甲卷数学15题
今天我们要讲的是二零二三年全国甲卷。好了，我们来看十五题。十五题说是一个正方体，那我们给出一个正方体， 这个正方体给出以后，它现在告诉我们说是 e、 f 分 别为 ab， 那 我标一下呗。这是 a， 这是 b， 这是 c， 这是 d， a 一 b 一 d 一。 现在告诉我 ef 分 别为 ab 和 c， 一 得一中点，这是 e， 这是 f。 那 么现在以 ef 为直径的球， 以 ef 为直径的球怎么想？那么这个时候我给出一个测试图，好吧，测试图，那么现在是不是你的对角线就是我的直径， 可以吧？你的对角线就是我的直径。然后我现在需要画出一个圆来，好，哎，当我，哎， 好，就这样吧。可以吧。我们发现它怎么样？它是不是和每个棱都相？ 哎，他就是鼓起来的，对不对？哎，这个，这个，这个题有意思，把？ e、 f 一 连，那球心位置在正中间，没问题。那你画出来的侧面是不是长这样？ 是不是长这样？可以吧，那你这面的面是不是也是这样？哎，那，那我就想明白了。哦，这个题 计算不难，计没？没，可以说没有计算，就看你怎么想的。这，哎，你，我现在画的这个图，你注意看，我打五角星，这里，这个图既是他的正，呃，侧视图，正视图是不是也长这样？ 俯视图是不是也长这样？是不都一样？那横，从图上应该非常清楚地发现，它会和正方体的每条棱的中点相切，对不对？ 他会和这个正方体的每个棱的中点相切，就刚刚的 e 在 这， f 在 这。啊，好，是不是这个点在球面上这个点在球面上，这个点在球面上，这个点也在球面上，那是不是反之亦然啊？可以吗？你是直径啊， 能理解不？那是不是这四个也是一样啊？那一共有多少棱就一共有多少公共点，那么正方体有十二个棱，所以说它就有十二个公共点，这样想能想明白不好？这个题就到这里。
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03:11查看AI文稿AI文稿这道椭圆题呢，实际是非常的简单的， f 一 f 二为椭圆的两个焦点， p q 为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且 p q 等于 f 一 f 二，则四边形的面积 为多少？我们先根据题目的描述画一下图形， f 一 和 f 二为椭圆的两个焦点， p q 为椭圆上关于坐标原点，我们设坐标原点为 o 对 称的两个点，并且呢， p q 的 长度等于 f 一 f 二， 那么这个点 p， 这个点 q 啊，它是关于坐标原点对称的，长度等于 f 一 f 二，我们求四边形 p f 一 q f 二的面积，求这个四边形的面积。我们看呢，这两个 是这两条线呢， p q f 一 f 二是这个四边形的对角线，这两个对角线是相互平分的，并且对角线的长度相等，我们根据这条，我们就可以判断出这个四边形为一个矩形。 那么好了，我们设句型的两个边长分别为 m、 n， 那 么根据椭圆定义，我们知道 m 加 n 就是 这个两个长度的和，那么等于二， a 等于二， a 的 长度是四，那么它等于个八。我们再看，因为这是一个 直角，所以说这个三角形 f 一 f 二， q 为一个直角三角形，那么它满足勾股定律，我们知道 f 一 f 二，它的长度得二乘一个二倍的根三，那么这是 焦距等于四倍的根三，那么它满足勾股定律，就是 m 方加 n 方等于四倍的根三的平方就是十六，乘以个三等于 四十八，那么这里 m 加 n 等于八， m 加 n， 我 们两边都取平方， m 方加 n 方，加上二倍 m n 等于个 六十四，那么这两个式子一连律相减二， m， n 就 等于个十六，十四减四，十八 等于个十六，那么 m 乘 n 就 等于个八，那么由于这是一个句型， m 乘 n 就是 这个句型的面积，所以说这个句型的面积就为八。
02:47查看AI文稿AI文稿二零二二年全国假券理科第十五题，这是一道求概率的题目，从正方体的八个顶点中认取四个， 则这四个点在同一个平面的概率，那实际上呢，这属于一个古典概型的问题，那么这里面我们知道古典概型的概率，它等于满足条件的事件的个数比上基本事件的总数。那首先呢，我们画图来研究一下。 好，那么这个概率，那首先我们可以写出他这个基本时间的总数，八个零点取四，任取四个， 那就应该是 c 八四，这是总数，那符合条件的就是我们取出这四个点在一个平面内的。那这里边呢，首先我们可以考虑他这个六个表面 是不是都是符合条件的？你比如说上上底面啊，这四个点是吧？在一个平面内，然后比如说侧面 右侧这个面，这四个点在一个平米内啊，这六个面，六个表面都是符合条件，就是六个，那除了六个表面之之外还有什么呢？还有就是六个对角面， 对角面啊，比如说我们看 是不是，我们看这个，咱们换个颜色， 你看这个对角面是不是这四个点在同一平面内？同样 这四个点是不是也在同一个平面内？那么这是两个，那同理，前面这个面， 这两个对角线连上对应的这个得到两个对角面，然后侧面这个面也有两个对角面，是吧？一共就是几个呢？六个对角面也是符合条件的， 因此我们这个概率值上面是十二，底下呢，我们看 c 八四，那 c 八四应该是多少？八乘七乘 六乘五除以四乘四乘三乘二乘以二，三得六，肯定约了，这个约下是二，底下是多少？七十，然后我们再约个二三十五分之六，所以这个概率就是三十五分之六。
