老高考数学答案
跟着主播从一九七七年开始刷高考题，欢迎来到九零年代，这个年代听着陌生感就没有那么强了，感觉我的哥哥姐姐们要开始陆续出生了。再有几年就到我爸妈的高考卷了。 是不是刷到视频的也九零后比较多？还是说一零和零零后？九零的试卷也和前几年一样稳定，没什么大的改动，除了还有极限问题，已经好几年没看到积分问题了。 但这个卷子我早上做的，犯很多离奇错误，所以高考下午考数学是正确的。早上容易脑子不清晰，不适合写数学，吃个饭回来还漏了一道题没写完。我以前最爱深夜写理科，全世界都很安静，就我一人在学习，特有感觉。 从今天开始，我们最后都来对一下答案吧。以前我还是很自信，觉得我会写的都不会出错，但今天写对了都能选错。这个卷子没有答案，所以对答案方式很朴实，就是快克搜答案啊。哈哈。 也是，没想到这些题居然都有。所以这个题目数据库的多大，都是怎么收入进去的？这个第三题都算错，我也是醉了，我开始还求的圆锥体积，后面改过来还是开放错了，早上就不适合做数学。 下面第六题更离谱了，卷子答案上我看我都写对了的选项选错了，后面还有一个也这样，明明都算到最后一步了，没把符号去完就填答案，那当然也是错。解答题的例题几何，吃个饭回来就忘了，还没做完。 今天的压轴题好像还要证明科西不等式。我对这个有点忘记了，没怎么写证明过程，哈哈。没考上九八五的一天， 我就浅看一下答案吧。哈哈，今天就拜拜了，我会坚持下去的。
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07:36查看AI文稿AI文稿高考十大技术之曼哈顿距离，这绝对是我私藏的数学秘籍了，如果还没有毕业的话，我是绝对不会放到网络上给大家分享的， 收藏就是赚到。这个世界上呢，存在一类非常难的绝对值填空压轴题，绝对值内部呢，参数和字变的形式都复杂多变，用常规的分类讨论去做，计算量非常之大， 而且呢，因为自由度很高，有 x、 a、 b 三个变量，所以让很多人都感觉分类讨论的无从下手。这边如果我们使用曼哈顿距离这一个几何法来做题，不仅直观计算量小，而且呢还容易把正确答案给一秒看出。那么在解题之前呢，咱们先给不懂的宝子们科普一下， 到底什么是曼哈顿距离。曼哈顿距离呢，其实是从一个非常生活化的情景衍生出来的假设呢，这个网格表示的是城市曼哈顿的一个简图， 这些横平竖直的道路呢，就是出租车可以通行的道路，而这些方块呢，就表示房子车子呢，不可以开到里面去。现在呢，假设你从 a 点打车要到 b 点，那么出租车司机呢，其实有好多种走法，比如说他可以这样走，可以呢这样走，甚至呢还可以那样走。那么学过初中数学的同学都知道，这些线段经过平移之后平坐在一起，你会发现这些走法总的距离都是一样的。 那么这个横平竖直的走法呢，我们就定义为曼哈顿距离。所以说平面内如果有两个点， a 和 b， 那 么他们的曼哈顿距离就是绝对值的横坐标相减，加上绝对值的纵坐标相减，我们都知道呢，最常规的距离其实就是 ab 连线的长度，现在如果让 a 点固定下来， b 点到 a 点的距离一直保持不变的话，那么 b 点的运动轨迹就变成了一个以 a 点为圆心，以距离为半径的圆。现在呢，我们也想来研究一下，如果呢，一个点 p 固定下来点 t 呢？到点 p 的 曼哈顿距离为定值，那么点 t 的 轨迹到底是怎样的？其实呢，要画出 t 点的轨迹也非常简单，遇到绝对值，我们第一思维是什么？分类讨论， 那么我们只要分四种情况讨论，就是分别令 x 大 于等于 x 零， y 大 于等于 x 零，然后呢， x 大 于 y 小 于， x 小 于， y 小 于 y 大 于，还有 x y 都小于，这样呢，就可以把这个绝对值去掉了，所以我们发现分成四段去画这个图像，最后形成了这样的一个正方形的框框，那么这个框框呢，就表示的是 p 点的运动轨迹了，只要在这个方框上运动呢，它到 p 点的曼哈顿距离永远保持不变。这边呢，为了方便同学们的记忆，我们可以把它跟我们最熟悉的圆来进行一个类比，我们曼哈顿距离的正方形的中心就可以类比为曼哈顿圆心，然后曼哈顿半径呢，就指的是这个常数 a， 那么事实上呢，你会发现，其实也就是它对角线一半的长度，这个我们就可以定义为曼哈顿半径。那么当这个曼哈顿半径变大的时候呢，这个矩形方框它中心不变，围绕着这同一个中心呢开始扩张，就像圆一样，越来越大，越来越大，下面咱们就来使用这个核武器来降维打击下面这个填空压轴。首先读题， g f x 等于绝对值的 x 减 a， 加上绝对值的 x 平方减 b， a b 呢是任意的乘数， x 呢属于负二到二。下面呢，我们记这个 f x 的 最大值为 m a b， 求出 m a b 的 最小值。 很多同学呢，直接被这道题绕晕，一方面未知数和参数很多，第二方面搞不清楚后半句，最大值的最小值到底在问什么飞机啊？下面就让学长带着。我们就应该要联想到刚才的曼哈顿距离的定式， 把它拿出来进行一个比对，不能说是非常的像，只能说是一模一样啊。我们灵活变通一下，直接呢找到了这个中心点，它应该就是 a 逗号 b。 另外呢，再找到这个动点 t 点，它的坐标呢是 x 逗号 x 的 平方。那么这个式子它表示的意义就是 t 点与 p 点之间的曼哈顿距离为定值 f x， t 点呢，有双重身份， 一方面呢，它表示的是和 p 点的曼哈顿距离为 f x 的 动点的轨迹，所以说这一个 t 点呢，它一定在以 p 为中心的一个正方形框上运动。 它还有第二重身份属性，就在于它本身的坐标也有一定的限制，是 x 逗号 x 平方，且 x 属于负二到二，也就是说它在我们如图所示的一段抛物线上运动。那么既然呢，题目中给了它的双重身份，也就意味着这一段抛物线和我们的正方形框，它必须要有交点，否则就不符合题意了。 那么现在呢，把这一个题给条件搞明白了，我们再去看问题，先把前半句用中文翻译一下，前半句说 g f x 的 最大值为 m a b， 这个最大值如何去理解呢？我们先随意的在纸上选定一个定点，作为正方形框的中心点 p， 然后呢，你会发现，当这个框很小的时候，显然是不符合题的，因为我们要求要跟抛物线有交点，那我们把框扩大一点，直到它有交点，难道这样子就可以了吗？还不对，因为它虽然符合题，但它并不是 f x 的 最大值。最大值是不是就表示的是这个曼哈顿距离要尽可能大呀？那我们就把这个框继续扩大， 继续扩大还是有焦点的，还没达到最大，直到什么时候，这个 f x， 也就是 t p 之间的曼哈顿距离达到最大呢？当这个框再扩大一点点，就要和整条抛物线没有交点的时候，它就大的不能再大了，也就是刚好把这一个抛物线给框住了。理解了这个过程以后呢，咱们就可以把这一句非人哉的话转化为中文了，它的意思就是说给定一个 中心点 p 点，然后呢去不断的扩大这一个正方形框，直到它刚好把整条抛物线给框住了，这就是 f x 的 最大值 m a b 的 含义。现在呢，咱们再来看后半句比较绕的话，什么叫做最大值的最小值呢？因为刚才啊，咱们是随便的选举了一个中心点 p， 那 这个 p 点因为 a b 都是没有限制的，所以它可以在整个平面内的任何一点去选举，那就会发现不同的中心点 p 点，然后呢，按照上述的步骤进行扩张，它最后 带来的这个正方形框的大小是不一样的，就像我们刚才随便在右下角点的这个屁点，请问他扩大到刚好框住这一个抛物线，他是这些最大值里面的最小值吗？