南通三模

嗯，大家好，今天呢，我们带来江苏南通的这个呃，高三的一个三摩的十一题，我们进入这个题呢，我们来分析一下这个一体几何的多选压轴应该怎么去操作啊？ 同时呢，我们复习一下我们之前讲过的外接球啊，外接球的几个模型，比如说双半径单交线公式啊，包括双距离单交线公式，包括对楞相等啊，如何怎么操作啊？我们先看一下这个，这个题他说在楞长为二的一个正方体当中啊， 啊，一点呢是 bbe 的 中点啊，一点是 bbe 的 中点点， f 呢，是在底面上动含边界。 第一问呢， a 选项给的是呢？给的是 f， 是 c 的 中点， f 在 c 的 中点上要证明什么呢？ e f 啊，就这条线和谁啊？和 a 一 b 的 平行， a 一 b 的 啊，那首先我们先连一下 b 得啊，连一下 a 一 和 b 得啊，这么个图 啊，连接 ab。 好， 那好了，那这个考察什么呢？这考察的是线面平行的一个判定定律。 那线面平行判定里怎么说的呢？是这样说的，我要证明线和面平行，我需要在面内找一条直线，有时候我们需要在这个面内找一条直线，与该直线平行，就可以证明线面平行，那这是他最基本的定力啊，比如说我们需要在面内找线啊，这是那辅找辅助线的原理啊，有时候我可以挣线线， 那在立体几何正面线平行的时候，除了这个思路之外，其实我还有第二个思路，比如说我要正线和面平行，我可以围绕着该直线，我构造平面，叫构面，我围绕线构完面之后得到一个什么，是不是一个平面啊？那如果这俩平面平行，比如说面面平行， 是不也可以证明线面平行啊？因为两个面都平行了，那面内的这个线呢，那肯定是和它平行的。那这时候呢，我们就接这个题，我们来看一下这个，这两个怎么去用啊？首先呢，我们一般证明线和面平行的时候啊，我们需要怎么着？是不在这面内找线， 那一般在面内找什么线呢？嗯，百分之八十以上的题，其实大部分都找的是中线，那所谓的中线什么意思？就是一个顶点和对边中点的连线，那大部分为什么会穿这种情况呢？ 是因为我们题干当中给的这些点，你看这些点啊，都是什么？是不是都是终点啊？就因为他给的都是终点，所以找到终点的可能性就比较大。大家也可能找四等分点啊，大家找三等分点可能吗？也可能，但是会稍微少一点。所以像这个题的话，你看啊，我们我们可以在这个面对找一条线，谁啊？以得 得为起点，然后找到 a、 b 的 中点连起来啊？这条线呢，应该是跟它平行的，当然如果实在是找不到，你还有一个办法，你可以怎么着呢？你可以拿尺子把它把 e f 平移到这个面内，就可以找到这条线。那有人有同学就问了，说为什么拿尺子量出来也是对的？是因为， 而策划法，我们当时规定的是平行 x 的 平行 x 轴的长度不变，还是平行 x 轴，平行外轴的长度变为原来的二分之一，还是平行外轴。你说平行的是不变的， 也就说当它变成一个立体几何图形的时候，它的平行的关系是不变的，但是垂直不行，为什么呢？因为九十度需要变成四十五度，所以在这个题当中你就没法去量了，垂直没法量，平行是可以的。那像这个题呢，就很简单了，我们找到终点啊，这个点是我们的 m 点，那得 m 啊和 e f。 我 们要你看啊，看两条线一样长吗？这两条线啊，这个得 m， 这条线和 e、 f 啊，差不多一样长。那这时候是干嘛呢？我们需要正 m e 和的 f 反转平行四边九，因为的 f 正好是得 c 的 一半， m e 呢？ m 是 中点， e 点是中点，正好是 a 一 b 一 的平行且一半，所以 a 一 b 一 呢？和 c 得呢？又平行且相等，所以它俩平行相等。就这个题可以做完了啊，这个因为比较简单， 但这是我们用的线线用的前面的方法。那如果正面面可以吗？可以可以，我们这个题正面面也是可以的。 