母题书高中2025新高考数学
高考数学母题大全这本资料从近十年的两千四百多道高考真题中，系统整理了高考数学高频常考的一百八十一个母题模型，有助同学们构建系统化的学习体系，高效掌握解析方法，提高解析能力。全书包括了九个大专题， 他收入讲解的都是高考中高频常用的题型考点，这些母题覆盖了高考数学百分之九十五以上的分值，高考命题也是从这些母题中衍生出新的考试题。每个高考母题除了配有视频讲解，他对解析步骤也进行了非常清晰的拆解。 同时，他也精选了便是子题，供同学们进行针对性的练习。练习的详细解析单独成册，非常不错的一本资料，有助同学们快速补足知识漏洞，建理解题框架，提升解析能力，拿下高考数学基本盘。
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00:49查看AI文稿AI文稿高考数学母题大全这本资料从近十年的两千四百多道高考真题中，系统整理了高考数学高频常考的一百八十一个母题模型，有助同学们构建系统化的学习体系，高效掌握解析方法，提高解析能力。全书包括了九个大专题， 他收入讲解的都是高考中高频常用的题型考点，这些母题覆盖了高考数学百分之九十五以上的分值，高考命题也是从这些母题中衍生出新的考试题。每个高考母题除了配有视频讲解，他对解析步骤也进行了非常清晰的拆解。 同时，他也精选了便是子题，供同学们进行针对性的练习。练习的详细解析单独成册，非常不错的一本资料，有助同学们快速补足知识漏洞，建理解题框架，提升解析能力，拿下高考数学基本盘。
03:21查看AI文稿AI文稿今天为大家精讲母题二，一元二次函数 b 区间最值问题。这道题型是高考高频必考重点，不管是选择填空还是解答题都频繁出现，也是后续导数最值不等式综合题型的基础核心，是高三复习必须吃透的题分关键点。 首先牢记一个核心结论，二次函数 b 区间最值必在区间端点或顶点处取得，不会出现在区间的其他位置。 b 区间最值题型主要分为三类，固定对称轴固定区间、固定对称轴变动区间变动对称轴固定区间。 其中含参数的动轴定区间问题是高考重难点。解决这类题的核心思维只有四个字，竖形结合。通过判断对称轴和区间的位置关系，就能快速判断函数的单调性，进而求出最值。 看这道经典例题，已知函数 y 等于 x 的 平方减二 a， x 加三， x 的 取值范围是零到四的 b 区间，求这个函数的最小值解析式 第一步，分析函数基础性质。这个函数是开口向上的一元二次函数，将函数转为顶点式表示后，计算出它的对称轴为 x 等于 a， 自变量的区间是固定的零到四。 因为对称轴含有参数 a 位置可以左右平移，所以我们需要分三种情况分类讨论，做到不重不漏。第二部，分类讨论求解最值。第一种情况，当对称轴 x 等于 a 小 于零时，对称轴在区间零到四的左侧， 此时函数在区间内单调递增，区间最小值在左端点 x 等于零处代入计算，可得最小值为三。第二种情况，当对称轴 x 等于 a 在 零到四之间包含零和四， 此时函数顶点落在区间内部，开口向上的函数最小值就是顶点的函数值。代入化简，可得最小值为三减 a 的 平方。第三种情况，当对称轴 x 等于 a 大 于四时，对称轴在区间零到四的右侧， 此时函数在区间内单调递减，区间最小值在右端点 x 等于四处代入计算，可得最小值为十九减八 a。 第三步，整合结果。我们根据参数 a 的 不同取值范围，分段写出对应的最小值，解析式完整覆盖所有情况。 在这里给大家总结母题二的通用解析步骤，第一，判断函数开口方向，确定基础增减趋势。 第二，求出对称轴，明确动态核心变量。第三，根据对称轴与区间的位置关系，分左中、右三类讨论。 第四，依据单调性求出端点或顶点的最值。第五，分段整理最终结果。从高考考法和命题思维来看，这类题型很少单独简单考察，大多结合参数范围、横成力问题综合出题。 高考重点考察同学们的分类讨论能力和树形结合思维，评分标准十分严谨。遗漏边界曲直分类不全是主要丢分点。 同时给大家分享一个考场秒杀规律，开口向上最小值看顶点，最大值比端点。开口向下，最大值看顶点，最小值比端点。记住这个规律，考场可以大幅缩短答题时间。 最后提醒大家规避易错点分类讨论的边界数值，也就是对称轴刚好等于区间端点的情况，千万不能遗漏，这是高考高频扣分细节。
03:36查看AI文稿AI文稿今天我们继续跟进一元二次核心母题系列，为大家精讲母题三，一元二次不等式求解这道母题是高中不等式体系的基石，也是高考最基础最通用的工具。题型 集合运算、函数定义、域导数解析、参数范围求解，几乎所有高中数学题型都会用到，它是高三必须零失误掌握的基础得分点。 大家首先牢记高考核心本质，一元二次不等式的解集本质就是二次函数图像在横轴上方或下方的对应自变量范围，所有解析思路都围绕数形结合展开。一元二次不等式分为无参数普通不等式和含参数不等式两种。 其中含参数一元二次不等式是高考重难点，也是高频易错点。核心解析逻辑是逐级分类讨论，先判断是否为二次函数，再判断开口方向，最后比较根的大小，做到不重不 漏。接下来我们结合经典例题，带大家掌握标准化解析流程。例题条件求解关于 x 的 平方，减去括号 a， 加一倍的 x， 再加一整体小于零，其中 a 为任意实数。 第一步，优先讨论二次项系数，区分一次不等式和二次不等式，当参数 a 等于零时，原式不再是二次不等式，简化为一元一次不等式，化简后可直接得出解集为 x 大 于一。 第二步，当参数 a 不 等于零时，我们对式子进行因式分解，得到两个实数根，第一个根为 a， 分 之一，第二个根为一。接下来根据开口方向和两根大小分类讨论。第三步，讨论 a 大 于零的情况，此时抛物线开口向上， 当 a 等于一时，两个根完全相等，不等式解集为大于 a 分 之一小于一。 当 a 大 于零且小于一时， a 分 之一大于一，不等式解集为，大于一小于 a 分 之一。第四步，讨论 a 小 于零的情况。此时抛物线开口向下， a 分 之一，横小于一，不等式解集为，小于 a 分 之一或者大于一。 最后，我们整合所有分类情况，完整写出不同参数对应的不等式解集，这也是高考解答题的标准得分格式。在这里给大家总结母题三的通用解析步骤。第一，讨论二次项系数区分一次与二次不等式。 第二，应式分解或求根，算出方程两个根。第三，根据二次项正负判断开口方向。 第四，分类比较两根大小。第五，结合图像写出完整解析。同时送给大家高考必备答题口诀，开口向上大于取两边，小于取中间。 开口向下大于取中间，小于取两边。熟练记住口诀，考场做题效率翻倍。从高考考法来看，新高考十分偏爱含参数不等式的分类讨论题型，重点考察同学们的逻辑严谨性。 很多同学基础计算没问题，但容易遗漏参数为零，两根相等的临界情况导致整题丢分，这是高三备考需要重点规避的漏洞。底层解析思维大家一定要领悟，所有不等式问题都是函数图像问题， 不要单纯机械式解不等式，要脑海中对应抛物线的升降与横轴的交点位置，以行注数从根源避免出错。基础稳则全盘稳。一元二次不等式是高中数学的答题工具， 吃透这道母题，能解决试卷中百分之八十的基础不等式问题，希望各位同学规范答题步骤，严谨分类讨论，稳稳拿下这部分高考基础分值。
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11:40查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，今天我们给大家带来的是二零二五年全国一卷的第十六题，也是竖列的大题，那么这道题目呢，其实是大家必须要掌握的一个高考的母题，因为它里面涉及到了我们非常多的 必考的知识点，比如说有这个数列的构造，还有导数的运算等差等比数列的证明，以及错位相减，那么这个几乎是每年都必考的一个点，所以接下来呢，我们就具体来把这个题目来看一下。 首先呢，我们先来看一下这个题目啊， a 一 等于三，然后给了我们一个和 a n 有 关的表达式，让我们去证明 n 乘以 a， n 是 等差竖列，那么其实在这里的话，我觉得最起码首先我们要先能够看出来怎么样去处理这个式子，对不对？也就是我们题目中的这个条件。那首先我们应该是 两边同时乘以 n 乘 n 加一，是不是就会出现 n 乘以 a n 的 这个结构呀？对吧？好，那么我们写一下啊。第一小问证明， 因为 an 加一除以 n 等于 an 除以 n 加一，加上 n 乘 n 加一分之一，所以我们可以把这个式子先进行一个化简，那就是两边同时乘以 n 乘 n 加一，就是 n 加一倍的 an 加一，然后等于 n 倍的 an 加一，那么其实这个就很显然了，对吧？然后也就是 n 加一倍的 a， n 加一，那其实就是对应着我们这个竖列整体的 n 加一项，那么减去什么呢？ n 乘 a n， 那 么就这个竖列的第 n 项， 后一项减去前一项是一个常数，那么它就是一个等差数列了，对吧？那么我们在下结论的时候啊，我们要注意，等差数列也好，等比数列也好，它都是有两个基本量的，就是首项和公差或者公比，所以这个结论一定要把这两个基本量都说清楚。 那么我们要把 n 等于一的时候的情况求一下， n 等于一时， n 倍的 a n 其实就是 a 一 等于三，对不对？那么所以最后我们可以下结论了， n 倍的 a n， 它是等差数列，它是什么样的等差数列呢？是首项为三， 公差为一的等差数列。 所以这道题目呢，其实我们最重要的是什么？你要把结论首项公差分别是多少，一个都不能少，这些全部都要说清楚的啊。好，那么第一小问相对来说比较简单，接下来我们来看一下第二小问 给定的正整数 m 设函数 f x 是 这个形式，让我们去求 f 一 撇负二，那其实我的核心的思路就是，首先我要先对这个函数求导， 对吧？那这个其实就是最简单的一个密函数求导啊， f 一 撇 x 等于什么呢？ a e x， 求导就是 a 一， 然后加上两倍的 a 二 x 加上，其实我们下一项可以猜一下，因为它后面这里肯定是 a 三 x 的 三次，对不对？我可以多写几项啊，加上 三倍的 a 三 x 的 平方一直加到我们这里的 a m x m， 那 它求导就是 m 倍的 a m 乘以 x 的 m 减一次，对吧？好，那其实在这里我们会发现这里出现了一个式子，你看每一项里面 a 一 二倍的 a， 二，三倍的 a 三 m 倍的 a m， 那 么其实我们由第一小问是不是已经证明了它就是跟这个结构是完全一样的， n 倍的 a n 是 一个等差数列呀，对不对？所以其实我们由一， 其实你可以把这个竖列的求导以后的结构再进行化简，对不对？有一得 n 倍的 a n， 那 就是什么呢？首项为三，公差为一的等差竖列，那其实就是 n 加二， 对不对啊？然后呢，所以我们就可以进一步推出这个 f 一 撇 x， 这里的 a 一 呢，其实就是一倍的 a 一， 那根据这个通项公式就是三，对吧？那么下一项就是多少呢？公差是一嘛，那就是四 x， 再下一项就是 五 x 的 平方一直加到，我们可以再写它的前一项啊，这个 m 倍的 am， 它就是什么？是不是？就是 m 加二乘以 x 的 m 减一次，对不对？那么它的前一项就是 m 加一乘以 x 的 m 减二次。好，那么接下来他让我们求 f 一 撇负二，那我就把负二带进去， 就是三加上四乘以负二，加上五乘以负二的平方，一直加到什么呢？加到 m 加一，乘以负二的 m 减二，然后加上 m 加二乘以负二的 m 减一次。好，那么写到这里我相信大家应该都发现了，这是一个什么结构？这个前面是三四五 m 加一， m 加二，是不是一个等差的形式， 对不对？而后面是什么呢？负二负二的平方，负二的 m 减二次，那其实就是一个什么等比的形式。那么等差乘等比我们要用什么方法呢？是不是肯定要用错位相减法， 对不对啊？所以在这里啊，我们就是进行错位相减法，大家要注意这个错位相减，这个方法是必须必须要掌握的，它几乎是我们高考当中的一个必考的一个知识点。 那错位相减法怎么做呢？就是我们看到这里的公比是负二，对吧？这个等比竖列，它的公比是负二，所以我们要做的就是在这个式子的两边同时乘以负二，那么左边就变成了 负二，乘以 f 一 撇负二，然后这里就是加上注意，错位相减法，大家结构一定要写清楚，这样你不容易在待会化减的时候出错啊，一定要错开，什么意思呢？第一项乘负二，是不是我可以写到这里 三乘二，那么第二项就变成了四乘二的平方，对不对？我们错位相减法一般情况下习惯上前三后二，前面写三项，后面写两项啊，这里就是五乘二的 三次啊，以此类推，到哪里呢？到这里我们知道这一项他再乘负二，是不是就变成了前面的系数不变， m 加一乘以负二的 m 减一次呀？然后最后我们会发现多了一项对不对？多的一项在这里， 那么我们就再写下去，加上这里就变成了 m 加二乘以负二的， 原来是 m 减一，那我就变成了 m 次，对不对？好，然后接下来我们干什么呢？两式相减对吧？这里是一式，这里是二式啊，两式相减，那么左边就是三倍的 f 一 撇负二， 右边的话我们说错位相减啊，你可以把它最重要的就是大家在减的时候这个符号不要乱掉。我们其实本质上是三部分， 这里的三是单独的一项，最后的这里也是单独的一项，然后中间的话呢，这些一大块他们每一项都有和它对齐的东西，所以中间的这一大块也是一大项，所以我们可以把它看成三项去处理啊， 一减二，一步一步来，那么一减二的话，这个三是照写不误的，对不对？加上那么中间大家会发现四乘负二减去三乘负二，也就是我们这里四乘负二减去三乘负二，是不是就是一个负二， 然后呢五乘负二减去四乘负二，那是不是就是两个负二的平方，对不对？它就是这样的一个逻辑，我们会发现它前面的系数都变成了一啊，然后最后的话呢，我们到这 一样的，那就是加到了负二的多少呢？负二的 m 减一次，对吧？中间呢，这是一个整体啊，我们要把这个东西当成一个整体来看， 然后接下来呢，最后这里的话，由于是一式减二式，所以这一项前面的符号一定是负的，这个千万不要搞错啊，就是减去 m 加二乘以负二的 m 次，对吧？好，那么接下来我们对这个式子进行化简，等于什么呢？等于 三加上这里中间大家会发现它其实本质上就是一个等比数列求和，那么根据我们等比数列求和公式就可以直接写出来就是一减 q， q 是 负二，对不对？ 分之 a 一 首项嘛，然后是一减 q 的 几次呢？我们这里从一到 m 减一，它只有 m 减一次， 对不对？然后再减去 m 加二乘以负二的 m 次，然后接下来到这里，其实我觉得大家如果说你理解这个错位相减的基本的原理，那到这里基本上应该是可以写出来的，那么接下来最关键的就是比较麻烦的 考验大家的计算能力，就是我们这个式的一个化简啊，所以我们化简的时候呢，也要仔细的认真一点啊。好，那么首先三， 那么接下来这个分母上一减去负二就是三，对不对？然后这里有一个减去三分之二，对吧？因为负二乘以一是负二，那么接下来我们会发现呢，它这里是怎么样？负二跟后面的这个有一个 m 减一次，这里是不是可以合并起来变成负二的 m 次，刚好我们这里也是 m 次，对不对啊？所以这里我们要注意啊，你化简的时候那前面是什么号呢？因为我们这里前面有一个减号，对吧？减号然后减去什么呢？ 三分之负二的 m 次，对不对？然后再减去 m 加二乘以负二的 m 次，然后我们再合并同类项，三减三分之二就是三分之七，然后呢，最后这里是 减去啊，我们会发现你把这个负二的 m 次提出来，第一项是不是我们写一下啊？就剩下一个 负号也提出来，第一项是不是剩下一个三分之一？第二项是不是剩下一个 m 加二，对不对？我们其实就是把这个负的负二的 m 词整体提出来啊，那么这里的话就是我们通分，那么就是乘以多少呢？三分之后面是三 m 加六，再加一就是 三 m 加七，对吧？好到这里题目并没有结束啊，大家一定要注意，我们这里呢，你算的是什么？是三倍的 f 一 撇负二，对不对？最后我们要把这个三除过来， f 一 撇负二就是多少呢？是不是把三除过来以后就变成了九分之七减去九分之三 m 加七乘以负二的 m 次呀，然后 m 属于 n 型。 好，那么我们第二小问就做完了啊，那么这个就是我们这道题的一个全部的解答过程，它的难度其实并不大，但是呢它很基础，我可以说它是必会的高考母题。好，那么今天我们的分享就到这里。
285小姜爱数学
01:15查看AI文稿AI文稿新高考十年数学到底考了哪些题型？哲他尤学，这本十年高考专项突破梳理的清清楚楚。他汇集二零一七至二零二六新高考全国卷教育局模拟试卷，配套一千个视频讲解。 全书包含集合函数、三角函数、一批几何解析、几何导数、概率统计、创新式题等。高考全部考点， 每个章节分为基础类、综合类和同源类三个板块。同源题型是这本书主要亮点，把不同年份同考点 考题归集，对比训练，帮学生摸清命题思路。我们以导数章节举例，先梳理切线相关基础题型，再过渡到融合多个考点的综合中档题，最后集中攻克同源木题向攻切线放缩零点，导数引零点等。 还有真题透视，总结板块，梳理题型特征和考察方向，精准把握高考出题逻辑。除了视频讲解外，还有一本答案解析， 讲解也是非常的详细，不管是高一高二同步夯势考点，还是高三一轮二轮系统冲刺高分，这本书都非常合适。多刷历年真题，吃透命题思路与出题规律，才能稳步拿下高考高分。
95别恼数学
