乙卷退出
粉丝79.7万获赞1678.4万
相关视频
17:31查看AI文稿AI文稿大家好，今天呢，我们来讲一讲二零二三年，也就是去年全国一卷的导函数压轴大题。这道题第三问，如果你知道用这个洛比达法则的话，很快就可以解决了，那么我们来看一下这道题。这道题的话，前两问非常简单， 我呢做了十分钟以内就完全解出来了，但是最后一问我承认花了二十多分钟时间啊。那我们先来看第一问吧，非常简单的一个问题。那么首先你把 fx 的解析，是因为它 a 已经等于负一了吗？这个地方就是加上负一了。然后呢， 你把这个一带入是不是 f e 此时非常简单，因为 f x 它是等于 x 分之一减一，再乘这个劳安 x 加一的。然后你把 f e 带入以后，一分之一再减一，这不就零吗？所以首先咱们可以得出来的是它的点是多少啊？其实这个点非常 简单吗？他这个切点坐标就是一道号零，那么光有点不行，还得有斜率，斜率好求吗？求导就行了，求导以后的话， f 撇一到函数在一处，那个指呢就是他的斜率，你看斜率是负的，老板二 点也有了斜略也有了电斜式方程吧， y 减零等于多少？等于负的 loner k 倍的 x 减去 x 零，那就是 x 减去一了， 嗯，然后呢，减零相当于不减嘛，所以最后直线方程就是它大。不过你最后呢，把这个负的老二把这个括号啊打开，那其实就是负的老二乘 x 是吧？ 然后再加上老文二就行了。这个还是非常简单的第一问。那么现在我们继续来看这个第二问啊。第二问的话说的是关于函数的对称性，这个新的函数我们继承 大 f 啊。其实所有的函数问题的话，首先应该考虑的是定义域，原来这个函数的定义域咱们就不多说了，我觉得还是很简单的，就是负一到零，在病上，零到真无穷。 为什么会有这样一个范围呢？首先就是 x 加一得大于零吧，这个就得出来 x 大于负一了，那其次你这个 x 作为分母的话，分母不能等于零，是不是？所以就原来这个函数定义也很好得， 那所有的函数问题，新的函数定义也得知道吧。新的函数定义怎么求啊？来，请问这两个圆圈里头他的范围一样吗？肯定一样，因为他只有 f 这一层作用，所以 也就是说新的 x 分之一，它的范围也是负一到零，并上零到正无穷。那么新的定义域呢？也就是这个 x 的范 为呢？这个只需要画一个反比例函数的图像就可以马上得出来了，你看反比例函数 x 分之一，大家都会画它呢，双曲线位于第一象限和第三象限两个象限吧。双曲线嘛， 那么首先函数值大于零的部分啊，那第一象限所以都包含第一象限，咱们都得描粗，都得描黑是吧？然后呢，还有负一到零之间，首先负一这个特殊值，当 x 等于负一收，这个 y 等于负一空心啊，因为这个地方负一是不包含的， 负一到零之间到函数直位于负一到零之间，那不就是左边这一段我们都得描粗吗？你说是不是这个意思啊？所以接下来新的 x 的取值范围，也就是说新的函数这个定义域不就是负无穷到负一在并上第一相见的就是零到正无穷吗？那么求 求这个新的函数定义域有什么作用呢？你先求出来，也就是说，假如我们新构造的这样一个大 fx， 他是关于 x 等于 b 对称，你首先得要求他的定义域关于 x 等于 b 对称吧， 也就是说，负一和零中间这个值必须等于这个 b， 也就是说 b 是等于负二分之一的。如果说大 f 这个函数关于它对称的话，这个 b 只能等于负二分之一，这是根据定义域首先关于直线对称得出来的。 那么另外还有一条还得求 a 吧，小 a 还得求吧。假如大 f 关于谁，关于这样一个负二分之一对称，你看好了，负一向左平移一个单位是几啊？那就负二零向右平移一个单位是几啊？是一和负二合一的中间值， 其实也是负二分之一，也就是说，大 f 所对应的这两个函数值必须相等啊。这样的话，你看代入以后是不是就可以把 a 求出来了？你看小 a 小 b 求出来了， 但是当你求出来这个小 a 以后的话，你看啊， f 一等于它， f 二等于它，你这两个值相等，马上就把这个小 a 求出来了。呃，是等于二分之一的， 但是现在就可以写答话了吗？所以 a 等于二分之一， b 等于负二分之一，不能。为什么你这个 b 等于负二分之一，只能保证定义域 是对称的，你这个 a 等于二分之一，只能保证这两个点一 x 等于一和 x 等于负二，这两个点对称的。