2023甲数学
今天开始，我们来看二零二三年全国假卷。理科二零二三的全国假卷里呢，适用的省区是川桂前三个省区。第一题考察集合设全集优等于 z， z 就是全体整数 集合 m 呢是 x 等于三， k 加一。我们发现呢， k 属于整数， 如果 k 是代表全体整数的话，那三 k 就代表整数的三倍，也就是说他是一个数的三倍， 然后再加一呢，就代表他除以三于一。那么同样的道理，集合 n， 他等于三， k 加二，那就意思是他除以 三会余二。我们发现所有的整数，按照除以三余几来分类，一共可以分为三类，分别是除以三以后，余一、余二 和没有余数。因为余三就相当于能被三整除。那所以呢， m、 b、 n 就代表把余一的和余二的并在一起， 在全体整数当中再给他取补给。也就是说把这个余一余二的去掉，那剩下的就是不余的，也就是能被三整出的， 能被算整出的就是所有整数的三倍，所以应该表示为 x 等于三 k， 于是应该选 a。 如果有的同学呢，没有看出来这个 除以三于几的特点，也可以采用列举法，比如说几和 m， 我们把它全部列举出来，当 k 等于零的时候，他等于一， 当 k 等于一的时候，他是四，然后是七十等等负的那边，当 k 等于负一的时候，他是负二。同样的道理，我们可以列举出几和 n， 当 k 等于负一的时候，他等于负一， k 等于零的时候是二，然后是五、八十一，以此类推。那么把 m 和 n 并起来，就是把这两部分合在一起再去补给，会发现所有的整数所剩下的部分应该是 负三零、三六九等等。那么这个规律呢？就是大家都是三的倍数，所以可以表示为 x 等于三 k。
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08:17查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，今天我们来讲一下二零二三年全国假卷的第二十题，圆锥曲线压轴题。那么这道题当时刚高考完的时候呢，我就看到有人在网上发这道题，那么我一看到这道题呢，我就立马拿来做了一遍。 首先这个第一问呢，很简单，只需要用一个弦长公式就可以做出来了，那么这个第二问呢，可以用常规方法， 我最开始就是用的常规方法来做的啊，也可以做，那么这个标准答案好像给的是这个极速标，急用极速标来做啊，其实也可以啊，极速标稍微要简单一点。 那么我们讲呢，我们就讲这个常规方法。我们先来看第一问，他要求的是 p 的值，先看题，他说直线与抛物线交于 a b 两点，而且呢， a b 这条弦长是等于四倍根号下十五的，那么读到这里，我们想到的第一思路就是把直线的方程和抛物线的方程连立，从而得到一个一元二次方程，对吧？从而通过伟达定理 以及弦长公式把 a b 表示出来，使得它等于四倍根号下十五，那么这样一个等式里面只有 p 这一个位置量，从而把 p 解出来，对吧？这个就是它的一个常规思路。所以说低问解， 我们首先要连立直线和抛物线的方程，对吧？连立 x 减二， y 加一等于零和 y 方等于二， p x 得到，那么我们应该消 x 还是消 y 呢？很显然消 i x 要方便一点，对吧？你把 x 表示出来啊，然后带在这个 po 线的方程里面就可以得到，直接得到一个一元二次方程。那如果，呃，这个如果是销 y 的话，那么你 这个叫把 y 用 x 表示出来，对吧？那把 y 用 x 表示出来之后呢？你带在这个抛物线的方程里面去，你会发现这里有一个平方，对吧？你要进行平方的运算，所以说稍微要复杂一点啊。如果我们直接把 x 用 y 表示出来，也就是 x 等于二 y 减一，把它直接带到这个方程里面去的话，你会发现这里的 x 啊，它没有平方，所以说直接带进去，然后一下下就可以得到一个一元二次方程啊，所以说这样要简单一点，我们直接消 x 就行，那么带进去你会 发现它是等于 y 方减去四 p y， 然后再加上二 p， 对吧？等于零，然后就建立了一个关于 y 的一元二次方程，那么现在我们就要来写出 这个两根之和和两根之极，对吧？首先要把这个 a b 两点把它射出来，我们射 a 为 x 一和 y 一， b 为 x 二和 y 二，对吧？那么 y 一加 y 二，注意这里是一个关于 y 的一元二次方程，所以说这里应该是 y 一加 y 二，对吧？ y 一加 y 二就等于负的 a 分之 b 就等于四 p， 对吧？那么 y 一乘以 y 二，就等于 a 分之 c 就等于二 p， 对吧？那么现在我们就可以来表 表示嫌长了，对吧？根据嫌长公式，它是等于什么呢？啊？这个嫌长公式要注意有两个，有两个啊，哪两个呢？就是说如果我们这里连例方程之后，得到的是一个关于 x 的一元二次方程， 那么它对应的弦长公式就应该是根号下 k 方加一乘以根号下 x 一加 x 二的平方减去四倍的 x 一 x 二， 对吧？如果，但是呢，如果你这里连列方程之后得到的是一个关于 y 的原二字方程，那么它的形成公式和这里的形成公式就不一样了啊，哪里不一样了？这里是 k 分之一的平方加一， 然后再乘以根号下 y 一加 y 二的平方减去四倍的 y 一 y 二啊，这里一定要注意，这个是关于 x 的一元二次方程，这个是关于 y 的一元二次方程啊， 这个是他们两个的一个协商公式，这里不要搞混了，有很多同学他只知道这样一个这个协商公式，然后当他遇到关于 y 的一元二次方程的时候呢，他还用这个 公式啊，他想着可能就是，哎，把这里的 x 一加 x 二， x 一乘以 x， 分别换成 y 一加 y 二， y 一乘以 y 二，就行了吗？对吧？前面的就不管了，对吧？ 那肯定是错误的啊，肯定不行的啊，根据推出来呢，实际上它是这个，它的显示公式应该是 这个，就是它是关于 y 的运二次方程的时候呢，它的协商公式应该是这个啊，所以说一定要把这两个协商公式把它记住啊，什么时候该用哪一个啊？