高考倒计时三十天，你的数学我来守护，仅限中点，点查法直接速结！我已加入抖音精选高考应援联盟，欢迎大家上抖音精选搜索高考应援联盟，追根高考名师一百题！ 在圆锥曲线中，如果碰到了弦和中点，那我们第一想法肯定是考虑点差法。如果我们把点差法的结论记住了，那么在做小题的时候就会非常的快速。在讲题目之前，给同学们推导一下我们点差法的结论，他究竟是怎么来的，以及点差法是怎样一个东西，怎么去使用的。如果题目中出现了 弦 a、 b， a 跟 b 呢，都在我们的椭圆上，并且它的中点为 m， 我 们这里把三个点都设出来了，那既然 a 点跟 b 点都在椭圆上，我们就可以把它带入椭圆方程，那么就会得到 a 方分之 x 一 方，加上 b 方分之 y 一 方等于一。以及我们第二个点带入 a 方分之 x 二方，加上 b 方分之 y 二方等于一。我们把这两个式子去作差，这里的分母都是 a 方以及 b 方，右边相减呢，它就为零。我们把 b 方分之 y 方移到右边，那么左边它就是 a 方分之 x 一 方减 x 二方，它这个平方差公式我们直接写成 x 一 加 x 二乘以 x 一 减 x 二，那么右边呢，就等于负的 b 方分之 y 一 加 y 二， 比上 y 一 减 y 二，整理一下就能得到我们的 y 一 减 y 二，比上 x 一 减 x 二，我们把这里除过去，然后呢，把 y 一 加 y 二除过来， 就变成了 x 一 加 x 二，比上 y 一 加 y 二，这边还有一个 a 方，对不对？那这边的负 b 方呢？也乘过来就乘以 负的 a 方分之 b 方。好，我们来看一下， y 一 减 y 二，比上 x 一 减 x， 它是不是就是得它 y 比上得它 x， 并且 y 一 y 二 x e x r 是 我们的 a b 两个点，对不对？所以呢，这里它其实表示的就是我们斜率 a b 这条直线的斜率。那么这里呢， x 一 加 x 二是什么东西啊？我们的中点横坐标为 x 零，那么此时我们的 x 一 加 x 二，它是不是就等于两倍的 x 零？那么 y 一 加 y 二呢？两倍的 y 零，我们把它写到前面来， 负 a 方分之 b 方。好，那这个二我们是不是可以约掉？所以它就等于负 a 方分之 b 方乘以 y 零分之 x 零，那么这个呢，就是我们直线 a b 的 斜率。 看到第二个结论，把这里的 y 零分之 x 零，我们直接移到左边来，那么它就变成了 x 零分之 y 零，对不对？那么 x 零分之 y 零是什么东西啊？它是不是就是我们 o m 这条直线的斜率呢？所以我们会得到第二个结论， k a b 乘以 k o m， 它就等于负 a 方，分之 b 方。那么这两个结论呢？希望同学们都能够去记住，在做小题的时候就会非常的快速， 下面看到具体的例题。已知椭圆为 a 方分之 x 方，加上二分之 y 方等于一 a 大 于根号二。说明呢，我们的焦点在 x 轴上，离心率为三分之根号六，我们这里的 a 方是未知的对不对？但是 b 方呢，是已知的，所以我们根据 a 分 之 c 是 可以把我们的 a 给求出来吧。我们写一下， a 分 之 c， 它是等于三分之根号六，所以呢， a 方分之 c 方等于一减去 a 方分之 b 方，也就是等于 一减去 a 方分之二，没问题吧？然后我们平方一下，后面就变成了三分之二，所以我们这里能够算出 a 方 它是等于六的。看到第二个条件，过点 p 二分之三，二分之一的直线与椭圆交于 ab 两点，并且他说 pa 等于 pb， 说明我们的 p 点是什么呀？是不就是我们 a 跟 b 的 中点？ 然后他现在问的是什么呢？ ab 这条直线的方程，我们知道这里也是中点，所以我们可以考虑点差法的结论。那么知道中点的话，我是不是就能够直接把 ab 这条直线的斜率给求出来了？ 那斜率公式还记得吗？我们刚刚讲过， k a b 就 等于负， a 方分之 b 方， y 零分之 x 零，这里是终点的恒重坐标，我们带进去 负的六分之二乘以 y 零是二分之一，然后呢， x 零是二分之三，二分之三乘以二，也就是三三再乘以这里的 负三分之一，所以最后等于负一，那么 ab 直线的斜率算出来等于负一，那么这里看到只能选到 c 了吧，这里不是负一的，对不对？ 接下来看一个稍微有那么一点点难度的题目，它没有直接告诉你终点弦这个东西啊，我们看到题目已知椭圆，它说 m n 为椭圆上的两个点，并且点 p 是 四分之 a 零满足 p m 等于 p n， 说明这里是一个什么呀？