2025诸暨三模
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17:37查看AI文稿AI文稿同学们好，欢迎来到张老师数字课堂，今天我们一起来讲解二零二五年长郡三魔的二十五题。这道题呢，是一个有关于圆的综合题啊， 已知对角互补的四边形的四个顶点共圆。那这个啊，其实是我们以前在课堂上面讲过的，比如说 这个角加这个角等于一百八十度，那么 a、 b、 c、 d 就 四点共圆。我们在图中看一下，你看 a、 b、 c 在 这里啊， a 的 c 在 这里，如果这两个角互补的话，那么这个四个点就共圆。 第二个引理线段同旁张等角，那么四点共圆什么意思呢？也就是 a、 b 是 一条弦嘛。那么如果角 a、 c、 b 等于角 a 得 b， 则这四点也是共圆的。 因为 ab 是 一条定弦，这两个角是定角啊，所以是定弦 定角，那么这四点就共圆。好，有了这样的结论之后，我们接下来看题目要求我们算什么啊？ 如图二，在平面直角坐标系中点 m 的 坐标是六，逗号负二倍高三这个点的坐标已知。嗯，过圆点 o 做了一个圆， m 和 x 轴交于点的有一个动点 c 啊 c， 它的曲值范围是二到八 点。 a 在 第一项线，且三角形 o， a， c 是 一个等边三角形， o， a， c 是 一个等边三角形。继续 a、 c 的 平行线， a、 c 的 平行线交 o、 f 于啊，那这里 a、 c 就 平行于得一，我们可以自己标注一下 a、 c 要平行于得一。嗯， 继续。呃，其他就没有什么重要信息了啊。第一步要求角 o 的 m 的 度数， o 的 m， o 的 m 在 这里。 ok， 要求这个啊，那我们不妨过点 m 这条垂 往 x 轴做垂啊，垂足为 n。 好， 那题目给了我们这个点的坐标啊，给的是六逗号负二倍根号三的吧， 所以说那他的这一个纵坐标啊，这段长度就是二倍根号三，然后这段长度是六。好，很明显，这样一作比就可以求出这个角的贪婪值，那得到这个角的值是三十度啊， 所以这个角是三十度，这个角三十度，那这边这个角也是三十度，因为这是两个半径吗？嗯，所以这一边解决， 要求第二个角 a f o a f o。 看一下 a f o。 在 这里这道题目啊，其实难度不是很大，但是他就是图比较复杂，线很多啊，所以很多同学可能看到这道题会有点失去耐心，那么我们做重题一定要学会去简化。 我们要找的这个角是 af， 我 们看到在这里啊，求这个角，要求这个角，我们就会想到它旁边的这个角，是不是又是把这个角能求出来，是不是就可以求 afo 呀？ 啊？当然呢，也会用到我们刚刚讲的这个圆内接四边形对角互补这个性质，我们把弧 o 的 它所对的圆周角，咱们给它画一个出来， 比如说这个点，第一个点 k 啊，随便都可以，因为这个圆形角是一百二十度，那么同弧所对的圆周角是圆形角的一半，也就是说这个角是六十度。好，这个角是六十度，然后这个角跟他是互补的关系，因为这里是一个圆内接四边形嘛， 所以这个角就是一百二十度，那旁边这个角等于他的内对角啊，所以这个角就是六十度， 好，第一个是三十度啊，解决这是第一问，第二问，判断一下三角形得 e c 的 形状。判断一下得 e c 的 形状得 e c。 哎，大家目测一下，这应该是个什么图形？ 嗯，他应该看起来像是一个等边四角形，是吧？好，那咱们怎么去正一下啊？那因为什么呢？因为 a c 和得一是平行的关系，所以会有这一组同位角是相等的，也就是有角一得 c 是 等于六十度的， 他有的一个角是六十度，那如果我要正他是等边四角形，我只需要再正一个六十度，这个问题是不是就好解决？那咱们来想一想啊， 在整个过程中啊，在第一问，我们知道这个角是六十度，那他所对的这个对顶角也是六十度。好，你想这个角是六十度， 如果我能得到什么呢？得到这四点共圆的话，那么这个角他所对的弧是一的，那这个角是不是也是六十度？整个问题就解决了，对吧？好，所以我们现在的目标就是要去证一下这 四个点是否共圆。假如这四个点共圆的话啊，刚刚说了这个角是六十度，那么我们的 e、 f c 就 必须是一百二十度，对吧？所以我们的目标就变成了要求这个角是一百二十度。好，那咱们来看一下， 从我们的这一边啊来做文章看看，因为角 a、 c、 o 是 六十度，然后 a、 f、 o 是 不是也是六十度啊？