江西乙卷

我们一起来看一下二零二二年全国乙卷理科的，嗯，第一道大题，嗯，解三角形的一道大题。那在看这道题之前，我们先对知识点进行一下，嗯，复习。 首先比如说我们看到一个等号的左右两边，嗯，还有三 a 和三 b， 嗯，然后其他的位置都是用小括号，比如括起来了， 那我们想到这些定律，这个 a 比上三等于 b， 比上三 b 等于二，那同样的 a 如果比上二 r 就 等于三 a， 所以 这个三 a 也可以写成，把这个呃三 a 和 r 的 位置交换一下， a 去比上二 r 就是 等于三 a， 那 b 比上三 r 等于三 b， 左右两边等号的左右两边同时可以消掉 r， 所以 说这个呃左边就是 a， 右边就是 b， 那 这个就是角化边，把正弦值所对应的就是把正弦化成它所对的所对应的边长就可以了， 这个是正弦典理的一个应用。角化边，那这道题目中就会考到角化边的这种应用。还有一个是和差角公式，萨尔法减北塔等于萨萨扣，扣萨的形式 中，括号里边是减号，括号下面也是减号，三二法乘以扣三倍，它减去扣三二法三倍，它这个公式只要你一般来说你们能考到五六十分，基本上都知道这个公式。最后一个就是余弦定你的这个 公式写成分式型的，比如说扣三以 a 的 话，这里是 a 讲的，最后就减去的是 a， a 的 平方，然后前面是 b 方加 c 方，下面是二倍的 bc， 这个只要你差不多能考到五六十分，也是知道这个知识点的。然后我们来看这个题具体怎么来应用这些知识点呢？ 第一题，第一题，刚才我们刚刚讲了这个，呃， c， 然后还有这边有一个 b， 然后那比如说这个 c 就 可以写成啊，散 c 的 话就可以写成 c 比二啊，这个散 b 的 话就可以写成 c， 也可以写成 b 比二，二二二，约掉，所以这里就可以直接把 嗯，散 c 画成 c 边，把散 b 画成 b 边。对，那它的第一步我们来写一下，就直接这样画就可以了。然后嗯，画了之后，中间的地方我还要把这个地方展开，用和差角公式展开。那怎么展呢？散口口散散 a， 然后 cosine， b 减去 cosine， a 乘以三 b。 呃，这个地方能写下吗？写不下，我就写到下面一行吧。这个地方是 b， 那把它换成 b 边。刚才说的这就是边角互换，然后里面用和差角公式展开，到后面一项用和差角公式展开，散 c 扩散，以 a 减去扩散，以 c， 散 a。 对， 我们做了这一步之后，来看一下这个式子里面，那同样的 做到这一步，能不能继续用边角互换呢？因为这个 a 三又可以写成 a b r r 三 b 又可以写成 b 比上 r r， 所以 说这个式子里边就是说，嗯， 其实就是，就是可以在左边左右两边同时再乘一个 r r， 对 吧？因为右边你看也可以写成 c 比上 r r， 然后 a 比上 r r， 所以 左右两边同时乘以 r r 的 时候，这个地方它就可以变成 b 边，它可以变成 c 边，它可以变成 a 边。 对，然后我们来写一下这个第一个式子，这个位置就是写成了 a， c 乘以 cosine 减去，它已经变成了 b 了，所以这里 b 就 跟 c 相乘， bc 乘以 cosine a 等于这里 c 边跟 b 边相乘，就是 bc 乘以 cosine a 减去，这个地方是 ab 乘以 cosine c。 嗯，然后 去把这个合并一下吧，这两项你看是一模一样的，所以把这两把这个负 a b cos 挪过来， a， c cos 小 于 b， 加上 a， b cos 小 于 c， 等于两倍的 b c 和三以 a， 所以 他这个边角互换用了两次，而且还考了和差角公式在这个位置。然后第三个考点就是出的真余弦定力 a c， 然后这个余弦定力的话是二倍的，上面 扩散 b 的 话，那就是减 b 方，前面就是 a 方加 c 方减 b 方比上二 a， c 加上 ab 乘以来默写公式。嗯，这个地方是 a 方加 b 方减 c 方乘以二 ab 等于二 bc， 这里是减 a 方，那就前面是 b 方加 c 方减 a 方比上二 b， c 来约一下 a， c， a， c 约掉，所以这个地方就是二分之一的 a 方加 c 方减 b 方，他也有个二分之一，那就直接写到小括号里边去。 嗯，上面是 a 方加 b 方减 c 方，等于右边的二 b， c， 二 b 约掉，那这个地方就是 b 方加 c 方减 a 方。看一下 c 方和 c 方约掉， b 方和 b 方约掉。左边的话是两倍的 a 方乘个二分之一就是 a 方，右边的话， 右边的话就是 b 方加 c 方减 a 方。那把减 a 方挪过来，就是两倍的 a 方等于 b 方加 c 方。那这样我们第一小问就证明出来了，第一小问就用了和差角公式，边角互化用了两次，还有就是余弦定理。 然后我们来看第二小问，第二小问他是告诉你 a 等于五， cosine a 等于，呃，三十一分之二十五。求 三角三角形 a b c 的 周长。那就是要求出 b 加 c 的 长度，那先把扣三 a 的 表达式写出来吧，扣三以 a。 第二小文中扣三以 a 来背一下公式，减去 a 方，所以这边是 b 方加 c 方减 a 方比上两 b c， 那 a 告诉我们了，已经是五了，所以说这个数字可以代进来，就是 b 方加 c 方减二十五，比上两倍的 b， c， 呃，等于三十一分之二十五， 三十一，一分之二十五。然后我们再看一下，两倍的 a 方又等于 b 方加 c 方， 两倍的 a 方等于 b 方加 c 方，所以 b 方加 c 方，是不是 b 方加 c 方等于两倍的 a 方，这个 a 方的话，呃，第一小文中给了，是啊，就是条件中给了，这个是等于五，所以 a 方的话是二十五，二十五乘二的话就是五十。 嗯，所以我们可以把它带到这个第一式里面去算一下啊。带到这个分式里面去算一下，就变成了五十减二十五，比上两倍的比 c， 嗯，等于三十一分之二十五。所以这样就得到了两个比 c 等于三十一，两个比 c 等于三十一。那看一下 b 方加 c 方知道两倍的 b， c 知道，那是不是就想到了完全平方公式？ b 加 c 的 平方就等于 b 方加 c 方加两倍的 b， c 一方加 c 方是等于五十，两倍的 b， c 是 三十一，所以它就是八十一。那 b 加 c 等于多少？是不是开方就好了？ b 加 c 就 等于九， b 加 c 等于九的话，周长 l l 的 话就是等于 a 加 b 加 c， 四加九。哦，这是五加九的话是等于十四，那周长算出来就是十四。所以第二题的话还是继续在用这个余弦，呃，用了，考了下余弦定律。考下余弦定律之后，就是你要利用第一题的那个结论啊，把 b 方加 c 方，嗯， 就是，嗯，算出来他的具体值，算出具体的值的话，就可以求出嗯， bc 的 两倍的 bc 成绩， b 方加 c 方是已知的两倍 bc 成绩。知道，那还要在结合初中学过的完全平方公式，就可以把 b 加 c 求出来了。 那第二问还是比较简单，就是如果你真的第一问没有做出来，你也可以直接去做第二问，第二问也是可以得分的。那这道题我们就先讲到这里。