嗯,大家好,今天呢,我们带来江苏南通的这个呃,高三的一个三摩的十一题,我们进入这个题呢,我们来分析一下这个一体几何的多选压轴应该怎么去操作啊? 同时呢,我们复习一下我们之前讲过的外接球啊,外接球的几个模型,比如说双半径单交线公式啊,包括双距离单交线公式,包括对楞相等啊,如何怎么操作啊?我们先看一下这个,这个题他说在楞长为二的一个正方体当中啊, 啊,一点呢是 bbe 的 中点啊,一点是 bbe 的 中点点, f 呢,是在底面上动含边界。 第一问呢, a 选项给的是呢?给的是 f, 是 c 的 中点, f 在 c 的 中点上要证明什么呢? e f 啊,就这条线和谁啊?和 a 一 b 的 平行, a 一 b 的 啊,那首先我们先连一下 b 得啊,连一下 a 一 和 b 得啊,这么个图 啊,连接 ab。 好, 那好了,那这个考察什么呢?这考察的是线面平行的一个判定定律。 那线面平行判定里怎么说的呢?是这样说的,我要证明线和面平行,我需要在面内找一条直线,有时候我们需要在这个面内找一条直线,与该直线平行,就可以证明线面平行,那这是他最基本的定力啊,比如说我们需要在面内找线啊,这是那辅找辅助线的原理啊,有时候我可以挣线线, 那在立体几何正面线平行的时候,除了这个思路之外,其实我还有第二个思路,比如说我要正线和面平行,我可以围绕着该直线,我构造平面,叫构面,我围绕线构完面之后得到一个什么,是不是一个平面啊?那如果这俩平面平行,比如说面面平行, 是不也可以证明线面平行啊?因为两个面都平行了,那面内的这个线呢,那肯定是和它平行的。那这时候呢,我们就接这个题,我们来看一下这个,这两个怎么去用啊?首先呢,我们一般证明线和面平行的时候啊,我们需要怎么着?是不在这面内找线, 那一般在面内找什么线呢?嗯,百分之八十以上的题,其实大部分都找的是中线,那所谓的中线什么意思?就是一个顶点和对边中点的连线,那大部分为什么会穿这种情况呢? 是因为我们题干当中给的这些点,你看这些点啊,都是什么?是不是都是终点啊?就因为他给的都是终点,所以找到终点的可能性就比较大。大家也可能找四等分点啊,大家找三等分点可能吗?也可能,但是会稍微少一点。所以像这个题的话,你看啊,我们我们可以在这个面对找一条线,谁啊?以得 得为起点,然后找到 a、 b 的 中点连起来啊?这条线呢,应该是跟它平行的,当然如果实在是找不到,你还有一个办法,你可以怎么着呢?你可以拿尺子把它把 e f 平移到这个面内,就可以找到这条线。那有人有同学就问了,说为什么拿尺子量出来也是对的?是因为, 而策划法,我们当时规定的是平行 x 的 平行 x 轴的长度不变,还是平行 x 轴,平行外轴的长度变为原来的二分之一,还是平行外轴。你说平行的是不变的, 也就说当它变成一个立体几何图形的时候,它的平行的关系是不变的,但是垂直不行,为什么呢?因为九十度需要变成四十五度,所以在这个题当中你就没法去量了,垂直没法量,平行是可以的。那像这个题呢,就很简单了,我们找到终点啊,这个点是我们的 m 点,那得 m 啊和 e f。 我 们要你看啊,看两条线一样长吗?这两条线啊,这个得 m, 这条线和 e、 f 啊,差不多一样长。那这时候是干嘛呢?我们需要正 m e 和的 f 反转平行四边九,因为的 f 正好是得 c 的 一半, m e 呢? m 是 中点, e 点是中点,正好是 a 一 b 一 的平行且一半,所以 a 一 b 一 呢?和 c 得呢?又平行且相等,所以它俩平行相等。就这个题可以做完了啊,这个因为比较简单, 但这是我们用的线线用的前面的方法。那如果正面面可以吗?可以可以,我们这个题正面面也是可以的。 那怎么去正面面呢?啊?就有同学就会问,那我们怎么去正这个面面呢?啊?我看一下啊,如果你要想正说,我们围绕 e、 f 说要构造个平面,那怎么去造这个平面?很简单,我们看啊,它要证明 e f 和它平行,对不对?那 e、 f 肯定要和它平行的, 那这怎么办呢?我们需要找一条线与它相交,并且与这个 a、 e、 b 的 当中的一条线相交就可以了。比如说我找到这个点,这个点是我们的 m 撇点 连接 f m 撇,这时候就做完了。为什么呢?