高考數學
很漂亮的一道小题，对不对？球啊，经常跟别的几何体结合起来考，在考的过程当中经常会有勾股定力构造那个直角三角形去。再来两题， 在二零零六年山东好问，正方体的内切球和外切球体积之比，什么叫内切球？哎，现在好好一个正方体啊，我往里塞一个球啊，塞一个小球，这个小球呢，不断的膨胀，膨胀，膨胀到不能再大，打到最大，最大的时候，大家想，那，那他是一个是相切的关系，他，他是只有一个，一 个每个面只有一个切点，对不对？这是膨胀到最大了，不能再大了，再大就挤爆了。那此时这个球，它这个直径，我问大家，你会不会球啊？这直径，那是不是就这个面的终点跟这个面终点的距离？这距离正好应该是我整个的这个边长吧， 就如果我设整个边长是一的话，那这个内切球半径这个 r 就是 二分之一好了啊，那什么叫外接球呢？啊？就你同一个正方体，刚才是由里往外慢慢扩大，现在是由外往里慢慢缩小啊，我把这个正方体包在球当中，这个外边球呢，越来越小，越来越小，小到不能再小，大家想想是一个什么情况？ 不能再小，不能再小。这个球啊，正好卡在他一二三四五六七八八个顶点，正好卡住了啊，正好给他卡，卡到这个球的这个表面上了啊，不能，不能比此时再小了，这个就叫外界球，每个顶点都卡在这个球的表面，那此时这个球的直径在哪？大家能不能找得到？ 这对于初学的宝宝们来说，稍微有一点点难度，你想什么是球的直径？其实就是球的表面上两点，那个直线距离和时达到最大的。和时最大啊，和时最远，那他就是直径本身，对吧？ 好，那大家回到这幅图当中，你告诉我这个球上哪两点之间的距离是最远？最远的？最远的这个不就体对角线吗？最远了，不能再远了。 所以体对角线本身。我求一下，这是一，这是一面对角线应该是根号二，这是一，这根号二，这直角一比根号二。这个体对角线应该是根号三， 直径是根号三，那它的半径就是二分之根号三，所以它的半径之比应该是一比根号三。但人家问的是体积之比，体积是跟半径啥关系？是体积是三分之四 pi r 立方是 r 的 立方关系，所以半径之比的立方才是体积之比。答案选 c。 ok， 这道题呢，是球跟这个正方体进行结合，那我下面再跟圆锥进行结合一下。不，两个圆锥的底面是一个球的同一节面啊。球的节面，我先把球画出来呗。球在这 球的结面。像刚才说了，你想砍西瓜，你只能给我砍出来一个圆，是吧？ ok， 砍出来了，那砍完如何呢？这两个圆锥的顶点均在球面上啊。顶点在球面上，然后底面在这，那上面有个顶点呗，下面又有个顶点呗， 然后图也能看出来，那你上下两点如果连接的话，那应该正好是一个直径，是吧？这意思先告诉我球的体积。哎，球体积有公式的，体积是三分之四 pi 二立方，他说等于三分之三十二 pi 二就是二，半径有了，那那有半径，这个球心我还没点啊，我先点一下，这球心跟任意点连接一下，这长度就是半径。 然后他又告诉我一件事情，说，哎，两个圆锥的高之比是一比三，哦，高之比，呃，也就是这个是占一份，呃，这下边的距离占三份啊。一比三。问，这两个圆锥的体积之和。体积之和，那我这高确实我得求啊。哎，这个高怎么求呢？一比三，一比三，哎，我先不管你几比几，你两个高加起来是什么鬼东西， 你加起来是正好应该是直径，你直径是四，然后你俩高一比三，那你肯定你一个高是一，另外一个高是三倍，你才能是一比三，然后加起来还是四呢？这两高我求完了，哎。但是你这个洁面的半径，它这整个底面半径是多少？我这个面积我要求啊。呃，这个长度 如何来求？我要求长度，我可能把它放在直角三角形里面，这长度，哎，跟他能够成一个直角三角形，是吧？这是二，那这个长度多少？太简单了。你这俩是半径，我这俩咋的？我这不也是半径吗？我这个半径是二，你这是三，所以这一点点他就是一，你这是一，这是二，这就应该是根 号三有了。所以两个圆锥的体积之合上面体积三分之一 pi r 方，再乘以它的高，高是一，下面也是三分之 pi 三， pi 选 b。 那么以上就今天想给大家分享的全部内容，我们先由祖宗原理是什么？推倒了球的体积公式，三分之四拍二立方，又稍用了极限啊，这其实就是一个微积分的一个思想。又推倒了球的表面积是什么？最后咱也说了，球他不会单独考的，一般来说都是跟我们前面的圆柱、圆锥或者台体结合起来一起考。希望大家学习愉快，晚节散花。
粉丝26.1万获赞131.3万
相关视频
02:11查看AI文稿AI文稿学习能力一般的孩子，高考数学的极限在哪？我的答案是一百一十五分。数学一百一十五分属于什么段位？你至少能够上一个还不错的本科，如果其他科目有点优势，一本是没有问题的。现在很多家长焦虑孩子数学只有八九十分，其实这个分数段真的不是智商的问题，就是学习方法出现了问题。 因为数学一百一十五分就是高考给普通孩子留的基本盘，这是一个但凡努力都能够达到的分数。那今天我就讲一讲，怎么帮普通孩子稳住这一百一十五分。 第一个，我要求孩子做练考。什么叫做练考？就是平时做题必须按照考试的标准来，一百二十分钟整张卷子，完整步骤一个都不能省。很多学生平时做题，哎，这道题不会跳过，那到了真考试，节奏全乱了。 我让学生每周至少要做一套完整的试卷，定时定点解答题，该写的步骤一步不能少，然后按照高考的评分标准来批一下。这样练一个月，你就能看出来哪些错是真的不会，哪些是因为慌乱或者步骤不规范丢的分， 找到问题了才知道劲往哪使。练考的目的就是让你在考场上不慌，让你知道自己的节奏在哪。第二个，必须教会他拆题。 我发现很多学生做题就是看到什么算什么，没有整体的思路。拿到一道题来，你得先看他用了哪几个知识点，这些知识点之间是怎么串起来的。先从会做的题练起，把每一道题拆成几个小步骤。哎，第一步用了什么？为什么能够推到第二步？ 等到会做的题拆解的清清楚楚了，然后再去看答案。第三步用的什么方法？为什么前两步能够推到这？找到卡座的那个点，再把对应的知识点整个复习一遍，一道题拆透了顶得上你盲目的去刷十道题。 第三个也是我觉得最关键的一个点，就是你要主动给学生去做减法，比如说你现在八十分的水平，我不会让你去看一百一十分的题，我会跟你讲，哎，这一周就攻一个专题， 比如导数的单调性。那其他的就先不管，因为中等水平的学生最大的问题是什么都想抓，结果什么都抓不住。高考数学其实没有那么吓人，你把该拿的分全都拿到本科就稳了。