定义域对称了，这两个点对称就能说明所有的函数图像对称的不行。所以接下来很多同学这道题没有得分。 为什么没有得分？因为你没有检验，怎么检验？必须要求定义域内所有的 x 都满足什么哦？负二分之一加 x 和负二分之一加 x 这个方程的成立能清楚吧？事实上的话， 其实也相当于 f x 等于 f 二 b 减 x 这道题的话，其实就是负一减 x。 清楚了啊，只要满足这个方程就行，如何满足这个等号呀？那你做减法不就行了？ f x 减去 f， 负一减 x， 他俩相等，意味着最后这个减号等于零，等不等于零，你最后一算就得出来，他确实等于零，不就得出来对于定义域内任意的 x 都满足这样一个方程吗？你看你说二分之 x 再加上负一 减 x， 中间值是不是负二分之一？是，这不就表明了哦，任意的点就是函数图像上所有的点都是关于 b 等于负二分之一对称的，所以咱们检验完了才可以写清楚了吧。所以这个曲线，这个大 f x 这个函数 是关于 x 等于负二分之一对称的。综上，清楚了啊，必须检验 a 等于二分之一， b 等于负二分之一。这个第二题啊，有一定难度，但是还好，主要是第三问。这个第三问的话，大家注意一个问题， fx 存在极值， 而且是零到正无穷上。首先我们高中学的这样一些函数肯定是连续的，零到正无穷的，开区间是连续的，并且存在极值。哎，比如说这是 x 等于零，然后呢？ 一直往后边一直单调递增行吗？没有，没有极致啊。那从零这个地方一直单调极递减可以吗？没有极致。有同学说，老师，零这个地方难道不是极大值吗？不是，因为零这个地方，人家画的是空心，人家画的是什么？开去减，那怎么办？ 所以，如如果他有这样一个类似这个点，不就是吉他值了吗？哦，清楚了，那 f 零这个点左边是不是单调递增的，右边是不是单调递减的？那左边所对应的图像？哦，清楚了，他所对应的导航数不就小于零吗？那 x， 哦，应该是大于零啊， 那 x 零的右侧呢？那所单调递减的话，对应的导函数就是小于零。那如果我们要画出 f、 p、 r、 x 的草图的话，这是 x 零吧。哦，就变成这个样子了呀。 x 零的右边导函数，它的草图是负的，是在 x o 以下的 x 零左边零到 x 零之间，它呢是单调底层。哦，我知道了，也就说这个位置得变号吧，当然也有可能是极小值啊。极小值的话，那我们如果要画这个 f 片的图像，其实也简单 啊，需要干嘛？哦，左边是负的，右边是正的，也行吧，那不就变成了 x 零左边是单调递减。 哦，然后 x 零右边呢？那不就变成了单调递增了吗？此时 x 零就是极小之点。清楚了，那你说这两个导函数，他究竟是什么意思啊？ x 零要么是这样的，要么这个导函数呢？是这样的，这两个都是导函数的草图啊。哦，我清楚了，他 不仅得保证导函数有零点在这个范围内，还得保证这个零点左右两边这个导函数的值必须是一正一负或者一负一正。我知道了，有零点，这个零点叫做什么点？叫做变号的零点，清楚了吧？ 那我们接下来分析一下就行了。看看清楚了啊，来看好了，因为他在零到正无穷上存在极致点，其实完全等价于导函数。在零到正无穷上存在变号的零点， 如果是不变号零点会有什么效果？比如说 u x 零这样一个不变号零点，左边的导函数和右边的导函数呢？都是怎么样的？都是正的，只有 x 零的位置导函数是等于零，那此时他永远单调递增啊，因为 f、 p、 r x 永远大于等于零， 此时符合要求吗？此时肯定是不符合要求，他在零到正宫球上一直单调递增，所以没有起直点，所以知道为什么要变号了吧。变号这俩字非常非常关键啊，很关键，那么接下来看好了，求导呗。求导， 让他等于零等于零，你别着急哈，等于零的话，因为我发现就是这个方程里头啊。等于零的这个方程里头， 他只有一个位置有 a 吧，其他位置还有参数 a 吗？没有参数 a 了，并且他求的就是 a 的范围，所以你为什么这个地方你不分离参数？知道为什么要分离参数吧，因为 不管是圆函数还是导函数，只有一个位置有小 a， 所以我们稍作整理啊。稍微整理一下这个方程等于 零的方程，我们把 a 单独拎到左边，然后呢，含 x 的这些部分呢？单独写到右边，这就是餐边分离了，所以接下来清楚了哈。左边的话，其实就是 y 等于 a， 当然随着 a 的变化，它是一条水平的线，可以往上平移，可以往下平移。