技能高考数学从零学起
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22:22查看AI文稿AI文稿欢迎收看高中数学从零开始我们今天呢讲第一节集合的概念啊。好，那首先我们先来看一下什么是集合啊。 呃在数学上呢我们常用集合来对研究的对象进行分类啊，并且呢呃我们从高中往后啊基本上都用这个集合语言对问题进行一个描述 哎就说这个集合这个概念呢呃我们后期会一直使用它啊大多数问题都是用集合语言进行描述的啊。 呃那我们直接先看一下定义那课本当中的定义是这么说的就是我们把一些能够确定的不同的对象汇集在一起啊啊就说由这些对象组成一个集合 啊，并且呢组成集合的每一个对象称之为该集合的一个元素啊。那当然这是课本当中比较标准的定义哈。说通俗一点呢这个集合就是一个盒子啊就是一个盒子，当然这个盒子呃呃是不是一个具体的盒子啊？是一个抽象的盒子啊。 呃这个盒子里面呢装了一些啊能够确定的不同的对象啊。呃你比方我举个例子 呃你们家过冬的衣服就可以组成一个集合你可以把所有过冬的衣服呃给他呃归拢归拢啊放到一个盒子里边然后给这个盒子贴上一个标签啊说这是过冬的衣服 啊。那你后期呃等到第二年冬天啊想找这个过冬衣服的时候直接上这个盒子里边去找就行了啊。 也就说集合呢它是有一些能够确定的其实呃这些所谓确定的不同的对象大多是具有某些属性的共同属性的 哎我们把它归归类哎统一称之为哎。什么集什么集啊。呃或者说如果你有这个 呃电影爱好的话是吧你看那个看那个什么看电影他有分类啊是吧有恐怖片那恐怖片就是由所有这种恐怖性质的电影组成的集合对吧还有喜剧片啊等等这一类的啊这就是集合的一个概念 集合呢通常用这个大写字母表示啊就这个盒子我们去给它起名的时候一定要用大写字母起名啊。那集合中的元素啊那我们就用小写字母来表示啊 啊并且呢这个集合中的元素和集合之间存了一个关系啊也说如果小 a 是 大 a 中的元素那我们就记作 a 属于 a 啊这个符号是属于的意思 啊属于就是一个朝右的 e 啊这个 e 只是这边它是一个圆滑的哈啊属于那同理呢如果小 a 不是 大 a 中的元素我们就记作 a 不 属于大 a 啊。 好那接下来呢关于集合概念的一些注意事项。好我们再来呃一一的说一下啊因为只要数学上只要涉及到概念的考察呢啊一般是从这种细节上来考啊。 那首先第一个啊就是讲这个元素特性的就集合中的元素呢有三个特性啊分别是确定性、互易性和无序性啊那什么叫确定性呢呃就是组成该集合的元素必须得是能够确定的 啊。呃你比方说我们班长得帅的同学能否构成一个集合呀。哎那这个显然是不能构成一个集合的因为长得帅这件事是无法确定的。那什么样的叫帅啊对吧啊评评判标准啊，无法一个，无法一个一个一个确定啊。 然后第二呢，叫互异性。什么叫互异性啊？就是集合中的元素啊，两两之间必须得互易，或者说你这个集合当中不能有两个一样的 啊。那我举个例子，我们班不能有两个人名籍都叫小红啊，如果有两个人都叫小红的话，那老师点名说小红起来回答问题，那到底哪个起来回答呀？对吧？那这个系统就会产生一个混乱啊。 那第三个叫无序性。什么叫无序性啊？就是你这个集合当中的元素顺序。呃，无关紧要啊，谁在前谁在后，就你们班。呃，谁坐前排，谁坐后排，我调调味。那你们班这些人还是那些人 啊？高一七班还是高一七班那些人？呃，他只是内部的顺序发生了改变，那跟集合是没有改变的，也就说集合中的元素是不讲顺序的啊。 好，那我们再来看第二个，给定两个集合， a、 b， 如果组成它们的元素完全一样的话，那就称它们相等，那即为 a 等于 b 啊，那这个就比较好理解啊，它这个符号也也是我们之前的等号啊。 第三个呢，就是如果一个集合当中不含有任何元素，你说你这个集合是可以空着的，这里边啥也没有，那像这样的集合呢？呃，我们就称之为空集啊，然后用这个符号来表示，还是画一个圆圈，然后加一个否定符号啊，叫空集。 好，那我们再通过几个例子呢，来巩固一下这个知识点啊。我们先来看一下例一， 那第一个啊，你所在的班级身高不低于一米七五的啊，一百七十五厘米的同学能否构成一个集合啊？那这个是可以的，那因为只要不低于就行，这是一个能够明确的筛选出到底是哪些同学啊，满足元素的一个确定性。 第二个呢，我们班数学成绩好的同学能否构成一个集合啊？那这个就不能，因为这个数学成绩好，那这句话是无法确定的啊。 第三个方程，它，它的所有实数根能否构成一个集合，那这个方程呢？我们来看一下，这是一个一元二次方程，那根据我们初中啊，呃，这个判别式得儿，它等于 b 方四减四 a c， 那显然是一个小于零的数，那也就是说它是没有实数根的，那没有实数根能否构成一个集合呢？哎，这个也是可以的，那这个集合我们前面讲了，这个集合叫空集，对吧？好，那这是第一题，我们再来看例二 说弱啊，这个地方呢，它是用花括号表示的集合，我们接下来啊，马上就会讲到这个集合的表示了哈， 就是这个盒子呢，实际上我们后期做题的时候，他肯定不去画个盒子，对吧？我们用这个大括号来表示啊， 那就说这个集合它里边有三个元素，它等于后边这个集合。那后面这个集合呢，也有三个元素啊，这是考察集合相等的，那根据集合相等的定义，那说明这三个元素跟这个三个元素它都是对应的，都是完全一样的啊， 那这种题呢，一般是考察这个推理哈，那我们来看一下，前面这个集合，他有个一，那也就意味着后边这俩人当中，哎，有个人得是一， 那至于谁是一呢？哎，不确定啊。那么再看后边这个集合，他这个地方有一个确定的零，哎，有一个确定的零，那说明前边这个集合呢，他得有个人也是零，就这三个元素当中有一个人也是零， 那我们知道这个 a 肯定不能是零，因为他这有一个分数，如果 a 是 零的话，这个分数怎么着？ 是不是就没有意义了，对吧？所以这个地方我们就可以推断出，那只能是 b 等于零啊，从而就推断出只能是 b 等于零，那如果 b 等于零的话，我们再把这两个集合化简一下，那第一个集合就变成了一逗号 a， 逗号零， 然后他就等于后边这个集合零，逗号 a 方逗号 a。 啊，那就变成这个样了啊， 哎，那这时候我们再去用这个一，那这边有个一，那说明这俩人当中啊，他得有一个人是一，他得有一个人是一，那 a 是 一，行不行啊？如果 a 是 一的话，行不行啊？ 哎，如果 a 是 一的话，这个集合当中这俩人就瞬间都是 e 了，他就不满足集合的什么这个元素互异性了，所以 a 不 可能是一，那 这是不行的，那只能是 a 方等于一， a 方等于推出来 a 等于正一或负一。因为 a 等于正一已经不行了，所以 a 就 只能等于素一，哎，就推出 a 等于负一，哎，这时候我们可以再验证一下，那此时这俩集合就是一负一零， 然后看后边这个零，一样负一，哎，那这俩集合当中的元素呢？是完全一样的啊，并且呢，呃，都满足这个互异性啊，从而就推出来 b 等于 a 等于负一，然后这个式子，那就简单了啊。 好，那接下来呢，我们再来讲第二个知识点啊，集合的分类。那集合的分类呢？它可以根据这个元素的种类 啊，就说你这个盒子里边装的是什么啊？进行分，如果你这个盒子里边装的是一些数，那这样的集合呢，我们就称之为数集。那你像刚才我做那个题，零一呀，负一，那这个集合它里边就装了三个啊，三个数，三个整数啊， 那如果你这个集合里边装的是一些点啊，那这样的集合呢，就称之为点集啊，那当然点啊，不是几何上的点，我们代数上的点呢，是用这个有序坐标来表示的。哎，你比方说我写这么一个集合，一逗号二， 然后三逗号五啊啊，两个有序坐标，那说明这个集合呀，他这里边就装了两个点啊，那这样的集合呢？哎，就称之为点集啊，那这个呢，就叫数集。 那当然你又会问了，哎，说，老师，那这个集合里边的元素可以是任意东西，对吧？你可以里边装一些小石头，各种各样的小石头啊，还可以装各种被子，植物，是吧？各种植物都行， 但是我们数学上呢，哎，主要研究这俩，一个叫数集啊，一个叫点集啊，就是按元素的个数进行分呢，我们分为有限级和无限级 啊，也就说你这个集合里边，如果元素个数有限的话，那他就是一个有限级，如果元素个数无限，那就叫无限级。你比方说 全体自然数构成的集合啊，全体自然数，那这个集合呢？哎，他就是一个无限级，因为你全体自然数，有无数个自然数吗？对吧？那这个呢，就是集合的分类啊，集合的分类。 好，那接下来呢，我们再来看一下一些常见书籍的简写啊，因为我们前面刚才说了，这个高中啊，我们集合主要研究的是书籍和典籍啊，所以对于一些常见书籍的缩写呢，我们得记住啊。 好，那第一个呢？叫啊，这个不好意思，这个写错，这个不是自然书籍，这是实数级 啊，实数级，我们用大写 r 来表示啊，叫实数级啊，为什么实数级啊？这个英文啊，你可以辅助记英文 real 是 吧？真实的啊，实数级啊，然后第二呢叫有理数级，有理数级，这个怎么去记呢啊？它有简写 q， 那 看 q 一个 u 音是吧？叫有理数级，那整数级呢？我们用这个 z 来表示， 那这个怎么联想记忆呢？真整啊，汉语拼音真整啊，整数级，然后这个叫自然数级，那自然数级呢？这个英文 nature 是 吧？啊，自然的啊，自然数级，那这个自然数呢？这个我们要说一下什么是自然数啊？ 零一二三等等，往后一直数，这样呢叫自然数。 当然呢，你在这些基础的书籍上，就基础的书籍上，如果在它的下脚标加上一个正号啊，或者是在上脚标上加上一个星号，那就表示正的意思。 你要说正整数极，那就是在自然数的基础上，把这个零划去它，那就是正正整数极啊，记作 n， 在 加数的基础上，下边再加个角标正号啊，那我们来看一下这个立一哈下列所给的关系，正确的是 那派属于实数级，我们知道派是什么派是一个无理数，是吧？那无理数在实数范围内，所以这个是正确的。那根三是一个无理数，无理数不属于有理数级，那这个也正确。 零属于这个，有个心看没有心，我刚才讲了，就是正整数的意思，零不是正数，那所以他说零属于正整数级，那这个就错了， 负四不属于正正啊，负四的绝对值不属于正正，那应该错了，因为负四的绝对值是正四啊，正四属于正正数啊。好，那我们再来看一下第三个知识点啊，集合的表示方法啊，集合的表示方法， 那我们如何去表示一个集合呢啊？其实通过前边我们已经用这个花括号的方式啊，那进行表示了啊，那这地方我们再详细的啊，讲解一下。那集合的表示方法呢？呃，通常有四种方法，那第一个呢？叫图示法 啊，所谓图式法就是画一个椭圆啊，啊，其实就是一个最直观的，就利用这个椭圆来表示这个盒子，然后把这个比如说我以这个小于六的自然数构成的集合 a 为例吧，我们来分别表示。呃，讲解下这四种啊， 那小于六的自然数那有哪些呀？是不是零一二三四五呀，对吧？所以图示法的话画在这吧，图示法那就是零。 呃呃，注意就是写这个元素之间要用逗号隔开，如果你不用逗号隔开你一二，你可以把它看成是十二，这容易混淆了。隔开 二三四五啊，那就是集合 a， 我 们可以写个符号 a， 然后画一个等号啊，那就叫图式法。那列局法呢？就是我们前面用过的就是用花括号啊，这么写 集合 a 等于花括号，零一二三四五啊，描述法呢？ 呃，描述法呢？它是这么书写的啊，集合 a 等于一个花括号，然后，呃，花号号内部呢，是由两部分构成的，然后用一个竖杠隔开 啊，我先直接写出来再去解释哈。啊，那这样我们可以写个 x 属于 a 啊，什么样的 x 呢？因为它是小于六的自然数。那 x 小 于六啊，我可以这么去书写，哎，我来解释下这个竖杠两部分， 那竖杠两部分的左边这个地方，它指明该集合的元素。呃，是哪些人啊？就是谁，就这一块它表示是谁啊？它表示是谁 啊？该集合描述的对象是谁？哦，描述的是自然数啊，就相当于它的一个身份似的。然后这个竖杠啊，就是这个竖杠后边这一部分啊，这一部分我们可以起个名，叫什么样的谁 啊？什么样的啊？就是特征性质啊，对它进行一个特征性质的描述。好，那所以我们总之来看就是集合 a， 哦，这个 a 里边装的是自然数啊， x 属于 a， 上来先给他亮明身份啊，是谁？ 那什么样的自然数呢？因为它是小于六的自然数，所以加一个性质描述啊，叫小于六。当然呢，呃，那如果这个集合它这个元素，你要去描述它比较复杂的话，这个描述可以再多几条，就是 x 小 于六，然后再加个 啊，再加个逗号，然后 x 又得 r 等于谁？等等的，你可以这个地方可以加无限条。好，那这叫描述法啊。对，这描述法的话，如果这个身份是全体实数的话，就这一块就不需要写了，因为说大于 五的全体实数啊，不是大于五的实数， 那这时候就肯定不叫全体实数了，叫大于五的实数，那这时候怎么去写呢？那写 x 属于 r， 因为身份是实数，什么样的实数呢？ x 大 于五， 是不是可以这么写啊？对吧？但是由于我们，呃，目前为止所认识的数系最大数系就是实数，所以这个前面这个身份可以忽略。不写就说你直接写个 x， 然后数杠 x 大 于五啊，你就知道，因为默认是在实数系内的啊，就这么一个小细节。 然后再一个呢，就区间法。区间法的话，那对于这个例子当中它就没法用区间法。区间法主要是用来表示什么？表示这个这个连续性的这个数据啊，你比方说，呃，大于， 那我们直接，我直接用初中那个不等式的写法啊，比如说 x 大 x 大 于等于三，小于五这个范围内的所有实数，那我们用集合怎么去写呢？呃，用区间法怎么去写呢？就这么写， 转到五啊，呃，就左臂左臂 右开啊，左闭右开。呃，那通过这个我写的这个，他有两，一个中括号，一个小括号，哎，你会发现取等号的这一端就用什么，就用中括号来表示，哎，取不着的这个端点呢，就用小括号来表示啊，那这就叫区间法。那这个区间法 啊，写在这边吧。那你又会说了，如果 x 小 于等于五，我用区间怎么去写啊？那小于等于五就是从富无穷 到五，哎，就这么写啊，同理，如果 x 大 于三呢？用区间就写成三到正无穷啊。好，那这就是区间法，那这个地方要注意一下这个区间法哈，这也是一个细节， 我们到了高中啊，只要写这种范围的时候，必须用区间来写，如果你不用区间，你写了，它就是最终那个答案，你写成了这个样子，那老师就直接给你判错了， 就必须得用这种区间啊，因为我们一开始就说了。呃，从高中开始呢，我们大部分只要是能用集合描述的，全部用集合进行描述啊。 好，那这就是集合的表示方法，那通过这个地方我们可以看出呀。呃，这四种方法各有优缺点，那图示法呢？它就比较形象，给你直接画个维恩图是吧？直接画个维恩图，画个图就比较形象。 呃，那列局法其实也比较形象，他就是把这个椭圆抽象成了一个什么花括号，其实他俩差不多啊。呃，那列局法和图式法，呃，优点是形象之关，那自然也有缺点啊，你像 x 大 于五的所，呃，所有实数，那你这个用列局法，他就没法列了，你大于五的所所有数，刚五到六之间的实数就有无数多个，对吧？所以他有有这个缺点哈。 那描述法看起来怎么样？看起来比较复杂是吧？哎，又是又是谁？又是怎么样的谁？哎，比较复杂，但是他对于那些你用列句法和图示法不好描述的时候，我们用描述法呢，哎，就可以比较好描述了啊。 啊，区间法呢，它的优点就非常直接了，就是非常省事啊，直接写两个端点括号就把问题就描述出来了，就不需要写这么复杂了啊。好，那这就是集合的表示方法。 好，同学们，那这样第一节呢啊，我们就讲完了啊，那我们来回顾一下，看一下这一节讲的有哪些内容啊。 那第一个呢，我们主要是讲了什么是集合啊，集合的一个概念啊，在集合中的元素呢啊，满足确定性和互异性和无序性啊，那元素与集合之间呢，用这个属于和不属于啊这两个符号进行描述啊。 那第二个呢，我们又讲了集合的分类啊。呃，如果按元素个数分分为有限级和无限级啊，如果按元素种类分的话啊，可以分为这个数级和典级。 而数级的一些常见简写呢，分别是实数级、有理数级，整数级啊，自然数级啊，这些常见简写啊，也要记住。 那最后一点呢，我们去讲了这个集合的表示方法啊，分别是这个图示法，列句法、描述法和区间法。那实际上我们后期啊，呃，这个图示法用的其实不太多，主要是用后边这三个。 好，同学们，我们第一节就讲完了啊，那第一节呢？呃，那我知识点，刚才我们是把所有的知识点呀给详细的讲清楚了 啊。那当然呢，你还需要得通过做练习啊，来巩固这些知识点。然后我配备了这个最新的啊，就是全国各地区我筛选出来的比较优秀的这题啊啊，然后我做了一个总结啊啊，差不多有 啊，一共有十六道题啊，选择填空和解答题都有，然后并配有呢这个详细的解答过程啊，有详细的答案啊。好，那有需要的同学啊，可以在评论里边可以回复一下啊，我看到然后就发给你了啊。好，那我们下一课再见。
33.6万蓝星小杰
