高考数学试卷题型构成
这个试卷的前七个单选择题，说实话，我不费吹灰之力就搞定了啊，我自己拿到试卷，快速的砍瓜切菜，把它搞定了。第八题是真难，我如果在高考当中，我也不定，我也不确定我能不能把第八题给做出来啊。 这个试卷每年都比较火啊，为什么武汉的试卷这么火呀？难度和质量确实还可以啊，难度比较高。 ok， 好， 我们来看一下，好吧，来，首先呢，这个 我们先把 b 给解出来啊， x 减三是不是相乘，再乘以 x 加一是不是要小零小取中间，那是不是在负一到三之间？然后呢，一个是负二到二，一个是负一到三，好，负二 到二之间，然后呢，这是负一到三之间，他们并在一块，那是不是就是二到三选 a 啊？顺分题直接过，好吧，继续看第二题， ok， 第二题呢，他说平面向量 ab 的 夹角是六十度， a 的 模等于二， b 的 模等于一。让你求这么多啊。 然后我们是不是直接把这个括号打开，是不是 a 乘以 b 减去 b 的 平方， a 乘以 b 的 什么东西呢？是不是等于 a 的 模，再乘以 b 的 模，再乘以扩散 c 塔减去 b 的 平方，是不是一 好？ a 的 模等于二， b 的 模等于一，扩散六十度等于二分之一，所以就是一减一，一减一等于几啊？一减一等于零咯，对吧？选 b 送分题，直接过吧。来所有直播间的朋友们，听懂六六六，没听懂三三， 有没有问题？感谢各位的关注啊，来来来，能不能听懂听懂六六六，没听懂三三。 好，我们继续啊，继续这个题啊，这个题考了什么东西呢啊，非常经典的片段和这个高考也考过很多次啊，高考也考过很多次， 那么呢，我们是不是已知 s 三啊，他说前九个月啊，近九个月的月产量构成的等比数列，对吧？那么呢， s 三等于五十， 还有我们把题目翻译成数学语言，是不是一百一要求的是 s 九等于多少？那么呢，片段和啊，一个竖列是等比，竖列的话啊，那么呢， s 三 等于五十，还有 s 六减去 s 三，只要公比不是负一的啊，他都构成等比数列六十，那么 s 九减去 s 六，我们令他等于 x， 那 么这三项就会构成什么？这三项能不能构成等比数列？各位 可以吗？五十六十 x 肯定可以构成等比数列，所以就有五十 x 就 等于六十的平方，那么 x 就 等于 三六零零，再去除以五十三六零零除以五十，把零一约掉三百六十除以五等于七十二，所以这个地方就等于七十二，那么 s 九 就等于一百一，加上七十二就等于一百八十二。选什么呢？选 c 结束好，没啥问题吧， 我们继续了。好吧，重分题啊，前面七道题基本上都是重分题。我觉得这道题嘛， 其实我当时发了一个视频，很多人还不理解，奇函数要关于圆点对称， x 不 等于负 a， x 不等于二分之一，这两个呢，一定是关于原点对称的，水相加就等于 a 就 直接等于二分之一啊。手拿把掐，搞定，结束好了，继续啊这道题。 哎，我觉得这道题对很多基础中档的选来算是有点不友好啊，如果你技术不是很好，做这个题就不是就不好说了啊，我们先把题目抄过来好不好？必备的 碳，你的 a 加上碳，你的 b， b 被碳，你加碳 b， 然后再加上二 c 倍的碳，你的 b 等于零。要你求角 a 的 大小。好了，各位 拿到题目就是，有的时候我一直有个观点是吧，就是百分之六十到七十的题都是很呆板的， 就你做题做多了，一下就能感觉出来了。你们这题有个小 b， 有 个小 c， 应该怎么做？怎么样？他们打在评论区啊，每一项都有小 b 小 c， 可以 说你不用再思考了，一定是把它换成编号角，一定是把它换成编号角， 这个地方两倍的扇 c， 再乘以探你的 b。 好， 这个探你 b 呢？我们先啊，缓一缓啊，接着呢，各位，接着是不是全部是探你的，探你的。这有什么公式？没有什么公式。那怎么办呢？探你除了什么？除了一个挣钱和冷事没办法搞。那怎么办呢？ 叫切划弦，我们把它写成散 a， 除以一个扩散 a， 这个呢？ 散 b， 再除以一个扩散 b， 后面这个呢，就是散 b， 再除以一个扩散 b， 就 等于零。好，做到这一步了，以后我们应该怎么样处理啊？各位， 去分母呀，两边同时乘以扩散扩散 b， 是 不是那么这个式子就等于散 b 啊？这里面就是散 a， 扩散 b 加上散 b， 乘以扩散 a， 再加上两倍的散 c， 再乘以散 b 再乘以扩散 a， 就 等于什么呢？就等于 好，这个搞定了以后，你们观察一下，扇 b 跟扇 b 可以， 可以直接约掉吗？各位，可不可以直接消掉？你们觉得可不可以扇在三角形里面，它不可能等于零， 所以呢，可以两边同除以三 b， 没有任何问题啊。好，这个呢，等于啥？三 a 扩大 m 加上扩大三 b， 是 不是根据两角和与差，它就等于三 a 加 b， 三 a 加 b， 后面呢，就是两倍的 三 c， 再乘以括号 a 就 等于零。三加 b 是 不是就等于三 c， 所以 就是三 c 加上两倍的三 c， 乘以括号 a 等于零，两边同时除以一个三 c， 于是就等于一，加上二倍的扩散等于零，所以我们算出来，扩散就等于负的二分之一，所以角 a 就 等于一百二十度三分之二。派，继续啊，第五题搞定了，好吧， so easy， 第六题我们来看一下啊，某单位有五名员工，小长假三天安排人员值班，每天一个人，不能同一人连续两天值班，所有安排情况，这就我刚刚是讲的对吧？ 讲，刚刚是讲的有一点点的复杂了，跟他说个最简单的方法，第一天， 第二天，第三天，先安排第一天的有多少种方法？先安排第一天的是不是有五种？五个员工随便挑一个放到里面呢，对不对？那么第二天的又有多少种？第二天是不是只要跟第一天不相同就可以了？ 是不是四种？那么第三天有多少种呢？第三天是不是只要跟第二天不一样就行了？又有四种，所以五乘以四乘以四，答案就等于八十。第六题非常轻松，直接干掉。大家说为什么要乘以四而不是乘以三？ 我想问一下大家个问题啊，就是第三天 他的要求是什么？他是不是不能同一人连续两天值班？ 他是不是这个要求我不能同一个连续两天值班，所以我的第三个人要求就是跟第二个不同就可以了，没有别的要求。 所以你是什么，我就只要跟你不同就行了。总有五个人跟他不同的，都有四种情况，能不能理解，各位有没有问题 好了。对呀，第一天人还给上啊。第一天人没，第一天上了，第二天没上，第三天还给上啊，对不对？第一天这个人第三天还给上啊，牛马牛马，不容易啊。哈哈， 感觉这些讲的有点欺负人。是吧，那第一天我还要上班，我都上过天了。对，还可以上，只要不是连续两天上就行啊。可以上啊，好，还不理解，不理解哪个哪个地方不理解？这这个题目还不理解同学是有问题的啊，兄弟们。 好，我们继续啊，继续。第七题，我讲一讲啊， ab 为两个相互独立的随机事件啊，两个相互独立的随机事件，那么 如果两个事件是相互独立的，就是 p a 与 p b 是 独立的，那么呢？ p a 的 对立事件与 p b 也是独立的，就是我想跟他去说的。什么意思呢？ 如果两个事件独立的话，那么这些事件啊， pa 的 对立事件与 pb 之间也是独立的。还有 pa 的 对立事件与 pb 的 对立事件也独立。这四个都是独立的，大家能不能理解？ 能不能理解？各位， ok， 那 么独立事件这个独立事件什么时候学的？你们独立事件如果是人教版，应该在高一的下学期学的。独立事件有个公式，独立事件公式什么？各位， p a b 是 独立的，那么就有 p a b 就 等于 p a 乘以 p b， 各位有没有问题？没毛病吧？好，我们现在换一个颜色去讲一下这道题啊，那么根据我们的题目里面，题目说的是 p a b 的 对立事件等于九分之一，所以呢，我们就可以得到 p a 乘以 p b 的 对立事件就等于九分之一。这是第一个是怎么翻译过来的啊？为什么都独立？ 呃，我投球投中的概率，呃，我投球啊，我投篮中不中，跟这个 logo 是 同学，投篮中不中是独立的啊，你不影响我，也不影响你， 所以我中了，你中了，我们两个没有关系。我中了，你没中，我们两个也没关系啊，都是独立的，我没中，你中了，我们也没有关系啊，是吧？我没中，你没中也没关系，彼此之间是没有关系的，对吧？你举个例子嘛，既然这两个是独立的， 这都是对立，因为他们都没关系， a 跟 b 没有关系。大家这个东西要做个常识，要去理解啊，就是 a 跟 b 独立啊， a 的 对立， b 的 对立， a 与 b 的 对立， b 的 对立与 a 呀，怎么都是独立的？ ok， 都独立的。所以呢，我们把这句话呢，就给翻译成这个样子啊，好，那么这句话什么怎么翻译呢？ p a 的 对立事件 b， 那 就是它们两个相乘，那么这边也就是 p a 乘以 p b 的 对立事件。莫言，哎，看到了啊，那么各位， 这个地方 p b 等于什么？我们上面都是对立事件， p b 是 不是等于 e 减去 p b 的 对立事件， 对不对？同样这个 p a 点什么呢？ p a 是 一减去 p a 的 对立事件，再乘以 p b 的 对立事件。把括号一打开啊，括号打开就可以得到啊， p a 的 对立事件啊， a 的 对立事件，概率再减去 p a， p b 就 等于 p b 的 对应事件，再减去 p a 的 对应，还有 p b 的 对应，然后把这个这个一消掉，我们就能得到。 所以 p a 的 对应事件是等于 p b 的 对应事件的。 这两个键相等，而且它们相乘还等于九分之一，所以各自都等于几啊？