联考数学最后一道题
粉丝406获赞2527
相关视频
21:23查看AI文稿AI文稿来，咱们继续更这个二零二六名校联盟五月联考的最后一卷的多选部分。 这个第九题啊，他说呀，等比数列啊，他是等比数列，然后呢，告诉你 s 三呢啊，等于七，然后还告诉你啊， a 四 等于四倍的 a 三，再减去四倍的 a 二，那它是等比竖列的话，那我们就以 a 二为基准呗，对吧？所以说它就应该是 a 二乘以 q 方，然后等于四倍的 a 二乘以 q 啊，再减去四倍的 a 二，这样的话呢， a 二就可以约掉了 啊，那得到了啥呢？ q 方减去四 q 啊，再加四等于零，有时候 q 减二的平方等于零，也就 q 啊，就等于二呗。 那么 q 等于二的，那么 s 三呢？等于 a 一 加 a 二， a 二的等于 a 一 乘以 q 啊，乘以二加上 a 三， a 一 乘以二的平方啊，乘以四 啊，因此它就等于七倍的 a 一 啊，七倍的 a 一 呢，等于七啊，题里告我的，所以说 a 一 也等于一啊，所以这道题通项公式求出来了 啊， a n 呢，就应该等于首项一乘以 q 的 啊， n 减一次密，所以说就等于二的 n 减一啊。 ok， 那 所以说这道题 a 对 啊啊，然后咱们再看这个 b 选项啊， b 选项，他说 a 五，是吧，那就算呗， a 五就应该等于二的五减一次密四， 对吧，等于十六啊，所以说 b 也对，没毛病， c 选项 c 选项，这不明显的是对数对吧，求的考的是对数的运算是吧？ 那么相当于啥呀？ log 以二为底啊， a 四等于啥呀？等于二的三次密是不加上 log 以二为底二的四次密，加上 log 以二为底二的五次密啊，这样的话呢，三四五啊，都是可以提出一道系数的，然后 log 二零二呢，就得一， 是不是相当于三乘一加上四乘一加上五乘一，是吧，那就等于十二嘛。啊，这道题 c 也对啊，再看得选项得选项就都倒过来了呗，对吧？ a 一 等于一，那就是一分之一啊，加上，这是二分之一，加上三分之一，加上啊，不不不， 写嗨了啊，加上四分之一，加上八分之一啊，因此他肯定不可能啊，是十六维分母的啊，所以说他一定错啊，对吧，所以说这道题啊，这个 abc 的， 嗯，没有任何的毛病啊，再看这个第十题，这第十题啊，图都给你画完了， 他说啥呀？他说有个叫蒙日的啊，蒙日圆吗？那啥叫蒙日圆啊，他说了是吧，哎，这个椭圆啊，有两条互相垂直的切线啊，如果有两条互相垂直的切线啊，这样的所有的点啊，所组成的 这个这个这个这个曲线啊，他的轨迹是什么呢啊？就是个圆，就这意思啊，就是有一个圆啊， 啊，这个圆呢，上面的所有的点啊，过这个圆上的所有的点向这个，呃，这个这个这个椭圆啊，做切线，那么切线呢，永远都是垂直的啊，就这意思啊，这个圆的方程是啥呢啊？就是 f 方加上 y 方，等于 a 方加 b 方， 他说点 f 一 f 二为椭圆的两个交点，然后呢，这条直线，这条直线很明显它是有横过点的，咱现在把横过点做出来，这横过点很明显，这个 a 等于零啊，对吧，所以说应该是零到四啊，也就是说这个点啊， 过零到四啊，做了一条直线，在这条直线上的任何一个点都可以向这个椭圆 c 啊做两条切线，那说明啥呀？ 这句话翻译成人话是啥意思啊？哎，就说明这个 p 点永远都是在椭圆外的，也就是说啥意思呢？也就是说直线 l 与啊这个椭圆 c 怎么的相离啊，它俩一定是相离的啊，这句话翻译成人话就这意思， 然后呢，切点呢？分，分别为 a 跟 b 啊，切点分别为 a 跟 b， 它说其中存在两个点啊，使得 p e a 啊垂直于 p e b， 也就是说在这条直线上存在两个这样的点，都能够让这两个切线互相垂直 啊，那就说明啥呀？这个切线互相垂直就是猛肉圆啊，那么这条直线上还能有两个这样的点，那就说明啥？说明这个猛肉圆啊跟这个切线啊，一定是有俩交点的，因为这个点既是能互相垂直啊，两条切线互相垂直，而且还得在这条直线上 啊，是不是这样的，所以说就说明这条直线跟猛肉圆肯定是相交的啊，所以说这句话翻成人话就是这意思， 对吧？哎，存在两个点嘛，那如果存在一个点，那就是说明这条直线跟蒙着圆相切，如果没有这样的点，就说明这条直线跟蒙着圆相离嘛，对不对？所以说就说明啥，说明圆与直线 相交啊，就是你把这画的翻译成人话呀，对吧？哎，你能翻译成人话，那这题就好做了，当然我们可以把这个蒙着圆画一下，是吧？那就应该是啊，大概啊， 长这个，长这一出，是吧？啊，长这一出， ok 啊，这个蓝色的就是这个蒙元啊，当然画的不是特别标准啊，但是意思到了啊，就是分别有两个点，一个是这个 p 一， 对吧，然后呢，这个点，这个点就是 p 二，哎呦，我这嗓子， ok 啊，咱们来看选项，这个 a 选项，他说 p f 一 加 p f 二大于二 a 啊，那这句话翻译成啥意思呢？就是啊，这个 p f 一 加 p f 二，一定都是小于二 a 的 啊，在椭圆上就等于椭圆外大于呗，对吧？那么 a 选项对不？当然对了，因为我们已经分析出来了，这个点 p 啊，一定是在这个椭圆外的，为什么？因为这个 l 啊，与 c 是 相邻的，对不对啊？所以说 a 肯定是对啊， 我们再看 b 选项， b 选项，他问你这个 a 方啊，它的取值范围 a 是 啥呀？ a 是 这个直线的斜率， 同时他也是椭圆方程里面的这个 a 啊，所以说这道题呢，这个两边啊，一定是啊，通过这条直线跟这个蒙日圆啊相交啊，求出一个 a， 然后呢，再通过这条直线啊，跟这个椭圆相离啊，再求出来一个 a 的 范围，求交集， 这样的话就能把 a 的 范围求出来， ok， 那 咱们一步一步来啊，先算这个 b 选项，首先呢，咱们看这个，它跟这条直线啊，这条直线先跟这个圆相交， 那这个圆的方程呢？是啥呢啊？对于这样的来说，就是啊， x 方加 y 方等于 a 方加一，因为这个椭圆方程的 b 是 等于一的啊， b 是 等于一的，对吧？哎，等于它， 所以说半径啊，就应该是这个。那怎么看这条直线跟这个圆的位置关系啊？是不肯定是圆心到这条直线的距离啊，对吧？那么它相角呢，就说明小于半径，对吧？所以说我们要做一下 圆心到直线的距离，那圆心呢？是零到零啊，那把零到零往这个设置里带呗，啊，往这个直线方程里带，那就是零减零再加四啊，当然绝对值就不写了啊，然后比上啊，根号下 a 方加一 啊，这个圆心到直线的距离一定是小于半径的。半径是多少啊？半径呢，也是 a 一 方，根号下 a 一 方加一就得这个，那我们把这个 a 一 方加一乘过去，把根号下的这个，然后呢，就变成了 a 一 方加一啊，大于四， 所以说我们通过这个能解出来， a 一 方啊，一定是大于三的，因此我们有了这边，然后另外一个是啥呢？哎，这条直线跟椭圆是相邻的，就是没碰着，没碰着，没有焦点呗，那怎么办？这是椭圆，因此你没有办法用这种圆的方式去做，你只能咋的。连立呗，是吧， 就说这连立呗，那这是。呃，椭圆先乘个 a 方是吧，那就变成 x 的 平方加上 a 方 y 方啊，再减去 a 方，那等于零，跟这个 啊， y 等于 ax 加四连立，连立完了之后，平方了之后。哎呦我的妈，这还有 a 方，那就是一加 a 的 四次方 倍的 x 的 平方，加上这是八 a， 再乘以平方八 a 立方倍的 x， 再加上这是十六 a 方减 a 方十五 a 方啊，等于零。 这连立完之后的式子求得它啊，得它就该等于啊，六十四倍的 a 的 六次方，减去四倍的，那就是六十倍的 a 方，再乘以一加 a 的 四次方， 这个用它啊，这个玩意呢，小于零。那么合并一下同类项呗，那就是四倍的 a 的 六次密，减去六十倍的 a 方小于零，能提个四 a 方出来，那就剩下的就是 a 的 四次密。减去六十啊，减去十五啊， 对吧？啊，减去十五啊，那它就应该是小于零了，也就是说 a 一 方啊，是大于零，而且还得小于 根号十五，因此他俩是不是应该取交集啊？哎，他俩取交集，交集就是 b 啊，所以说这道题 b 啊，没有问题，然后咱们来看这个 c 选项， c 选项说啥？说离心率， ok， 他 问我 e 方的取值范围， 那么这道题里边 a 已经啊，那个 b 已经知道了啊， b 是 等于一的，对吧？而且呢， a 的 取值范围你已经求出来了，那这题对吧？那 e 方他不等于一减， a 方分之 b 方啊， 对不对？所以说应该等于啊，一减去 a 方分之一，那么这个式子啊，他 a 方是递增的啊，分之一递减，前面有个减号又递增，因此这个式子啊，是单调递增的。又因为 a 的 取值范围是在啊， a 方的取值范围是在三到根号十五，所以说在三数学的最小值 在根号十五处取的最大值。那这道题你用算吗？不用算，因为这个式子啊，最大值的时候是根号十五带进去，对吧？ a 一 方等于根号十五，那说明这个式子肯定在根号这边，没有根号，那肯定错啊，对吧？哎，所以说这个 c 选项是错的。然后呢，最后呢，我们再看这个的选项 啊的选项，让我算啥？ p 一 p 二啊，那 p 一 p 二是啥呀？是不是这条直线跟这个圆的交点呢，对吧？这条直线跟这个圆的交点，一个 p 一个 p 二， 那怎么算呢？这不相当于交点的前长吗？哎，那肯定是过圆心向这条线做垂线啊，这是对，对吧。我们求了这对，然后这是啥呀，这是 r， 对 吧？用 r 方减去 r 方就等于一半的 p 一 p 二，它乘二就完了呗。啊，所以说这道题啊的选项， p 一 p 二，那应该等于二倍的根号下啊， r 方减对方 啊，往里带呗。那因为 r 方啊，我们都说 r 方在这呢的方呢的在这呢，往里带就行了，所以说就等于二倍的根号下， 这是 r 方， r 方就是 a 一 方加一啊，减去这是 a 一 方加一分之十六 啊，就算它啊，算它就行啊。这道题按照你求的是 p 一 p 二的平方啊， p 一 p 二的平方就应该等于四倍的括号， a 一 方加一， 减去 a 一 方加一分之十六，这玩意你看不出来把 t 射成射 t 等于 a 方加一吗？肯定能看出来啊，对吧？所以说，怎么的令 a t 等于 a 方加一，当然了，那么 a 方加一的话，那就求 t 的 取值范围， 因为 a 啊，是在 a 方，是在三到根号十五的，所以说 t 的 取值范围应该是四到根号十五加一呗， 对不对？哎， t 是 这个，因此这个式就可以写成啥了呢？就可以写成四倍的 t 减 t 分 之十六，那很明显，这个式是单要递增的，对吧？单要递增，因此在四处取得最小值是那个 t 那 个根号十五加一的时候取得最大值啊，所以说 这个，嗯， p 一 p 二，它平方就属于把四一带，那就是四减四，正好的零了啊，所以是零。然后这边呢，把根号十五加一往里一带啊，一算完之后就等于七分之四倍啊，十五减去根号十五啊，就是这个答案。那所以说这道题得也对， 这道题第十题吧，整的这么复杂，是不是有点过分？ ok 啊，这个第十题啊，咱们再看这个十一题， 这是一题，是考的三角函数是吧，瞅着挺吓人，但实际上呢，啊，没有那么吓人啊。哈，来，咱做一下， 他说 f n x 啊，等于 sin 二 sin x 的 二 n 次幂加上口三 x 的 二 n 次幂，而 g n x 呢，等于减，对吧？哎，这就说 n 就 开始叠代了呗，对吧，就是可以 n 可以 很多次，是吧？那咱们看这个 ab 两个选项啊，都是让你算 f 二跟 g 二， 就是他这个四次密呗，相当于，是吧，那我们他说这个最小正周期是派啊，那咱们可以简单的化简一下，看一下，对吧？ 那就是 f 二 x 呗，那就应该等于塞 x 的 四次密，加上 cos x 的 四次密，那对于四次密的函数，我们不会做，所以说我们肯定是要变成平方的平方，对吧？所以说，又因为塞方加扣方等于一，所以说这个可以变成啥呀？ 扇方 x 加上口方 x 整体的平方，对吧？那这样的话多了多啥了？减去二倍的 扇方 x 乘以口方 x， 对 不对？哎，所以说这块等于一减去，然后呢，这塞乘口是不还可以写成这个塞二那个塞二倍角了？所以说它正好是应该是提出来个四分之一啊，再乘个二，那就相当于是减去二分之一倍的塞二 x 还带一个平方， 那当然了，你还要消去这个平方，是不是还得升角啊，还要升角的啊，也就是说你把这个方啊，把这个次换下去，那角就得升上去，也变成四 x 了啊，最后肯定是四倍角，所以说这个函数啊，这个三角函数，它的周期一定是二派除以四，应该是二分之派，而不是派， 是吧？所以说你不用再往下划了啊，你知道后边是能够划到四倍角的，那么它最有这周期就一定是二分之派，所以说 a 一定是错的啊。然后咱们再看这个 b 选项， b 选项它说关于四分之派的逗零对称，那就算一算呗啊， b 选项，那么 g 二 x 应该等于 sin 四 x， sin x 四十 m 减去 cos 四十 m， 那 这是一个平方差公式嘛，它一定等于 cos 加 cos 乘以 cos 减 cos 方，而 cos 加 cos 方就等于一，所以说它呢，就等于啊， cos 减 cos 方，那很明显，它等于负的 cos 二 x 对不对？那负的口在二 x， 那， 他是说关于四分之派都有对称，那二 x 的 等于多少呢啊？他要，如果他想要关于这个中心对称的话，那么二 x 一定是得等于啊二分之派加 k 派的啊。 所以说 x 呢，确实是等于四分之派加上二分之 k 派啊。所以说呢，这道题四分之派是它的对称点啊，没有问题，所以这道题 b 是 对的啊。然后呢，咱们再看 c 选项， 那么这个 c 选项啊，就是当它取 n 的 时候，让你问这个值域，当然了，如果呢，这道题我还是用这种方法，就是把它的次方一点一点一点下降，然后一点生角做 啊，非常非常麻烦，你每个都得特殊做，对吧？你比如说 n 等于三的时候，就说六次密，那你六次密，你只能合成三次密的加起的平方，而这个三次密展开太麻烦了，所以说你就不能再按三角函数的思维去想这道题，会越来越麻烦， 对吧？那所以说怎么办呢？那就只能是求他的单调性，就只能求导了，是吧？但是呢，求导你不能在 x 属于 r 上一直在这个求啊，对吧？求不明，那个求不完呐。所以说，我们就得先找这个 f x 的 周期，也就是说先找 f n x 的 周期， 然后呢，你再在一个周期内，你再去讨论他的单调性，这要这么做直域才能做出来，对不对？所以说这样的我们得先找他的这个周期， 那你说这个周期是多少呢，对吧？你看它晒跟扣晒啊，对吧？都有，而且它俩是完全等价的， 对不对？所以说，怎么呢，你加二分之派没有问题啊，因为你 x 加二分之派，它就变成扣扇了，你扣扇 i 加二分之派呢？