那怎么去正面面呢？啊？就有同学就会问，那我们怎么去正这个面面呢？啊？我看一下啊，如果你要想正说，我们围绕 e、 f 说要构造个平面，那怎么去造这个平面？很简单，我们看啊，它要证明 e f 和它平行，对不对？那 e、 f 肯定要和它平行的， 那这怎么办呢？我们需要找一条线与它相交，并且与这个 a、 e、 b 的 当中的一条线相交就可以了。比如说我找到这个点，这个点是我们的 m 撇点 连接 f m 撇，这时候就做完了。为什么呢？你看啊， f m 撇是平行必得 e f， 若平行于 a、 e、 b、 d 的 话，那这个平面，这个 e、 f m 撇必然和 a e b d 平行， 那这样的话，我们只需要，当然我们 e f 是 不能使的，为啥？因为我要证明它嘛，对不对？所以这时候呢，我们一定要看我们的 e m 撇，那 e m 撇呢？正好是 b e c b e c 平行且一半，而 b e c 呢，和 a e d 是 平行的，所以我们就做完了，所以这两种方法都可以。像这个题，这个 a 选项，这个 a 选项不难。 好，那我们再看 b 选项，再看 b 选项， ef 啊， ef 垂直谁啊？垂直于 a e c a e c e e。 好， 我们找一下 a e c e， 那 a e c e e 啊，比如说这条，你先连一下 a， e c e， 然后再连一下 a， e e， 然后再连接一下 c e 啊， c e 画的有点斜了。好，这个点是 e 点。好，那他说 e f， f 在 哪里啊？ f 只在底面上，没有说在哪位置，那他给了一个什么？他说 f 是 b 的 终点， 那这时候就好办了呀，我们找到 b 的 终点，那就正好是什么呀？是不对角线的中心，我们找到它，我们连接 e f， 我要证明 e f 怎么着是垂直于这个 a e c e 啊？ a c e。 首先呢，咱们先看一下啊， 一条线如果垂直平面，它会垂直面对的，两条相交之间啊，那首先 e f 肯定要垂直谁啊？垂直我们的 a e c e 啊？ a e c e， 那 为什么垂直 a， e， c e 呢？啊？非常简单，你看看 a c 这条线， 你看 a c 这条线， a c 是 不是垂直必得？因为正方形，又因为 a c 垂直于 b e b， 所以 a c 垂直平面，比如说 a c 是 垂直于面 e f b 的， 所以 a c 垂直 e f 是 没有问题的啊，没有问题，那张老师找到一条了，那你说我 e f 如果垂直于 a e e， 是 不是这题就完事了啊？或者垂直于 c e e 都可以。 那你看 e f 和 a e 是 不是正好是相交的？那既然相交，我们就怎么办？我们是可以通过勾股定力，有时候我们连接谁啊？ a e f， 我 看边长就可以了，这个边长为二，人说了，题干当中说了楞长为二，那这个是一，可以吧？所以这个是根号五，你看五，然后我们再看这条 这条，因为这个是二，那这是对角线，对不对？对角线是二，根二，所以这条谁啊？这条是根六 啊？勾股定律，比如说我们的 a e f 是 根六，通过大型 a e a f 当中得到的。那再看 e f e f 是 谁啊？ e f 是 不正好，你看我连接 b d 的 话， t d 角线， t d 角线是不正好是这个？ e f 正好是 t d 角线的一半，因为它是中位线吗？对不对？那既然中位线的话，怎么去解呢？很简单，因为边长为二，那就是四加 四加四，二根三，你说这个起对角线是二根三，然后这是根三，那这时候我们看啊， 那这时候 e f， 你 看它 e f 垂直 a e e 吗？满足勾股定律吗？