一定要把它用对了啊，一定要把它用对了，那么这里它是一个关于 y 的运二次方程，所以说我们应该用的是 第二个，第二个，对吧？那用第二个，我们把这个具体的式子带进去，应该等于根号下 k 分之一的平方，也就是 k 分分之一，对吧？那要带 k 分分之一，我们首先要把这个斜率 k 把它算出来啊，已知这条直线，我们要求它的斜率， 他的旋律怎么求呢？有两种方法，一种是看到这样的一条直线，他是一般是，对吧？ a， x 加 b， y 加 c， 等于零的形式，对吧？那么根据公式，它的斜率其实就等于负的 b 分之 a， 对吧？在这里也就等于负的负二， 负二分之一等于二分之一，对吧？可以这样来求他的斜率。那还可以怎么来求他的斜率呢？我们可以把这个 这个直线的方程变一下形变成什么呢？我们把这个二 y 移到一边去，然后再除以一个二，对吧？ y 就等于二分之一， x 加上二分之一，那么就可以得到它的斜率，其实就等于 二分之一，对吧？ x 前面的数其实就是二分之一，对吧？也就是斜率。所以说这两种方法都可以求斜率啊。如果是遇到这样形式的一个直线，那么它的斜率就是这个， 对吧？就是 x 前面的数，如果遇到这样形式的一个直线呢？它的斜率其实就等于负的 b 分之 a， 对吧？这个公式你可以直接把它记住，也非常简单，也非常简单。那么我们现在就来啊，写它的一个写成公式，我们把这里都擦了，都擦了， 那么它的一个形成公式就是等于根号下 k 方分之一加一，对吧？那么 k 刚刚我们已经算出来了，是等于二分之一的，那么二分之一的平方分之一，也就是 四分之一分之一，也就是四，对吧？四再加上一个一，那就是根号五，对吧？根号五，那再乘以一个 y 一加 y 二的平方，也就是四 p 的平方，也就是十六 p 的平方，对吧？ 然后再减去四倍的 y 一百二，也就是八 p， 对吧？另，这个是指等于四倍根号下十五，然后呢，两边同时平方，你可以得到一个关于 p 的 一元二次方程，对吧？从而解除。 p 是等于二的啊， p 是等于二的，那么这个这个具体怎么算？你自己下去算了啊。很简单，只需要把它两边同时平方，然后得到一个关于 p 的一元二次方程，然后分解因式，就可以把这个 p 的值 求出来啊。那么有一个值要舍去，因为 p 是大于零的嘛，对吧？所以说这个就是第一问。求出来 p 是等于二，那么对应的它的抛物线的方程其实就是 y 方等于 c x， 对吧？那么这个就是第一问。
83数学熊🐻
07:21查看AI文稿AI文稿看二零二三年全国假卷最难的选择题，这个题怎么办？其实很简单，我们看拿到一个椭圆，首先判断 x 型还是 y 型， 这一定是 x 型，因为 x 方下面大，然后写出 a 方和 b 方，当然你也可以不用写减，因为是选择题， a 方等于几啊？等于九，所以 a 等于三， b 方等于六， b 等于根号六， c 方等于 a 方，减 b 方 c 等于根号三。然后画图 坠，把图稍微画的大一点。 x 型椭圆稍微画的大一点，不用太标准。 那我们看 f 一， f 二为左右焦点，这是 f 一，这是 f 二， p 点为椭圆上一点，我们一般点在第一象限 cruising 角 f e p f 二。好，我们知道这个角度 求 o p， 这是 o 点。其实这道题有很多的解法， 我们用我们平时教的最常规最常规最常规的方法来讲，移动点到两定点，距离之和等于长处二 a， 我的习惯是设边长为 m n， 当然了， f e f 二是焦距二 c 二倍根号三，这是我们名门学府张超带你学高中数学这本书里面讲的最基本的方法，不要用套路 来。移动点到两定点，距离之和等于长数二 a， 那 m 加 n 不就等于二 a 吗？ 当然二 a 就是六，有两焦点用，定义有直角 购物定理不是直角用余弦定理。很简单，我肯定要用余弦定理。所以零边的平方和 减对边的平方二得四三 c 十二除以二倍，零边就等于五分之三。 一是怎么化减？讲了一万遍了，平方和二是搭配 c， m 方加 n 方加二 m n 等于三十六，那不就是三十六减二 m n 吗？ 二是区分母，你看 m 方加 n 方减去十 十二等于五分之六倍 m n。 好，它俩相等怎么办？很简单，三十六减二， m n 等于十二，加上五分之六倍 m n， 你走三十六减十二等于几啊？二十四，这是五分之十，那不就是五分之十六吗？ 你不用想了，他们都有八来，同时乘以八分之一，三五分之二 m n， 那你看 m n 出来没有？ 三五一十五，二分之十五。那既然 m n 出来了，那 m 方加 n 方不也出来了吗？你看等于几？ 二分之十五乘以二十五，三十五减十五等于二十一。这就是最基本的化解一个最基础的考题。一天到晚抱怨难难难，我说让你把每个题目做三遍，你为什么不听呢？ 来求 o p， 我们看 o p 怎么办？其实你就不用想 o 是什么点，终点，那这个 o p 不就是中线吗？所以这个 也很容易用我们书上讲的中线定理来求中线的长度。 怎么办？你看，不要跑，你要为全国的学生服务，躲起来干嘛？好书就不能掩盖，你看 o 为 f 一 f 二的终点 不做了。那你看 p u 项链等于什么？不就等于二分之一 p f 一项链加 p f 二项链吗？ 项链的平方等于项链的魔方，一平方不就出魔了吗？不就出长度了吗？所以 p o 的平方就是 p o 的魔方，等于四分之一倍 p f 一的平方就是 p f 一的魔方，加 p f 二的平方就是 p f 二的魔方。 加两倍的 p f 一乘 p f 二， p f 一向量乘 p f 二向量向量相乘等于膜膜 q n 加角，那不是 p f 一的膜 p f 二膜 q n 加角吗？ q n 加角五分之三。 来，我们看，四分之一不变 m 方加音方我刚刚已经求过了二十一，这都顺理成章的事情。二倍 m n 就是十五， 十五乘以三四十五，四十五除以五九，所以就等于四分之二三十。 人家求 o p 一定不要忘了开方，所以 o p 的膜等于几啊？等于二分之二三十。 当你一天到晚抱怨难的时候，你为什么不能脚踏实地的去努力？高考只有二十二个题， 抓住二十二个题的模板，做透做熟，数学变得很简单。