右边呢？ 那右边你就理解成一个函数吗？清楚我的意思吧，只要 y 等于 a 跟右边这个 hx 跟右边这个曲线有焦点就行，因为是变号零点，所以必须是穿过去的焦点什么意思啊？比如说哈，右边 这个曲线我写成 hx。 假装啊，我也不知道假装他的。呃，其大值或者极小值。看清楚了啊，比如说有一个上线，比如说这个上线是四，有一个下线， 比如说这个下线是零。哦，我清楚了， y 等于 a， 必须正好穿过去才行。清楚了哈，那如果存在这种情况呢？ axx 长这个样子啊，这个点正好插过去了行吗？不行，这个不是穿过去， 必须是怎么样的？变号零点就意味着什么？意味着 x 轴穿过去了哦， y 等于 a， 这条水平线也必须正好穿过去的，不能擦过去，不能相切。清楚了啊，必须是穿过去的。 那好，接下来怎么办？不就是分析这个函数的单调性呀，或者值域这些东西吗？好了，接下来第二步分析。分析哪个函数？就刚刚这个函数吗？右边这个函数对吧？好，求到。 求导的话，这个还是简单的哈，因为这个分子先撇分子的话很简单啊， x 加一，先撇他， 那就是 low n x 加一，然后呢，再加上 x 加一，再乘 x 分之一，这不就是一吗？然后再撇这个负 x 就负一，所以说这个分子求到就得他先撇分子啊， 然后再撇分母，再撇分母，不就是二倍的 x 再长整体这个样子吗？然后呢，你一化简很简单啊，这可以消掉一个 x， 这可以消掉一个 x， 下边就变成 x 三次方，最终整理一下就变成这个结果。那有同学就要问了，老师，你为什么偏偏要变成这个结果？因为变成这个结果之后，更容易分析他的正负。 首先我们 x 是大于零的啊，好，所以 x 三次方是正的，那既然 x 大于零的话，那 x 加一更加大于零，他也是正的。所以接下来我们是不是只需要讨论方块里头 这个函数，这个式子的正负俩，所以方块里头，那我们怎么办？你来个 five 就可以了。怎么研研究他的这个正负呢？嗯，先求导吧。嗯，先求导，求导完了之后的话，我们发现 哦，这是正的，因为 x 大于零，哎，这个也是正的，这个 x 方还是正的，所以啊，它这个，嗯，导函数 它是正的，导函数是正的，那不就意味着它肯定是大于零的吗？你说是不是这个道理啊，也就是说我这个 f i x 这个整体，它横大于零， 也就是说这是正的吧，没问题，方块是正的哦，分母是正的，他也是正的，三个正的，别忘了前头还有个负号呢，所以就是因为这个负号的存在，我们这个 h 片是小于零的，能理解这个意思吧。那接下来 h 片小于 为零，就意味着 h x 在零到正物球上单调递减，那单调递减的话意味着什么？你应该知道我的意思了，所以单调递减的话，我们只需要哦，求一下他，虽然这个地方没有定义，但是你可以这样啊， 看好了哈，这就是 h x 这个曲线这个解析式，当 x 等于零的时候呢，有一个很尴尬的地方， 不能等于零，所以要用洛比达法则吧，你可以让它趋近于零啊。你看，当 x 趋于零的时候，分母是趋近于零的， 然后整个分子也是，你不信代入哦，整个分子也是当 x 零的时候哦， low n e， 这不就零吗？零减零，整个分子和分母都是取决于零的，所以分子和分母应该同时再求到吧，零比零型的诺贝尔 法则。那分母求导的话很简单， r x， 那整个分子求导我一开始也说过了，就得 low n x 加一来，这是不是还是零啊？ 然后当 x 一零，这是不是还是零啊？零比零型或者无穷比无穷这样一个狮子呢？我们坚持继续用洛布达法则，分子分母同时求导来看好了， 现在分母求导得多少得二是个常数，分子求导得 x 加一分之一，因为此时的分母已经不是零了，没有零比零或者无穷比无穷了， 他呢？也不是了。所以当你把 x 等于零代入的时候，这不就是二分之一吗？清楚了吧？来。那么 x 趋近于正无穷的时候，我们是不是也要得呀？因为 h x 我们已经得出来是个单调递减的函数了。当 x 趋近于无穷的时 时候，我们给它变一变样子，就很容易看出来。首先，当 x 运营无穷的时候，这是 x 的一次式，这也是 x 一次式，它前头系数啊，都是一，所以一比一的话，这部分它的极限就是一。 那么这部分的极限呢？这部分极限其实就是零，无穷分之一几乎就是零了，就是零啊，对吧？