2011高考证明余弦定理

挑战题目最短的高考证明题，题目如下，叙述并证明余弦定理句号高中的时候呢，我们经常会用到余弦定理，但是你知道余弦定理是怎样证明的吗？ 二零一一年的陕西高考题，就考了这样一道题，就是如何叙述并证明余弦定理。关于余弦定理的叙述，我把答案放在这里，就是说，对于任意的三角形，任何一边的平方呢，等于其他两边的平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积在两倍， 也就是说，对于图中的 a 顶点来说，然后它对应的角是角 r 法，它的对边是小 a， 那么就有呃 a 的平方呢？等于 b 的平方加 c 的平方减去二 b c 乘上口 oc 阿尔法。那么据说呢，当年这道题呢，如果说是采用这个勾股定理来证明的话，好像是会扣分的，还是说不得分的？是有这样的一个传言， 其原因呢，就在于说勾股定理呢，其实是鱼弦定理的一个特例，你用勾股定理去正鱼弦定理的话，如果不加提前说明的话，实际上有点自己正自己的这个味道。所以这道题我们应该怎么证明呢？其实我们可以采用一个项量的办法来证明，比如说以这个 a 点为圆点， 然后我们去考察这个 c b 这个项量， c b 这个项量呢，它明显会等于这个呃 a b 加上一个 c a， 也就是 a a b 减去 a c， 那么如图所示，我们假定说这个令 ab 项量等于这个小 c 项量，令 ac 项量等于这个小 b 项量，那么也就是说 cb 这个项量呢，它等于这个 c 减 b， 那么 cb 的膜长呢？ 膜长的平方呢？就等于 c 减 b 点成 c 减 b， 也就是说 c 的模的平方加上 b 的模的平方，减去二倍的 b 点乘 c， 其实这样的时候，这样的话我们这个答案就出来了，因为 c b 的膜的平方呢，其实就是小 a 的平方， c 的膜的平 平方呢，就是小 c 的平方， b 的模式平方呢，就是小 b 的平方，而二 b 点乘 c 就是二倍的 bc， 乘上这个 bc， 两个向量之间的夹角呢，其实就是靠塞阿尔法。那么我们的这个命题就得正了。