你看啊, f m 撇是平行必得 e f, 若平行于 a、 e、 b、 d 的 话,那这个平面,这个 e、 f m 撇必然和 a e b d 平行, 那这样的话,我们只需要,当然我们 e f 是 不能使的,为啥?因为我要证明它嘛,对不对?所以这时候呢,我们一定要看我们的 e m 撇,那 e m 撇呢?正好是 b e c b e c 平行且一半,而 b e c 呢,和 a e d 是 平行的,所以我们就做完了,所以这两种方法都可以。像这个题,这个 a 选项,这个 a 选项不难。 好,那我们再看 b 选项,再看 b 选项, ef 啊, ef 垂直谁啊?垂直于 a e c a e c e e。 好, 我们找一下 a e c e, 那 a e c e e 啊,比如说这条,你先连一下 a, e c e, 然后再连一下 a, e e, 然后再连接一下 c e 啊, c e 画的有点斜了。好,这个点是 e 点。好,那他说 e f, f 在 哪里啊? f 只在底面上,没有说在哪位置,那他给了一个什么?他说 f 是 b 的 终点, 那这时候就好办了呀,我们找到 b 的 终点,那就正好是什么呀?是不对角线的中心,我们找到它,我们连接 e f, 我要证明 e f 怎么着是垂直于这个 a e c e 啊? a c e。 首先呢,咱们先看一下啊, 一条线如果垂直平面,它会垂直面对的,两条相交之间啊,那首先 e f 肯定要垂直谁啊?垂直我们的 a e c e 啊? a e c e, 那 为什么垂直 a, e, c e 呢?啊?非常简单,你看看 a c 这条线, 你看 a c 这条线, a c 是 不是垂直必得?因为正方形,又因为 a c 垂直于 b e b, 所以 a c 垂直平面,比如说 a c 是 垂直于面 e f b 的, 所以 a c 垂直 e f 是 没有问题的啊,没有问题,那张老师找到一条了,那你说我 e f 如果垂直于 a e e, 是 不是这题就完事了啊?或者垂直于 c e e 都可以。 那你看 e f 和 a e 是 不是正好是相交的?那既然相交,我们就怎么办?我们是可以通过勾股定力,有时候我们连接谁啊? a e f, 我 看边长就可以了,这个边长为二,人说了,题干当中说了楞长为二,那这个是一,可以吧?所以这个是根号五,你看五,然后我们再看这条 这条,因为这个是二,那这是对角线,对不对?对角线是二,根二,所以这条谁啊?这条是根六 啊?勾股定律,比如说我们的 a e f 是 根六,通过大型 a e a f 当中得到的。那再看 e f e f 是 谁啊? e f 是 不正好,你看我连接 b d 的 话, t d 角线, t d 角线是不正好是这个? e f 正好是 t d 角线的一半,因为它是中位线吗?对不对?那既然中位线的话,怎么去解呢?很简单,因为边长为二,那就是四加 四加四,二根三,你说这个起对角线是二根三,然后这是根三,那这时候我们看啊, 那这时候 e f, 你 看它 e f 垂直 a e e 吗?满足勾股定律吗?不满足,所以 e f 是 不可能垂直 a e e 的, 所以当 f 为 b 的 中点的时候, e f 不 垂直于平面, a e e c e 啊, a e c e, 所以 b 选项是不对的,而 b 选项是不对的。 完了之后呢,咱们再看 c 啊,再看 c, 那 这个 c 选项呢?其实有两种做法啊,两种做法就看同学们怎么去选择。呃,我的建议什么呢?就说做这种 选填空间向量的题,能不见细就不见细啊,用什么呢?用立体几何去做啊,因为这样的话会节省很多时间。那首先呢,我们看一下这个,这个题他干嘛?他说 f 在 a 得上动啊,又说 f 在 这 a 得上动,他说 f 到 a 一 的什么啊的距离最小值。 那这里面就得说的一个问题了,一个一个就说,因为 f 不是 在 a 得上动吗?他要求 f 这个点 到 a 一 一的距离,其实我们是有法一、法二、法三,咱们挨着分析,咱们挨着分析。首先呢,咱们从最麻烦的方法来看啊,也是大家最想最经常去用的一些方法, f 在 上面动啊,这时候呢,有很多同学说,哎呀,不好,不好去想,那这怎么办呢?我们可以考虑间隙以得为圆,心,以得 a, 得 c 得得一啊,为分别为 x、 y、 z 轴间隙设什么呢?就是法一 啊,简单一些啊,设设得 f 相等啊,等于栏目大倍的得 a 相等,因为你的 a 点得点坐标是可求的,比如说 f 点是可以用栏目的表示的, 表示完了之后,求什么呢?