显然是不对的，因为呢，他的右半部分被浪费掉了很多， 所以说其实我们也感觉到了，如果这一整句话用中文进行翻译的话，其实就是花小钱办大事，我们既要求这个正方形框要刚好把这条抛物线给框住，我们还想要这个正方形框尽可能的小，他必须得达到两个要求，那怎样最 节约的去框住这样的一个抛物线呢？聪明的同学也想到了，我们呢，越对称越好，这样的这个正方形的左右上下都能被利用起来，所以说咱们的中心点应该选址在外轴上，然后呢再经过上下的挪动和缩放， 最终我们发现，当这个抛物线的上面的两个端点以及下面两个切点刚好都落在正方形框上的时候，这时候我们的正方形框刚好将它给框住了，而且最小你找不到一个比它更小的正方形框了。那 这道题呢，其实思路有一点绕，但是呢，计算很简单，只要把这个正方形框的对角线的一半的长度给算出来，那不就是我们要问的曼哈顿距离 m a b 的 最小值了吗？这 边呢，具体的计算思路其实也很简单，首先第一步，咱们先算和左下角这个切点相切的直线的表达式， 你呢知道它的斜率为负一，但截距不知道，你可以设它为 y 等于负 x 加上 b， 然后呢，和我们的抛物线连立，最后让第二塔等于零， 就可以算出来这条切线的表达式应该是 y 等于负 x 减掉四分之一。得知了表达式之后呢，咱们可以令 x 等于零，这样就可以算出整个正方形最下面这个端点的纵坐标了。第二步，咱们来计算一下和抛物线的左上角这个端点相交的这条直线的表达式，显然它的斜率是一极具，不知道 你呢，可以假设它的表达式为 y 等于 x 加上 m， 然后呢，它又经过左上角这个负二逗号四这个点，你把它带入，最终呢，可以发现，我们 这条左上角直线的解析式应该是 y 等于 x 加上六，这时我们再令 x 等于零，就可以得到整个正方形最上面这个端点的横坐标应该是零，逗号六了。 最终呢，我们用最上面这个点作标，减掉最下面这个点的作标，再除以二，那不就得到了对角线一半的长度，也就是我们要算的曼哈顿距离了吗？最后答案是四分之二十五，你做对了吗？现在呢，存在一种非常严重的教育资源的差距， 在大城市的先进地区呢，比如说杭州，深圳，老师呢，会领着同学们去一个一个过关，这一些你自己钻研不出来的，从来都没听说过的神奇的模型。 但是呢，在一些教育资源比较差的小县城，小农村呢，同学们可能压根就没有听过所谓的曼哈顿距离啊，还有数列珠，网图等等。 学长认为呢，虽然这些二级结论并不要求每个同学都一定要掌握，但是呢，了解了解，开拓视野，绝对是对难度飙升的新高有帮助的。这边呢学长打算继续干自己的公益事业，把这些资料呢免费的分享出来，只要呢点点关注，有关于曼哈顿距离的秒杀大招课剑以及呢精选题型，学长免费送。
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a 向量和 b 向量来表示这个 p 向量， 那我们来通过这来看啊，平面中有 ab 两个不共线的向量，那对于这个向量来说，我是不是可以把它想象成叫做 p 一 向量， 那我这个呢？叫做 p 二向量。既然它都是用 ab 这两个基底来表示的话，它说这两个向量是相等向量，那你马上就能得到什么结论， 是不是他们两个是一模一样的，所以 x 就 应该等于二， y 就 等于负三，所以一眼就能看出来他就是选 a 的。 所以当你这个知识点掌握的很熟悉的时候啊，其实可以就直接去写好第三个。第三个考察的是一个集合的知识，在集合知识当中呢，我们又插入了一些啊，我们的呃诱导公式，那三角函数的诱导公式呢？大家来复习一下。 好，诱导公式说的是啥呢？既变偶不变，符号看象限。那我们来复回顾一下啊，什么叫做既变偶变？也就是说对于一个含，对于一个三角函数来说，如果写成了 sine 的 二分之 k 派加上 r 法，这时候我们这个既变偶变说的是 k， k 的 去值。如果 k 是 一个基数， k 是 一个基数。例如，如果我写成了 sine 的 二分之派 加上而法，这时候 k 取的是一，它是一个基数。基变偶不变，基变变的是什么？变的是函数名，所以这时候我们直接把它写成 cosine 而法 那下一个基变偶不变，那我这是 k， 那 函数名变了，直接写成 cosine。 而法符号看相线符号看相线，说的是啥呢？说的是二分之派加而法，这时候的而法，无论它是钝角，锐角还是多少的角度，不用管它，在这个地方，我们的基变不变，实质就把它想象成一个锐角。所以二分之派加而法，这时候我们表示的它是不是应该叫做第二象限啊？ 二分之派加 alpha， 这个角是应该在第二象限，而对于 sine 的 二第二象限来说，它是不是应该是正的？所以 cosine alpha 前面就是正的，所以符号看象限，就是看这个 这个函数名下，在这个象限的时候，这个函数名是正还是负？所以是这样的，那我同理，如果 sine 的 二分之三派加 alpha， 二分之三派加 alpha， 通过我们的基变，哦，不变基变，哎，它是三，所以函数名要变，直接写成 alpha， 然后第二个符号看象限符号，那不就是二分之三派加 alpha 吗？那这时候它的第几象限啊？ 嗯，很好，第四象限，第四象限的 sin 是 多少？是负的，所以它等于负的。好，那接着我们继续来看，那我们奇变偶变，刚才都是奇啊，如果变成偶了的话，它会变成谁？它是不是变成了 pi？ 这个变成 r， 这个二四六，是不是？这就是 k 的 整数倍，所以它是 pi 加上 alpha 的 话，那我们说 g 变 o 不 变，符号看 g 变 o 不 变，那这个 o， 这个 k 是 不是取二？ k 取二，那就是 o 偶数，它的函数名不变，所以照样把它写成 sine alpha。 第二个符号看一下线， pi 加 alpha， pi 加 alpha， 第几项线？ 哎，第三项线，第三项线， sin 是 正的，负的，负的，所以我们在前面加上个符号是不是就行了？所以这就说的是既变不变符号根形线考的是一个诱导公式，那我们回到这道题当中啊，那这个地方，我们是不是要通过诱导公式把它进行一个变形？那我们的 sine 六分之七派，其实可以写成谁？是不是 sine 的 派加上六分之派， 而 pi 加六分之 pi， 那 我们刚刚说了啊，符号既变偶不变，那这个是 pi， 所以 它其实就是等于 sine 的， 哎，六分之 pi， 然后第二个符号看下线，第几项线啊？哎，第三项线，所以它前面有个符号，而负的 sine 的 六分之 pi 背的很熟了啊，负的二分之一， 好，这是第一个来第二个 cosine 的 它，那 cosine 它是不是可以写成 cosine 的 二 pi 减去三分之 pi， 二派减去三分之派，那对于这个二派来说，是不是就是我们的基变五不变？那它说是不是又是？或者把它看周期是不是也是可以的？所以负的三分之派，那同时 cosine 的 负的三分之派是不是就是 cosine 的 三分之派？那 cosine 三分之派等于谁？是不等于二分之一？ 哎，这样写完了啊，那对于它来说，那我们正切正切的话，是不是就是派加上四分之派？那我们正切正基变五不变，我们都是在那个 正于弦当中，那他你把它看成正于弦是不是也可以？那我这直接有派，直接不就是周期吗？所以直接是不就等于碳间体的四分之派，而碳间四分之派等于谁？等于一？好，那这时候我们就知道了啊，对于集合 a 来说，它是不是它的集合就是负二分之一，二分之一和一，而 b 集合呢？ a 是 这个，所以我们发现了有两个是一样的， 负二分之一和一是一样的，所以也快速的选出了 c 答案。好，来看我们的第四题。哎，切线方程我们说了啊，切线方程每年必考，每年必考，而对于切线方程来说，你是不是就是点斜式，对吧？ 在那个点，那不是切点已经有了吗？下步是不是求导找斜率？所以对它求导这个是很简单的啊，快速的把它写出来五加上 x 分 之八，那在一这个地方的，在一这个地方啊，找切点， 找斜率，是不是就是十三？那这时候你快速的一看，哎，是不是就只得答案，对吧？剩下你都不用算了，就是得答案，那你说我不敢肯定呢，你再去验证一下是不就可以了啊？第四，第五题 好，抛物线给了两个解析式，然后均经过，哎，均经过，那不就是四八是符合的吗？四八是符合这两个方程的，来往里边带，四八往里边带，那八八就是六十四。 好，六十四等于二倍的 p 一， 那就是八倍的 p 一， 那我的 p 一 是不是就等于八八六十四？所以第一个方程啊， c 一 就是等于 c 一， 就是 y 方等于八 x 的 二， p 一 二八十六啊，十六， x 的。 好，这个也是一样的啊，这个看清楚啊，这个是 x 方等于二 p 二 y， 所以 这时候我们这个地方就是四四十六了，那就是十六等于哎，二八一十六，十六的 p 二，那 p 二呢？就是等于一的， p 二等于一，那我 c 二是不就应该等于 x 方了啊？ x 方等于哎，一，那就是二 y。 好，我们就得到了这两个啊，抛物线的解析式，它说且它的焦点与它的焦点的距离，那焦点我们都知道了，对于它，哎，弄清楚啊，这个我们焦点是在 x 轴的，所以它的焦点应该是四零 除以四嘛。好，这个呢，焦点在 x 轴上，所以它是零除以四啊，除以四二分之一，所以这时候两点间的距离公式直接套公式是不是就行了？ d 等于四四一十六，二二得四四分之一，所以很快的写出来，二分之根号六十五， 所以这道题也很简单，快速就写出来了啊，我们这就是高考的真题，大家会发现这五道题真的是非常的简单，但是简单能拿到满分吗？一定要注意哈里边的一些细节，一些易错点，一定不要把它出错。好，我们接着再来看一下第六题， 好，当第六题的时候，有很多同学肯定就开始有一点点啊茫然了，他说这个函数的最大值是一，那一看到最值的问题，是不是大家第一步就想到，哎，求导，这时候求完导之后，你会发现非常的麻烦，非常难算，所以这个我们新高考思想啊，一定要多想少算，多想一下， 它的最大值是一，那怎么才是最大值？你在这个地方很容易想到它是最大值，说明 x 加二除以一的 x 加 a 小 于等于一，这个是不是就最大值？也就说这个等号是不是应该是成立的，而对于它来说，看一下啊，看一下下面选择题， 这个 a 的 取值是不是所有都是正值，所有都是正值，这个是个正的，所以 x 加二是不是就应该是小于等于 ex 加 a， 这个是不是也是成立的？那我们这地方有很多方法了啊，你要求 a 是 谁？不就是要等号是成立的吗？那我们这个地方用切线放松的方式，其实是切线不等式最容易做啊，也就是 e 的 x， 它是大于等于 x 加二减 a， 它是不是应该是成立的？而对于切线不等式，我们得到的是什么？切线不等式，哎，画个图啊，切线不等式。大家回顾一下， 对于 e 的 x 来说，它有两条切线，第一个在零一这个点，这个切线方程是多少？哎，这个是 e 的 x 啊，这个是不应该是 x 加一？所以我们的切线方程，第一个就是 e 的 x 大 于等于 x 加一，当前仅当 x 等于零的时候， x 等于零的时候，等号是成立的。那第二个切线， 第二个切 x e x e x 大 于等于 e x。 好，这是我们非常常见的两个切线不等式啊，那在这个地方我们其实用第一个是不是就可以了？所以你发现 e 的 x 大 于等于，它要是成立的，说明什么？二减 a 是 不是就等于一就可以了？所以二减 a 等于一， a 是 不是就等于一？所以快速的选出 b 答案。 好，再来看一下第七题，这道题是一道数学文化的题，无论在新高考还是老高考，数学文化题基本上都有一道，那对于它，我们首先要做到的是克服对它的恐惧， 遇到这种字很多，那我们不要去怕它，一个个的来读，把它抽象成我们数学符号，然后来思考一下是我们以前遇到过的什么样的题来。第一个，哎，这个地方前面一大堆好，共有一百零八座塔，重点信息圈一下，然后至上而下共成十二行， 第 i 行中它的作数啊，它的作数 a， i 可以 取一到十二，其中 a 一 等于一，哎， a 二 a 三。好，给了这些数字，同时从 a 六开始呢，是一个首项为七的欸，等差数列公差是二， 将这些分为六组，每组两个。好，当我读完之后已经有一点点晕了，没关系，我们这时候把刚才我们读到的这些数字，这些给到的信息，我们稍微来写一写，他现在说我们总共的塔是有一百零八座，然后这一百零八座呢，总共分成了十二行。在十二行当中进行计数的时候，他说的是 至上而下，自上而下总共有十二行，而在第一行有几座塔？一座，第二、 二行和第三行呢？三座。所以这时候我们大概来写一写啊，第一行有一座，第二行呢有三座，然后第三行呢？三座，然后第四、第五呢？那都是五座。 好，从第六行开始，也就是 a 六开始呢，这时候是一个首项为七的等差数列，所以这个是七的话，那下面我们就是九，哎，十一，那每个都加上一个二就行了啊，十三 啊，十五、十七，十九，好，我们大概就是写这么多来数一下，一二三四五，好，六七八九，十十一，十二，好，正好这个点就是等于十二的 好，就是这么多好。当我们把这个写出来之后，前面的信息就解决了。好，后面他说将这十二个十二行 要分成六组，每组两个数，每组两个数，那哪两个呢？没说。所以我们这时候啊，你在读不懂题的时候，你就可以通过举例子，哪两组？我可以这两个乘一组，这两个乘一组，哎，无论哪个，反正就是乘两组。然后说每两组的哎，每组的两个数之和 可以构成一个项数为六，因为我们总共十二行，所以当割成六组之后，是不是项数就是六了？公差为 d 的 等差数列。 所以当你把题读完之后，我们在前半截的信息，我们写出来了一共十二个数字。十二个数字，那这时候他说的意思在后面这部分说的是什么？他说这十二个数字啊，可以两两组合，两两组合之后就会形成六组数，而六组数那里边什么不变？ 六组数是不总共还是一百零八？座塔，哎，题目当中给的啊，题目当中给的，当我在十二组数把它组成六组数之后，是不总共还是一百零八，而在这六组数当中，它说到了什么？象数为六， 然后呢？每两个数之和，那也就是说我对这六组数是不可以用等差数列的求和公式。首先 s n 是 知道的，是等于一百零八，那我用哪个公式呢？那我这给到了相数为六，所以用的是用的哪个公式？ n 倍的 a 一， 那就是六倍的 a 一， 加上一个二分之 n， 也就六， n 乘以 n 减一，然后再乘以一个 d， 所以 这时候我们把它， 哎整理一下啊，那就是一百零八等于六 a 一， 再加上一个三五十五十五 d， 好， 这时候还能够约一个三，约完三之后就变成了三十六，六六，三十六，好，三十六，约个三，那就是二倍的 a 一， 再加上一个三 d， 好， 这时候我们得到了这个数字，继续来看求的是什么？是不是让我们求公差呀？他说这几个数字最后要形成这样的一个公差，形成一个这样的一个等差数列，然后公差呢，给到了四个，那我们得到了这个数字，你会发现，哎，求不出来呀， 这不是有一个方程只有两个位，有两个未知数吗？