天津高考数学填空

看一下今年天津高考的这个填空压轴题，已知函数 f、 x u 且仅有两个零点，现在让咱们求 a 的取值范围。 fx 里的解析式里面呢，有个绝对值，对于这种解析式当中有绝对值的函数理点问题呢，咱们就可以考虑分类讨论去绝对值或者说数形结合。分类讨论尝试成本是比较高的，所以对于这种问题呢，咱们应该优先考虑数形结合法。 这里要用竖行结合法的话，其实就是把函数的零点问题给他转化为函数图像的焦点问题。这里要转化为函数图像焦点，那肯定是把带绝对值的这一项给他分离出去，咱们令 fx 二零立马就可以得到。 那现在其实就是说左边还有图像和右边还有图像呢，有两个不同的 google 点有， 有没有发现左边是曲线，右边呢也是曲线，当 a 变化的时候，左边曲线和右边的曲线不管是形状也好，位置也好，总之呢，都在发生变化。那什么时候会产生两个不同的公勾点呢？这个看起来还不太好分析，那这个时候咱们就应该考虑对这个等式做上一些变形。 原来是曲线和曲线的交点问题，不好分析，那咱们就可以考虑转化为直线和曲线的交点问题。要转化为直线和曲线的交点，很容易能想到两边同时出现 x 吧，因为同时出现 x 之后，左边他就变成直线了。 但是在除之前呢，咱们要看一下 x 是否为零，那咱们把 x 等于带进去，你会发现左边是零，右边是一，左右不相等，说明 x 等于零，不可能是这个方程的根，所以咱们在研究这个方程根的时候，可以直接限定 x 不等于零， 当 x 不等于零的时候，两边同时除以 x 就能得到 a， x 减二。那现在呢，左边的形式比原来简单很多了，它是一条直线，但是右边呢，你会发现比原来又复杂了一些，那这个函数图像怎么画？ 明显还是不好分析的。而且这里的 x， 你要想把它直接放在绝对值符号里面的话，那是不行的，因为 x 可以为正，也可以为负，如果你非要放在绝对值符号里面，那就应该分离讨论。所以这个转化看起来不太理想，那还能怎么转化呢？ 这一块咱们可以考虑两边同时出 x 方，因为同时出 x 方的话， x 方它是道理的，咱们直接就可以放在绝对之符号里面了。这样的话，右边的形式就比原来变得简单一些，而且左边呢，它也不复杂。那咱们两边同时出 x 方，先看一下， 同时出 x 方就能得到 a 减 x 分之二，那这个等式能不能继续转化呢？这步转化很明显吧，把 x 分之一当成一个整体，那它的形式就会变得更简单。咱们令 t 等于 x 分之一，那么这里的 t 就是不等于零的， 这个等式呢，立马就可以变成负二， t 加 a。 那现在咱们就把一个关于 x 的方程给它转化为一个关于 t 的方程了，那来看一下 t 和 x 的关系。有没有发现，当 t 不等于零的时候，一个 t 就可以对应一个 x， 一个 x 呢？也可以对应题一个 t， 也就是说这个关于 x 的方程有两个不同的实数根，其实就是这个关于气的方程，在气不等于零的时候，有两个不同的实数根，这两个效 我是一模一样的，也就是完全等价格。而且此时呢，左边它是一个关于 t 的依次函数，它的图像呢就是一条直线，有没有发现斜率等于负二，它的零点呢，也是比较好分析的，零点是 t， 等于二分之 a， 那再来看绝对值符号里面的这条抛物线，他是开口向上的，在外轴上的洁具呢，唯一，而且他的对称轴有没有发现，这个就很特殊了，二分之一他和一次函数的零点是一样的， 那现在咱们只需要保证左边这条直线呢，和右边这条曲线有两个不同的公共点，而且这个公共点的横坐标呢，不能是零，因为这一块的 t 是不等于零的，那左边还是图像很好画，右边 还有图像呢，这里涉及到一个绝对值，那就要看一下里面这个关于 t 的二次函数，它的图像和横轴到底有没有交点， 如果有两个焦点的话，这个要翻折一下的，要把横轴下方的图像给他翻折到横轴上方，这个有一些复杂，那咱们先来看比较复杂的情形， 第一种情形就是有两个交电，也就是 delta 等于 a 方减四大于零，也就是 a 小于负二或 a 大于二的时候，那么这个二次函数的图像，它会和横轴产生两个交点， 在代购绝对值呢，就把横轴下方的图像给他翻折到上方去了。而且咱们刚才分析出来，这个对称轴 头呢，它是 t， 等于二分之 a， 这个给它标上这条直线呢，斜率为负二，它的零点呢是二分之 a， 那它的图像大概就是这个样子， 有没有发现这是有两个焦点的，那看起来没什么问题，在这一块呢，还有个细节得说一下， 因为这里的 t 是不能等于零的，咱们在画图像的时候，要把 t 等于零的点挖掉，那 t 等于零在图像的什么位置呢？这个还是不好说的，因为这一块的 a， 他的范围还是有一些复杂， a 小于负二或 a 大于二， 那要不要继续讨论呢？其实这一款那就没必要讨论了，这里只有一个 t 等于零这样一个特殊的值，咱们就可以带回这个方程给他检验一下。那看一下 t 等于零有没有可能是这个方程的歌呢？当 t 等于零的时候， 带进去之后，左边是 a， 右边呢是一。而咱们研究的这种情形呢，是 a 小于负二或者 a 大于二，那 a 等于一明显是不成立的，这个不成立，说明 t 等于零不可能是这个方式的根，也就是说这里产生的焦点的横坐标也就不可能是零。所以说第一种情况下，咱们就得出来， a 小于负二，或者说 a 大于二。那再来看第二种情形， 这个时候它的图像在横轴上方，那它是大于零横成立的，那这样一来，绝对这符号是不是就没了？所以这个等式呢，立马就可以找成负二， t 加 a 等于 t， 方减 a， t 加一。有没有发现这个形式还是非常简单的，那对于这种简单的形式呢，竖行结合也就没有必要了，它就是一个关于 t 的二次方程嘛，咱们做一个整理，正常来处理就行了，合并一下同类项就可以得到， 研究他的根有没有发现可以分解音式，既然能分解音式，那咱们就分解音式来研究了。这里是一一，这是负 a 加一和一交叉相乘，相加刚刚好是一次性的系数， 那这里就能得到这个关于 t 的二次方程的两个根呢，就是 a 减一和负一。 那咱们的要求是什么？要求就是这个方程有两个不同的实数根，而且这个根呢，不能是零，因为这一块 c 是不等于零的，这是大写题。那要想让两个不是零来看一下，这负一肯定不是零了，那咱们让这个不是零就行了。 a 减一不等于零就可以退出。 a 不等于一， 而且两个实数根部相等，那就是 a 减一不等于负一，这里就能得到 a 不等于零。 所以这种情况下咱们就能得到 a 的取值范围是什么呢？首先是大于等于负二，小于等于二，这是大写题。 a 不能等于一把一挖掉， a 不能等于零，把零挖掉， 那就是这个区域。还有第一种情况，咱们算出来， a 是小于负二和 a 大于二，那两个都是答案，两个并一起就是最终答案，并一起的话，那就是把这个区域给他补上。好，这个题目就说到这里。