求点到直线距离公式,因为他要求什么,就按照他的提议呢,就说 f 直线到 a 一 的距离,那这个点到直线距离公式怎么来的呢?这是在咱们选择性必修第一册上是有固定公式的啊,新课本上是有的。 首先我们找到 f 点, f 在 这,我们要到谁啊?到 a, e, e 的 距离啊,这个公式怎么说呢?这样说的,设 a e f 为 a 向量啊, a e f 为向量, 然后 a e e 向量, a e e 向量除以它的摩是我们的小量子, 然后这个 h 就 这个距离 h, 那 是谁呢? h 就 等于根号下 a 模的平方,减去 a m 数量积的平方。 好,这个呢,就是我们的点到直线距离公式,空间中的点到直线距离公式啊,这是法一,但这个方法呢,非常麻烦,它最后做出来之后,这里是函数求最值。为什么呢?因为这有栏目的, 那这个栏目有范围啊,是零到一,大于等于零,小于等于一,为什么呢?因为得 a 向上是长的啊,得 f 是 短的,这是法一,但是我不大建议大家用这个方法,但这个方法呢,他比较什么?比较直观,你看他问的什么,咱们做什么,对吧?那法二呢?法二给的什么呢?法二给的?是 啊,当我要求 f 是 不是在 a 得上动,那也就是说我要求 a 得这条线和 a e 这条线的什么?是不是它两个异面直线的距离?异面直线距离呢?也就是最小距离,记着,异面直线距离啊,异面直线距离, 我们也称,为什么呀?称为最小距离啊,称啊,这就说 a 的 上一个点到它的最小距离啊,最小距离。那这样怎么去求呢?很简单,首先呢,我们要写出 a 的 项链来, 我们设一个项链,叫什么?叫公锤项链,公锤项链。什么叫公锤啊?就是都得锤,就是 n 项链,我们设它坐标为 x、 y、 z, 我们设 a 得向量乘 n 向量等于零啊,因为它垂直吗? a e 向量和 n 向量相乘等于零,这样的话,跟求法向量的求法是一样的,一旦求出公垂向量来之后,好了,一面之间距离。怎么去做呢?非常简单。 我看一下啊,这个点是 a 点,这个点是我们的 a 一, a 一 点,这点是我们的 e 点, 这是两条一面直线。首先呢,我先求它的公垂向量啊。公垂向量,比如过过 a 点吧,有公垂的,这是 n 向量,我们连接 a a 一, 大家连接 a a e 可以 吗?可以,无所谓。首先呢,先去加角,这个谁它啊,这个谁呢?就说正好是 cosine theta 等于我们的 a, a 一 向量和 cosine theta 正好等于我们的 a a 一 向量和 cosine theta 等于值,比上它俩的模 好。那又因为什么呢?这是公垂向量,这是垂直的,可是它等于谁啊?邻边,邻边谁啊?正好是 h, 就 等于 h 比上 a 一 的模。 那 a a 一 怎么着是不约掉了,所以就有了公式,就说 h 等于谁啊?等于 a, a 一 向量 和弓垂向量的摄像机比上弓垂的膜。那这个呢,就叫意面直线距离啊,也称为这两条直线之间的最小距离,那也就是我们这个 f 到 a 一 的最小距离,这是我们的法二啊。但这个法二呢,要比法一要简单,为什么呢? 因为法二当中不会涉及到函数求对值,而法一当中需要涉及到函数求对值。那完了之后呢,这时候咱们再看法三,再看法三啊,法三,那法三就简单很多了啊,法三,这就是看每个人对立体几何的一种理解了。我们先连接一下 a e, 哦, f 在 上面动对不对?好,要求 e 面距离对不对?好,刚才说了 e 面之间距离,什么意思啊?就是就是,就正好,是就是,这条线怎么着,既与 a e e 垂直,又与 a 的 垂直。 首先呢,我们看,哦,这个 a 的 这条线是不是垂直平面?谁啊?就说 a 的是垂直于面, a 一 a b b 一, 哦,它垂这个面,所以,那好了,我们过 a 点做 h。 哦,做,做谁啊?做 a h 垂直于 a e, 你 看我的 a h 是 不是垂直于 a e e, 又因为什么呢? a 的 垂直面 a b e a 一 a b b 一, 对不对?所以 a 得也吹谁啊? a h, 那 你看 a h 这条线数分别垂的谁啊? a e e 和 a d, 那 也就说 a h 就是 它最小距离, 那这个题就简单很多了呀。啊,我们怎么着去求这个高就可以了,来,我们连接一下,这块叫 a e。 