2023新高考一卷理综
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00:26查看AI文稿AI文稿二零二三年的高考啊，今天终于结束了，那今天上午李宗的试卷难度来说呢，跟去年相比啊，整体是要简单一点的。那我们新疆的全国语卷，整个高考的试卷难度跟二零二二年比啊，都是要简单一点的。说到这，二零二二年的考生是不是要哭了， 那孩子们呢，整体的发挥呢，可能要比咱们去年发挥的好一点，所以可能整体的分数呢，也会小幅的上升一点。那咱们的批次线到底是会长还是会升呢？让咱们拭目以待吧。
06:20查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这段时间我在免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二、高三都可以，我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！ 这是二零二三年新高考一卷的第十七题，很多同学一看到这种角关系的式子就发蒙，不知道从哪下手。想在高考冲上一百二十分，这道题咱们必须在八分钟内满分。真正值钱的地方是先从内角和找出隐藏的角。 题目说，在三角形 a、 b、 c 中，角 a 加角 b 等于三倍的角 c， 而且二倍的三括号 a 减 c 等于三 b。 第一问求三 a， 第二问说，如果 ab 边长等于五，求 ab 边上的高。咱们先从内角和定里找突破口，把角 c 算出来，再利用展开公式，一步步把 a 解出来。思路其实非常清晰。 咱们先来看第一问，拿到解三角形的题，看到角 a 加角 b 等于三倍的角 c， 大家要有条件反射，三角形的三个内角和 a 加 b 加 c 永远等于一百八十度，也就是派。 那既然 a 加 b 等于三倍的 c， 我 们把 a 加 b 换成三倍的 c 带入内角和公式里，也就是三倍的 c 加上 c 等于派四个 c 等于派两边同除以四，所以角 c 就 等于四分之派。你看这么简单，就拿到了第一个关键数据。 接下来咱们看题目给的第二个条件，二倍的三括号 a 减 c 等于三阴 b。 这里有个非常重要的技巧，很多同学在这里会犯错，直接去拆左边的括号，咱们千万别急，先观察右边这个三阴 b， 三角形里碰到单独的角，一定要想到用内角和去转化它。角 b 等于派减去括号 a 加 c， 所以 三音 b 就 等于三音括号，派减去 a 加 c。 根据诱导公式，三音括号派减一个角就等于三音这个角本身，所以三音 b 直接就变成了三音括号 a 加 c。 这样一来，原来的等式就变成了左边是二倍的三因括号 a 减 c， 右边是三因括号 a 加 c。 接下来我们要做什么呢？当然是用两角和差的正弦公式，把两边都展开，把未知的角 a 给剥离出来， 左边展开二倍保留在外面，里面是三因 r 乘以 cos 减去 cos a 乘以 cos a， 右边展开就是三因 r 乘以 cos c， 加上 cos a 乘以 cos c。 刚才咱们算出来，角 c 是 四分之派了，对吧？四分之派的正弦和余弦都是二分之根号二，我们把二分之根号二全部带进去。为了计算方便等式，两边每一项都有二分之根号二，咱们直接把它们全部约掉，这样左边就只剩下二倍的三音 r 减去二倍的 cosi， 右边就剩下了三音 r 加上 cosi， 我们把右边的三 a r 移向到左边。二倍的三 a r 减去三 a r 变成一个三 a r， 再把左边减去二倍的 cosi 移向到右边，加上原来的 cosi 就 变成了三倍的 cosi。 所以 我们得到了一个极简的关系式，三 a r 等于三倍的 cosi。 走到这一步，求三 a r 就 易如反掌了。因为三 a r 的 平方加上 cosi 的 平方等于一，我们把三 a r 等于三倍的 cosi 带进去，也就是三倍 cosi 的 整体平方变成了九倍的 cosi 的 平方，再加上一个 cosi 的 平方，总共是十倍的 cosi 的 平方等于一， 所以 cosi 的 平方就等于十分之一，那 cosi 的 平方就等于十分之九。因为在三角形里， cosi 等于三倍的 cosi 凹，说明 cosi 凹和凹凹同号角 a 肯定是个锐角，正弦值必须是正的。 我们对十分之九开根号分子变成了三分母，是根号十上下同乘根号十。有理化一下三啊，就等于十分之三倍的根号十。第一问完美搞定， 接下来咱们看第二问。已知 ab 边的长度等于五，也就是小 c 等于五。题目，让求 ab 边上的高， 这里咱们要先明确怎么求高，大家在脑子里画个图过一下。如果在三角形 a、 b， c 向底边 ab 做垂线，这条高我们叫它 h。 利用直角三角形的性质，这条高 h 是 不是就等于边长 a c 乘以 c n i 呀？边长 a， c 其实就是小 b， 所以 我们只要算出小 b 的 长度，再乘以第一问，算出来的 c、 n、 i 高就出来了。 那现在的小问题就是怎么求边长 b 呢？已知条件有小 c 等于五角， c 是 四分之派，我们是不是得用正弦定理啊？ 正弦定理说， b 除以 c， n， c 等于 c n c， 这里 c 知道了， c、 n c 知道了。咱们先来算 c、 n、 b。 前面咱们推导过， c、 n， b 等于 c， 括号 a 加 c， 也就是 c r 乘以 cos， 加上 cos 乘以 cos。 把数据都带进去， cos 是 二分之三倍的根号十， cos 是 二分之根号二，这两个乘起来是二十分之三倍的根号二十，再加上 cos a 是 十分之根号十乘以 cos i 是 二分之根号二乘起来是二十分之根号二十。这两个加在一起就是二十分之四倍的根号二十。 根号二十可以化简成二倍的根号五，所以分子变成了四乘以二倍的根号五，也就是八倍的根号五。八倍的根号五，除以二十。分子分母同时除以四，约分 c、 n、 b， 就 等于五分之二倍的根号五。有了 c、 n、 b， 我 们马上代入正弦定律，求 b， b 等于 c 乘以 c、 n、 b 除以 c、 n， c 是 五乘以 c、 n、 b， 也就是五分之二倍的根号五。五和五约掉，分子就变成了二倍的根号五，再除以 c、 n、 c， 也就是二分之根号二。 二倍的根号五除以二分之根号二。咱们把分母的二翻上去，分子就变成了四倍的根号五，再除以根号二。分子分母同时乘以根号二，就变成了二分之四倍的根号十。约分之后，就得到了 b 等于二倍的根号十。好了，最后一步水到渠成， ab 边上的高， h 等于边长， b 乘以 c、 r， 把 b 等于二倍的根号十和 c、 r 等于十分之三倍的根号十相乘，二乘以三等于六，根号十乘以根号十等于十。分子是六十除以分母十，结果正好等于六。这道题的高就是六。咱们来总结一下这道题，第一问的答案是十分之三倍的根号十。第二问的高是六。 解三角形的题，看到多个角和遇单角向负角靠，把 b 变成 a 加 c， 就是 这题破局的核心。 数学的学习要从自身的实际情况出发，而不是盲目的刷题题，刷了一堆分数，纹丝不动。这段时间我在免费给同学们做一次数学摸底，你把摸底做完发我，我给你出一份分析报告，再配一份规划，高一高二高三都可以，我一天只能看几份。入口就在评论区的杨老师摸底规划群。 最后留一道同类思考题给大家。在三角形 a、 b、 c 中，如果角 a 加角 b 等于两倍的角 c， 而且二倍的三 a 括号 a 减 c 等于根号三倍的 cos b， 你 能求出角 a 的 大小吗？你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
50杨老师秒解数学
08:48查看AI文稿AI文稿高中数学不用慌，小江带你一起闯！各位同学大家好，欢迎来到我们高考大题专题突破的三角函数合集，我们今天要分享的是 二零二三年新课标一卷的第十七题，这道题目呢，也是一个非常经典的解三角形的一个范例，我们现在就具体来看一下。 首先题目当中给了我们一个条件是 a 加 b 等于三 c， 那 么首先我们是不是可以把它化成 pi 减 c 等于三 c， 那 么这样的话， c 是 不是等于四分之 pi 一下子就算出来了，对吧？那么接下来右边的二倍的三 a 减 c 等于三 b， 我 们可以根据 c 来计算啊，那么我们来写一下具体的过程。首先因为 a 加 b 等于三 c， 所以 pi 减 c 等于三 c， 最终我们得到了 c 是 等于四分之 pi 的。 然后接下来呢，我们来看第二个条件，二倍的撒引 a 减 c 等于撒引 b， 那么首先在这里的话呢，一个式子当中就同时出现了我们三角形的三个角，那么这种情况我们肯定是优先减少变量，对吧？对于三角形来说，我们满足 a 加 b 加 c 是 等于 pi 的， 所以在这里呢，我们要想到能够把撒以币化成什么， 是不是撒引 b 就 等于撒引派减去 a 加 c， 从而通过这种方式可以减少变量，对吧？再结合三角函数的诱导公式，它其实就等于撒引的 a 加 c， 而我们的 c 是 已知的，这个时候我们把它带进去，这道题目是不是就可以解决了，对吧？好，那么带入 c 等于四分之派啊，我们就得到了二倍的撒引 a 减四分之派等于三引 a 加四分之派，这个时候我们再来展开，就可以得到 根号二倍的三引 a， 减去根号二倍的考三引 a 等于二分之根号二的三引 a， 加上二分之根号二的考三引 a， 从而我们就得到了 二分之根号二的三 a 等于二分之三倍根号二的 cosine a， 最终 tangent a 是 等于三的 已知 tangent 如何去求 sign 呢？其实这个也是我们在解三角形当中经常考到的，一个知一求二对不对？知道其中的一个去求另外一个啊？我们最简单的方法就是辅助三角形，我们知道一个三角函数值，它本质上是两个部分，一个是它的符号， 另外一个是它的值到底是多少？那比如说现在我们可以先画一个三角形， 比如说这个就是我的角 a， 我 们知道 tangent a 是 三，那么是不是可以假设这里是三，这里是一，那么这里是不是更好使呀？ 对吧？那么从而呢，我们的这根据这个三角形三 e a 的 值，它就应该是对边比上斜边，就是三比更好使。然后呢，三引在我们三角形当中， a 的 话肯定是在零到派之间的，它肯定是正的， 所以最终呢，我们就可以根据这个辅助三角形得到这个三 a 的 值，就应该是等于十分之三倍根号时，那么第一小问就解决了。接下来我们来看第二小问， 第二小问又告诉我们一个条件， ab， ab 是 哪条边呢？是不是 c 呀？ c 是 等于五的，让我们去求 ab 边上的高。那这个时候呢，我们不妨还是再来梳理一下已知条件有哪些啊？但是要注意竖形结合，我们先把这个图画出来。 好，我们假设这有一个三角形 abc， 我 们来看一下。首先呢，我们知道 a 是 知道的， 然后我们前面还求过 c 是 知道的，那其实 a c 知道是不是 b 也知道了，所以现在相当于我们已知三角了。那么已知三角我们最常见的是不是可以根据正弦定力求出三边的比值 对不对？而其中的他还告诉我们 c 是 等于五的，那么其实三边都可以求了，对吧？首先我们知道这个三角形，现在它就是一个完全透明的三角形，它的每一个信息我都是可以借助正弦定力，借助我的已知条件求出来的。 接下来我们就看我们需要什么啊？求 ab 边上的高，那么我们先过 c 做 ab 的 垂线，假设是稿点，那么让我们去求 c 倒， 那么 c 倒是什么？是不是根据我们这个图像，我们就可以得到 c 倒，显然是等于 a， c 乘以三 a 的， 也就是 b 乘三 a， 而在这里 a 是 知道的，所以接下来我的任务就是把 b 求出来，而 b 是 怎么求的呢？我们是不是要用正弦定力来做呀？对吧？那么就沿着这个思路啊，我们先把第二小题的过程给大家写一下。首先呢，我先把辅助线说清楚啊， 就是过 c 做 c 倒垂直于 ab， 那 么则我们知道所求的 ab 边上的高， 其实就是 c 岛的长度，它呢，其实就等于 a， c 乘以三 a， 也就是 b 乘三 a。 根据题目的已知条件，我们第一小问已经算过三 a 了，所以就是 十分之三倍根号十的 b， 所以 接下来我们的核心任务就是把 b 等于多少求出来，而我们应该怎么求呢？是不是刚刚我们说过要用正弦定理，对吧？好，那么由正弦定理， a 比撒引 a 等于 b b 撒引 b 等于 c b 撒引 c， 我 们来看一下啊，现在我们要求的是 b， 我 的已知条件呢，是知道的是边， c 是 等于五的，所以我接下来需要算的是撒引 c 和 撒引 b， 对 不对啊？而题目当中呢，我们现在是知道的是 a 和 c， 所以 首先第一步我要先把 b 算出来，好，那么因为 撒引 a 等于十分之三倍，根号十， c 是 等于四分之派的， 所以我们要先来算一下 sign b sign b 是 什么呢？根据我们刚刚说是不是可以写成 sign， 应该是 pi 减去 a 加 c 呀，对吧？那么是不是就等于 sign a 加 c 呀？ 根据公式，其实就是撒引 a 考撒引 c 加上考撒引 a， 撒引 c， 好， 那么我们来看一下啊，这里其实我们还需要算一下考撒引 a 对 不对？好，那么我们根据刚刚我们讲的这个辅助三角形的方法，我们来算一下这个考撒引 a 是 多少， 那么由于在这里我们第一小文知道这个 tagging a 是 正的，撒引 a 是 正的，那么其实最终这个考撒引 a 是 不是也应该是正的呀？ 再借助我们刚刚这个辅助三角形啊，辅助三角形里面 cosine a 应该是等于零边比上斜边，那么就是十分之根号时，所以我们这里可以直接写了啊， 那么最终我们算出来这个考三引 a 等于十分之根号十，所以在这里呢，就是十分之三倍根号十乘以二分之根号二，加上十分之根号十乘以二分之根号二，这个结果就是 五分之二倍根号五，所以接下来我们就可以把这个 b 算出来了，对吧？那么最终的话， b 呢，就等于 c 乘三以 b 比上三以 c， 我 们来代一下啊，就等于 五乘以五分之二倍根号五，除以二分之根号二，最终这个结果就等于二倍根号十，所以最后我们得到的这个 a b 边上的高 c 倒就应该等于十分之三倍根号十，乘以二倍根号十，结果就等于六， 这就是我们这道题的一个完整过程啊，大家会发现，只要你能够从一个更高的角度先去梳理一下这个三角形当中的已知条件是什么，我们先明确思路，你应该用什么定理，那么接下来其实就是一些计算的问题。好，那么我们今天的分享就到这里。
55小姜爱数学