各自都等于三分之一，所以我们的 p a 就 等于三分之二。搞定结束我们继续讲 这个试卷呢，这单前七个单选择题，说实话我不费吹灰之力就搞定了啊，我自己拿到试卷快速的砍瓜切菜把它搞定了。第八题是真难， 我如果在高考考中，我也不一定，我也不确定我能不能把第八题给做出来啊。这个第八题难度真的大，难度真的大。 贝耶斯公司高考考过吗？呃，全概率考过。贝耶斯好像好像考过一次。 好所有同学，这个题啊，你们看到很多老师讲了，但是他们讲的都不够严谨啊，在高考考场，在考上怎么把它先做出来，然后再怎么严谨的证明是两个步骤。我觉得啊 问，姐退出红梦了，你看了吗？看了啊，等我买呢，我一买他俩就退出是不是？哎，我无所谓啊，反正买都买了。这个我觉得开刀比较好就行了啊，我不在乎这个啊。 ok， 我 们继续啊。 这个题首先拿了，我们觉得我们先把这个去求下最大值求一下啊，其实这题不求也行，好像啊， e 的 x 括号的平方，我们先求导算成最大值啊，上导下不导，减去下导上不导。 ok， 那 么呢，就等于我们把 e 的 x， 哎，我要把它给擦掉，这个啊， e 的 x 消掉一个，上面就是 x， 一 再减去 long x。 第八题猜都不好猜。这这第八题是真难啊，有多难呢？我自己参加了四年的高考，没见过哪一年的单选压轴有这么难的啊，没见过这么难的啊，单选压轴 x 图像这么画对吧？ launch 图像呢？这么画对不对？所以呢，它们一定是有一个焦点的， 这个焦点就是 x 零，这是一 x 比一大啊，所以呢，你们看一下啊，当这个 x 小 于 x 零大于零的时候，各位这个时候好，然后呢，这个时候导航是怎么样？ 导函数肯定大于零，那么呢， f x 单调递增，然后呢？当 x 大 于 x 零的时候，你们看一下，这个反比的函数在 log x 的 下方，所以两个相减呢，我们的导函数就 小于零，那么 f x 单调递减，对吧？好， 写成这样子的以后呢，我们就能够判断出来 f x 的 最大值在什么地方取得呢？就在这个 x 零处取得，对吧。 但其实这些东西没有，有点无用功啊，有点引零点啊，有点就是引零点啊，有点无用功的感觉啊。 log x 零 比上 e 的 x 零， x 满足什么条件呢？这个 x 零是满足 x 零分之一等于 long x 零的，就是这个分子零点嘛。所以这个东西再往下化解一步的话，我们可以得到什么东西呢？可得到 x 零， e 的 x 零， ok， 这就是 f x 的 最大求不了了啊，算不出来了啊。好， 我第一次拿这个题，我也觉得很很复杂啊，我想到求导计算就就就废了，说，思路很重要啊，思路很重要， 我们看一下啊，这个地方是不是有个对数？除一个指数，这方是不是也是个对数，对吧？这是个对数，这是不是也是个指数？我看能不能把它们化成同样的形式啊？那么呢，我们看一下啊，这个 g x， 看能不能化解同样类型这个题目。这个化解的过程啊，非常的复杂，如果你对对数的公式不够熟练的话，或者做题做的少，你没有耐心往下写，就不好做。 第一步啊，第一步，我们把什么东西呢？我们把这个 e 呀，变成以 a 为底， a 的 对数，以 a 为底， a 的 对数啊， 好，接着我们就可以写成了，这个地方 a 的 x 方不变，上面呢，同底数相减，底数不变，增数相除。现在 怎么样把这个东西变成 long 的 形式呢？用什么公式？各位，用什么公式去处理？大家说一下啊，用什么公式去处理？ 这个时候我们可以换底公式啊，换底公式 全部换成以 e 为底， long a 分 之 x 减一，再除一个 long a 啊，这个呢， a 的 x 不 变。换底公式啊，换底了以后呢，我们把这个 long a 给它沉下来，就变成了，上面就是 long 了，上面就是 long， a 分 之 x 减一，下面呢就是 long a 再乘以 a 的 x 方。好。写到这了以后，我要把它变成这样，同样的形式的话，我看能不能换圆啊？换圆怎么换圆呢？ 令这个 a 分 之 x 减一啊，等于个 t， 那 么呢，这个 x 是大于一的，这是个正数，正数出个大一的数肯定是大于零的啊，那么此时呢，我们的 x 就 可以变成 a b t 再加一 a b t 的 ok， 所以呢，这个数就变成什么东西呢？我们在这个地方进行计算啊，继续 继续，上面就变成了 long t， 变 long t， 下面就变成了 long a， 再乘以 a 的 a t 加一。好，这个地方我把它横线画长一点点， ok， 接着再怎么处理呢？我们把这个 a 的 a t 加一，我们把它写成 a 的 一次方，再乘以 a 的 a t 次方 a 的 一次方。好了，同学们，我要搞一个 e 的 几次方出来，再怎么处理 这个题真的有难度啊，真的有难度，我觉得你写到这里敢不敢往下写我都不好说啊，这简简直钻到一个一个胡同里面，你敢不敢往下走？ 那么 a 倍的浪 a 接着什么公式呢？各位，有个恒等式跟大家分享一下。有个什么叫恒等式呢？就是 x 是 等于 e 的 浪 x， 这个恒等式大家一定要清楚。 所以呢，我们就可以把这个 a long 这个式子啊，把它当做一个 x， 把它 x， 于是呢，这个式子就变成 e 的 long a 的 a t， 这个能不能看懂，能不能看懂？继续，于是呢就变成 long t， 下面呢就是 a 倍的 long a， 然后这个 a t 呢，可以做一个 系数提出来 long a。 好 了，写到这了，这步以后呢，我们再进行一个变形，同学们，上面是 long t， 下面是 a 倍的 long a， 再乘以 e 的 a 倍的 long a， 再乘 t。 写到这步这步以后，你观察一下这个跟这个啊， 要想有相同的最大值，我只需要怎么样就可以了。同学们，回答一下，你看 long s 除以 e 的 long e 的 a 倍 long a t， 我 只需要怎么样就可以了。回答一下，各位 好，我重新复制一下啊， 粘贴一下页面啊，我把这个其他的擦掉啊， 这个 我只需要留下这个就行。 那 仔细观察一下， f x 是 等于 long x， 所以 e 的 x 的 g x 啊，它这个形式最后就变成关于一个 t 的 啊，关于一个 t 的， 于是呢，就是浪 t a 浪 a e 的 a 浪 t 这个题真的有难度，不好想就真不好想，所以呢，我们就可以， 是不是当 a 背着浪 a 等于 e 的 时候， 那么右边这个函数是不是也就变成了一个 long t 除以一个 e 的 t 次方，而这边的是 long 除以 x 方，他们肯定有相同的最大值，是不是就满足题了？各位能不能听懂？是不是有相同的最大值了？ 但是这样讲呢，哎，最好最好。这个地方啊，写的严格点，你不要写 g x， 写成 g x， 我 们就转化成了一个 h t。 关于一个 t 的 函数，你也不要写 g gt， 写 gt 也不太对，这样才是真正的正确的一个啊，一个板数啊。好，各位， a 零 a 等于一定满足题，如果做选择题，你这样做就 ok 了，但是大题你还要， 如果是大写，你能不能说直接他等于一，那还没有别的值呢，你是不是还要再进行一个验证？各位能不能理解我说的意思，好， a b 浪等于呢，我们就试一下啊，这个函数呢， 要判断在 a 在 哪个区间，我觉得都不用看它们单调性了啊。你看， a 等于一的时候， a 倍的浪 a 就 等于零。是小一的 a 呢，等于二分之三的时候， a 倍的浪 a 就 等于二分之三，浪二分之三， 于是呢，就等于什么东西呢？就等于二分之三的 long 三减去 long 二，那么就等于二分之三乘以 long 三呢，是幺幺零 啊，浪二呢是零点六九啊，他们一计算又是小于一的，对不对？又是小于一的，来，我们继续啊。 a 等于二的时候，那么 a 倍的浪 a 就 等于二倍的浪二， 那二呢？是等于零点六九。零点六九乘以二肯定是大于一的，所以 a 的 取值范围一定是在这个二分之三到二之间。选什么呢？选 b 结束。
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08:14查看AI文稿AI文稿hello， 各位同学，大家好，今天我们来进行高考数学集合这个板块的真题梳理，还有题型分类。首先我们会对整个高考板块集合真题的分值分布做一个梳理，然后通过真题的梳理得出他的考常考的题型，然后会对未来的集合的高考题型做一个预判， 同时我们还会梳理出现在目前新高考还没有考过的题型，争取通过这些梳理，能帮同学们顺利拿下高考集合的五分。 好话不多说，那咱们就开始今天的主题。首先我们呢先看一下整个高考集合板块真题集合呢，在整个高考的板块当中，分值一直是比较稳定的，我们可以看一下，从二零二一年到整个二零二六年，在一卷当中，他每年都有道题，同时在二零二一年到二零二六年当中，除了二零二四年， 二零二四年是考了一个重要条件的题，除此之外他每一年都有，所以我们可以看到，从二零二一年到二零二五年，每年到单选分值是五分。全国二卷也是一样的，每年到单选分值五分。 从容易程度来说，整个集合他一直是排在第一的，所以长期霸占了选择题第一的位置。但是有一个情况各位同学要注意啊，就在二零二五年和二零二六年这两年，选择题都有后移的趋势，所以也不排除后期集合难度提升的可能性。 好，所以我们预估未来百分之九十的可能性，他还是在单选前三位置，还是处一个送分题的位置，分值的话应该也是五分左右。 