02:21查看AI文稿AI文稿数学从五十四到一百二十七，最快要多久啊？半年？嗯，三个月，嗯，只需一周，甚至有学生一个晚上两个小时提高二十分哦。怎么做？收起你的耳朵，听完，然后立马实践。今天我就破例分享一些迄今为止你在任何地方都见不到的三大净数，甚至 six 都未必知道，而你学会他甚至都不需要基础，多学会一个净数，就能多对一道选择填空题，高考直接多拿五分，干掉五千人。我要的不是你们提分啊，而是要让你们学数学，学点尊严， 别人都能行，你为什么不行？一、我们直接来一道高考真题，传统的解法是这样的，算个不停，我来只需要记住这八个数字，直接就可以了解 题目，给出的已知量都可以不用看，直接用刚才给你的那些数值啊，转换后就能直接得出答案，秒变小学计算题。那这些你现在能了解了吗？二、 当你看到这种分子式、平方分母式一次函数求最值，怎么解？常规的方法，哎，还要算麻烦我来记住，模型求最值，直接令分母和分子分别等于零， 求出平方根零和一次根。二分之一画条竖轴，平方根一次根。最值点按顺序间隔是相同的， 所以二分之一到最值点的间隔是相同的，所以二分之一到最值点的间隔是相同的，所以 x 等于一时， y 可以 取得最终。 三、这种求不懂事的问题，几乎年年高考都会考，堂哥的做法，不仅要构造函数，还要讨论单调型，再通过计算求出区间，过程不仅繁琐，而且还浪费时间哦。在我这只需要简单的三步，第一步，把不等式中括号里的东西掏出来，有什么掏什么，我们掏的是只简单的字母吗？ 我们掏的是真理。第二步，我们看导函数，如果导函数大于什么，就把不等式符号照抄下来，如果导函数小于什么，则这个符号去相反， 这里是大于号，很显然，我们不需要变。第三，那右边写什么？已知等号，括号里是谁就 谁，这里是一，那就写一喽，你要出来怎么样？你学会了吗？所以你只要找了这些所谓的万能结，其实你才是九八五。我们九八五家园团队研究了近十年的高考专题，整理出了类似的万能结，一共有五十五条，可以分为几何、圆锥曲线、三角函数等七大专题， 都已经被我整理成视频课啊，还没有的同学啊，后台告诉我你的年纪，高二还高三，快来哟，拜拜。
688暴雨学姐狂学日记
01:52查看AI文稿AI文稿吃透网介高考数学真题，高考数学选填描述答案！今天我们来看一道一七年全国二卷第十一题。若 s 等于负二是函数的极值点，那来吧，各位先把这式的先抄一遍，求幺倒 倒数，为前面加前面的倒背的 e x 减一啊，这小阶段各位一定要记住， 这样可以帮助各位啊，省很多时间啊，很多时间。然后他们两个能不能合并？能合并啊，我就先不合并了，他说 s 等负二是他的基值点，所以往里带吧。 f 等负二等于四减二， a 减一减四，加 a 位的 e 的 负三 等于零，那就再告诉我们前面等于零呗。所以负 a 减一等于零， a 等于负一， a 等于负一，往回带入 好减 s 减一。然后现在问它的极小值为多少啊？ s 等于负二是极值点，是它极小值点吗？没说吧，所以我们是重新求导，重新写 老套路，再写一遍。加二， x 减一等于 x 方加 x 减二。 好，看到前面的括号，二次函数第一反应想什么？想十次相乘幺幺幺二，负的 s 减一，乘 s 加二 倍的 e， s 减一，接下来竖形结合，直接往里，直接往里画啊，能竖形结合就竖形结合啊，高考所有的这种函数啊，竖形结合是最快的途径，没有歧义啊。来，负二，一正负正，原函数增减增负二极大之点， s 等于一极小之点。好，那来吧， 他问的是几小只。把 s 得一代入到圆式中呗，代入到这里边呗，对不对？写吧，一减一减一倍等 e 的 零次密就用匀算等于负一。所以本题我们选择 a。 好， 今天到这里下课！
63老王数学干货铺
06:17查看AI文稿AI文稿挑战完成二四年新一卷高考数学，我的得分是一百三十六分，但是呢，这个分数不是我自己打的，而是我当年高考考场上阅卷老师打出来的成绩。高考的心理状态果然是和平时不一样， 前五道题差不多三四分钟就能解决，不算太难。但是第六题呢，在这边，由于是高考啊，这个边界范围，我就确定了很长时间，差不多看了两三遍才敢确认写下答案。 然后第七题，这种画图求焦点的问题，我真的已经好长时间没有遇到过了，于是第一次就把这个图给画错了，后来我画了第二遍图，才把这个答案给确定下来。选 c 好。第八题的话，我个人反而感觉不是特别难，我找了一个特殊的函数代入后，发现 b 是 绝对符合题目要求的，而 a、 c、 d 都有明显的错误，可以举出反例，因此就把 b 选上去了。至此，单选择题差不多花了十五分钟左右进入多选择题第九题，它涉及到 x 和 y 两个变量的正态分布， 于是我其实看了好几遍，确定不要把它搞反，答案当然不难选，就是 b， c 好。 然后进入到第十题的多选择题，这道题我直接把它展开求导， 然后非常容易确定答案是 a、 c、 d 选项基础题十一题看到这个玩意啊，说实话，心里有点犯怵，还有点害怕的， 但是呢，发现这个 a 选项很好确定， b 选项直接方程出来带进去也好确定 c 和 d 相对有点难， c 的 话，我是看到这个 f 点对应的函数值刚好是一， 但是呢，我又发现这个左边好像高起来一点，于是乎我就带了一个不到一的数值，差不多一点八到一点九之间的数进这个解析函数，发现它的最大值能够超过一，因此 c 果断排除 好。然后既然是高考多选择题一般不会只选 ab， 所以 我这时候心里有一个默认，就是 d 大 概率是对的。然后我又带入看了一下，发现 d 确实是对的，我就选上去了。当然，这边还是有一点不确定性在里面。最后多选题用时是十三分钟， 这个高考真的是神经紧绷啊，这个双曲线和椭圆还差点看错，不过最后索性没有看错。十三题这个切线说实话，我算了不知道两遍还是三遍，因为总感觉自己算是错的，不过还好，最后索性没有算错 好。十四题的话，其实我是用了一个列举的方法，二四六八。我本来想前后两排都是随机排列，后来我想我可以按前几三码那种 前面这四个顺序固定，后面四个随便排列也只有 a 四四一共二十四种可能性，我就全部列举了一遍，最后得到答案二分之一。不过这两道最后两道填空题花了比较长的时间，而且导致我这里写完问监考老师要了一张草稿纸，我字比较大就写不下了，所以 整个填空题花了十七分钟左右，选填至此，花了四十五分钟拿到满分。