一本压轴题
初中数学托分大头永远是函数压轴题，孩子图像看不懂，动点没思路，考试一道大题直接空！半夜给你们挖到这本期到九年级通用的五行数学函数专项，一本直接搞定！初中全函数全书，九十三个必考函数题型， 一次反比例到二次函数全覆盖，还有三百二十五个考场秒用二级结论，选择填空直接提速！配套四百八十四道题完整视频讲解，九十三个交互动画，抽象图像变化一眼看懂，数形结合再也不卡科！ 扫码就能看！免费视频整理错题，不用额外报班，可难题！初一打基础，初二拔高，初三从中考鸭咒函数总都分的这本直接带回家！
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04:47查看AI文稿AI文稿初二数学与学霸拉开差距的就是压轴题，压轴题难倒了很多成绩一般的同学。其实初二的压轴大题 来来回回就考这十个专题，这本书都给你整理的很详细，考了三十六次的全等三角形，考了二十四次的轴对称，考了二十三次的勾股定律，这些高频考点他都给你标上了五角星。就像这个全等三角形中的手拉手模型，命题点是什么，怎么答题更规范，就连方法都给你规范好了， 最后再做练习巩固一下，学练结合更高效。每个考点还有视频讲方法，基础不好的同学也能听得懂，学得会。 初一数学月考成绩低于一百一十，百分八十的孩子，都是后面的压轴题丢分严重。现在重中之重就是每天系统的练上一道压轴题。这本压轴题专项训练紧扣新版教材，含盖了七年级必考的三十八个压轴题型， 考了三十八次的绝对值，运用考了十九次的代数。
04:12查看AI文稿AI文稿如果你能每天让孩子练一道压轴题，等期末考试，你就会知道他的数学到底有多好！就是这本初中数学压轴题，他把七年级能考到的压轴大题都给你整理出来了，每个考法都有立体，有解析，还有方法归纳，看不懂的还能扫码看视频讲解， 学完以后再做练习题运用，查漏补缺，考试不管题型怎么变都不用怕，后面还有专题集训以及期中期末冲刺，每天一道压轴题，期末考试一定会有惊喜！如果你能每天让孩子练一道压轴题， 等期末考试，你就会知道他的数学到底有多好！就是这本初中数学压轴题，他把七年级能考到的压轴大题都给你整理出来了，每个考法都有例题，有解析，还有方法归纳，看不懂的还能扫码看视频讲解， 学完以后再做练习题运用，查漏补缺，考试不管题型怎么变都不用怕，后面还有专题集训以及期中期末冲刺，每天一道压轴题，期末考试一定！
02:28查看AI文稿AI文稿刘老师带你攻克亚洲题，今天啊，我们来研究一套啊，一中啊，初一年级的选择亚洲题第十题，家长和同学们可以先看一下这道题，然后我来讲解。 审题之后我们会发现啊，那这种题考察的是什么呢？是多周期问题，他说要我们把天干和地支，是吧？天干呢，是甲乙丙丁啊，物极更新，人鬼地支呢？分， 这里边有十二个，我不读了啊，那该说分，为什么第一项为甲子，什么意思呢？这里有个甲，然后到这里是乙是子， 这是第一项是吧？然后第二项呢？对应的这是以，到这里面是丑，以此类推行了。他说什么呢？这道题说到二零二五年，是以四年，以到这边去找在这呢啊，以四，我们把它圈出来。同学们啊，以，然后呢，这个四在哪个位置？让我看看啊， 以地之力的四是不是在这呢，对吧？以四年，好嘞，我们看啊，让咱们求什么呢？二二二五年，用这里面表示是多少？那很明显是周期这种问题啊，就分别求就可以了。 那我们来算一算啊，二二二五年减去二零二五年等于多少是不等于的？是啊，两百年，对吧？同学们，那两百年的情况下，我们看天干是多少个，一重复， 查一下是不是十个。已重复，那找周期呗，我们用两百除以十等于二十组有没有余数？无余，无余就是最后一个 从乙啊，那么应该从谁开启的？是不得从丙开启啊，这里边这两百，这个是两百年，是这样的吧。啊，从丙开始啊，这里面是第一个两百年中的第一年， 那我没有余数，最后一个，最后一个是谁啊？无余，应该是丙丁，物极更新，人鬼甲，乙。哎，这里边是乙，开头的是丙，结尾的是乙，这个周期是不就找到了？注意啊，这个是里面的细节，我们小学思维拓展中就强调了 同样的道理。我们看啊，那这个下一个的周期是多少？是不是十二啊？十二，来我们算一算。那么这个结果啊，老师来写一写，应该是十六组，于八个。于八个，我们看啊，从谁开始呢？从四，那么于八个下边啊，我们知道应该从，这是第一个，对不对？叫五位， 申有居亥，查查这是几个啊？这块是三个，这块是六个，然后到谁呢？子丑，丑是不第八个？丑是第八个。 那可以了，所以这个位置啊，应该是丑，那就是已丑。这道题的答案应该选择的谁啊？同学们说选择的是 c 呀，哎，周期问题整理一下。
