2003年高考封神之战

大家好，这节课我要讲解的是两千零三年全国一卷高考数学试卷。你们可能都听说过，那一年的高考数学试题真的非常难，究竟难到什么程度呢？我的一位学姐就是那一年参加高考的，他的成绩一直还不错，但是在考完数学之后是哭着走出考场的，难度就可想而知了，而且满分一百五十分，一些 地区的平均分连六十都不到。同学们可以大致浏览一下这些试卷，然后我们直接挑战最后一道压轴题，也就是这个二十二题。好了，我们直接来看这个第二十二题啊，他这个题是怎么说呢？设数列 a n 是集合这样一个集合中所有的数，从小到大排列之后形成的新的数列。 那什么意思呢？我们得先研究清楚中间这样一个数列，它究竟是代表什么含义了，对吧？我们先研究一下这个数列，这个二的 s 次方加上二 t 次方。他说呀， s t 都是整数，而 而且呢， s 是大于等于零的， t 得严格大于 s， 这个 t 不能等于 s。 那我这样写吧，我习惯上把这个大的写到前头，小的写到后边，也就是二的 t 次方写到前头，二的 s 方写到后边， 有什么用呢啊？暂时先保密啊，你看啊，其实你既然这么写的话，这个 t 和 s 就已经完全能够代表这个数字了，对不对？ 那比如说这个 a 一的话，本来是应该写成二的一次方加上二的零次方。有同学说，老师，我想写成二的零次方加上二的零次方，让 s t 都等于零。嗯，那肯定就不对了，为什么？因为 t 要严格的大于 s 啊，所以最小的数字 a 应该是二的一次方加上二的零，次方等于几啊？等于三，那这 这个数字的话，我们完全可以写成这样一个坐标的形式，有序数对的形式， t 多少 s， 也就是一多少零，对不对？那同样的道理，这个 a 一的话，我们写成了什么？ a 一 写成了一多号零了，那 a 二的话，就应该写成那 s 不能再往大走了吧？那只能是后边这样一个 t， t 怎么样？ t 可以变大了，所以就二多号零， 那接下来二的号一呢？就代表 a 三了，那接下来这个 s 还能往大走吗？后边这个 s 不能了，因为一要再变大，变成二的话，这 s 的题不就相等了？所以前头这个 t 还可以变大啊， t 再变大的话呢，接下来就应该三的号零，三的号一， 然后三都好二了，这不就找出规律来了吗？啊？四都好，零四都好，一四都好二，那下面第五行五都好，零五都好，一五都好啊。当然了，上面这一行应该还有个四都好三啊，五都好，三五都好五。那其实第一问的话，不就解决 写了吗？第一问的这个全是一，我指的是啊，当然你写的时候不要写上坐标，我们可以用坐标的这种形式来理解，比如说第三行，第三行他写的是九十十二吧。那肯定是的呀，我们的二的三次方加上二的零次方，这是不是就等于九啊？对吧？也就是 a 四肯定等于九， a 五的话，你看二的三次方加上二的一次方，那就等于十啊， 还有这个 a 六啊，二的三次方再加上二的二次方，那就是等于多少啊？就是等于十二的肯定对的啊，然后接下来继续往下写就行了。这第一问我就不多说了啊，你把最后的这个第四行和第五行这两行的话，你都改成数字就行了，我就不改了啊。 咱们来看第二问啊，第括号一的圈。第二问啊，这个 a 一百是多少？ a 一百的话，我们只需要知道这个 a 一百究竟位于第几行的第几个数字就行了，对吧？第几行的话好说，因为你这个一百是等于多少的？因为这个一 一百等于一加二加三。为什么一加二加三呢？第一行只有一个数字，第二行有两个数字，第三行有三个，第四行有四个，第五行五个，所以咱一直加就行了。等他数列满，看看一共有多少数字。一加加加加，一直加到十三， 从一加到十三的话，这个括号里头啊，应该是等于九十一的，可以自己算一下，等他数列求和，然后再加上九。所以说这 a 一百应该是 第几行的第几列啊？应该是第十三行，不是十三行，因为他后边加九了，是第十四行 第几个数字啊？第十四行的第九个啊，第九个是对的，所以有朋友说，老师我直接来一个十四逗号九就可以了。呵呵，你又错了，第九个数字应该是十四逗号八。为什么？因为你看 t 逗号 s 后边这样一个重组标是从零开始往后边 加的，对吧？零一二三，所以第九个数字应该是从零开始数，应该是十四逗号八。也就是说 a 一百应该转换成谁？ a 一百，那就等于二的十四次方，再加上二十八次方就行，你自己算就得了啊。好了，括号一解决完了，那你用 这样一个找顾虑的方法写出来以后，完全可以得出答案，这就是表达理会的一种方法。然后你看完了表达以后，你发现括号，我根本就不知道那个答案在说什么东西，我跟 跟大家说一下啊，我有一个非常好的方法，大家还记得吧，他这个第二问的话，括号二比起括号一，难度肯定是直线上升了，为什么上升了？