就是针对日常考试啊，基本在八十分九十分左右的这些同学啊，他，呃需要掌握的一个稍微难一难难点的这个 知识点哈。呃，第八题这道题呢，就适合平时在一百分左右的那些同学，然后你需要能做必须做对他啊。那这道题呢，前面也给大家发了一下这个解析的过程， 嗯，是，那讲呢？是他涉及的知识和方法是第一次我给给还是还是要讲一下吧。第八题，他这道题呢，是分二 x 比上一加扣分，二 x 加上 四倍的三二 x 比上一减口三，二 x 等于 k 在 区间零到四分之派上有唯一的 唯一的实根，求 k 的 取值范围。那这道题一看，有些同学就蒙了，对吧？这道题就不会了啊，很蒙，很不会，那怎么办呢？那数学是怎么思考呢？怎么思考这道题呢？还是要注意一些技巧和方法。 那很明显，这道题当中你有森，有口森，有森，有口森，你不可能这样摆着去研究它的这个单调性，你要要让左边这个函数啊，你可以设它为 f x 等于右边一个常数，它有唯一的十根，那你看 x 属于零到四分之一的十根，那它到底是这样画啊？函数相是这样画还是这样画， 对吧？有很多种可能性，所以我们要研究出它的整体的一个走向啊，图像，或者说它的单调性啊，它的整体在这个零到四分之派式是怎么变的呀？啊，所以呢，我们还是要往统一上画，那这就是数学的一个解析的一个思路嘛。 好，那我们就做一下啊，那么根据你学的公式啊， sin x， 你 肯定是用二倍角公式啊， cos， 对 吧？那一加 cos 二 x 啊， 呃，口算二 x， 我 们背一下公式是，口算二 x 等于口算 x 平方减三 x 平方等于两倍的口算 x 平方减一等于一减两倍的三 x 平方。那这道题来说，肯定是要用什么 要把一消掉吗？因为一是一个妨碍我们去研究这个函数性质的一个项， 当于是一个麻烦啊，我们把它解决。解决掉。那怎么能消一呢？哪里边带一呢？很明显是，是不是一加上两倍的 口算 x 的 平方，减一能把它消掉，对吧？哎，加上四倍的，然后他呢是乘以二三 x 口算 x， 这样二先放这比上，呃，这个一怎么消掉啊？口算二 x 是不是它里面是一减两倍的三 x 平方，对吧？一可以消掉。呃，然后呢，我们继续画这个式子啊，那么一一消掉，二二消掉，然后口算。口算对于零到四分之派上 啊， x 属于这个零到四分之派，想一下，口算函数，它肯定是不等于零，所以这个口算可以约掉哈， 那二二约掉，那剩是不是剩一个三 x 比上口三 x， 对 吧？然后这边加上这边呢？一一约掉，然后是二两倍的二二约掉，是剩下一个四吗？四四四四约掉，那就口三 x 比上三 x 等于 k 啊，等于 k。 做数学题呢，我，我觉着呢，尽量尽量的少写，多多用你的那个脑袋啊，去想一想，因为脑袋里装的是知识，对吧，你尽可能动起来，动起来的时候这个脑子会越来越好用嘛，是不是？嗯，所以呢，这样的话我们肯定知道，嗯， sum 比口算是坦真坦坦，说坦真坦 x， 加上 它是坦真坦 x 分 之一，或者说 q 坦真坦，那我们尽量的不要去往两个又是坦真 x 加 q 坦真坦 x， 嗯，四倍的 q 弹的，不要那样画，尽可能画成同一个函数去研究它的这个性质哈。啊，这是数学的一个技巧哈，你不能，你不能说，你感觉，哎，他就是 q 弹的 x， 你 就用上了。其实这个题是，嗯，给你，如果你画成 q 弹的 x， 给你增加了一些麻烦啊。 嗯，它等于 k 有 一个唯一的十根啊，唯一唯一的十根哈，唯一十根，那我们怎么去研究呢？我肯定是还是要把它这个这个这个用替换法啊。我可以设 t 呢，等于这个坦仁坦 x， 它属于什么呢？ 因为 x 属于这个零到四分之派，所以 t 等于坦仁坦 x 属于，是不是零到一啊？