我的高考记忆数学
本期我们学这个学会就是满分 一个视频搞定立体几何垂直证明。我是小树老师，今天我将会用二十四分钟时间带你系统梳理立体几何垂直证明的四大常考题型。首先我们来看一下我们今天要给大家讲的第一种题型，如何证明线面垂直。 那么我们要搞清楚线面垂直的基本方法呢？我们首先需要知道它的基本原理是什么？我在屏幕当中呢已经给大家写出来了，他是这样说的，他说如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直的话，我们就说这条直线呢，与此平面垂直。具体这个原理应该如何使用呢？我们来看看下面这道题啊，他给了你这样一个四棱锥， 然后告诉你 pa 和底面垂直，底面是菱形， e 为 c、 d 中点。最后让你证明 b、 d 和 p、 a、 c 垂直，就让你证明什么呀？让你证明这条直线 b、 d 和这个平面 p、 a、 c 呢？垂直。 根据我们刚刚所讲的线面垂直的基本原理，我们要去证明 b、 d 垂直于面 p、 a、 c 的 话，只用证明什么？只用证明 b、 d 垂直于这个面 d、 a、 c 中两相交直线。那么这时候大家就会有问题了，那么请问应该是哪两条线呢？有没有一些什么样的基本方法？其实是有的啊，就是我们要去关注题干当中已有的垂直关系。 我们回过头来看一下题干啊，他有这样的一个条件，他是这样说的，他说 pa 呢和 abcd 垂直，就是这条数值的直线 pa， 他 和这个平面 abcd 呢是垂直的。这有个知识点大家需要知道啊，就是若 pa 垂直于这个面 a、 b、 c、 d 的 话，那么则这个 p、 a 呢？它就垂直于这个面 a、 b、 c、 d 中所有直线。大家看这个图啊，很明显这个 b、 d 怎么样？它就在这个平面 a、 b、 c、 d 当中， 所以说因为 b、 d 呢，它是包含于这个面 a、 b、 c、 d 的。 哎，所以说我们就可以得到 pa， 怎么样他就和我们的 b、 d 垂直，这不就是大家所找到的第一组垂直关系吗？ b、 d 垂直于 pa， 因为我们刚才讲了过要 b、 d 怎么样垂直于这个平面当中的两条相交直线，一条是不是还不够啊？我们需要再找一条， 那么另外一条在哪呢？你不是还有一个条件没有用吗？他是这样说的，他说底面 a、 b、 c、 d 呢，是菱形。朋友们，你们回顾一下你在初中学到的关于菱形的知识点里面有个什么知识点就是菱形啊， 他的这个对角线呢，是互相垂直的，是这样吧，就这个底面 a、 b、 c、 d 怎么样是个菱形， b、 d 和 ac 呢，刚好是他的两条对角线， 所以说自然它是怎么样是垂直的，所以说已经拥有了我们的第二组垂直关系，就这个 b、 d 呢，怎么样和 ac 也是垂直的，所以说你看这个是不是就符合我们刚刚所讲到的线面垂直的基本定律？就是 b、 d 垂直于 pa， b、 d 垂直于 ac， 这个 pa 呢？和 ac 怎么样还交于我们的 a 点，所以说我们就可以得到 b、 d 呢？它就垂直于我们的这个面 p、 a、 c 就 完事了。 基于刚刚给大家讲到的这个线面垂直证明方法，大家可以趁热答题呢，来做一下下面这道题，他是这样说的，他给了你这样的一个正三能柱， 大家知道什么叫正三能柱吧，我把他的基本性质呢给大家写到这，他有两个性质，第一个就是底面呢是正三角形，第二个特点呢是侧能与底面垂直啊，这次关系后面肯定都用得上啊。然后呢他又说了，第一呢分别是这个两条能的中点， 并且呢告诉你 a、 e、 a 和 a、 e、 b、 e 呢是相等的。最后让你证明这个 a、 e、 b 和这个平面 c、 e、 d、 e 垂直，就是哪条线就这条线 a、 e、 b 和哪个平面垂直，就是和这个红色的平面 c、 e、 d、 e 垂直。我们刚刚是不是讲到过了，你要证明这个 a、 e、 b 和这个平面 c、 e、 d、 e 垂直的话，只用证明什么呀？只用证明这个 a、 e、 b 垂直于这个面 c 一、 d、 e 中两相交直线。那么这个时候大家同样会有一个问题啊，就是请问是这个平面当中的哪两条相交直线呢？这个找直线的技巧是什么？这确实是有一个统一的解析技巧啊，叫做先找 相交垂直，再找意面垂直。可能有同学不太能够理解这两句话什么意思啊？我们来给大家解释一下。我们回到左边这个图，我们来观察一下，你会发现这个红色平面当中你能够看得见的线条是不是有三条， c、 e、 d， c、 e 还有 d、 e 这一共这三条线吧，那么你会发现这三条线当中有没有哪条线和我们的 a、 e、 b 是 相交的呀？有没有？有吗？哪条线和 a、 e、 b 是 相交的？ d、 e， 你 发现这个 d、 e 呢，和我们的这个 a、 e、 b 呢是相交的， 那么如果他们俩垂直的话，我们就把称之为香蕉垂直。之所以要先找香蕉垂直呢，是因为这种垂直是最好正的。我们回到我们的题干了，他给了你这样的一些条件，首先呢，他说了这是一个正三棱柱，我们都知道棱柱的侧面都是平四吧， 又因为它是一个正三能柱，侧能与底面垂直，所以它不仅是一个平四，它还是个什么形？是个矩形。再加上题干当中还有这么一个条件，叫 a 一 a 和 a 一 b 一 相等，就是这条线和这条线相等，所以它是个什么呀？它是个平四，是个矩形还是一个正方形。 所以说这个四边形 a e a b b e， 它是个什么形啊？是个正方形，那正方形的话，它的对角线肯定是互相垂直的呀，那这个是 a、 e、 b， 这个呢是 a、 b、 e， 然后我们这个 d、 e 呢，它和 a、 b、 e 呢是平行的， 所以说我们就可以得到 a 一 b 垂直于 a、 b 一， 然后这个 d、 e 呢，他又是平行于 a、 b 一 的，所以说我们就可以得到 a 一 b 呢，他就是垂直于我们的 d、 e 的， 这不我们就得到了第一组垂直吗？就是 a 一 b 垂直于 d、 e 就 完事了。那么找完了香蕉垂直之后，你会发现剩下的线条都没有和 a、 e、 b 怎么样相交了，这个时候我们就要怎么样去找意面垂直。这时候大家还是回到我们左边这个图案，你会发现这个红色平面当中，除了 d、 e 之外，还有两条线，一条是 c e d， 一 条是 c e、 e， 那 么这两条线当中很有可能有一条和 a、 e、 b 垂直，那么请问我们是优先选择 c、 e、 d 呢？还是选择我们的 c、 e 啊？ 选择哪一个？大家觉得我们是不是应该选择 cad？ 为什么我们这道题到了这个时候要优先选择去证明 cad 和这个 ab 垂直呢？理由是什么？理由是题干当中所给到你的条件是有利于你用 cad 去找垂直关系的。哪个条件？他不是一个正三能柱吗？我们说到过正三能柱怎么样？底面是一个正三角形啊，正三角形怎么样？三线合一。 所以说我们要优先去证明什么呀？我们要去证明这个 a 一 b 垂直于我们的 c 一 d 就是 我们的第三个图。 但是意面垂直呢？这也有一个技巧，叫做你要怎么正？你直接正，正不了啊，他那没挨着叫做反过来正。哎，这有个同学不太能够理解什么叫反过来正，就是我本来要证明 a 一 b 和 c 一 d 垂直对不对？但是你要反过来证明什么呀？ 你要反过来证明 cad 垂直于 aeb 所在的面，因为如果 cad 和 ab 所在的面都垂直了，那他不就和 ab 垂直吗？ 