但是这时候我们可以通过筛选啊，我们在解这个选选择题当中，我们有很多的方法啊，这个可以通过排除法来做。怎么去排除？既然你得到了这样的一个式子的话，那也就说我的 d 是 不是只能取二四六八这四个数？那你接着进行验证不就可以了吗？来，第一个，在 a 答案当中，如果 d 等于 哎， d 等于二， d 等于二，那我这时候是不是求的是 a 一， 所以我们把这个式子再进行整理一下啊？写到这边来，那我们的 a 一 是不是就应该等于来整理一下，把它除过来？ a 一 是不是就等于十八，减去一个二分之五？ d 好 看一下啊，除个二过来，是不是十八减去一个？ 这个点是五哈三五十五 二分之五。 d， 好， 这时候再带进去了 a 答案， d 如果是二的话， d 如果是等于二，那我们的 a 一 写下来，是不是就应该是等于十三？ 好，如果 d 是 等于四的呢？ d 等于四， a 一 等于谁？是不等于八？这时候我们会发现啊，在这个 a 一 等于十三，你来看一下我们写到的这十二个数字，能凑出等于十三的吗？ 那明显不可以吗？四和九，六和七明显不可以，所以它肯定是错的。而对于 a 一 等于八，那我们知道三和五是不是可以组成八，所以它是不是就是对的？好，如果下一个 c 打 l， 如果 d 等于六呢？ d 等于六，把它往里边带，这时候 a 一 等于谁？ 三三五十五是不是等于三？那等于三，你看一下，这里边是不是也没法组成三，所以它是错的，那我 d 等于八，同理可得啊，四五二十是 a， e 等于负二了，那更不可能了，还缺两座糖吗？所以它更错了，所以这时候很容易选出来，是不是也是选 b 答案。所以这道题啊，大家一定要注意，我们在新高考当中有很多题是需要进行一个思考分析， 不是说我们拿到了之后，就是啊，你平时怎么做的？是需要进行一个思考分析，不是说我们拿到了之后就是要去多思考一下啊，一定要多思考一下。 好，这是第七题。好，第八题，第八题也是一样，拿到了之后，我们在这种题肯定是以前没有见到过，但是我们说了，你高考考察的都是我们高中学到的一些知识，只是它经过了一个包装，所以要进行一个分析。来我们看一下第八题啊，类似于一个新定义的题，而我们遇到新定义题怎么去写，包括十九题的新定义， 就是他怎么说，你怎么写你都写不出来，你就举例子，举几个例子看看规律，你找到了方向，这时候你再去思考。好，我们来看第八题， 他说有一个集合，这个集合是这样的表达形式，一定要读清楚啊，这个集合是什么东西啊？这个集合表达方式是不是一个点集？点集，也就是一个点的集合， 而且是空间中的一个点的集合，那这个点的 x 一、 x 二、 x 三，是不 x 轴、 y 轴、 x 啊， y 轴、 y 轴、 z 轴这三个方向的三个点的取值，而对于这个 x i 来说，是不是有四个数都可以去取，然后 i 呢，可以取一二三三个数， 好为空间中六十四个点构成的集合。那对于这个点集来说， x 一 可以取哪些值？是不是负二、负一、一二都是可以取，所以对于 x 一 这个位置，是不是它一共有四种情况， 而对于 x 二呢，是不是也是这四个点都可以取，是不是也有四种情况？而对于 x 三呢，是不是也是？这四个点，是不是也有四种情况？而对于我们的这个排列来说啊，这四种情况乘起来， 所以四四十六啊，六十四，所以总共有六十四个点组成的集合，这时候 p 呢，是一一，也就是说这三个点都取一的时候，得到了 p 点，即样本空间 omega 是 等于这个，这个是表示集合的，什么意思啊？ 是 p 的 补集， p 的 补集表示这个样本空间在六十四个点当中，要把一一这个点，把这个 p 点排除掉，所以总共 omega 这个空间总共有多少个样本点？好，你看，读到这儿的时候是我们都非常清晰。好，下面继续来说， 从这个样本空间当中随机选一个点，这个点定义随机变量 x 如下，对 omega， omega 是 谁？六十三个点，六十三个点，对 omega 当中的每个点 a， 那 我们有这样的一个啊，它的一个坐标，这时候令 x a 是 等于三个坐标点之合，求的是什么？ x 的 数学期望，那什么叫数学期望？数学期望是不是就是均值？ 这是我们能想到的，就是均值，那是谁的均值呢？再来读一下啊，对于每个点 a， 这时候每个点 a 的 三个坐标点之合， 这时候形成了 x， a 也就形成了这个 x， 求的是这个的数学期望，也就求的是它的均值，那也就意味着好。这时候如果你读懂，就开始我们开始举例子了啊，来举例子了，他刚刚说了，我们总共有六十四个点， 然后把 p 点排除了，那 a 点能取哪个呢？那我们来看哈， a 点能取哪个？那我们总共有六十四个点，那 a 一 a 一， 如果我用 a 一 b 一 c 一 来表示，那我的 x a 一， 我们再举例子哈，当你没思路的时候，你就这样去写，那 x a 一 等于谁？ x a 一 是不就是三个坐标点之合，那不就应该等于 a 一 加上 b 一， 再加上 c 一 吗？ 好，同理，那我的 a 二等于谁呢？ a 二是不就应该是 a 二 b 二 c 二，那 x a 二呢？那不也是等于 a 二 b 二 c 二 之和吗？那我同理，我总共有多少个点？总共有六十四个点，总共有六十四个点，那六十四个点，那我这个是不是应该是 a 六十四？ a b 六十四， c 六十四， 这时候 a 六十四呢？是不是就应该是等于 a 六十四，加上 b 六十四， 再加上 c 六十四，总共有这么多，但是他说我这个 omega 空间当中是不是有一个点是排除的？就一一这个点，那我们这时候就把最后这个点，把最后这个点想象成一一这个点，也就是说它之合，那就是 x p 这个点， 它等于 x p 这个点是不是就等于三？就把最后一个点想象成 p 这个点，那我们现在得到的是它，现在它说的是 x 的 数学期望， x 的 数学期望，那不就是把所有的这些点 全部都加起来吗？所有的这些点都加起来，再除以除以谁？总共有六十三个点，是不是除以六十三就行了？哎，所以这时候我们就可以这样去写啊，那我们刚才说了要排除一个点，为了大家好思考啊，我们在前边写上 a 六十三，也就说我们只要前六十三个点，前六十三个点， 那 b 六十三 a 六十四是啥呢？是我们最后一个 p 点，我们最后把它排除掉就可以了，所以这时候得到的是 x， a 六十三，等于 a 六十三，加上 b 六十三，再加上 c 六十三。 好，这时候我们要求的是数学期望，也就是求它的和，求它的和的平均值，那就是把所有的这些加起来，所有这些加起来，那我们是不是就应该是 a 一 加上 b 一， 加上 c 一， 加上 a 二，加上 b 二加上 c 二，一直加，加到谁加到 a 六十三， b 六十三，加上 c 六十三，然后再除以一个， 除以一个六十三，这是不是就是我们的数学期望？那这时候我们再来观察一下，当我这样去写的时候，可能你没有看出什么规律，但是我们把所有的 a 一、 a 二、 h 六十三全部都求和求在一起，也就这个式子，我们还可以写成谁呢？还可以写成 sigma 的 一到六十三。欸， a i 加上 sigma 的 i 从一，哎六十三， b i 再加上 sigma i 从一到六十三，然后 c i 把它们全部再加起来，再除以一个六十三，是不就可以了？而在这个地方的 ai 是 什么？看清楚啊，是每一个点的第一个点，也就是 x 轴方向的一个点， 所有的它的和，而在我们题目当中， x 方向上的点，是不是所有的都是 x 一， 所有都是 x 一， 那也就说我这个式子其实还可以写成啥？