百校联考二
山西省百校联考二第十五题 已知 ab 等于 ac 等于十， bc 等于十六， d 是 ab 的 中点，可知 a、 d 等于 b、 d 等于五。 其中让求线段 c、 e 的 长。思路一见，等腰三角形作垂线， a、 j 可得 a、 j 等于六， b、 j 等于 c， j 等于八。 那么在三角形 a、 b、 g 和 a、 c、 g 中， a、 g 比 b、 g 比 ab 是 三比四、比五。三角形 a、 c、 g 的 三边也是三比四、比五， 要求图中的线段长度，如求 c、 d 的 长，我们做垂线 d、 h。 利用相似或者三角函数就可以求得 d、 h 比 b、 h 比 b、 d 也是三比四比五， 就可以求出 d、 h 的 长为三， b、 h 的 长为四，那么 c、 h 的 长就是十六减四等于十二。在 r、 t 三角形 c、 d、 h 中，利用勾股定律就可以求出 c、 d 的 长为三倍，根号十七， 那么它的三边比就是一比四，比根号十七。 而我们会发现图中有很多相似三角形 c、 d、 h 相 似于三角形 c、 f、 e 相似于三角形 a、 f、 g 相似于三角形 a、 i、 e。 利用相似就可以求出图中所有线段的长。 只要你能够用相似，那么做任何的平行线也可以求出 d、 e 的 长。 思路二， 因为我们做 d、 h 垂直于 bc 之后，很快就求出了 c、 d 的 长为三倍根号时期，而三角形 a、 d、 c 中 a、 d、 c 中三边长都已知，可以利用两次勾股定力求出 d、 e 的 长。我们设 d、 e 的 长为 x， c、 e 的 长就是三倍根号时期。减 x。 在两个直角三角形中，分别表示 a、 e 的 平方， a、 e 的 平方等于 a， d 方减 d， e 方也等于 a、 c 方减 c、 e 方。只有 x 一个未知数解方程就可以求出 d、 e 的 长。 思路三、 我们可以建立平面直角坐标系， 要求 d、 e 的 长，只需要知道 d 点和 e 点的坐标， d 点的坐标很易得。 a 点的坐标为零六， b 点的坐标为负八零，所以 d 点的坐标是负四三，而 c 点的坐标是八零， d 点的坐标知道就可以求出直线 c、 d 的 表达式。 我们要求点 e 的 坐标，因为 af 垂直于 d， c 可以 知道 af 的 k 值，又知道 a 点的纵坐标为六，所以 af 的 表达式也很容易求得。 连立两条表达式就可以求出点 e 的 坐标，从而求出线段 d、 e 的 长。
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15:01查看AI文稿AI文稿同学们好，我是江涛。我们对二零二六山西中考百校联考二几何压轴进行视频分享，考点涉及到手拉、手拳等，结合特殊角来确定线段长。那么一起看一下本分试卷二十三题几何证明 本题十三分综合于探讨问题情境。在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c 角 b、 a、 c 等于九十度点 d 是 直线 b、 c 上的一点连接 a、 d。 将线段 a、 d 绕点 a 逆时针旋转九十度，得到线段 a、 e。 观察发现如图一，当点 d 是 bc 的 中点时，连接 c、 e 是 判断四边形 a、 d、 c、 e 的 形状，并说明理由。那么根据题上描述，三角形 a、 b、 c 是 一个等腰直角，因为 ab 等于 a、 c 角 b、 a、 c 还是九度。 那题上还告诉我们说点 d 是 bc 的 中点，那么根据等腰三线合一，我们可以快速得知 a、 d 和 bc 是 垂直的， 而且我们还得知 a、 d 是 bc 的 中线，且 b、 a、 c 是 一个直角的三角形。根据直角的三角形斜边中线等于斜边一半，所以 a、 d 等于 bc 的 一半，那就等于 c、 d。 题上告诉同学们说 a、 d 绕了点 a 逆时针旋转九十度，得到线段 a、 e， 所以 a、 d 和 a、 e 是 垂直的，并且 a、 d 和 a、 e 还是相等的。 那么现在我们就可以得知 a、 e 和 d、 c 都等于 a、 d， 所以 它们两个相等，并且根据同旁内角互补得 a、 e 和 c、 d 是 平行的， 那它现在就是一组对边平行且相等得平四，那么平四加上一组邻边相等，再加一个直角，那它就是正方形。有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形是正方形，那么第一问就搞定了， 独立思考。第二问如图二，当点 d 在 线段 bc 上时，连接 d、 e 过点 a 作 a， f 垂直， d、 e 于点 f 过点 f 作 f， g 垂直， bc 于点 g， 猜想线段 f、 g 和 b、 d 的 数量关系，并说明理由。 由于这个题目当中 a、 b、 c 是 等腰直角，而 a、 d、 e 也是，而且它们俩还共顶点，就会出现我们非常熟悉的手拉手。那对于这个内容，是我们二零二六年春天山西中考几何专项冲刺学习第十三讲手拉手及共线问题所涉及的内容。 每周日上午十点到十二点线上直播几何专项冲刺学习。本周六，本周六上午十点到十二点进行第六讲折叠出特殊角的专题学习。 同学们可以通过搜索微信公众号、微信视频号、抖音或小红书、江涛数学，通过主页添加江涛微信，加入到我们二零二六年春天山西中考几何专项冲刺学习中来。 再次，题型是本周六上午十点到十二点进行第六讲折叠出特殊角的学习。那么回到这个题目当中，既然是两个等腰共顶点，那出现的手拉手全等是哪两个三角形呢？是三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 e。 那 么对于手拉手全等，理由一定是边角边。首先 a、 d 对 a， c， a、 d 对 a、 e， 这都是题上告诉我们的条件，并且 b、 a、 d 和 c、 a、 e 都是哎直角，直角减去中间公共的，所以两个小角相等，所以全能理由是边角边。 那这个题上让我们找 f、 g 和 b、 d 的 关系，那不就是找 f、 g 和 c、 e 的 关系吗？我们目测应该 f、 g 是 三角形 d， c， e 的 中位线， 那为什么呢？因为题上告诉同学们 a d 等于 a e， 并且 af 垂直 d e 根据等腰三角形三线，可以我们得知点 f 是 d， e 的 中点， 那如何就能证出来点这是中点呢？那同学们就不得已，必须得证明 f g 和 c e 平行，然后根据九字真眼就可以得出来， 那你正平行之前就必须得正这个角的直角。那好正，因为我们说正了，全等这个角一等于这个角二， 而本身在直角三角形 b a、 c 当中，一加三是九十，那么一又和二相等，所以二加三九十，所以它是个直角。 哎，既然一平行九字真言 d j 比 c j 等于 d， f 比 e， f 一 比一，所以 d j 等于 c j， 然后 f j 就是 三角形 d， e， c 的 中位线，那么 f j 就等于 c e 的 一半，从而等于 b d 的 一半。那么第二问就搞定了，我们是通过 c e 和 bc 垂直，并且 c e 等于 b d 证明出来的。这个结论我们来看第三问。拓展延伸说第三问，连接 d e 过点 a 左 a， f 垂直， d， e 于点 f 连接 c f， 若 ab 等于二倍根号二角 f c， a 等于六十度，请直接写出 b e 的 长，那么看。 首先在图二当中，我们说如果连接 f c 的 话，不满足 f c 是 六十度。但是题上从一开始告诉同学们点 d 是 直线 bc 上的一点， 那么由于图二是点 d 在 线段 bc 上，那么可以分类讨论点 d 在 射线 bc 和射线 c b 上另外两种情况。那么现在如果让点 d 跑到射线 bc 上，那么要把这个图给它勾画出来，我们说提上要求哎， 将线段 a、 d 绕着点 a 逆时针旋转九十度，得到线段 a、 e， 那 么首先 a、 d 和 a、 e 是 垂直且相等的，并且要连接斜边 d、 e， 然后还怎么办呢？我们首先不要着急。怎么办？我们先分析出手拉手全等两个共顶点的等腰直角，我们手拉手全等在哪里呢？是我们的三角形 a， b、 d 和三角形谁呢？和 a、 c、 e。 所以 大家想做出这个题来呢，首先要对这个模型要非常熟悉啊，这个模型基本上从学了全等，初一开始就一直训练这个模型， 而且我们说在手拉手全等当中，其实最关键的是考察什么呢？第三边的啊，夹角，我们说常伴随对顶八字或者对角互补，那么大家来看一下啊，首先 全等理由是什么呢？ a、 b 对 a， c， a， d 对 a、 e， 然后都有一个九十度加一个公共角，所以大家看一下全等理由是边大角边啊， a、 c 边，然后大角边，所以全等之后。