那么问题来了，我要证明这个 cad 和这个 ab 所在的平面垂直的话，他应该是哪个平面呢？很明显就是这个蓝色的平面，即你要证明什么呀？即你要证明这个 cad 垂直于这个面 a、 a、 e、 b、 e。 所以 说你得怎么样？你得再证明一次线面垂直。那么根据我们刚所讲的基本原理，你要证明 c、 e、 d 和这个面 a、 a、 e、 b、 e、 b 垂直的话，只用证明什么呀？只用证 c、 e、 d 垂直于这个面 a、 a、 e、 b、 e、 b 中两相交线，那么请问是哪两条线呢？不又来了吗？第一课就是 c、 e、 d， 它是垂直于 a、 e、 b、 e 的， 为什么这个 c 一 d 和这个 a 一 b 一 垂直呀？是因为这个三角形 a 一 b 一 c 一 是一个正三角形，三线合一嘛，我把这个图给大家画出来，正三角形的特点呢？比如这是 c 一， 这是 a 一， 这是 b 一， 这是 d， 这不就垂直吗？所以第一个垂直关系咱们是不是有了？那么第二个垂直关系是什么呢？就是这个 c 一 d 呢？它就垂直于这个 a、 a 一。 那么为什么 cad 和 a 一 垂直呢？那是因为因为什么呀？是因为它是一个正三楞柱啊，这个侧能 a、 a 一， 它是垂直于这个面 a 一 b 一 c 一 的呀，正三楞柱的性质吧，侧能与底面垂直啊，你看这不就连上了吗？侧能和底面垂直，所以说侧能就和底面所有的直线垂直。 a、 a、 e 和底面垂直，那么 a、 a、 e 就 和底面的 c、 e、 d 垂直。那由此的话，我们 c、 e、 d 是 不是就垂直于这个面当中？两条相交直线，那么 c、 e、 d 呢？它就和 a、 e、 b 垂直，整个逻辑链条呢，就清晰了。 如果大家没有听得很明白的话，我建议大家倒回去再听一遍，这道题背后的方法呢，非常重要。讲完了线面垂直之后呢，紧接着我们来给大家讲第二种题型，就是如何证明线线垂直。同样的，我们先把线线垂直的基本原理告诉大家，就是如果一条直线呢，与一个平面垂直，那么该直线呢？与这个平面当中的所有直线都垂直， 所以说如果我们要证明线线垂直的话，我们最终都需要把它转化成什么呀？转化成线面垂直来证。这个时候大家其实是有两个选择的，第一个选择呢，就是我要去证明 b、 f 垂直于 a、 d 所在的面，或者是呢，我们就要去证明 a、 d 垂直于 b、 f 所在的面，那么我们具体应该选择哪一个呢？我们先在图当中把这两条直线给大家找着啊，一个呢是我们的 b、 f， 一个呢是我们的 a、 d， 你 看这个图啊朋友们，你觉得是 a、 d 垂直于 b、 f 所在的面好找呢？还是 b、 f 垂直 a、 d 所在的面好找？很明显是这个 a、 d 垂直于 b、 f 所在的面更好找一些， 就是我们 a、 b、 f 这个面，如果说你实在是无法一下子就判断出来的话，你可以都尝试一下啊，所以这个基本逻辑就很清晰了，就是如果你要去证明这个 b、 f 和 a、 d 垂直，只需要证明什么呀？只用证明 a、 d 垂直于这个面 a、 b、 f。 所以 他又回到了我们刚刚所讲的线面垂直的问题啊，那所以就怎么样只用证明 a、 d 垂直于这个面？ a、 b、 f 中两相交直线 哪两条？第一条 a、 d 和 af 是 垂直的，这是已知的呀，题干里面是不是说了呀，这不用你去证，直接用就好了。那么第二个是什么呢？第二个是这个 a、 d 呢？垂直于我们的 ab， 为什么呀？因为底面这个 a、 b、 c、 d 是 个什么东西？它是个矩形啊，题干当中不是说了吗，矩形的邻边是不是垂直的？所说 a、 d 和 ab 垂直是因为什么呀？是因为这个 a、 b、 c、 d 是 矩形，这不就完事了吗？ 因为 ad 和 af ab 垂直，所以 ad 就 垂直于平面 abf， 而这个 bf 呢，恰巧又在这个平面里头，所以说 ad 和 bf 垂直就完事了。我们再来做一道题，让大家巩固一下，大家可以先自己暂停一下，自己做一做，然后再来听我讲啊， 我来带大家读一下题啊，他是这样说的，他给了你这样的一个多面体，然后呢告诉你 d、 e 和 a、 f 平行，然后又是垂直，并且呢这个四边形 a、 b、 c、 d 是 菱形，最后让你证明 b、 d 和 c、 f 垂直。 根据我们刚刚所讲的原理啊，就是我们要证明 b、 d 和 c、 f 垂直的话，其实你就两个选择，要么你就证明 b、 d 垂直于 c、 f 所在的面， 要么你就去证明 cf 呢垂直于 b、 d 所在的面。那么我们应该是选择上面这个呢还是下面这个呢？我们其实需要看一下 b、 d 和 cf 的 相对位置啊，我们在图当中呢，先把这两条线呢给它找着啊，这是我们的 b、 d， 这是我们的 cf。 初学的同学呢，可能确实不知道应该选择这两个当中哪一个，那么如果说你不知道应该选择哪个的话，你就读读题，他会给你一些提示， 比如说这个地方，他告诉你这个四边形 a、 b、 c、 d 呢是菱形，那你想菱形有什么特点呢？对角线互相垂直啊，那你把这个 b、 d 和 a、 c 呢对过来连起来之后，哎，你把这个图一画，你不大概就能看出来那个面的图形了吗？那不就是我们的 afc 吗？是吧？至少他是你的首选吧， 它有可能是证明别的线和面啊，但是这个一定是第一选择，那所以说我们会考虑啊，证明什么呢？证明 b、 d 垂直于这个面 afc。 那 么根据我们刚刚讲完的线面垂直证明方法，我们要证明 b、 d 和 afc 垂直的话，只用证明什么呀？只用证明 b、 d 垂直于这个面 afc 中 两相交线。那么其实我们刚刚在找面的过程当中，不是已经找着一条了吗？哪一条呢？就是 b、 d 和 a、 c 垂直，那么 b、 d 为什么和 a、 c 垂直？我们刚讲到过这个四边形是个什么形啊？这个四边形 abcd 呢？是个菱形啊，菱形的对角线 是垂直的，所以这组垂直关系呢，是比较好判断的，这是菱形的性质。那么另外一条呢？ b、 d 应该和谁垂直呀？ 那自然和我们的 af 垂直了，那为什么会想到 af 这条线呢？你肯定不能选择 cf 呀，因为 cf 本来就是你要去正的呀，是吧？我们就要去证明 bd 和 af 垂直，我们在图当中把这个 bd 找着，把这个 af 找着， 发现什么问题了吗？这个是不是就是咱们刚刚所讲到的这是什么垂直啊？这是一个意面垂直，就这两条线怎么样不相交啊？意面垂直，咱们刚刚说了，应该怎么正，应该反过来正， 怎么反过来，就是你本来要证明的 b、 d 和 af 垂直，是不是？但是因为它两不相交，你没法直接证，所以你要反过来证明什么呀？证明 af 垂直于 b、 d 所在的面，反过来证明 af 垂直于 b、 d 所在的面，那么应该是哪个面呢？那 b、 d 在 哪个面上？ b、 d 很 明显在这个底面上啊，所以其实就证明什么呀？就是证明我们的 af 垂直于这个面， a、 b、 c、 d。 那 为什么面 a、 f 和 a、 b、 c、 d 垂直呢？你得读读题，题干当中说了 d、 e 看见了吧？和这个 a、 f 怎么样是平行的， 然后这个 d、 e 呢？