不过呢，这个时间对于改革后的新高考 略微长了一些，理想来看应该三十七八分钟左右，差不多还有一小时十五分钟时间进入解答题啊，第一题相对好解决，我直接画个图，但是呢，我在算第一遍的时候，再设圆这个 x， 这样设了去做这个 x， 第一遍就解错了， 因为我后面这个题目方便验算嘛，我就验算了一下，发现不能符合，于是重算了一遍，所以第一道解答题还是花了有好几分钟的，然后十六题圆锥曲线，一拿到题，就发现这个题的设问方式好像是有点新颖的，不过呢，我画图之后啊，发现这个 a 点和 p 点 这两点之间距离是定的，然后他又给了我 a b p 的 面积，于是乎，我就能确定 b 到 a p 的 距离，所以我就先把这个 b 设成了 x y 的 形式，把距离给求出来，求出来之后发现这个 b 是 有两种情况的，所以我就避免了这个反腐的过程。这两道题还算可以， 然后进入到十七题，立体几何，整个我的间隙，方法是在这里 x y z， 但是呢，我算算的很好，到这边这个点啊，我是用三角的形式来表示的，只不过最后我把这个正弦值看成了余弦值 啊，真的是有点可惜啊，看成余弦值是七分之根号四十二了，因此整个最后答案写的非常的丑，也错掉了这道题，基本上我最后估算会扣个三到四分左右， 当然也要提醒大家审题一定要仔细，所以我这边留下了遗憾，但是人生哪能没有遗憾呢，就算是再重视的考试，也总有会遗留下遗憾的可能，这可能就是高中想交给我们的最后一课吧。进入最后两道题，还有四十分钟左右的时间，这个导数题啊， 我一开始不知道怎么的，就把这个东西整体求导了，后来我算了，感觉越算越不对劲，后来才想到这个东西应该拆开求导，拆成两部分的浪来求导，于是乎第一遍也算错了，第二遍把这个答案算出来了， 重新对称利用定义域还是比较好看的，我记得答案应该是 e a， 这个利用定义域就好算。然后这个第三问，其实我当时做到的时候非常的害怕，我比较容易的能算出来这个 a 的 值好像是负二， 但是呢，我好像在求了不知道是三次还是几次倒之后 b 的 范围求出来，但是在取点和说明的时候，我总是就说不清楚，于是我就先出了一个答案， b 大 于等于负三分之二还是负二分之三来着，我不记得了。 然后出了之后我就尽量去说明，但是我感觉整个证明还都是糊在里面，不过索性高考也就扣了一到两分，看来这个答案出来了，给分还是比较厉害。 进入十九题，差不多还剩下二十二分钟左右时间，那么第一问呢，很简单，根据定义写出了三种情况。第二问呢，琢磨了一段时间也不难完成这个第三问，我一看我就知道自己应该是做不出来的，而且时间也不允许， 于是我就写了一个 m 等于一的情况，不过这种只写这么一点，应该是拿不到分的，因此呢，最后这边应该会有一个八到九分的扣分。 然后这个差不多花了十来分钟解决，还剩了一个十分钟，我就回头检查前面的题目了。那么呢，最后这张试卷的得分就是一百三十六了，我内年的江苏省文科状元是一百三十五分，理科状元是一百三十八分， 所以我也比较荣幸。但是呢，我觉得高中数学跟初中还不太一样，初中的话相对比较简单，高中的话真的是需要勇气，智慧，胆识，还需要很多的运气，所以真的非常不容易。大家可以点点关注，分享更多有用学习经验。
3397通创领航-骁骁学长
02:27查看AI文稿AI文稿考试的时候，数学选择题实在不会做，可以全选 c 吗？只要你们的老师不傻，那你肯定会得零分啊！但高考不会，因为高考的月卷系统真的很无脑，只要你答对了就能得分。不过你还在五十到九十分卡着，基础弱，做题慢，简单题丢分，中档题拿不全。 刷到这期视频，说明大数据都在拯救你的数学，今天就来给你们分享几招数学考试技巧，让你在考场上多拿二十分。第一招， 数学选择题，可以找共同元素最多的选项限制范围，四个答案必须相似，相似的有分子、分母、图像、正负等等。那在这种情况下，必然有一个答案具备其他选项的共同点。就比如这道题，一眼看上去四个选项都很相似，从分母上我们可以看到四的元素是最多的， 所以我们来看， a 和 c 选项里怕占三个是最多的，所以答案选 a。 第二招，用概率问题。一般情况下， a、 b、 c 四个选项是均匀分配的。也就是说，当你其他题做完了之后，还剩一两道题不知道该怎么选，那你就可以去对比其他选项，去选出现次数最少的那个。 第三招，数学填空题。哪怕你没有思路，也不要空着哦。一定要尝试写一个通常出现的数字，有零负一、负二根号二。如果你做填空题毫无头绪，那就可以在这几个数字里面挑一个填上去。第四招，在数学大题这里，同学们一定要记住， 数学大题它是有步骤分的，如果是例题、几何大题，第二问不会做，千万不要空着，见个坐标系就能搏上个两分。如果是第一问证明到某一步就不会了，那就可以把没用过的条件都用上，随便写一些步骤，然后得出结论，这样再怎么也能得个步骤分。 如果第一问实在证明不出来，记得第二问是可以直接用第一问的结论的。其次是数列大题，如果求出来的通项公式或者前 n 项和以后，最快验证对错的方法就是把 n 等于一带入求的答案当中。如果求出来的数 等于题目中的 a 一， 那基本就对了，如果不等于，那大概率就是错了。同样的，第一问的证明题要是证明不出来的话，也可以写一些步骤，然后直接得出结论，这样总比一分都没有的强吧。最后就是圆锥曲线大题，第二问要是实在不会做，直接射出直线连立球的塔，列出伟大方程，又是两分到手， 怎么样，你学会了吗？最后，高二高三数学五十到九十分，想提分的九八五名师团专属秒杀课，只教这个分段能快速拿分的技巧，发数学文，涨分领听课资格，每日仅限三十名！