184延龙高中数学
04:11查看AI文稿AI文稿那个已知 cos a 分 之 b 方加 c 方减 a 方等于二，然后把它变形。 呃，把 cosa 和二的位置互换一下，变成二分之一方加 c 方减 a 方等于 cosa， 然后由于先定义者 嗯考点 a 等于 g 方加 c 方减 a 方比上二 b c， 然后两个式子连的就是 b 方加 c 方减 a 方 比乘二，等于 b 方加 c 方减 a 方比上二 bc， 然后就能得出 bc 二 bc 等于二，然后 bc 就 等于一， 然后用余弦定比把 cosine b 和 cosine a 都换成边的形式就是 a 乘以 a 方加 c 方减 b 方， 一张二 a c， 然后再减去 b 乘以 b 方加上 c 方减 a 方， b 上二 b c， 然后再 b 上 a 乘二 a， c 分 别 a 方加 c 方减 b 方， 再加上 b 乘以二 b， c 分 之 b 方加 c 方减 a 方，然后再整理就变成了 二 c 分 之 a 方分之二， c 分 之 a 方减 b 方，然后最后整理就等于 c 方分之 a 方减 b 方，然后带入式中等于 c 方分之 a 方减 b 方，再减去 c 分 之 b 等于一。在等式两边同时乘以 c 方，又变成了 a 方减 b 方减 b， c 等于 c 方， 然后再经过整理，等于 b 方加 c 方减 a 方， b， c 等于负一， 然后由于先定义得 cosa 等于 b 方加 c 方减 a 方比乘二 t c， 然后得出 cosa 等于负二分 之一。呃，然后用 cosa 和 cosa 之间的公式算出 cosa 等于根号下减 cosa 方。然后又因为角 a 在 三角形 a、 b、 c、 d 中， 所以角 a 是 属于。在三角形 a、 b、 c 中，所以角 a 是 属于零到 k 的， 所以 c a 的 值是为正。 然后求出 c a 等于二分之二，然后由三角形的面积公式得三角形 a、 b、 c 的 面积等于二分之一，乘 d、 c， 再乘以 c、 a， 然后代数可能得出三角形 a、 b、 c 的 面积等于四分之二三。
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07:36查看AI文稿AI文稿这道题呢，很有意思，它是一道披着解三角形外一的基本不等式的题， 说的有点绕啊，就是看似它是一道解三角题，实际呢，它是一道基本不等式的题。我们根据题目的描述，先把图画一下三角形 a、 b、 c 中点 d， 在 b、 c 边上画一个三角形 a、 b、 c、 d 在 b、 c 边上角 a、 d、 b 等于一百二十度，那么这个角 a、 d、 b 是 一个 钝角角 a、 d、 b 等于一百二十度， a、 d 等于二倍的 b、 d。 那 么我们设 b、 d 等于 m 的 话， c、 d 就是 个二 m。 当 a、 c 比上 ab 取得最小值时，求 b、 d 等于多少啊？我们求的不是 ac 比上 ab， 是 求 ac 比 ab 取得最小值时， b、 d， 也就是这个 m 等于多少， 这个角呢，是一百二十度，这个 a、 c， 那 么我们暂且我们用这个小写 b 来表示 ab， 那 么我们暂且用这个小写 c 来表示求呢？当这个 b 比 c 取得最小值是 m 的 去值范围，我们看在这个三角形 a、 b、 d 当中， 这个边等于二，这个边我们已经设出来等于 m， 这个角已经有了，那么它的对边我们 可以求出来这个对边就是 c。 同样在这个三角形 a、 d、 三 a、 d、 c 当中呢啊，我们通过余弦定律啊，因为这个角是六十度，这两个邻边也知道了，我们也可以求出这个对边 b。 那 么按这个思路求一下 b 方，在这个三角形当中，等于这个 a、 d 的 方就是四方四加上二 m 方是四 m 方减七个二乘以二乘一个二， m 乘一个 勾塞角 a、 d、 c 也就是六十度，那么它就等于这十个四 m 方 加四，这是个二分之一，二分之一乘以二啊，等于个一，这里是个减减，这是二乘以二 m 相当于减 c m， 这是 b 的 平方，我们同样的方法，用余弦定理可以求出 c 的 平方，等于还是邻边 四，加上 m 的 平方，减七个二，再乘一个二，乘 m 乘以，这是 cos 一 百二十度， 这里呢四加 m 方，这是负二分之一，负二分之一乘一个负二，变成了个一，那么只剩了一个二 m， 这是加上个二 m。 