2025高考数学甲卷导数
粉丝2.0万获赞6.3万
相关视频
16:43查看AI文稿AI文稿我们来看一下二五年北京这道高考题，这道题最大的争议点在于就是他没有给元函数，他直接给了导函数，但其实你把这个导函数当成是元函数来去做的话呢？其实做第一题， 做前面几几个题呢？其实也是能写下去的。比如说第一题他其实问的是这个导函数最大值，那其实跟我们求解，如果，如果这给的是一个元函数，那么他其实是区别不太大的。所以的话第一题没有什么难度，你只要把这个 f x 当成是这个，给了一个元函数就可以了 啊。那么第二题他说这个当 a 是 在这个负一到零的时候，给了一个参数的范围，求证除切点 a 外，然后这个在 l e 的 上方，那么这很显然它其实就是构造，对不对？就是我们大家把这个 f x 减去这个切线方程，然后构造成一个新的函数，然后就可以了， 然后去验证这个新的函数，它是大于等于零就可以了，对吧？把它这个做一个这样的转化。然后那么第三题呢？第三题的话就有点难了，第三题他说这个 a 大 于零的时候，如果是过点 a 做了一条垂线 l， 也就说有一条是切线，有一条垂线，然后与 x 轴的两个焦点的横坐标 产生了一个比较奇怪的式子，是吧？莫名其妙的式子，然后问这莫名其妙的式子，取出来这个第三问，我给大家准备了三种接法，待会我们可以去看一下。然后第一题它相对比较简单，大家可以看一下，就是它是求这个， 就让我们去求这个导函数最大值，那我就令 g x 等于幺撇 x， 它的本质上来说就是我不把你当成是一个导函数，对吧？我当成是一个新函数就好了，然后的话干什么？然后我就去把这个呃，求一下这个 g x， 它的它的导数。导数求完了之后，大家会发现一个问题，什么？就是我能不能，就是大家能不能把这个导数图像画出来？ 就首先那分母不用管了，是吧？导数的话 e 接导的话，我们只管正负，对不对？然后分母不用管了，然后它的分子部分是什么？负分子部分，大家会发现就是它这个 line e 加 x 是 一个增函数，但是加了一个符号，它变为减了，对吧？所以它它的趋势应该是一个这个样子，然后它从那个 e 一减一这个地方啊，这个是个零点，对吧？这个是个这个一阶导的这个零点，那么它的这个也就说我的一阶导一阶导函数的图像是这样，那么也就是说我的原函数，也就说我的 g x g x 它的图像，它应该就是先增再减，对吧？ 然后在这个是一减一这个地方，然后取到这个最大值，这个是 g x 它的这个图像啊，那么这个就比较简单了。然后后续的话就是就是大家只要看出来它是在一一减一处取得最大值，然后只要我算这个一减一处的这个函数值就可以了。 所以最后的结果呢？这个我的这个 f x， 它的这个 f p x， 它的最大值就是一分之一哈，我们看一下这个第二问，他说这个第二问是 a 是 给了一个负一到零，然后求证这个除切点外，然后它都在 l e 的 上方。 好，刚才跟大家说了，就是只要把大家把这个构造一个新的函数就可以了，对吧？然后那么我这就是我家里给构造就是先是求一个切线方程，求完切线方程呢，然后我就构造了一个新的函数，让这个 f x 减去这个切线函数啊，然后的话就 干什么去研究这个函数的它的函数方向就好了啊？那我怎么去通研究它的图像，那我就通过导函数去研究 导函数选择，那我就求了一下一阶导，求完一阶导呢？然后他的式子是长这个样子，长这个样子是吧？那么接下来我肯定要想一想，那你什么时候是零，什么时候不是零，什么时候大大于零，什么时候小于零，对不对啊？那么这里边我标绿色的部分，大家可以注意一下，我标绿色的部分就是同学们容易忽视的地方， 就是你在做题的时候，你有没有想过，就是你在算完之后你会发现就是 h a 它是零，就是不光含，而且不光函数值是零，它的这个导数导函数在 a 处的导函数它也是零。 好，那么也就是说我们这个时候你会发现问题，就很多学生他在在做导数大题的时候，你往往是需要把这个一阶导的图像对不对？然后这个二阶导的图像，原函数图像你都要画出来的，对吧？ 那么我们这个题的话，他把这个导函数的图像，导函数的式子给他求完了，求完了，其实我建议大家马上要把这个导函数图像给它画出来，然后很多同学呢画了我的这个第一版图，这是一个非常经典的一个错误的一个图哈，大家可以看一下，就大家想当然的认为就是他过了这个一减一之后，他的趋势向下了， 然后这块就产生一个零点。但我想跟大家说一下，函数的每一个零零点都非常珍贵哈，就是尤其是导数大题里，函数的每一个零点都非常珍贵，你都是要去验证的，对吧？你不能想当然，这样就下来了， 对吧？万一有个间歇线怎么办呢？哎，结果这个题就是有个间歇线啊，那么这个题的话，我们怎么去，怎么去做这件事？我现在要画的是一阶导的图像， 对吧？好，大家会发现一个问题，就是我的这个 a， 它是在负一到零之间，说我这个这个零啊，它其实应该是在这个位置，对吧？在这个位置，然后当然，当然你也可以通过算数的方法，算数方法就是我底下的这个方式，然后你把 h 撇零给它算出来， 算完了之后很很容易验证这个地方是大于零，对啊，那么或者怎么办？