03:45查看AI文稿AI文稿此题不会打专，见很多同学看到了这种函数就立刻抽倒，用不到白白增加计算量，还容易算错。虽然题型看着简单，可概括的核心考点非常多，想暑期吃透题型，开学少走弯路的同学一定要听。那么这道题它主要是考的函数的性质，他说这个函数在二上是单调递减的，求 a 的 值范围， 那所以这道题一看是分段函数的单调性，尤其是高三的同学，高二同学，你拿到这道题之后，别求导，一看，这不是求求导吗？别着急。那么他说这个函数是单调递减的。首先你得知道单调性的定义， 单调递减就说白了，这一段是单调递减的，对不对？小零的时候，单调递减这一段也是单调递减的，而且这个函数值要比这个函数值要大，或者是单调递减的，而且这个函数值要大，或者是相等，相等也是可以的。你得明白单调递减怎么回事呢？首先我们看 line line 负 x， 这都是函数的性质， e 减负 x， 它只是平移了 line 负 x 与 line x 是 关于弯曲对称的，这个应该知道吧，所以考了对称性。那么 line x 是 单调递增， line 负 x 应该是单调递减， e 减 x， 它就左右平移了一下，实际上是 line 负 x 往右平移了一个单位，所以这个函数一定是单调递减的。 明白了，那这个函数单调递减，又因为整个的函数这一只函数，它应该是单调递减的，说明前面它不能影响函数单调性，所以前面这个数就应该是个正数，也就说二 a 减一，就应该是大零的。靠了单调性的性质， 听明白了，一个函数是单调递增的，乘一个符号，它就变成单调递减，乘一个正，好比如乘一个二，乘一个正数，它就不影响单调性，这个应该知道，这些都是必须掌握的。所以这就说明前面这个数一定是个正的，乘一个正数还是减的。 那么这个函数的单调性考什么呢？考的是复合函数单调性。我们把知识点都写在前面，什么叫复合函数的单调性呢？就是 y 等于一个 f g x， 它的单调性不要求的 y 等于一个 f u u 的 一个 g x， 那 如果它是增的，它是增的，它就是增的。如果它是减的，它是减的，它就增的。如果它是增的，它是减的，它是增的。整个的合在一起就是减的，简称同增异减，这是高考的重中最基本的东西。 所以大于零的时候，这个函数它也必须是单极减。那我们怎么去看呢？由于这个地方大家可以看 a 就是 正的了，因为 a 大 于二分之一嘛。 a 是 正的，说明这个函数一定是正的，分母它一定是正。为什么呢？ e 又是正的，又等于 ax 是 正的，正增为增，它是增的。取倒数就变成减的， 又因为大于零的时候必须是减，说明二减 a 方必须得是大于零的。反应过来吗？我再说一遍， e 的 a 方必须得是大于零的，反过来吗？我再说一遍， e 的 a 方必须得是大于零的， 他取个倒数落在分母上，整个的函数就是单调递减的。又因为我就要求这个函数单调递减，说明二减 a 方这个系数他必须得是个正数。那这两条是够了吗？当然不够。如果一个函数这是减的，这是减的，那这个地方很明显 他不能叫减，不符合单调递减定义，这是重中之重吧。那这就说明小零呢？在零数的值一定比这个在零数的值要大，或者是相等，所以我们把零带进去捞一的话是一，那就说二， a 减一， 应该是大于等于这个地方。把零带进去一，等于零的地方是一，就二减一方，所以三个取交几就可以了。首先我们算这一步， a 大 于二分之一， 我们再算这一步， a 就 应该是小于根二，那这一步的话就应该是 a 方再加二， a 再减三，大于等于零，十字相乘，一，一三负一， 两根之外， a 肯定是负的，所以他们取交几就是大于等于小于根二，所以选 c 好简单不？所以考的是函数的单调性，考的是函数的性质，考到的是复合函数，同增异减。虽然这道题不难，但是他考的知识点还是挺多的，这些知识点都是需要掌握的。
2428数学赵礼显
07:16查看AI文稿AI文稿十七分压轴题，别怕，先吃透离心率和距离公式，轻松解除椭圆方程！今天我们来讲解二零二五高考数学全国一镇的前两小问。设椭圆 c 的 离心率为三分之二倍，根号二，下顶点呢为 a， 这是 a 点， 然后呢，右顶点为 b， 然后 a， b 的 长度为根号十，这个红色的长度为根号十。然后第一问让我们求 c 的 方程， 然后我们已知呢，疑心率， e 呢就等于 a 分 之 c， 它就等于三分之二倍，根号二。然后第二个呢， ab 的 长度，我们发现 b 呢 是右顶点，右顶点呢，这块就是 a， 左顶点呢，这块长度呢就是 b， 所以 说就是根号下 a 方加 b 方就等于根号十。 好，下面是还有 a 方和 b 方，上面的是还有 a， c， 所以 我们可以转化一下， e 就 等于 a， c 就 等 c 的 话就是根号下 a 方减去 b 方就等于三分之二，为根号二。 好，这时候呢，上下呢，都会有 a 和 b， 我 们进 a 和 b 的 求解就可以了。上上面的话，我们可以同时平方一下，是 a 方， a 方减 b 方就等于一，减去 a 方， b 方就等于 九，二四乘以二就等于九分之八，所以呢，就是 a 方减去 b 方， a 方分之 b 方就等于九分之一， 也就是 a 方就等于九倍的 b 方。然后呢，根号下 a 方加 b 方就等于根号十，所以 a 方加 b 方呢又等于十，所以呢，就会有 a 方加 b 方就等于九倍的， b 方加 b 方就等于十倍的 b 方就等于十。所以呢， b 方就等于一， a 方呢，就等于九倍，就等于九。这样呢，我们椭圆的方程就知道了， c 呢就是 s 方，除以九，加上 y 方就等于一。好，下面我们看第二本已知动点 p 呢，这是 p 点，它不在 y 轴上。点二呢，是在射线 a p 上， a p 的 绝对值乘以 a 二的绝对值等于三，然后 p 点的坐标我们设为 m n， 让我们求二零坐标是多少？二零坐标，其中用 m n 表示。好，我们看一下。这一问， 我们知道呢，题目有一个条件，就是 r 在 射线 a p 上， r 在 r 在 射线 a p 上， a p 上。所以呢，我们可以设向量 a 二呢，就等于 g 倍的向量 n p 与共线嘛，这是射线，所以 t 是 大于零的。 然后呢，又有条件是什么呢？且 a p 乘以 a 二等于三， a p 乘以 a 二， 这个条件我们怎么转化呢？ a p 呢？ a 二呢， a 二就是 t， a p， t 位的 a p， 所以 就等于 t 位的 a p 方 是我们应该这里应该都是向量 g b 的 a， b 方就等于三。向量 a p 等于多少呢？我们知道，向量先记 a 点的坐标呢，它是 y 轴的下下零点，所以说它就是零，负一于 b 嘛， b 就 等于一，所以说负 b 的 话就负一。 然后 p 点呢，我们知道它施的是 m 和 n， 所以 向量 a p， 我 们就可以知道了。向量 a p 就 等于 m， n 加一，对不对，所以带进去就会 p 位的 a p 方呢，就是 m 方，加上 n 加一的 平方就等于三，所以呢， t 就 等于三，除以 n 方，然后 n 加 e 的 平方。好，这块我们就有了题目，让我们求什么呢？让我们求二点坐标， 我们可以设设为 s 二， y 二。我们知道呢，其实向量 o 二呢，就等于 o 的 话是坐标，原点 是就等于 s 二减零， y 二减零，就等于 s 二 y 二。我们看一下向量 o 二等于什么呢？向量 o 二，它其实就是向量 o 二， 是不是就等于向量 o a 加上向量 a 二呢？啊？所以说等于向量 o a 加上向量 a 二。我们知道向量 o a 二呢，又等于 t 一 倍的向量 a p， 所以说 o a 呢，就是 a 点， a 点的坐标呢，其实就是零负一，加上 ap 呢？ ab 的 坐标就是 m n 加一，所以就是零负一加上 t m 基倍的 n 加一， 就等于 tm 加零就是 tm， 然后 t 位的 n 加一，然后再减去一，所以呢，就知道了， s 二其实就是 tm， 然后把 t 带进去呢，就是三 m m 方，然后 n 加一方 y 二呢，就等于 t 位的 n 加一减一，同样带进去， 就等于 m 帮加上 n 加一的平方三乘以 n 加一，然后再减一，所以呢， r 的 坐标我们就知道了， s 二 y 二就等于三 m m 八 n 加一平方，三加一， m 八加 n 加一的平方减一。好， 我们今天的讲解就到此为止啦，谢谢大家。
11:21查看AI文稿AI文稿好，来把这个问题讲一下。嗯，这个是去年的新高考一卷，对，应该是多选的压轴题。嗯，对，这个第一个 a 选项比较好推，就是你把这个 用二对二倍角公式打开，二倍角公式打开，然后化简一下，就可以得到这个 a 选项，然后这个 a 选项是一个很经典的结论，三 c 等于三 a 的 平方加三 b 的 平方，这件事是主要推这个，嗯，角 c 是 九十度， 其实如果观察的话，或者说猜测，你可以尝试，比如说角 c 是 九十度的时候，左边就是三，九十度就一，那 a 和 b 是 互余，互余的话，你看这个三方 b 就 可以转换成口三方 a， 那右边这三方 a 加口三方 a， 呃，也是等于，所以他就成立啊。当然如果观察不到，我们就只能去慢慢推啊。但是这个因为它很经典，而且很多模拟题当中也出现过，所以我们今天讲完之后，你就把它当做一个结论，记住 怎么推。第一步我觉得就消圆吧，把这个散 c 写成散 a 加 b， 那 就散 a， 口散 b， 嗯，加上口散 a， 散 b 就 等于散 a 的 平方加上散 b 的 平方。接着呢，我们就移向，就是把这个散 a 移过来，提个公式，散 a 括号 口三 b 减去三 a， 然后那边我们就把三 b 提出来，括号三 b 减去口三 a。 好， 到这一步其实就跟我们平时做题经验，就你对这个 口算 b 减 a， 或者算 b 减口算 a， 这个大小比较有，有没有回忆到这我们之前什么时候会遇到过？就是判断一个三角形就是钝锐的时候，比如说如果一个三角形是一个锐角三角形， 那它 a 加 b 一定会大于九十度， a 加 b 大 于九十度，你就可以写成 a 大 于 九十度减 b， 然后两边套上一个三角形啊，因为在三角形当中，这个三可以理解为是递增的，也就三 a 是 大于三， 这个二分之二减 b 啊，所以也就是三 a 是 大于口三 b， 就 判断三角形钝锐的时候，我们会用到三 a 和口三 b 去进行比较大小。所以现在，嗯， 呃，再比如说啊，如果，呃，或者看一下这个口三 b 减三 a， 好，再再换一个啊，比如说我们把这个移向移一个 a， 试一下，就是 a， b 是 大于二分之派减 a 的， 嗯，然后我们再同时套一个三，也就三以 b 是 大于三，二分之派减 a， 三以 b 是 大于，可算 a， 对吧？好到这步我们来标注一下啊，就是如果一个三角形是锐角三角形，这件事和这件事是同时成立啊， 注意是同时成立，因为我们仅仅是，嗯，一个是把 a 移过去，一个是把 b 移过去，那如果是钝角呢？它这个符号就相反了， 就会变成三 a 小 于口三 b， 然后三 b 小 于这个口三 a。 现在我们就看一下，你这个式子和这个式子刚好是这两个结论的，就是一正一反。 什么意思？看出来了吗？那比如说，呃，如果，如果他成立啊，这他是成立的，就意味着散 a 减去啊，就意味着可散 b 减散 a 是 负数啊， 如果他成立，他就是负数，那如果他成立呢？散 b 减可散 a， 他 就是正数， 这是锐角的情况下，那反之，如果是钝角，那这个东西就是正数，这个东西就是负数，也就是说只要他不是直角啊，就是锐角或者钝角，那么这两个值一定是一正一负， 一号就一正一负，但是呢，因为这个三 a 和三 b 肯定都是正数，那那这个两个整体一正一负，这个不等，这个等号就永远都成立不了啊，因为左右两边一定是一号的， 那只有一种情况是可以就当他们各自是零的时候，或者说呢，就你你，你钝角和锐角都分析清楚，钝角也不行，锐角也不行，那就只剩直角了啊。这从刚才那个角度去分类，三角形的角度去分类，如果你从代数式我们现在分析出这两个整体一定是一号， 那如果你想让这个等式成立，就只能是它等于零，这个三 b 减口，三 a 也等于零。其实这件事就意味着是直角，就角 c 等于九十度， 你随便一个一项，就是就是在用诱导公式，就把这个可算 b 写成三二分之派减 b 啊，那个 a 就 等于二分之派减 b， 所以 它就还是 a 加 b 等于九十度啊。好，这个 a 选项我们挣出来，它主要告诉我们角 c 是 九十度。 那接着呢，我们就可以把这个三角形简化一下，角 c 是 九十度，然后这个条件，嗯，这个条件看一下有什么用啊？ 口算 a， 口算 b 算 c， 那 现在算 c 就 变成一了，那也就是口算 a 乘口算 b 等于四分之一， 然后 a 和 b 又是互余的，嗯，所以说这个算 b 就 可以写成算 a 啊，所以也就是算 a， 口算 a 等于这个四分之一， 那么算二， a 就是 二分之一，因此二 a 就 会等于这个六分之派或者六分之五派，也就是 a 会等于 这个十二分之派，或者 啊那个那个，那这这个东西舍掉了。对，那个角 c 是 九十度嘛？所以说这个 a 就是 十二分之拍啊， 看看有没有弄错，应该没问题。对， a 是 十二分之拍，然后 b 就是 十二分之拍，就十五度， b 就 七十五度，那也就是它是十五度七十五度的这个直角三角形。嗯， 接着我觉得就可以用一些。那那首先 c 选项我们就直接可以算出来了，这个散 a 和这个散 b。 散 a 和散 b 有 一种方式，你就直接带进去硬算就散四十五度啊，不是散十五度，反正是等于散四十五度减三十度，然后就打开慢慢算啊，散七十五度也可以算出来。 还有一种方式呢，就是就是这个散 a 加上散以 b， 有 一个叫和差化积的公式。 呃，我来推导一下，自己去了解一下。把这个 a 改成 a 加 b 除以二，加上 a 减 b 除以二，然后这个 b 我 们把它改成 a 加 b 除以二，减去 a 减 b 除以二，然后再把它打开叫，嗯，删，这个加可删减，然后是加上， 嗯，加上这个可算加，算减。这个东西打开呢，是算加可算减，减去可算加，算减，这两个是约掉的，所以最终就是二倍的这个东西。 好，然后 a 加 b， 又是那个九十度，然后 a 减 b 也是一个特殊值，这样算会更快一点。 这这是第一个激化和差的公式，我觉得可以要掌握啊，因为三角当中如果这些 比较复杂的题目当中，你掌握各种各样的公式，一定会对这个解析方解析有帮助啊你，你的思路肯定会更开阔一点，看到各种各样的这种结构，能想的东西更多，这计划和差的公式。然后 这这个 c 我 就不往下算了，然后这个 b 选项我看看，那还有个面积，没有面积的话 其实就是后面，后面都比较简单，就只要推出角， c 是 九十度，后面都简单， 比如说这个十五度，七十五度，其实你把这个角算出来，你就知道这个两条边的这个比值啊，某个角的探径的值，就可以确定这两个边的比值。那你就假设其中一个是 x， 另外一个也是用 x 表示，然后他们两个相乘等于这个面积， 这样的话这个边长就可以算出来啊，边长算出来，你这个呃，勾股定你也可以算出来。其实这个 d 选项呢？ a c 方加 b， c 方就是 ab 的 平方， 所以说 b 选项和 d 选项它刚好是两个冲突的啊。如果 ab 等于根号二，那 ab 的 平方就一定等于二，就不会等于三。然后具体的数据你可以自己来算一下，我就不演示了。 好，这是这一题。
05:15查看AI文稿AI文稿第一问，通过求导给出目标数值。第二问，用区间长度保证合适的余弦值一定出现。第三问，再用五倍关系把两个区间接起来。三问到这里就连成了一条完整的推理链。
153不知道
03:33查看AI文稿AI文稿各位亲爱的同学们，大家好，我是夏梦迪，讲了高考物理将近二十年的一个老师，线上线下累积起来可能也已经交了几百 万同学了。在这个过程中，我发现很多同学在学高中物理的时候，经常会迈入的三个误区。第一个误区，完全不关注基本概念、基本原理，靠死记硬背，靠机械记忆，然后去做， 这样肯定是完全不可以，一旦这个数学老师稍微给你挖个坑，你可能就掉进去了。第二个，很多同学他会有这样一个幻觉，物理和数学这个学科呢，就需要靠我自己的智商生想出来各种各样高级的解体的想法，百分之九十九以上的学生是不可能具备这样的一个能力的。那么第三个误区，有很多同学其实在所有的题目上，他用的力气是均匀的， 其实题目和题目是不一样，有一些题他可能就只考一个知识点，而还有一些更加重要的题，这些题目可能你把这一道题搞明白了，你可以拿一道题延伸出五十道题，那么这样的一道题呢？你把它搞明白之后，你解决的不仅仅是这一张的知识点， 可能解决了很多与他相关联的其他的前序章节的知识点。所以像这样的一些题目，我们需要花更多的时间和精力去把它钻研透彻，这样才能够提高你平时做题和学习的效率。结合我刚才说的这件事，给大家介绍一下我最近新出的这么一本书，叫做高中物理四十九道五题拿高分。这四十九道题就是我们在梦想典当铺的题目中， 金庸中选庸，然后再挑出来的这样的一些非常有影响力，可以用一道题包含很多章节，很多思， 很多知识点的好点，包括很多陷阱。同时呢，这样的一道题还可以继续变形，我们把它全挑出来，然后给大家编成这样的一本书，这本书可以给咱们 所有的高三的同学，或者是在高一高二你已经基本上学完了所有的课本上的知识，你希望你往前去推进你练习的难度和深度的这样的一些同步的同学，提高你学习或者是复习的这么一个效率。它核心就是以我们精心挑选的这么四十九道题作为线索，然后给大家把所有的高中物理 中间的主线的知识都串了一遍，从第一章的直线运动到相互作用，包括后面牛顿运动定律，曲线运动，万有引力定律，一直到后面的能量动量，以及电磁学中间比较核心的几个章节，电场磁场，电磁感应选秀中间比较难的波光热，把重点给各位同学筛选出来了，当然不可能，这本书一共就是给你讲四十九道题，我们有这么一个问题之后，我们会 先给各位把所有的过程方法介绍一遍，怎么想到的，你需要关注什么？这类题目有些什么样的识别标志，我们具体应该怎么样一步一步 搞定，在这个操作当中，还有哪些陷阱，有哪些坑，都提示你注意了，以及最后还会给你复习一遍重点，同时我们还会给你 拿这道题开始进行变形，那么就是这样一本书整体的设计逻辑。那么这本书呢，其实总的练习量并不算特别大，但是解析是非常多的，所以这本书他有做的价值，但是更大的价值，希望帮助各位同学在题海中间去挑选出让你短期之内能够高效率提升你的解题能力， 升你的模型识别能力，提升你的预算能力的这样一些核心的题目，把这样的一些题作为你去建立题型分类体系的核心的线索和锚点。然后呢，建立起 你在高中物理学习过程中，可能很长时间之内都没有建立起来的一种解析思路。这本书里边的所有的母题视频都是我千锤百炼讲过好多次的啊。你们去做这些母题的过程，中间其实也等同于直接听了我关于这样的一些母题的过程，中间其实也等同于直接听了我关于这样的一种解析思路。高中物理想要攻坚提分的，别错过跟着老师整理的核心母题练， 把题型逻辑摸透，注牢知识底子，全力冲刺，备考阶段更有方向，考点覆盖实用，针对性强。