不满足，所以 e f 是 不可能垂直 a e e 的， 所以当 f 为 b 的 中点的时候， e f 不 垂直于平面， a e e c e 啊， a e c e， 所以 b 选项是不对的，而 b 选项是不对的。 完了之后呢，咱们再看 c 啊，再看 c， 那 这个 c 选项呢？其实有两种做法啊，两种做法就看同学们怎么去选择。呃，我的建议什么呢？就说做这种 选填空间向量的题，能不见细就不见细啊，用什么呢？用立体几何去做啊，因为这样的话会节省很多时间。那首先呢，我们看一下这个，这个题他干嘛？他说 f 在 a 得上动啊，又说 f 在 这 a 得上动，他说 f 到 a 一 的什么啊的距离最小值。 那这里面就得说的一个问题了，一个一个就说，因为 f 不是 在 a 得上动吗？他要求 f 这个点 到 a 一 一的距离，其实我们是有法一、法二、法三，咱们挨着分析，咱们挨着分析。首先呢，咱们从最麻烦的方法来看啊，也是大家最想最经常去用的一些方法， f 在 上面动啊，这时候呢，有很多同学说，哎呀，不好，不好去想，那这怎么办呢？我们可以考虑间隙以得为圆，心，以得 a， 得 c 得得一啊，为分别为 x、 y、 z 轴间隙设什么呢？就是法一 啊，简单一些啊，设设得 f 相等啊，等于栏目大倍的得 a 相等，因为你的 a 点得点坐标是可求的，比如说 f 点是可以用栏目的表示的， 表示完了之后，求什么呢？求点到直线距离公式，因为他要求什么，就按照他的提议呢，就说 f 直线到 a 一 的距离，那这个点到直线距离公式怎么来的呢？这是在咱们选择性必修第一册上是有固定公式的啊，新课本上是有的。 首先我们找到 f 点， f 在 这，我们要到谁啊？到 a， e， e 的 距离啊，这个公式怎么说呢？这样说的，设 a e f 为 a 向量啊， a e f 为向量， 然后 a e e 向量， a e e 向量除以它的摩是我们的小量子， 然后这个 h 就 这个距离 h， 那 是谁呢？ h 就 等于根号下 a 模的平方，减去 a m 数量积的平方。 好，这个呢，就是我们的点到直线距离公式，空间中的点到直线距离公式啊，这是法一，但这个方法呢，非常麻烦，它最后做出来之后，这里是函数求最值。为什么呢？因为这有栏目的， 那这个栏目有范围啊，是零到一，大于等于零，小于等于一，为什么呢？因为得 a 向上是长的啊，得 f 是 短的，这是法一，但是我不大建议大家用这个方法，但这个方法呢，他比较什么？比较直观，你看他问的什么，咱们做什么，对吧？那法二呢？法二给的什么呢？法二给的？是 啊，当我要求 f 是 不是在 a 得上动，那也就是说我要求 a 得这条线和 a e 这条线的什么？是不是它两个异面直线的距离？异面直线距离呢？也就是最小距离，记着，异面直线距离啊，异面直线距离， 我们也称，为什么呀？称为最小距离啊，称啊，这就说 a 的 上一个点到它的最小距离啊，最小距离。那这样怎么去求呢？很简单，首先呢，我们要写出 a 的 项链来， 我们设一个项链，叫什么？叫公锤项链，公锤项链。什么叫公锤啊？就是都得锤，就是 n 项链，我们设它坐标为 x、 y、 z， 我们设 a 得向量乘 n 向量等于零啊，因为它垂直吗？ a e 向量和 n 向量相乘等于零，这样的话，跟求法向量的求法是一样的，一旦求出公垂向量来之后，好了，一面之间距离。怎么去做呢？非常简单。 我看一下啊，这个点是 a 点，这个点是我们的 a 一， a 一 点，这点是我们的 e 点， 这是两条一面直线。首先呢，我先求它的公垂向量啊。公垂向量，比如过过 a 点吧，有公垂的，这是 n 向量，我们连接 a a 一， 大家连接 a a e 可以 吗？可以，无所谓。首先呢，先去加角，这个谁它啊，这个谁呢？