那么当这个 x 它趋于无穷远的时候，对吧？它特别特别大的时候，那我的这个 导函数还是不是正的呢？我给大家带个数字去算一下啊，就是当 x 趋于特别特别大的时候，大家会发现，就是我，我给他，就是我们给他式子进行一个分解哈。就这个部分大家会发现一个问题，什么？就是当 x 特别特别大的时候，它这个式子不可能是一个负，它肯定是一个正的， 对吧？然后那么这个呢？它减的这个数呢？发现 a 是 在负一到零之间的这个分母，它其实是一个正分子的话，大家会发现它其实是负，对吧？所以它整体 它是一个负的，那么一个正数减去一个负数，它还是正的呀？所以大家会发现一个问题，就是我 x 无论趋于多大的时候，对吧？我 h 撇 x， 它是大于零的，当 x 无穷远处，我 h 撇 x 一 直都是大于零，所以它也就说它其实是存在一个近近线、渐近线，这个图肯定是画错了， 所以这个图是个标准错误答案。哈，这个我要给大家讲了，然后接下来再往后走，那我就把这个图给它画对了就好，对不对？也就说它其实真实的这个一阶导的图像应该是这个样子，那么一阶导的话，它它其实就是由负变正的一个过程，对吧？那我们原函数原函数呢？就是由增变减， 对吧？原函数原函数就是由增变减，那么很显然我这个最小值求出来了，最小值就是 h a 啊，那么 h a 刚好是谁？刚好就是零啊？ 好，这个题就做完了，对吧？这个题他的，他的这个表面上呢？我觉得这个第二问他链条不是很长，他就是大家只要去构造一个新的函数，然后算出来这个新的函数，对吧？他有一个这个最小值，最小值恰好是零就可以了。好，那我们在写过程的时候，嗯，建议大家把这个集值表搬上去啊，大家可以看一下。 嗯，那么说完第二问的话，我们来说第三问。在讲第三问之前，我想给大家讲一下这个常见的这个不定积分的这个公式 啊，这个其实是我们大学高等数学学的内容啊，但是我觉得可以就是学有余力的同学可以去做一个了解 啊。什么叫做不定积分？大家可以理解为求不定积分，对吧？或者是求积分他其实导数的一个逆运算吗？对吧？就是让你找一组函数，他的导数都是，对吧？比如说这个，比如这个，这个这个符号是什么？这个符号是积分符号，对吧？就让你去找一组函数，他的导数都是 k 啊？什么叫不定积分？就是它这个函数还没有确定下来是不是，你可以这么去理解，是不是？那就是没有确定下来，那就是我找的这一串函数就是这个 k x 加 c， 它不是唯一确定的时候，它是一堆，然后的话，那么第二个是什么？第二个就比如说如果它的这个，我想我想找一组这个函数，它的这个导数是逆函数，就是 x n 次方，那我找的这个是谁呢？其实大家会看出来是这个，是吧？ 那加 c， 为什么每一个这个不定积分它的这个公式后面都有个加 c 呢？因为大家都知道常数的导数它是零嘛，对吧？所以它一求导的话，这个 c 就 没有了啊。然后，然后你要找的这个，为了保证你找的这个函数是准确的，所以的话我们每一个积分公式后面它其实都会加一个 c 啊， 然后那么，那么其实也就说你要去，那么什么是这个不定积分，它的这个求解不定积分的这个过程就是求解它这个原函数的过程，对吧？你想找到这个逆函数的原函数是什么？你想找到这个 x 分 之一，它的原函数是什么？对不对啊？然后 余弦对吧？它的元函数是什么？然后正弦它的元函数是什么？还有就是这个指数函数，它的元函数是什么？大家如果学有余力的话，可以去做一方面，做一下这方面的拓展或不定积分公式，如果能接受的同学，大家可以学下这个方式，就是可以用积分的角度来去做这个题 啊。我为什么写了个法三呢？就是因为我觉得这个方法就是适用性没有那么高，但是呢，我觉得可以拓展大家的视野，对吧？然后我就先讲一下，就和别的老师可能角度不太一样，就是我在做这个题的话，第一步呢，我是先把这个元函数给他求出来，对吧？就给他做了一个这个导函数，给他做了一个积分， 然后呢通过这个整体，对吧？第一个第一步是我把这个 l 加 x 分 之一当成一个整体，然后给它放到这个 d 的 后面， d 这个符号的后面，然后它就变到了这个 loi x 加一，然后 d loi x， 再把这个 loi x 加一看成一整体，那么这很显这是一个逆函数的逻辑。最后我用了一下这个呃逆函数的这个积分公式，然后就把这个函数求出来。其实对于呃高某数来讲，这个积分算是比较简单的，就是两步出来了，还可以 啊，只不过对于高中生来讲可能压力会大一些。然后的话，那我怎么办？就是设，我设假设这个函数它就是这样子，然后再加上 f 零等于零，那么我就把 c 等于零求出来。 好，那么然后怎么办呢？就是我的确定了我的这个这个题的这个揭开了这道题的面纱，对吧？就是它的原函数就是这个样子，把原函数求出来之后呢？ 啊，我就把这个原函数的结果贴到了这个位置，然后我们把这个第一个方法给它做完。啊，那是怎么办呢？那我就把这个 x 一 和 x 二究竟是多少给它求出来就好了，对吧？就反正你已经知道原函数了，我就不用再去带那些符号了，我就把 x 一 和 x 二都求出来， 然后剩下的事情就是交给计算，对吧？交给计算就是纯，就是如果你特别能算，是吧，那我就算呗。