那么同学们这个时候题上提了个问题，说怎么办呢？说过点 a 做 d， e 的 垂线，垂足为 f 啊，然后再怎么办呢？连接 c、 f， 我 们把垂度标到上面去， 说连接 c， f， 说弱角 f， c， a 等于六十度的时候，求线段 b、 d 的 长。那题上告诉同学们， ab 的 长是一个二倍，根号二， abc 是 个等腰直角，一比一比，根号二得 bc， 长度是四， 所以求 b、 d 长，唯独缺 c、 d。 那 么说现在条件就是 f、 c， a 是 六十度，那么大家看一下 a、 f、 c 像不像一个等边呢？其实它就是为什么， 因为我们说 e、 a、 d 是 一个等腰，直角做了一条底边的垂线，那么 f 这个点呢？就是底边的中点。 那么说在直角三角形 e、 a、 d 当中，它本身是个直角三角形，可以根据直角三角形斜边 a、 f 斜边 d， e 以上的中线， a、 f 就 等于斜边 e、 d 的 一半啊，这是根据直角三角形斜边中线的斜边一半。 那么我们发现怎么办呢？其实 c、 f 也是，为什么这个时候就需要同学们去证明 c、 e 和 b、 d 是 垂直的，那这个时候是为什么垂直呢？大家看，跟刚刚前面第二位证的思路是一模一样的，我会发现，证了全等这个角一等于这个角二。 而本身在直角三角形 b、 a、 c 当中啊，角一加角三九，所以角二加角三也是九十度啊，也是九十度，所以同学们，哎，此时因为 f 是 d、 e 的 中点，然后呢，这个地方 e、 c、 d 也是一个直角，那么 c、 f 也是直角三角形 e、 c、 d 斜边的中线就等于二分之一 d、 e， 所以 此时 c、 f 和 a、 f 都是 d、 e 的 一半，那它就相等了，而且还是个等腰，再加个六十度，所以它就变成了等边。 大家别着急，老师刚刚提到过，第三边的夹角常伴随八字，或者对顶对顶对角互补，那我们说，哎， b、 d 和 c、 e 是 第三边夹角，就是 ec d， 那 伴随八字呢？伴随？大家看 正了，全等这个角等于这个角，这有一个对顶角相等，所以 e a、 e、 a、 d 是 九十度， e a、 f 九十，所以这也是九十度，你可以通过这样的方式快速得出来啊。好，那么同学们接下来开始求吧！ 如何去求呢？我们既然它是个等边 ac， 长度是二倍根号二，那么 c、 f 也是，我们就可以得知 d、 f、 d 的 长度为二倍根号二的二倍，四倍根号二。 那现在要求的是 b、 d 的 长缺 c、 d， 那 我们说 c、 d 不知道是 x， 而我们还知道这个 b、 d 根据全等，它和 c、 e 是 相等的，所以 c、 e 的 长度就是 x 加四。 所以我们就可以在直角三角形 e、 c、 d 当中解方程来求出 x 了。好，我们列出来方程是 x 平方加上 x 加四，整体的平方等于斜边四倍根号二的平方。解方程 x 平方加上 x 平方加上八， x 加十六，然后十六乘二三十二，我们说二， x 平方加八， x 把十六移到右边是十六 都除二， x 平方加四， x 等于八，我们给他配个四，那就是 x 平方加四， x 加四等于十二。左边是完全平方， x 加二的平方等于十二， 说明 x 加二等于正负二倍根号三。所以一个根是同学们二倍根号三减二，另一个根是二倍根号三负的二倍根号三， 负的二倍根号三减二。那自然不能要下面的这个答案，大家要注意了啊， x 是 二倍根号三减二，我们要求的是 b、 d， b， d 是 整个 b， c 加 c， d 四加二倍根号三减二，所以 b、 d 的 长度为四加二倍根号三 减二，等于二倍根号三加二。那这种情况呢？是点 d 落在了射线 bc 上，那我也可以让点 d 落在哪里呢？我们的射线 c、 b 上，那么同学们，我们来看一下，落在我们的射线 c、 b 上，我们假设这个点就是 d， 我 们依然再来一遍， 首先怎么办呢？题上要求 a、 d 绕着点 a 逆时针旋转九十度，得到 a、 e， 哎，所以 a、 d 和 a e 是 垂直且相等的，并且连接 d， e。 我 们还是跟刚刚的操作步骤一样。首先先找到手拉手拳的，我们说手拉手拳的一定是边角边，是哪两个三角形呢？是三角形 a， b、 d 和三角形 a， c、 e。 理由我们再来一遍，只要是手拉手，全等边角边，我们看一下为什么。首先 a、 b 对 a c， a， d 对 a e， d， a， e 是 直角 b， a， c 是 直角，减一下两个小角相等，所以边角边全等。 那么全等之后，大家注意了，这个时候题上提了个问题，说过点谁呢？过点 a 向我们的底边 d， e 上做了一根垂足为 f， 我 们把这个弧线做出来。 过点 a 向第一座垂线垂足为 f， 那 么说这条垂线不是一条普通的垂线，因为它是等腰的三线合一，所以我们可以知道，哎。然后呢，说连接 c， f， 提上要求说若 f c a 等于六十度这个角，我们发现这种情况下 f， c a 也像一个等边。那么再来一次， 我们说根据在 d a、 e 呢，是一个直角三角形，然后刚刚得知 f 是 底边的中点，所以得知 af 是 直角三角形 a， d， e 斜边 d， e 的 中线，所以 af 这条边是等于二分之一的 d， e 的。 而我们说大家是否能向上一种情况依然能挣出来 c， f 也是直角三角形 a， c、 e 斜边上的中线呢？肯定是的，为什么大家来观察啊，这个时候 c、 e 和 bc 依然垂直的，跟这个第二问是一样的，跟上一种情况都一样，我们说我们来把这个图重新描绘一下啊， 说这个地方手拉手，第三边 b、 d 和 c、 e 的 夹角会出现对顶八次，当同学们占了全等之后，这个角一等于这个角二，哎，这个地方 a、 e 和 b、 c 地方有个对顶角，所以这个角 b、 c、 e 等于 b， d、 a、 e 啊，等于 d， a、 e 等于九个度 啊！一个八字，我们再勾勒一下啊。当然，如果同学们说，哎，这个八字不好找，我们也可以通过证了。全等 a、 c、 e 等于 a、 b、 d 正好是四十五度的补角一百三十五， 所以它是一百三十五，上面是个四十五做叉，这也是九十度。无论通过哪种方式都可得知 c、 e 和 bc 直线是垂直的， 那么既然这是垂直点， f 又是 d、 e 的 中点，直角三角形斜边， d、 e 的 中线， c、 f 也是我们 d、 e 的 一半， c、 f 也是我们 d、 e 的 一半。 那么既然 c、 f 和 a、 f 都是 d、 e 的 一半了，那么同学们，那说明什么呢？说明 a、 f 和 c、 f 就是 相等的腰了，在结合上， f、 c、 a 是 六十度，所以它是一个等边， 那这个等边的边长多少呢？二倍根号二。那么同学们， c、 f 是 二倍根号二， d、 e 是 它的二倍，那就是四倍根号二。好来了，这个题上让求谁呢？求 b、 d 的 长。 我们在上一问当中借助了勾股方程，所以我们依然设 b、 d 是 x 啊，设 b、 d 是 x， 那 么它的对应边，同学们， c、 e 和它相等也是 x。 别忘了， bc 长度呢？在等腰。直角三角形 a、 b、 c 中， bc 是 二倍，根号二的根号二倍，所以 bc 长度是四。我们依然在直角三角形 d、 c、 e 当中列方程，我们会发现这个方程跟上一个一模一样， x 平方加 x 加四的平方等于四倍根号二，整体的平方 啊，但是不一样的地方呢，刚刚的那个 x， 大家注意了啊，刚刚的这个 x 呢，是需要再加上 b c 的 长度才能凑成 b d， 而这个时候的 x 呢，正好就是 b d。 我 们刚刚解下来 x 的 值，一个是二倍根号三减二，一个是负，二倍根号三减二，那自然不能要负的呀，所以答案 b d 就是 二倍根号三，二倍根号三在这在这，二倍根号三 加二。那么同学们，老师再次提醒大家，本周六上午十点到十二点进行第六讲，折叠出特殊角专项的学习，欢迎同学们加入到我们的清明假期几何专项冲刺学习中来，我们分享到这里。
54江涛数学