1793铭门学府张超
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06:31查看AI文稿AI文稿二十题的第二问，说 f x 加三 x 是小于零的，那这是一个横乘力，让我们去求 a 的取值范围。既然这里呢，变成了一个新函数，我们先构造一个 gx， 让他等于 fx 加三 x， 那就是 ax 减去抠散 x 方分值，散 x 再加上散 x， 这个时候我们会发现，后面这两项呢，可以提供应式，把这个散 x 提出来， 等于 ax 加上一减抠散 x 方分之一乘以散 x。 由于 x 属于零到二分之派，所以散 x 是属于零到一的，抠散 x 也属于零到一， 它的平方仍然是属于零到一的，那么在取到数就会大于一，一减去一个大于一的数一定小于零，所以后面这一堆呢，是横小于零的。 如果 a x 也横小于等于零，那么整个 g x 就会小于零横成立。 这是在导数中考虑恒成力问题的一般思路就是先考虑恒，再考虑不恒。于是第一种情况，我们考虑，当 a 小于等于零时， 因为 x 属于零到二分之派，所以 a x 小于等于零，三 x 属于零到一， q 三 x 也属于零到一。 q 三 x x 的平方分之一大于一，那么一减 q 三 x 的平方分之一小于零，于是整个 g x 小于零。横成立是符合题意的。 第二种情况，当 a 大于零的时候，这个时候我们就看不出来他横成立了，那么可以对他求导， g x 片等于 a 减去中间部分。这个道我们上次求过了，那就是 q 三 x 的三次方分之负， q 三 x 的平方再加二， 后面这个三 x 求导时，加上 q 三 x， 这个形式仍然不好判断正负，我们可以对他进行通分，那就等于 q 三 x 的三次方分之， q 三 x 的四次方加上 a 倍的 q 三 x 的三侧方加 q 三 x 的平方再减二。由于分母是大于零的，所以我们只需要考虑分子， 分子里面都化成 q 三了，可以对它进行换元，令 t 等于 q 三 x， 那么 t 就属于零到一。这个时候分子可以构造一个新函数 ht， 它等于 t 的四次方加 a 倍的 t 的三次方加 t 方减二。定律呢，就是 t 的范围零到一， 我们对 ht 进行求导，他的导数等于四， t 的三次方加三， at 方再加二。 t 由于 t 是大于零的， a 现在也大于零，所以这里每 每一项都为正。那么 ht 的倒数啊，横大于零，所以 ht 应该在零到一上是单调递增的，那这个时候他单调递增，要判断他的正负，可以考虑他在这个范围内有没有零点。 我们带入这两个端点值， h 零是等于负二的，小于零， h 一呢，等于 a 是大于零的，这样的话，他单调递增，左边为负，右边为正，那么中间就会存在一个零点， 所以存在 t 零属于零到一，使得 ht 零等于零。那这样就说明他在零到 t 零的时候， ht 是小于零的，在 t t 零到一的时候， ht 是大于零的，这就判断了 ht 的正负情况。那由于 t 等于 q 三 x， 现在我们换回这个分子的情况。我们知道在零到二分之派的范围内， q 三 x 单调递减， 它的值域是零到一，所以这个 t 零是落在 q 三 x 这个值域范围内的。我们假设当 x 等于 x 零的时候， 这个扣三 x 零恰好等于 t 零，这个 x 零呢，就落在零到二分之派的范围内。那么当 x 属于零到 x 零的时候， 我们会发现这一段呢，对应的图像在这里，它的外值应该是在 t 零到一的范围内的。 q 三 x 属于 t 零到一，而 q 三 x 呢，就是这里的 t， 它属于 t 零到一的时候， h t 是大于零的，所以 t 属于 t 零到一， h t 大于零。 而当 x 属于 x 零到二分之派的时候，这里发现抠散 x 的范围是零到 t 零，也就是 t， 它的范围就是零到 t 零。通过这个图我们会发现 ht 是小于零的， 而 h t 就代表了 g x 片的正负。所以当 h t 大于零的时候， g x 片也就大于零，而当 h t 小于零的时候， g x 片就会小于零，所以零到 x 零， g x 片大于零， x 零到二分之派， g x 撇小于零，于是 g x 就会先增后减，在零到 x 零上单调递增， x 零到二分之派上单调递减，于是这个 gx 零就会大于 g 零。我们把 g 零给他带入进去，发现他恰好等于零， 所以这样就存在了一个 x 零，他大于零了，就不满足小于零横成立，于是整个 a 大于零都不行。那么我们综上 a 的取值范围就应该是负无穷到零，左开右 b 区间。
338袁来有数(高中数学)
05:47查看AI文稿AI文稿二十一题是倒数，已知 f x 等于这个式子，定义域是 x 属于零到二分之派。第一问，当 a 等于八十，让我们讨论 f x 的单调性。 首先我们把 a 等于八带入进去， f x 等于八 x 减去后面的这个分式。 要判断单调性呢，我们对 f x 进行求导， f x 撇等于这个八 x 的导呢，就会只剩一个他的系数八减去后面分式的求导，应该是分母平方，变成抠散 x 的六侧方， 上倒下不倒，那就是散 x 求倒是 cosinex， 再乘以下面不 不倒就是 q 三 x 的三次方，那他们两个一乘，就会变成 q 三 x 的四次方， 减去下到上不倒。下面这个求导的时候，它是一个复合函数，它相当于是 t 等于 q 三 x 与 y 等于 t 的三次方。