它又是和底面垂直的，那如果两条直线平行，其中一条和底面垂直，那么另外一条肯定也垂直呗，所以就两个条件，第一个， 第一垂直于面 abcd， 第二个，第一和 af 平行，有他们俩你就可以得到 af 呢和 abcd 垂直。你看这个逻辑链条呢，就完整了， 也就是我们在思考的时候，肯定是从结论往条件上去推啊，我们在写步骤的时候呢，就倒着写回去不就得了吗？从这种题一定要大家自己去做一做，自己去体会一下，就题不在多，一定在于大家有没有掌握它的基本逻辑，因为发现我们讲的这几道题都是一个基本的规律，都是一个套路。 讲完了线面垂直和线线垂直之后呢，就是我们的第三种题型，面面垂直。这个面面垂直很像他最终都是需要转化成线面垂直来正的， 具体的转化原理是什么呢？我们来看一下。他是这样说的，他说如果一个平面经过另外一个平面的垂线的话，那么这两个平面是垂直的。我再给大家读一下这句话啊， 就是如果一个平面经过另外一个平面的垂线，那么这两个平面呢？就是垂直的。那所以说我们要去证明两个面垂直应该怎么证明？我们应该证明 其中一个面上一直线垂直于另外一个面。比如说这道题，你要去证明这个 abc 和 pop 垂直的话，这个时候你也有两个选择，要么你就证明这个面 abc 中一直线 垂直于这个面 pop， 你 要么呢就是另一个选择，就是证明面 p o、 b 中一直线垂直于这个面 abc。 那 么同样的问题来了，我应该选那一个呀？具体的话还是一样，你需要先在图当中把这两个面找着，看谁更像一点，谁的垂直关系更多一点，你就选谁。 我们先在图当中把这两面给它画出来吧，一个是 abc， 就 这个底面，一个呢是我们竖着这个 p o b 看了这个图之后呢，如果有经验的同学确实能一眼瞪出来啊。如果是初学的同学呢，也不用着急，如果你实在是不会选了，我们说了，你就看一看题干当中有哪些已经知道的垂直关系呗。 你先把它在图当中给它标记出来，你比如说他说了 p a、 c 这个三角形是个什么三角形？是个等边三角形啊。等边三角形有什么性质呀？三线合一就是角平分线，中线和高是同一条线， 那么这个 p a、 c 是 等边三角形， o 又是 a c 中点，所说哪个角是直角？这个角是直角，没问题吧？这不就是一组垂直关系了吗？然后呢？他这还说了个条件，说个什么条件？ ab 和 bc 相等啊，所以这个三角形它不是一个正三角形，但它是个什么三角形？这个等腰三角形，等腰三角形也满足三线合一的这个性质， 所以这个角也是直角，那么由此我们就可以知道什么呀，我们就可以知道 a c 它和 o p 垂直， a c 呢？它和这个 o b 呢也垂直，又因为这个 o b 和这个 o p 怎么样？它是相交的呀，所以我们就可以知道什么呀，我们就可以知道这个 a c 呢，它就垂直于这个面 p o b， 然后又因为什么呀？又因为 a c， 它在另外一个面 a b c 上，所以这个面 abc 它就垂直于这个面 p o b。 这不就是我们刚刚所说到的 abc 当中的一条直线和 p o b 垂直吗？我们选的是哪条线，选的是 a c 啊？ 那这个 ac 这条线是怎么找出来的？是我们根据题干当中已有的垂直关系给他判定出来的，就如果你有经验，你看到这个图形，你可以快速的给他蹬出来，如果说你没有经验呢，你就可以先把题干当中已有的这些垂直关系怎么样都给他标出来，你一放，你会发现他就一目了然了。 这道题呢，我们就给大家留成练习题，大家可以先自己暂停做一做，然后呢把你的答案呢发到我们的评论区里面，我来帮助大家看一下，如果大家有什么疑问的话，我们欢迎大家随时来讨论。 然后呢我们来看一下今天要讲的最后一种题型，就是面面垂直的性质定律。那么什么叫做面面垂直的性质定律呢？具体的使用场景又是什么呢？就大家在以后做题的时候，你会发现有的时候这个题干当中的条件呢，是两个面垂直， 那么如果遇到两个面垂直这样的条件，我们应该如何翻译？我们先来看一下他的基本原理是什么？他是这样说的，他说如果两个面垂直，其中一个平面内有一条直线垂直于这两个面的交线，我们就说这条直线呢，和另外一个面垂直，是不是乍一读不知道他什么意思啊？我给你画个图，你大概理解一下，你就明白了。 比如说我这有个平面的 alpha， 然后呢，我这还有一个平面 beta， 这个 alpha 和这个 beta 有 什么特点呢？哎，他俩是垂直的，并且呢，这两条直线怎么样？还相交了一条交线 m， 即我们的 alpha 和 beta 相交交于这个直线 m。 现在呢，我有另外这条直线 l， 这个 l 有 什么特点呢？它是包含于这个平面阿尔法的，就是它整个在这个平面阿尔法里头，并且呢，它还和这个直线 m 呢，是怎么样是垂直的？那么如果说同时满足这四个条件的话，我们就可以得到 这个 l 呢，它就是垂直于这个贝塔的。那么进一步呢，这个 l 呢，它就垂直于这个面贝塔中 左右直线。你看这个链条，我们可以把面面垂直转化成线面垂直，进一步转化成线线垂直。那么具体这个原理应该如何使用呢？我们肯定就要就题论题了，我们来看下这道题啊，他跟你说这个正方形 a， b， c， d 和这个正三角形 a d， p 所在的平面呢？怎么样是互相垂直的， 然后呢， q 呢？是 a d 中点，让你去证明 p q 垂直于 b q。 你 这道题首先应该先把条前面这个条件给它翻译一下，就是这个平面 p a、 d， 它和这个底面 a、 b、 c、 d 怎么样是垂直的？根据我们刚刚所讲到的这个原理，我们是不是要去找着它的交线？很明显这个交线是谁啊？是我们的 a、 d 呗， 所以我们照着左边这个原理就可以直接来翻译它了，因为这个面 a、 b、 c、 d 垂直于这个面 a、 d、 p， 然后这个面 a、 b、 c、 d 怎么样？它是不是和我们的这个面 a、 d、 p 相交了？交线刚是不是画出来了，就是我们的 a、 d 呗。 那么是不是应该要找到怎么样一条和交线垂直？直线？那么哪条线和交线是垂直的？你看题干当中他不是说了这是一个什么形？这是一个正三角形啊，正三角形有什么特点？三线合一啊，所说哪条线和交线是垂直的？这条蓝色的线 p q， 因为 q 是 终点吧， 所以很明显这个 p q 呢？它是不是又包含于我们的那个红色的面 p a、 d 的？ 那所以说根据我们刚刚所讲的这个基本性质，我们就可以得到这个 p q 呢？它是垂直于我们的这个面 a、 b、 c、 d 的， 对吧？ 我们不是讲到过，如果这个 p q 垂直这个面的话，它是不是就应该垂直这个面当中所有的直线？所以因为这个 b、 q 它是包含于这个面 a、 b、 c、 d 的， 所以说 p q 他 不就垂直于 b q 了吗？你看就这完了，就这么简单。我们再来看一个是一样的做法，他给了你这样的一个三等锥，然后呢告诉你，三角形 p、 b、 c 呢？是等边三角形，你看等边三角形很有可能就会用到三线合一的那个性质啊，然后 a c 垂直于 p b， 然后这两个面又垂直，就让你证明 a c 和 p b c 垂直。 看着好像各种乱七八糟，条件一大堆吧，你就记住了，你就一步一步来，按部就班的做，你就能做出来。首先应该怎么样？你首先应该先把这个条件翻译一下，因为面面垂直作为条件是没法直接用的 啊。