好, 首先呢,这个长度,刚才求了,这个是二,这个是一,这是根五,对不对? 这个长度是几啊?是不是正好,是不是到二?可以吧,那这时候我们通过等面积法就可以做了。首先呢,我们做高做高,这是根五,这是一,最高是,呃,根五减去一,这个正好是二, 二加一嘛,对吧?完了之后,这时候呢,我们可以看一下这个,这个,这个面积怎么去求啊?非常简单。首先呢,二分之一倍的 a h, 我 要求的 a h 乘上谁呢?乘上根五就正好等于二分之一倍的二乘二, 所以 a h 解出来了,等于谁啊?根五分之四啊,也就是我们的谁啊?五分之四倍的根五,所以我们的 c 选项也是对的,比如说目前 a c 是 对的啊, a c 是 对的啊,所以这个方法呢,你看是不是在考场我们可以口算了 啊,你说其实很多好的方法和思路是需要多想啊,包括你就说咱们命题人呢,现在这个立体几何呀,主要是就考察你对对,就能不能看出这个里面的平行啊和垂直啊,所以啊,大家呢,平时练习啊,还是尽量用力体几何去多做, 比如说空间向量的这个方法呢,作为一个保底的方法,就说我实在是确实没有好的办法,确实也想不到这时候呢,我们可以通过电气来解决这样的问题,那完了之后呢,这个的选项到了今天我们要复习的东西了,就是我们的什么呀,这个 外接球问题,那这个外接球怎么去看呢?首先呢,我们找到 e 点,找到 e 点,他说 f 在 哪里啊? f 在 这个地方, f 的 这个问这个 b 点上, e 点在这,我要求什么?求 a e c a e c, 我 连一下,然后还有谁啊?还连接 a e e, 连接 c e e, 还有呦,还有连接 a e f, 还有 c e f。 哦,我要求什么?求 e 杠 a e c e f 这个的外接球。 那这个这个题啊非常简单,首先就看大家能不能观察这个事了。首先呢,你看啊,这个平面, a e a b b e 这个平面,就眼前这个面和谁啊?和 b c c e b 这个面是不垂直,那也就意味着什么呢?意味着 a e f 垂直于 c e f。 那你说我要求外球,我找到这这个三棱锥当中的两个垂直面了,我只需要求谁求它的外角半径 r 一, 它的外角半径 r 二, e f 是 不就是你的 l? 这就是咱们上节课之前讲的那个什么呀,是不是叫双半径单交线公式,就是两个半径和一个交线啊,可以求它的外球。那我们看一下啊, 这个公式呢,我给大家整啊,整理了一下,就说首先呢,我要求两个垂直面,就说第一,你看 abc 这个面和谁啊?和 bc 的 这个面啊,是两个垂直面,我只需要求什么呢?求两个垂直面的外接圆半径,然后交线。谁呢?就是你这两个垂直面的公共交线叫 l, 靠这个 r 方等于 r 一 方加二方减四分之 r 方的公式就可以了。啊,那有了这个之后呢,那我们回来看一下啊,怎么去,怎么去做啊?怎么去做好,首先呢,那就很简单了呀,首先我们,哎,刚才连的这个 a e, 我 连一下啊, a 一 连接 a 一 e c e f 啊,这个是 f, 这个点是一点。好,那怎么去求呢?很简单,首先呢, e f 是 几啊?是不是一啊?比如说 l 有 了是一, r 一 是几? r 一, 就说我们要求这个这个外圈半径,那这个半径呢?首先第一步干嘛呀?我是先去求一下这些,就是求它的这个,嗯,它的边长。那首先呢,这个是二,这个是我们的一,所以这个是根五, 这个呢是我们的二,根二,这个我们是我们的一,所以这时候我们可以解这个 c, 它可得 c 那 个谁 是不等于五加八减去一比上二乘二,根二乘根五,所以就得到结论是,呃,上面是多少?是呃十二比上四根二根五, 也就是我们的三比根十,所以要求 sin theta, sin theta 就 等于谁呢?一减十分之九开根号, 所以也就是我们的根十分之一。哦,我解出 sin theta 了,然后二 r 一 外接半径通过正弦定律一比上根十分之一,也就是我们的根十,所以 r 一 出来了二分之根十, 但因为因为这个面,这个 a e e f 这个面和 c e f 这个面是全等的,所以 r 二呢,也是这个答案,比如说也是我们的二分之根十, 所以这时候套公式,我们套公式就可以了, r 一 方, r 一 方谁啊?四分之十,有时候二分之五加 r 二方,二分之五减去四分之 l 方一,就是我们的答案, 对谁呢?等于五五谁啊?