高考数学期望经典例题
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03:52查看AI文稿AI文稿大家好，我们一起看一下新高考一卷的单选择题的亚洲题第八题啊，一起读下题，再给定一个集合，这个集合是个典籍，这是他的坐标，那么 x i 属于负二负一，一二为空间中六十四个点构成的集合，那么点 p 一 一一记这个样本空间为这个集合 p 的 补集。那么从 q 中随机取一个点，定义随机变量 x 就是 对 q 中的每个点 a 令这个大 x a 等于它的三个坐标和 x 一 x 二 x 三的和， 那么让求这个 x 的 数学期望。那么这个题读完之后，我们看看他考察什么？第一个考察的古典概型概率问题， 那么第二个离散型随机变量的均值。第三个也是这道题特别着重要考察的其实是这个对称性在期望计算当中的应用，那么这个题很多同学在考场上肯定做不出来。 我们首先来看一下这个题目，首先这个全集是这个空间当中的六十四个点，那么这个每个点的坐标，这个每个点的坐标负二负一一二，它是关于 零对称，那换一句方式说，这个空间当中的六十四个点，他一定有对称中心，他的对称中心其实就是零斗零斗零这个点，这六十四个空间中的点，关于零斗零斗零这个点对称，那么现在我们这个取的样本空间是什么？是六十三个点去掉了一个特殊点， 如果不去了这个特殊点的话，这个数学期望肯定会落在这个对称中心，也就是我们的选项 c 就是 零， 现在是去掉了，或者是说排除了某个特殊点之后，那么这个会产生偏差，这个期望会产生偏差， 我们就用这个对称性来做微调，这是这道题考察的就是这个对称性在期望计算中的应用。 那么这个题这样分析完之后，我们就看看。首先看我们去掉的这个特殊点，这个 p 点的 x p， 它的随机变量 x p 是 等于一加一加一等于三。 那我们前面说了这六十四个点，关于零斗零斗零呈中心对称的话，那么这六十四个点的随机变量的和 m 属于 u x m， 这六十四个点的随机变量的和应该等于零。我们现在去掉了一个点，它的和为三的话，那么剩下的六十三个点的和应该是多少？去掉 p 点之后的六十三个点的和应该是多少，是不是就是负三？这就是我们说的通过对称性来进行微调。 那么现在要算这个 x 的 数学期望，我们列一个表来看，更容易看出来，这是 x a， 这是概率 p。 首先看这六十三个点是随机取的，所以每个点取到的概率是相等的，都是六十三分之一，六十三分之一，那么每个点的随机变量，我们把它定成 a 一， a 二，一直 a 六十三，那么上面说了要记他的数学期望就是 ex， 其实就等于 x， a 等于 p 啊， 我们给它沉起来之后就是六十三分之一，那么这里头就 a 一 加上 a 二，一直加上 a 六十三，那么这个部分相加，我们前面说它是等于负三，本来六十四个点的随机变量相加应该等于零，现在去掉了一个特殊点 p 点， 这些是等于负三，那么带进去就是负三，比上六十三，也就是负的二十一分之一，对照四个选项，这个题选 a 啊。 这个题读起来其实特别唬人，但其实就是考察的对称性的问题，这个题要多思考，其实找到了这个对称性的这个结构，就是我们说的数学当中他要考察的这个结构，具备这个思维的话，那么这个题的运算量真的非常小，很小的运算量。好，这个题给大家分享，这里让我们一起做更少的题，提更多的分。
591张文龙《解题王》主编
09:55查看AI文稿AI文稿高中数学不用慌，小江带你一起闯！各位同学大家好，欢迎来到我们的高考大题专题突破的概率与统计合集。今天我们要给大家分享的是二零二四年北京卷的第十八题， 这道题呢，考察的是车险无赔优贷的问题，非常贴合我们的真实生活，没有复杂的模型，就是基础的概率和数学期望的计算。 第一小问送分题，用频率估计概率。第二小问就是计算并比较两种保费规则下的数学期望，是一道非常适合我们在进行高考复习备考时的经典例题，可以帮大家巩固概率统计的一个基本知识。 那么接下来我们就具体来看一下这个问题。某保险公司为了了解该公司某种保险产品的保单中，随机抽取了一千份 记录，并整理这些保单的赔情况，得到了一个赔次数和单数的一个表格。那么他说假设一份保单的保费为零点四万元，前三次赔时保险公司每次赔偿零点八万元， 第四次赔时保险公司赔偿零点六万元。这个跟我们的生活常识是一致的，假设不同保单的赔次数是相互独立的，告诉我们用频率去估计概率。 第一小问让我们估计一份保单赔次数不少于二的概率，那其实我们观察表格不少于二就是大于等于二呗，那就是赔次数为二三四次。那么根据我们的表格，一共有一百份， 总共呢有一千分，那其实就是一千分之一百，对吧？所以第一小问比较简单啊，但是我们还是书写规范一点，我们假设保单所属次数 不少于二为事件 a， 那 么根据表格数据 估计 p a 我 们刚刚说不少于二，一共有一百单，总共的样本量有一千份，所以最后结果是十分之一，那么接下来我们来看一下第二小问。 第二小问说，一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差， 我们知道保费是保险公司收过来的，而赔偿是保险公司出去的，对吧？那么他说 x 为一份保单的毛利润，让我们去计算 x 的 数学期望，那首先根据我们数学期望的定义，我是不是需要知道 x 有 哪些可能的取值，以及他对你的一个概率，对吧？而题目当中给了我们表格，根据赔偿次数，我们的 x 的 取值是不是也不一样的，对吧？我们可以分别来看一下啊。好，我们假设赔偿次数 为 a 吧，这样我们写起来方便一点啊， 那么我们分别计算一下，则 a 等于零时，赔偿次数为零，那么我就是净收入，此时我的 x 就是 等于零点四， 那么这个时候对应的概率 p x 等于零点四，其实就相当于是所属次数为零次的时候，对吧？根据我们的样本量和这个表格的数据啊，应该是一千分之八百，那么最后的结果就是五分之四， 当 a 等于一时赔偿一次，我们收到的保费是零点四，但是我要赔偿一次零点八，那么结果就是 负的零点四，那么此时 p x 等于负的零点四的概率就是赔偿一次对应的概率，对吧？那就是一千分之一百，结果就是十分之一。那么接下来当 a 等于二十， 我们收入的保费是零点四，赔偿两次，每次赔偿零点八，那就是减去一点六，结果就是负的一点二。此时 p x 等于负的一点二的概率，就是赔偿两次对应的概率，那经过化解，我们就是五十分之三。 当 a 等于三十，赔偿三次，那么我们的利润就是零点四，减去应该是零点八乘三，二点四，结果就是 负二，那此时 p x 等于负二的概率，对应的就是我们赔偿三次的概率，那其实就是一百分之三。当 a 等于四时， x 等于。首先我们的保费是零点四，对吧？题目当中说前三次赔是零点八，那么这个时候我应该是减去二点四，最后一次赔是只赔零点六，那么我还要再减去零点六，那么结果就是负的二点六， 此时呢， p x 等于负的二点六的概率，就是赔偿四次的概率，那结果就是一百分之一啊。最后我们可以稍微检验一下，一百分之一加一百分之三，加我们上面的五十分之三就是一百分之六，结果刚好是十分之一，跟上面加起来全部总和是一，那这样就没有问题了。 其实这样的话，我们就得到了 x 的 一个分布列，接下来我们只要列式子计算数学期望就可以了啊。此时 e x 就 等于五分之四，乘以零点四， 减去十分之一乘以零点四，减去五十分之三，乘以一点二，减去一百分之三乘以二， 减去一百分之一，乘以二点六啊。最后经过计算，我们的答案是零点一二二，单位是万元，那么这个就是我们保险公司的一个毛利润的估计值啊， 思路非常的清晰，我们就是得到 x 所有可能的取值，然后分别计算对应的概率。那么接下来呢，我们再来看一下最后一个问题啊，现在呢，我们说如果无所赔的保单，保费 减少百分之四，有赔的保单保费增加百分之二十，让我们比较这种情况下下一份保单毛利润的数学 估计值和 ex 估计值的一个大小啊，那这个其实也是符合我们的生活经验的，对吧？