01:11查看AI文稿AI文稿现在可以点开链接看一下了，置顶错链接了，选择八号链接，北师版七年级压轴，全国地区七年级上学期大家用的资料都是一样的，家里如果说你没有预习书的一个情况下，你拍一号链接， 一号链接的话，家长是六周四十二天呃，制定计划带孩子去，呃学方法，奖励题，从七月六号九点到九点四十五，语文数学英语，给孩子规划好小四门是历史、道法、生物、地理。如果说家长你要在暑假，因为暑假将近两个月的时间吗？ 那么预习的话，我推荐你带一号链接，按照宇宙，按照语文数学英语去带就可以。这本书包括你开学也能用， 就是先让孩子去学，再让孩子去练，包括他里面有同步练习的题。这是四名小副科，我单独给你送的，七到八到九年级都能用的电子版的，这点总结 就是哪一个科科不懂不清楚的他相当于尤其的讲解，这三本成为家长所有的音频讲解，一分钱一毛钱不给你花。我看到了语文数学英语，我再给你送一套卷子。一到六年级还是七到九年级啊， 上高中的教不教材我们直播间里都有，家长们有什么问题的都可以跟我讲一下，我们给家长们确定两件合适的，满意的家长再留下。
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01:36查看AI文稿AI文稿坑题来了，我们看一看啊，这道题第二十题说啊，老师，坑在哪里呢？为什么百分之九十五的同学都做错了，哎，说这题难度不大，可以啊，那好，我们具体来审下题，说点 c 在 线段 ab 上，我们看啊，图中三条线段中，若有一条线段长 是另一条线段的几倍二倍，则称点 c 是 线段 ab 的 巧分点啊。已知 ab 的 六点， c 是 线段 ab 的 巧分点，则 bc 得多少？说，老师，如果是这幅图，这太容易了。我们看这啊， 这段是不是六，孩子们，巧分点，这块是，呃，一份和两倍呗，这一份，那这是二，这块是不是就是四啊？哎，一份两份六除以三，一份得二， bc 等于的是二， 这是一个。哎，同学们说，老师，那既然你这么说，我这个 c 在 这不也行吗？对不对？还是三等分点，这边是二，这边是四，那这个答案是二或四啊， 是不是做完了？同学们，坑来了，坑在哪呢？谁告诉我们不能把 ab 当成二倍啊，我们是还可以把这个 ab 当成二倍啊。 a、 c 和 bc 是 相等的，终点都是一份，那么这个总共这块是六，那这个位置是三，这个位置是三， 符不符合要求，你读一读，有一条线段是另一条线段长的二倍，则称这个点 c 就是 线段 a、 b 的， 求分点，没问题，是吧？哎，同学们注意啊，也说还有一种情况，这个答案应该是谁啊？是三啊，就可以了，分别分为是这三种情况，同学们整理一下。
01:08查看AI文稿AI文稿初中想让孩子们练一些压轴题的哈，我们来看一下一本的这个初中压轴题，他是什么样的难度，适合什么样的孩子。首先他的难度等级是百分之七十的中档题和百分之三十的难题，所以他适合中等以及中等以上的孩子去使用。 比较好的地方就是他的专项训练啊，都分成了等级，三星的，四星的也有二星的。每一个专项训练前边他有这种典型例题的精讲，就相当于先把这些例题方法、 思路、易错提醒、步骤总结哈，这些都提前去过了一遍，然后再来去做这个专项训练。这里面二星、三星、四星的题目啊，虽然有难度，但是啊不至于特别难，但是应对普通学校的一些校内的压轴题是足够了。 他这他这些所有的典型例题都有精讲，后边的难题也有视频讲解，答案测啊，里边所有的题目解析都是非常详细的，所以成绩如果在中等或者是中等靠上哈，想让孩子们去练一下这种难题的，可以给孩子们准备， 但是他这个版本是人教版，人教版呢，可以按照版本，按照年级去拍，如果是其他版本的哈，需要七八年级一块去拍，拍了之后去里面找对应的板块去学就可以。
00:32查看AI文稿AI文稿七年级开始，数学拉开距离的就是压轴题，如果你能让孩子每天学习一道压轴题，到了第一次月考，你就知道孩子有多优秀。动作快的妈妈已经给孩子准备好了这本一本的压轴题专项训练 同步新版课本整理了七年级常考的八十四个压轴题型，每个章节的压轴题，考什么，怎么考都给你整理好了。每个考法不仅有详细的讲解，还有典型例题分析和方法归纳， 看不懂的还能扫码看视频讲解。学会方法以后再做练习题，查漏补缺， c t 难度都有星级标注，让孩子循序渐进的突破，学会举一反三。这些都是考试要考的压轴题型，每天让孩子学习一道压轴题，为新学期打下坚实的基础，快给孩子准备上吧！
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01:02查看AI文稿AI文稿八、上数学名校压轴题这本资料对初二数学上册的题型考点进行了系统的拆解练习。全书题型考点梳理详细，他不但会分章分解，对核心考点进行细致全面的梳理，针对高频常考的重点和难点，他 都设置了专题进行精准强化。另外，他也对综合压轴题进行了系统的练习。我们看全等三角形这一章，他就从全等三角形的性质与判定开始，囊括了重点模型、角平分线的性质与判定、角平分线模型、面积问题、全等模型 以及与全等有关的无刻度尺规作图等七个模块，一共梳理拆解了四十个题型考点。他的选择题也非常优质典型 全书以各个名校的月考、期中、期末专题为主，另外也设置了大量的原创好题，参考价值非常强。练习的详细解析，单独成册，非常优质的一套资料，借助系统的强化练习，有助同学们逐步吃透各类题型的解析方法，提升解析能力，初中数学拿高分！