他们两个的复合复合函数求导呢，就是内导乘外导， 内导就上面这个函数的导，他的导等于负三 x， 下面外导是 t 的三次方的导等于三 t 方，然后我们再把这个 t 给他带回去，就是三倍的抠三 x 的平方， 再乘以那个内岛负三 x， 这是下面分母岛最终的结果。 由于这有个负号和前面的减号，他们两个负负得正了，所以实际上就相当于加上三倍的散 x 乘扣散 x 的平方， 那下倒了以后，还要再乘以上不倒，所以在这个基础上再乘以三 x， 他就会变成三 x 啊方，这就是求完倒以后他的结果。那么求完这个倒以后，会发现他的上面和下面都有抠散 x 的平方， 所以我们可以先约掉一个 q 三 x 的平方，就等于八，减去 q 三 x 的四次方，分之 q 三 x 方，加上三倍的三 x 的平方。这个时候我们发现 这个分式当中其他两项都是扣散，只有这一个是散。于是呢，为了统一，我们可以把这个散 x 方换成一减扣散 x 方，那就等于八减去扣散 x 方， 加三倍的一减 q 三 x 方，然后把它展开合并一下，等于三减二倍的 q 三 x 方，除以 q 三 x 的四次方。 我们要判断原函数的单调性，就要判断导函数的正负，那么接下来对他的处理呢？有两种方式，一种方式是直接把这个分式给他拆开，变成八减 q 三 x 的四次方分之三，再加上 q 三 x 的平 方分之二。然后根据这样一个形式，可以对他进行因式分解，那就是把抠散 x 方分之一看成是一个整体，上面这个式子就可以当做一个二次的类型，进行十字相乘。 第二种处理方式就是对它进行通分，因为八和后面这个分是分开考虑，不好考虑，可以通常是以 q 三 x 的四次方做分母，上面就变成了八倍的 q 三 x 的四次方， 加两倍的扣三 x 方，再减三。那么对分子进行十字相乘八倍的扣三四次方，可以写成二倍的扣三方乘以四倍的扣三方， 后面的负三可以写成，是啊，负一乘以三。这样验证一下，会发现恰好等于中间的两倍的 q 三 x 方，于是十字相乘可以写成二倍的 q 三 x 方减一 乘以四倍抠三 x 方加三。后面这个四倍的抠三方加三，一定是大于零的，分母也一定是大于零的，所以决定整个正负的其实就是二倍的抠三 x 方减一， 我们另 f x 撇等于零，就得到了二倍的抠三 x 方减一等于零，所以抠三 x 方等于二分之一，抠三 x 就等于正负二分之根号二。在零到二分之派范围内， q 三 x 一定是大于零的，而能使得它等于二分之根号二的只有一个四分之派。由于 q 三 x 在零到二分之派单调递减，所以当 x 属于零到四分之派范围内的时候， q 三 x 是大于二分之根号二的， 那么二倍的扣三 x 方减一也就大于零。于是 x 属于零到四分之派时， fx 撇大于零， fx 也就单调递增。那么还有一个区间，就是当 x 属于四分之派到二分之派的时候， 此时 fx 撇小于零，那 fx 也就单调递减，这样我们就得到了 fx 的单调性。
468袁来有数(高中数学)
05:08查看AI文稿AI文稿看二零二三年全国假卷的第十六题，也就是最难的一个填空题。这个题我们可以用三种方法来做，先看最常规的方法， 三角形 a、 b、 c， 角 b， a、 c 等于六十度。由角 a、 b 等于二， b、 c 等于根号六 a、 d 平分角 b、 a、 c， 那这个多少度啊？三十度，这个也是三十度，求什么？求 a、 d 的长度。 我们先看解法。一、先用最常规的方法来做， 怎么办？不用想了，这个题我如果先把这个边求出来，那你想一下鱼先定力不就搞定了吗？ 那如何求 a、 d 呢？其实很简单，角平分线有很多个定理，有没有角平分线的边长定理啊？当然有，角平分线上的点到两边的距离相等。 如果这个边我设为 h， 那这个边也是 h， 那你看这多少度啊？三十度，三十度所得，这个边不等于斜边的一半吗？所以十， 实际上 a、 d 就是二 h， 这不是初中学的角平面定理吗？ 三零面积，三零面积就可以出现 go， 所以先求 b 来由 余先定理。你看零边的平方和二的平方，加 b 的平方 减，对边的平方减六除以二倍零边四， b 那口在六十度不是二分之一吗？所以你看 b 方减二等于减 等于二 b， 那 b 方就出来了。 b 方减二， b 等于二， 配完就没吗？来，我加一，我也加一，那 b 减一的平方就得散， 那 b 减一等于几啊？正的根二三，所以 b 不就等于根二三加一吗？ 好，既然我要用面积，答案其实已经出来了。很多人说假卷难难难，真的很简单，你要脚踏实地的去努力。这就警醒高一高二的同学， 真的要脚踏实地的认真对待，二十二道题，一个一个的去突破。来，我们看三角形面积等不等二分之一甲边， 你看二分之一的假边，深加角深六十度，二分之二三。 那这个三角形面积不是被分为两部分吗？这一部分二分之一底乘高，底是二，高是 h， 这部分也是一样的，二分离底层高根二三加一， h 来，二分之一乘以二没有了，同城二没有了，同城二没有了，同城二没有了， 所以我们看左边是什么？根号三乘进去，所以三加根号三 来来，这是什么？二加根号三加一，所以根号三加三 倍的 h， 所以你看 h 等于几啊？ h 等于一，那 h 等于一， a d 不等于二吗？ 这就是解法意义。当然这道题啊，这本明明是有五张超带你学初中数学里面也有很多。
2445铭门学府张超
