2025新课标二卷数学概率题
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11:26查看AI文稿AI文稿大家好，我是王老师，今天和大家分享二卷的压轴题， 一看到压轴题啊，文字量特别大，大家会觉得啊，会很难，其实前两个是非常简单的啊，十分是轻松拿到手的，让我们一起来做一下这道题。假如两人进行乒乓球练习，每个球胜者得一分，负者零分， 每个球甲胜的概率为 p， 以胜的概率为 q 啊 p 甲 q 的 一，而且胜负是相互独立的，当 k 大 约等于二时， p k 为打完 k 的 球后，甲比以至少多得两分的概率 啊。 q k 呢？为以比甲至少多得两分的概率。那么第一问啊， p 三， 那也说一共打了三个球，甲要赢，并且比乙多两分， 那甲赢只有二比一和三比零，如果还能满足他大于两分，那一定只有一种情况啊，三比零，甲三以零，那么用 p 来表示的话，那就是 p 的 三次命。那第二个 p 四， 那你说打了四个球，甲赢，并且比乙多两个球，那只有两种情况，甲四比零啊，对， 还有种可能呢，就是三比一，用 p 来表示，就是 p 的 四次面，加上 四局中有三个甲是赢的，而乙是输的，那也就是乘 q， 那 q 和 p 来怎么表示呢？就是 e 减 p 为 q， 这样我们就可以用 p 来表示 p 四了。我们整理一下 第一问，十分很轻松的就拿到了，所以说到考试的时候，一定要把每一个题都做到啊，不要觉得它是压轴题就不看了，来看一下第二个， 它是一个比值，那么我们先把它表示出来， p 四减 p 三， 因为一减 p 啊，它等于 q， 这样我们用同样的方法，因为 q 四减 q 三，它的区别就是把 p 换成 q， 把 q 换成 p， 所以 同类我们代入一下， 等于四，由于 p q 它都是大于零的，所以 p 比 q 就是 等于二，那它们之和还是一，所以 p 等于三分之二。 我们来看一下第三问啊，相对来说比较复杂，字母比较多，那分析一下通常这种正名题，那我们先正一侧， 再正另一侧，那先等左侧观察一下啊，左边这个不等式，它有什么关系？ 它可以改写成 p 二 m 加一减去 p 二 m 啊，小于 q， 二 m 加一 减去 q 的 二 m。 只要我证出这个不等式，成立啊，注册就证出来了。那么首先我们先分析一下二 m 和二 m 加一啊，它是一个递推关系，那么二 m 它是一个什么情况呢？ 那说明我一共打二 m 个球，我们有可能是 m 啊， b m， 这是甲和乙，它们之差的得分呢，是零分，那还会有呢？ m 加一，比萨 m 减一，这种就是两分啊，不存在一分，那其他的以此类推， m 加二， m 减二，这样我们就会越来越多大于二，所以考虑一下二 m 如何变成二 m 加一。那刚才我们分析得两分的时候是这种情况，大于两分的时候啊，就很多种， 他没有大于一分，所以即使下一次我的甲再赢一分，也不会说再出现大于二分啊。所以我们从考虑两分的时候 啊，再赢啊，只有大于两分啊，没有存在等于两分那种情况，那他就有两种可能，要么甲输， 要么假赢，那就进入了二 m 加一，那他再假赢啊，一定啊，满足二 m 加一，我们可以根据刚才分析的情况来得出 p 二 m 加一 啊，它的概率是如何产生的？由 p r m 啊，如何递推的？它食指呢？是减去了一次以赢 p r m 这个概率减去在 m 加一和 m 减一啊这个比值的时候 啊，那就 p m 加一 这段情况就是 m 减一嘛，但是 e 又赢了，让它多一次，所以我们能推出左车等于 food 啊这个食指，那要想证明左侧这个食指小于右侧的食指，我们可以通过做差 x 呢，等于这个再减去它。呃，后面呢，就是 p q 对 调啊，负数的正， 我们合并一下，同学下， 由于 p 是 大于二分之一的啊， p q 之合还是呃一，所以这为小于零，所以这个食指就成立了。那么我们把左边食指啊就正出来了，然后我们看右侧， 同理也可以分析二 m 加一如何变成二 m 加二，二 m 加一呢，它是不存在两分这种情况的，刚才我们已经分析了啊，它只能大于两分， 那如何啊？变成二 m 加二呢？