新一卷数学压轴题各省
今年数学的全国一卷压轴题已知了这样的函数是二的 x 次，但只有在负方向是二的 x 次。所以我们先把这一部分图像画一下。第一问， 这里是一 d x 零是这样的集合。第一问，要求 d 负一。进来观察一下 d x 零的形式，它是 f x 零加 d 大 于 x 零。只要能满足这个式子的所有 d 构成的集合， 也就是将 x 零这个点处的函数值进行一个平移。平移到哪里呢？平移第一个单位变成 x 零加 d。 如果平移完事之后，这个函数值变大了， d 就 能属于大， d 如果变小了，就不属于。 如果在正方向的范围内， f x 是 一减去 x 啊，连续的直接往下求 d 负一。 要求 d。 我 们先得知道 f x 零，所以代入 f 负一是二分之一， 这里实际上就是减一个方程，是 f x 零加 d， x 零是负一，减的是不等式。要大于二分之一分为两种。第一种是 d 减一小于零的情况，取的是二的 x 次方， 必须二的负一加 d 次方大于二分之一。其实这里也可以用单调性来做，因为这里是单增的，所以 f 负一加 d 大 于 f 负一，可以直接左右两边把 f 去掉。 d 大 于零，这里是 d 小 于一。所以综合来看， d 大 于零小于一二，如果 d 减一大于等于零，就需要取一减去 x 的 部分。 f d 减一，得到的结果就是一减去 d 减一，整体大于二分之一，它是二减 d。 推出 d 小 于二分之三，这里是 d 大 于一，似乎还可以取等。而这两个呢，是两种并列的情况，应该将它们两个并在一起， 零一， b 小 于二分之三，并且大于等于一，这里的空心就被填上，这里是空心，这两个并一起，当然是零到二分之三左右都开。第二问 x 不是 零，就说明他的定义域中没有零。这里需要说一个小考点，就是如果 x 可以 等零，并且是奇函数，那么 f 零一定是零。这个经常是一个隐藏条件，在这里就不用了，因为根本就没有这个点。 空心空心，这里是二的 x 次，这里当然也可以求 这个图像，把它翻上来之后是它，所以是负二的负 x 次。也可以从代数的角度来思考这个问题， x 和前边各加一个负 x 一 乘 x 二不等零，就是说明这两个一个为零的都没有。 f x c 小 于等于 f x 二，求证 d x c 包含 d x 二，这两个一个为零的都没有，那自然是不可能有，因为有的话就没有 f x c f x 二这一说了。需要分类，第一， x c 大于零， x 二小于零，这是必然成立的。因为 x 二小于零的时候， f x 二是正的，而 x 一 大于零， f x 一 为负，推出 f x 一 小于等于 f x 二，必然成立。 在求 d d x 一 就是每一个函数值比它大的构成的集合 x 一 在这里，函数值比它大的有这一段和这一段，所以 x 零加 d， 这里是 x 一 了，会属于 x 一 到正无穷并上负无穷到零。把 x 移过去退出 d， 就 属于 零到正无穷并上负无穷到负 x 一。 这其实也是所有的，当 x 一 为正时的结果，就是令到正无穷并上负无穷的负 x 一。 如果 x 一 是在其他的情况中也为正，也可以套用这个结果，这就是 d x 一 了。 d x 二哪一部分的函数值大于 x 二处的呢？是这一段也是两边都开 x 零加 d， 又写 x 零了，是 x 二需要属于 x 二到零， 也就是 d 属于零到负 x 二。第二种， x 一 大于零， x 二同样大于零，大于零的方向是单调递增的，所以 f x 一 小于等于 f x 二，就必须 x 一 也要小于等于 x 二， d x 一 不用求了，因为 x 一 大于零，就必然是这个结果，我们就直接来求 d x 二， dx 二也不用求了，因为这也是正的，正的都可以套用这个结果。 因为 x 一 小于等于 x 二，所以负 x 一 大于等于负 x 二，左边这一部分相等，右边这一部分满足了 dx 一 属于 dx 二的条件，推出这个也成立，上面这个也成立。 第三个，两个都负 x 二，上面求过 x 一， 就是将这里换成 x 一。 和上面也是同样的，因为也必须要求 x 一 小于 x 二，在这一方向同样是单增的，但是合并在一起可不能说单增，这也是易错点， 因为 x 一 小于等于 x 二，所以 x 一 的相反数就和大于等于 x 二的相反数，同样是满足 x 一 比 x 二小的条件。 这道题第三问才是真正的难点，所以我们第一问和第二问就先到这里，第三问，我们再用下一部分来做第三问。如果 f x 满足 f x 小 于等于 f x 二时， b x 包含 b x 二， x 大 于零小于一时， f x 小 于 f 零。求证。第一， f 零大于等于一， f 零大于等于一，有两点都不好说，第一点，本身这个不等式就很难下手，所以我们进行反证。 第二，这里除了 x 的 范围在一之外，其他地方还有角标都没有一啊。一是哪里来的？ y 轴上在这里有一， 但是因为这里是空心，所以只能写 x 区域零。负值二的 x 次方极限十一推出，一定会存在一个足够小的正数，在这里，只要 f 零稍微比一小那么一点点，就能插到 f 零和一中间去。 这时候已知的 fa 大 于 f 零，根据它就能推出 b a 包含于 d 零， 这就可以将 d a 和 d 零之间进行相互的转化。第二步，取 d 是 负二分之 a 及一个充分小的正数，但是又没有 a 大， 所以 a 加 d 得到的结果是二分之 a 依然是负数。 我们可以先写一下左边的单调性，因为这里是单增的 fa 加 d 大 于 fa， 一 方面看，这是单调性的表示，另外一方面看，这实际上是表示 d 属于 d， a 当然也属于 d 零， 这说明 d 属于 d 零。我们想构造矛盾，就需要证明 d 不 属于 d 零。 我们可以来看这个条件， x 大 于零，小于一的时候， f x 小 于 f 零，因为中间是小于号，就比较容易证明不属于 d 是 负二分之 a， 我 们就可以让 a 同时属于零到一，因为是一个充分小的数吗？哎，不行，得 d 属于零到一， d 是 充分小的正数，可以属于零到一，它要小于 f 零，推出 d 不 属于 d 零，这两个相反矛盾， 说明原来这一个不成立，那这一个就成立二单增，因为它只告诉我了左边是这样一个平滑增上去的曲线，但是右边呢？不知道呀，所以不能用导数，可不可导都不知道，应该用到的是定一 让 x 一 小于 x 二，并且这两个都是正数， 需要证明 f x 一 同样小于 f x 二。我们熟悉什么？我们是不是希望不等式的形式应该是 f x 一 加上和 f x 一 加上某一个数进行对比，我们其实可以把 x 二写成 x 一 加上 x 二减 x 一， 而 x 二减去 x 一 呢，我们就把它设为 h， 所以 x 一 小于 f， x 一 加 h 就是 我们想证明的结论。这里也有两种看法，第一种就是单调性的翻译。第二种，这个式子可以看作是 h 属于 dx 一， f a 加 h 一定大于 f a， 这里的 a 是 可以我们任取的一个数，当然必须保证 a 加 h 和 a 都是负的， 这样才能用到单调性。这就可以推出 h 属于 d a， 已知的 h 属于 d a， 要证 h 属于 dx 一， 需要什么？需要的是 d a 要包含于 dx 一， 需要 d a 包含于 d x e， 而这一个又再次需要一个函数值之间的不等式关系，因为我们将这两个倒过来就是这样的形式。 而既然 a 是 小于零的，为了满足单调性，所以 fa 必定是正的，那么让 f x c 小 于一个正数，我们是不是只需要证明 f x c 是 负的就行了？负的肯定小于正的。 并且我们来看这个图，这个图中零到正无穷单增没错，而且一旦是正方向的，这里全都是负的。但是我们为了预防这里写一个等号是小于等于零， 接下来我们就需要证明每一个 x 一 大于零， f x 一 都小于等于零。第一部分，因为零到一上的条件比较多，我们就先证零到一上 x 属于零到一。反正这道题目中的反正很多都是一个是集合的，还有一个是单调性的，这两个进行反正，所以我们先列单调性的，先把这个翻译一下，然后呢？插值，只有多插了一个值才容易讨论单调性， 由它可以直接推出存在 a 就 能插到 f x 一 和零中间去， f a 小 于 f x 一， 这就可以推出集合之间的关系。而且 f x 小 于 f 零，零可以怎么得到零？是 f x 加上负 x， 所以 我们就把负 x 当做那一个可以构造矛盾的变量 推出，负 x 会属于 d x， 同样也会属于 d a， 这里没有 e 啊，写错了，没有角到 e， 怎么找证据说明负 x 不 属于 d a 呢？那也是这里用了集合就需要用到单调性来说， 我们就可以将负 x 加上 a， 因为这一个小于 f a 就 能推出负 x， 就 不是 d a 中的这两个矛盾， 说明每一个零到一之间的都可以有 f x 小 于等于零，这是我们得到的第一个结论。第二部分 在这里写一写，需要证明每一个 p 大 于等于一都有 f p 同样是小于等于零，反正 f p 大 于零，大于零就可以在零和它中间插入一个数。 但是这里的结论，我们要正的就是每一个正方向的都是非正的，所以当我们想从零和正数中间差一个数的时候，肯定不能差正方向的，需要差负的存在必小于零，使得 f b 等于二的 b 次小于 f p 来画一个竖轴，零一 p b， 在 这里 b 和 p 中间是有关系的，我们把它们两个相减，得到 d， 这就可以得到一个关于 d 的 式子， d 要属于 d b， 因为 d 就是 p， 减去 b， 但当加上了加上了 b 之后，就能得到的是 p， 如果不加就是 b， 所以 它就属于 d， b 可以 满足这个不等式。 再取一个，取 a， a 是 在 b 左边， a 小 于 b 小 于零，我们这里证明的方向就可以来否定前面这一个，就构造一个 x 属于零到一，但是 f x 就是 大于零的， 我们就让 a 加 d 属于零到一。 因为单调性，所以 f a 加 d 一定会大于 f a， 而 f a 就是 大于零的，说明 f a 加 d 这一个自变量是零到一之间的函数值竟然是比零大的，很明显违反了我前面刚刚证完的结论。所以 在 p 大 于等于一上， f p 大 于零也不成立。所以无论什么时候，只要是正方向， f p 就 一定是小于等于零的，那就可以说明我们刚才一直没说明的在哪里。在这里， 这道题整体来说设计的很精巧，但是其中运用了数学分析的思想，差值、实数的稠密性和极限的翻译，所以整体来说还是比较难的。
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08:34查看AI文稿AI文稿大家好，我是张老师教学团队的周老师，今天来给大家讲一下这个二零二六年新高考全国一卷的第十四题，这是一道这个填空的压轴题，嗯， 这里是跟数量有关，这里啊， a 一 加到 a 三 n 是 等于 n 的 平方加 n， 然后这里有连续的九项是公比为 q 的 等比竖列，则 q 的 最大值。 那我们根据这一个我们可以知道这是前三 n 项的和，是等于这个 n 的 平方加上 n， 那 么我假设有这么一个竖列， b n 等于这个连续的三项， a 三 n 减一， a 三 n 减二，然后这是 a 三 n， 就 这样， 那么可以知道这个 a 三 n 减去 a s 三 n 减去这个三倍 n 减一的和， 那就可以知道它是应该是等于这 n 的 平方加 n 减去这里 n 减一的平方加上 n 减一， 这里我们可以得到是等于二 n 加二的， 这是二 n， 那 么如果是二 n 的 话，那么这里 a 一 a 二 a 三，它们三个加起来应该是等于二的。然后 a a 四， a 五， a 六， 它们三个加起来应该是等于四的。再就是 a 七 a 八 a 九， 它们加起来应该是等于这个六的。 那往这里假设就是这样的连续三项，它是等比数列， 那这里第一个我们就是二 n， 第二个我们就是二 n 加二， 这三组就是二 n 加四，就假设是第一种情况，就是连续的三组，他们都是他们连续三组形成的九项是等比数列，那我们可以这里就要满足这个二 n 加二的平方是等于二 n 乘以二 n 加四，那么左边展开就是四 n 的 平方加上四 n 加四，右边是等于四 n 的 平方，加上这个 八 n， 那 很明显这两边是不相等的， 这也是八 n， 那 么左边比右边它总会多出来一个四，那那这两位可以不相的，那么我这个情况就不行，那么我只能有第二种情况，那就是说 啊，我这里还是照抄， 那我第一组我就只拿拿出一个来，然后第二第二组，第三组，然后第四组我拿出两个来， 然后这样的情况的话，呃， 它乘等比数量，那么它它它都是呃公比，它和它也是等比数量，它和它等比，它和它等比， 那么公比的话，就是它除以它就是公比的三次方。因为这个 a 四和 a 七是相差三项， a 五跟 a 八也是相差三项， a 六跟 a 九也是相差三项，那么这个 q 的 三次方， 那这里是二 n 加二，二 n 加四，那就等于二 n 加四，比上二 n 加二，也就是等于这个一加上， 嗯，二 n 加二分之二， 而这里 n 它是呃大于等于一的，所以它这里是小于等于呃四，一加上呃四分之二，也就是二分之一，那么就是呃二分之三，对吧？ 那这里 q 的 q 就 小于这个三次根号下二分之三 啊。第三种情况哈，我们还是这样， 然后我这里的话，我就前面取， 取两项，后面取一项，那这也就变成还是跟前面也是跟前面一样啊，就是这中间它比，它就是它这个公比，就是也就是这我这里的 q 了三次方 是小于等于二分之三的， 那么这里这道题的答案就是，嗯， 三次根号下二分之三。当然很多高考的同学做到这题做完就可能就是心里已经很崩溃了，但是这个现在已经过去了，就不要去纠结这么多了。 然后我们来看一下它为什么第一种情况是不行的，然后第二种情况，第三种情况都可以，好，首先这个数量肯定是一个等差数量，它这三组，然后我这里， 我这里的话，第二种情况就就是它这里是二，对吧？假如它是二，那么它就是四， 那我只需要就是让它就是成为这个一就行了。 然后这里啊，或者这么说就是 啊他是二，对吧？那么然后，然后这一项是四，那么我要乘等比数列，前面就必须要有一个一才能成为等比数列。而他这里等差的话，我这里是需要让他 对，后面就是八， 但是后面需要是， 但这三项和就必须是等于六的，对吧？假如说这只是啊二四 六，但是他这里拿出一个跟他凑成一个等比，剩下拿出来是八，那么就他剩下的一个就跟他凑成一个数，假如说是负二，他八减加上负二就会等于六，就是这样个情况。
56:12查看AI文稿AI文稿今年新高考一卷考完，我有几个学生，我去问他最后一题考的啥，他跟我说最后一个题考的导数，然后呢？我拿到卷子一看，那你不炸了吗？最后一个题哪在考导数啊？同学们，看一下今年的新高考一卷，这最后一个题是导数吗？ 不是吧，同学们，这个题你是导数的前提是啥？你是导数的前提是你至少得是连续的吧， 并且你是光滑的吧，你不能像 x 的 绝对值和函数咬个尖，对不对？我们在大学呢，管它叫做连续可导，你才能导出去做。但是这个题你看它在 x 小 于零是确实。告诉你一个条件，告诉你在 x 小 于零是 f， x 是 等于二的 x 次方的。嗯，这很好。 ok， 然后其他条件有吧，你发现他之后，让你证 x 在 零到众无穷上单调递增。最后一问啊，其他的所有条件都没有提啊。因此，在零到众无穷上的， 至少说，我可以保证他的连续性是不能说的。可导性虽然也不能说，你如果都不连续来，怎么可导，对吧？所以说，这个题他一定不是个导数的题。事实上，你听我讲完，你会发现这个题考的是函数。如果说的夸张一点，这个题应该高一的期中考试就可以考了。 高一的期中考试考这个不是超纲的，他主要是难，他不超纲。那话不多说，我们继续来看这个题吧。 问题啊，作为一个新定义题，你对定义的理解直接影响做这个题的情况。他说函数 f x 的 定义域为 r， 嗯，不好啊，挺好的定义域的， 当 x 小 于零时呢？ f x 等于二的 x 次方，嗯，也没有问题。这题让我挺开心的。然后他告诉我说，对于任意的 x 零属于 r， 我 们定义了一个集合，这个集合长什么样呢？ d x 零，它等于 d 属于 r， 并且 f x 零加 d 这个值它要大于 f x 零。 同学们来看这个集合，这个集合你第一眼看的时候会有点看不懂，我教你怎么看。我们知道学集合，集合分为两个部分，第一个部分描述的集合里面有什么元素，第二个部分描述了对这个元素的限定。 那你先来看在这个数号之前的部分，就是第一个部分，他告诉你 d 属于 r， 所以 说哪怕这个 d 啥也没看到，你至少要告诉自己，这个几何是一个数级，对吧？里面装的是数，这个数的名字呢，叫做 d。 d 在 什么范围呢？ d 在 r 当中 好说明， d 是 一个实数，在实数轴上取的 d 好， 数间之后的部分是对这个元素的限定。对于这个元素的限定呢，是 f x 零加 d 要大于 f x 零。这应该是一个式子，必须要满足这个不等式。 相当于说，举个例子，你在不同的 d 进去，比如说 d 等于一，那如果 f x 零加一大于 f x 零，说明一就在这个集合里面。那反之，如果 f x 零加一不大于 f x 零，那么一就不在这个集合里面。这是个很好理解的概念，对不对？只要你了解了集合的基本定义，你就可以把这个东西想出来。 好，那既然如此，看起来这个题就解决了。看起来这个定义就读懂了，但你别急，在这个定义前面还有一个符号是 dx。 同学们，你们一般见到 dx 这种写法多吗？ 不多。我敢保证，你在看到这个题的第一页，你一定觉得这是个函数，因为 dx 零和 f x 零的写法实在是太像了呀。那现在你告诉我这是函数吗？ 不是。作为一个函数，基本要求是你输入的东西是一个数，输出的东西还是一个数，里面装的是 x 零没有问题，但是你看出来东西是个啥？ 你出来东西是个集合，相当于说这玩意一定不是函数了，但是它和函数有着相似性。什么相似性呢？你发现当我给不同的 x 零的时候，我出来的集合是不一样的。 因此你可以理解成这是一个类似函数的东西。它的作用什么呢？它的作用是你给一个 x 零，它给你一个对应的集合，并且这个集合它是一个数集， 不同的 x 零就会对应着不同的数集。这是一个最基本的概念，和函数是对应的。你函数是给 x 零就给 y 零嘛，给 x 零给一个数嘛。那么现在给了 x 零，它告诉你一个集合，这个集合呢？根据你给的 x 零不同也就不同， 我需要你明白这个基本的概念。因此，我们后面做题的过程中呢，虽然 d x 零不是函数，但是对它的很多分析和函数是非常相像的。那话不多说，我们来看第一小问。 第一小王说，若当 x 大 于等于零时， f x 等于一减 x， 让我求 d 负一。呃， f x 大 于等于零的解数是有了，小一年的解数也有了，那么这个函数是完全已知的。那么说白了，我要求 d 负一代入式子吧， d 负一就是当 x 零等于负一的时候， x 零等于负一，那么这个集合我们照抄宇宙，把 x 零带成负一就可以了，因它就是 d 属于 r 不 变，肯定 d 是 实数，并且我满足的要求是 f 负一 再加上小 d， 这个东西要大于 f 负一， 因此我们的本质只要解出 d 的 范围就可以了，对吧？我们只要知道 d 的 取值范围，就可以知道这个数值里面到底装了哪些数。那 d 的 取值范围呢？是由这个不等式决定的，因此我们需要单独的解一下这个不等式，这个不等式我们解一下 f 负一加上 d， 这个结果要大于 f 负一。好，那 f 负一是等于二的 x 方的，所以说 f 负一是等于二分之一的， 因此你现在的要求呢，就变成了 f 负一加 d 要大于二分之一， f 负一加 d 大 于二分之一，你现在想带的是它的解析式，那 f x 的 解析式是什么样的呢？ f x 的 解析式根据题意会分为两段，第一段它应该是等于 二的 x 次方，前提是 x 要小于零。第二段它应该是要等于一减 x， 前提是 x 要大于等于零。所以呢，在解析式的时候，自然要讨论一下 d 到底是哪个范围的吧。如果说 d 它是小于一的，那么对应的是第一个范围。当 d 小 于一时，我们的满足要求就是二的 x 次方，也就是二的负一加 d 次方，这个值必须要大于，必须要大于二分之一， 解出来我们只需要 d 大 于零就可以了。好，那么这就是我们对应的第一个范围，第二个范围一减 x， 也就是说，当 d 大 于等于大于等于一时，当 d 大 于等于一时，当第二个解去式对应的就是一减去负，一加 d， 这个东西要大于二分之一，我们把值带进去，一减负一加 d， 减号打开就是二，那么就变成了二减 d 要大于二分之一，二减 d 要大于二分之一，所以 d 小 于二分之三， d 小 于二分之三。 