然后我们看一下这个就是这个式子非常长，非常的夸张，长的是比较夸张啊，就是我把它带入了之后呢，带入了之后大家会发现，就是 啊，它计算量还是比较大啊，这个这个我贴了一个比较小的一个地方，为什么？就是就很多学生他这样，就是他在做这个题的时候啊，他算着算着就是 就是忘了一开始要干啥了，对吧？所以我把这个图给他放大一下，大家可以看一下，就是在我算到这一步的时候，就是这个，算到这一步的时候，是吧？ 算到这一步再往下走的时候，为什么就突然变到了这个地方？就是需要就是大家在做这个题的时候，你做的比较迷茫的时候，你去再把题读一遍，对吧？你在读题的时候，你发现这个，哦，原来这个这个柿子长得跟他有点像，那我只需要做一个同轴的处理就好了， 这个就考的是大家的数学敏感度，是吧？你只要是，但是我觉得你只要是回头再给看一眼这个导函数，是吧？你就还好了，是吧？就是第一问的话，第一问的话就是我们大致能把这个 f x 它的这个图像给画出来，把你 f x 跟我们刚才画那个 g x 它其实是差不多的嘛，图像都长的差不多 啊，然后接下来就干嘛？就转化为值域就好了，对吧？你说我的这个原式，对吧？原式就转化为一减 g a 方和这个除以这个 g a 方减一，那我只要知道我这个 g x 这个 a 在 零到正无穷上的值域，对吧？这个题就解决了， 那么再根据这个前两问，前两问，对吧？前两问的话，你这个值率还是比较好求，然后就可以算出来了，这个难度还比较大，就是他无论是从这个计算量也好，对吧？还有就是这个思路去想也好，再加上大家考场上那个紧张的氛围，是吧？啊？我觉得这个题都是一个非常难的题， 再给大家分享一下第二个角度。第二个角度这个角度我是比较推荐的，这个角度我非常推荐，就是它是用了一个几何的方式，这个反二我是比较推荐，就是它可以用数据结合嘛？啊？大家都比较熟悉，在初中的时候就很熟悉这个公式就 x 一 加上 x 二，然后它除以二的话， 这肯显然长得像什么，这不终点作怪公式吗？对不对？那我为什么不把这个事情去给它利用一下呢？对不对？所以的话我觉得是可以，可以去给它利用一下，就说我我的这个原来的这个式子呢？ 原式我可以给它进行一个分子分母同除以二的这么一个操作，那么它又变成了 a 减去 二分之 x 二减 x 一， 对吧？然后我们就接下来就还是画图大法，对吧？啊？那么它的这个，我的这个第一题在做的时候，我就令这个 g x， 我 们就 f p x 了，对吧？然后我的 g x， 它的这个图像，它是这个样子，是这个样子吧？ 好，那么大家去想想我的这个一阶导导函数，它的图像是这个样子，那么它的这个原函数原函数图像是我拿这个绿色的笔去画的，拿绿色笔去画，它肯定也是这个，就是在零的这个地方，它应该是 啊先减，然后后增，然后增到这个 a 这个地方， a 这个地方他画了一个十字架，对吧？他他的这个提问要求就画一个十字架，然后这是什么？有一个切线，有一根是切线，然后有一根是垂线，然后产生了两个交点，我这个一个交点是 b， 一个交点是 c， 哈，我把你都给写出来了， 呃，其实就是我们的这个有点 b 点 b 的 话，就是我们的这个 x 二，就提笔这 x 二。 然后我在做这个题的时候，我为了把这个 f x 图像画出来呢，我去给这个 f x 求了一个二阶导，二阶导的几何意义，我需要给大家说一下二阶导的几何意义是这样，就是如果我的函数的二阶导，它是一个正的，那么它就是一个凹函数。 如果在某处的二阶导它是一个负的，那么它就是一个凸函数。比如说像我们这道求求完二阶导它是一个负的，所以它其实是一个，在这个这个地方它是一个凹进去的， 对吧？这个其实很有用啊，这个在后面帮助我们判断就是这个角度的时候，其实是非常有用的。好，给大家把这个图画完了之后，我在这个地方标了一个 c 塔，就这个蓝色角是 c 塔，然后这个小的这个 角呢是二分之 c 塔，然后我这个点 d 呢？是这个 b c 边上的中点。大家都知道其实我想用的是那个啊，直角三角形斜边中线定力，是吧？啊？然后那么这个点 e 呢？点 e， 它其实是一个垂足， 我们在做完这个图之后呢？那后边这个式子它其实就有实际意义了，那么很想让我的这个 a 减去这个二分之 x 加 x 二， 那很想让我这个分子它其实就是 d e 啊，这个是 d e 啊，然后那分子的话就是 c 减 d， 然后再除以二的话，那它这个其实就是 a d， 相当于是这个斜边的一半嘛，因为直角三角形斜边上的中线都是斜边的一半嘛，所以的话这个就是这个 a d 比上 a d， 那 大家很很很容易发现这个地方其实他其实说的是谁，他其实就是那个蓝色的那个角的 鱼弦值吧，对吧？蓝色角的鱼弦值，那么这样通过这个竖形结合，我就可以把这个特别复杂的一个式子，然后变成了一个三角函数系数。 好，就是接下来就是这个式子一个计算过程了，就大家会发现就是我去如果用 cosine theta， 如果用 cosine theta 去做题的话，你这个其实写不了的，因为只有 tanthan theta， 它其实是有这个实际意义，我们给 tanthan theta 赋予过一些这个比较实际的实际意义，就是斜率嘛， 奇律和导数是可以连上关系的，是不是？