14:41查看AI文稿AI文稿大家好，今天我来讲一下二零二三年全国假卷的立体几何大题。通过这道大题的讲解，我其实想告诉大家一个道理啊，就是间隙法在立体几何大题中真的不是万能的，很多立体几何的大题，其实不能用间隙法或者用间隙法，它的计算量太大 来，真正聪明的同学啊，应该是立体几何，他的间隙的方法还有纯几何的方法都应该掌握，都应该灵活运用。我们看一下这道题，他说的是三棱柱中，这个三棱柱的话，他可不是直三棱柱，他这个侧棱是斜着的啊，这一看就能看出来， 然后呢，继续往后读，他说什么呢？他说的是 a a 一等于二，就是侧棱长啊， a a 一， b b 一， c c 一其实都等于二。他告诉你谁垂直于底面呢？他说的是 a、 e、 c 这样一个侧面的面对角线， 它是垂直于 a、 b、 c 这样一个底面的，它垂直啊，并且告诉你这个角，也就是说 a c 和 b c 夹角是九十度吧，也就是说什么呢？ a e、 c a c、 b c 这三条线两两之间是互相垂直的，可能到这之后的话，很多人就直接 x 轴、 y 轴、 z 轴写上了。这第一问肯定不是这样来正的啊，根本就没有必要去间隙，不是用间隙法来做的。那么我们看一下 它最后还有一个条件， a 一到平面，它的距离是一。我呢，反正读完题之后，我就看到了一个一，一个二， 反正再加上两个垂直呗。好，一二垂直，那你能不能想到在直角三角形中，斜边中线等于斜边一半这样一个一比二的道理啊？肯定能吧，那么我们来看一下 这道题啊，第一问的话，真的特别简单，我们就找重点啊，斜边重点等于斜边一半，哪个平面呢？我们把这个侧面啊，也就是 a e a c c e 这样一个平面呢，他这个侧面画出来他的平面图，画完这个平面之后的话，首先垂直底面，不用多说了吧， 既然你这个 a e c 是垂直于整个底面 a b c 的，它肯定垂直于 a c 啊，那进而也垂直于 a e c e 啊，是不是？好了，肯定这个垂直是好得出来的，得完这个垂直之后的话，为什么要找终点呢？首先斜边中点的一些密码，这是二吧， 这是一吧，点 o 在哪啊？你要注意啊，在这样一个立体几何的原图中，这个点 o 它指的是 c c 一的终点，那么点 o 它记在 c c 一上面，那肯定就是在平面 b c c b 以上的。好了，不用多说了，看好了啊，因为什么我们分析一下这道题，很容易证明呢？这个 a e c 是垂直于 a e c e 的， 并且呢，再来看这个 a e o 斜边中线等于斜边一半吧，它就是斜边 c c e 的一半，等于一啊， 那么既然点 o， 他是在什么？他是在平面上的，我知道了，其实你看了啊，因为 a 一点到，请告诉我，在初中阶段学过这样一个定理，没有点到直线，除以现在最短吧，那高中的话，我们就知道了，点到什么？ 点到平面，他其实也是垂线段最短的，最短最短，最，就是唯一的意思啊，就是那个垂足只有一个的意思， 其实那个点 o， 它就是点 a 一到平面，哪个平面我写清楚啊？到平面 b c c 一 b 一的这样一个垂组，那个点 o 就是垂组，懂了吧？它的距离 我写清楚了，距离为一，所以再加上什么，所以我就知道了呀，其实 aeo 它就是垂直于整个平面 b c c 一 b 一的，剩下不用多说了吧。然后呢，也很容易证明的一点是什么？也很容易证明的一点是，首先我们可以通过证明谁通过证明这个 b c 垂直于整个 侧面 a c c 一 a 一，然后进而证明两个平面，也就是说平面 a c c 一 a 一，它是垂直于我们的 目标平面 bccebe 的。为什么呢？原因很简单，首先我已经分析过了，两两之间互相垂直吧，既然他这样一个 bc 垂直于平面里头两条相交直线，所以就垂直于整个平面，进而呢，就得出来这样一个面面垂直了，那得出来面面垂直的话，你说这两个平面 它的胶线是谁啊？这肉眼可见的嘛。胶线，两个垂直，平面的胶线就是它垂直于胶线则垂直，平面，垂直于平面则垂直于它俩的胶线吧，这是一个定力点，所以其实 a u 它是垂直于整个 c c e 这样一个胶线的。 那既然证明完这一条的话，所以不用多说了吧。点 o 既是垂直的，它也是终点，所以 a u 是什么？是中垂线呀？中垂线它的性质定理是什么？中垂线上的点到 线段，两个端点距离相等，所以它这个 a e c 等于什么？就等于 a e c e 啊，那 a e c e 显然是等于 a c 的，不就证明完了，就这么简单， 懂了吧？点到平面垂线呢，最大它的距离就是一，这道题给的太明显了，一个二，一个一，加上两个垂直，肯定是要想直角三角形中斜边中线等于斜边一半这样一个定律的。我们继续来看第二问啊。第二问的话，如果你要选择用间隙的方法，不是说不能做，我说一下 间隙的方法有什么缺点啊？间隙的方法的话，咱们根据第一问这个图形的话，很容易判断这个 a e c 和 a c 它的距离的话，肯定是等于根号二的啊，这个都很容易算，也就是说 a 一点，还有 a 点我们坐标呢，都是可以写出来的， 然后包括这个 a 一点，我们可以写什么？那 z 轴当然是零，逗号零，根号二了，但是 你想写 b 点吧， b 点的坐标你得假设了，只能假设零多少 t 零，你还得把这个 t 求出来。根据线与线的这样一个距离， 是不是还得做辅助线，比如说 b 点啊，做了一个垂直，比如说垂直于他，然后 bh 的长度是等于二的，然后再进而用什么用 啊？要么是点臂到向量的距离公式，要么就是根据平面向量他这样一个投影的公式，当然 他这个空间下来也可以用投影公式啊。所以说这道题的话，剩下的计算量会很大，然后再把这个 t 具体的话是等于根号三算出来。这个咱不推荐这种方法，你看看如果这道题 用纯几何的方法，他有多简单啊。看了，首先这道题的话，有一点很明确，你看刚才我们在证明的时候，这个 aeo 是不是垂直于整个平面点好， 这道题的话，我连接一下 a b 一，为什么连接这个 a b 一呢？道理很简单，因为你求的就是 a b 一和整个目标平面的它夹角的正线值。这个平面的话不用多说了吧，我就擦掉了啊，平面是在这样一个位置的，在后边， 那么看线面角，它的平面角需要找出来。其实线面角它得有三个要素。首先第一个要素就是 就是斜足，斜足就指的是斜线 a b 一和平面的焦点，斜足当然是 b 点了，不用多说，斜点的话是我发明的这样一个名词，其实就是斜线上的异于斜足的一个点，那就写成 a 点， 没他有这样一个点过， a 点还得做出些什么，他其实缺少了。第三个要素，缺少了垂足，对吧？