10:41查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，我是番茄学树。呃，距离高考还有十二天，我们怎么花一周时间从零基础到及格？那如果你这一周里面每天能花个四个小时在数学上，我觉得你离及格就不远了。这四个小时四七二十八吗？二十八个小时我们怎么去安排好？二十个小时，我们是看课，还有八个小时，我们是练习 好怎么去做好，我详细的给大家规划好了，我不会纸上谈兵，因为我录制了一套课程，并且还有练习，还有怎么去做大题，什么都给大家准备好了，很多同学反馈下来都说，嗯，感觉不错，这不是麦克 所有的视频，大家可以自己去看一下，就都是免费的，然后资料也是免费分享的，有需要的同学可以直接自取就行，好吗？那我教大家一下怎么去学， ok 吗？好，首先我一共有三个合集，第一个是零基础十五课，第二个是十五课三万。好，第三个是高考冲刺。 好，我先介绍一下这三个合集啊，第一个合集就是教知识点，然后加简单立体，那第二个合集的话就是，呃，大体解析就是怎么去写大题，那第三个合集的话，高考冲刺是带大家去练题目。好，这三个合集怎么去有序的结合起来，以及听的顺序是什么？我教给大家。 那首先我们如果是零基础的话，刚开始一定先把第零课看完，中小学预算以及复数，以及结合了常用逻辑，英语这些。首先中小学预算的话，你背书过掉就行了，一般一般的话很很多同学都会了 啊。然后复数，复数就二十八分钟，也是倍数过掉就好了，学几个公式就行，还有集合意常用逻辑英语，倍数过掉，倍数过掉不用去听题目，知道焦急病急补急就行了。这里大概花一个小时， ok 吗？花完一个小时之后来到高考冲刺，高考冲刺里面手把手教你们做题。 好，首先复数，集合各种不等式，这三个十分钟，七分钟，十分钟大概就是半小时， 那这样的话，我们大概的花了一点五个小时就把这三大板块学完了，学完这三大板块就是最起码就十分了， ok 吗？因为复数和集合是必考的。 好，结束之后肯定就是你不用自己做题，你直接听完，然后自己再做题就好了，题目也给大家准备好了，这里面高考冲刺的题目都可以在评论区或者是在群聊里面获取， ok 吗？好，这是这个， 那一点五小时我们画完了啊。呃，练习的话，大家剩下八个小时自己看着安排吧。我教大家就是看完课， ok 吗？嗯， 就是练习，大家一定直接听完我讲，然后自己再去做，把我讲过的都做一遍就 ok 了。嗯，就是这么简单，你直接跟我来就行。所有的都给你安排好了， ok 吗？然后大体解析这里的那个，呃，附属五级合成和不等式这边就不看了， ok 吗？跟这边的内容重合了，好吧。嗯， 好，接着继续啊。这是第四节课，零基础十五课里面的第四节课，指数对数密函数，这里一定很重要，一定要去听， ok 吗？因为这些的预算在后面的各个里面都用的到，所以这一个小时不能省， ok 吗？好，结束之后没有练习，没有练习课上的练习跟跟着做就行。好，结束之后 到了函数，函数里面他比较难，所以第一节函数的第一节课就是第一课只听性质， ok 吗？然后第二节课单调性、既有性、周期性，只听性质，知道性质就行。零点五个小时不用听我讲题了，废话那么多，不用听了， ok 吗？好，原来两个小时还有这个比大小，这边性质听 半小时，然后这边指比较指出对数大小，这边一定要认真听， ok 吗？ ok， 那 这样的话我们就换一共这边零点五小时，这边零点五小时，一共换一个小时。够了够了，这一个小时学函数已经够了，把性质抄笔记本上， ok 吗？所有的所有的练习，是不是说错了， 所有的内容都要记笔记，那笔记的话你也可以不用记了，因为我有知识点总结。总结好了，大家直接还是刚才那个地方，就是顶置链接或者置顶链接或者群聊里面直接获取就行， ok 吗？知识点总结也准备好了。好的， 那接下来三角函数，首先第一节三角函数的第一节一定要听，因为那边三元口，三元等于多少度的后面不管是向量还是别的地方都会用到，所以三角函数第一节一定要听， ok 吗？一个小时， 然后如果时间不够的同学，这边三角函数到解三角形就不要停了，但是我还是建议你抽三个小时来听。呃，三角函数变换三角图像以及解三角形这边一共加起来三个小时好，解三角形的话，除了这这一些公式之外，还有个番外。好，这边就来到了我们大体解析里面的番外 啊，听，听完那边之后直接来到，呃，这个解三角形，呃，一个小时，一个小时加刚才那边的 一个小时加刚才这边半小时，一点五小时，然后这边的话三角恒等变换一定要听啊，然后这边图像的话就叉掉了， ok 吗？能听懂的就听，反正这边一共安排了三三个小时， ok 吧。好，学完之后也是一样的，练习 练习。你可以暂时不做， ok 吗？暂时不做，因为你公式还是有有点困难啊，如果你要做的话，你就跟着 这里面高考冲刺里面的去做一做， ok 吗？如果觉得就是难了，你可以不做，但是建议还是做一下。好吧，那我收回我刚才说的话，听完那边直接高考冲刺里面的三要素， ok 吗？这样的话超支了多一个小时 好，结束。然后我们来到导数，导数一定要听，一定要听。这边四十四分钟加番外里面的番外一定要听，因为大题导数考的概率非常大。番外里面再去听一个导数的题，番外里面的导数是一个小时，一个小时你能收获很多， 你能收获很多。大题你能做第一问第二题还能骗一骗分，你只要会求导就行， ok 吗？这边一共的话就是 这边四十五四十四分钟，然后这边加番外的话一共一点五小时，这边你可以背数过一下前面公式，背数过一下， ok 吗？求导一定要会啊，一共一个小时，一点五个小时到两个小时之间嘛，大概是一点五个小时。嗯， 然后平面向量，平面向量的话非常简单，一定，这边这三十七分钟一定要好好听，结束之后去高考冲刺， ok 吗？继续高考冲刺，平面向量这边有一个高考冲刺，就里面教大家做题，二十二分钟，加起来一共就是一。呃，一共就是一个小时，一个小时这边一定拿五分， ok 吗？很重要。好的，那结束之后 来到立体几何，立体几何这边按顺序听完，这边是两个小时，两个小时之后的话，然后你想做大题的话，第二第二小节的话大题讲了一点点，但是我还是建议你把番外的这个立体几何看完。好，如果你不想要第二问的分了，那你可以不看这个，这样的话你就只需要两个小时， ok 吗？ 啊？那，那算了吧，大家如果听不懂的话，你就是你不要第二问的话，你不要这一个小时了，可以吗？就不要听番外了。好吧，第一个视频一定要看完，第二个视频你能听就听。那这边如果你不做第二问的话，这个就差掉了，但是还是建议大家做一下。为什么？因为立体几何一定考一个， ok 吗？ 这两个小时我觉得还是有必要花一下的啊，因为我们有时间了，还有十二天，过了今天就十一天。好，继续好熟练。熟练的话一个小时听完基础知识点，然后再去两小时高考冲刺那边学 说错了，没有两小时啊，熟练那边一个小时，然后冲刺的话是，呃，冲刺的话是，嗯，熟练 冲刺的话是半小时，加起来就是一个半小时，那一个半小时大家还要理解一点，那我这边给了两个小时，有一点容错， ok 吗？然后如果有时间，哎，有时间就一定有时间，然后还有番外，番外里面的大题第一问一定要去听一下，番外里面有一个，这边竖列求通项，竖列求通项，这个一定要会，这个一定要会啊。 啊，这点零点五小时，一共就是两个小两点五小时， ok 吗？好，解决，结束之后直线与圆，圆锥曲线，这一定要去听，一定要去听，考的很多，特别是圆锥曲线，直线与圆更是 完，这两个加一块一共是两小时，还有给点融错呢，然后再加冲刺，高考冲刺这边高考冲刺到时候会出一个圆锥曲线的啊，第九个圆锥曲线还没出，我周三会全部出，出完， ok 吗？嗯，结束 好，最后就是，呃，技术原理，技术原理，排列组合二、二项式地理，一定要停，一定要停，一定要停，今年考的概率极大， ok 吗？结束之后去高考冲刺，高考冲刺那边也讲了一个排列，呃，二项式地理啊，技术原理这边， 这边是十六分钟，带大家做题。好的，这边一共就是两小时，最后是概率统计也是一定要停的， ok 吗？两小时，这一共两小时， 听完这两小时就没有了， ok 吧？好，这是这些，那圆锥曲线那边啊，圆锥曲线那边如，呃，然后如果大题你想动动手的话，哎，翻外翻外再听这边四十二分钟， ok 吗？然后统计概率的话，大题你就不用管了， ok 吗？导数刚才说了一定要听好，就是这些， 那我们一共就花了大概是二十个小时，二十个小时把这些学好，零到九十分是绰绰有余的， ok 吗？所以如果你有 一周时间，每天花四个小时，那就是一周是二十八个小时，那你二十个小时去听课，听完课八个小时去做作业就好了，因为你的作业是听完我讲完再去做的，所以会非常轻松，你你可以放心。 ok 吗？实在不会的直接看答案，看答案不会直接跳， ok 吗？ 就没有别的东西了，然后所有的练习也是给大家努力出来了，大家直接用就好了，直接跟着我学，全程都是直接直接直接到手，直接做做就行了。直接做 ok 吗？好的，好，那这一周之后的话，然后我们就刷两两样东西，第一个， 近两年高考真题一卷二卷都刷， ok 吗？因为两张卷子其实它内容重合度很高，一卷二卷近两年，二四年，二五年。 好，刷完之后还是一样的去高考冲刺，里面有试卷讲解， ok 吗？如，这这为什么要自己刷？这一定要自己刷啊，刷完之后再去试卷讲解啊。好吧。嗯， 我们刷这两张试卷就是为了检测一下我们的水平， ok 吗？大概刷完之后就是七十到八十分。呃，对，然后再最后还有一周时间给大家空出了五天时间，然后再大家整理复习一下，大概就是九十分的水平呢，可以吧。 然后，呃，听完就是写完之后啊，就算没有的话你去听一下知识点，再去给他复习一下， ok 吗？然后最后几天的话，建议就是大家在练两两到三张模拟卷就行了，可以吧，因为时间确实不多了， ok 吗？两到三张，然后最近做完的题目再去给他干嘛复习一遍就可以了。 好，这个就是一周如何去做？时间怎么安排？然后反正所有的都给你规划好了时间，然后练习什么都有，想想洗洗 ok 吗？所有的练习，然后这里面的笔记，这里面的手写笔记以及这里面的题目我都给大家准备好了， 在置顶链接或者是主页群聊里面都可以获取到，大家有需要直接自取就好了。嗯，好，就是这个，所以一周大家能不能行动起来。好了，这期视频就到这，感谢大家收听，我们下期视频见，拜拜拜，高考加油！
1.9万番茄学数
08:46查看AI文稿AI文稿例题和间隙永远卡在找坐标，投影不会找，平移向量不会用补全图形不会？看这期视频教你一招，方程运算，暴力解除所有点坐标，零空间想象力，看完这个视频，考场无脑算， ok！ 同学们在开始我们正式的例题讲解之前，还是按惯例来给大家讲解一下这个方法的底层逻辑。 首先我们去想一下，我们一般如果要在空间中求一个位置点屁的这个坐标，按常理我们是不是需要去观察图形或者找几何关系，找平行，找投影之类的，利用平行或者垂直等等等等这些位置关系，我们进一步的去判断这 这个 p 的 坐标是什么。但事实上我们去想，我们要去求空间中一个位置点 p， 我 们假设它是 x y、 z， 我 们如果要通过计算去求出 x、 y、 z 这三个坐标，在空间中有哪个公式能够帮助我们去求解呢？是不是两点间距离公式？ 假设 p 到一个定点 m， 我 设这个 m 是 x 一 y 一 z 一， 那这时候我们是不就能写出 pm 两点间的距离公式？哎！同样的一个三元二次方程是不解不出三个圆， 那我们要列几个？是不列三个，所以说我们在这空间中是不只要能找到三个已知定点 m 一 m 二， m 三，再找到 p 到 这三个定点之间的距离，是不就能根据两点间距离公式列出三个三元二次的方程？连立方组是不能直接解出 x 多少 y 多少 z， 那 这个方法的本质我们是不是就直接用计算去代偿了观察的这个环节？在例几何这类大题中，我发现大多数同学遇到的问题其实并不是带坐标计算， 其实就是我的观察力有一点弱，我的注意力也没有办法集中，总是没有办法及时的去观察出它们平行或者垂直，或者是其他的位置关系。 那么在这里这个方法实际上是什么？是把几何问题代数化了，就是我们不用去找什么平行投影，也不用去动脑子去观察， 只要他的条件给够了，这几个边长是不是我们就一定能够算出来？好，那除了这种求点坐标的方法以外，还有一个不一定算暴力但一定好用的方法。我先说做法，这是 a， 这是 b， 这是 c， b 点难求，因为你不知道他到底是在哪里，比如他可以中点，他也可以三等分点，反正 b 就 在这个 a c 上，无论在哪一块， a 坐标你是知道的， c 坐标你也是知道的。那这个时候我们直接令 ab 等于那么大倍的 a c， 你 如果设 b 是 x、 y、 z， 我 随便给 a 赋值， a 可能是一多少零多少一， c 是 一个二，刚好二零。这个时候呢，有一个什么 x 减一多少 y， z 减一等于 lambada 背的 x 减二，一， 根号二负一没问题。那好，那你这是不是有一个什么 x 减一等于 lambada， y 等于根号二，背 lambada， z 等于负 lambada 加一。那事实上我们通过向量之间的关系，是不是能够把三个圆转化为拉姆达？一个圆，我们是不是能够用拉姆达一个位置量去表示这个 b 坐标？ 进一步的，我们再通过垂直或者平行的关系去求解出这个 b 的 坐标，那具体是什么意思呢？我们先来看看这道例题，这道例题没给大家去题目，我们就来看一下这些难找的点到底是怎么找到的。 同样呢，我相信大家哦，间隙肯定是会的嘛， a、 b， c、 o 这几个点也非常的好找，你是不是通过具体的边长线段就很轻易的能够得到这四个点的坐标？ 哎，好了，现在我们的问题是什么？是不是要去求剩下这几个 f、 e， d， p 这几个点？那好，我们由题目是不知道 d 和 e 是 不是都中点， 那既然 ab 坐标知道了 d， e 是 中点，我们是不只需要知道这个点， p 坐标 d 和 e 就 自然而然的就出来了。根据我刚才教大家的方法，直接去射 p， x、 y、 z， 那 我们现在是什么？从题目中找有哪些边长是和 p 有 关的吗？ p， b， p、 c 是 不都是刚好？六， 那好，有两个 p b 和 p c 的 边长。那除此以外我们还能表示什么关于 p 的 线段呢？ p， a 是 不是短时间内看出来？好，我刚说什么？是不是只要找到一个方程，它是用 x、 y、 z 和已知量表示的，就可以知道 p， 知道 b 是 零零零， d， 是 不就知道 二分之 x， 二分之 y， 二分之 z， 那 有没有和 d 相关的边长是不？当然是有的， a， d 二分之刚好三十。好，那就这三个边长呗，你去列一下他们的两点间距离公式。那好，那我们对着上面这些坐标一一点点写呗，是不已经写出来了， 然后呢，是不是分别两边平方？你别看这个式子虽然长得复杂，但你自己写一遍，你会发现他有很多东西能消掉，你比如说我就按这个式子来说，这两个式子来说， 第一个式子 x 方加 y 方加 z 方等于六，第二个式子 x 方加外减二倍，杠二的平方加 z 方等于六，这俩玩意是不是相等 好？它俩相等， x 方 x 方 z 方 z 方是不是消掉了？那你就知道什么外方是不是等于外减二倍根号二的平方，外方等于外减二倍根号二的平方， 你能想到啥？是不刚好是相反数，那你直接 y 等于二倍，杠二减 y， y 多少是不刚好二，那是不是就很快就能解出来我们这个具体的 x， y 的 z 的 值？那我们最终这个 p 坐标是不也就出来了？ p 出来了， d 出来， e 是 不也出来了？剩下的是不就是我们这个 f 坐标了？ f 坐标怎么去求呢？是不就是我们刚才讲的第二个 三点都共线了？而且 a 和 c 的 坐标是不是你都知道呀？那你直接有 a， f 向量是等于那么大倍的 a， c， 你 如果去射 f， 我 这里射还是 x、 y、 z。 但同学们一定要注意，在考场上 一定不要用三个相同的位置量去表示两个坐标，你可以设它是 m、 n， s。 好 吧，如果 f 是 x， y， z， a， f 是 多少？ a 是 二零零，是不是 x 减二多少， y 多少？ z， a， c 呢？负二二倍，根号二零，它等于拉姆大倍的。 既然有这个式子，你分别对应的去书写嘛，它就变成什么 x 减二等于负二倍的拉姆大 y 等于二倍，根号二倍的，朗的 z 等于零，这是能解出来 f 是 多少？二减二朗的二倍，根号二朗的零。那好，这里你完成了一个什么样的操作？是不是把这个三个未知量 变成了同一个位置量？然后呢，我们再回到题中去进一步求解，解出这个 number 是 不是就解出了 f 坐标？这里一定会给你一个呃条件的，比如说垂直，比如说平行，你是不是都能再列一个另外一个方程？比如这道题啊？ 他第二问，实际上让你去证的是 a o 垂直于平面 b f， 那 你通过这个条件是不能得到 a o 垂直于 b f。 既然 a o 垂直于 b f， 那 你写完这个 f 坐标，是不是还有一个什么 a o 坐标，点击 b f 等于零，那这个那么大，是不是就很容易能解出来， 对吧？你再列一个方程再去解嘛？ ok， 那 同学们，我们再来速练一道题，这是二零一七年浙江的考题，还是一样的间隙给到大家。哎，这里有同学突然就问说，哎，他没有给我一个边长呀？没有跟我说，比如说 ab 是 一， bc 是 二，这样的边长关系，他只给我了 是比例关系。那我这里怎么去表示他们坐标呢？你傻呀，你直接设不就行了？ 这里主播直接设 p c 等于二，剩下的就交给同学们据补全过程了。目标求批点坐标，主播将在评论区造后大家的作业。这期视频到这里就结束了，我们下期再见。
9528讨人厌的数学
06:31查看AI文稿AI文稿二七高知高考数学从零基础到通关的全攻略，小图来了，哈喽哈喽，同学们大家好，我是大家的小图老师啊，这个视频非常非常的重要啊，这个视频呢，小图老师 是给大家做二七高知高考数学从头到尾的一个完完整整的详细的总领的规划视频，希望你可以好好的点赞收藏一下，这也是往年这么多从零基础逆袭学员的一些 完整的建议，或者是他们的一个整体的进度安排。如果你现在刷到这条视频的同学，说明你一定是非常非常愿意好好的提前准备的人，对不对？所以希望你可以好好的听完下去啊，做好笔记，我们就正式开始。 首先根据往年的复习情况，我们的数学所有的同学都会分为四个阶段，好好来听啊，一定要记好了，首先第一个阶段呢，是对于零基础的同学需要的做初中小学的基础补课复习。 第二个阶段呢，是我们一轮的疯狂的基础的非常重要的详细的学习。第三个阶段呢，是我们要做二轮的刷题。最后一个阶段就是我们疯狂的刷卷子啊，那每个阶段我们要做什么样的任务？我们在什么时候干什么事情，我们今天把它给讲清楚， nice！ 首先第一个阶段啊，我们要讲的是初中小学补助，也是很多零基础的同学非常重要的一个部分， 那要补哪些部分呢？小鹿老师放在这个地方啊，希望你可以先截屏，咔嚓截屏啊，我们要补的是这些部分，那这些部分我也会给大家详细的做一个精讲，另外呢，我还给大家准备了五百道 必须要通关的计算题，才可以进入到我们后续的一二三轮的这个学习和刷卷子啊，所以希望大家一定要用一个月啊，特别是零基础的同学，要用一个月的时间把我们初中小学的一些精华点全部给他搞定了啊， 那老师我需要补很多其他的部分吗？其实是不需要的，根据小杜老师这么多年的教学经验，我们只需要补屏幕前的这些就 ok 了啊，足足够够后续的学习内容了。 第二个呢，要和大家讲的就是我们的一轮详细复习，大家知道我们去年的试卷有一定的变化，而我们出现了正态分布，就是那个有同学说像蛇符号的形状啊，就是我们的正态分布啊，随机变量的问题。 另外呢，我们会有概率的计算问题，这个呢，是小杜老师在去年的暑假的课程中讲过的啊，概率的计算，前年的试卷呢，出现了负数的问题啊， 所以今年我们必须要把所有所有中职课标的内容全部讲完，因为大家知道我们二零年已经取消考纲了，我们的考纲就变成了中职的课标，那我刚刚收下的这些病部分啊，它其实没有超纲，其实在我们中职课标里面是有的， 所以今年小何老师也会把我们额外多出来的全部章节，除了我们普通的是这些章节对不对？普通的是我们的集合开始啊，到这些章节 额外呢，给大家把这一些啊，中职课标里所有的东西，我们在一轮阶段全部讲完，也就说第一轮的学习啊，大家除了搭配小杜老师今年的书本以外啊，我们课程以外呢，还需要大家认认真真的带好你们的态度和你们的心情投入进去学习，那 老师我自己能不能坚持啊？关于心态的问题呢，往后小杜老师也会给大家讲，我们大概要学习的时间是到八月底之前啊，这些任务可以把它全部给解决掉。 我建议大家啊，虽然我每年这个卷子考的很简单，但是我希望大家既然这么早开始学习了，我们把内容学的难一点啊，难一点会好很多好很多，无论他考的难易，你都非常的手拿把掐对不对？一轮数学的复习，我们一定要着重在于细 细，超级的细，我们要把所有课标，我们基础板块，基础模块，拓展模块里面所有的知识点，犄角旮旯所有的部分，把它给讲清楚啊，给大家学清楚，学明白了，以最最最零基础的讲法给大家把它给全部搞清楚，这样问题就不大了啊， 如果现在就开始打算学习的同学啊，你真的是非常好，现在时间是完全足够，我再说一遍，是超级超级足够的啊，我们不是后期的那种速成课啊，我们现在非常精细的把它学完一遍啊，是你现在要做的事情。 好的，关于第二轮呢，第二轮的，那我们其实就以刷题为主，基本上呢是从八月底或者是九月份开始啊，一直刷到什么呢？ 十一月份的这个时间段啊，这两三个月的时间，我们进行疯狂的刷题，我们怎么刷题呢？就用小杜老师的书本啊，我们怎么样呢？去按照阶段啊，我们去先按照 板块刷题，真题穿插在内啊，这个时候你要疯狂的爱上真题啊，真题别做特别特别早，因为真题只有那么一套吗？一年对吧？其实很宝贵啊，我们尽量的放在后一段时间去做啊，去做， 我们在二轮的时候，我们专项，比如说集合一整个章节去进行刷题啊，我们的函数、指数、对数函数啊，三角函数把它融合在一起，这样的一整个章节刷题。因为很多同学做练习的时候会发现啊，为什么很多书本， 比如说第二单元的时候就出现了什么，出现后面的内容导致你不会做啊？其实都不是你的问题，我们很多的复习书，它其实都是复习书，不是学习书吗？对吧？ 所以我们在二轮的时候呢，这个时候你在做你的复习书，就没有什么太大问题了，二轮就疯狂的刷刷刷刷刷，那像小杜老师呢，会每年给大家发这个我们的数学的刷题测啊，或刷题的试卷，都是很重要的，包括这段时间我们要做一定的模拟考试， 在最后的最后啊，也就说最后的在十一十二月份的这个时间段啊，我们要干嘛呢？就开始进行套卷的刷题了啊，套卷的刷题，顾名思义，我们就拿一整张试卷给大家做喽， 整张试卷里面我们会给大家做押题，像去年小苏老师其实带着很多同学数学是刷了整整二十套卷，包括我们线下的模拟考试的话，那有二十五套试卷了啊，所以如果你能把这些试卷搞定了， 什么考试搞不定啊，这种考试怎么可能会搞不定对不对？因为我们所有的很多地方的模拟考吗？模拟考的难度其实是高于整体难度的，所以大家好好去学，放心放心再放心。 整体的一个复习安排呢，就在这个地方了啊，你们就可以开始马上实践了，小杜老师也会依旧在这一年疯狂疯狂陪伴，陪伴大家从头走到尾。 这也是小杜老师陪屏幕前各位同学的第五个年头啦。那希望我们这一年也会有一个不错的收获吧，我们好好加油！加油加油加油！
