2010年安徽高考

这是二零一零年安徽高考题，设 a 为实数，函数 f x 等于一的 x 四方减二， x 加二， a x 属于二，一求 f x 的 单调区间与极值二。求证，当 a 大 于 log， 二减一 且 x 大 于零时，一的 x 次方大于 x， 平方减二， a x 加一。 这道题就是高中导数概念的应用。我们要求函数的单调区间以极值，我们可以利用导数来判断它的极值点和单调区间。 先求 f x 的 导数等于一的 x 次方减二， 那么我们令这个导数等于零，我们就可以得到一的 x 次方等于二，那么 x 就 等于二，这是一个注点， 极值点有可能是极值点，我们来判断一下。判断它是不是极值点，我们可以画个图，就是画个简单的图，图标 x f x 的 导数，还有 f x， 它是增还是减，那么中间这个点呢？是 log， 那么这边呢？是负无穷到劳格二，这边是劳格二到正无穷，那么这一点的导数是零。用 x 零，劳格带进去，它的导数是零， 那么我们再来判断一下，小于 log 的 时候，它的导数是正还是负。看看，如果 x 小 于 log， 看到它的导数呢？因为等于 log 二的时候是二，而且它又是增函数，所以这边是负的，因为它是增函数，这边就是正的。负的表示什么呢？表示减函数， 这个 f x 是 减函数，因为导数是负的，就是减的，导数是正的，就是增函数。从减到真，那么 log 二呢？就是一个极小值，我们把 log 二带进去，我们可以算出它的极小值等于多少， 这是单调区间，单调区间就是在负无穷到劳根二是减函数，在劳根二到正无穷是增函数。奇值点就是对点，对点带进去就是 f 和根二 等于一的 log 二次方减两倍的 log 二加二 a， 这就是几十点，那么这个呢？就是二， 这是二减二倍的劳格二加二 a， 也可以把二提出来，先变成一减去劳格二加 a， 这是极值点， 这是单调区间和极值，这是极小值点，因为从从下降到上升，从下降到上升是。 那么第二问呢？是求证，当 a 大 于 log 减一且 x 大 于零的时候，则不等式成立。这也是导数应用的一个方面，就是证明不等式。我们可以这样证 令， g x 吧， g x 等于这两项减一的 x 四方减去，减去这一项就是 x 平方减二， a x 加一。 那我们考察这个函数，如果这个函数是增函数，而且在零点的值 啊，又是大于零的，或者等于零也可以，那么它 e 的 x 次方减去这个值就大于零，因为它是增函数嘛， 它是等于 e 的 x 次方减去 x 平方加二 a， x 减一。好，那么我们求一下它的导数等于多少？ 它的导数就是 e x 方，这里呢，减二 x 加二 a， 大家看一下，它的导数正好是 f x 一 模一样的等于 f x， 那 我们只要证明什么呢？证明 在 x 大 于零的时候，它是大于等于零就可以了，它大于零就可以了。 x 大 于零的是，当 x 大 于零时，它大于零就可以了。看看是不是 因为 x 大 于零， a 又大于这个。当 x 大 于零，还有一个 a 大 于 log 二减一，这两个都是成立的时候， f x 是 不是大于零？我们看一下， 我看一下 f x 的 导数是在 log 二，这一点是多少呢？它的值 它是等于零的时候，那么我们看看它最低点，这就是极值，极小值点，极小值点是 f log 二， f log 二是这个函数的极小值点，就是极小值点， 它是先减后增，就等于两倍的一减 log 二加 a， 因为 a 是 大于这个的， a 大 于 log 二减一，这个我们可以写成什么呢？ 这个可以写成两倍的 a 减去个二减一，因为 a 大 于它，所以是什么呢？它是大于零的， 也就极小之点大于零，那么我们就可以画个示图，它就是这里，它是这样的，如果这里是 log 二的话，它是在 x 轴的上方，也就是整个的 f x 都是大于零的时候， a 大 于 log 二减一的时候，它都是 f x 大 于零。 f x 大 于零什么意思呢？就是 g x 倒数大于零， g x 倒数大于零是什么意思呢？就是这个函数是增函数，这样的话，我们就证明了 g x 是 增函数。增函数我们现在考察，因为是 x 大 于零的时候，这个不等式成立。那么我们看看 g 零等于多少？ 积零呢？我们就要带进去，一得零，次方减零加零，减一就等于一减一等于零， 因为积零等于零，它又是增函数，那么我们可以画出一个积零的受力图，在零点等于零，它又是增函数。那么大于零点的时候，当 x 大 于零的时候，那么 g x 呢？就是大于零的。 g x 大 于零，就说明这个是这个大于零，这个大于零就是它 g x 大 于零，就是 g， 就是 e x 次方减去个 x 平方减二， a x 加一大于零，也就是 e x 方大于 x 平方减二， a x 加一。 这个证明这种不等式是导数应用的一个常用的呃解析方法。 只要是 x 等于零的时候， g x 等于零，而且它有增函数，那么 x 大 于零的时候，那么 g x 就是 大于零的增函数。 这边可能是这样过来，然后到具体怎样的话呢？因为它也是一直增加的，这只是矢图， 所以 g x 大 于零，当 x 大 于零的时候， g x 大 于零， e x 次方就大于 x 平方减二， x 加一。 像这样的应用，学生要求，要求学生熟练掌握，这是导数应用的常见题型，一定要非常熟练。