好，紧接着我们来看一下高考题型的统计，目前我们整个从二零二一年到二零二六年的高考，除开二零二四年的二卷，总共考了十一道几何题，我们把它分为几种类型。第一种类型就题型一， 他给定了两个集合，一个集合是关于 x 的 不等式，另外一个是个确定性的集合，然后求二者的交集。目前来说这种数量是最多的，他整个题型的数量大概有六道左右，占据了百分之六十五的比例，处于整个新高考当中绝对主力题型。下面我们来看一下他都出了哪些题。 像这道题，二零二六年的那个二卷的题，他先是给那个确定性的集合 a， 然后给出了一个 b 的 不等式，然后让我们求 a 交 b 的 交集， 然后二零二五年里面有一道也是一样的，可以减哪一个集合 a 和一个集合 b， 然后求集合 b 的 不等式，然后与 a 之间的做一个交集， 然后同样的二零二四年也是一样的，这个边是不等式，这边是确定性的集合，二零二三年也是一样的，这边是不等式，这边是确定性的集合，然后二零二二年也一样， b 是 不等式，然后 a 的 话是一个确定性的集合，求他们的交集， 二零二一年也是一样的。所以我们可以看到这种题型目前在整个新高考当中，是卷针对绝对主力的题型，它总共在新高考中出现了六道，占据了绝对的比例，超过了百分之六十。 好，接下来我们来看一下题型二，题型二呢，它相当于题型一的变形，它给定了两个集合，然后这两个集合都是关于 x 不 等式，其实就相当于原来求一个不等式，现在要求你求两个不等式，然后求完之后二者再求个交集。我们来看一下二零二年全国一卷 m， 它给定了一个集合，是一个 x 的 不等式， n 也给定了一个集合，然后是它的不等式，然二者之间求一个交集， 紧接着是题型三，题型三其实也相当于题型一的变形，但是它做了一个处理，就是在这个地方，它一个是关于 x 的 不等式，另外一个确定性集合，但是它要求我们求元素的个数，就是原来你求是集合，下面变成了个数，这当中是有一个弯要转的，所以这边还是比较考虑同学这个细心的， 在平在平常肯定是没有问题的，就怕在高考这种高端的压力下垫下，然后各位同学没有注意看，他要求的是求悬殊的个数。 好，紧接着的话是题型四，也是今年刚出来的一个题型，他给了两个确定性的集合，其中一个需要翻译成为具体的数值，然后最后两个数值求集合 a。 三角函数翻译成具体的数值，然后集合 b， 为确定性集合，然后求二者之间的一个交集， 紧接着是集合五，集合五呢，他给出了两个含差的集合，然后再给出两个集合之间的关系，然后利用集合互易的性质解参数。 目前来说只有二零二三年的二角的这道题，看一下集合 a 它是零和负 a 集合 b 它是一 a 减二和二 a 减二，那么 a 属于 b， a 属于 b 的 话，就相当于 a 中的元素都要在 b 中去出现，且是互易的，然后利用这两个性质把 a 解出来，这就是二零二三年的这道题。 好，紧接着我们来看到是题型六，题型六的话，他相当于给他一个集合 u， 然后给他一个集合 a， 给他一个集合 b， 然后在 a u、 b 之间做一个那个集合的预算，主要还是考察哪一个集合各个板块之间的预算法则 好。紧接着我们来看集合这个板块的题型预判。我们先通过两道题来进行一个预判，我们来看一下二零二六年全国二卷的这道题和二零二五年全国二卷这道题。 这道题 a 集合是零一三六九， b 集合是根号 x 等于 x， 那 我们把这个集合解一下，就是相当于 x 等于 x 的 平方，那么把它以下，最后就变成 x 乘以 x 减一等于零，那么它是 x 等于零和 x 等于一，最后的集合的话就是 a。 答案， 零一。同样的，二零二五年的全国二卷这道题，我们来看一下，它已知一个集合 a 复式零一二八，然后集合 x 的 三次方等于 x， 那 么集合就等于 x 移向过来，那就是 x 的 平方减去一等于零，那么最后结果就是 x 等于零， 或者 x 等于正负一零四这个地方减，然后正负一相当于 x 平方减一的减，然后同这里面 a 取一个交集，负四不在零在，一在负，二不在八不在，那么相当于它最后结果就是 d。 答案，零和一。 好，各位同学，现在我们把二零二六年这道题和二零二五年这道题做一个对比，见证奇迹的时候，大家就能看到了， 第一个二零二六年的答案是零和一，看一下二零二五年，答案也是零和一，答案是一模一样的。 然后 a 集合也是非常类似的，就零一三六九负四，零一二八。然后 b 集合也是非常类似的，就是相当于给了个 x 等式，一个是根号 x 等于 x， 一个是 x 三次方等于 x， 这种情况我都怀疑大概率这两个命题老师是一个是两道题，是一个老师命题的， 然后参照了二零二五年的题，然后改了一下这个等式，改了一下 b 集合等式，然后就把它当成了二零二六年的集合题的命题了。 好，通过这个分析，我们能得出一个结论，就是集合，因为它是属于一个简单的送分题，它大概率还是改变往年的高考题，结合简单的不等式，依旧是它最有可能的形式。第二块位置 就是他在二零二五年和二零二六年位置都移动到了第三位，尤其在一卷中啊，所以他在二零二六年有可能还会出现新的形式，或者说之前在二零二一年和二零二六年没有出现过新题型，但是整体的难度呢，不应该会提高太多。 好，接下来我们来看一下哪些是新高考还没有考过题型。一个是子集的个数，就一个集合有 n 个元素，问他子集的个数，非空子集的个数，这个在课本里面都有提到过。 第二块就是问典集，就比如说像二零二八年二卷的理科题，他给了一个 a， 他 是个典集， x 平方加 y 的 平方小于等于三，相当于圆形的集合， x 属于 z， y 属于 z， 然后问了下 a 中的元素大概是有几个， 然后第三块就是一个含参的集合，比如他给了一个 a 是 做一个含参的， b 做一个含参的，然后再给出了一个需要我们求的式子，把这个式子给求出来。像这道题的话，很显然他是把这个集合分成了三 k， 三 k 加一和三 k 加二， 那么 x 就 三 k 加一和三 k 加二是并级 a 并 b， 去除掉三 k 加一和三 k 加二后，他肯定就是等于个三 k， 所以 这个题答案是选 a。 好。 二零二一年的理科这道题你们可以看一下，也是一样的，给了两个几何都是含参数的，然后最后这两个几何之间求一个交集。 除此之外，还有第四种题，就是不等式求交集的，你看一下集合 a， 他 给出来个集合 a 的 一个表达式，和以前的等式相区别啊，他是不等式， 然后给出了个 a 交 b 的 一个集合，然后让我们把 a 给求出来。本质上它还是利用了集合的一些性质，比如类似于呼吸性，然后集合相等的一些性质，然后求出对应的参数。好，以上就是整个集合板块的分析。
2陈皮糖
11:16查看AI文稿AI文稿大家好，二零二六年的高考数学，谈一谈我对这份试卷的整体感知，用十二个字来总结，这份试卷叫结构稳、算量小思维懂、反套路。 那么这份试卷沿用的我们以往的高考试题，就十九道题，保持了这个试卷的结构的稳定以及难易程度，相对于二零二五年来说稍微有一点提升，但是没有很大的增加。我们看基础题很固定，第一道题到第四题， 基础题送分的第九题，第十二题，都是我们说的一眼原题型送分题会的就秒他，只是防你粗心。比如第三题，你不要算错三角函数值，比如第十二题，你不要说忘了把系数先换一，这些简单的问题处理了，就属于送分题。 那么这样一份试卷，它的拉分点是高度集中的，就是我们说区分度大的题，很明显真正的分出高下的是四到亚洲级的题。 第一个是第十四题，也就是我们填空题的亚洲题，考察的数列分块的欠等比问题，这道题的难度相当大。第二个是我们的单选择题的第八题，考察的空间点及求期望的问题， 这个题难度也不小。第三是我们多选择题的第十一题，考察的是三个圆结旋的多选问题， 以及我们最后一道亚洲题，考察的是新定义的抽象函数亚洲题。这四道题的区分度应该说非常大，很多同学在这个题目上是拿不到分的，再加上我们说到手第二题，也就是第十八题的第二问，那么这几道题 决定了你是上一百三还是一百四十五，这个区分度会比较大。整套试卷看下来，它的运算量不是特别大，这也是符合我们官方之前发布的这个机准。重思维，轻计算，但是思维的台阶其实很堵的， 延续了无偏题，无怪题、重思维，反刷题的套路。很多题目如果你去硬算的话，那么你需要花很多时间，但是如果你看穿了题目的结构，就可以一步到位。你比如我们第八题，如果你明白，是考察的对称性问题，第十四题考察的是最小的约束单元问题， 第十八题当中的隐藏的比例问题，这些就是我们一再强调的拆题，而不是刷题，一定要读懂命题人在这个题目当中引含的结构，也就是我们说的题眼。第四个是数学文化进正题了。第七题，把宁夏的一百零八塔，它实景包装成数列的一个分组问题， 这是一个文化情境加反套路的常态化的信号，考察我们的数学文化，但是又是反套路的，以往的这类题目，其实情境就是一个马甲，和那个题目没有关系，但是这道题的情境嵌入到题目的解题当中，这是一大特点， 这是这试卷的十二字的总的评价。那么接下来给大家逐题的分析一下每道题到底考的什么。我们首先看第一题，他考察的是样本数据的中位数，这个题非常简单，送分。 第二道题考察的是平面向量的基本定律，它的命题点是向量肌底的唯一表示问题，也是送分。第三道题考察的是特殊三角函数值和集合的综合问题，考察的就是诱导公式，求特殊函数值以及集合的运算送分题。