1528职考涂涂老师
04:03查看AI文稿AI文稿导数不会求，别怕，今天就来教会大家，先来梳理一下基本出等函数的导数，这个是需要大家无条件背过的啊。第一个长函数的导数是零。第二个 x a 次方的导数就等于 a 倍的 x 的 a 减一次方，也就是整体把这个指数提前，然后再给指数减去一个一。第三个塞隐 x 的 导数 是 cosine x。 第四个 cosine x 的 导数是负的 sine x。 第五个 a 的 x 次方的导数是 a 的 x 次方乘以 loin a。 六 e 的 x 次方的导数还是它本身 e 的 x 次方。第七个 log 以 a 为底， x 的 对数的导数就等于 x 乘以 loin a 分 之一。第八个 loin x 的 导数就等于 x 分 之一。第二个来看一下四则运算法则， 第一个和的导数，也就是 f x 加上 g x， 它的导数就等于它们导数的和有 f x 的 导数加上 g， x 的 导数。第二个差的导数，也就是 f， x 的 导数减去 g， x 的 导数。第三个乘法法则，用 f， x 乘以 g， x 的 导数，就等于前导后部导，加上前部导后导。第四个除法，也就是 f x 比上 g， x 的 导数，那就等于它就分母变平方啊。 然后分子是上导下步导，减去上步导下导。最后来看一下符合函数的求导，当一个函数 y 等于 f g x 的 时候，那么它就是一个符合函数， 那么它的导数呢？就是给外层函数 f g x 先去求一个导，再去乘以它内层函数 g x 的 导数，它的口诀就是外层求导 乘以内层求导。接下来就让我们用几道例题实操一下。先来看第一题，它整体的结构呢，是一个差的形式，所以呢，它的导数呢，就等于导数的差，也就等于二 x 六次方的导数减去五倍的 cosine x 的 导数 就等于。那我们一般处理这些常数呢，就是原封不动的给它挪到后边去啊，那就是二乘以 x 六次方的导数，就是把这个六提前，然后指数去减去一个一啊，然后再减去五倍的 cosine x 的 导数是负的 cosine x， 所以 这块就是负的 cosine x， 就给它整理一下，就是十二倍的 x 的 五次方加上五倍的三 x 来看第二题，它整体的结构是一个商的形式，所以它的导数就是分母变平方，也是 x 平方加一的平方，然后上导下不导， 用 e 的 x 次方减一的导数乘以 x 平方加一，再减去上部导下导，用 e 的 x 次方减一，再乘以 x 平方加一的导数，它就等于 x 平方加一的平方 分之。先看第一部分 e 的 x 次方减一的导数，那这又是一个差的导数嘛，所以就等于导数的差哦，那 e 的 x 次方的导数还是它本身 e 的 x 次方， e 是 一个常数，为零啊，所以它整体的导数就是 e 的 x 次方，然后再乘以 x 平方加上一，再减去 e 的 x 次方减一，再看这个 x 平方加一， x 平方的导数是二 x， e 的 导数是零，所以整体的导数还是二 x 啊。 接着去把这个式子整理一下，就是 x 平方加一的平方分之 e 的 x 次方， x 平方加一，再减去二 x 乘以 e 的 x 次方减去一啊。来看第三题，它是一个符合函数求导，那有些同学可能就比较疑惑了，那什么样的函数是符合函数呢？那我们知道这个 loin 它最简的形式是不是是 loin x， 很显然，它不是一个最简形式，也就是它是一个符合函数啊。好，那符合函数求导的口诀是不是就是外层函数求导乘以内层函数求导。好，那它的外层函数就是 lo in 二 x 平方加上三，内层函数呢，就是这个二 x 的 平方加上三哦，然后把它们的导数乘到一起啊。 先看 lo in 二 x 加上三，它的导数是不是就是二 x 的 平方加上三分之一。因为 lo x 的 导数是 x 分 之一，所以它就是二 x 平方加三分之一哦。 然后再乘以来看，这个二 x 平方的倒数就是四 x， 三的倒数为零啊，整体倒数就是四 x， 所以 这个题的结果就是二 x 的 平方加上三分之四 x。 今天的例题呢，我们就展示到这块，最后请同学们查收一下本期作业及下期预告。
760序言数学
08:35查看AI文稿AI文稿此题不会，基本报废，高级高考高频考点又又又又来了，想逆袭的千万别划走。今天要学的是函数奇偶性应用，下篇叫做函数奇偶性去求一个参数。好， 那对于这类题型呢，方法叫做一个代值的方法，同学们只需要我们求出来 f 一 与 f 负 负一的两个值就行了。那么求出来两个值呢？如果它是一个偶函数，那么 f 一 与 f 负一就是一个相同的关系。如果函数是一个奇函数的话，那 f 一 与 f 负一就是一个相反数的关系。那接下去我们根据这个知识点去把例题七给破解出来。那这道题函数 f x 等于 x 乘上 x 加二的和再乘上 x 减 a， 是 不是一个 g 函数啊？ 那 g 函数的话，那会有一个什么 f 一 与 f 负一什么关系啊？是不是一个相反关系啊？意味着 f 负一是不等于 负的 f 一。 所以接下来去我们就把 f 一 求出来，那就是一乘上一加二，再乘上什么一减 a 啊，那么它会等于一乘上三，再乘上一个一减 a 就 行了。那么计算一下，那就是三减去三 a， 所以 f 一 的值叫做三减去三 a， 那 么继续求下一个叫做 f 负一的一个值，我们把负一带入到 x 当中，相当于负一。哎，你去看乘 乘上一个什么呢？把所有的 x， 你 看所有的 x 换成负一就行了啊。负一乘上负一加二，再乘上一个负一减 a 就 行了，那么会等于什么？会等于负一乘上负一加二，结果是不是一啊？再乘上一个什么负一减 a 么？会等于什么？等于一个负一乘上负一减 a， 那 么计算结果它就会等于什么一加上 a， 又因为 f 负一是等于负的 f 一 的值，我们就把这个值带入到这里面，是不是把一加 a， 哎，带入到 f 负一当中， f 负一带进去，叫做一加 a 会等于负的三减三 a， 那 也就是说一加 a 会等于 负三加三 a， 也就是说把这个三 a 挪到左边去，把这个一呢挪到右边来，然后就会得到 a 减三， a 会等于负三减一， 也就是说负二， a 会等于负四，所以 a 等于二啊。这道题选第一选项。好，这是例题七。接下去我们去来看一下下一个 f x， 它说是一个偶函数，那偶函数的话，那 f 负一与 f 一 的值是不是一个相同关系啊？那相同关系的话，那意味着就是 f 负一是不是会等于 f 一 的一个值？ 那继续我们就把 f 一 给算出来， f 负一代入到函数当中，把所有的 x 换成负一嘛，所以它就等于负一的平方加上 m 减二，再乘上一个负一，再加上 m 的 三次方减去三啊，那么就会等于一减去 m 加二，然后再加 m 的 平方啊，这是平方写错了啊。 m 的 平方减三， 那么计算一下，就会等于一个 m 方减 m， 然后这里是一加二减三是没了，所以就等于 m 平方减 m， 继续 f 一 的值等于一的平方加上 m 减二，乘上一个一啊，那再加上 m 平方减三， 那么会等于什么呢？一加上 m 减二，加上 m 平方减三，所以呢，等于 m 平方加上 m， 然后这里一减二减三等于减四了。 就因为 f 负一是不是等于 f 一 啊？那么继续啊，我们就把这两个算出来的一个函数值带入到函数表达式当中，等于一个叫做 m 平方，减去 m 等于一个 m 平方，加上 m 再减去四， 那么 m 和 m 是 不是减掉了？再把这个加 m 移到右边去，就会变成什么呢？负二 m 等于什么？负四了吧， 所以 m 等于二，所以呢，这道题选 b 选项。好，那接下去我们来看例题九，他说这个函数是一个偶函数，对不对？那意味着什么？ f 负一就会等于 f 一 的值啊。那么接下去我们就把 f 负一算出来， f 负一等于什么呢？等于负二 乘上负一的平方，再加上 m 减一，再乘上一个负一，再加上一个四。还，所以等于一个负二乘一，再减去一个 m 加一，再加上一个四，所以等于负二减 m 加五， 所以呢，等于负 m 加三。那接下去我们算一个 f 一 的值，那 f 一 的值怎么算？那就是负二乘上一的平方，加上 m 减一，乘上一嘛，再加上四，所以等于一个负二，再加上 m 减一，再加上四，所以等于 m 加一。 那又因为 f 负一和 f 一 是什么关系啊？相等关系嘛，那相等关系我就把算出来的两个值是不可以搭进去啊，丢进去会得到负 m 加三会等于什么？ m 加一， 所以呢，再把这个 m 移向到左边，把这个加三移向到右边去，所以呢，负二 m 等于一个负二，所以 m 等于一个一，所以这道题选第一选项啊。好，那继续，那接下来我们来讲下一道题啊，函数 f x 等于 x 加二，乘上 x 平方，加上 m， x 是 一个奇函数，它是一个奇函数的话，那也就是说 f 负一与 f 一 是不是一个相反的关系啊？那相反的话呢？意味着什么？ f 负一会等于负的 f 一 嘛？ 那接下去我们就把 f 负一的值给算出来， f 负一带进去呢，就是负一加二，乘上一个负一的平方，加上 m 乘上一个负一，那么就会等于什么？一乘上一个一减去 m 等于什么？ 一减 m， 这是 f 负一的值。那继续我们再把 f 一 的值给算出来， f 一 的值等于一加二，再乘上什么呢？一的平方加上 m 乘一，所以等于三乘上一， 一加 m， 所以 等于三加上三 m， 又因为 f 负一与 f 的 f 一 是不是相等关系啊？相等关系的话，那我就把这两个值函数值给带入进去，带进去就会得到一个叫做一减 m 等于负 负的三加上三 m， 那 么会等于什么？一减 m 等于负三减去三 m， 也就是说二 m 等于负四，所以 m 等于负二。那么这道题选 a 选项， 我们来看最后一题，叫做例题。十一、函数 f x 等于 x 平方加上二减 m， x 加上 m， 平方加十二，是不是偶函数？它是偶函数，意味着 f 一 会等于什么？ f 负一，是不是？那接下去我们就把 f 一 给算出来，带进去，那就是一的平方 加上二减 m 乘上一，再加上 m， 平方加十二，所以等于一加上二减 m， 加上 m， 平方加十二，所以等于什么？ m 平方减去 m， 然后一加二，再加十，等于十 十五，所以 f 一 等于这个值。那接下去我们求 f 负一的值，负一的平方加上二减 m， 乘上一个负一，再加上 m 平方加十二，所以等于一减 去二，再加 m， 再加上 m 平方加上十二，所以等于什么？ m 平方加 m 加上十一了？ 又因为这 f 一 和 f 负一是不是相等关系啊？那相等关系呢？我就把这两个值带进去，就会等于 m 平方减去 m 加上十五，等于一个 m 平方加上 m 加上十一，计算一下就会等于负二。 m 等于多少呢？把这个十五 挪过去就减去十五嘛。十一减去十五等于减四，所以 m 等于二。所以呢，这道题选 c 选项啊。好，那同学们，这节课我们就到此结束。同学们，下一节课再见。
4033达达中职数学
39:17查看AI文稿AI文稿hello， 大家好，我是番茄学术，那么今天我们学习的是零基础十五课里面的第十二课直线语言， 那直线语言，我们首先要知道直线的方程喽，圆的方程喽，对不对？还有一些它们的小性质啊，我们一块来了解一下。 首先是直线，而直线我们以前就学过， y 等于 k， x 加 b， 对 不对？ y 等于 k， x 加 b， 好， 这是直线比较常见的方程吧，对不对？你也不用管它叫什么，反正你要知道 a k 是 斜率就 ok， 可以 吗？好，那如果已知一条直线，嗯，它经过两点 a 和 b， 好， 怎么去求它斜率呢？好，斜率我们可以就是斜率，其实它是等于挺斜角的，呃，挺斜角的正弦值我们来看一下啊，就假设这一条线内，然后这 x v， 这是 y v， 嗯，然后我们要求什么？我们要求这个角的正弦值 k 等于 turn 而法， 好，那这个怎么去求呢？好，已知两点我就可以求，怎么求呢？我们偷偷的做一发辅助线啊，做垂线，然后做平行线，好，然后 a 的 坐标是 x y 一 b 的 坐标是 x 二 y 二 y 二，好，那这个角其实就是这个角， ok 吗？这个角怎么去求呢？ ten 角怎么求啊？是不是对边比零边， ok 吗？这个对边等于多少呢？是用 y 二减 y 一 的可以吗？ 这边不是 y 二吗？这高是 y 二啊，这边的高是 y 一 啊，然后他们之差就是大的减小的 y 二减 y 一 啊， ok 吗？ 好，那横，呃，这边横的怎么求呀？那用这个 x 二减 x 一 啊，可以吗？他们之间相差这么多，好，那我们就可以写了 y 二减 y 一 呀，这边是 x 二减 x 一 呀，添着等于对边比 零边，那就是 y 二减 y 一 比上 x 二减 x 一 可以吗？这就是两点。怎么去求起斜角 ok 吗？ 好，同样的哈，你 y 一 减 x 呃你 y 一 减 y 二除以 x 一 减 x 二也是一样的。反正你就要记住啊，就是你这个谁先开始减的，那重坐标这样减横坐标也这样减可以吗？但一般你记 y 减 y 就 行。可以吧，反正两个是一样的你可以自己尝试一下啊。 好的，就是这个怎么求斜率如果告诉你两个点可以吗？好，那如果现在有两个直线哈。 l 一 是 y 等于 k x 加 b， k x 一 加 b 一 k 一 x 加 b 一 这是 l 一 然后这是 l 二的话是 y 等于 k 二 x 加 b 二这是两条线 ok 吗？ 如果 l 一 平行 l 二平行的话它们的斜率请斜角是一样的 ok 吗？你看这条线与这条线平行那这个角是一样的也就是斜率会一样斜率会一样好。 k 一 等于 k 二好，但是有个问题啊它们 b 一 不能等于 b 二不能等于 b 二哦 b 一 如果等于 b 二的话那它就相等了 就两条一模一样的线了。你这两条一模一样的线不叫平行啊。好吧哎但是记住啊项链的话是两个一模一样的项链你可以说它平行 ok 吗？项链和直线有一点点不一样好至平行哦。 然后如果垂直 l 一 如果垂直 l 二的话它会推出来什么呢。斜率之积是负一 k 一 乘 k 二等于负一 ok 吗？嗯这个两个点是要记的啊它考的比较多。嗯 好，接下来啊还有一种叫做一般式。一般式。一般式它长啥样呢？一般式它长这样子， a x 加 b， y 加 c 等于零。 好像这样的，我们叫做直线的一般式，那这个一般式跟刚才那个有点区别，对不对？刚才那个我一眼就能看到斜率，那这个一眼看不到斜率，那我们来推一下斜率怎么求呢？ b y 等于负 a x 减 c， ok 吗？就先把它和它移到右边来，然后再把这个 b 左右两边同时除以 b， ok 吗？除以 b， 所以 斜率是负 b 分 之 a ok 吗？好， 也就是如果下次见到了这玩意，我们就知道它斜率。斜率是负 b 分 之 a ok 吗？ 好的，就是这个，那同样的哈，如果是 a 一 x 加 b y 一 加 c 一 等于零，这是 l 一， 这是第一条线 l 二呢？是 a 二 x 加 b 二二 这边 b 一 y b 二 y 加 c 二等于零， l 平行 l 二，那怎么办啊？斜率一样， ok 吗？ k 一 等于 k 二，但是这个斜率要干嘛呀？ 负 b 一 分之 a 一 等于负 b 二分之 a 二， ok 吗？要稍微画，就是用它这个式子把斜率算出来， ok 吗？还有就是垂直也是一样的， l 一 垂直 l 二，你要干嘛呀？ k 一 乘 k 二等于负一，然后这边要干嘛呀？负 b 一 分之 a 一 乘以负 b 二分之 a 二， ok 吗？等于负一，然后进而去算， ok 吗？好，等会我们会有类似的题，可以吧？好， 来吧，讲一点点，然后我们就做一点点吧，这样不会忘， ok 吗？哦，还来到这边，我们要复习一下，就是导数那边求切线方程，记得不？还有一种就是已知一点 x 零 y 零，还有斜率 斜率 k， 我 们就能求它的方程， y 减 y 零等于 k 倍的 x 减 x 零。好，高中阶段这三个非常之重要，可以吧？好，那我们来做一下对应直线 l 经过零二三负一求斜角。好，那我就求斜角，就是求 t 加 r， 可以 吗？ 求斜率就是求斜角，那斜角等于什么？ t 加等于就是斜率，怎么求？用它减它 ok 吗？ y 一 减 y 二或者 y 二减 y 一， y 二减 y 一， 比上 x 二减 x 一， 那你他减他呗。 