08:18查看AI文稿AI文稿高中数学不用慌，小江带你一起闯！各位同学大家好，欢迎来到我们的高考大题专题突破函数合集， 今天我们要给大家分享的是二零二三年全国一卷的第十九题，这道题目呢，难度也是比较适中的。第一小问就是我们在导数里面最常出现的，根据参数的范围去讨论 f x 的 单调性。 第二小问呢，也是导数的高频考点，就是不等式的一个证明，那么接下来我们就具体来看一下。首先我们在讨论函数的单调性的前提是去明确函数的定义，那么这里的话，函数的定义显然是 x 属于二的。然后接下来呢，我们就可以进行求导， f 一 撇 x 等于 a 倍的 e 的 x 减一，那么在这里其实也是很明确的， 我们要想讨论单调性，最重要的是搞清楚 a 的 范围，那么由于在这里呢，后面是一个负的，而这里是一个正的，这里是负的，所以我们会发现，当 a 为 负数或者为零的时候，整个一阶导是负的，那这个时候就比较明确了，所以我们对于 a 的 分类标准就是小于等于零和大于零。 那么我们来写一下，首先当 a 小 于等于零时，显然我们的 f、 e、 p、 x 整体是小于零的，那么 f x 就 会在它的定域范围内单调递减。 第二种情况是 a 大 于零的时候，那么我们对 e 阶导求零点 f， e， p x 等于零，那么这样的话， e 的 x 等于 a 分 之一 退出来， x 等于 long， a 分 之一，也就是负的 long a。 那 么我们再分析一下一阶导的单调性啊， 由于我们这里 a 是 正的，所以这个 a e 的 x 减一，这个函数整体上是单调递增的，而这里有一个零点是负的 long a， 所以 以这个点为分界线，左负右正，单调性就很清晰了。 所以当 x 属于负无穷到负的 long a 的 时候， f 一 撇 x 小 于零， f x 单调递减， 而当 x 属于负的 long a 到正无穷的时候， f 一 撇 x 大 于零， f x 单调递增。 好，这个就是我们的第一小问，根据参数的范围去讨论单调性比较简单，接下来我们来看一下第二小问， 我们可以先分析一下啊，让我们证明当 a 大 于零的时候， f x 大 于它，那么根据我们去证明不等式的一般思路，大家想一下，我要证明这个函数大于二倍的，论 a 加二分之三是不是等价于去证明它的 最小值，大于二倍的 long a 加二分之三就可以了，对不对？所以接下来我们是需要对这个函数怎么样，是不是求导看最小值就可以了啊？所以我们根据这个思路来进行第二小问好。首先呢，由一，我们知道， 当 a 大 于零时， f x 在 负无穷到负的平方 a 是 减的，而在负的平方， a 到正无穷是增的，所以 f x 的 最小值应该是在负的平方 a 的 时候取到，对不对？我们代入就是 a e 的 负的 long a 加 a， 然后再加上 long a， 而 e 的 负 long a 就是 a 分 之一，然后我们整个展开，其实就是一加 a 的 平方加上 long a， 那 么接下来我们可以说要证 f x 大 于我们这里的二倍的 l n a 加二分之三，然后集正 f x 的 最小值，也就是一加 a 方加上 l n a 大 于二倍的 l n a 加二分之三，那么我们可以进行一个移项，把一边变为零啊，集正什么呢？ a 方减去论 a， 这里应该是减二分之一大于零，那么接下来我们要证明一个关于 a 的 表达是大于零，那么这样的话，就可以把它想象成是一个关于 a 的 函数，对不对？按照我们的思路，那么我们可以怎么样呢？去设这个函数是 g， a 等于 a 方减去论 a 减二分之一， 然后我们说要证 g a 要怎么样呢？大于零， 那么其实我们证什么就可以了，是不是证明他的最小值大于零就可以了？那么接下来我们是不是要求这个函数的最小值呀？对吧？好，所以我们要进行求导啊，那么求导的前提是明确范围，这里 a 是 大于零的。 好，所以我们来求导。记一撇， a 呢，就等于二， a 减去 a 分 之一，然后通分等于 a， 二， a 方减一， 显然在这里分母是正的，我们的整个一阶导的正负完全取决于分子，而分子在这里呢，又是一个开口向上的二次函数， 根据我们的定域是零到正无穷。我们只看右边这一部分，这里的零点显然是多少呢？是不是应该是二分之根号二呀？对吧？所以我们可以直接写啊，当 a 属于 零到二分之根号二的时候，我们的 g 一 片 a 是 小于零的， g a 是 单调递减的， a 属于二分之根号二到正无穷的时候， g 一 撇 a 是 大于零的， g， a 是 单调递增的。那么这样的话，我们就在 a 的 时候取到先减后增，取到极小值，所以 g x 大 于等于二分之 根号二。代入的话，首先就是二分之根号二的平方，减去零二分之根号二，然后再减 二分之一，我们来看一下啊，那么在这里二分之一和二分之一约掉了，对吧？所以这个结果就应该等于负的零二分之根号二，而我们知道这里的话，二分之根号二， 它其实就是二的负二分之一次，所以整个的话，零二分之一的零二跟前面的符号约掉以后，就等于什么？ 等于二分之一的零二，那么显然它是大于零的，因为零二是大于零的啊，那么这样的话，我们得到 g x 整体大于零，那么是不是就正完了，对吧？那么在这里我们会发现啊，这里应该是 g a 啊，那么这样的话， g a 大 于零，我们就正完了，因为它的最小值都是一个正数，那就正 b 了。 好，那么我们这个题目就是这样的，我们接下来给大家再来把这个问题梳理一下啊。 首先呢，我们要证明这里的 f x 大 于二倍的洛 a 加二分之三，那么就相当于要证明它的最小值大于二倍的洛 a 加二分之三。那么经过我们第一问的分析呢，我们知道 f x 的 最小值在这里是等于一加 a 方加上洛 a 的， 所以问题就转化成了这个不等式，最终经过化简，也就是 a 方减洛 a 减二分之一，要大于二， 要大于零，那么我们的做法就是把它看成是一个新的函数，通过呢去求这里的 g a 的 最小值得到了，它是 g 二分之根号二是一个正数，最小值都是正数，那么整体当然大于零啊，然后就正完了，那么我们今天的分享就到这里。
114小姜爱数学
06:12查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？更多精彩内容可以看我们一人一案的系统冲刺课，高一、高二、高三都可以，我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路！ 这是一道改编自二零二三年新高考一卷第十七题的解三角形大题，想在解答题第一道稳拿满分，这道题大家最好在八分钟内拿下。 很多同学一看到这种角关系就喜欢瞎凑，其实这题真正的突破口在于把所有的角都往一个已知角上化简。咱们先来看题，在三角形 a、 b、 c 中，已知 a 加 b 等于五倍的 c， 并且二倍的 sine， 括号 a 减 c 等于 sine b。 第一问，求 sine i 的 值。第二问，如果 a、 b 等于六，求 a、 b 边上的高。 咱们解析的大方向很明确。第一问，利用内角和定理把 a 加 b 替换掉，算出 c， 再展开后面的三角函数式子求出 a。 第二问，则是通过算出的角度去判断三角形形状，从而快速求高。 咱们先来解决第一问，你看题目给的第一个条件， a 加 b 等于五倍的 c。 很多同学在这里会犯错，直接拿着这个式子去代入第二个条件，那就越算越复杂了。 这里有个非常重要的技巧，在三角形里，只要看到 a 加 b， 一定要条件反射的。想到三角形内角和定力，也就是 a 加 b 加 c 等于一百八十度，也就是派。 既然 a 加 b 加 c 等于派，咱们把 a 加 b 换成五倍的 c 带进去，也就是五倍的 c 再加一个 c 等于派。合并一下六倍的 c 等于派，两边除以六，这样我们就直接算出来了， c 等于六分之派，也就是三十度。 这步很关键，角 c 一 旦确定，后面的路就平坦了。接下来咱们看第二个条件，二倍的 sin 括号 a 减 c 等于 sin b。 现在 c 知道了，我们要找 a， 那 这个 b 就 显得很多余，怎么把 b 消掉呢？同样利用内角和定力， b 等于 pi 减去括号 a 加 c。 那 么等式右边的 sin b 就 等于 pi 括号 pi 减去括号 a 加 c。 根据诱导公式，既变偶不变符号看象限。三引括号派减去一个角，就等于这个角的正弦值，也就是三引括号 a 加 c。 现在咱们把算出来的 c 等于六分之派带入进来等式左边是二倍的三引括号 a 减六分之派。等式右边变成了三引括号 a 加六分之派。接下来我们要做什么？显然是要把这两个括号里的东西展开，把 sin 和 cos 分 离出来。大家回忆一下两角合差的正弦公式。 左边展开二倍的放在最外面，括号里面是三也乘以扣散六分之派减去扣散乘以三也六分之派。右边展开是三也乘以扣散六分之派。加上扣散乘以三也。六分之派。 咱们把具体的数值带进去，扣散六分之派是二分之根号三三也六分之派是二分之一。所以左边变成了二倍的括号，里面是二分之根号，三倍的三也减去二分之一倍的扣散。右边变成了二分之根号，三倍的三加上二分之一倍的扣散。 我们把左边括号外面的二乘进去，二乘以二分之根号三就是根号三，二乘以二分之一就是一，所以左边化简成了根号三倍的三减去 cos 右边照抄还是二分之根号三倍的三，加上二分之一倍的 cos。 接下来移项合并同类项，把含有三也的移到等号左边，含有 cos 的 移到等号右边，左边是根号三倍的 cos， 减去移过来的二分之根号三倍的 cos。 通分相减，剩下二分之根号三倍的 cos， 右边是二分之一倍的 cos。 加上移过来的 cos， 也就是一倍的 cos。 加起来变成了二分之三倍的 cos， 也就是二分之根号三倍的 cos 等于二分之三倍的 cos。 两边同时乘以二，得到根号三倍的 cos， 等于三倍的 cos。 两边再同时除以根号三也除以 cos， 我 们就得到了 cos。 除以 cos 等于根号三，也就是摊内等于正的根号三。说明 a 是 一个锐角，而且是我们非常熟悉的特殊角 a 就 等于三分之 pi， 也就是六十度。 题目要求的是什么？是三 a， 既然 a 是 三分之派，那么三 a 就 等于三也三分之派，结果就是二分之根号三。第一问，我们就圆满拿下了。 接下来咱们看第二问，已知 ab 等于六，要求 ab 边上的高。这里到底该怎么求呢？很多同学一上来就想去画个高线，然后用正弦定律去求边长，再用面积公式去倒推。咱们先别急着算，先回头看看第一问，我们求出了什么？ 我们已经知道，角 c 等于三十度，也就是六分之派。角 a 等于六十度，也就是三分之派。在三角形里，知道两个角，第三个角自然就出来了。角 b 等于一百八十度，减去角 a， 再减去角 c， 也就是一百八十度，减六十度，减三十度等于九十度，也就是二分之派。 这个数字一出来，题目就变得非常简单了，角 b 是 直角，这意味着三角形 a、 b、 c 是 一个以角 b 为直角的直角三角形。 题目让我们求 ab 边上的高。你想想，在一个直角三角形里，两条直角边是互相垂直的，既然角 b 是 直角，那么边 bc 和边 ab 就是 互相垂直的，也就是说， ab 边上的高其实就是直角边 bc 的 长度。 这题真正考的不是让你去硬算高线，而是先判断三角形的形状。既然目标变成了求 bc 的 长度，这就太容易了。 在直角三角形 abc 中，角 a 是 六十度，它的对边是 bc， 邻边是 ab， 我 们要找对边和邻边的关系，当然是用正切函数 贪 a 等于 bc 除以 ab， 把已知数据带进去贪六十度等于根号三， ab 等于六，所以根号三等于 bc 除以六。把分母的六乘到等号左边，我们就得到了 bc 等于六倍的根号三。因为 bc 就是 ab 边上的高，所以 ab 边上的高就是六倍的根号三。 这步推导大家一定要看懂。遇到求高的问题，先判断是不是直角三角形，能省去一大半的计算量。好，那么来总结一下这道题。第一问的答案是 c 纳等于二分之根号三。第二问， ab 边上的高是六倍的根号三。 回顾一下整道题核心的突破口就一句话，看到多角混合，先找内角和利用 a 加 b 加 c 等于一百八十度这个隐藏条件，把两个角的和转化为第三个角，这是解三角形最常用的降维打击。 第二问则是提醒大家，算边长和高之前，先看看角是不是特殊的直角，千万不要盲目去用正弦与弦定力硬算。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。 最后留一道同类思考题给大家。在三角形 abc 中，已知 a 加 c 等于三倍的 b， 并且根号三倍的三引括号 a 减 b 等于 cos c。 第一问，求 cos i 的 值。第二问，如果 a、 c 等于四，求三角形 a、 b、 c 的 面积。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
191杨老师数学精讲
25:43查看AI文稿AI文稿第一题，要求集合 m 与 n 的 交集，那么 n 的 意思就是说，满足 x 方减 x 减六大于等于零的所有实数可因式分解成 x 减三乘以 x 加二， 那么它的解集就是小于等于二或者大于等于三，而 m 中满足这个的只有负二，所以选 c。 第二题，嗯，虚数的一个化简， a 等于分子，分母同时乘以二减二 i， 那么分母就变成了八， 然后分子是相乘为二，这边相乘加二减 i 减二 i， 也就是四减四， i 等于二分之一 减二分之一 i， z 减 z， 八就等于二分之一减二分之一 i 减二分之 一 i 的 和，也就是负 i。 所以 这题选 a。 第三题坐标表示，那么 a 加向量 a 加 luma， 向量 b 就 可以表示为一加 luma， 一 减 luma 垂直于一加 miu， 一 减 miu， 那 么既然这样，也就是说可以表示为它们的数量积等于零。 而两个向量的数量积其实就是横坐标相乘，纵坐标相乘，也就是可以表示为一加两 d， 一 加 m u 加上一减两 d， 一 减 等于零，也就是 lamda mousse 加 lamda mousse， 加一加 lamda mousse 减 lamda mousse 加一等于零，也就是二 lamda mousse 加二等于零， 解得 lamda mousse 等于负一。所以选到 第四题，它是一个指数函数，在区间零一上单减。那么我们知道，函数如果是二的 x 次方，它的函数图像是长这个样， 呃，这个样子的这个点呢？是一在零到一这个区间内，它应该是单调递增的，而为了让它在零一内单调递减，只需要满足 x 乘以 x 减 a 在 零一区间内单减就可以了，这是一个二函数，开口向上对称轴为二分之 a， 为了在零一单调递减，说明对称轴二分之 a 一定在 a 的 右侧， a 大 于等于二，也就是 a 属于二到正无穷的区间。选到 第五题，可以把它表述为， x 方除以 a 方，加上 y 方除以一方等于一， x 方除以二方加上 y 方除以一方等于一， 那么它的 c 就 可以求，也就是根号下四减一根三 e 二就是 c 二除以它的 a， 也就是二分之根三。 而又因为 e 二等于根号三倍 e 一， 那么把它 e 二除以根号三，也就是二分之一。 然后再看这个，它的 c 就是 根号下 a 方减一 c 一， 那么 e 一 就应该等于的。根号下 a 方减一去除于的 a 等于二分之一。交叉相乘过后，再开平方，可呃，再平方就可以得到四， a 方减四等于 a 方三， a 方等于四， a 就 会等于 这个正负的三分之二跟三。