04:00查看AI文稿AI文稿大家好，这里是刚哥来正式的测评来了，关于这个马哥数学几何一本通，首先我说过这本书是三百块钱一本，卖的特别贵，但是贵有贵的道理，首先我得说这是我在市面上见到的 最好的那一类几何的辅导书，而且跟我本人的几何思想是特别吻合的。我之前在猿辅导上班的时候，我其实就跟吴曲飞老师，我们的这个数学组的大佬，我去跟他聊过，我说我们能不能给学生去出一套讲义，说我们教学生怎么审题。 我就说比如说中点、角平分线、垂直平分线在一个题目中到底有哪些用法？我说很多学生他不是说不会 这个模型，他是根本就读不懂这个题是审题出了很大的问题。当时吴旭飞老师跟我说的是，他说你这个工程会特别大，因为什么呢？因为 可能一个终点他有非常多的用法，而在一个很多具体的题目中，终点他的用途有又有很多不一样的，你这个工程到时候可能特别大，学生就没有办法在单位时间去吸收。我理解他的意思就是讲模型的好处，你比如说终点和 和四边形，终点多个终点和四边形结合在终点四边形，这就是一个固定的套路，教学生一教就会，如果单开一个终点，他可能得有七八种情况，再搭配不同的题型， 这个就变得其实是工作量挺大的。但是马克数学他做到了这件事情，这就是我之前在猿辅导想做的那件事情，就是教学生审题。 我相信马克他跟我的思路是一样的，你看到中点，看到角平分线，看到二倍角，看到三垂直，你看到中垂线，你看到一个具体的条件，如何去处理这个具体条件？这个其实是审题的能力，很多孩子数学不会做，他 还没有到不会做辅助线，他是读不懂这个题目，不会审题。所以我觉得这本书某种程度上它是解决了学生审题的问题。这个我觉得是非常好的，因为市面上还比较少有这样去讲几何的，但我一直是主张教学生审题的，我教几何，我一直是主张教学生审题，我觉得这个是比较好的。那我觉得 不足的地方在哪？可能我刚开始真的特别喜欢这个书，我几乎就以为他是我想要的那类完美的几何书了。是什么？是看到这个思路点拨这一块我特别喜欢，我以为他跟我教几何的逻辑是一样，说 教学生这个题的推理逻辑链条一步一步是怎么来的？ ok， 这个题也是那个意思，但是，但是我觉得他还是没有我那么清晰，他更多的是 像是把我们必常见的标准答案给它分自然段了一二三四段，把一个标准答案，但它整体上还是按照标准答案再往这放。 但是我教学生的是，第一你要学会审题，第二其实就是这一个及格题如何思考下来的逻辑链条，逻辑链条不是简单的把正确答案往下写一遍，而是这个逻辑它关键的三四步推理是怎么来的。 我觉得在这个方面如果做的更好一些，那这本书就更好了。所以我如果用这本书去教我的学生， ok， 我 会在他的这个答案部分去优化，就把我一直主张的几何逻辑链条这个事情 放大。还有最后一个一点点的不足，就是他的中考真题稍微放的少了一点。你说我们真正想来学几何，培优的孩子肯定是想把几何压轴题做出来。我觉得他的几何可能还是针对于填空题、第十五题、选择题、第九题、大题的二十二题啊等等， 它是千，相对是把前面的所有的中档题、基础题的几何全部都可以给你干掉了。但是针对最后一个中考几何的那种三问的压轴题这个课，那又相对讲的有点少了，它 关于中考真题的比例占的比较少，有它里面有，但是比较少。整体上我说实话我非常推荐这个书，这是我自己， 我之前我很不满市面上很多几何数，有很多家人说，那你有本事自己出一个，我觉得这个其实跟我自己想出的那个几何数是特别接近的，如果能在答案这个板块，按照我说的那种用几何逻辑链条，那就是完美的我想出的几何数了。
03:57查看AI文稿AI文稿刘老师带领大家攻克亚洲题。今天啊，我们看一道亮湖学校初一年级的十八题，来看一看这道题具体考察了哪些信息。 说，一般的从一个角的顶点引出来两条射线啊，把这个角分成三个相等的角，对吧？哎，这两条射线称为这个角的，什么叫做三等分线？如图，直角三角板的顶点在它这个位置，角 a、 o、 p 等于十度。 将三角板 a、 o、 b 啊，绕点 o 在 直线 m、 n 的 上方开始转动了啊，若转动到 o、 p 是 哪了？哎， 三等分线式可以了，让我们求角 b、 o、 n 的 度数啊，孩子们，我们看一看啊，我们要求的是这一个角的度数，那这道题核心考的是什么呢？是动线和动角，对不对？动线和动角，那一定我们要涉及到什么呀？ 分类讨论啊，压轴题的特征几乎啊，我们初一期末各个学校，它是避免不开的啊。分类讨论，那分类讨论大概有哪种情况呢？我们看啊， a、 o、 p 等于十度，很明显一种情况是，这边是十度， 对不？第二种情况呢，是哪个位置？说这边可能是 p， 也是一个十度啊，应该是这两种情况，对不？这同学们应该先知道的。那好，我们先计算一下啊，看第一种情况是十度的情况， 来找到我们想求角 b、 o、 n 的 度数，这个位置是射一下射 x， 那 这边呢，这块是一个九十度，对不对？ 好，九十度 x 这个位置，仔细观察，这块是十度。第一种情况的话，如果是十度，它们相加是不是一百多？一百多平角是一百八十度，那一百八十度减去一百度是不是八十，这两个相加是八十，所以我们能知道角 m o p， 它应该等于多少啊？等于的是八十度减 x。 好嘞，你看啊，分类讨论和一元一次方程结合，我们这次啊，初一期末一定是备考系列的啊，这边也是重点的题型，应该考出来的。 