b 方 c 方，我们都已经求出来了，求 b 比 c 的 最小值，那么我们也可以理解成求 b 方比 c 方的最小值， b 方比 c 方， 我们直接就可以写出来，这是用 m 表示，就是四 m 方减四 m 加上个四，再除以，这是 m 方， 加上个二 m 加上四。我们这个式子做一下处理，因为这样太复杂了，我们怎么处理呢？我们可以把这个 分母先变成分子的四倍，就变成了四 m 方加上，这是乘四，就是八 m， 再加上这乘四是十六，这样的话，我们再需要减掉一个 十二 m 啊，才可以得出一个负四 m， 这里十六十六，我们再需要减掉一个十二啊，它才可以等于四啊， 为什么要这样呢？我们就是为了简化嘛啊，那么前面前面这一块啊，前面这一块， 我们就可以把它写成是一个四，这样再减去，这是十二 m 加十二，除以个 m 方，加上二 m 加四，我们现在求 b 方比 c 方的最小值，我们也可以认为是求后面这个数的最大值，求后面这个数的最大值，求后面这个数最大值。我们现在那么单独把这个数拿出来研究，是二位的，那么 我们看一下，这里提个公式，它也是个 m 加一， 哎，我们再看分子，分子呢，我们刚好也可以写成一个 m 加一的平方，这里再加上一个三，我们求它的最大值，求它的最大值。那么分子分母啊，我们都可以约掉一个 m 加一， 约掉一个 m 加一以后，分子就好了，就剩了一个十二，那么分母这是变成了 m 加一，加上三除一个 m 加一。是不是基本不等式的出行就出来了吧。我们求这个式子的最大值，那么分子是一个定值，那么相当于就是求分母的最小值。分母的最小值是什么？那恰恰利用基本不等式吗？就是它大于等于二倍的 给下它的相乘了啊，就是它的最小值。那么什么时候才能取得这个最小值啊？就是当 m 加一，等一个三除一个 m 加一的时候啊，这时候呢，求的是什么？求的就是这个 m 啊，那么我们就解这个式子就可以了，相当于 m 加一的平方等于三， m 加一等于正负三，它显然不能等于负三吗？它能，只能等一个正三， m 加一等于三， m 不等一个根三减一，这个 b d 等一个根三减一。看就这么简单啊，通过 两次运用余弦定律啊，完了以后呢，我们就将这个比变成了 m 的 函数， 变成这个函数以后呢，实际我们相当于就是求这个数的最大值，求这个数的最大值，我们再通过式子的变形，就把基本不等式给构造出来了， 所以说这道题就是披着解三角外移的基本不等式题。
03:36查看AI文稿AI文稿今天我们要讲的是二零二三年全国角卷。好，我们来看十六题，结合结合十二题来看，十二题考了三、三角形的中线， 十六题考了三角形的角平分线，那么通过这张卷子上来说的话，就是解三角形这里的内部线条问题，我们几乎基本上大致就可以分为这两类，基本算法就离不开这两类， 那么出现了角平分线，那无非就是双正弦去算比值，或者说用什么呀，等面积法去算。那我们画图， abc， 现在告诉 ab 的 圆就是小 c 的 圆，可以吧？ bc 等于根六，那就是 a 等于根六。好，这里是根六，然后告诉了角 bac 的 角平分线，那 bac 的 角平分线假设长这样吗？这里是得，可以吧，这是角平分线 r 法， 阿尔法，而且我们知道角 a 是 六十度，现在要算 a 得的长。哎，真的，这跟十二题特别特别像啊，两个题可以作为同样的知识点的复习啊。 那么这个题算法当然有很多建议，就是等面积法就可以了，因为他问的是个具体的线段长，而不是比例问题。如果是比值问题的话，那我们肯定会选到双正弦，就是在 a、 c、 d 当中摆正弦定力， a， b， c， a， b， d 的 当中摆正弦定力啊。 好，这个题到这里，接下来我们继续去算。首先考三 a 考三， a 等于二分之一等于多少？二， b， c 分 之， b 方加 c 方减 a 方，那我们把已知直线已知线段带进去就行， b、 c 对 不对？那就是二 b 嘛，就等于多少？ b 方加四再减六，那就是 b 方减二，可以吧？那么 b 方减二， b 减二等于零，这个好解吗？ b 方等 b 就 等于多少二分之二加减 b， 平方四再加八十二，二倍根三，可以吧。所以说 b 等于一加根三，或者 b 等于一减根三，那一减根三肯定不行嘛。边长哪有负值来着？小 b 算出来了， 小 b 算出来了，以后接下来我要算 a 得长，那么用面积法就行。那么 s 三角形 abc 就 等于 s， 一 加 s 二，一是上面，二是下面。好，它就等于二分之一 bc 三 a 对 不对？三， a 是 二分之一，是二分之根三就等于多少？二分之一 a 的 长为 x 吧，是不是？ x 乘 b， 再乘以三十度，二分之一 x 乘以 c， 再乘以多少？ 再乘以 c， 再乘以二分之一，没问题吧？好，二分之一，二分之一，二分之一全约掉，那么再约一个二吧。再约一个二，再约一个二，那就是根三 b c， c 等于二二 b 就 等于多少？ b 加 c， 那 就是 b 加二倍的 x， 可以 吧。那么现在我知道 b 等于一加根三，整理一下算一下不就完了吗？好， 二倍根三倍的一加根三，就应该等于三加根三倍的 x， 三加根三不就等于根三倍的根三加一吗？可以吧。约掉约掉 x 等于二。所以说 a 的 长度等于二。这个题非常。呃，这考的比较直白。直白啊，像十二题和十六题，你可以放到一块去看解方程 最难的两个专题无非就是解三角形最值问题和多三角形问题嘛，就是里面画线这种情况。好了，我们我把它叫做跨三角形问题啊，同学们做个梳理，这个十二题和十六题放到一块去整理就可以了。