先找着这个平面 pbc 好， 找着它，然后找着这个平面 abc， 通过这个图能看出来这个交线是谁，就是我们的 bc 吧，所以我们来写一下这个基本步骤，你看因为面 pbc 垂直于面 abc， 然后这个面 pbc 是 不是和我们的这个面 abc 怎么样 相交了吧？有一条交线是不是就是 bc？ 那 么紧接着应该怎么样找到一条和 bc 垂直的直线啊？那谁和 bc 垂直？你读读题，这不有一个条件吗？看见没有？ pbc 是 等边三角形， o 又是中点，这不就是我们所说的了，什么东西啊，三线合一啊，说哪是个直角， 这是个直角啊，等边三角形的性质吧。好，所以说我们就可以知道哦，这个 p o 它是垂直于我们的交线 b c 的， 又因为这个 po 呢？它在这个面 p b c 上吧，在那个蓝色面上，所以根据我们刚所讲到的面面垂直的性质，我们就可以得到这个 po 呢，它就垂直于面 abc， 那 它垂直于面 abc 的 话，那么所以说这个 po 它就垂直于这个面 abc 中所有直线，这不就翻译完了吗？这个条件就到此为止了啊。 然后我们再回到我们这道题的结论，你看你要证明的是什么？你不是要证明 a c 垂直面 p b c 吗？跟我们今天所讲的第一种题一样，我们要证明 a c 和 p b c 垂直的话，只用证明 a c 垂直于这个面， p b c 中两相交线，那么哪两条相交线第一条就是 a c 是 垂直于谁的呀？ p b 的 呀？这个是已知的呀，这不用你去证。那么第二个是 a c 垂直于谁呢？ a c 呢？垂直于 po， 这个是因为什么呀？是因为 po 垂直于 abc 这个平面当中所有的直线呗。你看这不就完事了吗？就做完了呀， 因为 ac 垂直于 p o， ac 垂直于 pb， 所以 ac 垂直于这个平面当中。两条相交之前他就和这个平面垂直了，就和我们的今天讲的第一种题型不就连起来了吗？ 所以说大家如果把这几道题放在一块看的话，你会发现其实立体几何的垂直证明呢，并不复杂，关键点在于大家有没有掌握一套基本的解析逻辑和思路，如果纯平感觉肯定不太行。 以上呢，就是我们关于立体结合数学证明的所有知识解读，希望对于大家的学习会有帮助。我是小树老师，关注我带你掌握更多的高中数学知识。
粉丝2.0万获赞18.3万
相关视频
05:12查看AI文稿AI文稿有人问主播，主播何恰话鸡公戏，老戏记不住，有没有什么方法啊？有的兄弟有的一个视频让你彻底记住何恰话鸡公戏。 核沙化机和计划核沙公式呢，在我们高中学生中有着很重要的地位，在平常考试和高考中都会经常考的，但是呢，大多数同学都是记不清核沙化机，计划核沙的公式，今天呢，一个视频让你彻底记住计划核沙化机公式以及它的应用。那么来看核沙化机公式，那么怎么去记呢？ 你只需要记住的是，左边是左边是加减，右边是二倍的二分之加二分之减，这样就够了。那剩下我们该怎么记呢？你说第一个三阿法加三倍塔等于二三二分之阿法加倍塔算二分之阿法减倍塔。这个记为什么呢？帅加帅等于帅哥， 这个记为什么呢？帅减帅等于哥帅， 那哥减哥呢？哥加哥呢？很简单，等于哥哥，那哥减哥呢？啊，它等于不撒谎， 那这样的话就很容易记住了吧，那么就来写一遍，比如说，我想知道，我想知道，写帅加帅， 你就写散阿法加散贝塔，帅加帅等于帅哥，你只写二倍散二分之阿法加贝塔， 考散二分之阿法减贝塔，那这样不就顺理成章的写出来了吗？那同理，其他的只需要记住这些公式，比如说帅减帅散阿法减散贝塔， 很显然，他知道他应该等于帅减帅等于哥，帅等于二倍的考赞二分之 r 加倍的赞二分之 r 减倍的 根本就不用去记忆。那我们的计划和差公式呢？一样的，只要记住格式，左边呢是一个是两个连成，右边呢是一个二分之一的 r 加倍大和一个 r 减倍大，那就要知道从左边推右边和一个 r 减倍大，那就说这个第一条左边呢是一个帅哥， 那帅哥讲到我们刚才的公式，帅哥等于什么呢？帅哥很显然等于什么？写成师哥了，帅哥很显然等于帅加帅嘛。 然后套阿尔法加倍塔，阿尔法减倍塔哥帅，很显然等于帅减帅嘛。哥哥哥加哥，嫂嫂嫂，嫂嫂的时候要注意一下，嫂嫂的时候要把它换一下，这是负嫂嫂等于哥减。哥， 你要把副号移到右边，就是第二个格减第一个格了，所以这是这个是阿法减，微差在前， 这个是需要去注意的，你不要把副嫂子的副给忘了呀。好的，那我们现在直接来一道道可插画机的经典题型，考三十六度，减考三七十二度。这个其实如果你不用可插画机的话，其实大部分人包括学霸啊，其实都很难想出来。 这你以后问大多数学习好的，他考三十六度等于多少？他其实大多数都不会算，那这个呢？我们该怎么去做呢？ 那考三十六度减考三七十二度，那很显然我们可以想到可查法一公式，那这个什么呢？戈减戈横线等于负扫扫呀， 那应该是什么呢？烤散三十六度减烤散七十二度，那很简单，等于负的二分之三二倍，三十六度加七十二度散二分之三十六度减七十二度， 这样最后应该最后应该等于二倍的散五十四度 散跳过了一步，那我们下一步应该我们散五十四度和散十八度很显然不太出， 那如果把散五十四度化成二倍的烤散三十六度，散十八度，哎，相乘还有背角关系，这个的话就到我们的固定模板了，这样呢，我们该怎么求呢？二、烤散三十六度，散十八度 来测二倍角公式，我们同时除以一个烤散十八度，再乘以一个烤散十八度不变。但是我们测出来二倍角公式了，它应该等于烤散十八度， 烤散三十六度二放后面乘以一个散三十六度，依旧是我们连乘二倍角公式。烤散十八度二分之一，散七十二度。 我们知道有一导公式得三十八度等于三七十二度，那它横切下来就等于二分之一，所以原式等于二分之一。这是我们和差画积的一道经典题型， 通过这个视频，希望你能记住和差画积的和计划，和差的的背记口诀十分的好记。好的，关注我，解题快人一步。
3011韩少不喝酒
01:00查看AI文稿AI文稿你们知道历年高考数学最难是哪一年？今年全网都在炒，说今年高考数学很难，其实史上第一句难度应该是在二零零三年，就是本人高考的那一年。我听说高考的那一年， 数学主卷被人偷了，临时起用备用卷逼卷，你知道难到什么程度？部分省份平均分不到五十分，有的省份及格率都没超过百分之三。 我们当时班级或者学校里面那些数学学霸，考一百三一百四的，很多人没有考及格。我记得当时考完试出来，大家都沮丧着脸，有的人还哭了， 我们班主任一直在安慰大家说，没关系没关系，考完就算了，过了大家积极准备下一科。你们猜我当时是什么心态？因为我是数学学渣，我是一脸懵逼，反正简单也不会，难也不会，但是那年高考对学渣来说 稍微划上那么一点点，因为数学都不会，差距不会拉太大。你们猜我那年数学考几分？
164天青色等烟雨