等腰三角形对不对？它让我们去求椭圆离心率的范围。 好，看到这个题目，他这里出现了等腰三角形，那么有等腰三角形，我们会考虑什么呀？连接 p 点以及 m n 的 终点，我们假设这个终点为 a， 那 这里我们一定要知道，当然我这个图没有画的很标准啊，他这里应该是怎么样？也是垂直的吧？既然他这里是垂直的，我们会有什么呢？ k m n 乘以 k g a， 它是不是等于负一呢？我们这里出现了两个斜率的 g， 并且这里的 a 它是什么呀？我们的弦的中点，所以此时呢，我们可以考虑去连接我们的 o a。 好， 我们把 o a 连接起来，那么 o a 的 斜率与 m n 的 斜率，我们刚刚是不是讲过这个二级结论， k m n 乘以 k o a， 它是不是就等于负 a 方分之 b 方，我们把这两个 点分别带进去，或者说我们可以先把这两个式子化解一下，那我们怎么去化解呢？我们这里是不是两边都有 k m n， 对 不对？所以我们两个式子一比，他不就消掉了吗？我们用下面的比上面的好了，那就变成了 k o a b 比上 k p a 就 等于 a 方分之 b 方。那么最后他让我们求的是呢？求的是离心率 e 的 范围， e 它是等于 a 分 之 c， 就 等于根号下 e 减去 a 方分之 b 方。 所以呢，我如果能把 a 方分之 b 方的范围求出来，那我 e 的 范围是不是就求出来了？所以我是不是只需要去求这里的范围啊？让我们来看到 k o a 以及 k p a， 我 们分别怎么去表示 a 点呢？我们这里设它为 x 零， y 零，所以我们把 k o a 表示出来，它就是 y 零，比上 x 零，那我们的 k pa 是 不是也能够表出来？ pa p 点是已知的嘛？四分之 a 零， 所以 kpa 它就是 y 零减去零，比上我们 x 的 横坐标呢？也就是 y 零啊。 x 零减去四分之 a， 没问题吧？那我们这里都有 y 零，是不是都消掉了？说它化减一下，它就变成了 x 零分之 x 零减四分之 a， 那 我们再化减一下，它这里除一下，这里除一下，就等于一减去 四 x 零分之 a。 好， 那么到了这里，它其实就是我们所需要求的 a 方分之 b 方，那它的范围怎么去求呢？这里哪个是变量啊？我们的 x 零是不是变量？那 x 零它是什么东西啊？ 是不是我们椭圆里面弦的中点？那这个弦的中点，他的横坐标取的最大值或者说最小值是什么时候呢？同学们想想看，如果我这条弦在这，他对应的横坐标是不是在这个地方？如果再过来一点呢？他对应的横坐标在这，那你想想看，什么时候最大？是不是？当我的横坐标 它此时对应的是这个地方，对不对？当它无限趋近于我们这个点的时候，那此时我们 x 零它是靠近 a 的， 没问题吧？所以我们 x 零呢， 它其实是趋近于 a 的， 那么最小当然是负 a 了。负 a 我 们这里要取吗？不需要，原因就是我们这里是什么呢？这里是 a 方，分之 b 方，它是一个大于零的数。这样看，如果 x 零它是一个负的，那么这里当然都是正的了。 负的和负的在一起，它不就变成了一个正数吗？一加上一个正数，那它当然就大于了。一没问题吧？我们这里显然它是不能大于，对不对？所以我们 x 它是趋近于 a， 当然左边它是大于零的。我们来看一下， 这里是一个关于 x 零的什么函数啊？首先它是个分式，它就是一个减函数，然后加一个符号呢，它是一个关于 x 零的增函数，所以它能取到最大值，就是 x 零等于 a 的 时候，我们直接带进来， x 等于 x， 零等于 a 带进来的话，它就是四分之一吧，那么一减四分之一，它等于四分之三，当然它是取不到 a 的， 对不对？所以它应该是小于 四分之三。那我们的 e 呢？我们直接把它带进去，等于根号下 e 减 a 方分之 b 方，既然我们这里 a 方分之 b 方，它是小于四分之三，加个括号，它是不是就是大于根号下 一减四分之三呢？就是等于二分之一，所以我们就要求出来 e 它是大于二分之一，注意椭圆那还有一个限定条件是小于一的。 以上呢，就是我们点叉法二级结论的推导过程，以及一些立体的应用，希望同学们能够掌握。我是安阳，我们下期视频再见。
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