哎，这两个角是不是相等，然后他们所对的弦是不是都是 a o 弦？很明显，那我们就相当于是什么呢？相当于是 定弦对等角嘛。所以说 a f、 c o 这四点是不是就共圆了呀？ a f c o 啊，四点共圆， 那这四点共圆之后，它们所对的就是同弧，所对的圆周角是会相等 好，那么我们这个角是六十度，所以这个角 o、 f、 c 也就会是六十度，这个大角就是一百二十度了，也就是能证出角 e、 f、 c 等于一百二十度。 好， e、 f、 c 是 一百二十度，然后这个角又是六十度，所以它俩是互补的关系，那就有角 e、 f、 c 加上角 f 的 c 等于一百八，所以四点共圆。啊，所以我们的这个 e 的 c、 f 这四点也是共圆的，那这四点共圆之后， e 的 c， f， 啊，四点共圆 好，它四点共圆之后，就会有对应的这个圆周角是相等的，那 e 的 所对圆周角，一个是 e、 f 的， 还有一个是 e、 c 的， 也就是这个角跟这个角相等了，所以这个角也等于六十度。好，那两个角都是六十度。啊，这个角六十度，这个角是六十度，所以三角形 e、 c、 d 就是 一个等边四角形， 也就是啊，在第二个这里，我们正了两组四点共圆， ok， 那 接下来我们把这个步骤啊给大家看一下，觉得写步骤有点困难的话，可以跟着我们的答案一起来看一看。 好，接下来我们一起看一下第三问， g y 等于 f a 加 f c 加 f 一， f a f c 一 啊，在这里请写出 y 关于 x 的 函数关系式， x 是 什么？别忘了啊， x 是 大题目告诉我们的点 c 的 横坐标啊，点 c 的 横坐标， ok， 那 我们先来观察下这个 y 这个表的式吧， f a 在 这里， f c 在 这里， f e 在 这里， 现在这三条线段并不共线，对吧？那不共线我们就没办法去进行它的一个求解，所以呢，这个时候我们第一步应该想的是把它们三个转换成一条线段，上面会比较好。呃，那这道题呢，它非常的特殊啊，因为这个题目中有很多的这个六十度的角， 刚刚我们已经正过了这个角是六十度，这个角六十度，这个角是不是也是六十度？好，那看到这个角六十度啊，我们就用到一个截长补短的方法，我们先在这个 f 得上面，我截取一段 f i， 截取一段 f i 啊，它是等于什么呢？等于这个 f c 的 好，这样一截完之后，我们把连接起来，它就变成一个什么三角形啊，等边三角形。因为这个角是六十度嘛， 这两条边又相等，所以它是个等边四角形。那如此一来啊，我们的 a f 加 f c 就 变成了 a， f 加 fi 了 a， 那 就变成这一段了，对不对？好，那么再去联想，可不可以证明 e、 f 跟 h 啊，跟 i 的 相等呢？ e、 f 跟 i 的 相等，如果要证 e、 f 跟 i 的 相等，我们就会联想到三角形全等。那说到四角形全等啊，我们就会 找一找啊，这里是不是有两个等边四角形，这有个等边四角形，这里也有一个等边四角形。出现两个等边四角形，并且过一个顶点，我们就会联想到什么样，联想到手拉手模型啊。好，那咱们去找找边。首先 ef 这条线啊， ef 这条边和我们的 c 多，这边一定是相等的，对不对？好，然后呢，刚刚说的 fc 这条边和我们的 i c 这个边数也是相等的，已经有两组边相等了吧，那我们就从他们的夹角左手，你看这个小角跟这个小角相不相等啊？很显然是相等的啊，我把它放大一点，这个角加这个角是六十度，我把标阿尔法，这是贝塔，那旁边这个角是不是也是阿尔法？因为他两相加也是六十度嘛， 所以就可以得出这个夹角和这个夹角是相等的。好，那两边一夹角就可以正三角形全等，那就有三角形 c、 f、 e 全等于三角形 c i 的是全等的。好，全等之后就会有 e、 f 等于的这个 id。 好， 那这个 e f 我 们也转换 id 这来了吧。那整个 y 的 长度就变成了 a f 加 f i， 再加 a 的 也就变成了整个 a 的 长度，所以整个 y 就 求 a 的 长度就可以了。那要求 a 的 啊，咱们来思考一下，要求 a 的， 我们就会再联想到这个三角形啊，去解三角形，看到这一个角是特殊的六十度，我们就会往左垂啊，过点 a 往这做垂， 因为这个长度是 x 吗？ o c 的 长度是 x 吗？你往这做垂，符合三线合一，所以这一段长度是不是就是二分之一 x， 然后这个角又是六十度，然后这个 o a 长是不是也是 x， 然后这一段长度就是二分之根号三的 x 吗？ 