ok， 那 么总体的范围就是 d 大 于等于一，小于二分之三，或者 d 大 于零，小于等于一，最后合并起来 d 的 范围就是 d 属于 从最小最下界，应该是从 d 大 于零这开始的，也就是左界为零，右界的话是二分之三。 呃，所有的区间题我都建议你单独验一下，是否去等，你考虑一下，这是否去等呢？ d 等于零，这个零怎么来的？是来自于这个不等号，对吧？ 这个不等号能去等吗？显然不能去等大的原式吗？定义中就不能去等。好，二分之三来自哪呢？二分之三来自第二个不等号，那第二个不等号能去等吗？同样不能去等，所以这必然是开区间。因此第一问有了 d， 应该是在零到二分之三的，所以说你要求这个 d 负一，这个区间自然就是零到二分之三这个区间了。 ok， 第一问收工， 接下来我们进入第二问，第二问，先告诉我， f x 是 个奇函数，哎，这个条件好，对吧？因为 f x 他 已经告诉你当 x 小 于零的范围了，他知道说当 x 小 于零是 f x 等于二的， x 是 方的，那你又告诉我是个奇函数，那你呢？让我可以把 定域上的所有东西全求出来了。你不要觉得这不重要，考试就有分的，这一定是个考点。那这个考点摆在这，你把这一份拿了，不是轻轻松松嘛，对吧？那既然是，既然是，首先因为它的定域是 r， 所以 我首先能够确定，当 x 等于零时， 原式应该是等于零的。那最后我们的目标就是 x 大 于零，是该怎么取呢？当 x 大 于零是，这就用到了基友性用一半推另一半的标准做法了。因为我要求 x 大 于零，那我的 f x 它就会等于奇函数嘛？负的 f 负 x。 注意，此时负 x 的 整体就是小于零的，对吧？那既然负 x 的 整体是小于零呢？我们就可以代入第一个式子， x 小 于零时的二的 x 次方，于是这个式子又是负的二的负 x 次方。 好，因此这个函数的解析式就有了，和第一文差不多，也告诉你解析式。呃，有这个解析式之后呢？你如果想你可以把图画一画，画图的话也很简单，你知道在富无穷到零上，它是二的 x 次方，那应该长这样， 在这应该是个空心的圈，圆点的实心点在这，剩下一半是奇函数，你直接对乘过去也行。你画负的二的负 x 次方，我觉得也没有问题，你画出来图像哪能这样，是一个中间对选图形。好，那接着往下，他让我证明一个式子，他让我证明， 若 f x 一 小于等于 f x 二，那么 d x 二就必须是 d x 一 的子集。 嗯，也就是说，较小的这个函数值啊，它必须要是，它必须要能够包含较大的一个范围，对吧？那么这儿也就是 d x 一， 它必须要包含 d x 二。或者你反过来说，你告诉我 d x 二是 d x 一 的子集，我觉得这么说也没有问题，我这么写呢，是保证脚标一致嘛？ 那接下来我们来求一个值呗。我们来看一下这个 x 和后面的 dx 到底是什么样的关系，不同的 f x 或者不同的 x 到底会对应什么样的 dx？ 我 们以一个最简单的 x 为例，比如说假设我的 x 一 取来这个点， 这个点是我的 x 一， 那你告诉我，假设这个点是 x 一 dx 零在竖轴上，我可不可以形象的画出来呢？ 我试试啊。首先 d 可不可以是负数呢？如果 d 是 负数的话，此时的 f x 零加 d 就 会在 f x 零的左边，比如是在 f x 一 的左边， 那在 f x 一 的左边，你观察图像，很明显， f x 零加 d， 它是不能比 f x 一 大的，因此它肯定就不在这个集合当中，所以我知道 d 小 为零肯定不对，那 d 大 为零是否都对呢？我们来看一看，假设 d 大 为零，比如说往右一点，比如说在这个点标为是 x 一 加 d 这个点。 好，那如果这个点是 x 一 加 d， 你 观察这个点对应的函数值确实是比 f x 一 大的，对不对？因此我能够确定这一段的长度。 哎，比如说我从 x 一 到这，它有可能向右平移了零点五个单位，那么就能够确定二分之一肯定是在这个几何当中的，那它最大能够到多少呢？它最极限的地方应该是平移到这， 也就是说当地等于这一段的长度的时候达到极限，那这一段长度是多少呢？因为你这个地方的坐标是 x 一， 所以这段的长度本质上是负 x 一， 因此我能够确定它有一个范围，一定是零到负 x 一。 毫无疑问，零到负 x 一 应该是 d x 一 中的一部分，这肯定对。好，那我们继续再讲。那 d 如果再增大呢？ d 如果增大，比如说 d 等于恰好等于负的 x， 我 们验证一下，区间恰好等于负 x 一 的时候，左边相等就是零处的值。然后你看，很明显， f x 零减 x 也是 f 零等于零，零是不能大于 f x 零的，只要在这个图中不难。好，那我再距离增大呢？再距离增大，那我就跑到了右边这个地方。 那么跑到右边之后，你发现此时啊，它对应的函数值是负的，那么这个负的函数值更不可能比原本的 f x 要大了。因此，我们能够判断，在这个地方，它所对应的范围其实就是零到负的 x 一。 你发现这个事情还不算困难，对不对？ 所以我们不妨写一下 dx 一 吧。我们参照分段函数的写法，那 dx 一 根据图中画的情况，图中画的情况对应的其实是 x 一 小于零的情况，对吧？那 x 一 小于零，此数对应的范围是零到负的 x 一。 ok， 那 别的 x 呢？那我们来接着判断。假设 x 放在这儿， 或 x 一 恰好放在圆点，那如果 x 一 放在圆点，你思考一下此时的 d 应该怎么去？ 呃，我们要求 x 零加 d 要大于 f x 零，换言之，我就要找哪些 x 零加 d， 它对应的函数值是可以比零大的， 那哪些是比零大的呢？如果 d 为正数，那么 x 零加 d 在 右边不可能比零大。如果 d 为负数，那么 x 零加 d 在 左边，左边便是正的值，因此是可以的。所以说当它等于零的时候， 它对应的应该是负无穷到零，您能不能取呢？您不能取，因为很明显 f x 零不能大于 f x， 你 最多取等，对吧？好，那我们继续。那最后一个范围就是当 d 为正的时候， 有使 x e 跑在这个地方，那如果 x e 在 这的话，你思考一下 d 该怎么取啊？ d 取得值的要求是必须要使得我 x 零加 d， 对 应的函数值要比这个地方的函数值大，因此你马上可以判断 d 在 右边是可以的， d 往零到重无穷走都可以。然后 d 如果反向走的话，需要跑过零才可以， 因此它对应的范围会有两段。第一段 d 比较小， d 比较小呢，跑到了 x 零的左边，此时 f x 零加 d 在 零的左边对应的是非负的，那么肯定比这个地方的值大。 这种情况往右跑，往右跑，我随便跑一点都可以，因为我随便跑一点，我，我都一定比这个地方要大了。因此此时范围是两段，第一段应该是负无穷 f 的 x 一， 注意这里的 x 一 是可以去等的，因为我跑到边界点呢，是我跳射的圆点，圆点处对应的零值也比它大好。然后第二段应该是零到中球， 那这个集合对应的是 x 一 大于一的情况太漂亮了，对吧？我们之前说尝试用函数的办法去理解这个 dx， 现在你真的是用函数的办法理解的，你现在可以清清楚楚的告诉我，随着 x 的 变化， dx 到底是如何变化的，对不对？ 那现在我们来观察一下。那既然 dx 一， 你可以写 dx 二是一，你其实也可以写，你无非就是比较两个集合的关系嘛，对不对？那这就好比了呗。那我们来试一试啊， 分以下几类。呃，我要把 d x e d x r 带进去呢，我就要考虑 d x e， d x r 到底是它，它还是它，对不对？你随便带一个都可以。呃，事实上上下 上下一共三种可能性，你如果任意带的话，理论上理论上你感觉好像有九种可能性，但这没有必要。为什么呢？因为这我们需要满足的是 f x l 要大于等于 f x 一， 并且 x 一 乘 x 二是不等于零的。所以说我们需要讨论的其实就以下几种情况。第一种情况， f x 二比 x 比 f x 二比 x x 一 大，有可能两个人都是小于零的，也就是说 x 一 小于 x 二小于零， 这是第一种情况。第二种情况，他们有可能根本就不在这个区间之内，也就是说 x 二小于零，小于 x 一。 最后一种情况，他们两个人都在右边，那如果都在右边的话，此时对应的其实是 x 一 小于 x 二，但是 x 一 本身要大于零，此处对应的就是三种情况。那这三种情况分别意味着什么呢？ 你带左边的式子进去就可以，进去算就可以了。呃，第一种情况，两个人都小于零，两个人都小于零的话，带的是第一个式子，于是其中一个区间范围是零到负 x 一， 另外一个区间范围是零到负 x 二，那么这两个区间很明显满足这个包含关系没有问题。第二种可能性，你带它，那带它的话，其中一个范围是 x 一 大于零，所以 x 一 大于零，带最下面这个式子，也就是负无穷的，负的 x 一 并成零，到中无穷。呃， x 二小为零，带着上面这个式子是零到负的 x 二，很明显零到负 x 二在下面这个区间范围之内没有问题，那么最后一个范围也是同样的接待方法。 总之，你把三个范围分别带进去，你无非是判断三个几何的交变部，那三个几何的交变部，你发现最终都满足的是包含关系，因此第二位就解决了。 做完第二问其实还是蛮轻松的，对吧？但是我希望从第二问能够获得一个启发，那就是你发现你用函数的思想尝试去理解的 d x， 你 再观察随着 x 变化的时候， d 到底怎么变，这个启发怎么来的？是用它的形式来的。 你要知道，从本质上呢，这就是一个随着值变换的集合，那这个集合变换出来长啥样？文理应是给解决解决式的。同时，你要明白另外一个问题，你发现在做第二问的时候，高度依赖的图像，这其实是不好的，对吧？ 因为如果画不出图像，其实也没办法的。那你如果写直的话，写解决式能不能写呢？也能写，但是你要写直，你要用代数的办法解决这个题，前提是解决是知道这个题第二问能做，但是到第三问可就没有那么轻松了。 第三问出的特有意思，非常非常有水准的一个题，我觉得这个出题人可能关了三个月，有一个月在想这个题的第三问该怎么出，非常的漂亮啊，来跟我分析。呃，首先第三问，他有两个小问，他告诉了一个大题干，他告诉我函数 f x 呢？满足一定的条件。第一个条件，如果 f x 一， 嗯，它是小于等于 f x 二的好，那么会有什么呢？会有 d x 一 应该反而是比较大的，它会包含 d x 二。 ok， 这是要告诉我的第一个条件，同学们觉得这个条件合理吗？ 这个条件其实你看起来不陌生，对吧？因为这个条件，你发现你在第二问题是见过这个条件的。哎，你在第二问的时候告诉你了，第二，我们挣的就是什么条件，第二问让你挣的就是他。好，那你现在回过头来看这个条件呢？是否是直观上、主观上合理的呢？ 哎，你看这个几何的产生条件，他说是 f x 一 小于等于 f x 二的前提下， f x 二是更大的。 你观察一下原本的集合，我的要求是 f x 零加 d， 它说大于还是小于啊？它说大于 f x 零。 换言之，这个 f x 零就跟个守门员一样摆在这，对不对？我只有 x 零加 d 比 f x 零大，我才有资格进入 dx 零这个集合。因此， f x 零直接决定了我一个数或者我一个 d， 它到底能不能进 dx 零。 那换言之，你思考一下， f x 零是更大更容易进，还是更小更容易进啊？很明显， f x 零更大越大，那么我要进入 dx 零这个集合就越困难。 换言之，如果 f x 二它更大，那么 f x 二对应的那个集合，这个 dx 二就更小，你想对吧？ 因为我要求变得更严苛了吧。我此时把这儿的 f x 已经当做了守门员，那这个守门员守在这儿，我必须要比 f x 要大，我才有资格进回集合。那现在你能进吗？ 越大越不能进，对不对？所以说 d f x 二应该对的是较小的 d x 二，这个从直觉上是成立的。 ok， 那 接着往下打开群二，群二说，他说当 x 在 零到一的时候，他说 f x 小 于 f 零。哎， 为什么要限制 x 在 零到一之间啊？其实我看到这个条件我是诧异的，为啥？一有什么特别的吗？你说您特别，我认了，您确实特别，因为您是它的分界线。那一呢？一你不知道，一是干啥的呢？ 所以说先有两种可能性。第一种可能性，一可能就是个特别的点，比如说一是这个函数的极致点，或者说这个函数的间断点，或者说这个函数的某个特殊点，反正它很特殊。 第二种可能性，我取的本来就不是个一，就不是个特殊的一，我要的是一般的数，换言之，照我改成二，改成三，这个题照样能出。我用的并不是说我要具体到它到几，我只需要说它在某一段上满足就可以了，这是第二种可能性。呃，我个人觉得第二个可能性可能性更大， 它只不过是描述有一段范围内是满足这个条件的而已。好，那他告诉我 f x 整体是小于 f 零的。 来看下第一小问，第一小问的目标是什么呢？我要证的是 f 零，它要大于等于一。 ok， 思考几个问题。首先，为什么是一？不是别人？ 我同学说，老师，你上面不就起了个特殊的 e 吗？这个特殊的 e 和下面这个特殊的 e， 你 风马牛不相及啊。因为这个是对 x 的 限定，这个很明显的函数值嘛，对吧？那这个 e 作为函数值有没有让你想到什么东西啊？ 哎，没错，这个函数的左边这个函数在负无穷到零上是二的 x 次方。换元制的图像长这样在这是空心圈，因此这个一对应的点相当于是这 这个地方是一对吧。那既然这个地方是一的话那换元制我的要求是什么呢？我的要求都是 f 零他必须要比这个一所在的位置要大， 这是我要证明的东西。 ok？ 当你要证明这个东西的时候你第一瞬间想到是不可思议。为什么不可思议呢？因为你觉得如果我要说明 f 零大于等于一我没有任何信息说明它呀，现在给我的信息太少了，我其他条件我都没有啊。 当你觉得不可思议的时候你要问自己那如果它小于一会怎么样呢？那是不是该说小于一是不成立的对吧？ 既然我大于等于一我不太好整，那我反过来吧，我用反正法我证明什么呢？我证明小于他不成立。你们要他大于等于一，我叛逆我倔强。我就说我偏要他小于又怎么样呢？偏要他小于肯定是不对的。那为什么不对呢？我们来试一下。因此这个题我们尝试用反正法去探讨一下。 因为你用别的办法你发现你没有资格说明他好，那反正吧，试一试呗，你就倔呗。那你倔一下试一下啊。那如果 f 零他真的小于一你会有什么样的结论？ 同学们我们有一句话叫做知足常乐对吧？呃经常有一个人生哲理你如果看过些鸡汤的话他说你要执着于眼前有的东西，不要执着于眼前没有的东西。那假设你现在就有 f 零小于一，你告诉我你可以有什么信息 告诉我 f 零小于一的话，那很明显我 d 零的守门员我找到了，对吧？也就是说 d 零我可以想办法写出来， 那我想一下 d 零应该怎么写？写 d 零的时候就想象 f 零加 d s 零等于零吧，那 f 零加 d 就是 f d， f d 要大于 f 零，换言之，我就在找哪些范围对应的 d， 它比 f 零要大。我们 f 零在图上取一取，比如说我零可以在这，我 f 零可以取到这，我 f 零呢？也可以取到。下面 两种情况都能取。如果取上面这种情况， f 零在零到一的范围之内，思考一下，哪些 d 可以 让它大于零呢？ 哪些 d 可以 让它大于 f 零呢？那很明显大于零的 d 当然是这个范围吧，也就是说我这个范围，哎，对应的 d 它是能够满足 f 零加 d 就是 f 要比 f 零大的。那如果 f 零在下面呢？ f 零在下面的话，范围就宽了，我左边的所有都行，当然你会问我老师右边怎么考虑？我右边考了个寂寞， 我右边啥都不知道，我考那个啥。你右边这个函数现在连续性没有，单调性没有，啥性都没有。所以说我肯定先不考虑右边啊，我至少保证这个几何里面有一些东西吧，对吧？也就是说我考虑 f 零的话，我至少保证 f 零的范围长什么样呢？ 这个地里面应该有啥呢？这个地里面它至少应该有以下两部分，第一部分就是负无穷到零， 这对应的是 f 零小于零的时候，小于等于零吧。如果 f 零小于零，那么它的范围将会包含负无穷到零。我并不否认正无穷的存在，在零到正无穷可能也有，但到底有多少我不知道，我先不说，可以吧，我关注我有的东西。好，那同样道理，它也可以是一个负的问号的零， 那为什么负的问号呢？你看到这是一段，对吧？代表是一个简单的一小段，此时对应的是 f 零，它在零到一之间的时候， 那零，那右边是不是完全不能考虑呢？其实也不是不行啊，因为你观察它，告诉你一个条件，当 x 在 零到一的时候， f 零是小于 f 零， f x 是 小于 f 零的，也就代表假设我的 d 属于零到一， 那它会满足什么呢？会满足 f 零加 d， 这个值必须要小于 f 零。换言之，我除了知道这两个是它可能的范围之外，我一定知道有人不在里面。谁不在里面呢？零到一不在， ok， 那 其他的不好说。你问我一道钟，我存在不在，我不知道。好，那你要执着你有的东西啊，你考虑一下 d 零在这， 我很明显是想要找另外一个 d 和它作比较。那你就想到你的第一条定律，你还没有用，对吧？ 那根据第一条定律， dx 一 是 dx 二的值集，因此你现在要思考的就是 f x 一 和 f x 二我该怎么去命。 你现在可以明白至少一个事情，那就是如果你要用第一个结论的话，根据你现在对 d 零的讨论，你应该要把 x 一 或者 x 二至少有一个人变成零吧。那我问你，你变 x， 你 变 x 一 还是变 x 二啊？ 换我的话，我肯定变 x 一 为零啊。为啥？因为你看他讨论的时候，那讨论的时候讨论的是 f 零小一，换言的是，你要需要说明的是， f 零比一小这一长段往下富无穷都可以。因此我 f 零我讨论成较小的一方比较好。 我如果把 f 零想象成较大的一方的话，那比它小的东西很难找，是吧？因此我就讨论说，哎，假设 x 一 就去零这个地方， 我 x 一 选，那我就要找一个 f x 二比它大，而且最好这个 f x 二是我能够找到的一个 f x 二。你说老师，我找 f x 二大问题可不可以呢？不是不可以，但是 f x 二大问题你从哪找呢？对吧？ f x 二大问题你从哪找你都不知道，所以说我不着急，我找谁呢？我找这吧， 你看我这个点可以吧？我这个点我取 x 二，因为你想，不管我的 f x 零，不管我的 f 零，它取这一段的哪个地方，都一定存在这一段上的某个数，相当于说存在 x 二小于零是可以比 f 零大的。 换言之，这个 x 二它一定是可以取到小于零的一个数的，并且是存在的。 好，我们假设我们就取 x 二， ok， 那 现在会有什么结论呢？现在会有 dx 一， 包含 dx 二，相当于说 dx 一 也是 d 零是较大的一个集合，而 d x 二是较小的一个集合， ok， 那 d 零是较大的一个集合。 d x 二我还不知道等啥样，但 d 零我知道， d 零我很清楚，我他们跑过，是吧？ d 零在这， 同学们要关注自己有的东西，你看，虽然现在我在 d 零的讨论有这么多，但是你是不是总能找到一个特别的地方？你发现我对 d 零的讨论在这儿有一个地方是一直不变的，是什么呀？ 零度一不在里面呀，对吧？同学们， d x 一 是一个较小的集合， 根据包含关系较大的这个集合里面有的东西，请问较小的集合一定有吗？不一定，我包含他嘛，对吧？所以说他有的东西他不一定有，但是反过来呢？如果他没有的东西呢？较大的集合里面没有的元素，较小的集合里面一定不能有的。 因此我们可以切切实实的得到一个推断，零到一也不能够在 dx 二里面，对吧？ 我这可以连起来，零到一不在 d x 二里面，如果在 d x 二里面就矛盾了，那零到一到底在不在呢？你分析下 d x 二， d x 二 x 二取的是这个点，那你思考一下，当我 x 二真的摆在这的话，根据你上一个的讨论，如果 x 二真的是摆在小里面的这个地方，它的区间应该是怎么样的， 你还记得吗？没错，它的区间应该是零到负 x 二， 是这样吧，至少零到负 x 二是在里面的。你告诉我说，再往右走，比负 x 二大到 x 轴的右边在不在呢？我不保证，但是零到负 x 二一定在。 那我现在问你了，零到负 x 二一定在这个集合里面，和零到一不在这个集合里面，这两个条件可以同时存在吗？ 当然不可以了，为啥你至少保证零右边的一个小点不能在，对吧？你仔细一想，这两个集合他们是一定会有交集的，你要求上面的一定在，下面的不在，这绝对是矛盾的。如果你用更切实的数学员来讲，就一定是存在一个， 因为零到负 x 二吗？对吧？