02:37查看AI文稿AI文稿嘿，听说你们想看我的数学笔记，我的高考数学成绩是一百三，然后其中呢，有十分的题目是错在了 写数据没有写清楚，可能你们会觉得记太多好看的笔记会很浪费时间，其实我的笔记也没有多好看，大概就是用了很多不同颜色的笔，好看的笔记是结果，但是你一定要让你的笔记是有用的， 有用的笔记要记录你卡壳的瞬间。我的数学笔记是分成了两本，一本就是专门记知识点，例题，自己去学习记录的笔记， 然后另外一本的话就是记我的错题。像是红笔，我基本上会记的就是一些结论，知识点，二级结论。蓝笔呢，我记得就是一些答题的关键步骤，黑色的呢，就是记的是题目。像笔记的刚开始我会记一些反复去记忆的东西，就比如说 e 约等于二点七幺八， 然后根号二十一点四一四，根号三十一点七三二，然后以及我自己考试经常会犯错的一些点，比如说画图数据没有标清楚，以及计算的时候注意小数点。像这一边都是立体笔 记，比如说科西不等式、全方和不等式，这一些常用的二级结论我会给他记在这里。举一个例子，这一块我记得就是关于三次函数的知识点，那么三次函数呢，他的基本的理论是怎么样的？这是第一页， 后面呢，我就会找很多的例题，比如说考察他的基本性质，然后又比如说后面需要去转化的例题，写在笔记上的必须是你大脑消化之后吐出来的东西。 看答案写过程的话，那是练字，不是练脑，真正的记过程就是你看懂答案之后，把书给扔远一点，嗯，逼自己在白纸上从头复现。每天整理前一天的错题的时候，那么如果这道错题我在草稿纸上演算的过程是正确的，那我就不会记录在我的这个本子里面。 但是如果说我在演算的过程中发现我卡壳了，那么我就会用不同颜色的笔，就比如说这里用了我的黄色的笔去标注这个过程， 所以最后在你的笔记里面，在你的呈现效果上就是突出的部分，你可以用荧光笔，用其他特殊颜色的笔去给他画出来。 像我这里的话，就是比大小的二级结论，我可能就给他突出来。像是我的数学笔记的话，可能一页就只有两三道题，把这两三道题给他搞清楚。立体几何，担心看不懂的话，你别死磕空间的想象力，你可以在笔记里面把每一个模型的辅助线给他画出来。像是 遇到的知识点呢，我觉得不太记得清楚的，那么我就会画在这里。就比如说函数周期性以及对称性是怎么去做的，这道题我记得是模拟考的一道多选择题，比较难，然后也是通过画图给他想清楚。
3.3万智墩墩想学习
04:13查看AI文稿AI文稿四分钟带你速通七个高中数学解三角形必会定律！来不及解释了，先码后看，你必须掌握的定律。第一个是什么呢？正弦定律，余弦定律，高考必考的内容一定会考大题的。第二个就是摄影定律，全国卷特别喜欢考，只是我不是特别建议考大题的时候直接套用， 需要去证明一下，当然是需要备注的啊，考小题你就可以直接秒杀掉了。第三个当然是非常有名的角平分线定律，二零二三年假卷第十六期，考到了 圆锥曲线当中，这个定律也是非常有名，二零一五年全国二第一道大题直接让你证明角平分线定律，所以大家必须得会啊。当然第四个呢，就叫张角定律，这个套路怎么去证明的，你需要记忆下来，只要是他告诉你了这个三角形，告诉你这两个顶角了，这 两个角二法贝塔，我们就喜欢来一个等面积法， s 一 加 s 二等于 s， 这个 s 是 整个的三角形， a b c s 一， 当然就应该是二分之一， a b 乘一个， a， d 乘一个甚二法，加上一个二分之一， a d 乘一个， a， c 乘一个甚贝塔，他是不是就应该等于整个的三角形的面积？整个的三角形的面积就应该等于二分之一， a b 乘一个， a c 乘一个甚二法加贝塔啊，这叫张角定律，这公式就是定律了。好，当然我们只是需要化简一下， 大家可以看一下二分之一约掉了，这时候我们两边同除一个啊， a d 或者是 ab 乘 ac， 大家可以看，我先把 a d 除到右端去，然后再同除以，一步一步来吧， ab 乘一个 sin 二法，然后呢，再加上一个 a、 c， 乘一个什么呢？乘一个 sin beta， 看清楚了吗？它就应该等于个什么呢？ a、 b 乘一个 a、 c， 除一个 a、 d， 分 之甚二法加贝塔，然后我们两边再同除以 a、 b 乘 a、 c， 从而就是甚二法。比上一个 a、 c， 再加上一个甚贝塔比上一个 a、 b， 它就应该等于个甚 二法加上一个贝塔比上一个 a、 d， 这个公式就叫做张角定律。那么第五个斯特瓦尔特定理，当然我们在高考当中会考什么呢？它会考地点呢？它会考地点呢？是一个三等分点或者是终点。我们喜欢 假设这个角是二法，这个角是派减二法，来两个余弦定律相加等零，我给大家推导一下啊，这是 a， 这是 b， 这是 c， 然后呢，在 bc 上有一点 d 啊，它的极等分点不重要，所以我们这时候在这个三角形当中，比如它是个三等分线吧，我们特别我们有三种方法啊，第一个是什么呢？ 我们假设这个角是二法，这个角呢是派减二法，那么二法和派减二法当然是互补的，那么他们的余弦值一定是相反数，所以我们给他写出来，你看啊，推倒了啊，考试二法等于什么呢？等于一个 a、 d 的 平方 加上一个 b、 d 的 平方，然后减去个 ab 的 平方，比上两倍的 a、 d 乘一个 b、 d， 问题吧，然后在右边这个三角形考生派减二法等什么呢？他就应该等个邻边的平方和，也就说 a、 d 的 平方再加上一个 d、 c 的 平方，然后减去 a、 c 的 平方比上两倍的邻边之积， a、 d 乘一个 d、 c， ok， 那 么大家想一想，是不是这两个三角形，他们的余弦值相加就应该等于零啊？所以这样的话，我们就能够推出， ok， 他 俩相加等于零，他俩相加等于零的话，左端，当然我得通分，我直接写了，啊，相加等于零的话就应该是，嗯， 对吧？啊，分母不太一样，我们就通分，这个地方乘一个 d、 c， 对 不对？这个地方乘一个 b、 d， 然后 整个的四指向加等于零，听明白了吗？这个套路，这个思路就叫斯特瓦尔特定律。第六个中线长定律，就第五个的特别地，就是当 地点为中点的时候，那么这就是赫赫有名的中线长定律。那这就说明 a、 d 肯定是相同的， b、 d 和 dc 肯定是一样的，所以它俩的分子相加就等于零了。两倍的 a、 d 方，再加上一个 b、 d 方，再加上一个 dc 方，再减去个 ab 方， 再减去个 a、 c 方，听明白了吗？等于零，那么当然 b、 d 呢？它就应该等于 d、 c， 所以 这是两倍的 b 地方，所以中线长定力就出来了。 ab 方再加上一个 a、 c 方， 它就应该等于两倍的 a 地方。好，我说明白了吗？中线长定力是什么呢？就应该是它方加它方，等于两倍的 a 地方加 b 地方。 好，听明白了没有？这叫中线长定律。第七个叫陀罗密定律，它就应该是 ab 乘以 c、 d， 再加上一个 a， d 乘以个 bc 等于个 a， c 乘以个 b、 d， 利用三角形相似，当然第七个我认为高考是考不到的，前六个必须都会研究呦！
576赵礼显数学