第四道题考察的是曲线在某一点处的切线方程， 这是常见考察，也是送分题。第五道题考察的是抛物线方程与焦点的两点距离问题，就是两种开口的抛物线的标准方程与它的焦点坐标，这个题难易程度是适中的。第六道题考察的是含餐的分式函数求最值定参数的问题， 那么这样一道题难易程度中等，就是导数求最值，由最值来反求参数，也是一个非常常见的考察。第七题就是我们说的这个数学文化考的一百零八塔，那么这道题的命题点相对比较新颖的是等差数列，分组配对以及组合构成的新等差数列。这个题考察的其实很新颖的。 第七题，那么第八题是我们的古典概型求期望，空间点集其实相当于是一个新定义性的问题。这道题是有难度的，他考察的是古典概型，那么离散型随机变量的期望以及对称性的思想，把对称思想放到这里来了。 那么我们看多选题的第一题，考察的是共二负数的问题，模的问题以及负数的商的问题，也就是负数的四则混合运算送分题。那么第十题考察的是空间动点的距离加二面角的问题， 那么这道题是有难度的，按我们解题王的命题点来拆解点到直线的距离问题，二面角的问题，线线线面垂直的问题。空间向量考察了五个命题点， 那么第十一题，也就是我们多选择题的最后一题，难度比较大，考察的是三圆与直线的截旋综合问题，那考察的具体的命题点，直线与圆的弦长问题，点到直线的距离以及求最值导数当中换圆的问题，对很多同学来说是有难度的。那么再看填空题的第一题，也就是我们的第十二题， 考察的是双曲线的离心力，命题点就双曲线的标准方程以及离心力，这是送分题。第十三题考察的是正弦函数的偶函数加单调递增问题，拆到命题点就是三角函数的奇偶性单调区间，以及考察的整体带换的思想，三个命题点难易程度居中。第十四题填空题的压轴题 非常难，考察的是竖列的分块加上欠入九项等比问题，它的命题点拆解出来就是竖列的分块求和等比、竖列约束结构分析以及最值问题，四个命题点 难度很大。那么再看接下来的我们解答题的五道题，第一道题考察的其实就是立体几何问题，考察的是值三棱柱线面平行加线面角加距离问题， 这道题十三分命题点就是三个线面平行的判定线面角点到面的距离，这个在我们解题王的命题点当中给梳理的清清楚楚。那么第十六题考察的是解三角形加平面几何的问题，这道题的难度与中等难度。十五分的题目， 考察的命题点是常见的余弦定力，正弦定力，平行与垂直的几何关系问题。那么第十七题这道题考察的是一个概率问题，就是截断几何分布与无记异性难易程度。其实中等命题点是有这么四个点，第一个是离散型的分布列， 第二个是截断几何分布，第三是条件概率，第四是无记忆性证明问题，这个难易程度也是中等。那我们再看第十八题，是一个圆锥曲线的综合问题，那么具体的考察的有焦点弦面积比、斜率最值问题， 那么这道题应该说难度是中等偏上。具体的命题点考察的第一个椭圆方程，第二个过焦点的直线与椭圆问题， 它的面积关系中心对称点比较多，综合性比较强。 那么在预算当中要学会优化我们的预算。那么第十九题，也就是整份试卷的压轴题，终于考到了集合的新定义。今天下午在直播的过程中还说到了集合其实也可能出很难的题，果不其然，我们的压轴题考到了集合的新定义性问题。 那么这道题作为压轴考察的命题点，其实是五个命题点，第一个是新定义，第二个抽象函数，第三个是函数的单调性，第四个是基友性，第五个是严密逻辑的证明问题。 这个对很多同学来说是有难度的，读懂题都不容易，你去读懂那些陌生的符号，然后再来做题，读懂题都不容易。那么第三个，今年的试卷其实有四道题非常新颖，那我们具体来看看它吸引到哪里。第一个就是单选择题的第七题，一百零八塔的问题。 那么这道题当中，数学文化它不再是我们说的一个马甲了，不算是外面贴的一层皮，过去的文化情景往往只是一个背景，你去掉这个情景照样做。但这道题不一样， 这道题的这个塔数序列本身其实就是解析对象，你必须要把这个十二行塔数给他补全了，再给他做六组配对，还用上我们所有塔数为基数，组合必须为偶数，这个不写出来的隐含约束，才有可能去锁定我们最后求的这个项数。 他考的不是会不会等差求和，而是能不能从一堆实景数字当中识别出考察的结构，又是考察结构化思维问题， 那么可以遇见以后这样的题会越来越多。第二个我们说新颖题，就是第八题和第十一题，他把动态和分类塞进了选择和多选当中。 你像第八题用空间点集加上补集定义样本，空间本质上是古典概型，但命题人故意挖了一个点，就是我们说的三个一一逗一逗一。这个点把一个数学期望为零的对称结构把它破开，逼出了负二十一分之一，这样一个数，如果你会用对称性的人一步就能出来， 这是我觉得这个题的新颖点。第三道新颖的题是我们的第十四题，那么这是我们蓝皮书解题王提倡的拆题法的天花板题的题目， 它表面是竖列，它的内核是约束结构分析，绝大多数人会去硬凑等比，凑不出来。那么这道题真正的要素是，你要想明白被这个题目约束死的只有每个完整的三项块，这个要考虑清楚。那么九个连续项做成等比的时候，他的窗口里最多只压住两个完整块， 于是这个快和之比，其实就等于这个等比的三次方啊，就等于 q 的 三次方啊。那你如果这个数字读不出来的话，那这个题是做不出来的。那么第四个心就是我们是亚洲题的创 新。最后一道题心定义不可怕，关键是那些陌生的符号你能否翻译的出来，那么这里头有抽象的集合，翻译成大家能够通俗易懂的话，就是往哪个方面能让函数值变大。我们要先读懂题再去做题，它本质其实就是函数的单调性， 考察的非常隐蔽。那么第二问和第三问其实看的吓人，实际上是把这个新定义换成了单调基偶比较大小这些老概念创新性的表达出来，看你能否读的懂题。 所以说这份试卷当中的稳结构的稳定性，试题难易程度的稳定性，以及试题的形式的创新性，对我们接下来二七届、二八届的高中学生来说，有这么三点启示。 第一个对学生来说，对答案的时候，你不要说只是去对数，对最后那个结果是否正确，而是要复盘。我有没有第一时间认出这个题考察什么？ 考察哪个结构？考察哪个命题点？考察哪个原题型，有没有看穿结构？你就像我们第八题，你如果去硬算也能够算出来，但是考场上你的时间会被耗的让你心力憔悴。 学霸和学习一般的孩子，他的差距就在这里。第二个是给我们的所有的老师的，从这份试卷当中，我们看第七题、第八题、第十一题、第十四题和第十九题，把这几道题做成专题，专门去训练我们的学生识别结构，找最小约束单元，把新定义翻译成孩子认知当中已有的概念 问题，比再刷十套二十套卷子他有用的多，这就是反套路，反刷题模式。那么今年的试题明确的告诉我们，会算不等于会想。 那么第三点是给到我们的家长，给到我们二七届、二八届我们的高中的家长，你别只是盯着孩子的分数，去看看孩子拿到题目的时候是否会思考，是否具备我们的数学思维， 同样一百三十分，有人靠着熟练，有人靠着思维，后者在亚洲题和未来他会走的更远。那么这套试卷奖励的其实是后一种孩子。 那么一句话来收尾，二零二六年新高考一卷，这份试卷他的计算量在减少，他的思维要求是越来越高，套路在失效。能把题目拆开看结构的孩子就是会思考，懂思维的孩子会越来越占便宜。 这也是我们做解题王和拆题法这么多年，一直在笃定的一个方向，希望大家能够有清醒的认知。
450张文龙《解题王》主编
40:58查看AI文稿AI文稿大家好啊，我是必见玄鹤。今天来给大家讲一下二零二六年全国二卷的数学试卷。整张试卷呢，难度适中，计算量比较大。 中档题有第八题、第十题、十一题以及第十七题，分别考察了周期、函数等比数列的一个放缩。十一题呢，考察了一个解析几何里面抛物线和等边三角形结合起来。十七题呢，考察了一个解三角形。这道题的设问啊，让你去证明一个三角形是钝角三角形， 这个涉问方式呢，就难到了很多同学。然后第十八题和第十九题是整张试卷最难的两道题目，我觉得十八题的难度比十九题还要大一点。 十九题呢，考察的导数横乘力问题，用端点效应和必要性探路，很容易把答案算出来，然后带进去验证充分性就行了，有难度，但是比较常规。而十八题呢，考察的圆锥曲线里面的轨迹方程里面是含有参数的， 他让你去讨论这个参数，不同的参数在轨迹方程里面对应怎么样的一个曲线，整体来说是有点创新的，难度也比较大。接下来我们来讲讲这张试卷。 第一题，以减三 i 的 平方化解一下，等于负八减六 i 选择 b 选项。第二题，看集合 b 根号 x 等于 x， 解出来应该是 x 等于零或者一，所以 a 交 b 应该等于零，一组成的集合选择 a 选项。 第三题，这个数字平方得到 a 的 平方，加上两倍的 a 向量，点成 b 向量，加上 b 的 平方，等于一同样的这个数字平方得到这个东西，两式相减，这边的模的平方都可以消掉。最后 a 向量点成， b 向量等于负二分之一。 第四题带入两个点，求出 a 方和 b 方， a 方等于一， b 方等于十二。渐近线方程是 y 等于正负 a 分 之 b， x， 也就是正负二根号三 x。 选择 b 选项 第五题能抬的体积公式应该是三分之一的高，再乘以括号上底面的面积加上下底面的面积，再加上根号下两个底面的面积相乘。他说上下底面分别都是一个内角为六十度的菱形啊，菱形就这这个样子的 中间一年就是两个等边三角形，上下底面的边长分别是二和三。那我们就算一下上下底面的面积，面积呢？我们把它拆分成两个小的等边三角形， 然后这个角是六十度，利用二分之一乘以二，乘以二，再乘以三加角，然后再乘以两倍的面积，就得到二根号三 下底面一样的算下来是二分之九，根号三，高是根号三，所以体积是这个公式代入进去就等于二分之十九。