就说正好是 cosine theta 等于我们的 a， a 一 向量和 cosine theta 正好等于我们的 a a 一 向量和 cosine theta 等于值，比上它俩的模 好。那又因为什么呢？这是公垂向量，这是垂直的，可是它等于谁啊？邻边，邻边谁啊？正好是 h， 就 等于 h 比上 a 一 的模。 那 a a 一 怎么着是不约掉了，所以就有了公式，就说 h 等于谁啊？等于 a， a 一 向量 和弓垂向量的摄像机比上弓垂的膜。那这个呢，就叫意面直线距离啊，也称为这两条直线之间的最小距离，那也就是我们这个 f 到 a 一 的最小距离，这是我们的法二啊。但这个法二呢，要比法一要简单，为什么呢？ 因为法二当中不会涉及到函数求对值，而法一当中需要涉及到函数求对值。那完了之后呢，这时候咱们再看法三，再看法三啊，法三，那法三就简单很多了啊，法三，这就是看每个人对立体几何的一种理解了。我们先连接一下 a e， 哦， f 在 上面动对不对？好，要求 e 面距离对不对？好，刚才说了 e 面之间距离，什么意思啊？就是就是，就正好，是就是，这条线怎么着，既与 a e e 垂直，又与 a 的 垂直。 首先呢，我们看，哦，这个 a 的 这条线是不是垂直平面？谁啊？就说 a 的是垂直于面， a 一 a b b 一， 哦，它垂这个面，所以，那好了，我们过 a 点做 h。 哦，做，做谁啊？做 a h 垂直于 a e， 你 看我的 a h 是 不是垂直于 a e e， 又因为什么呢？ a 的 垂直面 a b e a 一 a b b 一， 对不对？所以 a 得也吹谁啊？ a h， 那 你看 a h 这条线数分别垂的谁啊？ a e e 和 a d， 那 也就说 a h 就是 它最小距离， 那这个题就简单很多了呀。啊，我们怎么着去求这个高就可以了，来，我们连接一下，这块叫 a e。 好， 首先呢，这个长度，刚才求了，这个是二，这个是一，这是根五，对不对？ 这个长度是几啊？是不是正好，是不是到二？可以吧，那这时候我们通过等面积法就可以做了。首先呢，我们做高做高，这是根五，这是一，最高是，呃，根五减去一，这个正好是二， 二加一嘛，对吧？完了之后，这时候呢，我们可以看一下这个，这个，这个面积怎么去求啊？非常简单。首先呢，二分之一倍的 a h， 我 要求的 a h 乘上谁呢？乘上根五就正好等于二分之一倍的二乘二， 所以 a h 解出来了，等于谁啊？根五分之四啊，也就是我们的谁啊？五分之四倍的根五，所以我们的 c 选项也是对的，比如说目前 a c 是 对的啊， a c 是 对的啊，所以这个方法呢，你看是不是在考场我们可以口算了 啊，你说其实很多好的方法和思路是需要多想啊，包括你就说咱们命题人呢，现在这个立体几何呀，主要是就考察你对对，就能不能看出这个里面的平行啊和垂直啊，所以啊，大家呢，平时练习啊，还是尽量用力体几何去多做， 比如说空间向量的这个方法呢，作为一个保底的方法，就说我实在是确实没有好的办法，确实也想不到这时候呢，我们可以通过电气来解决这样的问题，那完了之后呢，这个的选项到了今天我们要复习的东西了，就是我们的什么呀，这个 外接球问题，那这个外接球怎么去看呢？首先呢，我们找到 e 点，找到 e 点，他说 f 在 哪里啊？ f 在 这个地方， f 的 这个问这个 b 点上， e 点在这，我要求什么？求 a e c a e c， 我 连一下，然后还有谁啊？还连接 a e e， 连接 c e e， 还有呦，还有连接 a e f， 还有 c e f。 哦，我要求什么？求 e 杠 a e c e f 这个的外接球。 那这个这个题啊非常简单，首先就看大家能不能观察这个事了。