02:34查看AI文稿AI文稿其实每个人都可以成为学霸，知道这个秘密的人，没有一个人愿意跟你分享，因为当你知道这个秘密，你也可以用三个月的时间强势逆袭，考上九八五！大家好，我是嘣嘣嘣嘣暴雨学姐，我们名师天团的团长幺哥，深耕高考数学十年， 首创秒杀逆袭模型，三效合一，带出了十多位清北学子，个人粉丝破百万，团队粉丝近千万，核心课程超一万家庭认可。首先记住一个做选择题的逻辑啊，选择题只看结果，不 看过程，就算你算了十分钟选 a 哦，结果读成了 b， 答案就是 b， 五分你也照样拿。所以做选择题最好的方法就是，呵呵， 都不信直接看数列专题啊！一 s n 取最值时求 n 的 值，百分之八十的高中生应该都会做，但是考试时使用常规的方法计算，会浪费后面大题的时间呢。看例题，我们直接找对称轴，三加九除以六秒出答案，再来一道，这一道 三加十，七除以二等于十，你要出答案，再来两道，告诉我你的答案。第二，已知前 n 项和的比值，求竖列的比值。 直接套用这个公式就能了解啦！直接看真题，题目告诉我们两个等差竖列以及它们前 n 项和的比值， 求 a 八和 b 八的比值，代入前面的公式。得到这样一个式子，化简之后就可以看出 a n 和 b n 的 比值就是 s 二 n 减一与 t 二 n 减一的比值。 s n 与 t n 的 比值已经给出啦！我们直接将二 n 减一带入 b 点之后得到这样一个式子， 因为 a n 与 b n 的 比值，一定知道带入得出 a 八与 b 八的比值，秒出答案十七分之三十一。第三项，数值乘法等差数列题目中给出的上下项数，只要均满足乘二减一，就可以使用项数值将所求数列和的项数和 条件中的已知项相乘。直接秒出答案是不很简单，上点难度。这道二一年高考真题，直接给出了两个不同的数列，那之前的方法还能直接用吗？当然可以啦，等差顺利满足，项数关系也满足，那就直接相乘，再次秒选出答案。 有的同学觉得还是不行，万一新高考出题人不配合，题目不这样出怎么办？比如这道题，人家是笔直关系，他却是成绩关系，这个时候该怎么办呢？嗯，我们直接把它变成笔直就好啦！但这个时候又出现了个新的问题啊，谁在上谁在下呢？上下位置的不同，就会得出不同的答案。其实很简单，直接根据所求项数，大项数对大项数， 想象树对想象树，这样一来，又可以直接相乘啦！秒出答案！最后，高二高三数学卡分难突破！名师团专属解题技巧课，重力稳不稳？涨分对接拿名额，每日限三十，快来吧，拜拜！
431暴雨学姐狂学日记
04:58查看AI文稿AI文稿这个知识点啊，老师不一定会讲，但是学会了是真的很管用。我们今天呢，继续来讲解多元基本不等式在高考数学中的应用，我再把这个基础知识呢，再给大家重复一遍，也就是 a 一 a 二 a n 呢，都要为正数。前面这个式子，它的取等条件是 a 一 等二， a 二 一直等于几 a n。 而它的变形公式呢，应用相对来说要广泛一些，就是 a 一 乘以 a 二一直乘以 a 三一直乘以 a n 呢，小于等于 n 分 之 a 一 加上 a 二 加上 a n 的 什么 n 次密，也就是把这个式子两边同时 n 次方以后，可以得到这样一个变形的式子。下面这个式子的应用呢，相对来说要广泛一些。 下面呢，我们来看一下二零二零年全国三卷第二十一题的第二问，他让我们去证明这个函数呢，小于等于八分之三百零二三。这个题啊，我们可以采用多元基本不等式去进行证明。 那么 f x 来等于这个式子，后面这个二倍角啊，我已经把它打开了，它就等于二倍的上引 x 三次方再乘以可乘 x。 而他要证明的是，这个式子的这个函数的绝对值小于等于八分之三倍根号三。 那么昨天我们讲了，如果要求这个鸡的最大值呢，我们肯定要考虑的是凑合一定，所以昨天我们讲了，可以考虑先把这个式子平方， 就是把函数 f x 一 平方以后，就可以得到四倍的上引 x 的 六次幂，可上引 x 的 平方。那么上引 x 的 六次幂，我是可以拆成三个上引 x 的 平方相 乘，上引 x 的 平方，再乘以上引 x 的 平方， 相当于是 a 一 乘 a， 二乘 a， 三乘 a 四，那这个时候我们就可以放心大胆的使用多远基本不等于十了。因为塞 x 方、塞 x 方、塞 x 方和可塞 x 方都是大于零的，他们都为正数。 而这里呢，一加的时候会出现什么？会出现三个三 x 方，我为了凑出和一定，那肯定有三个可乘 x 方，所以这个式子还要稍作变形，那就是可乘 x 的 平方，再乘以三 x 的 平方，再乘以三 x 的 平方，再乘以三倍的可乘以 x 平方。 这个时候我们就可以放心大胆的使用多元基本不等式了。那这个时候呢， f x 平方，它就应该小于等于三分之四，乘以四分之。这里是不是三个 cos 方相加呀？ 那这里是不是三个 cos 方相相加呀？那有三个 cos 平方加上三个 cos 平方的什么四次方， 那么这个分子加起来是不是就刚好等于一啊？所以结果算出来他就等于多少呢？结果算出就等于六十四分之几 二十七，那它的取等条件是什么呢？也就是 a 一 等于 a 二等于三等于四的时候，那么显然就是散 x 方等于减三倍的可散 x 方的时候，是它取得等号的条件，那也就是散 x 方 等于三倍的可乘以 x 方的时候，也就是弹性 x 等于正负根号三的时候，这是他取得等号的条件。那么显然 f x f x 是 不大于等于负的八分之三倍根号三，小于等于八分之三倍根号三， 那么他加绝对值以后，他是不是小于等于八分之三倍根号三，是不是就可以得到证明了？这是我们讲的使用什么多元基本不等式来证明二零二零年全国三卷的第二十一题的第二位。 所以说有时候这个多元基本不等式啊，他还是蛮好用的。如果没有看明白的话，把视频收藏起来反复观看，我们下期再见。
55阿牛讲数学
05:57查看AI文稿AI文稿数学一百四十七分，其实真的不需要天天刷题，考场上有一些作弊技巧，你一定要学会去用。别听那些老夫子扯淡了，课堂上教的那套东西，纯属是在浪费你的生命。为什么真正的高手做题快的像闪电？因为人家压根没空听老师在那磨洋工。说句不好听的，为了脱进度，混课时很多老师打死都不会把这些能让你秒杀考题的绝招教给你。 姐当年高三拿年级第一跟玩一样，最后全省第二大摇大摆进了北大数学这科嘛，我也就随手考了个一百四十七分，拿个年级第一。实话告诉你，我从不刷傻题，也不听废话课，因为我早就看透了，大部分时候所谓的听课刷题，就是在原地推磨，毫无意义。你能刷到这条内容，真的去买张彩票吧。 这说明你终于摸到了数学逆袭的后门。这些招数课本上不敢写，但考场上那是神挡杀神，属于那种闭着眼都能把分抢回来的隐藏外挂，学会几招白捡到二三十分，真没你想的那么难，比登天， 赶紧先点收藏，手慢了就被前排那些卷王偷学去了。去年我带过一个山东的艺考生，搞传媒的，高一高二数学书都没翻过，高三才开始包佛脚，结果呢，高考数学直接轰出一百三十分，被清华当场录取。 既然老天让你刷到了，我就别再去走冤枉路了。