零到负 x 二是个范围，那我一定是存在一个 x， 比如说取 x 三吧，这个 x 三它大于零，小于负 x 二，那根据刚才对第二的推断，它在集合里面，而根据刚才对第零的推断， x 三又不能在集合里面， 因此我们可以说明此事矛盾。你这可以加一个，它是负 x 二，比负 x 二和一都要小，那么这个 x 三一样是可以取得出来的存在。好，那么第三小题的第一小我们就整完了。 这个第一小问，如果你脑袋机灵一点的话，是可以挣出来的。第一呢？你要想到，我反正反调降一点，你让我大一点一，我偏让你小一，我看你小一到底会出什么岔子。第二点，你要知道，我学会带元式的目标，我要尝试把两个条件用起来，我要去寻找我有什么东西，而不执着于我没有的东西。 ok， 那 继续吧。我们来看到第三、第三小问的第二小问，也就是最后一个问题。最后一个问题我觉得非常的漂亮，你如果听我讲完，你会觉得挺容易的，但是你自己做，我觉得大概也做不出来。好，那这应该怎么做呢？ 你先思考一下他最后一问，让你证名单调递增，你目前有的证名单调递增的办法其实并不多，对吧？求导算一个，你最喜欢，但是我说的这个题求不了导，因为你在临到中午，从这个范围之内不保证连续，也不保证，也不保证可导， 在这种情况下求导很明显是错的。好，那没有求导的话，你现在能用于的，对于抽象来说，你就只能想到一个定义法，对不对？也只能想到说我定义一个 x 小 于 x 二，是不是都有 f x 小 于 f x 二呢？你有这么一个想法，对，没问题，单调性的定义也很好。 但是我希望你在做最后一问之前，你一定要知道前面的题对它是有启示的。我们在做第三题第一小问的时候，在讨论 d x 二的时候，是不是用到了第二小问的结论啊？ 用到了，对吧？你在第二小问的时候，已经表示出来 d x 二到底长什么样了。那同样的道理，你现在做最后一问第三小题的第二小问，你也会用到第三小题第一小问的一些思想 来吧。那第三小题的第一小问给了你什么样的思想呢？你首先知道一个事，那就是并不是所有的 x 都行，对不对？你的想法是说，我能不能找一个 x 式的存在？但现在你很明显发现 f x 不 能随便取， 哪怕你有一个直觉。你有一个直觉什么样呢？你有一个直觉是，当 f x r 更大的时候，你应 f x r 的 范围就是更小的，你应 d x r 更小，这是你的直觉。但是现在发现这个直觉它不一定正确了。那它到底是为什么不正确？ 我们把点给细化一下，来观察一下他到底为什么不准确。呃，在刚才的例子中呢，我们主要是找到了谁推翻了这个结论啊？哦，我们主要是找到了 x 三推翻这个结论，对吧？ x 三，在这 我们找到了 x 三， x 三位于零和负， x 二和一的中间。找到这 x 三之后，我们发现 x 三一个一定在某个集合里面，而又一定不在另一个集合里面，此时推出矛盾。换言之，这是我们上一步反证法的核心， x 三在某个集合，而不在另一个集合推出矛盾， 那同样的道理，我们能不能尝试用一用呢？就比如说，你思考一下某几个点能不能同时存在在这个曲线上吧，我给你画一个最简单的例子。呃，如果我在这个曲线上已经标注了这样一个点和这样一个点， 好，这两个点的间隔呢？我假设设为是一吧，这两个点的间隔我设为是一。 ok， 那 我问你，我标的下一个点，我可以怎么标？假设下个点标这吧。 好，现在我已经标设三个点了，对不对？那么由这三个点，你能不能得到什么信息呢？ 根据刚才的想法啊，根据刚才的想法，你刚才的想法说的是某个一定要在另一个的里面，一个夹在两个区间中间的点，恰好打破这个平衡，对吧？所以夹在两个区间中间的点，我可以想成这个点， 这个点我标为 x 一 的点，这个点标为 x 三的点。 那现在我们关注的就是其中某一个元素，那某一个元素对于 x 一 而言，我们思考一下 x 一 它是一个较低的位置，对不对？那么假设我们去写 d x 一 的话，应该怎么样呢？ dx 里面，你告诉我它有没有一啊？ dx 一 里面有没有一，你就看 fx 一 加一和 fx 一 的关系，那很明显， fx 一 加一是比它大的，所以说 dx 一 里面它是有一的， 这点没问题。那 dx 三里面呢？ dx 三里面我倒不好说它有没有一， 但是你思考，由于 x 三本身的点位要比前面的这个 x 一 它要更低， 那么根据我们一开始的结论，我们认为函数值更小的对应的 d， 它包含的范围本质上是更大的。所以对于 dx 三而言，你会要求 dx 三它必须要包含 dx 一， 那 d x 一 里面它是有一的，于是 d x 三里面它也必须要有一。 那 d x 三里面有一，意味着什么呀？ d x 三里面有一，也就意味着对于 f x 而言，对于上面这个式子而言， x 三右边的一个值， x 三加一 这个地方对应的函数值必须要比 d x 三要大。因为只有保证 x 三加一对应的函数值比 x 三大，我们才能保证 x 三里面是一定有一的。 相当于我们用有没有一这个范围去划定了下个点的位置，下个点的位置必定在右边一个位置必定在右边的这个地方相当于下个点 x 三加一个点必定比 x 三大。 那有同学问老师，那既然你能够讨论有没有一，我能不能讨论没有负一呢？也是醒的。举个例子，你来观察下 d x 三， d x 三往左移一个单位的话，是 d x 二，对不对？这个 x 二比 x 三大，所以我能够保证 d x 三里面一定是有负一的，是吧？ 那 x 三里面有负一，那 x 一 里面有没有负一呢？因为 d x 三它包含 d x 一， 那么由于 x 三里面有负一，那么 x 一 里面有没有负一呢？ 不敢保证 x 一 里面有没有负一，我们是不能保证的，你只能够说明说，呃， x 一 里面它可能有负一，也可能没有负一，因为这个数 x 一 是右边的这个东西，它是子集， 我较大的集合有负一，不代表较小的集合有负一，所以说这个推并不是正一负一都可以。不过我们至少找到了一个最基本的模型，就是说，假设我们在这个图中，你告诉了我 d x 一 里面有 e， 那 我们推断比它低的这个点， d x 三里面它也是一定有 e 的。 好，这个基本模型我希望你能够记住，我也希望你能够记住。第二文的证明的时候给你这种感觉。我本质上的分水岭是来是用什么分的呢？是用某个集合到底在这个集合，某个元素到底在集合里面，还是不在集合里面做的区分？ 好？接下来我擦黑板，通过刚才有一无一模型，你选了三个点，你发现了它有一无一模型选了三个点，分别在这，我这选一个点 x 一， 这选一个点 x 二，我在等距离的选一个点 x 三。你知道 d x 一 里面它一定是有一的， 而又因为 x 三比 x 一 小， f x 三它是小于 f x 一 的，因此 d x 一 它必须要被 d x 三包起来。又因为你告诉我 d x 一 里面是有 e 的， 所以说 d x 三里面它必然会有 e， 那 d x 三里面有一，也就意味着 x 三往右的一个点，比如说我标了 x 四，这个 x 四它必须要比 x 三大，是这样吧，同学们， 那同样的道理会得出另一个更漂亮的结论了。是啥？你看好我 x 三要在这吗？ 不一定，我其实并没有要求 x 二和 x 三的距离，对吧？我 x 三我画在这行不行？我画在屏幕的最右边，我画在这， 我 x 三跑这来了。 x 三比 x 二大的多，可以吗？可以，只要你的 x 二水平线比 x 一 小， f x 三小于 f x 一， 那么它的下一个点 x 四就必然要比它高，因为这样能够保证有一在里面。 换言之，我这个 x 三画哪其实无所谓。换言之，有没有这么一种感觉，就是感觉只要在 x 一 的水平线以下， 当我在 x 一 的水平线以下的时候，我画了任何一个点，因为在他这个线以下的任何一个点对应，我随便找一个点，这个点都可以认为是 x 三，这个 x 三对应的 f 都小于 f x 一， 而这个 x 三里面对应的 d 一定含有一。是不是让你感觉到下面好像都是单层的， 是吧？因为我下面随便找一个点，往右走一个单位点都在它上方，所以说给人感觉下面单词好 有这种直觉的。这个题好多了呀，你刚才说你找的直是多少来着？你找了直是，哎，你找的直是一，对吧？那你现在找一的话不太一般，我们找个更一般的直。比如说我们找一个最小的限定，我们找一个得它 x 来试一下， 我们尝试把德塔 x 当做一个分水岭，把德塔 x 当做一个分结点，那如果把德塔 x 当这个分结点的话，我们不妨，我们不妨假设德塔 x 是 一个正的很小的数吧，这是一个正的很小的数，是德塔 x， 相当于是零点零零零零零一。 好，然后你分析一下，对于原本的这个函数而言，它的那条，它的那条横切线应该在哪儿？ ok， 这个函数左边我知道，右边我且不说，我们先来看一下哪些集合，哪些点对应的集合是包含了 delta x 了吧？来，我问你，这个点对应的集合是否包含 delta x 呢？ 正的的差 x 包含，是吧？因为这个点往右走，正的的差 x f x 零加的差 x 应该是比这个要大的，所以说我能够保证这个点它是包含的差 x 的。 那因为这个点包含了的差 x， 我 可以知道什么事呢？我可以知道所有比它低的点 都要包含 derta x， 因为所有比它低的点，按照我的定义，它应该是更大的集合。海纳百川必定包含 derta x， 因此所有在它下方的点都要包含。那同样的道理，你告诉我这个点是否包含 derta x 呢？ 也包含，对吧？因此对于我来讲，整个包含 derta x 的 重作表有哪些？应该是这一段 我能保证这一段一定都是包含的 x 的， 没问题吧？甚至我上面可以点实心， 因为即使我的函数值取到去一的地方，我依然是包含的 x 的， 我能保证这一段一定包含的 x。 同时我还保证因为这一段包含的 x， 所以 这一段的上方的点你思考一下，比如说我在这儿点一个点， 请问这个点对应的 d， 它该不该有 delta x？ 该有，这个集合里面应该有 delta x， 为啥？ 呃呃，不，不给，不一定有 delta x， 因为较低的点是海纳百川的，较高的点范围是更小的，因为 d 的 位置更高，所以说 d 的 集合，按照我的规定， d 的 集合里面包含的数可能会更少。我下面的区域含不含 delta x？ 我 打问号， 那在它下面呢？在它下面，那还说啥了？同学们，由于上面的地方都包含了你，越往下范围是越宽泛的，按照它的意思，越往下的函数值对应的 d 对 应的集合应该是更大的集合， 因此我现在标注红色这一段还是 delta x， 我 继续往下走，再往下这一段，均喊 delta x， 对 吧？那什么意思呢？意思就是说，若 f x， 我 只要保证这个 f x 在 这一段之下，你发现其实只要这个 f x 小 于等于一就可以了。呃，保险起见，这个空心实就不是特别好讨论，因为我不清楚，右边还没有点，但是我 小于是没问题的，就只要 f x 它比一小，那我可以保证你是一定函数 x 的， 也就是说，此时的 d x， 它一定是含的它 x 的， 这个的 x 是 我刚才取的这个小的正数，那此时的 d x 含的 x 也就意味着什么呢？也就意味着 f x 加的 x 这个东西必然要大于 f x， 是 吧？这没问题。而当然，你说老师，那我能否说明 f x 在 小一的时候是单增的呢？ 呃，这个不好说，你只能说我取两个 x， 如果两个 x 都在小于一的范围之内，这两个 x 啊，这两个 x 对 应的 f x 都小于一，那他俩都小于一，我的确可以满足，因为如果他俩都小于，一定有一个大的和一个小的，对吧？那一个较大的一个人一定可以通过加无数个的 x 到达。 就比如说，你选了两个 f， 一个是 f 一， 一个是 f 四，你告诉我 f 一 是小而一的， f 四也是小而一的，你让我，你让我去推它两之间的关系，那我是可以推得出来的。为什么呢？因为一加无数个的 x， 它一定是给到达四的，那一加无数个的 x 可以 到达四，那连等号就会更大，因此 f 四就一定大于 f 一。 这没问题。你从这个继续往下推，你就可以知道，如果我的 x 一 和 x 二，它俩都在零到一的范它它俩它都是 f 啊，它都是小于一的情况下， 小于一，那是负乘到一，在这个范围之内，我一定是可以推出 x 一 小于 x 二的，这个没问题。那这个是不是等价它单调递增呢？不等价对吧？你单调递增，你还要保证我在全部的范围之内，你现在只保证了这一段，那剩下的一段怎么搞呢？ 我们说你除了 der 它 x 可以 判断之外，其实还有另一个点，你也可以判断是谁是负的 der 它 x。 来，我们来试一试负的 der 它 x 的 结果呢？如果我考虑 der der x， 考虑负的一个小值，那你告诉我说，呃，哪些范围是含 der x， 哪些范围是不含 der x 的？ 我们考是考的这个点，它是这么点的。这个点如果往左移一小段，对应的函数值很明显是更小的，因此我可以断定这个点它不含括号 x， 对 吧？ 它一定是不含赋值 x 的。 同样道理，上面这个点也是不含赋值 x 的。 因此，在这我用另一条红线表示，我还是对着 y 轴画，我表示的是不含 dx 对 应的范围。那么哪些坐标对应是不含 dx 呢？我就想能够保证这一段， 呃，我保险起点两边都打空心儿吧。事实上，上面可以打实心儿，但我保险起点都打空心儿。好，我可以保证这一段皱红色这一段儿就是不含 delta x 的 一段儿， 负的 delta x 的 一段儿，对吧？因为这一段儿你把负的 x 带进去，负的 x 带进去，很明显是不满足我的要求的。因此，这一段对应的左边这一段图像上面的所有点对应的集合，这个集合是不含负的 x 的。 那同样道理，你思考一下，区间的包含关系，区间包含关系，此时我能够推知的可以在它上面找。就比如说，我在上面取了一个点，你考虑这个 d 靠下的范围是海纳百川的，靠上的范围是更少的，靠下的范围是更宽泛的，那在这个更宽泛的范围内，你都不含 for delta x 了，你觉得上面还能含吗？不能含，所以说我们这条线可以往上延伸， 在我现在画出的这一条线内，它都是不含负的 delta x 的。 那不含负的 delta x 是 什么概念呢？相当于说，若 f x 是 大于零的，你看现在我主要是大于零，对吧？那么大于零所对应的所有的 delta x 里面， d x 它都是不含负的 the x 的。 那 d x 不 含负的 the x 意味着什么？也就意味着负的 the x 代进 d x 方程是不成立的。也就是说， f x 减得 x， 它应该是要小于等于 f x 的。 好同学们，挂上这个式子，得 x 是 一个很小的正值， f x 减得 x， x 小 于等于 f x， 你 看这个式子是不是可以说明它是单增的？ 能吧？所以说，同样的道理，你也可以说明，如果我取还是两个比较，还是两个值吧。就比如说我取一个 f 一， 你告诉我 f 一， 它是假设，告诉我是大于零的，又取了一个 f 四， 你告诉我 f 四也是大于零的，那我们可以说明什么呢？我从 f 四开始，一点一点的减得 x， 减得 x， 我 最终是可以到 f 一 的。也就是说，只要你们两个都在大于零的范畴之内，我一定可以保证个什么事呢？我一定可以保证 f 四是大于 f 一 的，这可以去等大于等于吧，如果你这全部去等的话，最后就会去等，但是大于等于还是小于等于，不影响单调性，广义的单调性是可以让你等于的。如果说你要求严格大于的话，那叫做严格单增或者严格单减，这只说单调低等，没说严不严格。所以说这取等照样可以证明。 此时呢，我们就可以说明，对于任意的 f x 一 和 f x 二，只要你能保证它们两个人都在负，都在什么范围，大于零的范围内，都在零到众无穷这个范围之内。那么我是一定可以推出你要的这个结论的，也就是说，我一定可以推出 x 一 小于 x， 我一定可以退缩单证，我一定可以退缩单证。好，那现在证明出来两段了呗，你现在知道怎么做了吧？两段，一段保证了当两者的值都小一的时候，必然单证。一段保证了两者的值都大于零的时候，必然单证。那你会问我老师，那万一一个大于零，一个小于零呢？ 一个大零，一个小零，简单，我找个媒记就行了，对吧？你告诉我说最后一种情况，如果 x 一， 就比如说 x 一， 它是我们算已知是 f x 一， 小 f x 二嘛，对吧？如果 x 一， 它 f x 一 这个值，它落在一个范围之内，比如说您告诉我它是小于零的，然后 f x 二在另一个范围之内， 比如说你告诉我 f x 二它是大于一的。嗯，保险起吊都去等把方向给包完，那么在这种情况下，你就可以反过来正 了。你找中间有个重合区，你发现大于零和小于一中间是有零到一，中间是有零到一是重合的部分，对吧？所以说你可以以一个重合的部分去做媒戒。什么意思呢？你告诉我 f x 一 是小于零的，那我就一定存在一个二分之一吧， 也就是说我一定可以有 f x 一 小于等于 f 二分之一，小于等于 f x 二。 为啥呢？你单看左边，或者这不是 f 二分之一啊，这应该这么写，这应该是一个特别的 f， 比如说我写成是 f x 三，只不过我保证这个 f x 三 它是等于二分之一的而已。那我不能保证它等于二分之一也没事，我保证它等于零到一，中间任何一个值都可以。那如果零到一之间没有值，那也没事，我保证它中间有一个零界值就可以。你总有一个最接近零界点的值的。好，我以一个中间取二分之一为例，我在中间有一个值，那么你看左边， 对于左边而言， f x 一 它是小为零的，二分之一它是小为一的。那我满足上面而言， f x 一 小于 x 三， 对右边而言， f x 三它是大于零的， f x 二它也是大于零的。那我满足下面这个要求，那我可以得到 x 三小于等于 x 二，于是最后的结论就得到了 x 一 小于等于 x 二。好。呃，那么这个球结束 也就说明呢？当 f x 二大于 f x 一 的时候，不管如何， x 一 是小于 f x 二的。呃。有一句话说的很好，叫做失去 简洁数学将会失去很多，如果不写简写的话，数学会变得很丑陋，但是如果失去严谨，数学将会失去一切。 所以说，我在证明的时候，我尽可能的用比较严谨的语言去说明这个题。呃，你如果一般一点的话，你直接讨论说得 x 就 可以了。你把上面这两个和在一起拼起来，按道理就能传，但我下面一定给你加一个这样的序数，在这样的序数中，你依然需要考虑这个 f 是 否能够取到 这个 f。 如果取不到零到一之间的所有数，那就以边界数来定就可以了。那就从边界数的角度来说明他们是对的。去找一个边界在零到一之间的边界，说明他是对的，也是可以的，没有问题。总之，你需要把这一点边界单独的分清楚。 呃，当然，我在网上看到另外的答案，他说我们是可以证明出来 f x 是 有个上界的，就比如说我可以证明出来 f x 一定小于一。我好像看到证明证明办法，他说我可以证明 f x 小 于一是恒成立的，那如果你能够证明 f x 小 于一，恒成立的话，那也行。 呃，目前他只告诉我了 f x 小 于一，它是能够保证在它能够保证在零到一这个范围内比较对吧？但其他范围不敢说。所以说对于网上的 这个答案呢，我现在还没有研究清楚，就先不讲。因此我只是先把两种结论都给你写出来。如果你能够通过某种办法细化 f x 的 范围的话，那么这个题你可以只讨论一半，另一半接着做就行。好，那么这个题结束了， 就我们做个总结吧。呃，这个题对于大多数考生来说，最容易想不到的神来之笔在哪呢？在我一开始对一的讨论，那就是你是怎么知道我想要取 x 一 x 二、 x 三、 x 四，然后你知道 x 四必须要在 x 三上跑了呢？ 这本质上是从第三问的第一小问抽出来的，因为在第三问的第一小问中，你挣了一个反证法，你挣了一个不可能的情况，那这个情况到底是为什么？不可能的？你把这个结果抽出来而已， 你把那个结果说出来，发现就是和这个一样的，同时它还用到了特殊的办法。我既然讨论一般的不容易，我讨论间隔一我都是容易的，对吧？那讨论间隔一的情况就是这样。然后还有一点，如果你观察的足够仔细，你可以发现，呃，事实上， dx dx 零它并不是由 x 零决定的， 它并不是单独 x 零决定的，它会受到 f x 零的影响。因此这个题目在讨论的时候，对 f x 零的也非常的看重。我们甚至在最后，你看，我们对于含 x 得 x 不 含 x 得 x 的 讨论是根据 f x 范围的讨论的， 就是说当 f x 在 某个范围内的时候，它一定不喊 dx， 当 f x 在 某个范围的时候，一定喊 dx。 我 们跟你这个讨论的同时，你还要学会去寻找你有的东西，你不要执着于没有的，就比如说老师，我看我往下延伸喊 dx， 往上延伸有没有呢？你管它干嘛？往上延伸有没有与你无关， 你只用管往下的就可以了。往下延伸含 delete x 就 说明这个东西对的。那往上延伸含不含？含，他肯定不含负 delete x， 那 你抓住有的东西就行。好吧，那么我觉得能够认真把视频看到这的同学应该不多。 应该不多，但是我希望你们能够从中有所收获。因为我知道其实有一些地方的老师他不一定能够从众有所收获，因为我知道其实有一些地方的地方我应该会补一期视频。 ok， 那 么就到这样，大家加油。