那么这里因为 a 方 a 大 于一嘛，所以肯定是不用考虑负的，那么最后答案就是 a。 然后这一题，这一题我当时做的时候呢，是蒙的，先把这个化简，得到 x x 减二的平方加上外方等于五，那么也就是说这是一个圆心在二零，半径为根号五的一个圆， 那么我就知道它这个圆肯定是圆形为二零与外轴交点刚好是一和负一的，那么过点零负二，就是这个图画的不太标准。看一下， 总之就是 这里有一条 切线，这里有条切线， 这里图画的不太标准。然后我在我的试卷上画出来呢，它其实看起来是类似于一个这样子的钝角，离九十度比较接近， 那么因为这道题这个切线方程什么的，我也是没有很多的学过，那么我就因为呃 sine 九十度是等于一， 而我画出来是个角，它就不等于一，那么我就挑了一个离一最接近的，也就是 b。 第七题， s n 为它的前项之和。 要判断甲和乙它们之间的关系，那么先假设 若甲成立，那么设这个 a， 它竖列第一项 a e， 那 么 a n 就 等于的 a e 加上 n， d 减 d， 然后要求前面几 n 项的和，就等于 a 一 加上 a 一 加 d 加点点点，一直加到 a 一 加上 n 减一个 d， 那 么就等于 n 个 a 一 加上从一二一直加到 n 减一，也就是二分之首项加末项 n 乘以 n 减一个 d， 那 么 s n 除以 n 就 等于的 a 一 加上二分之 n 减一个 d， 那么我们其实会发现，与这个式子比起来，它其实就是相当于手相是同一个。但是我们的 这个东西，它的公差是原数列的一半，那么也就是若甲是等差数列，那么甲就是乙的充分条件。 然后那么同理，如果已是成立的，那么 s n 除以 n 就 应该等于的 a e 加上 n 减一个 d， s n 就 等于 n 个 a， e 加上 n， 呃， n 乘以 n 减一个 d， 因为这是前几项的和，那么可以推出来每一项就是 a 一 加上， 也就是说都是刚好满足这样一个情况，那么它的公差就是二 d。 所以 若以这个竖列是等差竖列，则 a n 也是等差竖列。假是以的必要条件， 所以这题应该选 c。 接下来是第八题， 这里有一个差角公式，然后这个刚好是里面的一部分，这个呢，可以看成 cosine 二的 alpha 加 beta， 那 么我们首先先把这个拆开， sign alpha 减 beta 等于正于，减于正 等于三分之一，这个是六分之一，所以这个是二分之一，而因为这里是有一个 阿尔法加贝塔，那我们可以把这个写出来，也就是相当于把这个符号改变一下，二分之一加六分之一等于三分之二， 那么 cosine 阿尔法加贝塔就可以求出来，也就是根号下一减九分之四，三分之根五， 然后因为我们是二倍，所以可以算二阿尔法加二贝塔，其实就是二 sine 阿尔法加贝塔。 cosine 阿尔法加贝塔， 这个是三分之二，三分之根五，最后算出来就是九分之四。根号五， 那么它的平方就是八十一分之八十。 呃， cosine 方二阿尔法加二倍，它等于八十一分之一，那么 cosine 二阿尔法加二倍，它照理应该是等于正负的九分之一， 那么接下来就需要判断一下符号，那我们看这个，嗯， 它阿尔法加 beta 的 正弦值是三分之二，所以二根号三， 因为在直角三角形中应该是小边对，小角，那么知道这个角肯定是不会大于四十五的，一定是小于四十五， 所以把它两倍过后呢，肯定也还是个第一项线角，所以它就是正的，那么计算就应该是九分之一，那么答案就是选 b。 然后第九题当时做的时候是错的， 但是首先第一个它平均数要等于平均数，那肯定是不一定的，随便取一个返利就可以，大约上就一一一一平均数是一，然后 零一一一一一百，它的平均数是不可能等于一的，那么 a 是 可以很容易排除掉 第二个它的中位数，那么二三四五中的中位数呢？肯定是把它从小到大排过后，取中间那两个数的平均值。 而中位数还有一个特点就是去掉最大值和最小值，中位数不变，所以 b 选项是正确的，因为 x 一 最小， x 六最大， 然后标准差，这个就不知道怎么判断。还有这个极差，极差的话还是假设一下吧， x 二小于等于 x 三小于等于 x 四小于等于 x 五。 那么实际上我这么设其实是没有关系的，那么他们的极差就应该是 x 五减 x 二，而他的极差呢，是 x 六减 x 一 不大于，也就是小于等于。在 x 一 等于 x 二， x 五等于 x 六的时候，他们取，等 x 一 小了或者 x 六大了，就会取到小于号。那么 d 选项也是对的， 答案应该是 b 道，我选了 bc 道。 然后第十题。 第十题，呃，它的升压墙，也就是这个东西就是 l p 等于二十乘以 log p 零分之 p， 其中 p 零呢，是个常数， p 是 实际升压，也就是我们要求这个，那么也就是说 log p 零分之 p 就 等于的二十分之 l p， 那么我们同时把它作为 e 的 一个指数，就可以得到 p 零分之 p 等于 e 的 二十分之 l p 次方， p 呢，就等于 p 零乘以的 e 二十分之 l p， 那么这个时候 p 一， 也就是燃油汽车，就应该是在 p 零乘以 e 的 三次方到 p 零乘以 e 的 四点五次方， p 二就是在 p 零乘以 e 的 二点五次方，到 p 零乘以 e 的 三次方， p 三就是 p 零乘以 e 的 二次方， 那么这个时候 p 大 于等于 p 二是没问题的，取等呢？就在三的时候取，等，剩下时候，因为 e 是 是大于二的二点七几， 也就是约等于二点七八，那么这个时候 e 带进去它的几次方肯定是大于等于它 a 没问题的， p 二大于十倍， p 三 以及 p 三等于一百倍的 p 零。就这个我好像不是判断很清楚，但是这个呢， 它 p 一 小于等于一百的 p 二， 嗯，因为这个 e 最多也只到了。呃， p 一 和 p 二它们之间最多只差到了一方，一方呢，算下来应该也才是九点几， 那肯定是差不到一百。那么这时候我去把 e 翻个一百倍，那肯定是比 p e 要大， 那我觉得这个应该也没有什么问题，剩下两个就不清楚了。 然后第十一题定义域为实数 f x 加 x 放 f y， 那 么 我就令 x 等于 y 等于零，带进去 f 零，呃，等于零个 f 零加上零个 f 零 等于零，那么 a 就是 正确的，那么 e 就 只要令 x 等于一， y 等于零即可。哦哦哦， y 等于一 f 一 就等于一倍的 f 一， 加上一倍的 f 一， f 一 等于二 f 一， 所以 f 一 也是等于零的， 它是偶函数，那么我们会看到 f x 针对这个 x 有 几种拆法，我可以把 x 拆成一乘以 x， 有 几种拆法，我可以把 x 拆成负一乘以负 x。 所以针对第一种拆法，我们可以得到 f x 等于 x 方乘以的 f 一 加上一乘以的 f x， f 一 是零。 那么针对第二种拆法， f x 等于 x 方， f 负一加上一 f 负 x， 嗯，那么这个 f 负一还需要再推一下， f 负一就是一乘以负一，那么也就是一倍的 f 一 加上一倍的 f 负一， 那么这个时候， 哎，不是这么推的， 还是以 f 一 入手，一可以拆成负一乘以负一，也就是一倍的 f 负一加上一倍的 f 负一，这条是零，你就可以算出 f 负一，它也等于零， 它等于零，所以它也没了。所以 f x 等于 f x， f x 等于 f 负 x 就 可以推出，它是一个偶函数， x 零为 f x 的 极小值点。 呃，因为在这种情况下，我们其实会发现， 对于任意一个 f x， 你 都可以根据这种方式去推出，它等于 f 负 x 二分之一就是一乘二分之一等于 f 二分之一也等于负一乘负二分之一也等于 f 负二分之一， 那么就没法判断它到底是几小值还是几大值。这是我的想法， 因为它是一个偶函数，我同样我也可以让它是关于 y 轴在左侧一部分单减，呃，左侧一部分单增，右侧一部分单减，那么它就是得到一个极大的知识点，应该也有一些蒙的成分。 然后第十二题，放入一个棱长为一的立方体，那么直径为零点九九的球体肯定能放下 一个人长均为它的一个正四面体， 我纠结就纠结在这个地方，就像这个样子， 这样子它作为这个边长的一点四究竟能不能放下？然后 c 选项， c 选项也可以很快的排除。 你如果要在一个立方体里面塞下一个尽可能大的圆柱体， 那肯定是像这样沿着它的对角线摆放，然而一一一 呃，这么画这一条也就是整一个立方体的对角线是根号三， 根号三也才一点七几，你放一点八，你即使你底面积为零，你一点八也塞不进去。然后接下来就是一个 底面直径是 一点二米，高为零点一米的一个圆柱体，究竟能不能塞下？ 这两个都没判断出来，所以我就蒙了 a 道， 但结果就是答案是 a b 的。
17洋溢青春
22:42查看AI文稿AI文稿好，然后接下来是第十三填空开设了四门体育和四门艺术，要从这选修两门或者三门，每门至少选修一门。也就是说，如果你选择了选修两门， 那么你必然是一门体育，一门艺术，那么这种情况下选修两门就应该是 四乘以四十六种。而如果你选择了三门课，就是要在体育选一门艺术选一门的情况下，剩下六门里随便选一门，也就是在四乘以四乘以六。 但是会出现一种情况，例如说你选择了艺术的 a， 艺术的 b 和体育的 a， 那 么会出现两种情况，第一种，你在前面四乘四里面选了 a， a， 再在后面的六选了 b， 或者在前面四乘四里面选了 b， a， 在 六里面选了 a， 会有两种重复，所以再除以二，得到呃四十八种，那么只要把十六加上四十八，就可以得到六十四种。 然后在 一个正四棱台， a、 b、 c， d， a， b， c， d， e 中 ab 等于二，也就是底下那个边长是二，上面一个面，它的边长是一，以及这一条斜，它是根号二。 呃，那么我们知道这样一个台， 他的这一条边呢，肯定是由三个方向构成的，横向、纵向以及宽。那么这时候如果我们从上面看下去，可以得到 两个正方形，它的边上是二，它的边上是一，那么这一条呢？我们可以知道这条是二分之一，二分之一，所以这条就是二分之根号二。这时候我们再从前面看过去，就可以得到一个等腰梯形，它是一，它是一。呃，它是一，它是二。 呃，其实不应该用这个角度看，应该是这样，斜向看过去，可以看到一个直角三角形，这一条呢是二分之根号二，这一条根号二，要求这条高，这条高呢就可就是圆台的这一条整一条高了。呃，这个四棱台的高， 呃，计算出来是得到二分之根号六， 然后要计算它的体积，那么要计算台的这么一个体积，肯定是用原本的这样一个 台减去上面的其中一个，呃，一个大锥形减去一个小锥形，那么大的锥形底是二高呢，就应该是这这个原台的高的两倍，也就是根号六。小的边长是一，高是二分之根号六。 而锥体的体积呢，应该是一个柱体的三分之一，也就是二乘以二乘以根号六。乘以三分之一减去一乘以一乘以二分之根号六。乘以三分之一， 这里应该是三分之四根号六，减去六分之根号六，也就是六分之七根号六。 然后函数这个在零到二派只有三个零点， 因为它是余弦，所以 cosine 零就应该等于一， 然后它说要减一，也就是说要有零点就令它等于零，所以 cosine 它就是等于一。 零这个地方是能取，二派这个地方也能取，所以这个地方取得到，这个地方取得到，这就是三个根，它的三个零点，而后面这个点是不能算的，所以说二派就应该在这个地方可以取到，这个地方不能取到。 而原本呢，实际上二派本来在这里，而他移到了，这说明他被拉伸了两倍，所以 这里，呃，它是等于二的，移到这了呢，相当于是二派向右移了三份了，这里是等于三的， 那么它的取值范围就是二到三，左臂右开了一个区间。 然后第十六题，嗯，这个的话，双曲线交点以及在外轴上这些东西也是没有弄得很懂，所以这题答案就是蒙的。 接下来第十七题， a 加 b 等于三 c， 二算 a 减 c 等于三 b， 那 么这个时候因为它是三角形，所以三角形内角和是 pi， 三 c 加 c， 四 c 等于 pi， 所以 c 就 等于四分之 pi， 也就是四十五度，那么这个时候也就是二 sine a 减四十五度 等于 sine a。 呃，相反，一百三十五度减 a， 这里有一个叉角可以把它展开，也就是二 sine a， sine 四十五度减二 cosine a sine 四十五度等于的 sine 一 百三十五度 cosine a 减去 cosine 一 百三十五度 sine a， 它的四十五度就是二分之根号二，所以根号二倍的 sine a 减去根号二倍的 cosine a 就 等于的二分之根号二倍的 cosine a 减去。呃，它一百三十五度的余弦是负的，所以是加上二分之根号二的 sin a 移项，然后再计算会发现 sin a 等于三倍 cosine a， 而又因为 代入可以解得， 那么第一题就解决了。 然后若 a b 等于五，则求 a、 b 边上的高，那么就可以画一个三角形， c 是 四十五度，因为它是要求 a b 边上的高， 它等于五，那么它因为这里有个四十五度角， a 的 正弦值又是十分之三，根号十，所以我先在这边做一条高，它是五，所以它是二分之三，根号十。勾股定底算一下得到这条是二根号十， 这里有个四十五度，所以有个等腰直角，这条也是二分之三根号十，这条就是三根五，这条就是二倍，根号十， 现在要求 ab 边上的高，那么这条是二，根号十，它的正弦值是十分之三，根号十，所以算出 g 十分之三根号十，所以它的对边就是 六。勾股定律算这一条就是二，整条是五，这条三，那么 a b 边上高，其实六就已经算好了。 呃，然后第十八题在正四棱柱 上，下面正方形的边长是二，然后它的高呢？就是四 二四，这条是一，这两条都是二，这条是三，那么要证明这个 b 二 c 二和 a 二 d 二是平行的，那么就可以建立一下坐标系 x y 对， 那么就可以表示出来我们这个点， a 二其实就是零零一 点 d 二呢就是零二二， d 二就是二零二 c 二就是二二三，那么这个时候就可以表示出向量 b 二 c 二减一减零二减零二一，向量 a 二 d 二就是零减零零二一， 所以向量 b 二 c 二等于向量 a 二 d 二，那么就可以证明向量相等，则它们一定平行。 然后第二题这个二面角不太理解，所以这题就是蒙的，没有得分。 f x 等于 a e x 次方加 a 减 x， 那么就需要对要求单调性，肯定是求倒，那么呃， a 乘以 e 的 x 次方， e 的 x 次方还是 e 的 x 次方，所以就是 a e x 次方加上 a 方， a 方没了减一， 那么 e 的 x 次方，它的图像就是长这个样子，它是单调递增的，那么要讨论它的单调性，就只要看 如果，而而且 e 的 x 次方肯定是大于零，那么所以 a 小 于等于零时， 它的导数就小于零，因为负一也是小于零的，那么这个时候原函数就是单调递减，而 a 大 于零时呢？ 要考虑单调性，那么就看它和零的关系。