我把这五年把高考真题和模拟题翻了个底朝天，提炼出了五十五条选择题暴力秒杀法，每一条都是无数前辈用血泪试出来的真金白银。 废话不多说，直接上干货！第一招，暴力去平法，秒杀圆锥曲线切线向圆椭圆双曲线求切线这种题别被吓住了，姐教你个绝活，三秒钟收工！操作秘籍，盯着题目里的方程，把所有带 x 的 平方和 y 的 平方的那个小二统统删掉，然后看题目给的坐标点，比如点是一到三的开区间，你就直接把一和三分别扔到 x 和 y 前面， 方程立马变成一乘以 x 加三乘以 y 等于十，是不是简单到令人发指？再来一道类似的流程，一模一样，先把平方向抹掉，再把横坐标二和纵坐标一写在前面，稍微一整理，切线方程直接出炉。这道题留给你练手，答案扔在评论区，姐在后台等你交作业。第二招，反向逆推法，外接球体积一眼定生死！ 碰到求外接求体积的题，谁算谁傻？你只需要死死盯着体积这两个字。核心逻辑，每一个选项你都把它看作公式，三分之四乘以派乘以半径的三次方的结果。接下来咱们玩个反向推倒，谁算出来的半径是整数，谁就是轻点。记住，如果反推回去，开三次方开不进，搞出一堆乱七八糟的小数，那绝对是干扰项，直接划掉， 像这道题，扫一眼过去，只有 a 选项能导推出个干净的整数半径，不用犹豫，直接选 a。 第三招，双排占阵法法向量口诀大杀器，求法向量算得头晕， 来把这个保命顺口溜背死。做题简直像开了挂口诀心法，双排数字写两遍，去头去尾留中间交叉对砍算乘法减法顺序别搞反。 啥意思？我给你拆解一下，去头去尾就是把第一竖列和最后一竖列直接砍了，只看中间交叉对砍做三组交叉相乘，减法顺序千千万万，记住方向，别搞反，反了就白给了。实战演示，就拿这道题来说，用口诀简直是降维打击， 还记得口诀吗？双排数字写两遍，去头去尾留中间交叉对砍算乘法减法顺序别搞反。第一步，摆正，把第一个向量六负二四横着抄两遍，六负二四六负二四，把第二个向量一三零横着抄两遍，一三零一 三零正形摆好，这份就拿一半。第二步，砍头去尾，把最左边那一列，最右边那一列直接划掉，滚蛋，我们只玩中间这三列。 第三步，交叉开杀，第一组，左圆括号负二乘零，右圆括号减去左圆括号四乘三，右圆括号，结果是负十二。第二组，左圆括号四乘一，右圆括号减去左圆括号又乘零，右圆括号，结果是四。第三组，左圆括号六乘三，右圆括号减去左圆括号负二乘一，右圆括号十八二就是十八加二，结果是二十 收工。最终答案直接连起来，十二四二十够不够快？够不够狠？把口诀再给我默念，一起来，十二四二十够不够狠？把口诀直接连起来，十二四二十够不够狠？把高能预警 地狱级实战二零一九高考真题来看，这道当年考哭一大片的立体几何压轴题，图画的花里胡哨，看着像个空间迷宫，其实就是个纸老虎。 核心解法，用人话就一句，搞定二面角，就是搞定两个面的法向量加角。别废话，按我这三步走，闭着眼也能把分抢回来。 第一关，秒杀面 b、 e、 c 一 的法向量。先把两个带路的大将拎出来，向量 b 方向是 a 零 a 向量 e、 c 方向是零 a a。 记出刚才那个保命口诀，直接往里套。双排站阵摆两遍，去头去尾留中间交叉对砍算乘法减法顺序，别搞反实操开始。 b 一 排阵 a 零 a e c 一 排阵零 a a。 三刀下去，第一刀零乘 a 减去 a 乘 a， 结果是 a 二。第二刀 a 乘零减去 a 乘零，结果是零。第三刀 a 乘 a 减去零乘零，结果是 a 二出炉，法向量是 a 二零 a 二。为 了算的爽，咱们给他瘦身约分除以 a 二，最终法向量 n 一 锁定为一零负一。第二关，锁定面 e、 c、 c 一 的法向量。这一步咱们换个更稳的打法，点成封锁数。为啥不用口诀了？ 因为叉乘有时候方向不好控，咱们要确保算出的是锐角，用点乘法最保险。面里藏着两个向量，向量 e， c 是 a a a 向量 c， c 是 零零二 a。 设法向量是 x y c， 它必须把这两个向量都按死。垂直跟 c e c 垂直意味着 c 必须得死。 c e 等于零，跟 e c 垂直。 x 加 y 等于零，也就是说 x 等于 y， 咱随便取个数让 x 等于一，那 y 也是一。最终法向量 n 二锁定为一，一零。第三关，终极收割，拿分走人。现在手里握着两个法向量 n 一 等于一零负一 n 二等于一，一零先算于弦。 cos 分 子内积一乘一加零加零等于一分母模长 n 一 的模长是根号二， n 二的模长也是根号二， 所以 cos 等于一，除以二等于零点五。最后一步算正弦 sin， sin 等于根号下一 cos 的 平方， sin 等于根号下一杠，零点二五等于根号下四分之三。最终答案直接甩在卷子上，根号三除以二， 兄弟们看见没？哪怕是高考压轴大题，看起来吓人，只要你方法对了，那就是降维打击。记住那个双排站阵的口诀，再配合点乘法微调一下方向，这种题就是给你送分的答案，根号三写杠二，一分都别想跑。最后掏心窝子说几句，我那个学姐那是真的狠人，闭关整整三年， 把最近二十年的高考数学真题像包洋葱一样一层层扒开，硬是提炼出了一百多种作弊集核心模型，还配了五百多道做一顶十的母题。这套东西几乎把高考能出的花样全给堵死了。想要 别犹豫，这东西在外面花钱都买不到，但我这里免费送，这几年靠这套资料，已经把上万个四百多分的学渣硬拽到了六百分的大神线。也许你离逆袭差的就是这一套，能让你闭眼拿分的，很招老粉都懂规矩想上岸的评论区那三个数字六百六十六是啥意思？不用我多说了吧，等你来拿。
124北大小牛学姐
00:33查看AI文稿AI文稿来一题，权方和相关高考题可以单机暂停，看一下自己会不会做题。是第一问的结论，第二问也可以用到。第一问 运用科西不等式简单配一下系数就可以出答案。第二问由于权方和可以把分母相加，就可以想到把分母的 b 配成四 b， 从而用全方和解出答案。怎么样，你学到了吗？
89数学好难