05:34查看AI文稿AI文稿好，今天我们来讲解一下二零二六年新高考一卷的这个多选压轴题啊，这个同这个题，很多同学考完就感觉说非常难，当然这个题我们在高考前最后一堂押题课专门讲过，考高考做题小题技巧，极限思想可以轻松的秒杀这个题的很多选项，我们一起来看一下。 他说一只圆 c 一 啊，是 x 减一的平方加 y 方圆， c 三是 x 的 平方加 y 减根号三的平方是这么三个圆是两两相切，切，大小一样的。 他说直线 l y 等于 k， x 加 b 与 c 一、 c 二、 c 三均有两个交点， g l 被 c 一、 c 二、 c 三截得的前长分别为 s 一、 s 二、 s 三，则下列四个选项哪些是正确的？ 那我们来看 a 啊， a 选项其实非常简单，他说 k 可以 取任意实数吗？我一看就是错的，为什么？只要我们掌握极限思想，我这个 k 趋于正无穷的时候， k 非常非常大的时候，那这个近乎于一条竖线。那我问你，一条竖线可能跟三个圆都有两个交点吗？显然是不可能的， 你最多跟两个月有两个交点，不可能跟三个月都有两个交点，所以一下就排出来，对吧？好，那 b 选项也非常简单， s 一 等于 s 二等于 s 三的直线共有三条，这个非常简单。那如果你看啊，我们比如说我们要， 我们要这三个相等，那我们比如说要先到先到这两个之间距离相等的话，是不是要跟这两个这个圆平行的一条直线，然后又要跟这个圆相等，那么就在他们两个中间了，那这个是根号三的话，所以这个点到之间距离就是二分之根号三，所以这里有一条， 对吧？然后同时跟这两个东西平行，是不是这里有一条，对吧？所以显然对称性就有三条，对吧？所以 b 选项就正确的，而且其他情况是不可能的，因为你要对称的话，你肯定得跟圆心平行，那么平行之间就这么三条的呀，不可能有其他多的直线， 所以我轻松的一分钟内就把 a、 b 选项搞定了。好，那 c 选项其实最难选项，他说这个 s 一 等于加 s 四，二加 s 三等于三的直线共多于三条。 这个题还是有点难的，那我们首先看啊，我们首先发现啊，第二问那个特殊直线，哎，他 s 一 等于 s 二等于 s 三的时候，刚刚就是等于三啊。你看当这个时候这个是不是二分之根号三，因为这个是根号三，所以这个点到间距离是二分之根号三，这个半径是一，所以我发现这个是二分之一，这个是二分之一，所以这个是一，这段也是一，然后，所以这段，所以这段也是一， 对不对？所以这三段都是一啊。当然我画的图略微不标准一点啊，应该稍微稍微上去一点，对吧？我们会发现这三段加起来刚刚就是三，所以就意味着对称型的三条。我们 b 选项中找到的三条是不是他都是，都是什么？是不是都是三？ 好，那具体多不多于三呢？这个问题有点难想，如果你要具体运算的硬算运算的话，那你考场上时间就被耗完了。所以考场上我做的话，我是先做斗选项的啊，我们先把斗选项做出来， c 选项迎刃而解了，我们先来看都， 他说当 b 等于零的时候， s 一 加 s 二加 s 三的最大值是三分之二，根号三，根号二十一，对不对呢？那我们 左选项就比较简单，因为 b 等于零的时候嘛，所以我们第一第二都可以表示的嘛。 y 等于 k x， 所以 它就 x， k x 减 y 等于零，我们利用两点那个点到之间距离公式，我们就可以轻松算出，第一等于第二等于 k 除以根号加一加 k 方。第三等于根号三除以根号加一加 k 方，对吧？那我们 s 一 s 二呢？非常简单，就是半径的平方减掉， 减掉点到之间距离平方，然后乘以两倍，对不对？等于这个，然后 s 一 加 s 二加 s 三，我们就可以轻松给它算出来，是不是就是这样子一个东西， 对吧？好，那这样子一个东西很多同学不会算，或者说很多同学去求导了，求导的话，你考场上你又做的慢了，因为这个时间就比较紧张，所以这个题怎么样做最快呢？我们是可以利用科西不等式的，我们首先将这个二提出来， 然后变成二加根号加 k 方减二，那我们要利用利用科西不等式，把它放成跟底下一样的，就是放在根号下加 k 方，那我们知道 a x 加上 b， y 是 不是小于等于根号下 a 方加 b 方乘以根可乘以根号下 x 方加 y 方呢？所以我们可以利用科西不等式给它进行 配错。那怎么配错呢？我们知道，我们，我们知道这个东西跟这个东西相乘，它是不是要变成 k 方加一的，所以说这里是不是肯定是根号三的平方，根号三的平方，三的 根号三，平方是三呀， k 方减二，加三才会是那个，对不对？所以就是二除以根号三，减乘根号三，所以我这里乘一个根号三啊，然后那我这里配错嘛？本来是二，所以我就是二除以根号三，为了给它配凑系数，那这里我就取一，然后是不是小于等于根号下这个四， 二除以根号下的平方就是四除以三，然后加上一，然后减乘根号下三，加上 k 方减二，所以说 k 方加一，所以就是根号下三分之七 乘以根号加 k 方加一，所以这个东西就小于等于两倍的根号下三分之七，一算就是三分之根号二十一。所以都有选项正确的，那都选项既然正确了， c 选项就非常简单了，为什么呢？我们会发现三分之根号二十一是大于三的，对不对？所以在某一个时候，它是不是会 取到最大值，比比三大好？那我们再一次利用极限思想，当这个 k 非常非常大的时候，近乎竖直线的时候，我们会发现，哎，如果 k 近乎竖直线的时候，你说这个，你说这个弦长加起来是多少？ 你说这个弦长加起来多少，是不是就是这个直径啊？是二喽？因为这两个近乎是零啊，所以当 k 非常非常大的时候，它 s 一 加 s， 二加 s 三等于零， 然后当 k 某一个时刻，它是不会取到三分之根号二十一，那么在这个中间它是连续变化的，肯定还会有一条是等于三的，那么原来的那个 b 选项的三条，再加上中间变化过程中的一条，那么至少是多余三条肯定是对的，所以这个 do 选项就 c 选项就正确了啊。 所以这个题答案就选 b c do 啊，要合理利用小题技巧，它就是能非常轻松快速解决的。好，本题我们就讲解到这里。
76高中数学教研
26:04查看AI文稿AI文稿好啊，二零二六年呐，这个高考数学已经完成了这个普遍反应啊，二零二六年全国一卷都比较难。我今天呢，就是主要是想看一下这个压轴题啊，这个压轴题出的是非常的新颖， 而且呢，计算量非常的小，这个思维含量极高啊。呃，这也属于是新定义问题，应该是，对吧， 这个题主要就是啥呢？就是第三问当中的第二小问啊，这个题啊，这个难度太大啊。呃，我是研究很长时间了。另外呢，就说第一问呢，也不简单， 但是呢，你要是能够把前两问做出来，我认为这就可以了，很难想象哈，有哪些同学能够在规定的时间内把这个题都给完整的做完，那确实是天才啊， 这题是谁出的哈，咱们不清楚啊。呃，总之呢，我觉得这个题啊，这个含金量特别高啊，和往年都不同。 呃，去年的压轴题吧，还有路可寻啊，这个题感觉都没有思路啊，特别是这个第二位啊，第一位呢，可能你要能想到用反证法的话呢，也可以啊。 今天呢，我主要是给同学们讲一下前两问，第三问的第一个啊，第二问呢，我也是准备要通过录屏的形式啊，这个给同学们详细的解析一下，我立正呢，让更多同学听懂。 呃，我已经完成了二零二零年到今年吧，这几年的全国卷的这个高考压轴题的视频解析。有的呢，我在网上已经发布了， 但是呢，我又重新解析一下，又重新详细的解析一下，有的题呢，可能还用到这个不同的方法。呃，需要的呢，可以去到 b 站我的课堂去关注 啊。今天呢，我们主要是把这个前两问啊，第三问呢，当中的第一小问呢，给完成了啊，这个第二小问呢，就是我通过录屏的形式啊，这个往这个发到 b 站我的课堂上去啊，有需要的你可以去关注啊。 那么这个题的提议是这样，已知这个函数 f x， 它的定义是 r 啊， 当 x 小 于零的时候呢，解析式他给了，然后呢，他定义了这样一个集合，什么集合呢？对，任意的 x 零属于实数集，定义这样一个集合，那么这个集合是什么意思呢？就说这个集合里的元素是 d 啊，这个 x 零呢，是任意的一个时数，这个既和，实际上就是说让你啊解这个不等式，这个不等式的解集关于 d 的 这个不等式的解集就是既和， d， 就是 这样的意思。 你比如说你 x 零啊，取一个值，对吧？你 x 零取一个值，是不是得到一个具体的关于 d 的 不等式了？然后你把这个 d 解出来，那就是这个这个集合的意思， 那么这个题的意思如果理解了，那么第一问呢，那就很容易了。那么第一问呢，我们看 它 x 大 于等于零的时候呢，它解式给了，小于零时的解解式也给了，对吧？也就是说呢，这个函数啊，它的解式式就都给了， 那么他让你求 d 负一，那 d 负一是什么意思？那就是 x 零取负一，对不对啊？是不是这么个意思？那么 x 零取负一的话，那就说让你解这个不等式，那就让你解什么不等式？就是让你解 f 负一，加 d 大 于 f 负一，哎，就是这样的意思，你把这个不等式给解出来，这就是 d 负一呗， 那么 f 负一加 d 大 于 f 负一，对吧？解析式它已经都给了，那么这个负一呢，是属于小一零的，所以说 f 负一把负一带到这里来了，那实际上它就等于什么二分之一，对不对？那么实际上它就让你解哪个不等式呢？就让你解这个不等式， 哎，就是让你解它，那这个不等式，这个负一加上 d 啊， 他是在哪个范围内呢？他还是小于零呢？还是大于内零呢？因为现在我们不知道，对吧？所以说呢，我们就应该分两种情况去讨论，那么第一种情况呢，那就是如果负一加上 d 要是小于零的话，那么这个表述就是变成啥？变成二的负一加上 d， 对吧？然后大于二分之一，那么二分之一你可以写成二的负一次方，对不对？ 如果这个负一加上 d 要是大于等于零呢，对吧？那还有一种可能呢，就是如果负一加上 d 要是大于等于零呢？ 那么这个时候啊，你把这个负一加上 d 呢？那就得往这个解析式里带，对吧？那么这个时候这个不等式的左边就变成啥了呢？变成一减去负一加上 d， 对吧？然后他大于二分之一，你就解这两个不等式组就可以了吧，对不对？解出的结果啊，是这个多少呢？是零到二分之三，应该是， 这个我就不详细的给你给你解了啊，这个第一问呢，应该是很容易就完成了啊，那么现在我们看这个第二种啊， 第二个呢，说若 f x 是 奇函数，那么 f x 一 小于等于 f x 二，且 x 一 和 x 二都不等于零，让你证明啊，这个集合是这个集合的子集，是不是这样的意思？ 那么这个第二问呢，这个函数解析式啊，也都给了，因为他给出了小一点的解析式，对吧？那么他又是奇函数，我们自然就知道了这个函数的整个的解析式，那么根据已知呢，这个 f s 应该等于什么呢？ 这里啊，还得需要特别的注意，有的同学可能啊，在写这个解析式的时候也会出现错误，你看 x 小 于零的时候的解析式啊，是二等于 x 四倍，对吧？ 那么由于它是奇函数啊，那我们就知道了， x 大 于零时的解析式，它是关于原点对称的，那就是负二的负 x c 对 不对？但是这里它 x 等于零的时候是啥呢？ x 等于零啊，你既不能往这里带是吧，也不能往这里带，因为你它这是小于零，没包括等于零。 那么我们知道他说这个函数的定义是二，而且是奇函数，我们知道如果一个函数是奇函数，且在零点有定义的话，那么 f 零一定等于零，所以这块一定是个零， 那么这个有的同学可能都给写错了啊，那么这个解析式啊，我们现在已经知道了，我们通过解析式呢，我们可以把图像大致的画一下，然后我们看一下什么样的呢？就是说 x 小 于零的时候，他的解析式啊，是递增，就这一段 图像呢，关于圆点对称对吧？那么 x 大 的解释呢，就是这样，同时呢，这个 x 等于零的时候， 是 x 等于零，说对吧？因此啊，这个函数的图像是两个曲线段啊，不包括端点，还得加上一个圆点， 那么我们看他说 f x 一 小于等于 f x 二，七 x 一 不等 x 二啊，七 x x 二不等零的时候，让你证明了这个几何是这个几何的子集， 那我们首先呢，应该啥呢？应该是把这个几何先给他写出来，表达的意思是什么意思？ 那么这个集合啊，这个集合在这个条件下说，在这个条件下，你看它是表达的是什么意思呢？我们看 当地当当 x 零要是大于零，当 x 零大于零，小于零等于零的时候，我们分这三种，三种情况，如果 x 零大于零， 你看这 d s 零是啥呀？能不能把 d s 零给它写出来？有的时候我们看看 d s 零到底等于什么，对吧？ 假如说 x 零啊，在这个位置，那你看 x 零，如果在这个位置的话，你说满足这个条件的 x 零加 d 在 哪里啊？ x 零加 d 呢？有可能比 x 零大，对吧？ x 零加 d 比 x 零大的时候，这个时候满足他大爷他，对吧？ 还有一种可能就是 x 零加 d， 有 可能在 y 轴的左边，这个所有的值都比它大，对不对？或者是跟圆点重合的时候，也可以吧？那这个时候呢，我们可以得到啥呢？或者是 x 零加上 d 小于或等于零等于零的时候也可以，对不对？等于零的时候，它正好是零嘛，它就比这个大，那么我们解关于 d 的 不等式，那就是 d 的 不等式，那显然就是大于零呗，零到正无穷，对吧？ 那这个呢？那就是并上负无穷到负 x 零，对吧？ 而且是左开右闭吧，这是当 x 零大零的时候，是这个我们就得到了它，那么当 x 零小于零的时候呢？ d s 零是什么呢？ 当 x 零小于零的时候，那你比如说这个 x 零在这个位置， 在这个位置就满足这个条件的，对吧？他得大于他，他大于他的话，那你看 x 零加 d 应该满足什么条件呢？这个时候 x 零加上 d， 是 不是得小于零啊？对吧？小于零他不能跑到外周右边，对吧？小于零还不能等于零，等于零，小于零并且大于谁啊？大于 x 零 是不是他然后把 d 解出来以后，那它等于什么呢？它就等于是大于零，小于负 d， 对 不对啊？小于负 x 零啊？因为解关于 d 的 公式对不对？ 小于负 x 零， 那么其实 x 零等于零的时候，我们也可以写，也可以不用写，因为这个时候用不着啊，那么这个时候 你看他等于啥呀？这这个条件等于啥呀？ s 六等于零，就在就在就在这里边，对吧？那么满足呢？他如果大于他的话，那显然的就是 在微轴的左边，对不对？那就是说这个时候那个 x 零加上 d 应该是小于零，也就是 d 小 于零，因为 x 零等于零了吧？ d 小 于零，也就是负无穷到零， 实际就是它，对不对？那么我们给出了这几种情况之后呢，我们就 进行了证明，实际这个用用用不上啊，因为在做第二个证的时候，他说 x c s 都不得零了，对不对？不用考虑零了，那么我们就看 当他满足这个条件的时候，我们证明他是他的子集，对吧？ 我们把上那么因为 f x 一 啊，是小于等于 f x 二这个条件，所以呢， 这个 x 一 和 x 二有这么如下几种可能，因为这个函数啊，它在每一段上都是单调递增的，对吧？它满足这个条件的话，那么有两种可能，所以说 x 一， 那就有可能小于等于 x 二，有可能都在同一个单调区间里，对吧？那就是小于零，这是一种可能，对吧？或者是 还有哪一种可能呢？都在右边增区间， x 一 小于等于 x 二，都比人大，对吧？ 那么还有一种可能是什么？还有一种可能就是 x 二呢？在左侧， x 一 呢，在右侧，这时候是不是也满足 f x 二大于 f x 一 啊？那就是或者是 x 二小于零， 且 x 一 大于，对吧？是不是就这样三种可能啊？没有其他可能了，对吧？在这个条件下，没有其他可能了。 那么由于 x 一 和 x 二不等零，所以说你这个零这块就不用考虑了，对吧？哎，那只能是这些情况呢？然后呢，我们就分别就这三种情况，我们看一下这个， 这个集合，是不是这个集合的子集不就完了，对不对啊？明白我的意思吧， 那这个问题吧，就变得十分的简单了，是吧？那么我们先看这个情况，那么 x 一 小于等于 x 二都比零小，那我就看哪一个？就看小于零的这个呗，就看它呗，对不对啊？那就说明啥呀？说明 dx 一， 哎，我就往这里头一带就行了，零到负 s 一 呗，这就是 d s 一 呗，对不对啊？ d s 二， 那就是零负 s 二了，对不对？那么 s 一 小于等于 s 二了，那就说负 s 一 大于等于负 s 二了，这对不对啊？那不显然有什么关系啊？ 那么显然有这个条件成立吗？对不对？在这种情况之下他有这个柿子成立了，对吧？ 那你再看一下这种情况之下，同样道理嘛，这种情况你就看哪了？就看呃，大人的时候就看这个了呗，对吧？看这个了，他俩都是相同了，对不对？ 同理啊，我就不详细看啊。同理呢，就说这三种情况，这后边的两种情况我们都能够验证啊。验证啥呢？验证这个 d x 二 是 d x 一 的子集啊。这个我就不详细说了啊，很容易验证，我已经给你验证一个了，对不对？其他都同理。哎，这就是啊，这个第二份的证明啊，第二份的证明。 那么我们再看一下这个第三问，第三问这个他又附加了两个条件， 但是第三问呢，他并没有给出这个函数，这个在定义域上的所有的解析式他没有给，没有提供，他只给出了小于零时的解析式， 大于零的时候直接说 x 等于零的时候，那么这个解析式他都根本都不知道，就是说就是加了这样的两个条件 啊，还加上乞丐当中大前提这个条件，在这个条件和这两个条件下，然后让你证明这两个问题。问呢，这个还可以，对吧？ 但是一个比一个难一些。这个第三问又有两问。第一问呢，还可以，但是也很难了。第二问的话那确实很难啊。这个我先把第一问呢先说一下啊， 第一问的话我们应该想到用啥呢？应该想到应该用反证法的话呀，这个方向就对了，对吧？ 呃，第三问当中要注意这个解析式啊，他只给出了小于零时的解析式，大于零和等于零的解析式大家都不知道，呃，他附加了这样的两个条件，然后呢，让你证明 f 零大于等于一，对吧？ 哎，我们看啊，假设我们用反证法，假设 f 零要是小于一的话，我们看看行不行呢？ 因为右边的解析式没给，所以说呢，我想把这个问题呢转化到左边去，转化到左边去呢，我们看怎么转化呢？ 因为啊，这个左边的函数解析式啊，它是单调递增的，对吧？以 x 轴为渐近线， 那么如果 f 零要是比一小的话，那么我们一定存在，一定存在啥呢？一定存在这样一个值，就是在我现在在负一和零之间吧，一定存在，在负一和零这个区间段，一定有这样一个值，使点啥呢？ 实得 f x 零一定是大于 f 零的，这个你能理解吗？假如说你看 f 零要是比一小吧，假设在这个位置啊， 假设这是 f 零的值，那么你看，在负一和零这段，肯定你能找到这样一个 x 零，使得这个 f x 零呢，一定要比这个 x 零一定要大，这个一定能找到，对吧？ 那么根据条件一，根据条件一我们就得到啥呢？得到这个 dx 零，那就应该是 d 零的子集，对吧？这不由条件一吗？由条件一，我们就得得到这个这个式子， 然后呢，我们在另一个值，另一个什么值呢？另 d 在 这个范围内， 那这个 d x 零在这个范围内的话，这个 d 的 范围是不是就在零和一之间了，对不对啊？ 对吧？那么这个时候呢，我再考虑用第二个条件啊，为啥我考到这个范围内的话，那么 d 加上 x 零，那就应该是小一点，对吧？ 然后呢，这个 x 零呢？还是小于零？你看这样呢，我就把它勾到左边去了，勾到左边去的话呢，这个 x 零啊， d 加 x 零小呢，它也小于零的话，那么这左边这个图像给了函数解析式，它单调递增啊，而且它比它大呀， 所以说我们就得到啥呢？得到 它一定是大于 f s 零，这，对吧？因为他俩都小于零吧，都在左边这个单调递增区间里吧，而且他还比他大，因为 d 大 于零吗？对不对？所以说他不就大于他，那他大于他说明什么呢？ 说明啥？他大于他？满足这个不等式的解集不就是这个 d s 零吗？说对吧？满足这个不等式的解集不就是 d s 零吗？那说明啥呢？说明，说明这个 如果 d 要满足这个条件的话，我一定能推出这个条件，对不对啊？那就是说这个 d 一定在这个区间里边， 一定在这个地方，所以说 d 肯定在在这里呢。完又因为呢，前面这个 d s 里面呢？还是他的子集，所以说呢，我们就推出啥呢？推出 d 啊，一定在在这里， 对吧？ d 一定在这里，你看这是我们推出 d 啊，一定在这里，对吧？然后呢，又因为呢，刚才说了，这个 d 啊，是小一大零的，对吗？所以说呢，我们再利用第二个条件，我们就得到啥呢？得到这个 f d 啊， 应该咋的？应该小于 f 零啊？这地方，那么这 f d 小 于 f 零是什么意思呢？那就说明啊，这个 d 啊，它不属于 d 零， 为什么？这里我们解释一下，为啥你看这个 d 零是什么呢？我们，我们，我们把它写到写到写到上面这吧，你看这个 d 零是啥？ d 零不就是 f 零加 d， 对 吧？ f 零加 d 大 于 f 零吗？ 这不就是 d 零吗？对不对？那么也就是 f d 大 于 f 零，这对不对？那现在呢，说 d 在 零和一之间的时候呢？根据条件二呢，我们导出 f d 小 于 f 零， 因为这 f d 大 于 f 零的契合是 d 零，他现在是 f d 小 于 f 零，那不就说明这个 d 不 在这个契合里了，所以 d 就 不在这个契合里，那么刚才推出 d 在 契合里，他现在又推出 d 不 在契合里，所以说这不就矛盾了吗？ 所以啊， f 零小于一这个假设是不成立的，对不对啊？所以说那只能是 f 零咋的？大于或等于一，你看这个问题就证明完了， 计算量非常小，思维含量非常高啊，这你说你能想到吗？这个题， 哎，这个那就更难了，是吧？这个呢，不过呢，我们可以啊，这个给你提供一下思路啊。这个题我也研究了很长时间了啊，就是说 因为没有标准答案，我现在我也不知道我做的对还是不对啊。就是首先要说明这个函数啊，这个函数当 x 小 于零的时候，这个函数值都小于等于零，先说明这个问题，这也可能是受到第二个的启发，对不对？ 那么再说明 f x， 当 x 小 于零时， f x 都小于等于零，这件事还得分两段说，当 x 在 零和一之间的时候，先说明 f x 都是小于零的，因为这个时候我们得需要用这个条件。 然后呢，当 x 在 一到中无穷这个区间段的时候，我们再把这些个字面上 x 拉回到零一之间这个区间内，然后呢我们就说明了，当 x 小 于零的时候，这个 f x 都是小于等于零的， 如果这件事说明完了以后，我们再证明他在这个区间上是单调，单调递增啊。那么如果想知道这个题的详细的解析呢？请关注 b 站我的课堂啊。好，今天呢，这个问题我就说到这里。