负一减二除以三减零等于负一，猜这多少等于负一啊？记得一二三三二一不。如果一二三三二一不会的话，一定要去三角函数那一课的第一小节去学会， ok 吗？三二一一二三一一二三三二一的话念了无数遍，不仅在那个 减三角形，然后还有什么？呃，项链，然后还有这边，然后反正很多地方一二三三二一都用得到，因为 seven 或者 ten 这些值是非常之重要哈，在高中里面每基本上每个地方都用得到。好， 那天者多少等于负一啊？你就找天者多少等于一。天者四分之派等于一，那负一呢？是四分之三派的时候，这边有教过一二三四二一好，所以请写角，四分之三派可以吗？就天者四分之三派会等于负一吗？这就是请写角呀，可以吗？ 嗯，因为斜率等于天者而法，天者而法，就用这个来求出来吗？可以吗？斜率吗？嗯，接着往下啊。 哎，你看他就给的一般是干嘛呀？大家看一下题，然后他说 a 等于零是他平行的什么条件？我们先把平行求出来，可以吗？这边是 a 等于零，这边 a 等于零是谁的什么条件？我们就把这个算出来，然后小推大， ok 吗？设他为 a， 设他为 b， 我 看一下这个 b 里面到底是给了什么东西，然后小推大就行，我们记口诀就行，好吗？我们来看一下啊。 嗯呃，平行的话写率是一样的， ok， 那 这边负 a 方分之 a 加一，负 b 分 之 a 嘛？这边呢， 负 a 分 之二，负 a 分 之二。好，左右两边的符号可以约掉，交叉相乘一下， a 乘 a 加一等于二， a 方 a 方加 a 等于二， a 方把 a 方移到右边抵消一个，然后 a 再移到右边减 a 等于零， a 提出一个 a 减一，提出个 a 剩一个 a 呀。提出 a 剩一个一等于零，那要不就 a 等于零，要不就 a 等于一，可以吗？好，要验算一下啊。为什么要验算一下？ 平行还有一个什么条件？就是他俩不能是同一条直线吧？同一条直线就是重合， ok 吗？所以我们还要验算一下。 好，我们把那个把 a 等于零带进去看看。 a 等于零带进去， a 等于零带进去。哎，不是同一条线可以吗？ a 等于零带进去，是 x 加上。呃， x 减三等于零吗？这边呢？ 二 x 减一等于零吗？这是两条不同的线可以吗？好的，虽然是竖的线啊。 x 等于多少是横的线，这个知道吧？好， a 等于一，再带进去，二 x 加上。 呃， y 减三等于零，这边呢？二 x 加上 y 减一。哦， y 减三等于零。哎，你看这两套重合了，重合不是平行 ok 吗？所以他说平行，我们解出来的就只有 a 等于零，可以吗？没有 a 等于一，所以 a 等于零。 好，所以它给你平行就是给你 a 等于零。好， a 等于零，是 a 等于零的什么条件？假设它为 a， 它是 b 啊，那 a， 哈哈哈，是不是一模一样？是不是互推啊？互推啊，相等就互推嘛，对不对？所以冲要条件选 c 还可以吧？好，往下， 嗯，直线 l 一， 直线 l 二，然后他说 a 等于一，是垂直的，什么条件好还是一样的？我们先把垂直条件求出来， ok 吗？他俩垂直的话，斜率之积是负一，我们来看一下啊，负一减 a 分 之 a 加二 好，乘以这边负，首先这两负负得正得了，然后这边是 b 分 之 a， 负 b 分 之 a 嘛，二 a 加三分之 a 减一可以吗？等于负一，斜率之积等于负一，然后这个给它乘到右边去，可以吗？ a 加二这边还是都打括号吧，不然我怕你看错啊。 a 减一等于负一减 a 二， a 加三， ok， 好， 然后这边哈 a 减一，这边有一个符号，符号给他往里塞 ok 吗？往里塞，往里塞就变成了 a 减一， a 减一 好，左右两边 a 减一，不能直接约哈，注意哈，左右两边如果是未知数，不要直接约，因为有可能等于零， ok 吗？有可能等于零， ok 吗？ 有的同学要问了，等会解完之后，哎，分母怎么为零啊？其实有一种情况就是就是我们这是通过公式求的嘛，其实他如果负 a 分 之负 b 分 之 a 啊， 负 b 分 之 a， 这个 b 等于零也没有关系，知道吗？不是说分母不为零哈，就是这边等于零的话，就没有斜率， ok 吗？没有斜率就是 x 等于一二三。嘚嘚嘚嘚数的线是没有斜率的， ok 吗？这是没有斜率的可以吗？ 竖线是没有斜率的，所以等会儿你会解出 a 等于一没有关系，因为不是通过这个式子知道吧。好， 因为不是通过这个式子来来。哎，大概能 get 到意思吗？嗯，好，反正是 a 能等于一的，我们继续往下做啊。好，把它移到左边去。 a 加二，括号 a 减一， a， 呃，减去， a 减一，二， a 加三等于零，然后 a 减一， a 减一，公共的提出来， a 减一，提出来，然后呢？ a 加二减去二， a 加三等于零，这边把符号去掉。好 啊， a 减二， a， 那 就是负， a 二减三就是负一。好，它乘它等于零，那要不就 a 等于一，要不就 a 等于什么？ a 等于负一，负负一才是一， ok 吗？所以它能解出两个，一个是一，一个是负一， 然后不要纠结这边分母不为零哈。是因为因为它等于零的话，是没有斜率的， ok 吗？就是 a 等于一的话，它是没有斜率的，就没有这个式子能理解吧。嗯，所以你要这样去思考， ok 吧。嗯， 没有斜率就不能列啊，大概是这样子，应该解释清楚了吧。好，它是一或者负一， ok 吗？那 a b 画箭头，谁推谁啊？小推大吧。 a 等于一， a 等于一或负一，那就是它 a 范围小了，小推大。然后 a 是 b 的 什么条件？以 a 为基础，过去是充分，回来是必要，充分补，必要充分补，必要选 a， ok 吗？好的，结束 还是算是比较简单吧。好，接着我们来点到线的距离。一，还有两点之间距离啊， 如果我们要求两点之间的距离，怎么求呀？我们来看一下两点之间距离是不是啊？啊，两个点之间距离怎么求呀？各固定你吧 它的平方加它的平方， ok 吗？然后开根号可以吧？那直接就是根号下 x 一 减 x 二平方加 y 一 减 y 二平方，可以吧？ x 二减 x 一 也 ok 吗？谁减谁都无所谓，因为平方了，能理解吧？ 嗯，谁减谁都无所谓哈。两点之间距离，然后是点到线的距离，如果有一个点， x 零 y 零，他要到直线的距离，我要算他到直线的距离，我教你怎么记哈。把点带到直线里面去，就是 x 零 y 带进去， a x 零加 b， y 零加 c， ok 吗？好，然后填个绝对值，除以根号下 a 方加 b 方。 a 方是啥？就是 x 前面系数， b 方是是啥？ b 是 y 前面系数， ok 吗？直接这样记点到线的距离，就是把点带进去，然后除以根号下 a 方加 b 方， ok 吗？但是要填绝对值啊。 距离是没有，距离是长度，长度是没有正负的， ok 吗？长度就是长度，所以如果遇到负的，你记得填绝对值，正负都要填，因为怕你遇到负的吗，知道吧。好的，这是点到线的距离，然后平行线之间距离呢？ a x 加 b， y 加 c 一 等于零，然后另外一条线是 a， x 加 b， y 加 c 二等于零，这是两条线，可以吗？你看斜率是不是一样的？负 b 分 之 a， 负 b 分 之 a， 斜率是不是一样的，对不对？然后 c 一 c 二不一样。 嗯，那它之间距离怎么求呀？用 c 一 减 c 二或者 c 二减 c 一 都无所谓，因为要加绝对值的。然后除以根号下 a 方加 b 方，这俩是不是很像呀，对不对？ 好，等会我们来做题啊。好吧，我们要注意一个细节哎，系数要一样呀，系数要一样呀，斜率一样。系数不代表一样呀，等会我们会遇到啊，马上了 一个知识点，一个题，我们来看一下已知 a b 两点到直线的距离相等呀。两点到直线的距离都相等，那这个点到这个线的距离和这个点到这个线的距离相等就行了呗。好，负二零到这个线的距离。好，把点带进去， 三乘负二，那就负六，然后减去四乘零，那就是零，然后加一，那就负五。负的绝对值除以根号下 啊，三方加四方， ok 吗？好，这是这个点到这个线的距离，可以吧？好，这是四 a 到四 a 到这，这里面的距离呢？三四十二呀，减四 a 加一绝对是根号下三方加四方，可以吗？ 左右两边都有根号，下三方加四方，根号下三方加四方，是三方加四方是不是等于五的平方呀？是不是开根号就是根号，五的平方就是五啊，可以吗？三四五嘛，各五数，这个应该都会吧。好，这边也是一样的，五，左右两边都有五就约掉了，可以吗？ 好，然后五的绝对值就是，呃，负五的绝对值就是五啊。那有两种情况，要不就十三 减四 a 等于五，要不就十三减四 a 等于负五， ok 吗？这样的话绝对值都是五。好，那先来看第一种，十三减五等于四 a， 十三减五就是八八除以四就是二。好，另外一个， 十三加五就是十八，十八等于四 a， 那 a 就 等于二分之十八，那就是。哦，四分之十八，不好意思，四除过来吗？四分之十八，那就是二分之九，这是二或者四二，二分之九，可以吗？ 好，这是点到线的距离。点到线的距离还蛮重要的，大家学一下可以吗？好，接着是平行线之间距离。好，我们来看一下啊，仔细 和直线之间距离是刚好五，就 a， 那 我们来瞅一眼，它的斜率是负一分之二，这边呢？负二分之四， a 是 不是都是负二啊？对不对？斜率一样哎，那就可以用点到线的距离，但是点到线的距离它系数是一样的呀， ok 吗？ 就 abab 都是一样的呀，你看这边二一四二，那系数不一样怎么办啊？系数不一样，我们要凑一凑。怎么凑呢？这边是四二，我给他左边乘，左右两边乘个二，那就变成四， x 加二， y 加二等于啊，零乘二等于零。嗯， 这样系数就一样了， ok 吗？也可以这边除以二，把它系数化为这个，但是这样有分数不是那么好算。我们一般喜欢把那个系数小的化成系数大的就乘一下就行，可以吧，然后他俩之间怎么求啊？ c 一 减 c， 二的绝对值，二减 a 的 绝对值除以根号下，然后四的平方 a 方加 b 方，四的平方加上二的平方， ok 吗？等于根号五四四十六加上二，二得四，那就是根号二十，根号二十，根号二十的话是四五二十 四。嗯，提出来变成二，然后移到右边去乘二，根号五。好，根号五乘根号五就是五二五一十十，二减 a 等于十，那二减 a 要不就等于十，要不就二减 a 就 等于负十， ok 吗？看得懂吗？负十的绝对值也是十吗？对不对？ 所以 a 等于十移过去负八，或者是这这边又移过去， 这边十移过去是减十嘛？二减十等于八，二减。哎呀，慢一点，慢一点，慢一点，二减十等于把 a 移到右边，二减十等于负八，可以吧？下面呢？二加十等于这个负 a 移到右边，这样子等于十二，所以负八或者十二。 嗯，大家看明白没有？好的，这就是直线的一些性质。那接下来我们学圆的。那首先圆的话， 其实我们还学的蛮早的，早在初中的时候我们就学过圆，对不对？好，那我们先学一下它的公式吧。嗯，写到这个小角落啊， x 减 a， 括号平方加上 y 减 b， 括号平方等于儿的方。好像这样一个东西，我们叫做圆的方程，可以吗？然后这个这个东西我们只需要知道 a， b 好 干嘛呢？ a 逗号， b 是 它的圆心，那怎么求的呢？就是令它等于零，令它等于零，求出来 x 等于几， y 等于几，就是圆心的坐标， ok 吗？圆心 坐标，那就是 x 减 a 等于零，那 x 就 等于 a， 横坐标是 a， 这边是 b， 我 就不写了，很简单吧， ab， 然后半径 是这个 r， ok 吧？好，这就是非常标准的圆的方程了，可以吗？ 好，这是标准式，标准式我就不写了啊。好，然后是一般式，一般式的话就看着比较乱了，但是也比比较有序了。一般式是 x 方加上 y 方加上 d， x 加 y 加上 f 等于零。 像这样的东西我们叫做什么？我们叫做圆的一般式。那圆的一般式圆心怎么去求呢？圆心他是负二分之 d， 负二分之 e 就是 他这边的系数，然后他这边的系数， ok 吗？ d 就是 这个 d， e 就是 这个 e， 嗯， x 前面系数， y 前面系数，可以吧？这就是圆心的坐标，然后它半径是二分之一，根号下地方加一方减四 f， 直接记住就行。好吧，这个直接记的 好，然后如果这个式子要是一个圆哈，它半径必须大于零啊，对不对？半不可能没有半径啊，圆肯定是有半径的呀，所以我们的一方加一方减四 f 是 一定要大于零的，它大于零才能保证它是圆，可以吗？ 好，等会我们有具体题目可以吗？好，我们来看一下。呃啊，方程它表示一个圆，哎，它表示一个圆。那么什么，那么第一方加一方减四 f 干嘛要大于零，可以吗？ 好，我们来看一下 d 是 哪一例？ d 是 x 前面系数 ok 吗？ e 呢？我们抄一下。 x 方加 y 方加 dx 加 y 加上 f 等于零。好啊，负，呃，就是 d 方， d 方 加一方减四 f 要大于零，第一方的话就是六的平方 ok 吗？三十六加上，哎，没有 y 怎么办？是因为零 y ok 吗？所以一直是零。好，减四倍的 m 大 于零，可以吧？ 好的，然后把四 m 移到右边来。三十六呀， m 小 于九呢，可以吗？选 a。 好，那我这个里面我找圆心可以吗？找圆心负二分之 d。 负二分之一能不能找到？能吧，怎么找负二分之六呀？然后负二分之零呀，那就是负三。逗号零可以吗？这是圆心可以吧？好的， 这是这个。好，那我们继续啊。好，这两个式子哈。如果我想知道一个点有没有在圆里面 啊？有三种情况吗？如果一个点在圆的外面，那你把这个点带到这里面去，它就会大于二方， ok 吗？在圆位会大于，在圆上的话它会等于。 嗯，如果在圆里面它会就会小于， ok 吗？这是这个。这边哈，这边哈，我给它画一下哦，给它换成这边大于，如果带进去得到的数它大于右边的，那就是 y 等于上小于里， ok 吧？好，这边也是如此啊，还是一样的，这边大于外圆外等于圆上小于圆内，可以吧？好， 我们马上就会遇到题，我们来看一下。他说 p 负一二在圆的外面，外面的话就把这个负一二带进去。怎么带进去？就是让 x 等于负一， y 等于二， ok 吗？ 负一的平方加上二的平方减去二乘负一加上四乘二，加上 k 大 于零，可以吧。那这边算出来一加四，这边负负得正加二加上二四得八，加上 k 大 于零 啊，十五十五加 k 大 于零， k 大 于十，呃，负十五可以吗？ 哎哎，发现没有答案呢嘿嘿。为什么没有答案？是因为他说了他是圆，那就有前提，第一方加一方减四 f 大 于零一定要注意，他说了是圆就有大前提。第一方加一方减四 f 可以 吗？ 大于零第一方那就是二负二的平方四加一方四四十六减四倍的 k 要大于零的， 那二十大于四 k， 那 k 就 小于五可以吗？大于十五小于五大于负十五小于五大于负十五小于五选 b。 嗯，大家听懂了没有？好的， 接着我们来看啊，超级重要的。这个去年就考到了，就是点啊，就是圆与直线的位置关系好，如果直线在圆的外面就是没有与它没有交点，我们叫做外离， ok 吗？ 哦相离啊，什么外力相离，相离相离，如果长这样子我们叫做相离。什么意思呢？我们把点就是圆心到线的距离给它求出来，如果它大于这个半径了，那说明在外面， 如果等于了，就说明它相切了，它有一个焦点， ok 吗？如果小于了，那说明在里面，可以吗？嗯， 好，这是这个。那圆心到线的距离，点到线的距离公式还记得不？ x 零 y 到线的距离， a， x 加 b， y 加 c 等于零。把点带进去， a x 零加 b， y 零加 c， 好， 除以根号向 a 方加 b 方， 这就是点到线的距离，可以吗？然后哈，点到线的距离一定要画成一般式。前面好像没有强调 点到线的距离，这个直线一定要画成一般式再带进去， ok 吗？你，你是 y 等于 k， x 加 b 是 带不了的，可以吗？哎，那我们来看一下 直线与圆的位置关系。那直线与圆的位置关系？首先我们要找到圆心，然后在圆心到什么圆心到线的距离与半径去比较一下。我们来看一下。啊，那我圆心半径都要那负二分之 d 啊？没有没有， x 前面系数，哎， x 前面系数 d 嘛，对不对？再抄一遍， x 方加 y 方加 dx 加 y 加 c 等于零。如果大家加公式不熟练，建议写一个题目抄一遍公式。写一个题目抄一遍公式，为什么？快速记忆可以吗？好， 所以是负二分之零，那就是零，然后负二分之负二，那就是一。圆心是零，一半径呢？二分之一根号下第一方加一方减四 f， 那 我抄一遍公式，二分之一根号下零加上二，二得四， 减去四倍的负四，那就是加上四四十六， ok 吗？根号二十 二十可以，等于四乘五了，四可以给他提出去，变成二二乘二分之一没了，所以就是根号五，可以吗？这是半截 好点到线的距离哦，你看这个线干嘛呀？他给了我们就比较正常的。我们要一般式 ok 吗？怎么变成一般式啊？把 y 移到右边就行了。 x 减 y 加六等于零可以吗？画成一般式好，一般不要把 x 移过去啊，因为移过去不好看。 不好看而已。就你也可以写成 y 减 x 减六等于零，但是它不好看， ok 吗？我们尽量让 x 是 正的，实在是负的也没办法嘛，对不对？我们首先要先 a， x 加 b， y 加 c 等于零，尽量写成这个形式可以吗？不要移到左边去啊，移到右边好一点， 尽量让 x 是 正的。好，那这样的点到线的距离把点带进去哦。零一带进去，那就是负一加六除以根号下。呃，一的平方加负一的平方，那就是二，所以就是五 除以根号二，那就是二分之五根号二可以吗？他要与谁比啊？要与这个根号五比较大小 呃，二分之五根号二应该会比五大啊。根号五大吧。那你不信的话你我们这样子啊，把这个全部都变成根号吧。这个二变成根号的话这是四五，这个上面的五变成根号是二十五，然后再乘这边二，所以四分之五十这边是根号五了谁大呀？ 四分之五十和五谁大？四分之五十和五肯定他大呀，他都十多了，五十除以四都十多了，十多肯定大于五了。所以点到线的距离大于半径对不对？点到线的距离大于半径，那说明干嘛？相离呀？选 a 可以 吗？ 嗯，这是这个好，然后下面一种问题就是求呃直线与圆的切线。好，我们来看一下啊。好，我们来看第一种情况啊，第一个 就是这个圆，呃，我们知道什么？这个切线与圆有什么 有交点， ok 吗？切线与圆有交点，那这个怎么做呢？我把这个切点求出来，然后这个半径到这个点的斜率与这个线的斜率， 它成绩还是负一啊， ok 吗？所以通过这个关系，首先这个 p 点我知道， x 零 y 零， ok 吗？ 然后这个 c p 的 斜率我知道，然后 l 的 斜率就能求。为什么？假设这边是 k 一 哈，这边是 k 二哈，因为 k 一 乘 k 二，因为斜率之积是负一啊， ok 吗？这两点知道了，那 k 一 知道， k 一 知道了，那也能求 k 二，因为它斜率之积是负一，等会有具体敌，不要听懵了，没关系， 反总而言之，我要求点和斜率可以吧？