五是四分之二十,减去四分之一就是我们的四分之十九,那要求表面积 s 对 谁四派二方,所以就得十九派啊。那这个呢,就是 我们这个外接球问题,你说外接球首先第一步先去找找有没有他的球心,然后呢,如果有两个垂直面,是不是直接套公式就可以了?所以这就是对外接球的一种理解 啊,这是我们江苏南通的这个第十一题,所以希望大家呢,就说尽量的去借助刚才讲的这些高阶思维,就是能不能通过观察呀,或者通过一些具体公式啊,然后就能把它做出来。那完了之后呢,咱们再看一下第二个啊,复习外接球的问题。 那第二个题啊,这是个好题,但这个题呢,我觉得可以改变,把它改成什么呢?就是改成一个圆锥曲线和 a p g 和相结合的一个题啊。 然后但是这个题呢,他给的毕竟还是简单了一些,为什么呢?因为他没有,没有连立方程,就是如果说他要加入了,比如说连立方程,那可能说更好一些。那首先我们看这个题啊,这是给了一个三棱锥,他说 pa 垂直 abc 啊,我先画一下这个图 像,这种垂直的图啊,我一般都是先画一下底面啊,但里头这条线是虚线,那这个 pa 垂直底面的话,那肯定是在这里竖着的。好,我们画一下。 好,这个点是我们的 p 点,这是 a 点,这是 b 点。首先 p a 给了谁啊?三分之二跟六啊?三分之二跟六,然后 a c a c 给的是二, ab 加 bc 啊,是四。比如说我们设这个为 x, 这个为 y 吧,你说 x 加 y 等于谁啊?是不是等于四 啊?这好好表示要求外界球的表面积。首先呢,因为 p a 垂直于底面,所以这时候呢?因为 p a 垂直于底面,所以这时候呢?还是刚才的公式,我们得到了 r 方等于谁啊?是不是 r 一 方加 r 二方减去四分之二方? 那首先我们对应一下啊,我们 r 一 谁呢? r 一, 我们是面 pac 的 外绝缘半径,那这个 r 二呢?我是面 abc 的 外绝缘半径。我找了这两个 l, 谁呢? l 是 我们的二,就是 ac。 好, 有了这个之后呢,我们再看一下第一个,首先呢,我们要求一下 pc 啊, pc 怎么求呢? pc 的 平方就正好等于谁呢?等于九分之四乘六,可以吧?然后加上四 啊,加上四等于谁呢?等于好,九,先约一个,这个呢是二,这个是三。奥,雨说正好是三分之八啊,三分之八加上谁啊?三分之十二,雨说正好是三分之二十,所以 p c 出来了, p c 等于谁?根三分之二根五, 所以 r 一 出来了, r 一 等于谁根三分之根五啊。有时候大家在做的时候,尽量有些中间步骤,不要去算它啊,不要去算它。完了之后呢,再看 r 二, r, 但 l 是 有的,对吧?好,那主要是 r 二怎么办?你看底面,他说 ab 加 bc 等于等于四啊? ac 等于二。比如说我们先把这个函数先拿出来, 打出来,这个点是 b 点,这个点是 a 点,这个点是 c 点,这个是二,然后呢,他说这个是 x, 这是 y, 对 吧?它里加一等于四。当你看到这两个边加起来是个定值的时候,想到什么 是不椭圆哦,这是个椭圆题,比如说其实如果间隙的话,这样建出来之后,它应该是在哪里啊?就这俩点是焦点啊,比如说这个 b 点在哪里?是不是在一个椭圆上啊? b 点在椭圆上, 所以这个题呢?好就好在这,他既然在椭圆上啊,在椭圆上啊,在一个椭圆上, 那这时候呢,就得琢磨一个问题了,那什么就说他这个,他要求什么?是不是求这个叫表面积最小值,对不对?比如说半径最小值呗。那首先这个 r 一 确定, l 确定,你说白了就求呢?这个角是 c, 它,我们设它为 c, 它就谁呀?就是二比三 c, 它 没问题吧?那要求最小,比如说谁他最是最大,那什么时候谁他最大呢?那这时候就得回到哪里呢?回到咱们当时学的椭圆的性质,在椭圆当中啊,啊,有两个章角, 有两个最大章角,这两个章角叫什么呢?分别叫焦点三角形的章角和顶点三角形的章角。最大章角在哪里呢?就是这个点啊,正好落在外轴上的时候,就正中央的时候,此时取得最大值。 那像这个的话就很简单了,为什么呢?因为如果你要知道这个结论的话啊,那就说最大到底在哪里啊?是不是正好在这个正中央的时候, 因为这个边长加起来是四,所以他是二,他是二,那这个角就是六十度啊,也就是说二 r 二就等于谁啊?等于二,比上 c 六十, c 六是谁?二分之根三,那也就是谁啊,就什么呢?根三分之四,所以 r 二出来了,根三分之二。 