解三角形高考真题-2022年全国1卷(高中数学历年高考真题) #三角函数 #高考数学 #高中数学

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发布时间：2026-04-21 07:51
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各位同学大家好，今天我们来讲解二零二二年高考全国一卷的解三角形这道题。 三角形 a、 b、 c 的内角，它的对边分别为 a 边、 b 边和 c 边。现在我们已知一加三一 a 分之口三一 a 等于一加口三二 b 分之三一二 b。 第一问，如果这个角 c 呢，它是等于三分之二拍，他要我们求角 b。 这个题目呢，我们首先从已知条件入手，我们可以观察一下这个已知条件的右边，右边这个分式的分子，他是三二 b， 那么我们可以使用正选的二倍角的公式，把它化成二倍的三 a b 乘以扣三 a b， 然后这个 分母一加 cosine 二 b， 那么我们可以把这个 cosine 二 b 把它化减成 cosine b 的平方，二倍的 cosine b 的平方减一， 这样的话呢，我们把带进去，这样的话呢，我们看到分子一加二倍的扣三 m b 的平方减一，那么一加一一减一就等于零，那么这两个常数呢，就抵消了。 下一步呢，我们可以观察到这个分子的话有 cosine b， 而分母呢是 cosine b 的平方，所以他们就可以约分， 这样的话呢，我们约之后，我们把这个二也约掉，靠三 a b 也约掉，这样的话呢，右边还剩下一个靠三 a b 分之三 a b。 下面我们来去分母，因为这个 b 呢，角 b 是三角形的内角， 既然是内角，那么口三 a b， 它就不可能等于零，这样的话呢，我们下一步就去分母，我们把这个口三 a b 乘到左边去，我们把一加三以 a 乘到右边打 a， 这样的话呢，我们就得到口三 a 乘以口三 a b 等于三 a b 加上三 a a 乘以三 a b， 这个式子我们看就很熟悉了，我们把这个右边的三 a a 乘以三 a b 移到左边的， 这样的话呢，左边就变成了口三 a， 口三 a b 减三 a a 乘以三 a b， 这个明显是这个 两角和的甄选式公式啊，两角和的余选公式，这样的话呢，左边就可以画成 cosine 括号 a 加 b 等于三 a b， 这样的话呢， 我们知道三角形的内角和是等于一百八十度，也就是 a 加 b 加 c 是等于派的，这样的话呢，我们把这个 a 加 b， 把它替换成派减 c， 这样的话呢，左边就画成了括三括号派减 c 等于三一 b， 然后呢，我们使用这个诱导公式，我们把 cosine 括号派减 c， 把它化成负的，口上 a c， 所以这个式子就变成了负的，口上 a c 等于三 a b， 然后在条件里面，他告诉我们这个角 c 呢，是等于三分之二拍，那么我们把三分之二拍带进去， 这样的话呢，三 a b 就等于负的 cosine 三分之二派，那么 cosine 三分之二派，我们把这个三分之二派把它化成派减三分之一派，然后根据右的公式，它是等于负的， cosine 三 分之派外面还有负号，负负得正，所以最后呢，三 a b 就等于 cosine 三分之派， cosine 三分之派是等于二分之一，所以我们就求得三 a b 的值呢，是等于二分之一的， 然后这个条件里面这个第一位的条条件，这个角 c 呢，它是等于三分之二派，那么另外两个角 a 角和 b 角，他们的和都只有三分之一派，所以我们就得到这个角 b 的范围呢，是在零到三分之一派之间，这样的话呢，我们知道这个 side 六分之拍，也就是 side 三十度是等于二分之一的，所以我们最后确定这个角 b 的值是等于六分之一拍。 下面我们看到第二问，求 c 方分之 a 方加 b 方的最小值，这个第二问呢，我们考 考虑使用甄选定理来求解。那么我们首先呢，根据这个在第一问当中，我们根据这个已知条件，一加三 a 分之口三 a 等于一加口三二 b 分之三二 b。 