好，那我们接着看啊，这块是角 b o n 是 x， 那 接着怎么列啊？这个表达式可以列一列呗，三等分，那三等分，这个角应该是八十度减 x 等于谁？角 m o b 是 吧？ m o b 啊， m o b 这个角我们来写一写， 应该是一百八十度，是不是再减去这 x， 那 么三等分一百八十度减 x， 那 这种情况我们说就把 x 就 求出来了。同学们，我们来一计算， x 等于多少呢？三十度，哎，其中的一个答案是三十， 那往往同学们就分析到这个位置就没了，其实呢，还有什么？还有第二种情况，那第二种情况我们继续啊，把这个图给大家画出来，这个里边呢，是不是在这个里边呢？ 看好这块是 p， 然后呢，这个位置是十度，这个位置是十度，这个位置就应该是八十度，对不？看这样的，十度八十，九十，九十加 x， 那 好，这边呢，我们来计算，应该是不是九十度减去 x， 行了吧。这种情况下，我们看啊，角 p o b 是 不是八十度？三等分八十度 它能占其中的一份吗？不能，因为如果是一份的话，那八十度这个角 m o b 应该是八十度乘三等二百四是不可能的，对吧？因为平角是一百八，那只能说角 m p o b 是 两份，是八十度，然后呢，角呢？ p o m 是 一份，要不怎么能满足三等分呢？好，那既然这样的情况下，我们继续可以练一个方程了。 这边角 p o m 应该是九十度，这第二种情况对吧？九十度减去一个 x， 减 x 加谁呢？加上一个十度看九十度减 x 加十度是这个角， 那这个角有了之后，我们再接着看啊，它应该等于的是啊，二分之一乘八十度，是吧？啊，那我们计算这一百度减 x 等于四十度，那这个 x 等于的是六十度， 没问题。第二种情况啊，所以应该是三十度或六十度。同学们重点啊，计算这里面着重的是分类讨论，设未知数，一元一次方程。
01:33查看AI文稿AI文稿同样都是一起学，学霸数学总能考一百一，但是你却连第一问都做不出来。不是孩子笨，而是学霸早就把考试会考的压轴题型全都过了一遍，问了才知道，用的就是一本的压轴题训练。这本书专注压轴题，没有一句废话与七年级课本同步，比如下册必考的二元一次方程。 先列出一道典型例题，教孩子如何套用公式，规范解答，学完再做针对性练习，题型全面，由易到难，每个章节都是按照这个步骤进行，扫码，还有视频讲解，不怕孩子学不会，每天只要十五分钟就能突破一道压轴题，让孩子把它吃透。初中数学也就不担心了， 初中的数学怎么总是上不了一百一呢？嗯，因为你在平常根本就没有见过这类的题啊，那你怎么可能有思路呢？你不练肯定是做不出来的，你见多了题型，还有他的答题方法之后，你才能增大在考试做出这种压轴题的概率。所以我邀请你每天做两道压轴题，这样可是拉开差距的关键， 千万不要等到考试做不出来才后悔。嗯，我数学从八十分提到一百分啊，就是在一直坚持练啊，有了它我也不需要补课了。你看这个勾股定力，我在课堂上没有听懂，在这里呢，他都有视频讲解，带着我把这个立体搞懂，然后还教我解这种题型的方法，我掌握方法再去举一反三的练习。 机会啊，都是留给有准备的人的，不畏难，坚持练考试，争取把压轴题都做出来。嗯。
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10:28查看AI文稿AI文稿好嘞，同学们来，今天我们看一下这道题啊，说如图一第二十八题啊，已知直线 l 与 x 轴交于点 a 一 零与 y 轴交于点是零。三以 a 位直角顶点，在第一象限内做等腰 r， t 三角形 abc， 对 吧？这边有个直角可以了，然后呢， ab 和 ac 相等， 求直线 l 的 解析式，也就说这里面的 ab， 对 吧，有两点和点 c 的 坐标。那第一位啊，很明确啊，是不直接就求了啊，考的是一个待定系数法，这块是一零，然后 b 的 坐标是零，三 零三可以了。解析式啊，这本简单，那么直接代定系数法就可以做了，对不对啊？这里一代入 b 等于三，然后呢， k 加 b 等于零，所以我们知道这个 k 是 不是这个往里一带 k 的 负三呢？那变成负三， x 加三，第一文就有了啊，这解析式， 点 c 的 坐标，这题也非常容易啊，虽然是一个这个坐标系，对吧，那应该考的什么坐标系的一次函数。那这题观察一下，求的是不是这个一线三垂啊，对吧？一线三垂直等腰直嘛，可以我们往下做一个垂，这块呢，是 d， d 这两个相等，然后呢，这个角，这个角和它九十，那和它也相等，对吧？这边还垂直变成角，角边这两个三角形全等，我是把思路传一传三角形 a， o， b 应该是全等于三角形，谁呢？ c， d， a 对 吧？ a a s 一 旦全等之后，所以 a o 等于 c， d 等于几啊？等于一，这两个等于一 好，然后呢， o， b 等于的是 a， d， o， b 等于 a， d 等于几，等于的是三。那这样的情况下，所以 c 的 坐标横坐标多少是一加三等于四啊，哎，四纵坐标是一，那这个也就求完了。第一问啊，两个基本的小应用，一个待定系数法，一个呢？一线三垂直用全等啊，几何解出来。 