好，那另外一种题是这样子的，过圆外一点做这个圆的切线，过圆外一点做切线都能做两条， ok 吗？ 所以一般这个点是告诉你的， x 零 y 零，然后呢，我就设这个点， y 减 y 零，等于呃， k 倍的 x 减 x 零，通过这个点就设出什么直线来好，这个直线给它稍微稍微给它修整一下， 等于 k x 减 k x 零啊，然后减 y k x 减 y 减 k x 零加 y 零，大概写成这样子的形式，然后呢？写成一般式，然后干嘛呢？ 圆心到这个线的距离干嘛呀？等于半径， ok 吗？所以再来列一个方方程，就把把这个圆心带进去，带到线里面去，然后这个会等于半径好，然后去把 k 求出来，可以吗？好，也是有点迷糊。没有关系啊，我们来看题就行了， ok 吗？ 我们来看一下直线过二根号三的切线方程，那过这个点我首先要判断一下是不是在圆上还是在圆外，那怎么判断呢？把这个点带进去，带进去看看， 在圆上非常好办，就是第一种方法，已知切点对不对？那我们来看一下 a 二带进去二减一的平方就是一，然后加上根号三，根号三的平方就是三等于四，哎，说明是哪种情况呀？说明就是这种情况吧。 这个点知道的，随便画的圆啊，随便画的圆啊，只是给大家演示一下，可以吗？好，那过二根号三， 好，然后圆心能求吗？圆心是多少呀？等于零的话就是一解出来等于一，这边零一多号零和它这斜率能不能求？能求吧，斜率根号三减零，比上二减一，那就是根号三了，可以吗？ 然而这是 k 一， 哈，就是这 c 和这个切点，它的斜率是 k 一， 然后我们要求的直线 l， 我 设为 k 二，可以吗？斜率设为 k 二， 好，那 k 一 乘 k 二， k 一 乘 k 二等于负一， ok 吗？所以 k 二，呃，就是，然后 k 一 的话 已经求出来了，就这个 c p 就是 圆心，圆心假设是 o 啊， c 吧， 它的圆心是为 c 点吧， ok 吗？ c p 的 斜率我知道了，是根号三呀，根号三 k 方等于负一，我要求 k 二，那就除以根号三，负三复制根号三。好的， 那我们知道什么东西啊？知道点，知道斜率，是不是点斜式啊？可以吧， y 减 y 零就是根号三等于 k 倍的那负三分之根号三倍的 x 减二。好，这样的话就可以把它解出来了，可以吗？那具体解解的话我们来解一下对应。 嗯，我们来看一下啊。两边同时乘一个根号三 ok 吗？为什么乘个根号三？我不想要分母， ok 吗？我不想要分母，可以吧。然后切线方程一般我们会给他写成什么？一般就是求完之后最后会写成。一般是这边的切线方程可以吗？ 好，两边同时乘个根号三，根号三 y 减去根号三，乘根号三等于三，等于这边三分之根号三的平方，那就是三分之三，那就负一，那负一然后 x 减二括号去掉负 x 加二， ok 吗？然后全都移到左边去可以吗？ x 加上根号三 y 然后减三，然后这边减二，那减五等于零。好，这就是切线方程 x 加根号三， y 减五等于零，可以吧。好的， 那学完这个我们接着继续哈。这就是。哎，反正这就是什么。在圆上就比较好写在圆外的话我们还要列一个式子我们来瞅一眼。 呃。零二过零二做它的，呃。相切的直线 l 还是一样的。把它点带进去看一下在圆上还是圆外 ok 吗？在圆上很好求，在圆外。嗯不是那么好求，也挺好求的其实来零二带进去 零加二的平方减去零大于零对不对？四大于零吗？没问题吧。大于零大于就在员外吗？ ok 吗？那在员外的话随便画一个草图啊。 呃在员外一点，然后做他的切线能做出两条 ok 吗？那一般我们能解斜率斜率因为两个斜率吗？两条两个斜率吗？一般都能解两个斜率。那有的时候只能解出一个。哎等会就是这个情况，我们来解一下呗先。好 啊，设这个点呗。设这个切线是 y 等 y 减 y 零， y 减二等于 k 倍的 x 减零， 那就是 y 等于 y 减二等于 k x 可以 吗？也就是 y 等于 k， x 加二，然后把 y 其实也拿到右边来，变成一般式吗？ k x 减 y 加二等于零， ok 吗？这是线，然后圆心到它的距离等于二， ok 吗？好，圆心求一下。负二分之 d 负二分之负二， 呃，一，然后负二分之一就是零，然后半径二分之一根号下地方，地方就是他的平方四的二，二的四，一方一没有， f 也没有，就是零嘛， ok， 所以 乘根号四就是二，二分之一乘二等于一， ok 吗？ 好，线带进去， k 减零加二，那就 k 加二的绝对值除以什么？根号下 a 方加 b 方就是 k 方加负一方就是 k 方加一，好，等于一， ok， 然后呢？然后给给它乘到右边去啊？ k 加二，绝对值等于根号下 k 方加一， ok 吗？好，看到绝对值和根号一般都是给他平方， ok 吗？平方左右两边平方， k 加二，挂平方等于右边平方， k 方加一，前平方加后平方 是减加两边的前乘后四， k 等于 k 方加一，这样的话左右 k 方 k 方约掉。 嗯，你一二一把这个四移到右边去减四可以吗？那负三，然后 k 就 等于负四分之三了，哎，说明只写出一个，哎，这是什么情况呀？没关系，这个先给他放进去， ok 吗？你说 y 减二等于， 不要带这个吧？带这个一般式，因为我们一般这边哈，这边哈，这边的切线方程一般写一般式， ok 吗？好吧， 然后在那个导数那边的极限方程一般写什么？一般写那个 y 等于 k， x 加 b 就 行，可以吗？啊，这是不同情况啊。好，这边带进去 负四分之三 x 减 y 加二等于零， ok 吗？好，一般这样不好看哈，一般我们要把它细，把它系数化为分母啊，怎么画呢？左右两边乘一个负四，负得正四 x y， 然后减去八等于零，一般写这个可以吗？ 好，哎，这是什么情况呢？好，我告诉大家啊，你们可以画一个他的坐标。 好，我们来看一下，这边是一零一零，然后半径为 r， 这样子啊，半径为一啊，半径 r 是 一，然后他过零二零二零二在这，这是 p 点， 他做切线一共有两条，一条长这样子，我用蓝色的先画一下，一条蓝色，另外一条也蓝色，可以吗？ 哎，那为什么我们刚才解只解出一个啊？是因为竖着的这个是没有斜率的 ok 吗？竖着的是没有斜率的，这个线叫 x 等于零，可以吗？所以他有两个方程，一个是刚才求的，一个是 x 等于零，刚才求的就是这条，然后这条没没解出来的说明是 说明是，嗯，没有斜率的 ok 吗？没有斜率是 x 等于零，这条线 ok 吗？所以下次如果大家可以如果只解出一个，立马画图，立马画图，圆形半径标上去，然后把点标上去，立马画图， ok 吧？ 好的，这个就是直线与圆的所有内容了，相对于之前那版的话做的一些许三减，然后这些内容是最重要的，希望大家能学会好吗？学会这些的话，那个圆锥曲线的第二问就能骗一点点分了，可以吧。 好了，那么感谢大家收听我们下期视频，再见。拜拜。
2985番茄学数
04:35查看AI文稿AI文稿立体几何跟不上学校进度，零基础上带你轻松通关整个立体模块，今天这节课，主播就用五分钟带你掌握直径定律、勾股模型、球的基础计算公式，外接球问题的万能公式体系， 从此遇见外接球题目都能从容作答。今天呢，我们来讲一下立体几何当中的一个非常重要的知识点，叫做球，球的话是特别特别常考的 画一个圆啊，然后呢中间点一个点的，当然这不叫球，在中间画个圈，这个才叫做球。中间画这个圈，我们把它叫做球当中最大的一个结面，因为它是过球心的结面，这个叫做球大圆。在这个球当中再做任何的一个结面，它都比这 这个圆要小，那比如说这里画一个圈，这个叫做求小圆，所以我们解析当中，一般来说要借助求大圆跟求小圆来解析。当我连接求小圆与球心的时候，我们所做出来的这条线是垂直于这个求小圆的。 好，那么接下来我们连接这条线，再连接球心跟球小圆的这个点，那么我们就可以做出一个直角三角形，这条边的长度是 r， 这条边的长度是球小圆跟球大圆之间的距离，我们把它叫做 d， 那 么这条边呢，我们把它叫做球小圆的半径，这个叫小 r， 那 接下来我们就可以得到球当中的垂径定力， r 的 平方是等于小 r 的 平方，加上 d 的 平， 一般来说涉及到球，我们都可以用这个知识来解析。那接下来如果我们知道球的半径是大 r， 它的表面积 s 是 等于四拍 r 的 平方， v 是 等于三分之四拍 r 的 立方。记住，任何的一个空间几何体，它的底面的外接圆都在球小圆上。如果我随便画一个棱锥，这个棱锥如果有外接球的话，那它的底面 a、 b、 c 一定是在这个球的某一个球小圆上。好，那如果我要去求这个球小圆，他的半径，我们就可以用正弦定力去求。好，那接下来当我们知道这个知识点之后，那我们就可以应用这个知识点来解题了。他说 三角形 a、 b、 c 的 面积是四分之九倍的根号三的等边三角形，其顶点都在求 o 的 平面上。如果求 o 的 表面积是十六 pi， 那 么 o 到平面 a、 b、 c 的 距离是多少？那我知道 o 所代表的一个圆叫做求大圆吧。那接下来三角形 a、 b、 c， 它的外接圆是球当中的一个，叫球小圆。那球小圆的圆心，我们在这里把它叫做 o 撇，我连接 o、 o 撇之后，那这就是球心 o 到平面 a、 b、 c 的 距离，我们把它叫做 d。 好， 那么接下来我连接 o 撇 c， 再连接 o、 c。 好， 这个时候我们知道 o、 c 的 长度就是求当中的半径，我们把它叫做大 r， o 撇 c 是 求小圆的半径，这个叫小 r。 那 我知道大 r 的 平方一定是等于 d 的 平方，加上小 r 的 平方，那问题就是这里的大 r 和小 r 应该怎么算 算？题目告诉了我们，求的表面积是十六 pi， s 是 等于四 pi， r 的 平方，它等于十六 pi， 那 么也就是说可以得到 r 方等于四，那么也就说 r 等于 二。那接下来题目告诉我们，三角形 abc 是 面积为四分之九倍，根号三的等边三角形，假设它的边长是 a， 那 么我们知道它的面积一定是等于二分之一倍的 a， b 乘以三， c 等于四分之九倍的根号三，那它的边长是 a， 带进去可以得到是 a 方等于九，也就说小 a 可以 得到等于三。等边三角形，它的边长是三，我又知道它所对应的角是等于六十度，怎么去求？是不是可以用正弦定你？ a 除以 sine 的 a 应该是等于二倍的 r， 也就是说三除以 sine 的 六十度等于三。除以二分之根号三等于二倍的 r， 那 么也就是说我们可以得到小 r 一定等于 根号三，小 r 等于根号三，大 r 等于二，所以这里的 d 方一定是等于大 r 的 平方。减去小 r 的 平方，我们可以算出来应该是等于一，所以 d 就 等于一。学会了的话，大家来看一下这道题，打出你的答案。 苦练十年，不如名师指点！每周我都会在抖音粉丝群分享独家的大招资料，需要的话大家可以进群领取。
6590数学君
01:43查看AI文稿AI文稿技能，高考数学最后四十六天零基础答题提分技巧，点赞收藏起来！技能，高考文中数学只剩最后四十六天零基础提分方法，同学王老师就帮你到这了，最后四十六天，不要慌，也不要摆赖，想在短期内能够提分，核心就一个，抓住基础，放弃难题。 具体怎么操作？第一，只练选择题，大题只做前面两道选择题和填空题，分子比较高，难度又比较低，是我们提分的主力军。数学最后的大题直接放弃，把时间全部砸在简单的题上，容易得分。 第二，必备的公式，这个时候每天至少要抄两遍，像集合函数、定义域，三角函数公式等等，其实也不需要理解的太深，只要牢记公式就能够套出分来， 这个是我们这边的数学老师多年亲测有效的经验。那么第三点，真题做近几年的就可以了，只要重复的去刷题，不要做新题和难题，这是画蛇添足，因为技能高考题型比较固定，只有十个章节，练熟了以后去考场直接秒。 第四点，看整理出来的错题，一定要有错题本，更要把这些错题弄懂，因为初心丢分比不会更亏， 计算慢一点都没有关系，步骤写完整就可以了。第五点，考场的策略是先易后难，就跟刷怪一样，这个时候不要去死磕它，一道题超过三分钟直接跳过去，我们时间有限，一百五十分钟，还有语文的大作文，把能拿的分都拿到，能写一步是一步，大题哪怕写公式也是有步骤分的。 最后四十六天，数学不需要考满分，只要把基础抓牢就能提升五十分，不能够甩开一大片的人。从现在开始，从此刻开始上岸的你肯定是有戏的。最后四十六天，想要文化课冲刺的同学，关注王老师，二零二六你必成功！
309王老师讲升学(湖北)
06:41查看AI文稿AI文稿数学基础差，还想逆袭变学霸？不如试试学修大法，直接速通高质高考。今天要学的是函数求值， 那这节课我们来讲一个内容，叫做函数求值，那么函数求值第一个我们要讲的是一个函数的一个直接求值，那接下去我们来看一下， 直接将 x 的 一个值呢？带入到函数的一个解析式当中，求值的方法叫做函数直接求值。那我们以例题为例啊，他说函数 f x 是 等于三， x 加五的， 我要求一个叫做 f 负二，对不对？这个负二是不是在 x 当中，是不是相当于 x 啊？那我们就把负二带入到有 x 的 市值当中，它就会等于三乘上负二，再加上五， 把所有的 x 啊，你看这是 x， 把所有的 x 变成负五，带入到 x 当中，那么就会等于负六加五，所以等于多少 负一？ f 负二等于负一，这是例题。那接下去我们来看例题二，函数 f x 等于 x， 三次方减二， x 加三，然后它让你求一个 f 二的一个值，哎，相当于把 x 变成了二啊， 把 x 变成了二，那所有的 x 也要跟着变，这有那个 x， 这里也有个 x， 那 么它应该等于二的三次方减去二乘二，再加三，等于什么呢？八减去 四加三，诶，等于七，所以呢， f 二等于七，那这是例题二。我们来看例题三，它告诉你函数 f x 等于 x 平方加一，然后它让你去求了一个叫做 f 括号里面 f 二的一个值，我们要先求出括号里面这个 f 二应该等于多少，那 f 二怎么求呢？哎，实际上是不是把 x 变成了二了，就相当于把二代入到 x 当中啊，变成二的平方加一了，等于 四，加一等于五，所以 f 二等于五，那么意味着这条式子 f 二等于五，那我就把五带进去，就相当于让你求一个 f 的 五的一个值，那函数叫做 f x 等于 x， 平方加一， f 五怎么求呢？把五带入到 x 当中，就相当于五的平方，再加一等于二十五，加一等于二十六，那这个 f 五就等于二十六啊，所以答案就是二十六。下一题例题是，函数 f x 等于 s 方减去三， x 加四， 求一个叫做 f 括号的 f 一， 那 f 一 怎么去求呢？你把 x 换成一，所以它就写成一的平方减去 三乘一加四，所以等于一减三加四等于一个二，那么这条式子 f 括号里面的 f 一 是不是等于二啊？哎，就相当于这个式子变成什么呢？求 f 二一个值了。 f x 如果是 s 方减去三， x 加 四啊。把所有的 x 换成二了，所以它就等于二的平方减去三乘二，再加上四，那么就会等于 四减六，加四等于二，所以呢， f 括号里面的 f 一 等于二，这是例题四。那接下去我们来看例题五吧。函数 f x 等于 s 方，加上 a， x 减一，然后他说若 f 一 等于一，那说白了 f 一 是不是把 x 变成一啊？那我就可以带进去变成一的平方，加上 a 乘上一，再减一啊，所以等于什么？ 一加 a 减一是不是等于 a 了？那 f 一， 它告诉你是不是等于一的，说白了 a 就 等于什么一，那么这时候 f x 就 出来了， f x 等于 s 方，加上 x 减一， 求一个叫做 f 二的一个值。把 x 等于二带进去啊，那就是二的平方加二减一，所以等于四，加二减一等于五，所以这道题答案是五，这是立体五。 例题六， f 的 二， x 等于 x， 平方减一，然后他让你去求一个 f 二的值，我们只需要让两个括号里面的值 相等就行了。那怎么让他们相等二？ x 等于二，那么你可以得到 x 是 不是等于一呀？那么这时候 f 二乘一，是不是等于 f 二的意思了？ x 等于一，代入到函数当中，函数 s 平方减一， x 等于一，代入到函数当中，所以得到了 f 二是等于什么？一的平方减一了，那就等于一减一等于零，所以呢， f 二的值就是等于零的， 这是立体六。那接下去我们看立体七吧。那么同样的方法叫做 f 二 x 加一等于二， x 平方加三， x 减一，让你去求一个叫做 f 五的一个值， 我们只需要让括号里面的两个数值相同就行了，括号里面两个数值相等就够了啊。哎，说白就是二 x 加一等于五， 把这个加一是不是挪到右边去？所以得到二 x 等于什么？五减一等于四，所以二 x 等于四，得到 x 等于二， 那所以 f 五，它就相当于把这个 x 等于二带入到 x 当中，所以呢，它就会得到二乘上什么？ x 变成二，那就是二的平方加上三乘二的平方等于几？ 四，再加上三乘二等于六减一，它等于什么？八加六减一等于十三。这道题答案填十三。 这节课我们讲了一个函数的一个直接求值，而我们只需要将 x 的 一个值带入到函数的一个解析式当中求值就行了。什么叫做代值呢？就相当于你把 x， 哎，比如说我要求一个 f 三，你就相当于把这个三带入到 f x 当中的这个 x， 把所有的 x 变换成三，去求它的一个函数值就够了。啊，那同学们，我们下节课再见。
4802达达中职数学