那有了这俩东西之后,好了,我们再录就可以了。大方对谁啊? r 一 方三分之五加 r 二方三分之四,减去一,答案就是三分之六,三分之四,是吧?没问题吧?啊?这是三分之二啊,平方是三分之四, l 正好是一,这是三分之三分之九,是吧?三分之九,三分之九, 减去一,就正好是二,可以吧? r 方是二,所以四派, r 方 就正好是八派,你说它的最小值是谁啊?是八派,所以咱就选 a 了。好,你说这个题其实出的很不错,为什么呢?它就牵了一个一个椭圆的性质,什么呀?最大张角,就说当焦点三角形最大张角的时候,在哪里啊?是不是在这个正中央上,它是最大张角啊? 这是对他的一个理解。但然后续课程呢,我们还会再推导一下椭圆的最大长角,为什么在这里?最大?包括焦点三角形的最大长角,为什么在顶点上?咱们都可以推导啊?这是我们的这个立体,那么再看下一个, 下一个,这里呢?是给了给把那个咱们之前讲的这个两个半径和单交线啊,怎么去套公式?就这个公式啊,给大家整理了一下,包括两个距离,和 啊和,加角和二面角得到公式。那这个公式呢?这叫什么呢?叫外界球的万能公式啊,外界球的万能公式。那这个 m 代表什么呢?这个 m 代表的是啊,你的外心就是那两个面吗?不是,你不找两个面吗?外心到交线的距离, n 呢,是另一个交线的距离, c, 它呢是两个面的二面角, l 呢是交界啊,套这个公式呢,就可以解出它的外界去半径了。那,那以这个题呢为例,我们来看一下下一个例题啊。以这个为例啊, 首先呢,咱们主要做一下这个六十度,这个因为九十度比较简单嘛。啊,当时刚才咱都做过了两个垂直面嘛,你看它这个题给的很简单,就说这个,这个 ab 的 这个三角形,是个二根三的一个等边三角形啊,也是一个二根三三角形,它给了什么?你看 这个二边角啥意思啊?就是 a, b 得 c, 这个这个角是个乘六十度的,你说他给你这个了,咱们再套公式,角大方等于谁来? 等于 m 方加 n 方减去二 m n 口森塞特比上森塞特的平方加四分之 l 方。哦,我们要套这公式,我们看一下啊。 首先我们研究一下 ab 得 ab 得这个三角形,什么三角形啊?是不是等边三角形啊?这是 a 点,这是 b 点,这是 d 点,边长给的是二根三,对吧?二根三 啊。然后这时候呢,我们比如说这个等边三角形,这是根,这是根三,你说这是三,因为它的四心合一,所以上下比二比一,你说这个长度是一,比如说我们知道了外心到交线的距离,交线是 b 得,可以吧?说 b 得谁啊?是二根三, 然后呢,这个距离是一,你说 m 等于 n 等于一,因为上面 bc 则也是个二根三的等边三角,所以通通是一加一减二乘,一乘口乘六十,因为他给了二面角是六十度,比上 c 它方啊,因为 c 它是六十度,所以是二分之根三的平方,四分之三 加四分之 l l l 是 二根三交线吗?说过了是十二, 所以我们套一下公式啊,一减一减一,三分之四加四分之十二 啊,加四分之十二,那这时候啊,就说你就可以怎么着,是不是解除外界半径,一旦有了半径表面积四排二方,你说这个就是我们的双距离单交线公式啊,所以希望大家呢,一定要去掌握一下这个外接球啊,外接球啊,外接球问题。 好,当然最后一个例子呢,我给了大家一个叫呃对楞相等的模型,当然我把对楞相等的模型呢给大家画出来了,就说他是什么呢?就说在之前的,在前天咱们讲过这个,这个传奇课专门去讲了对楞相等, 其实对楞相等呢,他补偿方程的时候啊,他正好是这些对角线啊,大家需要注意一下,正好是对角线,那怎么去解呢?公式我也给大家了啊,在这里 m 方加 n 方加梯方出八 k 根号,所以有了这个之后呢,那后面呢,我给了大家一个例题啊,那这个直接套公式就可以了, 有这个是 m, 这个是 n 啊,这个是 l 套公式,然后就可以求出半径三分之四 plus 三四方就可以求体积。 那今天呢,咱们主要是复习一下这个外接球问题啊,这是咱们今天要讲的课程,但后续呢,咱们还会在不断的去延伸,比如说像我们的球结面问题,就说 被一个球所结,结的轨迹长什么样的啊?这也是我们要研究的,包括后续我们还有更深的,比如说一个外接球啊,然后呢 中间有空隙,空隙上再添小球,应该怎么去研究啊?这些课程呢,都是咱们后续慢慢的推出,所以希望大家呢也多关注一下,然后点点赞啊,谢谢大家啊!