13:50查看AI文稿AI文稿给高考生们展示一下十年后你们智商的退化程度。嗯，不好意思，讲错了，哈哈哈，那我们重新回来，哈哈哈，我们回到第一位，回到第一位，这是给了一段区域吗？任意的 x 零 x 零，那你说这个是啥意思呢？ x 零，我们这个集合是要找这个 d， 那 s 零加 d 大 于 s 零，那就是 s 零，是这个函数的一个，就是 比 f x 零大的那一段定义于。啊，我懂，我懂。嗯，这个减， 那就是 f x 二 x， 嗯，这是 x 小 于零，然后这是一减 x， 这是 x 大 于等于零，那现在要找这个 d 负一，那也就是就是比 f 负一大的那一段定义于。所以我们直接把图一画就拉倒了， x y f x 零 x 小 于零，那就是二 x 这个样子吗？是一 x 大 于等于零，是一减那个 x， 这是一，嗯，这个样子吗？嗯，我们现在是要 d 负一负一， 这是二负一乘二分之一吗？对，那所以我们现在是要找他比负一大的那一段，那就是这一段吗？嗯，所以我们需要求来这个值就好了。二分之一，所以我们现在就需要找 f 这个值。假如说这个值是 a 吧，那我们也就是要找 x 大 于等于零 等于零。等我一下，我这名 s 二，这为什么是 x？ 嗯， d x 一， 呃，这个 d f x 一， 对吧？嗯，不好意思，讲错了，哈哈哈哈。 啊，对不起，我声音有点大，那我们重新回来，哈哈哈，我们回到第一问。回到第一问，回到第一问，哈哈哈。哎哎，别说话，哈哈哈， 你看，你，绕着我思路了吧。对不起，你看这个时候 d 负一，哈哈哈，是不是就是 d 属于 r， 那 这个时候把负一带进去， 负一加上 d 大 于 f s 零负一负一二分之一吗？嗯， 那其实现在我们就是要去解这样一个式子，就是 f x 减一大于二分之一，这时候我们是要找这样一个范围，那不就是还是这个吗？哈哈哈，对吧？所以这时候我们就要去，嗯，就是 x 小 于零时， 那就是二的 x 减一大于二分之一。看一下有点问题啊，就是第一种啊，别，别说话，我没说就是 x 减一小于零时， 这个叫什么来着？换元法有呢？ s 减一小于零时，它就要带到前面那个，嗯，也就是二的 x 减一，它需要大于二分之一，对吧？那这个时候，所以就是 x 二二的负一吧。 x 减一大于负一，也就是 x 大 于零，那第二个，那就是 x 减一大于等于零时，那就是一减去还原法了。 x 减一，它需要大于二分之一，所以就是算一下。一减 x 加一大于二分之一，那就是 x 小 于二减二分之一，二分之三，那就是 x 小 于二分之三，所以那就是 x 大 于零小于二分之三。 第一问。好，我们接下来看第二问，那我们还继续进一步讨论，哈哈哈，那这个时候 d x 一， 它就等于 f x 一 加 d 大 于 f x 一， d x 二就等于 d 二， f x 二加 d 等于 f x 二，所以这个时候呢，我们就需要去看了，那这一个呢，它我们就需要求解的，就是 第一个，我们先要把 f x 的 表达式写出来， x 小 于零的时候呢，它是二 x s 等于零的时候是什么呢？ 负二到负 x 是 吧？对对对对，有点忘了，我就是想说这个，咳咳咳，所以呢，咱就分情况看一眼子吧。那就这个，先说这个吧。嗯，它到这儿，那这个时候呢？ d x 一， 那它就是我们去求 d 嘛？ 二的，因为它们都小于零，我们就只看小零的 x 一 加 d 大 于二的 x 一， 对吧？那它等一下，我走神了，没看上 d x 一 二的 x 一 加 d 大 于二的。啊？对对对，对，等下一点问题，那不说， 我们不能这样子来讨论，对吧？因为我们看的是这个题目主要考察我们什么内容，你来反思一下。函数函数里边哪一点？分段函数，分段函数里边还有个什么东西呢？ 增函数还原法，对吧？我们说函数里边那个 f s x， 这个是一个广义的 x， 那 对于它我们要去带到这个式里边，那其实应该是整个部分要小于零的，对吧？啊？对对对，所以这时候我们要不能这个样子分类讨论呢？嗯，那要怎么样分类讨论呢？要，要，等一下，要你帮我想一下，这个部分要小于零，那就是 这个市里面 x 总不能带 d 吧？那肯定不能带 d 吧？你加 d 任意的 d 数一二，那它就是一个。你再说一遍，所以我们还是回归到问题的本质，它这个到底表达的是什么？ 它是不是？其实对于这样一个式子，我们不管 s 一 s 二，是所有的实数吗？对，所以是不管 s 一 s 二，其实我们表达式其实都是一个。对对对，对吧？都是 x 零，那所以我们现在可以直接去找一个统一的，我们先去看 d x 零，因为这 s 零可以统指 s 一 s 二嘛？嗯，对吧？ 所以这时候我们是要对这个玩意儿来进行分析讨论。嗯嗯，那怎么讨论呢？你来说一下吧。我想一下， 等一下，等我看一眼今天这个小于这个，且它们不等于零 d x 二，等一下，就是我总感觉我这是分段函数。对啊，它又没有零，所以我们要从 x 这个进行出发，对吧？那就第一种 x 零。假如说我们 x 零大于零，那这时候如果要使得 x 零加 d 大 于它，那是不是又分几种情况？第一种， 那就是 x 零加 d 大 于 x 零，嗯，对吧？因为 x 大 于零，我们就是在这一段嘛。嗯，那第一种就是他比他大，对吧？那第二种就是 x 零加 d 直接小一点，是不是就好了？他就在这边了，他就肯定比这边大了， 所以 f x 零加 d 肯定大于 f x 零在这边嘛，为什么 f x 零在那边？我们讲第一种情况， x 零是大于零。哦，对对对对，我没看到前提条件，不好意思，对吧？所以对于这一种情况，那它得到的就是 d 大 于零或 d 小 于负 x 零。嗯， 那那第二种 x 零如果小于零，那这时候是不是就 x 零加 d 必须大于 x 零小于零才行？ x 零小于零的时候， x 零加 d 必须要大于？对，那这个时候就是 d 大 于零小于负 x 零， 对，这两个一样吗？大于零或小于 plus， 零小于 plus， 不 一样吧，不一样。嗯，真棒，那这个时候我们是不是就可以进一步去看这个式子了啊？对，那是不是 进一步去看这个式子了？那针对这个条件，是不是我们进一步就需要去看第一种，那 x 一 小于等于 x 二小于零的时候，对吧？小于零是不是就看这个就好了？小于零吗？因为 x 一 x 二都是 x 零的里边一个情况，那这个时候 d x 二，它就等于， 是不是 d 小 于负 x 二，对吧？因为我们解出来一下，小零的时候，嗯， d x 一 零， d 小 于负 x 一， 那我们又知道， x 一 小于 x 二的，所以它负号就大于它，所以它它它自己嘛，对吧？它负号它小，所以它就更大，所以 d x 二，它就是 d x 一 的一个自己，是吧？那第二种 x， 呃，零小于 x 一 小于 x 一 小于等于 x 二，那是不是跑到上面一种？嗯，那 d x 二就等于 d 大 于零或 d 小 于负 x 二， d x 一 就等于 d 大 于零或 d 小 于负 x 一， 是不一样的。嗯，所以 d x 二也是它的一个字记。那第三种，那就是 x 二小于零小于 x 一， 对吧？嗯，那这个时候 d x 二，它就等于 x 二小于零或 d 小 于负 x 一， 是不是显然 d 大 于零？对， 所以综上所述，嗯，是不是，对吧？嗯，那我们接下来继续看第三问。嗯，有没地儿了？有勾搭？嗯，嗯，换一下吧， 加上了等会儿收费还有用。第三问，你答题卡儿都不够了，老师会再给的。你们那个年代是别说机器月卷还是人工月卷？人工，那怪不得你们还在给呢。 f 零大于等于一，这个数应该怎么正呢？你再把条件读一遍，等一下就肯定要用到第二问的思路了。然后第二个 x 小 于零小于一，第二问假设很强，它是奇函数，它想啊，才能。第二问就是给你第三问提示一下，怕你直接想不出来。这样吗？那你说吧。首先 它只要是奇函数的话，它第一个弱肯定就对了啊。那假设它还能这样假设吗？这说明它是个递减的，递增的它只是说零到一的小于 f s 零，零，这是一个值啊，一个值。 你，你这就采用极值法，就把 x 等于零带进去，发现这个数等于一，那 x 零大于等于一，你就只要带证明那 f 零是它这个世界里面 最小的那个值就行了。它最小的值是一，你把零带进去，它确实是一小于零才取。这个零在哪呢？ 