41优品家百货
03:06查看AI文稿AI文稿各位亲爱的同学们，大家好，我是夏梦迪，讲了高考物理将近二十年的一个老师，线上线下累积起来可能也已经交了几百万同学了。在这个过程中，我发现很多同学在学高中物理的时候，经常会迈入的三个误区。第一个误区，完全不关注基本概念、基本原理，靠死记硬背，靠机械记忆，然后去做题， 这样肯定是完全不可以的，一旦这个出题，老师稍微给你挖个坑，你可能就掉进去了。第二个，很多同学他会有这样一个幻觉，物理和数学这个学科呢，就需要靠我自己的智商生想出来各种各样高级的解题的想法，百分之九十九以上的学生是不可能具备这样的一个能力的。那么第三个误区，有很多同学其实在所有的题目上，他用的力气是均匀的， 其实题目和题目是不一样，有一些题他可能就只考一个知识点，而还有一些更加重要的题，这些题目可能你把这一道题搞明白了，你可以拿一道题演绎出五十道题，那么这样的一道题呢？你把它搞明白之后，你解决的不仅仅是这一张的知识点， 你可能解决了很多与他相关联的其他的前绪章节的知识点。所以像这样的一些题目，我们需要花更多的时间和精力去把它钻研透彻，这样才能够提高你平时做题和学习的效率。结合我刚才说的这件事，给大家介绍一下我最近新出的这么一本书，叫做高中物理四十九道母题拿高分。这四十九道题就是我们在梦想典当铺的题目中，金 中选金，优中选优，然后再挑出来的这样的一些非常有影响力，可以由一道题包含很多章节，很多思， 很多知识点的考点，包括很多陷阱，同时呢，这样的一道题还可以继续变形，我们把它全挑出来，然后给大家编出这样的一本书，这本书可以给咱们所有的高三的同学，或者是在高一高二你已经基本上学完了所有的课本上的知识，你希望往前去推进你练习的难度和深度的这样的一些同步的同学， 提高你学习或者是复习的这么一个效率。它核心就是以我们精心挑选的这么四十九道题作为线索，然后给大家把所有的高中物理中间的主线的知识都串了一遍，从第一章的直线运动 到相互作用，包括后面牛的运动定律，曲线运动，万有引力定律，一直到后面的能量动量，以及电磁学中间比较核心的几个章节，电场磁场，电磁感应选秀，中间比较难的波光热。把重点给各位同学筛选出来了，当然不可能这本书一共就只给你讲四十九道题，我们会先给各位同学把所有的过程方 方法介绍一遍，怎么想到的，你需要关注什么，这类题目有些什么样的识别标志，我们具体应该怎么样一步一步的搞定，在这个操作过程中，还有哪些陷阱，有哪些坑，都提示你注意了，以及最后还会给你复习一遍重点， 同时我们还会给你拿这道题开始进行变形，那么就是这样一本书整体的设计的逻辑，那么这本书呢，其实总的练习量并不算特别大，但是解析是非常多的，所以这本书他有做的价值，但是更大的价值希望帮助各位同学在 题海中间去挑选出让你短期之内能够高效率提升你的姐弟能力，提升你的模型识别能力，提升你的预算能力的这样一些核心的题目，把这样的一些题作为你去建立题型分类体系的核心的线索和锚点。然后呢， 建立起你在高中物理学习过程中可能很长时间之内都没有建立起来这种解析思路。这本书里边的所有的母题视频都是我千锤百炼讲过好多次的，你们去做这些母题的过程中间其实也等同于直接听了我关于这样的一些母题以及背后的套路的这样的一种解析思路。
4738夏梦迪直播（跃书）
01:53:57查看AI文稿AI文稿以一题破万题，别在题海里打转了你的墙！他来了一百三十三道核心母题，覆盖高考百分之九十以上的考点，这个系列险恶就干一件事，带你暴力破解每道核心母题，让你告别盲目只学高考真正会考的核心模型，以后在考场上全是老朋友， 适合想最短时间提分的你跟着宪哥用母题思维暴笔提分，告别无效刷题，从根源上破解高中数学，掌握母题，一通百通 哎！哈喽，各位同学大家好，从今天开始，我们就正式进入了我们的梦想典当铺的打卡活动，我们今天给大家讲的是函数与导数当中的一个函数的题目，当然我们这个梦想典当铺每天一道题，你千万不要把它想成每天就一道题， 什么意思呢？就是我给他选的题都是有一种目的的，你比如我们今天给他选的第一道题呢，就是想告诉你，你只要会画这个函数图像，这道题实际上是非常简单的一道题目。 当然我们啊，如果通过每天一道题，实际上能够讲解的内容，讲解的题型，讲解的方法还是比较少的，所以呢，我们啊，有五节课还是六节课的知识梳理。 你比如，如果你通过我们第一道题，把我给大家总结出来的所有的常见的函数，如果图像都会画，那么你做这种题当然是非常轻松的。记住，做函数如果你画图像的能力强大，所以啊，你的函数一定是学的是足够好的 听懂了。所以当大家通过梦想典当铺，一定要坚持打卡我们的考点梳理，知识梳理，因为我们的考点梳理知识梳理讲解的更详细，更透彻， 大家可以看一下这道题。这道题我认为是啊，非常基础的一道题目啊，非常基础的一道题目，你别自卑了啊， 为什么呢？ abc 是 弱智啊，如果你做错了，说明你的计算能力有待提高， d 选项说明对你的图像的考察有一定的要求。好吧，来，我们先看一下这个函数。当然是啊，双曲线函数，这是双曲正弦函数，叫什么名不重要，对吧？你能理解这两个函数，你会画这两个函数像就可以了。 首先， a 选项我们就是狂算呗。 a 选项怎么去算呢？我们一看 f 方减去 g 方，我们立刻想到了平方差公式，也就是说，它就是 f 加 g 乘一个 f 减 g， f x 减去 g x， 没错吧，简写的啊，那么 f x 加 g x， 你 会发现它正好是像加的话，正好是 e x 啊，正好是 e x f x 减记 x 的 话，那是不是相当于正好是 e 的 负 x 啊？所以这张是 e 的 负 x， 所以 它等于个 e 的 零，次方等于个一，所以 a 选项非常的简单。 ok， 来，我们再看 b 选项，他说对任意的 x y， 他 都满足这么一个式子，对吧？我们只看记喽 啊，他长得挺复杂，我是不是左右两边都得算一算啊，算一算吧啊，所以 g 啊， g x 加 y 乘以个 g x 减 y， 那 么左端这个式子，那就相当于 他是二分之哇，确实挺复杂，是吧？二分之 e 的 x 加 y， 然后呢，减去 e 的 负 x 减 y， 乘以一个二分之 二分之 e 的 x 减 y， 再减去一个 e 的 负 x， 就是 y 减 x， 所以呢，我们一顿狂算，貌似也不是平方差公式呀，所以它等于四分之，只能是用分配率。它俩相乘就应该等于 e 的 二 x， 对不对？再加上一个 e 的 多少呢？相加的话是 e 的 负二 x， 就 它俩相乘，大家看出来了吗？啊， y 和负 y 约掉了，然后呢，再减去一个它俩相乘，那就纯计算喽，它俩相乘的话，是不是相当于减去一个 e 的 二 y？ 他俩相乘的话，是不是减去 e 的 负二 y？ ok 吧，都是减，所以减去 e 的 二 y， 然后呢，再减去 e 的 负二 y， 所以 左端是这么一个复杂的式子， 那么我们再算右点。这道题主要是讲 d 选项，主要是让你会画我们常见函数图像，不仅仅是这两函数，就是我们常见的高考范围内要求的所有的函数都得会画，我们在知识数里边讲解的更加的透彻，一定要去听。 那么啊，这个呢，就是 g x 方乘一个 g 外方，加啊，加上一个 g 外方，我们看看它等于什么？ g x 方加上一个 g 外方，那么它就应该等于啊，四分之，它的平方是一得二 x， 再加上一个一得负二 x， 然后再减去个二， 然后再加上一个。嗯， g 外方，它很明显是一模一样的了，就是四分之一的负二 y， 然后呢，再减去一个二， 所以你会发现这条显然是有一个常数的啊，因为这呢有个减二分之一，这呢有个减二分之一，它最终有个 啊减一，对不对？而这个地方它显然是没有常数的，这呢是没有常数的，所以它俩显然是不相等的，所以这个选项是错误的，应该是能听懂了。 ok， 好， 来，我们再看 c 选项， c 选项的话，我们就应该从复杂的往简单的去做啊， f x 方，再加上一个 g x 方， 所以 f x 方等于什么呢？四分之这个平方比较好算，就是一得二 x， 再加上一个一得负二 x， 再加上一个交叉乘积的两倍，再加上一个 g 的 平方，就应该是四分之一得二 x， 再加上一个一得负二 x， 再减去一个交叉乘积的两倍。所以呢，它就应该等于个 啊二分之啊 e 的 二 x 再加上一个 e 的 负二 x。 明白了，那所以它等不等于啊，这个 f 二 x 呢？你会发现它正好等于 f 二 x， 所以 它是个 c 选项，是非常的正确。明白，那这一次我们在高考当中，你做题的时候一定要有足够的耐心啊，你的计算能力得必须得过关。好，再次强调，通过这道题，你应该学会我们常见函数图像，来，我们看 d 选项，这是我们选这道题的目的。 那第一项要怎么去做呢？首先，你这个 f x 要会画， f x 怎么画出来呢？你们自己去听啊。知识梳理，它是一个偶函数， f x 啊，它是个偶函数，它的单调性在负无穷到零上是减的，零到正无穷上是增的。它的最小值在零的时候取得，零的时候取得，显然是一。 而 g x 呢，显然是单调递增的，它是一个奇函数，所以它图像长得这个样。那为什么它们这个地方没有交点呢？为什么不能这样穿上去呢？道理非常简单，它是啊，二分之一 x 加了一个正数，它是二分之一 x 减了一个正数， 所以 f s 显然比 g s 要大， ok， 所以 它的图案应该是这个样子的。明白。呃，那么它们的图像画出来再次强调，如果不知道怎么画的，一定要去研究一下啊。我们在考点梳理当中讲解的非常的透彻，一定要去听啊。 因为它是一个奇函数，这是一个增的减，去一个减的，前面是增，后边是减，所以它一定是个增函数，它是一个偶函数，它的导函数正好是它，导函数是它的话，那这就说明它在零到中无穷上是正的，所以导函数是正的，原函数增，这边是导函数是负的，原函数是减，你自己求个导就可以了。 那么这图像是这样的，它说水平线与它有三个交点，那 y 等于 t， 就 应该在这么一个地方，所以这就是 y 等于 t， 这不有三个焦点吗？这两显然是 x 一， 这两显然是 x 二，这两显然 x 三。那所以 x 一 加 x 二加 x 三，它正好就是 x 三。听懂了，因为 x 一 x 二，偶函数一定是 x 一 加二是零， x 一 x 二是相反数， 那 x 三的最小值是什么呢？它的范围是什么呢？当然临界值是什么呢？临界值是在这，听懂吗？它的最小值偶函数，当 i 等于零的时候，是一加一除以二，当然是一 啊， f 零就是，那所以临界值是在这个地方，这就是 x 三的最小值，取不到，一直到中无穷都是可以的，所以目测差不离就大于一个数，那这个数是多少呢？就是 y 等于一的数呗。所以我们让 g x 等于一，算出那个 x 来，就说白了， e x 减去个 e 的 负， x 除以二等于一，那所以两边同乘以 e x 的 话，就是一的二， x 减去一个两倍的 e， x 再减个一，等于个零，所以 e x 是 正的。我们用求根公式取一个正的二， a 分 之负 b 加减，肯定是加 b 方减四， a c 二根二， 所以呢，它就按那个一加根二，所以 x 等于一个 line， 一 加根二，所以只要比这个数大就可以了。所以 x 三一定是属于一， line 一 加根二到中无穷。 听懂了吗？所以这道题算是正确的。好，最后这道题选的是什么呢？选的是 a， c， d。 好， 通过这道题，大家一定要学会什么呢？必须会画的图像，掌握必须会画的图像，我给他讲的足够全面了， 你把我给大家讲的图像所有的都会画，做这种题肯定是轻松加 easy 了。再次强调，我们知识梳理常见的函数图像，基本上都给大家总结殆尽了啊，基本上都总结殆尽了，你回去自己去画一画，自己去想一想，自己去研究一下。好吧， 好，这就是我们今天梦想典当铺的第一道题，我希望各位同学能够坚持啊！打卡！坚持就是胜利，每天进步一点点，其实四十多天也能够进步很多。好，这就我们今天讲的内容，各位同学拜拜 哎！哈喽，各位同学，大家好，来我们看一下梦想典当铺的第二道题目，那第二道题目主要是给大家讲解的是什么呢？就是我们常见的函数，常见的不等式，你必须得掌握明白 啊！就是像只对数还是对数，还是逆函数，像这些最基本的函数呢，大家必须得学的足够明白，因为越是高考，其实你平常做的模拟题，那些相对来说比较偏的，反而不一定能够考的到，越是我们课本上最基础的内容，你应该越要学的足够透彻才可以， 也就说你一定要稳好来。 b 大 于 a 大 于一，大于 c 啊， c 在 零到一之间， a b 呢，都是大于一的。问，下列四个选项哪个是正确的？所以这道题很明显考的就是函数的性质。 首先我们先看一下 a 选项， a 选项的话，我们看是这是哪个函数，是不是相当于我们把它底数是不变的， c 是 不变的， c 不 变的，上面是一个变化的点啊，上面是不是有 a， 有 b 吗？所以 c 的 x 方，显然它是一个指数函数，而这个指数函数 c 是 在零到一之间的。零到一之间的指数函数，它应该是单调递减的， 他既然是单调递减的，因为 b 是 大于 a 的， 所以 b 越大，那就说明啊，就是 c 的 b 次方就应该是小于 c 的 a 次方，能听懂吗？所以 c 的 a 次方应该是比较大的，所以选 a 啊，所以选 a 就 可以了。 好，这是 a 选项，考了一个指数函数，那么 b 含 b 选项，它考的是什么函数呢？它也是一个函数，但是呢，下面是变化的，下面是变化的，我们把下面 ab 向上 x， 所以 它是 x 的 c 次方， x 的 c 次方，它是个密函数。密函数呢，它在第一象限的图像分成三类，分成三类的话， c 在 啊， c 是 大零小一的， c 大 零小一，显然这个图像在第一象限是增的，它也是增的呀， 它比较增的比较慢啊。因为 b 是 大于 a 的， 所以这个 b 的 c 次方一定大于 b 的 a 次方啊，就是说白了，它是单点递增的，单点递增不导航的方向是不变的。 b 的 c 次方大于 b 的 a 次方，嗯，啊，不对，不对啊，写错了， b 的 b 的 c 次方大于 a 的 c 次方大于 a 的 c 次方啊。因为下面是 x， 它是个密函数，所以 b 选项也是非常的正确， ok， 所以 这道题相对来说还是比较简单的吧，一定要常见函数的图像，要了如指掌。 我们看下 c 选项，知识点我们都讲过了，再次强调，我们讲过的所有题，知识点，讲过的所有题的知识点，知识点都有讲解，知识点绝对是超级详细的。那么我们一看 b 选项，一看这个选项，我们就笑了，对不对？这不是啊，一个数，一个分数，分子分母都加了 同一个数嘛。由于 c 是 在零到一之间的，所以小于 c 是 小于零的，那减去小于 c， 就 相当加了一个数。又因为 b 是 大于 a， 所以 这个地方考了一个什么，这个，这个糖水不等式吧。啊，糖水不等式，我们在这个地方就不给大家证明了，听知识梳理， 那唐氏不等式是什么意思呢？就是如果 a 大 于 b 大 于零，当然满足 a 大 b 大 零， c 也是大零的。唐氏不等式是一个冲量条件啊。当然，如果不满足 ab 大 零，他不一定了啊。那么 a 大 b 大 零，如果他是一个真分数，也就说，嗯，他是一个 a 分 之 b， 我 们给他改一个范围啊， 正好和这道题一致，那也就说 b 大 于 a 大 于零，那 b 大 于 a 大 于零的话，那就相相当于这是一个 b 分 子 a， 它是真分数，分子分母加上一个数，这个数很明显变得更大了。也说 a 啊，加上一个 c 吧，然后这条式 b 加上一个 c 吧， 这个数变得会更大，就相当于往糖水里边加放了一块糖，变得更甜，这叫糖水不正事。当然，它变得再大，它也是一个真分数，所以它是一个小于一的数。小于一的数啊，那小一的数什么时候大于一呢？大家想，如果反过来，那 a 分 之 b， 它是一个假分数， a 分 之 b 是 一个假分数吧，就相当于这个数是大于一的，那这时候分子分母加上一个数，这个数就变小了，也就说它一定是大于变小了。我们加上一个数，是 b 加 c， 然后 a 加 c。 听明白了，这时候如果是一个假分数的时候，就相当于放水呗，加水呗，所以是一个假分数的时候，分子分母加上一个数，这个数一定是变小的，但是它再小，这个分母也是比分子要小的，因为 a 小 于 b 嘛， 所以这个数也是大一。我们把这个不等式叫做糖水不等式，都是课本上的东西。 ok， 所以 临近高考的你，我建议课本上所有东西都一定要掌握明白。所以有糖水不等式，你会发现啊，这个 a 分 之 b， 然后呢，分子分母加上一个数， log n， c 是 负的，减去 log n， c 就 相当于加上一个数，所以这个数应该是变得更大了， 变得更大了啊，所以这条是 b 减去个零， c 能听懂不？所以这个选项啊，正好是选反了， ok， 我 们再看 d 选项， d 选项的话，嗯，大家一看，嗯， b 加 b 分 之 c， a 加 a 分 之 c， 这是个什么鬼呢？ 是不是相当于两边不等式？两边除了 a b 不 同，其他都是一模一样的对不对？所以我构造出来了这么一个 x， x 再加上一个 x， 分 之 c， 所以 x 加上一个 x， 分 之 c， 你 会发现，嗯，这不是一个对号函数吗？所以来大家可以看一下我们对号函数更应该会啊！高考的重读注中， 由于 c 是 大零小一的，所以这个对号函数的图像应该最低点是什么呢？最低点是它俩相等的时候求等号，它俩相等的时候是 x 等于 x。 分 之 c， 所以 x 方等于 c， 所以 x 等于根号下 c。 也就说最低点是根号下 c， 最低点是根号下 c， 又因为 c 是 在零到一之间，越开根号，它虽然变大了，但是还是在零到一之间。