10:39查看AI文稿AI文稿今天我们要讲的是二零二四年全国甲卷。好了，我们来看十六题。这个题比较难啊，六个相同的小球，分别标有一二三、四、五、六，无放回取三次，每次取出来一个球 既 m 为前两次取出的球的数字的平均值， n 是 三个球的平均值，则 m 和 n 的 差值。哎呀，要不大于二分之一，那我设假设他取出来三个是 a 和 b 和 c 吧。 a 和 b 和 c， 那 么小 m 就 应该等于二分之， a 加 b， 小 n 就 应该等于三分之。 a 加 b 加 c， 可以 吗？ a 加 b 加 c， 那 么现在 m 减 n 的 绝对值要小于等于二分之一，整理一下三， a 减二 a， a 加 b 减二， c 的 绝对值要小于等于三，可以吧？好，那么接下来我们考虑一下总情况的问题， 总情况有多少种呢？呃，我建议考虑，就说是我需不需要在于顺序，因为是加法， 我可以不考虑 ab 的 顺序，能理解不？所以说我就是 c 六二，最后再挑一个 c 四一，一共是六十种，这就是总情况，可以吧，我标到后面去了啊。好，那么接下来这个题分两个解析思路。第一种的话就说是 我可以把 a 加 b 当做一个整体，我也可以把 c 当做整体，都行，都行啊，那我们先把 a 加 b 当做整体来看吧。 a 加 b， 那 最小取到三四五六七八九十十一，那么你要取三的话，那你是不是就对应的是一二 一三一四一五一六。好，二二三二三是五啊？二三二四二五二六三三四是七，三五是八， 三六是九，可以吧？好，四四五是九， 四六是十，五六是十一。一共 a 加 b 会出现这么多种情况，对不对？这个表格很重要啊，而且我们应该能用，看出来，待会可能会用到，对称性好。第一种情况，我们一个一个来分类。第一种情况， a 加 b 等于三十， a 加 b 等于三，那么三减二， c 的 绝对值要小于等于三，那么是不是二 c 就 应该属于多少？是不是负零到零到六 可以吗？那么 c 就 属于多少？零到三，零到三，那么 c 的 值可以取多少？是不是一二三？因为 ab 已经取了，取 ab 加起来等于三的话，他有一二这种情况，所以说 c 不 能取一二，那么 c 只剩下三一种情况 可以吧？好，同理。接下来第二种情况，如果 a 加 b 等于四呢？ a 加 b 等于四的话，那么二 c 的 范围就属于多少？ 是不是负一到七化解完 c 就 应该属于负二分之一到二分之七，那在这里面， c 的 值还是一二三， c 的 值还是一二三，但是 a 加 b 等于四，是不是把一和三去掉了，所以它也只剩一种情况，只能取二， 可以吧，所以他还是一种情况。行，继续。第三种情况，如果 a 加 b 等于五呢？ a 加 b 等于五，分为一四和二三两种情况， a 加 b 等于五，五减某个值的绝对值要小于等于三，所以说二 c 的 值应该属于二到八， c 的 值应该属于多少？一到四，那么 c 的 取值就应该是一二三四， 因为第一种情况，我把它复制一下啊。好，因为第一种情况 ab 取得是谁啊？一四，所以说我只剩两种，二三里面取。第二种情况， ab 取得是二三，我只能取一四，也是两种，能看懂不？ 可以啊？好，继续，这个先放一边。第四种情况，如果 a 加 b 等于六，是不是也分为两种，一五和二四， 那么 a 六减去二， c 要小于等于三，那么就是六减三，六加三是不是三到九？二 c 属于三到九，那么 c 就 应该属于二分之三到二分之九，那么是不是 c 的 值还是二三？呃，能去二，能去三，能去四， 取不了五二三四。那么因为你现在第一种情况，你 ab 取的是一五，不相关，不相关，是不是三种情况？如果 ab 取的是二四，是不是只剩一种情况？没问题吧？好，第五种分类方式。 第五种分类方式， a 加 b 等于七，这个复杂，它分为三种情况，是一六二五三四 七减三是四，七加三是十，四到十，那么 c 就 属于多少？二到五，那么 c 就是 二三四五。 那么第一种情况，如果 ab 取得是一六的话，那么它是不是有四种情况？如果 ab 取得是二五是不两种， ab 取得是三四是不两种，可以吧？好，第六种情况， a 加 b 等于八， a 加 b 等于八，那么二 c 的 范围就是八减三，八加三，八减三是五，八加三是多少？十一，二分之 c 就 属于二分之五到二分之十一，那么 c 就 应该等于二分之五到二分之十一三四 五能取六吗？取不了六，那 a 加 b 等于八的话，分为两种，二六和三五。如果取的是二六，是不是三种情况？如果取的是三五，是不是一种情况？你发现了没有？对称啊？