高考数列压轴题
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21:16查看AI文稿AI文稿大家好，今天呢，我来讲一下去年，也就是二零二二年新高考一卷的最后一道亚洲题。那么在讲这道亚洲题之前，我们有必要说一说新高考的面题趋势。 在之前的高考里头，基本上大题的话，绝大部分地区他就是考什么知识点就是什么知识点， 比如说有一道题他只考的是导函数，另一道题呢，只考的是三角函数这样的大题，但是现在的话，从单一的知识点就转变成了综合多维度的这样一个主题角度。 什么意思？就是这道大题他不仅有可能考察导函数，还会结合数列的知识来考。这道题啊，就是非常经典的一道题目，我们来看一下第一题的话，还是啊， 他并不是特别简单，需要花一些时间的，他跟之前的高考不太一样，之前高考第一问一般就是求个单调性 对不对？顶多是求导的过程稍微复杂一些，讨论的过程不是很复杂的，现在可不是了，第一问就有难度，一共是两问，我们来看一下第一问啊。第一问说的是已知函数，一个是 f x， 一个是 j x 啊，一个是指数的 e x 的 这样一个 e x 次方的类型。另外呢，是对数捞 one 的类型有相同的最小值，求 a 它等于多少？ 那么这个第一问怎么办呢？你肯定得根据单调性的讨论，把 f 还有 g 的最小值求出来，让他俩相等就可以了，对吧？行，咱们来看一下啊。首先第一问写个解字吧， 是吧？那求导之前的话，其实所有的函数问题我们应该先写什么？先写先讨论的是函数的定义域问题，首先我们看一下 fx 啊，嗯，他的定义域的话，我们先写，你说是多少，因为没有其他限制吗？ 他的定义就是 r， 所以我们直接求到就行了。这个 f 求到完了以后呢，就是一的 x 方减去 a， 这个还是非常容易的啊，求单调性肯定是让这个 f 等于几啊？等于零，那其实相当于一的 x 方等于 a， 那左右两边取对数不就是 x 等于捞 a 的意思吗？是这样一个意思吧。 那么现在的话，就有一个问题，其实你再往后边写的过程的话，有一个什么问题呢啊？想一想，我们主要是关注他的正负，对吧？后边先不用去管他， 你就想啊，有可能万一这个 a 是负数呢？如果 a 是负数的话，那这个时候是没有解掉，所以其实一开始的时候，你先不要着急去写那个零点先干嘛，先讨论一下。显然对于这样一个式子来说，如果这个 a 是小 于等于零， a 小于等于零的话，那负 a 不就是大于等于零吗？一个正数再加上大于等于零的数字，此时这个 f 撇他永远是大于零的呀。也就是说，当这个 a 怎么样小于等于零的时候，我这个啊，导航数永远为证，那此时 f x 在整个 r 上定义上就单独递增，他是没有 最小的那个值得，对吧？那这个时候就不用写了，肯定不符合提议啊。所以经过讨论排除法吗？那此时 a 肯定必须是大于零的， 这样才能保证 fx 有最小值，然后才能够说两个函数有有相同的最小值，对吧？好，现在的话，我们再让这个导函数等于零，然后再往后边写，对吧？嗯，也就是一的 x 方等于 a， 左右里面取对数， x 等于捞上 aa， 是这 后数，此时就有这样的值，对吧？所以显然什么呀，当这个 x 在哪的时候，当你在这样一个范围内解决着富无穷，就是在捞 a 的左边的时候，我这个导数很明显的嘛，它是小于零，那此时 fx 就是单调递减的，咱们写清楚就行了。 当你这个 x 大于 love a 的时候，我的导数怎么样啊？我这个导数就是大于零的。导数大于零，那不就是函数在 love a 的右侧，它叫 d 增的意思吗？先减后增，所以说 f 的最小值咱们就直接求出来了。 love a 这个地方就是个最小值，对吧？ 