01:17查看AI文稿AI文稿还在五十到九十分卡着，基础弱，做题慢，简单题丢分丢懒，题拿不全，那你可真是打脸肿！真正的高考数学有一套书上不讲，老师不敢提，但考场上能多拿三十分的作弊级打法。刷到这条视频，是你命里该翻盘了！今天就给你们分享数学选择题的超牛秒选绝 招，甚至让你会直呼，哇，我数学原来这么简单！看完之后千万不要艾特你的愿中同桌，直接看这道数列题，别管题干杂七杂八的信息啊，全抛开，不信就一招！题目求什么就令什么等于 n， 它让求二零二五项是吧？直接令 n 等于二零二五，再把选项里的数字全换成 n 的 表达式。二零二三等于二零二五减二， 即 n 减二，二零二四等于二零二五减一，即 n 减一，二零二五就是 n， 二零二六就是 n 加一。然后再看题目给的另外一个角标，那么再来令 n 等于二，把这个 n 等于二代入改写后分别得出零一二三。 再看题干里的基础，像 a 二已知 a 二等于一，对应下来直接选 b 啊！一步到位，超爽秒杀！怎么样，你学会了吗？再来一道啊！评论区打出你的答案！ 最后高二高三数学五十到九十分，想提分九八五名师团专属秒杀课，只教这个分段能快速拿分的技巧！发数学文，涨分领听课资格，每日限三十名，快来吧，拜拜！
420暴雨学姐狂学日记
19:57查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好啊，我是毕业选赫，接下来给大家讲一个不等式里面可以大大减少计算量的一个技巧，叫做双换元技巧。 双换元的本质就是去简化条件，这边我总结的五道题，从模考压轴题，到我们清华大学二零二四年的 t h u s s a t 的 压轴填空题， 每道题呢，我都会讲双换元是如何去做的，同时还会讲一些常用的解法，比如奇思化的思想，还有竖形结合的一些思想，还包括了加 b 定律以及主元法的思想。话不多说，我们就来讲讲这五道题。 首先我们来看看第一题，第一题的条件是这样一个五， x 方加四 x， y 减 y 方等于一，让你求这样一个式子的最小值。 首先我们来讲讲双换元方法是如何去运用的，我们来看看这个条件，这个条件可以说是比较复杂的，我们一般喜欢看到的条件肯定是什么， x 加 y， 或者说 x 乘以 y 这样的式子，对不对？那这样一个式子啊， 里面有平方哎，还有 x 乘以 y 这样一个二元的式子在里面，他显然是可以进行一个英式分解的，可以分解成五， x 减 y， 再乘以 x 加 y 等于一， 那我们能不能令这个式子去等于一个 m， 这个式子等于一个 n， 这样的话，我们的条件是不是就可以转化成 m 乘以 n 等于一，也就是我们最熟悉觉得最简单的一个条件， 对吧？因此我们就这样去尝试操作一下，这就叫做双换元，它就是帮助我们去简化题目的条件。 五 x 减 y 等于 m， x 加 y 等于 n， 这样的话，我们可以反解出 x 和 y， 用 m 和 n 来表示，那这个时候我们要求的这个结论呢，就化简成了 m 和 n 的 这样一个式子， 你会发现，哎，它是等于十二分之一 m 方加上九， n 方，再加上六分之十一的。而我们现在的条件啊，就是 m 乘以 n 等于一，因此我们直接对它使用一个基本不等式，那 m n 直接就可以用到里面去了， 所以最终的答案就是三分之七。当然我们要验证一下它的等号能不能取到，很显然是可以取到的。你会发现啊，双换元，它可以大大减少我们计算的难度， 并且大大简化我们的条件。当我们看到一个条件比较复杂，但这个复杂的条件又有一些规律可以找到。比如这道题的复杂条件，它就是一个因式分解的两个式子相乘，两个相对复杂的线性组合的式子相乘。 我们可以不妨就令这两个线性组合的式子分别就等于最简单的 m 和最简单的一个变量 n， 这就叫做双换元，那条件就变成了最简单的 m 乘以 n 等于一。 那接下来条件非常的简单，让你去求一个相对复杂的结论，那这种题目啊，应该是大家比较得心应手的。好，这就是方法一。我们再来看方法二，方法二的话是一个其次化的方法。注意看这道题 左边这个式子啊，是不是都是一个二次的，而右边是一个常数一啊，我们要求的这个式子也是一个二次的，对不对？那我们可以构造一个其次式出来，我们可以让这个式子去除以一个一， 那它的值是不会变的，而这个一，我们可以用这边的二次式去代替它，那整体就变成这个式子，而这个式子呢，上下同时除以 y 的 平方，也就变成了这样一个其次的式子。 我们在整体换元令 t 等于 x 比上 y， 当然这个值是大于零的。所以啊，我们题目就变成了什么，十二 t 方加上八 t 减一，再比上五 t 方加四 t 减一，我们令这个值去等于 k， 最终是不是就是要求这个 k 的 最小值啊？ 所以啊，我们现在式子就变成了，我们把这个东西去乘到 k 的 这个地方，也就变成这个式子。这个式子啊，我们把它合并同类项下，就变成这样一个式子，这就变成了一个一元二次方程的根的问题， 因为我们的 t 是 大于零的，而这边的 t 呢，是这个一元二次方程的。什么呀？是不是它的相当于我们方程里面的 x， 也就是自变量啊？所以啊，需要这个一元二次方程。当然你要讨论一下这个十二减五 k， 它能不能等于零，等于零，它就不是一元二次方程了，对吧？这是一个初衷的问题， 这样一个方程在 t 大 于零上是有解的，你求解一下这个问题，同样可以得到 k 的 最小值是三分之七。好，接下来我们看看第二题， 第二题的条件也是相当的复杂呀，当然他求的结论可能比较简单。那对于这样一个复杂的式子，我们来看看啊，我们可以先给他的分母因式分解变成 x 乘以这个和 y 乘以，这个 两边是不是可以同时去乘以一个 x， y 也就变成了这个式子。同样的，我们可以进行双换元，我们另这个式子中最复杂的部分啊，也就是这边的分母， 分母是两个线圈组合吧，三、 x 加二 y 等于 n， x 加二 y 等于 m， 那 这样同样的，我们把 x y 反解出来，用 m n 去表示一下。 哎，那你会发现啊，现在我们的 x y 就是 题目要求的这个式子， x y 啊， x y 在 这，对吧，那 x y 就 等于这样一个式子。现在经过我们的双换元处理啊，这两个分式，它的分母就会变得非常的简单，分别是 这个是 n， 这个是 m。 然后呢，我们再把 y 和 x 用这边反解出来的式子带进去，整体就不再是 x 和 y 的 一个式子，而是 m 和 n 的 一个式子。 这样写有个什么好处呢？那就是这两个分式啊，你都可以很容易的把它拆开来，变成 n 分 之六 m 二 m 分 之三 n， 然后后面啊是一对常数，而这个式子一眼就能看出来，可以用一个基本不等式吧，所以大于等于这个式子减去二分之七，最终答案就是二分之五。 