它有以下几种情况， m 加二对应的乙是 m 减一，都是它赢球啊，加一各赢球 在 m 加三点点点啊， m 减二点点点啊，他都是大于两分的啊，这种情况，这是他这种情况。那还有呢，就是 m 加一对应着 m 虽然大一分， 但是如果下一次是假赢，那直接就满足二 m 加二。还有一种就是 m 呃， 都 m 加一啊，减 m 啊， e m 加一，哎，这种情况是不满足条件的，所以我们只需要加上哎这种，所以 p 二 m 加二，它等于 p 二 m 加一加上 c 二 m 加一， m 加一， p 是 m 加一，而 q 是 m， 然后它 p 影，也就是假影，这样我们就解出 p r m 加减去 p r m 加一啊，等于后边这个式。由于前面我们算出 p r m 加一啊，减去 p r m 等于负的 这个食指，那我们设上面的食指为一，下边食指为二。为了凑右侧这个形啊，他也可以把它假设成 p 二 m 加二啊，给这个移到左侧 啊，给 q 呢，移到右侧啊，只需要证明 p r m 加二，减去 p r m 大 于 q r 二 m 加二啊，减 q r m 即可。那么我们要凑出 p r m 加二，减去 p r m 啊， 那这两个式子相加就可以得到了。一式加二式一加二得啊，凑出啊，这个心。 要想正右侧这个式子只需正， 那么我们就直接把它写上啊， e s p 和 q 对 应着 我们合并同根线，所以要想证，该是指只需证，只需证。我们提一下， 那么我们画一下，减 p 加 q 正好是一， 那这个地方又考了一个排列组合形式啊，它可以写成 c r m m 加 e 加上 c r m 卷啊，一约掉。 很显然这个是大于零的，所以最后一本就挣出来了。
17宇数-汪老师
07:23查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？更多精彩内容可以看我们一人一案的系统冲刺课，高一、高二、高三都可以，我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路 这是一道改编自二零二五年全国二卷第十九题的概率统计压轴题，想在高考冲刺阶段拔高分数，这类地推不等式与概率结合的题目，咱们最好在考场上快速拿下。 这题最容易踩坑的地方就是很多同学搞不懂打完几个球后领先两分到底对应什么具体比分一上来就列错算式。咱们先来完整读题， 甲乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得一分，负者得零分，甲赢得每个球的概率为 p， 以赢得每个球的概率为 q， 其中 p 大 于二分之一且小于一， p 加 q 等于一，且各球的胜负相互独立 对正整数 k 大 于等于二，即 p 下标 k 为打完 k 个球后，甲比乙至少多得两分的概率， q 下标 k 为乙比甲至少多得两分的概率。 第一问，用 p 表示 p 下标三和 p 下标四。第二问，若分子是 p 下标四，减去 p 下标三，分母是 q 下标四减去 q 下标三，这个分式的值等于九，求 p 的 值。 这题咱们的大方向很明确，先通过列局法把前几局的具体比分情况找出来，算出具体的概率，再利用题目隐藏的对称性去化解第二问的比例式。最后解方程， 咱们先来看第一问，要求用 p 表示 p 下标三和 p 下标四。很多同学在这里会犯错，觉得至少多得两分，情况很复杂，其实咱们静下心来，把具体的局数拆开看就很简单。其实咱们静下心来把具体的局数拆开看就很简单了。先来算 p 下标三，也就是打完三个球后，假比乙至少多得两分的概率。 大家想想，一共就打三个球，总分是三分，甲要比乙至少多两分，比分只能是几比几，只能是三比零，对吧？如果是二比一，甲只多了一分，不够两分。所以打完三个球，甲领先至少两分的唯一情况就是甲连赢三局， 接下来怎么算概率呢？因为假赢每一局的概率都是屁，而且各局独立，所以连赢三局的概率就是屁乘以屁，再乘以屁，也就是屁的三次方。这样咱们就得到了屁下标三等于屁的三次方。 接下来算屁下标四，也就是打完四个球后，甲比乙至少多得两分，四个球总分是四分，甲要领先至少两分，比分可以是几比几呢？有两种情况，一种是甲四比零零封乙，另一种是甲三比一战胜乙，如果是二比二平局，那就没有领先了。 