1480伯麟数学
05:13查看AI文稿AI文稿各位同学，今天我们来看一道今年的全国一卷数学的压轴题的第一小问啊，这个第一小问也不是特别难，只要能够理解题意，应该做起来也简单啊。下面我们一起来看题 啊，一起看已知函数 f x 的 定义域为实数 r， 当 x 小 于零的时候， f x 等于二的 x 方啊，这个很好理解， 对，任意的 x 零属于 r 定义集合 dx 零，这句话什么意思？哎，他就是说告诉你， 他给了你一个集合，他叫做 dx 零，这个集合中的元素是 d 啊，这个集合中的元素是 d， 但是这个 d 有 一个限制条件，就是 f x 零加 d 大 于它这样的 d， 我 们需要如果比， 如果 f x 零加 d 小 于 f x 零，那么这样的 d 我 们就不要啊，就不属于我，是不是啊？就这个意思，下面我们一起来看啊。我们把主干题的这个题啊，先分析一下，它告诉你， x 小 于零的时候，它是一个指数函数，我们画出来 就是 x 轴就是 y 轴，它是个指数函数嘛，大概就是这样子， a 是 一， 但是这是虚点啊，这是虚点，因为它是 x 小 于零嘛，不能等于零啊。下面我们看第一小问的题啊，如果当 x 大 于等于零的时候， f x 等于一减 x 啊，刚好它可以等于零，这是十点变成十点的时候，刚好这里是几啊，它就是一嘛，是吧？ x 等于零的时候，刚好它是一，就在这里啊， 当啊，我们的呃， f x 等于零的时候，我们的 x 刚好是一啊，在这里。所以说我们大于零，大于等于零的部分的图像应该就是这样子啊，画出来 现在他让你求 d 负一等于多少，那么我们先把它画一下啊，我们知道 d 负一等于什么？ d 负一就等于 d 属于 r， 我 也就这里就不写了啊，它等于 f 负一加 d 大 于多少？ f 负一 是不是啊？它就是这样子啊？下面我们来就是分析这个 d 是 什么东西啊？ d 的 取值范围怎么样？那么我们知道 f 负一啊，负一刚好落在指数函数的部分啊，我们算出来 负一二的负一次方高的话是什么？二分之一，是不是啊？他刚好是二分之一，现在加个 d 加 d 有 可能是向右平移，有可能是向左平移，是不是我们先分一下，应该是向右平移还是向左平移？很明显我们要向右平移啊，要向这边平移平移才可以。为什么呢？如果你向左平移的话，在这里 我们刚刚算出来了我们的 f 负一等于几？ f 负一就等于二分之一，我们的 f x 零加 d 一定要比它大才可以， 那么我我向左平移的话，这里这个点对应的 y 轴它反而比二分之一小啊，我们要的是比二分之一大才可以，所以说我们只能向什么向右平移啊，所以说向右平移，一直啊这样，走走，走，过来，走在这里，来 啊，这里刚好，我平移过来的话，我画在这里，这里是二分之一啊，做左边是二分之一，那么这个二分之一，二分之一等于一减 x x 也等于什么？二分之一，所以这个点刚好是二分之一，二分之一好不好？刚好就出来了， 那么这个二分之一，二分之一，我们发现什么问题啊？你还能不能再往出这个点，再往下移移，移到这里来可不可以？就不可以了，为什么？如果移到这里来， 这个点是二分之一，移到这里这个点对应的函数值比二分之一小啊，我们要的是比这个 二分之一怎么样？要大才可以。所以说他这个 d 啊，只能在这个范围之内啊，好不好？从这里开始平行，平行到这里来就可以了，不能再搞了啊。所以说我们发现我们的 d 怎么样？无限的先怎么样，毕竟有零啊，所以说我们的这个应该是 d 怎么样？ 首先 d 应该要大于零，不能等于零啊，等于零的时候刚好是等于二分之一吗？那么这里是没有等于二分之一的，这也是大于二分之一是不是？所以这也是大于二分之一啊，所以不能等于零，所以大于零小于多少嘞？小于多少？我看这个长， 这个长的最大范围就是他的什么这个 d 的，是吧？最大范围啊，那么很明显这里是几啊？这是二分之一，这是负一，那么二分之一减负一等于几啊？等于二分之三嘛。所以这个 d 要小于二分之三啊才可以， 懂了没有？所以说我们的 d 负一就出来了啊，所以我们的 d 负一就等于这个几何啊， d 要大于零，小于二分之三， 所以说我们直接算出这个第一小问啊，所以第一小问也不是特别的难，所以他这一给给了你一个定义集合，好像搞的有点抽象，其实你仔细去想一下，也不是特别抽象啊，大家学会了吗？啊？就这样做。
02:01查看AI文稿AI文稿今年的山东高考压轴题呢，我认为是出的比较简单。呃，他的最后疑问，无论是第一小问还是第二小问，我都可以很快的使用反证法把答案给求出来。 那么，嗯，各位可以提前看一下题目啊。我这里直接开始说。他说第三问呢，他是说，如果 f x 一 小于等于 f x 二，那么 f x 二的 d 区间一定是 x 一 的 d 区间的子集，同时 x 在 零到一上呢，他的所有的 f x 是 小于 f 零的。他第一问让我们证明 f 零大于等于一，我的思路是用反证法证明 f 零小于一不成例就可以了。 如果我们假设 f 一 小于零等于 m 的 话，根据这个图像上我们可以看到，一定可以找到一个 x 二 在图像的零上的 x 二，它大于等于 m， 哎，这时候 m 在 这里也可以， m 在 这里也可以，都可以，只要 x 二大于等于 m 就 可以了。 这个时候呢，我们的 d x 二里面一定是包含一个区间零到 t 的， 也就是说，你在 x 二上一定可以找到这一小段，它是属于 d x 二的， 一定有。可是呢，因为 x 大 于零小于一的时候， f x 是 小于 f 零的，所以呢， d 零区间里面找不到 零到 t， 就 算这个 t 它再小，你也找不到，你一步也找不到。所以呢，这种情况呢， d x 二有零到 t， d 零没有零到 t， 那 么你就和这个式子矛盾， 那你矛盾了呢？你假设不成立，所以 f 零大于等于一，也就得到了证明。
04:09查看AI文稿AI文稿六年新一卷压轴题，百分之九十九的学生第一感是绝望！按照最核心的新定义， d x 零等于 d 属于 r， f x 零加 d 大 于 f x 零。 伟学霸看到这里已经开始慌了，完蛋，什么 x 零，什么 d 什么集合，老师没讲过。 而真学神已经在日常学习中养成了现学现卖的数学基本功，在草稿纸上做符号，脱水翻译， x 零，我所在的出使位置 f x 零，我站在出使位置的海拔 d， 我 准备迈出了步长 f x 零加 d 大 于 f x 的 零，迈出这一步后，我的新海拔比初时海拔还高。集合 d x 零的本质就是所有能让我走上坡路的步长集合， 现在是最重要的现学现卖实践环节。第一题是留给你的通关密码，来检验你刚才的理解是否正确。一，若当 x 大 于等于零时， f x 等于一减 x 求 d 负一，这时 x 零等于负一。我们可以先看 f f x 零， 接着来看 f x 零加 d 大 于 f x 零，这里我们可以说负一加 d 小 于零， 这里我们可以看出 d 大 于零。然后这里是负一加 d 小 于零。所以我们也知道这里 d 小 于一， 这里我们就求出来零小于 d 小 于一。 接着我们可以看负一加 d 大 于等于零的时候， 以 d 大 约等于一 两减一。综合我们可以得出 d 大 于零，小于二分之三。 你看第一位没有任何高级的技巧，就是最纯粹的分段函数解不等式，只要你肯动手带入，那么现学现卖的第一块蛋糕，宝贵的五分就已经稳稳落袋了。 当你拿完第一位的分数的时候，你的大脑已经对这个新记忆有了实质性的体感，这时候再去碰第二位就更有底气了。 若 f x 为奇函数， f x 一 小于等于 f x 二减 x 一 x 二应不等于零，证明 d x 二属于 d x 一。 伪学霸看到此题目后，又是遥远一抹黑。真学霸继续用大白话翻译，第二问的意思是， d 属于 d x 二，则有 f x 二加 d 大 于 f x 二，证明 f x 一 加 d 大 于 f x 一 就行了。 当你选出这一步之后，阅卷老师的眼睛立刻就亮了，这个学生不是在瞎蒙，他完全看懂了游戏规则，同学们看到了吗？ 二零二六年新居然赚到把全班考过的题！他的真面目根本就不是什么不可逾越的高山，只要你能冷静的符号脱水，动手带路，当场就可以把自己变成真学霸！
1.4万奇妙的数学王国
02:56查看AI文稿AI文稿全网都说今年高考数学新一卷难，但真的有比想象中的难吗？今天咱们就来评价一下二零二六全国一卷。 都说二零二二年是近几年来高考最难的一卷，而二零二六作为反押题、反套路的一年，在今年难度有所回升，但低于二零二二年一卷难度。但难的形式不一样，二零二二年一卷是计算量大， 中档题太多，考场上几乎不可能做完。而二零二六年一卷是极致的，多想少算。整套卷虽然没有复杂计算，但思维量挺大。第一题是二零二五年新二卷的改编，考了中位数，注意排序问题。第二题是平面向量基本定律， 第三题是几何与三角函数诱导公式，第四题是求切线方程。第五题是两抛物线焦点之间距离。前五题都比较简单，第六题一眼切线放松。 第七题整体阅读量略大，但读懂题目之后瞬间出答案。第八题是求数学期望它是将空间中六十四个点扣掉一个点 p 又给出的 x 集合中两对数字是对称的， 所以总体的 x a 等于零负三，然后再除以六十三，即可瞬间秒选答案 a， 当然劣质是一样的。第九题比较简单，第十题需先画图后分析，不太好做。 十一题难度很大，尤其是 c、 d 两个选项，计算量较复杂。十二题算出来为六分之根号六十六。出题人就喜欢出六六六是吧？十三题注意陷阱， c、 t 也可能是二分之三派。十四题是选填最难的一道，绝对是竞赛一式的难度。最后算出二分之三的三次方，记得化解 及两分之三次根号十二。高考的时候一定要注意对根式的化解思路如下，十五、十六都是常规的计算题，十六题初中生也能做出来，十七题是大学几何分布的下放，今年考研也考了同类题，不过还是比较简单的。 十八题依旧椭圆大题，这道题比较套路化，但出题人没在这卡一下，比较善良。十九题 新定义，我去了，新一卷怎么会出成这样的抽象函数的分析题，不过前两问比较简单，算是数学分析高中化了。这哪里是北京卷，上海卷，这是全国一卷啊。 而且十九题一共四问，难度大且分析量大，所以考生肯定是做不下去的。总体扣掉十九题，三问八分，十一问少选一项扣两分，十四问扣五分， 总体得分预计一百三十五分。所以数学发挥不理想的同学不必灰心丧气，因为这里的题实在很难，所以大多数人都有发挥失常的一次，所以要低，大家都低，这个差距不比想象中那么大。 我们最终看的是总分排名，所以光数学这一科没有多大影响，顾大家未必太过焦虑，大家努力考过每一次试，一定会付出回报的。
1644是小doro呀
00:42查看AI文稿AI文稿今天刷了一下二零二六年，就今年的高考一卷十九题和二五年的。嗯，二十一题。这两道题目呢，都是新定义函数加轴命题的逻辑完全一样。 现在啊，发现了上海的题目和越来越和那个高考题越来越接轨了。然后上海的卷子本来就是常年 领领跑吗？创新题型现在和全国卷紧跟步伐，只刷全国卷已经是不够的了。上海压轴题必须要纳入刷题清单。二零一二七届高三别再刷这种以前旧题型了，思路先行才能拿高分。
103小刘老师
04:34查看AI文稿AI文稿我们来看这道二零二六年全国一卷的高考压轴题，已知函数 f x 定义为 r， 当 x 小 于零时， f x 等于二的 x 次方。对于任意 x， 零属于 r 定义集合 d 零等于啊， f x 零加 d 大 于 f x 零 啊。第一问，当 x 大 于等于零时， f x 等于一减 x， 求 d 负一啊！很多同学第一问就没有思路了，其实第一问是非常简单的，你看求 d 负一啊，就把 x 零的位置，你看换成负一是不是就行了。所以就是 d 负一就等于看 f 负一 加 d 大 于 f 负一啊，就是研究这个式子啊。然后紧接着啊， f 负一就可以求出来，为什么？因为 x 小 于零的时候， f x 等于二的 x 次方，对吧？你看这里冲到 x 的 位置是不是小于零，所以你看就是 f 负一就等于二的负一次方， 对不？所以就是二的负 n 就 二的负一次方，分之一 啊。公式，所以是二分之一。所以这道题主要让大家求什么？求什么？ f 负一加 d 大 于二分之一啊，这道题就出来了啊，大于负一啊，不是大于二分之一啊，大于二分之一就出来了。 然后紧接着怎么求呢？咱们要画图，你看 x 小 于零的时候是二的 x 次方啊，我给大家解释一下啊， 首先，二的 x 次方的图像是怎么画的？它是一个指数函数， x 的 零的时候， f x 是 一，二的零次方是一，你看横过零一这个定点，这是大于一的，所以从左到上升的，你看是这样，指数函数，对不？ 然后，哎，人家说 x 小 于零的时候是二的 x 次方，所以只取小于零的部分，你看往左看， x 的 小于零是往左看，就取这段，所以先把左半段的图像画出来啊，这是零，对吧？这是零小于零的时候，你看 是不是就这么取取这半段，然后紧接着它还有题目中大于等于零的时候， f x 等于一减 x 啊， 啊，我写着 f x 一 减 x， 我 就写成负 x 加一了啊，它是一次函数横过哪个点 x 的 零的时候， y 的 一看见了吗？横过零一这个点 k x 加 b 的 形式， k 小 于零，从左到下降的一条线，你看这是线，是不是？所以还是 这有零一这个点，对不？这回这就能取实心了，因为刚才那是小于零，然后正好衔接上从左刀下降的一条线，你看正好过这个零一这个点从左刀下降的一条直线，你看画， 你要直线，为啥这边不画？因为人家要求的是大于等于零的部分 x， 所以 是在外轴的右半部分，你看，所以这个图像就画出来了。画出来之后呢，啊，咱们要研究的是 啊， f 负一加 d 大 于二分之一，你看这是一个整体，这里边就是冲到 x 位置，就是左右看，这个整体呢？ f 什么什么什么，就整体，就相当于 y， 就 上下看，是吧？你看这个整个图像要大于二分之一，是上下看，你看，这是一，这是零，二分之一，好画一个线， 嗯，对，不大于二分之一在哪呢？是不是这部分这部分大于二分之一，这回就上下看。 所以啊，咱们把这个点坐标和这个点坐标都是空心的啊，因为要大于二分之一，这块正好等于二分之一啊，咱们把这啊求一下。怎么求啊？ 这是二分之一的位置啊，这是整体是二分之一的位置，所以先看这 f x 等于二的 x 次方，对吧？那左边图像就是二的 x 次方，那它等于谁二分之一，你看整体外置的二分之一 x， 就 刚才说谁谁负一，因为二的负一就是二分之一，所以这个点的横坐标就是负一，你看到了吗？ 然后紧接着这边也是二分之一，所以是 f x 等于一减 x 就 等于谁二分之一，对吧？负 x 就 等于二分之一减一，那是负二分之一， x 就 等于二分之一，对，不？所以这个点的横坐标就是谁二分之一啊，二分之一，因为球都是 x， 是 不是？ 所以你看是在负一到二分之一之间的时候，它是大于二分之一的，对不？这个就是左右开了，是不是横坐标，那就说的是谁负一加 d 啊？负一加 d， 所以 就是负一加 d， 怎么样？大于负一小于多少？二分之一， 小于二分之一，然后呢？ d 就 大于，把负一往左移，那就变成零啊，负一加一是零，再负一再往右移就是二分之一，加一就是二分之三，你看 d 的 范围是不是就出来了？那就是零到二分之三啊，第一位是不是就出来了？
1221小小教书匠
10:35查看AI文稿AI文稿ok， 我 们来看一下啊，这是你也能听懂的二零二六年的高考新一卷的压轴题啊，我们看怎么说你也能听懂的。我尽量用最通俗的方法把这个题给翻译一下，具体的写法呢，你自己大概用基友星啊什么的去写一写，一定能拿到一些分数。 你看，已知 f x x 小 于零的时候呢，它是二的 x 的 方，我们先一个一个看啊，这是初试条件，一定满足，正好是一。 那么 d x 零呢？是 f x 零加 d 大 于 f x 零处，这个 d 的 取值一定注意了啊，是 d 的 取值，不是说 x 零加 d 的 取值。所以说你取出 x 零加 d 的 范围之后，你还要减去一个 x 零，把它平移到原点，相当于才能求出 d 的 范围。什么意思呢？你来看一下。先看第一问，理解一下。 x 大 于等于零， 那他的时候呢？是一减 x， 那 他就这样一个图像好了，图像画出来，求 d 负一。 d 负一是啥意思？这块假如是负一，也就相当于 x 零，现在取负一了。 x 零取负一的时候，你的函数值是不是二分之一啊？你看，你把 x 零取负一带到二的 x 方里去， 二分之一吧，二分之一再向右过来，你右边知道是多少？哎，右边知道也是二分之一，因为一减 x 就是 一减二分之一等于二分之一嘛，所以我就清楚了。那我的 x 零加 d 什么时候要大于 x 零处的函数值呢？ 你看我 x 零加 d 就 在中间这一段处，他是不都大于 x 零处的函数？ x 零函数值是这个高度啊，中间这一段是不都是大于的？虽然是负一到二分之一吧，但是这是什么？这是 x 零加 d 的 范围，是属于负一到二分之一的吧。 所以说呢，我还要怎么样把它平移一下，把这个 x 零给它减掉，两边减去 x 零相当于什么？你加了个 x 零是这么多，两边减去 x 零， x 零是负一，减去 x 零就是零到什么到二分之三， 对吧？相当于加一了零到二分之三，这是第一个等它也就相当于从这个点开始，本来是这个点是 x 零吧，这个图像是这样的， 现在呢？你要把 x 零放到原点处，整个图像是不是向右平移了，他就变成这样了，也就是原来的负一到二分之一，变成现在的零到二分之三。听明白了吧？ 记住，平移到原点很重要啊，就是相当于把这个函数图像从 x 零这个点要平移到 y 轴和 y 轴，平移到把它平移到 y 轴上啊，不是原点上啊，我说错了，你看第二问啊， x 不 等于零的时候， f x 是 奇函数， 那很简单了吧？他如果是奇函数，那他你第二个一定要好好听啊，你要把它当做一个结论，你要记住后面的第三个才有的做。你看是这样的，这是正一，这是负一奇函数了吧？ 然后他们都不等于零，在零处没有定义，你会奇怪，为什么在零处他一定不要有定义呢？还说了 x 不 等于零， x x r 都不等于零，他为什么这么说呢？你会发现下面正的就是 f 零 给你定义了，哎，他为什么必须要大于一呢？你会发现零 f 零处的值很特殊，那在这一点处你要正的话，你就一定要牵扯到 f 零附近的值，听明白了吗？或者就叫 f 零处的值，对不对？好好 啊，都可以啊，零附近的和零处的值都可以取，我待会去正啊先。 