零到一之间开根号还是零到一之间。又因为 ab 是 大一的，所以 ab 应该是在这个区间上 单调递增的一个区间上。又因为 b 大 于 a， 所以 这张是 a， 这张是 b， 它一定落到对号函数的单调递增的一个区间上，所以 b 大 于 a， f b 加 b 分， c 一定大于 fa 啊，单点递增，所以 f b 大 于 fa， 那 所以 f b 是 谁啊？ b 加 b 分 之 c 大 于 fa， a， a 加 a 分 之 c， 所以 这个选项是正确的， ok， 所以 通过第二道题也是非常简单的一道题目。大家常见的知识点，什么三角不等式啊， 啊，什么这个这个这个这个这个啊，全方和不等式啊，什么基本不等式啊，科几不等式啊，对吧？当然呢，都是求最值的啊！ 还有什么这个这个情商不等式呀？我们在支书里都讲过，大家尽可能都要掌握这些最基本知识点。好吧，所以我希望各位同学都能够坚持下来。这是我们今天给大家讲的一个只对密以及常见函数的图像。 ok， 我 们今天讲的各位同学加油，努力， 相信自己。哎，付出一定有收获，一定有回报，拜拜！哎，好了，各位同学大家好，我们看每日一题的第三题， 我给大家选择第三题的目的是什么呢？就是重视教材，回归教材啊，也说教材上的内容你必须得知道，因为在二零二四年高考确实考到很多教材上的内容。我不知道这道题你面熟不？这是我们教材的原话，课后题的原话应该是人角 a 版，你可以去看一看啊，或者说你可以去研究一下我的相关教材，都是可以的。 呃，而且呢，这道题还考了一个跨章节综合，就说白了，这道题是相对来说，嗯，综合性比较强的一道题目，我们给大家读一读啊 啊，他说定义在负一到一上的函数，在负一到一里边，任何两个实数 a b， 他 都满足下面的这一个等式， x 大 零的时候， f x 小 于零。 然后问下列哪个条件是满足的？首先第一个问题， a 是 奇函数、偶函数。我们要判断一个函数是奇函数、偶函数，它只有唯一的一种方法啊，那就是定义 那唯一的一种方法的话，是不是相当于我得出现 f x， 也得出现 f 负 x， 对 吧？那我应该怎么办呢？是不是相当于我们令啊？令 a 就是 x， 我 们令 b， 那 就是负 x， 这样的话，它就出现了 f x， 再加上一个 f x， 那最后这个地方是不是他就应该等于 f 零，所以 f 零到底是几呢？也就说我需要先求出 f 零来，那求出 f 零来的话，又因为这道题，他这个 ab 呢？他都属于负一到一，所以 ab 都可以取零，所以我很自然的一种想法就是令 ab 等于零 啊。基数性高考一定考判断一个函数是基数函数，偶函数，我们就应该选择定义，一定要把教材东西都搞定啊。令 另这个 ab 都等于零的话，那就说明 f 零，再加上一个 f 零等于右边也是 f 零，所以这个量就是零， 那它这量是零的话，那所以 f 负 x 等于负的 f x， 那 说明 f x 是 奇函数，所以这个选项是非常的错误，它是错误的啊。来，我们再看第二个选项，他说这个函数满足这个条件，这道题恰巧是我们课后原题， 他说 f x 满足这么一个函数，当然这个函数是个奇函数，我们啊，前面都应该讲过了，在知识书里边已经讲过了，他是奇函数，他满足这个式子吗？来，我们算一算就是了。这真是课本上课后原题了，你可能都没做过是吧？其实课后题其实也没有那么简单啊。 好，来我们看一下 b 选项怎么去做。 b 选项的话，那就应该是我们应该先算左端呗，先说转多左端 f a 再加上一个 f b， f a 加上一个 f b， f a 的 话，就是 log 相加就应该是相乘，那就相当于一加 a 乘一个一，一减 a 乘一个。呃，一加 b f b 的 话，就应该是一加 b 乘一个一减 b 这个问题吧。 f a f b， 然后呢？这时候我们就应该把它乘开。 log， 就 应该是啊，一再加上一个 a， 再加上一个 b， 再加上一个 ab， 然后呢，一减去一个 a， 减去个 b， 再加上一个 ab， ok， 这就是左端算出来的一个式子，那么如果我们让他算出来是右端，当然是不好算，我们应该直接算右端，我们看看两边是不是一样的。那么这时候 f a 加 b 比上一个一加 a b， 我 们狂算就可以喽，计算能力一定要锻炼出来。 log 一 减 x， 一 减 x 的 话，就是一减去一个 a 加 b， 比上一个 a 加 a b， 一 加 x 的 话，就是一加上一个 a 加 b 比上一个 a b， ok， 所以 我们通过分分子分母的话同乘以一加 a b， 那 这呢是一加 a b 再加上一个 a， 再加上一个 b， 所以你观察一下他俩相等吗？分母是完全一样，分子的话是也是完全一样，所以这个选项是正确的。这个选项正好是我们课本上课后卷题，所以通过这道题想告诉大家，其实课本上其实有很多 相对来说很重要的知识点，所以大家临近高考，教材上东西一定要都掌握。 ok， 好， 这是 b 选项，我们再看 c 选项，他又讲了个啥呢？ c 选项他说 f， 他 等于一，嗯，这什么？这不就是他吗？也就说 fa 加 f b， fa 再加上一个 f b， 他 就应该等于个一。他又告诉我，这个数等于二，这个数又是什么？是不是相当于把这里边所有的 b 改成负 b 了？ 那也就是说这个式子就应该等于个 fa 再加上一个 f， 负 b， 它就应该等于个二。 ok， 又因为没有无缘无故的第一位，我们在做第一位的时候，我们说 f x 是 奇函数，那它是奇函数的话，是不是相当于这辆是负的 f b， 负的 f b， f 负 b 呢？负的 f b， 那 么这时候你让我求 fa， 那 这个条件就相当于满足定域的意思， ab 都是在 啊，负一到一之间。那所以啊，那所以下一步怎么办呢？啊？他俩相加呗，他俩相加除以二， f b 就 约掉了，也说 fa 就 正好等于个二分之三，所以这个选项非常的正确。好，那么当然这道题第四题是 d 选项是非常难的，我们来分析一下 d 选项应该怎么去做。 他说 f 十一加上， f 十九分之一加上，哎呦，当 n 点一的时候，正好是他当 n 点二的时候，四加十五十九，那这就说明这是 n 向的和， n 向的和，他都大于 f 三分之一， 这题咋整呢？哎，他都大于 f 三分之一，这和数列结合在一起，那我们就得想一想，他怎么求和的呗，他怎么求和的？哎呦，这，这题有点像什么呢？ 所以 d 选项难度是比较大的吧。啊，那我们突破口在什么地方呢？突破口在什么地方？那很明显我不可能把它带进去， 我要把它带进去的话，我不就傻了吗？对不对？我不能把它带进去的话，再就是 f x 满足这个性质，我们找到了一个特殊的函数，就是 log， log， 哎， log， 当然 log 相加里边变成相乘， 但相乘的话，它怎么能够消掉呢？也不好想。十一分之一也不能因子分解，十九分之一，这都是质数啊，也不能因子分解啊， 对吧？那所以这个数大家能够想到什么了？ n 方加五， n 加五啊，加六 加六的话，是不是可以十字相乘啊？那也就是说这个地方我们先观察后面这个式子，是不是相当于 n 方再加上一个五， n 再加上一个六，再减个一啊？为什么这么去做呢？是不是相当于我们前面就可以十字相乘了？ 十字相乘的话，就应该是 n 加二乘一个 n 加三，然后呢，再减个一分之一， ok， 大家体会一下。那这一步 有点像列项吧，但是他怎么列的呢？他怎么列的好像也没法列啊，是不是相当于我们得往这上面去凑？里边是一加什么， 里边是一加什么的话，是不是相当于我这时候上面是加 a 加 b， 我 分子分母同除以 n 加二乘以一加三，所以这道题挺难的，这一问你看你能想到不？ abc 选项就打酱油的。 ok， 上面的话也是啊，直接就是 n 加二， n 加三分之一，没错吧？ 同除以 n 加二， n 加三，同除以 n 加 n 加三，你再好好的体会一下。好的体会一下， 好到这步他是没有问题的。没有问题的话，那是不是相当于我们就知道 ab 分 别是谁了？所以我们继续再往后写，他这个地方就应该等于个多少多少，看着啊，一减去一个 a 分 之一，就相当于负的 n 加三分之一，对吧？ 就这样相当于一个数是负的呗。啊？假设 b 是 负的，上面的话是加呀， a 加 b， 那 就相当于 n 加二分之一，减去个 n 加三分之一，你看通分之后是不是 n 加二乘以个 n 加三分之， n 加三，减去 n 加二，正好是一， 那所以这个数就应该等于什么呢？他是不是就按那个 f a 加 f b， f a 就 应该是 n 加二分之一，再加上一个 f b， b 是 负的， n 加三分之一，利用了这个对应法，则 利用这个对应法的，所以这段你对数一定要足够敏感，所以他就应该等于 f n 加二分之一，再减去一个 f n 加三分之一。但他是个奇函数嘛，所以符号能提前，那又因为他俩是相邻两项，相邻两项之差当然是用的 累加法，那也就是说我们直接算了 f 十一分之一，再加上一个 f 十九分之一，一直加加加到一个 f n 方， n 方再加上一个五 n 再加上一个五分之一，它就应该等于个 f 十一分之一。就是当 n 等于一的时候吗？当 n 等于一的时候，它就应该等于个 f 三分之一，再减去个 f 四分之一， 再加上一个 f 十九分之一，就是当 n 点二的时候。我们刚才说了，当 n 点二时候就是十九，那就应该等于一个 f 四分之一，再减去一个 f 五分之一。正好是列向量消，符合我们现在信号好 跨章结构，实际上每个字典都是比较简单，综合到一起难度就很大啊。 ok， 然后呢，一直加到 fn， fn 的 话，就应该是 n 加二分之一，再减去一个 n 加三分之一，没有问题吧？那中间连续约掉了，那所以前面剩第一项， 后面呢？剩的是最后一项，就是 n 加三分之一。那么这道题他让我证明，哎，大于 f 三分之一，那怎么办呢？不要忘了，我们还有一个条件没有用，因为出题人他不说废话， 他说 x 大 零的时候 f s 小 于零，对不对？ f s 大 零的时候， f s 小 于零，那这就说明这个数一定大于零喽，那这就说明这个函数值一定小于零喽。所以通过我们刚才说的那个条件，那这就说明来，我们给它圈起来，就说白了，这个数 啊，就这个数啊，这个数它应该是什么呢？它应该是小于零的数，听懂吗？它是一个负数，有条件来看的话， 他是个负数，他是一个负数，那你想想他减去一个负数说明什么？那是不是说明他就应该是啊， f 三分之一加了一个正数，那当然他就应该是大于 f 三分之一，所以这道题完了， 所以这道题他这个选项是正确的。通过这道题，你就应该明白这道题他考的是一，那为什么想一呢？因为这点也有个一 分本上肯定有个一，明白了，搞出一个一来，他正好是十字相乘的。好吧，通过这道题，大家一定要重视教材，其中 abc 选项都是我们教材上 的。所以啊，临近高考，你可以把教材上看看，是不是所有的难点都搞定了。不要忘了，二零二四年考了教材上好多好多东西，比如像穿给法是我们教材上的，考到了二零二四年新高考一卷的第八题，课本上是有的。 你比如像新高考一卷的十八题的第二问，对训中心，课本上是有的。三次函数的对训中心，二零二四年新高考一卷的第十一题 啊，负的三分之 b， 教材上都有。所以你应该把教材上所有东西都过一遍啊，就是不能说所有东西稍微难一点东西都要过一遍，好吧，这是我们今天给大家讲的题目，我认为是非常基础的，不知道你的实力如何？我们明天再见，拜拜 哎。哈喽，各位同学大家好，我们今天继续给大家讲，嗯，每日题，今天给大家讲的是切线。切线，每年高考必考的啊，每年高考必考，当然考最多的就是在点问题，还有这两年特别喜欢考的过点问题，其他的切线考的相对来说比较少。什么公切线啊，上次考试二零一六年的事了， 你们也可以去研究一下二零一六年新高全国二卷，全国二卷第十六题最后一道填空题。那么像这道题考的是什么呢？在我记得在二零二零年吧，还是二零二零几年全国三， 他考到了一个，也是和这道题很像。我记得一轮讲过那道题哎，就是和一个这个这个根号下 x 它的相切，还和一个圆相切， 能听到吧，那就是相当于一个公切线，那里边既有曲线，又有这个，又有这个直线啊，又有这个函数 啊，那所以这道题就是夸张的综合明白，所以来看一看，他说直直线 l 的 斜率为一，如直线 l 与这个圆相切，而且呢，与这个这个曲线也相切，让我们求 a 的 值， 所以这道题当然是非常简单的了，也说这道题考第五题，第六题可不可以呢？高考考第六题是没问题的， 大家一看斜率为一，我就哈哈小笑，为什么呢？嘿嘿，就是，我一看这张是 ex 啊。所以这二题显然考了一个非常重要的结论，不知道这个结论，同学一定要去听听知识梳理，然后再去推导一遍，就是 ex 在 零一处的切线， e x 在 零一处的切线，我相信没有不知道，同学啊，这是高考必考的。 e x 在 零一处的切线，正好是 y， 等于一个 x 加一，也说这辆是一，那也就是说 e x 加一在原点处的切线，它正好是 x 加一，这辆有个切线放缩， ok， 就 它 能听懂不？那么现在呢，我们说斜立唯一的直线与这个指数型函数相切，那所以我把这里边所有的 x 变成 x 减 a， 那这就说明这是他的切线。斜里为一的切线，把 x 变成 i 减 a， 能听懂不？那这就说明这个直线 l， 他的切线就应该是 x 减 a， 再加上一个一。 现在呢，人家说又说这条直线和这个圆是相切的，那大家思考一下，直线和圆相切又是什么意思呢？直线和圆相切，不就是圆心到直线的距离等于半径吗？ 听懂吗？啊，圆心到直线的距离等于半径，所以我们来一个点到直线的距离公式。圆心显然是多少呢？是根号二，零到直线就是 x 减 y， 再加上个一减 a 等于零， 他的距离呢，就应该等于一。所以我们来一个点到直线距离公式，那就相当于根二再加一，再减去 a， 比方等于个一，所以根二再加一，再减去个 a， 等于个正负根号下二， 所以 a 就 应该等于个一，或者是 a 等于个多少呢？一加二跟二。所以这道题非常的简单明白了。所以直线和圆，直线和圆距曲线相切，怎么去处理？直线和函数相切又怎么去处理？只是我们没有求导的原因，是因为我们这地方背了一个小小的结论 啊。那可能很多同学说，万一这个斜率为二呢？那斜率为二，你还能背结论吗？那斜率为二照样可以做。所以呢啊，你也可以求导，也可以求导，我们改一改， 改题啊，我们改题斜率为二的这么一条直线，假设改题了啊，把 k 改成二也是没有任何问题的。 为什么呢？因为我们刚才讲了个结论是 e x 大 于等于个啊，这个 x 加一对不对？那所以 e 的 x 减 a， 嗯，它在二处的切线的斜率是多少呢 啊？多少呢？所以这时候，这时候大家思考一下，我们怎么把这个斜率改成二？那很多同学说，我把它改成二 x 不 就完了吗？改成二 x 是 不行的，因为你改成二 x 之后，这个地方直接啊， 改成二 x 之后，这辆是二 x， 但是这辆不是 x 啊，这不是 e 的 x 方呀。所以说这个，这个，大家思考一下，怎么改成二，是不是应该是这样的，看清楚啊？啊，就是 e 的 x， 我 把这里边所有的嗯， x 改成那个，减去个 lie 二 啊，这就说明你得有一定的水平了啊。嗯，减去一个 line 二，减去一个 line 二是什么意思呢？它是不是相当于啊？ e 的 x 比上一个指数相减，就是里边相除呗， e 的 line 二， e 的 line 二是不是正好是二， 知道了吧，所以呢，它是大于等于个 x 加一的，所以 e 的 x 就 应该大于等于个二 x 加二的。 听明白什么意思了不？他是啊，就是说白了， e x 斜率为二的切线就应该是它，就应该是它，你也可以求导，你也可以求导，你最好是会变形， e s 大 点， x 加一，我们把这里边所有的 x 变成。哎，我写的有点问题啊，不好意思，写的有点问题啊， 就是我们把这里边所有的 x 都变成 x 减 one 二，这个 one 二是你自己会分析的，如果不分析，你就求导就做就可以了。我一会再帮你求导一下，对吧？怎么分析呢？刚才写错了啊，我是把这里边所有的 x 变成 x 减 one 二，我为什么这么去做？你得思考一下。 那么我们由于这个事实成立的，我们把这里边所有的 x 都改成 x 减 one 二啊，那么这个这就是他的缺陷。 但是呢， e 的 x 减去劳力二，就相当于 e 的 x 比上 e 的 劳力二，就比上一个二大于哪个 x 减去劳力二，再加上一个一，所以 e 的 x 就 大于哪个二 x， 嗯，再加上一个二，再减去两倍的劳力二，所以 e 的 x 减 a， 那 计算量就大了呗。 啊？ e 的 a 减 a， 把这里边所有的 x 变成 i 减 a， 就 应该是二 x 减去二 a， 对 不对？再加上一个二，再减去两倍的拉二二，所以这个是斜率为二的切线，就它了。是切线， 计算量更大了，计算量更大了。那现在那人家说什么呢？这个直线和这个圆又是相切的，那说明圆心圆心是根二零 到这个直线的距离，这个直线就是二 x 减去个 y， 就 这是切线呗，这就切线， y 等于它，所以二 x 减去一个 y， 呃，加上一个二，再减去一个二 a， 再减去个两倍的 line 二，它就应该等于个零，所以圆心到直线的距离 他就应该是二根二，对吧？加二减二， a 再减两倍的二，比上一个根号下 a 方加比方等于一，所以算出 a 了，我就不上了， 因为这个数没有那么巧。比如他等于根五，绝对值里边等于根五，或者是绝对值里边等于负根五，好，你能听懂不？所以这题改成斜率为二，也是可以做的， 也是可以做的，也是可以这么去做的。当然很多同学说，哎呦，你这个变形除以这个减去啊，减去到二，我想不到，想不到啊。无所谓啦， 也就高考大部分题都是通解，通法是能够做出来的。那所以这道题如果改成斜率为二的话，你应该怎么办呢？求导呗。你看，求求导他的切线的方程是不是这个方程？首先我们设切点， 哎，想不到就设切点，设切点是 x 零 y， 然后呢，我们求个导，把切点从这边带进去，它就应该是斜率，斜率是二，所以 x 零减 a， 它就应该得个 line 二，所以 x 零就应该得个 line 二，再加上一个 a， 那 么 y 零等于什么呢？ y 零显然 对不对啊？说的是，说的是缺点，那么 y 零显然是在这里边的，那也就是说是 e 的 x 零减 a， x 零减 a 就是 e 的 二，加上一个 a， 再减去一个 a， 所以 等于一个二， 听懂吗？ e 的 浪是二浪， e 的 浪二是二吗？所以 y 减 y 零，等于一个 k 倍的 x 减去 x 零，所以我们整理一下，就应该是 y 点二， x 再加上一个 y 点二， x 减去二， a， 再减去两倍的拉二，然后再加上一个二。 ok， 你 看看这个切线是不是和他一模一样的，所以求导也是可以的。好吧，总之，我们切线是我们高考一定是考的，所以希望大家能够掌握这些最基本的题型，最基本的方法， ok， 当然通过将刚才讲的第一种话，也要掌握基本的结论，这些结论在我们知识书里都是有所讲解的。好吧，切线，再点过点攻切线都是必须掌握的，希望各位大家啊，能够在最后的这几天，最基本的方法要掌握，各位同学加油，拜拜！ 哎！哈喽，各位同学大家好，每日一题，第五题难度有点大，这是 t 八联考第二次联考的第十四题压轴题，当然这道题考的考点也非常重要，断点验证法，二零二四年新高考一卷刚刚考过，当然二零二四年假卷考的也是断点验证法，这是我们高考非常重要的题型。 当然这道题也有一个比较简单的方法，就是拉格朗中定律。我们今天都会给大家讲解一下，这道题是改编的北京高考题二零二年北京高考题北京高考题。我们在我们讲导数的时候讲过了，那道题只是已知一个函数，让你证明这个事实成立 啊，相对来说比较简单的啊，就是反过来考试简单的，但是他改编了，改编的就难度就大了，就说白了，他横乘内让我们求参数的范围。这道题就是怎么去分析呢？我们给大家讲解一下啊， 对任意的 m n 啊，他满足这么一个不等式横乘律。然后呢，我们就称这个函数为伽马函数，那么他说这个函数正好是伽马函数，求 a 的 系数范围。首先这道题我们先讲第一种方法， 先讲第一种方法的话，就是这道题，就是你得看出来啊，两边结构差不多是一样的，就说白了，我们得会构造函数。我们假设这辆是 m 加 n， 然后呢？再减去一个 f m， 没问题吧？然后大于 fn， 然后呢？减去什么呢？减去 f 零，为什么呢？大家可以看一下， f 零正好是零， 为什么我这么去写呢？都写成 f 减 f 的 形式，因为我们构造出来一个函数是这样的，你看，我令大 f x 就 应该等于个 f x 加 n， 我 把这个 m 改成 x 了，减去个 f x， 那 么我们这个左端这个函数，它整整好好是 x， 在 啊，就是多少 f x 是 吧？正好是 f x 啊，不是 f x f m， 对 吧？ f m 看到吗？大 f s， 它那正好 f m 等于它右端这个函数呢？它正好是大 f 零。 ok， 你 把零带进去，正好是后面那个式子，因为 f 零等于零吗？那又因为 m 是 随便一个正数啊，任意的一个正数，那所以 f s f m 大 于 f 零，说明什么？说明是不是相当于我们假设 这个地方是一条水平线，当然不是 x 轴啊，正好是假设是他所对应的这个函数 y 等于 f 零吧，对不对？我就不再疑箱了。那么他说 f m 永远大于零，那你说啊，零处的直径应该在哪呢？零就应该是在这， 零应该是在这，那 f m 是 任意的一个正数，它永远都大于零。大于 f 零，那是不是一开始得很正？如果一开始减了，它立刻错，它就不可能恒大于 f 零了，因为这条水平线就是 f 零嘛，听懂吗？也说这就是 y 的 一个 f 零， 那所以一开始增，那你说后面会不会减下来？我不知道。有可能减下来，再增上去，他有可能。对，但是呢，他一开始必须得增，那一开始必须增的话，那这道题就简单了，那就说明 f 倒零一定大于等于零，所以我们先求个倒， 先求个倒的话，是 f 倒 x， 再加上一个 n， 再减去个 f 倒 x， 所以 f 倒零就应该等于一个 f 倒 x， 他 应该是大于等零横乘以的。 好，没问题吧。那么 f 到 x 等于什么呢？我们可以求个 f 到啊，这写在这吧， f 到 x， 它正好等于个 x 加一分之一，再加上一个二 a x， 这没问题吧？所以 f 到 n， 我 们把它带进去，就应该等于个 n 加一分之一，再加上一个二 a n 再减去一个 f 到零，我们把零一带，正好是一。那说白了，它是答案呢， 它是大等的恒成立，你让我求 a 的 值，所以我想到了产变分离。那产变分离的话，就是二 a， n 就 大于等于一个一，减去一个 n 加一分之一，等于个 n 加一分之 n， 所以 二 a 就 大于等于一个 n 加一分之一， 那二 a 大 于等于一个 n 加一分之一，那就说明 n 是 随便一个正数嘛。啊，就相当于这里边 n 是 变量，它永远都小等于二 a， 说明它的最大值小等于二 a。 又因为这是关于 n 单调递增递减的一函数，所以它的最大值是 n 取零的时候， n 取零的时候就应该是一，所以我算出了 a 大 约等于二分之一。 那这个答案是大一点，二分之一吗？不一定，说白了，这道题就是一个大题的思路，对吧？为什么呢？因为啊，他有没有可能一开始增，后面减下来？那，那就错了，那也就说这个答案最起码缩小到 a 大 一点二分之一，那是不是这个答案还可以继续缩小？我们得验证一下， 就说白了，我们得证明一下 a 大 于二分之一，对不对啊？你证完之后你会发现它是对的。为什么呢？来，我给大家证明一下，也说我们证明一下，当 a 大 于等于二分之一的时候，它对不对？ 首先，当 a 大 于等于二分之一的时候，大家可以看一下这个导函数啊，加上一个二 a x， 它就应该大于等于一个 x， 加一分之一，再加上一个 x， 显然这个导函数是大于零的。好，大家入合一下， 没错吧？啊，因为 a 大 等于二分之一吗？这个导函数啊，刚才算这个答案最起码是他了啊，就说白了， a 小 于二分之一不可能。对啊，因为他最起码得满足 f 导零大于等于零，对吧？所以这个导函数单调大于零，所以 f x 就 应该是单调递增的，是吧？ 嗯，单调递增的 f 导都是大于零的哦， f 导是大于零的可不行，它推出原函数是递增的，就说白了，我得证明一下它到底对还是不对。这个 f 导 x 等于它，对吧？那我们怎么去想呢？ 也就说我们这道题看 f 倒大零不行，因为 f 倒大零决定了圆还是单调递增，所以我们这天放出参数不应该这样，不应该这样。我们啊，为什么呢？我得看一看倒倒， 我想看一看 f 倒的单调性。 f 倒单调性这个地方是减的，这个地方是增的，增加减我是不确定的，所以我再倒一次，再倒一次的话，你会发现它就完全确定了， 看到吗？再加上一个二 a， 由于 a 是 大于等于二分之一，所以二 a 这个数是大于等于一的数，而这个数显然是在 这个数啊，是在零到一之间的数，因为一出一个大一的数，小一前面是负号，所以这个导导这个函数显然是大于零的，所以我们能够推出导函数是单调递增的， 所以我就证明 a 大 等于二分之一的时候，这个导还是都单调递增，所以大家可以看 f 导等于什么， f 导他就应该等于个 x 加他减去个 f 撇二，就这句话啊，就这句话，又因为啊， f 导是单调递增的，这个数显得比这个数要大，所以我们就能够推出 f 导是大零的来。 听明白了， f 导一定是大零的， f 导大零的话，所以 f x 就 应该在零到正无穷上横增， 对不对啊？所以 f m 就 应该大于 f 零，听懂吗？而 f m 呢？整整好好，就是我们刚才说的 f m 加 n， 再减去一个 f m， 而 f 零永远 肯定是 f n 减去 f 零， f 零是零。所以我们证明出当 a 大 于等于二分之一，它是成立的。所以这道题的答案就是二分之一到无穷 短点音的话，需要证明。就说白了，一开始导数得 a 等于，算出来 a 等于二分之一，就 a 小 于二分之一一定不对了，你又证明了 a 等于二分之一是对的，那么这道题不就懂完了吗？ 明白了，所以这道题是全空卷特别喜欢考的短点音的法。当然另外一个思路，你证明 a 小 于二分之一，不对，也可以稍微麻烦一点，稍微麻烦一点啊， ok， 这是第一种画法。来，我们再给大家讲一讲第二种画法。 第二种方法你还能想到不？总体来说，这道题怎么做都是一道难题。他说这个函数是一个伽马函数， 伽马函数它满足这么一个式子，这个式子横成立的，所以我们把它带进去，也就是说 f 捞 n， m 加 n， 再加上一个一，再加上一个 a 倍的 m 加 n 的 平方，然后大于。 因为我对这个式子我没有想到去构造这么一个函数，很多同学确实没有想到，那他想到了什么呢？最起码得带进去化简一下呗。那么 f m 等于什么呢？ f m 他 就应该等一个 m 再加一，再加上一个 a 倍的 啊 m 方，然后呢？再加上一个 f n line 一 加 n， 再加上一个 a 倍的 n 方。又因为见到了 line 加 line， 我 们很明显把它成在一起，所以两边约掉了一个 line， m 加 n， 再加一， 然后呢，再加上一个二 a 倍的 m n 正好 a， m 方和它约掉了， a， n 方和它约掉了，它就大于。什么呢？大于后面相乘， m n 再有个 m， 再有个 n， 再有个加一，就说白了，它俩可以啊，绕以相加里边相乘。 那么我们看到这个式子，我们想到了什么呢？你会发现它俩括号里边 x 相减，正好是 m n， 所以我就想到了拉格朗中定律，来看一看啊，我们一个象拉格朗中定律就是 m 加 n， 再加 m， n 再加一，再减去 line m 再加 n， 再减加一。然后呢，底面我们把它想成 m n 减零， m n 减零，把它移过去了，它不就是 m a 吗？所以这个东西是小于二 a 的， 而这个地方大家想一想，是不是相当是 d r x， 他就相当于一个啊，拉格朗中定律的形式，当然很多人说什么叫拉格朗中定律，我们给大家讲解一下，如果你学过的话，你可以复习一下，如果没学过的话，就放弃了就可以了。拉格朗日是个人名数学家中执定律，这是考研必考的啊， 特别好理解，他说如果 f x 在 这个 b 区间上是连续的，当然我们高中的函数是没有问题的啊，在开区间内可导，当然我们高中不研究可导不可导，就是你可以默认我们常见的还是都是可导的。在开区间内是可导的 啊，则至少存在一点可赛，至少存在一个可赛，属于 ab， 使得 f b 减去一个 fa， 比上一个 b 减 a， 然后呢？等一个 f 倒可赛，这叫拉格朗中定力，这个中定力非常的好理解，为什么呢？我们随便一画一下，你看，比如 随便一画的，假设这个地方是 a f a， 这量是 b f b， 那 你左端这个四值的意义是什么？左端这个四值的意义是不是相当于它是一个割线的斜率，到时候 y 比到 x， 那割线的斜率，它至少存在一点，使得这个区属于这个区间啊。 f 导可赛，它的意义是切线的斜率，你看切线的斜率等于割线的斜率，成立不？当然是成立的， 所以它永远都对。明白了，这叫拉高老钟定律，所以大家可以看一下这个地方是不是相当于 f f 一个东西。我们假设是 f x 二减去 f x 一， 它是不是比上一个 x 比上一个 x 二减 x 一， 它小，这个数 听懂吗？那所以我们可以啊，所以我们就至少啊，至少存在 啊，至少存在一个可赛，属于什么呢？属于我们。假设就是 m 加 n 再加一，到 m 加 n 再加 m n 再加一， 听懂了吗？上面是 delta y， 下面是 delta x， 相当于这辆是 b， 这辆是 a， 这辆是 b 减 a， 没错吧？ ok， 所以 我们使得这个 f 可赛，那 f 可赛，这个 f 是 谁？这个 f 不是 line 吗？ line？ 那 line 求导， line x 求导。我给你写详细一点，它就应该那个 x 分 之一，那所以它就应该是可赛分之一，它是小于二 a 的。 明白了，可赛分之一是小于二 a 的， 那可赛分之一是小于二 a 的， 那由于可赛呢？它是介于随便两个，这 m a 是 随便的吧？随便的。所以是不是这个数最小？最小是一到一到多少， 听懂吗？随便的吗？所以呢？它这个地方是变量，可赛是变量，可赛是变量的话，它永远都小于二 a， 那 你想想，它最大值就应该是小于二 a， 那 你想想它最大值是几呢？它最大值显然是无限接近一的时候， m 加 n， 无限靠近零，靠近零的时候，这辆是一，其他的都比一大，都比一大的话，那这个数就小一了，所以它的最大值就无限接近一，那接近一的话，就二 a 大 于一，那我们在想二 a 能不能等于一呢？啊？能不能等于一呢？ 二 a 是 不是可以等于这个地方？说实话，说实话，嗯，也也可以，是吧？ 它是无限接近一，能理解，它是无限接近一， m n 是 任意的，所以这个 m n 无限接近于零的时候，它接近一，那这个数是小一的。如果我让二等于一，它是成立的， 它是成立的，所以二 a 要大一等一，听懂吗？如果它等于一，这个数是小一的，完全成立。因为可赛是比一大啊，比一大，所以最终我们算出来答案， a 大 一点，二分之一。好，这是一套非常经典的模拟考试题的压轴填空，通过这道题， 你学会了两种方法。第一个是端点验证法，你应该是非常熟练这种方法的，因为全国卷已经连续考了三年，我不敢保证二零二五年不考， 二零二二年考了新高考的新高考的二卷。最后一道题的第二问，二零二三年考了，二零二三年是假卷，最后一道题考了，二零二四年考了，二零二四年有两套试卷考， 所以这是绝对是超高频考点，需要研究一下。好，讲了两种方法，我不知道你学会了没有。这是今天给大家讲了一道难题，希望大家能够掌握，各位同学一定要继续努力，加油！拜拜！ 哎！哈喽，各位同学，大家好，我们今天每日题函数与导数啊，这一周的最后一道题，不要忘了周末的知识梳理，一定好好去看。 知识梳理更重要，比这六道题还要重要，因为知识梳理讲的方法高考一定能够用的到。我们给他讲了一道大题，讲了这道大题难度不大，原因就在于我认为高考咱也猜不透， 原因是就最后四十多天，你在做极难的导数大题，我觉得用处不太大了，因为你学会的同学应该学会了，没学会的同学你应该也学不会了。你应该把这个导数大概考前三个大题啊，或者前四个大题的这个难度，你能搞定他考最后一道大题难度的，这个难度的题我觉得你没必要研究了啊， 也就说越是临近高考，应该是越抓基础，越抓常规，这样的话才可以。所以给大家讲一道大概考第二题或者是第三题难度的题目， 那第二题、第三题、第四题答不到。来，我们看一看这道题。首先第一位这道题只要和三角函数结合在一起，如果这道题考第三题啊，考第三大题，你能不能搞得定第三大题啊？ 那么他说 a 等于二的时候，他让你判断这个函数在这个曲线上单调性。来，我们看一下 a 点二的时候，就应该是两倍的一 x 再减去一个二， x 再减去一个三倍的考生 x， 然后呢？再加上一个一， 然后呢？让我们判断它在这个区间上单调性。当然不含参，我直接求导就是了。求导我们导后，看这个导函数的时候，要么你看出它的正负来，要么哎，要么你看出它单调性来。大家可以看一下这个导函数能看出来什么？ 由于定域是在负的二分派到零上，负的二分派到零上，这个正弦函数啊，正弦函数的话啊，正弦函数显然是增的，这个函数显然是增的，也就说这个函数在零到负的二分派到零上，是单调递增的，增加增， 那他单调递增的话，说明他的最大值应该在零的时候取到，把零带进去，这是零，把零带进去，这是零， 那所以 f 导 x 一定是小于 f 导零，而 f 导零正好是零，所以 f x 在 这个区间上是单调递减的。好 easy， 不 太简单了吧？ ok， 在 这个区间单调递减。所以这道题就是考导函数的单调性，如果导函数单调性，你看不出来它这个超越的，那怎么办呢？再导呗，导后求导呗。 ok， 这第一问非常的简单，来，我们再看第二问， 第二问的话，第二问的话，他说导函数在这个区间上存在极值，求 a 的 取值范围。哎，这道题存在极值是啥意思呢？你得先思考一下。极值是什么意思啊？极值什么意思？我帮你求个导。你不要写 f 导，直接写 g x， g x 等于 f 导 a 就 不等于二了。那也就说 a 倍的 ex 再减去一个二，然后再加上一个三倍的 x， 他 说这个函数在这个区间上存在基值，那就说明导函数在这个区间上存在编号零点， 对吧？那导函数存在编号零点，我们求个导喽，求个导的话，就应该是 a 倍的 e x， 再减去三倍的考甚 x 啊，加甚，求到是考甚。所以这个函数在这个区间上存在编号零点，那怎么整呢？ 在这个区间上存在编号零点，是不是相当于我能拆面分离？那我就尽可能拆面分离呗。是不是相当于啊？就是等于零？有啊，或者说不要写等于零，就这个函数，导函数在 在什么呢？在零到二分之派上有编号零点。好，体会一下。有编号零点， 那有编号零点，那我们怎么去做呢？如果求倒的话，我需要讨论参数，所以它就相当于一个项 负三倍的考剩 x 比上一个 e x， 就 说白了，这个函数与外等 a 有 交点，这个交点不能在端点上啊，对，穿越的交点啊，所以我们就令这个函数为 h x 求个倒呗。 s x 的 话，我们求出这个函数的单调性来，那所以它就是负三倍的考 c， 然后我们求个小岛的话，就应该底边平方，底边平方，上面求岛，上面求岛。显然是三倍的 c 上面求岛，底边不变，减去一个上面不变， 底边求岛，没错吧，所以 e s 都约掉了，你慢慢求啊， e s 都约掉一个，所以还剩一个。 又因为这个这个函数呢？它的定域是啊，那我们求错吧，上面求导考卷求导是负的，减去上面不变，底边求导上面不变，那减负的，那又因为 x 属于零的二分之派，任何考卷都是大零的，所以这里是 so easy 吧。 就大零的啊，估计第二道大题目前来说考不到第三个大题啊，那导数是大零的，那所以 h x 在 在什么呢？