对吧？因为坦仁坦 x 在 这个零到派上，零到二分之派上，它是单调递增的，所以 t 呢？等于啊，它是，那 x 可以 设它，然后我们再继续往做哈。那么原式呢？我们就可以变成 f t 等于 t 加 t 分 之四哈，然后呢？ t 属于这个零到一， 然后这个东西你就知道，有些同学说是对勾函数，有些同学说是这个 p 函数。都可以啊，我们研究一下它的这个函数图像， 嗯，我们只研究零到一上的，那我们就画第一项线的啊， f t 啊，这边是 t， 然后对应的， 呃，这边一条直线，然后呢？我们说它的最低点那个值是不是根号这个 p 啊？ 哎，明显四的话是二，比如说这个点是二，然后另一个值我们拉下来，是不是这样的一个，对吧？这边是减，然后这边是增，那只取 t 是 零到一，一呢，大约在这对应的值是五，对吧？一带进去。那很明显图像我们只取这一块， 那取这一块的话对应的 k 啊，他有一个唯一的神，所以 k 必须是，因为他取不到五，所以 k 必须是比五大吧，所以 k 要大于五啊。 这道题呢，我们看一下他，呃，就选 c 了嘛，就选 c。 嗯，这前八道题呢，总体来说都非常简单哈。嗯，第八题稍微难一点点。嗯，我建议大家呢，这部分就是 呃六到六，呃六到十分钟就把它搞定了。然后多选题呢，少花的时间稍微长一点，然后填空选择，基本要控制到四十五分钟左右把它完成，要不然就会耽误你做大题啊。好，选择题就分享到这啊。
205阿布布
05:54查看AI文稿AI文稿来，这是学生们正在考的啊，现在还没考完。嗯的，数学二模试卷。嗯，我刚才大致看了看他这个难度啊。嗯，难度比这个一模呢要略简单一些。 嗯，这一次的话不至于像一模那样做不完了吧，是吧。嗯，可以大致看一看。你看第一题啊，很常规的这一个轴对称，中心对称的一个题型啊，比较基础。第二题啊，数轴基础题是不是你的运算啊？三十图 开技术法。嗯，第六题，概率基础题啊，第七题，哎，这一个圆球球角度啊，这都很基础哈，前几个第八题二维方寸组是不是？嗯，从第九题第十题可能看起来难，但是呢，哎，这个第九题呢，纯粹就是一个没有给你图哈 啊，你只要把这个图一画，他就是非常基础的那种。呃，这个一次函数，反比例函数啊，与不等式的关系啊，你看这个选项就知道了，是不是。嗯，你看到第十题，第十题是个二次函数的一个。呃，应用里的题目呗， 对不对？你看表达式，表达式快告诉你了，对不对？看后面有个点是吧，把这个点带入，然后呢，表达式有了，表达式有了呢？这题你问啥问啥？不知道啊，对不对啊。十一题分式求值啊，这种，这种，求求求这个， 嗯，求这个字母值啊，都非非常基础啊，你看相似是不是未知的一种特殊情况相似。嗯，然后呢，这个十五题，这个呢略难一点点啊，是考察了一个引元，引元模型啊，引元模型，然后呢，还结合一个，应该是一个。呃，中意线 对吧，你看啊，点 e 是 动点啊，连接 a e， 然后呢九 a e 得呢是一个九十度 m n 是 中点啊，那么中点连到一起呢？那我们肯定可是中位线，是不是？所以呢，构造出这一个连接 a e， c e 来，这个时候呢，你看 他这个地方一直是个九十度啊，那么你想要保证他永远是个九十度，那么你只需要，哎， 这个以 a 的 为直径，哎，画一个圆就可以了啊，那么为什么呢？因为我们知道直径所的圆珠角是九十度啊，啊，你画一个圆， 哎，这个点 e 呢，在这个圆珠上动来动去，无论你怎么动，你只要在圆珠上动，那么 a 的 呢，永远是一个九十度。