你的车如果今年没有出险，那么明年的保费就会下降，如果今年出险，出险的次数越多，保费涨的就越多啊，那么我们来计算一下，首先呢，我们可以先假设调整后 毛利润为 y， 那 这个时候呢，我们有两条思路，首先你可以按照我们上面的过程，依次去计算 y 可能的取值和它对应的一个概率，最后再去计算大小，对吧？但是其实我们知道在这个过程当中呢， 我们的毛利润是由我们的保费和赔两个部分构成的，而赔其实是没有发生变化的，保费它是发生了变化，所以我们是不是可以先算保费呢？其实说白了，我们这里的 x 在 第一小问当中，这里 x 毛利润它其实就是什么？是不是就是保费，然后再减去赔啊？可是现在我的保费发生了变化，赔没有发生变化，我们是不是可以直接去算保费的一个变化呢？我们调整后我们来看一下啊， 调整后保费应该是多少呢？根据表格我们知道他说没有赔就会减少百分之四，那么我们知道没有赔就对应的是赔偿次数为零，那么大概占到了就是五分之四， 此时我的保费会从我们原来的零点四变成多少呢？减少百分之四是不是要乘以零点九六，而 有赔的他的概率其实就是五分之一，对吧？那么保费增加百分之二十，那就应该乘以零点四，乘以一点二啊。所以我们的保费应该是什么？ 根据我们上面的一个数据，应该是有五分之四的保单是没有经过赔的，所以他们的保费由零点四变为原来的零点九六， 而有五分之一的保单是经过了赔的，他们的保费由零点四增加为原来的一点二，这个就是调整后的一个保费的大小，对吧？那么这个我们经过计算的话，答案应该是零点四零三二。 那么大家想一下，保费增加了赔没有变化，那是不是最终我的毛利润会增加，对吧？那我们可以再写一下啊。 此时这个意外，首先根据我们上一小半的结果，这个 e x 是 保费没有改变前的一个毛利润， 如果我们减去原来的保费零点四，那其实就是赔的一个数学期望，然后再 加上我们现在收到的保费是零点四零三二，那其实就是在原来的基础上增加了零点零三二，最后的结果就是零点一二五二，那么它是大于 ex 的， 所以我们的结论就是意外大于 ex 二，那这样的话我们就判断完成了。所以大家会发现我们这道题目其实难度也不是很大，他就考的是我们概率当中最常出现的第一个频率估计概率， 第二个就是数学期望的计算啊，只是在这里的话，我们数学期望你可以稍微想一想这个 x 和 y 的 一个构成，从而去减少计算量。好，那么我们今天的分享就到这里。
55小姜爱数学
15:23查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好啊，我是闭剑玄鹤，今天想给大家分享一个排列组合里面非常难的题目，叫做全错牌问题，我会给大家详细的讲一讲这个全错牌问题，他的地推公式是如何得到的，这个地推公式还是非常有意思的， 然后在这个基础上啊，我会给大家讲一讲这个地推公式如何解除他的通向公式。 其实我看过很多老师讲全错题问题，他都只讲了这个地推公式是如何推导出来的，但是大部分老师并没有去讲他的通向公式是如何推出来的， 我觉得这个通向公式的推导过程是非常值得学习的，而且他只需要用到我们最简单的累加法和累乘法就可以得到通向公式， 而且我还会告诉你他的每一步是怎么想到的啊，不是说凭空的突然就想到某个式子，这是不可能的。好，接下来我们就来讲讲什么叫做全错牌。全错牌问题呢？实际上是我们大名鼎鼎的装错信封问题，这是由我们数学家博独立的儿子，也叫博独立提出来的， 一个人写了 n 封不同的信，以及相对应有 n 个不同的信封，然后呢，他把这 n 封信啊要装到信封里面， 问所有的信全都装错，信封的装法有多少种？什么意思呢？比如啊，正确的装法，我们的一号信就应该装到一号信封里面，二号呢就应该装到二号里面，以此类推。那全都装错就是什么呀？一不能装到这个里面， 二不能装到这个里面，三不能装到这个里面，四不能装到这个里面，那随便我们取一种，比如二三四一，这就算一种全错牌，也就是所有的姓全都装错了。 问你这样的装法共有多少种？实际上啊，排列组合里面很多的难题目都是通过地推这个思想去推导出来的，我们来看看地推这个思想在我们全错牌问题中如何去使用。 好，我们来看一看啊。首先我们要把这个问题抽象成我们的递推数列的问题，我们就去设 n 封信的所有错牌数为 a n， 那 我们来看看这个 a n 能推导出什么样的递推关系呢？那递推关系，递推关系，你肯定就需要找 a n 和什么 a n 减一甚至 a n 减二之间的关系，这是我们的 a n 封信一到 a n 减二之间的关系，这是我们的 a n 的 信封。 注意这边，这个我等会给大家放上去啊。我们首先考虑 d n 封信，因为从 n 减一到 n， 我 们只多了 d n 个信啊，所以我们就先去排这个 d n 封信。 d n 封信呢？它应该只有 n 减一种装法，因为 n 封信是不可以装到这个地方的，对不对？好，那我们就任意的嘛，因为 n 减一种装法，这个都是任意随机的，我们就随机给它装到 d k 个信封里面，可以吧？我们装到这个里面， 所以我们就把这个 an 装到了这个信封里面，假设装到了 k 中，那接下来我们肯定就去装 d k 封信，因为 d k 封信比较特殊吗？它的位置已经被 an 给占掉了。好，那我问你， d k 封信它可以装到哪？ 很显然所有的地方它都可以装，剩下的地方它都可以装，对不对？那有没有什么位置呢？有一个位置，那就是 an 对 应的位置比较特殊。为什么呀？我们来讨论一下。 首先我们的 d k 封信可以装到 n 号信封中。好，那我们就假设我们的 d k 封信啊，现在装到了这，装到了这之后，我问你啊，剩下多少个信？ 剩下应该是一到 k 减一，然后呢？ k 加一到这个 n 减一，一共应该是 n 减二封信，这个 n 减二封信不就相当于 a n 减二封信的全错牌吗？为什么呀？因为 k 不 能装到这儿， a n 不 能装到这儿，而我们 k 和 a n 现在相当于交叉的把它们彼此的位置占走了，和剩下的 a n 减二封信完全没关系啊。那剩下的 a n 减二封信，不就任意的进行一个错牌不就行了吗？所以 剩下的 a n 减二封信啊，全都错牌，应该是 a n 减二种方法没问题吧？因为我们一开始设了 n 封信的错排数为 a n， 那 a n 减二封信的错排数应该就是 a n 减二，这是没问题的。好，刚刚我们讨论的第一种情况，也就是 d k 封信，我给它装到了这个地方， 那还有很多情况啊，还有的情况就是 d k 封信啊，它没有装到第 n 号信封中，那也就是在这边还有这边的信封里面随便挑一个。 那问题来了，这个所有的错牌方法应该是多少呢？哎，这是一个值得思考的问题啊。好，我来给大家讲一讲这个第二种情况，他的方法数应该怎么去考虑。你来看啊，现在我们这个第 n 封信是不是已经装完了？那装完了我就先把它擦掉，可以吧？ 但是他的信封还在这，是不是因为信封还没有去用到他？那你接下来注意啊，我们的 d k 封信的信封是不是也被装过的呀？就装的这个 a 嘛，那他已经没用了，我们也把它擦掉，接下来仔细看啊，接下来我把 我们这个信封也是原本 d a 号信的信封给他移到这个地方来，可不可以移到这个地方来之后你注意啊，我们 这个的前提是什么呀？这个的前提是 d k 封信没有装到这个里面，对不对？也就相当于 d k 封信，我不允许它装到这个里面， 是不是原本这个是刚刚这边的 d n 号信封吗？我把它移过来了，除了 k 以外呢？他们的信也彼此都不能放到对应下面这个地方，对不对？ 那 k 呢？ k 也不能放到下面这个地方，那剩下来这些一共 n 减一个姓，不也满足我们全错牌的一个条件吗？所以啊，我们除了第 n 号以外，剩下的 n 减一封信全错牌就行了， 所以它的方法数应该是 a n 减一种，能听懂吗？也就是加上的这个大的前提。