所以的话，我把这个式都变成了这个二分之 c 的， 大家会发现二分之 c 的 是不是就是这个 a b c 这个角，对吧？就是这个 a b， c 这个角。所以的话我再把这个 cosine theta 你 原本是要去求这一个式子的值，我变成了求 cosine theta 的 值，然后 cosine theta 再进行一步化简，然后变成了这样的一个式子。 好，那么这样式子他是什么情况？就是他会发现就是我，我把这个贪心的二分之四他给它进行一个斜率上的转换，那么就变成了去求一个喊我这个，对吧？喊喊我这个题里面要求的那个逆阶导的一个式子，对吧？然后我只要把这个式子的范围给他做出来就好了。根据我们前几问， 就是我的这个 f 撇 a， 它的范围其实比较好求的，是吧？求出来我们这个题就解完了啊，这是第第二个方法，第二个方法我其实比较喜欢它，其实数值结合结合嘛，极大的减简化了我们的这个计算。 第三个方法其实和第一个方法有点像哈，就是我只要把这个 x c 和 x 二给它解出来，解出来，然后进行一个傻算，对吧？进行一个 啊纯纯数学计算就可以了。然后我就把这个 l， e 和 l 这个方程给它写出来，写出来之后呢？然后我把这 x c， s 二求出来，求出来之后我就含着这个 f a 和 f 撇给它去算，进行一个算，大家能看出来这个计算量应该是比较大的，不太小哈，就还是挺大。最后的话和其他方法它其实都是殊途同归的， 都变成了这种这种结构嘛。啊，然后我只要知道我这个函数 g x 它的这个在零到正无穷上的这个值域就可以了， 把把我们这个第一问的结论给他用起来。然后最后结果是这样的一个式子，还是比较比较复杂。这时候给大家分享了今年北京高考的三种解法，我当然是首推，肯定是抒情结合了，首先优先是抒情结合 啊，然后是通法啊，这两种方法建议大家掌握。那么第三种方法的话，就是会涉及到一些不定积分的知识，有能力同学可以去拓展一下不定积分的公式。
86铁扇的硬核数学
06:18查看AI文稿AI文稿二零二五年高考考试中，断点效应被冷落了，那么我认为二六年他会再次受挫。那我们通过这个题目来讲解如何去处理断点效应。 首先我们来对 f x 进行观察， f x， 它是等于一减去 x， 再乘上零，一加 x， 然后减去 x， 那 很明显 f 零啊，刚好是零， 这一点非常关键了啊。那接下来我们对 f x 进行求导， f e p x 等于前导后不导，那用负的 a 倍的零 e 加 x， 然后再加上前不导后导 一加 x 的 分子一减去 a x， 再减去一。我们在求完导之后啊，第一件事情就是去观察端点处的函数值，直接可以得出来 f 一 撇零啊，刚好是等于把零带进去啊，那么它刚好是零。 ok， 那 接下来啊，我们要进行二阶导 f 两撇 x 啊，就等于一加 x 分 之负 a， 然后再加上一加 x 分 母的平方分子，分子倒，分母不倒，然后再减去啊，分子不倒，分母倒， 因此我们来进行整理之后啊，就等于一加 x 的 分之负 a， 然后再加上一加 x 的 平方分之负的 a 倍的， 再减去啊 a x， 然后减去一个一，再加上一加 x 的 平方分之负的 a x， 这个地方啊，它可以消去啊， ok， 因此就得到了负的 a 加一。好，那接下来啊，这个导函数啊，我们也看不出它的一个单调性以及这个正负转换呢，因此我们先来进行 通分操作，就等于一加 x 的 平方分之负的 a 倍的一加 x 啊，然后再来减去 a 减一啊，最终经过整理啊，就得到一加 x 的 平方分之负的 a x， 然后再减去二 a 减一。但接下来啊，我们求完二阶导数后啊，同样我们要去观察二阶导数在端点处的函数值啊，因此啊，一直 直接得出来， f 两撇零啊，它刚好是等于负的二 a 减一的。那实际上，我们这个时候啊，导函数它的一个正负状况啊，实际上是跟分子无关的，只跟分子有关系。那么接下来，把分子设成一个函数，令 g x 等于负的 a x 减去，二 a 减去，那么这个时候可以加上这样的一句话，很明显， g x 他的正负与二阶导数他的正负啊，是一致的， 而我们的 g 零这个地方啊，他刚好也是等于负的二 a 减一。好，那接下来，实际上我们就可以进入下一个环节啊，进行分类讨论，这个值啊，他已经是一个正数，当然，我可以得出来啊， a 要小于等于负的二分之一。当然嘛，这一个步骤我们是可以不用在答题纸里面写的。那接下来我们直接进行讨论啊，第一种情况，那我们先来研究啊， a 是 大于负的二分之一的情况，这个时候，我们还是要从 g x 或者说 f 二阶导数的八点值出发，那么 f 两撇零这个值啊，它是等于负的二 a 减一 这个值啊，这个使用，它是一个负数，而 f 两撇 x 这样的一个函数，在零到正无穷中为一条连续光滑的曲线，因此我们加上这样的一句话术， 因此啊，我们可以下结论啊，哦，存在一个 x 零啊，大于零，使得，使得什么呢？