选择 d 选项第六题排列组合甲乙丙丁等八位员工啊，要分到 ab 两个技术公关组，每组要有四个人， 甲乙同组，丙丁不同组。首先甲乙同组有两种方法，分别是 a 组或者 b 组，所以两种丙丁也有两种分法，丙 a 组丁 b 组或者丙 b 组丁 a 组。那现在一共已经有二乘二等于四种方法。 接下来，为了满足每组四个人的条件，我们还需要从剩下的四个人里面选一个人，把这个人放到三人的小组里面， 然后剩下的三个人再放到一人的小组里面就行了。所以从剩下的四个人里面去选一个人，那还有四种方法，所以最终是二乘二乘四等于十六。选择 c 选项。 第七题让你去化简这个式子，三眼二发等于两倍的三眼二发乘以 cosine 二发，左边等于这个式子，右边 cosine 二发等于两倍的 cosine 平方二发减一。所以根据这个式子，我们可以把 cosine 平方二发减出来，等于五分之四。 因为而发是第二象限角，所以 cosine 而发等于负五分之二，根号五。 sine 而发等于五分之根号五。带入到这个式子里面化解等于二分之一。所以第七题选择 c 选项。 第八题 f x 是 定义域为二的偶函数 f x 加 f x 减二的约定。根据这个条件，我们可以化简得到 f x 减二加上 f x 减四的约定。两式相减，得到 f x 等于 f x 减四。所以这个函数是周期为四的周期函数。 因为它是偶函数，所以 f x 减四等于 f 四减 x。 根据这两个相等，我们又能得到这个函数。 x 等于二是它的一个对称轴，又因为它是偶函数， x 等于零，也是它的对称轴，以此类推下去，零二、四、六都是它的对称轴。 听说 x 属于二分之三到三的时候，函数等于这样一个二次函数，问你 a 和 b 的 值是多少？ 注意，我们刚刚推导出， x 等于二是它的对称轴，而二恰好在二分之三到三这个区间内。因为在这个区间内，我们的函数又是一个二次函数，二次函数正好油，且只有一个对称轴是负二分之 a， 所以这个负二分之 a 一定就是这边的二，这个对称轴 a 就 等于负四。接下来我们求 b 求 b 的 话，我们只需要知道这个范围里面某一点的函数值等于多少。那怎么去求呢？首先根据这个条件啊，我们代入 x 等于一，那么得到 f 一 加上 f 一 等于零。 哎， f 一 又等于 f 一， 因为偶函数，所以两倍的 f 一 等于零，那 f 一 就等于零。 f 一 等于零，又因为 x 等于二是对称轴，所以 f 三也等于零。 f 三等于零，带入到我们的二次函数里面，那 f 三就等于三的平方， 再减去十二，再加上一个 b 等于零，那 b 就 应该等于三。因此这道题 a 等于负四， b 等于三，选择 d 选项。 第九题，圆 o 是 单位圆，圆 a 是 x 方加 y 方减去六， x 减八， y 加 k， 等于有一个参数，把它化简成 x 减三，括号的平方加 y 减四，括号的平方等于二十五减 k。 所以 圆 a 的 坐标应该是三四，而不是负三负四， a 选项是错的。 b 选项当 k 等于九的时候，呃，这个二的平方应该就等于十六，所以而等于四。确实，圆 a 是 与 x 轴相切的，所以 b 选项是对的。 c 选项，当 k 等于负十一的时候， r 等于六。此时我们算一下两个圆之间圆心的距离， 圆 o o 点坐标是零零 a 点坐标是三四，那 o a 的 长度是五圆 a 的 半径是六，圆 o 的 半径是一五，正好等于六。减一，说明两个圆是内切的，内切也是相切，所以 c 选项也是对的。 再看 d 选项，两元相交的时候，要求相交的直线方程，相交的直线方程就是让两个元的方程相减，两元方程相减，算出来应该是六 x 加上八 y 减 k 减一等于零，这边是减二，所以是错的。因此第九题选择 bc。 第十题他说等比数列公比 q 不 等于一首项大于零二， a 三等于 a 一 加 a 二， 那么 a 三就等于 a 一 乘以 q 方， a 二等于 a 一 乘以 q， 化简一下就得到两倍 q 方加一等于 q， 算出来 q 等于一或负二分之一。题目说了， q 不 等于一，所以一要舍去，最终 q 等于负二分之一， a 选项是对的。 再看 b、 c、 d 三个选项，要求这个 sn， sn 根据公式应该等于一减 q 分 之 a 一 乘以一减 q 的 n 次方等于这个东西。哎， b 选项让你去比较 sn 和三分之二 a 一 的大小关系，也就是三分之二 a 一 在这，所以我们要看这个东西和一的大小关系。 注意，这边是负二分之一的 n 次方。如果 n 为偶数，那么就是一减去一个正数，一减去一个正数，那肯定 sn 是 比三分之二 a 一 要小的，如果 n 是 奇数呢？那后面就变成了一减去一个负数，一减一个负数，那再乘以前面这个正数， sn 就 应该比三分之二 a 要大，所以 b 选项啊，大和小都有可能，所以 b 选项是错的。再看 c 选项， c 选项让你去比较这个和这个的关系。我们做一个叉二， sn 加二减去 sn 加一，减去 sn 就等于 s n 加二减去 s， n 加一，再加上 s， n 加二减去 s n 这个东西啊，就等于 a n 加二，这个东西呢，等于 a n 加二，加上 a， n 加一。化简一下，应该是 a， n 加一乘以括号一加上二 q， 哎， q 等于负二分之一，所以代入进去啊，这个式子就等于零， 等于零，就说明我们的这个左边是等于这个，右边的 c 选项是对的。再看 d 选项， d 选项让你求 c 个码 sk， c 个码 sk， 我 们把 sk 带入进去，就是这个东西。这个东西的话，左边这个部分啊，它应该等于三分之二 n 倍的 a 一 就是 n 个，这个东西相加， 右边呢，应该等于三分之二 a 一。 我们把这个东西提出来，里面呢是 sigma k 等于一到 n 负二分之一的 k 次方进行一个求和，那这个又是一个等比数列的前项和。根据公式，应该等于这个玩意儿。 这玩意要化解一下，是负三分之一的括号一减去负二分之一的 n 次方，显然，一减去负二分之一的 n 次方应该是一个正数。既然是正数，再乘以一个负数，那整体应该是小于零的。哎，这玩意是一个负数，我们这个东西减去一个负数，那就相当于加了一个正数， 加了一个正数，那一定是比我们的三分之二 n 倍的 a 一 要大的，所以 d 选项是对的。 因此这道题选择 a c d。 第十一题，抛物线 y 方等于八 x， 斜率为 k 的 直线经过负一零这一点， 等边三角形 a b， c 的 顶点，其中点 a 在 抛物线上， b 和 c 都在我们这条直线上下的结论正确的有 a 选项，准线方程 x 等于负二，显然是对的。因为二 p 等于八，准线方程应该是 x 等于负二分之 p， 也就是 x 等于负二， a 选项是对的。 b 选项说，如果直线 a o 和我们的抛物线没有共用点，那么斜率 k 大 于根号二，没有共用点，我们就先把这条直线射出来，射直线 x 等于 m， y 减一，因为它过定点 和我们的 y 方等于八 x 连立，连立之后呢，没有公共点，就是第二，它小于零，第二它小于零。再结合我们的斜率， k 是 大于零的， k 大 于零，这边的 k 和 m 的 关系是， k 等于 m 分 之一，所以 m 也要大于零，算出来 m 大 于零，小于二分之根号二， k 等于 m 分 之一，大于根号二。 b 选项是对的。 再看 c 选项，当 l 与抛物线有唯一的公共点，唯一的公共点是 b， 那 此时的 k 就 应该等于根号二。等于根号二的时候，我们可以把 b 点解出来， b 点应该是一二根号二。然后题目又说，我们的 abc 啊，是一个等边三角形， c 选项说这个焦点在直线 ab 上，哎，我们的 b 点有了，然后又告诉我们 ab 过这个二零这个焦点， 那我们不就能把这个 ab 的 斜率算出来了吗？所以 ab 的 斜率我们算一下，应该是负二，根号二，又因为我们的 bc 这条直线，它一定过负一零这个点，哎，负一零有了， b 有 了，我们又可以把 bc 的 斜率算出来， bc 的 斜率算一下，应该等于根号二。 这两条直线的斜率都有了，根据倒角公式，倒角公式是什么呀？这个我们一卷也考了，这个角是 c 塔一，哎，这个斜率是 k 一， 这是 k 二，这个倾斜角是 c 塔二，那么其中的加角 tan 的 c 塔二减去 c 塔一，就应该等于 k 二，减 k 一 比上一，加上 k 一 乘以 k 二， 这个公式是数学书上有的，并且证明起来很好，证明用两角叉的正切公式就行了。所以根据两个斜率啊，我们可以把其中的这个加角给它算出来。算一下加角，你会发现啊，天定的 abc， 它并不等于根号三，不等于根号三，就说明一点，说明这个角不等于六十度， 不等于六十度，就说明他不是等边三角形，所以我们的 c 选项是错的，因为根据 c 选项的这个条件，我们解出来他不是一个等边三角形。不满足提议再看 d 选项，若 k 等于二， 问三角形 abc 的 最小值是多少？ k 等于二的话，我们画下图，大概是长这个样子，只是 c 点在这， b 点在这， a 点在这，构成一个等边三角形， 那面积的话， a a 点其实是最好设出来的，因为 a 点在抛物线上设 a 点坐标是八分之 m 平方 m， 那 bc 这条直线斜率有了，那 bc 的 直线就是 y 等于二 x。 