咱们把这两种情况的概率分别算出来。第一种情况，甲四比零赢，概率很简单，就是四个屁相乘等于屁的四次方。 第二种情况，甲三比一赢。这里有个非常重要的技巧，很多同学会漏掉，千万别忘了乘组合数。四局里面甲赢了三局，到底是哪三局呢？咱们需要从四局里面挑三局，也就是组合数 c 四三， 甲赢三局，概率是 p 的 三次方，乙赢一局，概率是 q， 所以 这种情况的概率是组合数 c 四三乘以 p 的 三次方乘以 q。 c 四三等于四，也就是四倍的 p 的 三次方乘以 q。 因为题目要求全用 p 来表示，咱们要把 q 换掉。已知 p 加 q 等于一，所以 q 就 等于一减去 p。 咱们把一减去 p 带进去，就变成了四倍的 p 的 三次方，乘以括号一减去 p。 现在咱们把这两种情况的概率加起来， p 下标四就等于 p 的 四次方，加上四倍的 p 的 三次方，乘以括号一减去 p。 这步很关键，咱们不能把式子扔在这里，必须把它化简。大家跟着我一起拆括号后面的四倍的 p 的 三次方乘以一，就是四倍的 p 的 三次方。 四倍的 p 的 三次方乘以负 p， 就是 减去四倍的 p 的 四次方。现在式子变成了 p 的 四次方，加上四倍的 p 的 三次方，减去四倍的 p 的 四次方。咱们来合并同类项最前面的一个 p 的 四次方，减去最后的四倍的 p 的 四次方，等于负的三倍的 p 的 四次方。 所以最后化简得到 p 下标四等于四倍的 p 的 三次方，减去三倍的 p 的 四次方。第一问，咱们就完美拿下了。 接下来咱们看第二问，题目给了一个等式，分子是 p 下标四减去 p 下标三，分母是 q 下标四减去 q 下标三，他俩的商等于九，要求 p 的 值。 既然等式左边有四个量，咱们就先把它们算出来。刚才第一问，咱们已经求出了 p 下标三和 p 下标四，咱们先算算分子，也就是 p 下标四减去 p 下标三，看看等于什么。 把刚才的结果带进去，就是括号四倍的 p 的 三次方减去三倍的 p 的 四次方，再减去 p 的 三次方。合并同类项，四倍的 p 的 三次方，减去一个 p 的 三次方，还剩三个 p 的 三次方。所以分子化简后就是三倍的 p 的 三次方，减去三倍的 p 的 四次方。 接下来我们要提取共因式，把三倍的 p 的 三次方提出来，括号里就剩下了一减去 p。 注意这里一减去 p 是 什么？因为题目已知 p 加 q 等于一，所以一减去 p 其实就是 q 啊，所以分子最后可以写成三倍的 p 的 三次方乘以 q。 好，分子搞定了，咱们再来看分母，分母是 q 下标四，减去 q 下标三。这里咱们不需要再像第一问那样傻乎乎的重新算一遍乙的概率了。大家观察一下，甲和乙的条件是完全对称的，甲赢的概率是 p， 乙赢的概率是 q， 那 么乙领先甲的情况计算过程一模一样，只需要把 p 和 q 互换位置就可以了。 所以根据对称性，咱们直接把刚才分子的结果里 p 和 q 换个位置。分子是三倍的 p 的 三次方乘以 q， 那 么分母就应该是三倍的 q 的 三次方乘以 p。 你 看，利用对称性，咱们直接省去了一大段计算过程，这就是考场上抢分和避坑的关键。 现在咱们把分子和分母都带入题目，给了等式，等式左边就变成了分子是三倍的 p 的 三次方乘以 p。 咱们来约分化简。分子分母都有常数三，直接约掉。 分子有一个 q， 分 母有 q 的 三次方，上下约掉一个 q， 分 母还剩 q 的 平方。分子有 p 的 三次方，分母有一个 p， 上下约掉一个 p， 分 子还剩 p 的 平方。 经过这么一约分等式，左边就变得非常清爽了，只剩下分子是 p 的 平方，分母是 q 的 平方，也就是 p 的 平方除以 q 的 平方。 题目告诉我们，这个比值等于九，也就是说 p 除以 q 的 整体平方等于九。那么 p 除以 q 等于几呢？因为概率 p 和 q 都是正数，所以它们的商肯定也是正数，咱们直接开平方得到 p 除以 q 等于三，也就是说 p 等于三倍的 q。 