使得啊，当 x 属于零到 x 零的时候，哦， f 两撇 x 啊，它是一个负数，因此我就可以下结论啊， 一阶导数在零到 x 零之间是单调递减的，一阶导数单调递减哦，因此啊，就可以得到，元函数要 一阶导数，它的函数值要小于 f， 一 撇零刚好是零。所以我们可以得到，原函数在零到 x 零单调递减，因此原函数要小于 f 零刚好是零。所以说， a 大 于负二分之一的时候，是不符合其一的。 那接下来我们来研究 a 小 于等于 f 分 之二。第二种情况啊，当 a 小 于等于负的二分之一时，那这个时候啊，很明显，它的 g 零啊， g 零，它是等于负的二 a 减一啊。当然了，那我很能够很容易判断啊，它是一个 大于等于零的数哦，那么接下来我们还要补充一点呢，就是 g x 啊，它是等于 负的 a x 减去，二， a 减去。当然嘛， a 是 小于零负二的，因此啊，负 a 它是个正数啊，所以说， g x 啊，它在零到正无穷上是一个单调递增的。这个信息是直观重要的，因此我们就可以直接下结论啊， g x 它要大于等于零啊，也要大于零啊，所以啊， f 两撇 x 啊，也是一个恒正的。因此呢，我就可以下结论， f 一 撇 x 啊，在零到正无穷上是三角的正。那接下来啊，圆函数它啊， 所以说，接下来我们的导函数的值，它就要大于等于 f 一 撇零刚好是零。所以说，原函数在零到正无穷上也要递增，因此 f x 它要大于等于 f 零乘以 哦，因此，我们最终啊，就可以确定啊， a 小 于负二分之一，确实是符合题目中给的这个条件的。那么接下来我们下一个结论啊，综上，他题目中问什么我们就答什么就可以了。 a 的 范围 为负，无穷到负的二分之一， b 区间就可以了啊。
98外星人数学
00:40查看AI文稿AI文稿用什么和差化积公式啊？这题根本不需要啊，我们直接来求导，它会等于负五倍的三 s 加上五倍的三赢五 s， 我 们求完导要求它的起点，所以直接令导上等零，那就是三赢五 s 减去三赢 s 等零，它的解是什么？你看三 s 要等于三赢五 s， 所以 要不然就是 s 等于五 s， 要不然就是他俩互补，所以这里他们不能相等，所以只能是互补了。互补的话是不是就六 s 要等于派呀？那这 s 等于六分之派呀？ 那所以这个六分派是它的极大的点还是极小的点呢？其实我们不需要拐啊，因为我们书上有句话，它的最值要不在极值处产生，要不在端点处产生，所以说我们只需要比较 f 零， f 六分派以及 f 四分派就行了。
1572新乡高中数学老师
00:15查看AI文稿AI文稿还记得今年一卷的导数压轴吗？出题人隐藏了题目彩蛋，向广大学子表白，实则是自我感动。
9893数理化加油站
00:14查看AI文稿AI文稿高考数学史上最浪漫的压轴当属二零二五新高考一卷数学的导数，怪不得出考场后脸都红透了，原来是被出题人给表白了。
2.3万数理化加油站
00:21查看AI文稿AI文稿这应该是历年新高考一卷数学中压轴题最浪漫的一次吧！来自出题人隐藏在题目里的彩蛋，敢不敢艾特自己喜欢的人？一起来感受一下！
5.5万数理化加油站
00:14查看AI文稿AI文稿很多人说北京剑简单，这道倒数压轴题，你觉得难度如何？
4705高校之星（橱窗提分版）![2025新高考一卷导数压轴题，咱很多同学看到答案，第一小问还是不会的小伙伴，赶紧看看邵哥这种不用和差化积的方法绝对轻松拿捏[勾引][勾引][勾引]#新高考导数压轴题#邵哥带你学数学#高中数学](https://p3-pc-sign.douyinpic.com/tos-cn-p-0015/oQ4yBeVXGB0TLqhBTeI3bwIMPCaQaOfAxl7IlA~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2109744000&x-signature=7GtK6%2FbaSJLOM8R%2FPLtjHjnxUzs%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=20261111161259F1F03144B636CA8CA165)
03:31查看AI文稿AI文稿哈喽，朋友们，今天我们一起来看一下二零二五年新高考一这的导数压轴题，那么这个导数压轴题有很多同学啊，第一小问就已经牺牲了， 那么后面有很多同学问我，他说，哎，这个网上有很多老师讲用这个核察化机，嗯，他说，老师啊，那我平时这个核察化机这个公式用的特别少，我考试的时候我就没想起来吗？ 有没有什么其他的方式啊？我们来解决一下这道题呢？好，那么今天的话，少哥啊，就用一个非常基础的思维给大家去解决一下我们导数压轴的第一小问 好。那么首先遇到这样的一个题目，他让你求区间零到四分之派的最大值，那么遇到这种最值问题，想都不用想，我们就要研究单调性嘛，所以第一步咱直接求导 好，那么求完导之后，就变成负的五倍的 c x 加上五倍的 c 五 x， 好， 那么提取公式啊，也就是五倍的括号 c 五 x 减去 c x 好，那么这个时候我们稍微注意一下他给的这个范围，那他给的这个范围是零到四分之派啊，那么因为有这个范围的限制，那我们就直接去考虑这个导函数的零点到底是多少，那么如果导函数等于零，那我们是不是就得到 c 五 x 等于 c x 好，那么 c 五 x 等于 c x 什么时候会成立呢？