好，来，我们看一下第二问，找到第二问啊，如图二点， m 是 bc 的 终点，我们刚才已经求了，这块是零三，这块是四一，所以根据终点坐标公式，这 m 是 可求的，对不对？ m 应该是零加四除以二， 加上纵坐标呢？三加一除以二，也就说推出来这 m 应该是二和二，找到点， m 是 它的一个终点，二二，那我们连接啊，以动点连接 pm 和 pc， 求 pm 加 pc 的 最小值啊，最小值可以了，并求谁啊？这里边啥呀？是一个将军一马啊，对吧？求最值，问题取最小值是多少，然后并求点 p 的 坐标，那我们具体看一看啊， pm 在 这， pc 在 这，对吧？这块是一个什么点呢？这块是一个定点， c 也是一个定点。那可以了 啊，找到 p 呢，在 a b 上运动，那将军码最标准的时候找对称呢？找对称，这里我们看是找 m 还是找 c， 因为这里边是什么？这块是不是一个等腰值，等腰值，然后这一点坐标还是一零，那很明显应该找谁啊？是不找 c 的 对称点啊，也就是说在这个位置有个 c 撇 好，那 c 撇的情况下，一旦有了，我们这是个定点，然后一连接这块两点之间是不是什么？是不是线段这个距离最短？那这个 p 点是不是就在这个位置就出现了啊？可以了，那我们来看一看，关于这里边怎么求呢？先找一找，你会发现 a c， a 点坐标知道了， c 点坐标知道，那根据这个中点坐标公式，这个 c 撇是不也可以求啊？啊，我们设 c 撇是 x 和 y 啊，设两个点啊，一个 s， 一个 y 是 不可以，或者 m 和 n， 你 第一问中我们已经用了，对吧？那我就用 m 和 n 吧， 这里边啊，一个 m 一个 n， 那 怎么办呢？看 m 加四除以二，终点坐标公式等于谁？是不等于一，然后呢， n 加一除以二是不等于零，所以我们一求 m， m 等啥呀？ m 是不等于的是负二，而 n 是 不等于负一。要说这个 c 撇，这一点我们求出来了，是负二和负一，对吧？同学们， c 撇是负二和负一，紧接着再求啊，可以了， 两点之间求 pm 加 pc 的 坐标值， m 点坐标有了， c 撇点坐标有了，那两点之间距离公式是不也就可以求了？有时候它的最小值就是 cpm 等于根号下用二，嗯， 二减去负二，那变成二加二的平方，再加上二，二干嘛呀？二加一的平方，好嘞，同学们看一看啊，这位置是四的平方，这位置是三的平方，开根号，那应该得几啊，是不是应该等于五啊？嘿，它的最小值就等于五啊， 考的非常的全面，对吧？终点两点之间距离公式都考了，那再看这个 p 的 坐标怎么办呢？同学们， p 点 p， 那 应该，我是不是得把 c m 这个解析式找到，然后呢，把 ab 这个解析式找到，对吧？连立减个二元一次方程组，那可以了啊，代定系数法。同学们，这我不，我不带入了啊，我直接求就可以了。 待定系数法我们找到之后啊，这个 c， m 就是 y 等于四分之三， s 加二分之一，然后我再把 ab 呢说， ab 这条也我刚才已经求了， y 等于多少，说负三 s 加三呢，他们一连立，一连立是不就可以解出来了？好，我们这个 p 点照样计算，做完是多少啊？横坐标是三分之二，纵坐标是一啊， 找到啊，同学们，那这一问就可以了，那我们重点看一看，考察的什么呢？是 c 撇 m 这条线对吧？啊？ c 撇 m 这个的解析式待定系数法啊，我直接写了你们的计算，然后呢，以连力二元次方成组。好，这是我们的第二问。来，咱们继续啊，再找，找到第三问看一看啊，这问又干啥了？ 说，咱们在二的条件下，哎，当 pm 加 pc 取什么值啊？取最小值时，直线 pm 上存在了一点 q， 存在一点 q， 使三角形 a p q 等于九分之十。哎， a p q， 那 我们来把这问复原一下，这块有一点什么呢？这块是不是有个 c 撇啊，然后再连接 啊，在这，在这条线上，对吧？ c 撇 m 可以 了，然后呢，这块有一点 p， 有 一点 p， 它说 a p q 等于 aob， 那 首先我们得看一看啊，三角形 aob 的 面面积我们是可以求的， aob 等于二分之一，那 oa 是 不等于一， 然后呢， o b 是 不等于三，比如说这面积是二分之三，那也说 s 三角形 a p q 等于九分之十乘二分之三，最后一算是多少啊？三分之五， 三角形 a p q 是 三分之五，对吧？那具体的我们来看一看啊， p 点的坐标我们是知道的，是三分之二和一， m 的 坐标是二和二， a 的 坐标是多少？是一零， q 能在哪些位置呢？对吧？我们分别去处理一下， 那也就是说是不是要开始进行分类讨论了？同学们，首先我们看一看啊，他说三角形 a 在 这， p 在 这，那假设 q 是 不是可以在这个位置啊？啊？我们来做一个垂，做一个垂啊，这个位置有一点 f 啊，找到一个垂， 来看这个三角形，可以了。第一种情况，我们一 q 在 点谁呢？ 点 f 右侧，哎，讨论一下。然后第二个情况， q 在 谁？ p f 之间。还有一种情况，同学们，哪种这个 q 还可以在谁？是不是在这个 p， q 在 这个 p 的 左侧呀？