06:07查看AI文稿AI文稿此题不会基本报废，高级高考高频考点又又又又来了，想逆袭的千万别划走。今天要学的是函 数奇偶性应用，上篇我们这节课来讲下另外一个比较重要的知识点，叫做函数的一个奇偶性应用。第一个叫做函数奇偶性的一个求值。 那么首先我们要先知道啊， g 函数等于负的 f x 意味着 f 负 x 与这个 f x 是 不是相反数的一个关系啊？好，它是一个相反数的关系，那么再观察一下，也就是说 f 负 x， 这个负 x 和这个 f x 是 不是也是相反数关系啊？好，那这个就是奇函数的定义，那么下一个叫做偶函数 f 负 x， 它会等于 f x， 那 这个就是偶函数， 那么意味着什么呢？ f 负 x 与 f x 是 一个相同的关系，那么根据奇函数和偶函数的定义呢？那我们就可以去做例题一了， 已知函数 f x 是 一个阿鲁山的偶函数，然后他说 f 负二等于三，是不是？那么让你去求 f 二的一个值，那这个怎么去做呢？因为 f x 是 不是一个偶函数啊？意味着 f 负二 与 f 二的一个值是不是一个相同关系啊？所以呢， f 负二，它就会等于 f 二等于一个三，所以呢，这道题选 a 选项。那么继续我们来看例题二， 已知函数 f x 是 一个奇函数，然后他说若 f 五等于七，然后他让你去求一个 f 负五，那么同学们要知道啊， f x 是 一个奇函数啊，那它是一个奇函数的话，那意味着什么？ f 五与 f 负五是一个相反数的关系，那相反数的关系的话呢？意味着 f 五如果是等于七的话，那相反的话， f 负五是不等于一个负七啊？所以这道题选 c。 好， 继续我们来看例题三， f x 是 一个偶函数， f x 是 一个偶函数，他又告诉你 f 五是等于一个七的，然后他让你去求一个 f 负五，对不对？那因为偶函数 f 五与 f 五是不是一个相同的关系啊？那相同的话，那 f 五等于七， 意味着 f 五是不是也是等于七啊？所以这道题选 a 选项。那么继续我们来看例题四， 已知 f x 是 一个偶函数， f x 是 一个偶函数，然后他说当 x 大 于零的时候， f x 等于个 s 平方加上 x， 然后接下来他让你去求出一个 f 负一的值，那只有当 x 大 于零的时候，是不是才能用到这个解析式？你这个式叫做 f 负一，你说这个负一能不能代进里面去呢？哎，很显然是不能的，因为负一它是 小于零的，它不是大于零，所以你这个负一是不是不能直接带进去？那我要求负一怎么办呢？我就要利用到一个 f x 是 偶函数的一个性质， 它让你去求一个 f 一， 对不对？那负一的相反数是不是一？它一定会用到一个叫做 f 一 的值， 因为 f 负一与 f 一 是不是一个相同的关系啊？那实际上我们只需要把 f 一 的一个值给算出来，那 f 一 等于一的平方加一，那么等于什么呢？一加一等于二， 所以 f 一 的值等于二，那么接下去我们要求一个叫做 f 负一，对吧？那 f 负一等于 f 一， 是不是？哎？等于二。那么这道题答案选什么呢？选 a 选项。 继续。那么来看例题五，他说 f x 为奇函数，然后他说 x 大 于零的时候， f x 等于 x 加一，然后他让你去求一个叫做 f 负一的一个值，负一，你会发现没有办法直接带入这个表达式当中，对不对？ 所以呢，不能直接求一个叫做 f 负一的一个值，对不对？哎，我们就要用到奇函数的定义， e 函数的定义叫做 f 负一与 f 一 的值是不是一个相反数的关系啊？那实际上我把 f 一 的值给算出来就行了，那 f 一 等于什么？ 你会发现一是不是在这个函数里面我就可以带进去，那就是一加上一，那一加一等于几等于二了？ f 负一与 f 一 是一个相反关系的，那么 f 负一就应该等于负二，因为它们是相反关系的，所以这道题选 c 选项。 好，那么继续我们来看例题六吧。哎，叫做 f x 是 一个偶函数， 然后他说 x 小 于零，他让你去求一个叫做 f x 等于 x 的 三次方，他说小于零的时候， 会有一个 f x 等于 x 的 三次方这个表达式，然后他让你去求一个 f 二的一个值，你会发现这个二它是大于零的，对不对？你是没有办法直接把这个二带入到这个表达式当中的，那所以呢，我们就要利用偶函数性质， 那它的性质是什么呢？就是偶函数 f 负 x 与 f x 是 一个什么相同关系的，是不是？那我要求 f 二的一个值，实际上我只需要把 f 负二的值求出来，对不对？ 所以呢，哎，我只需要把 f 负二求出来，那 f 负二代入到这个表达式当中呢？那么它就会等于负二的三次方， 负二的三次方，哎，你会发现负数的奇次方还是什么负数，那负的几呢？负八。那又因为偶函数 f 二与 f 二是不是一个相同关系啊？ 所以 f 二也会等于一个负八，因为这两，那么这道题选 b 选项。好，那同学们，那接下去我们来讲下一个知识点。
1047达达中职数学
09:00查看AI文稿AI文稿曾经没人救世，这种题直到高考把它出成了压轴题，没错，就是比大小问题，主播高中数学常年一四零加，专门用新方法秒杀压轴题，主播有一个万能做法，能让你一分钟秒出答案，本期视频带大家一次学透比大小问题的超强做法。 比大小问题作为去年高考的单选压轴题非常重要，也非常热门，今天主播教大家一个全新的非常实用的方法，塑形结合，只要你学会这个方法，秒杀一道比大小的问题只需一分钟。 而这个方法也非常简单，只有三步，第一步叫做看成 x 的 函数，第二步叫做依据速率画出图像，第三步叫做画线。这个方法究竟什么意思呢？我们直接从例题中讲清楚。 首先我们先来看例，这个就是去年新一卷的单选压轴题，说若二加 log 二 x 等于三加 log 三 y 等于五加 log 五 z， 则 x y z 的 大小关系不可能是。首先我们先把它都看成 s 函数，它就看成三加 log 三 x， 它就看成五加 log 五 x。 第二步叫做依据速律化图。那我们来看一下这三个函数谁的增长速度更快呢？比如说我们以 log 二 x 和 log 三 x 为例，我们知道对于对数函数来讲，底数也小， 他的增长速度就越快，所以说肯定 log 二 x 是 最快的， log 三 s， 其次 log 五 x 最慢，所以说我们就可以根据这个性质来画出他的图像。那我们先来画二加 log 二 x， 因为他的增长速度最快，所以说我们可以给他画的相对直一点，那这个黑色的 我们就记作二加 log x， 那 接下来我们来画三加 log 三 y 的 图像，我们拿粉色线来画，因为它是加二，它是加三，所以说肯定加三的。最开始在上面， 又因为它的增长速度会慢，所以说它的图像应该是这样的，最终被黑色线超过了，所以说粉色线我们画成三加 log 三 y， 那最后五加 love 五 z 呢？因为他是加五，对吧？我们拿紫色线来画，他是加五，所以说最开始他肯定最快， 但是因为他的增长速度是最慢的，所以说最终他一定被两个函数都超过了，而且根据计算，我们发现这个点在这个点的左侧，所以说这个图像画的没有任何问题，所以说紫色线我们可以把它记作五加 love 五 z， 那接下来什么叫画线呢？我们画一条平行于 s 轴的蓝色线，那大家会发现和这三个的焦点分别是什么？紫色线就是 z 对 吧？ 粉色线就是 y 对 吧？黑色线就是 x 对 吧？那这个线代表什么？是不是代表着此时我们恰好有 二加洛二， x 等于三加洛三， y 等于五加洛五 z， 那 我们根据图像一眼就能看出此时什么状态，是 x 大 于 y 大 于 z， 对 吧？所以这种情况对应的是 a 项，所以 a 项可以成立。那么接下来当这个线向上平移的时候，第一个分界点是在这里， 此时代表什么？此时我们发现这个点是 z， 这个点是 x， 这个点是 y， 对 吧？所以此时代表什么？代表着 y 大 于 x 大 于 z， 对 应的是 c 向， c 向成立。那么接下来他再往上划， 划到这个区间，那此时什么情况？此时黑色线是 x， 紫色线是 z， 粉色线是 y， 所以 此时是 y 大 于 z 大 于 x， 所以 此时对应着 d 选项成立，就 d 选项可能成立，那么 它的大小关系不可能，为什么就是 b 项永远不可能成立，所以说直接选 b 秒掉。好，那么接下来我们来看第二道题目， 说这个 a log 二， a 等于这个 b， log 等于 c log 三， c 大 于零，则正整数 a、 b、 c 的 大小关系为。那这个题我们该怎么看呢？很简单啊，因为首先他先说 这个东西都大于零了，对吧？所以说我们知道这个 a、 b、 c 一定要大于一，对不对？那么接下来我们把它都看成 x 的 函数，那么对于这个大于一的来讲，这个是什么？这个是 log 二， x 乘以 x 吧，这个什么？这个是 x log x 吧，这个是 x log 三 x， 对 吧？那我们知道啊，还是底数越小，增长速度越快，对不对？所以说我们还是先画黑色线啊，黑色线 对应的是 x log 二，这么说吧，对应着 a log 二 a， 它的增长速度是最快的。其次呢，我们画一个粉色线， 对应着 b 绕完 b， 接下来我们来画一个紫色线，对应着 c 绕三 c， 那 肯定黑色最快，粉色其次紫色最慢，对吧？那么当他们三个相等的时候，我们画一条线，那此时这个点就是 a 点，这个点就是 b 点，这个点就是 c 点，所以说他的大小关系显然就是 a 小 于 b 小 于 c， 所以 说直接选 a 结束。 好。最后我们来看一道时效一减的这个第八题，说已知一加二的 x 次密等于三的 y 次密减一，等于五的次密减二，当然这个我们仍然把它看成 s 函数，所以说这个就是三的 x 次密减一，这个是五的 x 密减二，那谁的增长速度最快呢？显然 二的 x 次密，它的增长速度是小于三的 x 次密，增长速度是小于五的 x 的， 对吧？ 所以说，那我们还是先来画一加二的 x 次面的图像，它的增长速度最慢，所以说我们可以画成这样。这个是黑色线， 它一加二的 x 次幂，那三的 y 次幂减一呢？我们仍然拿粉色线来画三的 y 次幂减一，那它的起始点是零点，对吧？它的起始点是零点，然后它的增长速率相对比它快一点，所以最终会把它超过去， 那么这就是我们的粉色线。最后我们来看紫色线， 五的 x， 五的 z 次密减二，那它的奇数点是最小的，对吧？但是呢，它的增长速率是最快的，所以说实际上我们可以这么画，当然在这里面我们需要去比较这个点以及这个点大小， 那仍然我们经过计算，发现这是没有问题的。那这个怎么计算呢？我简单的跟大家说一下，这个点代表着五的 x 次密减二，等于一加二的 x 次密吧，那显然这个点等于几？ 这是五的 s 四米减去二的 s 四米等于三，所以说这个点其实是一，对吧？那这个点呢？这个点是什么点？这个点是三的 s 四米减一，等于一加二的 s 四米，也就说三的 s 四米减二的 s 四米等于二。而我们知道这个函数，三的 s 四米减去二的 s 四米，它是单调递增的， 然后呢，那这个 s 等于一呢？ s 等于一的时候，三的 s 四米减二的 s 应该等于一，对吧？所以说说明他等于二，这个点要比他 更大，所以说我们也就说明了这个点要在这个点右侧，所以说这个图像画的是没有问题的，那么最后我们仍然用后面的做法，就是画线， 呃，当然这个黑色线呢，我应该给他往，我应该给他往左一点画着。那么首先先来看这种情况， 当他在这的时候，这个点是 x， 而这个点是 y， 而这个点是 z， 所以 说此时呢，应该是 z 大 于 y 大 于 x， 他没有，对吧？没有，不要急啊，接下来我们来看下一种情况，这种情况应该是这是 x， 然后这是 z， 这是 y， 所以 此时是 y 大 于 z 大 于 x， 所以 d 选项可能成立。那么再接下来呢，下一个变动的点应该是在这里，对吧？这里呢， 这个是 z， 这个是 x， 这个是 y， 所以 说应该是 y 大 于 x 大 于， 所以 b 下也可能成立。那么最后再往上动的时候，下一个点应该就在这里，那这个点是 z， 这个点是 y， 这个点是 x， 所以 此时 x 要大于 y 大 于 z， 所以 说 a 也成立，那么一定不成立，就是谁就是 c， 所以 说直接选 c 秒掉，这种方法你学会了吗？
6.0万圆梦数学（打造好书中～
59:50查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，我是番茄学树，那今天我们学习的是零基础十五课里面的第十三课，圆锥曲线，那么学到这就快学完喽，兴不兴奋？激不激动？ 好，圆锥曲线的话大家不要怕啊，它其实还蛮简单的，我们只要把基础的性质学会的话，稳拿十分了。稳拿十分啊，爽不爽？ 嗯，然后这边视频看完可以再去看番外，番外再看完的话，那大概就十分是很稳的，那十五分也是不是没有希望了。嗯，好，所以我们来看一下啊，那圆锥曲线，首先里面第一个圆锥曲线就是椭圆 双曲线，抛物线， 这三个东西可以吗？他也叫解析几何，几个名字一样的。那有同学问，哎，老师怎么没有椭圆双曲线，抛物线就这了，就在这了。好吧，好，首先椭圆我们先画一下啊， 先会画再来学，你不会画的话你就学不好，你知道吗？那随便画一下，随便画一下，哈哈哈哈，你们随便画肯定没这好看喽，因为我他他他会自动生成了。嗯，同样长这样子，他是左右有两个焦点， f 一， f 二， f 二。哎，你什么都别管，你先画一个椭圆吗？ ok 吗？交点 f 一 f 二，然后我们把这个 f 一 f 二之间的距离，我们叫做焦距啊， f 一 f 二，我们叫做焦距，就是刚才那个啊，焦距等于二 c， ok 吗？ 这个长度是二 c， 那 它一半呢？一半是不是 c 啊？ ok 吗？一半长度就是 c， 然后我们这边长的，我们叫长轴，长轴 先认识它，长轴是二 a， 它的长度是 a， 这个长度是 a， 嗯，长这里哦这里哦，这里。一半是 a 吗？一整个是二 a 吗？那一半就是 a 吗？ ok 吗？刚才那个焦距是二 c 吗？那一半就是 c 吗？ ok 吗？ ok 吧。好，短轴是二 b 短轴。那怎么去分长短呢？眼睛看，用眼睛看，短的就是短轴， ok 吗？短的就是短轴。嗯， 短的是 b， 注意，一半是 b， ok 吗？ ok， 好， 然后啊，我们把这个这边我们叫做上顶点，这是顶点，左顶点，右顶点，下顶点， ok 吧，这顶点要知道哦。这他叫什么你要知道呗。好，然后我们再把这边连起来，用黄色的线啊， 把上顶点和这个交点连起来。好，这个长度也是 a。 为什么这么巧？我也不知道，哈哈哈，反正它也是 a k 吗？这个黄色的和这个这个，哎，我也再画根黄色的吧。 这两个黄色的都是 a k 吗？长轴的一半是 a， 这个也是 a， 嗯，就是这么巧合嘛。嗯，然后那是不是可以列一个勾股定律， a 方等于 b 方加 c 方， ok 吗？好，先知道这些可以吗？嗯，然后 还有一个东西叫做离心率，离心率等于 a 分 之 c。 好， 我们继续。哎，说了这么多， a、 b、 c、 a、 b、 d、 g 是 什么东西呢？你别管，反正你先记住 a、 b、 c 是 这些长度， ok 吗？ 现在记住了没有？自己画个图，然后把所有的长度标出来啊。好的，然后我们再来了解方程，它的方程是长这样子的， a 方分之 x 方加上 b 方分之外方等于一 a 大 于 b 大 于零。 好，我们来瞅一眼哈。形容这样的式子，我们叫做椭圆的方程，然后它的图像就长这样子，然后对应的 ab， 刚才那个长轴二 a， 二 a 的 a 啊，二 b 的 b 就是 这里面的 a 和 b， ok 吗？然后 a、 b 都是正的，可以吗？然后 c 呢？是通过 a 方 b 方来求出来的， ok 吗？可以吧。然后啊， 我们来观察一下， x 方下面 a 方是比 b 方要大的，因为 a 大 于 b 嘛，那 a 方肯定大于 b 方了，对不对？谁下面的数比较大，焦点就在谁上面，你看 x 方下面大，焦点就在 x 轴上， ok 吗？ 如果，如果改一下，改成什么呢？ a 方分之 y 方加上 b 方分之 x 方等于一呢？也是 a 大 于 b 大 于零，那这个时候哈，交点就在 y 轴上， ok 吗？因为 y 方下面的数大，它怎么画的？ 它长这样子， ok， 给给他，给他调教一下，给他画，画的像一点， ok， 来看啊啊，这个就是焦点在 y 轴上的，可以吗？ 好，它所有的心之也是一模一样的。 f 一 f 二，好，还是一样的？先看长度这边，因为刚才看过了，就是这边是焦距是二 c， ok 吗？二 c 好， 长的一就是二 a 长的是二 a 长轴，短轴是二 b， ok 吗？跟刚才一模一样，短轴是二 b， 嗯， 好，还是一样的连起来。这边 c 嘛，这边 b 嘛，这边也是 a 嘛， ok 嘛？这边也是 a 嘛？嗯，最长的也是 a， 这边是 a， 这边也是 a， ok 吗？好。然后勾股定律嘛， a 方等于 b 方加 c 方，所有的性质都一模一样，就是它从扁的变成竖的了， ok 吗？ 好，这两个的区别，谁下面大焦点就在谁上面，在它上面它就长这样子，如果在 x 轴上，它就长这样子， ok 吗？好，这是椭圆， ok 吧？长度的关系， ok 吗？好。然后它还有一个性 质，椭圆上的点，随便点一个点啊，椭圆上的点，它到焦点的距离之和是二 a， 距离之和是二 a， 假设这是 p 啊， p f e， 然后我们用一个就感感觉像绝对值的东西，就是绝对值，你反正标两根竖线，这调表长度 ok 吗？加起来等于二 a， 好 了， 每个椭圆都有这个东西， ok 吗？这边也是一样的，椭圆上随便点一个点，就比如说这边点一个点啊，加起来等于二 a ok 吗？这两个线加起来等于二 a ok 吗？ 嗯，每一个椭圆都有这个性质，椭圆上的点到焦点的距离之和是二 a， ok， 这边也是一样的，随便点一个连起来是二 a， 加起来就是他俩的长度，加起来是二 a ok 吗？好，这是椭圆啊，学完了 好。哎，我画的有点丑了，我们来拿到这个支点来看一下这个支点老地方哦，买丑叶。嗯，来正经学一下， 复习一下。不是正经学，刚才就是正经学的好。如果平面上的点满足 p f 一 加 p f 二等于二 a， 那 么它的轨迹是椭圆，你别管，反正就是在椭圆上随便点一个点，就是椭圆上的点到焦点距离之合是二 a ok 吗？ f 一 加 f 二等于二 a， 然后这个椭圆长这样子，长的是长轴，短的是短轴，长轴是二 a， 短轴是二 b， 好， 然后焦距是二 c ok 吗？ 然后在刚才那些长度，然后这边又有一个勾股定律，自己一定要画。好吧，这边只给你复习一下。然后谁下面大焦点是在谁上面哦，然后如果 y 方下面大焦点就在 y 轴上， ok 吗？性质是一模一样的好吧。然后上顶点，下顶点，左顶点右顶点， ok 吗？嗯， 然后还有焦点坐标，坐标之类的，那我就不讲了，这个差不多了，然后离心率 a 分 之一。嗯， 长轴短轴刚才都说过了。嗯，然后这个通径不用去管，先不用去管它，因为我们用不到目前。 ok， 学完了，这就是椭圆了，简单吗？那学完它的性质我们就来做题吧。嗯，题目都还相对来说比较简单。我们来看一下啊，椭圆，嗯， 九分之 x 方加二分之外方等于一，谁下面大， x 下面大，谁下面大，谁下面是 a 方， ok 吗？交点在谁上面 ok 吗？交点在 x 手上。那我们就可以画图了 呀。画图画图，随便画一个。嗯，你看我现在就是随便画的啊，左边 f 一， 右边 f 二啊。好，然后 a 方等于九， b 方等于二， ok 吗？啊，这边是 a 方，这边是 b 方吗？你可以把公式再列一遍。 嗯，然后对应就好了。 a 方等于九， b 方等于二啊，然后的话这边 a 方会等于 b 方加 c 方，这是固定的哦，椭圆里面 a 方等于 b 方加 c 方。哦，那这边是九，这边是二， c 方呢？是不是 c 啊，可以吗？ 好，可以，那 abc 等会要用的时候我们再拿出来算，可以吧？他不用你就不要算。嗯， 我们来看啊，点 p 在 椭圆上随便点一点 p， 他 说 p f 一 等于四，他等于四。好，问 p f 二等于几？