那我们把这个 a n 号的信封移到这边来， 问题就等价于 a 减一封信的全错牌。所以你会发现啊，我们 d k 封信尤其只有两种情况，而这两种情况的方法数我们全都写出来了，所以最终的递推关系就是什么呀？也就是我们 d a 封信，最一开始他有 a 减一种装法， 然后 a 减一种装法，装完之后呢，剩下的有 a n 减二，加上 a n 减一种装法，所以递推关系就是这样的一个式子， 没问题吧？这个式子你可以看一下呀，你既然写了 an 减一和 an 减二，你就要规定一个 an 大 于等于三，否则它就没有一个实际意义了。 当然，你规定完 an 大 于等于三之后呢，你的 a 一 a 二也是要写出来的， a 一 很显然吧，就是零，为什么呀？因为 只有一个信的时候，他怎么装都是必须装到这个信封里面啊，所以没有错排数。那两个信呢？两个信的话，一和二他只能交叉的去排，只有一种错排方法，所以 a 一 是等于零的， a 二是等于一的。接下来我们就来求一求这个通项啊。 首先，我们刚刚说的地推关系是这样一个式子，这样一个式子你该如何去处理呢？哎，实际上是有点难度的，可能考察你的这个经验，这道题需要左右两边同时除以 n 减一的阶乘，为什么这样除呢？因为这样除的之后啊，你会发现， 我们左边是 a n 除以一个 n 减一的阶乘，右边呢，分母上的 n 减一阶乘和分子上的 n 减一是可以消掉一个的，消掉之后呢，就可以得到右边这样一个式子。哎，你会发现下面分母都是 n 减二的阶乘了。而这个式子，你会发现啊， 他和他至少就是一个 n 和 n 加一的关系，对不对？而这个呢？哎，这个也就比他们这两个式子就相差那么一个一次项嘛， 对吧？所以这个式子啊，应该是相对非常好处理的，而且你可以进行一个换元，换元之后，它就变成一个非常简单的形式了，我们怎么去换元呢？哎，我们这样来换元一下，我们确定 b n 等于 n 阶乘分之 a n， 这样换元之后呢，它是不是就应该等于一个 b n 减二，而这个式子呢？这个式子应该它应该等于 n 减一乘以 b n 减一， 这样的话， n 减一就能和这边的一个 n 减一的阶乘消掉，得到 n 减二的阶乘，而左边这个呢，就应该等于 n 乘以 b n， 没问题吧？也就是换元之后得到这样一个式子， 这样一个式子比上面的式子看得亲切多了吧。为什么亲切啊？因为这个和这个又是 n 和 n 加一的关系，而后面单独的这一项又非常的简单，继续去看一看啊， 处理到这个递推关系，接下来怎么做呢？哎，接下来我们左右同时去除一个 n， 你 看会得到什么？会得到这个式子， 这个式子啊，很显然，右边这个玩意是一个 n 分 之一乘以 b n 减二，而这个玩意呢？ n 分 之 n 减一， n 分 之 n 减一，是不是也能得到一个 n 分 之一啊？它应该就等于一减去 n 分 之一， 对不对？好，那这样一化简的话，我们后面的 n 分 之一就可以合并起来，得到这个式子。得到这个式子之后，你应该已经看出来一些东西了， 我们把 b n 减一移到左边去，得到 b n 减去 b n 减一，等于这个玩意，对不对？我们把这个正号改成负号啊，就是把 这个大的放在前面， n 减一肯定在 n 减二的前面吗？得到这个式子之后，注意，我们把这个东西除到左边来，也就得到 b n 减去 b n 减一，比上 b n 减一，减去 b n 减二，他应该就等于负的 n 分 之一，那这个式子相信大家已经都会处理了。怎么处理啊？累乘 法，因为这个和这个啊，也就是 n 和 n 加一的关系吗？就对应相差了一项，那累成起来就应该是什么呀？就是 这玩意儿，也就是负 n 分 之一，然后呢？乘以这玩意儿，这玩意儿是负 n 减一分之一，然后呢？ 一直到等等等，等到最后一项，最后一项就是 b 三减 b 二除以一个 b 二减 b 一， 那我们将它累成起来之后，你可以发现 可以怎么样？全都消掉了，一直消到这，最后就只剩下了这个部分。而等式右边应该是什么呀？应该是所有的这玩意儿沉起来，所有的这玩意儿沉起来应该是什么？我们先看看负号一共有多少个负一相乘啊？我们来看一共有多少项啊？我们第一项，这边是 b n， 最后一项呢？这边是 b 三。那从 n 到三一共有多少项？应该是 n 减三加一等于 n 减二项，所以负一一共乘了 n 减二次，也就是负一的 n 减二次方， 那剩下来的应该是 n 分 之一乘以 n 减一分之一乘乘乘到这个三分之一，因为最后一项是这个 b 三，这边 b n 对 应一个负 n 分 之一，那 b 三就应该对应一个负三分之一，所以最后乘一个三分之一，就得到这个式子。 这个式子之后呢，我们就把 b 二减去 b 一， 这是他们的初始项，可以算出来的。初始项怎么算啊？哎，我们算一下吧。 嗯，我们刚刚说了， a 一 是等于零的， a 二等于一， a 三呢？你通过这个地推关系算一下， a 三就应该等于一个三，减一就是二，再乘以一个零加一也就等于二，对吧？ 那我们 b n 是 这样设的，那 b 一 就等于零， b 二就等于二分之一， b 三你算一下，应该就是三的阶乘分之二，也就是三分之一。我们把 b 二和 b 一 带到里面，也就得到了 b n 减去 b n 减一等于负一的 n 次方，乘以 n 阶乘分之一。 哎，写到这一步，你应该发现写出来了吧？为什么呀？这又是一个累加法的形式， b n 减去 b n 减一等于这样的一个式子， 那我们将它累加起来，最终应该写到哪一项？应该写到 b 二减 b 一 等于负一的平方乘以二阶乘分之一。哎，没问题吧，那累加之后呢？就把这边所有的数加起来，加起来啊，也是轴向啊，就全都消掉了，把这个 b 二也消掉了，最终只剩下一个 b n 减去 b 一， 然后加起来之后，你会发现啊，哎，这个地方你要写的好一点，他们这个里面的形式啊，乘以一个 k 阶乘分之一， 那加起来不就是这个 c 个码 k 等于二一直到 n， 然后负一的 k 次方乘以这个 k 结成分之一吗？接下来有一些地方需要注意啊，哎，我突然发现啊，刚刚这个地方，最开始我们不是写的 n 减二的次方吗？负一的 n 减二次方， 为什么我到这写的负一的 n 次方啊？因为这两个是完全一样的嘛，对不对？因为负一的 n 减二次方，不就等于负一的 n 次方除以一个负一的二次方，负一的二次方不就等于一吗？所以这两个是一样的，为什么写成这个负一的 n 次方啊？因为为了最后 写到这一步的时候好看一点，我们再看看这个 b 一 等于多少？刚刚说过了， b 一 等于，注意这边 b 一 等于零，对吧？ b 一 等于零之后呢，我们就能算出 b n 等于 c 个码。 注意，这边我又把它从 k 等于二，原本这边 k 等于二的，我现在写成 k 等于零了。为什么呀？这一步也是有点讲究的，可能很多地方不太会去讲这些细节。那我来跟你讲一讲 啊，注意啊，我们刚刚这边所有的讨论，就这个上面的一些讨论都是有一个前提的，还记得前提是什么吗？前提就是我们最开始说了这个递推关系， n 要大于等于几，要大于等于三，对不对？好，那一样的，到了这一步，我们还有这个前提啊， n 要大于等于三， 但是这个式子你能拓展到 n 等于零， n 等于一， n 等于二吗？ n 等于二说不定还可以，因为 n 等于二的话，就只有正好有一项 n 等于一行吗？不行啊，你 k 等于二，怎么从二到一啊？累加起来不行的。那为什么最后能扩展到这一步呢？这边你就需要去验证一下它的一些出式项，就这个式子能不能满足我们这边的 b 一 和 b 二，如果能满足 b 一 和 b 二，那我们这个式子不也是成立的吗？那能不能满足呢？我们来看一看 b 一 等于什么呀？ b 一 应该等于 c 个码， k 等于零到一个一，然后负一的 k 次方乘以一个 k 结成分之一。 有两项吧， k 等于零一项和 k 等于一一项这两项你会发现正好是什么呀？一和负一加起来不就等于零吗？所以 b 一 是满足这个式子的，然后呢， b 二你带进去算一下，你会发现也满足这个式子。所以呢，我们就可以从 k 等于二给拓展到 k 等于零来了。哎，这是没问题的吧？哎，这就是一个把我们从 n 大 于等于三的一个递推关系得到的通向公式拓展到 相当于推广到一个 n 大 于等于一的普遍的情况。好，接下来写到这一步。我们的 b n 等于多少？原本原本设的 b n 等于多少 啊？边设的等于这个 a n 除以 n 的 阶乘，也就是 a n 除以 n 的 阶乘等于右边这玩意，那我们把这个 n 的 阶乘乘到右边去就行了。所以最终 a n 就 等于 n 的 阶乘乘以四个码， k 等于零到 n， 然后 k 的 阶乘分之负一的 k 次方，这就是我们最终的通向公式啊，我觉得还是非常有意思的吧。