哎，那分类讨论了，分类讨论大概有这三种情况，好，我们先处理一下，在右侧的时候，在右侧的时候直接来，我推一个啊，其他的我们直接就整理就行了。你看第一个三角形，这里的是 a p q， 拆开 啊，水平偏值，对吧？那等于的是三角形 a p f， a p f 加上三角形谁 a f q， 是 这样的吧，而 a p f 我 们可以求出来的，这面积对不对？来写一写啊， a p f 是 二分之一， 具体的把这段都求出来吧，我们知道这个解析式是 y 等于四分之三， x 是 不是加一个二分之一啊？好了，那 a 点是一 f 点我们往里带变成的，是把一往里带变成四分之五，那这段呢？也就说 af 这一段它是 四分之五，对吧？ f 点的坐标啊，就是一和四分之五，让 af 可求。好，那么我们找到这个 af 应该是四分之五，再乘谁呢啊？ p p 点的横坐标是三分之二，对吧？然后呢，是三分之二，一减三分之二， 这里是一减三分之二，应该是三分之一，对，不好，让我们加上这个右边，右边底底是多少呢？二分之一乘还是四分之五，对吧？其实就是一个水平减值，把这个乘来找到它，这个啊，做垂，你看这儿下来做一个垂这一段，那应该是 x q x q 的 横坐标，减一，这一串等于多少？这位等于的是三分之五啊。啊，前边的和右边的，其实你会发现二分之一乘四分之五是可以拿出来的，对吧？减两段好了，那我们来求一求啊，这里的 x q x q 求完之后，我们再往这里面一带， q 点坐标就可求了， 通过计算呢，这个 x q 它是等于三分之十的。行了，那我们把这个三分之十我这往里一带， 它的纵坐标是不可求了。纵坐标是几呢？往这里图像里带，往这个一次函数里带的三，所以第一个答案是三分之十和三。 好，这种情况有了之后，那下边这两个数都可以推了，我们会发现啊，通过分析 q 在 p f 这个时候，我们知道三角形 a p f 的 面积在哪呢？在这个位置，对吧？啊？看这这个就是它的，而它一算 等于二十四分之五，那二十四分之五肯定啊，这个 p 在 这里边就不可能等于三分之五了，对不？所以这种情况第二个它是不成立的啊，不成立的， q 在 这个 p f 之间，那 apq 的 面积一定要小于 apf 啊。好，那我们再看看这种情况，有了之后，咱们再来第三种情况，第三种情况和第二种情况就比较像了，对吧？这个里边来同学们看一看啊， q 呢，应该在哪个方向？是不是在这个 下面呢？在 p 的 左侧，比如说这里有一个 q 点找到啊，是 a p q， 是 不是这一块你会发现这个 a p q 是 不是这个三角形怎么能表示呢？它应该是不是 a q f 的 面积，再减去 a p f 的 面积啊，就可以了呗。那我们整理一下。
04:28查看AI文稿AI文稿从今天晚上开始，每天让孩子练一道压轴题，等期末考试，你就会知道他的数学到底有多好！ 就是这套一本，从今天晚上开，今天晚上开始，每天让孩子练一道压轴题等期末考试，从今天晚上开始，每天让孩子练一道压轴题，等期末考试，你就会知道他的数学到底有多好！ 就是这套一本，从今天晚上从今天晚上开始，从今天晚上开始，每天让孩子练一道压轴题，等期末考试，你就会知道他的数学到底有多好！ 就是这套一本，从今天晚上从今天晚上开始，每天让孩子练一道压轴题等期末考试，从今天晚上开始，每天让孩子练一道压轴题等期末考试，你就会知道他的数学到底有多好！就是这套一本！ and you。
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03:12查看AI文稿AI文稿来吧，兄弟们！很多小伙伴都觉得这个中考几何压轴题啊，特别难，难的好像都不是人做的，好像没有个聪明的脑袋瓜，根本就不可能想出来到底是什么难呢？其实不是这个题难，而是我们认识问题的过程使得这个问题平白无故的增添了难度。 所以难，难不在题上，难在你的认识过程，认知过程上。我给大家举一个例子，如果我们要想去造一台汽车， 我们不会直接把所有的发动机，轮胎，然后底盘，呃，座椅所有的混在一起，我们一起去看这个车是怎么造出来的，疯了，所有人都疯了，太复杂了，车造不了了。但是换一个逻辑，咱能不能先学明白轮胎怎么造，再整明白发动机怎么造， 再整明白底盘是怎么设计的再来，哎，我们再把这个座椅，方向盘，把它们全都准备好，所有的这个汽车的零件组成，它的零件先要准备的非常非常的精良，这个时候最后一步， 咱们把它像拼积木一样拼起来，这个车就结束了，你会发现这个事就没有这么难了，学几何题也是一样的，为什么学亚洲题平常搞的这么难？就是因为在同一个亚洲题目里面，你的认知过程完全错了，你没有准备好点线角、三角形、四边形、圆，所有的底层逻辑， 没有准备好所有的图形处理的基本逻辑，也没有准备好图形关系，几何变换、动点轨迹的基本逻辑，你就开始上来直接看中考亚洲题， 然后你试图在同一道题目里面，既要搞基本辅助线，又要搞图形变换、相似旋转，又要整这里面的图形面积，所有东西全部混在一块，疯了，学不成了对不对？但是换一个视角呢？ 像我们这套中考几何一本通，换一个视角，上侧，先踏踏实实的把所有的点线、角、三角形、四边形、圆，所有的几何元素全部盘明白，盘的非常非常熟练，像你对自己的生日一样熟练。