那么此时呢，我们想要求 m n 的 对角值呢，其实就是求 c 的 对角值， 是不是啊，就是求 c 的 最小值啊，因为这个 m n 呢，和这个 c e 呢有个两倍关系啊，那你只要把 c e 的 最小值确定好了之后呢，哎，只要除以二，就是 m n 的 最小值了，对不对？嗯， 那么注意圆心，一箭穿心，不要忘了啊，这个呢，是我们线下的一个引元里面啊，基础的一种题型了 啊，那么第十六题呢，你看，呃，基础计算啊，不是讲是不是十七题是一个概率统计啊，这种题呢，其实优生差生呢，就拉不开差距，说实话啊，都拉不开差距。嗯，这是这个第一章 啊，然后是这个啊，第二章的试卷，你看十八题是一个黄金三角形，有时候是黄金矩形啊，这种题目出来呢，哎，也不是特别难哈，它就是一个笔直问题。 嗯，十九题是一个函数应用的问题啊，哎，应用的问题，这种呢，只要把这个表达式求出来，然后那后边呢，注意这个范围，然后呢应该是求这个 呃这谁的温度啊，不难啊，这个二十题呢，是一个三角锐角三角锐角三角笔的一个问题，就解这三角形吗？啊，你看这个图就是比较常规的一些题型哈，拉不开差距。嗯， 那么后面的三道题呢，也是我们线下呢最近练的最多的一种题型啊。那你像这个二十一题是圆切线的一个题目啊，然后呢相对来说 应该不算难，我们最近还练了一个和这个很像的一个很像啊，这种题型相对来说还算固定一些啊，只是第二问，第三问呢，可能有一些题目呢求线的长度啊，如果这个题有一个第三问的话求线的长度可能呃用勾股定律啊，三角笔啊 啊如果还没做出来的话可能就往这个啊箱子三眼上去扣啊。这种题目那么二十二题，你看这个题型他和我们的一个 呃完全仿照我们这一个前两年的这一个同考二次函数压轴题进行这个模仿出的一个题目啊，我们潍坊的题目这个质量还非常高的啊啊，相当高，我个人感觉我们潍坊的题目比这一个 呃省内其他市的这个呃一模二模的题都要好啊，好很多啊好很多哈。你看最后的压轴题呢，往往就是一个多边形是不是啊，四边形的一些折叠啊，然后呢求甚至是求最值啊，求这个 呃数数数这个字母之间的数量关系啊。这种题呢说实话他肯定是难压轴啊。最后一个题是不是啊，但是呢仍然难归难，但是你像前两问我们比如说撕出一半的分来啊？前两问的这个大部分分呢？拿到手应该是。嗯， 不难，是不是应该还行啊？对于绝大多数同学来，你看第一问肯定没问题，是不是啊？那么对于这个中等偏上的同学呢？然后呢？前两问肯定没问题啊。第三问可能你紧张啊，或者说这个确实 有点知识盲区啊，做不出来这个也正常了。最后一问嘛，比如说对不对？所以整体来看，他比这个一模的实体的难度要低了一些啊。然后呢，应该时间我觉得够用的，对不对啊？应该够用哈。嗯， 到时候到时候把答案什么的。然后呢？我再写一写，腾一会，然后再再拍哈，最近太忙了。
319【潍坊】大有老师教数学
01:14查看AI文稿AI文稿省卷和潍坊卷，他们两个到底哪一个更难呢？哪一个试卷更容易得分？潍坊，咱们今年的中考改革我在直播间其实已经给大家讲了一段时间了，相信很多家长其实也已经领取到了咱们的山东统考往年真题，做过的同学的话其实可以在咱们评论区去讨论一下哪一个更难。 这么说吧，潍坊的话，之前咱们都是本地的老师去出题范围会更小，面对的学生群体的话就是咱们潍坊本地的考生为了更精准的去录取学生，往往他的难度会更高一些。 而省卷的话是咱们全山东一起去考，这么多的地区水平他肯定会参差不齐，所以说省卷他就要去兼顾到咱们全省的教育水平，难度相对的就会降低了。 但是省卷它会更加贴近我们的社会热点，更体现在对孩子他的一个能力挖掘上， 这与我们潍坊之前的出题模式其实是完全不同的，所以家长的话，咱们是需要提前让孩子去适应一下这种模式的变化，最好最有效的方法就是刷题，根据题型来反馈哪里薄弱，从而抓紧去进行提升。还没有做过山东卷的可以来找我要，我可以发给大家。