1157敝槛玄鹤
10:08查看AI文稿AI文稿同学们大家好，欢迎大家来到科帆课堂。 今天给大家带来的是二零二六年济南恶魔的填空压轴题。这题出的非常新颖，也是一个概率统计理论的期望的题型。该题型 题干非常简短，甲乙各有，各从 n 门课程中，选修课中任选其中的三门，既同时既 x 为被甲乙选中的选修课，数量 则求 x 的 分布列。那常规套路就是，我列出 x 的 可行可能性，然后再算出每一种 x 的 值对应的值的概率，然后 x 乘以 pi 就 得了。那因此我们来试一试这种常规套路。 那由于书写过程较长，我先提前把过程给书写出来了。首先，六每人选三门，对吧？ 那备选的课可以是三人选的都同，两人都选的同一的，我都选了同样的，是选三门，有或者四门，或者五门，或者六门。三门代表甲乙。 甲乙两个同学选的课都是一样的，都是一样的课。那么这次是 x 等于三，那它计算规则是什么呢？分母肯定是一样的，甲同学在 n 门中选三门， c n 三，乙同学也是 n 门中选三门 c n 三。呃， 没问题，所以分母还是相对简单。那分子呢？六门原理是这样， n 为六是吧？我先说 n 为六， n 为六就代表甲乙两个同学，我选的这三门和乙同学选的这三门长得不一样， 对吧？我的方法是先在 n 门中直接先选出六门课。哎，这个就这六门就是你们两个同学所选的啦。 那 c 六三什么意思呢？ c 六三是我不知道这六门中谁假选哪六门哪三门，所以我就对应假同学，我在六门中任意选三门给他这三个就是假的，剩下就自然分配到一。其实 c 三三有个 c 三三的省略，不写了。 好，这个就是这个思想。好，那 x 等于六时候就算得了。不，那我再写一下， x 为五的时候， x 为五的时候，说明甲乙两位同学，甲的有两门自己的，乙的有两门自己的，然后他们有一个公共的。 好，公共的同选同一门的。那此时计算思路，分母是一样的，分子呢？原理也是一样，我先在 n 门中选出五门，让他们准备分配在五门，你甲乙两个同学在五门中 选出来了，然后在五门中先选出一门，让他们作为公共。大家都选的五个中随便选一个 c 五一得出公共的。那假选的这两个是不是剩下的四个中选出两个，让你选 c 四二 以的 c 幺二，然后以 c 幺二要省略不写就得到 ps 等于五了，同理的， ps 等于四呢？四就代表它们有两门相同，那此时都要各选一门。好，此时加 e， 甲就选这三门，乙就选这边三门。那同样的方法，我也是先算出 c n 四，先，我在所有组合中我选出四门给你选，然后呢， 其中 c 四二是在这四门中选出两门，让他们是公共，所以就得 c 四二，能理解了吧。 然后剩下两门中，一门分给甲，一门给乙，所以就是 c 四二乘 c 二一，最后 ps 得三就太简单了。 ps 等于三，那就代表甲乙他们两个同学选的 这三门课完全一样。分子直接就在所有选修课中选出其中的三门 c n 三，然后因子通过计算，我们就得到下面的式子， 发现没有这三，这几个式子计算量还是蛮大的，特别是优化运算，然后期望就是六乘以下面概率，四乘下面概率，三乘下面概率。那也就是说用四个码来 简化， i 等于三开始， i 乘以对应它的概率， i 乘以 p s 加 i， 这是优化运算。优化式子其实你不这样写也行，直接写出三层这个四层， 三层这个概率，四层这个概率，五层的概率，六层的概率，然后一起合并运算就可以了。然后计算过程我就不整理了，也发现有公式，他们都是 n 乘 n 减一， n 减二为。 呃，公共的我都提出来，发现六也能提，然后最后优化运算，合并同类项，最后就得六减 n 分 之九。 题目难度思路不是太难，但是计算量还是非常大的。呃，其中这个 c 分 子的取法确实需要大家去理解。理解好，这是用常规的 c 分 子的取法，确实需要大家去理解好，这是用常规的分子的题型来计算， 它的方法来计算。那这里还有第二种解法，请看。这种解法中就用类似二项分布的方法去理解 好。我先对应课先呐，一二三。这么多门课， 那每一门课他被抽到的可能是只有四种情况，要么是假抽到， 同时乙也抽到。要么是假抽到，乙不抽到，要么是甲不抽到，乙也乙抽到。最后还有一种是甲乙都不抽到，那对应这样子来说，那因此 每一门课被假货已抽到的概率 我记为 p， 那 这个 p 怎么计算呢？ 每一门课被假货已抽到，对吧？假货已抽，那是不是就是说可以被同时抽，也可以被假抽，也可以被已抽到，就这三种情况，发现没有这三情况，正面算好像种类有点多，那我算个反面 算，他两个都不被抽到，呃，都不被两个人抽到，我就用一减去，那这门课不被假抽到，那我们应该知道每一门课被某个同学抽到的概率是不是就是 n 分 之三？ 好，我重新书写一下每一门课被某一被假吧。被假抽到 被假抽到概率为 n 分 之三，那不被抽到不就是一减 n 分 之三了吗？只被一个人啊 抽到，那反面就一减 n 分 之三，那这是假同学抽到他的概率，那你同学抽到他概率是不是也是一样， 对吧？也是一样的。所以这计算是指就得一减一减 n 分 之三的平方，然后通过发现它平方差公式，哎，来一下，一加一减 n 分 之三，括号 乘以一减一减 n 分 之三，最后得到是二减 n 分 之三乘以 n 分 之三。 好，算出概率之后，那我们来设想一下， x 是 什么呢？是被抽到了，对吧？每 x 为被假以假获以抽到的课，那我们每一门课被抽到概率都是这个。那我有几门课呢？我就有一到 n 门课，那因此 我是重复 n 次 p， 此时的 p 就是 这个，这是每一门课。那我有几门课有 n 门课， 每一门课被抽到概率就是这个，那因此我最后的期望计算推出期望计算就等于 n p 就 等于 n 乘以这面的概率。 二减 n 分 之三乘以 n 分 之三，一约就等于 n 约掉六减 n 分 之九。结果跟刚刚一样。只是说这里重复 n 次，相当于我有几门课我就重复几次， 因为我这里算出的 p 代表是每一门课被抽到的概率。那我有几门课呢？有 n 门课，所以重复 n 次， 最后被抽每一，所以总共 n 门课中被抽到概率就是六减 n 分 之九。这是用二项分布的思路去思考这一题。好，希望大家喜欢。嗯，拜拜。
33柯帆学数学¾