11:10查看AI文稿AI文稿太原初三中考百校二需要的截图保存， 咱们来还是看一下第十五题来，暂停屏幕，先读题。哎呀好，读完题之后把各个条件给我标上，腰长十十，底长十六。一看见这个数据组合咋办？它是不是要出六八十的直角象形？所以怎么能出六八十？ 你必须做个三线，他才会把十六平分成两个八了呀。所以 b h 等于八， c h 等于八行了，然后 a、 h 的 高长度就是六，他又说在 a、 d 上取中点，五和五连接了 c、 d， 又过 a 点做了根 c、 d 的 垂线 af， 让你求 d、 e 多长。 读完题之后脑子一片空白，然后咱们思考思考该怎么处理。一看求边长，两个套路，要么相似，要么勾股。 今天咱们从三个角度去解这道题，第一个用相似，第二个用勾股，第三个用间隙。这三大类方法是比较能够分门别类解决十五题压轴的处理路径， 如果有其他的一题多解，不外乎也逃不出这三个方向，所以咱们就不做过多的赘述。题目的解法是无穷的啊，我们只说这三大方向。第一个相似法 我们来看，这里面有一个重要的点叫中点 d。 我 们之前说过，只要被等分了的线段，不管是几比几， 终点不就是一比一吗？我们也要把被等分的线段放在两个相似三角形中当对应边。好，所以他又让求 d、 e 的 长。我们又看到了地点是中点，想把 a、 d 和 b、 d 放在两个相似三角形中当对应边。所以我们可以考虑的辅助线做法是过 d、 f 的 平行线与 a、 f 交于点。 那这时候我是不是就看出来了， d、 e 放在了这两个三角形中，充当相似的对应边，同时 a、 d 和 b、 d 也充当了这个正 a 字三角形的对应边。行了，这个辅助线一做出，同学们，你们看到了什么？ 我需要的是 d、 g 这条边与 c、 f 这条边的比例，如果它的比例出来了，那么我再求出 cd 总长，我是不是 d、 e 的 长度就能够比出来？有了这层思路，现在急需要求的是什么？是不是急需求 cd 的 总长？那我们看 cd 的 总长 现在怎么办？很明显，把它放在一个直角三角形中，会出的比较快，所以过地点自然而然就把 c、 d 放在了直角三角形中 c、 d、 m 中。那我们左边一看， b、 d、 m， 这不就是一个非常舒服的三四五吗？所以 b、 d 长是五。 整个 bdm 和最大的 abh 都相似， abh 六八十， bdm 当然是三四五了，所以这是三，这是四，非常快的能够得出结论。所以 cm 的 长度它就是多长，十六减四等于十二。所以这个三角形 dcm， 咱们用勾股定力就能求出它的斜边长 cd 来。 dm 长是三， cm 长是十二，这叫一比四，一比 四就比的是根号十七。所以由勾股数的放松，咱们就可以求出 c、 d 边长是三倍，根号十七啊，不要用那个勾股定律成开展开了去算，这个计算量太大啊。好，明白了这个事之后， c、 d 的 长既然是 三倍，根号十七了，我们只需要求出它的比例来，我们就能够比出 d、 e 长。好的比例如何求呢？当你过地点做了一条水平线 d、 g 以后发会发现 d g 他 实际上是左边三角形 a b f 的 一个中位线，因为 d 点是中点嘛，做水平他肯定是中位线，所以我们自然而然能够联想到他们之间的关系是一比二。所以我假如射 d g 长度是 x 的 话，那么我们的 b f 长就应该是二 x， 这段长是二 x， 那 么我们的 f c 自然就是十六减去二 x 好， 八字相似的对应边一个是 x， 一个是十六减二 x 好， 八字相似的对应边一比四比根号十七。 有没有发现这个小锐角 dcm 实际上也是我们这两个八字黑色阴影相似三角形的小锐角， 并且中间这竟然有垂直，那不就说明我们这两个黑色阴影的三角形自身之比，他也是一比四比根号十七吗？对吧？初三的学生，这一个从相似转成自身比应该不陌生。好的，有了这一层，我们就可以表示出来。 标的我焦点都看不清了，来吧，我擦一擦，我们就能够表示出来 d e 跟 x 的 比例关系是不是也应该是四比根号十七的关系？有了这一层啊，说明我设斜边长， d g 是 x， 那 么我们的 d e 的 长度就等于 x 除以根号十七再乘以四。结果。是啊，这个其实不用不用往出写啊，这么写出来一会区分母会很方便。 d e 的 长已经表示出来了， 然后再看 c e 的 长， c e 的 长不就是下边这个红色阴影三角形的长直角边吗？我已知斜边现在表示出来是十六减二 x 啊。 cf 等于十六减二 x， 那 么我们的 c e 它的长直角边不就是这个东西除以根号十七再乘以四能够表示出来的长度吗？所以 c e 就 等于十六减二， x 除以根号十七再乘以 四。行了这两段线段，各位你发现他们共同组成的谁？是不是共同组成的？刚才的那个大斜边 cd 三倍，根号十七，所以等量关系我们就有了， d e 加 c e 等于 cd， 也就是根号十七分之四 x 加上根号十七分之四倍的十六减二， x 等于三倍，根号十七。你看这个方程，大家分母都是根号十七，直接去分母两边同乘根号十七，四 x 加四乘十六六，十四减八， x 等于三乘十七，这边三倍根号十七乘以根号十七，不就三乘十七吗？等于五十一。好的，解得 四 x 等于十三， x 等于四分之十三，好， x 都求出来了， d e 能不能求？ d e 刚才不是说了吗？它等于 x 乘以四，再除以根号十七， d e 就 等于四分之十三 乘以四，除以根号十七，约四约四，结果等于十七分之十三倍，根号十七，好，这是我们的相似法，利用八字对顶的相似求进 法，二勾股法。第二种方法，勾股法。既然你要求 d e 这条边， 那么我们一看 d e 所在的三角形本身是 a d e 这个直角三角形，我们如果能够求出来斜边和两这个长直角边是不是短直角边，自然也就能求得出来。好的，明白这个事了之后，把刚才的条件再标上，这是十，这是十，这是十六。 三线合一， a h 这是六， c h 是 八， b h 是 八。刚才已经说了，你看出了这一条边长 跟一比四比根号十七有关，所以我们这里边所有的利用这个小锐角当锐角的直角三角形，它是不是都是一比四比根号十七，没问题吧？ 好，既然如此，沿用刚才的思路，这是五，这是四， c m 是 十二， c h 长度是八，所以我们这个交点，比如说取名叫个 o， 请问这个 o h 同学们是不是就能跟这个三比出来？因为这 c d m 跟 c、 o h 这里形成了一个正 a 字的相似。好的，明白了这个事之后， o h 比三，他就等于八比十二， o h 比三等于八比十二， o h 就 等于约三，约三剩四二。好， o h 长度是二，你别忘了， a h 总长，这个总高可是六呀。所以我们的 a o 长是不是就是四？ 看在直角三角形 aoe 中，刚才咱们不是说了吗，任何这个小锐角为小，呃，任何用这个小锐角的直角三角形，它的自身比都是一比四比根号十七。所以现在相当于我画蓝色的这个 aoe 直角三角形斜边长求出来了， 根号十七的那一份长度是四，所以咱们现在是不是就可以求 a e 了？ a e 的 长度就等于 a o 除以根号十七，再乘以四，结果就等于四四十六除以根号十七十七分之十六倍。根号十七， a e 长都求出来了。 a d 长呢？刚才不是说五吗？所以在 r t 三角形 a d e 中， 我们就可以列勾股定律， d e 的 长度就等于根号下十六倍，根号十七反了五的平方 减去十六分，呃，十七分之十六倍，根号十七的平方再开放算就行了。好的，这是第二种方法，把它放在直角三角形中，用勾钉里去。法三，我们的间隙法， 在出现规规矩矩的直角三角形以及它们有等分点且有垂直平行关系的时候，用间隙是很好用的。比如说你刚才不是说了吗，你是六八十， 所以我们利用三角形 abc 的 高所在的直线当做外轴， bc 所在的直线当做 x 轴，这样一间隙所有的点坐标都能标的出来。 c 点八斗零， b 点负八斗零， a 点坐标零斗六好， d 点，你不是 ab 的 中点吗？中点公式 ab 两点之间 负四斗三好， d 点坐标有了。 c、 d 的 解析是什么？能求 cd 的 解析式？根据八斗零和负四斗三可以求得出来，解析式是 y 等于负四分之一 x 加二 cd 解析式用两点待定系数法求出之后你会发现，哎， af 跟它垂直 k 的 关系就有了，因为互相垂直的两个直线 k 互为负倒数。 af 的 解析式就是 y 等于 四 x， 因为 a 点坐标零到六直接截距表示出加六， af 也有了，我们就可以求出 他们的焦点 e 的 坐标， e 点坐标是由 c、 f 和 a、 d 交来的，所以我们直接把这两个解析式连立解得 e 点坐标是负的十七分之十六，负十七分之三十八 好，解完一点坐标了，地点坐标刚才也有是负四负三，我们不要用两点间距离公式去算，两点间距离公式计算量太大，平方开方通分计算的很麻烦，我建议大家用什么？用刚才咱前面说的一比四比根号时期的自身比去处理比较合理。 来我们看，如果把一点和地点进行水平数值纵横分割，你会发现这么一个小的直角三角形里， 纵坐标之差 y d 减 y e 就是 一份的那个边长。横坐标之差 x e 减 x d 就是 四份的 那个边长。所以我们只需要让 d 点纵坐标减去一点纵坐标，再乘以根号十七，是不是就是 d e 的 长呀？因为他的自身比也是一比四的，根号十七嘛，所以直接找 d e 纵坐标就可以了。 y d 减 y e 等于十七分之五十一，减十七分之三十八，等于十七分之十三， 这个是一份的那个短直角边长。然后我们直接乘根号十七，十七分之十三倍根号十七，这个就是第一的长，搞定。