虽然说变成负的晒，但是由于它都是偶数，是密，你这个负是没有用的， 所以说相当于散跟口散掉掉位置了，所以说它的值一定是相等的。所以说，这道题咱得先找周期，那周期找谁就要找啊， f n x 加二分之派， 因为加二分之派跟通过诱导公式它俩直接掉个，所以说它也一定是相等的，对不对？哎，所以说 f x 加二分之派，那该等于啥呀？按照定义，那就是散 x 加二分之派的二 n 次幂，再加上口散 x 加二分之派的二 n 次密，而又因为啊，对吧，你都是偶数次密，所以说你就不用管它的正负了，对吧？那么塞变口，口变塞，所以说就等于口塞 啊，哎呀，错了，它就应该等于口塞 x 的 二分之密加上塞 x 的 二分之密，这跟 f x 啊， f n x 长的一模一样，因此周期就是二分之派 啊，所以说啊， t 就 应该等于二分之派啊。那么既然它周期就是二分之派，那我们在讨论它单调性的时候，只需要讨论零到二分之派就行了，因为它是周期的啊。 ok， 那 咱们就求导呗，那咋整啊，对吧？ 求导，那就等于二 n 倍的，对吧？ sin x 的 二 n 减一次幂啊，完事没完事，这不就复合函数求导，然后接下来你还得求啥呀，你是不是还得求这个 sin x 的 导呢，对吧？千万别忘了啊，所以说，再乘以一个 sin x 的 导，就是 cosine x， 然后加上 这边呢，就是二 n 一 样的啊，乘以 cosine 的 导，那等于负的 cosine x， 因此这道题我是可以那个提取共因式的都有谁是共因式啊？二 n sin x 乘以 cos x， 这都是啊，提取共因式啊，提出来的，那还剩啥了？剩的就是 sin x 的 二 n 减二次幂，对吧？再减去一个 cos x 的 二 n 减二次幂， 就剩他了，而这个 x 啊，是在零到二分之派的，所以说这都是正的啊，这都是正的，因此就是看他到底什么时候正，什么时候负啊。那由于 sin x 跟 cos x， cos x 零到二分之派是这么画的， cos x 呢？在二分之派，零到二分之派是这么画的，因此它们相等的点正好是四分之派， 对吧？因为 sine 四分之 pi 和 cosine 四分之 pi 都等于二分之二，所以说，那很明显就能判断出来，对吧？因此啊， f n x 这个函数在 零到四分之 pi 上，这个时候 sine x 是 没有 cosine 大 的啊，所以说 sine x 的 n 次幂减去 cosine x 的 啊，多少次幂一样啊，还是小于零呢，对吧？所以说，原函数就在零到四分之 pi 递减， 然后呢，在四分之派到二分之派上，那咱就去整这个零，我取啊，取上了啊，带他啊， ok， 那 么这个函数啊，先减后整，所以说这个函数的值域就要看端点处的值和四分之派的值，对吧？ 又因为你看啊，你当 n 等于零的时候啊，你把 f n 零带进去 f n 零一带呢，这就是零，对吧？这是一啊，所以说就等于一，当然了，其实它也等于 f n 二分之派，因为二分之派的时候，塞也是得一的，而口塞也是得零呢，所以说，这相当于一加零啊，还是一，对吧？所以说零和二分之派都等于一 啊，都等于一，是吧？然后呢，咱们再看这个 f n 四分之派，那 f n 四分之派等于啥呀？那就等于二分之根号二的二 n 次幂，再加上二分之根号二的二 n 次幂， 那不就应该等于，对吧？二分之根号二的平方是等于二分之一，那相当于是二分之一的 n 次幂有两个，那这乘个二，那应该就等于二分之一的 n 减一次幂，这，这，因此它的值域就求出来了，对吧？ f n x 它的值域啊，就应该是在 最小值就是二分之一的 n 减一次幂，最大值一啊，这道题 c 对 不？哎， c 也对啊，没有毛病。 然后接下来看的选项，这个的选项啊，我们因为他，他说在零到二分之派递增， ok， 那 么的选项，其实不就跟 f n x 就 差了个啥呀？就一个是减，一个是加，所以说它导函数啊，应该长得一样啊，就差了这个符号 g n x 啊，它的导就应该等于把这个抄下来，把这个减号变加号就行了。就等于二 n 乘以 sin x 乘以 cos x 啊，再乘以 sin x 的 二 n 减二次幂，加上 cos x 的 二 n 减二次幂 啊。 ok， 那 是在零到二分之派，这是大于零的啊，这也大于零这里边，因为他在零到二分之，这也大于零，这也大于零。那你说能不大于零吗？肯定大于零啊，因此这个函数在零到二分之派确实得好提升啊。所以说得选项比较白给是吧。所以说这道题选择 bc 的。 所以说这道题你就是按部就班的去求，看起来比较麻烦啊。 ok 啊，下个视频呢，咱们更这个填空题，拜拜。
141老林搞数学
23:33查看AI文稿AI文稿来啊，咱们今天还是更这个二零二六年名校联盟的五月联考的最后一卷啊，也是名校联盟的四模啊，咱们今天更这个十八题 啊，来，开始，那我们先读题啊，这一个椭圆啊，告诉你了，这个焦点是在 a 轴上，然后告诉你这个椭圆上有四点，其中有三点 啊，是在椭圆上，那么这种题，这是一道老的高考题啊，至于是一几年的啊，我忘了是一几年的了啊，那么一样的一个题型，那么给你四个点，告诉你有其中三点，那么这种题怎么办？一定不要挨个往里带啊，那不累死了吗？对吧？一定要先找对称的， p 三和 p 四是对称的，他俩是关于 y 轴对称，有时候有一个点呢，在这一个点在这，那么既然这两个点是关于 y 轴对称的，又由于椭圆的对称性，要么这两个点就都在椭圆上，要么这两个点就都不在椭圆上，不可能一个在一个不在，而他说有三点都在，所以说这两个点是肯定都在的 啊，这两个点是肯定都在的，那么既然这两个点都在，那么 p 四啊，它是一斗三分之二六，而 p 一 呢，是一斗一，它们横坐标相同， 那么椭圆来说，它就不可能啊，在横坐标相同的情况下，重坐标一个经过一，然后还能经过这个三分之二六，这是绝对不可能的， 所以说 p 一 点肯定不在，所以说你要通过一定的逻辑判断来确定啊，其实是这三个点在啊，那么我们就随便了，我们就可以把 p 二啊和 p 三啊往这个椭圆方程里一带啊，这题就完事了，是吧？那所以说带一下 啊，那么第一个呢，那就是这个 b 方分之一呗，是吧，带这个 p 二，哎，有的说 b 方是等于一的，带第一个，然后呢，这个 p 二带上去，然后 p 三带上去，或者 p 四带上去，那就应该等于的，是啊， a 方分之一啊，再加上 b 方分之，这是三分之二呗，啊，又等于一啊，所以说通过 b 等于一，那么 a 就 非常容易的就解出来了啊，那么解完之后呢，得到的这个图二方程就是三分之 x 方加 y 方等于一， 然后再看这个第二问啊，第二问，他说 c 一 点的左焦点啊，是这个过这个 c 一 点的左焦点，做了一条啊，不垂直于 y 轴的啊，不垂直于 y 轴的一个弦 a b 啊，做一条直线 a b， 然后呢， a 点是在 a 轴上方， 然后呢，得点是 a b 的 终点啊，出现终点了，那么这个时候脑子里边就得把点叉法就现在挂在脑子里， 然后它的啊，是 a b 中点，然后直线 o 的， 你看，这不直线 o 的， 因此 k o 的 乘以 k a b 等于负 a 方分之 b 方， 这一定得就得在脑子里边先闪现出来了，是吧，然后呢，他说这个直线 o 的 啊，啊，这这条直线又交于一个双曲线，这个双曲线呢，就相当于是把这个椭圆的加号变减号了， 是吧？哎，交于啊， m 点和 n 点，那当然了，这个双曲线呢，他们这个实轴和这个椭圆的长轴啊，肯定是相同的啊，所以说就这么画呗，啊，就这么画啊，然后呢，他说交于 m 点和 n 点，他第一个小问啊，问，你的是四边形 a m b o 啊， a m b o 能不能成为一个平行四边形？那么若能啊，求此时 a b 的 直线方程， ok， 那 么现在呢，怎么能够证明这是一个平行四边形呢？那我们就得想平行四边形性质，对吧？ 那么在圆圈曲线里边儿最常应用的平那个平行四边形性质就是对角线互相平分。当然了，你也可以认为啊，是有什么 a m 平行于 o b， 而且呢， a o 呢，还平行于 b m， 那 么你发现你要是这么做的话，那这道题的计算量太大了，对吧？你要正两组对边相互平行 啊，计算量太大了，或者你去挣这个弦长相等，那计算量更大，是吧？所以说最好挣的是啥？哎，就是的点啊，正好平分了 a b 跟 o m 呗， 对不对？那么既然你能确定这个了，而且呢， a b， 然后呢，这个点是中点点的，然后呢，它这个直线方程还是 o d 做的，那肯定得利用点差法啊，这就这就是我们想这道题啊，比较朴素的这种想法，对吧？那么直线 a b， 我 们可以先设一下， 是吧？那直线 a b 可以 先设一下，那直线 a b 它是过这个左焦点 f 一 的，所以说，那我们肯定是要给它设成 x 等于 m y 加 n 的 形式， 那么第二问的第一小问，那么直线 a b 的 方程啊，我们就应该给它设成啊， x 等于 m y 减根号二呗，对不对？ ok， 然后呢，根据这个点差法，我们是不能够知道 o d 的 这个直线斜率啊，是吧？哎，不 o d 啊，对， o d 就是 o m 啊，所以说 k o m 啊，乘以这个 k a b， 那 么这道题里边的 k a b 应该是 m 分 之一啊，对吧？ m 分 之一，它是斜率的倒数啊， 我说它是这个 m， 那 个 k 是 m 的 倒数，然后呢，再等于负的三分之一，当然这个得正啊，简单正一下啊，我相信这玩意大家都应该都会了啊，所以说 k o m 它应该等于负的三分之 m 啊。有时候 k o m 的 直线斜率我们也知道了，那么 k o m 的 直线斜率知道的话，那这道题可以怎么做呢？哎，我们可以先求对点坐标嘛， 对吧？得点的坐标，因为你 a b 的 直线方程也有了， o， d 的 直线方程也有了，求它俩的焦点，不就得点坐标吗？那得点坐标，因为得点还是 o m 的 终点，所以说 m 的 坐标就能表达出来了。然后我们再把 m 点的坐标带入到双曲线方程里边儿，这样的话，我们就把此时此刻的这个 m 的 值求出来了， 求出来了， ab 不 就完事了吗？就这么简单点事，那把 ab 的 直线方程就写出来啊，所以说我们可以连立啊，这是怎么说呢？这应该是法一吧，是吧？啊，我管这个叫法一啊。 ok， 那 我们就两条直线方程连立呗。第一条直线就是 x 等于 m， y 减根号二啊。第二条直线就是 y 等于负三 m 倍的 x， 对吧？就等它俩连立，那么这一个连立，这就是啊，负的 m 分 之三的 y 呗，是吧，那么就应该等于 m y 减根号二啊，就在这， 然后呢，合并一下，那就是这是 m 加上 m 分 之三倍的 y 啊，就应该等于根号二呗。所以说 y 值就算出来了。这个 y 值是什么呀？是 y 得的值，对吧？ y 得的值，你这一通分变成 m 分 之 m 方加三，你一通分，那就是 m 方加三分之 啊，根号二 m 啊，这就是 y 得，那既然 y 得求出来了，你再把这个 y 得带到这个方程里边，就把 x 算出来了，那么 x 就 应该等于这是 啊，除一个 m 呗，对不对？那不就相当于是 m 加 m 方加三分之负的三倍根号二啊，这就是啊， x 二 y， 那 么既然 x 二 y 算出来了，那么 m 的 方程就是把它俩都乘以二， 对吧？ m 的 这个坐标，那就是 m 方加三分之负六倍根号二到啊， m 方加三分之二倍，根号二 m， 对 吧？那么既然 m 一定是在双曲线上，那么我就可以把这个带到双曲线方程里，那这个双曲线方程呢？是多少呢？是三分之 x 方减去 y 方等于一， 对不对？那么这个就带进去，那就是，呃，算一下，那就相当于是 带进去，那就是，这就是 m 方加三的平方，分之啊，二十四呗，对不对？减去这边是 m 方加三的平方分之八 m 方， 对不？哎，带进去啊，见一啊，就等于这个，然后这个就可以挪那边去，那这边就变成二十四，减去八 m 的 平方，等于啊， m 方加三的平方，那就打开，打开，那就是 m 方的 m 四次方，再加上六 m 方啊，再加九， 然后就合成了一个 m 四次方啊，加上十四 m 方再减去十五，哎，等于零，那很明显这个能十字相乘啊，对吧？ m 方加十五乘以 m 方减一等于零啊，又因为这个 m 方肯定是正的，所以说 m 方啊， m 就 应该等于正负一呗，对吧？ m 就 等于正负一，那因此 ab 的 直线方程，那就是 x 等于正负， y 减根号二啊，就等于它。你看这直线方程非常好算。当然这道题啊，我说这是法一呢，就是用两条直线 啊，去连立，就是用两条直线去连立，求点对，当然这道题点对，还可以怎么做呀？你也可以拿 a b 的 直线方程跟椭圆方程连立， 那么连利完之后，得用二分之 x 一 加 x 二，或者是二分之 y 一 加 y 二啊，得到特点的重做表，然后再算，其实也是可以的，是不是？那我们简单写一下吧，是吧，那么法二换个色啊， 对吧？反二，我们可以怎么的？我们可以连立啊，那么连立的话，那就是，哎呀啊，连立，椭圆方程是它那么一个，是这个，对吧？那么一个通分，那就应该变成 x 方加三， y 方减三等于零，然后跟这个直线方程 x 等于 m， y 减根号二啊，对吧？这直线方程在这， 那他俩连立，那他俩连立呢？话呢？那就是这一乘完之后，一一合并同类项， m 方加三倍的 y 方啊，减去这是二倍，根号二 m y 啊，再减一等于零，所以说通过它呢，我能得到 y 一 加 y 二啊，应该是等于 啊，把符号删掉， m 方加三分之二倍，根号二 m， 然后 y 一 乘 y 二， 那就等于 m 方加三分之负一，对吧？那你看这不正好吗？你再除，把它再除以二，这不就正好跟我们算的这个 y 得一样吗，对吧？你看除以二不就是根号二 m 了吗？所以说，然后接下来你再 x 得，只不过这个你再算 x 得的话呢，你只能带到这个方程里了 啊， x 等于 m i 减根号二里啊，然后再算 x， 那 但是最后答案都是一样啊，这不就殊途同归了吗？也就是说唯一的区别就是啥？就是你这个点 对啊，点对的坐标啊，就是你这个点对的坐标，到底是用两条直线连立算的，还是你用直线跟椭圆连立算的啊？就这点区别啊，对吧？那么我觉得肯定是相比之下，肯定是直线跟椭圆连立算的啊，因为都是一次的嘛， 但是大差不差啊。 ok 啊，咱们再看这个第二问，第二问他说的这个这个四边形呗，对吧？就是 a m b n 啊，这个四边形的这个面积怎么算？ 哎，那么这个面积怎么算？它也不，它也是不规则的一个四边形，是吧，它也不是什么平行四边形或者啥的。所以说这种题啊，那么就得怎么办呢？