那对于这个式子呢，实际上你也可以看出来啊，就是去给他配凑，然后也能化简出类似后面这样的式子，但是因为他的分母比较复杂，你就很难去看出来，你要去尝试，要去代定系数，这样去写，所以啊，双换元可以大大减小这个计算量。 那同样的，你要去验证一下，取等条件，这边就不说了， n 等于二 m 的 时候，取最小值二分之五。好，这是第一种方法，第二种方法就是其次化我们的 x y 要求的这个值， x y 它等于这样一个式子，而这个式子天生的就是一个其次式，对吧？依次依次，依次。 所以呢，我们上下同时去除一个 y， 也就变成这个东西，这个东西我们整体确定 x 比上 y 等于 t， 显然题目 x y 大 于零，所以 t 是 大于零的，那整体就变成了一个一元的式子。八比上三， t 加二加上三， t 比上 t 加二， 这个式子要求他的一个什么呀？最小值吧。那这个式子求最小值应该有非常多的方法，这边我就浅浅的讲两个方法呀。第一个方法就是什么呀？就是我们最熟悉的哎，把它化简通分一下，变成这个二次多项式，比二次多项式的形式， 然后我们配凑一下，把它的分子啊配凑出一个三倍的这个分母，对吧？ 这个括号里面的数是分母的三倍，然后我们把这个三分离出来，后面呢，就变成了一个一次多项式比去二次多项式，然后再令这个一次多项式整体换元肯定是可以写出来的，还有什么方法？还有就是最简单求导嘛，求导肯定是也是能写的 好，我们接下来看看第三题啊，第三题可能就稍微有点难度了，还是一样的。第三题最明显的特征就是这个条件啊，相当的复杂。双换元就是去处理这种条件极其复杂的题目的，我们就用双换元去把题目中你觉得最复杂的部分换元掉 根号，换元成 m， 第二个根号呢？换元成 n， 那 同样的，我们需要把 x 和 y 用 m n 分 解出来，也就是这个东西没问题吧？ 那原来的这个条件啊，复杂的条件，现在就变成什么呀？就变成了 m 加 n 等于根号下，你看就是九乘以这边的 x， 再乘以 y 吧，就变成了这个式子， 这个式子还能化解，因为有个根号还是反，我们两边平方一下，再给它化解一下，就变成了这个东西，哎，这个东西你看出什么来了吗？它不就是一个什么呀，完全平方式吗？它等于零，它等于零就说明我们 m n 是 等于一的， 所以啊，经过我们的双换元操作，这样一个极其复杂的条件，就变成了 m n 等于一这样一个非常简单的条件，对吧？所以啊，我们要求这个玩意，那这个玩意就把 m n 带进去嘛， 这边的 x y 带到这个里面，也就变成了九分之四 m 方，加上九分之一 n 方，再加一个常数， 我们直接对它使用一个什么基本不等式，所以最终，哎，就变成了 m n， m n 带进来，答案就是一，取等条件也要说一下，肯定是能取等的，所以最终的答案最小值就是一。这道题再讲一个方法，叫做几何法， 我们可以根据这个题目的条件啊，构造这样一个三角形，我们这样一个三角形，三个边分别是三 x、 三 y， 然后我们就设这个 b， d 等于根号下九， x 方减一， 然后这边的 dc 等于根号下九， y 方减一，这样一个三角形是可以构造出来的，对不对？因为这几个边啊，都是我们人为去给它，相当于确定这个值， 那你发现啊，我们的条件就能转化成什么呀？条件是不是它加它等于九 x y 啊，而这个九 x y 不 就是 ab 乘以 ac 吗？所以我们的条件就变成了， b d 加上 dc 等于 ab 乘以 ac， 而 b d 加上 dc 不 就等于 bc 吗？所以条件就变成了 bc 等于 ab 乘以 ac。 哎，我们又发现啊， 一个三角形的面积可以是什么啊？二分之一的底乘高， bc 乘以高一，还能是什么呀？还能是二分之一的 ab 乘以 ac 乘以它们的 sin 加角，也就是 sin bc， 但是我们的 bc 是 等于 ab 乘以 ac 的， bc 等于 ab 乘以 ac， 所以呢， sin sin theta 就 等于一呀， 而 sin theta 不 就是这边的 b、 a、 c 角吗？所以这就说明了，我们如果构造出这样的一个三角形，那这个三角形一定是一个直角三角形，对不对？直角三角形那就有意思了，直角三角形就有什么条件了， ab 方加上 ac 方等于 bc 方，而 bc 题目说了是等于九 x y 的， 所以三 x 方加上三 y 方就等于九 x y 方。这个式子，同样的两边除除以这个 x 方 y 方，就得到一个很简单的条件了吧。 那最终答案要求这个吗？我们直接怎么样？直接削圆就行了，把外方削掉变成这个东西，这个东西很容易去求一个最值吧，所以最终写出来是大于等于一的。接下来我们来看看第四题，第四题也是一个比较经典的题目，他的条件啊，也是相当的复杂，而且有两个变量， x 和 y。 那我们来看看这个题目如何去化简吧。首先这玩意里面有一个 e， e 肯定可以拿出来吧，就变成了一加上烙印二， x 加三， y 减六，后面这边又有一个 x 减 y 减二，可以看到这个烙印里面好复杂， e 的 这个次方好复杂。 对于这种复杂的并且是限性组合的二元的问题，我们肯定就可以使用什么双换元去简化它的条件。 我们就令，二 x 加三， y 减六等于 m， x 减 y 减二等于 n， 那 反解一下，你肯定是可以把这个 x y 反解出来的吧？我们肯定就需要反解一下 x y， 然后把这边的 x 加四， y 也表示成 m 和 n 的 形式，对不对？但实际上不用去反解了， 就你简单的一式减去二式，不就得到 x 加四， y 等于 m 减 n 加四吗？对吧？所以我们把所有的这个题目的条件 x y 全用 m n 去代替，也就变成了这样的一个简单的式子，对不对？这个式子看着顺眼很多了吧。 好，那接下来我们把所有的 m 移到一边，所有的 n 移到一边，也就变成了漏一 m 减 m 加一和一的 n 次方减 n 减一。哎，看到这个式子，你有没有想到两个非常基本非常常用的不等式， e 的 x 次方大于等于 x 加一。还有呢， low x 是 小于等于 x 减一的，那就说明什么呀？我们的 e 的 n 次方减 n 再减一是大于等于零的，然后 low m 减去 m 减一的括号是小于等于零的，它怎么样小于等于零， 它呢？又大于等于零，根据我们的加 b 定律，这两个值啊，都在零之间，那它们就一定是都等于零的。