09:32查看AI文稿AI文稿三角形的什么部落卡点啊？一起来读一下题啊，一定要把题干读懂啊，它给的条件是，这三个角如果相点相等，那叫部落卡点。哪三个角？ p a b 这个角 p b c 这个角 p c a 这个角，这三个角如果相等，这个 p 点就叫做部落卡点。好吧，然后问题， 通过研究发现， a p c 与 a p c 是 哪个角？ a p c 是 这个角。我给你换个字母啊，啊？换个颜色啊，这个角，这个角与 b、 a、 c 有 一个关系。同理， a p b 与 abc 这个角跟他有关系，他和他有关系，有个数量关系。好吧，那请问这个数量关系是什么呢？啊，真的，你稍微啊，一定啊，要去做一做啊，稍微观察一下你就知道，这个角换个颜色来。 这个角怎么跟整个 b、 a、 c 联系到一起？嗯？怎么联系到一起啊？怎么联系到一起？你发现这个角跟它联系到一起，只能是哪个？只能是这个角呀，这个小角 能看懂吗？从图里面直观看，只能是这个小角，这个时候你会发现一个东西，什么东西？这个 a、 p、 c 这个角加上圈角叉角是等于 多少度？一百八十度，而这个圈角跟这个圈角相等，所以这个角加上这个合起来的圈角叉角多少度？一百八十度，这不就直接来了吗？什么关系？ 这个角加整个这个角一百八十度，也叫互补吗？相加一百八，互补。好吧，都一样啊，都是互补，都是互补。看懂了没啊？ 来如图啊，我说实话，这个问题啊啊，还挺难的啊，有同学不一定真能做出来啊。真，真不一定能做出来啊。第一个，这个，这个相同的数量关系是互 补啊，将问题二的解答过程补充完整，我们一起来看一下啊。他说 ab 等于 ac 等于五， bc 等于六， ok， 这个我们最常见的是什么？是五五六，最常见的是做一个垂直变成三比四比五的三角形，两个拼在一起， 这个能理解吧？两个拼在一起，但这个题不是啊，这个题考什么？一起来看。 m 点是它的布洛卡点，也就这三个角相等，我们要用上啊， m a b 这个角， m c a 这个角相等，问 m a 比上这个谁谁谁相等。 ok， 那 这个题怎么去做呀？这个题怎么去做？ 你的核心不在这里，这个部落卡点是他饮食条件给的，他没啥用啊，说，说白了没啥用。核心在哪里？核心在这个等幺五五六怎么用？ 如果你要去做三垂直，你发现这个三比四比五在这里用不上哈，这里其实用的就是他最简单的一个点，什么点呢啊？三等幺三角形， 边相等，导致底角相等，这个角和这个角相等，这个角和这个角相等，而都去掉，同时减去这个圈角，那说明剩下的这两个角相等啊，我用个叉表示啊，说明这两叉角相等， 能理解吧。这俩叉角相等，一标出来，你就会发现这个三角形里面有个圈角，有个叉角，这个三角形里面有个圈角，有个叉角，说明什么？说明这俩三角形哎，相似。好吧，我简单的给大家写一下啊， 因为 ab 等于 ac， 它提示了啊，所以这两个角相等，又因为这两个角相等，所以它俩相减得到的角 abm 也是等于写在这面啊， abm 也就我们说的那个叉角等于角， bcm ok， bcm 这个角相等了，所以就可以得到三角形 啊。再写个英文吧，再写个英文合适一点。又因为角 b a m 是 等于角，这个 b a m c b m 的， 所以三角形 b a m 是 相似于三角形 c b m 的。 好吧，相似能听懂吗？ 相似老师是不是出来了？相似还没有出来，有同学可能想到了相似，都不敢往下写啊，为什么呢？因为他想到相似，想的 m a 跟 m c， 你 会发现 m a 在 这里， m c 在 这里，他不对应， 他不对应。很多同学做相似做多了啊，习惯想的问题问的就是对应的，注意，这个题他问的就不对应啊，问的就不对应。 好吧，它是不对应的，自己看啊。圈角跟圈角对应，叉角跟叉角对应，这个角跟这个角对应 啊，所以我的这个 ab 跟谁对应？我们来一起来比一下啊， ab 跟谁对应？跟 bc 对 应，没问题，等于谁比谁 am 跟谁对应。注意， am 是 这个叉角对的，所以它应该跟 bm 对 应，比上 bm ok， 然后最后一个 b m 又跟谁对应？ 在这个三角形里面， b m 是 由圈角对应的，在这个三角形里面， c m 才是由圈角对应的，所以是 b m 比上 c m。 好 吧，得到这个， 到了这一步，你勇敢的往下写就可以了。 ab 是 几啊？ ab 是 五， bc 是 几啊？是六，说是五比六， ok， 然后我要求的是 am 跟 cm 的 比， 利用这个根五比六，还有后面这个根五比六，把它都用 bm 表示出来啊，这个不是对应边乘比例，这块要注意好吗？这块要注意，来这个式子，根六分之五就可以得到，所以 am 等于六分之五个 bm 啊。后面这个式子跟六分之五去弄一下，你就会发现 c m 就等于五分之六个啊。 b m， 所以 a m 比上 c m 就是 六分之五除以五分之六，也就是六分之五乘以六分之五，也就是二十五比三十六，所以它的比值是二十五比三十六。好吧，是这么来算的 啊，你就跟太原市的一模的那个二十一题一样啊，最后一题得分率不高的好吧，不是说材料题，它就很简单的好吧，你可以让你家娃娃去试一试这个题啊。我觉得这个问题啊，他不一定能做出来啊， 就是稍微动了点小脑筋。这个题啊，稍微动了点小脑筋， ok。 第三小题让你去尺规作图，你看啊，尺规作图，太原市那个尺规作图是考在了十七题对吧？考了一个做中垂线，然后画圆的那个题。 尺规作图除了可以在那个前面那个专门考你一个尺规作图，还可以跟材料题等等结合到一起，这个在去年的某考里面也考过，比如说这个，这个就可以跟材料题结合到一起，他让你 这是个等边三角形，让你去做这个卡，呃，部落卡点 n 让这三个角相等，那这个时候你看一下前面这个题，部落卡点只要保证这三个角相等就可以了， ok， 所以 实际上这个 p 点是可以无数个的， 当 abc 它是等边三角形的时候，它也应该是不止一个的，对不对？那这个时候我画哪个呢？对吧？你理论上来说，你老师我画一个角， 这个角，然后在这里再做一个角跟它相等，对吧？再在这边做一个角跟它相等，就理论上好像是可以的。但是啊，但是你就做一个最简单的吗？最简单的是什么？最简单不就是它 三线合一的这个焦点嘛，中心的时候嘛，不就行了嘛，对不对？就不需要多想。那怎么做出这条线呢？那这条线是什么？是 a c 的 什么线？哎，垂直平分线嘛，所以做垂直平分线来个弧度一连 啊，一连啊，我这是没有尺子啊。有尺子的你就用尺子了，这样的话再来一个垂直平分线， 对吧？有个弧，有个作图痕迹，然后这个点就是我们要找的 n 点就行了，让这三个角都是多少度？都是三十度就可以了，都是三十度就可以了。好吧，就挑最简单的做就行。 ok 啊，就就这么弄的啊，二十一题可以去试一试啊。
43支点数学徐老师
03:35查看AI文稿AI文稿这本试卷的难度不大啊，咱们就是没有考到，学生可以用来去练习练习啊。嗯，第九题我觉得考的非常的好。第九题，你可以把题读懂，考场上好多人应该是没读懂吧。 第十题，这个题不难，第一个他考了一个圆，第二个考了一个正多边形，咱们知道正多边形的内角怎么去求？第二个问题，你连接一下他，连接下 a、 e， 咱们都知道 a、 f、 e 刚好是一个等腰三角形，他每个角是多少度， 从而咱们就可以导出 a、 o、 d 式的圆心角，就可以导出来，以它的边长，根据勾勾定律。然后咱们这个填空题呢，都不难。填空题的第十五题，他考了一个二次函数解析式，因为后面那个大题考的是一个二次函数，这二次函数的应用没有考解析式， 然后下来就是锐角的三角函数。记住，这里面这个题还有人出错，咱们千万千万不能出错啊，不能出错。 二十一题的阅读与思考，这个题我觉得好多孩子在证明这出了点问题，证明这你要注意个问题，要用到 把这个大的面积算出来， a、 d、 o、 f 这个四边形的面积，这四边的面积怎么算呢？可以看成两个什么三角形的面积之和 a、 d、 o、 f。 又因为什么 c、 o、 f 的 面积和 c、 o、 e 的 面积是相同的， 把相同的 c、 f 和 c、 e 又相同的，以及 c、 f 加 b， d 就 等于 c， e 加 b， e 就 等于 a 边。你要这么看，那就非常简单了。 第三位也是一样，先根据上面的公式，咱们可以求出 o、 d， 同理可以求出 d， o、 e 是 一百二十度，知道吧？一百二十度， 然后呢，咱们再根据什么，再根据上面求出 a、 d、 o、 e 的 面积，再减去一个一百二十的圆心角就行了。这个二十二题， 这个题考的这个二字函数不难，但是特别是最后一位，好多学生列出来算不出来。记住，有的学生在这里面配方，我一直说过，不要配方，不要配方，求这题的时候一定要去求对称轴，用对称轴解出来之后非常快，就二分之多少，然后再小于 小于等于十五，擦，立刻马上就出来了。他又没有问你最大时候最大是多少，排队的时候最大是多少，没问你吧，达达到最大，好多人配案方都不知道自己写的啥东西。 二十三题，这个题第一位不说了，第二位也非常简单，你就记住一句话，等腰，不是等等角对等边这一句话就非常简单，因为 h a、 e 是 一百二十度， e b 撇 h 也是一百二十度，而 a、 e 又等于 e b 撇，所以说 a、 h 就 等于什么 b 撇 b 撇 h， 非常简单。第三位都要用到这个条件。第三位你就分轮讨论吧，当角 c 是 九十的时候，当角 f 是 九十的呢？ 当角 h 式做的时候，这用的边就什么，然后去导去吧，导出。最后你要目的要得到什么，因为它是一个平行四边形，我就要得到 a、 d 和 b、 c 相等，是不是刚好有三个答案，我的答案都在上面， 包括图都都有呢？大家如果不会做的可以去看一看，我觉得这份题都基础都考的比较基础，如果没有做的，学生干嘛可以下来去练练习练习。