大家好，本期呢，我给大家分享一个比较有意思的题目啊，就是嗯，就是只要每一年的高三的学生，他在面临高考的时候，很多人，大家基本上所有人都会做一件事，就是把近五年甚至十年的高考真题拿过来，至少你得做一遍， 对吧？你把这些历年的高考正题做一遍的话，你对就最近几年那样这样一个高考的一个重点的一个考量的方向，你大概心里就有一个把握了，然后呢，你按照你的这样一个高考题的一个经验，再有针对性的进行复习，其实确实是有用的啊。 那我其实很想就想跟大家分享一道比较有意思的题目，他也是对当对于当时的我来说呢，他就是在我做过的题目中的，但是对你们来说可能比较久远了啊，他就是二零一一年的陕西省的理科数学这个高考试卷中的第十八题，他这个题目的题干非常有意思， 就这么几个字，这个题目就是就就是这么这么短的几个字叙述并这么一圈定理，所以呢，我也可以称之为这道题目呢，是高考历史上最短的一道题目， 他情感就特别的简洁，没有什么乱七八糟的什么条件啊，让你去吞那些东西，就是让你去把血鱼旋列里血数并证明出来， 看起来好像很简单，对吧？但实事的，但实际的情况就是说，在二零一一年的这年的高考中，这道题的得分率是比较低的，因为所有基本上所有的考生他都知道预选定理是啥，但是他不会证明。 而他这个证明过程其实我们课本上是有的呀，但是呢，很多人平时就把大部分的时间和精力放在刷各种各样的题目上，而忽略了我们课本上最基础的那些知识点，就导致了这样的现状， 所以当时其实也挺讽刺的啊。呃，很遗憾我没有赶上二零一一年的高考，因为我是二零一六年高考的吗？如果我高考那年再遇到这种题的话，我敢保证我是一定能能够做出来的，因为我高考复习的时候是始终是坚持着以课本为主的， 把课本上的至少看了三遍，他课本上的每一道立体，每一个定的证明，我都说我都是可可以会的。好吧，那对于这个预先定的话，我们，其实，嗯，只要你 高，基本上所有的高端学生他肯定会知道鱼旋定是个什么东西，对吧？比如说他鱼旋定的话，他的形式也非常简洁，他是不是有三种形式？比如说，呃， 我如果以 a 来写好，就是 a 方等于 b 方加 c 方减去二 b， c 乘以考三 a， 对吧？然后呢，我如果 以 b 方来写的话，是不是也是一样的？它就是一个 a 方加 c 方减去一个二 a， c 乘以靠算 b。 然后呢，还有一个就是 c 方等于一个 a 方加 b 方减去二 a， b 乘以考三 a c。 这个就是我们的预选定理嘛，那你相当于是第一步把它叙述嘛，然后后面不知道你证明哪些个，重点就在证明上，我们应该怎么样去证明这个预选定理呢？原定的证明其实就是关于这个定证明，其实我们 整个立整个数学发展史上是你先，你先在网上去搜，你可以搜到各种各样的正面，有很多种正面方法，但其实最经典的、最简洁的依然是我们课本上讲的那种正面方法。用什么？用限量？比如说我们先画一个三角形， 对吧？然后呢，我们把这样的点给它标出来，比如说这个是我的点 a， 这个是我的点 b， 这个是我的点 c， 对吧？然后呢，我在这里呢，我可以利用销量来做，那我们在图中标几个销量，比如说我们来标这个 a b 销量 跟 a c 相量，然后呢，再标一个 b c 相量，看到没？然后呢，我们根据相量的一个加减法的记一个基本运算，我们是不能得到得到这样的结论就是我的相量 b c， 其实应该是我的相量 a c 减去我的相量 a b， 对吧？这个就是量减法运算嘛？然后呢，我两边同时平方一下，是不是能够得到一个 b c 方，等于一个 a c 相量减 a b 相量的一个平方，然后你把它展开嘛？ 我 b c 方式就是它的模平方，然后呢，右边这个限量其实就是它的限量完全平方是展开嘛？所以它应该是 a c 的模平方加上一个 a b 的模平方， 然后呢，减去一个二倍的 a c 相量点，乘以 a b 相量，是吧？而我们根据相量内计的一个基本运算，前面这些东西我们就抄下来， 然后再根据销量内内机的基本意思，内机不就是魔相乘乘以它们之间的夹角吗？那 a c 相量与 a b 相量的夹角是谁？不就是三角形的角 a 吗？所以就等于口号三 a， 对不对？然后呢，角 a 对应的边，我们叫做小 a， 角 b 对应边叫做小 b， 角 c 对应 编辑的小 c， 然后把用用用，小 a， 小 b， 小 c， 把这里面的东西一换，那这个东西变成啥？ bc 是不就是 a 方？然后呢， ac 是不是就是 b 方？ a b 是不是就是 c 方？所以 b 方加 c 方，然后呢？减去一个二 b c 靠三 a， 诶，这个是不就是我们的第一个式子？然后同理，你还还还可以怎么表示？我这儿是用的是 b c 限量量吗？对吧？那你是不是还可以用 a b 限量量？比如说你用 a b 限量量，等于谁减谁，是不是就等于 c b 减 c， 然后你用相同的方法去推，最终的结论是啥？一定是。嗯，一定是。我的 c 方等于一个 a 方加 b 方，减去一个二 a， b 乘以 cosine c， 然后同理，你这儿我们 最快用的是 bc， 对吧？现在用的是 ab， 对吧？你再往还还差个谁，还差个 ac 嘛？那你 ac 写嘛， ac 相等于谁？是不是应该等于 bc 减去一个 ba 嘛？ 然后相同方法平完全平方，然后再展开化减，最终的结果是不是应该是 b 方等于一个 a 方加 c 方，减去个二 ac 乘以考三 b， 对吧？那其实这个高考题目的这样一个标准答案，就你能够写到我这样一个程度，你就是满分，但是很多人呢，他只能做到，就是，哎，我只能写到这一步，我只能，我只能把预先进的表达式写出来，怎么证明我就不会了？ 而这个证明其实我们课本上有的，对吧？所以就是我一方面我想跟大家分享这道题目，就是这道题目，他比较特殊吗？虽然他题目很短吗？很简洁吗？ 但是他的得分率比较低。然后另一方面想跟大家强调一个点啊，就是很多人觉得学高中数学的话，就是你通过不不断的去刷题，提高你的熟练度，掌握各种做题的套路。然后后面呢，遇到一个新题，你按照你学过的那些套路去调用他， 可能很多人就是这样一个模式，就所谓的题喊战术吗？但实际上这种这种方法其实就没什么，其实他的他，他是一个不是不，不是很正确的一个方法， 就你通过刷题确实能够提一定程度上能够提高你的成绩，但是就是那个效率很低。那正确的一个方法一定是我们应该把更多的时间和精力放在我们的课本上。 课本上我们关注就是知识点吗？其实课本上的知识点之外呢，你还关注，比如说一些定理公式的证明 明对不对？这证明过程你是不是都得去看一下？你要知道他是怎么来的，要知道他的来历，你比如预限定的话，你不能不能说我会用，你还得知道他是怎么来的。 然后呢，你把课本上这些支点呀，这些例题呀，这些定理公式呀，你把它掌握之后，你在此机状是不能够构建出一个知识体系出来， 对不对？那知识体系是啥呢？其实就是你，你怎么检验你怎么检验你？你有一个很完备的一个知识体系呢？ 很简单，比如说我举个例子，比如说我，我就说三角函数这个专题，你能够拿一张 a 四纸白纸，然后呢你在这个纸上能够从零到一，把整个三角函数的支点，把它画出来，就是让你自己从零画到一画，一个完整的思维导图，你如果能做到这一点，那你再把你把这个支点 就学的非常扎实，你构建一个知识体系之后呢，再次基础上再去做题 啊，这个做题的时候你你要注意的就是你做不同类型的题目啊，不是每呃一种类型，你做个两三道，然后就 就大概做个几种，几十几种，几十种这种不同类型的题吗？其实就够了，你没有必要刷太多的题，这样的刷题我们是有目标的，你那种盲目的题喊正式刷题效率非常低，很多时候就是你把同一种类型的题串了很多次，而那其他类型的题你又从来没有见到过，就是非常一个很很畸形的一个操作， 所以就想通过这道高考题呢，想跟大家传达一个观点，就是学数学不能不能把眼光仅仅局限在刷题上，题海战术的作用是有限的，尤其近些年来新高考他更侧重的是那 些新概念题目，新概念题目它是题含量的一个克星，所以在大家在后续的那个数学的学习以及复习过程中，一定要注意，我们的课本是最重要的，上面的知点还有定理公式证明你首先掌握在此基础上构建你的一个知识体系，然后呢在此基础上再去做不同类型的一个题目， 你这样去，这样一套就能做下来，我敢保证高考数学一百二十分，那还不是轻轻松松的是不？所以一定要记住啊，不要盲目的刷题，我们要有目标，有系统性的去学习。好吧，那以上就是本期视频将给大家传达的一个观点。好，谢谢大家聆听，我们下期再见。

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