首先呢，你看啊，这个平面， a e a b b e 这个平面，就眼前这个面和谁啊？和 b c c e b 这个面是不垂直，那也就意味着什么呢？意味着 a e f 垂直于 c e f。 那你说我要求外球，我找到这这个三棱锥当中的两个垂直面了，我只需要求谁求它的外角半径 r 一， 它的外角半径 r 二， e f 是 不就是你的 l？ 这就是咱们上节课之前讲的那个什么呀，是不是叫双半径单交线公式，就是两个半径和一个交线啊，可以求它的外球。那我们看一下啊， 这个公式呢，我给大家整啊，整理了一下，就说首先呢，我要求两个垂直面，就说第一，你看 abc 这个面和谁啊？和 bc 的 这个面啊，是两个垂直面，我只需要求什么呢？求两个垂直面的外接圆半径，然后交线。谁呢？就是你这两个垂直面的公共交线叫 l， 靠这个 r 方等于 r 一 方加二方减四分之 r 方的公式就可以了。啊，那有了这个之后呢，那我们回来看一下啊，怎么去，怎么去做啊？怎么去做好，首先呢，那就很简单了呀，首先我们，哎，刚才连的这个 a e， 我 连一下啊， a 一 连接 a 一 e c e f 啊，这个是 f， 这个点是一点。好，那怎么去求呢？很简单，首先呢， e f 是 几啊？是不是一啊？比如说 l 有 了是一， r 一 是几？ r 一， 就说我们要求这个这个外圈半径，那这个半径呢？首先第一步干嘛呀？我是先去求一下这些，就是求它的这个，嗯，它的边长。那首先呢，这个是二，这个是我们的一，所以这个是根五， 这个呢是我们的二，根二，这个我们是我们的一，所以这时候我们可以解这个 c， 它可得 c 那 个谁 是不等于五加八减去一比上二乘二，根二乘根五，所以就得到结论是，呃，上面是多少？是呃十二比上四根二根五， 也就是我们的三比根十，所以要求 sin theta， sin theta 就 等于谁呢？一减十分之九开根号， 所以也就是我们的根十分之一。哦，我解出 sin theta 了，然后二 r 一 外接半径通过正弦定律一比上根十分之一，也就是我们的根十，所以 r 一 出来了二分之根十， 但因为因为这个面，这个 a e e f 这个面和 c e f 这个面是全等的，所以 r 二呢，也是这个答案，比如说也是我们的二分之根十， 所以这时候套公式，我们套公式就可以了， r 一 方， r 一 方谁啊？四分之十，有时候二分之五加 r 二方，二分之五减去四分之 l 方一，就是我们的答案， 对谁呢？等于五五谁啊？五是四分之二十，减去四分之一就是我们的四分之十九，那要求表面积 s 对 谁四派二方，所以就得十九派啊。那这个呢，就是 我们这个外接球问题，你说外接球首先第一步先去找找有没有他的球心，然后呢，如果有两个垂直面，是不是直接套公式就可以了？所以这就是对外接球的一种理解 啊，这是我们江苏南通的这个第十一题，所以希望大家呢，就说尽量的去借助刚才讲的这些高阶思维，就是能不能通过观察呀，或者通过一些具体公式啊，然后就能把它做出来。那完了之后呢，咱们再看一下第二个啊，复习外接球的问题。 那第二个题啊，这是个好题，但这个题呢，我觉得可以改变，把它改成什么呢？就是改成一个圆锥曲线和 a p g 和相结合的一个题啊。 然后但是这个题呢，他给的毕竟还是简单了一些，为什么呢？因为他没有，没有连立方程，就是如果说他要加入了，比如说连立方程，那可能说更好一些。那首先我们看这个题啊，这是给了一个三棱锥，他说 pa 垂直 abc 啊，我先画一下这个图 像，这种垂直的图啊，我一般都是先画一下底面啊，但里头这条线是虚线，那这个 pa 垂直底面的话，那肯定是在这里竖着的。好，我们画一下。 好，这个点是我们的 p 点，这是 a 点，这是 b 点。