你看，我已经求出来 a b 了，就是 a b 的 直线方程了，而且呢，我已经把点 m 坐标都求出来了，那点 m 点坐标求出来那 n 点坐标？不，它俩是互为相反数的， 横坐标中那边都是，所以说我们这就对吧，点到直线距离呗。哎，那么我们既然有有连力了，对吧？应该有连力的话，那我们就可以用 a b 啊，跟它连力，我们就可以求出来 a b 前长，然后呢，再求点 m 到这条直线的距离，然后再求点 n 到这条直线的距离 就完事了。而点 m 到这条直线距离和点到这条直线距离，你求一个就行了，对吧？因为他俩的这个点是横坐标和纵坐标都是互相关数的，那中间是可以这个约的啊，如果大家之前做过这种题的话啊，那这种题就非常好算了。 ok 啊，那咱们看这个第二问啊，第二小问啊， 那么第二小问我们就可以啊，直接求 a b 的 这个，直接求 a b 的 这个，这个这个弦长呗。啊，那 a b 的 弦长就应该等于根号下 啊，一加 m 方乘以 y 一 减 y 二，因为我已经连立成了 y 的 二次函数，对吧？所以说我用到的都是 y 呀，所以说这块呢，就是一加 m 方乘以啊，这个 y 一 减 y 二啊，那如果你用的是这个 x 的 话，那就是一加 k 方啊，比上 x 一 减 x 二 啊，它俩完全等价啊，这无所谓。 ok， 那 往里带呗，对吧？那么这就是一加 m 方，然后 y 一 减 y 二的平方， 对吧？那么一平方了之后，分母就变成了平方，然后呢，分子也平方啊，那就变成了八 m 方，然后呢，再减去四倍的啊， y 一 乘 y 二，那么有个符号就变成加，对吧？加四倍，然后还得通分呢，也就是说加四 m 方，再加一个十二呗。 所以说，你看上面正好是十二倍的 m 方，加一，再加啊， m， 十二倍的 m 方再加十二，那么十二也能提出来，所以该等于二倍根号三，然后 m 方加一跟 m 方加一又变，就根号就直接抵消掉了，那么就这个啊，就是等于它，所以说你看这个弦长非常好算， 对吧？哎，这就是它的斜长啊，对吧？然后呢，咱们有斜长了，我们再求 m 点到这条直线的距离，对吧？到 a b 这条直线的距离，那么 a b 的 直线呢？是 x 等于 m y 啊，那我得写成一般式，是吧？那么直线方程写成一般式就是 x 在 这呢啊， 啊，那么 x 减去 m y 加根号二等于零啊，那也就是说这个点 m ok， 那 么点 m 这个坐标呢？首先记住了，这个点 m 坐标你是不能把这个往里带的，因为那是第一问是平行四边形的时候啊，那得点坐标乘以二，就是 m 点坐标，现在不是了 啊，所以说那 m 点坐标呢？你怎么做呢？你只能通过直线方程跟这个双曲线连力啊，得到这个 m 点坐标，但是现在别着急，就是我们还是一样，就是你不做到最后的时候，你就能用未知数表达，你就用未知数表达，你不要着急上来就把这个 x m 点的横坐标中轴要往里带， 因为有的时候你在大量的计算之后，你会发现这个很多的，这个参数就很多的这个式子是可以消的， 那你消了的话，你直接就开始往里带，那可能你多了一些没有意义的预算，然后还让这个柿子变得很难，这就是怎么能够在这个大的 算就是大的这个思路的不变的前提下，还能够一定程度的减少预算，那就是多用未知数，少把这些，就是虽然说我们已经知道他可以用别的方式表达，用其他的柿子去表达一个参数，那么我们也要 坚持把这个参数用到最后，然后再给它带进去啊这样，然后再把那个大的音式再给它带进去。就像这道题啊，你这个 m 的 坐标对吧？你这个 x m 和 y m， 你 是可以通过这个直线跟这个双曲线连立，直接得到 x m 和 y m 等于啥啥的， 用一个含有 m 的 设置表达，但是没有必要上来就直接带，你就一定要化解到最后你再把 x m， y m 再往里带，这才可，这才 ok 啊，我觉得我应该是说明白了啊， ok， 那 我们就先算这个 m 点到这条直线的距离，对吧？点 m 到这条直线的距离啊，写一下啊， m 到啊，这个 lab， 对 吧？的距离， 我现在呢，就用 x m 逗 y m 来表达，对吧？啊，那么的一啊，管它叫的一啊，那它就应该等于这底下肯定是根号下 m 方加一了啊，那上面呢，就是 x m 减去 m 倍的 y m 啊，再加上个根号二吗？ 对不？不用它吗？啊，然后再表达这个 n 点啊，到这个的距离，我就不写了啊。的二， 它得二应该等于啥呀？就应该等于根号下啊， m 方加一，因为啊，这个 n 点的坐标跟 m 点的坐标，横坐标，纵坐标全是互为相反数的，所以说它一定是等于啥呢？应该等于负的 x m 加上 m 倍的 y m 啊，再加根号二，这绝对值，那肯定等于这个。 然后接下来啊，我们可以把 x m 和 y m 换一下子，这都是没有问题的，对吧？哎，我先不用带这个 m 啊， 就不用带这个 x m， 那 因为啊，这个直线肯定是在这个直线方程里的，所以说我就可以啊，也在也在这条直线方程，哎，带这条直线方程好算啊，带底下这个直线方程好算，对吧，所以说我就可以把这个 y m 写成负三分之 m 位的 x m 啊，所以说这个式就变成啥了， 这应该就是一加三分之，那就是三分之三加 m 方啊。倍的啊，这么多倍的 x m， 然后加上根号二啊，然后呢，这个呢，就应该是等于负的啊，这就是啊，根号下 m 方加一分之这，是啊， 啊，这么写吧，这应该是根号二减，是吧？啊，那就应该写成绝对值，根号二减去这个啊，三分之三加 m 方倍的 x m 啊， 是不就等于它？ ok， 然后接下来我们就可以写这个这个这个面积了啊，面积该等于啥？等于二分之一倍的 a b 弦长再乘以得一加得二嘛，对吧？哎， 那么就应该等于，这就带进去二分之一 a b 的 弦长在这啊，二倍根号三乘以 m 方加三分之 m 方加一啊，然后呢，接下来就得一加得二，那么记住了，由于啊，这两个点是分裂在这条直线啊，这两个点是分裂在这条直线的两端的，所以说你在去绝对值的时候，一个是 那个不变的，另外一个肯定是变为互为相反数的啊，这是一定的，因为它在两端，那现行规划啊，当然可以直接用啊，所以它应该等于啥啊？整体的绝对值啊，根号下 m 方加一，然后假如说上面我们去绝对值，就直接的那个直接抄啊，那就是三分之 m 方加三 啊，被 x m 加上根号二，那么底下的这个去绝对值就得调过来写了，那就是相当于是加上三分之 m 方加三被的 x m， 再减一个根号二啊，再加绝对值， 那么加根号二，减根号二，约掉了，所以说，你看这个 m 方根号下 m 方减一啊，你只能跟这个约了啊，但是约一半是吧，还能剩一个，还能剩一个根号下 m 方加一 啊，然后呢，这个三分之啊， m 方加三， m 方加三，约掉了啊，这也约掉了，是不是？哎，所以说，你看这个算完之后，这二二也约掉了，所以说剩啥了？分子剩一个根号，三倍的 根号下啊， m 方加一啊，因为这地方是根号啊，对吧？我约掉了一个之后，这个还剩一个根号下的啊， m 方加一，是不是？然后呢？还剩一个啥？还剩一个，这是三分之一，然后呢？被的 x m， 当然这有两个相加，这两个玩意一模一样，相加，那就还得乘个二， 那么呢，我们好好写一下，那应该是三分之二倍，根号三啊，根号下 m 方加一啊，再乘一个 x m， 哎，这个时候我们再把 x m 往里带 啊，你不要带那么早，带那么早，全都白写一对啊，白写一堆啊。 ok， 那 怎么做这个 x m 呢？那就得用这条直线 o m， 这条直线跟双曲线连立了，得到的是这个 m， 对 吧？哎，那么连立一下，那么这个直线方程 啊，我就搁搁这写了啊，直线方程呢，是这个 y 等于这个负的三分之 m x， 那 么双曲线方程是 x 方减去三， y 方减三等于零 啊，那么这个式子往里一带的话，对吧，那就变成三倍的啊，九分之 m 方呗，那就相当于是 x 方减去三分之 m 方，它就应该等于三， 那么这个就应该是 x 方，就应该等于啊，三减 m 方分之九呗，对吧？因此 x 就 应该等于啊，三比上，根号下三减 m 方。哎，那么会发现，这个里边也能得到 m 方的取值范围 啊， m 方本身一定是大于等于零的，而且它一定得小于三呐，是不是？哎，这是 m 的 取数， m 方的取数范围。 ok， 那 我们得到这个了，因此我，而且我还得到了 x m 的 值，那把这个值往里带呗，那就应该等于三分之二倍根号三，然后呢，再乘以一个根号下 m 方加一， 然后再乘以一个根号下三减 m 方，再分之三，因此三三约掉啊，三三约掉了之后还剩啥了？就剩这个二 倍，哎呀啊，就剩这个二倍根号三，然后这两个都带根号，那就都放根号里边，对吧？那就是三减 m 方分之， m 方加一，那么 这是二次比二次，对吧？这是一个大分式求值域的问题，那么二次比二次肯定要这个分离常数，所以说我要凑一个减三，因为它原来是加一啊，所以说减三加四呗，啊，所以说就变成了二倍根号三啊，根号下， 这是三减 m 方分之四，对吧？再减个一， 就等于这个 ok。 然后呢，又因为啊，我们看这个 m 方啊，它的取范围是在零到三之间，所以说 m 方在零到三之间是递增的，它由于它前面有个减号，所以说它是递减，那么它整个呢，又变成了一个分式，所以说它是递增，递增减一，还是递增 加个根号也递增，也就是说这个式子啊，就是这样递增的，也就是说他在零处取得最小值，在三处取得最大值啊，所以说，那么 s 的 取值范围，这道题是不让我求取值范围啊？对，你看，让我求的是这个三角形啊，这个四边形面积的取值范围 啊，所以说它的取值范围就应该属于，那我们把这个零带进去啊，零这块带进去的时候是中括号，是吧？是能取到，那带进去，那就是三分之四减一，那就是三分之一开根号，那就是三分之根号三， 那么根号三跟根号三相乘，等于三跟底下约了，那就是二，对吧？最小值就是二啊，而当 m 趋近于三的时候，那它趋近于三的时候，你会发现这是正无穷啊，那个不， 这是那个无穷无限，趋近于零的四除以它就是正无穷，正无穷减一还是正无穷，猜根号也是正无穷，所以说啊，到正无穷啊 就完事了。所以说这道题啊，是一个非常朴实而且非常标准的一个圆锥曲线的题啊，计算量呢？啊，怎么说呢？对于高考题来说啊，计算量属于中等 偏多一些一点点，所以说大家对于这个计算量是要有能力算对的，那么其中也包含着一一部分 啊，大家要对这个题啊，这个我们带计算的时候的一些方法，就比如说像这个 x m， 你 不要着急上来就把这个 x m 变成，就是把这个 x m 等于它上来就往里带，你上来往里带是没有意义的， 它又不参与运算，然后你带着它一直写，然后你还要考虑它通分这些那些的问题没有意义，是不是？所以说我们能通过一种啊，就是比较 呃高效的一种书写方式，一定程度上的能够减少一小部分的计算量，那能减少点就减少点呗，对不对？ ok 啊，那么这就是十八题啊，那咱们下个视频见，拜拜。
125老林搞数学
00:24
01:06查看AI文稿AI文稿我们真的爽，同学们又搞到了，这种题又搞到了，太爽了，太爽了！二零二六最后一件 a， 十四题第八题考到了， 太爽了，压轴题秒了！今天考试题，单选压轴，直接爽啊！老师来，同学们， 安徽 s 联盟最后一件单选鸭头第八题啊，单选鸭头，我们只需要几秒钟就能够把它搞定，题目给了这个条件，求这个东西的值。我们先把这两个 lay 先把它整理到一起，然后你来看一下，这边有 lay， 这边没有 lay， 说明这个 low 又消失。 low 怎么消失啊？就是 low 括号里面的东西，它要等于一嘛，它等于一了之后，那证明它整体不就等于零了吗？说明这个东西它就等于零啊，对吧？那就第二个方程出来了嘛， 两个方程，两个未知量，我们就能够把 x 和 y 解出来，你再把 x 和 y 直接带进来，那就直接选 b， 直接爽了嘛！更多精彩内容可以报系统课，高一高三都可以。
2.1万大圣数学
10:04查看AI文稿AI文稿好，同学们，大家好，这节课我们来讲一下 t 八联考的单选择题的第八题就是压轴题，这里呢，首先我们先看到他这里给了你一个 g x 这个函数，同学们一定要 就是看到他一眼就要有想法，否则的话，你这道题想要在考场上做出来的话，那肯定是有难度的，这一题他是也是有命题背景的。那我们来先讲两个函数，这里呢先，我先写一个 m n x m n x， 它会等于 f x 加上 f x， 然后呢， f， 呃，我们再写一个 n x 吧， n x 呢，它会等于 f x 减去 f 负 x。 那 同学们，你们觉得我为什么要先要讲一下这两个函数？这两个函数本身它有没有什么一些特点呢？注意，那我们这里可以去研究一下呀。 那你看，比如说这里很明显不是就是一个相反数的关系吗？所以我如果去研究 m 负 x 的 话，你会发现它会等于 f 负 x 加上 f x， 所以 你会发现 mx 跟 m 负 x 它会是相等的。所以说 无论 f x 长什么样，其实可以这么说，就是说跟 mx 没有关系，你只要 mx 可以 写成 f x 加上 f x， 那 么 mx 它本身一定是一个 偶函数。那同理，我们令下面的 n x 里面的 x 为负 x， 也就变成了 f 负 x 减去 f x， 所以 它本质上跟原来是互为相反数的，所以本质上是一个 g 函数，这里的命题背景就是这个， 那为什么要讲这个呢？很明显，这里 g x 就是 一个偶函数呀，你根本就不用管 f x 是 它是啥，虽然它写成这样子，但它本质上一定是一个偶函数，那这里有什么用呢？ 因为你看我们后面要干嘛？你看他是不是告诉你了， g x 要满足恰有四个零点，那偶函数恰有四个零点，所以我想到了转化，怎么转化呢？因为偶函数它的图像是关于 y 轴对称的，那很明显，如果总共要有四个，那我是不只要在当 x 大 于零的时候有两个 零点数就可以了。因为右边有两个，那么左边一定会有两个，因为左右对称，那么总共加起来就是四个，所以我只要限定一下 x 的 范围，所以我只要研究一边就行了。那也就意味着当 x 大 于零的时候， g x 它就会等于 f x 加上 f 负 x， 并且呢， x 此时会大于零。那我问一下，知道了大于零之后，同学们觉得有什么用？那很明显这个函数本身就可以写出来了呀。因为 f x 里面的 x 会大于零，那很明显，我肯定是带上面那个函数，所以它就会等于 e x 二 x 减一，那很明显 x 大 于零，负 x 就 会小于零，那么小于零我们就会带下面那个，但是呢，千万不要带错了，带的时候一定要把 x 切换成负 x， 那 对于这个函数，那零点是不是令函数值为零？