他的极限是零，减去零嘛，就不用管他了。那我们是不是只需要研究现在画圈这一部分，他的极限是多少啊？ 这个极限好研究吗？我们学过对数增长是很慢的，他不可能有 x 增长快，他的增长比他高了整整好几阶， 是不是他是高阶的，他是低阶的，所以高阶分值。哦，我知道了，他就是零，清楚了吧？所以一乘零，再减去零，零减去零，你说最后结果是不是零？也就是说 我们这个 h x 草图如果要画的话，比如说这是 x 等于零啊，来一直要减，一直要减，一直要减，他最后可以无限的接近于谁，可以无限的接近于零，但是永远取不到零，他还是个单调递减的函数， 所以清楚了吗？当你把右边这个 h x 都画出来了，这不就 h x， 然后呢，左边这个 a 清楚了吧？左边这个 a 你穿过去必须是正好穿过去的啊。编号零点等于有穿过去的焦点， y 等于 a， 左边这个函数值不用多说，这个空心点呢，就是零。逗号，二分之一在这呢。哦，所以 a 的范围是多少？所以说 a 的范围不就是大于零，但是得小于二分之一吗？那最终参数 a 的范围就求出来了，应该没问题了吧。 最后我们总结一下，尤其是这个第三问，这个第二问的话，我们可以根据什么？可以根据定义域的对称性，先把闭合一求出来，然后再检验，一定不要忘记检验。那么第三问，我们总结一下， 当方程或者说不等式中只含有一个参数的时候，我们首先考虑分离参数，你看 他原函数只有一个位置有 a， 八求完导以后也是只有一个位置有 a， 所以我们考虑把 a 单独写到左边。右边呢，是含有 x， 非常复杂的一个式子，讨论右边就可以了是不是？那么第二点要注意的是这道题啊， fx 在某一方面有极致点，它等价于导函数有变号，零点，这个变号很重要，你说对不对？清楚了啊。分享课堂知识，感受书学之美。我是杨帆老师，下节课再见！
4286会放羊的教书匠
00:19查看AI文稿AI文稿二零二二年全国高考即将开始，今年将有一千一百九十三万考生走进考场。今年是疫情下的第三年高考。教育部相关负责人在接受总裁央视记者采访时候表示，在防疫方面将遵循科学、精准、规范的原则。
22.3万正值青春📷
00:26
26:11查看AI文稿AI文稿大家好，我是数学博士能力者啊，我们的今年的高考题呢已经出炉了。 然后呢，今天我首先来讲解一下这次的理科立即几何题啊，因为大家普遍反映今年的立即几何题呢，不太好做啊。然后今天那道题以后呢，我也看到了，这道题目考察的呢，比较全面 啊，一共有三问，第一问呢，是一个线面平行。第二问呢，面面垂直。第三问呢，考察了一个二面角，所以基本上呢，立体几何里面的重点内容呢，全部都考到了。 而且呢，还有一个问题，就是这个图呢，它不是很好识别。好，首先我们来读一下条件啊，在三棱锥中角， a、 b、 c 是九十度，也就 就说底面是一个直角三角形， a b 十二， b， c 是二倍，根号二，然后 p、 b 和 p c 长度相等，都是根号六， a、 d 的长度是根号五倍的 o、 d， 然后 b、 f 和 a、 o 是垂直的， o、 d、 e 分别是 b、 c、 b、 p 和 a c 的终点。 好了，所以这就是题目给的所有条件。好。第一问呢，求证的是 e、 f 平行于平面 a、 o、 d。 其实第一问呢，还是比较容易找条件的啊，大家其实能观察到 e、 f 和 a、 o、 d 里面的谁平行呢？这很明显吗，和 o d 是平行的，所以我们只需要正一下 e、 f 跟 o d 平行就可以了。然后又因为 o d、 e 都是终点，所以大家想一想，作为中位线， o d 和 p c 本身就是平行的， 那 e、 f 只要也平行于 p c， 这个问题不就解决了吗？那再换句话说，我们这道题，其实本质上要正的东西就变成了 f 是 a、 c 的终点，我只要正出来，这个问题就解决了。 所以呢，通过分析，大家就要明白我们要挣的是什么啊，我们最终要挣的东西就是 f 是 a c 的终点。好，那这个事怎么挣呢？ 其实大家就会发现，这道题已经变成了一个平面结合问题啊，他跟立体结合也没有什么关系了。好，那是这样啊，我们直接画出底面的这个平面图。 好，我们直接画出底面的平面图啊， a b c， 角 b 呢，是九十度，然后呢， o 是 b c 的终点，连接 a o， 接下来呢，我过 b 做 a o 的垂线 哎，跟 a c 交于 f， ok， 那现在呢，我假设这个点是 m 啊，这个焦点是 m。 