05:32查看AI文稿AI文稿高考救命课第十四期，今天咱们就来讲一下分布列加期望真题。先花一分钟的时间，咱们把核心知识点过一遍，第一个随机变量 x， 它表示的就是可能出现的取值啊。第二个分布列， 那它就是把随机变量 x 的 所有取值以及它的每个取值对应的概率列成一张表格，那他们对应的概率就是 p 一 p 二 pi 这块需要注意的一个隐藏条件就是所有的概率加到一起的合适结果等于一。第三个看一下期望，期望 e x 就 等于 x 一 p 一 加上 x 二， p 二 加上 x a p i 公式。我们就复习到这块，接下来来看一道高考真题， 那很多同学遇到这种题干很长的概率大题呢，做题往往无从下手，今天我就教大家高效的读题方法，就是先找背景条件看这道题，也就是甲乙两个学校一共三场比赛哦， 赢一场得十分，输了不得分。第二个咱们直接的去圈出来固定的概率，也就是甲获胜的概率是零点五、零点四、零点八。第三步呢，我们就来锁定问题，问的是什么？来第一问，问的是甲学校获得冠军的概率，那来分析一下这道题，那甲学校要获得冠军，那是不是跟甲赢得场次肯定是有关系的， 所以咱们就按照这个场次来分析一下这几种情况，也就是假胜零场，也就是假得零分以得三十分，很显然不满足条件啊。那假胜一场呢？也就是假得十分以得二十分，是不是也不满足条件？接下来假胜两场，那就是假得二十分 以得十分，满足条件假胜三场，也就是假得三十分以得零分，是不是也满足条件？那也就是这两种情况是不是都可以使得假获得冠军？那要求假的概率。咱们先去把这个情况给它说明一下啊，看一下第一题， 也就是假学校要获得冠军是不是需要胜两场或者是三场啊？接下来咱们分别去算一下这两种情况的概率来看，第一种情况，也就是假胜两场的概率， p 一 就等于，那因为是三场比赛，假胜两场，他是不是又得分几种情况啊？有可能是，是不是一二场胜，第三场负，有可能是第一场胜，第二场负，第三场胜。 还有一种可能就是第一场负，第二场胜，第三场胜。接下来咱们分别来看一下这三场所对应的概率。看第一种情况，第一场胜，第二场胜，第三场负，也就是零点五，乘以零点四， 再乘以，那他剩的第三场剩的概率是零点八，那负的概率是不是就是一减去零点八？接下来看第二种情况，也就是零点五乘以一减去零点四，再乘以零点八。第三种情况就是就是一减去零点五，再乘以零点四，再乘以零点八，最后结果就是零点 四四。好来看假胜三场的概率， p 二就等于是不是零点五乘以零点四，再乘以零点八，就是零点一六。那也就是这两种情况是不是都可以使得假获得冠军哦，所以假获得冠军的概率就是他们的概率之合哦，也就是所以假获得冠军的概率， p 就 等于 p 一， 加上 p 二等于零点六。这就是这个题的第一问来看，第二问用 x 表示，以学校的总得分求 x 的 分布列与期望，那要写分布列是不是得先去写出随机变量 x 的 可能取值，那根据刚才我们分析的情况，它的取值是不是有可能是零十二十 三十？所以来第二问，先写出 x 的 可能取值为是不是零十二十三十？第二步是不是得出每个取值所对应的概率， 先来看，当他得零分时的概率是，那得零分，也就意味着甲是不是三场都负呀，也就是三场甲都赢，是不就是这种情况？所以他的概率就是零点五乘以零点四，再乘以零点八，结果等于零点一六。看第二种甲得十分的概率 就是这种情况，是不是假胜两场输一场的时候以是不是就得十分，那是不是就还是这三种情况呢？来第一种就是零点五乘以零点四，再乘以零点二。第二种情况就是零点五乘以零点六，再乘以零点八，加上第三种情况，零点五乘以零点四，再乘以零点八，结果十零点四四来以得二十分的 时候的概率呢？那就是这种情况，也就是假胜一场负两场，那假胜一场，那有可能是第一场胜，后两场是不是负？有可能是第一场负，第二场胜，第三场负。还有第三种情况就是前两场负，第三场胜。来写一下概率啊，也就是零点五是不是乘以一减零点四，也就是零点六再乘以一减零点八， 零点二再加上是不是零点五乘以零点四，再乘以零点二，再加上零点五乘以零点六，再乘以零点八，算出来结果是零点三四。最后一种情况，也就是以得三十分时候的概率，那就是这种情况了，也就是假输三场。所以它的概率就应该是一减零点五， 就一减去零点五，乘以一减去零点四，再乘以一减去零点八，等于零点五乘以零点四，再乘以零点二，最后结果就是零点零六。好，那 x 有 了， p 有 了，接下来我们去列分不了，这是 x， 这个是 p， x 的 取值是零 十二十三十所顿的 p， 一个就是零点一六，然后是零点四四，它是零点三四。零点 零六。好，分布列就完成了，接下来咱们来算一下期望啊，那期望就零乘以零点一六，加上十乘以零点四四，再加上二十乘以零点三四，再加上三十乘以零点零六，最后算出来的结果就是 十三。哦，那这道题呢，只要大家牢记随机变量分布列跟期望的基础公式，吃透这个基础题型，考场上这类分数就能稳稳的拿到手。今天的课呢，我们就分享到这，最后请同学们查收一下本期作业和下期预告。
3148序言数学
427月色
01:58查看AI文稿AI文稿hello， 朋友们，大家好，今天我们来分享一道期望问题，我们来看题干抛掷一枚智力均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满一百次时结束。设抛掷的次数为 x， 则随机变量 x 的 数学期望。 e x 与二的大小关系是什么？ 我们可以首先先考虑不限次数， 那么整个实验实际上就是分成两种情况，那么第一种情况，我们至第一次就出现正面， 那么此时整个实验我们只需要做一次就可以了， 那么如果第一次是反面， 那么相当于第一次实验就白做了，那么此时还需要平均需要 e x 次，所以整个实验就需要一加 e x 次， 那么根据期望的定义，我们可以列出期望的方程，那么 e x 就 会等于二分之一乘以一加上二分之一乘以一加 e x， 那这样我们就可以推得 e x 等于二。 接下来我们回到原题当中，那么原题当中多了一个限制条件，就是最多抛满一百次时结束，那么刚刚我们考虑的是不限次数，如果不限次数，那么你抛掷的总次数是有可能大于一百次的， 所以在这个题目当中多了这个限制条件，那么他的期望值就一定会小于二，因此这题正确答案就是 b 选项，小伙伴们听懂了吗？点赞加关注，明天我们继续更新。
37吉米多维奇
02:55查看AI文稿AI文稿大家好，我们看这样一道题目，题目规定，若出现连续投中两次的情况，停止投掷，求投篮总次数的数学期望。 这里面不妨假设投篮总次数 的数学期望 稳于 x。 这样来分析一下， 对于投篮来讲，我们有可能第一次是投中，接着第二次也投中，此时停止投指，也就是说你需要重新投篮。 这种情况下，零点八乘零点八，懂得次数为两两次， 当然也有可能第一次投中，第二次不中，这种情况下，我们需要重新投篮， 总次数 就应该为二加上， 当然也有可能，当然第一次不中，在这种情况下应该重新投篮， 此时的中次数就应该率一点一 x， 当然概率为零点二。 这样 对于随机变量来讲， 它的分布列应该是这样， 此时数学期望 e s 应该等于 s， 一 加 e s， 再敲一列二吧，再加上二加 e i 乘以零点二，八乘零点二，再加上二乘以零点八的平方。 但是经过整理，我们能够得到数学期望为十六分。这是这是这道题的答案。
64高中数学解惑@F
06:48查看AI文稿AI文稿如果你有一个爱好在研究这个高考题，那有一个内容呢，你会发现飘忽不定，就我们的概率，那概率呢？近几年出现的题型呢，涉及到一些方法和内容，拓展部分还是比较多的。那我们今天呢，先讲一下这个现象期望这个呢，在目前的模仿和高考题呢，出现的频率呢，都非常高， 所以这个呢不必要掌握。那想研究好这个现象期望呢，我们先需要了解指示变量，什么叫指示变量呢？它实际上呢，我们可以理解成一个特殊的随机变量，可以表示某个事件呢，是否发生，如果发生呢，这个变量呢，就等于一，如果没发生呢， 它就等于零，这个是固定的，有点类似于我们两点分布。这个随机变量只有两个取值，比如说我们举个例子，合中呢有三个球，那这个时候呢，我们任取一个球，设这个值值变量呢，代表取出的球为红球，那这个时候呢，一般值值变量呢，用这个大写字母 i 来表示，如果 i 等于一呢，那就代表抽到了红球， 那如果 i 等于零呢，就代表抽到了白球或者这个黑球。那了解完指示变量之后呢，我们先给出限性期望的一个公式，如果我们的随机变量呢，满足它等于多个变量的一个核，那这个时候呢，我们的期望呢，也是等于每个变量的期望的核。 这个呢就是我们解析一会要用的一个核心公式了，它主要适用于我们一旦发现这个总体的期望啊，很难求，但是我们发现拆分后呢，每个变量的期望呢很好算，那这个时候呢，我们就可以利用这个公式来简化预算，那接下来呢，我们直接拿三个题来演示一下。