在零到二分之 pi 上单调递增，所以 h x 的 值域就出来了， 他在零的时候取最小值，我们把零带一的零，平方是一，考成零是一负三，所以呢，他的最大值在二分之 pi 的 时候取到，当然是零， 答案是零，所以这个函数的值域就是这样的，负三到零，所以外等 a 要要想与他有穿越的交点，那所以 a 最起码得大于负三，然后小于零就可以了，不能取倒等于零啊。这道题你只要选择到了，选择到了啊，听懂了吗？你只要选择啊，参面分离了，那这道题就是非常非常简单的一道题目。好吧，非常的简单，我们看第三位， 那第三位我们怎么去做呢？他说 a 大 于二的时候，证明这个函数大于等于零。这是我们全用卷特别喜欢考的。 还是那句话， a 大 于二，你不能把 a 当做参数，是不是我们就可以放出参数了，把它放缩掉。你看啊，那么 a 倍的 e x 减去一个二 x， 然后再减去三倍的考生 x， 然后再加上一个一。 由于 a 是 大于等于二的，所以他就大于等于两倍的 e x， 然后再减去个二 x， 再减去三倍的考生 x， 再加上一个一，好，没问题吧？ a 打等二，这样的话，我就把参数放除掉了。那把参数放除掉的话，是不是相当于，我只要证明他大于等于就可以了？ 那他大等零？我一看这个式子，我就哈哈小笑，我就非常敏感，这个数是不得大一等二，他大等二，再加一，是不得大等三，大等三，减去三倍的考生显然是大等零的。所以这道题高考确实是第二题的难度。高考第二题的难度，你能不能搞得定 啊？说过了，导出大题，我们讲难题啊，第二大题的难度。所以我们在草稿纸上再不成再草纸了，在试卷上证明出这个函数了，也说 e x， 嗯，减去一个 x 吧 啊， e x 减去 x， 我 们求它的，令它为它。我们求个导，就是切线往缩嘛， e x 减个一， e x 减个一，所以它的零点单调递增，就应该是 s 点零的时候，这呢是负导 对不对？所以 far x 在 负无穷到零上，因为它的定域没有限制单调递减，零到正无穷上，单调递增，所以 far x 就 应该大于等于一个 far 零，而零带进去之后是一， 那这就说明前面这个函数它就应该是大于等于两倍的一，这大等二，再加一，再减去三倍的考剩，所以这个函数应该大于等于零，明白就走完了。所以这就是我们今天给大家讲的 整个大体。好，再次强调，我们今天给大家，我们这一周给他选的这些题目，我认为没有极难的题，除了这个第五题，第五题可能相对来说稍微难一点，其他的题都是相对来说比较常规的，因为函数的考法太多太多， 你要想了解更多的函数知识，你应该把我的函数的知识梳理课搞明白，因为知识梳理函数，我们应该讲了讲了两节课吧， 讲了啊，讲得讲了两节课，讲的超级超级详细，对吧？如果我们靠每日一题选这么几道题目，我们只是选的，我认为是非常重要的，就是想给你游说游学 啊，就是让你去干什么事，比如看回归教材啊，比如让你掌握最基本的什么锻炼验证法呀等等。所以呢，我希望各位同学把这些题搞定之余，周日的时候，明天一定要把字梳理好，去研究它更重要。好吧，我们今天就讲那么多，拜拜，辛苦 哎。哈喽，各位同学，大家好啊，梦想典当铺第二周，我们这一周主要是给大家讲的是三角函数解三角形 啊，这一个模块相对来说性价比还是比较高的，考生多相对来说是比较容易。所以呢，啊，大家好好的把知识梳理，好好的复习一遍，我们每年高考呢，他都会有一道题考公式啊，但是呢，考哪个公式我也猜不透 啊，我们大概给他总结了，应该是十一类公式吧，所以你把知识书里边的各种公式给倒背如流，我估计问题不太大。所以我们今天给大家选的这道题目，大家可以看用到什么方法了 啊？首先，我们每年高考，他肯定会考诱导公式，但是诱导公式他不会直接命题，都是题中题对吧？点中点对吧？你看，这里有二分派诱导公式这里有二分派诱导公式，这里有二分派诱导公式。所以第一步呢，我们先搞一个诱导公式。诱导公式的话，这个地方是函数名变， 函数名变的话，先写成甚二二法符号开向线，我们把这个角写成锐角，锐角加九十度。第二项线，考生是负的，所以诱导公式肯定会考，所以它是负的。 然后右边的话，它分支函数名是变的，所以先写个甚贝塔符号，看阳线，我们把贝塔想成锐角九十度减，锐角是第一项线，所以才是正的。这个地方呢，函数名是变的，是考甚贝塔符号呢，也是正的。因为我们把贝塔想成锐角九十度加锐角是第二项线，甚是正的， 所以我们就得到这么一个关系式。当然，我们看到这个关系式，也不知道他下步想怎么去做，看一看他让我求的式子，他让我求的式子是五减，五减，考生方比上一个贪人贝塔，大家可以看，这不就是贪人贝塔吗？ 这不就是贪人的贝塔吗？这个地方是贪人贝塔，又因为钱越多越好，未知数越少越好，所以这道题应该是比较简单吧，所以我们把这个贪人贝塔给换掉，五减去考生方，比上贪人贝塔就是负两倍的申阿尔法。 明白了，那负两倍的肾阿尔法下一步怎么去做呢？可能很多同学做的就不对了啊，他降密了，降完密变成考肾阿尔法，然后呢？想成斜率，这样做就非常麻烦了，对不对？那这时候怎么办？显然我们换成筒角，换成筒角的话，我们不降密，我们来一个二倍角，分不上来一个二倍角， 分母上来一个二倍角的话，我们把符号提到前面去，上底面就是两倍的乘二法，考乘二法，而上现在是二次的四个地方是二次的这个五，显然五可以换成二次的，就是五倍的考乘方加五倍的乘方。所以这道题考其实是呀， 对不对？五倍的甚方，再加上一个五倍的考甚方，五倍的考甚方，减一倍的就是四倍的考甚方， ok 不？ 所以我们啊，把这个符号放在最前面除开，那就相当于它是一个二分之五倍的贪认他二法， 再加上一个四，除以二是二，然后把考生方除下来的话，是贪认他二法。明白了，不就相当于他除他， 加上一个他除他，他除他的话，显然是分子，是二分母的话，是贪心的二法，这个应该是问题不大的。又因为二法是第一象限，那第一象限的话，那说明这个贪心他二法是正的，所以来一个均值不等式，他大于等于两倍的根号下五， 因为他俩相乘正好是嗯二和二，约掉了两倍的根号下五。又因为前面有个符号，所以小于等于负两倍的根号下五。 明白，那这时候需要注意，当前紧当一定能取到吗？答案是肯定的，原因是贪心二法在领导二分派上，他的范围是领导中穷，所以他一定能够取到。写上一下当前紧当， 当前紧当啊，二分之五贪任二法等于个二，比上一个贪任二法，所以贪任肯定能取到了呗。不算了吧， 他认他二发方，他就应该等于多少，五分之四就相当于五分之二，跟五没有问题，所以这道题选 c。 好， 那么我们把这道题讲的更加的复杂一点，这是第一种方法，也算是比较简单的方法。那第二种方法，我们刚才说了，有很多同学在做这一步的时候啊，在做这一步的时候可能 想的啊，就有点不太一样了，如果你不这样想，难度就有点大，所以这时候呢，我们可以把它什么呢？ 呃，我们可以只算他的相反数，我们这个符号就不要了。好吧，算这个的范围，看他的最小值是不是二根五来。那这个地方我们怎么去算呢？啊？很多同学真是真是这么去想的，来我们看一看。首先我们这个地方很多同学想到了降密 啊，降密公式计算量就稍微大一点了，那降密公式的话，就应该是五减去一个二分之一，括号一加考甚二二法。 明白了，再比上一个肾二二法，换成同角吗？所以呢，他这个地方就应该是二分之十，减去二分之一，那就是二分之九，对不对？二分之九再减去一个二分之一考肾二二法，然后比上一个肾二二法。 ok， 那 到下一步我怎么求他的最小值呢？我怎么求他最小值呢？下一步。那么我们这时候是不是我们可以用 啊？很多同学说，我们是不是可以想斜率啊？斜率当然是没有问题的，我们还可以想什么呢？我们可以想辅助角公式。 怎么叫想辅助角公式呢？大家想一想，我分子能不能把它变成肾，也就是说几倍的肾，二法 甚二二法，对不对？再加上一个二分之一倍的考甚二二法，明白了不？那么这个时候他最大值，那这两句应该是最小值，因为我们没写符号，我们把符号放在前面了。他大一等于几，是不是相当于他小一点几？他小一点几呢？他小一点二分之九， 听明白什么意思吗？他小等于二分之九的话，那你说这个二分之九是谁？是不是根号下 a 方加比方？也就是说我们假设前面这个系数是一个 a 方，根号下 a 方再加上一个 b 方，就应该等于一个二分之九， 那所以 a 方就应该等于一个四分之九。九八十一，九九八十一，减去四分之一，八十等于个二十，所以 a 方就应该等于二十，这个量就应该是二根五， 所以这个地方就应该是二根五。知道这个二根五怎么来的不？再说一遍，再说一遍啊？再说一遍，来来来，这个二根五我是通过这个二分之九凑辅助角公式凑出来的，所以二根五。我们提一个根号下 a 方加 b 方，就是 a 方是二十加 b 方是四分之一，所以算出来之后就应该是二分之九。 二分之九的话，辅助角公式就应该等于二二法，再加上一个范啊，不是头角，那所以这个数一定是小点二分之九的， 因为最大值就是前面这个虚数吗？所以这种情况也可以用辅助角来做。那所以他小点二分九的话，那这就说明二分之九减去这个考甚的话，就应该大一等于大一等于 二分之九减去考甚的话，就应该是大一等于二根五乘一个甚阿尔法， ok， 又因为甚阿尔法可以约掉，所以他的最小值是二根五， 他的最小值是二根五的话，那原来最大值就应该是负的二根五，因为我们刚才算的时候没有算这个符号，没有算这个符号。明白了，那这地方能不能取得到呢？这个最大值，答案是肯定的，原因是这个二法是锐角， 这个二法是锐角的话，二二法就应该是大零小于派，所以零到九十度之间都能取得到，所以这个数一定能取到九十度，所以这个答案是负的二根五。我不知道你学会了没有，讲了两种方法。 好，你再好好的体会啊，就是角度不一样。总体来说，这是一道相对来说比较简单的题，你一定要思考我这个二根五是怎么算出来的啊？得是慢慢算出来啊。好，这就是我们今天给大家讲的第一道题， 三角函数必考一个公式，这个公式大概是从十几类公式当中选一个，所以我希望各位同学不要堵，一定要好好去准备好，我们今天就讲的多，明天再见。 哎！哈喽，各位同学，大家好，三角函数每年必考一道公式题，这是我们昨天讲的，这是我们昨天讲的啊，然后三角函数呢，也会必考一道图像题，基本上每年都是这样， 那这个图像考什么呢？我觉得这道题考的贼好，这道题绝了，如果我是高考命题人，我就考它。为什么呢？因为高考并不代表一定创新，就一定考我们课本上最基本的东西。 但是呢，哎，你也可能还不一定能做的出来。为什么我给他说这道题好呢？我们一块读一读，比如 y m 与 y 乘 x， 你 肯定很熟悉哦， y 乘 x， 你 肯定很六哦， y 乘 x， 你 肯定太明白了，它与这三个图像在零到二分之差点的横坐标分别为 x 一、 x 二、 x 三，而且满足这个式子求 m 的 值。 说实话，这道题把我们课本上的公式和课本上图像融完全融合在一起了，你看他考了什么知识点？读完这道题，我们不管三七二十九，我们立刻想到了什么呢？画图像。因为他说的很明白啊，与这三个函数的图像交点是他，所以画图像的时候我画的大一点啊。 因为画图像的时候，我们就应该知道了，贪认他，他在零到九十度是单调递增的，而且他的图像在原点处的切线是 y x， 也就说他的图像永远都在外点 cs 上方，这是贪认的 x。 那么肾 x 是 什么样的？在零到九十度之间。零到九十度，肾 x 是 这个样子的啊，我们只画零到九十度之间啊，也说这个量是 y 点 x， 这是刚好必须知道的结论。那么他们在原点处的期限都与 y 点 x 相切，那这就说明，在零到九十度之间贪念他永远比肾要大。 ok， 这个量是九十度， 那考肾是多少呢？考肾最高点显然是一了，所以考肾的图像大概就是这个样子的。明白了，那肾和考肾在第一项线，他们的焦点是多少呢？他们的焦点显然是四分之派，因为考肾四十五度等于肾四十五度， 那所以一条水平线 y 等于 m， y 等于 m， 画在哪呢？我就假设画在这了，当你画在上面也是可以的。这个地方是 y 等于 m， 他 们说的是一辆审题，他说这个地方与 y 等于肾。考肾贪念，他的焦点一次为人都说一次了， 那这说明与甚？ s 焦点是 x 一， 那这就是说明这个地方是 x 一， 与考生的焦点是 x 二。哎，与贪念的焦点是 x 三，其他的数你别写反了。所以主读读题要深一点啊。 那现在这个题，他又告诉我，甚 x 一 加 x 二加两倍的 x 三点二分之一，求 m 的 值。那所以我就得挖掘这里边的隐藏信息了，这里边图我都很熟悉，什么隐藏信息你想过没有？甚 x 和考生 x， 他 在第一项线是关于四分之八对称的，你还画图像就能画出来了， 哈哈。也就是说，如果你能够看出啊，他关于四分之八对称，那么 x 一 加 x 二相加除以二对称 终点坐标公式，它就应该等于个四分之派，也就是说， x 一 加 x 二就应该等于个二分之派。好，能想到这个性质不？再说一遍，在零到二分之派之间， c s 图像和考 c s 图像，它们是关于四分之派对称的 啊，那为什么呢？其实证明很简单啊，你比如我给大家简单证明一下，我们假设 f x 等于一个甚 x 啊，没错吧？ f x 等于甚 x 啊， f x 等于甚 x， 那 么啊，他们的呃，我把它写成考生的形式，大家可以看一下是多少，是不是就用了一个考生？ 呃，他说什么呢？他等于考甚 x 一 是吧？甚 x 和考甚 x， 他 关于他对称。那大家再想一想，考甚 x 我 可以写成什么啊？我们再看一下，考甚 x， 考甚 x， 是 不是我可以把它写成甚二分之派，然后再减去 x， 能听懂我的意思吧？所以，所以我把考甚 x 是 不是可以写成 f 二分之派减 x。 听明白了，这是 c x， 这是考察 x。 那 大家可以看一下这个解式，它满足什么呢？它满足 f x 就 诱导公式吗？等于 f 二分之派减 x， x 相反， y 相同，那对牛是相加除以二，当然四分之派了，当然四分之派，明白了不？所以我们就能够得到。其实画图像你还能看出来他们的 啊，他们这个焦点，关于这个焦点，对肾，明白了。再说一遍，我们假设 f x 等于肾 x， 那 么考肾 x 就 应该是肾二分之派减 x， 当然这个考肾 x 就是 f 二分之派减 x， 所以 f x 等于它 x 相反， y 相同，这就是对肾轴，对肾轴就是相加除以二四分之派。 那么我们继续看，其实这道题还有更好的地方。那你再往后看，你看他考的什么 x 一 加 x 等于二分之派。那么我们继续看，其实这道题还有更好的地方。那你再往后看，他考的这个式子就应该是两倍的啊，就是二分之派 二分派，再加上一个二倍的 x 三等于个二分之一，它等于二分之一的话，我们立刻想到了诱导公式，那就相当于考生两倍的 x 三等于个二分之一。当然，很多同学说，是不是我可以 特殊角，那我们不用，万一他不是特殊角呢？万一这点是三分之一呢？这道题照样照样可以做。听明白了，我们不怕他想的特殊角啊，我们写的更一般一点啊。那么这时候大家再思考一下，他们在一条水平线上，你让我求 m 的 值，是不是相当于这个焦点？是与贪婪的焦点。 也就是说，当 x 等于 x 三的时候，贪婪的 x 三就应该等于 m， 你 不知道求 m 的 值吗？贪婪的 x 三就应该等于 m， 所以贪婪的 x 三。那你说我怎么把它转换贪婪他呢？是不是考万能公式？如果没有背过万能公式的话，是不是考七十四就可以证明出来？也就说，考甚二 x 三就应该是考甚方 x 三，再减去个甚方， x 三等于个二分之一。我比上一个一一是考甚方加甚方， 考甚方加甚方，能明白了不？那就应该等于二分之一。然后呢，来一个七十四分母分，母同除以考甚方，同除以考甚方的话，那就相当于一减去 tan x 三的平方，一加上一个 tan x 三的平方。所以呢， tan 的 方就是一减 m 方，比上一个一加 m 方，它就应该等于个二分之一。 好，当然，我写的这一步就是万能公式，他直接倒塌，如果背过万能公式，直接背，没有背过，我给你推导了一遍啊，所有公式都要会推导就可以了。所以这道题考的绝绝， 那一顿狂算，那就算出来了呗。那就相当于一，加上一个 m 方就应该等于个二，再减去个二 m 方，所以 m 方就应该等于一，所以 m 等于三分之三。 m 显然是正数，所以这道题选 c 密码。还记得二零不是还记得二零二年，二零零二年的第一场雪吗？啊，还记得二零二四年新高考一卷第六题吧， 考的那个三角函数的图像， y 等于什么？两倍的 sin， 什么加六分之 pi， 三 x 加六分之 pi， 课本上的就是画那个图像有几个焦点，所以你看这道题也是都是最简单的函数图像， 你看看能不能挖掘出这里边的银行信息来。好吧，好，这就是我们给大家给大家讲的三角函数的图像必考一道题，希望大家好好的去研究一下，把我们课本上把我们三角函数当中最重要的概念都学明白，我们今天就讲不多，希望讲这个内容对大家有所帮助，拜拜 哎。哈喽，各位同学大家好，每日一题，第二周第三题给大家讲的是三角函数图像。三角函数图像其实重中之重就是正弦函数图像，去年高考就考到了正弦函数的图像，嗯，很多同学是画不出来的，所以通过这道题，大家再次复习一下。好吧， 他说这个函数呢，图像在这个区间上，尤其仅有两个对称轴。下列说法正确的是 a 选项是比较简单的。这道题是一个很麻烦的题啊， a、 b、 c、 d 都得做老长时间，但是这道题实际上还是思维量上比较小，它就是一个基础，但是呢，它比较麻烦，任何一个选项它都可以做一道考题，好来我们一块分享一下啊。 首先 a 选项是我们考试的重中之重，它在这个区间上尤其仅有两个对数，是不是我们往往都是整体代换，因为画这个图像还是比较麻烦的，因为你知道我们一个不确定吗？ 所以我们把它整体代换之后， y 等于一个甚右，也说我们求出甚右来，然后呢？右属于多少呢？我们把零带进去，那就应该是六分之派，然后呢，我们把二分之派带进去， omega 乘以二分之派，然后再加上一个六分之派， ok， 这样的话，这个区间你会发现一开始这个六分派是确定的，所以我们把这个区间给画出来，大家可以看一下，他在这个区间上要想有两个对称轴，正弦函数，这就为什么我们正体代换，因为正弦函数要太好画了，我们直接就能画出来了， 所以他的图像就应该是这个样子的。他要想六分之派，在这个地方，他要想有两个顿线轴，那这两个顿轴一定是一个是这个顿轴，还有是这个顿轴，但是呢，他不能包含这个顿轴，对吧？