好了，这个图已经画完了。 所以说呢，我们现在来观察这个题怎么做啊？其实就是一个平面几何的问题，非常简单，这个边是二， b c 是二倍，根号二啊，所以这两段都是根号二。所以其实大家观察一下啊， a b 比上 b o， a b 比上 b o 是不是刚好是根号二？而 b c 比上 a b 呢，是不是也是根号二 a 比例相等，然后它俩呢，中间那个角 b 是九十度。所以我们是不是得到了一件事啊，三角形 a b o， 它是相似于三角形 c b a 的 哎， a b o 和 c b a 两个三角形是相似的，那么从相似我们就得出来了一个结论啊，角 b a o 是等于角 c， 呃， a c b， 哎， b a o 和 a c b 这两个角是相等的相字样行吗？对应角相等好了，然后我们接着往下看啊，又，因为 b m 是不是垂直于 a o 呀？这是题目给的对吧？ b f 垂直于 a o 嘛，所以这个 b m 是直角三角形斜边的中线，对吧？好的，那我们就很容易得到了。所以角 b a o 还等于谁呢？ 是不是等于叫 o b m 哎， o b m 这个角。 好的，那综上我们就知道了啊，角 b a o 同时等于这两个角，所以角 a c b 等于角 o b m。 看 a c b 和 o b m 这两个角相等，所以我们就知道了，这个三角形 b c f 就是个等腰三角形啊，对吧，因此 b f 等于 c f， 看懂了吧， b f 就等于 c f 了。那么同理，那底下的这个 b f 和这个 a f 是不是肯定也是相等的直角三角形嘛？大家都知道，这叫斜边的中线，是不是等于斜边的一半 啊？好了，所以呢，我们就正出来了啊，所以 f 为 a c 重点， ok， 我们就正出来了。好了，我们刚说了， f 如果是 a c 终点，这个题就已经正完了啊，因为 e f 是中位线， o d 也是中位线，因此呢，都与 b c p c 是平行的， 这道题就整完了。所以第一问呢，其实本质上就是一个平面结合问题啊，没有大家想的那么复杂。 好，那么接下来我们来说一下第二步呢，其实 第一问，我们这样顺利正完了以后呢？第二问对我们来说也就非常简单了啊。第二问，利用第一问的结论啊，直接去写就可以了。 你看第二问，要正的是 ado 这个面和 bef 这个面面垂直，那大家知道，面面垂直本质上找的其实就是一个线面垂直，对吧？而哪个线呢，也很容易看啊，因为题目已经给了个条件了， bf 垂直于 ao 嘛， 所以大家可能能看出来， ao 应该就是我们要找的那条线，因为 bf 看起来不太像，是垂直于 ado 的样子，对吧？而 ao 呢，就比较像， 所以我们只需要正一下 a o 垂直于两条相交直线，但是大家发现没有， a o 垂直， b f 不用正，题目给了， 所以我们再正一个， a o 垂直谁呢？哎，大家就发现， a o 还垂直于， 其实还垂直于 e f， 因为我们第一问，刚刚用过的是什么呢？ e f 跟 d o 是平行的，大家记得吧？第一问刚刚正过啊，所以 a o 只要垂直于 d o， 这个问题不就解决了吗？ 好，所以呢，我们直接写一下吧，来，题目给的条件啊， a d 等于根号五倍的 d o， 而 d o 呢，是 p c 的一半，对吧？那就是根号五乘二分之一 p c 对了吧，也就是二分之根号三十啊，这是 a d 的长度， o d 呢，是二分之根号六， 对吧？然后呢， a o 呢，是根号六， a o 呢？用勾股定理可以算出来啊，角 b 是直角，对吧？所以这三个边呢，刚好形成了勾股定理啊， d o 方加上 a o 方，哎，刚好等于 a d 的平方哎，所以我们就得到了，什么呢？ d o 是垂直于 a o 的， 对吧？又因为什么呢？ d o 平行于 e f， 这是第一文刚正过答，所以呢， a o 就垂直于 e f 了， 对吧？又因为 a o 呢，还垂直于 b f， 这是题目给的啊，好了，所以正完了， a o 就垂直于平面， b e f 对吧？ a o 呢，最终就垂，呃，最终面面 垂直也就挣出来了啊，最后一步就不写了啊。