首先呢先给大家一个入门题， 那这个题呢，也是非常经典，给出一个集合，并且呢告诉我这个集合呢，它的元素呢就是这八个数，那问题呢，就是问我们这个集合中含有基数个数的一个期望，那读完这个题干之后呢，实际上不难分析， 我们这个随机变量 x， 它的曲值呢应该是这个一二三四，那这个时候呢，我们就可以利用指示变量配合这个线圈期望，解这个题就非常方便了。首先我们就可以设这个 i 一 呢来表示出现一这个基数，那同样的道理，三五七这三个基数呢，我们也给他配三个指示变量， i 三 i 五 i 七，那这样的话，由于 x 呢，它代表的是出现基数的个数，那实际上它就等于 i 一 加 i 三加 i 五加 i 七吧。那接下来一旦发现 x， 它可以拆成 i 一， i 三 i 五和 i 七，那这个期望呢，自然而然也可以利用 e i 三加上 e i 一， 再加上 e i 五加上 e i 七，那实际上 e 三五七呢，它在这道题当中呢是等价，所以我们算出来一个期望，给它乘个四，就这个题的答案了， 那接下来我们就直接去研究，比如说一加一就可以了，那一加一的期望呢？期望的算法都是一样的，它只有两个取值，那就是两个取值分别去乘以它的概率，再相加就可以，所以就是零乘以 p i 一 等于零，以及 加上这个 p i 一 等于一，那零乘以任何都等于零啊，所以这个期望就是后边呢，比如说 p i 一 等于一的时候，这个值是多少？再乘个四 就是最终答案了。那这个 p i 一 等于一，实际上就是你这个集合当中得有这个一嘛，所以那就是另外七个数当中选三个也是 c 七三嘛，那接下来我们需要找到这个分母，因为算概率，那这个分母好疑问，就是 c 八四嘛，所以 p i 一 等于一，那就等于 c 七三，比上 c 八四， 这个算完之后是等于二分之一的，所以这样的话，我们再乘个四，那就是 e x， 所以 这个 e x 呢，就等于二。那接下来呢，我们再看这个题呢，就比较经典，就我们二零二五的高考原题，那这个题呢，实际上就可以利用我们的先行期望，配合这个指示变量，解决起来呢，还是非常方便。这个题表达的意思呢，就是五个小球 要有序号，我们从中呢抽取三个，那这个时候呢，他说这个随机变量 x 代表的是五个球当中至少被取出一次的这个个数，还是比较绕的。然后问你这个 e s 等于多少？实际上它的意思呢，我们可以翻译一下，比如说呢，如果你这三个球都抽的是三， 那你 x 就 等于一，因为至少出现一次只有这个三号球啊，那同理还有可能是二啊，比如说你抽了一个三，两个二， 那这样的话，至少一次的球呢，有三个二，所以按照这样去分析呢，这个 s 的 取值呢，会有三个。比如说呢， 如果抽取三次，三个球均不一样，那就三个，所以按照正常的一个期望算法，那自然而然就是 x 等于一， x 等于二， x 等于三，然后我们把相关的概率算出来，再乘以对应的三个数字。但还是那个问题啊，这个算起来呢， 考虑起来呢，并没有那么清晰。但这个题呢，如果我们采取指示变量，相对来说呢，就会方便一些。我们这里呢，就把五个球呢，分别设一个指示变量，比如说呢，你抽取的过程中呢，出现一，我们设一个 i 一， 以此类推，一直到 i 五，那我们的 x 还是可以等于 i 一 加到 i 五， 那这样的话，我们的期望啊，依旧可以利用 e i 一， 一直加到 e i 五，那我们会发现，由于五个球完全相同，那 e i 一 一直到 e i 五都是相等的，所以我们就可以算出一个，然后去乘以五， 可以了。那接下来我们还是可以算这个 e i 一 吧，那 e i 的 算法跟这个入门是一样的，也就说呢，它实际上就等于这个 p i 一 等于一，那这个 p i 一 等于一，如何来算呢？在这里如果正面去算，由于三次出现一次，出现两次出现三次，实际上这个 i 呢，都等于一， 那这样的话，算起来呢，还是有一些繁琐，我们可以直接考虑 i 等于零的情况，那 i 等于零的话，实际上就是三次均未抽到这个一吧，那也就是五个球当中，你得选另外四个球 五分之四，那这样的话，就是五分之四的立方，那想算它的对立面，就用这个一减去五分之四的立方就可以了。所以我们就算出了 a 一 的期望，再乘个五， 就是最终答案。那接下来最后一个题呢，在模考当中呢，经常出现关于多维的曼哈顿距离这个背景出的一个概率题，那这个题呢，利用指示变量配合这个先行期望呢，也是非常方便的。首先这个题呢，大部分的题干呢，都在告诉你什么叫多维的曼哈顿距离， 然后呢，还是让我们去求一个希望，那这个题呢，由于有前两个题的初见呢，我们还是可以把这个分为四组嘛， 每一组都设一个指示变量，由于我们呢取值呢，只能是零和一这两个数值，所以这样的话，我们不难分析出呢，这个随机变量呢，依然可以利用这个 i 一 i 二 i 三 i 四来表示， 那这个期望呢，自然而然也就等价于这四个指示变量的一个期望的核了，那接下来我们会发现这四个呢，依旧等价，那我们还是可以算出一个，再乘个四就最终答案了，那这个如何来算呢？这里呢，一定要注意，它是一个多维的一个点， 那四维的话，意味着它的坐标呢，有四个，所以按照它的取值呢，零和一嘛，每一个坐标零一这两个取值， 那么一共呢，会有十六个不同的点，那由于我们还是想算 e i 一 等于一的时候，也就说呢，你第一个坐标呢，它得不同，一个是零，一个是一，那有十六个点的情况下，第一个坐标为零呢，肯定有八个，第一个坐标为一的呢，肯定也有八个，肯定被平分了嘛，那这个分子呢，就分别在含零呢和含一的 任取一个，那就 c 八一乘以 c 八一嘛，那分母毫无疑问呐，一共十六个点，所以任意取的话就是 c 十六二，所以我们就算出了 pi 一 等于一，那这个就是期望了，那一旦算出一个的期望，再乘以四，就是最终的答案了。
257欧拉没有若
08:50查看AI文稿AI文稿好，我们来看这样一道期望的题目，他说盒子中有红球两个， 黄球呢？三个， 白球呢？五个， 每次随机取出一个球不放回，即随机变量， x 为最后一个红球取出时 总共所取出的球的个数。说法有点复杂啊，但是呢，难度并不大。 最后一个红球取出时总共所取出的球的个数，我们看，我们先看一下啊，特殊情况 x 可以 取哪些值？首先， 红最后一个红球被取出，要取出的球个数最少的话，那就是前两次取的都是红球，这时候呢？ 前两次 取的呀，都是红球，这时候，显然呢， x 呢，等于二。 好，如果 x 等于三的话，那就是第三次取出的是红球， 第三次啊， 取出的是红球，并且第三次取出的红球是最后一个红球，说明什么呢？说明前两次中取出的球，其中必有一个是红球。 同样，如果 x 等于四，那就说明第四次取出的是红球，那么前三次中必有一次取出的也是红球。 当然，显然 x 最大呢，为十，也就是第十次取出的是红球，那么前九次中有一次取出的是红球，这个所以我们落脚点都是红球。我们假定， 我们来求一下 p x 等于 k， 当然 k 的 曲值呢，是二三四五六七八九十，我们来看它的概率，那么我们现在只用管红球就行了，实际上只用管这个红球。 如果 x 等于 k， 那 就意味着第 k 次取出的是红球，是第二个红球，最后一个红球，那就说明前 k 减一次呢，中必有一次取出的是红球，所以 c k 减一上面是分子，那么我们只用考虑红球的位置，那么红球就是十个位置中选两个给红球就行了，那就是 c 十二， 所以这个概率很简单，其中 k 呢，等于二三，一直到十，所以我们的期望就是 期望啊，就是 k 等于二到十，然后 c 十二， c k 啊减一，一乘以 k， 就 这么个东西，很简单，这里 难点就是要想到落脚点去，落脚点呢，是红球，考虑红球行就行了。这个黄球白球呢，是干干扰项，没有用黄球白球啊，是干干扰项，我们不用管，不用管这个黄球啊，白球只看这个红球就行了。 红球无非就是两个位置，所以总共是 c 十二，然后呢， i e x 等于 k 的 时候呢？