哎，是不是有两种情况，第一种情况，也就是五 x 等于 x 的 数，第二个五 x 加 x 等于 pi， 就是 互补的数，所以第一种情况我们搞出来 x 等于零，因为它的端点是零，那这个时候我们肯定不考虑舍去， 那么第二种情况的话，我们搞出来这个 x 刚好等于多少呢？是不是六分之 pi 好？那么有很多人说，老师，为什么你就觉得他一定是互补的？他有没有可能超周期呢？你看刚才我提到了，他是不是有一个零到四分之派的范围，你想一下，他俩加起来也就是六 x 的 范围是多少呢？六 x 的 范围是不是零到二分之三派？ 所以你到派已经把你卡死了，是不是？哎，所以这个时候我们来操作，那直接给他分两段，第一段，当 x 在 零到六分之派 好，那么我们现在要干啥呢？我们是不是要判断在零到六分之派的时候，这个导函数是正的还是负的？ 是不是？ ok， 那 咋判断呢？咱很多朋友说，哎，老师，这个范范围我无法确定，这个值我也算不了，无所谓嘛，你在这中间，你在草稿纸上随便找一个中间的值，比如说我们找一个十二分之派，也就十五度，那这个时候你会发现， c 五 x 减去 c 七十五度，减去 c 十五度， 这啥值是不肯定大于零的，那意味着 x 在 六分之派到四分之派的时候，他肯定是啥是小于零的？ a 导函数是不是肯定小于零？所以我们现在可以画个小小的草图， a 六分之派的时候先正后负，那么放到函数图像里面，他是不是先增后减？那么此时我们的最大值有了没有？是不是 f 六分之派给它扔进去就行了吗？就是五 乘以 cosine 六分之 pi 减去 cosine 六分之五 pi。 好， 我们直接写答案啊，也就是五乘以二分之根三加上二分之根三， 就等于六倍的二分之根三，也就三倍的根三，所以它最大值我们就解决了啊！不知道这种方法对大家有没有帮助，记得点赞关注哦！
51邵哥带你学数学
01:19查看AI文稿AI文稿切线题就考两点，第一，切点处的导数等于切线的斜率。第二，切点既在直线上，也在曲线上，抓住这两点，直接秒杀。第一步，求曲线的导数 y 一 撇等于一的 x 次方再加上一，已知直线的斜率是二。令一的 x 次方加上一等于二， 得到 x 是 等于零的，切点的横坐标出来了，切点在直线上，把切点的横坐标 x 是 零带进来，得到 y 等于五， 切点横坐标出来了零。五切点在直线上，也在曲线上，所以把切点坐标带到曲线方程 x 零， y 是 五，那得到 a 是 四， 这题就解决了。记住，切点处的导数等于切线的斜率，切点既在直线上，也在曲线上。切线题稳拿分。
546大红薯数学
17:55查看AI文稿AI文稿咱们来看一下这个二五年天津高考的导数大题。咱们看一下这三个问。首先先看第一问，第一问，那 a 等于一时，那 f x 是 等于 x 减去 lo in x 的 平方，对吧？ 那当 f 一 等于多少呢？那是不是就是一减去零等于一，那求导 f 撇 x 呢？那就等于这个 一减去这个二倍的 log x， 再比上 x， 负函数求导应该都是比较常规，都应该会的，然后再把一代入呢？那就是一减去零，那等于一，所以它过点 一等于一，那 f 撇一是等于一的，那是 y 减一等于 x 减一， y 等于 x， 那 第一问，咱就求完了，然后第二问，然后他说是 f x 有 三个零点，那 x 一 x 二 x 三，那注意这个范围，那求这个 a 的 取值范围， 那这道题还是比较常规的，那零点零点是不是咱念过分餐啊？对吧？很明显的一个分餐，因为 a 是 可以单独分出来的，那它等于零，那 a 是 等于 log x 的 平方除以 x， 是不是就求 a 与这个图像到什么时候有三个交点就可以了，对吧？咱们设新函数，这一撇 g x 那 是等于小于 x 的 平方，除以 x 的 这一撇 x， 那 就是， 嗯，分母平方，那分子前倒后不倒，减去后倒前不倒，乘以 x 减去小于 x 的 平方，对吧？ 这个是等于化简一下，那就是二倍的 lo x 减去 lo x 的 平方，除以方。再化简题，一共是 lo x， x 乘以这个二减去 lo x， 对吧？再除以 x 的 平方，那是不是当 x 等于零，嗯，二减 x 等于零时，然后这一撇 x 是 等于零的。当 x 等于一或 x 等于一的平方的时候，这一撇 一等于零，那这一撇一方是等于零的，对吧？然后呢，就该画表格了吧？那咱们这里就不画了，他们就是当 x 大 于零小于一的时候，那这一撇 x 是 小于零的， 那这怎么看呢？那是不是其实可以带个二分之一来估算一下，对吧？这 x 呢？那就在， 嗯零到一的时候，它是单调递减的，那当 x 大 于一小于一方的时候呢？那这一撇 x 它是大于零的，那 j x 是 在一到一方时候是单调递增的， 然后当 x 大 于一方的时候呢，那这一撇 x 是 大于小于零的，那 j x， 那 在 这个一方到正无穷，单调递增，单调递减，对吧？