所以呢，其实有了第一问打底之后，第二问其实也就比较好挣了啊。好，那前两问挣完以后呢，我们先来看一下第三问啊， 第三问呢，这个题确实是比较复杂一些啊，那么首先呢，我先给大家用最传统的方法讲一遍啊，就是因为大家大部分同学拿到这个题以后，第一反应肯定是间隙，这是现在高中生的一个，对吧？通用的做法啊，大家一般情况下都是先间隙的， 所以这道题如果我们见细的话，应该去怎么做呢？好，很多人发现角 b 是九十度，对吧？那见细呢，没啥好说的啊，我们直接用 b a 做 x 轴，用 b c 做 y 轴，然后过 b 点 画一个垂直，然后当做 z 轴。哎，这是一个非常传统的间隙方法，但大家就会发现，这样间隙只有一个最大的问题，就是屁点的坐标我们很难写出来。 然后很多同学会默认说，哎，后面这个面好像跟底面垂直是吧？嗯，然后就用垂直间隙了，那这个题就错了啊，他后面并不垂直啊。好，那这个 p 点坐标应该怎么求呢？哎，我给大家讲解一下这个问题啊，其实 p 点的坐标呢，应该是用这样的一个方法来完成的。 首先我们在三角形啊，我们在三角形 a、 b、 p 中， 这个这边这个侧面上啊，我们用一下余弦定理。来，我们用一下余弦定理啊， 看 cosine 角， a、 b、 p 就是 cosine 这个角啊。 好，首先我们在小三角形 a、 b、 d 里边写一下这个预线定理，也就是 a b 方加 b d 方减 a d 方，然后呢，比上二倍的 a b 乘 b d， 然后这个角的余弦，我在大三角形 a、 b p 里边再写一遍啊， a b 方加 b p 方减去 a p 方， 然后呢，比上二倍的 a b 乘 b p， 对吧？这两个是同一个角的余弦，它们俩是相等的， 然后呢，他就发现这个式子里面所有的边，我们其实都知道，除了 a p 之外啊，因此呢，我们其实只需要把 a p 写一下就可以了， 对吧？从这个式子里边呢，我们带数字把 a p 解出来就好了，所以从这个方式子里面呢，我们解一下 a p 啊， 好，这个 a p 呢，解出来以后是什么呢？是根号十四啊，因为其他所有的编的都是一致的啊。好了，那有了 a p 之后呢？ 来，那接下来我们写一下已知点的坐标， a 点是二零零，对吧？ c 点呢是二呃，零，二倍跟二零， o 点是零 跟二零 f 呢，是一跟二零。底面上这几个点都比较好写啊。好，然后呢，我们设 p 点的坐标是 x、 y、 z， 那么根据我们刚刚求出来的 p a 是根是四，对吧？ p b 和 p c 呢，都是根号六，我们就可以列出三个方程， 就直接用距离公式列三个方程啊，你比如说 p b 就是 p 点到零零零的距离啊， x 方加 y 方加 z 方等于六， 对吧？ p a 呢， x 减二的平方加 y 方加 z 方等于十四， p c 呢， x 方加上一个 y 减二倍跟二的平方加 z 方也等于六，看懂了吧，三个方程，三个位置量，我们就可以求出 p 点的坐标了，对吧？这个方法虽然有点麻烦啊，但是呢，它一定是可以做的啊，一定是可以做的， 那对这个方程组呢，很多人就说这这好麻烦啊，其实呢，这个方程组并不难解啊，我们两两做差之后，平方一定都没有了， 听懂了吧，哎，平方一定都没有两两座差，会得到三个方程，就是三元一次方程组。哎，那这个时候呢，我们只要去求解就好了啊， p 点的坐标呢，是负一根号二 更好散啊，这是最后的一个答案。好，那 p 点出来了呢，其他的就很好写了，你比如说 d 点坐标，那就是 p 和 op 和 b 的终点， 负二分之一，二分之根二和二分之根号三。好了，所以点的坐标都有了之后，那这个二面角就非常好求了啊，然后呢，我们只需要求一下这个面 o、 d、 a 的发销量就可以了， 因为底面的发香量 o， a、 c 是不用写的，对吧？底面的发香量我们直接取 z 轴就可以了啊，让我们求一下 o d、 a 的发香量啊，然后呢， 直接求一下二面角的余弦值就好了。好吧，所以呢，这道题呢，用间隙的方法呢，是可以做的啊，只不过呢，他这个 p 点的坐标比较难写一些啊。好，我把最后的答案写一下啊， 里面的发项量呢，就是零零一啊，然后呢， o， a、 d 的发项量呢，就是一跟二跟三，因此呢，我们最终得到的 cosinc， 它呢是二分之根号二 啊，这是用这两个香料求出来的啊，但实际上大家能看出来，这个 sata 其实应该是个钝角，对吧，所以最终呢，我们求的二面角应该是一百三十五度啊， 所以这是这个题的一个最传统的做法啊，就是键坐标系。