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今年的南通三模在五月六日至五月八日,也就是五一之后,据吸这场考试共有八个城市共用同一道试卷,南通出卷,南通、盐城、徐州、淮安、连云港、泰州、宿迁和扬州一起考。 作为高考前的最后一次大型模考,南通三模真的会简单吗?先说结论,这还真不一定。 在去年南充三字模考画线中,三模理科特招线和本科线都要比二模低,文科特招线和本科线比二模略高,说明去年的三模整体难度和二模基本差不多,或者说三模整体比二模还要难一点, 因为三模的语文阅卷尺度整体比二模和一模要松很多,但是画线上却没有大幅度上涨,甚至理科对有下降,足以说明其难度。 总的来说,三模的绝对难度不一定比一模二模低,但在阅卷上面会松一些,并不是目前很多人认为的信心提振卷,而四模作为考前练习卷,可能会出的简单一些,从而提振信心。 我们这边整理了被二五届苏北巴士考生称为魔鬼三模的全科试卷和答案,有需要的可以找我们主页的小李老师获取。

苏北八市三模考完了,这次三模的难度整体偏低,甚至我觉得要略低于高难度。我们来具体分析一下这次考试。先说数学,数学这次真的不难,基础送分题很多,全卷也就第十一题和第十九题的后面两问算得上。亚洲题。 第十一题地推数列加不等式指数地推我们平时不常见,第十九题全概率加错位相减计算非常容易出错,但是总体上我觉得甚至比数系长征的数学卷还要简单一些。 这次数学低于一百一十分,就是基础还不够扎实,或者说你的计算量还没有练到位。这套试卷计算量还是挺大的,这依然符合我们新高考一卷的命题思路,就是重基础,重计算,重规范,少偏题,少怪题。 语文不难,比苏北二模要简单一些,基本上也是新高考的难度卷。卷稍微有区分度的题是古代诗歌鉴赏那个板块,情感理解容易跑偏。英语也是非常接近新高考一卷的难度,我觉得也就完形填空有点区分度, 一不小心啊,容易脱离语境,那就容易选错。物理不难,但是略高于高考难度。实验题和最后一道压轴题稍微有点难度。最后一题过程比较多,步骤长,需要分段分析,不能一步到位。 历史难度中等,材料大体不太好做,材料看得懂,但是就是不知道他到底要考什么知识点好。今天我们考完之后啊,大概后天,最晚周一,每个城市的本科线和特批线就会出来把关注点好,早上七点来我直播间了解这次考试成绩,大概能去到哪些学校的那些专业。



南通宿北八市三模划线全部出炉,王老师会同的本次三模划线及对应分数线。先从各市划线来看,徐州物理类退供线五百一十二分、本科线四百五十六分,历史类退供线五百二十六分,本科线四百七十分。 其中网坛徐州理科最高六百九十分,文科最高分六百六十五分。加连云港物理类退供线五百一十八分,本科线四百四十八分。盐城物理类退供线五百零九分,本科线四百六十八分。 扬州物理类推空线五百一十八分,本科线四百六十一分。历史类推空线五百二十一分,本科线四百五十三分。其中网传扬州理科最高分六百八十四分左右。还有网友吐槽扬州模考遥遥领先,实战倒数第一。 泰州物理类推空线五百一十分,本科线四百六十分。历史类推空线五百二十一分,本科线四百七十九分。历史类推空线五百二十一分,本科线四百七十二分。 淮安市物理类推控线五百零七分,本科线四百五十二分。历史类推控线五百二十五分,本科线四百四十七分。南通物理类 c 九线,六百五十三分。九八五线六百三十四分。二幺幺线六百分。特工线五百零九分,本科线四百五十九分。 历史类 c 九线,六百二十四分。九八五线,六百一十一分。二幺幺线五百八十六分。推控线五百二十六分,本科线四百八十八分。整体对比来看,八十物理类不同城市间划线差距明显。 八十历史类分数线整体分差远大于物理内结合到考生整体水平的差异、试卷难度以及批改标准、本科线变化及省内横向对比来看,这个分数波动也是合理的。本次三模的画线不等于勾好,只要策略得大,最后一个月完全有机会成为逆袭的黑马。