那很明显，我们从零点问题就转换成了方程解的问题，这个也是我们经常转换的一个步骤， 那也就是说零点有两个，那意味着这个方程是不是也应该有两个解啊？所以这里要求 k 的 取值。很明显， 同学们，如果没有两个思路的话，就说明你的题型肯定是不够完善，或者掌握的不够全面。那很明显，我们这里很要想得到有两种方法，那其实大家都能想到分餐，但是呢分餐 也要学会两种分餐话，一个叫全分餐，一个叫做半分餐。什么是全分餐，什么是半分餐呢？分餐都是分餐，但这种 全分叉我相信大家接触的是比较多的，就是说直接把 k 扔一边，然后所有的 x 都扔另一边。那比如说对于这个式子，我们可以怎么样把这个移过来，然后再把这个除到左边去，所以就觉得 k 会等于 e 的 x 二 x 减一，再除以要填个符号啊，变成 x 减一。那现在我是不是只要画出它的函数图像，然后把这个 k 当成一条横着的线线 去切这个函数 a 有 两个焦点是不就行了？那对于这种陌生的函数，同学们只能去求导研究它，那当然你很有可能会碰到一些比较复杂的极限分析，那其实如果同学们学过六大超越函数的话，这种 复杂的极限分析也是要去掌握的，也是能够去掌握的。那这里什么叫半分叉呢？就是说我们要把它分解成两个很好画的函数图像，在这里其实只需要把这一部分往右移就行了，也就是长这样。 那为什么长这样呢？因为左边就是一个曲线，那很明显这个曲线比刚刚这个函数的图像要更加好画。那右边这个呢？是不是直线？那曲线等于直线也有两个解，那其实就是 两个函数的焦点也有两个，那这个函数其实它很好画，很明显它是一条直线，而且这个直线呢，只有一个参数，只有一个参数的直线，我们 肯定知道他一定过某一个定点，并且这个定点要消参就能显现出来，那怎么样？消参令 x 等于一，是不是就可以消参？所以他过的定点是一多号零。 所以你看，如果我现在去在图像当中把这两个函数都画出来，那这个时候我肯定要对这个函数求导啊。比如说，你看我现在对这个函数进行求导，因为我要画的图，我就得知道他的单调区间在求导，肯定要看成两个函数相乘，前导 后不倒，加上后倒前不倒，然后提个一 x 出来，也就是二 x 加一，那很明显。注意，千万不要忘了，我们此时的范围是 x 大 于零，所以这两个都是正数，所以它在零到众无穷都是单调递增的。那把 x 等于零减去， 你会发现是多少？把 x 等于零减去，是不是刚好是负一？好，你看我现在在这里画图， 然后呢？它一定能到正无穷，因为正无穷趋近于正无穷的时候，两个正无穷相乘还是正无穷？这里是负一哦，一路一口呃，一口气直接往上增，而且增的很快，因为有一 x 在， 有这个一 x 在 啊，那这条直线它很明显是过一零的。 那一零你看啊，你令它等于零，你会发现只能 x 等于二分之一，所以二分之一在这里， 那一大概就在他的右边，所以一在这里。那你想想过，一零的一条直线要跟这个函数有两个交点，你觉得这条线怎么画？那我们先看这样一条线，它有几个交点，很明显，是不是根本就没有？那如果这个直线这样子画呢？ 你同学们会有几个焦点？有的同学们肯定会说，哎，这不是一个吗？注意，曲线递增的会比直线更快。这里，所以这这个直线，你看这个曲线肯定慢慢的，慢慢的会追上这个直线，所以这里肯定还有一个焦点，所以这这时候是符合题， 我们就是要找两个焦点情况，所以这个时候临界条件是什么呢？很明显就是相切的时候，所以我们其实过时就是过点一斗零， 然后呢，做这个曲线的切线，大致就这样，那切线问题，我们都统一把切点给他设出来，然后很重坐标，横坐标设成 x 零，重坐标我们都用曲线来代换 好，就变成这样了，那很明显。呃，切线，那其实切线斜率怎么求？其实就是对圆函数求导，我们求过了，所以斜率 k 也就出来了， 把横着不要带进去。那斜率有没有另外一种求法呢？很明显是有的呀，因为他不是过了这两个点呢。两个点求斜率，德塔 y 比上德塔 x 中子不要强减，除以 横坐标相减。如果你会发现一 x 零跟一 x 零全部抵消，把这个分母乘到左边来，那二次项系数长这样，然后长数项跟长数项约掉了，一次项系数呢？呃，这里有一个 x x， 这里挪一个负二 x 过来的话，那就是减三 x 零， 对吧？那这里又因为 x 零是怎么样的？不等于零，因为 x 零是大于零的呀，所以这里可以放心大胆的约掉， 所以马上解得 x 零就是二分之三，那我们再把这个带到斜率当中去，所以解得斜率 k 也就是四倍的一乘以二分之三，那很明显这条切线的斜率是 四乘以一的二分之三，那你觉得 k 这个斜率 k 要怎么样才能跟这个函数 l 两个交点？是不是要比这个切线斜率要更大？所以最终的答案就是 k 大 于四乘以一的二分之三次方，那转化成区间也就是我们的 b 选项。所以这道题的答案选 b 选项这一题呢，它其实出的还是很好的，就是说但它每一个逻辑都是有衔接， 就是衔接的比较明显啊这个逻辑。但是同学们得，首先你得会这个命题背景就反应过来，能够一眼就反应过来他就是一个偶函数， 所以才能进行下一步转化。否则的话，你做这一题会有点摸不着头脑，没有任何的头绪哈。好的，这一题就讲到这里，谢谢大家。
31蜗牛老师
09:22查看AI文稿AI文稿大家好，我是数学徐老师，这次初二月考最后一道压轴题，是一道关于折叠对称动点的曲值范围，有同学考完之后跟我说卡住了，但其实这道题的同类型题，甚至是原题，我在之前的加餐题里面给他们布置过，当时还发了详细的解析，今天我们一起来把它拆解开，看看这一类题目到底怎么去思考。 首先一起来读题，在矩形 a、 b、 c、 d 当中， a、 b、 c 是 等于三， a、 d 是 等于五点， e 在 b、 c、 d 是 一个定点，点 p 是 从点 e 出发，沿折线 e， b， a， a， d 这个好多同学看到这个就很懵了啊， e， b， b， a， a、 d 就 这么个路径走的，每秒一个单位运动，那这边我就去标一下，这个就是 t 做 peq 等于九十度，那题目中，当 p 在 上面动的时候，做 peq 等于九十度， 交 a、 d 或者 dc 于点 q 啊，那其实你读这句话，你要想更深的理解它的时候，因为我们点 p， 它完全是在这个上面动，那你可以，如果 p 在 这里，我做 peq 等于九十度，怎么画呢？是不是会这样子画？九十度，如果我点 p 在 这个地方，那我做九十度，是不是这样画？你要把这个题目先读懂了， 然后第一个他说点 q 和点 d 重合的时候求 t。 这题关键在于先画图，点 q 和点 d 重合，那点 q 就 在这个位置，点 e 是 一个，定，点是二，那这个点 p 是 怎么确定的呢？我们画的是 peq 是 等于九十度， e 在 这里， q 在 这里， peq 等于九十度，那是不就应该是这个样子去画？所以你得先把草图画出来， e 在 这边，那我去画一个九十度，此刻点 p 就 在这里，我需要去求 t 是 多少，那我就去找关于 t 的 等式就可以，那我们来标一标 b， e 等于二，这个是九十度。九十度往往在初三的时候我们会想到，哦，左右两边是相似，但是咱们现在是初二的学生，九十度我们用的更多的是勾股定律， a 方加 b 方等于 c 方，那这个角是多少呢？我们 p 是 从这出发再到这，它的速度是 t， 那 我整整个这边走了二，那这边是不是应该走了 t 减二呀？ 那勾股定律怎么用？那这边的长度是不就等于三？这边的长度是不也等于三？那 p、 e、 q 的 长度是不就等于三？根号二，我们用勾股定律，那这里有九十度的时候，是不？我可以去表示出这段整个的长度是等于三，这个是等于 t 减二，那这个长度是不就等于三？减 t 减二，那就等于五减 t， 那 这个长度就等于五。所以第一个那由图可知，我们是不就可以得到 t 地方是不就等于 t 一 方，再加上 e 地方，那 p 地方咱们就等于五的平方，加上五减 t 的 平方 就等于 t 减二的平方，再加上二的平方，再加上三根号二的平方，就是这个地方，这个边的平方等于他方加他方，这个边的平方等于他方加他方，那这个边的平方就等于他方加他方。 所以我们就可以把这个 t 解出来了，一起来解一解，那就是二十五加上二十五减十， t， 再加上 t 的 平方减四， t 再加上四，再加上四，再加上十八，那 t 方跟 t 方约调负十， t 负四， t 一 过来就剩六， t， 这边是五十，这边是二十六，五十减去 二十六，那是不是还剩二十四？那我们 t 的 长度就等于四，所以第一个答案是 t 等于四。好，那第二题做 点 e 关于 p、 q 的 对称点，其实这题它就是折叠，折叠它有两种序数方式，一种它会告诉你，我将三角形 p、 e、 q 绕着 p q 折叠，那这就是折叠的说法。一种的说法就是我做点 e 关于 p、 q 的 对称点就是这样子 连接 p、 q、 p、 q、 f， 其实它是两种说法是一样的。它说当四边形 e、 p、 f、 q 与矩形 a、 b、 c、 d 重合的部分为一个轴对称四边形，什么叫轴对称四边形啊？这是关于某条线对称的意思。比方说我们常见的这个 平行四边形，它就不是一个轴对称图形，但如果我把它变成矩形，那它的对称轴就是这个或者这个。而我们本身这个四边形 e、 p、 q、 f、 e、 p、 q、 f， 它本身是不是沿着 p、 q 折叠，它自身就是一个对称的四边形，那要和 a、 b、 c、 d 重叠部分为一个轴对称四边形，它的意思是不是指这个四边形完全 在矩形 a、 b、 c、 d 当中？那如果你画一个图，比方说我这屁画短一点，我关于它对称，我的图是这样子的，哎，这个四边形是不就是它在 a、 b、 c、 d 里面就是一个轴对称图形啊？它的对称轴就是 p q 吧。所以我们在做这种题的时候，本身你就要先理解题目， 就是我折叠完的四边形要完全都是在矩形当中，下面我就是在找零界值本身这个动点的轨迹就是在这三条线段上，所以你肯定是得分三类，分哪三类？点 p 在 b、 e 上， 点 p 在 a、 b 上和点 p 在 a、 d 上，这三类是咱们需要拥有的最基础的三类。因为点 p 是 一个动点嘛。好，那点 p 在 b、 e 上，像这种图直接给我画，那肯定就不对了呀。因为这一块出去了，所以它跟它重叠部分就变成了这样的一个四边形，那 这样的一个四边形，显然它不是一个轴对称，所以我要想它是都在里面，它的临界值在里面的，临界值就是在上， 就是在边上。所以你看，当我这个点 p 非常小的时候，我画一个对称就是这样子画的，那此刻这个四边形就是我这个要求的 e p、 q， f f q， 那 它都在这个里面，那它肯定是符合题的。轴对称四边形它一直都在，但是肯定会存在某个邻界值，使它正好在点 q 吧。那此刻咱们就把这个图画一下， 点 e 是 一个定点，那我们的临界值在哪里？是不是当点 p 在 这个位置的时候，而我正好沿着它做垂直，这个点点 q 怎么画的呀？点 q 就是 做这边垂直，这就是点 q 这样的一个临界点。让我去求点 t 是 多少？ 当点 p 是 不是从这运动到，从这个点 e 处一直运动到这个地方，那我折叠是不是都在这个矩形内部？我求出此刻的 t， 那 这个 t 怎么去求呢？我们标一下数据长度，这个长度依旧是等于三，这个长度是等于五，那这个长度是等于三，这个长度是等于二，这边的长度是等于 t， 这边的长度是不就应该折过去，它也等于 t， 它是二减 t， 那 这个是三折叠过去。还有对应边这个长度是二， 这这个也是三，这边也是三，所以这边勾五定九减四，是不是等于根号五，这边就等于三减根号五。所以我们在三角形，这个是 f， 对 应点是 f， 是 不是在 r t 三角形 f b q 中， f b p 中，那我们就有 b p 的 平方加上 b f 的 平方就等于 f、 q 的 平方，那 b、 p 的 平方就是二减 t 括号的平方加上 b、 f 的 平方， b， f 的 平方，是不是三减根号五，括号的平方？三减根号五，哪来的啊？咱们折叠过来，这个长度等于三，这个长度等于二，那这个长度就等于根号五。一共是等于三，所以这边自然就等于三减根号五， 那我们 f、 q 的 长度就等于 f， p 的 长度就等于 t 的 平方。我们一起来求一下，就是四减去四， t 加上 t 的 平方，加上九减去六根号五，再加上五，就等于 t 的 平方。 t 跟 t 约掉，这其实是一个一元一次方程。四 t 就 等于十八减去六根号五，那 t 就 等于 两边同时除以二，是不是二分之九减三根号五。所以在这部分 t 的 范围就是 t 大 于零，小于等于二分之九减三根号五。当它很短的时候，我们这边折叠它一定都是在三角形内部，当它超过这个值，那我们显然看这个折就折出去了，那这个点就不符合题了。 好，第二个点 p 在 a b 上的时候，那我们来画一个草图去模拟，模拟一定是这种折叠题分类的时候，你，你脑子里分三类之后，我就去画图，你可以用铅笔、用直尺自己多画几个。这个点 e 是 固定点，那我点 p 跑到哪里？点 p 在 这个位置，我做一个这个点 q， 点 q 是 在这里，那我按照这个题目来说，这个一折是不是要保证它这边是九十度，是不就折出去了？ 是不是折出去了？那当这个点 p 很 高的时候，就更不用讨论这个是不是也是做做这个折叠是不是折出去了？那他有什么临界值？他的临界值是不是也是刚好落在边上？刚好落在边上，咱们这个图怎么画？那点 p 的 位置就在这个位置，那么画一下刚好落在边上， 这不就这样画，那这个点就是点 q， 那 这个点就是点 f， 那 咱们看看这样的一个四边形，是不是它依旧在矩形当中，它本身是不是还是一个轴对称图形？除此之外，你看 p 再高一点， p 高一点， q 往那边挪一下，那我这个做对称做出来的这个形，它就跑出去了。 如果 p 短一点，那 p 短一点，那我们做这个四边形，它是不是也是出去了？所以这里面就是一个固定的值，那这个固定的值咱们怎么求？依旧这个还是二，这个是 t 减二，那这个就是五减 t， 我 们直角还是一样的去用勾股定力，这个是五减 t， 你 是完全折上去的呀，那这边是不是也是五减 t， 所以 勾股定力，咱们就有 p b 的 平方加上 b， e 的 平方就等于 p e 的 平方， 所以 t 减二，括号的平方再加上二的平方，是不就等于五减 t 括号的平方， t 平方减四， t 加四再加四就等于二十五减去十 t， 再加上 t 的 平方， t 平方跟 t 平方约掉了，咱们这边就还剩六 t， 二十五减去八，还剩多少？是不是还剩十三？ t 是 不就等于六分之十三？这是第二个答案，那我们看第三个六分，呃，这个是二十五减八，这边是十七，写错了，写十七。 好，第三个。当 p 在 a、 d 上的时候，一样的，你去画一个草图，因为这里面动点，它会在三个路径上，所以你分类肯定也是要分三个了， a、 b、 c、 d， 那 我们点 e 在 这个位置，这个长度就等于二，那点 p 你 自己去比拟一下。当点 p 在 这边的时候，我做一个直角，这个就是点 q， 它是不是就跑出去了？你这个做对称做出去是不是就跑出去了？那它是不是也应该有个零件正好在上面？你看，当这个点 p 在 这里，我做一个垂直都下去了，对不对？那它的这个零件只要能把图画出来就简单多了，是不？我这个 p 可以 在这个位置， 那我点 q 的 位置是不是就在这边？那他在这里的时候，这是不是一个矩形啊？是不是矩形？因为这边长度正好等于三，这边长度等于三，这是一个正方形，倘若他不是正方形，你这个就会折出去，但是他是正方形。点 e， 关于他的折叠就是点 f 就 在这边，那我们点 t 走了多少？这长度是二，这长度是二，三，这个长度是二， t 的 长度就等于三加二加二就等于七， 所以我们综上所述啊，你首先脑子里要有个三类的意识，那三类就是点 p 会在这上面动，这上面动，所以我分类就分在这上面，在这上面和在这上面，然后一一去做啊，一去做。所以综上所述， t 的 范围应该是 t 大 于零，小于等于二分之九，减根三根号五，或者 t 等于六分之十七，或者 t 等于七。 好，关于这个折叠的专项的问题。呃，我们之前其实也练过不少，如果有需要的话可以跟我联系咱们这个折叠的题目。初一折叠题重点是关注角度相等问题， 初二折叠是关注有九十度用勾股定律问题。初三折叠关注角和边，并且同时会有很多的相似。这是我们在不同的年级段学习折叠需要注重的重点啊。好，今天就先分享到这里。