首先 p a 给了谁啊？三分之二跟六啊？三分之二跟六，然后 a c a c 给的是二， ab 加 bc 啊，是四。比如说我们设这个为 x， 这个为 y 吧，你说 x 加 y 等于谁啊？是不是等于四 啊？这好好表示要求外界球的表面积。首先呢，因为 p a 垂直于底面，所以这时候呢？因为 p a 垂直于底面，所以这时候呢？还是刚才的公式，我们得到了 r 方等于谁啊？是不是 r 一 方加 r 二方减去四分之二方？ 那首先我们对应一下啊，我们 r 一 谁呢？ r 一， 我们是面 pac 的 外绝缘半径，那这个 r 二呢？我是面 abc 的 外绝缘半径。我找了这两个 l， 谁呢？ l 是 我们的二，就是 ac。 好， 有了这个之后呢，我们再看一下第一个，首先呢，我们要求一下 pc 啊， pc 怎么求呢？ pc 的 平方就正好等于谁呢？等于九分之四乘六，可以吧？然后加上四 啊，加上四等于谁呢？等于好，九，先约一个，这个呢是二，这个是三。奥，雨说正好是三分之八啊，三分之八加上谁啊？三分之十二，雨说正好是三分之二十，所以 p c 出来了， p c 等于谁？根三分之二根五， 所以 r 一 出来了， r 一 等于谁根三分之根五啊。有时候大家在做的时候，尽量有些中间步骤，不要去算它啊，不要去算它。完了之后呢，再看 r 二， r， 但 l 是 有的，对吧？好，那主要是 r 二怎么办？你看底面，他说 ab 加 bc 等于等于四啊？ ac 等于二。比如说我们先把这个函数先拿出来， 打出来，这个点是 b 点，这个点是 a 点，这个点是 c 点，这个是二，然后呢，他说这个是 x， 这是 y， 对 吧？它里加一等于四。当你看到这两个边加起来是个定值的时候，想到什么 是不椭圆哦，这是个椭圆题，比如说其实如果间隙的话，这样建出来之后，它应该是在哪里啊？就这俩点是焦点啊，比如说这个 b 点在哪里？是不是在一个椭圆上啊？ b 点在椭圆上， 所以这个题呢？好就好在这，他既然在椭圆上啊，在椭圆上啊，在一个椭圆上， 那这时候呢，就得琢磨一个问题了，那什么就说他这个，他要求什么？是不是求这个叫表面积最小值，对不对？比如说半径最小值呗。那首先这个 r 一 确定， l 确定，你说白了就求呢？这个角是 c， 它，我们设它为 c， 它就谁呀？就是二比三 c， 它 没问题吧？那要求最小，比如说谁他最是最大，那什么时候谁他最大呢？那这时候就得回到哪里呢？回到咱们当时学的椭圆的性质，在椭圆当中啊，啊，有两个章角， 有两个最大章角，这两个章角叫什么呢？分别叫焦点三角形的章角和顶点三角形的章角。最大章角在哪里呢？就是这个点啊，正好落在外轴上的时候，就正中央的时候，此时取得最大值。 那像这个的话就很简单了，为什么呢？因为如果你要知道这个结论的话啊，那就说最大到底在哪里啊？是不是正好在这个正中央的时候， 因为这个边长加起来是四，所以他是二，他是二，那这个角就是六十度啊，也就是说二 r 二就等于谁啊？等于二，比上 c 六十， c 六是谁？二分之根三，那也就是谁啊，就什么呢？根三分之四，所以 r 二出来了，根三分之二。 那有了这俩东西之后，好了，我们再录就可以了。大方对谁啊？ r 一 方三分之五加 r 二方三分之四，减去一，答案就是三分之六，三分之四，是吧？没问题吧？啊？这是三分之二啊，平方是三分之四， l 正好是一，这是三分之三分之九，是吧？三分之九，三分之九， 减去一，就正好是二，可以吧？ r 方是二，所以四派， r 方 就正好是八派，你说它的最小值是谁啊？是八派，所以咱就选 a 了。好，你说这个题其实出的很不错，为什么呢？它就牵了一个一个椭圆的性质，什么呀？最大张角，就说当焦点三角形最大张角的时候，在哪里啊？