这是极限思想负的零点零零零零零零零零一等于零，那，那我们看第二问的 f 零是多少零， 所以呢？所以我觉得我这个思路是有点问题，是吧？但对了一点，那我们就继续来看，肯定是要用这条件的条件啊。对，你等一下，我再想一下，你别着急， x 在 零到一上的时候，我们现在只知道 小于零的时候，它是这个样子的，嗯，零到一只知道它值域是小于等于 f s 零的，但是我们没有 f 零这个东西， 嗯，但是我们又有第一个条件，嗯，所以我们是不是要用到这个第一个条件才能去做出来找到 f 量？嗯，那怎么用呢？ f x 一 分类讨论，最后一道题肯定要求倒的，我跟你讲， 你觉得呢？那怎么求呢？我们都没有 x 大 于的解析式，也就是 f x 二加 d 大 于 f x 二啊，然后大于等于 f x 一 大小于啊，大于等于 f x 一 加 d， 就是 说它这里边 d 的 范围是 属于这里边这个 d 的 范围的，对吧？ f x 二属于 f x， 对， 那我们是不是进一步就要去看这儿了啊？这个怎么去把这个搞出来？ 你要讨论假如它是，嗯，怎么讨论第一种？嗯，假如它在 x 大 于零的时候。啊，不对， 你直说吧。行吧，哈哈哈。哎呀，我思考一下子啊，几点了？有点晚了，该睡觉， 哈哈哈哈，你看吧，这一道小问他最多占个十分，我们还有一百四呢，没事，可你怎么知道我选择最后一道题和填空最后一道题能做出来呢？咳，这两个我应该能做出来一个吧，我们考一百三也完全没问题的。不行，我，嗯， 第二个条件怎么用啊？这题不是求导的题的，因为你不知道 s 大 零的解析式，你只能通过第一问证明 f 零大于等于一，然后通过这一个去证明，进一步证明在零到正无穷也是个增量。要不你把第一问做条件，直接做第二问吧，这还有第二问的分。嗯，也行， 所以第二问我们就知道 f 零大于等于一了，对吧对吧，那这个时候 你热不热？我看你开空调，我不是 x 大 于零的时候他比他小。嗯，那他在这不是怎么着也有一点下降吗？那他怎么单调递增呢？ 啊，这不就是第二个吗？那是个鸡，还是老板？他好像是比我那一年大。挺难，反正法这 f 零小于一则。 洗漱了，十二点多了，哎，洗漱了。
47比奇堡在逃老板
03:08查看AI文稿AI文稿大家好，我是实验中学啊，聊友届毕业生李耀松，在今年的高考中，我取得了数学一百一十六分的成 绩。实验有约，对话青春，欢迎收看本期访谈节目我是主持人梦涵。 今天我们请到了本校高考数学单科第一，下面请他来分享一下他的高分秘诀。那你先来给我们分享一下你在高三学习当中刷题以及复盘的一些经验。呃，从刷题方面来讲，主要是对基础知识的一类记忆学习。 呃，在刷题方面可以多刷一些基础题，对基础题中不记忆，或者说遗忘那些不熟练的题，然后这些方面可以重点复习。那在数学这门考试当中有选择题和简答题，那你来跟我们分享一下你的拿分小技巧。呃，从选择题方面来讲， 选择题的话可以直接运用啊。答题方面的话，答题总会有那些 懂的和不懂的，那些懂的话可以直接运用，主要关注一些比较可能漏分的方面。那些不懂的话，主要是对那些题目的直接啊，推导啊，这些推导的话也可以直接在高考中得分的， 主要关注那些可能扣分的方面。我了解到咱们学校有三轮复习，那你在这三轮复习当中，你的复习重心放在了哪里呢？在一轮复习方面，上 一轮哈，我主要是复习那些基础题，可以重点回顾那些课本上的例题。二轮方面哈，我主要回顾一些多个基础知识点的，他们综合利用这类题型。那你在高三的学习当中遇到分数瓶颈的时候，你一般去怎么突破呢？呃，在遇到分数瓶颈时， 我会总结近几次考试中一些错误的题目啊，从这些错误的题目中提取到一些相似的知识点啊，对这些知识点进行针对性的练习啊，或者去询问老师这类题目的解决方法，将其转化为自己的方法。 那接下来你给我们学弟学妹们提一句学好这门学科最中肯的建议啊！学好数学啊，不仅在课堂方面上要认真听讲老师我讲的知识点 啊，对老师所布置的那些练习题也要重点练习，将老师所讲的知识点转化为自己理解的，将那些例题他们的解决方法转化为自己能 自己能理解的方法。在学习之余，你最喜欢做什么？还有用什么方式进行解压放松？在学习之余，我喜欢看一些小说啊，至于放松呢，我总是将那些小说中的文字内容化为脑海中的图像动画，将注意力从 从学习的压力中转化为最最图像动画的，认真思考中来缓解自己对学习的紧迫和压力感。感谢李奥松同学给我们的分享，也祝愿他在大学中一切顺利，前程似锦！
58我要上实验
01:14查看AI文稿AI文稿考场解的快要有肌肉记忆，看到就会做这个话打脸吧，我之前反复跟你说我们又不是考体育，还肌肉记忆。 考场一定是你要发挥主观思考的地方，你肯定有很多的题需要现场去想，这是我为什么希望你们通过平时做题去锻炼独立思考能力的主要原因。 你就不用想这个东西，你就不用研究高考他怎么考，高考一定是考察你会不会思考，如果全变成肌肉记忆。我去，难道年轻人都是学体育的吗？数学是个思维体操， 平时每一次练都要锻炼你的脑细胞，不是锻炼你的肌肉，还做题多还模板还套路。今年是否严重打脸了？不光今年打脸，每一年都打脸，只不过二三，只不过二四年，二五年考的比较简单， 你可能感觉不到今年是吧，年轻人也狠了，出题难了你还肌肉记忆。
45吕数
09:08查看AI文稿AI文稿刷题不盲目，记忆不枯燥，数学提分有门道，我是麦斯君，下面我们再来看第十六题。读题已知，在三角形 a、 b、 c、 d 中， a、 b、 c 等于三， bc 等于二分之根三考三 b 等于三分之根三。第一问，求考三 a。 好，我们先简单画个图，先分一下思路。好，有了这个三角形和有了这个三角形，知道两个边，知道一个角的一线直，瞬间想到一线公式，我们可以求出 a、 c 这个边。 好了，三个边的都有了，看第一问，第一问求 q 三 a， 求三 a， 同样是一项公式，这三个边了很容易求出 q 三 a。 好， 第一题就围绕 q 三 a 的 思路就直接能做了。好，直接开始做。先查选好一项公式， 角邻边的平方之和减去两倍的邻边乘积，再乘以加角，可算 b。 代入计算解得 a、 c 的 平方等于九，所以 a、 c 等于三。好，三个边有了，求角三 a， 同样余弦定里， 余弦定里的变式继续做，列出余弦定里的变式好，带入，直接做好，做出答案，可算 a 等于三分之一。好，这道题第一问做好，做出答案可算 a 等于三分之一。好，这道题第一问思路优先。定里的变式 主要考察我们对域域定义的记忆，要把定记忆记在脑子里，不用写出来，直接从脑子里反应这个思路对不对。 有个图，有个简图，也可以简图一代入啊，可以知道另一个边，另一个边有了，还是域域定义， 所有的角的域前都有了，推荐大家去，几乎被公示， 我会发在评论区里。好，我们再来看第二问。注意做多学，就是一道题有多个题的时候，第二问会利用到第一问好，我们看第二问 好，再来看第二问。第二问设 d e 两点满足， d 在 b a 延长线上， d e 平行于 b， c， a， e 垂直于 a c。 若 d e 等于根六，求 c e。 你 看给的条件都很复杂， 对于解析几何这种复杂条件，直接想到用限量法。 第一限量法，首先第一个考虑的是好了第一步的第一步的思路，有了限量法，下一步限量法最重要的是什么？ 