把这个最小值求出来之后的话，带入嘛， e 的 low a， 那根据对数横等式，其实它就是 a 啊，然后再减去 a 倍的 low a， 反正其中一个最小值已经求出来了，这个地方我们换一下圈一啊， 接下来干嘛？那就要求 j x 的最小值了。 j x 最小值怎么求呢？看了哈，首先还是这样，我们求完了 f， 那 j 的定义域也得求一下。这个 j 的定义域的话，它可就不是 r 了。为什么？ 因为你 g 它这个形式有捞 n 啊，所以它的定律必须得保证这个帧数 x 这个部分大于零，然后再对 g x 求导，它也是非常容易的啊，咱就直接写了， 那么继续往后写。那写一下嘛，分母是正数，那就是 a x 减。好，一定要注意，我们必须得保证 a 大于零吧。在 a 大于零这个前提下， 咱们只需要保证分子，它的正负其实就已经保证了 j x 这样一个导函数的正负了，是不是？所以呢，让这个导函数等于零，我们 x 等于 a 分之一。那么稍微讨论一下你就知道， 当自变量在零到 a 分之一之间时候， j x 它这个导数为负吧。那此时其实 j x 就是单调递减，然后 a 分之一到正无穷，我这个 j x 啊，就单调递增，所以我两个最小值其实就求出来了，这个 j 的最小值呢， 就是这 a 分之一，你代入嘛？代入解析式里头， a 乘 a 分之一不对一减去 love a 分之一。但是呢，这个 a 分之一其实我们可以写成 a 的负一次方，把这个负一提到前头来，负负得正了，所以我们最好把这个最小值写成一加 love a。 是这样一个道理啊，我们看一下圈一和圈， 他不是说圈一和圈必须有相同的最小值吗？其实你只有让圈一和圈二这两个值画等于号就行了，是吧？所以呢，根据题啊，也就是说这 f 的最小值，他是等于 g 的最小值的。那根据刚才我们求的圈一圈二的值，其实不就是 a 减去 a 倍的浪漫 a， 他是等于多少啊？等于一加上浪漫 a 的，而且我们之前已经讨论过了， a 的值肯定是一个正数， 那么接下来就是怎么去求这个 a 很难呢？其实不是很难啊，关键部分是哪呢？不顺眼呢？其实就是这个 对数的部分不太顺眼。我们单独把这个对数拎出来，能清楚这个意思吧？对数单身狗吗？指数找基友对吧？对数得单独拎出来， 单独拎出来的话，等价于就刚才我们写的这样一个式子，我们稍微拎一下啊，乱， a 单独移到一边，那就变成了一加 a， 然后呢，右边也移一下吧，变成了 a 减一。所以说这个劳文 a， 大家放心，画圈部分这个作为分母是可以的，因为一加上正数， a 是一个正数，所以做分母没有任何问题啊，我就写成一加 a 或者 a 加一都一样 行了，是不是啊？这样的话对手就专门分开了，分开以后变方便求导嘛。其实也就是 low a 等于什么啊？ low a 减去右边这个 a 加一， a 减一，它是等于零的， 这个时候 a 确实是个正数啊，那这个式子的话，我就画成这个圈三吧，根据这个式子，确实可以把 a 求出来。怎么求呢？我们引入一个函数， 对吧？也就是说 a 把它看成先看的一个变量，看这个变量之后，求出来是不是唯一的这样一个值啊。好了， x 加一分之， x 减一，那此时 x 肯定大于零，因为我们 a 的方法就是刚才讨论 我肯定是大于零的啊。对， h 这样一个函数呢，在零的中，从这个范围内求倒左边的话其实很好求，右边的话也好求啊， 那么最终的话就变成了 x 加一，减去 x 减一。这个稍微处理一下啊，我就直接写了，因为求导的过程还是比较容易的，相对来说，通分 通分以后，最终求到的结果是 x 乘 x 加一的平方，这分母啊，不用多说了，肯定是正数乘正数是正的，对吧？我们只需要关注这个分子啊，分子的话整理之后是 x 方加一。哇，好像分子和分母都是正的啊，只要分子和分母都是正的。