是不是这个 a i 就是 x 一， 这边是不是就是 x 二，它是不是就是 x 三，所有的都加起来？好，那我们这时候来思考了啊，对于 x 一 来说，它的和应该是谁？哎，对于这个 横坐标 x 轴的 x 轴的这个，哎， x 一 它可以取哪些值？它是不是可以取负二？负一、一二都可以取，那这时候我们来思考一下，那 x 一 它在取的时候啊，对于 x 一 这个点 好，对于 x 一， 我们是不是可以取负二？负一一二，也就 x 一 可以取负二一负一一二的时候，那我这个点，也就是说我的 x 一 取负二的时候，这个点总共有多少个呢？也就 x 一 取了多少个负二呢？ 那我们可以知道，如果这取负二的话，对于这个点，也就是 x 二这个方向的话， x 二这个位置的话，是不是这四个点都可以取？是不是它应该有四种情况？ 哎，四种情况，那 x 三这个点呢？ x 三这个点， x 三这个点是不是也可以取这四个点也可以取这四个数，那这四个数是不是也有四种情况？所以我们在 以 x 一 等于负二这个点的时候，我们总共有十六个四四，十六个负二，那 x 等于负一呢？是不同理可得它有四种情况，所以乘起来是不是十六种？所以十六种情况，对于负一这个点是不是也应该是各有十六个？ 这时候你会发现，那 x 一 如果对于这个 sigma 求和，它现在总共六十三个点，那这时候为了好思考，如果我把它想象成六十四个点，也就是说把 p 点那个一一加上，这时候如果总共是六十四个点的话，是不是应该是负二乘以十六， 负一乘以十六，一乘以十六，二乘以十六，这时候对它们求和之后，是不是正好是零？哎，正好是零。所以对于横坐标，横坐标也就是 x 轴方向的 a 一 加 a 二，一直加到 a 六十四。那我们把这个地啊继续写一下，它应该等于什么呢？ 它等于我们为了方便计算啊，我们要求的是六十四个点的和，哪六十四个点呢？ ai 的 六十四个点的和，而 ai 是 啥呢？ ai 是 每个点的总共六十四个点的横坐标，也就 x 轴方向的四个点的坐标 之和，那这个坐标总共有六十四个点，那十二呢？取了十六次，负一呢？取了十六次，一，取了十六次，二，取了十六次，所以这时候它们之和加起来是不是正好就是零？ 哎，同理可得。那我对于，哎， y 轴方向，如果六十四个点求和是不是也应该是零？而对于 z 轴方向六十四个点求和 是不是也应该是零？但是我这求的是六十四个点，那我要排除哪一个点？是不是要排除一一一那个点？排除一一一那个点，也就排出第六十四号点，六十四号点就是我们的 p 点，这个 p 点是一一 一，而一一，它的和是不是三。所以在这个地方呢，我们多加了一次，多加了一次三，你多加了一次三。所以在这个和当中要怎么样？是不要减去一个三才能得到六十三个点的和，而这时候我们要求的是期望，也就均值，所以对这个是不是应该是除以一个六十三 就可以了？那我们知道了，刚才已经分析过了，它这三个数之和全都是零，所以这道题选 a 答案， 这道题是有一些难度的，那我们就遇到了这些难的题啊，不是说现在你就把它 pass 掉啊，基础比较好的同学啊，对于这种题应该多去分析，多去思考一下，特别是把它当成一个新定义来写，遇到不会做的时候，举出几个例子来，想想这些概念是什么，想想这些概念是什么，然后把它哎分析一下，写出我们最后的结论。 好，那我们单选择题就到这里，那我们再来说一下多选择题啊，遇到了多选择题的前两个，对我们来说也是要去拿到分的来。第九题，我们复数以前很多时候都是在单选择题当中出现，这次出现了多选，那没有关系啊，只要理解清楚概念，这个都是非常简单的，这是它的公二负数，所以 a 答案对的 好，求它等魔长，魔长那就刚好下 a 方加 b 方，那我们要等于五的话，明显这个点应该是四，所以拨答案错了 啊， z 方， z 方，那就是把它平方就行了，那 z 方我们来算一下，对它平方是不是就应该是九 减去一个把它平方了啊，那是不是就应该是四，再加上一个二三得六二六十二 i， 那 是不是应该等于五加十二 i？ 好 了，这道题 c 答案是不是也选出来了？好，对于它来，对于它来说啊，说它是一个实数，那我们同样的把它写上来，那三加二 i， 三加二 i， 这时候我们把它写成，那就应该等于 三减 i， 三加 i 分 之，那这个地就是六加上二 i， 那 我们要要去把它化减的话，是不是应该是把它乘一个三减 i， 这乘以一个三减 i 好， 乘完之后是不是个平方差？平方差在 a 方的时候就相加就行了，三三得九， 所以这就是十分之二十。那约完分是不是就是二，二是不是就是实数？所以得答案也很容易就选到了啊？ 好，这些都是一些基本的概念。好，第十题，空间中有 a、 b 两个定点，动点 c 到 a、 b 的 距离是二，动点 d 到直线 a、 b 的 距离是一。然后若二面角 c、 a、 b、 d 是 六比六十度 二面角，那这时候我们肯定是要画图了。对于二面角来说啊，我们一般来画图的时候就是画两个半平面， 既然它是六十度啊，它是六十度，我们就把这个六十度给它画出来，也就这个角，这个角就是二面角，是六十度，那 ab 呢？就是这个样子的。 现在他说，呃，在空间中 ab 是 两个定点，他说有个动点 c 到 ab 的 距离，动点 c 到 ab 的 距离是二。那我在这找一个 c、 c 呢，要到这条直线的距离是二的话，在这个半平面当中，是不是 c 就 应该是在这条直线上，那我这个距离呢，到它的距离是不是就应该是二？ 好，动点 d 到 a、 b 的 距离是一，动点 d 到 a、 b 的 距离是一。那也就说在这个直线上边儿，我有一个点啊，任意的点到这个局 到 a、 b 这条直线的距离是不是应该都是一？那我这个地儿是不是就有个 d 点？那 d 不 一定在这儿啊，在这条直线上，哎， c 呢，在这条直线上，这时候形成的二面角，形成的二面角是等于六十度的。好，第一个，它说 c、 a、 d 大 于等于六十度， c、 a、 d、 c、 d 都在动，那我们这个时候啊，也就是说 c、 c 这个 点如果叫做 o 点的话， c、 o、 d 正好是等于六十度，这个时候正好是一个二面角等于六十度，但是我这个 c 和 d 不 一定是在一个平面当中，那我这个 c 和 d， 例如我这个 d 无限去啊， c、 a、 d， 你 看 c、 a、 d 如果变成了这样，也就说如果我的 c 和 d 如果正好在这的话，是不是它正好是一个六十度，但是如果在这的时候，在这的时候，这个角是不明显比六十度小， 哎，在这儿的时候啊，哎，如果我的 c 和 d， 如果我的 c 和 d 是 正好在这个平面，跟 a 在 一个平面的时候，是不是这个角正好是六十度，但是我的 a 不 一定在这儿，也就是说我 a 可以 无限延长到啊很远的距离去，那这个角明显比六十度小，所以 a， 答案是非常容易判断它是一个错的，那 c、 d 呢？它是 c、 d 大 于等于根号三， c d 大 于等于根号三。其实在这个地方啊，不是特别好判断，那我们在这个地方呢，我们再去思考一下， c 和 d 是 一个洞的， c 和 d 是 两个洞点， 这时候它说对于 c 来说，绕着这个轴 a、 b 轴，它说要到它永远是等于二的，那也就是我们知道了它这个是不应该是在一个圆柱的圆面上，圆柱的柱面上，所以我们把这个题啊，把它分析完之后呢，我们把可以把这个二面角的图形给它重新画一下，画出我们的圆柱的图形。 