对称，所以说总情况六十种， 那么这种情况下，我现在算出来它俩的和，它就是一加一加二加二， 再加三，再加一，括号乘个二，再加四，再加四，可以吧？这是二、四、六 十二十二十八种情况，也就是一共是二十八种情况，二十八种情况出来以后就是二十八，比上六十就是答案。除个四七四的话是十五十五分之七，这就是我们不大于二分之一的概率， 楞想通过。好，这是用把 a 加 b 作为分类的方式，可以吧？ a 加 b 作为分类的方式，没问题的话，我们再用 c 来做一次分类，我把它擦掉了啊。好， 那么 a 加 b 没问题的话，上面就快都留着，我先从 c 入手。那么你 c 能取的值是不是确定的？ 我刚刚这里是不是分了，要分多少种情况？八九种情况来着，可以吧？九种情况来着。那我如果用 c 分 类的话，只需要分六种情况，能接受吗？ 因为 c 的 取值只能是一到六嘛。好，我们一个来看。第一种情况， c 如果等于一，那么 a 加 b 减一，要绝对值要小于等于三，那么是不是 a 加 b 属于二到四，可以吧？ a 加 b 属于二到四， 那 a 加 b 属于二到四的话，在二到四当中，那只有这两种情况，而且你还 a b 不 能取二到四。哎哎哎，二到五，我就说怎么回事？二到五可以吧？二到五， 二到五，在这种情况内，这里一共有四种情况，一二一三、一四二三，这里面 c 还 c 把 e 拿走了，只剩下一种情况，所以说它只有一种情况，可以吧？ 好，第二种情况，如果 c 等于二，那么 a 加 b 减四要小于等于三，那么 a 加 b 的 值最小一点的是不是一 a 加 b 应该属于多少？ 一到七没问题吧？一到七，那么一共就是有这么多种情况，一到七里边一共是三五九种情况，还不能取二 一二三四三四种，是不是剩五种情况？可以吧，剩五种情况。好， 那这就是五种。行，继续。第三种情况，如果 c 等于三，那么是不是 a 加 b 减六要小于三，那么 a 加 b 就 应该除以多少？是不是三到九啊？ 三到九，那三到九是不是有这么多种情况？这么多种情况里边，你还不能取三划掉划掉划掉划掉，剩下一二三四五六七八，剩下八种情况可以吧？好，把它 写出来，是不是八种情况可以吗？好，继续。第四种情况， c 等于四可以吗？ c 等于四的话， a 加 b 减八要小于三， a 加 b 就 属于五到十一，没问题吧？五到十一，多少种情况呀？五到十一，一共这么多种情况 里边，还不能有四划掉划掉划掉划掉，一二三四五六七八，是不是八种情况 可以吗？好，那么 c 等于五的时候呢，想必一定是五种。 c 等于六的时候呢，想必是一种，它是对称的，所以说是一加五加八乘以二， 是不是十四乘二二十八？二十八，比上六十还是十五分之七？答案是一样的。那么这两种分分类方式我觉得同学们可以参考参考啊。用 a 加 b 去分和用二 c 去分分，虽然分类的总数 可能 a 加 b 稍显麻烦，但是 a 加 b 去分可能能细致一点，因为它不会数错。用 c 去分，虽然分个类少一点，但我担心同学们会写错啊，尤其是你们不会像我一样可以返回撤销什么的，你们可能用笔去画，越画越描越黑了就好，这个题就到这里。
11:06查看AI文稿AI文稿有六个相通的球，分别标有数字，一、二、三、四、五、六啊，从中呢，无放回的随机取三次啊。每次取一个球，设 m 为前两次取出的球上数字的平均值， n 呢，为取出的三个球上数字的平均值， 则 m 与 n 之差的绝对值不大于二分之一的概率为多少。这是一个古典概型啊，古典概型， 古典概型。我们用事件的个数，就这个事件它发生的概率，用这个事件事件的个数除以整个的样本空间的个数。样，样本空间样本点的个数。 好，现在这个 n， o， m， g， 整个的样本空间就是它分顺序的话，六个重选三个嘛。啊，六五四 等于一百二十啊，等于一百二十种啊。那么我们现在看一下 n， i 啊，就这个事件，就这个事件，哎，它的这个样本点的个数有多少啊？我们不妨设这三个取出的数呢？依次为， abc 啊， a， b， c， 那 么这个 m 呢，就是二分之 a 加 b， n 就是 三分之 a 加 b 加 c。 然后根据这个题中的条件，就是他们的差就是 m 减 n 等于二分之 a 加 b 减去三分之 a 加 b 加 c。 呃，它要小于等于二分之一。 好，然后给它化简一下啊，两边乘一个六，三倍的 a 加 b 减去二倍的 n 加 b 加 c 减去六啊。 里面继续化简，就是 a 加 b 减二， c 消减六。好，接着呢就给它分类讨论了，对它负值分，分类讨论啊， 那么 c， 若 c 等于一， c 等于一时呢？就是 a 加 b 减二小，小于等于六啊，小于等于三啊。 我给它化简一下， 就是这个，两边乘以六， a 加 b， 这是三倍的 a 加 b 减去二倍的 a 加 b 加 c， 小鲤鱼二分之一乘六，哎，三。里边化简一下，就是 i 加 b， 减去二 c， 那 选就三，接着就是给它分类讨论啊，就对它负值 啊。