比如说我们做 am 是垂直于整个平面哦，所以当你想到这一点的时候，我觉得辅助线其实就很明确了。首先第一条辅助线我先告诉你啊，我们只需要做 am 怎么样？ am 是平行于 d 问中的 aeo 的，他俩之间是平行的呀，再加上别的平行交臂啊。知道了，那有了这样一个平行之后的话，再加上这个 aae 是平行于 cce 的，肯定很容易出现一个平行字边形吧。咱们写上啊， 这个平行四边形呢，就是 a m o a e 能得出来，那根据平行四边形结论的话，是不是很容易就得出来 a m 的长度了呀？它和 a u 的长度其实都是等于一的， 对不对？那做完这个之后的话，效果是什么？你为什么要做这个 a m 平行于它呢？道理很简单，因为在第一文中我们已经说明了 a e o， 它就是 下面垂直的那样一条垂线，它是垂直于整个目标平面 b c c 一 b 一的。所以既然平行的话，你这个 a m 是不是也垂直于整个平面 b c c 一 b 一啊？它想告诉你的就是说 m 点， 他就是线面垂直的这样一个垂足呀。得出这个垂足来之后，你看线面角的三要素都有了啊， a m 是整个平面 b c c e b 一他的垂足吧，点臂是斜足，他是，哦，连接起来我知道了，如果我再说的明 这些，其实就是这么的回事，这是 a 点，这是 m 点，这是 b 一点，那这个 am 等于一。已经算出来了啊，它的长度等于一，那么其实我们只需要算一下 bm 或者说啊 ab 的长度就行了。 这道题我们选择算一下 b、 e、 m 的长度，是不是就把这个正弦值算出来了呀？因为这道题，他这个线面角的平面角其实就是垂啊，我写出来他这个线面角的平面角，其实就是让我们求哪个角，求这个角 a b e m 它的正弦值，显然它的正弦值 a b e m 是等于谁比上谁了，你就告诉我，其实就是等于刚才我画的那样一个直角三角形 a m b e 中的它这样一个 a m 的长度，再比上谁的长度，再比上 a、 b、 e 的长度， a b e 长度的话，我觉得不太好算啊， a b 是斜边，我们就用勾股定理来算吧， a m 显然等于一， 它下边这个斜边。关于这个 a b 一的话，我们就用这个 a m 的长度的平方，再加上 b e m 的平方。所以这道题其实我们只需要算，是到现在为止我分析清楚了，只需要算 b e m 的长度啊，你既然要算 b e m 的长度的话，是不是要涉及到勾股定理啊？ b e m。 好，现在看了 b e m 可以放，把它放到哪个直角三角形中看了， 这是不是一个直角三角形？我们分析一下，肯定是直角三角形的吗？其实后边的话，他这个平面你看看好了啊， bc 是不是垂直的？是啊，垂直于 cce 啊，所以后边这样一个平面，他其实是一个矩形的， 对吧？这个很容易得嘛，根据九十度，根据垂直就可以得出来矩形。矩形的话来看，是不是需要先求一下 b 一 c 一的长度，再求一下下边？我觉得不用多求了吧，肯定很容易求出来的啊。我们容易得到的是， 其实有一个全等的，谁呢？三角形 a m c， 它是全等于三角形 a e o c e 的，你这个 c e o 的长度等于一点二，是终点吗？它的长度也是一，所以下面这个 c m 的长度， 它是不是就等于这个 c e o 的长度等于一？它都是一啊，所以我这个 c e m 的长度就等于一加一加一等于三就算出来了。关键在于我这个 b 一 c 一是多长？ b 一 c 一。好，第二条辅助线看好了啊，第二条辅助线要干嘛呀？要找一个 b e c e 的终点，因为点 o 已经是终点了，点 n 也也是终点那 o n 的长度，哎，能理解吧。看了啊，千万不要着急，这道题首先看好了。 嗯哪呢，我要换一种颜色吧，千万不要混了看。首先， c c e 它是怎么样的？它是垂直于 a e o 的吧。第一问已经解决过了， 并且呢，根据矩形的特性，这个 c c e， 它也是垂直于这个 o n 的吧？你垂直 c c e， 垂直于整个平面里头两条相照直线，它不就垂直于整个平面 a e、 o n 吗？ 所以进而就推出来，这个 c c、 e 是垂直于整个平面里头的最后一条线。垂直于谁？垂直于 a e n？ 当你求完垂直于 a e n 之后的话，你这个 a、 e、 n 是不是垂直于 b b e？ 来看看 看啊，新增那些条件，括号二，增加了个什么条件？他说这个 aae 和 bb 这两条平行线之间距离就是二，那不就是点 ae 到 bbe 的距离，这个 aen 不就是那个距离等于二吗？对吧？根据已知条件，这个 a、 e、 n 的长度，根据垂直，他就是两个平行线 a a 一和 b b 的距离等于二。好了，剩下呢，不用多说了吧，所以能算了啊。好，我把剩下的东西呢，该擦的都擦掉来。 a e o 等于多少吧？等于一吧。然后呢，这个 a e n 等于多少？等于二吧。那你说这个 o n 等于多长呢？ o n 肯定是等于二的平方减去一的平方。勾股定理啊，它是等于根号三的， o n 等于根号三，所以说 b 一 c 一其实也是根号三，所以 记得很清楚啦， b e m， 它的长度是等于根号下 b e c e 的平方，再加上 c e m 的平方， b e c e 的话，平方就是三，这个 c e、 m 的平方就是九，对吧？三的平方等于九，等于根号十二二倍根号三呀。 那么我们要算的最终的结论不是就有了吗？刚才在这样一个位置我已经写过了这个三角 a b e m， 它是等于谁比上谁的，它就是等于这样一个直角边 a m 比上斜边 a b 一的其实也好算啊。那 a m 的话就是一它的平方啊。根据勾股定理，这个 a b 一，它是等于 a m 的平方，其实就是一的平方，再加上谁再加上这个 b e m 的平方吧。那显示等 等于十二点，最终结果就是根号下一加十二，根号十三分之一，也就是说十三分之根号十三就解决完了。所以这道题的话，其实我主推的方法是什么？就是几何的方法。当然，如果你真的要用间隙的方法也能算啊。也不是说不能算，那么真正 聪明的同学是立体几何，间隙的方法也得掌握。还有立体几何纯几何的方法也得掌握清楚了吧。分享课堂知识，感受数学之美。我是安分老师，下节课再见！