好，我们画出这样的图形之后，再来看一下啊，动点 c 到 a、 b 的 距离是二，那也就说 c、 c 应该是在这个外面这个柱面上运行运动的， d 呢？它有它的 a、 b 的 距离是等于一的， 到它的距离是等于一的，那也就说 d 应该在这个柱面上。同时说到这个二面角永远是等于六十度的，也就说我在写找 d 的 时候啊， d 应该在哪呢？假如我在这找一个面， d 是 不就应该在这条线上动，在这条线上动，那我这时候形成的二面角，那我这时候要找一下 c， c 是 不是就应该在这个这个面上动， c 就 应该在这条直线上动， c 应该在这条直线上动，那 d 呢？在这条直线上动，那永远它们以这个二面角是等于六十度的，进行旋转啊，进行转动，这时候 c 和 d 是 两个动点，那这时候我们来看一下我们的播答案，它说 c、 d 大 于等于根号三， c d 大 于等于根号三，也就是它的最小值，最小值应该是根号三，那你想 d 在 这条线上动， c 在 这条线上动，它们最短的时候，是不是在一个平面当中的时候，它在一个平面当中，如果 d 在 这的话， c 是 不是就应该在这个位置？那我把它拉拉过来一看，这个是六十度，这个是一，这个是二， 这个是二，那这个角是不是就应该是一个直角，这个角是不是就这个就是应该是根号三，所以它的最小距离就是根号三？所以拨答案，当我们画出图之后啊，也是非常好判断的，这道题难在哪里？其实就是画图，你把图画出来之后，后面基本上全部都明了了。再来看 c 答案，当 ab 垂直于 cd， a、 b 垂直于 c、 d， 那 我刚说了啊， d 在 这条线上动， c 呢？在这条线上动，那我 a、 b 要垂直于 c、 d， 那 你想一下怎么垂直 c 和 d 是 不是一定要在横截面啊？横截面的这个平面上才是可以的， 所以我们把它截过去啊， c 和 d， c 和 d 应该在这个结面上才是可以的，那我们在这是不是也是可以的？所以这时候他说当 a、 b 垂直于 c、 d 的 时候， a、 b 垂直于 c、 d， 现在问我们 c、 d 是 否垂直于 a、 b、 d， 也就 c、 d 是 否垂直于 a、 b、 d 这个平面？那我们很容易知道， 题目中给了 a、 b 垂直于 c、 d， 同时我们刚才已经算出来了啊，通过，哎这个余弦定律也可以，或者我们直接看出来也可以。当它是一，它是二，这是六十度的时候，我们这个角一定是直角，所以我们还可以得到 c、 d 是 垂直于 a、 d 的， 那我是不是可以得到 c、 d 是 垂直于 a、 b、 d 这个平面的？所以 c 答案是不是也容易选到？好，再来看多答案。当 a、 b 垂直于 a、 c、 d， 当 a、 b 垂直于 a、 c、 d 这个平面的时候，它说 a、 c 垂直于，那我现在 a、 b 垂直于 a、 c、 d， 那 也就是说我的 a、 c、 d 是 不是就是这种情况？ a、 b 垂直于 a、 c、 d， 是 不是就是这个样子的？哪怕在中间是不是也是可以的？所以它在这个平面当中，这时候它说 a、 c 垂直于 a、 d， a、 c、 a、 d。 你 看这个角就是六十度，所以不可能垂直，所以它是错的，所以这道题选 b、 c。 好，我们再来看一下第十一题啊，十一题，这道题是有一点点难度的，那我们知道在多选择题当中的最后一道啊，我们尽可能选到一道，选到一个最正确的答案，那选到之后，你先去做其他题，待会有时间你再来分析，所以对这道题，我们要注意一下做题的技巧，那我们来这时候来读题啊，有一个圆， c 一， c 二、 c 三， 都是已知圆，给到了一条直线，这条直线没有给已知的，它与这三个圆均有两个交点，既 这条直线被这三个圆截得的弦长分别是 s 一、 s 二， s 三，则有三个啊，有四个答案。那这时候我们把提议当中啊，画出这个图来，画出这个图，这时候我们来看一下第一个，它说 k 取任意实数， k 可以 取任意实数，而 k 是 什么呢？ k 是 这条直线，这条直线要与这三个圆均有两个交点，他说 k 可以 任何的值，那这时候你很容易发现，如果我的 k 这样子走啊，经过 c 一， 其实你任意选都可以啊，经过 c 一， 然后再经过这两个圆相切的这个点，这时候你会发现， 这时候跟这个圆有两个交点，但是跟这两个圆呢？是不是只有相切这一个点啊？所以 k 不 可能去任何值，所以 a 答案非常容易排除掉啊，它就是错的。 再来看波点，他说满足弦长，记住哈，这个弦长 s 一、 s 二三，他说这三个弦长相等的直线有三条，那大家回顾一下，在圆当中，我们的弦长公式是怎么求的？弦长公式， 弦长公式是不是应该是圆心到它的距离，哎，这个是半径，所以我们的弦长公式 s 二， s 啊， s 就 应该是等于 二倍根号下勾股定律， r 方减去地方， r 方减去地方，这是不是就是我们的弦长公式？所以在这道题当中，我们的弦长 s 等于二倍的根号下，那我们的半径是不是所有的半径都是一的圆，所以是不是应该是一减去一个地方？ 那我们这个地方播答案啊，要的是 s 一 等于 s 二等于 s 三，也就是说所有的弦长都相等，那在这个题目当中，是不是就是所有的圆心到这条直线的距离，也就是 d 全部都是一样的，是不就可以了？那我要圆心到这条直线的距离都是一样的话，我们很容易发现圆心形成的三角形是不是一个等边三角形啊？ 圆心形成的三角形是不一个等边三角形，那我这时候有一条直线，这三个顶点啊，这三个点到这条直线的距离都相等，是不很容易找到，就是中微线，就是中微线，也就是连接啊，这两个边长的中点，那不就是这个相切的这个点吗？那我连起来之后，这条直线， 这条直线是不是就满足了？ c 二 c 一 c 三到这条直线的距离都是相等的，因为它是我们等边三角形的中位线，那同里那中位线是不是就有三条？是不是这样子也有，同时这样子是不是也有？ 所以这三条中位线明显就是满足的，所以它说共有三条没有问题，所以它说共有三条没有问题，你就可以做做其他的题了啊，就不要在 c 和 d 答案上边进行一个纠结。 好，那我们这个再继续讲一下 c 和 d 的 答案，他说满足他们之和的直线是多余啊，之和等于一的直线是多余三条的，那我们刚才求到了哈，这三个直线的距离是相等的，而且很容易发现啊，很容易发现这个点圆心到这条直线的距离，因为这条直线我们是已知的啊，在拨答案当中，这条直线， 我答案这条直线也就中一线的，这条直线是不是它应该是 y 等于根号三 x 的？ 那这时候我们能求到这个距离啊，随便选一个哈，因为它是相等的，这个距离是不是就等于二分之？哎，这选一是不是就是二分之根号三啊？这个是第一啊，第一 第一。那我们这个弦长公式 s 呢？那 s 一 是不是就应该等于二倍根号下一减去地方，那就是四分之三，所以我们很容易选到啊， s 一 是不是等于一的，那距离都是相等的，所以在这个直线那三个顶点到它们距离是不是就是等于一了？现在 这个地应该是印错了啊，因为这张试卷是一个回忆卷，所以这道题这个地应该是三个距离之合，应该是等于三的直线应该多于三条。好，对于它来说，我们刚才已经分析了，也就说我们在拨答案当中的这三条直线，这三条直线，那我们是能够满足三个 圆心到这三条直线的距离都是等于一的，那我们加起来是不是正好是等于三？