第一种情况呢，就是若 c 等于一， c 等于一的时候，那 a 加 b 就是 减二了，小于三绝对值的号给它去一下， 就是 a 加 b， 减二大于等于负，三小于三，那它小于，呃五，三加二等于五，然后大于等于，本来是负一，但是说根据它实际情况啊，就大一点一吧。 然后呢，去看 a b 的 组合，这个一是不能要了哎，一共有五个数，在旁边写一下，一二三四啊，六个数，一二三四五六啊，好，一是不能选了啊，那接着对 a 和 b 赋值， 那可以取二三，那 a 等二， b 等于三可以，那么往后二四就不行了啊，然后再考虑到它的顺序呢，那么三二也行，所以这有两哎，两个啊。 那接着第二种情况，哎，若 c 等于二的， c 等于二的话，那就 a 加 b， 减去四，小于等于三， 那么推出 a 加 b 呢啊，小于七，然后大于等于，哎，大等于一啊， 那这里 c， 这个，这个二就不能要了啊，我们就二不能选了。 ab 对 ab， 二不能选了。好，那我们找一下那个呃，一三， 哎，一三可以，然后一四，哎，一五 一六，哎，这都行，然后再考虑到它的顺序，那对应的三一四一五一哎，六一。 好，然后再从这二本，再从三开始，那么三四哎，可以，然后呢？四三，哎，考虑到它的顺序，哎，往后就不行了哎，这有多少个呢？一二三四，二四得八，再加这两个，十个 啊，继续往下讨论。 哎，若 c 等于三，那么 a 加 b 减去二三得六啊，小于三，我推出 a 加 b 呢，它小，小于这个角啊，大于等于这个三。 好，一二三四五六一二竖写在这里啊，那这里 c 等于三了，所以 i b 的 选值呢？不能有三了啊，那么一二是不行的啊，一四 啊，一二是三，可以啊，一二可以，然后呢？这个，嗯，一四， 然后一五啊，这个一六，哎，这都行的，然后从二开始，那么二四，哎，二四二五 二六啊，也行啊，然后再三，不能选从四啊，四五啊，那四六就不行了 啊，这有多少个？一二三四五六七八二八一十六十六个啊，考虑到它的顺序，那我就不列出来了啊，再颠倒一下顺序就行啊。呃， 一二三四五六七八二八一十六个啊，好，再看，这个 c 等于四了， 第四了哈。若 c 等于四，那么我们的说是 a 加 b 减去二四得八，哎，小于三， 那么 a 加 b 呢？小于十一大于等于五，那负三加八等于五啊， 那么我们把它列出来，符合条件的。呃，这个 ab 的 选选，这个选值不能选四了啊， 好，一二一三都啊，都不行，然后这一四肯定不行，然后一一五啊，一五一六，接着我们看，二啊，二三可以啊，等于五， 然后这个二二四不行啊，四不能选了，二五，然后二六啊，然后再从三 三五啊，三六，然后再五，哎，五六一二三四五六七八二八一十六，哎，十六个啊， 好，接着继续啊。这个若 c 等于五，也就是 a 加 b 减去二五，一十小于三， 那么也就是 a 加 b 先于十三，大于等于七。好，然后对这个 ab 负值啊， ab 的 取值不能取五了， 不能取五啊，这个一啊，一，一五啊，一六啊，一六等于一六，一加六等于正好等于七，然后从二啊，二二只能二五，只能二五，但是五不能选啊，那就二六， 然后再看，再看三，嗯，三四，哎，可以啊，三六，哎，也可以的啊，然后再看四， 那么就是四六了啊，四六好，后面就没有了，一二三四五，二五一十好，十个好，接着呢，就是这个 c， 嗯， c 等于六， 也就是 a 加 b 减去十二，相当于三对 a 加 b 呢，学定十五大于等于这个九啊，啊，对 a b 负值 啊，当然不能取六了啊，好，一加到五都不没有九大好，只能从二好，二加到五呢，也没有九大好，三三加到五才八，也没九大从四了啊，那就是四五啊， 四五，还有这个五四，哎，两个啊，那么数一下，一共有多少个啊？这是 啊，这是二加十十二个，再加十六个，这是二二十八个啊，再加上这个十三十八，再加二四十，哎，再加十六五六啊，这个共五十六 啊，所以说这个 n i 呢，它等于五十六啊，这个 n i 等于五十六， 等于五十六，那么这个我们就可以可以算出来了，这个等于五十六，除以这个一百二啊，给它化减一下，除以个四啊，再除以个二 啊，等于十五分之七。 记得点赞关注哦。
94数理赴山河张老师
08:52查看AI文稿AI文稿这又是一道三角函数图像识别的题目，对于这样一个三角函数的部分图像，如图，满足这个条件的 最小正整数为多少，那么我们首要的任务就是把这个三角函数根据图像给它求出来。 我们先看这两个点，这是一个零点，这是一个最大之点，那么这两个点之间的距离就是四分之 三个周期，我们看这是两个点之间的距离是多少呢？是十二分之十三派，减去三分之派，那么他等于个十二分之九派，也就等于个四分之 三派，那么这个四分之三派的长度等于个四分之三 t， 所以 说 周期 t 就 等个 pi， 周期 t 等于 pi， 我 们可以求出欧米伽，欧米伽等于二 pi 除以个 t， 这个 t 等于 pi， 所以 说欧米伽就等于二。 