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11:42查看AI文稿AI文稿ok， 一 起来看一下啊！一起来看一下。他说小李同学在家里，以沙发墙上的这两个灯为背景，这两个灯的轨迹把它看作是抛物线啊，抛物线，然后把它抽象出来，就是两个这样的东西，以其中一个 o 来建立平面直角坐标系啊。来看一下它给的数据， 左边到右边啊，左右分别记为 l 一、 l 二两个抛物线 啊。这些点在图上都标了，我们就不说了， a、 b、 c、 d 都标了。呃，两盏灯之间的距离不就是 m、 n 之间的距离吗？ m、 n 之间的距离是一点六， 也就是说抛物线 l、 e 往右平移一点六，可以得到 l， r， 那 o 就 平移到了 b， 所以 o， b 也是一点六， b， a 就 平行到 c， a， c 也是这个一点六，一点六，这个要注意啊。 然后 m、 n 到水平距离的高度都是二点四，说明 m 的 纵坐标它是二点四。 m 到 o 点的水平距离是一点二，那 m 的 横坐标就应该是一点二， 没问题吧。这个都很简单，那 n 点的话，就给它再加个一点六，也就是二点八到二点四就可以了。第一问，请直接写出 m 点的坐标，那 m 点坐标就出来了。一点二到 二点四，并求出 l 一 的表达式。 m 是 什么点？顶点，所以我们求抛物线。用顶点式也可以啊，用顶点式它快啊。 老师，把你的学生都叫来，他们有些私立，然后有些还没放学。哈，我已经发在那个群里了，他们到时候会看回放啊，都看着呢。还有一些是在视频号上看的， 来继续啊。顶点是啊，直接 y 等于 a 倍的 x 减一点二的平方加二点四，然后怎么求这个 a 呢？带一个点进去带谁啊？带零到零进去就可以了。好吧，所以零等于一点二的平方， a 加上二点四啊。二点四， 然后相当于一点二的平方， a 等于负的二点四，约一个一点二就负二，所以 a 等于负二，除以五分之六就乘以六分之五，负的三分之五， a 是 负的三分之五啊，直接写吧 啊，这就它的表达式。好吧，这就它的表达式。自己带进去求就可以了。那第一问就搞定了啊， 低温就搞定了啊，一定啊，低温一定是要去做的。第二个两盏灯之间的这个照射区域 o c 的 长度。这个说一下啊，这个说一下。有些同学是怎么求这个 o c 的 长度呢？是求 c 点的坐标。那怎么求 c 点的坐标呢？ 怎么求 c 点坐标呢？是求出抛物线 l 二的表达式。 l 二怎么来的呢？是往右平移了几个单位，一点六个单位，左加右减变成 y 等于负三分之五， x 减一点六， 一点二的平方再加二点四，变成这个表达式，然后另外等于零去算这个 x， 去算这个 x， 算出来 x 是 两个，这个 c 点的坐标就可以出来了。是不是这么算的？ 但是我想说，这个题可以不这么去算，可以直接口算。怎么口算呢？ 各位，多简单呀。 m 点的横坐标标是一点二，所以 a 点坐标。知道了，因为 a 点和 o 点是关于对称轴对称的，所以 a 点坐标是多少？哎， a 点坐标不就是二点四到零吗？ 是不是然后 a 到 c？ 刚刚说了 a 到 c 也是一点六，那二点四加一点六，那不就是四吗？是不是直接四到零 啊？直接四到零是不是多简单？你这么写你还要去解方程，解方程啊，解一下这个负的二点四乘以负的五分之三 等于 x 减二点八的平方，是不是？然后要去解一下二点四就是五分之十二，合起来就是五分之三十六，所以 x 减去。 呃，这个是五分之十四啊。的平方等于二十五分之三十六，所以 x 等于五分之十四，加减五分之六， 是不是这么去算？解两个也可以也可以，但是我觉得没有直接口算快啊，没有直接口算快，直接用对称啊，对称去做啊，没问题吧？不管什么方法能做对都是好方法。来，我们说一下第三小问。 第三小文是这么说的，他说要在这里放两个沙发啊，放一个沙发要让这个沙发抽象出来的这个矩形全部都在照射区域内啊，都在这个照射区域内。这个时候你第一件事你要干一件事。什么事？ 看一下这个地点坐标在不在，这个比这个高不高啊？比这个高不高？所以你要去算一下这个地点坐标。 没理解对称弦，这是对称轴嘛？对称轴是 x 等于一点二嘛，这个是零到零嘛？对称过来到 a 不 就是二点四到零嘛，然后这个长度是一点六嘛，就是四嘛， 好吧。啊，这么算的啊，来还是第三小问啊？第三小问这个啊，首先如果要严谨的话，你要连立刚刚的两个，去求一下这个焦点 d 啊，求一下这个焦点 d 啊，要让这个 d 的 重作表比 e 大， 然后 更严谨啊，更严谨。你去求一下啊，求一下，然后我直接跟你讲。怎么求啊？你就找零件刚好搭在这里，也就是另外等于几？ 另外等于几？另外等于一就行了好吧，另外等于把刚刚那个表达顺通过来啊。 y 等于负的三分之五，括号 x 减一点二的平方， 加上二点四，另外等于一，一等于负的三分之五。 x 减一点二的平方，加上二点四，一减去二点四。负的一点四 等于负的三分之五，括号 x 减一点二的平方。呃，这个是五分之七乘以五分之三等于 x 减一点二的平方，所以 x 它就等于一点二加减 五分之根号二十一。啊，五分之根号二十一，能看懂吗？然后注意你求的这个是谁求的？这个应该是给你画一下啊，应该是等于一的这个点和这个点应该是跟 l 一 的交点。能不能听懂这意思是跟 l 一 的交点啊？是跟 l 一 的交点。那这个时候你发现一个交点在这一个交点在这， 他们之间的距离是几啊？他们之间的距离。那就是一点二加上五分之根号二十一，减去一点二，减去五分之根号二十一， 是不是这个？所以合起来它就是五分之二倍根号二十一，指的是这段的距离，各位指的是这段的距离。 沙发难道只能放在这个灯下吗？能不能往这边放？可以。那从这个点到这个点 是多少？是我们平移的距离嘛？是我们的平移的距离，听得懂吗？是几啊？还记得吗？是一点六，所以最后是五分之二倍根号一加根号二十一，加上一点六。这个答案。好吧，最大长度是这个答案。 ok， 我 讲完了啊，来这个题有问题的发弹幕。我看一下弹幕啊， 利用半径。没有半径啊，这里没有圆就没有半径，你要么就利用平移啊，没理解啥意思啊？我没理解清水同学是啥意思啊？这个题还有没有什么其他的这个疑问有没有其他的疑问 啊？看看有没有疑问啊。这个题 当然你也可以给它合起来。这个是合起来，怎么合呢？合起来的话就是一点六，就是五分之八， 也就是五分之二倍根号二十一加八啊，不合起来也行，不合起来也行，就是这个意思。 好吧，没有你想象中那么难，但是如果你要严谨的话，最好是去算一下这个地点的坐标，最好要算一下这个地点的坐标啊，地点坐标他的重坐标一定要比这个一大啊，如果地点的重坐标在下面，那就 不太行，那就不太行啊。那这个沙发就不能那么摆啊，因为他单独说了一下这个。 那求地点坐标怎么求呢？就我刚刚说的，你连立两个抛物线就行了，一个是 y 等于负的三分之五，括号 x 减一点二的平方加二点四。一个是 y 等于负的 三分之五，括号 x 减一点六，再减一点二，又减二点八，括号的平方加二点四。然后去解一下就行啊，去解一下就行。 ok， 有 什么问题啊？这块一定要搞清楚啊，你求的这两个相减的是这一段，然后另一边不用求，你不要说老师我这个抛物线里面再求一遍也是不需要再给它平移一点六就行啊，再给它平移一点六就行 啊。利用对称性能找到地点坐标。呃，你对称性确实可以找到这个 对称性啊。对称性，你就说找 d 点的横坐标是吧，用 m 和 n 的 对称性是吧？可以，没问题啊可以，没问题 可以，没问题啊，可以，没问题。其实跟你这个一个意思，因为二点四都约了嘛，这个都约了，所以是 x 减一点二，等于这个二点八减 x， 直接也出来了。一点一点二加二点八，这个除以二。一样的啊，利用对称性也能求啊。 没问题啊，这个地点坐标利用对称性也能求。这个列出来式子其实就是对称性的，它的这个本质就是这个，你把 y 一 消掉，二点四，一消掉负的三分之五，一消掉，就变成了两个平方相等，所以是 x 减一点二，等于二点八减 x。 好 吧， x 也简单啊，直接等于二 啊，直接点啊，然后把横坐标二带进去，就求出这个地点的纵坐标了。二带进去求一下啊，这个纵坐标应该是要大于一的啊，大于一 啊，就这个意思啊，这个意思本质是一样的啊，列方程也不难，利用对称性当然更简单啊，能看出来的。