是不是在这个正中央上，它是最大张角啊？ 这是对他的一个理解。但然后续课程呢，我们还会再推导一下椭圆的最大长角，为什么在这里？最大？包括焦点三角形的最大长角，为什么在顶点上？咱们都可以推导啊？这是我们的这个立体，那么再看下一个， 下一个，这里呢？是给了给把那个咱们之前讲的这个两个半径和单交线啊，怎么去套公式？就这个公式啊，给大家整理了一下，包括两个距离，和 啊和，加角和二面角得到公式。那这个公式呢？这叫什么呢？叫外界球的万能公式啊，外界球的万能公式。那这个 m 代表什么呢？这个 m 代表的是啊，你的外心就是那两个面吗？不是，你不找两个面吗？外心到交线的距离， n 呢，是另一个交线的距离， c， 它呢是两个面的二面角， l 呢是交界啊，套这个公式呢，就可以解出它的外界去半径了。那，那以这个题呢为例，我们来看一下下一个例题啊。以这个为例啊， 首先呢，咱们主要做一下这个六十度，这个因为九十度比较简单嘛。啊，当时刚才咱都做过了两个垂直面嘛，你看它这个题给的很简单，就说这个，这个 ab 的 这个三角形，是个二根三的一个等边三角形啊，也是一个二根三三角形，它给了什么？你看 这个二边角啥意思啊？就是 a， b 得 c， 这个这个角是个乘六十度的，你说他给你这个了，咱们再套公式，角大方等于谁来？ 等于 m 方加 n 方减去二 m n 口森塞特比上森塞特的平方加四分之 l 方。哦，我们要套这公式，我们看一下啊。 首先我们研究一下 ab 得 ab 得这个三角形，什么三角形啊？是不是等边三角形啊？这是 a 点，这是 b 点，这是 d 点，边长给的是二根三，对吧？二根三 啊。然后这时候呢，我们比如说这个等边三角形，这是根，这是根三，你说这是三，因为它的四心合一，所以上下比二比一，你说这个长度是一，比如说我们知道了外心到交线的距离，交线是 b 得，可以吧？说 b 得谁啊？是二根三， 然后呢，这个距离是一，你说 m 等于 n 等于一，因为上面 bc 则也是个二根三的等边三角，所以通通是一加一减二乘，一乘口乘六十，因为他给了二面角是六十度，比上 c 它方啊，因为 c 它是六十度，所以是二分之根三的平方，四分之三 加四分之 l l l 是 二根三交线吗？说过了是十二， 所以我们套一下公式啊，一减一减一，三分之四加四分之十二 啊，加四分之十二，那这时候啊，就说你就可以怎么着，是不是解除外界半径，一旦有了半径表面积四排二方，你说这个就是我们的双距离单交线公式啊，所以希望大家呢，一定要去掌握一下这个外接球啊，外接球啊，外接球问题。 好，当然最后一个例子呢，我给了大家一个叫呃对楞相等的模型，当然我把对楞相等的模型呢给大家画出来了，就说他是什么呢？就说在之前的，在前天咱们讲过这个，这个传奇课专门去讲了对楞相等， 其实对楞相等呢，他补偿方程的时候啊，他正好是这些对角线啊，大家需要注意一下，正好是对角线，那怎么去解呢？公式我也给大家了啊，在这里 m 方加 n 方加梯方出八 k 根号，所以有了这个之后呢，那后面呢，我给了大家一个例题啊，那这个直接套公式就可以了， 有这个是 m， 这个是 n 啊，这个是 l 套公式，然后就可以求出半径三分之四 plus 三四方就可以求体积。 那今天呢，咱们主要是复习一下这个外接球问题啊，这是咱们今天要讲的课程，但后续呢，咱们还会在不断的去延伸，比如说像我们的球结面问题，就说 被一个球所结，结的轨迹长什么样的啊？这也是我们要研究的，包括后续我们还有更深的，比如说一个外接球啊，然后呢 中间有空隙，空隙上再添小球，应该怎么去研究啊？这些课程呢，都是咱们后续慢慢的推出，所以希望大家呢也多关注一下，然后点点赞啊，谢谢大家啊！