因为他 刚刚那个括号一直有 s 和 t 这两个量吧。但是现在这个括号二有几个量的？有 rst 有三个量了吧？我习惯上啊，肯定还是把这个二的 t 四方最大的写到前头二的 s 四方呢？写到中间，然后这个二的 s 方啊，写到最后，对吧？当然肯定这样一个整体 也还是能够满足谁的，能够满足 t 大于 s 大于 r 大于等于零，能够满足这样一个要求的。那我为什么要这么写？我再改一种写法，我把这个二的替词方写成一乘二的替词方，大家有没有一种感觉啊？ 然后再加上一乘二的 s 四方，哎呦，他跟二杠上了，再加上一乘二的二 r 四方，又跟一杠上，为什么跟一杠上呢？假如我写这样随便写一个数字六 零四，他是不是应该写成六乘十的二次方，加上零乘十的一次方，再加上四乘十的零 零字旁，对不对？这是十进制的数字。你可能想到了，其实这道题他就是一个简简单单的二进制转化的题目呀，同学们，所以这个 bk 幺幺六零，他问的这个 k 究竟是第几个数字？我们这样来回答不就可以了吗？你 看好了啊，这个幺幺六零要转换成二进制。十进制。怎么转换二进制啊？十进制，转换二进制，有一个方法叫除二，取余就除二，以后我们取余数就行了。那我直接算这个过程了啊，我写到最右侧，最右侧的话，我们来看一下，幺幺六零， 初二应该是得多少呢？五五八零，是吧？我直接往下写了啊，你看，余数是零，余数是零，因为都可以整除。到目前为止，这个是多少？ 一四五还是可以整除的啊。哎呦，终于可以不整除了啊，七十二，那七十二的话，余数是一了，对吧？终于有一个余数是一了。三十六，三十六的话，又是整除，嗯，十八，又是整除，所以余数是零啊。右边 这一串数字只是余数啊。啊，又整除了零，哎呀，九除二，终于可以不整除了，所以得多少啊？得这个四啊，余数是一，然后再继续写吧。四除二，哎呀，又整除了零， 然后再继续吧。嗯，四除二的话，二除二，那是一，又整除了，对吧？一除二的话，商是零，然后余数是一。那么你写这个二进制的时候一定记住啊，这个余数不是从上往下写的，是从下往上去写的，应该是按这样一个顺序去写。也就是说，这样一个幺幺六零实进制， 我们应该转换成什么呀？转换成二斤之，他应该长这个样子，从下往上写啊，幺零零幺零零零幺零零零，这是一个二进制的数字，对吧？那好，我们继续往后看。转换成二进制以后，这道题已经成功了一大半了，那你基本上可以做出来了，往后看了，现在我们要 找的是不是就是比这样一个数字小的，一共有多少个呀？在满足这样一个要求之前，其实很好找。我们把这个一看成木棍， 这样一个数字里头一共有几个木棍啊？一个木棍啊，两个木棍啊？三个木棍组合法吗？这三个木棍你可以随便放吧，你看好了，但是你放完之后，组合完之后必须要怎么样？ 你必须满足比这样一个 bk 要小，对吧？比 bk 小的数字，那怎样比 bk 要小呢？你看我现在啊，只包含后边的这 十位数字，一共有十一位，对吧？在这十位数字上，如果我这三个木瓣木棍随便去放啊，放到这十个位置，任何一种情况都是可以满足比这个 bk 要小的，对不对？三个木棍，所以是 c 十三。然后再继续看第二种情况。 第二种情况应该怎么考虑呢？第二种情况应该这么考虑，现在呢，我最高的这个这样一个木棍不能动了。我现在研究这两个木棍，这两个木棍的话，假如说我把这两个木棍放到最低的这七个数位上去，这七个位置随便放两个木棍， c 七二，那 最后出来的数字，因为最高位这个一是没有变的，是不是也比 bk 要小啊？然后再继续讨论这样一个二进制，那是不是就剩下最后一种情况了？现在我固定都不动了，前两个一都不能动了，那就看最后一个了。最后一个一的话，那你应该往放到哪才能比这个 bk 要小啊？那必须放到 前三个位置了吧，我们直接加三或者写上 c， 三一更专业一些。但是我们算出来的这个整体是 bk 吗？不是 bk， 是那个比 bk 小的数字。一共有多少个？其实你算出来的是 k 减一，我们再加上一不就正好等于 k 了，能理解吧？通过 这种方法算出来的 k 究竟是多少呢？具体过程我就不说了，下去你自己算可以吧，一百四十五就可以了，然后第二问就解决了。 也就是说，其实这两道题核心是个什么呀？核心其实就一个，是个二进制啊，同学们啊，另外二进制完了以后，我们在解决第二问的时候还用到了什么？还用到了这样一个组合数，对吧？当然组合的时候一定要满足比这个 pk 小才可以。分享课堂知识，感恩说学真美，我是杨帆老师，下期再见。