原来导函数 他怎么样，他在零到正无穷永远是正数。所以说这个 h x 在他的定义域零到正无穷这个范围内吧，肯定是单调递增的。是单调的， 那有没有点呢？有，比如说这就是 hx 这样一个草图，我们只要求出来，懂了吧？什么时候啊？一这个地方为什么要试一呢？因为你有劳恩劳恩。一是个特殊的值吗？是避不开的这个值。 那当我们算到这的时候， h 一等于零，而且还是单角递增的，能懂这个意思了吧？所以看了啊， h a 等于零， 等于 h 等于零，那么根据这个函数的单调性，此时这个 a 只能怎么样？只能等于一了，而且是唯一的，应该清楚了吧，因为 h x 是严格单调递增的，只有这唯一的一个结好了，第一问我们就求完了， 不是特别难，但是真的需要花一些时间。不是那种就是说我一写一求导就能得出结论来的题，是不是第一问还可以，现在我们重点是讲第二问啊，第二问，你看等差数列这 四个字，是不是有点心慌？其实也没有必要啊，如果说你做到这个第二问的时候，还剩下十分钟或者到十五分钟的时间，必然是可以把这个题做出来，是有可能的。那我们看一下这个题，第二个题的话，他说的是 y 等于 b， 他说是否存在一条水平的线啊？在平面，这叫做标题中 是否存在一条水平的线。外等硬币，它跟 f x 和 j x 呢？一共有三个不同的焦点，如果存在的话，你说明理由不存在，当然也得说明理由啊，并且得保证 从左往右这三个点的横坐标还是个等差数点，这对我们提出了很高的要求，怎么办？首先外和就是这个 f x 和 j x 草图是必然，你得画一画是吧？看了啊，由括号一我们已经知道一等于一了， g n a 等于一，那我此时这个 f 就应该写成什么？写成一的 x 方减去一倍的 x， 然后 j x 的话就是一倍的 x， 再减去 lon x， 对吧？没有参数了，参数 a 是一个确定的值嘛？ 好了，现在他俩的图像必然是完全确定的。那么由刚才括号一的讨论的话，我们其实也得出来了，这个 f x 他在什么范围内。 在负无穷到 lona， 那其实就是负无穷到零是单要递减的，零的正无穷是单要递增的。这个是刚才我们就已经讨论出来的啊，并且这个 f 的最小值 和 g 的最小值其实都是几啊？那肯定是都是一样嘛， f 零，你求一下 f 零嘛，其实最后求出来就正好是等于一，最小值都是一啊，这是刚才括号一告诉我们的。然后呢，这个 g f x 我们也是一会画草图的时候，你也得知道他在什么方面的呀？在零到 a 分之 a 分之一，那不就一分之一吗？零到一是单调递减，然后一到这种情况是单调递增的啊，他们最小值最低的那个点最小值都是等于一， 那现在其实我们是有必要怎么样？有必要把它的草图给画出来的。画出来这两个草图对吧？画完这个草图之后的话，大家注意了啊，我还是重新标注一下 gx 呢，它在零到一上是前一到中球，难道递增？那么画完这个图的话，看 零的话，一左边这个是 fx 图像啊，就这个，然后右边这个图像他才是 gx 图像，能分清楚吧？并且他这个水平线呢，就最低的那个点都是 y， 等于一，也就是说 b 肯定是比一要大一些，才有可能是三个角点或者 四个焦点啊。那写你接下来怎么办啊？接下来告诉我。接下来的话，其实有一个问题，就是这个 f x 和 j x 他肯定是交于 m 点，这个 m 点是横着外在零到一之间啊，比如说我们这个公共的焦点， m 点， 这个是必然存在的啊，因为你这个这他是在零到一之间是减的，然后他是增的，必然是有一个，看图就能看出来。 嗯，但是有另外一个问题，我这个 f x 在一的右侧，就这条虚线啊，在一的右侧，万一增长的很慢呢？ 我这个 f x， 然后这个 j x 越来越陡峭，越来越，就是他俩有没有可能相交呢？