下一步思路，第二步思路，找到合适的空间坐标系，想一想能不能找到最好的坐标系，适不适合建坐标系， 还是靠剪图，刚才我们画的剪图，先自己再随便随手画一个剪图。对上一题我们做出来了， 我们知道三角形 a， b 等于三， a， c 等于三， b， c 等于二，二倍根三，这是一个等腰三角形，对于等腰三角形，可以做顶点的高， a 点的高，这样这个坐标系就把所有的顶点都包含了， 非常非常适合做宽直角坐标系，所以也非常适合用向量法。好，我们思路就确定了，就直接用向量法去做， 剩下的就直接都没写了，就不要再演算了。好，直接开始做，先建立直角坐标系， x y 起取 b， c 中点为圆点， b， c 为 x 轴。好，简单画一下图，尽量还是保证图的准确性。 嗯， bc 等于咱们的根三，估计一下，大概是比三，比是比三是大的，所以它的边应该是最长的。好，有了坐标系，我们把它的 各个顶点的坐标先列出来，这个求 a， c 的 这个求 o， a 就 也比较简单。 bc， 这个 b， o 就是 根三了， a， b 就是 三， a 点坐标也很好求，直接用勾定理，三跟三，所以 o， a 就是 跟六。直接写出坐标 a 点坐标零跟六， c 点坐标， b 点坐标好，接下来求其他几个点。顺着往下， d 在 b， a 延长线上， d， e 平行于 bc。 先看 d， d 在 b， a 的 延长线上。说明 d 在 b， a 的 直线上求出，先求出 b， a 的 直线方程，先求斜率，求出根二，然后求 ab 的 方程好的求出来 ab， 所以点 d 就 在这个直线方程上，然后直直接设 d 的 坐标好了，我们就直接设 x d。 对 这种题，我们要大胆的设 x d， 因为我们相信后边肯定会给我们条件，然后把 x d 求出来的， 因为后面一看有很多关于 d 的 公式加载。设好，接着往后看，再看 e， d， e 平行于 b， c， d， e 平行于 b， c， 说明 e 点和 d 点是在它们的 动作标是相等的， 然后直接设 e 点坐标，坐标相等，直接用 g 的 坐标写出，列出 e 的 坐标 好，下一个 a， e 垂直 a， c。 好 了，终于来了第一个可以构造方程的了， e 垂直 a， c。 向量的坐标相乘等于零，直接反映出来 好，直接相乘。先把向量求出来好，向量相乘好，我们列出了第一个方程了。根三倍的 x， e 减去两倍的根三， x， d 等于零， 不要害怕，后边应该还会给出另一个方程连累方程解得，再往后看， d， e 等于六，两点坐标， 带入了解键的距离。公式化简一下，算了，不用化简了，我发现化简之后会拆开直接连连两个方程， 把第一个方程的 x d 或 x e 用表示直接带入好，我们直接看 x e 等于两倍的 x d， 直接把 x e 代入代入解得 x d 的 横坐标等于正负根六，所以 x e 等于正负两倍的根六。 好，一点的坐标我们有了，有两两种情况，接下来让我们求 c e 好了一点的坐标，有了 c 点的坐标也有直接求，先看一点，先看一点坐标好得出 d 有 两个坐标，代入直接求， 把第一个点一点代入，求 c e 求得等于三倍根五。好，再来看第二个点好，带入第二个点求，因为我这个解不开了，最后可以算出来直接等于也等于三倍的根五，所以都一样。最后 c e 就 等于三倍的根五。好，这道题就解完了。 好，再来看第二个的思路，回顾一下，看到很非常复杂的知识点，又是解析几何，首先想到利用限量法，限量法这第二个思路，判断 适不适合用向量法，要适不适合建空间直角坐标系。根据第一问，我们知道这是一个等腰三角形，等腰三角形就非常适合没有中点做圆点，直接做空间直角坐标系， 剩下的就是按照按照他的条件一个个的往里带，找点不知道的点，就取未知数，我们相信后面会告诉我们条件，能够求解到这个未知数，求解到这个未知数，最后记得答案， 关键还是关键还是在动手之前的思路分析，知道用向量法，知道要建空间坐标，作作要写，这些都是要提前记忆好的， 大家可以在几乎的记忆包里做好这些准备，考场考的就是记忆好这道题讲到这。
134数学math君
00:48查看AI文稿AI文稿双曲线的渐近线方程是多少？双曲线的焦点到渐近线的距离是多少？ 顶点到渐近线的距离是多少？双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积是多少？ 双曲线的切线与渐近线交于 ab 两点，三角形 oab 的 面积是多少？ 过双曲线上任意点做两条渐近线的平行线交两条渐近线于 ab 两点，它围成的这个平行四边形的面积是多少？
534赵礼显数学规划
02:59查看AI文稿AI文稿一句话讲懂辗转相除法，两个数的最大公约数呢？我们记为 a， 逗号 b， 它等于大的减小的 a 减 b， 再逗号 b， 那 么这个 a 减 b 是 什么意思呢？就是大数比小数要多出来那一部分，比如说六十五和二十六，既然这两个数要找他的最大公约数，那说明二十六是这个最大公约数的若干个整数倍，这个六十五呢，也改是最大公约数的整数倍。 那我用更多的倍数去减去你这个更小的倍数，我得到的剩下的这一部分，也就是大数比小数多出来的这一部分，他也得是最大公约数的整数倍。所以我就可以在这个多出来的部分里头和这个更小的数里头去找他的最大公约数。 只要理解了多出来这一部分，一定是最大公约数的整数倍，一定是包含着最大公约数的，就理解了辗转相除法。那这里一段是多少呢？一段是十三， 用五段的十三减去两段的十三，还剩下三段的十三，它一定是十三的整数倍，那么它等于五分之二。 好，再随便出个题，一百五十五除一百八十六，它等于几分之几？那我们用转折消除法，直接大数减小数一八六减去一五，五八减五，等于三六减五，等于一三十一。此时我们发现三十一呢，已经是一个数数了，那么它就不可再分割了，它一定是一个完整的一段， 所以大数比小数多出来那部分呢？就是这个三十一呢，一定包含了最大公约数，而他又不可再分割了，所以呢，就直接除以三十一就行了，他等于六分之五。好，再出一道题，化简这个分式还是直接用大数减小数三百九十九，减去二百四十七，等于一百五十二。 然后我们得到的这个数呢，如果是比较小的话，你可以一眼看出来他是怎么分解的话，那就不用再往下减了。就是如果你能一眼发现注意到他等于八乘十九， 那么就找到了他的一个公约数，就是十九。这时候很多同学就会想，哎，老师，我注意力没有那么惊人，我注意不到怎么办呢？注意不到就继续减。那此时的这个更小的数呢， 就用二百四十七减去一百五十二，再得到一个更小的数，然后最大公约数一定在这个更小的数里头。 如果第一步呢，咱们就注意力惊人，得到了这个十九。那么根据刚才的原理，大数比小数多出来的那一部分一定是最大公约数的若干倍，那么他就有可能是什么呢？就是三九九，比二四七多出来的那部分呢，是八段的十九，每一段是十九， 总之这个十九是一个素数，它就不可再分割了。所以呢，这两个数一定都可以去同除十九。 那十九是不是这两个数的最大公约数呢？不一定啊，比如说这两个同时乘以二二乘二四七， 除以二乘三九九，求这两个数的最大公约数，它就不是十九了，它就是十九的两倍了，就是把两个小十九呢当成一个整体，这两个一除二十一分之十三已经化解完成。
559世界记忆冠军大卫哥