20徐老师教数学
12:58查看AI文稿AI文稿来，朋友们啊，这个二零二六名校联盟的五月联考的最后一卷啊，咱们今天更这个填空啊，先看这个十二题，这个十二题数列啊，这道题是二零一五年全国二 一道题啊，但它不是原题啊，它这个倍数改了啊，但是它也是 a n 加一和这个 s n 和 s n 乘啊，那个加一相乘的一道题啊，遇到这种题还是一样啊。这是啊，我在平时我自己这个上课的时候也是经常说，对吧？出现 a n 和 s n 在 同一个等式里的话， 那么这道题要么把 a n 换成 s n， 要么就把 s n 换成 a n。 这个东西啊，跟这个解三角形是一样的。那解三角形经常会给你一个既有边又有角的一个等式，要么把边画角，把角画边，没有别的选择。 那么到底是把这个 a n 画成 s n， 还是把 s n 画成 a n？ 看啥看问题啊，百分之九十五的题啊，都是看问题。这道题问你的是 s n， 那 我肯定是要保留 s n 呐， 保留 s n 呢，就把 a n 干掉，用哪个公式干掉啊？用 a n 等于 s n 减去 s n 减一，这个公式是整个数列当中最最最最最最最重要的一个公式，远远重要于等差数列和等比数列的通项和求和公式。 因为考试的时候，如果考难题，他不会考等差和等比的啊， ok， 那 所以说这道题 a n 加一等于啥呀？就等于 s n 加一减去 s n 呐，对吧？然后他应该等于负二倍的啊， s n 乘以 s n 加一 就等于这个， ok， 那 遇到了两式相加减和两式相乘在同一个等式里的时候咋办呢？同时除以他们的乘积啊啊，说白了就是把它除过去啊，对吧？一除过去变成啥了？数变成 s n 分 之一减去 s n 加一分之一等于负二啊， 当然了，我们习惯是后项减前项啊，所以说 s n 加一分之一减去 s n 分 之一等于二啊，有很多同学算到这， 这玩意咋做呀？那我得通分呢，啪，我给通回去了啊，稀碎啊。遇到了两一个后项减去一个前项，不管他的 就是构型是多么，这个变态多么复杂，那么只要是后项减前项，而且是同构型的，那么这道题说明已经到头了，这不就说明 s n 分 之一就是个等差数列吗， 对不对？因此啊， sn 分 之一这个数列啊，是一个首项，那首项多少啊？首项就是 s 一 分之一， s 一 等于 a 一， 那相当于 a 一 分之一，那就是一 首项是一啊，的等于二的等差数列，我简写了啊，对不？然后写呗， sn 分 之一就等于一加上二乘以括号， n 减一等于二， n 减一，所以说 sn 取个到两边都取到二， n 减一分之一完活， 对吧。所以说这题啊，非常基础，而且很明显，这个老师啊，他是对这个高考题是有研究的啊。不是，这个是一个挺好的老师啊， ok 啊，咱们看这个十三题啊，这十三题，这个十三题是圆锥，是吧？他说圆锥的底面半径啊，先画一个 啊，大概就长这样呗。啊，有个圆锥，他说将一个底面半径为 r 的 球，至于圆锥内，那就说明啥呀，说明这个球是它的啥内切球呗，对吧？ 啊，这里边有个内切球啊，然后呢，他说这个若啊，球与圆锥的底面和侧面均相切啊，那就是内切球了啊，且圆锥的顶点，这呢 到这个球的球面上的距离最小的值，那你说圆锥这个顶点到这个球的球面上，哪个点是距离最小的？是，不就是这个球的顶上 就在这吗？哎，当然我们画轴结面就行了，因为圆锥它各项同性，所以说你只要画它一个轴结面，你沿着它一个轴结面啊，就所有的结面都是一样的啊，所以说，那就相当于这个点呗， 对吧？换个色啊，从这到这呗，嗯，这块呢，就是 r， 那 这块是 r， 你 这个点是球心的话，那这不也是 r 吗？对吧？哎，这也是 r， 那 么这个是 r， 那 底下不也是 r 吗？这全是 r， 对 吧？也就是说他整个这个高啊，就是三 r， 对 吧？然后呢，他问你这个圆锥的体积， ok， 那 出现内切球了， 怎么做呀？等体积法，对不对？那对于这个圆锥来说，咱就等面积法就行了，是不？那比如说我射这个叫 a 啊，这一点叫 b， 这点叫 c， 是 吧？那么这个球心呢？就是 o， 那 么内切球嘛，啊？这都垂直的， 对吧？哎，这都垂直，我管这个点叫得，我管这个点叫 e 啊，我管这个点叫 f， 对 不对？ ok， 那 么对于圆锥来说，我们用等体积法吗？不用，等面积法就行了，对不对？哎，我们把这个啊，我把这个 o b 也连上 啊， o c 也连上，然后这个 o a 也连上， ok， 这三条线，那么就说明啥呢？这个三角形啊，它等于 这个小三角形， aob 加上 boc， 再加上 aoc， 对 不？这三个三角形的和，是不是就等于大的三角形啊，对不对？那这三个三角形你看分别是以 ab 为底， 这个是高，是吧？ o e 是 高啊，然后呢？ bc 为底， o f 是 高， ac 为底，欧特是高，而 o e、 o f、 o d 都是啥呀？都是内切球的半径，这也是 r， 这也是 r， 对吧？那所以说我们就可以等面积法，我们可以先求整个的总面积，因为他说圆锥的底面半径是三，也就是说 c、 f 是 等于三的呗，对吧？那么它整个的底 b c 长的就是六，对吧？那么这个二分之一啊，乘以六啊，底再乘以高，高多少高？是三个 r 吗？ 刚才他说完了，对不对？ ok， 这是他们的整个的这三角形面积，整个三角形面积应该等于这三个小三角形面积之和，而高都相同，对吧？所以说我们就把底加上就行，二分之一，那底是多少啊？我们设这个 啊，准线啊，不是准线，母线呢？设这个母线为 l， 那 是不应该等于啊？三加三的是六，再加上两个 l， 对 吧？哎，这都是分别，这是三个三角形的底，再乘以高，高就是 l， 不就能列这个式子吗？对不对？哎，那我们解一下，那就是啥呀？这是九 r 啊，等于这边，是啊，三 r 再加上一个 r， l 啊，对吧？那 r 跟 r 不 能约掉吗？ 是不是？所以说 l 等于几啊？ l 就 等于九减三等于六呗，啊？ l 等于六啊，也就说明啊，这实际上 abc 是 一个等边三角形啊，等边三角形， 然后呢，让我求这个圆锥的体积，那圆锥体积呢？高是多少啊？那高是不就应该是 h 啊，它应该等于三 r 啊，当然它就直接用这个母线六的平方减去 c、 f 的 平方，三的平方，对吧？等于三倍根号三啊，这就是高，因此这个圆锥的 体积能求上三分之一底面积，底面啥？ pi r 方，这个 r 呢，是三的圆锥底面积的半径啊，底面的半径是三，对吧？ pi r 方再乘以高三倍根号三，完事了，这二对吧，三个三约掉一个，就是等于九倍根号三 pi 啊，非常简单，没有啥难度啊。 然后我们再看这个十四题，这个十四题的考察，又是三次函数啊，高考呢，也经常考三次函数，所以说对于一些三次函数的一些最基本的二类结论，我觉得大家是需要 了解的啊。所以说，你看这道题啊，这套这套卷，出题人呐，还是挺会出的啊，他考察基本上都是高考的热点，是吧？ ok 呢，看这个三次函数，这三个函数，他问你啥呀啊，他说 a、 b、 c 这三个参数啊，分别都啊，都能取这个一到十当中的十个数， 而且你注意啊， a、 b、 c 都属于这个里边，有人说 a、 b、 c 都取三啊，都取一，都取二，行不行？没有问题啊， 对吧？然后呢，若 f x 对 称中心，那三次函数对称中心是多少啊？哎，它一定是啊，对称中心啊，写上 f、 x 啊，对称中心 是多少？一定是啊，这个负三 a 分 之 b， 负 f 负三 a 分 之 b 啊，一定是这个点啊，这就是它的对称中心啊。那为什么是负三 a 分 之 b 呢？其实就是它导函数的对称轴， 就是它导函数的对称轴，你看啊，求个导啊，这个二次结论我建议大家背下来啊，你看，你求个导，那求个导变啥？当然这道题它因为啊， 它本身 b 这块就是负 b， 所以 说这道题的对称中心应该是三 a 分 之 b 啊，对吧？那你看，你求个导，你发现啥，这是三 a x 的 平方减去二 b x， 对 不对？因此这是一个二次函数啊，那么你看啊，随便画一个这个二次函数啊，不，三次函数，它就不能这样 对称中心在哪呢？就在这呢，就是这个点是它的极大之点，这个点是它的极小之点。假如说这个点 x 一 啊，这个点叫 x 二，那么这个对称的中心呢，一定是在 x 一 与 x 二的中间的位置上， 对吧？所以说，就相当于是二分之 x 一 加 x 二嘛。那二分之 x 一 加 x 二 x 二，是不就相当于它导函数里面等于零那两个根呐， 对吧？所以说等于零这两个根分别是 x 一 和 x 二，那么 x 一 加 x 二是负 a 分 之 b， 你 除个二，是不就相当于负二 a 分 之 b 啊，所以说就是它对伸轴啊，就是它导函数的对伸轴，就是它对中心， 对不对？ ok， 所以 说，对于这道题来说啊，它的对伸中心啊，换蓝色比它的对中心多少啊？是三 a 分 之 b 啊，没有负号。 为什么这道题里没有符号呢？就是因为它本身 b 这块位置本身就带了个符号，所以说跟这负抵消了啊，所以它这道题是三 a 分 之 b， 他 说最深中心呢，横坐标那就是三 a 分 之 b 嘛，不小于啊，不小于有不字啊，很多同学肯定是看成小于了。有啊，所以说一定是大于等于 c， 对 吧？ 所以说这道题应该啥 b 啊，大于等于三倍的 a c 呗，不就这意思吗？是不？他问你啊，符合这个要求，就是符合 b 得大于等于三倍的 a、 c 这种情况，那么则啊， f、 x 的 个数有多少个？那就是说明 a、 b、 c 分 别能怎么取值呗？ ok， 那 你看这个 b 值啊，是由 a 跟 c 的 取值决定的，而 a 跟 c 它俩之间是 d 位，是完全等价的。 什么叫地位等价呀？就是 a 等于一和 c 等于三，对 b 的 影响是一样。呃，和 a 等于三， b 等啊， c 等于一，对 b 的 影响是一样的。所以说 a、 b 的 a、 c 这两个是是这个数啊，它趋值是等价的。 所以说我们呢，就研究 a 等于 c 和 a 小 于 c 或者就就行了，因为 a 小 于 c 的 总数和 a 大 于 c 的 情况肯定是一边多的，所以说咱们就可以考虑啊，分情况讨论。第一种情况，怎么呢？当 a 等于 c 时，当 a 等于 c 的 时候，那么这种情况呢？我们可以让 a 等于一啊，最小从最小的开始呗。那 c 也等于一啊。 那如果 a 和 c 都等于一的话，那 b 呢？只需要大于等于三，那就相当于 b 呢？能从三到十能取几个值啊？八个值。也就是说，如果 a、 c 都等于一的话， b 能取八个值啊。 ok， 那 么第二种情况，当 a 等于二， c 等于二的时候，就不行了。 为啥不行了？你这二乘以二等于四了，再乘个三等于十二了， b 不 可能大于等于十二，因为只能在一到十里取。所以说这种情况啊，要不了。所以说 a 等于 c， 就 只有这一种情况 啊。然后再看第二种情况，当真的 a 呀小于 c 的 时候呗。啊，那 a 小 于 c， 那 么 a 等于一，那 c 就 得等于二了呗。那如果是 a， c 一个是一，一个是二，那么再乘以一个三，那是六，也就是说 b 呢，得大于等于六，那六到十呢？能取五个数，五种情况， 对吧？这 ok， 然后呢，如果 a 得一， c 得三呢？ a 得一， c 得三，那 b 呢？就得大于等于九呗，是吧？那 b 大 于等于九的话，就只有两种情况， ok， 然后呢，我们再看啊，当 a 等于一， c 等于四， c 等于四，还行了吗？不行了，因为三四一十二了，对吧？又不够了，又多了。那所以说 a， a 等于一的情况就讨论完了，那么再讨论 a 等于二的情况，就咱一个一个讨论，那 a 等于二， b 就 等于三呢？那更不可能了，那就，那就没有了， 对吧？那就只有这两种情况。那么第三种情况就是啥呢？当 a 大 于 c， 而 a 大 于 c 和 a 小 于 c 啊，他俩是一样的，所以说这有七，这有七种，这边也一定有七种，所以这道题答案就是七加七加八呗，二十二种 完事了，是不是？所以说这道题整个的这个填空啊，我觉得还是比较简单啊，比较简单。 ok， 咱们下个视频呢，看这个十五到十七啊。
94老林搞数学