27潍坊初高圈
02:14查看AI文稿AI文稿潍坊高新区的家长们大家好，我是教初中数学的刘老师，咱们今天来聊一聊潍坊六下啊，数学期末考试它的出题、出题特点。那我总结了有四个，如果您家里有六年级的孩子，一定要听一听。那第一个就是选择填空的 分值呢，占比比较高。像那他考察的知识点呢？也很综合，很多负数啊，正负数，比例尺啊，百分数啊，这一些，包括圆柱、圆锥的啊，面积、体积问题。 那再一个就是他的特点是什么呢？就是看着比较简单，但是小陷阱很多，很容易丢分。 那第二个特点就是啊，应用题的考点是比较固定的，那重点有这几个，那第一个大题他经常考的就是画图题，像平移旋转。那第二个呢？就是考啊，图形的面积和体积的计算。 那第三个可能考这个，嗯，就是比比例、百分数的这些应用题， 还有常考的大体有这个统计的题目啊，统计图，扇形统计图。那最后一个压轴题，一般就是体积的变化问题，这一个属于一个难点。 那第三点，呃，第三个特点呢，就是这个计算题分值占比是比较高的，那像简变计算，嗯，解方程啊，解比例这一些是必考内容，很多同学丢分，其实是丢在计算的粗心上。 那第四个特点就是试卷呢？是这个难度分布是按照七比二比一的比例啊，七成呢，都是课本的变式题，百分之七十是比较简单的。然后中档题呢，是百分之二十，难题呢是百分之十左右 啊，他不会考一些偏题、怪题，也不会考一些超纲的奥数题。那如果孩子在期末的时候想要考高分，就围绕啊这四个特点进行针对性的去练习。
00:42查看AI文稿AI文稿原来这就是四百多年前真正的状元卷。明代赵秉中的电视试卷，两千四百六十个字，一气呵成，无一处涂改，无一处错字，字迹工整，美而有力，是考场通用的管格体， 简直和印刷的没区别。卷首是明朝万历皇帝在试卷上亲笔题写的第一甲、第一名， 卷尾还有当朝重臣六部和三位阅卷考官的集体签名。试卷上面很多红色的圆圈，这个不是标点符号，是当年考官认为文章的精彩之处，叫可圈可点。而这时的赵炳忠不过才二十五岁，青年才子，意气风发，光看试卷就已经具象化了。
40潍坊罗贝
01:14查看AI文稿AI文稿在潍坊小升初家长看啊，这什么？这是往届小升初的分班考试卷啊，因为昨天高新去公办学校新出的孩子都已经入学报道了，很多家长报道完之后立马来找我领取这个往届分试卷， 说明咱这一届家长要比往届要更积极，更有教育意识。因为往届一般升初来领啊，都是七月底八月初才开始领取。 所以说各位姐姐们，你还没领取的，抓紧时间来找我领取啊。怎么领取啊？我跟你们讲，你们直接去我主页的抖音粉丝群，进群之后找我领取就行啊，为啥要进群呢？因为 昨天前天很多很多这样找我领取的，我都已经回复过来了，忙不过来了已经。所以说各位姐姐们，你们直接去进群，然后我在群里告诉你怎么领取，那个已经在评论区扣一，然后我在群里等一等。因为这个分班考试啊， 八月勒十号左右才开始这个分班考，还有三十多天来得及啊，我明天回不了你，我后天回你， 早晚回到你，你及时看看咱俩的这个私信就行啊。好了，各位家人们，那个还木领的抓紧时间来领取啊，你无论是高新区的、昆仑区的、潍城区的啊，都可以来找我领取，包含其他区的都可以啊，拜拜。
21潍坊学霸然老师
00:32查看AI文稿AI文稿一个姐姐说今年的中考数学抢答卷直接是前面一加一后，后面坐飞机。我们来来看这道一加一选择题的第一题， 然后，呃，下面实数中比一大的数是什么？然后这一题可以直接秒了，因为其中的 d 呃，约等于一点四一四，所以这个选 d 你 做对了吗？
770沈万峻学数学