如果它大于零，那么 a e 的 x 次方大于一， e 的 x 次方大于 a 分 之一， x 就是 两边同时求一个自然对数， lone e 的 x 次方大于 lone a 分 之一，也就是 x 要大于 lone a 分 之一，也就是负的 lone a， 那 么这个时候在负无穷到负 lone a 这一段是大于零，也就单调递增，而在负 lone a 到正无穷这一段，就是单调递减， 那就可以得出这样一个答案。然后我当时做的时候，我把这个东西拆开来做了，我把它当和 a 小 于零，和 a 等于零， a 等于零代表递减，但 a 小 于零的时候，我除过去忘记编号了，就导致它变成代表递增，然后就扣掉了， 然后这一题没证出来，二十题，它的公差为 d， 且 d 大 于一，这是 b n， 那么这个时候我就可以表示出， a 一 就是 a 一， a 二就是 a 一 加 d， a 三就是 a 加上二 d。 而这里有一句， 三倍的 a 二等于三倍的 a 一， 加上 a 三， 一项可以得到 a 一 就等于 d， 所以 在现在这个情况下， a n 就 等于 n d 了。然后再来看 呃， s 三 s 三就等于 a 一 加二， a 一 加三， a 一 也就是六倍的 a 一， 然后 t 三 t 三是 b， 也就是可以算 b 一。 b 一 等于 a 一 分之二， b 二呢，等于 a 二，也就是二一分之六，也就是 a 一 分之三， b 三等于三， a 一 分之十二，也就是 a 一 分之四，三个合一起， t 三等于 a 一 分之九， 那么这个时候六 a 一 加上 a 一 分之九等于二十一， 约掉三，也就是二， a 一 方减七， a 一 加九等于零，最后 算错了，哦哦，加三， 那么这个时候一二三一取负号，那么 a 一 就是等于一个是三，还有一个是二分之一， 那么这个时候因为 d 是 等于 a 一， 那么应该也等于三或者二分之一，但是题目中有个条件说是 d 大 于一，所以二分之一，这个就得舍去，可以得到最终结果， d 等于三，所以 a n 等于三。然后这一题的话也是没有思路， 甲乙两人投篮，每次各有一个人投篮，若是命中，继续投，没命中换成对方投，无论之前投怎么样，命中甲 为零点六，乙为零点八，然后第一次投篮概率各一半，那么要求第二次投是假乙的概率，也就是问我们 p 乙二，那么第二次投篮要是乙，只有两种情况， 第一颗蓝是假投的，并且没投中，或者第二颗蓝是以投的，并且投中了，那么就是零点五乘以假，没投中的零点四，加上零点五乘以自己投中的零点八，也就是零点六的概率。 然后第二题求第一次投篮人是假的概率，也就是我们 p 假 i， 那 么也是分为两种情况，上一次是假投的，并且投中了， 或者第二次是以投的，并且没投中，那么我们知道，因为在这个游戏中，它只存在每次投篮，你要么是假投，要么是以投，所以对于 d s 投篮， 那么 d s 是 假投的概率，加上 d s 是 以投的概率肯定是一，所以那么这个其实就可以替换为一，减去 p， 先 i 减一， 那么最后整理就可以得到零点四的 p 加 i 减一，加上零点二的概率。 但是我们现在得到的只是关于上一次概率，所以我们还得再继续。 你的甲一直经过这样子的叠代，最终会趋于一个稳定值，也就是 x 等于零点四， x 加上零点二，零点六， x 等于零点二， x 等于三分之一，也就是一直投篮投下去，甲投篮的概率就变成了三分之一， 那么这个时候我们就可以知道这里有零点四，所以 p 加 i 就是 第一次投中概率三分之一，减掉 它就乘以零点四。而因为我又投了 i 次，每次都得乘以，所以应该是 i 减一次方，因为第一次它是算的，最后再把三分之一加上，因为当你足够多的时候，你零点四无穷大次方取近于零加三分之一， 它的概率是二分之一，所以最后会得到应该是六分之一乘以零点四的 i 减一次方加上三分之一， 那么第二题也解决了，然后第三题它是服从分布，也就是 x i 等于一和 x i 等于零的概率之合等于一，也就是 x i 要么等于零，要么等于一，然后记 e 等于 q， 也就是说在一到 n 过后，把所有的 x i 累加，也就是数，因为它只有零和一，那么也就说累加了 x i 等于一的次数 记为 q i 求和，而这个 q i 嘞，它的意思是说记前 n 次投篮次数为 y， 意思就是说当甲的投篮个数为外个的时， 嗯，怎么说？也就是说甲投了 y 次的概率应该是多少？ 因为相当于是 x 等于一。甲投篮的概率是这么多嘛？相当于是意外，就是 y 次等于所有前面总概率之和，也就是问你甲投篮投 y 次，它的概率之和是多少？那么我看了好像看了也没啥思路， 那就没有做。 然后最后二十二， 因为点 p 到 x 轴的距离和到零二分之一的距离是相等的，也就是说这个抛物线，它的准线是 x 轴，交点是零二分之一。 好，那么对于这个点来说，到 x 之后，距离等于到这个点，距离也是四分之一，那么其实我们可以先把它平移下来，平移到这个位置， 那么它的焦点也会平移。也就是说对于这样一个抛物线，它的焦点是零四分之一，这个值乘以四，其实就是它的二次项系数可以得到 y 等于 x 方，而它又得往上平移四分之一。还，所以 y 等于 x 方加四分之一。 然后已知矩形 abcd 有 三个顶点在 w 上，要证明它的周长大于三根号三， 那么其实它没有规定 a、 b、 c、 d 在 哪，所以对于 y 等于 x 方，这个抛物线的形状，直接拿它来考虑就可以了。 然后它要证明周长大于三根号三。我当时做下去呢，因为我也没有想到有什么很好的方法，那我就去考虑它的特殊值。我发现当这两条边是在四十五度的时候， 这个矩形的周长是四根号二，而且不管这个点在哪里，只要不超过这个点二分之一负二分之一之间，那么这个矩形必然存在，而且它的周长一直都是四根号二，那么我就因为也没有别的思路了，所以我就直接写了一句，这个 当然是错的。
13洋溢青春
06:09查看AI文稿AI文稿哈喽，今天我们来讲等差竖列的通项和求和。这道题是二零二三年的新高考一卷，我们来看题设等差竖列 a n 的 公差是为的，其中的是大于一的。然后我们令 b n 等于 n 方加 n 比上 a n， g， s， n、 t， n 分 别为竖列 a n 和 b n 的 前项和。让我们来看第一问啊，若 三 a 二等于三， a 一 加上 a 三，然后 s s 三加 t 三，它是等于二十一的。让我们求 a n 的 通项公式。首先第一步呢，我们利用的是等差数列的性质和它的通项公式，求出 a n 和得的之间的关系就是 三， a n 等于三， a 一 加上三， a 一 加的它是等于三， a 一 加上 a 一 加二的。我们将这个式子化简一下，就可以得到 a 一， 它是等于的。所以我们的 an 呢， an 就 等于 n 的， 其中呢的它是大于一的，这是已知给的。然后我们第二步是把这个 a n 带到 b n 里边 边，等于 n 方加 n 比上 n 的， 然后我们上下两分子和分母都有 n， 让我们把它除掉，就变成 n 加一比上的。 然后我们又知道 s 三加 t 三，它是等于二十一的，所以把它带进去 s 三，它是等于 a 一 加上 a 二加上 a 三，它是等于六。对 t 三 t 三等于 b 一 加 b 二加 b 三，它是等于多分之九， 就是六得加上多分之九，它是等于二十一的。我们整理好两边同时乘上得，然后再除以三，就变成二得方减七得加三等于零， 二的减一的减三，它是等于零的，然后的就等于二分之一 或的等于三。因为已知它给的是的是大于一的，所以大二分之三我们是要舍掉的。 最后一步求 n 的 通项， n 等于三 n， 这是递到完整的过程。 我们现在来看第二问，第二问他也说弱，所以我们第一问的条件就不能用了。第二问 b n， 它是为等差数列的，让 s 九十九减去 t 九十九是等于九十九的，让我们求的是 d， 我 们可以先用 b n 这个式子来求出 a 一 和 d 的 关系。 这道题我们会用到等差数项，因为以因为我们知道 b n， 它是一个等差数列，然后 b 一 加上 b 三，它是等于二倍的 b 二的，然后把这个带进去二， a 一 加上十二， a 三等于二，乘 a 二分之六，然后我们把 a 一 a 三是 a 一 加二的， 然后 a 二是 a 一 加的，我直接写化完减的 a 一 和关于的式子， a 一 方加上三 a 一 的加二的二的平方，它是等于零的， 然后我们可以得 a 一 减的乘上 a 一 减二的 等于零，所以 a 一 等于 d 或 a 一 等于二 d， 然后我们 a 一 的下面我们应该对 a 一 的这两只进行讨论， 把它带到那个 s 九十九和减去 t 九十九。先用第一个 a 一 等于 d， 所以 s 九十九减去 t 九十九就等于二分之九十九，括号得加上九十九，得减去二分之九十九， 得分之二加上得一百等于九十九。我们将这个式子化简，就是同时乘上得，我们可以得到 五十的放减的减五十一，它是等于零的，所以的它是等于五十分之五十一 或的等于负一，因为的是大于等于一的，所以要舍掉。然后我们第二个的它是不对， a 一 a 一 是等于二的，然后把它带进去。 a， n 是 等于的倍的 n 加一 b， n 等于 n， 方加 n， 比上特倍的 n 加一，它是等于 n 比特的。所以 s 九十九减去 t 九十九，它是等于二分之九十九 二得加上一百，得减去二分之九十九，乘上得分之一，加上得分之九十九，然后它是等于九十九。我们将它整理，可以得到五十一，得方减去得减去五十，它是等于零的。 解得呢？得是等于负五十一，分之五十或得等于一，然后得是大于一的，所以此时无解。最后我们可以得到中上 得等于五十分之五十一，这是最终的过程。
36小熊爱学数学
04:54查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？更多精彩内容可以看我们一人一案的系统冲刺课，高一、高二、高三都可以，我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路 这是一道改编自二零二三年新高考一卷第十七题的解三角形大题。很多同学一看到角和边混在一起就容易蒙圈，想冲一百分，这道题的第一问，咱们最好三分钟内拿下 这题真正值钱的地方，不是让你一上来就硬算，而是先观察角度之间的隐藏关系。咱们来读一下题，在三角形 a、 b c 中， a 加 b 等于五倍的 c， 并且二倍的三引括号 a 减 c 等于三引 b。 第一问，求三引 i。 第二问，如果 ab 等于六，求 ab 边上的高。 咱们先从内角和定理入手，把角 c 算出来，再利用正弦的展开式去推到 a。 先看第一问，要求 c a。 这里有个非常重要的技巧，只要在三角形里看到 a 加 b 这种结构，你第一反应必须是找三角形内角和定理。大家想，三角形三个内角， a 加 b 加 c 是 不是等于一百八十度？也就是我们常说的派。 题目说 a 加 b 等于五倍的 c， 那 我们把内角和里的 a 加 b 换成五倍的 c， 加上原来的 c， 左边就变成了六倍的 c 等于右边的派。两边同时除以六 c 就 等于六分之派，也就是三十度。你看，这不就白给了一个角的度数吗？接下来看第二个条件，二倍的 c， 括号 a 减 c 等于 c n b。 很多同学在这里会犯错，直接对着左边硬拆，结果越算越复杂。注意，这里咱们得先把右边的 c、 n、 b 处理一下。根据内角和 b 等于 pi 减去括号 a 加 c。 根据诱导公式 c、 n 括号 pi 减去一个角就等于这个角的正弦值。 所以 c n、 b 就 等于 c n。 括号 a 加 c。 现在我们把右边替换掉等式就变成了二倍的 c n。 括号 a 减 c 等于 c， n。 括号 a 加 c， 这步很关键，两边替换掉等式就变成了二倍的 c n。 括号 a 减 c 等于 c n。 括号 a 加 c， 这步很关键，两边替换掉等式就变成两角合差的正弦公式。把它们展开， 左边展开就是二倍的括号 c， a 乘以 cos c 减去 cos c， a 乘以 c c。 右边展开就是 c， a 乘以 cos c 加上 cos c， a 乘以 c c。 我 们把左边的括号拆开，就是二倍的 cos c， a 乘以 cos c 减去二倍的 cos c， a 乘以 cos c 等于右边的 cos a 乘以 cos c 加上 cos c， a 乘以 cos c。 现在我们要合并同类项，把右边的 cos a 乘以 cos c 移到左边，左边原来有两个，减去一个，就剩下一个 cos c， a 乘以 cos c。 现在我们要合并同类项，把右边的 cos a 乘以 cos c 乘以 cos c c。 现在我们要合并同类项，把右边的 cos c， a 乘以 cos c c。 再把左边减去的二倍 cosa 乘以 c c 移到右边，变成加号，和右边原来的一个加起来，右边就变成了三倍的 cosa 乘以 c c。 所以 整理后得到 cosa 乘以 cosa 等于三倍的 cosa 乘以 cosa。 刚才咱们已经算出来 c 等于六分之派了，对吧？赶紧带进去 cosa， 六分之派是二分之根，号三 c， 六分之派是二分之一带入等式，左边就是 cosa， 乘以二分之根号三，右边就是三倍的 cosa， 乘以二分之一。 等式两边都有二分之一，咱们同时乘以二分母就约掉了，变成根号三倍的 c， a 等于三倍的 cos a， 两边同时除以 cos a， 再除以根号三，我们就得到贪 a 等于根号三分之三。化简一下就是根号三。在这个三角形里，贪 a 等于正的根号三，那 a 只能是三分之派，也就是六十度。 题目要求的是 c a， 那 c a 三分之派就等于二分之根号三。接下来看第二问，已知 a、 b 等于六，求 a、 b 边上的高， 这里到底该怎么求高呢？很多同学一上来就想用面积公式或者余弦定里去硬算，其实咱们先别急，先看看这个三角形到底长什么样？第一问，咱们算出了 c 是 六分之派， a 是 三分之派，这俩角加起来是多少？六分之派加三分之派就是三十度，加六十度等于九十度，也就是二分之派，对吧？ 那剩下的内角 b 等于多少？用一百八十度减去九十度， b 就是 九十度，也就是二分之派。这个数字一出来，思路就全打开了，这根本不是什么普通的三角形，而是一个以 b 为直角的直角三角形。 大家在脑海里画一下角， b 是 直角， ab 是 一条直角边， bc 是 另一条直角边。题目要求的是 ab 边上的高。在直角三角形里，一条直角边上的高正好就是另一条直角边。所以求 ab 边上的高，其实就是求边长。 bc。 这题真正要防的就是你没看出来它是直角三角形，跑去做高线绕远路。现在我们在直角三角形 abc 里，已知角 a 是 三分之派，邻边 ab 等于六，要求对边 bc。 用哪个三角函数最直接？当然是正切函数。 摊呐等于对边 bc 除以邻边 ab， 我 们把已知数据带进去摊呐。三分之派等于根号三，所以根号三等于 bc 除以六，两边同时乘以六，就能得到 bc 等于六倍的根号三。因为 bc 就是 ab 边上的高，所以这道题第二问的结果就是六倍的根号三。 最后咱们来总结一下，第一问的 c 呢，等于二分之根号三，第二问 ab 边上的高是六倍的根号三。做这类解三角形的题，大家记住一个口诀，看到 a 加 b， 找内角和看到等式两边有和差，马上用展开式算边长前先判断三角形形状。记住这三步，以后遇到同类题就能秒出思路。 这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。最后留一道同类思考题给大家。在三角形 abc 中， a 加 b 等于三倍的 c， 并且二倍的三引括号 a 减 c 等于根号二倍的三引 b。 如果 ab 等于四，求三角形 abc 的 面积。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