这个顿轴是不能包括的，所以这个刻度是多少呢？这个刻度是二分之派 啊，这个刻度呢是二分之三派，然后这个刻度呢是二分之五派，所以这个数，这个数啊，他就应该是在他的之间，当然不能等于这个数，因为等于的话是开区间，他就不能包含两个对角的，可以等于这个数。 所以第一个选项是非常简单的，也就说 omega 乘以二分之派，再加上一个六分之派，他应该是大于二分之三派，然后呢？小于等于二分之五派， 小于等于二分之五拍，没问题吧？他等于二分之五拍的时候不可以的啊，等于二分之五拍的时候，他显然是啊啊，他等于二分之五拍是可以的，想明白哪个地方去等哪地方取不到等等，他不行，因为他是个开局线，等他的话只有一个蹲一周， 所以我们一顿狂算，然后说， omega 就 应该大于二分之三，再减去六分之一，再乘以二，那就相当于就是六分之九，六分之九减一，六分之八乘以二的话是三分之八，所以他应该是大于三分之八的，所以这个选项是错误的 啊，不可能大于四啊。那小一等于多少呢？我们也能够算的出来，小等于二分之五，再减去六分之一，再乘以二，那就相当于这是十二分之五六三十，再减去一个二，十二分之二十八，约个四，约个四是三，约个四是七，再乘以二， 三分之十四，小一点三分之十四啊，这个数应该是对的。 ok， 好， 这是第一问，非常的简单。第二问，他说这个区间啊，这个函数图像呢，关于十八分之五派对称，而问这个区间在这个区间上单调递增，对不对？当然这道题是非常简单的啊，没有无缘无故的。第一问， 他说这个关于这个点对称，那函数的正弦型函数的对称中心是 omega， 乘以 x， 就是 十八分之五派，对不对？然后呢，再加上一个六分之派，那正弦的对称中心就应该是 k 派， 所以我们就能够算出 omega 就 应该等于多少呢？负的六分之一乘以五分之十八，再加上一个什么呢？五分之十八 k， 五分之十八个 k 没问题吧？所以这个答案就是，负的五分之三，再加上一个五分之十八个 k， 又因为 k 的 范围在这个范围内，因为这是整个的提杆的小点，没有无缘无故的疑问，所以我们就开始负值。首先，我们令 k 等于零，显然不可能在这个范围内。令 k 等于一的话，是五分之 十八减三，那就十五等于三，三的话，二点多，四点多没问题。所以当 k 等于一的时候， omega 等于三， 所以这道题 omega 是 能求出来的，麻烦，但是很简单吧，哎， omega 等于三的话，那么这个函数就变成了肾三 x 再加上一个六分之派，那加上一个六分之派的话，他要问在这个区间上是不是单着递增的，是不是我们还是整体代换把它想成肾右， 你就看一看他落到甚右的一个正区间上吧。右等于个三 x， 再加上一个六分之派， ok， 没有问题，把零带进去，他就应该是六分之派。然后呢，你把这个九分之派带去，就九分之三，对吧？九分之三的话是三分之派，三分之派加六分之派是二分之派， 没错吧？整体代换甚右，我们把它想成甚右，在六分之派到二分之派上，显然是单调递增的，因为甚右的图像 他和 cs 的 图案是一样的，所以他在零到九十度之间大概是这个样子的。所以啊，所以六分之派在这，二分之派在这，所以他单调递增没有任何问题。 b 选项非常的正确， ok， 来，我们再看 c 选项， c 选项是一毛一样的道理，一毛一样道理啊，就是完全一样的 整体代换一下就可以了。来我们看一下 c 啊，那么 c 选项我们应该怎么去做呢？也是一样的道理，首先它在这个区间上最小值不可能为二分之一，就说白了求它最小值就是了。 那最小值，那这道题考的是整体代换，就是复合函数的值域问题，我们把它想成一个甚又，那么又就应该 omega x 再加上一个六分之派， ok， 所以 我们把零一代就应该是六分之派，我们把 这个四分之派一代就是 omega 乘以四分之派，再加上一个六分之派，所以这个区间是一个动的区间， 那他是一个动的区间的话，我们就应该看一看他的最小值啊，确实大概在什么范围内变化的，看最小值他能不能取到二分之一。 ok， 来，我们画出图像来， 那画出图像来之后，我们首先得把这个范围给搞出来，又因为没有无缘无故的第一位，又因为欧米伽的范围，他是在这个范围内变化的，所以最后这个数他应该在什么范围内呢？我们把三分之八的带进去， 那就相当于三分之八乘以四分之一，那就相当于他是三分之二。三分之二再加六分之一，那就应该是六分之五。一百五十度开取键，他取不到， 哎，六分之五派。然后呢，我们把三分之十四带进去，就是三分之十四乘一个四分之一，麻烦吧？再加上一个六分之一，当然都有派，约个二，约个二十七，六分之七，再加上六分之一等于个六分之八，六分之八的话，三分之四派了， 那六分之五派就应该是在一百五十度，他是取不到的，三分之派的话，应该是派加三分之派，他是能取到的，所以他取这么一段， 他取这么一段的话，那这就说明最小值。如果是一百五十度六分之五派的话，最小值正好等于二分之一，但是他是个开区间，取不到，取不到，这点是个开区间了，因为这个数是取不到的，所以他的最小值。啊，明白了，因为他单周递减啊，六分之派在这， 也就说这个区间，他取了这么一段，或者是这么一段。听明白了，所以最小值二分之一是取不到的，二分之一是取不到的，对吧？啊？二分之一是这个函数的最小值，是取不到二分之一的。听明白，他的最小值是个值域， 他的最小值是个值域啊，就说白了，从这个范围内到这个范围内变化，所以他的最小值可以取到负的二分之一，所以不可能为二分之一，他是正确的，应该没有问题。 好， d 选项更麻烦， d 选项更麻烦。首先它的图像关于三分之派对称，懂吗？当然，我读完这句话之后和这个条件是一样的，它关于三分之派对称之后，我就应该求出我们一个值来。也说这个题它就考的正弦函数图像的画法啊，没有任何区别，因为这里边没有字母。 好，关于三分之派对称，我们把它带进去，就是 omega 乘以三分之派，再加上一个六分之派。啊，对称轴就应该是二分之派加上一个 k 派，所以我们就能求出 omega 等于多少呢？二分之派减去六分之派是三分之派， 三分之派除以三分之派就应该是一一加上一个三 k， 又因为它在那个低位的那个范围内，低位的范围内就是三分之八到三分之十四，所以当 k 等于零的时候不行，当 k 点一的时候，四四在这个范围内三四十二嘛 啊，它是四点多，所以只能取四啊，所以 omega 就 应该等于四啊， k 点一的时候只有 k 点一的时候，在低位算出来的 omega 的 范围内， 那 k 等于四的话，那么他说 g x 啊，有是他有基数个零点，那么当然我们不能画这个函数图像了，所以 g x 有 基数个零点，这基数个零点就应该是 f s， 绝对值就应该是 c， 多少呢？四 x 再加上一个六分之 pi 的 绝对值等于一个负的二分之 b 的 时候 等于负的二分之 b。 所以 这道题画的是这个函数图像，它们应该有基础和焦点，而且这基础和焦点的和应该是三分之二十五 pi 这个和应该是 x 一 加 x 二， x 二加 x 三， x 三加 x 四，中间呢是加了两倍， 所以这道题我们就画图像就是喽。那要画图像的话，我们应该先画出甚四分之四 x 加六分之派，然后呢再下把下边的翻折下来，那么这个图像去年高考就考到了，那这个图像就应该是甚四 x， 哎，记函数 往左平移了多少单位呢？应该我们画的图像就应该是甚四 x， 显然是左加右减往左平移了二十四分之派克单位，因为乘以四正好是六分之派，二十四分之派克单位之后，所以它的图像就应该是大概是这个样子的。 明白了，我画相对值大一点，又因为他加绝对值了，加绝对值就应该是翻折上去嘛，所以他的图像就应该是这样画法，他的图像就应该是这样画法，明白了吗？哎，我们画多少不清楚，我们先画出来。哎，他的图像就应该是这样画法， 明白了不？哎，明白了吧？啊？ ok， 那 这道题画的这么多，我们看看，够了，不够了，不够啊。首先这个地方是负的二十四分之派个单位， 现在呢？现在呢？人家让我们求他在零到二十四分之五派，二十四分之二十五派上，所以当然包括这个点， 当 x 等于零的时候，外显的是二分之一。所以这道题难点是什么呢？这个刻度不太好标这个数，有点不巧，对不对？那么这个函数的周期是二派比上欧米哥，二派比上欧米哥，就应该是二分之派。 那么这是原来绝对值里边的周期加绝对值，周期变成半，变成减半，所以我们啊，整个的周期就应该是原来周期的一半。我们这样写啊，就是二分之一个题， 二分之一个 t， 然后这个量乘个二分之一，这量再乘个二分之一，那所以这个函数的周期就应该是四分之派。 周期是四分之派的话，四分之派是二十四分之几呢？二十四分之六没错吧？所以这个数显然是二十四分之五个派 会算了吧。哎，因为周期是二十四分之六，所以再加二十四分之六，就是二十四分之十一个派，再加六，二十四分之十七个派，再加六，二十四分之二十三个派，没错，不啊，没错不啊。然后啊，我们不停的加六， 对吧？加六是十一，加六是十七，加六是二十三，二十三的话，是不是相当于二十四分之二十五，再再加六，那，那很明显 大概是在这了，对不对？这是二十四分之二十三，再加多少呢？再加，这样不能加六了，显得加六远远超了再加三，是不是啊？二十四分之二十六排， 哎，二十四这个最高点再加三，因为这是周期的一半，从这到这，所以标刻度。那二十四分之五在什么地方呢？二十四分之五，那我们就得想一想，大概是在中间呗，中间我们把二十四分之五带进去，就是四乘以二十四分之五，等于个六分之五派， 对不对啊？二十四分之二十五，四乘以二十四分之二十五，好麻烦。等于个六分之二十五，六分之二十五，再加六分之一，等于六分之二十六，等于个三分之十三，四派再加三分之派。 四派正弦取正弦，可以不看肾，三分之派是二分之根三，所以他对应的值比他高一点点。听明白了啊，画的不一样高啊，就是画的没有那么规范啊。你可以画的规范一点点啊，无所谓啊，也就说二十四分之 五的话，二十四分之二十五的话，他比他高，这个数是二十四分之二十五。明白了，他对应的是二分之根三， 所以现在呢？人家说他有基数个零点，那啥意思呢？比如在这我们先试一试嘛，反正区间就是从零到这个数了，所以如果是在这的话，有多个零点呢？一个、两个、三个、四个，五个，六个，七个、八个，那所以是偶数个零点， 那如果是在最低点，二分之，就是过零的时候，零二分之一的时候，这时候几个零点，大家可以看一下。数一数，一个，两个，三个，四个，五个，六个，七个，八个、九个， 明白什么意思不？再往下他就他就八个了，所以这个二分之负的二分之 b 就 应该是从这个数到这个数都是可以的， 这个数都是九个零点，在他俩之间当然都可以，所以他们要想有基数个零点的话，就应该是在他俩之间都是可以的。比这个虚线啊，低一点，比这个二分之一高一点，当然可以相等啊，都可以相等， 都可以像的大概是在这啊啊，不太好画啊，我就画在这个地方也可以哎， 哈哈，就就这样吧。啊就就就画在这了啊，听着吗？比他高一点点啊，就可以了， 那现在呢？人家让我们求啊。所有 x 的 取值，首先这个 x 一 加这个 x 二就应该是中间的两倍，这个中间显然是相加除以二，二十四分之二，二十四分之二， 相加除以二吗？二十四分之二派，所以大家体会一下来，我们开始列数字了啊， x 一 加 x 二就应该等于个二十四分之二个派啊，相加不二十四分之啊，十二个派，这就是十二个六分之派。 六分之派，为什么呢？就是因为这两个 x 相加除以二才是这个数，所以他的相加应该二十四分之四派，二十四分之四派，那就应该等于个六分之派。明白了，我们找找规律， x 二加 x 三等于什么？ x 二加 a 三是这个数加这个数是不是就应该是这个数的两倍？ 那这个数的两倍是在这个数的基础上啊，是不是这个数的两倍是多少？二十四分之二十四分之几啊？两倍的话是二十四分之十，十二分之五派，十二分之五派啊，听明白什么意思吧？这个呢，是可以把它想成十二分之二派。 ok， 我 们再算一个 x 三加 x 四，你就明白它是什么数列了，显然它是等它数列嘛，它是等间隔的嘛。所以 x 三加 x 四的话，这是 x 一 加 x 二，这是 x 二加 x 三，这是 x 三加 x 四，是这个数的两倍， 这个数的两倍。我们再给大家列举一下这个数，这个数是相加，除以二二十四分之十六，二十四分之十六，除以二十二十四分之八。又因为 x 三加 s 是 这个数的两倍，是二十四分之啊，就乘以二十二分之八呗，十二分之八呗， 明白了不？你会发现这个数列呢，他们的公差正好是三，公差是三的一个等差数列，公差是啊，十二分之三啊，说的三是分子是三。明白了，那所以这是多少个数相加呢？由于我们说只有有九个焦点， x 一 加 x 二， x 二加 a 三，一直加到 x 八，加上一个 x 九等于几，我们就不算了，当然也能够算的出来啊，大概是这个数的两倍。哎，这个数两倍我们就算出来吧，因为我都标上刻度了， 听明白了，一二三四五六七八九，所以八加九是这个数的两倍，就应该是十二分之 十二分之十三个派，好麻烦不？那所以这样设计了，一个等差数的求和，就应该是首项加末项乘以项数除以二，大家想一想，这些数加在一起几项应该是八项吧，一二到八，所以二分之项数，首项是十二分之二派，末项是十二分之十三派。 明白了，首项加末项除乘以项数除以二，那就十二分之十五，十二分之十五除以三是三分之五，三分之五再乘以四，对不对？三分之不对。十二分之十五派，再乘以四， 所以约三分之十五。啊，好像哪地方算错了呢？哪个地方算错了？浙江是二十三，我写成十三了，是吧？相加除以二，这是二十三。我说呢 啊，这数，这个数是二十三啊，写成十三了，所以是首项加末项乘以项数除以二，这是二十三，那就应该是十二分之二十五乘以四，三分之二十五派。所以这个答案是正确的啊。 啊，所以这道题是非常麻烦的一道题，但是他的思路还是比较简单的，考的是正弦函数图像，这是我们备考的重中之重，高考大部分都是最基本东西的一个灵活应用，一定要是灵活应用。好吧，你再好好的读一下这道题，所以 d 选项是正确的， 所以最终这道题的答案是 bcd， bcd 啊，好，你再好好的体会一下，正弦函数的图像的一些性质都是需要掌握的，我们今天就讲那么多，各位同学拜拜 哎！哈喽，各位同学大家好，我们今天给大家讲了一个三角函数图像。三角函数图像给大家讲，这道题是跨， 不能说跨，中间综合，就是里边有绝对值，它不是简单的正弦函数的图像了，这也是我们考试的重中之重，尤其是里边带绝对值的。那当然你更应该明白，但这道题相对来说我认为是比较简单的啊， 他说 sin x 考 sin x 绝对值，加考 sin x 绝对值。哇，这好复杂，这个绝对值不太好去掉是吧？现在说到正确的是，首先周期为二分之派。那首先这道题周期你不能套公式替等二派表。欧米哥，因为他压根就不是正弦型函数呀，所以他的周期呢，我们就想定义就可以了。 那想定义的话，他说周期是这个二分之派，我们就加个二分之派呗。你看看他加个二分之派，他不就是一个周期函数吗？如果他不等于再说呗。 所以我们就算一个问题，就是 x 再加上一个二分之派，然后再乘一个考胜，那就考有老公式了。 x 再加上一个二分之派，然后呢？再加上一个考胜 x， 再加上一个二分之派，再乘一个胜 x， 再加上一个二分之派。明白了，所以你会发现前面正好是一个考胜 x， 后面呢？正好是一个胜 x 绝对值吗？ 前面的话，这个地方就变成了肾 x， 这个地方就变成了考肾 x 绝对值。听懂了吗？你会发现中间 o 不 相同也不相反，既不相同也不相反，说明它周期一定不可能是二分之派了。所以 a 选项一定是正确错误的啊。 对，那可能会说周期到底是多少呢？周期不是二分之派，你再想想周期是不是派呢啊？你会发现，把所有的 x 变成加派，这量是负的肾 x， 对 不对啊？你比如周期是多少我不清楚啊。来，我们算一算加派， 如果加派的话，那诱导公式我就跨了一小步。你用来诱导公式甚 s 加派，他应该是负的甚 x。 由于后面是绝对值，所以绝对值加符号里边加符号无所谓。那考甚 x 加派也是负的考甚 x， 然后呢？里边加绝对值啊，还是正的，所以你会发现它等于负的 ipx。 那你想我们讲函数的时候，他有一个啊，公式吗？ f i 加 a 等于负的 f s 周期应该是二 a。 我 相信所有同学应该都会啊，我们知识梳理都讲过了，所以他周期就应该是二派。 听明白了，只是这道题没有问人家周期应该是二派啊。好，来，我们再看 b 选项， b 选项是我们高考的重中之重，每年高考必考。他说图像十分的派对不对，那就干一件事了呗。 一定要是二分之派减 x 算这件事，那可能很多同学会问，为什么算它？因为周期的公式，两端括号 x 相反外相同，它就周期，所以它的呃，它就是两端括号里边 x 相反外相同，它就对称轴，对称轴是相加除以二， 所以它的相加除以二是四分之派，所以我们得算二分之派减 x 等不等于 f x， 所以 算就是喽，你会发现这实际上是甚 二分之派再减去 x， 乘一个考甚。那这道题主要是考的诱导公式喽，二分之派再减去 x， 这些公式要熟悉，再加上一个考甚二分之派再减去 x， 再乘一个甚。 看到了吗？二分之派再减去 x， 加个绝对值，所以你会发现这个地方显然是考甚 x， 后面呢，是一个甚 x 的 绝对值，再后面的话是考甚 x 的 绝对值，听明白了，你会发现它正好等于 f x 吗？ 他正好等于 f x 的 话，那是不是对称轴就应该是相加除以二？一定要想明白为什么是二分派？因为对称轴的公式，所以他是成立的，对称轴就应该是 相加除以二，就应该等于四分之派。也就说这道题 b 选项是正确的。好，那我们再看 c 选项， c 选项他在这个领导派上有三个零点，所以这道题考第九题有点难。 考第四题我觉得有点简单，差不多高考考第四题是可以的，没问题，因为高考第四题也非常简单。啊啊，那他说在领导派上有三个零点，那 c 选项就是打酱油的，为什么呢？因为有绝对值，我就应该想去绝对值。大家可以看一下，当 x 属于二分之派到派的时候， 是不是考生的绝对值里边考生是负的？