4298会放羊的教书匠
11:27查看AI文稿AI文稿二十题第一问的时候，我们已经求出了这个 p 等于二，所以抛物线的方程应该是外方等于四 x。 现在第二问说点 f 是 c 的焦点，那 f 的坐标应该是一斗零， m n 为 c 上两点，并且 fm 这个向量点成 fn， 向量等于零，意思就是他们两个互相垂直， 求三角形 m f n 面积的最小值。我们画出图像可以发现呢，其实就是直线 m n 和抛物线交于 m n 两点， 然后 f m 垂直于 f n。 既然这样，我们就可以设这个直线 m n， 然后让它和抛物线进行连立。而这条直线 方程呢？目前什么信息也不知道。我们可以设它的斜节是 y 等于 k， x 加 m， 但是必须要讨论斜率不存在，也可以反射 x 等于 m， y 加 t。 反射的好处是它包括了斜率，不存在这种情况，但是不包括斜率为零，也就是垂直于外轴的这些情况。 我们会发现，如果这条直线垂直于外轴，是和抛物线交不出不同的两点的，所以其实就是要包括斜率不存在，要不包括斜率为零。 所以反射相对来讲更符合这种情况的要求，因为他不需要分类讨论了。于是我们设直线 m 的方程， x 等于 m， y 加 t， 把它跟抛物线外方等于四 x 进行连力，可以得到一个一元二次方程。这里我们可以直接把 x 等于这一堆带入第二个式子， 一项整理，可以得到，外方减去四 m y， 再减四 t 等于零。由于这条直线要和抛物线交于两点，所以它的德尔塔应该要大于零，也就是负四 m 括号的平方减去四乘以负四 t 大于零， 化减可以得到 m 方加 t 大于零。那么接下来就可以设这两个点的坐标表示伟达定理了。我们设点 m 的坐标是 x 三 y 三，因为第一问的时候已经 把 x e x 二用过了点 n 的坐标 x 四 y 四。那么根据尾答定理， y 三加 y 四等于四 m， y 三乘 y 四等于负四 t。 那么接下来这个条件，两个项量的数量积等于零，可以把他们的坐标形式表示出来。 向量 fm 用这两个点来表示是 x 三减一等于 y 三，向量 f n 就是 x 四减一等于 y 四，所以这两个向量点乘就等于 x 三减一，乘以 x 四减一，再加上 y 三乘 y 四。 由于尾答定理都是 y 的形式，我们把这里的 x 三 x 四换成 y 三 y 四，可以利用这条直线 把 x 三带入进去，那就是 m y 三加 t 减一，乘以 m y 四加 t 减一，再加上后面的 y 三乘 y 四，这里展开是 m 方倍的 y 三， y 四 加上后面的一个，就是 m 方加一倍的 y 三 y 四，然后继续展 m 乘以 t 减一倍的 y 三， 这里呢，是 m 乘 t 减一倍的 y 四，合并一下，就是 m 乘 t 减一倍的 y 三加 y 四。 最后这两项成绩是 t 减一的平方，这样分别把两个伟大定理带入进去，可以得到负四， t 乘以 m 方加一，加 m 倍的 t 减一，乘以四 m， 再加上 t 减一的平方，给它展开就是负的四。 m 方 t 减四， t 加上四， m 方 t 减四， m 方加 t 方减二， t 加一，会发现这两项就抵消掉了，那么就剩下了负四 m 方加 t 方减六， t 加一， 这是这两个数量机化减的最后结果，那么他就应该等于零，所以我们就得到了四 m 方等于 t 方减六， t 加一，就得到了这两个参 数他们之间的具体相等关系，那么这个相等关系后面往往要用于消圆，但是这里呢，得到他以后，我们要先验一下嘚他成不成立。对于斜接，是凡是求 k 的，求 m 的，或者求 k 与 m 之间关系的， 都需要检验德尔塔，那么对于反斜节，那就是求 m 的，求 t 的，求 m 与 t 之间关系的，都要验证德尔塔是否满足。德尔塔是 m 方加 t， 这里是四 m 方， 那我们可以构造一下四 m 方加四 t， 因为它其实就是四倍的。左边这个 m 方加 t， 由于四 m 方等于这一堆，那把它带入进这里，就 就等于 t 方减二， t 加一，它是一个完全平方， t 减一的平方，那么四倍的它等于 t 减一的平方，发现它应该是横大于等于零的， 但是我们要求得让他大于零，所以这里呢，就要求他必须要大于零，其实也就是 t 不能等于一。当然我们通过图也可以看得出来，点 f 的横坐标就是一，如果这个 t 是等于一的话，直线 m n 过点 f， 此时就围不成三角形了。那么接下来我们表示这个三角形的面积，他有两种表示方式，一种呢是利用这一组零边互相垂直，他们俩分别当做底和高。还有一种方式呢，是以 m 为底，点 f 到这条直线的距离为高。两种方式都可以。在这种方法当中呢，我们假设采用这一组底和高，那么底边 m n 应该等于根号下一加 k 方分之一乘以 y 三减 y 四的绝对值，这也是我们第一问的时候采用的嫌长公式。于是这里就是根号下一加 m 方， 乘以根号下 y 三加 y 四的平方减四倍的 y 三 y 四，把伟大定理带入进去，等于根号下一加 m 方，乘以根号下 这里的平方就是十六 m 方，然后减四倍的负四 t， 就是加十六 t 等于十六 m 方加十六 t， 这里既有 m 方也有 t， 那我们想到刚才有一个等式，这里要不要把这些 m 方全都换掉呢？如果换 t 是不好换的，因为这里有个 t 方， 所以可以换 m 方，但是这个地方要不要换？换的话是不是两个都换，我们可以再观察一下。接下来求点 f 到 m n 的距离， m n 这条方程就是 x 减 m， y 减 t 等于零， 根据点到直线的距离， f 到它的距离等于底下，就是根号下一加 m 方，上面呢，等于一减零减 t 的绝对值，所以这个 d 呢，就是根 根号下一加 m 方分之一减 t 的绝对值。