20:17查看AI文稿AI文稿来，我们来看一下此次啊，时效联考最后一卷的那个多元题的第二题，就是我们的一个第十题，我们先读一下题目，好吧，他说已知点 p， 是 吧？ m， n 是 抛物线 c 上的动点啊，抛物线是多少？外方等于四 x， p 是 不是在这上面动啊？ 那 f 是 c 的 一个焦点，对吧？ l 为 c 的 一个准线，对吧？那我们是不是知道，哎？这点坐标多少，对吧？这点坐标是二分之屁零，那对吧？那就是一零，那准线是多少？是不是 x 等于一个负一啊？也就是负的二分之屁， 那又说什么？他说过 p 点啊，且与 c 相切的直线交于 l 于 q 啊，比如这个 p， 对 吧？他相切交于 q， 这个这边有 q 点啊，但是那我们看具体问题，具体分析， 那我们看他说 a 选项当中，他说 m 减 n 加三的一个最小值为二，对吧？那我们先把这写下来， 对吧？ a 当中什么 m 减 n 加三这个绝对值，一个最小的最小值啊，对吧？由于 p 是 不是在抛物线上，对吧？那是不是满足 n 方是不等于四 m， 对吧？因为，呃， y 轴对应的是 n， x 轴对应 m， 哈，对吧？那由于他让我们求 m 减 n 加三那个绝对值，它的一个最小值，那它是不是有两个未知数，对不对？那我们要求的情况下的话，是不是相当于未知数？越少越好， 对不对？那是不是要消掉一个？那此时应该消掉哪一个？是不是也应该消掉一个 m， 对 吧？因为它这个带 n 方嘛。那我们消掉 m 的 情况下，是吧？ m 等于四分之一 n 的 平方，对不对？那我们把它带进去，那是不是就等于四分之一 n 的 平方减 n 加三，对吧？我们把四分之一拿出来， 对吧？是不是 n 方减多少？四 n 加十二，对吧？那我们它这个是不是一个，对吧？开口向上的一个二三数，那最小值是不是在它一个对称轴那个点？ 那那个点在哪呢？是不是 x 等于负二？ a 分 之 b， 对 吧？是不是等于二的数 最小，对吧？最小值是多少呢？是不是四分之一，对吧？啊？四减去一个八加十二，对吧？等于多少？ 这个时候是不是负四加十二是不是等于八，对吧？四分之一乘以八等于多少，是不是等于二？那四十八的值是多少？是不是最小值等于八？那 a 项是不是正确？那 a 项正确，我们看 b， 那我们看到 b， b 上面说什么？他说 m 加二分之 n 的 一个角是 m 加二分之 n， 那 什么样的一个形式才能形成 m 加二分之 n？ 也就是说这个屁点啊？它这个 x 对 应的是分母，对吧？ n 是 不是对应的是分子啊？对吧？那是不是相当于？哎，我们是不是相当于 k？ 这样这样写 怎么写呢？ m 加二分之 n 是 不是可以等于 n 减零，对不对？ m 减负二 相当于什么呢？是不是相当于 p 点到这个定点负二零的，对吧？形成这条直线的有什么？斜率最小， 对吧？此时这边有个什么？有一个负零，对不对？是不是相当于有个屁点，对吧？到这一点的距离 不是这一点形成的这样一个直线形成了个夹角最小的，那夹夹角最小的时候，那这边这边是不是属于正？它这块是不是，对吧？那我们以此类推，对对对对对，他是不是相当于屁点与这个定点，对吧？啊？跟 抛物线相切的时候，在下方相切的时候，是不是最小，对不对？是不是形成的这样一个夹角，也就是这样的一个斜度，对吧？那我们应该怎么写呢？ 由于直线是不是过定点？过定点，过定点是负二零，那我们是不是可以反射直线？反射直线怎么射呢？是不是 x 等于一个啊？ t 方， 对吧？减二对不对？哎？外等于零的时候， f 二吗？对吧？然后和什么年龄呢？是不是和抛物线的抛物线是多少？外方等于四 x， 那 我们把它带进去，它这块是不是就等于一个？外方等于一个什么？四 t y 减八，对不对？那我们整理一下，是不是就外方减四 t， y 加八等于零， 对吧？由于这条直线，这个直线和这个抛物线是什么？是不是形成相切的点，对不对？对吧？最大值是不是在这，对吧？因为这块形成一个斜率最大这块直径形成那个斜率是最小，应该是负的，对不对？ 那会算出两个值，那我们是不是取最小就行了，对不对？那不管怎么着，这两条直线啊，与抛物线相切，那他与 抛线连立之后，他得到的一个艾特函数，是不是只能求得什么？两个相等的根，对不对？两个相等的根呢？是不是就是相当于德尔塔等于零，对吧？德尔塔是不等于 b 方减四 a， c 是 不等于十六七八，减去有多少？ 四八三十二是不是等于一，对吧？那是不是 t 方就等于多少？是不是等于一个二 t 是 不等于正根号啊，对不对？由于我们是不是需要求的是一个最小值， 对吧？最小，那是不是我们只取负的就行，对不对？那也就是说 t 取 啊，负根号二，但是此时这个 t 啊，并不是斜率， 为什么呢？因为我们是不是反射直线，对不对？那我们应该正常写的话，他是不是应该，是不是应该 t y 等于 x 减二，对不对？然后把 t 移过来，是不是？ y 等于 t 分 之一， x 减去 t 分 之二，这个 t 分 之一是不是他的斜率，他斜率多少？斜率 k 是 不是就等于 t 分 之 一，对吧？等于负的，根号二等于，对吧？此时他的最小值是不是应该是负的？根号二， 对吧？ p 是 错的，我们来看看 c c 选项的时候，他是不是他给了这样一个式啊？根号下， m 方加 n 方减二， m 减六， n 加十二，加上一个绝对值， m 绝对值 m， 由于这个绝对，这个 m 是 不是 p 的 一个什么？ x 的 时候 p 点是在这里，那这个有没有这个绝对值，对吧？都无所谓， 因为他都是正的。那我们先看里面，里面我是不是可以哎？把这个 m 方减是不是完全平方，对吧？可以凑个完全平方，那我们来写一下，他是不是就相当于 根号 m 方加 n 方减去一个二， m 减六，根加十，对吧？加上一个绝对值 啊？由于我们刚才讲了这个 m 是 不是 p 点的，一个 x 点， p 点是不是在正版图上没有这个绝对值？都都一样，那我们是不是这边可以凑完全平？ 那我们这不是 m 方减二， m 是 不是？这不是 m 方减二， m 是 不是加一，对，不对？对吧？那我们凑是不是就相当于凑到什么？ 是不是 m 减一的平方，再加上什么？这块是不是 n 方减去一个六？ m 是 不是要加一个九，对不对？它组成什么 n 减三的平方，哎，此时是不是相当于这个十，正好被分开了，分了一个一，分了一个九，分别给 m 和 n 出了一个黄金分割，对不对？ 他说哎，求什么？他说要求哎，他们这样一个最小值， 最小值，由于我们来看一下他是不是过一个定点，什么？是不是相当于哎？ p 点，这个这里面的意思是不是点与点之间的一个， 对吧？直线，对吧？点与点之间那个直线的公式，对吧？两点之间距离公式嘛，对吧？两点之间距离公式。由于 p 是 外轴上面的那一点，对吧？它与什么点的距离公式是不是与一三？ 这个点也就是 p 点 m， n 与定点一三之间那个距，对不对？那我们先画出近点，近点在哪？近点是不是在这条直线上？ 我来画一下，画一下，对吧？在这条直线上面大概画一个这个，这个 f 点啊，这个 f 点，对不对？在这个直线上面，这个是一，哎，由于我们是不是把一带进去，这个一带进去之后，一带进去之后，它 y 是 不是等于正负二？正负二，那是不是相当于啊？这个定点 e m 是 不是在这？那这有一个定点， 对吧？这有个定点，我们设成那个，呃， e 吧，对吧？这有个定点 e， e 的 坐标是多少？ 三，那也就是说抛物线上的一点啊，到这个距离，对吧？抛物线上的一点，哪一点呢？抛物线上的一点，如果这点是 p， 对 吧？到这个距离，或者是它到这个距离加上一个 m， 这个最小值为二， 那我们应该怎么看？那大家有没有想到过这样一个啊？结论？什么结论？抛物线上的一点 到焦点的距离是不是等于到准线的距离，对不对？那抛物线上这个点到焦点的距离等于到准线的距离，由于 p 点坐标多少，我如随便画一个，这如果是个 p 啊，这一点是个 p， 那是不是它到 f 点的啊？的一个直线，对吧？等于是不是它到准线的一个距离，对不对？它到准 线的一个距离，那它到准线的一个距离是多少呢？我们这边 p 对 不对？那是不是就相当于 p？ p 撇是不是等于 p f 对不对？那 pp 撇是多少是多少？是不是就是，哎，对吧？准线的一个距离多少？这是不是一对吧？ pp 点的一个坐标和坐标是不是 m？ 那 pp 撇是不是始终都是 m？ 加一 对不对？那我们这块是不是就可以看成， 我们是不是就可以看成 p 点的到 e 点的值啊？加上到 p f 点的一个值，是不是距离是最短的？ 我们是不是可以这么好看，对不对？这边加上一个 e， 对 吧？不影响，对吧？不影响这边这个角质，因为它加的始终是一个什么定质，对不对？那这块是不是就相当于什么？这块？这块是不是就相当于 p 到 e 的 距离？ 然后我们这边再加一个一，对吧？不影响啊，我们加了一个定值，是不是不影响前面值的一个大小？那这个加一是不是就是属于，哎？ p f 这块是不是属于 p f？ 那我们根据这样图来看的情况下的话，那是不是 p 点正好是在 e f 啊，这条直线形成啊？经过的这一点，这点取 p 啊，这个 p， 这个 p 是 不是最小？ 为什么呢？有人说老师为什么这样？那我们来看一下，根据我们三角形啊，三角形的一些定义来讲啊，是不是两边之隔大于第三边，对吧？如果屁点在这啊，屁点在这的情况下，我们把它画好，对吧？屁点在这那这块是不是形成了，对吧？ p e 加 p f， 对 吧？就是 p e 加 p f， 那 此时是不是就相当于，哎，这个两边之隔是不是大于这个第三边，对吧？那同样的道理，如果 p e 在 这边的话， 他是不是也形成这样两两边之隔大于第三点，两边之隔大于第三点，对吧？那是不是只只能说明我屁运动到，对吧？正好跟这个 e f， 对 吧？因为这个一点的横坐标和这个 f 点的也交点的横坐标是一样的，所以说 就是这条直线，对不对？那我屁点是不是正好运到这屁在这？比如说屁在这 这一个斜边，对吧？形成那三角形这样一个斜边，那 p 是 不是经正好是三点共线的时候，就是 e、 p f 三点共线的时候，是不是它们那是属于一个最小值， 对吧？那我们分析好之后，那是不是相当于他的一个最小值，他的一个最小值啊，他的一个最小值，对吧？就是啊，他的一个最小值是不是等于一个这样一条直线加这条直线，对不对？ 那这样直直线的话是不是很好？求 p 点是不是要经过什么点？是不是一对不对？那 p 点是不是在多少？是不是一二对不对？ f 点是多少？一零对不对？那 p e 呢？ 嗯，二一点是多少？是不是一三？那他是不是形成哪个点坐标最短？嗯，那是不是这块，对吧？是不是？也就是说 p f 加 p e 最短的时候，是不是这这块距离这块距离多少？是不是二？加上一个一？对，是不是就相当于 p e 加上一个 p f 最小？最小的时候是不是正好这个是二，加上多少？一，是不是三？对？不对？因为，因为我们之前是不是加了一个什么？我们是不是在这后面是不是加了一个一？对，不对。可是加了一个定值，是不是要减一个定值？减一个一等于多少？ 二等于多少？减一是不是等于二，对吧？那 c 是 不是正确的，对吧？ c 是 正确的啊。那我们来看下 d d 选项的时候，我们应该怎么看呢？他说 p q 为直径啊，圆啊，以 p q 为直径的圆啊。横过定点 f， 以 p q 为直径的圆，那比如我们就以这个 p 吧，以这个 p， 对 吧？为它啊，我们画一下， 我们画一下。它的切线在哪呢？切线大概在这，对吧？这是 q 啊，这是 q 点，对吧？与它为圆啊，一定要过 f 这个点，让我画一下这个圆， 对不对？我们画一下这个圆，大概画这个圆，画一下这个圆。怎么画呢？画的有点不太对啊？啊？就大概，大概他要过这个点，对吧？他在这， 对吧？这个交点和这个，那如果说我们需要哎，这条切线啊，以切线为这条，对吧？以切线和这个准线相交啊，以这个切线和准线相交。这个 q 点啊，以 p q 为直径做它的一个圆，那如果说这个 f 点在这个圆上，那是不是就相当于 这个夹角是一个角度？哪个夹角？我们来画一下哪个夹角，这 对吧？也就是说什么夹角为九十度，是不是角 p f q 为九十度的时候，对吧？ 间接证明嘛，我们只要证明这个角，它这个切线和它这边形成一个夹角是九十度，那是不是证明？哎？就相当于 f， 对 吧？过了啊，过了什么点？以 p q 为直径上的圆，对吧？就在这个圆上，这个是九十度，我们应该怎么算？ 那由于，对吧？他是抛物线上切切线，抛物线的切线是什么？抛物线切线是不是留一带一，对吧？什么留一带一呢？是不是这边应该写成 y 加上一个 y 零，对不对？等于什么？二倍的 x 加 x？ 由于 y 零和 x 零是不是就相当于他的一个他们相切的一个点，对吧？相切这个点是不是就是什么？ 相切？这个点是不是就是 p？ 我 们留一带一，留一带一之后是什么？这块是不是写成 y， 这个 y 乘以啊？这个乘啊，因为这个是外方。好吧，我写错了，这个 y 乘以 y， 那 是不是 n 倍的 y 等于二倍的什么？ x 加，对吧？这个就是切线， 那如果，对吧？切线放切线的这个直线我们已经写出来了，那么它由于 p q 点是不是过什么点？ p 点是不是 x 轴始终是在这个点上，对吧？ x 轴是不是等于负一，对不对？那我们把这个负一带进去，那这个 q 点坐标我们是不是写出来了，对吧？ 那 q 点坐标多少？ q 点坐标是不是就是负一，对吧？嗯，二倍的 m 减一对吧？那 f 点坐标，哎，我们也去知道啊，是一零， m 点坐标是一零 啊？ f 点坐标， f 点坐标是一零，对不对？那我们还是 p 点， p 点是不是 m， 对 不对？那我们要求，哎，它这个角是九度，那我们应该怎么求？是不是用到向量？ 用到什么向量呢？是不是就是只要证明 f p 向量乘以 f q， 向量就是 f q 乘以 f q 等于零，是不是？我们就说就能说明什么？ 就能说明角 p f q 等于九，对不对？由于 f p f q， 我 们往下写一下，向量等于多少？ f q 向量是不是就是？呃，负二， 对吧？ n 二倍的 m 减一，对不对？ f p 呢？ 是不是 m 减一对不对？那他们俩相乘是多少啊？相乘多少？相乘多少？是不是啊？负二倍的一个什么 m 减一 加上一个什么？二倍的一个 m 减一，是不是等于多少？是不是正好等于一？ 那是不是就能说明 f p 相等乘一个 f q 相等，对不对？那像他俩乘积都是零了，那是不是就说明说明什么？说明这个角是不是？那说明这个角是九十度的情况下的话，那是不是说明对吧？ 以 p q 为直径，这圆横过什么 f 点，对吧？因为圆上面一点嘛，只要直径当中，对吧？圆上面一点，他们形成的一个什么加角是多少度，是不是九十度啊？那是不是 d 点？ 对，那是不是？第十题就是 a c d？ 好。
34HKING
00:21