那除了这个以外，它说要多于三条，也就说还多一条，那多一条在哪里？我们其实是很难判断，也很难去分析的。那我们好分析的是哪个呢？因为这个地方 b 等于零， b 等于零的话，这条直线我们是不是直接可以写成 y 等于 k x， 所以我们首先来分析一下的答案。在 b 等于零的时候，它说它们之和的最大值是它，它们之和的最大值是它，那也就意味着我这条直线，哎，我有一条直线，这条直线呢，是任意的，哎，任意的， 那我这条直线是不是就是 y 等于 k x， y 等于 k x 它们的距离的之和啊？这么弦长的之和，那这时候我们来分析一下啊，既然这条直线是已知的，所以我们的 s 一、 s 二、 s 三其实都是可以表示出来的，那我们的 s 一 等于谁呢？通过弦长的公式啊，我们先来求一下距离， 先求一下距离，那我们因为是经过这个，经过这个啊原点的，所以 c 一 c 二的它的距离其实都应该是一样的，所以我们来写一下， 好，我们写出来了 c 一 c 二到这条直线的距离，通过点到直线的距离公式，刚好下 a 方加 b 方分支，然后把负一和一啊都带进去，那就是 k 的 绝对值，那我们这个弦长 弦长，我刚才说了啊，这个公式二倍的根号下一减地方，所以把它写出来，那我们这个时候进行一个化简，那这个式子就应该变成二倍，哎，根号下一加 k 方分之一， 那也就是根号下一加 k 方分之二，那 s 三呢？同理可得啊， s 三 好，同理可得，我们就求出了 s 三是等于这个式子的，那现在我们要求的是它的最大值，那我们把它全部都加起来，是不是只有一个变量 k， 所以 我们把它写下来啊， s 一 加上 s 二加上 s 三，那就等于根号下一加 k 方分之二，再加上啊，这个就应该是四了，因为 s 一 s 二有两个，然后根号下 一加 k 方分之二倍，根号下 k 方减二，好，当看到这么一大堆式子时候，感觉是不是有一点点问题了？好，等于根号下，那我们继续写啊，根号下一加 k 方分之二倍的，好，提一个二出来啊，那里边是不是就变成了二加上，根号下 k 方减二， 好，写成这个样子之后，很多同学就疑问了，那我们这个地方的求最值，因为这个地方要求最大值啊，那我们这个地方求最大值，怎么求呢？其实在以前的高考当中，我们老高考当中遇到过这样的一个题， 我们很多时候用的是你可以直接去求导，但是这个如果你对导数掌握的没有那么熟练的话，我们更多的是用的是不等式，那不等式呢？通过的就是一个换元的思想，换元的思想啊，那这时候我们就开始令了，令，把这图这个根号 k 方减二，令成 t， 你 就令 t 等于根号下 k 方减二。那我们一般定完了之后啊，都要写一下它的范围，那它的范围的话，因为是开根号，所以 t 肯定是一个大于零的数， t 肯定是一个大于零的数，那我们在这儿把它令为 t 之后，这个式子是不是就应该写成一个含 t 的 一个式子了？所以我们把它整理一下，它就应该写成二，好，这样提出来啊，里边就应该是二加 t， 好，下面呢？下面的话，是不是就应该是 k 方就等于 t 方加二， t 方加二，所以这个地方就应该写成根号下 t 方加三，而这个式子呢，是不是应该是 t 大 于零的？我们对于这个式子要来求我们的一个最值的话，那我们是不是应该把这个里边全部都写到根号里边去，所以就等于二倍根号下，好，你现在写到里边是不是就该平方四倍的四 t 方再加上四， 好，下面呢？ t 方加三，非常熟悉了吧，我们有一年高考就出现这样的题，所以这时候再分离常数，分离常数，那分离常数是不是就应该是分母是 t 方加三， 那你分子上是不是也应该写个 t 方加三出来？写一个 t 方加三，那我后面写的 t 方加三是不是还剩下一个四 t 加一， 还剩下四 t 加一，那我这个地方是不是就可以写成一了？所以这个式子啊，继续写，那就应该等于二倍的根号下 一加上。好，这个是不是应该是四 t 加一，好，四 t 加一分之啊，下面除啊，就是 t 方加三，好，写成了这个样子，写成这个样子之后呢，我们再继续换元啊，继续换元，这个里边大家一定要记得啊， t 是 一个大于零的数，继续换元，把上面的 t 四 t 加一，继续换成 m， 继续令令 m， 我 们刚才没设过 m 啊，好，那令 m 等于四 t 加一， 那这时候 t 是 个大于零的，所以我们知道 m 就 应该大于谁啊？是不是应该是大于一的，一定要把范围取出来啊？ m 应该是大于一的，所以上面这个式子，哎，我继续写，它就应该等于二倍的根号下一加上所有的，上面这个式子是不是就写成了一个 m， 那下面呢？下面我这个地方是一个 t 方加三，所以这时候我们把它写一下啊，那 t 是 不是就应该等于来我们草稿纸上写 t 就 应该等于 m 加一 除以四，好，再平方再加上三啊？这个式子啊，这个式子就是 t 方加三，它等于，这，我们把它化简一下，那就是四是十六 十六分之 m 方加上二 m， 再加上这是十六十六四十八，那就是四十九 好， t 方加三就是它，那我在分母上是不是下面就应该写成 m 方加上二， m 加上四十九，那我十六就写上去，是不是就写成这样子了？而在这里边所有的 m 是 不是应该是大于一的？好，遇到它了，是不是就变成我们非常常规的一个？ 好，这个点写错了啊？这个点应该是减一，因为 m 减一除以四， m 减一除以四，所以这个点也是 m 减二，那我这个点也应该是 m 减去二 m， 所以 这时候变成非常常规的就是上下同时除以 m， 上下同时除以 m， 就 变成了二倍根号下一 加上上下同时除以 m， 这个上面就是十六了，下面这是不是就是 m？ 它同除以 m 是 不是减二，再加上一个四十九分之四十九， m 分 之一 除以 m， 那 这个点应该是 m 分 之四十九，再减去一个二， 好，这个下面是不是在 m 大 于一的时候就可以直接用基本不等式了？在分母上面本来是大于等于，那变成分母是不是应该是小于等于，所以这个式子就应该是小于等于二倍根号下一加上十六， 然后这个调是二倍根号下，二倍根号下，然后这个是七，二七就是十四减去二，所以它就变成了二倍根号下一加上十二分之十六，十二分之十六，那就是三分之四。 好，那不就是二倍根号下 三分之七？ 化简完是不是就是三分之二倍根号二十一，那我们这个基本不等式啊，还没有写完呢，当前仅当。我们说了取等条件啊，当前仅当， 当前仅当。什么时候？当前仅当是不就是它们俩取等的时候，那 m 又是大于一的，所以当前仅当 m 等于七的时候，是不是取的等号？那 m 等于七的时候， t 等于谁啊？ m 等于七的时候， t 是 不是就应该是等于 把它卷过来啊？是不是就是六？所以 t 是 不是等于二分之三？当且等于 m 等于七， t 等于二分之三，那这时候 k 等于谁呢？也就我们的斜对等于谁呢？是不是应该代入这个式子？ t 等于二分之三， t 等于二分之三的时候， k， k 方是不是就应该等于二？加上一个二分之三的平方，也就是 k 方， 所以 k 方就等于四分之根号十七，那我们得到它，也就是说多答案我们已经算过了啊，最大值就是它，我们能够取到， 能够取到，什么时候取到？刚才我们说了， k 方等于四分之根号十七的时候，取得最大值，也就是 k 方等于四分之十七，那我们 k 啊 k， 我 们刚刚说了 k 的 条件是什么？ k 方是不是应该是大于二的一个数？ 配方大于二的一个数，所以 k 这个是取得到的，所以 k 等于二分之根号十七的时候，是不是就可以取到我们的最大值？ 