28:53查看AI文稿AI文稿高中数学不用慌，小江带你一起闯！各位同学大家好， 欢迎来到我们的高考大题专题突破的解析几何篇，今天要给大家分享的是二零二三年新课标全国一卷的第二十二题，那么这道题目呢，在当年是一道压轴题， 可以说是新高考解析几何的一个标杆题目，因为他不玩各种花里胡哨的秒杀技巧，全程呢都是用我们课本最基本的连力方程韦达定律核心的通法，那么 我们来看一下啊，第一小问，让我们去求一个方程，那么就是我们课本上反复强调的求点的轨迹方程。第二小问呢，是一个周长大于等于三倍根号三，非常考验大家的一个代数计算和思维的严谨度。那么接下来我们就具体来看一下这道题目， 首先呢，他说 p 到 x 轴的距离等于 p 到零二分之一的距离，然后说让我们第一小问去计算这个 p 的 轨迹 w 的 一个方程啊，那么在这里的话呢，就是我们课本上 最标准的一个解法，什么呢？我们来回顾一下啊。首先第一想问像这种求点的轨迹方程的问题，我们的通用的做法就是间隙，然后设点，然后去找什么呢？找他的一个限制条件， 然后再根据题目的要求去带入数学式子，然后进行计算，最后是化简啊，那么很多老师呢，可能会把这个问题总结为一句话，叫做建设现代化，就是这样的啊，好，那么我们就按照这个步骤来解决一下这个问题。 首先呢，这个坐标系已经建好了，对吧？在直角坐标系中啊设点，那么设哪个点呢？我们要求的是 p 的 轨迹，所以我当然去设的是 p 点的坐标是 x y， 然后呢去找它的 限制条件，那么题目当中的限制条件就是什么？就是 p 到 x 轴的距离 等于 p 到点零二分之一的距离啊。那么我们比如说可以在这里设这个零二分之一，这个点是 m， 那 么就是 pm 的 距离，那么这个就是我们的限制条件，然后下一步代入计算。好，那么我们想一下，在我们的坐标系当中， p 点的坐标是 x y， 那 么首先它到 x 轴的距离是不是其实就是纵坐标的绝对值对不对？而 pm 是 两点之间的距离公式，那么就是根号下的 x 减零的平方加上 y 减二分之一的平方，对吧？然后接下来干什么呢？化减就是我们的最后一步，那么两边同时平方，我们来看一下啊，外方就等于 x 方加上外方减外加 四分之一。好，那么这样的话，我们两边的外方同时约掉，把外移到左边，就得到了 y 等于 x 平方加四分之一，那么这个就是我们 w 的 一个方程啊。那其实在这里我觉得大家读完题目可能也能看出来，到一个直线的距离等于到点的 距离，那这个是什么？显然是一个抛物线，对吧？因为我们抛物线的定义就是到焦点的距离等于到准线的距离啊，只是这里的抛物线的话，它是 y 等于 x 平方加四分之一，相当于说是我们整体进行了一个平移。 好，那么接下来我们第一小问就解决了，我们来看一下第二小问，他说这个句型上有三个顶点 在 w 上，让我们证明句型的周长大于三倍根号三，那么在这里的话呢，首先我们还是要先去把这个问题分析一下啊。 好，那么首先我们在这里的话，第一点我觉得我们要想到的是什么呢？就是我们知道现在题目当中第一小问这个 w 它的方程是一个开口向上的抛物线， 那跟我们奇怪上的圆锥曲线是不是有一点不一样的地方，就是它经过了一个向上平移，对不对啊？那么向上平移这个图像上呢，它有巨型的三个顶点，那么大家想一下，我能不能整体把这个问题向下平移四分之一， 那么这样的话是不是就得到的是 y 等于 x 平方那句型的话，它如果说上面的是大于三倍根号三，那么下面的是不是也是大于三倍根号三呀？我想这个应该是适用的，对不对啊？所以我们如果说进行一个平移，那很有可能会简化计算啊？ 所以首先我能够想到的是把 y 等于 x 平方加上四分之一和这个句型 整体进行一个向下平移四分之一个单位长度，然后我们就可以得到 y 等于 x 平方和另外一个矩形，我们可以记为 a 片、 b 片、 c 片倒片， 我觉得这样很有可能会简化我们的计算啊。好，那么接下来我们来看一下题目问的是什么？他问的是这个句型的一个周长，那首先我们要想句型的周长我要怎么样去表示呢？ 那比如说我们看到这个图，我们假设啊，经过平以后呢，这里是 a 片，这里是 b 片，这里是 c 片，这里是倒片，那么显然矩形的周长我们可以用什么两倍的 a 片 b 片加上这个 b 片 c 片来表示，而我们这里的 a 片、 b 片、 b 片 c 片本质上就是弦长， 对不对？那么大家想一下，想到弦长，我们是不是有弦长公式？我们的弦长公式是不是根号下一 加 k 方 x 一 减 x 二，这是我们最常见的一个公式，对吧？那怎么样才能用到这个弦长公式呢？那是不是显然需要我们去设直线连力呀？ 对吧？好，那我觉得这道题目的基本的思路啊，方向我们是知道的，就是首先不管怎么样，我需要先把这个直线射出来，然后去连力去表示嫌长。 ab 片 不管是 a 片 b 片也好，还是 b 片 c 片也好，他的表达方式应该都是一样的，然后我们再根据我们得到的这个形式看看应该怎么做去化简， 可以了啊，所以思路，首先我们先分析清楚，这就是我们课本上非常强调的这个基本的知识，对吧？直线和圆锥曲线进行连力，然后去表示嫌长，就是我们很常规的这个设置线连力纬达的一个核心的通信的通通用通法啊。 好，那么接下来我们就按照这个过程我们的分析来把第二小问这个过程来写一下啊。那首先的话呢，我们刚刚说是对这个 w 进行了一个平移，对吧？好，将 w 和矩形 abc 倒，我们说是向下平移四分之一个单位长度， 然后得到什么呢？得到，首先我们的 w 是 不是变成了 w 一 撇儿，那么就是 y 等于 x 的 平方，对吧？另外一个是和我们的这个句型 a 撇儿， b 撇儿， c 撇儿啊，那么我们知道平以后是不改变的，那么则我们知道 a、 b、 c d 句型 abc 倒的周长应该就等于我们平移以后句型 a 片 b 片 c 片倒片的周长。那么接下来呢？我们是不是只要证明什么 c 就是矩形 a 片 b 片 c 片倒片的周长大于三倍根号三就可以了，对吧？那么这个问题的话，我们首先是对这个方程做了一个简化啊，那么接下来我们把这个图像来画一下， 好，根据我们刚刚的一个分析呢，我们说，首先我要设直线去连立，对吧？那在设直线之前，我们必须要把这个点和斜率设出来啊，那么在这里我们就假设这里是 a 片 b 片 c 片倒片，然后设 a 点的坐标， a 片的坐标，我们肯定简单一点啊，因为这个直线这个方程是 y 等于 x 平方，对不对？那我们可以设为 a a 的 平方啊， b 的 话就是 b， b 的 平方， c 的 话就是 c， c 的 平方倒就无所谓了啊，因为我们最终其实就是 ab 片 a 片 b 片加 b 片 c 片， 那然后接下来呢？还有一个是 ab 的 斜率，对吧？我们就设它等于 k 啊。那么大家想一下，由于我这里是一个句型，那么 b 片 c 片的斜率是不是就应该是负的 k 分 之一啊？对吧？好，接下来我们就可以把这个直线设出来了， 设直线 a 撇 b 撇的方程应该是 y 减 a 方，等于 k 倍的 x 减 a， 然后那么同理，我们 b 撇 c 撇的方程就应该是 y 减 b 方等于负的 k 分 之一， x 减 b， 它们唯一的区别就是斜率啊，那么接下来我们再怎么样呢？连立 w 一 撇，对吧？好，就是 y 等于 x 的 平方，那么其实我们只连立一个就好了啊，因为我们知道另外一个他肯定是对称的，所以我们到时候算出来直接同理就可以了。那我们来看一下啊，那在这里的话，其实我们会发现 x 方减 a 方是不是就等于 k 背到 x 减 a 呀？哎，那么 x 方减 a 方是不是显然可以进行一个因式分解， x 加 a， x 减 a， 然后等于 k 背到 x 减 a， 而 a 这个解就是哪个是不是 a 撇这个点对不对？好，那么这个如果约掉的话，是不是 x 加 a 就 等于 k？ 那 么大家想一下，这个 x 应该等于多少？ 按理说这个两这个方程的两个解是不是应该是直线 a 片 b 片和这个抛物线的两个交点，那是不是一个是这个，一个是这个？所以大家想一下，我的两个解肯定是 x， 一 就是 a 呀， x 二就是 b 呀，对不对啊？所以在这里的话，我们把这个 x 减 a 这一项约掉的话，其实可以得到什么？这个 x 就是 b 啊，那么 b 呢？就等于 k 减 a？ 好，这是我们连理以后得到的 b 和 a 之间的关系，那么大家想一下，同理 哎，我们来理一理啊， b 片 c 片它和这个抛物线针的关系是什么？那比如说这里是 x 三等于 c， 它的横坐标是 c， 对 不对？那么我们想一下， b 片 c 片和这个方程去连和这个 抛物线去连立的话，是不是应该是也是两个解，对不对？那如果我们设的是 b 方的话，我们应该得到什么？是不是应该是 c 应该等于这个 k 换成负 k 分 之一减 b 呢？对不对？好，那么我觉得可能有的同学可能还理不清楚啊，那不如我们再给大家写一下快速的， 那其实是一样的， y 等于 x 平方，对不对？好，那么这样的话， x 方减 b 方就等于负的 k 分 之一 x 减 b 啊，那么 x 减 b 约掉了啊， x 加 b 等于负的 k 分 之一 x 减 b， 那 么这样的话，我们把这个 x 减 b 约掉， x 加 b 是 不是就等于负的 k 分 之一啊？对不对？而这个 x 是 什么呢？是，就是我这个 c 片这个点的横坐标嘛，对吧？所以我们得到了一个 b 等于 k 减 a 和 c 等于负 k 分 之一减 b 啊。我们其实在这里的话，要从整体上去看待这个问题，首先我们知道我们接下来要表示什么，我们可以先写一写啊，我们接下来是不是要表示这个句型的周长 对不对？好，那么这个句型我们刚说 a 片 b 片 c 片倒片，刚刚的分析是不是可以表示成两倍的 a 片 b 片加上 b 片 c 片， 而我们的 a 撇 b 撇是这个直线和抛物线连立以后得到的弦长，另外一个是这个直线得到的弦长，那么我们是不是有弦长公式， 它等于什么呢？首先 a 撇 b 撇，这个应该是根号下一加 k 方乘以 x， 一 减 x 二，是不是就是 a 减 b 啊？ 加上 b 撇 c 撇，应该是根号下 e 加什么？是不是变成负 k 分 之一的平方了？那是不是 k 方分之一？然后是什么呢？是这里的 b 减 c 呢？ 哎，那么我们来看一下，这个矩形的周长里面有几个未知数， 是不是有四个未知数？ a、 b、 c、 k 有 四个未知数，上面呢，我们得到了这四个未知数之间的两个关系，所以我们知道最终的话，我肯定是 消元，我要变得越简单越好，我肯定是要把什么呢？连立这两个方程，把四个未知数 化，为什么？是不是要化为两个位置数？因为我有两个方程，对不对啊？那么这样的话，肯定才能使得我们句型的表达式，这个周长的表达式更加简单，我才有可能继续算下去，对不对？所以在这里啊，我们肯定是要消元的， 那么接下来的话呢，根据我们这里的话，我们来写一写啊，那么根据上面的这个关系式，我们不妨把它们全部都换成 a 和 k 好 了，对不对？那么这样的话，我们知道这个 a 减 b， 是 不是可以换成 a 减去什么 b， 是 不是等于 k 减 a 呀？对不对？那么这里的话是不是就变成了二 a 减 k 呢？ 而另外一个 b 减 c， 哎，我们先来写一写啊， b 减 c， 首先我们知道 b 等于 k 减 a， 而 c 等于什么呢？负 k 分 之一减 b， 所以 我减 c 就是 加上 k 分 之一加上 b， 而 b 是 k 减 a， 对 不对？哎，那么我们整理一下，就是二 k 加上 k 分 之一减二 a， 好， 那我们来看看这个时候句型的周长变成了什么，我们来代入啊，那这个时候我们得到句型的 a 片， b 片， c 片，导片的周长就等于两倍的，首先是根号下一加 k 方， 后面的话呢，这个 a 减 b 是 不是就变成了二 a 减 k 的 绝对值，然后再加上根号下一加 k 方分之一，然后是什么呢？二 k 加上 k 分 之一减二 a 的 绝对值。好， 那很多同学，我觉得对于我们大部分同学来说，如果你能够写到这一步，我觉得已经很可以了，因为他就是我们课本上最基本的这个连力纬达闲长的一个表达，然后我们用进行了一个销源得到了这样的一个形式。啊，那我们接下来应该怎么做呢？我们来回顾一下。 首先呢题目当中让我们去证明这个句型的周长要大于三倍，根号三，那首先的话，在这里的话，我们会发现它有两个未知数， 那两个未知数我们在高中阶段是很难直接去求到求它的最小值的，那我们唯一能做的就是什么方法？就是进行放缩。怎么放缩呢？我们来看一下。首先我们注意到 这个表达式当中未知数最多的首先是 k 对 不对？那我就要想办法，我看看能不能把这个 a 给它约掉呢？我们会发现这里有一个二 a 减 k， 这里有一个 二 k 加上 k 分 之一减二 a， 前面是二 a， 后面是负二 a， 那 我能不能根据绝对值不等式进行把这个二 a 给它约掉呢？ 那现在问题就是什么呢？我们会发现前面的这个根号下一加 k 方这个系数也没有办法约掉， 哎，那我们怎么样才能想想，如果它的系数变得统一，后面的两个绝对值是不可以相加，然后进行约掉了呀，对吧？那系数怎么样变得统一呢？这就是一个问题，我们来想一想，首先我们知道 k 是 什么？ k 是 直线 ab 的 a 片 b 片的斜率，那我们知道，首先第一个 k 和负 k 分 之一，一定是一正一负或者一负一正的， 对不对啊？所以首先 k 的 正负，我们是不是可以不妨首先设这个 k 是 大于零的，因为正负其实是一样的。好，那么接下来我们想一下， 除了这个，我们在这里的话，大家想一下， k 和 k 分 之一，我们假设它大于零，它们俩是不是也有大小关系，对吧？那哪个斜率更大呢？其实是不确定的，但是根据对称性我们知道 a 片 b 片的斜率和 b 片 c 片的斜率，它们肯定是有一个大，有一个小，内就是斜率的绝对值肯定是有一个大，有一个小，那到底哪个是哪个呢？其实也是对称的，对不对啊？我们就不妨再设 k 是 小于 k 分 之一的，那这个时候也就是我们 k 的 范围，是不是我能够把它限定在零到一之内去解决这个问题？首先它等于一，当然也是可以的，对吧？那我们可以小于等于二， 等于一也是可以的，那么等于零首先肯定是不可能的，对吧？直线的斜率为零，那就不可能有句型了啊。那首先 大于零小于零，首先我们说是对称的，是都有可能的，对不对？