31支点数学徐老师
19:13查看AI文稿AI文稿边边角也堪大，用二倍角再度发力！大家好，我是专治数学压轴的杨老师，今天和大家聊一聊今天刚考完的二零二六百校联考二数学压轴。 由于十五题二次函数难度大幅度降低，所以我们今天只聊二十三题，如何求解？如图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 等于四角， b 等于六十度点， e 为 ab 的 中点， 且 f 是 bc 边上的一个动点，连接 e， f 将平行四边形沿 e、 f 折叠点 b 的 对应点为 b 一 撇。 第一问，当 f 与 c 重合时， b 一 撇刚好和 a 重合。现在让你猜想一下四边形 a、 b、 c、 d 的 形状，并说明理由。 本质上讲， a、 b、 c、 d 已经是平行四边形了，那如果再特殊一点，看图就弄得到这是一个菱形，那我们看这个重合有什么作用？首先，折叠前，折叠后对应边相等，所以 bc 等于 ac。 同时又由于题中给了六十度角，所以有一个六十度角的等腰三角形是等边三角形，因此 a、 b 也等于 b、 c 一 组邻边相等的平行四边形是菱形，所以第一问其实非常好证明。 再看第二问点， f 在 b、 c 上移动，且不与 b、 c 重合，当直线 f、 b 一 撇与边 a、 d 交于 h 时， 那么第一问正一下， a、 h 等于 b 撇 h。 这个题最直观的反应就是政权等，因为我们很直观的可以看到 e、 a、 h、 e、 b 撇 h 形成了一种对称，所以很多同学上来就直接连接 e、 h， 连完以后去正这两个三角形全等，然后发现碰壁了。正的过程中发现这个是六十度，同旁内角上面就是一百二，这里也是六十，互补角是一百二，所以两个三角形有一组角上的。 其次，公共边。再其次，由于 e 是 终点，所以 b e 等于 e a， 同时 b e 还等于 b 撇 e， 因此得到了 e， a 等于 b 撇 e。 你 看三个条件齐全了，所以两个三角形全等，这里就全部栽跟头了。 因为你发现这三个条件它形成的是边边角，而我们学全等的时候，严厉强调过边边角不可以成全等， 然后发现了这个问题，同学基本上也卡在这里了，不知道如何破局这个边边角。我们在课堂上讲模型的时候说过，如果大家做题真的遇到了边边角的情况，都可以选择做垂线来解决问题。 这个垂线是过边边的焦点向对边做的垂线，那么这样就会形成两对圈的三角形，我通过正这两对圈的三角形得到相应的结论。所以如果采用边边角思路解析的话，我们重新捋一下连接 eh， 然后边边角的情况是， a e 等于 b 撇 e， 这是一个边， e h 等于 e h， 这是一个边，一百二等于一百二，这是一个角， 而边边的焦点即为点 e， 所以 我们过这个 e 点，分别向三角形的对边做垂线即可。所以辅助键我可以选择过 e 点向 a h 做垂线， 与 a h 的 延长线交于一点 m， 同时过一点向 f h 再做垂线， 垂足为 n， 这样两条垂线一做，立马可以到两对全等，一对是较小的全等，一对是较大的全等。 好，我们来快速正一下。先来正小的全等，由于垂线，所以有直角等于直角。其次，其中给出了这个 a， e 等于 b 撇 e， 还有就是一百二五角六十度，这里也是六十度， 所以他们就有 a a s 型全等于三角形 n e b 一 撇。依据是 a a s。 有 了第一对全等以后，再向着第二对全等去证明第二对是正大的。由于第一对全等，那就可以证明 e m 等于 e n， 同时呢有不共边，同时还有直角，所以两个大三角形，它符合 h l 形全等。因此第二对是三角形 n e h 全等于三角形 n e h。 这个判定依据是 h l ok， 所以 两对三角形的全等分别带来了对应边，第一对可以带来 a m 等于 b 撇 n， 第二对可以带来 m h 等于 h n 啊。所以那我们要证的 a h 和 b 撇 h， 不 就是 m h 减 a m 它两个的差，以及 h n 减 b p h 它两个的长吗？所以这个题即可证明这是固定的边边角的证明套路， 这是法一。这个题还可以有第二种思路，大家可以仔细观察，我们可以发现这里有终点， 同时还有平行线出现，这就符合我们上课讲的平行加钟点模型。平 菱形加中点模型，其实是背长中线模型的一个变形，只是因为有了现成的平行线，所以我们没必要去延长一倍，只需要把 f e 延长，与 h a 的 延长线交于一点即可。 这样的话，平行线就可以作为我们的现存条件。假设交点为 m， 在 这幅图的加持下，立马要出两个三角形全等。快速解一下三角形 a， b， e 全等于三角形 b f e。 判定依据对顶角平行线的内错角再加上中点，所以它是一个 a a s 型全等， 这两个全等以后，可以带来对应边和对应角。对应边 b a 等于 b、 f， 由折叠可得， b、 f 还等于 b 撇 f， 所以 d a 等于 b p、 f。 然后还有角度这个阿尔法内错角等于下面的阿尔法，由于折叠折叠前后是一致的，所以也等于这个角阿尔法。而在三角形 m、 f、 h 中 等角对等边，所以即可证明 h m 等于 h f， 同时刚才证明的 a、 d 又等于 b 撇 f， 所以 一座叉即为 a h 等于 b p、 h。 因此，这个题的两种证明方式，其实都是从我们上课讲过的模型出发，需要大家提前积累一些模型。 无论是看到终点的背城东线或者平行加终点模型，还是看到边边角无法政权等时候的弧度线构造，这都是需要我们提前做好积累的。这是第二问， 第三问，连接 c、 h， 当 c、 h、 f 是 等腰直角三角形时，把 c、 h 连起来，这个三角形是等腰直角，然后求出 b、 c 的 长。这个非常符合我们山西中考二十三题的特征，既兼顾到了分类讨论最终的落脚点还是线段计算， 那我们看这个题如何去处理。先说分类讨论，等腰直角三角形其实就是等腰和直角两角的结合，不过综合来看，依然是讨论三种情况， c、 f、 h 这三个顶点处各自可以做一次直角角， c 可以 是直角角， f 可以 是直角，三种分类就结束了，所以相应的，我们只要勾三幅图就可以了。 而从题中来看的话，直接连接 c、 h， 他 长得非常像， c 处为直角，所以你可以先以这幅图来当做 c 处为直角的图求解， 这样我们就可以少画一幅图了。然后你可以想另外两幅图怎么画，一个是角 f 处为直角，一个是角， h 处为直角。当 h 处为直角时， 这个位置如果是直角的话，那么它和 c 处为直角有个相似之处，那很明显就是 f 这个地方都是一个四十五度。 其实这两种折叠我们可以说是完全一致的，因为你 c 点的位置可以随着 bc 的 变长变短左右调整， 但是折叠基本是定下来的。如果你这里想折出四十五度的话，那么就意味着这里和这里必须是六十七点五度，包括他也是六十七点五和六十七点五。这两个折的方式是固定的， 所以他们两个虽说是两种情况，但是完全可以当成一个类型去出。想明白这一点以后， 角 h 等于九十度，这幅图也就很好画了。我只需要过 h 点做 f h 的 垂线即可，然后与 b、 f 的 延长线交于一点，让这个交点为 c， 那 顺势把这个 d 也给它补出来，这幅图就画完了， 那这里肯定就没有这里的 c 和 d 了嘛。这就是角 h 等于九十度，它的图形关键点还是在于这里四十五度和第一幅图是一样的， 最后的角 f 等于九十度。这个图可能稍微有点不同，因为如果 f 处为直角，你发现在折的过程中，我得让这个地方折出一个直角来，这是直角才可以，对吧？所以相当于折开的这两个角都是 四十五度。所以做法就是找到 a、 b 的 中点 e， 那 么我过一点向 b、 c 连接一条线，要求这个线的斜角刚好为四十五度， 因为当沿着四十五度翻折的时候，才能刚刚好，保证翻过去以后正好是两个四十五，形成九十度。 ok， 随之再把翻折图形补全， 这里就是 b 一 撇，这个是 h， 当我们连接 c、 h 时，即可形成等腰直角三角形。这就是这个题的三幅图该如何去画？ 有了图，后面的解析就好解多了，尤其是这个图，这个图非常好解。题中给的 ab 是 四，同时这个角是六十度， 那所以这条高六十二，二倍根号三，所以这个高是很好求的，也就是 h、 f 的 长是二倍根号三， 那由于是等腰直角三角形，这个高是二倍根号三，那 c、 f 的 长也是二倍根号三。你求 bc， 本质就是求 b、 f， 从这里直接解三角形，结束战斗。