负的去绝对值是不是相反数？相反数的话是不是负的？ x 乘一个考生 x， 而 cs 去绝对值呢？它显然是相同的，因为 cs 是 正的，你会发现它俩一加横等于零， 横等零的话，那就说明在这个区间上都是零点，所以它有无数个零点。又因为它是个多选 d 选项一定是正确的。 那第选项为什么是正确的呢？考了一个复合函数的单调性，也就说我们把它想成 f u， 然后呢？ u 就 应该等于偶幺 x， 由于它是正函数，它必须得是正函数才可以正正为正嘛。那它是正函数的话，大家想一想， f u、 f u 的 话，在零到二分之派上，那绝对值里边都是正数，所以去绝对值，我们就应该是什么都是正数，也说甚又乘以个，考生又乘以个甚又，所以两倍的，那就相当于甚二。又 明白了，那肾二 u 的 话，那就相当于肾 x 压缩了吗？肾二 x， 肾二二 u 和二 x 的 图像是一样的。明白了，那这个地方是多少呢？这个地方就应该是二分之派， 他这个肾 f u 就 说白了，他要想单调递增，因为他永远是正的，因为他是一个直线，斜率为 omega， omega 是 正数，所以这个 u 的 范围就应该属于零到四分之派， 听懂吗？这量是四分之派，那 u 的 范围是零到四分之派的话，大家思考一下， omega， 由于 x 范围是知道的， omega 最大是几？最大是二分之一， 二分之一乘二分之一，它就是四分之派嘛，它必须得在这个范围内。如果 omega 大 于二分之一，比如 omega 取一一的话，那就到二分之派了，那就说明有增有减，就不可能恒单调立正。听明白了，所以我们对上 omega， x 就是 u 属于零到四分之派， 又因为又因为 x 本身属于零到二分之派了，所以 omega 显然啊，最大最大是二分之一 啊，大于零小于二分之一就可以了啊。零到二分之一再乘以零到二分之派，乘在一起是零到四分之派是没有问题的。所以这道题 d 选项是正确的， 只要超过二分之一，那么这个右就超过了四分之派。超过四分之派，他就有正有减，就不符合题。好吧，这就是三角函数图像。我们给大家选两道题的目的就是第一个题就是昨天讲的正弦型函数的图像是重中之重。 第二个呢，就是它不是正弦型函数，它里边有绝对值，或者是里边有三次函数，二次函数，我们在二十四页讲过它都是有可能啊，综合在一起考察的。好吧，我们今天就讲这么多，希望大家好好去研究一下这些题目，拜拜 哎。哈喽，各位同学大家好，我们今天给大家来一道解三角形的题目。解三角形，呃，它大概怎么去考呢？首先，它的考法 相对来是比较固定的，第一个就是正弦定，余弦定的应用，第二个就是求最值，比如什么二弦是求最值，什么均值不等式求最值，什么一角一含是求最值。哎，所以求最值的方法大家必须得知道。我们今天通过一道题目来给大家分享一下，好吧， 它在三角形 abc 中角 abc 所对的边分别为 abc， bc 边上的高为 h 啊，而且呢，第一问，他说的 a 等于四， h 等于二分之三，问 bc 的 最小值是多少？ 那这道题很明显，第一个小空是非常简单的，为什么呢？你告诉我底了，告诉我这个高了，正好这个 a 正好是 bc 嘛？啊，所以底高，知道了，我当然想面积了，也说这个三角形的面积就应该等于个二分之一， 底乘高底是四，高呢，就应该是二分之三，所以最后这个答案就应该等于三。 但是呢，人家让你求 b c 的 最小值，所以你得和 b c 上关系。所以我很明显想到另外一个面积公式，就等面积法呗。所以呢，它就应该等于个二分之一， b c 乘以个 c a， ok， 所以 这样的话，我们就能够算出 b c 就 应该等于个二三得六六比上一个 c， a， ok 吧。所以你让我求 bc 的 最小值，那声音就应该最大喽？声音最大的话，是不是相当于声音是小等一的就说完了，声音最大值是一呗。就 a 等于九十度的时候，所以他就应该是大一等于六。当 a 等于九十度的时候，取等号， 随便一个三角形告诉你底，告诉你高， a 等于九十度是没有问题的时候，问没有任何问题，所以这道题的答案就应该是最小值为六。 第一个空是非常非常简单的，来，我们看第二个空啊，第二个空呢？他说若 h 等于六分之根三，若 h 等于六分之根三，说明什么呢？这就说明，嗨，这个第一个空肯定不能再用了啊， h 等于六分之根三，所以他告诉我底高是我高，我的想法还是一样的，我就应该想面积，我们大概给他画一个图啊。 听明白了，这个地方是 a， 这样是 b c 边上的高，这个地方是 h， 所以我们想到了面积，因为底知道高，知道所以想的面积。也说三角形的面积就应该等于二分之一底乘以高，那也就说等于二分之一乘一个 a 乘一个 h， 就是 六分之根三 a， 也就是说它就应该等于十二分之根三 a 方，那这个高，这个面积。当然，我们是不是得想到等面积法，为什么想到等面积法呢？因为你不想等面积，你怎么出现 b c 呢？你怎么出现 b、 c 的 关系呢？所以它的面积还等于二分之一， b c 乘以个 c a， ok， 好，来我们处理一下这个式子啊。那首先这个地方是六，没问题，也说六一约掉这张是二根三，也就说 a 方，我们就能够得到 a 方，等于个二根三 bc， 再乘一个甚 a。 说实话，这个题如果你没有研究过的话，下一步的处理你，你看你好想不， 由于你这道题让我求的是 b c 分 支， b 方加 c 方，那我也想，什么公式当中哦，它有 b c 了，什么公式当中有 b 方加 c 方呢？所以你让我求。哎，这段有个 a 方，你让我求啊， b 方加 c 方的关系，是不是我们下一步得想到域线定律， 你看好项目，你说余弦定律， b 方 a 方得一个 b 方加 c 方，再减去个二 b c， 然后考甚 a， 然后呢，这个地方就是二根三 b c， 然后这量是甚 a？ ok， 没有问题吧？ 所以大家想一想，你让我求 b 方加 c 方，比上一个 b c， 那 当然就出来了，我把 b c 给出过来就可以了。所以这条题的答案基本上就出来了， b 方加 c 方，比上一个 b c， 它就应该等于个啊，二根三乘 a， 再加上一个两倍的考甚 a， 所以 来一个辅助角公式。辅助角公式高考肯定是必考的啊。提根号下 a 方加 b 方，就应该是提一个根号下十二，再加四根号下十六，就提一个四甚二。 a 就是 a， 再加上一个 f， 它的 f 的 话等于 a 分 之 b， a 分 之 b 的 话，就应该是三分之根三，那当然是三十度等于三分之根三，所以这是六分之派。 那所以当 a 啊，当 a 取什么度呢？当 a 取六十度的时候，那么这个肾他取到了肾九十度，肾九十度当然是一了，所以他的最大值显然就应该得个四。 好，你觉得这道题简单否？ ok， 第二个空答，最大值是四，那么他的最小值是多少呢？他最小值是多少呢？那你想一想，最小值大概是多少？所以这道题完全可以求范围。那如果让我们求最小值的话，那是不是相当于我们还能想到基本不等四？ 为什么想的基本不等式这个问题吧。来，我们看一看这一步，这一步求最小值的话，是不是相当于我们把？嗯，这个 b 方加 c 方来一个均值不等式，他就应该大于等于， b 方加 c 方，就大于等于一个二 b c， 没错吧？二 b c 比上一个 b c， 他 就应该等于二，所以他整体的范围就应该是二到四。当然，你可能会问他，这个二能取到吗？他万一取不到怎么办呢？对不对啊？ b 方加 c 方，大家点二 b c， 那 是不是这时候取等号的时候是，当且仅当 b 等 c 的 时候取等号， 明白了吧？ b 等 c 的 时候取，等大家体会一下 b 和 c 相等的时候，那你告诉我一个三角形， 这是个底，这是个高。 b 和 c 相等的时候，貌似是没有问题吧？啊，等腰上行，他肯定也可以满足这个条件嘛。 b 和 c 相等，嗯，没，应该是没有问题的。 b 和 c 相等的话，这个数是二， b 和 c 相等的话，我们，嗯，对，应该问题不大，因为它是一， 这是一个三角形，告诉你底，告诉你高，是一个比值关系，这是个等式三角形的时候啊，没有问题啊，所以它的最小值是二，最大值是四，这是我们啊 这一章特别喜欢考的一种求最值的方法，利用了均值不等式，利用了一角一函数，所以解三角形。高考要么考小题，要么考一道解答题，这是必考内容啊，所以大家一定要好好去准备。 当然我们在知识梳理当中也会给大家讲解很多求最值的方法，你可以去好好的听一听，研究一下。好，我们今天就讲这么多，拜拜！ 哈喽，各位同学大家好，我们今天给大家讲一道解答题，难度也不大，基本上就是前面几道题的难度啊。 呃，当然，解上题当中最重要的是什么呢？我认为最重要的还是三线问题，三线问题绝对是非常重要的。好吧， 首先我们先看啊，第一问，他都在三角形 a、 b、 c 中，角 a、 b、 c 所对的边分别为它啊，那第一句话没有任何意思啊，没有任何隐含意思，它满足这么一个复杂的式子，然后让我们求角 a 的 大小，那这是我们求角 a 的 一个考点了，一个式当中既有边又有角，我们一定全部换成边，或者是 全部画成角，但是这个里边有贪认特，那你告诉我，这道题我应该画成什么呢？是不是相当于这点有个肾，这点里边也有个肾 a， 这里面还有个肾 c， 是 不是？我先画成边吧， 我觉得应该画成边，因为我画成角的话，肾 b， 这张是肾 b， 对 吧？这啊，这张是肾 a， 但是和考生约不了，这张是肾 a， 我 觉得也没法化解，所以这道题我们应该是先由正先定离， 考试的时候一定要写上正弦定点，我们所有的正弦都化成边，也就说 a 比上一个肾 a 等于个 b， 比上一个肾 b 等于个 c， 比上一个肾 c 等于个二 r， 也就说这些正弦值它都是啊， a 比上一个二 r， 然后这条是什么呢？肾 a 也有个 a 比上二 r， 这条是 c 比上一个二 r， 二 r 都约掉了，所以我们就变成了 ab， 再加上一个，多少呢？把肾 a 啊，一定是把肾 a 都换成了 a 比上二二也换，或者是把这个肾 c 换成 a 比上二二，所以这个贪念的 a 是 肾 a 比上一个考肾 a， 这个考肾 a 是 没法动的，所以肾 a 换成 a 的 话，就是 a 方， a 方，然后乘一个考肾 b， 然后呢，再比上一个 a c。 明白了，所以这条就应该等于个啊两倍的 a c， ok， 所以 二二都约掉了。那到这一步之后你会发现，因为这上有 a， 这上有 a， 这上有 a， 显然我们约掉一个 a， 然后我再通过分吧。也就说 b 乘一个考生 a， 再加上一个啊， a 乘一个考生 b 啊，约掉了一个 a， 那 就是二 c 啊。二 c 乘一个考成 a， 好， 没问题吧？那当然下一步啊，眼尖的同学已经看出来了， b 考成 a， a 考成 b， 所以 这就是个 c 摄影定律。但是考简答题，我不建议直接用摄影定律，因为这道题十三分，至少可能还十五分， 所以一定要写的越详细越好。记住，简单的题写的越详细越好，复杂的题写的啊，随便用，你愿意用什么大招，愿意用什么拓展公式都可以听懂了吗？简单题一定要写的详细。那下一步怎么办呢？下一步我们还是有正弦定力，哎，我们有正弦定力，我们把所有的边都换成正弦，也就是说肾 b 考申 a， 再加上一个考申 b， 然后申 a， 然后呢，他就应该等于两倍的申 c， 然后考申 a， ok， 所以 这一步呢，正好是申考申的一个核算公式，申 a 加 b， 申 a 加 b 的 话，这辆是两倍的申 c， 然后呢，这辆是申 c 吗？所以申 c 派件 c 就是 申 c， 两倍的申 c， 然后考申 a。 考试的时候一定要写详细，下句话应该写上，因为申 c 不 等于零， 所以考生 a 等于一个二分之一，下句话不写又扣一分。因为 a 大 于零，小于 pi， 所以 a 只能是啊六十度。 所以第一问非常的简单，来，我们看第二问，第二问计算量稍微有一丢丢大，你看你能想到不？ 他说什么呢？他说这个 e 是 b， c 上一点。来，我们随便画一个图， e 是 b， c 上一点，那这就是 a， 这就是 b， 这就是 c， 这假设这辆是 e， 现在呢，他告诉我 a， e 的 长度等于根七，那也就说这个长度是根号下七。现在呢，他说 b， e 比上一个 e， c 等于二， c 比 b， 求三角形面积的最小值。 那这道题是啥意思呢？所以 b， e 比上一个 c， e 是 二， c 比上一个 b， 二 c 比上一个 b， 那 这是啥意思呢？ 二 c 比 b， 他 告诉我这个，这个，这是个极等分线问题，对不对？他让我求三角形面积的最小值，面积的最小值没有无员工的地位，那说白了就是求 bc 的 最小值 啊。 b 乘 c 的 最小值，因为我们知道加角是六十度吗？所以这道题是不是能够想到向量？我们见到了三等分线问题，中线问题，几等分线问题，是不是应该想向量？因为他告诉我这是几比几的关系了，这是二 c 比 b， 所以 我们这个比值关系是不是有个交叉的关系？这个图考试的时候不消化 ok？ 能听懂不？也就说啊，因为因为 b e 比上一个 c， e 等于个二， c 比上一个 b， 所以 a e 向量 a e 向量，它就应该等于什么呢？等于总体来说是 b 加二 c 分 之啊 b， 然后 ab 向量 再加上一个 b 加二 c， b 加二， c 分 之，对吧？二 c 分 之 ac 好能想到不啊，这个点你得想到啊，这条利用了一个三点共线，系数之和为一，这是向量最重要的考点，二零二二年新高考就要考了，系数之和为一，这个考点必须得知道。然后下一步干什么呢？两边平方， 哎，一定是两边平方，为什么两边平方呢？因为我两边平方的话，我就用到了 a e 等于根七，所以我们平方一下 平方的话，需要注意，它就应该是呃， b 方，然后还有一个 b 加二 c 的 平方一定要仔细一点，然后 ab 的 平方， ab 的 平方就是 c 方，然后再加上一个 b 加二 c 它的平方，然后这条是四 c 方， ac 的 平方就应该是 b 方， 没问题吧？然后呢，还得加上一个交叉乘积的两倍，交叉乘积的两倍就是 b 加二 c 的 平方， b 加它的交叉乘积两倍就是四倍的 bc， 四倍的 bc， ab 乘 ac， 它们的数量基就应该是 bc 乘一个考生 a 好毛毛提包。所以等于 a e 的 平方是根七的平方是七好，能听懂不？他的平方就是这辆是 b， a， b 的 方是 c 方，他的平方，这辆是 b 方交叉乘积的两倍，他俩乘在一起。是啊，超交叉乘积两倍四倍的 bc， 他 俩乘在一起。是某某考成 c， 塔考成 a。 那又因为考生 a 四的话呢？考生六十度是二分之一，所以这两角应该是两倍的 bc， 两倍的 b 方 c 方，这是四倍的，六倍的，这是一倍的，七倍的，七倍的 b 方 c 方，那也就说 b 方 c 方等于个 b 加二 c。 所以 这道题几乎做出来了， 就思路非常简单啊，非常简单，明白了吗？上面是七倍的 b 方 c 方这个地方把它移过去，是七倍的 b 加二 c 的 平方，所以七和七约掉了啊。方和方约掉了，所以 b c 等于 b 加二 c。 那 么这道题我们刚才也说过了，应该求的是 b 乘 c 的 最值，所以我们想到了基本不等式。 正弦显然是大于等于两倍的根号下二 bc。 听明白了，正弦把它想成 a， 把它想成 b， a 加 b 等于两倍的高下 a 乘 b， ok， 所以 我们就能够求出 bc 的 最小值来， bc 就 大于等于两边平方 b 方 c 方就大于等于个八倍的 bc， 也说 bc 大 于等于一个八啊，等于八， 什么时候取等号呢？当前紧当 a 等 b 的 时候取等号，当前紧当 a 等 b 的 时候取等号啊，就是 b 等于二 c 的 时候取等 a 是 b 啊，这个 b 是 二 c， 看清楚均值不等式什么时候取得等号。明白，那所以这个三角形的面积先写公式，二分之一 bc 乘 a 乘 a， 就 应该是四分之根三 bc， 所以 它就大于等于，对吧？八的时候就是二根三， 二根三，半点二根三，所以这道题最小值就是二根三，建议是考试的时候一定要再下个结论，也说写上是所以三角形 abc 面积的最小值， 面积的最小值，哎，正好是二根三，明白了吧。好，这道题相对的是比较简单解算二形还是很有可能考解答题的，希望各位同学能够重视，当然不要忘了明天的知识梳理，一定要抽时间好好去 啊，好好去研究一下。知识梳理讲的太全面了，所以大家如果能够把知识梳理都搞定，你绝对是非常厉害的。好，我们今天就给大家讲那么多，希望各位同学好好的做每一道题，拜拜！辛苦！
1.1万步学赵礼显数学
01:12查看AI文稿AI文稿各位亲爱的同学们，大家好啊，我是夏梦迪，我是一个讲了高考物理将近二十年的一个老师，对物理这个学科有非常深的感情啊，然后也会有一些自己的认知。给大家介绍一下我最近新出的这么一本书，叫做高中物理四十九道五题拿高分，它核心就是以我们精心挑选的这么四十九道题作为一个核心的线索， 给大家把所有的高中物理中间的主线的知识都串联一遍，更多的考察的是你对原理的关注的严谨性，以及你对细节的关注的这样的一种细致性。我们大家一定都知道，整个高中物理，各位同学你必须得具有一个能力，不光是要把这些零散的东西变成一个一个的整体， 你出一条一条的线索，你还需要具备一个能力，一定要去识别出到底哪些是真正的重点，哪些是真正的难点。那么在整个高中物理中，当然不可能这本书一共就只给你讲四十九道题，对吧？比如说每次我们有这么一个母题之后，我们会先给各位同学把所有的过程方法介绍一遍， 怎么想到的，你需要关注什么，这类题目有些什么样的识别标志，具体应该怎么样，一步一步的搞定，以及最后还会给你复习一遍重点，同时我们还会给你拿 拿这道题开始进行变形，每一道母题可能它都会包含五道同类型的题，大概就是这样的一本书啊，所设计的这样的一个核心的逻辑。大家如果对这本书感兴趣的，可以关注一下共创的这个小号，夏梦迪直播括号月书。
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