哎，刚说了 p f 一， 椭圆上的点到两个交点的距离之和是二 a 呀，可以吗？ 呐，二 a 呀，好的，那 a 等于几啊？ a 方等于九，那 a 等于三， ok 吗？ a b c 都是正的哟，可以吗？ a 等于三，那二乘三等于六。好，这边等于四，四加几等于六，四加二等于六。 结束了呀，哈哈，这么简单吗？对不对？那考试也这么简单，你放心啊。嗯，那第二个求角什么？ f 一 p f 二的大小？ 求口三，要求这个值，求角的值哈，三边都告诉你了，我们用口三 ok 吗？用余弦定理可以吧？回顾一下余弦定理， 假设这里有 a b c， 我 要求口三， a 的 话是什么？减 a 方， b 方加 c 方除以二 b c ok 吗？ 就对边，就是要减的是对边平方，然后邻边平方和， ok 吗？然后除以二倍的邻边相乘可以吗？那这边也是一样的，我要求这个角，对不对？那口三这个角，假设这个角是 c， 它可以吗？我要求它大小吗？那就是等于什么呢？ 减去 f 一 f 二的平方，然后 p f 一 p f 一 的 p f 一 方加 p f 二方 除以两倍的 p f 一 p f 二。 嗯，然后带带数据进去吧。 p 可以 吗？它平方加它平方，减它平方吗？ ok 吗？ 然后两倍的泰森他吧。嗯，就刚那公式，余弦定零，余弦定零，要会哦，可以吧。嗯，好。然后就是四的平方四四十六加上二的平方，二二得四，慢一点，给你们慢一点，四的平方加二的平方减去 f 一 f 二。哎，这是二 c 吧。 c 能求吗？ c 等于根号七，那二 c 呢？二 c 等于二杠七，那二 c 的 平方呢？是不是 二十一的平方？我要求这边的平方就是二根号七的平方，二根号七的平方，等会再算吧，先不秒了。 好，除以二倍的四乘二 ok 吗？好，那就等于什么呢？上面 四四十六加上二二得四十六，加四等于二十，然后减去这边二二的平方，根号七的平方， ok 吗？ a b 括号二十四方等于 a r b r。 你 看每反正前面学过的公式后面慢慢都会用上知道吧。嗯二的平方四根号七的平方七四七二十八所以就是负二十八 啊。二十减二十八等于等于负八。好，这边二二得四四四十六了。哎，先别着急先。二四得八 ok 吗。二乘八呀八先约掉一个可以吗。 好，负二分之一口三等于负二分之一。好，记住一二三三二一那就三分之判然后他是负的所以是三分之二判。 好。好多人说一二三三二一不知道什么东西啊。在三角函数的第一课里面有一二三三二一一定要去学会这不仅在这里在向量里面还在很多场景里面一二三三二一都用的到这里就不赘述了那边讲的很详细大家一定要去看好吗。好， 接下来继续啊。求 p f 一 f 二。好，我给它标蓝哈。蓝色的周长 ok 吗。周长啊这边四这边二这边二根号七啊可以吗。所以是 六加二根号七。好，然后最后一个题延长 po 点 o 点就是这个圆点可以吧。 o 点延长然后呢。延长 po 交于 q 点。好，注意哈 这俩哈是对称的啊这这个椭圆是左都关于圆点对称啊也都关于对称轴对称啊然后这边延长过来的哈。是平行四边形啊这两个 这玩意是平行四边形哦可以吗。你记住就行啊。正我就懒得给你正了。他是平行四边形可以吗。嗯延长过来然后再连起来这是平行四边形这边等于这边这边等于这边。现在他问你什么东西不用正你下次知道就行可以吧。 p f 一 加 f 一 q f 一 q。 哎，他加他不就是他加他吗？因为他等于他呀，对不对？所以说四加二等于六。好的，这个题就结束了，还行吧。好，那我们接着下一道 f 一 f 二是椭圆的，两个焦点还是一样的。他说椭圆你就画个图 ok 吗？反正前面不属于你，多画画嘛。嗯， 慢慢就找到感觉了。然后他说两个焦点啊，哈哈，我是提前看到了，九大于九大于四嘛，所以焦点在 x 手上，然后这边 a 方等于九， b 方等于四，那 a 方加 a 方等于 b 方加 c 方，九等于四加五吧。那 c 方等于五可以吗？ 好的，还是一样的。 a b c 他 没问你就不要求 ok 吗？然后他说啥呀？ m 在 c 上随便画一点 m， 然后他说 m f 一 m f 二的最大值， 它乘它的最大值。哎呀，它乘它的最大值，我虽然不知道它最大值，但是我知道它这样加起来等于几？ m f 一 加上 m f 二等于几啊？等于二 a 可以 吗？ 二 a， 哎， a 方等于九， a 又等于三，那二 a 又等于六吧，对不对？哎，乘法问你加法记得不？等式不？ ab 小 于等于四分之 a 加 b 括号平方 ok 吗？还有很多同学学东西学扎实哈，我那边就是，你听课的时候我明明已经给你推过了，这两个公式是一样的， 上面平方下面平方，这两公式是一样的。总问我这个行不行。那是一样的呀，你听歌听全嘛，不要听一半嘛，行不行，好多同学总是听一半。嗯，好，那这边也是一样的，这边它乘起来就小于等于四分之，它俩加起来平方了。 m f 一 加 m f 二的平方六六三十六。 好，三十六可以写成四乘九，四和四约掉。好，所以小于等于九，所以最大值就是九了。小于等于吗？所以选 c 简单吗？前面的公式不属于一定要去回顾啊，就每每节课基本上都讲过了。对，只要我，其实只要我课上提过的公式我前面的课基本都都有覆盖到，你知道吧？ 嗯，继续往下。好的，椭圆的交点在 y 轴上，在 y 轴上它的长啥样呀？就是 a 方分之外方加上 b 方分之 x 方等于一，可以吗？ 好，你先别看这个啊。你先别看这个，他说什么？你先把把条件都列出来，等会再看那边。长轴长是短轴的两倍，短轴是二 b， 然后短轴的两倍是长轴， ok 吗？ 嗯，然后二二再约掉一个，所以 a 等于二 b。 好， 那我们再看题。哎哎，他怎么长得跟我们这个不一样呢？哎，怎么 m 乘到这里来了，注意哦注意哦。 m y 方可以写成 y 方，除以 m 分 之一，为什么除以一个数会等于？乘以它的倒数就是 y 方，乘以 它的倒数就是 m 嘛，对不对？就是 m， y 方嘛，可以吗？下次记住啊，它乘的你也想要变成除的，你就除以 m， 除以它它这个数的分之一，可以吗？除以一个数等于乘以它的倒数。好的，所以这个等于这个，然后我写到前面，然后这个 a 方，哎， x 方写到后面。 好，那你对比一下谁是 a 方啊？是不是 a 方等于 m 分 之一啊？ b 方是不是它底下没有？没有就是一嘛，一分之多少嘛，可以吗？ 对应呀，可以吗？好， b 方等于一，那 b 就 等于一了，可以吗？那 a 等于二 b 那 二乘二乘一等于二了， a 方等于几啊？那 a 方就等于四了，四就等于 m 分 之一了，可以吗？ 好，有的同学解到这就赶紧四等于 m， 是 四等于 m 吗？四等于 m 分 之一啊，把 m 移向过去四 m 等于一可以吗？移向过去除法变成法吗？然后再把四移向过来可以吗？ m 就 等于四分之一，够基础吧。嗯， 好，就是这个，所以 m 等于四分之一了 a。 然后我们来做一个高考题吧，其实近几年的高考题都长这鸟样哈，我们来瞅一眼 啊。离心率是二分之根号二，离心率就是 a 分 之四一，可以吗？ a 分 之四一等于二分之根号二， ok 吧。 长轴长是四，你把它条件所有的条件都列出来，他要求的是这个方程，方程的话就是要求 a 方 b 方，然后他给的条件你给他列出来就能求到 a 方 b 方 ok 吗？本质就是求 a 方 b 方吗？长轴长是四，长轴是二， a 等于四，可以吗？ 好，我要求的什么东西啊？我要求的是 a 方与 b 方，可以吗？那怎么办呀？这边 a， a 等于四。哎呀哎， a a 等于二，二 a 等于四嘛。 a 等于二，所以 a 方等于四，这个是知道的，但主要是 b 不知道呀。 b 怎么求啊？注意啊，椭圆啊，椭圆里面 a 方等于 b 方加 c 方可以吗？ 嗯，然后 c 是 无关的 c， 你 看一下能不能尝试把它改一改。怎么改？这边 a 分 之 c， 因为我等会要出现 a 方与 c 方的嘛。左右两边平方可以吗？ a 方分之 c 方等于四分之左右两边同时平方嘛。四分之二就是二分之一 啊。交叉相乘，呃，也不用整呀。哦，没事，然后交叉相乘或者怎么怎么样都行啊。发现 c 方等于二分之一 a 方可以吗？ 嗯，西方等于二分之一 a 方，然后带进进来 a 方等于 b 方，加上这边二分之一 a 方，因为因为 a 方等于四嘛，所以这边等于四，然后这边二分之一乘四就是二，所以 b 方等于 b 方等于二喽，可以吗？ 啊，那除了这种计算的话，还有很多个计算的，随便怎么计算都行。那再来一个计算，就是这边 a 不是 a 不是 等于二吗？ a 等于二带进去那 c 就 等于几啊？ c 就 等于什么？ c 就 等于根号二嘛。二分之 c 等于二，分之根号二，那 c 就 等于二嘛，好吗？ c 等于二，然后 c 等于根号二，然后 c 方就等于二，然后再带进来也是可以算的好，还有同学，你不要 a 分 之 c 等于二分之根号二，你不要 c 就 等于根号二， a 就 等于二。哈，谁告诉你的？ 能直接是分母等于分母，分子等于分子吗？不行，举个例子啊，就是 a 分 之 b。 举个例子不是这个题目里面的 a 分 之 b 等于二分之一， 能直接 b 等于一 a 等于二吗？不行，那你看四分之二还等于二分之一呢。那你怎么 b 不 等于二 a 不 等于四啊，能这样子啊。不行，遇到这个要干嘛？交叉相乘 ok 吗？二 b 会等于 a 好 吧，只不过凑巧这边 a 等于二而已啊，所以他他才会上面等于上面，下面等于下面啊， 可以吧，不然的话就不会出现这种啊，出现了这个不能分子的分子分母分母啊，计算不是这样算的 ok 吗？刚举了例子啊，不能这样子，这个是正好。 a 等于二， ok 吗？这是正好，下次不正好怎么办？是不是？好了好了， 小学就是初中学的音，遇到这个要交叉相乘，二 c 等于 a 根号二，一般是交叉相乘了，可以吗？嗯，如果遇到几分之几等于几几分之几的。嗯， 好，接着方程就出来了。嗯，四分之 x 方加上什么二分之 y 方等于一。好的，那我们椭圆我们就结束了，是不是还挺简单的？嗯，好，接着我们来干双曲线啊，双曲线也是比较简单的哎，我们先画一条双曲线。 双曲线，嗯，还是一样的， x 轴外轴先画好，然后双曲线是长这样子， 可以吗？像什么？像那个篮球的那个，那个底面的那个，嘿嘿嘿，有点像，没有点像吧。 篮球，篮球，打篮球。嗯，篮球的那个篮球。嗯，好，这不是 f 一， 也是一样的 f 一 f 二，这是它的焦点， ok 吗？ 好，焦点 f 一 f 二，好，一样的，这个焦点的距离我们叫焦距也是二 c， ok 吗？好，然后它也有顶点，左顶点右顶点， ok 吗？你先，你先看这个你先看这个，我们先把长度分析完， ok 吗？ 刚才这边是二 c， 那 一半就是 c 了，可以吗？一半就是 c 了，可以吗？然后这边左顶点右顶点，这边叫做十轴，十轴，十轴， 十轴是等于二 a 的， 可以吗？好，那它一半就是 a 喽，可以吗？我们等会来标啊，一半是 a 啊，算了，现在标吧，这边是 a， 这边是 c， 可以 吗？然后啊，双曲线它有两个渐近线，渐近线 就画的有点丑陋哈，等会我们去看那个，看那个公式里面的图啊。好，它有两条渐近线。 渐近线是什么？就是这个椭圆是一直靠近渐近线的， ok 吗？所以我说我画的有点丑，他应该是一直靠近渐近线啊，我这边还歪到这边来了。不行啊，他要一直靠近渐近线。可以吧，不过没有关系啊，我做题不影响的。好， 这右顶点啊，做根垂线，它会与这两个渐近线干嘛呀？有几个交点，上面一个交点，下面一个交点，然后把这几个交点连起来，这边会有一个矩形，然后矩形中间中间这两个点，这这边连起来。这玩意我们叫做虚轴， ok 吗？ 虚轴， 虚轴等于二 b。 好 的，因为虚轴是我们做出来的，所以它叫做虚轴，实轴是它本来就有的， ok 吗？然后我们把那个刚做出来的线画擦掉啊，好，然后我们这边 这边一半，这边是不是它的一半啊？这个是虚轴嘛，这是虚轴的一半，就是 b 嘛， ok 嘛？因为它二 b 嘛，然后这边是 a， 然后这边 a， 这边呢？这边是？ 你看我画的黄色的，这是 c， ok 吗？好，这个也是 c， ok 吗？这两个长度是一样的，别问我规定是这么规定的， ok 吗？这长度是 c。 好， 然后这边是 b， 然后这下面是 a， 这 c， 这 b， 这 a， 这些长度， ok 吗？所以这边也能搞一个勾股定律，就是什么 c 方等于 a 方加 b 方， ok 吗？好，因为 c 最长了， c 最长了，可以吗？嗯，刚前面椭圆学的是什么？ 椭圆是 a 方等于 b 方加 c 方， ok 吗？这边呢？这边是 c 方等于 a 方加 b 方， ok 吧？这是双曲线，可以吧？好，双曲线还有一个东西， 就双曲线上的点到两个交点之间的距离是二 a。 好， 假设这是 p 啊， p f 一 减去 p f 二等于二 a 好 长的，减短的等于二 a。 那 有有，有情况。哎，就是他在右边的话，就 p f 一 长吧，那如果在左边呢？是不是他就短了？那减出来是负的对不对？所以我们想一直让他是二 a 的 话，我要加一个绝对值，这 p 可能在左边，也可能在右边，可以吗？ 好，那这就是双曲线的一些长度的关系。然后我们来看它方程啊，它的方程是 a 方分之 b 方分之外方等于一， 这边就没规定 ab 谁大谁小了都行，想谁大就谁大，想谁小谁小都行。好，我们注意一下啊，你看啊， x 平方，它的系数就是它前面的系数，系数就是系数，知道是什么未知数前面的常数啊，系数是大于零的， 所以也就是你可以直接说就是 x 的 零的平方前面，平方前面它是大于零的，所以焦点就在 x 轴上， ok 吗？然后你看 y 方前面是负的，你看嘛， y 方前面是负的， ok 吗？它系数是负的， ok 吧？谁正焦点在谁上面，然后谁的下面是 a 方， ok 吗？谁正焦点在谁上面，下面是 a 方。好，那我们再来一个。哎呦， 都过了，再来一个啊， a 方分之外方减 b 方分之 x 方等于一，那交点在谁上面啊？谁是真的？ y 方前面是真的，所以什么 交点在 y 轴上？它的图怎么画呢？也是一样的，圈圈画一个吧。 好的，大概长这样子还是一样的。有交点 f 一 f 二， ok 吗？然后这两个点之间距离是交距是二 c 可以 吗？然后这边是实轴，是二 a， 可以 吗？我这边就简短的写一下，等会去那个节点里面再看啊。 好，然后这边有个虚轴可以吗？渐极线还没画呢。渐极线，然后这边做垂线，然后有两 有两个矩形，然后这边这边到这边是虚轴，虚轴是二 b ok 吗？画图画图，随便画图，这个 b 其实不怎么让你那个画出来，我们只要把大概的形状画出来就行，知道吧。好的，大概就这样子。 好的，注意哈。双曲线，谁正交点在谁上面 ok 吗？谁正交点在谁上面，然后下面是 a 一 方， ok 吧？嗯，然后还有一个离心率，忘记讲了，离心率依旧是 a 分 之四一，可以吗？ 好，然后啊，它这两条双，它的这两条渐近线哈，这边也有渐近线，这边也有渐近线，我们以它为例哈，它的渐近线方程怎么求呢？就这两条线的方程怎么去求呢？我们是这样子的，让这个一等于零， 那就是 a 方分之 x 方减 b 方分之外方等于零，然后再去把 y 等于多少解出来。把 b 方分之外方 等于 a 方分之 b 方吗？哎， a 方分之 x 方吗？对不对？把它移向过来吗？对不对？然后这边调换一下顺序，写成 a 方分之 x 方，可以吗？这个 b 方下面不是除的吗？移到右边变成乘可以吗？ 然后这边再写成 a 方分之 b 方 x， 可以 吧？哎，给它分开一下，然后左右两边开根号，那就是 a 分 之 b x。 好， 要加正负。嗯， 要加正负。 ab 是 没有范围的。没有关系嘛，反正就是开根号，要加正负，可以吗？嗯，这玩意就是它的渐近线，正的就是这条，负的就是这条，可以吗？ 嗯，渐近线方程是 y 方，等于正负 a 分 之 b， 那 同样的这边怎么去求啊？也是一样的，令它为零，然后去求， ok 吗？ 大家可以自己求一下。然后我直接写了 y 等于正负 b 分 之 a x 跟刚才那个正好是相反的， a 分， 刚才 a 分 之 b， 这边是 b 分 之 a， 可以 吗？这就是双曲线。好，那我画的有点丑了，我们来这边看吧。 好，首先双曲线，双曲线上的点到两个交点距离之差是二 a， 这是规定，一定要记住哈，有可能在左边，有可能在右边，所以我们给他添绝对值，绝对值等于二 a， 可以 吧， 然后谁前面是正的，谁焦点就在谁上面，然后谁下面就是 a 方，注意啊，这是蛮关键的哈，谁下面是 a 方，可以吧？ 好，然后我们来看，然后交点之间距离是焦距二 c， ok 吗？然后左右顶点之间距离是二 a， 这是什么？这是十轴，然后做根垂线，做根垂线，然后这边这样的话能把这个虚轴画出来， ok 吗？嗯， 然后这边是 b， 这边是 a， 这边是 c， 能有一个勾股定律， c 方等于 a 方加 b 方， ok 吧？ 好，椭圆里面就是 c 方，等于 a 方加 b 方，然后它还有渐近线方程 y 等于正负 a 分 之 b， x。 好， 然后离心率 a 分 之 c， 跟椭圆的是一样的，这离心率。好的，等会就是讲完之后我就再给大家就是把椭圆和双曲线一块拿出来对比一下啊。 好的，大概就是这些吧，然后通进，通进也是先下先，不管用不到。嗯，好的，那我们学完了，那我们继续， 那我们就来做一下题呗。好，双曲线来看一下啊，你看谁前面是正的，谁的系数是正的，是不是 x？ 所以 它的方程是 a 方分之 x 方减 b 方分之 b 方分之外方等于一，可以吗？然后 a 方等于四，然后呢？这边 b 方 b 方等于一可以吗？ c 方能不能求啊？ c 方等于 a 方加 b 方 ok 吗？双曲线里面 c 方最大哦。 c 方等于 a 方加 b 方等于什么？四加一等于根啊， c 方就等于五吧。五。 好的，没让没问没问。你要求 abc 你 就不要动手 ok 吗？好，画图随便打两个括号嘞。左角点右角点可以吗？然后他说 p 在 双曲线上，随便画一个点呗，可以吗？ p 在 双曲线上，然后他说 p f 一 等于六，问 p f 二等于几？好，注意看，反正他只要连了一个焦点，你就把另外一个焦点连起来可以吗？他们之间有关系。什么关系呢？ 相差就是他们之间减一下是等于二 a 的 可以吗？那 a 我 要求出来， a 等于二可以吧？ a 方等于四吗？ a 等于二。 好，那可以写啊， p f 一 减去 p f 二， p f 二的绝对值。绝对值。因为不确定 p 在 右边啊。他说在双曲线上不一定在右边啊，一个能在左边啊。好，等于二。 a 二乘二等于四。 好，然后因为 p f 一 等于六，所以就是六减几等于四啊？六减二可以等于四，可以吗？六减多少等于四，或者是六减多少等于负四， 为什么？