因为有四十五度，有六十度，还有 b 一 长度为二，直接过一点向 bc 做垂线，一比，根号三比二，同时这个长也是根号三， 所以这样一算的话，三为根号三加一就是 bc 长，这种是相对比较好算的。 三倍根号三加一，这是第一个答案。剩下的两种情况接近，因为我们画图中就可以看到它的折叠方式是一样的，加上刚才的四和六十度，那 a、 d 和 bc 这个平行线的距离依然是等于二倍根号三， 所以 c、 h 的 长即为二倍根号三，那等腰直角三角形下面的 c、 f 也是二倍根号三。 其实放到这第三幅图里，这个图中也是一样的，平行线距离即为等腰三角形的斜边上的高线，它是二倍根号三的话，说明 f、 c 应该等于四倍根号三， 所以上面的求 b c 也好，下面的求 b c 也好，核心点只要能把 b f 求出来就可以了。其实三幅图的重心都是一样的，只要会求 b f 即可。 相比 f 处为直角的这幅图，这两幅图的 b f 相对麻烦一点。因为我还是想解三角形的话，你会发现这里是二，这里是六十度，但是剩下这两个角还挺别扭的， 因为这里四十五度，你可以算吗？他两个相等，那这两个角各自是六十七点五度， 不用想，上面这个角也特殊不到哪里去。所以如果我从解三角形的角度来出发的话，表面上是已知了两角一边，但是这个六十七点五会让我苦不堪言， 那怎么办呢？这个时候可以回想我们的二倍角公式，因为六十七点五，它往往会伴随着四十五度的半角，二十二点五度同时出现，在我们过一点向 b f 做垂线时， 这个位置即为二十二点五度，而二十二点五度正好是四十五度角的一半。所以我就可以利用二倍角模型去求二十二点五度这个角的三角函数值， 结合我们所学的知识，把它单独拎出来画一下一个等腰直角三角形，做一条角平分线，这样就会出现一个二十二点五度的角， 而等腰直角三角形三边之比是一比一比根号二，由于是角平分线，你直接使用角平分线定理一比根号二，所以这也是一比根 号二，加一分之一 好写出来，这一部分就是一除以一加根号二，那这个搞定以后，二十七点五的三角函数值就有了。 hadn't 二十七点五度，就等于 一比一加根号二，再比上一个一，也就是一比一加根号二。 有了三角函数的值，那就可以正常去计算了。你看他是二，这里是个三十、六、十、九十的三角形，那就是一，他是根号三。然后 二十二点五度的直角三角形正切是一比根号二加一，所以用根号三除以根号二加一，即为它的长，所以它就是根号三除以一个根号二加一，因此总长度或者说是 b f 的 长， b f 就 等于一加上根号三除以一个根号二加一。这里要进行一个分母有理化，同时乘上根号二减一， 前面的一不要动，然后分母刚好为一分子，算出来是根号六减根号三，既符合这幅图，也符合这幅图。 那对于这种情况来讲的话，右边的 f c 是 二倍根号三，所以给他加一个二倍根号三即可。所以最后结果是一加根号六，再加根号三。 对于这幅图来讲的话呢，那就是加四倍根号三即可。所以一加根号六，再加三倍根号三，三个答案就搞定了。 所以如果我们学会二倍角公式，这个题思考起来还是比较简单的，但万一不会呢？我就是不知道二十二点五度，六十四点五度这个乘法函数怎么求？那肯定也有对应的方法， 大家还记得吗？我们在讲的时候说，折叠里面一般偏向于勾股方程，这里虽然没有直角三角形，但是方程思想也是可以派上用场的，毕竟折叠前，折叠后是相等的。假设 b f 是 x， 那 b p f 也是 x， 由于这是等腰直角三角形，这里是二倍根号三，所以 f h 就 等于二倍根号六。一比一比根号二，那 b、 p、 h 就 等于二倍根号六减 x。 在 第二问的第一小问中证明过， a h 等于 b p h， 所以 a h 也等于二倍根号六减 x。 这里由于是垂直，这个三角形也是一个三十、六、十九十三角形，这条边是四，这条边就是二，所以 a d 的 长应该等于二倍根号六减 x 加二。 你再看 bc， bc 这边是 x， 另一边是二倍根号三，和 c h 是 一样的，所以我可以列方程 法二。列方程 x 加上二倍根号三，就等于二倍根号六减 x， 再加上一个二，最后解得 x 等于根号六加一减根号三。 这两幅图分别去，一个加二倍根号三，一个加四倍根号三即可。所以常规方式列方程也同样可以求解。今天的讲解就到此结束。
00:41查看AI文稿AI文稿百校联考二的试卷，整个试卷按照牛皮纸包装的，经过百校联考的命题专家组去打磨考点，包括题型，新的题型素材和考法都不一样，所以在整个难度部分和中考也是相匹配的， 可以帮孩子去进行更加有效的仿真自测。七科的单套试卷配备，单套试卷包括答题卡，从排版布局包括字号和区域划分，和中考是比较严格的，答题卡做一比一还原答题卡 七个单科是都有的，语文、数学、英语、文综七科都有，也是都配备答案的，整个的排版布局和区域和中考是一样的，所以孩子如果想做自测的，看一下百校联考二的卷子。
49启航严选
02:46查看AI文稿AI文稿各位，咱们这个视频呢，看一下百校联考二的第十五题，这个十五题也是咱们之前仿佛说过的一个模型，用了一个定律，美女老师定律，用这个定律非常好求解。来看一下直角三角形 a、 b、 c 中，那 ab 呢？是六，所以勾股定律求出 ac 呢，那就是十， 那么 b、 d 呢？是斜边的中向的第一点呢，那就是中点 a c b a c、 b 的 平分线，那么这个点就是它角平分线与 a、 b 的 一个交点，现在问 d、 f 的 长，我们说遇到这种问题，在中点角平行线点的交点，这种问题我们用一般的思路来说，就是用等比例法进行求减， 我们要想求 d、 f 长，那么就过点 e 呢？做一下 d、 f 的 一个平行线可以做出来， 那做出平行线来以后，我们知道这个等比，知道 a e 和 b e 的 比，那是不是就知道这个 e m 和 b d 的 比来呢？ 我们做的是平行线，那么如何求 a 一 和 b 的 比啊？我们这是我们讲过的一个角平分相性质的定义，用这个等面积的方法来求它的，我们就不多说了，下来大家看一下角平分相定义如何整。所以说这边你的 a 一 比上这个 b、 b 呢，它就等于 a c 比上 b c， 那 就是十比六，而且现在就是五比三，那也就 a e 呢长呢就是五， b、 e 的 长，那就是三，所以说 a、 e 比上 a、 b 呢，那就是五比八，所以说这个 b m 比上 b、 d 呢，也是五比八， 那么同时这个 d、 f 它也平行于，对吧？因为 d 点呢是中点，我们就知道那 c、 d 呢长呢？那就是五等 d m 的 长可以求出来，对吧？所以我们就知道 c d 和 c m 的 之比，所以就知道 d f 和 b m 的 关系了，这是利用等一档的思路来正。那么用美念老师定义呢，那其实也很简单，就是 a 比上比上 e， b 乘以 b， f 比上 f， d 乘以 dc 比上一个 e， b， 我 们知道，那就是五比三。 b， f 比上 f d， 咱们不知道，咱们要求求这个 b 再乘以 dc 比上 ac， 那 就是一比二，从而我们就可以求出这个 b， f 比上 a c， 那 就是一比二，从而我们就可以求出这个 b， f 比上 f d 的 长，那就是等于又比 b d 呢？斜边的中项等于斜边的一半，它是五，从而我们就可以知道了。我们把这个 b、 d 呢就分成了十一等分，而 d f 占的是六等分， 所以它就是这个 d f， 那 就等于十一分之。那咱们求 d f 十一分之五乘以五，就可以求出 d f 的 差。大家有什么疑问可以打在评论区。