这里 omega 求出来了等于二，接下来就要求这个 f， 我 们用整体法，咱知道呢，我们可以令 z 等于个二 x 加上 f 啊，因为 omega 等于二嘛，这样我们得到了函数 y 等于二倍的 cosine z， 那 么对于这样一个函数，当 z 等于零的时候， y 等于二，等于最大值，那么距离这个零点右侧最近的距离这个 z 等于零，右侧最近的 那个零点是 z 等于二分之 pi， 那 么同样，那么这个图像上距离 z 距离 x 等于零，最近的 这个零点是 x， 等于三分之 pi， 那 么我们根据这个条件呢，我们可以知道，当 x 等于三分之 pi 的 时候，这是三分之二 pi 加 pi 正极法吧，它等于 z， 那 么相当于就是等于一个 二分之 pi， 那 么这里我们就可以求得 f 的 负的六分之 pi， 那 么好了，这样函数 f x 我 们求出来了，得二倍的 cosine 二 x 减六分之 pi， 那 么我们求出这个以后呢？我们再可以求 f 负的四分之七 pi， 它得多少？那么还想让它得二倍的 cosine， 这是二倍的负四分之七就是负的二分之七 pi 减六分之 pi， 那 么它的那个二倍的 cosine， 那 么这里全是可以得正了，那么再扣除一个周期 二派，那么这时是呢？二分之三派加上个六分之派，那么这是个六分之九派加上六分之派是个六分之十派，那么等于二倍的 cosine 三分之五 pi q 三三分之五 pi 就 等于二分之一，那么二乘二分之一等于一啊。 f 负四分之七 pi， 这里等于个一。再看 f 三分之四 pi， f 三分之四 pi 等于二倍的，这是 q 三三分之 二倍的三分之四派是三分之八派减六分之派，这里等于二倍的 cosine 三分之二派减六分之派，那么这是一个二分派，那么 cosine 二分之派等于零啊，所以说这是等于零，那么相当于就是求 f x 减一 乘一个 f x 大 于零，满足这个条件时候的最小正整数 x 的 去括号，我们看这个满足这个不等式成立，我们可以求得这是 f x 大 于一，或者是 f x 小 一点，那么 f x 大 于一相当于就是 cosine 二 x 减六分之 pi 大 于 二分之一啊，大于二分之一，他求的是最小正整数，那么我们先看等于二分之一的时候是一个什么情况，因为这里求的大于二分之一，我们先求等于二分之一等于二分之一的时候，那么这个 x 啊，那么这个二 x 减六分之派啊，那么我先看一个最小的吧，啊，这里它是应该等一个三分之派啊，大家在这个位置啊，等一个 三分之派，二 x 减六分之派，等于三分之派，这时候 x 就 等一个 四分之 pi 啊，那么大概在这个位置啊，四分之 pi， 这是二分之一啊，那么要大于二分之一的话，那么应该是在 这个位置啊，这个位置，那么它要大于零，它要大于零，那么我们看这时候是这个 x 等于四分之 pi， 它是小于 整数一的啊，在大于零这个区间，它是小于这个整数一的啊，所以说，那么它在小于一的情况下啊，它是不存在大于二分之一的。 或者换句话说，他在大于二分之一的时候，他不存在正整数啊，因为这时候他是四分之派，四分之派他小了一。那么当然了， 如果是在这个二分之一的情况下啊，满足大于二分之一的情况下，那么在 这个区间啊，它是存在一个正整数的，但是呢，这里求的是满足这个条件的一个最小的正整数，那么大于二分之一，在这个区间 啊，它不存在正整数，那么我们再看这个 f x 小 于零的时候，那么 f x 小 于零，比如说这是在这个区间啊，这个区间啊，它的最小的正整数是多少呢啊？这时候是 x 等于一个三分之派，它等于零。那么第一个零点是什么？第一个零点是，我看二 x 减六分之派， 应该是等于二分之三派啊，因为这个零点是二，二 x 减六分之派，等于二分之派，那么这个零点就是二 x 减六分之派等于二分之三派，那么这时候我们可以得出 x 它是等于，这是我们看六分之派， 这是六分之九派，三分之五派，那么二 x 它是等于一个三分之五 pi 啊，那么这里 x 等于六分之五 pi 啊，那么相当于这个零点就是六分之五 pi， 我 们在三分之 pi 到六分之五 pi 这个区间，这个函数 f x 都是小于零的，那么在这个区间它存在一个最小的正整数是二， 那么这时候他就满足这个不等式成立了，所以说那么整个满足这个不等式成立的最小正整数就为二啊。当然了，如果是这个区间也存在个正整数的话，那么他也是不满足最小的，因为这个最小就是这个二。