所以洛 e m 减 m 加一等于零， e 的 n 次方减减一等于零， 那他们正好等于零。不就是刚刚那个不等式取等的时候吗？取等的条件是什么？是 x 等于零，所以 n 等于零。同样的，它取等的条件是什么呀？它等于零，取等的条件是 m 等于一吧，所以 m 等于一， n 等于零。根据我们最一开始的双换元， m 等于一， n 等于零， 所以就是这两个式子，可以把 x 减二， y 就 等于五分之七， 这就是第四题。最后我们来看第五题，也就是最难的清华大学的这个一次 t h s s a t 的 一个压轴题， 也是条件相当的复杂啊，你看一个二次多项式平方二次多项式乘一个二次多项式很成立，但这两个二次多项式啊，我们看看他有怎样的一个特征啊。我们先看这玩意，哎，他是不是可以写成 x 减三乘 x 减四加二啊？哎，当然我给他补上应该是有一个平方的， 然后他的分母呢？分母是不是可以配方写成这个 x 减三括号的平方加四和 x 减四括号的平方加一啊？ 同样的，我们发现啊， x 减三， x 减三， x 减四， x 减四这两个部分啊，出现的非常多， 我们是不是可以进行一个换元啊，给他简化一下。肯定有人想了，我能不能对 x 减三令他比如等于 m， 那 x 减四就应该等于 m 减一啊，所以变成一个单一的变量 m 啊，这样是可以写的，但是计算起来也是相当的复杂， 为什么呢？因为你只换一个元，破坏了这个式子的对称性，你会发现啊， x 减三方， x 减四方对称吧， x 减三乘以 x 减四，它们非常的对称， x 减三和这个 x 减四这两个东西啊，这两个整体相当的对称，下面都有一个平方，上面呢是两个乘起来， 所以啊，我们不妨就进行双换元，令 x 减三等于 p， x 减四等于 q， 这样的话就得到一个条件，就是 p 减 q 等于一，对吧。 然后我们原本的这个式子啊， m 小 于等于的这个式子就变成了什么 p q 加二括号平方，下面是 p 方加四，然后 q 方加一， 对不对？好，我们展开来就得到这个式子，这个式子啊，继续去化解一下，哎， p 方 q 方 p 方，然后四 q 方，它是不是可以这边进行一个配方啊？也就是 p q 加二括号的平方，对不对？但然后面你要配成一个 p 方减四， p q 再加一个 q 方，因为你相当于多了一个，这边多了一个四 p q， 然后你就发现这后面又是一个什么 p 减二 q 括号的平方，现在就变成了这样的一个式子， 这个式子如何去处理呢？这个东西和这个东西是完全一样的，因此我们可以分子分母同时去除以 p q 加二括号的平方，也就得到了这个式子， 对不对？而这个式子现在要处理的部分就只有这了。我们最开始的条件是啥呀？最开始条件就是双还原的条件，就是 p 减 q 等于一， p 减 q 等于一，我们可以利用 p 减 q 等于一，在这个式子里面啊，去消元也就变成了一减 q， 比上 q 方加 q 加二。所以最终啊， 我们要求这个式子的范围，就是要求这个式子的范围对不对？而这个式子的范围相信大家都会写的吧，对不对？它是一个一次多项式，比上一个二次多项式的形式， 那简单的去求一下。怎么求啊？你令这个一减 q 就 等于一个 t 嘛，然后下面就变成了一个什么二次函数，然后就写就行了啊，它就属于负七分之一到一，所以呢，它平方就是嘛，就是属于零到一的， 所以最终整个式子呢，就是属于二分之一到一的，而我们要这个式子横成立， m 小 于等于这个式子横成立，所以 m 就 要小于等于什么呀？二分之一。这就是这道题的答案，你会发现双换元可以大大简化这道题的计算方法， 这是方法一，我们再来讲一个方法二来看啊，方法二就需要你有一个很强的观察能力了，你会发现这玩意加上这玩意，然后再除以一个二，它就等于 x 方减七， x 加十五，对不对？ 是不是就和这个东西差一个一啊？所以我们可以对谁进行双换元啊？我们可以直接念 u 等于这个东西， v 等于这个东西， 那我们的这个东西呢，就等于什么呀？二分之 u 加 v 再减去一个一对吧，所以 m 就 小于等于这个东西，也是一个相当对称的式子， 这是一个二元的呃，取值范围的问题。对于二元的这种问题呢，我们肯定想到用主元法，我们就先定一个东西为主元吧，以 v 为主元，以 v 为主元的话，我们把上面的数字展开啊，然后化简成一个以 v 为主元的这样一个二次函数， 然后把所有的 u 提出来，也就变成了这个东西，里面呢，就变成了 v 加上 v 分 之 u 减二平方，然后还加上一个两倍的 u 减二，此时我们以 v 为主元，就把所有的 u 都看做常数，所以 v 就 指在这个地方，而这个地方呢，是一个基本不等式，对不对？ 根据这个对勾函数的性质，它应该 f v 应该在一到 u 减二上递减， u 减二到正无穷上是递增的，所以我们以 v 为主元的时候，它的最小值就是 v， 取 u 减二的时候， 是不是它就取到最小值，相当于一个基本不等式嘛？而 f u 减二就等于 u 分 之， u 减二，也就等于一减 u 分 之二。而我们刚刚最开始设的变量啊， u 是 不是大于等于四的？ 所以呢，当 u 等于四的时候，这个数字是最小的，最小就是二分之一，而最终这个整体的联合的取等条件你要去写一下，因为这边我们用的两次放缩，第一次就是这边 f v 的 一个最小值，第二次呢，就是 u 等于四的时候一个最小值， 那最终 m 小 于等于二分之一，也就写出来了。这是用两种方法写的这个最后一大题。这个最后一大题啊，其实是有一个出题背景的，应该是一个米勒圆，有兴趣的话你可以去了解一下。好，今天就讲到这个地方啊， 我觉得这个双化圆问题啊，并不是什么特别高深莫测的方法，而是我们写这种复杂条件题目的一个基本的出题思路， 他可以大大的帮我们去简化题目的条件，对不对？就是 m 乘以 n 等于一。第二题的条件呢，就变成什么呀？就把这边的条件上的式子啊，变成了分母，非常简单的式子，然后就可以直接拆开来了， 第三题呢，直接变成了 m 乘以 n 等于一。第四题呢，就把这样一个看着极其复杂条件变成了我们最熟悉的简单的不等式放松。 第五题也是一样的，你看最开始这个式子啊，极其的复杂，换元之后呢，就变成这样一个看着非常美观的式子了，好希望大家能够真正学到东西，感谢大家的收看。
2464敝槛玄鹤