05:52查看AI文稿AI文稿哈喽，各位家长朋友们，徐老师又来了啊，今天给大家带来的是二零二五年山西百校联考二的第十五题啊，整个这个题啊，难度上偏简单啊，偏简单，但是他考的整体思路啊， 嗯，也是我们最近几年特别喜欢考的一个思路，一起来看一下题啊！他说，在 r t 三角形 abc 中， abc 是 九十度， ab 是 二倍，根号十三，摊着的 b， 也就是 a c 跟 bc 的 比 二比三比几啊，比根号十三，而我们的 ab 又是二倍，根号十三， 所以你会发现它应该是四二倍。根号是三，是根号是三份嘛，所以一份是二嘛，所以 a c 是 四， bc 是 六啊，关键在哪里呢？关键在啊，一个垂直，垂直在这里啊！关键在于这个等量关系， a d 等于两倍的 b d， 说明这个 d 是 等分点。那瞬间就有同学想到过，等分点 啊，做平行对吧？等分点，做平行去构造相似啊。但是啊，如果你能看一下问题，你会发现这个题会变得更简单，为什么呢？你要求的是 c f， 而这个是直角， a c 又知道了，所以其实转化一下，你能想明白，其实我们就是要求的这个角的 正切值。能理解我的意思吗？ tangent 的 f 是 等于 c， f 比 ac 的 ac 是 四，如果我能求出这个 tangent 的 f 是 多少， c f 是 不是直接乘个四就搞定了啊？所以如果你能想到想明白这一点的话，这个题不管怎么做啊，你都能弄出来。 ok， 那 这个时候这个题怎么做呢？先看一下，你觉得这个垂直有什么用啊？垂直相当于这里有个十字架，对不对？但是更关键的是，如果你能捋清楚啊，相当于就告诉你这个是算法，叫 dcb， 这个叫它是算法。 ok， 那 我要求 alpha 的 tangent 的 值，这个时候就可以做了啊，就可以做了。呃，第一个啊，关键还是找这个等分点，其实要把 alpha 往直角三角形里面放，所以很多种方法就可以了。第一种，过等分点做平行，过 d 点做一个 a c 的 平行线，做个垂矢 啊，直接出来。为什么？因为等分点一弄出来之后，你会发现啊，发一 d q 垂直 bc 于点 q， 相当于就直接得到了 b， d q 相似于三角形 b a c， 而相似比是几？直接一眼看啊，一比三是不相似比是一比三，相似比是 一比三。这个时候你就能发现，这个长度应该是这个长度的 三分之一，所以 d q 就 应该是三分之四，好吧，而 q 点也应该是一个三等分点，所以这个是二，这个是四。所以我们的 tangent 阿尔法就是三分之四，比上四，也就是三分之一，就等于 c f 比上四，所以 c f 也是。哎，三分之四。有同学可能说，老师你这种太麻烦了，这不就直接全等吗？正好这是我想告你的，全等只是这种方法的一种特殊情况。好吧，确实在这里刚好是一个全等的哎，类似于十字架全等， 好吧，刚好全等。 c f 等于 d， q 等于三分之四，好吧，刚好全等。这种方法没问题，但是如果你还是这个思路，但是辅助线不是这么做的，你就不一定有全等了。比如说你还可以过 b 点做 a c 的 平行线，过 b 点做 a c 的 平行线，然后交 c d 的 延长线与点 q， 你 还可以这么做啊， 法二就相当于 q b 垂直 c b 啊，交 c d 延长线 于点 q， 好 吧，当然你也可以是做平行啊，做平行也行，那这个时候其实也是演出来的，这个三角形是一个八字相似的三角形，并且是个 g b g 还是 一比二相似，所以 b q 直接就得到，等于二， b q 就 直接得到，等于二，所以我的 tangent alpha 就是 什么？就是这个 b q 比上 bc， 也就是一比三，等于 c f 比上四，所以 c f 还是三分之四，对不对？那这个时候它就不是全等了，这是相似了，好吧，思路还是把这个 tangent alpha 求出来， 当然你还可以这么做，你还可以这么做啊，啊，当然你还可以这么做，往这里做一个啊，把这个擦了啊，往这里做一个平行啊，交 c d 的 延长线与点， 比如说还是 q， 这个时候你会发现这个相似，还是个一比二的相似，所以你会发现啊，上下的八字啊，一比二的相似， ok， 那 这个时候如果它是六，那它就是十二， 而这个是几啊，这个是四，所以这个是阿尔法，这个是阿尔法，那内错角上去，这个是阿尔法 ten 加阿尔法，四比十二也是一比三啊， 基本上都能得到啊，都能得到答案，但是最简单的确实就是第一种，第一种方法就是最简单的，第一种，也正好是一种特殊情况，哎，全等，对吧？ ok， 如果你有更好的方法啊，或者说是一种特殊情况，哎，全等，对吧？ ok， 如果你有更好的方法啊，或者说是一种特殊情况，哎，全等，对吧？ ok， 如果你有更好的，我们讲到这。
21支点数学徐老师
00:44查看AI文稿AI文稿试卷内容的精准度是跟学校同步，是跟中考同频的命题精准对标。中考由山西历时十六年的百校联考命题 团队老师进行了题目的打磨，是对接二零二六年山西中考的新题型和新趋势的，让孩子有效的去进行自我的仿真检测，后续去针对十分的考点去进行有效的拔高考点 题型分值难度是对接二零二六年最新的考前的变化和新的趋势的一比一还原中考的题型。试卷内部是有七科，七科是七张试卷，同时配有七张标准的答题卡，完善的配套，用答案机的评分标准，让孩子真正做到自测、有结果、有效果、有提升。
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04:49查看AI文稿AI文稿二零二四年百校联考二十五题这道题目还是山鸡经典的考法，我们用构造相似解三角形或者间隙都可以把它解决。我们一起来读题。长方形 a、 b、 c、 d 中 e 点是 a、 d 上的一个点，连接了 b、 e 和 c、 e 之后，过 e 点做了一条垂线段，这个角是九十度， 有一个角平衡线，顶点 b 处的这个角给分成两个相等角，又说角 e、 c、 b 是 等于二分之一倍的角， e、 b、 c 的， 你说这个角也是阿尔法， a 的 长是等于五， ab 的 长是十二，这个阿尔法或者二阿尔法都是特殊角。顶点 b 处有个二阿尔法，所以这个角应该也是二阿尔法。这个的结论角摊正是二阿尔法，应该是等于十二比五的。 由二倍角的转化直接可以看出来，这个阿尔法的正切也是知道的，它是二比三的，所以我们看到了太多的特殊角法，一直接用解三角形 g、 h、 e。 接下来结合题目的条件，我们发现顶点 g 这个角是九十度减 r 法，以及顶点 e 这个角也是九十度减 r 法。现在这个等腰三角形两个底角是知道的，所以我们还需要一条边 结合 r 的 正切是二比三， b、 f 的 长是五，所以 g、 h 的 长就是五，除以三乘以二，也就是等于三分之十。 e、 g 的 长应该是十二，减去三乘以二十六。三角形 h、 e、 g 又是个等腰三角形，所以我们做一个三线合一的线 垂足，比如说是 m 边，那么此时 m、 g 的 长应该是等于三分之三角形。 m、 g、 h 啊，它是一个二比三，比根号十三的直角三角形，现在已知的是两份的边是三分之十三，所以斜边 g、 h 的 长应该是 三分之十三，他对应的是两份，所以我给他除以二，再乘以根号十三，结果等于六分之十三倍的根号十三。反而我们可以考虑构造相似，因为这里面有太多的等分点， 这点是个等分点。刚刚我们用法一解三角形的办法处理的时候，会发现 f、 g 以及 e、 g 都可以算出来，所以这点是个等分点，结合，这是角分线，所以其实 h 点也是个等分点， f 点它依然是个等分点。因为 b、 f 长是五， f、 c 的 长，它是属于一个二比三比根号十三的直角三角形中呢，较长的直角边，较短的呢是十二，所以 c、 f 应该是等于十八的，所以说 f 点是等分点， g 点是等分点， h 点又是等分点，所以这道题构造相似方法比较多。 把 bh 给延长出来，构造的这个相似，其实它又结合了角分线，所以又有个等腰，等腰三角形 b、 e 这个点，它是个等腰，以及构造完之后上下两到三角线时八字形的相似，可以把它处理。 或者呢，我们过 h 点做一条垂线段，用相似可以解决。或者过等分点 g 做平行线，或者过端点 b 做平行线，也可以把它构造出一个相似。接下来我们选择一种，比如说我们过 h 点向 bc 做一条垂线段，做完之后证明就有个 a 字形的相似了。三角形 b、 g、 f 和三角形 b、 h、 q， 它是个 a 字形的相似， 结合三角形 b、 h、 c， 它是个等腰三角形，又做了个高线的话，那就三线合一了，所以 bc 的 长整个是五加十八，等于二十三，也就是一半就是二分之二十三，这个 b g 比上一个 g h 的 长，它应该是等于 五比二分之十三，就是十比十三的。再在三角形 b f g 里面又是个二比三比根号十的直角三角形，就可以把 g h 的 长依然可以算出来，这是构造相似方法比较多，张老师给大家示范一种即可法。三间隙法可以解决，因为图中有 比较多的这个横平竖轴的线，比如说我以 f e 为 y 轴，以 f c 为 x 轴，那么求的是这个 g h 的 长，核心是求出对点坐标以及 h 点坐标即可。 d 点坐标我们可以很快的得出来，它应该是三分之十，逗号零，因为它又属于一个二比三比根号十的二比三比根号十三的直角三角形。 关键是求这个 f 点坐标 h 呢，它其实就是 e c 这条线和 b h 这条线的交点， e 点坐标是零，逗号十二。然后 c 点坐标呢，是十八，逗号零 l e c， 它的解义式是 y 等于 这个角 r 法正切是二比三，又经过二四小线，所以是负的三分之二 x， 再加十二 边是这个角角，依然是个 r 法，所以直接写 y 等于三分之二 x， 它的纵截距是三分之十。然后把这两个极式连立起来之后，我们就可以得出 h 点的坐标， 求出了 s 点的坐标，那么 d 点坐标就知道， s 点的坐标也知道，所以接下来根据两点进的距离公式，就可以搞定 g h 的 长。接下来的计算张老师不再赘述，关注数学张老师，这个寒假我们一起拿下中考十五题。