22:05查看AI文稿AI文稿浙江 z 二零高三联考卷，我初中天天刷，这是唯一一个拥有近二十年历史的模拟考，甚至已经形成一种品牌了。 当年我刚上初中，还是 iphone 六刚刚发布的年代。当年一接触 iphone 的 我非常震惊，这个世界上居然有玩游戏永远不卡的设备。 z 二零联考也是如此， 跟 iphone 的 标准版一样，他的命题绝对不可能有任何特别丑陋的地方，但是也仅仅只是无救而已，太惊艳的优点也没有，这个风格从二零一零年诞生的那一天开始，维持到现在，从来没变。 所以高考前这种卷子我可以给一个精准的评价，如果这个卷子你到现在距离高考只有十五天了，还不能考上一百四，你这辈子就彻底没一百四了。高考真题想考出一百四，那只能是运气， 因为他稳如老狗啊，没有一道难题，这都不会，真题怎么应付考前？这种稳定的试卷是可以做的， 可以有效磨练体感。我也编写了同样不偏不倚，重规重矩，适合后期冲刺的题目，各个板块都有名字叫做终极检验，可以去粉丝群或者主页找助教拿，你想要练，想要找体感，现在赶紧去刷， 正式开始看导出题。其实真正内行的人一看到这个式子和这个式子，就知道他考察知识就是双趋正弦，双趋于弦。 所以呢，这个 z 二零确实喜欢下放，但是你知道这个点也没用，等一下我会讲的啊。我们从第二问看起，他说讨论这个方程解的个数，这是典型的含参的函数。讨论解 典型的操作是什么方法一，分离参数。方法二，不分离参数，放在函数里面弄都是可以的，我都讲一下。 方法一，分离参数，就是先把这个式子转化一下， f x 等于这个它化简一下，就是 x 加 a 除以 e， x 等于负 x 加 a 除以 e 的 负 x， 然后接下来就是分离参数，把这个 a 分 离出来，通过移项得到的是这个东西，这个有手就行， 好令它等于 g x。 常规操作是不是求导？没错，但是一项之前，尤其是分离参数一项之前，必须注意分母等于零， 这个情况是分母等就是分母不等于零，也就是 x 不 等于零的情况。所以在移项之前就要单独考虑这个 x 等于零的情况， x 等于零， 那这个这个这个这个都是一样的，是不是等式一定能满足？所以无论如何你先把它单独拎出来。 x 等于零是一个零点， 要先单独写。情况一， x 等于零的时候，情况二， x 不 等于零的时候就是这个。但是这里还要长一个心眼，我是不是讨论零点的个数减的个数？这里必须要先注意到一个事实， g x 是 什么？ 是偶函数，因为 a x 次方加一， a x 方减一，或者你减一放下面，这是典型的什么奇函数， 奇函数和 x 一 乘，两个奇函数就变成偶函数。所以我分析这个解只需分析一边就可以了，对吧？比如说只需分析零到周求，这个需要提前说， 提前注意，否则就有很多麻烦的步骤。这个东西的求导你知道一些二级结论是可以秒出来的，不用算那么多的。但是我现在先不讲，我先讲朴素的方法，这个求导通过一系列计算求出来是这个东西，注意别搞错， 然后判断正负，对吧？这个分子是一个很典型的东西，这个是正的，很典型的结论，怎么证呢？我令 h x 等于 e 的 二 x 减去 e 的 负，二 x 减四 x， 那么他一求到 h e， p x 是 不是减就变加了？这里有个二，对吧？加 e 的 负二 x 减四，这个是不是可以用记尾不等式大于等于二乘二，根号下里面都消了，所以恰好是大于零的， 而且这个取等式零的时候取的，所以对这个我们讨论的零到众数的，所以 g x 在 零到众数是递增的。 这样一来，图像大概我们就知道了。好，问题来了，我们接下来是不是要求这个东西？但是这里他这个零 我们说了是排除在外的，所以这里要求一个极限，对吧？按理来说极限是要扣分的，但是你如果用分离变量来做，那你不可避免的要做这个， 所以呢，这里就不得不扣分，扣分顶多是扣一分，扣两分，不会扣太多，所以在考场上你实在没时间了，比如说做到第二问还剩五分钟，那就真的别管了。那极限这种开挂怎么写呢？很简单， limit x 去零，正 g x 你 就带进去写，等加变换这里零的时候，这个分子分母都是零，是不是可以？洛必达，对吧？但是除了洛必达还有其他方法，我讲一个好理解的，我不想拿洛必达装逼，这个东西，你分离参数， 把上面分掉，是不是可以变成一加一的？二 x 减一，上面是二，那么去零了，这个肯定就没了嘛，对吧？而我们是不是讲过一个很常见的结论， e x 大 于等于 x， 加一再 x 等于零的时候，是不是这两个相等了？所以它极限是一，是这么求的。当然落必答也可以， 凡是出现分子、分母零比零或无穷比无穷都用洛必达，这样一来，他这个极限的值可以上面 求到，下面求到，直到不是零比零或无穷比无穷的时候，你把零带进去，也可以求出他是一， 那落笔答，这里就不讲了啊。好，这是方法一，方法一搞出来了，那这个中间值是一了，所以答案是多少？很简单，如果说 a 小 于等于一，哪怕你等于一和小于一，都是只有一个零点零， 如果是 a 大 于一，那就是三个零点零，这个，这个，这就答案好，当然这个 要取极限，那参考答案肯定不会这么写了。但是我为什么要讲这个呢？因为它有一个知识点，就是双取正弦，双取余弦函数， 也就是我们的所谓的上 h x， cosine， h x 这些东西为什么加个 h 呢？因为双曲线的英文 弄成形容词是 h 开头的，以后读文献不要不认得啊。 hyperbolic 形容词双曲线的， 所以你上引加个形容词就是双曲正弦函数，那么它解析是什么？很简单，它就是上引，记住，上引是减， cosine 是 加，不要记错，我们都知道，一般横坐标都是 cosine， cosine 的 地位要高一点， sin 是 减，谁减谁，记住，是正的次方，减去负的次方，然后下面就是加二分之一的 x， 加一的负 x， 这有什么好处呢？因为他可以背公式，你计算就方便的多， 这个公式比他比那个三角函数要好记，因为 sin 双趋，这些函数双趋于弦， 一定是求到之后一定是双击挣钱。同时它和三元扣三几乎是一样的，因为它也有一个同角关系，这个的平方减这个的平方等于一只有这个不一样，它是扣三减三， 同时还有一些东西值得玩味，它这个是奇函数，这个是偶函数，对吧？我们讲过的知识点， 奇函数求导一定是偶函数，是不是吻合上了？偶函数求导一定是奇函数，因为奇函数它之所以奇，就是斜率一样嘛，才能中西对称。那斜率一样，你求导就是偶函数了， 那偶函数之所以偶，就是它斜率是相反的，所以偶函数求导一定是偶函数。所以在有些抽象函数的小题你要注意， 比如说 f x 是 偶函数，它要考 f 一 撇 x 了，是奇函数啊，同时与上引 x 在 零的作用中小于 x 不 同，它这个东西是大于 x 的。 为什么？刚才已经正了，因为它求导数就是它，所以你移过来 相减的那个函数求导是不是就是这个东西减一基本不能是大于等于零吧。所以呢，它大于零的时候的取值，这个减 x 的 时候恰好是取零，所以它大于 x。 要记住，这个在大学在微积分都是可以直接用的， 那这里如果你知道这个技术知识就很简单了，我们记一下上一次减括号是加，对吧？那这里是不是很快的就直接化成这个了？那你求导就不用那么麻烦了， g 一 撇 x 直接求导。 首先这个造潮不动，注意，我把这两个分开啊，然后这个下面平方，上岛就变成下面，然后呢成一个下面就是平方， 然后呢再减去平方，这个是不是就是负一刚才讲过的，所以你知道了这个结论，他就可以很快的求，很快的求平方之后，那就是上 cosine 减 x。 好， 这里又有一个戏剧性的结论，为什么它直接可以用 cosine， cosine 呢？ 为什么这个东西和这个东西一定要和 cosine、 cosine 关联呢？因为它也符合二倍角公式等等公式，它这个可以直接变成 cosine h 二 x 直接推出它大于零。 好，那么这个乘这个为什么就是两倍的这个呢？你自己乘一下就知道了，自己去化解。总之我想强调的就是有这么一个知识点，你或许能用得上，然后接下来就同 之前的方法，就求极限什么的，跟这些相同好，但是真正能完美不扣分的 当然就是不分离参数。不分离参数就是把这个移项成一个函数，把 a 带到求导的式子里面，照样该怎么做就怎么做。但是需要注意我们那个大前提偶函数还是要注意的， 因为那个对称性是实在是很显然。所以呢，在这里我依然是只判断 x 大 于零的情况，依然还是基于 x 等于零，已经是一个零点了，所以针对这个式子进行一下，全都移到一边，等于零，得到 x 加 a 减去这里原来是减，移过来就变成加 x 减 a 乘以的二 x 方等于零，令它等于 g x， 就 针对 g x 探求它的零点， 照常求导，我就假装 a 不 存在，就带着 a 求导这一撇， x 化简之后，他是二 x 减二， a 加一乘以一的二， x 加一，依然看不出正负，因为有一个常数，所以再求导第二次，这两撇 x， 那里面就变成 x 减 a 加一乘以 e 的 二 x， 这就可以判断，这里如果令它等于零，那么编号零点就是 a 减一。但是这要注意，我们讨论的是 x 大 于零的情况， 如果说 a 足够小，甚至不在这个范围内，会出现什么情况？ 它作为一个斜率大于零的直线的零点，如果它在零之前， 那它这就大于零横成立了，也就说导函数递增横成立了。所以这个时候 g 一 撇 x， 我 就可以直接判断它是大于 g 零的。而 g 一 撇零又恰好是二减二， a 恰好它的零点又是一。 所以当 a 小 于等于一的时候，这个情况是很简单的，这个大于零，直接推出 g x 递增， g x 递增，那就可以推出 g x 大 于 g 零等于零 也不行了，所以后面都是没有零点的，因为距离零是零点，你后面递增都是大于，这个零就没有，所以小于等于一的情况是很好判断的。然后再看第二种情况， a 大 于等于一，这样一来，这个编号零点就大于零，就在我们考虑的范围之内了。会有什么问题呢？首先，刚才那个很巧的，这一撇零也要写上是二减二， a a 大 于等于一的时候，它小于等于零。 同时本来这个 g 一 撇啊 g 两撇的这个东西，主导函数它是先负后正的，所以 g 一 撇 x， 零作为它的起点，不仅是负的，而且还要再减一段，在这之后就继续递增。问题来了，它是增到这还是增到这无穷 显然是真的正无穷，因为这个东西你迟早是要大于零的。我画的这个是 g 一 撇 x 图像，请注意，因为 e 的 x 增长很大， 现在我的目的是找到 g x 零点，现在分析到 g x 肯定还不够，我肯定要找到这个转折点是谁？ 我的目的是分析 g x 的 零点啊，如果他单调性都不知道，那没法分析，所以必须要找到 g 一 撇 x 这个正负变化的临界点， 这就是引零点的知识。引零点一般要通过零点存在性定律找。 我们知道，因为 a 减一到这么穷，它递增。我现在已经知道了， g a 减一是小于零的，所以我只要找到一个东西大于零，那么它乘积就小于零， 零点就在这两者之间，怎么快速找？这也很方便，因为 g x 观察形式这里有个加一，我是不是只要让它大于等于零，是不是就可以确凿的证明整个大于零？ 利用好这个加一，那怎么利用？我就看一看这个东西恰好等于零的时候行不行。果然令他等于零的时候发现 x 等于 a 减二分之一，这个差距还不大， a 减二分之一，这个代数就零嘛。而且 a 减二分之一和 a 减一差距只有二分之一，这是最理想的选择。所以我们注意到，存在 x 零属于 a 减一到 a 减二分之一，使得 g 一 撇 x 零等于零， 这样一来， g x 就 可以直接得到它在零到 x 零递减， x 零到这种求递增。 那零点呢？看一下 g x， 如果说你不想想的很复杂，你可以用我们的外挂，用极限直接当 x 区域这么穷的时候，他区域这么穷， 可以的没错，但是如果要百分百不扣分，你要具体找到哪个点是正的，哪个点是负的，然后用零点存在性定律证明这之间存在零点，这才行。这个找点 有一个是蛮简单的，可以先直接得出来，就是 a 减一，因为我知道距零是零，如果说你在零到 x， 零递减， a 减一，在这个里面嘛，那距 a 减一，甚至算都不用算，直接小于距零等于零，直接找到。 问题就在于怎么能找到具体的那个大于零的数，也很简单，你看 用刚才的思维，唯一有可能负的就是这个东西，那我把这个东西消灭掉就可以了。令 x 等于 a， 那 这就是零了吗？那这个肯定大于零，所以整体都大于零，而且 a 也很优秀，因为他只和 a 减一，差了一， 他很精确，所以这就找到了，那么零点也就找到了，然后根据奇偶性得到，你这有一个 x 一， 那么在负 a 一 减 a 与之对称的区间也有一个 x 二，所以和零构成三个零点，所以就正得了。 a 大 于等于一的时候，有三个零点是这么正得的。然后再看第三位， 这个第二问的复杂度很高，而且第三问是建立在他之上的，一般这种第二问复杂度高的，那就是命题人的仁慈。第二问如果说出成送分题，那么第三问就占很多分数， 大部分人是拿不到的。正式看题，他说这个方程存在两个解，而且他这两个解都不是零，那也就是第二问三个解的情况。刚才这个第二种情况讲法我比误了啊，他真正的答案是这样， 这个一个解，这个三个解。刚才我是不是把大于等于一写在里面了？不对，是大于一，所以可以直接用。第二的条件就是 a 大 于一。 不仅如此，第二问那个偶函数也是可以直接用的。 x 一 x 既然都不是零，那就是相反数，所以看似两元，实则是一元。 而且你这个 a 刚才说了， a 已经可以表达成那个 x e 的 二 x， 法医讲的 e 二 x 减一，它也是可以消元。所以本质上这个题超级简单，就是一个一元不等式，我一旦令 x 一， 比如说等于负 t， x 等于 t， a 也可以表达成 t 的 式子，那这个式子是不是纯粹的就是一个关于 t 的 不等式？ 所以这个题就简单了。我就先把这个 f 一 撇 x 等等都写一下。首先求 f 一 撇 x 解析式， ex 在 分母上面是 e 减 a 减 x， 所以 要正这个也就是正 f 一 撇负 t 大 于 f 一 撇 t 的 绝对值 全带进去，也就只需证这个是 e， t 在 外面了。绝对值可以直接包出来啊。一减 a 加 t， 只需证明大于 e 的 负 t， 一 减 a 减 t， 只需证这个这里出现绝对值了。注意，绝对值是我们高中代数唯一一个无解的东西， 再绝对值永远解不了的。有绝对值就要去绝对值，怎么去 a 有 解析式啊， a， 它这里就是 t 乘以 e 的 二 t 加一， e 的 二 t 减一嘛，那这个大小关系还是可以比的，甚至可以直接口算， 一减 a 减 t， 因为 t 约分上去，通分上去就变成 e 的 二 t 方减一乘以 t， 他 这里一加一减可以直接消掉，所以直接可以口算出来，他就是一减二 t 只剩一个二 t 了吗？ e 的 二 t 方减一，这里又可以用 e 的 二 t 方减一大于二 t， 这个结论这里显然取不到，等 这个在分母是递增的，所以这里也是大于号，直接就大于零了，这个绝对值直接就去掉了。 那么同理这个也可以去掉一减 a 加 t， 他 可以搞出是正的，所以我们一下子就把这个全去掉了，就只剩只需正 e t 乘以一减 a 加 t 大 于这个就行了。 这个东西 a 全部带进去，就变成了一个关于 t 的 一元不等式，最后 化简你可以得到它就等价于 e 的 二 t 次方减 e 的 负二 t 次方大于四 t， 就 等于这个东西。这个就是我们之前正得的散 双曲正弦大于二 t， 因为这里二除过来嘛，这里就变成二 t 了，就等于这个，那就直接正 b。