x 不 等于零的时候就零处没有定义。 f x 一 小于等于 f x 二， d 一 是在 d 二之内的。 这地方我觉得不对啊，应该是反过来吧，应该是第一把第二给包含了吧，因为我就简单的带你理解下这个地方，他什么意思呢？就是 x 一， 假如在这 x 二，假如在这 f x 一 是这么高， f x 二是这么高，显然 f x 一 小于点 f x 二吧，那么能大于 x 一 部分的 d 是哪些呢？是不就是这一段？只有这一段是大于 x 一 处函数值的吧，这一段是大于它的吧，你把它平移到原点，是不就是这一段， 对吧？把 x 一 处的函数这个点平移到 y 轴重合的地方，是不就这一段？那我们同样把 x 二这一段，他是上面这一段吧，就是这一段的函数，上面是这一段吧，这一段再平移过来是这一段吧。那你看他的 x 二呢？ 的 d d x 二是不是这一段范围是这一段？ d x 一 呢？是这一段大段。所以说越往下的值，函数值 函数值越小，能让它增长的范围是不是就越大？你看能让它上面增长的范围是不是就越大？所以能包含的图像就更多，能包含的图像更多，你 x 的 取值范围就更大，这个 d 就是 x 的 取值范围啊，平行到原点后，它就是 x 的 取值范围。 好，这样你理解了，你就把它当做一个结论记住，你就算不把它当结论记住了，人家这一问也告诉你了，你看 f x 一 小于 f x 二时， d x 一 是要包含 d x 二的， 对吧？他已经把第二问这个结论当成及条件让你记住了，那么 x 一 呢？还要告诉你这个，你这个就很奇怪了，你会奇怪为什么我要让 x 在 零到一处的函数值 f x 小 于 f 零？ 那么何以我们先证第二个啊？其实这个题啊，他应该把二三问这个一二，这个第三问的一二换过来，我觉得才合理。 你让他先证 f x 在 零到正无穷单调递增，我就不管零处是多少了，我让他在零到正无穷单调递增。假如啊，当然了，我就假如一处成立，你不能说我一处不成立，你如果一处不成立，你去证二，你是不是有可能是把一证了， 你一处都不成立，你去证二，单到递增，我用的是反证法，用的是反证法，你是不是有可能反到他上头去了？你反到他上头去证还有意义吗？你证的就不是第二个，而你证出第一个了。其实我满足第一个成立的条件下， f 零大于等于一，假如他就在这，这是 f 零处的点大于等于一吧。 这样 f x 在 零到正无穷单到递增，我就让他不单到递减， 或者叫有减有增也不行。好吧，我就只在减函数上去证明啊，我只在减函数上证明。那就说你不管是单到底减还是有减有增，是不是都包含减函数的部分，我就用这道减函数的部分去证明就可以了。好，你看我假如是从这 啊，从这开始减增法，这是一假如，这号也是一假如，它就差不多相等。你不管它是怎么样的，我们就看啊， 我们取一左边的这一点点，看这个一左边的这一点点是不是小于一这个值的，我们就取它一点，出的值为 x 二 这一处的 x 二，值呢？如果你把它平移过来，它会平移到这边。哎，也就是说啊，你刚出来的这一点一定是成立的。 那么如果我再取一个较小的 x 一， 较小的 x 一， 取在这，把它向左平移，它是不是就到这边了？ 那你会发现什么？你会发现啊，你这个较小的这个 x 一 啊，它右边是不是有一个单倒立减的？因为它一定有单倒立减部分，你没有单倒立减，那不就成单倒立增就符合了。如果它有单倒立减部分，它右边一定是不符合的，我就在减去尖上找 右边一定是不符合的，那你右边减下来之后，右边一定是比它小的，对不对？那你看这边呢，是不是叫 大的这个反而有这个区间，小的这个反而没有这个区间。所以说你越小的，本来你增长空间大，你应该把大的这个区间给包含了，但是你人家大的都多了这一块你小的却没有，所以说这时候不就反正法正出来了，就是这个道理啊，所以说一定要满足他，必须单道递增， 你只要单到地减了，是不？你减区间的右边这一段，它就减下来了，减下来你平行到原点处，它就不包含在里头，而人家增的那一段呢，它就在里头，那下面我们正一下啊，就假如 它就是单到地增的，但是呢，它在零处的值啊，是小于一的， 对吧？这个地方能正吗？就是正第一问啊，第一问，他大于等于一吗？不是说这，其实我也是刚看到题啊，刚看到题，我就有这样一个思路去想这个题。那你看啊，这套是一，我就取 这个零处的值吧。我直接就取零，因为他零处有定义，在零处如果有定义的话，那他的取值范围是什么？是不大于他的部分啊？这段函数可以吧？ 他不需要平移，因为他的 x 零就是零，减去零，这还有这段函数也就他的范围是从这一直到正无穷的所有部分，一直到正无穷所有部分，从这往右，那我们再取一个值，我取左边的某一个值，听明白了吧？取左边的某一个值， 这是不是比较小的一个？你看小的这个应该把大的这个区间都包含了吧，但是你注意我，当我把这个点平移到原点的时候，你会发现什么？你看我把这个等高处画到原点上，右边是这样吧，右边一一是这样的吧， 这是一处的值。一，这平移这么多，下面也就平移这么多啊，也就平移这么多，平移到这，你会发现左边是减下去的，左边是比他小的，所以说从 y 轴往左的一点点，他一定是不成立的，这块一定是比他小的。你看函数值是这么高，对吧？ 比他小的部分我们不能取，我们只能取他右边，以及这块也向右平移，这块也向右平移，就是从这往上增上去，也就是从这个点处向右的所有部分可以取，但是他可是小的呀，人家大的都包含这样一段， 听明白了吗？人家大的都包含这样一段，因为你这个地方不小，比一小，其实你比一小一点点，你注意啊，这个地方比一小一点点，你上去之后，他中间仍有一个间隔，仍有一个间隔的时候，你把他在这个间隔中去取零处这个点的时候呢，他一定会左边包含一点。 能明白我意思吧？就是你把这个零处的函数值画一条线之后呢，他左边一定要包含一段， 而左边这一段是人家小的这一块没有的就满否定了。第一问，第一个条件结论就是 f x c 小 于 f x 二时候 d x 一定把 d x 包含，你看这一段就不包含，这不就正尾了吗？所以这个题呢，就是要用到反证法啊。反证法 很经典了，当然具体怎么写呢，可能要跟步骤去给分，你可以写一些奇函数的性质等等，自己去揣摩。
663源源
34:09查看AI文稿AI文稿这道题能做出来，你会原地飞升，因为这是 我会把这道题给大家掰开揉碎了去讲。当然不是全网最早，也不一定是全网最简单的一种方法，高等数学甚至数学分析里的一些思想，他已经正在下放到高考题里面。大家好，我是苏老师， 咱们二零二六年的高考呢，也是顺利结束了，这两天数学全国一卷的这个压轴题呢，在网上讨论的热度特别特别高。其实我之前就发过一些视频说过，现在的高考数学呢，出题角度越来越灵活，创新性呢越来越强，越来越去着重于考察学生的数学思维。 这是我之前待课的时候呢，一直在强调的一件事情，学数学不能只盯着题型和套路，一定要去培养数学思维，因为这个趋势已经很明显了。高中数学呢，正在出现一种现象， 就是高等数学甚至数学分析里的一些思想，他已经正在下放到高考题里面。当然这对于我们的教育体系来说，长远看是一件好事，他确实可以区分学生的理解能力和思维能力， 但是对于广大考生和家长来说，我们必须及时的调整学习方法，尽早的培养数学思维，然后呢，才能适应未来的考试体系。其这道题啊，前面的几个小问呢，他都不算太难 啊，如果你基础比较好的话，可能五六分钟哎，就差不多能做出来了。难度呢，主要是集中在第三个小问， 他是使用了我们典型的一个极限定义的思想，以及我们的反正法。这也是我为什么一直跟我的学生说啊，你学高中数学，你不能只局限于我们的这个，你必须得去稍微学一点高数或者数分的东西，不是为了炫技， 也不是为了直接套洛必达泰勒定律啊，以及情深不懂事这些东西啊，而是因为很多思想你都没有见过，你拿到题的话，就真的想不到 正确的学习路径应该是先理解极限，然后再去学微分积分啊，那我们的微分呢，就是我们所说的导数， 但是我们高中阶段一般来说都是从导数直接开始讲的，中间极限的思想呢，是断层的，这个断层就间接的导致我们很多的学生呢，他在学导数的时候，只会去机械的求导，真正遇到抽象函数的题目的时候呢，就是一点思路都没有，甚至无从下手。 而这道题非常有意思啊，他没有考诺必达，没有考泰勒定律，甚至都不用求导啊，就是我们所说的导数，所学的导数，他是一点都没有用到的，他只讲了一些最基础的东西，也就是极限，极限的定义可以说是极限的定义啊，但是待会他怎么用极限的定义，我们待会再讲， 也就是说出题老师的这个意向很明确，你别想靠那几个公式就去拿分去秒杀我们这种压轴题，你要真正的理解函数集合 极限，反正法之间的这种交互关系，甚至说我们可能得带点映射。那这道题是到底是怎么去使用函数的极限的呢？今天这期视频啊，我会把这道题给大家掰开揉碎了去讲，当然不是全网最早也不一定是全网最简单的一种方法，但是我尽量保证咱们屏幕前的同学呢和家长他都能听懂。 好，那我们看一下。呃，这个，他这个题设给了什么呢？他说这个函数的定义域呢？是 r， 这个就没什么用， 没什么有用的啊。当 x 小 于零的时候，他把这个函数的解析式已经给出来了，但对于任意的 x 零除以二定义集合，哎，你看这个集合，其实好多同学见到他之后可能开始头疼啊，这到底是一个什么东西，见的非常少对不对？但，其实，呃，你大家附近要是有大学生或者甚至是学，主要是学数学的 啊，主要是学数学的这些数学系的学生啊，你可以问下他，这个东西呢，在我们的数学分析中出现的非常非常多，等以后什么时分析，辅分析、泛函分析，他也会有。呃，他也会有很多应用啊。这个东西其实可以把它理解为 f x 零加 d 减 f x 零，它是大于零的嘛，就是一个有限差分。用人话讲啊，他就说了一个什么事呢？就说如果，如果我给我的自变量加一个不常，那这个不常就称为 d 啊，所谓不常，就是一个线段嘛，一个数嘛，加上去之后它能增大，这个函数值能增大，那我就说这个 d 是 属于这个集合的啊，就这么简单， 对吧？就是一个增长的一个趋势。好，那第一题他问了什么啊？当 x 大 于等于零的时候，哎， f x 等于减 x， 你 看在这个第一题里面把什么把我们正百轴的这个函数其实给出来了，让你求 d 负一，其实这就很简单，你看那么 d 负一，我们可以照着他这个题目中给它这个定义给它套进去， 那套进去变成这个样子了，你看就是 d 属于 r， f 一 负一加 d 是 大于 f 负一的，那么我们知道 f 负一，那么负一由于负一是小于零的呀，对吧？负一是小于零的，那我就直接可以套套到这个题目中所给的这个负半轴的这个函数里面，那么套进去我们就知道 f 负一是二分之一， 那么求 d 负一其实就相当于解一个不等式啊，解这个不等式呢，就是 f 负一加 d 大 于二分之一，那么这个就很简单了，对不对？我们就所说的函数与不等式， 函数与不等式的关系吗？这个在我们教材中是专门开了一节去讲的，所以说教材有多重要，对吧？在这里就体现出来了，那通过看图呢，直接就可以写出这个负一加 d 的 这个范围，然后给他解一下就行了。这个第一题就是送分题啊，呃，可能就看出来，甚至不用画图就看出来了，好，那么第二题呢？ 啊，如果 f x 是 奇函数，那这一句话给出来就有什么意思吗？是不是又说我们正半轴的那个图像它又能算出来了，对吧？所以说前两个题它其实图像都是全的，那怎么算呢？很简单啊， f x 是 奇函数， f 负 x 等于负的 f x 啊，那由这个我们就能得出我们这个 f f x 在 整个 定义于 r 上的解析式了，它是一个分段的函数，你看，其实你啊，这还是要算的啊，这个负二的负 x 还是要算，因为后面要用的， 那么画到图里面就这样，那这个题用图来说就比较好做，那你看画成这样来，我们再剖析一下我们的条件，它还可以出来了一个啊， f x 一 小于等于 f x 二，那这个可能不太直接去怎么用，那么我们就看后面这个 x 一 x 二，它是不等于零的，那这个我们就很明显能推出来。什么能推出来 x 一 不等于零，且 x 二不等于零，这是关键的啊，就证明我们待会讨论的时候，不用讨论在零这一点的这个函数值。好，那么 f x 一 小于 f x 二怎么用呢？ 其实在这个图里面啊，我们就能看出来了，就在这啊，这个图里面，我们能看出来了，你会发现 x 一 和 x 二，我如果全部让它落到我们的负半轴上面，那么这个 f x 一 小于等于 f x 二，它是天然成立的，当然 我们对称的和它落到这个正半轴上面，它也是成立的。然后呢，如果把 x 一 和 x 二分到两个半轴上面，比如说 x 一 在这， x 二在这，你会发现负 x 一 它是大于等于 f x 二的，所以说刚才的这种情况是不成立的，那么那么给他调换一下呢？把 x 二放到这啊， x 一 放到这，那这时候 f x 一 同样是小于等于 f x 二的，这时候也就成立了。 所以说什么意思呢？这个条件怎么用呢？其这个条件他一方面是为了给你提示，让你去分类讨论，第二个呢，他会删掉我们这四种讨论中的一个，就非常简单了，对不对？那你看那第一种情况吧。 第一种情况，你看我在这里写的，当 x 一 小于 x 二小于等于 x 二小于零的时候，就说什么 x 一 和 x 二全部都在负半轴上的时候，我们先看一下它符不符合我们的提射条件嘛？对不对？那么我们知道在负半轴的时候，这个函数它是一个二的 x 次方，它是一个指数函数，是一个递增的 啊，是一个递增的，那么我们肯定会有 f x 小 于等于 f x 二，对吧？这肯定是有的，那么就证明他是满足提车条件的，那这种情况就是存在的，那我们怎么去证明呢？你看他们要证明什么？ 哎，要证明两个集合有什么有包含关系啊？那这个东西我不知道一些，就屏幕前的各位同学，你们在学集合的时候有没有认真去学？大家可能觉着，哎，这集合对吧？以后可能 又简单，学起来又简单，后面可能不会去刻意用到，就大家可能会忽视这一个地方啊，因为什么？呃，去证明两个集合具有包含关系，我们是有一个非常好用的一个办法，也是非常基础的一个方法，就从定义出发，如果我们要证明什么？我们要证明集合 啊，要证明集合 a， 它是包含于集合 b 的， 那只需要用逻辑元。怎么去描述呢？就说任意的啊，任意的 x 属于 a， 我 们只能，如果能证明出来这个 x 属于 b 的， 那么就一定能推出 a 含于 b 啊，这个大家一定得知道，如果你知道这个的话，这道题就是送分题，非常简单了。 好，那我那我们看一下，哎，就刚才我说的吗？我这里是不是写了，哎，对任意的什么？对，任意的 d 是属于 dx 二的，对不对？我们要证明什么？我们要证明的是 dx 二，它是含于 dx 一 的嘛？就按照我们刚才那个定义，只需要找到任意的一个数，它是属于这个 dx 二这个集合的，那么它属于 dx 二。我们看一下这个 dx 二这个集合，就根据我们这个题目中的这个定义去写，就有什么哎，有 f x 二加 d 是 大于 f x 二的， 对不对？那好，现在问题来了，既然有这个成立，那我们是不是就能推出来什么了？这里的 x 二，注意它是小于零的。小于零，那我们的函数解析式是二的 x 次方， 对吧？那既然是这样的话，那么 x 二加 d， 它同样也得小于零啊，也得小于零，由这个就能推出二的 x 二加 d 次方，它一定是大于二的 x 次方的。那么由于二的 x 次方是一个递增的函数吗？刚才已经说了吗？对不对？所以说就能推出 d 大 于零，对吧？如果 d 是 小于零的话， 或者等于零的话，我们是推不出来这个的，所以说只能是 d 大 于零，那么 d 大 于零啊， d 大 于零啊，我们要做的是什么？我们要做的是通过 d 属于 dx 二去推出啊。 d 属于 dx 一， 即我们要推出什么？我们要推出 f x 一 加 d 是 大于 f x 一 的，那怎么做？ 很简单，这里 d 是 大于零的。已经知道了，那我们只需要带到这个式子里，把 x 一 加 d 和 x 一 带到我们的函数里面不就行了吗？对不对？ x 也是小于零的呀，对不对？那 x 一 又是小于 x 小 于等于 x 二的， 那么 x 一 加 d， 那 肯定也是小于 x 二加 d 也是小于零的嘛，对不对？所以说直接带到这个二的 x 方里面就行了，你看带到这个里面呢，就变成这样子了，那我们知道二的 x 方，它依旧是一个递增的函数， 对吧？这个就不用多说了，就是很简单啊，递增的一个函数，那么就肯定是满足这个的，这是我们的单要素的定义啊，所以说 f x 一 加 d， 它肯定是大于 f x 的， 这就导致了什么？这就导致了我们的这个 d 一定是属于 d x 一 这个区间的， 那么这时候我们通过我们通过设任意的 d 属于 d x 二，推出了什么？推出了 d 属于 d x 一， 那这里就直接可以断言我们的 d x 二这个区间呢，是包含于 d x 一 的 啊。这个题就这么简单，那后面的几个呢？其实就是招猫画虎，直接给它做下去了。好，那么对于呢，看第二种情况，就是说当 x 一 和 x 二它全部都在正半轴上的时候呢，同样的， 同样的，在正版轴上的时候，我们也可以写出这个吗？对不对？因为正版轴上这个函数啊，就是这个，他也是一个递增的函数吗？你看从这个图像里面就能看出他也是一个递增的函数， 所以说就有这个式子，那么就是符合我们的提射的。好，我们进一步的哎，依旧是对任意的 d 属于 d x 二吗？那么 d 既然属于 d x 二，也是有这个啊，也有这个，那么通过前面的那个同样的一个操作，我们就能得出来什么 啊？我们就能得出来我们的 d 是 属于 d x 一 的，那同样利用我们函数，用我们的集合的包含关系呢？我们就能知道 d x 二呢，它是含于 d x 一 的，包含于 d x 一 的，这是第二种情况。那么第三种情况呢，就是说我们已经讨论完了什么 把这个 x x 二放在同一个轴，同一个半轴里面，我们全部讨论完了，它是符合我们题题目中的这个的。那么 接下来一种情况我们就怎么样了啊？我们就要给它分开嘛，对不对？把 x 一 和 x 二给它分开到两个轴上面，我们看一下，当 x 一 大于零， x 二小于零的时候呢？那我这时候是不是得先验证我这个 提设，我这个假设它是是不是符合我们的提设呢？那当然是符合的呀，对吧？ x 一 大于零啊， x 一 大于零就在这， x 二小于零在这，那很明显， f x 一 它是小于等于 f x 二的，对吧？ f x 小 于等于 f x 二嘛，证明它是符合提设的，那么我们就可以继续讨论了呀。 同样的，对，任意的 d 属于 d x 二，它既然属于 d x 二，同样会有这个式子，那有这个式子把它带进去呢？注意这里， x 二呢，是小于零的，它带的依旧是二的 x 方正函数，那你还是不就有这个情况，那同样我们能推出 d 大 于零啊，这跟前面是一模一样的嘛。那么好， 我要去证明 d 是 属于 dx 一 的，那肯定是要往 x 里面带呀，是不是那么 x 一 在这里是大于零的呀？那肯定就得带什么了，跟前面不一样的地方了，这个，哎，当大于零的时候，正百轴的这个函数啊，那这个带进去呢， 又会发现没有前面那么简单，直接给他看出来了，咱们带进去呢，就变成这个样子了，那当然把这个括号去掉呢，就变成这样了。好，那么请问他跟我们的什么？跟我们的 f x 一， 它的大小怎么办呢？是不能直接函数的，所以说我这里可以什么给它构造一个函数，那这构造函数也很简单嘛，对不对？令 g x 等于负的二的 x 方，那我们知道二的 x 方，它是增函数，那么负的二的 x 方，它就是一个减函数，那么这时候呢？ 哎， f x 一 加 d， 你 会发现它怎么了？它正好等于负 x 一 减 d， 那 么它正好等于负 x 一 次方，它正好等于 f x 一 嘛， 这时候又证明了什么？又证明了 f x 一 加 d， 它是大于 f x 一 的嘛，对不对？就很自然。那这时候怎么了？ d 就是 属于 d x 一 的呢，对不对？所以说我这时候就又讨论出来，这一个情况下，它也是符合我们题中题目中所问的这个条件的。 ok， 这是第三个情况。那第四个情况其实是不满足的啊，不满足的，我刚才不是已经说了吗？ 当就是这个 x 一 和 x 二等于零的时候呢，我们的 f x 一 是大于 f x 二的，这没问题。但是 我们的提舍呢？要的是什么？是 f x 小 于等于 f x， 这正好就是一个相反的嘛，对不对？所以说这个就是不符合提议的，直接给它。呃，不符合提上嘛，直接给它舍掉就行了。那么综上呢，我们是 d x 二，是含有 d x 一 的，那这个题就做完了，其实很简单啊，思路是很顺的。 