好，那我还想说另外两个方法啊， 其实我们的二面角啊，本身有一个比较简单的方法啊，就是找他的平面角，二面角的平面角就是一个纯几何的方法了啊。你比如这道题的话呢，其实我们的经过 第一问啊，已经证明了一个事，叫什么呢？叫做 d o， 它是垂直于 a o 的，对吧？这个 d o 我们刚用过了啊，那 d o 垂直于 a o 的话呢？说明一个事啊， 说明什么呢？说明这个二面角的棱 a o， 对吧？ d o 是不是已经垂直于它了？ 所以呢，我们找二面角的平面角，就找棱的两根垂线就可以了，因此我现在在底面上再找一条线，垂直于 ao 就可以了， 对吧？而这个线呢，非常好找，因为题目已经说了， b f 垂直 a o， 是吧？所以呢，我们找一下 f c 的终点 h 连接 o h 啊，然后呢，我们再连接 d h， 为什么呢？因为 o h， 你看中位线平行于 b f， 对吧？所以 o h 就垂直于 a o 了，对吧？这个 o h 也垂直于 a o 啊， 看懂了吧？哎，那这样的话呢，我们就得到了什么角？ d o h 即为二面角，对吧？这个二面角的平面角， 哎，角 d o h 就是这个二面角的平面角。好，那我们现在下来的问题就是把这个角求出来就好了，对吧？把这个角求出来就好了。然后呢，这个怎么求呢？因为我们知道的 d o 的长度已经知道了， 叫二分之根号六，对吧？而 o h 呢？呃，它也可以知道它是我们 b f 的一半，对吧？哎，也就是谁呢？也就是二分之根号三啊，这个其实已经也已经知道了，最麻烦的是个 d h 啊，这个 d h 要怎么求呢？ 好，我们来说一下这个问题啊，好，我们把上面这个 b e 和 a d 的交点呢，设成 n 点，然后我们连接一下 n 和 f， 对吧？哎，这个线是关键啊，把它连起来，连接了以后呢，其实大家就发现一个问题啊，就是 n 为三角形 a b p 的重心，所以呢，我们就知道了，这个 a n 呢，它是二倍的 n d， 对吧？ a n 是二倍的 n d， 然后呢，底下呢， a f 是不是本来就是二倍的 f h？ 因为我刚 h 找的是终点，对吧？ 哎，就是一终点的终点，四等分点，是吧？哎，它也是二比一的关系，所以我们就得到了一件事，叫 n f 呢，它其实平行于 d h， 对吧？ n f 和 d h 是平行的啊，而且呢，我们还知道一件事儿啊，就是这个 d h 的长度呢，它其实是二分之三倍的 n f， 好的，那这个 n f 怎么求呢？哎，这也是这个题的一个关键点啊， n f 呢，这样乍看起来确实也不是很好求，是吧？但是呢，我们去可以去观察一下这个三角形啊，三角形 b e f， 那 b e f 其中呢，这个三角形 b e f 中啊，首先呢，这个 b f 是一致的， 根号三，是吧？然后 e f 是一致的，它是二分之，根号六，对了吧？好，然后呢，这个 b e 怎么办呢？其实大家发现 b e 呢，我们跟那个前面的那个 就是这个 p a 一样啊，我们其实应该用余弦定理，可以把它算出来，因为 b e 呢，是这个三角形 a b p 的一个中线， 他三边都知道的话，求中线的长，我们是要用到余弦定理的啊，对吧？所以这个余弦定理我就不写了，经过余弦定理的计算呢，发现 b e 呢，也是二分之根号六 哎，所以我们就发现一件事啊，这个三角形 b e f 是个等腰直角三角形，对吧，也就是 b e 是垂直于 e f 的 啊，这个地方是个直角啊。好的，所以呢，那这个 f n f 呢，其实就知道了，可以用勾股定理直接求出来了，懂了吧，那这个 n f 呢，就是三分之根号十五啊，是可以直接求出来的。 好了，那 n f 知道了以后呢，那 d h 其实也都知道 d h 等于二分之三倍的它嘛，那也就是二分之根号十五 好了，所以呢，大家会发现，这个 d h o 这个三角形三边我全都知道了，因此直接用余弦定力求一下这个 d o h 就可以了， 对吧，三遍都知道啊，我们直接写就好了。好，那么接下来的步骤我就不写了啊，结果是一样的，算出来就是负的二分之根号二啊，一百三十五度。 