有可能相交，但是也有可能什么情况？也有可能。其实呀，你这个 f 是一个指数型的增长，他的 增长会特别特别快，按常理，按直觉来说，也就是说这个 f x 应该是永远在 j x 上方的， j x 增长再快也快不过指数爆炸，对吧？是有这样一个直觉，但是直觉不能当饭吃，不能写为过程，你得严格证明，在 e 的右侧， 我这个 f 永远在 g 的上方。这道题难点是在这的，清楚了吧？那现在我们来看一看啊，画完这个草图的话，肯定现在知道了在什么范围内啊？也就是说在零到一这样一个范围内，存在 唯一的焦点 m 点，这个点的话，横坐标我们就写成这样个样子，纵坐标的话，其实这个地方你写 f 也行，写 g 也行，这都是无所谓的。两个都相 相等吗？对吧？嗯，使得什么有有唯一的焦点吧，此时横坐标它是在零到一之间的，我们先写清楚，这个是可以直接下结论，但是另外的话，刚才我也说了呀，一的右边，你怎么证明 f 永远在 g 的上方？说一说用减法吧，是不是好看了哈，我们直接做一下减法， 这个减法呢，就是 f 减去 j， 那你减一式一带入呢？其实就是 e 的 x 方加 low on x 再减二了，这没问题，我说了，我们要证明的是 x 在一的右侧，所以后边这个范围也就是 u x 啊，是 x 大于等于一。讨论这样一个范围， 接下来就求导吧。求导这个还是容易的啊， e x 方，然后呢？再加上多少啊？求导以后的话，其实就直接变成 成了加上 x 分之一啊，后边这个是二 x 啊，这个是二 x 的话，那就得还再减去二了。求道得出来这样一个过程，那接下来又该怎么办？看他肯定 是要比谁大的，比这个一的 x 方减二大的，因为 x 分之一肯定是个正数，你就正数再小它也是个正数，对吧？ 好，我们看了啊，此时它大于谁呀？大于等于 e 的一次方减去二吧，因为这个单调递增的这样一个特点吧，它对吧？ ex 方，这个单调递增咱们不用正 大于零吧。好啊，原来它这个对于 u x 这个函数来说， u 这个函数在一到正无穷上，它的导函数是正的，所以说 u x 永远是单调递增。在什么方面内？在这个一到正无穷这样一个方面内，永远是单调递增。 原来是这个特点，我们求一下极端值，所以说 ux 肯定是严格的大于等于多少？大于等于优一的吧。你把这个优一带入，带入的话，咱们看一下这个值啊，优一优一，优一优一， 算一下是多少一的一次方加上捞 n 一，对吧，然后再干嘛？然后再减去二，他肯定是大于零的，这都不用多说， 行了吧？好，所以说呀，既然 u x 永远是个正数，所以那不就是 f x 减去 j x， 这就是 u x 的本身吗？大于零， 那 f 减去 g 大于零，不就等价于 f 永远是大于 g 的吗？在什么方位内？在 x 大于等于一的这样一个方位内，在这条竖线的右侧，确实，我们已经证明了 f x 这样一个图像，它永远在 g 的上边，也就证明了在右侧，在 e 的右侧， f 和 g 不可能再有焦点了， f 是永远在 g 的上方的，你看这一步是不是特别重要啊？好了，证明完了， 但是证明完之后的话，接下来我们要求什么？我们还得验证。验证这三个不同的焦点，就是这三个横坐标，就左边这个焦点横坐标，比如说是 a， 右边这个。呃，焦点呢？是 b， 我们还得保证 abm 究竟是不是等差数列，是不是有这样一个点在里头。行了，咱们来求一下啊， 继续往后怎么求呢？看好了啊。嗯，由图像我们可以知道。由图像和刚才的讨论吧，确实是存在 y 等于 b， 他跟谁啊？他跟这个 f x 还有 g x 共三个不同的焦点，咱们写清楚，确实存在，但是后半部分咱还得验证验证这三个横坐标究竟是不是等差数列，是吧？好，来验证一下啊。