会发现呢，在求面积的时候，用二分之一底乘以高，再乘的时候，根号一加 m 方应该抵消掉了， 于是没有他了，之后只剩了一个一减 t 的绝对值，还有这个根号里面的东西，那这个时候会发现呢，十六 m 方如果换掉都变成用 t 来表示，就会变成单变量。 所以回到刚才这个问题，这里的 m 方他可以不着急换，因为后面可以约掉，而十六 m 方可以给他换掉。 四 m 方等于这一堆，那十六 m 方就应该等于四倍的这一堆带入到这里，应该可以得到四 t 方 减二，十四 t 再加四，再加上后面的十六 t， 那就是四 t 方 减去八 t 再加四，这是一个完全平方啊，它相当于四倍的 t 减一的完全平方，那么再开根号就会变成二倍的 t 减一的绝对值，所以最终上面这个 m n 可以化减成二倍根号一加 m 方乘以 t 减一的绝对值。这样三角形 m f n， 它的面积等于二分之一 乘 m n 再乘以 d 二分之一和这个二约掉了根号一加 m 方约掉了，只剩下 t 减一的绝对值，乘以一 减 t 的绝对是，那么他们两个是一样的，乘完以后应该就等于 t 减一的完全平方，这个面积等于他，而他呢，根据上面的判断，我们只知道他是大于零的，所以这样是找不到他的最小值的， 也就是说，我们还需要通过别的方式找到一个 t 的曲折范围，才能找到它的最小值。这个东西在哪里呢？还在我们刚才所得到的这个等式上 这里呢？四 m 方等于右边这一堆，而四 m 方它本身是非负的，应该大于等于零，所以后面的这个 t 方减六， t 加一也就大于等于零。由这个一元二字不等式就可以解出来填 的取值范围。我们可以得到 t 小于等于三减二倍根号二，或者是 t 大于等于三加二倍根号二。 那么在这两个范围内，能使得 t 减一的完全平方取到最小值的，应该是最接近它的对称轴的， 他的对称轴是 t 等于一，所以应该是当 t 等于三减二倍根号二的时候，他取到了最小值，把这个值带入进去，可以算出他的面积，最小值是十二，减八倍根号二。
315袁来有数(高中数学)
06:57查看AI文稿AI文稿我们来看一下第十七题。 s n 为数列 a n 的全项和已知 a 二得一，二倍的 s， n 等于 n 倍的 a n。 那第一问求 a n 的通向公式。我们由 s n 和 a n 的关系来求出 a n 的通向。因为二倍的 s， n 等于 n 倍的 a n。 折 二倍的 s， n 减一，等于 n 减一倍的 a， n 减一。这里要注意了， n 要大于等于二，因为 s 零是无意义的。那这是圈， 这是圈，圈一减圈可以得出，左侧是二倍的 an， 右侧是 n 倍。 a n 减去 n 减一倍的 a， n 减一。我们整理一下 啊，把 an 放在一起， n 减二倍的 an 等于 n 减一倍的 an 减一。我们做一下变形， an 比上 a， n 减一，等于 n 减一倍的 n 减二。那么一看啊，就是累乘法。 a n 减一，比上 a， n 减二，等于 n 减二， n 减三。这这这这这由 an 比上 an 减一看出 n 减二，它作为分母，所以该限定为 n 大于等于三， a 三比上 a 二等于二比一，这样才能使我们的食指有意义。那么把左边这几箱乘在一起， 变成了 an 比上 an 减一，乘上 an 减一，比上 an 减二， 一直乘乘到 a 三比上 a 二等于 n 减一，乘上 n 减二， n 减二，比上 n 减三， r b e。 那么可以看出啊，可以和上面的约了，那左侧就剩 a n 比上 a 二， 右侧根据规律可以约下上面的项，所以是一分之 n 减一。因为 a 二得一，所以 a n 就等于 n 减一。那这个式子呢，是在 n 大于等于三的情况下表示出来的。很显然，第二项也满足条件。 那么我们再求出 a， 看看他满不满足这个通向公式，因为二倍的 s， n 等于 n 倍的 an， 这里的 n 复制为一的 话，是二倍的 s 一等于一乘 a 一，那 s 一就是 a 一，所以推出 a 一的零啊。同样是用这个铜像啊。中上 a n 等于 n 减一，这是第一问，我们来看一下第二问。求数列 a n 加一，比上二的 n 次密的前 a 相合提 n。 由第一问，我们知道 a n 等于 n 减一，所以 a n 加一变成了 n 啊。再比上二分之一的 n 次密，我们可以把它写成这样，我们可以看出它是一个等差数列乘上一个等比数列的求和，所以采用的方 法叫错异相见 天等于地下一乘上二分之一的一次蜜，再加上二乘上二分之一的二次蜜， 一直写到 n 乘着二分之一的 n 次密，那初位相减呢？又称为成公比的初位相减，所以它的等比数列是二分之一的 n 次密，它的公比是二分之一。 水成二分之一。贴， 我们设为一式，二式，那一减二式 等于二分之一贴好，我们错直接，那第一项呢？是二分之一， 第二项是二倍的二分之一的平方，再减去一倍的二分之一的平方，所以他是二分之一的平方。再加 二分之一的 n 次密啊，记住，这里是零减去它，所以它是减去 n 倍的二分之一的 n 加一次米。那么我们可以看前面是一个等比数列求和， 注意相减它的食指，就是要把不能求和的食指转化成我们已知等比数列求和。根据公式是一减去 q， 公比是二分之一，首先乘上一减去二分之一的有多少项就是多少次，这里是从一一直数到二，减去二分之一的 n 加一。最后面就是张超，我们可以画下减，比较爱错的就是 n 次 n 加一次进行怎样的合并，我们把它给它加一呢？拿出一个二分之一乘到前面和它合并同的线，一减去二分之一的 n 之密不变。而后边呢拿出一个二分之一， 这样我们吃手留小孔了，大家一起 记住这是二分之一的天，所以最后的结果，然后两边同时乘啊， 这就是最后你要不要经过。
33宇数-汪老师