最后一步，咱们别忘了题目最开始给的隐藏条件， p 加 q 等于一， 咱们把 p 等于三倍的 q 带入这个条件，就变成了三倍的 q， 加上 q 等于一，也就是四倍的 q 等于一，算出来 q 等于四分之一。 既然 q 是 四分之一，那 p 就 等于一，减去四分之一，结果就是四分之三。算完之后，咱们再回头看一眼题目条件，题目要求 p 大 于二分之一且小于一，咱们算出来的四分之三刚好在这个范围内，说明我们的答案没问题， 这道题的最终答案 p 的 值就是四分之三。咱们来总结一下，这道题真正考验大家的不是多么高深的概率公式，而是你能不能准确的把文字描述翻译成具体的比分情况。 遇到这种比赛积分问题，记住一个判断标准，总局数一定，分差确定，那就直接每举具体的比分，而且千万别漏掉组合数。另外，在处理复杂的概率比值时，一定要善于利用题目中的对称性去化简，这能大大提高计算速度。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下， 最后留一道同类思考题给大家。甲乙两人进行射击比赛，每次射击甲击中目标的概率为三分之一，两人射击相互独立，如果打完五次之后 记假击中次数比已击中次数至少多三次的概率为大写屁。请问这个大写屁应该怎么用组合数和概率算出来呢？你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
167杨老师通关数学
8864孙雷逸风
03:53查看AI文稿AI文稿熟悉新高考的同学应该都知道，去年，也就是二零二五年新高考二字儿的最后一道大题，最后一个问， 我们正常的方法是采用一个做查，然后勾当熟练的方式，最后的算得一个查熟练。然后当时有同学问我说，老师，这个东西我们能不能直接去求 pm 的 通项？好，老师就在这里告诉你，非常的简单，非常的可以。 好的，那我们就开始做的第一步啊，首先我们要改变一下奇数的规则，也就是说假胜利一场我们认为是一个假乙 乙胜利一场是一个减一，我们采用这样一个全新的计数方式来代替之前呢？呃，计算生负的方式，那么接下来怎么走？我们考虑一个函数。 对，在这里会用到一个很神奇的所谓生成函数的技巧。我们认为做一个 g x 等于 p x 加上 q 的 x 的 负一次密，这个东西是什么意义啊？我们认为 x 头上的次密 代表了什么？是不是代表了这是阳一叉，正一代表着以丢一分， 那么 p 是 假赢你叉的概率， q 是 赢你叉的概率。也就是说我们可以用这个式子来表示出什么，来表示出打一叉，此时此刻他都这样一个，我们可以说是类似于一个概率分布。 那么好了，问题也就来了，我们可以考虑一个新的东西，说打 n 场之后是不是也不是 g s 的 n 次密等于这个东西的 n 次密？为什么？因为每一场之点显然是相互独立的。好，这是我们这道题的第一个部分， 接下来各位同学可以观察一下这个式子，显然我们可以直接利用二增式定力法来展开，也不是说等于，这里是一个求和， k 等于零，从零开始求到 n， 应该是 p 了 k 次幂，然后 p 入的 n 减 k 次幂，然后当然我们认为海克斯应该是二 k 减 n 次幂应该是这样子的一个东西。那么好说，老师，我们 做成了这个东西有什么用呢？很简单，我们认为说 i 格斯的 i 死米代表着什么？应当是总共打了 n 场之后，呃，我们刚来的这种记，在这个记分模式下，呃，一共得了 i 分 等 这样一个事件，而泰格斯 i 前门的系数则代表了发生这件事的概率。 那么接下来我们就可以开始算 p n， 根据定义， p n 应该是打完了 n 场球之后，假比以赢的次数大于等于二这样的概率， 那么发一场我们的积分系统，也就是说 x 四头上的这个二 k 减 n 四密大于等于二，然后我们把 x 丢掉，只提取出前面所有每一项的系数之和，也就是说 p n 是 一个等于什么呢？习得满 k 迎待时 啊二 k 减 n 大 于等于二，然后一直加到 n 向 p k 处的 n 减 k， 我 们把它简单的化简下来，就是，哦，从 k 等于啊二分之 n 加大向上取正， 然后一直加到 n 项 pk 输入的 n 减 case 里，也就是这个东西就是我们想要求的 t n 的 通项。本期就结束。
378Chlorum