嗯，这样来， 既然 y 等于 b， 在图像中我们可以知道它必然是过哪个点，过这个 m 点，也就说横坐标是它，纵坐标是它必然是过这个点的。 所以现在我们可以列出两个十字啊。先看第一个十字啊，这个 b 肯定等于 f m， 这个都不用你说了， 是不是？而且它得等于 f x， 因为我们要求左边这个焦点 x 一，这个焦点嘛，对吧？这个横坐标一会再求 x 二。嗯，那怎么求呢？哎，带入啊， b 的话，我这样来写 f x， 它就是 e 的 x 方减去 x， 然后这个 f m 的话，那就是 e 的 m 次方减去 m b 的话，其实你可以写成 b， 也可以写成什么呢？也可以写成 gm， 因为 gm 和 fm 都是一样的，所以这个地方的话，其实我直接写成这个 gm 也是可以我写成 gm 了啊， 等于多少？等于 m， 再减去 low on m 吧。写成这个值之后的话，这儿有一个非常巧妙的铜构的这样一步。 嗯，什么叫同购呢？同购可以帮我们解出这道题来，也就说这道题它不仅有 x 等于 m 这个结，肯定还有另外一个结，也就是说，左边这个 x e， 它怎么去表示，怎么表示呢？ 来，我这个 m， 我一会要换了同购。根据只对同购的这样一个小技巧，这个 m 我应该换成一 e 的 low n m 哦，次方吧。所以啊，我这个 m 改一下形式，变成 e 的 low n 次方，你比较一下画横线这两部分不就是得出来了呀。所以说刚刚我写的这样一个值是多少？其中一个是 m， 你不用多说，咱先写上， 它是在这个零到一这样一个范围内的，然后另外一个值就是负的多少，其实也就是 low on m， 因为你 m 它是在零到一之间，你 low on m 肯定是个负数啊，不用多说吧。 还有另外一条，其实呢，我这个 j m 等于 f， m 等于 j x， 因为我除了求这个 x e 的值已经求出来了啊，龙 m， 我还得求这个 x 二的值，表示说 x 二这个值来横坐标，对吧？看一下这三个横坐标是否是成这样一个等差数列的。肯定是啊，我们求一下 好， g x 先斜，那么就是 i x 减多少？减去 l n x 嘛，然后 g m 继续写，那就是 i m 减去 l n m， 这个呢，也没有什么可说的。 然后右边呢，右边我这个 f， 我先写这个 f 啊， f 的话肯定是 e 的 m 次方减去 m， 其实这个地方的话，我跟大家说一下，也需要同构，你说同构什么？这个 m 还是根据同构的技巧，我们直接把这个 m 改成 low n e 的 m 次方，请你对比一下画横线这两部分，这个画圈部分不就是 x 值，所以清楚了吧，也就说我在图里头画的这个 x 知道是多少吗？肯定啊，其中一个是 m， 这个 m 的值是零到一，不用多说。那另外的话，看 看多少一的 m 次方吧，一的 m 次方显然他就是大于一的。现在清楚了啊，所以这个 x 横坐标，三个横坐标我们都求出来了，一个横坐标是他，一个横坐标是他，是不是？所以现在看好了啊， 现在我们只需要证明这三个横坐标乘等差数列其实也就是谁呢？也就是 这个。嗯， m 减去 l， n， m 等于 e 的 m 次方减 m。 请告诉我它成等差数列吗？ 他就是乘等差数列的呀。就是这三个横坐标，他是乘等差数列。为什么乘等差数列？因为你这个等号其实相当于谁。左边你看一下这个式子嘛，他实际上就是 gm 啊。右边你看一下这个式子，他是谁啊？他 实际上就是 fm。 你说是不是？成成等函数列？是，所以到最后咱们写一下答话就行了。那个答话我就不写了啊，怎么写答话呢？确实存在这样的直线歪动硬币，他跟两条 曲线有三个不同的焦点，并且这三个焦点的横坐标成等差数列我们已经证明完了。现在应该清楚我的意思了。分享课堂知识，感受数学之美。我是杨万老师，下节课再见。
1871会放羊的教书匠