那 k 和 k 分 之一，它们总有一个大小关系，我们就假设 k 是 小于 k 分 之一的，根据对称性是不是也是可以的？那么根据对称性， 我们不妨去设什么呢？首先是 k 在 零到一之间，剩下的其实都是一样的。好，那这个时候我们可以对它进行放松了，那这个时候 零到一之间，是不是显然 k 是 小于 k 分 之一的，对不对？我们现在要证明的是矩形这个周长它要大于还是小于？ 大于三倍根号三，那我们是不是可以假设我找一个比它怎么样？ 中间量大于三倍根号三，比它更小的数大于三倍根号三，那么 c c 比它大是不是也大于三倍根号三？所以我们现在目标是要对这个句型怎么样放松，就让它变得更小， 那么谁更小呢？我们说 k 是 更小的，对不对啊？那我首先可以把它变成二倍的根号下一加 k 方，然后是二 a 减 k 的 绝对值，加上我把这里也变成一加 k 方，然后是 二 k 加上 k 分 之一减二 a 的 绝对值。好，那然后我们这样的话，根号一加 k 方式可以提出来了，我们进行了一个放松。啊，那就怎么样呢？ 等于两倍的根号下一加 k 方，我括号里面就变成了二 a 减 k 的 绝对值，加上二 k 加上 k 分 之一减二 a 的 绝对值。 好，那在这里的话，我们是不是可以使用绝对值不等于进一步的放松？ 二根号下一加 k 方，我们知道这个 a 的 绝对值加上 b 的 绝对值，它肯定是大于等于 a 加 b 的 绝对值的吧，对不对？或者 a 减 b 的 绝对值，这是我们初中的知识。绝对值不等于，那在这里的话，是不是它就大于等于什么呢？ 这里面相加，大家想一下，二 a 减 k 加上二 k 加上 k 分 之一减二 a， 我 们这样的话，成功的就能够把这个 a 给它约掉，里面，后面就只剩下一个 k 加 k 分 之一。 好，那么现在我们最终就把句型的一个周长放缩为了一个单变量的形式。 为什么要有单变量？因为有，因为单变量的我们就是函数，单餐的函数是我们高中解决的主要的目标，我们有很多的工具可以来证明这个函数值，它是怎么样的，对不对？比如说我们可以求导， 那这里啊，其实我觉得难度还是比较大的，我们要把两个变量变成一个变量，要观察到这里绝对值之间的关系，想到利用绝对值不等式，利用消元，然后对 k 的 范围设一个限定啊，那么接下来如果我们能够证明这个 k 的 单餐的形式是 大于三倍根号三的，是不是就可以了？好，那么接下来我们怎么证明是不是就利用函数的知识来了呀？对吧？好，我们可以先对后面的这个量进行一个平方啊， 在这里我们设 f x 等于，首先就是对后面整体进行一个平方啊，这样没有根号了，一加 x 平方，然后是 x 加上 x 分 之一整体的 平方，然后我们对它进行求导， f 一 撇 x 等于前导后不导， x 加 x 分 之一的平方，加上 前不导后求导。首先它是一个复合函数啊，我们需要二倍的 x 加 x 分 之一，然后再对它进行求导，就是一减去 x 平方分之一， 我们接下来可以提取公因式，对吧？都有一个二和 x 加 x 分 之一，那么后面的话，第一项它就剩下一个 x 和一个 x 加 x 分 之一，我们直接乘进去就是 x 平方加一， 后面的话呢，也有一个一加 x 的 平方，然后再乘以一减 x 的 平方分之一啊，然后我们会发现又有一个共因式，就是两倍的 x 加上 x 分 之一，然后是 一加 x 平方，那么前面括号就剩下一个一啊，合起来就是二减 x 平方分之一，我们再把后面化简一下，等于二倍的 x 加 x 分 之一，然后是 一加 x 平方，那么上面就变成了 x 平方，分之什么呢？二 x 平方减一 好，我们知道求导是为了判断正负的，那么现在我们知道 x 的 范围，首先它是在零到一之间，根据我们 k 的 范围来看的啊，那所以呢，我们会发现这一项是正的，这一项是正的，这一项是正的，唯一的就是在这里 对不对啊？而这里的话，我们知道它是一个开口向上的二次函数，然后我们的范围呢，就是零和一， 而这里是多少？是不是应该是二分之根号二呀？对吧？因为 x 平方等于二分之一啊，那么我们就可以根据这个二次函数来说它的单调性， 当 x 属于零到二分之根号二的时候， f 一 撇 x 小 于零，那么 f x 是 单调递减的， x 属于二分之根号二到一的时候， f 一 片 x 是 大于零的， f x 是 单调递增的。 好，那么最终的话，我们就得到 f x， 它一定会怎么样呢？大于等于这里的话，二分之根号就是一个最小之点啊，那就是 f 二分之根号二。好， 然后我们把这个二分之根号呢，带到我们这个 f x 一个表达式当中啊，经过计算，它这个结果就是四分之二十七，所以在这里的话 f x 是 大于等于四分之二十七的，这样的话，根据 f x 的 表达式， 它应该是怎么样的？首先我们就可以得到矩形的一个最小值了，对吧？首先矩形是二倍的，就是其实就是根号下 f x 嘛，对吧？这里是根号下一加 k 方，然后是 k 加 k 分 之一的绝对值，完完全全就是我们这个 f x 开根号啊。那么根据 f x 大 于等于四分之二十七，那么整体的话是应该大于等于二乘以根号下四分之二十， 根号二十七呀，对吧？那么这个结果显然就是三倍根号三，那我们这里的话，其实还有一个问题啊，大家会发现我们让你证明的是什么？是这个矩形的周长要大于三倍根号三，那我们这里怎么会有等号出现呢？大家想一想， 其实在这里的话，就是我们等号到底能不能取到，我们会发现呢？首先那么因为我们会发现这个 f x 大 于等于四分之根号二十七，是 k 等于 二分之根号二十，然后我们 f x 才会等于四分之二十七啊，也就是我们这个 f k 吧。可是我们前面这里还有一个等号，大家会发现这里的话，我们第一次放缩的时候， 这里的大于等于，是不是应该是把根号下一加 k 方分之一缩小为了根号下一加 k 方，而这里的话等号成立的条件， 等号成立的条件应该是什么？是不是应该是 k 方等于 k 方分之一啊？ 对不对？那显然我们知道当 k 等于二分之根号二的时候，我们 k 方是不等于 k 方分之一的，所以在这里等号是无法取到的啊， 那么这样的话我们就严格的去证明了，最后你可以写中上 我们这个句型 a b， c 倒，它题目让你证明的是 a b， c 倒啊，它的周长就等于我们这里句型 a 片 b 片 c 片导片的周长，它不取不到三倍高三，那么它只能大于 三倍更好三啊，那么这个就是我们这道题的一个完整的过程，大家会发现我们这道题目它首先呢它是一个压轴题啊，那它的难度肯定是不小的，第一小问比较简单，第二小问我们说前面比较常规的思路就是我们这里的设直线连立，然后 得到这个 b k a 的 关系和 c kb 的 关系，然后我们把这个句型的周长表示出来，表示成这个形式， 然后进行一个削圆，把四个未知数化成两个未知数，我觉得到这里其实，呃，我觉得大部分同学可能还是能够写出来，到后面的话他的难度就会飙升，因为首先的话我们要进行一个放松削圆，得到两个圆以后呢，还要再进行放缩，对吧？我们要根据这个 绝对值不等式和观察，然后得到了，首先还要对 k 的 范围进行一个限定啊，然后最终的话我们再借助函数进行求导，这个函数其实它的表达式也不是非常的容易啊，最后得到了证明这个结论，最后还要关注一个等号渠道的条件，所以这个题目它是作为一个压轴题的话，难度肯定是不小 的。好，那么大家下去以后可以再把这个题目好好的再梳理一遍，我们今天的分享就到这里。
66小姜爱数学
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04:50查看AI文稿AI文稿新高考压轴导数题，第二问直接死算太傻！我用第一问的极小知识点代入化繁为简便单变量求导三步，轻松得分，点赞收藏，看透核心思路！首先看第一问讨论 f s 的 单调性。所以说，我们需要对 f s 进行求导， f p s 呢，就等于 a 乘以 e s 减去一，因为里面包含了参数 a， 所以 说我们需要对 a 进行分析讨论。 好，若 a 小 于等于零，因为呢，你知道 e s 在 整个区间都是大于零的，然后它乘以一个 非负数，就是非正数，就是 a 乘以 e s， 它肯定是小于等于零的，再去减去个 e 就 会小于零，所以说对应的 f s 呢，就会小于零， f s 呢，在整个区间就单调递减。 若 a 大 于零，我们令 f s 等于零， s 呢，就等于 l n a 分 之一，也就是负的 l n a， 我 们就可以写下 s 负无穷到负的 l n a 负 n a， 然后负的 l n a 到正无穷 f p s 呢，就是负零正 f s 就是 减增极小值，等于负到零出去的。所以呢，若 a 大 于的时候呢， f s 在 负无穷到负乱 a 上是单调递减，然后在 负的 n a 到正无穷呢，单调递增。好题目，我们就得了。第二文呢，当 a 大 于零的时候， f s 大 于二倍的 n 加二分之三，我们呢，需要转化一下 f s 的 最小值，最小值呢，其实是在 s 等于负向量除以的就是 f 负的 n 大于二倍的向量， a 加二分之三即可。好，我们把向量带进去，就是 a 乘以 e 的 负向量 a 加上 a 减去向量 a， 就是 加上向量 a 啊，它就等于 第一项， a 乘以二分之一，就是一，加上 a 方加上乱 a， 它是大于二倍的乱 a 加二分之三。好， 我们可以把右边移过来，就会有一加 a 方加上乱 a 减去二倍的乱 a 减去二分之三，就等于 a 方减去乱 a 减去二分之一大于零，我们只要证明这个乘以即可。 前提呢， a 是 大于零的，我们可以令 j a 等于 a 方减去，绕 a 减去二分之一。好，我们比它进行求导，因为它的单调性就是二， a 减去一分之一，就是通下分二， a 方减一， 我们另这一撇 a 等于零，就会得到 a， 就 等于二分之根号二。我们可以写一下 s 呢，是，应该是 a， a 的 话是从零到二分之根号二，二分之根号二，二分之根号二到正无穷。然后这一撇 a 呢，这是零，这是负的正的。这 a 呢，就是先减后增极小值， 所以 g 有 g a 的 极小值呢， g a 就 大于等于 g 二分之根号二，二分根号带进去的话，就是二分之一减去 n， 二分之根号二，减去二分之一等于负的 n 二分之根号二。 这项是小于零，再加个符号就大于零。所以呢， 等一下啊， 所以我们有整体来说 ga 就 大于零乘以，然后不等式就得证了。 好，我们今天的讲解就到此为止了，谢谢大家。
191恐龙大叔不加班
06:20查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这段时间我在免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二、高三都可以，我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！ 这是二零二三年新高考一卷的第十七题，很多同学一看到这种角关系的式子就发蒙，不知道从哪下手。想在高考冲上一百二十分，这道题咱们必须在八分钟内满分。真正值钱的地方是先从内角和找出隐藏的角。 题目说，在三角形 a、 b、 c 中，角 a 加角 b 等于三倍的角 c， 而且二倍的三括号 a 减 c 等于三 b。 第一问求三 a， 第二问说，如果 a、 b 边长等于五，求 a b 边上的高。咱们先从内角和定力找突破口，把角 c 算出来，再利用展开公式，一步步把 a 解出来。思路其实非常清晰。 咱们先来看第一问，拿到解三角形的题，看到角 a 加角 b 等于三倍的角 c， 大家要有条件反射，三角形的三个内角和 a 加 b 加 c 永远等于一百八十度，也就是派。 那既然 a 加 b 等于三倍的 c， 我 们把 a 加 b 换成三倍的 c 带入内角和公式里，也就是三倍的 c 加上 c 等于派四个 c 等于派两边同除以四，所以角 c 就 等于四分之派。你看这么简单就拿到了第一个关键数据。 接下来咱们看题目给的第二个条件，二倍的三括号 a 减 c 等于三阴 b。 这里有个非常重要的技巧，很多同学在这里会犯错，直接去拆左边的括号。咱们千万别急，先观察右边这个三阴 b， 三角形里碰到单独的角，一定要想到用内角和去转化它。角 b 等于派减去括号 a 加 c， 所以 三音 b 就 等于三音括号，派减去 a 加 c。 根据诱导公式，三音括号派减一个角就等于三音这个角本身，所以三音 b 直接就变成了三音括号 a 加 c。 这样一来，原来的等式就变成了左边是二倍的三因括号 a 减 c， 右边是三因括号 a 加 c。 接下来我们要做什么呢？当然是用两角和差的正弦公式，把两边都展开，把未知的角 a 给剥离出来， 左边展开二倍保留在外面，里面是三因 r 乘以 cos 减去 cos a 乘以 cos a， 右边展开就是三因 r 乘以 cos c， 加上 cos a 乘以 cos c。 刚才咱们算出来，角 c 是 四分之派了，对吧？四分之派的正弦和余弦都是二分之根号二，我们把二分之根号二全部带进去。为了计算方便等式，两边每一项都有二分之根号二，咱们直接把它们全部约掉，这样左边就只剩下二倍的三音 r 减去二倍的 cosi， 右边就剩下了三音 r 加上 cosi， 我们把右边的三 a r 移向到左边。二倍的三 a r 减去三 a r 变成一个三 a r， 再把左边减去二倍的 cosi 移向到右边，加上原来的 cosi， 就 变成了三倍的 cosi。 所以 我们得到了一个极简的关系式，三 a r 等于三倍的 cosi。 走到这一步，求三 a r 就 易如反掌了。因为三 a r 的 平方加上 cosi 的 平方等于一，我们把三 a r 等于三倍的 cosi 带进去，也就是三倍 cosi 的 整体平方变成了九倍的 cosi 的 平方，再加上一个 cosi 的 平方，总共是十倍的 cosi 的 平方等于一， 所以 cosi 的 平方就等于十分之一，那 cosi 的 平方就等于十分之九。因为在三角形里， cosi 等于三倍的 cosi 凹，说明 cosi 凹和凹凹同号角 a 肯定是个锐角，正弦值必须是正的。 我们对十分之九开根号分子变成了三分母，是根号十，上下同乘根号十，有理化一下三啊，就等于十分之三倍的根号十。第一问完美搞定， 接下来咱们看第二问。已知 ab 边的长度等于五，也就是小 c 等于五。题目，让求 ab 边上的高， 这里咱们要先明确怎么求高，大家在脑子里画个图过一下。如果在三角形 a、 b， c 向底边 ab 做垂线，这条高我们叫它 h。 利用直角三角形的性质，这条高 h 是 不是就等于边长 a， c 乘以 c、 n、 i 啊？边长 a， c 其实就是小 b， 所以 我们只要算出小 b 的 长度，再乘以第一问，算出来的 c、 n、 i 高就出来了。 那现在的小问题就是怎么求边长 b 呢？已知条件有小 c 等于五角， c 是 四分之派，我们是不是得用正弦定理啊？ 