呃，我觉着如果你就是说是平时考试能考一百三、一百四的学生，我觉得这个题五分钟啊，第一题第二题五分钟就能拿下来了，好吧，所以说这个题呢，十七分吧，这个题的分值呢是十七分，你至少能拿个 六分七分，这样啊，也其实已经不亏了，已经不亏了，因为这个第三问是真的难啊。好，我们看下第三问，他首先是给出了两个条件，那么第一个呢，是当 f x 一 小于等于 f x 二的时候呢？ b x 二是韩语 d s e 的， 它正好是相反的一个关系。那么第二个条条件呢是什么？是当零在 x 在 零和一之间的时候呢？是 f x 小 于 f 零，其实这个条件很好用， 到后面呢，它是一个非常关键的一个条件，那你看他问的什么？第一个呢是 f 零大于等于一。第二个呢是 f x 在 零到正无穷内，它是单调递增的。其实你通过这里，你通过这两个题两个问题，它是单调递增的。其实我们属于高等数学的一个概念， 我们在副本中零到呃负无穷到零的时候，我们的函数是二的 x 四方，但是这个二的 x 四方，他在 x 等于零的时候是没有定义的，所以说在这里我们可以给他画一个空心的圆圈啊，就是这样，但是你看他怎么说的， 当零小于 x 小 于一的时候，这个 f x 得小于 f 零啊，这个 f 零我们不知道，但是我们提问的第一个呢，说是 f 零是大于等于一的，那证明我们的 f 零只能是在这个圈圈上面，或者在这个圈圈上面也行。这就意味着什么？这就意味着什么？ 这就意味着我们的 x 等于零，应当是一个跳跃点，是一个跳跃间断点，是我们这个函数的一个跳跃间断点啊。 啊？什么是跳跃间断点呢？这个其实就要扯到极限的定义了，就扯的有点远了，所以你，你只要给他知道，我们这两个函数如果中间有一个断层啊，有一个断层，这时候我们就说这个断层，这个点就是他的跳跃点，就是最简单的一个解释方法。好，我们看一下 第二个式子啊，你看这里，我就前面是不是要提到了，我们可能得用到我们极限的定义，为什么要用到极限的定义呢？因为这里你看，对于这个 f x 等于二的 x 方，这个是 x 小 于零的，它是有两个极限的啊。其一，就说 我们可以这样去想一下，当这个 x 慢慢的逼进零的时候，当然它是不能等于零的吗？对不对？在这零这一点没有定义啊，我们是不能说它是等于零的，那么它逼进零的时候呢？它无限逼进零的时候呢？它这个值呢？就会什么？当 x b 进零的时候， 当然是零负啊，零负，这是一个左极限，当 x b 进零负的时候，那么 f x 它是无限逼进于多少是无限逼进于一的？同样当 x 逼近于负无穷的时候呢？嗯， f x 它其实无限逼近于零的这个极限。虽然说咱们高中没有学过极限，但是，呃，咱们通过形式分析啊，通过形式分析 我们应该是能够理解的啊，应该是能够理解的。好，那么这两个极限怎么用呢？啊？我们看一下， 第一个说 f 零大于等于，刚才我们说它是跳跃点，我们一般用到的方法都是反正方啊，都是反正方， 那么怎么反证呢？当然是把这个写出它反面 f， 我 们就要假设什么假设 f 零是小于一的，然后通过这个 f 零小于一，试图看能不能给它推出一个矛盾，对不对？那刚才，刚才提到极限了呀，对不对？那么我们其实就可以把直接把这个左极限的定义给它写出来。那你还有，其实我写出来对任意的一匹大于零， 存在第二次大于零，当这个的时候，我们的函数值跟我们这个极限值的差呢？它是可控的啊，可控在这一个范围之内。这个我相信各位学过大学数学的同朋友呢，他其实其实就耳朵都起茧子了，一眼就看出来了。 那么这时候呢，我们其实可以给它更放松一点啊，你看先把这个绝对值给它打开，那打开之后，我们知道 f x 是 小于 f 零的，这是我们的假设，所以说我们直接可以给它弄一个更强的一个范围，写成这个 啊。行，这个，这就是待会的一个关键所在，这个式子好，那么你看这里，我们前面写的时候，一不形容他是一个任意的数啊，对吧？他是一个任意的数，只要他是一个正数就行了。那么由于一不形容的任意型，我一定可以找到合适的一不形容平， 使得 f 零小于 f 一 减一，不形容平小于一啊。大家在这一个地方， 你看我后面又令什么？令 a 等于一减一不行了平，那这时候什么意思？就能找到？就能找到一个 a， 使得 f 零小于 fa 小 于一啊？好多朋友可能去查一下答案，他们可能搜一下答案，他直接把这一步给出来了，为什么？难道就不问一个为什么吗？就是因为他的背景是极限啊，在这里讲极限的话，他不太好，因为我们高中没有学会极限吗？对不对？所以就只能去这么做了，就只能去这么讲了，他告诉你，哎，这他能找到一个， 能找到一个 a， 但是为什么能找到一个 a？ 你 都没有想过吗？对不对？好，那么能找到之后呢？我们就说什么 f 零是小于， fa 是 小于一的，对吧？那么你看， f 零小于 fa 小 于一的，那么进一步的，这是一个比较强的条件，我们可以推出一个弱的吗？对吧？推出一个弱的条件就更进一步， f 零能小于等于 fa 吗？对吧？他既然能小于，那肯定小于等于了，那这时候呢？出现了不等式啊，对不对？那我们这个题的提设啊，我们的提设有两个条件，他都是不等式，所以说我们就套在第一个里面 啊，套到这个第一个里面，你看，当这个 f x c 小 于等于 f x 二的时候，我们的包含关系正好是相反的，那这时候就怎么了呢？包含关系是相反的，那就是 d a， 它是含与 d 零的， d a 是 含与 d 零的啊，这就是我们怎么利用这个条件，就在这里咱们就已经给它用到了。好，那么这时候呢？ 这时候呢？他既然能包含，那么就可能用到什么集合的包包含关系的定义了，这是我们做数学。呃，我觉得第一步应该想到的一个东西啊，一定要用到定义啊，定义这个东西是非常重要的好，那么包含关系定义是什么呢？ 啊？就是前面已经做第二题的时候已经讲过了吗？对，任意的 d 属于 d， 它有 d 属于 d 零的啊，这是一个好，那么下面一步就直观的一步，我们要导出一个矛盾，那你看，我这里取了一个正数 d， 这个正数 d 的 取值，它是很有很有讲究的，就是取这个 d 是 在零和负 a 到一最小的这个里面， 就是零小于 d 小 于 minum 负 a 到一，这是非常讲究的。咱们这样取的话，一方面呢，能让 a 加 d 啊， a 加 d 是 小于零的， a 加 d 小 于零，就使我们能够利用到我们的二的 x 方这个函数。那么第二方面呢， 零还是小于 d 的 第二个条件了啊，就是这个条件好，怎么用呢？ 既然这么取出来了，那这时候你会发现我们的 fa 它是小于。什么是小于 fa 加 d 的 呀，对不对？为什么呢？ 就是因为我刚才说它用到二的 x 次方这个函数了呀，它是一个递增的函数，所以说有这个式子好，有这个式子呢 啊，你看这个式子，他很奇妙啊，对不对？他很灵活，他又套到什么了？他又套到我们题目中刚开始说的那个集合上面了，他，所以说，所以说我们就有什么有 d 是 属于 d a 的， 当然 d a 呢，是含于 d 零的吗？对不对？ d a 含于 d 零我们前面是推出来的好， 既然 d 是 属于 d 零的，那同样我们又用了一次我们这个定义，用了一次我们这个集合的定义，我们就能推出什么 f 零加定的是大于 f 零的，即什么？即 f d 是 大于 f 零的， f d 是 大于 f 零的，这是我们通过前面取了一个特殊的正数 d 啊，当然不是一个，是一个取了一个范围，咱们能得出这个， 能得出这个不等式。好，那么刚才说的第一个啊，第一个好处我们就用完了，那么第二个好处呢？就是零小于 d 小 于 e， 我 们没用呢，对不对？你看，这个好处就来了啊，因为零，又因为零小于 d 小 于 e 吗？那么是不是由第二个条件我们就推出什么了？ f d 是 小于 f 零的。哎，你看 f d 小 于 f 零，它跟我们第一个好处推出来那个结论，它恰恰是恰恰相反的嘛，对不对？那这不就是一个矛盾嘛，对不对？矛盾就出来了。好吧，那这时候呢，我们就证明我们的假设是不成立的啊，假设 f 零， 嗯，假设 f 零小于一，它是不成立的，那就只能是 f 零大于等于一，那这个题我们就做完了啊，它用到了我们函数的极限，极限的定义，如果不会的话，这个题是很难做出来的。当然，你在考场上面给他猜一下， 其实我觉得可能不太行啊，可能不太行，这就是我们这个题其实已经很难了。这个题好。呃，下面就是第二个小题，第二个小题其实更难啊，更难。怎么说呢，他是问你去证明 f x 在 这个区间内是单调递增的， 在这个区间内是单调递增的，那我们高中可以回忆一下我们高中学过的单调递增的那个证明方法有哪些？最基础的就从定义出发。嗯，任意的 x 一 x 二，然后让 x 一 小于 x 二去证明 f x 一 小于 f x 二，这就是一个最简单的 呃，一个最直接的一个方法，用定义去证，然后呢，就是导数了，那导数很明显这个题是不可能求导的，因为函数的解析式都不知道吗？零到正无穷之内，咱们是不知道它函数解析式的啊，这是一个，第二个 他可导还是不可导，我们都不知道呢，这是我们高中生很容易忽略的一个地方，给出一个函数，他不一定可导啊，他连他连连续都不能保证，对吧？可导是不一定的，所以呢，就只能通过定义了呀，对吧？那定义怎么做呢？ 定义怎么做呢？其实我写出来了，大家可以看一下，就说如果要证明 f x 在 这个零到正无穷内是递增的一个函数，那么就对任意的零小于 a， 小 于 b， 一定是要证明出 f a 是 小于 f b 的 啊，一定要证明出来 f a 是 小于 f b 的， 那么很多情学生可能在这里就 直接卡住了啊，直接就卡住了，就只能写这么一个东西了，没办法了呀，对不对？那这时候我们就从题目处去破一下，给他破一下，看这个，我们能不能从这两个这个提示中再压榨一些有用的条件出来呢？好，我们看一下啊，第一个其实没什么不好压榨的，他就是很明显的一个。那第二个呢？ 不等式啊，不等式啊， f x 小 于 f 零，这个不等式能怎么给他操作一下呢？我们知道，你看第一个条件里面，他就是一个不等式，能能推出一个包含的关系。那么第二个呢？ 能不能通过第二个不等式推一个包含的关系呢？能不能呢？当然啊，当然可以啊，对不对？那既然 f x 小 于 f 零的，那么就证明 d 零是含于 d x 的 呀，但是这个它不好用啊，它不好用，那么我们其实可以给它操作一下，就是说把这个 f x 小 于 f 零，给它变成 f x 小 于 x 减， 嗯， x 加负 x， x 加负 x， 你 如果能写成这样，那你看，就这里 啊， f x 小 于零呢，可以写成 f f x 小 于 f x 加负 x， 因为 x 加负 x 就 x 减 x 嘛，对不对？它就是等于零，那么既然能写出这个， ok， 那 你看这个 x 呢？是什么？ 就对应我们那个 d 啊，你看，我退回去看一下吧，就是这个 d d x 零，它代表元呢，就是里面怎么不等式里面这个不变的数啊？两个不等式里面都不变的这个数，那么就意味着什么？ 意味着什么？是不是就意味着我们可以套用一下我们那个套用线前面那个集合的定义，得出什么？得出我们的负 x， 它其实是属于 d x 的， 这是非常有用的一个条件，非常有用。如果你能看出这个，那其实你离做出这道题已经不远了。好，那么既然能得出这个，好，那我们继续来看一下。 在这里，当 t 小 于零的时候呢？当然这个 t 就是 一个自变量啊，我为了跟 x 区分开，让大家不要混淆，就写了一个 t， 那 么这时候呢，我们可以看到 ft 加负 x， 它怎么了？它等于二的 t 减 x 次方，为什么呢？因为什么 t 它怎么样？它是小于零的，那么减 x 更小于零了吗？对不对？所以说我们就用到我们在副本中那个函数的解析式，那么二的 t 减 x 次方呢？那么二的 t 次方又等于 f t 吗？那就意味着什么 啊？意味着什么？意味着 f t 加负 x， 它是小于 f t 的， 那你看，又是一个不等式，又是这个不等式，两边它这个自变量里面都有一个相同的数，那不就是又能套到我们题目中的那个几何了吗？对不对？那这时候是不是就意味着什么？ 它不是大于啊，它是小于啊，只有当这个大于的时候，我们就说 t 啊，我们就说负 x 属于 dt 的， 但它是小于，那就恰恰说明了我们的负 x 它并不属于 dt。 ok， 那 这时候经过我们的一同分析，我们得出了两个直观重要的一个条件，就是 负 x 它是属于 dx， 但是负 x 它不属于 dt， 这是非常重要的。好，那么这时候就说了，如果啊，如果我们能推出来 dx 包含于 dt， 那 是不是就产生矛盾了呀？对不对？为什么会产生矛盾啊？ dx 包含于 dt， 负 x 属于 dx， 那 不就能证明出来负 x 属于 dt 的 吗？对不对？但这里是不属于的呀，那就是一个矛盾，这就是一个矛盾。 好，那么我们由第一个，我们由第一个条件，我们知道 f t 是 小于 f x 的 啊， f t 是 小于 f x 的 好，那么能不能找到这样的 t 呢？对不对？如果能找到这样的 t， 你 看，如果能找到这样的 t， 我 们就会推出这个就能找到矛盾。好吧，能不能找到呢？ 那这里我们就得去做了，去给他找一下了。好，那我们就先假设 f x 大 于零，那至于为什么能想到 f x 大 于零呢？这个我相信是大家去搜一下答案，他这个第三题第一用就给你跳出来，让你先证明这个大于零。那么我还是那句话， 为什么啊？你是神仙吗？你为什么觉得我们第一步就得证明这个？谁告诉你了吗？还是你梦到了对不对？这就是我们前面为什么要去推推这个地方呢？他其实也是涉及到极限的思想，如果你对学过高数还学的挺好的，你能一下子想到先去证明这个癌，先去假设，去证明一下这个情况， 好吧，先去证明这个情况就是极限思想的一个应用啊，当然作为我们一个普通的高中生是不可能想到的嘛，对不对？好，那么假是 f x 大 于零，很明显我要用反正法的思想了，对不对？假是 f x 大 于零，那么 这是第二个极限，因为厘米的 t 属于负无穷， f t 它是等于零的，就是说什么二的 t 四方分之一嘛，那 t 越大， t 跑到无穷去了，那肯定是等于零嘛，那么怎么了？ 肯定也要用到我们函数的定义，那这里我就不写了，跟前面其实很像，大家可以查一下。所以说只需要什么，只需要 f x 大 于零的时候啊，为什么要设 f x 大 于零呢？是因为只需要 f x 大 于零的时候，我们结合我们这个极限的定义，就一定可以找到一个很靠左的复数 t， 使得什么零小于 f t 小 于 f x， 你 看 啊，零小于 f t 小 于 f x， 这跟前面的那个，呃，第三题啊，零小于 f， 零小于 a， 小 f， 零小于 f， a 小 于一，他是异曲同工的， 就是同一个思想，只是说他这个极限过程不同而已，就这么简单。好，那我们看一下，能找到这个啊，能找到这个，你看这是一个不等式啊，对不对？他是一个不等式啊，那由第一个条件，第一个条件是这 啊，是由这个，哦，不对，是这个 f x 一 小于等于 f x 二，那么可以找到一个包含的关系。那么我用刚才这个啊，我用刚才这个 啊， f t 小 于 f x， 我 就能推出什么了，我就能推出 d x 是 包含于 dt 的 啊， d x 包含于 dt 的， 那你看这是不是就产生矛盾了？ 因为我这里说，只要能证明 dx 包含于 dt， 它就产生矛盾了呀，对不对？所以说这个假设是不成立的呀，那假设不成立怎么了？是不是就 f x 必须得小于等于零啊，对不对？这就是我们证明这个 f x 小 于等于零的这个动机所在。 好吧，好多同学啊，看到答案，这就是看到答案发懵，就这个原因啊，没有学过极限吗？是吧？好，那这时候我们证明 f x 小 于零了，这是一个。好，那么接下来我们证明什么？是不是前面写了， 对，任意的零小于 a 小 于 b， 如果我们能证明 f a 小 于 b f b 的 话，证明这个单调性了，对不对？好，那么刚才正说什么？正说 f s 它是小于等于零的，对吧？好，那这时候就有个技巧啊，我们令 h 等于 b 减 a， 这个技巧呢，是简典型的在高数里面，或者在数分里面是很常见的。 h 等于 b 减 a， 它肯定是大于零的吗？对不对？因为我们的设的是 b 是 大于 a 的。 好，那这里就 h 大 于零，那么有前面是不是可以知道我们的 fa 是小于等于零的？为什么？因为我们刚才就证明了这件事吗？对不对？ f a 是 小于等于零的，那这时候呢？负 h 呢？也是小于零的呀，是吧？从而我们的 f 负 h 呢，是等于二的负 h 次方，它是大于零的， 因为负 h 小 于零，我们就怎么了？为什么要用负 h？ 我 们是不是正好又能起，又能利用到我们那个函数二的 x 次方了，对不对？这就是用负 h 的 这个原因了，对不对？好，那么负 h f h 大 于呢？那么我们就能知道 fa 它是小于等于零还是小于 f 负 h 的 啊？是小于这个的，那怎么用呢？不等式啊，就是给他又凑出来了一个不等式啊，我们只有我们这个题，只只要有不等式，我们就能凑到前面的那个那个条件里面。好，那么既然 f a 小 于 f h， 那 我们是不是就能证明出来什么？ d 负 h 它是包含于 d a 的， d 负 h 它是包含于 d a 的。 好吧，那么这个有什么用呢？其实你也会发现了，我既然能令 h 等于 b 减 a， 那 么 证明 f b 大 于 f a， 不 就当且紧当去证明什么，去证明 f h 大 于 f a 吗？那么 f 哦， f h 加 a 大 于 f a 吗？那么 f h 加 a 大 于 f a， 这是什么东西？这是不是又 凑到我们的那个题目中刚开始的那个集合了？那么这时候怎么了？是不就意味着 h 得属于 d a 啊，对不对？ h 得属于 d a 啊？那你看这里，我证明出来 d 负 h 它是含于包含有 d a 的， 那是不是只需要证明 h 是 含呃，属于 d 负 h， 就 能证明 h 是 属于 d a 的 了。所以说我们接下来的目标呢，就是去证明 h 它是属于 d 负 h 的， 那么 h 属于 d 负 h， 当且仅当什么？当且当 f 负 h 加 h， 它是大于 f 负 h 的， 这是什么？不就是定义吗？对不对？好，那么 f 负 h 加 h 变什么了？不就是要证明 f 零大于二的负 h 次方吗？ 那么负 h 又是小于零的呀？负 h 小 于零，那么它就能用到什么？用到我们的指数函数二的 x 方，对不对？那二的 x 方它是怎么样的？是小于一的？在这里，那么不就证明了二的负 h 次方是小于一的吗？ 二的负 h 次方是小于一的，而 f 零呢，又是大于等于一的二的负 x 次方小于一， f 零大于等于一，那我们就能推出什么，我们就能推出我们的 h 呢？就是属于 d h 的 啊， h 属于 d h 的， 那 d h 又含于 d a， 那 么就能推出 h。 是 啊，这是写错了啊，这是 h 属于 d a 的， 那这不就完事了吗？对不对？那么 h g 属于 d a 了，那不就证明了 f a 加 h 大 于 f a 吗？那么 f a 加 h 不 就是 f b 吗？ f b 大 于 f a 啊，那不就得证了吗？这个题啊，这就是这个问题啊。呃，第三问，第三问非常难。 好，那我们就总结一下这道题，那第一步呢，就考的是你能不能明白 dx 零这个几何的定义啊？这个，你如果这个都看不懂的话，那说实话， 呃，这个题就不用看了，好吧，那么第二题呢？呃，第二题也简单，就是考考一个分类讨论，你能把那个题目给他读懂，基本也能做出来。难度呢，主要是第三个题啊，真正想考的其实就是第三个题，他没有考计算，没有任何计算，对吧？就是一个数学思维，纯纯的数学思维， 呃，大家都说啊，竞赛难度，其实如果把这个题放在竞赛中去看的话，呃，放在竞赛中去看的话，也是属于一个中等啊，中等的题型啊，中等的题型，甚至我觉得这个题放到考研数学里面都是比较合适的。就是非常合适的啊，放到考研数学里面，呃，很多学生也不一定能做的出来 啊。就是这样，所以这道题真正想考的呢，不是复杂计算，而是数学思维。你能不能理解函数值的大小和集合 d 之间的包含关系呢？你能不能通过极限思想去找到合适的点呢？ 你能不能用反正法把未知的正半轴给他逼出来呢？这就是我们这道题的精髓所在，尤其是极限的定义，你没有极限的思想，你这个点你是不可能给他找出来的，就这么简单。好吧，一定要去学习，稍微的学习一点大学的知识， 这也是我一直跟学生说的，数学的学习呢，不能一直去刷套路。真正难题考的呢，我们往往不是你背了多少公式，而是你有没有把底层的概念给他学明白。如果你觉得这期对你有帮助的话，可以点赞收藏啊，也可以转发给正在学习高中数学的同学，我们就下期再见，拜拜！