那么 d k 个位置必须是 红球，那么前 k 减一个位置，再放一个红球就行了。好，我们来算一下这个概率，它就等于 c 十二，那它是四十五 k 等于二十 k 乘以 k 减一，也就等于这个四十五 k 等于二十 k 方，减去 k 等于二十 k 二。为了方便计算呢，我就不妨 前这个地方加个一，这个地方加个一，正好是相等的，所以它等于四十五分之， 四十五分之啊， k 等于一十 k 方，减去 k 等于一十 k。 好， 前面是自然数的平方和公式， 注意要这个公式，要记住，记不住，起码要会推导，也就是 它是六分之啊， n 乘以 n 加一乘以这个二， n 加一，记不住，起码要会推导。这里推导我就不推导了啊，列项也行， 数学规律法也行，然后这个的和就是六分之十乘以 十啊，乘以十一乘以二十一，减二分之十乘以十一等，差速列求和啊，也就等于四十五分之上面就是六分之啊， 一百一乘以二十一减三，也就乘以十八，也就等于三百三，也等于九分之 十五分之一百一，也就是除以个五，也就是三分之二十二， 这就是这个题目的期望。这个题目的期望呢比较简单，关键就是他说的虽然很复杂，什么最后一个红球取出时总共所取出的球的个数，问题的关键就是要考虑红球， 洛教练就是在红球上，当然呢，这个题相对而言想清楚的是比较简单的，但是这个球这个题呢，我们可以改一下，可以把它难度加大一下。如果我们要求 红球最先被取出的概率， 最先呢，被取出的取完的概率， 那么 又该如何计算呢？如何求红球最先被取完的概率呢？也就是红球被取完之后还得盒子里还得剩下黄球，白球， 那么这个概率如何计算？留给各位同学自己下去去思考，这是这一个题。
19高中数学培优专家
10:33查看AI文稿AI文稿高中阶段求数学期望，很多同学只会用期望的定义，但其实如果能再多学一点期望的性质，那就是这条性质，那有一类求期望的小难题就可以了解出来了。 ok， 咱们来看一下来自于湖南的这道模考压轴题， 他呢，是给了一个奇和 u， 一 二三四五五个元素，甲乙两个人分别从 u 的 所有子集中随机抽取一个集合。好，咱们都清楚啊，一个集合呢，有五个元素，总共有几个子集？ 哎，应该是二的五次方三十二个子集，对吧？好，怎么假设呢？甲乙抽到的子集分别是 a 和 b， 比如说呢， x 是 两个人取到集合当中相同元素的个数，求 x 的 数学期望。 来，简单的举个例子解释一下这道题的含义。比如说呢，假取到的 a 集合是一二三， 以取到的 b 集合二三四，那么两个集合当中相同的元素二和三，所以 x 等于二两个相同元素，那么这种情况发生的概率是多大呢？ 你看，总共三十二个子集，甲选到这个子集的概率三十二分之一，乙选到这个子集的概率也是三十二分之一，所以呢，对应的概率幺零二四分之一。好了，各位同学，这道题的含义清楚了吗？ ok， 那 么接下来这个数学期望怎么求呢？来，首先呢，用期望的定义， x 的 取值乘上对应的概率再相加，完全可以 作为一道填空压轴题，这个计算量考场上完全可以接受，但毕竟不够简单。接下来呢，我说一下这道题最简单的方法，一个算式就可以搞定 来，就是用四分之一乘五，结果四分之五。哎，是的，这道题就这么简单。 那么接下来呢，我先解释一下这个算是背后的直观理解，再给大家说一下他的严格的数学逻辑，这样能让大家更好的理解这种算法。 ok 啊，那咱们先说直观理解啊，就是所谓相同元素的个数，什么意思呢？其实呢，就是看一下这五个元素有哪些出现在相同元素当中，比如说，一出现在相同元素当中，那么 x 的 取值就会加一， 对不对？好，所以呢，咱们可以不用去考虑 x 可以 等于几，而是考虑每个元素对于 x 的 贡献分别是多大。 比如说呢， e 这个元素，它呢只有两种情况，要么属于 a 和 b 的 交集，要么不属于 a 和 b 的 交集。 如果一属于 a 和 b 的 交集，那么 x 当中会有一，此时一对 x 的 贡献就是一。哎，一在 a 和 b 的 交集当中， x 的 取值就会加一，那么如果一不在的话， x 就 会加零，一对 x 的 贡献等于零，对吗？好，那么这两种情况出现的概率分别多大 啊？为此呢，咱们就得先算一下一出现在某个子集当中的概率。哎，这个事情呢，非常简单，就是三十二个子集，有多少个包含一，多少个不包含一， 肯定是一半一半。为啥呢？因为如果有一个集合不包含一，那你把它添上一， 你看就会得到一个包含一的子奇，对不对？那么这样的两种子奇一定是一一对应的，一个子奇不包含一，添上一，就会变成包含一的集合。 反过来一个子奇包含一，那么去掉一，就会变成不包含一的子奇，所以不包含一，包含一，一对应各占一半， 因此呢，像这种一属于 a 交 b， a 和 b 当中全都有一， a 集合当中有一的概率二分之一， b 集合当中有一的概率也是二分之一，所以概率四分之一，那么一不属于 a 交 b 的 概率一减四分之一，四分之三， 对吧？好，所以这样以来， a 对 于 x 的 贡献， 那就应该是一乘四分之一，加上零乘四分之三，结果四分之一。 然后呢，同样的道理，二三四五，每个元素的地位是一样的，因此每个元素对于 x 的 贡献都是四分之一， 这个元素在两个集合的交集当中，那么 x 就 会加一，不在的话， x 就 会加零，所以每个元素对于 x 的 贡献都是四分之一。那现在五个元素，所以 x 的 期望四分之五是这么来的，理解了吗？ ok， 那 么接下来呢，咱们再说一下这种算法背后严格的数学逻辑。好，这里呢，咱们得用到期望的一个性质， 叫做呢， x 加 y 的 数学期望等于 x 的 期望加上 y 的 期望 x， y 是 两个任意的随机变量和的期望等于期望的和。那么这个性质呢，是可以推广到 n 个随机变量的， 就是 x 一 加 x， 二加到 x n， 这是 n 个随机变量，它们和的期望就等于每个随机变量期望的和。 e x 一 加 e x， 二加到 e x n。 好， 那么接下来呢，使用这条性质，咱们可以针对每个元素分别定义一个随机变量，比如说 x 一， 怎么呢，这么定义 它呢，有两种取值，要么等于一，要么等于零啊，什么时候等于一呢？就是当一这个元素属于 a 交 b 的 时候， x 一 的取值就等于一，那么一如果不属于 a 交 b， x 一 的取值就等于零，能理解吗？ 好，那么这种随机变量呢？在数学上有一个专门的名字叫做试性函数，但这个名字不重要，重要的是为啥要这么定义？ 因为这种定义方式就能体现出刚刚说过的，一对于 x， 它的贡献等于一，一不属于 a 交 b 的 时候，贡献等于零，能理解吗？ 啊，那么这两种情况的概率刚刚全都算过了，上面四分之一，底下四分之三，那咱们就可以把 e x 一 给它求出来了， 四分之一乘一加四分之三乘零，概率乘上去，值再相加，结果就是四分之一，这个期望就是刚刚说过的 e 这个元素对于 x 的 贡献，发现了吗？ 好，然后呢，类似的，咱们再定义另外四个随机变量，比如说 x 二，它的取值呢？也是一或者零啊。当二这个元素属于 a 交 b 的 时候， x 二等于一，二这个元素不属于 a 交 b 的 时候， x 二等于零， 那么类似的， x 二的期望也是四分之一，然后呢，同样的方式去定义 x 三 x 四 x 五，这些我就不写了。 ok， 好， 然后呢，接下来大家会发现啊，就是我们要求的这个随机变量， x 来，它就能表示成 x 一 加 x 二加 x 三加 x 四加 x 五，有这么一个关系，各位同学发现了吗？ ok， 解释一下这个式子是为啥啊？举个例子，比如说呢， x 一 等于一， x 二等于一， x 三等于一， x 四， x 五分别等于零，那么右边一加一加一加零加零，右边正好等于三，对吧？那么左边的 x 等于几呢？ 你看，这三个等于一，就说明 a 交 b 当中得有一二三，后两个等于零，说明 a 交 b 当中没有四和五，所以三个公共元素 x 等于三，左右两边确实相等， 所以大家发现了吧，右边没有一个，一，说明公共元素当中就会多一个元素， x 就 会加一，所以右边有几个一，左边的 x 就 等于几，同时右边有几个一加起来，右边就会等于几， 所以左右两边确实相等问题吧。好，然后呢，用一下刚才的这条性质， 那么 x 的 期望就等于这五个随机变量，各自的期望再相加，每个期望都是四分之一，所以结果四分之一乘五，四分之五。哎，是这么来的。 好了，所以呢，题目讲完了，最后呢，给大家总结一下，就是如果题目让你求数学期望，并且对应的随机变量表示的是个数， 来追求某个东西个数的数学期望，那就可以用刚才的这套方法，你不要去考虑 x 可以 等于几， 而是考虑每个元素对于 x 的 贡献，也就是每个元素在不在最终的 x 当中， 把这个贡献给它算出来，那么所有元素的贡献全都加起来，就是最终的数学期望。好了，各位同学，这道方法学会了吗？ ok， 那 就分享到这里。