正弦定理说， b 除以 c， n， c 等于 c， n c， 这里 c 知道了， c、 n、 c 知道了。咱们先来算 c、 n、 b。 前面咱们推导过， c、 n、 b 等于 c， 括号 a 加 c， 也就是 c r 乘以 cos， 加上 cos 乘以 cos。 把数据都带进去， cos 是 二分之三倍的根号十， cos 是 二分之根号二，这两个乘起来是二十分之三倍的根号二十，再加上 cos a 是 十分之根号十乘以 cos i 是 二分之根号二乘起来是二十分之根号二十。这两个加在一起就是二十分之四倍的根号二十。 根号二十可以化简成二倍的根号五，所以分子变成了四乘以二倍的根号五，也就是八倍的根号五。八倍的根号五，除以二十。分子分母同时除以四，约分 c、 n、 b 就 等于五分之二倍的根号五。有了 c、 n、 b， 我 们马上代入正弦定律，求 b， b 等于 c 乘以 c、 n、 b 除以 c、 n， c 是 五乘以 c、 n、 b， 也就是五分之二倍的根号五。五和五约掉，分子就变成了二倍的根号五，再除以 c、 n、 c， 也就是二分之根号二。 二倍的根号五，除以二分之根号二。咱们把分母的二翻上去，分子就变成了四倍的根号五，再除以根号二。分子分母同时乘以根号二，就变成了二分之四倍的根号十。约分之后，就得到了 b 等于二倍的根号十。好了，最后一步水到渠成， ab 边上的高， h 等于边长， b 乘以 c、 r， 把 b 等于二倍的根号十和 c、 r 等于十分之三倍的根号十相乘，二乘以三等于六，根号十乘以根号十等于十。分子是六十除以分母十，结果正好等于六。这道题的高就是六。咱们来总结一下这道题，第一问的答案是十分之三倍的根号十。第二问的高是六。 解三角形的题，看到多个角和遇单角向负角靠，把 b 变成 a 加 c， 就是 这题破局的核心。 数学的学习要从自身的实际情况出发，而不是盲目的刷题题，刷了一堆分数纹丝不动。这段时间我在免费给同学们做一次数学摸底，你把摸底做完发我，我给你出一份分析报告，再配一份规划，高一高二高三都可以，我一天只能看几份。入口就在评论区的杨老师摸底规划群。 最后留一道同类思考题给大家。在三角形 a、 b、 c 中，如果角 a 加角 b 等于两倍的角 c， 而且二倍的三 a， 括号 a 减 c 等于根号三倍的 cos b， 你 能求出角 a 的 大小吗？你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
86杨老师秒解数学
01:49查看AI文稿AI文稿我们看一下这道题，一道三角含羞的小押韵，但实际上是新一节选项最简单的选择押韵了。这道题难度并不大，方法还多， up 就 用一个简易方法来做吧。先把条件列上去，把题干问题转化一下，发现主结成 r i f 贝塔了。 注意到将方程组二式乘二加上一式，可以得到关于阿尔法贝塔的正弦值，浅浅的用一下余弦二倍角的逆弓系就算出来答案为九分之一了。看到就玩，一时我就有点懵，因为这是圆锥曲线的填空押韵，它必定不是简单题。 后来我算时就彻底崩了，因为我原先的方法实在是太难算了，因此我就开始设圆换圆，利用信记去解，先令 f r 与 f r b 有 个确切的结，题干中有它俩的大小关系，再用直角三角形 f e b 勾股定律就算出 f e a。 我们其实可以根据原始定义知道 f 一 f 二二 a， 所以 二 m 二 a， 再利用三角形 f 一 f 二 b 的 余弦定里求解 f 一 b f 二的余弦值。然而我们用直角三角形就知道了 f 一 b f 二的余弦值为五分之三 余弦公式一套进去就能知道 m 以 c 的 关系，从而得积勒 a 以 c 关系，并根据其次系求的 e 三倍根号五分之五。 视频制作到这里了，前几天很忙，一直没更新，这次就当做弥补大家的遗憾了，无论是 b 酱的同境还是 d 的 同境都比较积极， up 的 工作也在此对大家进行感谢了，下一期视频再见吧！
48约瑟夫番摊二世
06:15查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？更多精彩内容可以看我们一人一案的系统冲刺课，高一、高二、高三都可以，我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路 这是一道改编自二零二三年新高考一卷第十七题的解三角形大题。想冲一百三十五分以上这道题的前两步转化，咱们必须在三分钟内拿下 这题最容易踩坑的地方就是一上来看到两个条件，很多同学不知道先动哪一个，咱们先来完整看下题目。在三角形 a、 b、 c 中，已知角 a 加角 b 等于五倍的角 c， 并且两倍的三引括弧 a 减 c 等于三引 b。 第一问，求三内的值。第二问，如果 ab 边的长度等于六，求 ab 边上的高。 很多同学看到角和正弦值混在一起就慌了。其实咱们大方向很明确，就是先利用内角和定力，把角 c 算出来，再去拆解正弦的等式。 咱们先来看第一问，这里有个非常重要的技巧，大家记住，在三角形里看到 a 加 b 这种结构，第一反应必须是内角和定力。 咱们知道三角形三个内角和 a 加 b 加 c 等于一百八十度。题目已知 a 加 b 等于五倍的角 c， 接下来我们要做什么呢？我们要把 a 加 b 替换掉，具体怎么做？把五倍的角 c 带入到内角和公式里，也就是五倍的角 c， 再加上角 c 等于一百八十度，这样我们就得到了六倍的角 c 等于一百八十度。等式两边同时除以六，马上就能算出角 c 等于三十度。 你看，这不就拔掉第一颗钉子了吗？算出了角 c， 接下来咱们处理第二个条件，题目给的是两倍的 sine 括弧 a 减 c 等于 sine b， 这里到底该怎么转化呢？很多同学在这里会犯错，直接去展开左边，结果越算越复杂。 注意，这里等式右边是 sine b， 而我们要算的是关于 a 的 值，所以我们要想办法把 b 换成 a， 怎么换？还是用内角和定例。角 b 等于一百八十度，减去括弧 a 加 c。 因为角 c 是 三十度，所以角 b 就 等于一百八十度，减去括弧 a 加三十度。 根据诱导公式，正弦函数在一百八十度减去一个角的时候，函数值是不变的，所以 sin b 就 直接等于 sin， 括弧 a 加三十度。 现在我们把角 c 等于三十度，以及刚刚得到的 sin b 一 起带回原等式等式左边变成了两倍的 sin。 括弧 a 减三十度。等式右边变成了 sin， 括弧 a 加三十度，这就得到了两倍的 sin。 括弧 a 减三十度，等于 sin 括弧 a 加三十度。 接下来我们要做什么？我们要把两边的和差角公式展开，把 sin 和 cosine 分 离出来。咱们先展开左边，根据正弦的差角公式，左边变成两倍的 cosine 乘以 cosine 乘以 cosine 三十度。 再展开右边，根据正弦的和角公式，右边变成 sin 乘以 cosine 三十度。加上 cosine 乘以 cosine 三十度。接下来我们把三十度的三角函数值带进去， cosine 三十度是二分之，根号下三， cosine 三十度是二分之一。带入之后，左边就变成了两倍的扩弧，里面是二分之，根号下三倍的 sine， 减去二分之一倍的 cosine。 把外面的二乘进去二和分母的二刚好约掉了，左边就完全化简成了根号下三倍的 sin 减去 cosine。 再看右边代入数值后，右边变成了二分之根号下三倍的 sin， 加上二分之一倍的 cosine。 现在我们得到了一个全新的等式，左边是根号下三倍的 sin 减去 cosine， 右边是二分之根号下三倍的 sin 加上二分之一倍的 cosine。 接下来怎么做？我们要合并同类项，把带有 cosine 的 项都移到等号左边，把带有 cosine 的 项都移到等号右边， 左边变成了根号下三倍的 sine。 减去二分之根号下三倍的 sine。 提取共音式 sine 系数就是根号下三，减去二分之根号下三。结果是二分之根号下三倍的 sine， 右边变成了二分之一倍的 cos， 加上左边移过来的 cos， 也就是二分之三倍的 cos。 所以 咱们得到了二分之根号下三倍的 cos 等于二分之三倍的 cos。 等式两边同时乘以二分母就都没了。得到根号下三倍的 cos 等于三倍的 cos。 两边再同时除以根号下三，并且除以扣三，我们就得到了贪，当等于三，除以根号下三，分子分母同时约分化简一下就是根号下三。这个数字一出来，选项就开始倒了，答案也水落石出了。 因为 a 是 三角形的内角，范围在零到一百八十度之间，贪啊等于正的根号下三，所以角 a 只能是六十度。题目要求的是三啊，那么三啊就等于三六十度，也就是二分之根号下三。第一问，咱们就圆满拿下了。 接下来咱们看第二问题目，已知 ab 边的长度等于六，要求 ab 边上的高。很多同学一看到球高就开始疯狂画辅助线，其实大可不必，咱们先来盘点一下现在手里有哪些牌。 角 c 是 三十度，角 a 是 六十度，对吧？那角 b 是 多少呢？一百八十度减去六十度，再减去三十度，角 b 正好等于九十度。这步很关键，大家一定要对特殊的角保持敏感。角 b 是 九十度，意味着三角形 a、 b、 c 是 一个以角 b 为直角的直角三角形。 题目要求的是 ab 边上的高。在直角三角形里，两条直角边互为底和高。既然角 b 是 直角，那么 ab 边上的高不就是另一条直角边 bc 的 长度吗？你看，原本要求高，现在直接转化成了求直角边 bc 的 长度，问题瞬间就简单了。接下来我们具体怎么算 bc 呢？ 在直角三角形 a、 b、 c 中，我们知道角 a 是 六十度，邻边 ab 的 长度是六，要求对边 bc 直接用正切函数就可以了。贪 a 等于对边 bc 除以邻边 ab 把数值带进去贪六十度等于根号下三。所以根号下三。等于 bc 除以六 等式，两边同时乘以六，我们就得到了 bc 等于六倍的根号下三。因为 bc 就是 ab 边上的高，所以 ab 边上的高就是六倍的根号下三。好，咱们来总结一下，第一问，求出的塞纳等于二分之根号下三。第二问，求出的 ab 边上的高是六倍的根号下三。 这道题的核心策略是什么呢？大家记住一句口诀，见合角，想内角合遇正弦拆单角。只要看到 a 加 b， 马上用一百八十度减去 c 来替换。遇到复杂的等式，果断用合叉角公式展开合并，把未知角剥离出来。特殊角一出现，直角三角形的性质就能帮你秒杀计算。 这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。最后留一道同类思考题给大家。在三角形 a、 b、 c 等于四倍的角 b， 并且根号下三倍的三引括弧 a 减 b 等于 q c。 如果 b、 c 边的长度等于四，求三角形 a、 b、 c 的 面积。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区！
94杨老师数学提分
06:15查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？更多精彩内容可以看我们一人一案的系统冲刺课，高一、高二、高三都可以，我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路 这是一道改编自二零二三年新高考一卷第十七题的解三角形大题。想冲一百三十五分以上这道题的前两步转化，咱们必须在三分钟内拿下 这题最容易踩坑的地方就是一上来看到两个条件，很多同学不知道先动哪一个，咱们先来完整看下题目。在三角形 a、 b、 c 中，已知角 a 加角 b 等于五倍的角 c， 并且两倍的三引括弧 a 减 c 等于三引 b。 第一问，求三内的值。第二问，如果 ab 边的长度等于六，求 ab 边上的高。 很多同学看到角和正弦值混在一起就慌了。其实咱们大方向很明确，就是先利用内角和定力，把角 c 算出来，再去拆解正弦的等式。 咱们先来看第一问，这里有个非常重要的技巧，大家记住，在三角形里看到 a 加 b 这种结构，第一反应必须是内角和定力。 咱们知道三角形三个内角和 a 加 b 加 c 等于一百八十度。题目已知 a 加 b 等于五倍的角 c， 接下来我们要做什么呢？我们要把 a 加 b 替换掉，具体怎么做？把五倍的角 c 带入到内角和公式里，也就是五倍的角 c， 再加上角 c 等于一百八十度，这样我们就得到了六倍的角 c 等于一百八十度。等式两边同时除以六，马上就能算出角 c 等于三十度。 你看，这不就拔掉第一颗钉子了吗？算出了角 c， 接下来咱们处理第二个条件，题目给的是两倍的 sine 括弧 a 减 c 等于 sine b， 这里到底该怎么转化呢？很多同学在这里会犯错，直接去展开左边，结果越算越复杂。 注意，这里等式右边是 sine b， 而我们要算的是关于 a 的 值，所以我们要想办法把 b 换成 a， 怎么换？还是用内角和定例。角 b 等于一百八十度，减去括弧 a 加 c。 因为角 c 是 三十度，所以角 b 就 等于一百八十度，减去括弧 a 加三十度。 根据诱导公式，正弦函数在一百八十度减去一个角的时候，函数值是不变的，所以 sin b 就 直接等于 sin， 括弧 a 加三十度。 现在我们把角 c 等于三十度，以及刚刚得到的 sin b 一 起带回原等式等式左边变成了两倍的 sin。 括弧 a 减三十度。等式右边变成了 sin， 括弧 a 加三十度，这就得到了两倍的 sin。 括弧 a 减三十度，等于 sin 括弧 a 加三十度。 接下来我们要做什么？我们要把两边的和差角公式展开，把 sin 和 cosine 分 离出来。咱们先展开左边，根据正弦的差角公式，左边变成两倍的 cosine 乘以 cosine 乘以 cosine 三十度。 再展开右边，根据正弦的和角公式，右边变成 sin 乘以 cosine 三十度。加上 cosine 乘以 cosine 三十度。接下来我们把三十度的三角函数值带进去， cosine 三十度是二分之，根号下三， cosine 三十度是二分之一。带入之后，左边就变成了两倍的扩弧，里面是二分之，根号下三倍的 sine， 减去二分之一倍的 cosine。 把外面的二乘进去二和分母的二刚好约掉了，左边就完全化简成了根号下三倍的 sin 减去 cosine。 再看右边代入数值后，右边变成了二分之根号下三倍的 sin， 加上二分之一倍的 cosine。 现在我们得到了一个全新的等式，左边是根号下三倍的 sin 减去 cosine， 右边是二分之根号下三倍的 sin， 加上二分之一倍的 cosine。 接下来怎么做？我们要合并同类项，把带有 cosine 的 项都移到等号左边，把带有 cosine 的 项都移到等号右边， 左边变成了根号下三倍的 sine。 减去二分之根号下三倍的 sine。 提取共音式 sine 系数就是根号下三，减去二分之根号下三。