147苏老师的数学课
02:51查看AI文稿AI文稿各位同学，家长朋友们，大家晚上好，今年呢，高考结束之后啊，一个话题呢，特别火，新高考一卷是不是在模仿上海卷？今天呢，我们就结合两套试卷好好聊一聊这个问题。我是胡老师，带过太多的高三的孩子， 先把核心结论呢放在前面，今年上海卷呢，整体难度呢，比新高考一卷低了不少。不可否认的，新高考一卷能看出一些上海的风格，比如说偏爱新定义，题型 结合生活情境啊，图形和函数综合考察呢，授问方式也更灵活。但是呢，也仅仅是风格略有相似，难度和做题感受呢，完全不同。我们先来说一下这个上海试卷啊， 整套试卷的压迫感呢，很低。填空题呢，前八道啊，全是基础题，集合数列三角，概率这些常规考点，基本功呢，扎实就能稳稳拿分。从第九题才开始，慢慢的增加难度。前面大部分题目啊，都很友好，小题里面呢，向量三角，函数， 椭圆的考题，重思维轻计算。十六题呢，空间旋转呢，是拉开中档声跟优等声的关键点，很考验空间想象力。解答题呢，就更加温和了，统计，立体几何，常规的解答题呢，流程很清晰， 难度呢，都不大，真正有含金量的，能拉开分数的只有倒数两道题目，哪怕压住题呢，有难度，答题思路呢，也比较明朗，不会故意的设置一些陷阱。整体做题体验啊，就像走一段缓坡，前期呢，一路顺畅，只在最后两段呢，陡坡发力就行。再来看一看新高考例卷哦， 完全的是另一种体验。试卷呢，从第六题就开始上强度，单选呢，多选填空题的难题呢接连出现，阅读量呢大，分类讨论多，还出自呢反套路。解答题呢，更是难点扎堆，不管是计算量还是抽象思维要求都远超上海卷，全程呢，高低起伏， 相当于一直在走崎岖的山路一路呢，被难题牵绊，对这个做题节奏啊和心理抗压能力呢，都是极大的考验，哪怕对比压轴题，新高考一卷难度也明显更高。 当然，也要客观的说，上海卷绝不等于低级简单，他题干简洁，没有多余的废话，非常考验大家 解读题义灵活变通的能力。此套解析套路只会硬算，同学啊，在这里呢，很容易吃亏。今年上海卷高分段分数呢会比较集中，区分度呢基本依靠几道亮点的难题，而新高考一卷的难度分布广，学生的分数断层啊，会非常明显。 最后呢，给同学们呢提个醒，不管是哪套试卷，现在的命题趋势呢，都在弱化机械刷题，强化审题、逻辑思维和综合应用能力，打好基础，学会独立思考， 跳出固有的套路，才是应对所有考题的核心。我是专注中高考升学的胡老师，相信今天的分享能够帮大家呢摸清当下的命题方向。为了呢，助力同学们学好高中数学，我也整理了高中数学考点总结、题型技巧等学习资料。想要孩子在这个暑假 数学上有突破的家长呢，可以在评论区留言，高中数学我分享给你，记得点赞关注哦！
04:40查看AI文稿AI文稿今天咱来讲讲二六年新易简的十四。先翻译题目条件，左边的下标不是 n， 而是三 n。 来简单写一写，找找规律，会发现关于 a 的 线段总是三个三个的出现。观察右边的表达式，是一个二次函数，这明显是等差线段的前 n 项和， 可是左侧却是三 n， 则想办法变成 n 项。结合刚才发现的规律，让新出来的三项作为新线段的一项 新数列记为 b n。 写好之后就是这个式子，记前 n 项和为 s n， 这样就能求出 b n 的 通项。通过写 s n 减一两式相减得到 b n， 然后验证 n 等于一，得到 b， n 等于二 n。 接着看题目问的说，这九项乘等比数列。由于 a n 是 三个一组的出现，那这里会有两种情况，第一种就是完美地卡在三个组三个三这样的情况，这样一共三组，刚好九个。第二种就是被拆开了， 第一组出一个或者两个，后面跟着两组。第四组再出一个或者两个，最后一共也凑出九个。先来看第一种情况，这里的 k 必须是三 t 加一，也就是类似一四、七这样的下标，才能刚好卡在三个完整的组。我们把题目的下标都换成 t， 这样就用出去了这个条件。因为是等比竖列，所以每三项之比也是等比公比为 q 的 三次方，也就是四到六项的和。比下一到三项的和等于七到九项的和。比下四到六项的和等于 q 的 三次方。信息到这里也就挖完了， 开始结合我们通过题干得到的信息，这两个式子是我们手里唯一的信息。很明显，我们写的表达式可以代入第二个信息，往里一代，这九项分成三组，就用 b 的 竖列表示了。 b 的 这三项就分别对应一到三、四到六、七到九项的和。再结合 b 的 通项公式待如关于 q 的 三次方的表达式，也就是它这个连等式，起码左边的相等，我们看看有没有解。交叉相成一展开，发现根本没解 说明。第一种情况，不存在九项等比，从哪里开始都不行。再看第二种情况，无论从哪里开始，因为是九项，所以中间必然会有两个完整的组， 这两个相邻的组各自的合积比后，比前依然是 q 的 三次方。假设前一组是 b y， 后一组是 b y 加一， 仍然带入 b 的 通项，得到了这个表达式。现在出现第一个问题， y 的 范围怎么看？ y 必须大于等于二，因为我们的 b y 是 中间的一组，它的前面还有其他的项，所以不可能是 b 一， y 不 能等于一。 然后化简这个表达式得到最大值二分之三。并且我们知道了取等的时候是 y 等于二，也就是 b 三比上 b 二等于二分之三。第二个问题，这道题是不是做完了呢？ 如果按照我的方法，问题远远没有结束，我们只是找到了个 q， 让第二组比向第一组等于了一个定值。这根本无法说明一定存在一个公比为三次根号下二分之三的九项等比线段。我们必须证明有这么九项等比线段， 并且公比能取到这个值。我把这些项都写下来了，因为已经知道什么时候公比是三次根号下二分之三了，那这个线段就确定了，中间的两个组我圈起来了， 至于旁边的是左边两个还是右边两个都一样的思路，我就拿左边两个进行组合作为例子讲解。 最终我们的数列就是 a 二到 a 十中间的两组，我们写成最开始的一项， a 四 a 七乘以一 q q 的 平方，这样我们一笔再把刚刚写的表达式带进去，通过约分得到了 a 七等于 a 四乘以 q 的 三次方， 这样中间两个完整的组就有了桥梁。把 a 七全部换成 a 四乘以 q 的 三次方，会发现中间的六项是等比， 就剩下旁边的三项。先看 a 十，如果要满足条件， a 十必须是 a 四乘以 q 的 六次方。而本题对它唯一的约束就是这个表达式一项会得到 a 十一和 a 十二，结合它们两个是真的一点要求都没有，所以肯定能取到这个数值， 所以 a 十也能成为等比数列的一人。左边的 a 二和 a 三都一样，它俩也能成为等比数列的一人。这个九项等比数列就证明出来了，它肯定是存在的，最终 q 可以 取到三次，根号下二分之三。本期视频到这里就结束了，感谢大家的观看。
42数学大車
14:41查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，今天我们给大家带来的是二零二六年全国一卷的第十四题，也就是我们填空题的压轴题，是一个关于数列的题目。那么同样的，我们还是先来把这个题目看一下。 存在一个数列，对于任意的 n 属于 n 心均有 a 一 加 a， 二加 a 三 n 等于 n 方加 n， 并且 a n 中有某连续的九项 是公比为 q 的 等比竖列。那其实也就是说这个题目呢，给了我们这个竖列的两个要求。第一个要求，我们如果用简洁的语言来表示，就是 a 一 加到 a 三 n， 那 么其实就是前三 n 项的和等于 n 方加 n。 第二个要求就是说这个数列当中有连续的九项是一个公比为 q 的 等比数列，那题目让我们求的是 q 的 最大值，那这个时候我们要从整体上先来思考一下这个题目啊。首先呢， 他让我们去求的是 q 的 最大值，那就说明这个数列他并不是一个确定的数列，这个公比是多少 公比取一个值，那么这个竖列可能是一个不同的样子。那但是这道题呢，我们的出发点肯定只能是第一个式子，因为第一个式子看上去形式比较简单，就是这个 s 三 n 等于 n 方加 n 的 形式。那我们怎么样从第一个式子突破呢？ 其实我们知道，对于竖列来说，我们现在要求的是它的第二个条件，全部都是关于 a n 的 一个表达式，所以我们在这里就肯定要用到什么，用到 s n 与 a n 之间的关系，这是我们竖列里面的基本功，也就是说我们要 怎么样表示 a n 就是 s n 减去， s n 减一，在 n 大 于等于二的时候，对吧？这是他们最基本的一个关系，但是在这里是 s 三 n， 那 s 三怎么办呢？ 我们要想一下，这个是不是说明，我现在只告诉了你这个竖列它的前三 n 相和的一个表达式，也就是说我竖列的这个个数求和必须是三的倍数呀。 那么这样的话，我们可以也可以按照这个形式进行一个作差，比如说这里我可以写 s 三倍的什么，我可以把这个 n 减一带进去，也就是三 n 减三， 就等于 n 减一的平方加上 n 减一，对吧？然后现在这样的话，我们两是同样的，也是可以作差的，但是我们做差以后是什么？我们来看一下，左边呢，就是 s 三 n 减去 s 三 n 减三，哎，那这样的话，其实就是前三 n 相和减去前三 n 减三相和，那剩下什么了呢？ 是不是剩下了？首先 a 三 n， 然后剩下三项呀？ a 三 n 减一，加上 a 三 n 减二，然后等于什么呢？等于我们把这个竖列带进去，一个是 n 方加 n， 然后减去这里，我们把它展开 n 方减二， n 加一，然后加上 n 减一，然后我们这样前后约掉以后，应该就只剩下一个二 n 了啊，那么这样的话，其实我们这个时候再来看一下这个竖列， 它是 a 三 n 减二加 a 三减一，加 a 三 n 等于二 n， 哎，那也就是说它的相邻的三项之合构成了一个等差竖列。 举个例子，比如说 n 等于一的时候啊，那么在这里的话，其实我们有一个要求，就是你既然去相减的话， n 是 不是要大于等于二呀？对吧？那 n 等于一的时候，我们需要单独去验证一下啊。我们来验证一下 n 等于一时，我应该带进去就是 a 一 加 a， 二加 a 三等于，我们可以带到最开始的这个式子里面去，应该是一的平方加一刚好就是二乘一，它是满足的。 所以其实我们会发现任意的 n 属于 n 心，我们第一个条件就给它翻译成了什么样子，翻译成了这个竖列， a 三 n 减二，加上 a 三， n 减一，加上 a 三， n 都等于二 n， 我 们把这个竖列从小到大排列一下啊。举个例子我们就会更加清楚，比如说 n 等于一的时候，他就是 a 一 加 a， 二加 a 三， n 等于二的时候，就是 a 四加 a 五加 a 六， n 等于三的时候，就是 a 七加 a 八加 a 九，就这样以此类推啊。那么这个数列它们的相邻的三项的和 分别就是二、四、六，然后后面八十这样子的一个偶数的一个等差数列。 好，那么这样的话，这是我们这个题目给数列的第一个条件我们得到的信息。那么第二个条件，我们怎么样才能把这两个条件关联起来呢？我们来看一下它的第二个条件是有连续的九项是公比为 q 的 等比数列。 那这个时候我们就要想，这连续的九项它到底是一个什么样的构成，跟前面这个第一个条件的关系是什么？我们先把这九项写一下啊，是 a j， a j 加一， a j 加二， a j 加四， a j 加五， a j 加六， a j 加七， a j 加八。好，然后我把这个写出来的九项竖列复制了一下，复制了三个啊，那么大家想想，我为什么要复制三个？ 是不是其实在这里的话，就是对应着我们的第一个条件有三种情况呢？哪三种情况呀？我们来想一想。首先 我第一个条件是相邻的三项之合为二，而且这三项它是有特点的，它必须是什么？最后一个数是三的倍数，那么也就是说有可能是这样的 三项，它们分别就是比如说第一个就是我的二 k， 这里就是二 k 加二，这里就是二 k 加四，是不是有可能是这样的？ 那么还有可能是怎么样？有可能呢？我是从这九项里面，我是从第二项开始的三个的组合，那么这样的话，这里后面他可能还有一项，比如说 a j 加九， 然后这里前面可能还有两项，对不对？那这样的话，这里就是二 k， 这里就是二 k 加二。那第三种情况呢？第三种情况就是 有可能怎么样？有可能是从第三项开始的，这三个是一组，这三个是一组，然后后面 有另外两个数跟他一组，前面呢有另外一个数跟他们一组，那么这里是二 k， 这里是二 k 加二。其实大家想想肯定就只能是这三种情况，对吧？如果我再从第三项开始，那就回到第一项了，所以它是一个循环啊，那么这样的话我们需要逐个去验证。 好，那么我们先来看一下这个第一项的一个情况。首先呢在这里我们有一个前提，大家要知道等比竖列，如果说 a n 等比， 那么它的前 n 项和是不是也也应该是有一个等比的一个式子，那么比如说 s k s， 那么 s n s 二 n 减 s n s 三 n 减 s 二 n 是 不是应该也是等比的？ 而且如果 a n 的 公比为 q， 那 么下面的公比应该是什么？是不是 q 的 n 次呀？对吧？这是一个基础知识啊。那么在这里的话呢，我们就要知道，如果是我这里的第一种情况， 他刚好这九个竖列就是三个，三个这样分成的，那么这样的话应该是得到了什么结论？就是二 k 和 二 k 加二，二 k 加四，这三个数应该也是等比，而且他们的公比是 q 的 三次，那这个时候就一定会满足二 k 乘以二 k 加四等于二 k 加二的平方。 好，那么在这里我们解出来应该是四 k 的 平方加上八 k 等于 四 k 的 平方加上八 k 加四，哎，那显然是无解的，对吧？那所以第一种情况就不可能了啊，所以也就是说这九个数里面不可能刚刚好就是这三个，三个的乘以三组，哎，那么接下来我们来看一下第二种情况和第三种情况。 那么其实大家想一下，第二种情况和第三种情况它一定是怎么样？就是说这里面它前面一定有一项，或者前面一定有两项，那么在这里其实我们的 k 一定要怎么样？是不是这里它肯定是 k 要大于等于二的， 这是一个前提，对吧？因为它前面有项，我不可能说是 k 从一开始，如果 k 从一开始的话，那我这个 j 加一就是 a 一 了，那我前面还有 aj， 那 就不行了。同理第三个也是一样的啊， 那么这个时候如果这九个数乘等比竖列，那么我们一定是满足二 k 加二比上二 k 等于 q 的 三次的。哎，也就是说 q 的 三次等于什么？等于一加上 k 分 之一，我们刚说 k 是 大于等于二的， 那么我们很容易发现这个表达式，它是一个单调 d， k 越大，整体越小，对不对？单调 d 减，那如果现在我要求 q 的 一个最大值，是不是应该是 第一项是最大的，而第一项是 k 去几啊？我们刚说是 k 调大于等于二，是不是就小于等于一，加上二分之一就等于二分之三了呀？ 那么这道题目最后的答案就是， q 的 三次，它的最大值就应该是二分之三，那么 q 就 应该等于二分之三，开三次更好。 好，那么到这里的话呢，其实这道题已经结束了啊，我们得到了这个 q 的 最大值就已经可以了，但是这个时候我觉得肯定有同学也会想，那这里的话， q 的 三次确实小于等于二分之三没有问题，但是我怎么能保证这个二分之三他一定会取到呢？ 也就是说这样的竖列到底是不是真的存在呢？其实在这里这个就回到我们最开始说的这个竖列，它其实并不是一个确定的竖列，我们给大家做一个简单的验证啊。好，我们想一想，其实 我们最后来验证这个它到底能不能取到啊？当我们的 q 等于三次根号下二分之三的时候，是不是就是在这里的话， k 应该等于二，那么 k 等于二代表什么含义？ 就是这九个数里面，至少你看啊， k 等于二的时候，这里就是四，这里就是六。根据我们前面的一个分析的话，是不是这九个数里面它至少要包括哪六项？是不是至少要包括 a？ 从 a 四、 a 五、 a 六他们加起来是四，对吧？ a 七 a 八 a 九，他们加起来是六啊，至少要包括这六项。那么前面首先我们第一种情况验证过不可能是三项，那么这样的话，前面是不是刚好有一项，后面来两项， 或者说什么呢？前面来两项，后面来一项啊，比如说这里是 a 十 a 十一啊，这里是 a 三，那么这样的一个九项，或者说这里是 a 二 a 三，然后这里是 a 十，或者这样的一个九项，那么这两个竖链它到底能不能取到呢？其实我们会发现这个时候这个竖链它其实就已经唯一确定了， 就是中间这六个数最起码是唯一确定的。我们举一个例子啊，比如说我们以这三个数为例，我们知道 a 四加 a 五加 a 六，我们如果确定公比的话，它是不是可以写成 a 四乘以一加 q 加上 q 的 平方，然后这个结果是等于四的， 而 q 也确定下来了，那么这样的话 a 四是不可以求出来了。那么同理 a 五 a 六，然后 a 七、 a 八、 a 九都可以按照同样的方式确定下来，就是说 这个时候中间这六个数是完全可以求出来的。那我们这个时候我们说这个数列它并不是一个确定的数列啊，所以我只需要怎么样，我只需要进行一个负值，比如说我就令 第一种情况， a 十等于，因为 a 九是可以求出来，是确定的，乘以这个 q q， 我 们也是确定的，对吧？求出来是这个二分之三开三次根号，然后 a 十一等于 a 九乘以 q 的 平方，然后我这个 a 三呢，就等于 a 四除以 q， 那 么第一个 这样子我进行一个赋值是不是就成立了？因为对于 a 三，它其实它并不是唯一确定的，我们对于 a 三的要求就只是 a 一 加 a 二加 a 三等于二就可以了，所以 a 三我其实可以随便复制， 那么这样的话 a 一 a 二另外两个会随之发生改变，那么同理 a 十 a 十一也是一样的。那么第二种情况呢？同理的话，比如说我可以令 a 三等于什么？等于 a 四除以 q， 然后 a 二等于 a 四除以 q 的 平方， a 十等于 a 九乘以 q， 那 么这样的话，是不是我第二个数列也可以满足题目的条件？九个相邻的数，然后它们是公比为 q 的 一个等比数列，因为这样的话，我们刚刚说 这 a 十、 a 二、 a 三，他们的要求其实是什么？什么样的一个要求是作为一个整体存在的，就是 a 十，比如说 a 十加 a 十，一加 a 十二，他们应该等于， 比如说刚刚是四六，应该等于八了，对不对啊？好，等于八，那么我们只要给 a 十赋值，剩下的两个数，其实你取什么都可以，只要我相加起来等于就可以了。所以在这里的话，我们只需要 得到最后这个 q 小 于等于二分之三的三分之一次就可以了，剩下的竖列它一定是会存在的，只要我们进行负值就可以了。好，那么这道题目呢，我们就讲到这里。
62小姜爱数学
00:26查看AI文稿AI文稿关于这次高考易选数学最后一道压轴题有多难？听听学长在直播间怎么说？从第二问开始能写出来的学生，我就觉得你够华科水平，够武汉大学水平，没有任何问题。第三问，我就这么告诉你，这次到最后到压轴题的第三问，我告诉你，多夸张哈， 我把答案摆在桌子上让你抄你都答不对。哈哈哈，我摆在桌子上让你抄你都答不对哈，真是这样的。
92彭彭学长
02:26查看AI文稿AI文稿二零二六年全国一卷数学考试结束以后，很多同学都说难，卷子我也拿回家做了一遍，最难的就是第十九题新定义函数压轴。其次呢是第十二题多选压轴题， 第十八题圆锥曲线的第二问，第八题的单选压轴题。那下面说说它难在哪？首先是最啥时间最容易崩盘，是第十九题的压轴大题了，它的题型新定义函数跳跃集合，综合推理。 特点呢，是不考死算，全考逻辑推理，抽象理解，题干长，概念新，很多同学读不懂，题少算多想， 平时刷题套路完全用不上，考生反馈下不了笔，看答案都费劲，直接拉开了十到十五分的差距了。 那第二个就是选填隐形杀手。就第十二题多选的压轴题，考点是函数性质加不等式综合，难在哪呢？选项陷阱多， 要严谨的论正，容易漏选错选。概率统计加树列递推，再加极限思想混合题， 难度在哪呢？不是常规的概率，要现场建模型，用数列语言描述，像微型的科研题。还有第十四题的填空压轴题，考点是立体几何加负数 加向量跨模块难在哪呢？形式新颖，平时练得少，想不到思路。第三就是大体里的拦路虎多。第十八题圆锥曲线，第二问常规椭圆，但计算量大，连利复杂，中等生往往算到一半算不下去了。 第四整体难在哪呢？一句话总结，不是偏怪题，是反套路，重思维。跨模块那基础题简单， 前六选前两田，前三大题中档题陷阱多，压轴题全是新题型。二零二六难度呢？比二零二五年难，和二零二四接近， 均分大概还是七十多分，不及格。最后告诫所有的高一高二的学生，你放下套路，回归课本 精做真题，训练思维现实，训练错题复盘。数学不再是刷的多就赢，而是谁理解的深，谁会思考，谁稳得住谁就赢。加油！
1544刘老师的学习日记