那咱们还得算一下，那要想画这个图像的话，咱是不是还得看一下这个图像的趋势啊？ 它是不是当 x 趋近于零的时候，那 g x 是 等于 x 的 平方的，那它趋近于什么呢？那当 x 趋近于零，那 log x 是 不是趋近于负无穷啊？咱们知道 log x 的 图像，那 x 呢？ 是趋近于零的，那是不是平方之后就变成正无穷了？那 x 平方是不是趋于正无穷？那是不是还是那 g x 还是趋近于正无穷的？那咱们的图像就从零贴近，对吧？那当 x 趋近于 正无穷的时候呢？那这个趋势怎么怎么算呢？那 g x 等于 log x 的 平方，除以 x 这个 log x 的 平方，这个咱们都知道，这个对数函数的趋势肯定比这个 一次函数增长的慢，那所以呢，那是不是就是 g x 是 趋近于零呢？对吧？那咱们看那这个图像，咱们就知道，大概去画一下， 当 x 趋近于零的时候，它趋近于正无穷，那是这样，然后再啊，咱还得算一下，这一是等于零的，然后呢？这一方呢？ 是等于这个，嗯，一方分之四的，对吧？然后往上升，然后到一方呢，又往下降，对吧？那这一方，这是这高度呢？是一方分之四，那这个是一，对吧？那是不是什么时候有三个交点， 换个颜色的笔啊？那是不是这个时候，对吧？有三个交点，那不能，那是不是就是知道 a 的 范围呢？ a 大 于， 所以是不是 a 大 于零，并且这个 a 小 于一方分之四，对吧？这 a 就 求出来了， 那咱们再看一下第三问，那第二问，咱们求完这画完这个图，对吧？那咱们知道了，这个 x 一 小于 x 二小于 x 三，那这是 x 一， 那这个是 x 二，那这是 x 三， 对吧？那么看第三分，那这不对，就是第二第二圈啊，那这有什么用呢？那咱们看，那咱们知道了， x 一 是大于零，小于一，并且是小于 x 二的，然后是小于一方小于一 x 三，对吧？ 那咱们要证明 log x 的 平方减去 log x 一 括号这个 log x 的 三字方， log x 三， log x 三，然后小于是四 e 除以一减一，然后左右而瓢啊，然后呢？ 看这个对数，是不是很奇怪啊？咱们就把这个对数换成，换成数不就完了吗？对吧？那咱们说令 t t 一 等于 log x 一， t 二等于 log x 二， t 三等于 log x 三，对吧？那咱们 x 一 等于多少？那是不是就是 a e a t 一 是等于这个，因为它是零点嘛，零点都满足 log x 一 的平方除以 x 一 等于零嘛。 啊？不对，是这个零点啊，零点是最开始 f x 的 零点，那 f x 是 等于这个 ax 减去 long x 的 平方，那再入一下，那说 ax 一 减去这个烙印 x 一 的平方是等于零的，那把这个 t 那 把这个 s 一 又能表示成啥呢？不跳舞了？那 x 一 是不等于 e 的 t 一 次方，那 x 二呢？是等于 e 的 t 二次方， x 三呢，是等 e 的 e 的 t 三次方。那把这个代代入到这个原来的式子中，是不就是 a e t 一 是等于 t 一 的平方， a e t 二次方是等于 t 二的平方的， a e t 三次方是等于 t 三的平方，对吧？那这个因为它是在零点上吗？这肯定也满足， 那么咱们这看这个别扭，咱们是不是得同时把这个 t 三挪到下边来，就好好看了吧， 对吧？这就是做题经验啊。这其实就是咱们看多了，把这个未知数 t 一 t 二 t 三都不知道，那怎么都看呢？是不是把 e 都去掉，那就两边同时取对数呗。那因为 t 一 是小于零的，咱们刚才看这个范围 t 一 是，哎， t 一 t 一 是小于零的，对于 s 一 小于零嘛，对吧？对，因为 s 一 大于零小于一嘛，所以 t 一 是小于零的。那咱们再看一下 t 一 t 二 t 三的范围呢？ t 一 小于零，对吧？ 这就是根据这个 x 一 x 二 s 三的范围， t 二小于二小于 t 三，对吧？那 t 一 小于零是不能两边同时取对数，所以它排除掉的，那是不是下边这俩式子都是大于零的？是两边可以同时取对数了？那是不是烙印 a e 的 t 二次方，然后等于二倍的 lo in t 一 对 t 二，然后试试 lo in a 的 t 三次方是等于二倍的 lo in t 三的，那这个是不是还能化解啊？那是不是就是 lo in a 加上 t 二乘以 就是 t 二把 e 都消掉了，是等于二倍的 log in t 二的，那 log in a 加上 t 三是等于二倍的 log in t 三的，那咱们看了，是不是得把 a 都消掉，对吧？那就是 t 二减去 t 三 是等于二倍的 lo in t 二减去 lo in t 三。那这个时候呢，咱们就需要用到这个均那个对数的均值不等式了，那对数均值不等式长啥样？ 那是不是就是 a 减 b 除以 lo in a 减 lo in b 是大于根号下 ab 的， 对吧？那么看这个呢？ 这个烙印咱们这个因为 t 三大于 t 二啊，所以咱们就是把这个先解导一下， t 三减 t 二是等于二倍的烙印， t 三减去烙印 t 二，确保两边都是正的， 那他们这个 t 三减 t 二除以这个 lo in t 三减去 lo in t 二， 对吧？