结果是二分之根号下三倍的 sine， 右边变成了二分之一倍的 cos， 加上左边移过来的 cos， 也就是二分之三倍的 cos。 所以 咱们得到了二分之根号下三倍的 cos 等于二分之三倍的 cos。 等式两边同时乘以二分母就都没了。得到根号下三倍的 cos 等于三倍的 cos。 两边再同时除以根号下三，并且除以扣赛，我们就得到了贪，当等于三，除以根号下三，分子分母同时约分化简一下就是根号下三。这个数字一出来，选项就开始倒了，答案也水落石出了。 因为 a 是 三角形的内角，范围在零到一百八十度之间，贪啊等于正的根号下三，所以角 a 只能是六十度。题目要求的是三啊，那么三啊就等于三六十度，也就是二分之根号下三。第一问，咱们就圆满拿下了。 接下来咱们看第二问题目，已知 ab 边的长度等于六，要求 ab 边上的高。很多同学一看到球高就开始疯狂画辅助线，其实大可不必，咱们先来盘点一下现在手里有哪些牌。 角 c 是 三十度，角 a 是 六十度，对吧？那角 b 是 多少呢？一百八十度减去六十度，再减去三十度，角 b 正好等于九十度。这步很关键，大家一定要对特殊的角保持敏感。角 b 是 九十度，意味着三角形 a、 b、 c 是 一个以角 b 为直角的直角三角形。 题目要求的是 ab 边上的高。在直角三角形里，两条直角边互为底和高。既然角 b 是 直角，那么 ab 边上的高不就是另一条直角边 bc 的 长度吗？你看，原本要求高，现在直接转化成了求直角边 bc 的 长度，问题瞬间就简单了。接下来我们具体怎么算 bc 呢？ 在直角三角形 a、 b、 c 中，我们知道角 a 是 六十度，邻边 ab 的 长度是六，要求对边 bc 直接用正切函数就可以了。贪 a 等于对边 bc 除以邻边 ab 把数值带进去贪六十度等于根号下三。所以根号下三。等于 bc 除以六 等式，两边同时乘以六，我们就得到了 bc 等于六倍的根号下三。因为 bc 就是 ab 边上的高，所以 ab 边上的高就是六倍的根号下三。好，咱们来总结一下，第一问，求出的塞纳等于二分之根号下三。第二问，求出的 ab 边上的高是六倍的根号下三。 这道题的核心策略是什么呢？大家记住一句口诀，见合角，想内角合遇正弦拆单角。只要看到 a 加 b， 马上用一百八十度减去 c 来替换。遇到复杂的等式，果断用合叉角公式展开合并，把未知角剥离出来。特殊角一出现，直角三角形的性质就能帮你秒杀计算。 这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。最后留一道同类思考题给大家。在三角形 a、 b、 c 等于四倍的角 b， 并且根号下三倍的三引括弧 a 减 b 等于 q c。 如果 b、 c 边的长度等于四，求三角形 a、 b、 c 的 面积。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区！
103杨老师高数
13:53查看AI文稿AI文稿从前无从下手，如今题题通透来考二三年一卷第八题，这个在当时全卷单选最后一题里，其实考察的应该是三角的这个等加变形预算。 而我们对大家的要求其实就是说你怎么从这两个已知去建立一条到咱们所求这个东西之间的一个路径。我觉得最核心的是这样的一个问题，第一个部分你不至于不认识，大家都明白， 但是第二个部分你有没有发现，就中学讲这样的结构其实特别少， cosine alpha 和 cosine alpha 和 sine beta 的 成绩很少出现， 为什么这个东西一般不会单独出现，我觉得这是很关键，他要出现的话，多半是和另一个人搭对，你要注意是谁是三元 f 靠三倍他，而他俩搭对能凑谁呢？能凑这个以及中间是加号人也能凑，我觉得这就是问题的关键。 好吧，请大家来想方法一、怎么去做呢？大概是一个这样的路径，我先写细节哈。我们知道 sine alpha 减 beta， 那 我说了有两个部分，其中一部分就这个，所以 sine alpha， cosine beta 减 cosine alpha， sine beta， 那 这个等于三分之一。你这已经知道了， 但是题目又知道，就是 cosine alpha， sine beta 等于六分之一，所以我们得到 sine alpha， cosine beta 等于这两之合，也就是二分之一。所以我的路径大概是一个这样的路线， 就是我从 sine alpha， sine beta 和你所要的 cosine alpha， sine beta 先从这俩人身上去算出后者他的另一半， 好吧，就是 sine alpha， cosine beta。 而你一定要注意的事情就是 sine alpha， cosine beta 和 cosine alpha， sine beta 往往一起出现，那当你既知道了其中一个人， 又知道它们俩的一种总体效应的时候，我觉得算出另一者应该是一个挺正常的诉求。 ok， 到这之后下面干啥呢？你要注意人家问的是谁。 r alpha 加二倍它，那会不会其实就是二倍的 alpha 加倍它，那你 alpha 加倍它能算出来不？真能啊，为什么？ 你不是已经知道这个吗？你不是又知道了这个吗？来，把这点合起来，你是不是能算三 alpha 加倍它，对不对？那这个算出来之后，我让你算一下 cosine 这个二倍的 alpha 加倍它， 那你知道余弦的二倍角公式还真就可以，只用正弦不用余弦是可以的，所以这个路径到此为止，我想就清楚了。我们继续算，你要的这个 sin alpha 加 beta， 那 是谁啊？实际上是 sin alpha， cosine beta 和上面相比是加 cosine alpha， cosine beta， 那 么就变成二分之一加六分之一，而不是减六分之一，所以算出来是三分之二。 而咱们最后最后所需要的这个 cosine 二 alpha 加二倍它，我刚才已经给你写成了 cosine 这个二倍的 alpha 加倍， 那此时由于我们知道它，所以把 alpha 加倍它需要视为一个整体，那到这为止，你就别拆了，那别拆了之后，咱们用余弦的二倍角公式，所以是一减去二倍的 sine alpha 加倍的平方， 说白了就是一减二乘以三分之二的平方，那算出来就是九分之一。好吧，这就是一种方法，所以此题我们答案选 b。 那 我想到这为止，我就是给大家贡献了一种相对可行的路径。 行，这是一种方法来，方法二，我还可以有其他的观点，比如哈，大概是这么回事儿，其实你想想，我把上面这俩式子再给你抄一遍来。 sign alpha 加 beta 是 不是等于 sign alpha cosine beta 加 cosine alpha cosine beta， 这是一回事。 sine alpha 减 beta 是 sine alpha cosine beta 减 cosine alpha cosine beta 圈一和圈二。我是想着什么？就是圈一和圈二，它们共同的特点是你右边出现的象实际是一样的， 那不一样的无非就是一个加号和一个减号的问题吗？那你知道这个现象，我们专门给他起个名字叫做队友。你这点东西永远都一起出现，但是是以两种不同的形式进行的组合。 好，现在我告诉你，我知道什么？这个我知道，而且我知道我想求他。同学，你好像不需要去跟这点事较劲吧？不知道就不知道呗，怎么着？俩式子一减除以二。哎，不除以二也行哈，反正俩式子一减， 所以二倍的 cosine alpha sine beta， 那 就等于 sine alpha 加 beta 减去 sine alpha 减 beta， 那 这会儿你这个是已知的，而这个也是已知的， 所以这个就变成可求的。那求完之后剩下的步骤大概就回到这个地方了。好，那眼尖的同学，你看出来我想给你推导什么了？那求完之后剩下的步骤大概就回到这个地方了哈，那眼尖的同学，你看出来的步骤大概就回到这个地方了吧。 当我知道俩数的乘积的时候，我是不是能把它变成和与差的这个形式？当然你要说你要记住计划和差，那也是个办法，但是一般来讲，这个并不是高考考纲所要求，所以的话不会有哪一道题说非得记住计划和差才能做不可能， 但是一个说你记住确实可能可以把这个问题做的更快，所以记住挺好的。更希望你要能够理解的事情是你所谓的计划和差，它本质上是由咱们已经承认的两角和两角差，用一种对偶的思想就是把俩放一起去整体考虑， 用这种思想所得到的结果。所以你要是能理解，就是我们把他不会单独出现的东西，一旦有一个你自己引进第二个，那么我想这公式记不记没有那么大的重要性 好不好？行，到这为止，我们说清楚了的，第二种解法好，第三种解法来，方法三就是什么呢？刚才算老半天，你其实都是把二 f 加二倍理解成了二 f 二倍的，这个 f 加倍，你说有没有可能这样我换一种拆分方式啊？ 因为我说了，你最终不就是想终点落在这个地方，你这个路径确实是不唯一的来，有没有可能是 cosine r alpha 加 r beta， 实际你就把 r alpha 和 r beta 当一角得了呗。那如果是这样的话，咱们来考虑我是不是可以得到 cosine r alpha， cosine r beta 减 cosine r beta， 我 这么做，假如说我有本事把这四个东西给你求出来， 当然这四个东西的真正关键是在于什么？我其实是想把那个 r alpha 和 r beta 分 别去把它当成一个整体去处理好吧，而不是说把 alpha 加 beta 和 alpha 减 beta 分 别视为一个整体， 那这其实可以理解成是对于原题的一个换元的过程。有的人说这怎么办，实际不见得不行， 你看，咱们已经知道了 cosine alpha， cosine beta 等于六分之一前头的做法，我又告诉你什么 cosine alpha， cosine beta 等于二分之一。你要的东西不是有成正弦吗？那这个东西你算一下， 所以是不是由此得到 cosine alpha？ cosine 二 beta 怎么着？关键是人打开以后就这玩意等于二倍的 cosine beta， cosine beta， 所以和上面的没区别，算出来是三分之一。你看，如果是这样的话，大家仔细考虑好了。我用一种非常间接的方式直接得到这个等式的后一部分 原因是我这确实是一种可行的拆分方式，而拆完了之后，关键是你这两项经过一次这个整体处理之后，那确实立刻可以得到我所需要的结果。 好吧，那最后一个问题就是，在这种阶段下，你不还得算这样愚蠢的成绩吗？ 对不？我是觉得你最好能想办法，怎么着也给他进行整体处理，但这个办法确实是得有人想，所以我是说方法三是一种特别间接的方式，正常同学可能不一定朝这个角度去考虑。 我这么说好吧， cosine 阿尔法， cosine 二倍的我知道有好几种拆法，但你无论哪一种拆法是不是都得有平方出现？你不可能就单倍一个人对不对？ 好，记得我说的话好不？就说得有平方出现，那你这全都没有平方怎么办？我给你平方一下不就完了吗？你算一下哈，我这说另意思就是另起炉灶去解决这个问题， 就是 cosine alpha 的 平方乘以大于 beta 的 平方等于谁？因为 cosine alpha 的 平方我是能够处理的， 等于二分之一加 cosine alpha 乘以二分之一减 cosine 二 beta。 这块呢，是另一项一样的处理， 就是 sine f 的 平方乘以 cosine beta 的 平方等于正好反了，一减 cosine 二 f 乘以二分之一加 cosine 二 beta。 这俩人所有所有的部分全是反。 大家搞搞清楚，你到底想求什么东西？你想求的是 cosine 二 f 乘以 cosine 二 beta， 对 不对？ 那你看这哪有，就这个和这个是反的，这个和这个是反的。我寻思着哈，你大概必须得去寻求怎么着对这个问题进行整体处理，因为单独某一个没法处理，俩合起来可以处理。 这问题我们见过很多遍了。来，咱不行把这个展开，这乘进去不就有 cosirf， cosirf 吗？但是上下两个式子 你各自展开，不都是四项，对不？有共同的 cos 阿尔法， cos 阿尔贝特有共同的一，但是中间的交叉项，你谢谢，他是反的，所以怎么着加起来好加起来，而且关键是这俩人都是常数， 这个是三十六分之一，这个是四分之一，两式相加，我不写具体过程了，给大家稍微定注一下。 你这个式子和这个式子再说一遍哈，分母通分都是四就完了。一，你直接加起来，末项都是减 cosine alpha， cosine beta 全得加成个二就是了。 但是这块中间项是谁加 cosine alpha 减 cosine beta， 这块是减 cosine alpha 加 cosine beta 反的，加起来没了，你说神奇不神奇？将加稍微整理一下，得到 cosine alpha， cosine beta 算出来是一个九分之四。 那你往这一带，最后结果就出现了好不好？大家考虑我们第三种解法。确实，我承认不是特别常规，不太好想， 但是他蕴藏着非常深刻的整体处理。你比如说，请看我蓝色的部分，我具体整体处理的手段是相乘，这块绿色的部分整体处理的手段是行方后相加，而他们公共的要点是整体处理。 那你说为什么我这块这么做，那块那么做？答案都来自于这个正弦的二倍角和余弦的二倍角。人本来长这样，所以我为了凑我的目标形式，我也没得选了。 好吧，这不是等我于决定的事情，我们只能说怎么离目标更近，那大概就怎么来好。当然，当你想到这的时候，我再说方法四，其实就一句话的事情了， 因为我这么说是因为这道题其实我放的是上面这个第八题的无缝衔接，所以第八题怎么做？我第九题我照样希望你能够体会这边的共性。 方法四还是一样的意思，就是 cos 二 alpha 加二倍它，你不管怎么着，我都有办法把它画成正切。至于你是要用哪一套， 一般来讲就是正切，你的二倍角画不就完了吗？这不就有吗？只是分母除以一个东西， 所以我就保留 alpha 加倍这一套就行了。好吧，和第八题里一样的画法，最后算出来是一减贪着的 alpha 加倍的平方除以一加贪着的 alpha 加倍的平方， 而说白了就是 f 贪着的 alpha 加倍，这同样是考虑半角万能公式啊，贪着的 alpha 加倍还不止，其实你不用考虑它正负的， 所以我这加个绝对值没问题，因为你看你这全是平方，所以贪着的 alpha 加 beta 是 正是负。对你的结果其实没什么印象， 那这个东西怎么算钱以求得三、 alpha 加 beta。 在 知道这个的时候，我让你算贪着的， alpha 加 beta 的 绝对值是非常容易的。 倒来倒去就是我们的这几种做法，其实对于最后的结果应当说都有非常鲜明的贡献，但是不同的问题，我想复杂度还是有点区别的。大家需要做的是体会这些求解方法里边的内在的思想。 考场上你去寻求你的最快策略，但是像咱们这样慢慢的去从真题里边去学习，去磨合的时候，尽量想的要尽量深刻一些， 把各种可行的路数都给它摸清楚。难题终结者，尚老师，我们下一期再见。
30清华邵瑞朋讲数学