我们曾经求出了这个三 a b 和这个口三 a c 之间的关系， 它是负的口三 a c 等于三 a b， 那么我们知道这个角 b 呢，它是一个三角形的内角，那么内角的话呢，它肯定要大于零度啊，小于一百八十度， 所以在这个范围之内，三 a b 呢，一定是大于零的。既然三 a b 大于零，那么负的 cosine c 也要大于零，那么 cosine c 呢，就要小于零，也就意味着这个角 c 呢，它是第二线线角，也就是一个钝角。然 然后下一步呢，我们根据负的口三 a c 等于三 a b， 我们把这个口三 a c 呢，把它化成三音括号二分之派减 c。 然后下一步呢，我们把这个符号拿进去，那么就把左边画成了三括号 c 减二分之派等于三 b， 这样的话呢，我们就得到了角 b 和角 c 之间的关系，角 b 呢，是等于角 c 减去二分之派， 这样的话呢，我们就可以把等一下把这个三引 b 替换成三引 c 减二分之派，然后等一下替换之后还有一个三引 a， 我们知道三角形的内角和是等于一百八十度 a 加 b 加 c 是等于 pi 的，所以这个杀引 a 呢，我们可以把它换成杀引括号派 减括号 b 加 c， 然后这个沙音派减括号 b 加 c， 根据诱导公式，我们把它画成沙音括号 b 加 c， 然后呢，我们在上面已经求得角 b 呢，是等于角 c 减二分之一派，所以我们把这个角 b 替换成 c 减二分之一派， 这样的话呢，它和后面这个 c 一加，那么就是二 c 减二分之一派，然后我们提一个负二出来，那么就是负的杀一括号二分之派减二倍的 c， 这样的话呢，我们根据右脑公式，它就等于负的 cosine 二 c， 这样的话呢，我们就把这个 saint a 也替换成这个 c 角了。最后一步，我们做这个正确代换， c 方分之 a 方加 b 方，那么我们全部把 把它带换成他所对的正选的角，那么 a 方就带换成三 a 的平方， b 方就带换成三 a b 的平方， c 方呢，我们就带换成三 a c 的平方，然后现在这个分母保持不变，我们来变换分子， 因为我们在前面三一 a 呢，我们已经知道它是等于负的 cosine 二 c， 所以我们带进来负一的平方就变成一，所以第一项呢，就变成了 cosine 二 c 的平方，第二项 sine b 的平方，那么 b 呢，我们把它代换成 c 减二分之派， 所以第二项就变成了杀一括号 c 减二分之派的平方，那么这个杀一 c 减二分之派，根据这个诱导公式，我们提个负号出来，就变成负的杀一二分之派减 c， 负一的平方就变正，然后这个三一二分之派减 c 就变成 cosine c， 所以这个第二项呢，就变成了 cosine c 的平方，然后第一项呢，我们使用这个 二倍角的余选，那么我们就把它化成 cosine 二 c， 把它化成一减二倍 cic 的平方。 然后下一步呢，我们把这个前面这个一减二倍三 a c 平方括号的平方使用完全平方公司把它展开，展开之后就变成了一减四倍三 a c 的平方，加上四倍三 a c 的四次方， 后面这个一减三 a c 的平方不变。最后一步呢，我们把它合并图对象，一加一就等于二负四倍三 c 的平方减三一四的平方就变成负五倍三一四的平方，最后加上一个四倍三一 c 的四方。最后一步，我们把分子的三项全部除以三一 c 的平方，一除的话呢，就变成了三一 c 的平方分之二 加上四倍，上一次平方减五，那么我们看到前面两项他是互为倒数的，那么这个明显就是一个可以使用基本不等式的一个特征， 所以我们使用基本功能四，他就应该大于等于二倍的根号下三 a c 的平方分之二乘以四倍三 a c 的平方，那么三 a c 的平方就约掉了，那么还剩两个长数，二乘以四四开方数呢就是二，所以最后的结果就是大于等于四 四倍根号二减五。那么也就意味着当前仅当三 a c 的平方分之二等于四倍三 a c 的平方的时候，那么这个分式呢，就要取得最小值，这个最小值呢？它就是四倍，根号二减五。

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