说到终点有终点的四种用法，说到角分线，知道角分线的三种用法，说到圆有四条常用辅助线， 这就好像你把轮胎、发动机、座椅、靠背、方向盘全部准备好了，好了再来到下侧，再来到下侧，我们看 如何把这些零件拼装成一道综合题，反过来一道综合题，我们如何去拆解？这个时候你会发现，那么再难的综合题，它不就是由那一个个点、线、角、三角形、四边形、圆以及图形变换、动点轨迹这些基础要素拼起来的吗？这个时候它就没有那么难了， 所以难的不是题目本身，而是认识题目的过程，这个过程一定要对。所以很多小伙伴跟我说，能不能跳过上册，直接看下册，我听起来就很来气，这就好像问我能不能先不造发动机，不造轮胎，不造方向盘，我直接开始造汽车， 那你咋不直接造火箭呢？兄弟们？所以一步一步来，这套书就是帮你建立正确的学习认知的最好的一套书。千万不要觉得它好像上册，没有多少就对它掉以轻心， 上册就是你的每一个零件，零件越精良，你才越有可能拼装出最牛的汽车。好吧， 兄弟们，一步一步来，从上册的基本辅助线啊基本思想到下册的综合题目拆解，只要你按照正确的认知去学习，中考数学根本就不算啥，加油吧兄弟们。还有再多说一句，这套书赶紧背一本好吧，拜拜。
539马哥数学
08:56查看AI文稿AI文稿初一年级祥哥学校这道压轴题啊，难度很大，今天啊，我们来处理一下，说那个在 在平面直角内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为共边角，是给一个定义，对吧？ 然后呢，例如我们看这个图啊，这个 a o b 和这个 b o c 都有公共顶点 o 和一条公共边 o b， 它这里面有两种情况，给你举两个例子啊，所以这两个角是共边角。好，那我们看啊，第一问说，当两个共边角为六十度和 三十度时，他们的非公共边的两边的夹角是多少度？那么由这道题啊，我们可以看一看啊，大概呢啊，我们来画一画，也可以啊，比如说我们画一条，这里有一个角，这是多少呢？可能这是 o a b， 这是多少度？这是六十度，对不对？那共边角的情况下，我们可以谁呢？以 o b 为公共边也没问题啊。那以 o b 为公共边，应该有两种情况吧。第一种呢，可以在这啊，这里是 c， 那这个是多少度？这种是不是三十度啊？我们以 o b 为公共边啊，这种呢，一个是往下，一个往上。所以呢，第一种情况，他们的这个夹角，他们非公共边两边的夹角应该是不是就是九十度啊？ 啊，这是第一种非公共边是谁呢？一个是 o a， 是 不是一个是 oc？ 第二种情况呢，我们再接着看啊，说老师把这图画完，这个是 a o b， 对 不啊？这边是六十度，六十度。说老师，这回的共边角，我们往往谁来啊？我们可不可以往里边来，比如说到这，这个 c， 这个角是三十度，也是没有问题的呀，同学们，我们看啊，还是以 o b 为公共边，那这个时候呢？非共边，非共边这个角是谁呢？是不就是下边这个角了？六十度减去三十度是不等于三十度啊，也就是九十度 或多少呢？啊？或三十度，对吧？哎，这两个第一份我们就求完了，那第一份求完之后，我们相应看这个第一份的第二个空啊，说这两个共边角的平分线的夹角的度数。第一种情况， 共边角平分线，这个在哪啊？说在这呢啊，这个是三十度，这个呢？平分线这个是十五度，那这样一加，第一个答案应该是四十五度，对吧？来，那我们看看。第二个啊，这个呢，共边角平分线， 那是不就在这呢？角 aob 的 平分线就在这，是三十度啊，好，然后呢？共边角角 boc， boc 的 一半是不在这，那这边应该是，呃，十五度， 然后呢？他让我们求啊，这两条平行线的夹角，平行线夹角这边呗，那这是不是也是十五度？也就这里边是三十度，减去十五度等于十五度。好，综上啊，这也是两个答案，应该是多少度呢？是四十五度和十五度。核心逻辑啊，就是共边角，我们讨论一下，它有两种情况， 我们来处理一下。第二问啊，说若两个共边角非公共边的两边所成的角是一个直角， 则这两个角的角平分线的假角的度数为多少度？好，那我们来看一看啊，第一种情况就比较简单了，比如说我们先做一个直角 啊，把它给它分一下，对吧？啊？两个角公共边这里边是 o b， 可能 o b 是 公共边，这里有个 o a， 这边有个 o c o c， 是 非公共边，它俩的假角啊，放在一起是多少度啊？是直角所成角是直角，对吧？则这两个角的角平分线。 角平分线的假角，哎，这边有一个，这边有一个，那这个角是多少度？那这个角很明显应该是不是四十五度？看这种情况啊，这俩角相等，这俩叉相等，那一点一叉是不就应该是外边的一个一半啊？四十五度 啊，这种方式啊，处理起来是比较好处理的，那我们继续啊，再把第二种，我们分类讨论呢，这是第一种情况，对吧？再继续画图， 我们把这个第一个图处理完之后，我们看啊，这个 o b 是 这个里边的公共边，对吧？我们到这个第二幅图中，我们把 o b 在 哪个位置，是不是在这个外边呢？这个 o b 是 公共边，然后我们能推出这个非公共边，这个角 a o c 是 不等于九十多，对吧？