那我们现在再来分析一下 c 答案啊。 c 答案如果你直接通过代数的方法去写的话，是非常复杂的，我们在选填当中尽可能的不要小题大做，一定要去找到一些方法。那我们在 b 等于零的时候，我们知道了，在这个时候， 哎， k 等于二分之，根号十七的时候，取得它们之和的一个最大值，那我们来找一下啊，刚才我们找到了，在 k 等于根号三的时候，这个时候是不是刚好是之和等于三的时候， 在 k 等于根号三的时候，是不是和正好等于三，那我们就知道了，在这个时候，哎，它是根号三，那我们斜率等于二分之，根号十七的时候，是不是和根号三进行比较一下，两边同时平方一下，你会发现它是不是应该是大于根号三的？也就是说我这个直线如果是这个样子的， 那我这时候的直线的斜率是不是应该是二分之根号十七？ x 在 这个直线相交的时候啊？跟这三个圆都相交的时候，得到的和，也就是得到的它们弦长之和是不是取得最大，而在这个时候呢？在这个时候是不是弦长之和正好等于三啊？ 这个弦长之和正好等于三，而他是最大值，最大值最大值是三分之二倍，根号二十一，那我们来看，如果这个弦是这样子的呢 啊，我们我们这样子肯定是不符合的，但是你稍微斜一点的话，是不是就正好给三个圆都相交了？那我们在这个情况的时候，他是谁？弦长是谁？弦长之和等于谁？他是零，他是零，那我们 这时候 c 一 和 c 二到这条直线的距离是不是就是一加一，是不是正好是二？所以在这的时候，弦长是不是正好是二？这个是最大， 这个是二，这个是三，那也就意味着二到这个地方的时候，中间肯定有一条直线，能够让他们的弦长之和正好是等于三。所以我们这样通过曲线救国的形式啊，能够发现它肯定是多余三条的，所以 c 答案也是对的 啊，那这道题呢，其实是非常难的，那对于很多同学来说，我们其实没有必要分析到那么多的啊，如果你没有时间，或者是你确实理解不了的话，你没有必要分析到那么多。但是我们这道题当中， a 答案是非常容易排除，而 b 答案也是非常好求的，所以能够快速的选出 b 答案就非常好了啊， 好，这就是我们前面的选填。那其实通过我们这一张试卷啊，二零二六年新高考一卷的这一道试卷，我们分析完之后，其实你会发现里边的基础题会非常的多，也就说你在 考试当中，考试之前，你在复习的时候，如果能够把这些基础题基础分，基础知识都已经学会的话，我们的基础题大家都能够得到分。那除了这个以外，我们二零二六年这套试卷呢？呃，是加了非常多的数学思维的题，也就说你要去分析，你要去思考，不是说你一眼就能看到答案，也不是我们以前练过的一些常规的题，你需要去思考， 然后他这里边的一些，呃，给到了我们的一些信息，所以我们在一轮复习当中啊，希望大家能够做到这两点。第一个一定要重视基础，重视一轮复习，这样的话减少我们的失误，让我们的基础打扎实。 第二个就是有意识的去锻炼我们的数学思维，也就做到题的时候你不要拿到就去算，一定要多想少算，看看这里边需会考到哪些知识点，然后有哪些易错点，所以希望大家重视我们一轮复习。
01:04查看AI文稿AI文稿抖音被拉黑后，还有办法看对方视频吗？好，现在这两个是正常的好友关系。拉黑之前是可以进入对方的主页的，就是可以看到他的作品，现在我们直接把他给拉黑，右上角三个点，然后这边有一个拉黑，确认拉黑 好，我们再重新返回，然后进入他的主页，拉黑过后对方的主页是这样的，那么还有什么办法能够看到他主页的视频呢？我们先返回进入抖音设置， 然后往下边翻最下边一项退出登录退出。 好，现在我们点击右上角的放大镜，搜索一下对方的昵称，当然如果是抖音号更好， 好，又能看到他的作品了，我们点击进去就是这么简单，有这方面困扰的朋友可以去试一下。
6600设置侠
05:38查看AI文稿AI文稿同学们好，咱们再进行播放第三期啊，咱们预测一下多段题答案啊，这是二零到二五啊，还是二十年以后啊，改成十句九句模式啊？二零到二五这几间的多段题答案啊，咱们看这些规律啊。 嗯，因为二零到二三年以前，双选和三选他们是四个题啊，四个题有双有有三啊，没有规律，但是二四二五开始第第九题啊，九十十一 第九题一定是一个数学题啊，看规律啊， b c 必得啊，从二零一年开始，先竖着看啊， c 的 c 的 a， c 的 a c c 的 a， b 的 b 的 b c b 的 啊，选 b 的 比较多是吧啊，而且呢，二五和二三这两个是重复的，预测今年 可能和二四年一样， b c 啊， b c， 当然也可能是 b c 两个吗？啊，两个，因为 b 的 比较少了，那可能就是 bc 啊，也可能 a c a 的 很少啊，头和尾很少啊，也许，也许，选题选头和尾 真特别少。你这样想，他如果选头和尾的话，学生们得需要从第一个开始看， b 看完了， c 看完了， 要说很容易很，是吧，很容易让人失去耐心啊，是吧，因为 b 和 c 算算很久，然后呢，发现啊， d 对 还是吧，还还会让人生气啊。所以说 b c 和 ac 的 这个 第九啊，再看第十题答案啊， a c a c a c， 看到吗？他不可能连续四年。答案一，在这里用心啊，但我说过啊，他不太可能连续四年。答案一， a c a c a c， 二六年是 a c 的 啊， a c 的 啊，二六年有可能，我觉得大概是 ab 的 啊， ab 的 可以打一些，因为 ab 的 重复太太厉害了，这样， 一二三四五六，连续六年全 a 都有 a、 c， 哎，看一下，哎，这个的概率比较小啊，我觉得大家应该是 a、 b 的 啊， a、 b 的 概率大一些。 再看十一题啊，十一题， a、 b 的 a， b， c， a， b， c， a， b， c， a， b， c 啊，这俩时间啊，估计可能，哎，二十年是 a、 b 得或 a c 得， a b 得或 a c 得啊，但是这个多段题啊，咱们有个地方比较好处，他选一个已知的分啊，所以说啊，这个十和十一，如果你真不会选 d 啊，选 d 可以 啊，选 d， 因为你，咱们再看一下 这边第九题是吧， d 都有，几乎都有，这也是啊，三选的， d 都有，这边三选的还 d 读 是吧， d 读，而且呢，这个二六年的话，十一题啊，你如果是选 a、 b、 c 的 话，概率比较小了。 你 a， b、 c， 他 本来就是不是一个特别特别合适的选项啊， a， b， c， 你 得 a 得做一下 b， 你 得算 c 得算，是吧？你如果 a、 b、 c 都算对的话， d 是 不用算了是吧？因为如果对于一些这个中等的学生啊，稍微好些学生，他 a 算了， b 算了， c 算了， a， c 对 d， 他 就不用，他不算 d， 是 吧，就不符合咱们咱们这个考试的要求是吧规则了啊。嗯， 假如，哎，你，你算下 a， a 对 了， b 和 c， 有 一个是你算，你觉得不对，但是呢，你也拿不准，而 d 呢，你会再进行验证，这样他比较符合咱们的规则啊，这是那个预测的断题的啊。 嗯，如果真不会啊，优先优先选 d 啊，选 d 啊，当然，其实第十一题啊，十和十一是这样的，最靠谱的会的是这样的，哎， a 对 选 a， a 不 对选 b、 c 的 啊，当然前提啊，你得啥保证？ 你得保证 a 你 能判出来，对不对啊？ a 对， 选 a， a 不 对，选 b 的 啊？什么都不会，看不懂。 你可以选个 d， 就 可以选 d， 这是今年这个实习做法啊。好，那计算器到这里。
6929老冯讲数学（技巧性数学）