加二，我们要求等边三角形面积的最小值，其实就是要求 a 点到 bc 直线距离的最小值， 那距离公式应该是根号五分之这个式子，这个式子你发现它的分子是一个二次函数，配方一下就是这个东西整体就大于等于根号五分之一， 能不能取等啊？完全是可以取等的，那现在高的最小值根号五分之一，那面积的最小值就有了，应该是十五分之根号三，所以 d 选项是对的， 因此这道题选择 abd。 第十二题， a 一 等于负一， a 四等于五，等差数列，所以三 d 应该就等于五，减负一等于六， d 就 等于二，所以 a 六就应该等于九 s 六的话就是首项加上末项，再乘以项数除以二，等于二。十四、 十三题，这个函数有两个零点，发现二的 x 次方，二的二减 x 次方，其实就是四比上二的 x 次方，令二的 x 次方整体等于 t 换元，那 t 是 大于零的，所以 g t 新的函数就等于 t 加上 t 分 之四，再减 m 令它等于零，也就是这个方程啊，在 t 属于零到正无穷上要有两个解，这是一个对勾函数，画一下图，像是这个样子的，那 m 就 应该大于对勾函数的最小值四，所以最终答案是 m 大 于四，应该要写四到正无穷。 第十四题，球的体积是四，根号三派，所以可以直接把它的半径算出来，三分之四派尔三方等于四，根号三派尔等于根号三。 abcd 四点均在求 o 的 球面上， 三角形 abc 为等边三角形，因为它是等边三角形，所以我们就把 abc 放到同一个面上， 同一个面上我们画下图就这个样子的，然后点三个点 a 点 b 点 c 点构成等边三角形。再看 d 点在哪， d 点满足 d， a 等于 d， b 等于 dc 等于根号二，非常的对称， 所以我们的地点啊，把这个 a、 b、 c 所构成的这个结面给它画出来之后，地点就应该在它的正上方。这个点画完图之后，你会发现 d， a 等于 d， b 等于 dc 等于根号二，然后底面是一个等边三角形。现在我们把球心标出来， 把 d、 o 连起来，和我们的等边三角形应该有一个交点，交点 h 就 应该是等边三角形的中心， 中心之后呢，我们发现这边有很多勾股定律的关系，因为 o a 等于根号三，这边的 o d 也等于根号三，然后 d h 方加 a h 方等于根号二的平方， a h 方加 h o 的 平方等于 a o 的 平方， 所以我们可以把这边的边全都求出来，怎么求呢？我们设 d h 等于 d， 那 么 h o 就 等于根号三，减 d， 那 a h 的 长度也可以用 d 表示，然后可以在这个三角形里面用一个勾股定律，我们写一下，应该就是这样的一个式子，就可以把 d 解出来，是三分之根号三， d 解出来之后， a h 的 长度可以用勾股定律算出来，等于三分之根二十五， a h 的 长度有了，哎，这又是一个等边三角形，相当于这个中心，然后这个长度等于三分之根二十五，那我们的这个长度就应该等于根号三，再乘以三分之根二十五，应该就等于根号五。 等边三角形的边长有了面积也能算出来，应该等于四分之五根号三。第十五题得到一个频率分布值方图，哎，这个里面测试的是某种电子产品首次出现故障的时间，而问你这个首次出现故障的时间的第一次分位数，哎，这个就是下次分位数，也就是百分之二十五处的数据， 中位数是百分之五十处的一个数据，我们来看一看。首先我们来确定一下这个百分之二十五和百分之五十大概在哪个地方，呃，这边是零点五，然后 到这边一共是零点五加零点一等于零点一五，再到这边应该是零点一五加零点二等于零点三五，所以我们的零点二五就应该在这个部分里面， 接着我们零点三五再加零点二五就变成零点六，所以零点五应该在这个部分确定部分之后我们就可以去算了。那下次分位数零点二五，他现在在三百六十五到三百七十五之间，中位数零点五应该在 三百七十五到三百八十五之间，所以下次分位数应该是这边出使的三百六十五，再加上一个比例，比例应该是零点二五减去零点一五，再比上零点零二，等于三百七。 中位数呢，应该是这边的起始三百七十五，再加上零点五减去零点三五，比上零点零二五， 最终算出来等于三百八十一。再看第二小问，第二小问说，屁，是一件电子产品首次出现故障时间小于三百六十五天的概率估计值，我们先把这个概率估计值给他算出来，应该是什么呀？ 应该就是我们小于三百六十五，这边就是零点零五加上零点一等于零点一五，所以概率是零点一五。再看这位小问，销售一百件电子产品， x 为这个首次出现故障时间小于三百六十五天的件数，然后满足这样一个二项分布， 求二项分布的期望和方差。哎，这个直接套公式就行了，二项分布随便的 x 满足一百和零点一五的二项分布，那么他的期望就是一百乘以零点一五，方差应该是一百乘以零点一五，再乘以一减零点一五，就这个东西等于十二点七五。 十六、题，立体几何三能锥 a、 b、 c、 d 中点 e 在 b、 d 上满足 a、 e 垂直于 c、 e， 并且 a、 e 要垂直于 d a。 根据这个条件，又因为 c、 e 和 d、 e 有 一个交点 e， 我 们可以推出 a、 e 垂直于面 d， c、 e 就是 这个是垂直于底面 d、 c、 e 的， 然后他又说 c、 d 垂直于 a、 d， 让你证明 c、 d 垂直于 ab。 根据这个条件啊，我们的 c、 d 是 在平面 d、 c、 e 上的，所以 a、 e 又垂直于 c， d， a、 e 垂直于 c， d， c、 d 又垂直于 a、 d， 所以 可以推出 c、 d 垂直于面 a、 d、 e 也就是 c、 d 垂直于面 a、 d、 e 这个面， 因为我们的 ab 就 在这个平面上，所以可以推出 cd 垂直于 ab 来看。第二小问，第二小问说， d、 e 等于二， b， e 等于一， a、 e 等于根号二， c、 d 等于二，根号三、求直线 a、 d 与平面 abc 所成角的正弦值。 这个题目间隙应该是最好写的，因为这边的 a、 e 就 垂直于底面， a、 e 就 作为 z 轴，然后这边底面又有一个垂直关系，因为这边的 cd 刚刚说的是垂直于整个平面 abd 的， 所以 c、 d 就 垂直于 b、 d。 这个角是一个九十度，我们先把底面所有的边都解出来来看一下，我们把底面划到一个平面上，就是长这个样子。刚刚说的 c、 d 是 垂直于 b、 d 的， 然后这边 e 点在这， d， e 等于二， e、 b 等于一， c、 d 等于二杠二三，所以这边的 c、 b 什么长度全都能算出来，那我们就间隙吧。间隙的话，以 e 点为一个坐标原点，然后 b、 e 为 x 轴，我们再把这个 c、 d 平移到这边来做一个垂线，那么 y 轴就在这个地方， z 轴呢，就是我们的 e a， 然后我们把所有点给它表示出来， a 点的坐标应该是零零，根号二，这边根号二， b 点的坐标呢，应该是一零零， c 点的坐标， c 点在这，哎，我们把它平移到这边 y 轴上来，那 c 点的坐标应该是它的 x 值应该是这边的负二， y 值呢，就是这边的二根号三， 所以是负二二杠三零，那地点的坐标就是负二零零。所以 ad 向量等于这个东西。题目还要求 abc 平面的一个法向量，那 ab 向量等于这个， ac 向量等于这个设法向量是 x， y， z， ab 向量点成 n 向量等于零， ac 向量点成 n 向量等于零。得到这个方程， 根据这个简单的条件，我们就令 x 等于根号二， z 等于一。代入到第二个式子里面，可以把 y 算出来，等于二分之，根号六，所以法向量是这个东西。 接下来让求这个夹角，那么 sin x， 它就应该等于绝对值 cosine ad 向量和 n 向量之间的一个夹角，然后代入公式就等于这个式子，这个式子代入进去，最终化简出来是三分之根号六 十七。题解，三角形 cosine b 等于四分之三。还有这样一个式子，这个式子看到 a 加 c 我 们就知道了， cosine a 加 c 应该是等于负的 cosine b， 而 cosine b， 我 们这边值又有，所以我们可以求出 cosine 乘以 cosine c。 我 们来写一下，求出 cosine 乘以 cosine c 等于一减十六分之九，等于十六分之七。但是要注意，题目让你去证明三角形 abc 为钝角三角形，钝角三角形怎么去证明啊？ 想想啊，钝角三角形就是要证明有一个角是大于九十度的，大于九十度的角用三角函数表示，就应该是存在某一个角。 cosine 值小于零 a， cosine 值小于零，但是我们现在有的是 cosine a 乘以 cosine c， 不要忘了，我们现在还有一个 cosine b， 而 cosine b 它又是等于负的， cosine a 加 c 的， 而 cosine a 加 c 展开来之后，就会得到 cosine a 乘以 cosine c 和 cosine a 乘以 cosine c。 所以我们来写一下 cosine a 乘以 cosine c 减去 cosine a 乘以 cosine c 等于负 cosine b。 这个值是有的，这个值也是有的。代入进去，我们就可以把 cosine a 乘以 cosine c 算出来，它等于负十六分之五， 负十六分之五是小于零的，小于零就说明这两个数里面一定有一正一负，一定有一个负数，就说明我们一定存在这个角。 