是等于二的，那这个又根据这个对数均值不等式， 咱们就知道了，那它是不是大于根号下 t 二乘 t 三呢？对吧？那就得出来了， t 二乘 t 三是小于四的，那 t 二乘 t 三小于四有啥用？ 不知道，咱们继续写呗。那么咱们刚才是为了求这个式子，为了求老爷。 嗯， x 二减去 log x 一， 括号 log x 三是小于四， e 除以一减一的， 没问题吧？那咱们咱们都设了 t 一 是，那个 x 一 是等于，呃， x 一 是等于 e 的 t 一 次方嘛，对吧？咱们都代入，把 t 一 也也都代入一下，那是不是就相当于 t 二减 t 一 括号乘以 t 三小于四， e 除以一减一啊？ 它 t 二乘 t 三减去 t 一 乘 t 三小于四， e 除以一减一，那这 t 一 t 二 t 三小于四有用了吧？那就是 说是四减去 t 一， t 三小于等于四， e 除以一减一，再把这四挪过去，是负 t 一 t 三小于等于四除以一减一，咱们通分一下就把这个消掉了，那是不是现在求这个就可以了， 对吧？那咱们就知道了， t 一 是小于零的，那 t 一 的平方，咱们刚才指的是等于 a 的 e t 一 次方，那 e 的 t 一 次方 t 一 是小于零，那它最大值是不就是一啊？对啊，所以它 t 一 的平方是小于 a 的， 这个图像吗？对吧？是这么画的，他肯定小于一的，对吧？小于 a 的 话，咱就简单了，那咱就得出来了，负 t 一 是小于根号 a 的， 因为 t 一 是负的吗？对吧？那所以呢，负 t 一 t 三是？本来是求小于等于四除以一一减一， 然后又知道了负 t 一 是小于根号 a 的， 那负 t 一 t 三，那是不是小于根号 a t 三呢？对吧？那咱们又知道了， a x 三减去烙印 x 三的平方是等于零的， 对吧？那把 t e 带入呢？那 a t e 的 t e 三次方减去 t 三的平方是等于零的， a 等于啥？ a 等于 t 三的平方除以这个 e 的 t 三次方， 那把这根号 a 带入这式子里，是不是就是等于把这个 a 带入到这里边，对吧？那就是等于。 呃， t 三的平方开根号的嘛，它下面乘了 e 的 二分之 t 三次方，那只要正这个式子，它是永远是小于等于四除以一减一的就可以了。那这个式子里是不是只有一个未知数 二三就可以构造呢？它是不是六函数？ h t 是 等于 t 方除以 e 的 二分之 t 次方，那只要求证它是小于小于，最大值是小于 e， e 减一分之四就可以了。那 t 的 规定范围是 t 大 于二， 因为咱们是依据 t 三设的嘛，因为 t 三范围咱们知道，对吧？ t 三范围在这了，在哪去了在这了，对吧？ 咱们知道了，然后咱们再继续看。但是求最大最小值，肯定要求倒吧， h 撇 t， 那 就等于， 嗯，上倒下不倒，呃，不下边的平方 e t e 的 t t 次方，然后呢？前倒后不倒？ 二 t 乘以 t 的 二分之 t 次方，减去二分之一 t 方乘以 e 的 二分之 t， 对 吧？得出来，这个化简一下，那就是二减二分之一 t 括号乘以 t 除以 e 的 二分之 t 次方。那很明显，是不是当 t 等于四的时候，这个 h 撇四是等于零的？ 你们必须 t 大 于四大于二吗？对吧？那所以呢， t 大 于二小于四的时候，那 h 撇 t 呢？咱们要判断一下，你带个三进去看一下这个范围不就行了吗？这是大于零的，那就说明 h t 在 二到四上是单脚递增的， 那 t 大 于四的时候呢？那 h h 撇 t 是 小于零的，那说明 h t 的 时候在四到正无穷上单调递减，那就说明在四乘 t 等于四的时候有最大值。 那 h 四 a a h 四对 h 四，那等于啥呢？代入呗，那等于十六除以这个 e 的 平方， 那咱们只需判断十六 e 的 平方分之十六是小于四，除以一减一就可以了，对吧？那十六除以 e 的 平方大约是多少呢？ 再除以五是不是三点多呀？对吧？这种判断呢，其实做差就可以了。做差 那就是四十六除以一方减去四，除以一减一，然后十六一减一，括号减去四一方， 然后是这不二次函数负四一方加上十六，一减十六， 那 b 方减去 c c， 那就是 b 方减 c c， 看它有没有根呗。十六的平方二百五，十六减去四 a， c 负负得正又减去，那是不是就是等于这？当，所以它就是当对称轴、对称轴的时刻，负的二 a 分 之 b， 那 就是八分之十，又当它等于二的时候， 并且看会朝下，他肯定是小于等于零的，对吗？那所以呢？十六除以一方是小于四，除以一减一的，咱们得出来了 啊？不对啊，这义其实是个数，对吧？义其实是个数， 咱们去啊，用那个也行，咱就横成横成立呗。这会蒙了，这一其实是个数啊，咱们上面都是对的啊， 就是需要证明他就就行，其实这个就是做减法，做减法就通分嘛。 那其实这个式子咱其实也不好判断，其实就是可以用二三数来判断，对吧？把 e 换成这个 x， 对 吗？对，没问题。行，咱们讲到这。
139easymath