2017数栋本栋
03:37查看AI文稿AI文稿来港中和田中八年级这次月考数学试卷的最后一道大题，今天刚考完的，请问你做对了吗？我们一起来看一下啊。第一位呢，说给了这样的一个式子，让我们求 ab 两个点的坐标。 很明显，我们把二 ab 拿到左边来，和 a 方加 b 方构成了一个完全平方式，得到的是 a 减 b 的 平方， 那么它加上它等于零，非负数的和等于零，每一个都等于零，得到了 a 和 b 呢，都等于十三，所以说 a、 b 的 两个点的坐标呀，也就知道了， a 点呢是十三，零， b 点呢是零。逗号十三。好， 那么我们看第二问，第二问呢，给的是 o、 c 等于 dc， 我 们看一下 o、 c 等于 dc， 这是一个等腰三角形， 还给了 b， c 垂直于 o c， 我 们看 b， c 垂直于 o、 c， 这是一个直角三角形，求证的是 b c 等于 c e。 好， 我们要证明两条线段相等，我们首先考虑到的是全等，那么我们仔细看一下啊， b、 c 和 c、 e 所在的三角形，基本上是不可能全等的，那么接下来我们仔细看，那么 b、 c 和 c、 e 在 同一个三角形里面，考虑到角对不对，我们利用角相等，然后得到边相等啊， 那么我们看一下啊，这里既然给了这个 o、 c 等于 dc， 也就得到了这两个底角相等，我们不妨设为二法， 那么这里是九十度，所以说这个小角呢，应该是九十度减二法，接下来 o、 b、 c 也是二法，我们标记一下，这个角呢，也是二法。然后我们看一下角， c、 b、 e 写一写角， c、 b、 e 就 等二 f 减去四十五度。 接下来我们再看这边啊，因为这个 e、 d、 o 是 二 f， 同时又是 e、 a、 d 的 一个外角，那么我们得到了角 d、 e、 a 也就等于二 f 减去四十五度。 看一下啊，这里是阿尔法，是这个三角形的一个外角，这个角呢，是四十五度，所以说这个角是阿尔法减四十五度，因为对顶角 得到了 c、 e、 b， 也是阿尔法减四十五度，所以说我们进而就可以得到角 c、 b， e 等于角 c、 e、 b。 所以 说我们这个结论就得到了证明。 接下来啊，我们看一下第三问，第三问其实比第二问呢要简单一些说， bc 等于五， d， e 等于七，根据第二问的条件，求 a 到 o、 c 的 距离。我们看一下啊，他给了 bc 呢，是个五， 也就是 c， e 是 个五。根据第二问啊， d、 e 是 个七，给的 d， e 是 个七。好，那么我们看一下整个 c、 d， 我写一写就等于五加七十二，那么 c、 o 肯定也等于十二了。 现在让我们求的是 a 到 o、 c 的 距离，我已经做上了啊， a 到 o、 c 的 距离是这个 af 的 长度啊，那么这个 af 的 长度怎么求呢？很明显，三角形 o、 a、 f 和三角形 o、 c、 b 是 全等的， 全等之后要求的这个 a、 f 的 长度自然就等于 o、 c 的 长度，所以说这个 a 到 o、 c 的 距离呢，就是十二，那么你做对了吗？
91大刚数理化
09:16查看AI文稿AI文稿大家好，我是数学徐老师，昨天讲了初二的这次月考的压轴题，今天接着讲初一的。这次初一的最后一道压轴题是一道几何题，很多孩子看到几何就发出，但其实第一小问我在寒假班，但他们练过类似的分类讨论。第三小问是关于旋转度点的轨迹，也是我们春季拓展过的类型。今天我们把这道题拆解开，看看几何压轴到底从哪入手。首先我们一起来审 题，如图， a， 三角形 a、 b、 c 和 d、 e、 f 到底从哪入手？首先我们一起来审题，如图， a、 c、 b 等于角， f 等于三十度，这边是九十度。 注意，这里审题你需要圈一个重点，就是沿射线 bc 的 方向去平移，因为只要出现到射线，我们就会分类，一个是都在线段 bc 上，一个是在线段的延长线上。当然，如果一开始你碰到这种几何题，你脑子里没有任何想象的话，你可以自己拿个三角板在上面验一验。那一种情况就是题目中给我画的这种。还有一种是不是两个可以都跑到 bc 的 延长线上了？ 这个就是你要在脑子当中分的两大类。那所以一开始我就要画两幅图，哪两幅图先画一个三角形 a、 b、 c， 然后沿着 b、 c 方向，当两个都跑到它外面的时候，是不是有个这样的画的一个平移， 那我们标一标 a、 b、 c、 d， e、 f。 好， 那下面他说，若在平移过程中，角 a、 e、 d 和 c， a、 e、 e 这两个角存在两倍关系，让我求出 a、 e、 d 的 度数。 这句话也很微妙了，它又出现了一个分类，它只是说存在两倍，并没有说谁是谁的两倍，那是不是有可能咱们 a、 e、 d 是 c a e 的 两倍，也可能 c a， e 是 a、 e、 d 的 两倍，所以在这里我还是要分两类去讨论的。目标对象 a、 e、 d 和这个 c a、 e， 那 我们就可以在同样的这幅图里面，它可以分两个， 分两个，一个是这个它，它现在让我去求的是 a、 e、 d， 那 这个角设为 alpha， 那 这个角是不是就是阿尔法？或者我是不可以设这个角是 alpha， 这个角是阿尔法，体现出它两倍的关系嘛？那我们在这个题目中怎么去解呢？这个是 alpha 本身是平移得到的平行，我们要抓住平行的性质，会有对应的边是平行，那我们对应的边是平行，这个角是不就等于咱们的六十度， 那这个角是六十度。两条线是平行就可以得到，这个角是六十度。那我们初一的学生已经学过外角了。在这个式子里面，阿尔法加阿尔法就等于六十度，那阿尔法等于二十度， 那这个角 a、 e、 d 在 这一题里面就等于阿尔法就等于二十度。那同样的，在右边一样的，这是六十度，那这个就六十度。所以我们也会有三阿尔法等于六十，阿尔法等于四十度。这个分类是自然而然的啊，我们继续找到 a、 e、 d 的 角度，应该是等于二阿尔法就等于四十度，这个角 和 c a、 e 是 这个角，那这题里面它要不要分两类去讨论呢？实际上是不用的。为什么我们平行还是抓住这两条线之间是互相平行的，那我们这个阿尔法怎么去找它的一个等量关系呢？ 这这个角是不就是根据这两条线，它是不是也是互相平行的？那我们的 a、 c、 e 自然就等于这个角，这个角是不一定是比咱们的 c、 a、 e 大 了，所以肯定是它是阿尔法，它是阿尔法，对不对？那我们根据这个平移，这个角是六十度，所以我们就会有六十度，加上阿尔法就等于阿尔法，所以阿尔法就等于六十度，阿 尔法等于六十度，它让我去求角 a、 e、 d 的 度数，那所以角 a、 e、 d 的 度数，它是不是应该是等于一百二十度啊？那其实你要画这个图的话，它是怎么画的呀？这个要想画出阿尔法 这个角是六十度，那这个角有没有可能是一个钝角呢？在这个题目里面，这个数据它是不可以的，因为我们会得到角 a、 b、 e 的 度数是不是始终都应该小于九十度？ 所以角当我这个阿法等于六十度的时候，角 a、 b、 e 求出来等于一百二十度，它是大于九十度，所以是舍去的。之前我们寒假班拓展的时候，这个角是四十五度，那整个求出来的这两个角还是可以做的啊。那这里要注意它舍归舍，但是你得考虑到因为它是沿射线方向平行的这种情况。好，下面我们来看第二问。 第二问这是一个折叠题，其实他，呃本身这个考的是我们三大变化里面的平移轴、对称 和旋转这三个题目，所以这题考的还是非常全面的。第一个他说点 p 为上面的一个定点，将这个三角形沿着它折叠，如图 b， 当 pe 平行，那平行肯定是抓住两个直线平行，同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补。那，那我去求 pdc 的 度数，这里面我都标好了，这个地方是平行的，那肯定是 这条线是我延长下来的。为什么我会想到这条辅助线？因为两直线平行，我要被一条线所截才可以。那把它延长下来，这条线自然是所截的，所以自然就会有。咱们角 e、 d、 c 是 不是就等于九十度，减三十度等于六十度，所以角 p、 d、 c 折叠两个角是相等，就等于二分之一角， e、 d、 c 就 等于三十度，这是第一种情况。第二个， pe 平行于 ab， 对 于这种题目没有想象力的，你完全可以拿一个三角形把它折叠一下，自己折。我要想 pe 跟 ab 平行，一个是朝上翻，一个是不是就是朝下翻啊？朝下翻这题考察的是尺规作图，尺规作图这里面考察垂直怎么做？垂直，如果说过一个点做已知线的垂直点在外面，我们利用的是垂直平分线的做法。 第一步，以 p 为圆心，任意长为半径画一个弧， 以 d 为圆心，同样二分之一为半径画一个弧，那他会交这条线，这个依据就是垂直平分线上点到线段，两个端点的距离相等。这里面我画的不太像啊，你去用圆规画一画，那我们考试的得分点在什么？他不需要把这个圆都画出来，我紫色描的这一块就是我们得分点，他会看你有没有去画这个弧， 有没有去画这个弧，画他的垂直平分线。所以我们这个过点 p 画一个垂直平分线，首先他和 c、 b 会有两个交点在，其次这边去画一个弧， 这个点就是和它垂直的线，然后 p c 要等于 p c 撇，那所以这个点就是我们的点 e。 当然他让我说此刻 p、 d、 c 有 多少度，这两条线平行，所以九十度依旧是已知条件，所以我们就可以得到角 e， p、 c 是 不是还是等于九十度？减三十度就等于六十度， 所以角 d、 p、 c 是 不是就等于二分之一乘以六十度就等于三十度，所以角 p、 d、 c 的 大小就等于一百八十度，减去三十度乘以二，那就等于一百二十度，所以这里面角度大小是一百二十度。 好，这个是我们折叠啊，其实这个题目呢，我们刚开始学几何，不熟悉，你完全可以用一个三角板去平移了，看一看，用一个这个纸去折叠了看看，包括这个旋转，这个旋转题我们一起来看一下。首先这是一个直角三角形 a、 c 是 等于八， ab 等于六， bc 等于十，将三角形绕着它旋转。点 b 跟 c 的 对应点是 b 撇和 c 撇， 然后他们发现都是在圆上运动，点 d 为它的中点，所以你在读读这个题目的时候，你要判断出谁是定点，点 d 是 定点，因为三角形 a、 b、 c 是 固定的，自然 a、 b 边上的中点 d 也是固定的，那下面点 e 为线段， b 撇 c 撇，因为 b 撇、 c 撇在动，所以我这题的核心让我去求 e、 d 的 长度。点 e 是 一个动点， 点 d 是 一个定点，所以这题的核心是点 e 到底是如何动的？这是我们的核心，那点 e 是 如何动的？我们来先从简单的来联系，如果说点 a 绕着点 o 转一圈，那点 a 的 轨迹， 点 a 的 轨迹是不是应该是以 o 为圆心， o a 为半径的弧，应该是这样子画的好，那如果是线段 a b 绕着 o 转一圈， a b 绕着 o 转一圈， 它的轨迹应该是什么？这个其实大家在学校里的时候，老师会用粉笔，你自己拿一个笔把这个斜着去画，或者马克笔粗一点的，你把它绕着它转一圈，是不是你自然会得到一个圆环啊？是不会得到一个圆环， 那我核心就是这个圆环最内部是什么样的圆和最外部是什么样的圆？其实这里面最内部应该就是我 a b 上离 o 最近的那个点，这个点会形成一个最内部的圆环，这个最内部的圆环最外部是什么？应该是 a b 上离 o 最远的那个圆，所以我们在这个题目里面看，应该是 o b， 那 我要画出来的圆环是个这样子的， 所以我整个 a b 扫过的这个面积，这个画出来应该是同心圆啊，同心圆，那我整个圆环应该是这样子的一个情况， 那这一题就是类似的了，我们这个三角形 e， 它是在这个线段 bc 上的动点，就他说 b 撇 c 撇，那 e 整个的轨迹是不是应该是 bc 上离 a 最近的那个点？ bc 上离 a 最近的那个点是不是垂直啊？这里还有一个要补充的，我们在初中阶段，垂线段的长度用的是等面积，这个 a h 的 长度应该是用面积法六乘以八除以十等于五分之二十四。最外部应该是用面积法六乘以八除以十等于五分之二，所以我们最内部的圆应该是这样去画的， 这个距离是五分之二十四，最外部的圆是不是这样子？而我点 e， 他 既然在 b 撇、 c 撇上运动，那这个 b、 c 形成的轨迹又是这样的一个圆环，所以我只要在这个圆环内部找一个点，距离点 e 最小和最大就可以了。那我们最小是多少？你可以画画一个干净的图，最小是不是这一块是不是 当点 e 在 这里的时候，这一段是最小的？那这个最小值是怎么求？那我们这个整个的长度是等于五分之二十四的，那我们这是 e 一， 这块的长度是三， 所以 e、 e、 d 的 最小值，那就等于五分之二十四，减去三就等于五分之二十四，减五分之十五等于五分之九，这是第一个。那最远的呢？最远是不是点 d 跟他在一个依旧是绕着圆心，是不是这个时候是不是就是最最长的？那这个的长度是三，这块的长度是不就等于八？ 所以我们 e 这是 e 二的位置， e 二 d， 它就它的一个最大值，是不是就等于三？加上八就等于十一。这个要注意点动成线，然后它是这块线形成的轨迹， o、 a 的 长度是固定值，然后线动成面，那最小值就是这一块最大的，就这个它形成了圆环。好，给大家留一个思考题，如果我有一个三角形 a、 b、 c， 它绕着这个 o 转一圈，形成的三角形 a、 b、 c 绕 o 转一圈，它的轨迹又是什么呢？这个大家可以自己去思考一下。好，今天这一道题就先讲到这里。
27徐老师教数学
00:19查看AI文稿AI文稿试卷分享高三全科联考最后一卷安徽省省时联考二零二六届高三最后一卷试卷及答案视频时长有限，展示的是数学学科部分资料，如有需要全部学科试卷加答案的，可以点个关注看账号主页整理不易！