好，那在这种情况下，我们看这个平分线啊，第一种，我们找到角谁啊？ m o n， 哎，角 m o n 等于啥呢？ m o n， 它应该等于角 b o m 减去角 b o n， 对 吧？ 平分线换一换， b o m 应该是二分之一角 a o b， 然后呢，角 b o n 是 二分之一角 b o c， 那 么我们把二分之一拿出来，这个角 a o b 减去角 b o c a o b 减 b o c， 就 等于多少？二分之一 乘哪个角？是不是乘角 a o c 啊？仍然是一个四十五度啊，还是四十五度？那我们现在来看一看啊，这是有两组图，其实呢，这道题啊，难难在哪个位置呢？还有第三种情况啊，第三种情况，我们把图做一下， 我们看啊，当这两个钝角的时候，你看这个角 a o b 和角 b o c， 它们的公共边是不是还是 o b？ 那前面的 o m 应该是这两个角的平分线，然后呢？ o n 是 它俩的平分线，可以了。哎，那这样看，然后这边等于九十度，我们来看一看啊，我们要求是哪个角啊？是不是这个角 m o n， 角 m o n 是 它的一半，那就应该是三百六十度，减去一个九十度，对吧？我们一个周角三百六，把这个九十减掉，剩下是二百七， 那二百七他们的一半是不就可以了？哎，一个叉和一个点是整体的一半，我们一计算是一百三十五度。有人说，啊，这道题你看啊，这种情况也是符合的，所以说这道题整体的答案是四十五度或一百三十五度。同学们啊，这三幅图，同学们要整理一下。 好，完事之后，我们看下第三题啊，说，若这里边的 o d 和 o e 分 别角，一个是 a o c， 给了两组图，对吧？一个 o c 共边角在这，一个 o c 在 这个位置。行了，让我们猜想这个 d o e d o e 在 这个位置和 a o b 的 一个关系，和 a o b 的 一个关系，并以图一和图二为例，我们啊加以说明。 那找一找呗，我们看这幅图里，第一幅图里面知道这个 o d 平分这个 a o c， 然后这个 o e 平分这个 b o c， 是 了不？那我们去找一找，找谁呢？看这个角 d o e， 他 说这个角 d o e 和角 a o b 的 关系啊，那我们第一块这个角 d o e， 咱们应该知道是 d o c 减去角 e o c， 对吧？让我们任选一个啊，就可以证明了，图一图二啊，它这结论是一样的，那我们就选图一了啊，就说这里面来看， d o c 等谁啊？它应该说二分之一角 a o c， 然后角 e、 o c 呢，是二分之一角啊，这个 b o c 对 不对？把二分之一拿出来，二分之一拿出来，里面变成角 a o c 减去角 b o c 等于二分之一 a o c 减去 b o c， 那 二分之一角 a o b 呗，二分之一角 a o b 等于二分之一 a o b 不 就行了吗？对吧？ 哎，那这个数量关系是不也就有了啊？第二个图里面我们去推啊，其实也是一样的啊，这个 d o e， 对 吧？ d o e 和 a o b 的 一个关系啊，也能找到啊，这里面自己我就不推了啊，它以一个为例就行了。来，我们看看第四个啊，第四个，同学们，再接着来 说，在同一条直线上，我们把有一个公共端点的称为公共端点，例如 ab 和 bc 都有公共点 b 啊， 所以这两条线段是共端点线段。若两条共端点线段的长度分别是 m 和 n， 则这两条线段中点之间的距离啊，那我们来看一看啊，这里边啊， 说里边有个 a， 有 个 b， 可以 了，我们如果说这个 c 共端点，这个 c， 在 这种情况是可以的，这边有一个 m， 这边有个 n， 对 吧？他们的两个的什么点？ 端点，端点中点，是吧？这两个中点，所以这个中点，这一段加上这一段，那应该是二分之 m 加上 n。 比如说呢，那第一个这个答案，它是二分之一 m 加 n， 这是一种情况， 那我们再看啊，我们可以换一个啊，换一个表示方式，比如说这块是个 b， 这块是个 a， 这块是个 c， 那 能不能都是共端点？这个 b a 和 bc 啊？ b a 和 bc 啊，是不是也行啊？啊？那我们不妨设这个 b a 这段是 m， 然后 bc 这段是 n， 对 吧？他们两个分别的端点， 对吧？这两条线段终点之间的这边有个终点，这有个终点，对吧？可能这个东终点是 d， 这个终点是 e， 要求我们这个 d e 的 长度。那 d e 是 不是等于的是 b e 减去 b d 啊，这也可以，对不对？那 b e 这一段呢，就是二分之一 n， b d 呢？二分之一 m 等于二分之 n 减 m， 可以 了，我们这道题并没有说哪边是 m， 哪边是 m， 等于二分之 n 减 m， 可以 了，我们这道题并没有说哪边是 m， 这块是 m， 对 不？所以这个位置我们只需要加一个什么 绝对值。哎，这个最后的答案，这位置我们加一个绝对值，就二分之，你可以写成 m 减 n 的 绝对值，或二分之 n 减 m 的 绝对值都行啊。那另一个答案呢？刚才已经求了，说二分之 m 加 n 呢，也就说他仍然考察了一道分类讨论。那整体啊，这道题啊，这个四问，同学们整理一下。