所以这个方法呢，是比较传统的用平面角的方法去解答的。这个立体结合题啊，其实我还是比较推荐这个方法的，大家要多思考立体图形本质，而不是说哪道题就盲目的见系，因为有些题现在的系确实不是很好见 好。那么这道题呢，其实还有最后一种方法啊，这种方法其实我个人觉得比前面两个方法都要简单一些， 因为你看，我们刚说了，间隙不是很好间，这个方法呢，虽然看起来简单，但是里面有些边的长度也不是很好求，是需要用到预线定里的啊。好，那我们来看一下 最后一种方法啊，好，这个方法可能比较新一些啊，很多同学没有见过。那么首先呢，我们刚刚已经给大家解释过了啊，这个 b f 垂直于 a o， 而 d o 呢，也垂直于 a o， 这两个事都是已经知道了，对吧？ b f 这个是题目给的， d o 是我们刚刚证明 好的，那既然这两个线都和棱垂直，那大家看一下 d o 呢，在这个面 a d o 里面，对吧？ b f 呢，就在底面里面，所以呢， 大家思考一个问题，那 b f 与 d o 是不是所乘的角，这两个线所乘的角啊？是不是 g 为 二面角的平面角？ d a o c 的平面角没问题了吧？就虽然说这两个角呢，其实它这两个线并不挨着它一面之线啊，但是它俩所乘的角其实就是我们要的，是吧，二面角的平面角， 听懂了吧？好，那我们现在直接设该角 v c 塔啊，那我们就引入这样一个方法啊，我们直接用 b f 点成 o d， 大家想一想，两个相量的数量积是不是等于的是这两个相量的摩长， 再乘以夹角的余线，这个没问题，这是数量级的公式，对吧？ 而 b f 和 o d 的长度我们都知道，是吧？带一下啊，跟三乘二分之跟六倍的 call 三 in c 塔，对吧？也就是二分之三倍跟二 call 三 in c 塔。 所以大家现在想个问题，如果这个数量机我能从别的方法把它求出来，那我是不是直接从这里就可以解除 call c a c 它了？好，所以我们现在想办法再从另一个角度去求一下这个数量机啊， 好，那 b f 乘 o d 还可以怎么求呢？来，我们接下来就是平面销量问题了啊，好，我把 b f 看， b f 是底面的中线，所以把 b f 拆成二分之一倍的 o a 啊，不是 o a， 应该是 d b a 啊， b a 加 b c 是不是乘 o d， 对吧？好，那接下来呢，再拆啊，这个 b a 是谁呢？ b a， 我直接拆成 o a 减 o b， 你看，我直接跟 o 挂上钩， 那这个 b c 呢？ b c， 大家就会发现它刚好是负二倍的 o b。 好了，全部转化成 o a o b 了啊，然后继续往下写，那就是二分之一倍的 o a 减三， o b 再乘 o d。 好，那接下来我把它乘开啊，二分之一的 o a 乘 o d 减二分之三的 o b 乘 o d， 然后大家就发现 o a 和 o d 是垂直的，我们刚刚正过了，所以前面这个数量即是零，也就变成了负的二分之三倍的 ob 乘 od。 好，那我们展开了啊， ob 的膜， od 的膜乘以什么 cosine 角， dob 没错吧？好，那我们继续往下求啊！来，大家会发现 o b 的模二我们是知道的，对吧？根号二， o d 的模二呢？我们也知道二分之根号六好了，就剩一个扣三也什么呢？ d o b 了。 哎，大家想， dob 其实是不是和这个 pcb 是相等的？平行线同位角对吧？而这个角呢，大家记得 pbc 是个等腰三角形吧，根号六，根号六， 对吧？底边是不二倍根号二，所以你做一个高，这个叫做余弦，是不就是根号二比根号六好了。这样的话呢，我们应该就完整的算出来了，他就是负的二分之三。 好，那根据我们刚才说的， b f 乘 o d 呢？是不是两个 b f 乘 o d 应该是相等的是吧？所以二分之三倍的根二 call 三 in c 塔是不是也等于负等二分之三？ 于是考参与 c 塔解出来了，答案是负等二分之更好。二，所以 c 塔是一百三十五度。所以我个人觉得这个方法其实才是比前面两个都要简单的一个做法。 好的，那么今年的这个立体几何题呢？我们就给大家分享到这啊，如果大家还有别的方法，希望我们在评论区看到大家的发言。 ok， 关注我，带你玩转高考数学！
299数学果实能力者