南通苏北八十三亩划线全部出炉,据习,本次在七十的基础之上讲了盐城王老师带大家看一下距离分数线。先从各式划线来看,南通物理内 c 九线,六百五十三分。九八五线,六百三十四分。二幺幺线,六百分。特工线,五百零九分。本科线四百五十九分。 历史内 c 九线,六百二十四分。九八五线,六百一十一分。二幺幺线,五百八十六分。退供线五百二十六分。本科线四百八十八分。淮安市物理内退供线五百零七分。本科线四百五十二分。历史内退供线五百二十五分。本科线四百四十七分。网传理科六百分以上一千三百九十四人。 泰州物理内退供线五百一十分。本科线四百六十分。历史内退供线五百二十一分。本科线四百七十二分。徐州物理内退供线五百一十二分。本科线四百五十六分。历史内退供线五百二十六分。本科线四百七十分。其中文理第一均为徐州一中考生。 连云港物理内退供线五百一十八分。本科线四百四十八分。历史内退供线五百一十八分。本科线四百六十八分。历史内退供线五百二十一分。本科线四百五十三分。 其中网传扬州理科最高分六百八十四分左右。宿迁物理类推贡献五百二十一分。本科线四百六十九分。历史类推贡献五百三十八分。本科线四百七十二分。盐城物理类推贡献五百零九分。本科线四百五十九分。历史类推贡献五百二十六分。本科线四百七十八 分。区间本科线集中在四百七十八到四百六十九分区间 波动,城市之间划线差距明显。八是历史内分数线整体分差远大于物理内,且南通的本科线、宿迁的特供线均表现突出,结合考核整体水平的差异、适用难度以及批改标准、本科线变化以及省内横向对比来看,这个分数波动也是合理的。 三、博士高考前最后一次大规模学科目统考,但并非是最终的审判,记住这个划线结果对于心态的影响远大于分数本身,黑马都是最后冲刺冲出来的。

他们在复盘每一份试卷,分析每一个数据波动,为的是给你最精准的下一步指导。他们讨论的不只是分数,更是你背后的努力、心态和潜能。你的每一分努力都被看见, 稳住心神,字字诛姬,思路清晰,下笔有神,厚积薄发,从容应答。 那么我们同学们,这次这个三模考得这么好的成绩,相信在高考中一定取得更好的成绩。 期待我们把我们后门的学子在二零二六年这个高考中取得比以往更好的更优异的成绩。记得点赞关注哦!

江苏苏北三模考试结束了啊,难度不高,那么这也很符合三模考试的一个目的,主要就是为了增强咱们高考考生的一个信心。那么我们来逐个分析一下啊,这次考试的难度。首先是数学,数学呢,真的不算太难,基础题是一大片的,就是这个计算量啊,有点大。那么真正卡人的呢,只有两处,一个是陌生数列的逻辑判断 不太好下手,另一个是最后一题,概率加数列的综合题,他这个分类一多啊,就容易算错,整体比苏北七十二模要简单啊。其次是语文,语文的难度是不高的,也比按摩要简单,但是啊,整张卷子对文字理解的这个准确度要求比较高,你稍微不仔细的话就容易答偏。 别的题型都很常规,不算刁难人。英语呢,难度也很正常,跟高考难度其实差不多,他们难点难点主要是在这个语篇,逻辑必须要顺着整天的意思去走,不然的话很容易踩坑。 物理的难度啊,略高于高考,他重点难是难在复杂场景的这个模型拆解和多段运动分析,如果你的思路一乱就做不下去,所以特别考我们考生的这个调理 历史。这一次啊,难度适中,选择题还好,材料大体呢,都能看懂,但是很难精准踩到这个得分点,所以特别考验我们的这个知识迁移,不是此背书就能够拿高分的。 今天考完之后,过个一两天啊,成绩就会出来,大家呢,可以先点关注,每天早上七点半来我的直播间学习志愿填报的一个基础知识,我会手把手的教会你如何去填志愿。