cosine 值小于零，也就是它是大于九十度的钝角， 所以第一题就证明出来了。我们再看第二小问，第二小问说面积等于四分之根号七，我们来看看。首先根据条件， cosine 平方 b 加上 sine a 乘以 sine c 等于一。 哎，一减去 cosine 平方 b， 它不就等于 cosine 平方 b 吗？ cosine 平方 b 等于 cosine c。 根据正弦定理，应该得到 a 乘以 c 等于 b 的 平方。又因为我们的面积等于四分之根号期，现在这边 ac 等于 b 方，所以我们利用三角形的面积公式，二分之一 ac 乘以 cosine b 等于四分之根号期 cosine b。 题目告诉你的 cosine b 也可以求出来，所以 a c 算出来，它应该等于 b 方等于二，那 b 就 有了 b 等于根号二。 接下来我们再算 a 加 c 等于多少？ a 加 c 怎么算呢？哎，我们还是利用这个 cosine b， cosine b 应该等于 a 方加 c 方减 b 方，比上二 a c 这面 b 方和二 a， c 都可以代入进去。所以我们得到 a 方加 c 方等于五， a 方加 c 方等于五， a， c 又等于二，所以我们可以把 a 加 c 算出来，它等于根号下， a 方加 c 方加二， a， c 等于三， a 又等于根号二。所以最终周长应该是 a 加 c 加 b 等于三，加根号二。 这十八题是整张试卷最难的一道题目，我们来看一看。椭圆 e 满足过 e 的 右焦点，且与 x 轴垂直的直线被 e 截得的线段长度是根号二。就是这样的，这边有一个椭圆， 然后过焦点做一条垂线，这个长度是根号二，这个长度是根号二。那根据对称性，这个长度是二分之根号二，所以这个点的坐标就可以表示成焦点横坐标 c。 然后呢，二分之根号二。 所以这个点在我们的椭圆方程上带入进去，就能得到 a 分 之 c， 也就是离心率等于二分之根号二。当然我们就可以把 a 和 c 解出来了， a 等于根号二， c 等于一，所以椭圆方程是二分之， x 方加 y 方等于一。第二项，我们说给定定点 g， g 点坐标是 t 零， t 不 等于零。 还有一个 a 点， a 点是我们椭圆上的一个动点，过 a 点呢，做 y 轴的一个垂线，垂足是 b 点。 现在连接 o， a 和 b， g 两条直线，交点为 p， 求 p 的 轨迹方程，那轨迹方程我们怎么求呢？肯定是要用已知的一些条件，比如这边的 t， 这边 x 零 y 零去表示这边 p 点的横纵坐标， 然后去看看它的横纵坐标能得到怎么样的一个关系，怎么样的一个方程。所以我们一定先要用这边的 t x 零 y 零去把这个 p 点坐标表示出来，来写一下吧。首先 o 点坐标零零， a 点坐标 x 零 y， 那 么 o a 的 直线方程就是 y 等于 x 零分之 y 零， x b 点坐标零 y 零， g 点坐标 t 零。所以 bg 的 直线方程可以用拮据式来表示。为什么用拮据式啊？因为这个拮据有了，这个拮据也有了，那拮据式就应该是 t 分 之 x 加上 y 零分之 y 等于一 两个方程连立起来，我们就可以解出 p 点的横纵坐标是这个东西和这个东西。当然我们可以记作 p 点的横坐标是 x 一， 纵坐标呢是 y 一。 接下来我们就是要去找 x 一 和 y 一 有怎样的一个关系。 为了找 x 一 和 y 一 的关系，我们来看看这里面的变量有哪些关系呢？有一个关系，我们的 a 点啊，它是在椭圆上的，所以 x 零和 y 零呢，它就满足二分之 x 零方，加上 y 零方是等于一的。 因此我们就先把这边的两个方程，其中把 x 零用什么什么 x 一 表示出来， y 零呢？用什么什么 y 一 表示出来， 这样的话，我们就可以把这个 x 零和 y 零带入到我们的二分之 x 零方加上 y 零方等于一这个方程里面，这样的话就把 x 零和 y 零这两个变量消掉了，消掉之后，剩下的就是我们的 t 还有 x 一， 还有 y 一。 我们来写一下 这两个方程，改一下形式，就变成 x 零等于 t 减 x 一 分之 t 乘以 x 一 y 零呢？等于 t 减 x 一 分之 t 乘以 y 一， 带入到我们这个方程里面，就能得到这个式子。得到这个式子之后，我们大概化简一下，左右同时乘以 t 减 x 一 的平方，就得到了这个式子。 最后我们再把 x 一 和 y 一 还原成 x 和 y， 就 得到了轨迹方程。轨迹方程写出来之后，你还要注意有没有哪些点它取不到呢？注意这道题， y 是 不等于零的，为什么呀？注意题目还有个条件， y 零不等于零， y 零不等于零，就说明我们的 a 点它不能在这个地方， a 点不能在这个地方，不就说明最终 p 点它的纵坐标不能是零吗？因此 y 不 等于零也要写上去。我们再看第三小问，第三小问说，当 t 为和值的时候，我们第一小问求出来的 m 有 对称中心， 当他有对称中心的时候，把这个 m 平移之后啊，得到曲线 m 撇，使得 o 为 m 撇的对称中心。问， m 撇是一个什么样的曲线？其实啊，你看到这个问你他是什么样的一个曲线？我们整个高中只学过哪些曲线啊？圆锥曲线， 还有一些圆直线这样的东西，对吧？所以这个答案啊，肯定和我们学过的圆锥曲线是有关系的。我们来看看刚刚求出来的轨迹方程这个东西， 这个东西怎么去化简呢？首先我们观察一下呀，左右关于 x 和 y， 它最多就是 x 和 y 的 二次式，对不对？ 所以这是一个关于 x y 的 二次曲线，那二次曲线我们高中学过的，就是椭圆双曲线抛物线，所以我们把它化简成我们最熟悉的什么什么 x 平方， 什么什么 x 平方加什么，什么 y 方加什么，什么 x 加什么，什么 y 加什么什么常数。这样的形式化解一下，应该是二分之 t 方减一， x 方加上 t 方乘以 y 方加上二， t x 减 t 方等于零。 哎，首先题目说的 t 是 不等于零的，所以这个不可能等于零，这个不可能等于零，这个不可能等于零，但是这玩意是有可能等于零的呀。因此先讨论一下，当二分之 t 方减一等于零的时候，也就是 t 等于正负根号二的时候， 代入进去应该是 y 方加减根号二， x 减一的给它写成我们熟悉的形式就是 y 方等于根号二， x 加二分之根号二， y 方呢？或者等于负根号二，乘以括号 x 减二分之根号二，这什么意思啊？ 这不就相当于把我们 y 方等于根号二 x 这个抛物线左加右减向左平移二分之根号二个单位得到这个抛物线吗？ 所以这两个东西啊，他都是抛物线，既然是抛物线，他就没有我们题目上说的对称中心，所以 t 等于正负根号二的时候不行。 那接下来就讨论 t 不 等于正负根号二的时候呢？不得于的时候呢？我们就先把这边的 x 方和 x 放到一起，给他做一个配方。同时我们还发现这边的长输项是一个 t 方，把长输项变成一， 那化解一下就变成这个式子，这个式子呢， x 方加上什么什么 x？ 我 们可以对这个式子进行一个配方， 配方之后就变成 x 加 t 方减二分之二 t 括号的平方。当然我们这边相当于多了一个长竖向，那我们就要剪掉这个长竖向，变成这个东西，哎，仔细观察一下这个式子啊，它和我们的双曲线椭圆是非常接近的，它的对称中心就是 这边等于零的时候，还有 y 等于零的时候，也就是负 t 方减二分之二 t 零没问题吧？因此当我们的 t 不 等于正负根号二的时候，这个式子一定是一个中心对称的图形，并且对称中心我们已经求出来了， 接下来他要把这个曲线平移，平移之后的对称中心不再是这个了，而是零零 变成零零之后，那我们这个曲线 m 撇，它就应该是什么呀？应该是二分之一减 t 方，分之一 x 方再加上 y 方，是等于 t 方比上 t 方减二的。所以现在我们肯定要对这个东西进行一个分类讨论。 首先第一种情况，当我们这个东西大于零的时候，哎，它大于零，我们还要去看右边的这个常数是大于零的还是小于零的， 化简一下，应该是二 t 方分之， t 方减二大于零。哎，这个东西大于零，不就说明我们的 t 方比上 t 方减二也是大于零的吗？所以这种情况下，它是正数，它也是正数，这两个都是正数，就说明我们的这个曲线啊，大概是比如三 x 方加上 y 方等于四， 那这显然是一个椭圆啊，所以这种情况下，我们的曲线是一个椭圆。还有第二种情况，当我们这个数小于零的时候，那它小于零，它就应该也小于零。那小于零之后呢？就应该是举个例子， 负三 x 方加上 y 方等于一个负四，那就应该是三 x 方减去 y 方等于一个四，那这显然是一个双曲线，对不对？ 所以啊，最终答案还要再分两种情况，当这个东西大于零的时候，它是椭圆，当这个东西小于零的时候呢，它是双曲线，并且对称中心是负 t 方减二分之二 t 零。 第十九题，已知函数 f x 等于 x 乘以一的 x， 四方加 a， x 加 b， 在 x 等于零处的切线方程是 y 等于负二， x 加一，那么我们的 f 零就应该等于带入进去，等于 b， b 呢？再带入到这个里面就应该等于一，所以 b 等于一，同样的，这边的斜率是负二，那我们把 f 撇零带入到这个式子里面，应该得到一加 a 等于负二，算出来 a 等于负三， b 等于一，就是第一小问。