576北大数学王鹏老师
09:51查看AI文稿AI文稿期望递推的题型是我们概率题型中最难的一个题型之一啊，他一般是放在我们小题压轴或者大题压轴的位置，那么你用常规方法，你可能算个一二十分钟都算不出来，所以吴老师今天来教你们一种三行秒杀法。 首先我们要把期望啊看作是最有可能的那个次数或者是个数，比如说我头六次南，对吧？每一次投中的概率是二分之一，他们是相互独立的，那么这个符合二项分布，所以我的期望 是不是就六乘以二分之一等于三？那这个三到底代表的是什么意思呢？哦，原来就是我头六次南最有可能投中的次数就是三次， 好吧，所以一定要有这样的一个思想。那么这类问题我们会分为次数问题和个数问题，他们的方法一般是不一样的理解方法， 首先次数问题一定要注意了啊，我们这个期望如果把它设成了一个 e 啊，这个次数如果失败了，要重新开始， 那你重新开始的时候，我的次数会变多还是变少？一定要记住，我的次数是变多了，比如说我前面两次失败了，那我问你，那我的整体次数是会变，后面就会变成二，加上一个一， 因为我前面的两次还是要算在次数里面，好吧，所以他对应的方法就是我们三横秒杀法里面的正推法。 然后个数问题就是跟次数没有关系，比如说取球问题，对吧？我取来取去，取来取去，我要的只是里面的个数，所以我只用记啊，多了我就加，少了我就去减， 什么意思？等一下我们会讲两种题型，好吧，这种题型里面对应的就是我们的反推法， 然后这个期望地推三和秒杀法的本质是什么东西呢？哦，就是利用分类，然后去求我们的加权平均数，因为加权平均数，呃，跟期望是很相似的啊，就他们理解层面上面。 然后今天我们讲的是第一个就是次数问题啊，然后第二个就是我们的个数问题。来，先看一下第一题。 我们先来看一下题型，一就是次数问题，次数问题我更加推荐你们用正推法。什么叫正推法呢？我们先来看一下题，他说甲乙两个人去比赛，然后甲胜的概率每一局都是三分之二，乙胜的概率都是三分之一，他说其中一个人比另外一个人要多赢两局的时候， 比赛才结束。什么意思呢？就是如果是甲乙甲，他能结束吗？他结束不了，甲只比乙多赢了一场，那么如果后面再来一个甲，就是甲要这这种情况下甲要赢三场，他才可能 去赢。好吧，就是这么一个意思啊。然后他让我们去求，哦，到底进行了多少局？看到没有？让你去求期望这里啊，你就把这个期望当做我的 e 呗。那 e 代表的是什么呢？它代表 进行了 e 局才会结束。 一定要记住，这个一局是要从零开始啊，就是我没有比赛开始，就相当于啊，没有一个人比另外一个人多的情况下。 那么这题我怎么去列式子呢？正推正推，从正面去考虑。为什么要从正面考虑呢？因为他有可能第一种情况就是两局就结束了， 对吧？是不是就一个人连赢两局？那么是不是就是三分之二的平方，加上一个三分之一的平方就会等于九分之五，然后第二种情况就是我两局结束不了，对吧？那么两局干嘛呢？两局就只能平局吗？ 所以我们前两局看到没有，就是从正折方向去讨论的时候，他只有这两种情况，那两人平局是不是一减去九分之五等于九分之四？然后我上面说了啊，为什么把它叫做分类呢？你看啊，我现在分好类了，就相当于我可以划一个分布列出来了， 是不是我记这个 e 啊？有两种情况， 对吧？一种情况就是我两局我可以结束，那他对应的概率是不是就是 九分之五？那么你你想啊，我后面还有个东西没有写在这里，那我下面这里进行了多少局呢？哦，我不知道，但是我上面写了一句话，我要从零开始，我要结，我要进行一局才会结束，所以我后面 还要进行一局，看没？就像等我前两局失败了，我又要从头开始，所以我这里的次数是被对应的，是一加二，看到没有？ 一定要重点突出这个二啊，这是我前面浪费的次数，我也要加上去，所以它的概率就是九分之四啊。那你说我的希望等于什么啊？二乘以九分之五，加上一个一加二去乘一个九分之四，然后你再把这个一给解出来呗，应该是 五分之一十八的。哦，也就是说我大概率要进行五分之一十八局，他才会结束，所以这个就是我们的第一种题型次数问题啊，他用的是正推法，然后我们看一下题型二，就是个数问题，个数问题啊，一般用的反推法，也就倒推法，就反着来， 什么意思呢？题目说啊，有两个口袋，一个是假口袋，最开始有一个黑球，然后两个白球，还有一个口袋 是一口袋，是两个黑球，一个白球，然后他说现在从两个口袋从任意取球去交换，重复 n 次操作，然后问你哦，黑球的个数，所以这个就是个数问题啊， 个数问题一般就是跟我的 n 和 n 减一次有关，所以他说白一点就是考的马可夫列。 那怎么去理解呢？我就射啊，你看啊，它帮你已经射好了。 e x n 它代表的是什么？一定要知道，就代表 n 次之后假装黑球的个数。 好吧，那我问你啊， e x n 减一，它代表什么？哦，是不是 n 减一次之后假装黑球的个数， 所以啊，它中间可以进行很多次交换。一直我先写到 n 减一，那 n 减一里面，那你说黑球的个数是多少？ 是不是？呃， e 的 x n 减一个黑球，对吧？那我再问你，以中德黑球的个数呢，总共开始的时候有三个黑球，那这里是不是有三，减去 e 乘以 x n 减一个黑球， 对吧？然后他们再进行下一次操作之后，让你觉得就下一次操作哦，黑球的个数，那么刚刚我写了一句话，我说多了是不是就加少了 就减，你看啊，我怎么用很简单的思路把它做出来啊？那么我下最后那一次啊，那是不是就是等于我上一次 假装的黑球的个数哦，然后减掉我拿出来他的概率呗。那你说，那我现在这个时刻里面啊，我把黑球拿出来的概率是多少？里面是不是总共只有三个球？哦，不就是 三分之一的 x n 减，那拿出来的就是少了呗，少了我就把它减掉呗，对吧？然后，哦，就是一个啊，我只拿一个，所以后面这个一我其实可以省略的啊。 然后是不是我还有可能从 e 里面去拿一个黑球出来，那 e 里面拿黑球的概率不就是 三分之三？去减上一个 e 的 x n 减一，对吧？我就用最简单的方式跟你们讲。所以它不就会变成 e 的 x n 减掉一个二分之三，自己去凑啊，就等于 e 的 x n 减一，然后再去减掉一个二分之三，所以 我的 e 它就是一个等比数列了，就是这一坨它是个等比数列了，所以我只用求出我的 e x e 就 可以了。这个东西很好求，应该就是用 e 减掉一个三分之一，再加上一个三分之二啊，就会等于三分之四， 好吧，所以这一坨东西把它看成一个向量公式给算出来了呗。 自己去算啊，就会等于二分之一乘以三分之一的。所以这类题型他本质还是考的马尔科夫列。只是说我是从倒折去思考的。因为他有可能从正折去思考吗？也有可能你们就自己去思考一下，只是我建议啊， 呃，次数用从正面的方法，然后个数就有从反面的方法，就是从倒折去考虑，所以这个就是我们的 三行秒杀法。是不是很简单？因为你用正常方法，你还要去算概率，还要去算分布列，然后去，呃，用 e 去表示出来很麻烦，所以三行秒杀法，今天我来教给大家，好吧？好了，下个视频我们就讲到这里。
263高中数学吴老师