接下来这一段长度咱们是不是就可以表示出来了？因为整个 o 的 长度是一十二喽。呃，那这里我先定一个点吧。嗯，字母用的比较多啊，定一个什么呢？定一个 j。 好 吧，可能我现在取这个 j 和待会给你们看答案里面的字母不太一样，问题不大啊。 好，那就是说我们就可以得到这个 o j 的 长度是二分之一 x， 然后 a j 的 长度是等于二分之，根号三 x， 然后 j 的 长度就等于十二减二分之一 x， a 的 由勾股令你可得根号下 a j 的 平方加上 j 的 平方， 把它一带进来，就会变成一个关于 x 的 二次函数，那这个里面可以进行配方得到最值， 从而啊可以得到 a 的 这一个最小值。那我们通过计算啊，就是当 x 等于六的时候，它会有最小值，此时 x 等于六是符合题的，因为 x 取值范围是二到八嘛。 好，那当 x 等于六的时候，我们 c 就 正好是 o 的 的中点，那么它所对的这个圆形角就是六十度 弧 o f 的 长度啊，一百八十分之 n pi r， 这个 n 呢，就是刚刚说的六十度 r 呢，就是我们 o m 的 长度可以一致求出的啊。 好，以上呢就是这个第二问的思路，接下来我们一起看一下具体的书写步骤。 好，最终 o f 的 弧长啊，是三分之四倍的根号三派。 好，以上是第三问的过程，大家如果没有写完笔记，同学可以暂停一下啊，写完的同学咱们一起来看一下第四问，他说在图二中作 o a o 得 e 的 延长线交于点 b， 我 们把它延长一下吧，那就， 嗯，这有点 b 啊，这是 b 点呃，连接 b f， 请写出 b f 比上 f 的 最小值， b f 比上 f 的 f 的 在这里。呃，我们看下，求这两条边的最小值。暂时来说啊，是没有任何的条件可以用的，是吧。嗯，那我们来想一想，因为这是一个 这个题目啊，是不是有很多特殊角，也就是六十度。看到六十度，其实我们就会想到做这个等边四角形，那我们不妨啊，以这个的 f 为一条直角边，再给它构造一个等边四角形。 好，那然后我们给这里标个字母 z 啊。嗯， 这个三角形 z f d 也是个等边三角形，所以说我们求 b f 比 f 得， b f 比 f 得，就转换成什么呢？这个 f 得啊，我就换成了这个 f z， 所以 就变成了 b f 比上 f z 的 好，那我们不妨把这个 b z 先连接起来吧。嗯， b f 比 f z， 看到比值啊，我们就会联想到这个三角函数的求解，所以说，那我可以往点 f， 往这边做个垂， 做个垂啊，垂作为 s 吧，也就是说 b 啊，这个 f s 比上 f z， 它就相对是求这个角的三点值，是不是？嗯，然后我们的 b f， 它是会比 f z， 这个 b f 啊，它应该是大于等于 f s 的， 因为这是一条直角边嘛，你斜边如果是斜边的话，肯定是会大于它，要么就是 b 会跟 s 重合的时候会相等。所以说， 其实这个题目啊，已经初见模型了啊，就是说我们其实就是要求这个角的正弦值就可以了，因为它要求 b f 比它最小值嘛，那当 b f 最小的时候，我们这个比值是不会最小啊。嗯，那接下来就是要求这个角是多少度嘞？ 哎，这个角是多少度嘞？好，呃，就又回到之前，我们的这个三角形是一个等边三角形，对不对？然后这个大的三角形是不是也是个等边三角形？只要有等边三角形，它就一定会出现手拉手的全等啊。所以我们的这个 o f d 这个三角形 等一下 o、 f、 d 这个三角形全等，快点找找和我们的这个什么 b、 d、 z 这个三角形是全等的啊。 好，这两三根全等之后啊，你看一下这个大角和这个大角是不是相等了，而这个角是一百二十度，那这个角也是一百二十度。好，又因为旁边这个角是六十度，所以我们旁边这个角也是多少度啊？六十度，也就是角 b、 z、 f 啊，它是等于六十度的。 好，那咱们的这个 f、 s 比上这个 f、 z 其实就是等于三，以六十度的 对比斜吗？那三六十度就是二分之根号三喽。所以说啊，这个要求的 b、 f、 b、 f、 c 的 最小值啊，它就应该是二分之根号三，所以是大于等于二分之根号三。 好，这个第四问的过程呢，比较清晰啊，步骤我就不写了，如果有疑问的同学可以在评论区留言。好，同学们整理好笔记，下课。
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