我们再看第二小问， 第二小问说 x 大 于零的时候，有这样一个式子很成立，求 m 的 去值范围。这个式子呢，我们先带入到第一小问，现在 f x 求出来的是 x 乘以的 x， 四方减三， x 加一，带入进去之后，化简一下得到这个式子大于零很成立。 这个式子还能化简，这边三 x 和这边的加三 x 消掉了，所以化简之后得到这个式子，那这个式子处理方法其实非常的多。其实我们还可以用同构的方法去处理这个式子。哎，我先给大家大概讲一下同构的一个思路， 这个式子减去四 m 是 大于，右边就是我们的 x 乘以的 x 次方，哎，这个式子和这个式子非常的像啊，对不对？ 但唯一的区别就是这边是减四 m， 而我们右边没有减任何东西，那我们能不能左右同时再减去一个四 x 呢？减四 x 的 话，右边就变成 x 乘一 x， 四方减去四 x， 左边呢？再减去一个四 x， 这两个合并起来就变成这个式子。 哎，现在左右不就是一个完全同构的式子的吗？我再写一下，就变成了 x 加 m 乘以 e 的 x 加 m， 四倍的 x 加 m 是 大于 x 乘以 e 的 x 次方减去四 x 的， 那我们就构造一个新的函数， h x 等于 x 乘以 e 的 x 次方减去四 x， 那 左边这个东西就应该是 h x 加 m， 右边这个东西就应该是 h x， 所以 题目就转化成了 h x 加 m 大 于 h x， 所以 接下来就去研究我们 h x 函数的单调性，然后去判断我们的 m 的 范围。 当然这边还可以做一个简单的判断，就是我们的这边是 x， 这边又是 x 加 m， 所以 可以根据 m 的 正负性来进行一个判断。 m 等于零肯定不行， 因为 m 等于零的时候， h x， 左边是 h x， 右边也是 h x， m 小 于零呢？小于零之后，哎，根据它的单调性也是不行的。 m 大 于零呢？那大于零之后，就根据一些必要条件进行讨论就行了。所以同构写这道题也是非常简单的，那如果不用同构，你没有想到同构呢？没有想到同构就正常的去写，也是能写出来的。 化简一下，刚刚说的是这个式子大于零很成立，那我们就直接记这个式子是 g x g x 这边可以做一个简单的化简啊，我们把 x 乘以 e 的 x 次方提取出来，就得到这个式子， 把 m 再提取出来，就得到 m 乘以。这个东西我们可以先做一步必要性探路，因为题目说了，当 x 大 于零的时候，这个式子大于零很成立，那就不妨取 x 无限趋近于零的右边一点点的时候，也就是我们直接取 x 等于零。直接取 x 等于零，那我们的 g 零应该要大于等于零， 因为如果你的 g 零他如果小于零的话，因为这个函数一定是连续的，那他连续的话，你的 g 零小于零，那他在零的右边一点点一定也是小于零的。不管递增还是递减，所以就肯定是不行的呀。因此我们的必要条件是， g 零要大于等于零。 g 零大于等于零，带入到这个式子里面，就能得到 m 乘以一的 m 次方减四大于等于零。哎，这个式子大于等于零很成立。那我们肯定要讨论 m 的 正负性啊，因为 m 乘以这个整体大于等于零，你 m 如果是正的，那这个也是正的， m 是 负的呢？那这个也是负的，所以要讨论 m 的 正负性。 讨论正负线，我们来看一看。首先， m 等于零行不行？ m 等于零的时候， m 等于零。我们代入到题目这个式子，那 m 等于零，左边就是 f， x 减 f， x 左边就是零啊，那右边也是零，零大于零不成立，所以 m 等于零不行， m 小 于零呢？ m 小 于零。实际上你去讨论一下这个式子， 你会发现， m 小 于零的时候，最终你的 x 趋于正无穷，这个式子是占一个主导地位的，它占主导地位，那负的这个东西就占主导地位，它是一个负无穷， 那 x 趋于正无穷，那这个式子趋于负无穷。负无穷小于零显然是不成体的，但这边我写的比较粗糙，有的地区它可以用这种 无穷的语言来写，有的地区它不能用这种语言来写，那你就要老老实实的去证明一下，它小于零是不行的。如果用刚刚同过的方法同过，刚刚得到什么 h x 加 m 大 于 h m h x， 那 你 m 如果是一个负的话，你的 x 加 m 肯定是小于 x 的， 然后你的 h x 函数后面又是一直是单调递增的，所以一下子就能判断出来， 所以用同共的语言这个角度比较好证明。当然，如果你不用同共，你去取一些点也是没问题的。等于零不行，小于零不行，所以最终一定是 m 大 于零。 m 大 于零再带入到我们这个必要条件里面，就应该是 e 的 m 次方减四要大于等于零，它大于等于零，也就是 m 要大于等于 lo 四， 所以最终答案应该是 m 大 于等于 lo 四，但这只是一个必要条件，这个必要条件我们还要去证明它是不是充分条件， 验证一下充分性。当 m 大 于等于 lo 四的时候，哎，我们刚刚为什么给它化简成这个式子呀？因为 m 大 于等于 lo 四的时候啊， x 就是 大于零的，所以这个东西大于零， e 的 m 四方减一也是大于零的。因为 m 大 于零的时候， e 的 m 四方减一就本身就已经大于零了， 所以这个整体就已经是大于零的。然后右边这个东西， e 的 x 加 m 减四，它应该怎么样？它应该大于等于 e 的 loon 四次方减四， e 的 loon 四次方，哎，就是四，所以四减四就是零，所以这个东西本身就大于零。 因此我们就验证了充分性，当 m 大 于等于 loon 四的时候，整体 g x 一定是大于零的。因此最终的答案第二小问就是 m 大 于等于 loon 四。 接下来我们再看第三小问，第三小问还是一个横乘的问题， x 大 于零的时候，这个东西横乘的求 k 的 最小值，我们来看一看，记一个新的函数 h x， 我 们就把这个二 f k 移到左边去，相减作差，得到这个式子。 哎，现在你发现啊， x 大 于零的时候横乘的，但是我 h 零，它本身就等于 h 零，它等于 f k， 再减去两倍的 f k， 它就是等于零的呀。 所以我们在零这一点，他本身这边就是一个等于号的关系，那我们就要去思考端点效应了，端点效应是什么呀？既然他要大于零很成立，那我们在零这一点的导数值就应该要大于等于零。 我们求一下导， h 撇 x， 他 等于这个东西，哎， h 撇零带入进去，他就应该等于 k 加一乘以一的零次方，这是等于零的呀。 导函数等于零，那我们再去求它的二阶导，那二阶导算一下，应该是这个式子，二阶导在零这一点的函数值应该是二 k 加四，二 k 加四，它不一定等于零了，但是它一定要大于等于零。 因此根据端点效应，我们算出来 k 要大于等于负二，这是一个必要条件，并且端点效应这个东西有的地方认，有的地方不认，你最好也不要写在这个答题卡上，这只是帮助你去分析，帮助你去算出答案的一个过程。 好，现在你大概知道了，我们有一个必要条件， k 要大于等于负二，那接下来就去围绕 k 大 于等于负二和 k 小 于负二来进行一个证明。 首先，当 k 大 于等于负二的时候，哎， k 大 于等于负二的时候，我们刚刚二阶导函数是这个东西啊，二阶导函数是这个东西，我们来仔细观察一下呀。此时 k 大 于等于负二，那 k 加二是大于等于零的。 k 加二大于等于零，那我们这个 x 加 k 加二，它一定是大于等于 x 减去 k 加二的，这个比这个大。又因为我们 x 加 k 加二，它一定是大于等于 x 减去 k 加二的，这个比这个 e 的 x 次方显然是 比这个 e 的 负 x 次方要大的，对不对？哎，这两个又都是一个正数，那很显然这个东西一定是大于这个东西的，所以 h 撇撇 x 一定大于零， 没问题吧？你仔细去考虑一下，但这边还有讨论，他有没有可能是正的，有没有可能是负的，那如果是负的也没问题，因为这个东西如果是个负的，那负的一个负数，那是一个正的，那正的还是大于零的呀？ 所以二阶导大于零，就说明我们的一阶导函数是递增的，一阶导函数递增，那 h 撇 x 就 大于 h 撇零， h 撇零刚刚算了，它是等于零的，所以一阶导函数也是大于零的，那我们的原函数就是一个递增的，所以原函数大于 h 零， h 零又等于零， 所以我们就证明出来了，当 k 大 于等于负二的时候， h x 大 于零， h x 大 于零，那就完美的符合我们的题目。接下来我们再去证明， k 小 于负二的时候是不成立的。 当 k 小 于负二的时候，我们的 h 撇撇零小于零，因为这个函数是一个连续的函数，所以在我们零的右边一点点都有 h 撇撇 x 小 于零，在零的右边一点点微小的一个区间里面一定有这个成立，所以我们就能找到一个点， x 零大于零，使得我们的 h 撇撇 x 在 零到 x 零上都小于零。 所以在这个范围上啊， h 撇 x 递减，那它就应该小于 h 撇零， h 撇零又等于零，所以我们在零到 x 零上， h x 也是递减的，那 h x 在 这个范围上就小于 h 零， h 零也等于零。所以就证明出来， k 小 于负二的时候，存在那么一点点范围里面， h x 不 大于零，它小于零， 小于零就不符合条件。因此最终我们算出来，要满足恒成立的话，那 k 要大于等于负二， k 大 于等于负二，那 k 的 最小值就是负二。所以最后一题就写出来了， 可以发现这个最后一题啊，必要性探路端点效应整体来说是非常常规的，有点难度，但是大家平时训练这个题型应该非常非常多了。
1293敝槛玄鹤