07:53查看AI文稿AI文稿某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后呢，从该工厂甲乙两个车间的产品中随机抽取一百五十件啊，进行检验，数据如下，好，甲车间 啊，优，呃，这个优，极品二十六，合格品二十四，不合格零，总计五十一。车间的二十八，不合格二，总计一百啊。 好，第一问是填写如下列联表，甲车间的这个优级品啊，优级品二十六啊，非优级品呢，那就是二十四。乙车间优级品七十，非优级品二十八，加二啊，等于三十个。 好，能否有百分之九十五的把握认为甲乙两车间产品的优级率存在差异啊？就是它的优级率与它这个所属的车间有没有什么关系啊？有没有百分之九十八的百分之九十五的把握认为有关系。 好，能否有百分之九十九的把握认为啊，甲乙两车间产品的优级率啊，存在差异。好，我们先算一下它这个卡方值啊，下面有这个公式给出来了啊，算下的卡方值，那这个 n 呢？就是这个整个的一百五， n 就是 整个的一百五啊，啊，里边是。好，来，我说一下这个这个式子怎么用的啊？这是 abcd， 里边是 a d 减 b c， 然后括号的平方，也就是二十六乘以这个三十，减去二十四。呃，乘以七十，然后重方，然后除以 除以。下面的数据呢，就是这四个数据了，五十一百。啊，啊，还有他俩加的一块啊，他俩加的一块是一九十六，他俩加的一块，是啊，这个五十四， 所以说下面是五十乘以这个一百，再乘以这个九十六，再乘以这个五十四。计算的时候呢，讲究一点技巧啊。嗯，比如说这里面呢，都有十啊，我们给他提出来十的平方就是一百， 看，这不都有十吗？十的平方呢，又是一百和下面这个一百就约去了，所以上这个一百五和五十呢，一约呢，他有个三啊，所以说里边还剩一个二十六乘以三减二十四乘以七平方， 然后下面再写个九十六乘以个五十四啊，继续看能不能这个约分啊，我们可以再提出一个啊，这个三可以给他约一下 一四，嗯，一三得三三八二十四。好，这里边呢也可以再提出一个，提出个三啊，提出个三的话就是个九， 因为三的平方嘛，里边是二十六，减去这个还剩个八，提个三还剩个八，嗯，七八五十六啊，把八乘以七吧的平方。 对，先不要给它乘了啊，九十六乘以这个十八，哎，九和十八约一下这个二啊。 好，这里面还继续给它提个，提个二啊，提出来平方就是四了啊，然后里面这是十三，减去这个题四七二十八啊，平方啊，九十六乘以这个二。 好，这还有个二。再约一下，二四得八二八一十六啊，这是四十八分之啊。 实际计算的时候这都打草稿啊，上面是十五十五的平方，就十五乘以十五啊，约一下，三五一十五，一三三六一十八 啊，七十五，然后除以这个十六啊，七十五除以十六啊，可以算一下，它约等于是四点六八七五。 好，四点六八七五。然后和这个下面这个表格比较一下，它是大于三点八四一，但是小于六点六三五的，这个是对应着百分之九十五就是零点九五嘛。好，这个呢，就是百分之九十九的把握， 所以说介于这两者之间，大于它，小于它，所以有百分之九十五的把握啊，认为这个这个这个抄一下就行啊，然后没有就百分之九十九的把握，哎，这个抄一下 好，这个第一问，主要就是计算公式都有啊。好，第二问，已知升级改造前该工厂产品的优级率 p 等于零点五， 改造前它 u 极率 p 等于零点五。好，设这个 p 呃， p 杠为升级改造后抽取的 n 件产品的 u 极率， 那这个改造后它这个 n 件产品的优级率，那就是拿它这个优级品这九十六看，这个是九十六，然后一百五十件啊。嗯，这个简单算一下啊，这个零点六四 啊。那么如果改造后的这个呃 u 级率呢？它大于 p， 这里 p， 就是 前面说了，升级改造前它这个 p 呃，是零点五 啊， p 零点五。代入算一下啊，如果 p 杠大于这个值，则认为该工厂产品的 u 级频率提高了。 根据提取的一百五十件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后该工厂产品的啊优级频率提高了，那这个 p 杠我们已经算出来零点六四，那接着我们再算一下后面这个值啊， 比较一下它俩大小。这个二，好， 这个 p 加上一点六五啊，根号下啊， p 一 减 p 吹，这个 n， 你 再算一下，这是零点五，加上一点六五乘以啊，根号下， 这是零点五乘以零点五，然后除以个一百五，这个根号一百五给出来了啊，约等于零点五加上一点六五乘以零点五。上面好，下面呢？就是进四值十二点， 呃，二四七，好，这个算一下它是约等于零点五六七， 好，所以说我们可以做到它啊，所以，哎， p 杠呢？它是大于 p 加上一点六五，哎，根号下 这个 p 一 减 p， 哎，除以这个 n 啊，所以呢可以认为啊，能它这个生产线的 u g u 级 u 级频率提高了啊， 记得点赞关注哦。
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01:11查看AI文稿AI文稿露露，这个数会读吗？个位？十位，百位。哎，停停停，这样读太慢了。大数的读法第一步要先分级。对，从右往左，每四个数为一级，我们一起来分一分，一、二、三、四， 那么这四个数就叫做个级。个级继续往前，一、二、三、四这四个数我们称为万级。一、二、三、四这四个数我们就称为一级。 读的时候我们只需要从最高位开始，一级一级的往下读，每一级的读法都是相同的，只不过一级和万级我们得加上吉名，也就是一和万。 跟着老师一起读。三千四百七十九亿四千六百三十二万五千七百六十三。看不就读出来了吗？怎么样，会读了吗？哇，老师，我会了。
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