因为负四的绝对值也等于四吗？可以吗？我现在对里面讨论啊，里面可以等于正的四，也可以等于负的四，这样绝对值都会等于四，可以吗？六减几等于四啊？六减二等于四，所以可一是二也可以呢。六减十等于负四吗？也可以是十啊，可以吗？结束了。好的， 这就是这个，一定要会画图啊。然后它连了其中一个焦点，你就把另外一个焦点连起来，它们之差是二 a， 可以 吧？好，接着我们往下做，我提好 方程， m 分 之 x 方加上二减 m 分 之外方等于一，表示双曲线。好，它说表示双曲线。哎，那，那怎么符号没了呀？ 负号被塞进去了， ok 吗？可能在 m 里面，可能 m 是 负数，也可能是二减 m 是 负数，不知道谁是正数谁是负数， ok 吗？但是肯定知道的是是一正一负 ok 吗？ 肯定是一正一负，是负号塞进去了而已。那怎么办呀？一正一负的话，我们就乘起来，乘起来小于零，这一个正数乘一个负数乘起来小于零，那就是能保证它一正一负，然后它问 m 的 指数范围，把它解出来就行。怎么解啊？这是二次函数，解二次函数会不会解啊？ 首先开口朝上朝下，开口朝上朝下看 x 平方前面系数这边，就看 m 平方前面系数。 m 平方在哪？ m 乘负 m 负 m 平方，它前面系数是负，所以开口朝下，它图像等会长这样子好，一个是零找等于零的时候，一个是二 零二，然后现在他要找什么？小于零找小于零，在这下面 ok 吗？ 在这条这是 y 等于零找他的下面 ok 吗？大家不要记小于零取两边，大于零取中小，小于零取中间，大于零取两边啊。你画图就好了。我反复强调，你别跟我说你记得住，记不住，反正不要记，那玩意我不喜欢。嗯， 大家也不要学那个就就你光记口诀，你不知道怎么来的你，你写两下就错了。对一半错一半，所以大家就迷糊，还是好好去看那个就是那个，应该是第三课就不等式那边就是怎么去解二次函数，好吧，怎么去去解二次函数？不等式画图 ok 吗？一定要会啊一定要会啊。 好的，他问小于零，这是 y 等于零，小于零的话这是它下面就这两个部分对应的 x 是 负无穷到零，然后二到正无穷， 负无穷到零，并上二到正无穷。哎，可以。好，接着我们往下 至二五年的全国一卷，也是比较简单的一个题。虚轴，虚轴长为实轴长的根号七倍。大家不要不认识字哈， 虚轴长为为是四的意思。虚轴长是十轴长的根号七倍， ok 吗？虚轴是二， b 是 十轴长的根号七倍，他是他的根号七倍，那就是七根号七倍的二 a 可以 吗？换句话说，十轴的根号七倍是虚轴可以吗？ 虚轴是实轴的根号七倍。哎呀，你自己读你自己读。我不是教语文的，反正它的意思就是根二 b 等于根号七乘二 a 可以 吗？左右两边约掉一个可以吧？所以 b 等于根号七 a 可以 吗？然后他问离心率，离心率是什么？ a 分 之 c 可以 吗？ 离心率是 a 分 之 c， 我 要求 a 分 之 c， 那 我要出现 c 的 式子。哪里出现 c 的 式子啊？ a 这边啊， c 方等于 a 方加 b 方呀，可以吗？好， a 分 之 c。 那 我这个 b 我 就不想要，因为我只要 a 分 之 c 的 式子， ok 吗？我要求 a 分 之 c 呢，这个 b 方就可以， b 方可以写成 c， a 方对不对？所以 c 方等于 a 方，加七 a 方，那就是八 a 方。 好，然后把 a 方移过去， a 方分之 c 方等于八。好，看到这个不就不就快成了吗？一就等于根号下 a 方分之 c 方吗？ ok 吗？开个根号就行了，等于根号八呀，根号八就是二根号二呀。哎，答案就出来了，还挺简单的吧。 好，接着我们再来讲一个题吧。嗯，双曲线的离心率是。呃，二离心率就是 a 分 之 c 等于二， ok 吗？他问双曲线的渐近线方程。好，刚才大家有没有记住渐近线方程是，如果是交点在 x 轴上，那渐近线方程是 y 等于正负 a 分 之 b， x 可以 吗？ 如果不记得的同学，把另另这个这个等于零，然后把 y 等于多少解出来，好吧，好，他问间接线方程，哎，问间接线方程还是问 a 分 之 b 等于几， ok 吗？ 问 a 分 之 b 等于几？刚才是问离心率是 a 分 之 c 啊，现在告诉你离心率的 a 分 之 c 可以 吗？好，然后你要加个什么东西啊？还是一样的 a 分 之 b， 我 要出现 b 的 式子，哪里出现 b 的 式子啊？ c 方等于 a 方加 b 方， ok 吗？ 那你就要把谁抵消掉。我不要谁啊，我不要 c， 怎么不要 c 啊？ c 会等于，你看 c 会等于二 a 嘛，对不对？所以 c 方呢？ c 方就等于四 c 方啊，四 a 方嘛，对不对？等于 a 方加 b 方， c 方等于四 a 方呀，看得懂吧？左右平方嘛。好， a 方移到左边去，那就是四 a 方，减 a 方就是三 a 方。我要求 a 分 之 b， 那 我把 a 方移到右边来，可以吗？啊？然后两边开个根号呀， 根号就行了呀，就等于 a 分 之 b 啊。 a 分 之 b 等于根号三，可以吗？所以 y 就 等于正负。呃，根号三 x 正负根号三 x。 好， 圆满结束。 ok， 好， 那我们再来对比一下椭圆根桩曲线吧。 呃，首先啊，它们一样的东西有哪些呢？我们来看一下一样的东西有哪些呢？呵，焦距二 c， 长轴二 a， 短轴二 b ok 吗？ 然后呢？双曲线呢？焦距二 c， 实轴二 a， 虚轴二 b ok 吗？ 好的，来横向测评一下啊横向测评一下啊。然后它交点就是椭圆上的点到交点之间距离之和是二 a ok 吗？距离之和是二 a， 那 它呢？它呢？距离它是 双曲线的上的一点到焦点之间的距离之差是二 a。 看一下，看一下他们的性能啊，有什么区别？好，然后椭圆这边是 a 方等于 b 方加 c 方， a 方等于 b 方加 c 方， 双曲线呢？ c 方等于 a 方加 b 方， ok 吗？嗯，你看，然后离心率是一样的，离心率都是 a 分 之 c ok 吗？ ok， 然后他们都有两个焦点 ok 吗？ ok， 然后呢？然后椭圆，椭圆没有双曲线啊，说错了，椭圆没有渐近线。双曲线有渐近线 ok 吗？渐近线 如果是焦点在 x 轴上，那就正负 a 分 之 b， 焦点在 y 轴上，正负 b 分 之 a x， 可以 吗？好的，那椭圆和双曲线就是这样子。然后我们学抛物线 来看一下抛物线长啥样呀？嗯，抛物线比较简单了，抛物线是最简单的，为什么？它性质非常少？刚才那些还有 a、 b、 c、 d， 它这边就一个屁，然后我们来看一下 一个屁，这个屁不是放屁的屁。好，这边这长成这样，它就是说，呃，这是抛物线 ok 吗？ 然后抛物线它也有交点 f 一， 但是它只有一个，可以吗？然后它的长度是二分之 p， 逗号零，它是这个坐标是二分之 p， 逗号零，那也就是这个长度，我用蓝色的表示啊，这个长度是二分之 p， p 是 什么？你别管，反正是一个字母，我等会儿会让你知道的。 好，那他说他只有一个交点，他不公平啊，他在同样的对面的位置上，所以他有一条准线， 它没有两个焦点，但是它有一个焦点，一个准线，可以吗？准线，准线，它就是它跟它这边长度都是一样的，都是二分之 p， ok 吗？长度是二分之 p， 但是它准渐方程，它是 x， 等于负二分之 p 的， 可以吗？因为它这边是负的吗？ ok 吗？好的。 然后抛物线有个心指，用黄色的抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，这两距离是一样的。 黄色的长度是一样的，看见吗？这边这个点，这 抛物线的点到加上的距离等于达到准线的距离，可以吧？好，它的方程长啥样呢？它的方程是 y 方等于二 p x， 这个 p 就是 这里面的二分之 p 的 这个 p， 这个 p 就是 二分之 p 的 这个 p， ok 吗？嗯， 不是放 b 的 p 啊。好的， y 方等于二 p x， 长这样子 ok 吗？好，然后它有好多个，它有老多个了，好， y 方。哎呀，然后啊， p 是 大于零的哈，刚才我们学的 a b c p， 这都是大于零的， ok 吗？规定，规定，规定，规定好，然后 y 方等于负二 p x， 它就开始朝左的，可以吗？给大家画一下，画一个迷你的， 还是一样的焦点，焦点这边是二分之 p ok 吗？这边也是二分之 p ok 吗？黄色，呃，我用蓝色的标一下， 都是二分之 p， 二分之 p， 长度是二分之 p 哈，你如果是准线方程之 o i 等于二分之 p 啊，哎，不是 x 等于二分之 p 啊，然后距离是一样的， ok 吗？画的有点丑，画的不一样而已，但是它是一样的，可以吗？好，这是朝左朝右的，还有朝上朝下的呢？ x 方等于二 p y， 它是开口朝上的还是一样的，这边长度依旧是二分之 p 二分之 p， 长度是二分之 p 哦，好，这个准线方程呢？ y 等于负二分之 p 哦， 因为它长长在这吗？这是 y 等于几 y 等于几吗？ ok 吗？竖着是 x 等于几吗？横着是 y 等于几 y 等于几吗？可以吗？ x 等于二 p y 朝上，然后呢， x 的 方等于负二 p y 呢？ x 方 x 方等于负二 p y 呢？开口朝下， 好，你看这边这边，然后还是一样，准线在这边，那就是准线。 y 等于二分之 p， 可以 吗？还是一样的长度都是 二分之 p ok 吗？然后还是一样的，它到焦点的距离等于它到准线的距离这边也是一样的，它到焦点的距离等于它到准线的距离，可以吗？到准准线的距离就是做垂线过去啊，可以吧？好，这个就是这些，它有四个，虽然多，但是它性质非常之简单，就是抛物线上的点到准线的 准线的距离等于它到焦点的距离，可以吧？还是一样的，我们来看一下。哎呀，这边好， y 方等于二 p x， 它长这样子，这边长度二分之 p， 这边长度二分之 p， 然后抛物线的点到焦点的距离等于它到准线的距离， 嗯，然后坐标之类的负的朝左性质很少， x 方等于二 p y 朝上， x 方等于负二 p y 朝下，一定要注意哈，它的式子是 y 方等于多少多少， y 方等于多少多少， x 方等于多少多少， x 方等于多少多少，可以吗？ 如果它，如果你看到式子不长这样，你要赶紧改成 y 方等于多少或者 x 方等于多少的式子。我们来看一下这样我们来看一下底呗。 顶点在坐标轴啊，这都是顶点啊，顶点顶点顶点，顶点，顶点在坐标轴， 顶点都在原点。对称轴位坐标轴，对称轴是这样子，对称轴就是 x 轴或者 y 轴，可以吗？ 对称轴为坐标轴。是啊，对称轴都为坐标轴啊这些，哈哈哈，还有刚才那些啊，抛物线跟双曲线啊，对称轴都是坐标轴，可以吗？对称轴都是坐标轴，你看都会关于对称轴，对称啊，就是坐标轴对称啊，好，继续，所以他前面两句话是放屁的，这是放屁，这是放屁的屁好吗？ 好，抛物线经过二一，我们来画一下。二一在哪啊？二一在一，二， 二一在这，他说抛物线经过这个点，他的方程是什么？那我们要想一下，就有一个抛物线经过这个点，可能是这个吧，可能是长这样子，也可能呢也可能朝上了，所以我们来看一下 他可能长这样子，这也是抛物线呢，也可能是蓝色的这个来，来了来了来了， 你可能是蓝色的这个。这两个抛物线都经过这个点， ok 吗？他没说开口朝上下左右，没有说没有说，那就他有两种情况，第一种情况就是红，嗯，就是红色的这个，红色的这个是 y 方，等于二 p x 可以 吗？它的方程长这样子， 然后因为它经过这个点嘛，经过这个点就可以把这个点带进去嘛？可以吧？把二一带进去，那就是啊， y 等于一哦，一的平方等于二， p 乘二， ok 吗？那就是四 p。 四 p 听起来好奇怪啊。 p 等于四分之一，可以吗？ ok， 好， p 等于四分之一，那 y 方就等于二乘四分之一 p， 然后就是二乘二乘四分之一，那就是二分之一 p， 可以 吗？所以它第一个方程是这个可以吧？而第二个我们用蓝色的 b 写 第二个的话，它是 x 方，等于二 p y 可以 吗？还是一样的把这个点带进去，横坐标是二，纵坐标是一，可以吗？横坐标带在 x 里面去二的平方等于二 p y 的 话是一，一就不写了。好 啊，二的平方四，然后二给它除过去二分之四，那就是二 p 等于二， p 等于二，再带回去 x 方等于二，二乘二乘 y， 所以 就是四 y。 好 了，所以一共答案就两个。 嗯，它有两个 x 方等于四 y 或者 y 方等于二分之一 p， ok 吧？好的，那我们继续往下抛物线， y 方等于二 p x， 呃，的焦点为 f， 那 我们画呗，反正他说什么我画什么，可以吗？ 哦，长这样子，焦点为 f， 然后他说准线，准线。哎呀，好，哎呦呦呦呦，画好看一点。哎呀， 嗯，画的像一点。 准线交于 p 点，准线与 x 轴交于 p 点啊，过 f 做垂直于 x 轴的直线。坐呗，坐呗， ok 吗？交于 a b 两点， a b 两点。好，然后他说 p a b 的 面积为二， 他说这个面积为二，好，求 p 等于几好？我们来看啊，如果没有直接告诉你什么东西，那你就拿这个二分之 p 直接用就好了，也就是你直接把它就是，你直接就是你把二分之 p 当已知的用， ok 吗？ 什么意思呢？就是这边长度是不是二分之 p 吗？也就是 a 和 b 的 横坐标是二分之 p， 可以 吗？他问面积，面积，面积就底乘高呗， ok 吗？二分之一底乘高呗，高知道吗？嘿，这个 p f 知道不？这边是二分之 p， 这边是二分之 p 长度，所以整个加起来就是 p 嘛， ok 吗？ 长度是 p， ok 吧？好的，那我们写呗。长度是二分之一 p 还要乘什么？ a b 的 长， a b 的 长，怎么求呢？ a b 的 长，哎， 他在这个点，在这个曲线上呀，横坐标，知道了，纵坐标能不能求啊？能呀，把横坐标带进去啊。横坐标是多少呀？二分之屁，把二分之屁带到这个抛物线里面去， y 方等于二屁。乘二分之屁，二和二约掉一个，那就是屁方， 所以 y 就 等于正负 p， 可以 吗？开，呃，两边同时开根号吗？一个。哎，怎么两个呀？怎么两个呀？一个在这一个在这啊，它们俩横坐标都是二分之 p 啊，纵坐标一个是 p， 一个是二负负 p 啊，对不对？所以这边它的 a 的 坐标是二分之 p， 以多少 p？ 这边呢？二分之屁都好，负屁，可以吗？好， ab 的 长度是多少呀？这边是屁，这边也是屁吗？长度。我说长度坐标的话是负屁吗？我写了吗？长度是二屁可以吗？所以乘二屁，二分之一底乘高，二分之一底是屁，高是二屁。 哦，说错了，二分之一底，底是二屁再乘高，高是屁， ok 吗？高是屁，这边是二屁，这边是屁， ok 吗？二分之一底，二屁乘高 ok 吗？你把屁写前面也一样的嘛。二分之一和一约掉，所以就是 p 的 平方。 好，这是面积，面积等于几啊？二，二，哎，两边开个根号呀，根号二可以吗？哎，有人说，哎，老师，你怎么不加这幅？ p 是 正的， p 是 正的， ok 吗？ abc 和 p 都是正的，可以吗？规定规定啊，就是刚定义的时候就是 p 大 于零啊，可以吗？嗯， 它没有复的啊，所以 p 等于根号二。结束我们继续往下，哎，这就是二，二年的全国乙卷还是一样的像 what？ 喂， 啊，哎，哎，这边 y 方等于四 p， p 告诉你，没有二 p 等于四吧，因为 y 方等于二 p x 啊，是不是二 p 等于四，所以 p 等于二，可以吗？哎，轻而易举知道 p 等于几，那我等会画的时候我就知道它坐标了呗。焦点的坐标是多少呀？ 二分之 p 可以 吗？二分之 p， 那 就是二分之二。逗号零，那就是一逗号零，它的焦点一逗号零，可以吧？啊，然后他说什么？ 他说 a 在 这个上面， a 随便点一点 a， a 在 这个上面，可以吗？ a 在 c 上面，而 b 是 三，逗号零。二三，这是 b 可以 吗？三逗号零，然后他说啥？他说 af， 这是 f， af 等于 b， f 等于 b， f， 哎，等于二，哎，连了焦点就要连准线哦，可以吗？他到焦点的距离等于他到准线的距离啊啊，然后等于二呀，他等于二，他等于二，他也等于二哦，他连着准线，这边做水线呢，这边是一，这边是不是也是一啊？ 哦，有人没反应过来。好，这边这边是不是一啊，这边是不是二分之屁二分之屁。这边是不是二分之屁都是一吧，对不对？长度都是一嘛 长度都是一嘛。那这边这边这边做垂线过来的啊，这边和这边是一样的啊，这边也是一啊，这边因为它是二嘛，所以这边是一，这边是一，这边是一啊， ok 吗？哎，所以这边是一，这边是一，这边是二，这边是二，这边也是二啊。垂直。哦， 这这 a 是 不是正好在 p 的 上面啊？因为它横坐标为一嘛，这边是做水线过来的呀，这边是二啊， ok 吗？然后这边是一的话，这边是一啊，所以横坐标也是一啊。做根竖线过去，哎，正好是 f， 可以 吧。 好，所以这边是二，这边是二，这边也是二，所以这是一个正方形，嗯，就是这么巧，哈哈，你画到别的地方也是一样的，你会，哎，等会你会发现。哎，这边是一，这边也是一，好，这边也是一哈，那这个一应该移到头顶上又偷偷画到这边来，知道吧？嗯，然后他先问 ab 的 长度 好像不怎么用球嘞，这边是垂直的，然后这边是，这边坐标是三，逗号零嘛，这边是一嘛，所以这边是二，这边也是二，然后这边呢，二，二，二根号二呗，可以吗？ 嗯，二根号二呗，或者你勾股定你根号下二的二的平方加二的平方，那就是根号八，也是二。根号二啊，可以吗？或者直接记那个记那个呗。 三十度的角一，二根号三，或者四，或者是是四十五度的直角一，一根号二倍倍数关系，可以吗？啊，好了，二根号选 b。 好， 接着我们再来看两个高考题啊。 好，我们来看到这个二五年的全国二卷抛物线的焦点为 f， 随便，反正也是画，随便画一个。 呃，朝开口朝右的 y 方等于二 p， x 开口朝右，好， f 啊，坐标是二分之 p， 逗号零，可以吗？ a 在 c 上， 然后过 a 做 c 的 垂线，随便画一点 a 可以 吗？做垂线，垂线， 准线的垂线过 a 做准线的垂线，垂足为 b， 这边是 b， 然后呢？若直线 b， f， b f 还有还有联系呢？ b f 的 值方程是负二分， 负二 x 加二，有点口吃了， ok， 这边 y 等于负二， x 加二， ok 吗？求 af， 求 af， 其实求 af 就是 求什么？求 b， 求 ab 了，对不对？因为他俩一样呀，他的焦点的距离等于他的准心的距离啊。有的同学说，哎，这真长，不像呀， 我随便画的图能像吗？肯定不像呀，这自己画出来的手工图肯定不特特别像啊，你画出大概画到意思就行，可以吗？好，那我们来做一下啊，我们来看一下。 哎，我们来看啊，他是不是这个焦点，是这个点，是不是经过这条线啊？是，能不能把这个给他带进去啊？把这个点带进去是不是就能把 p 求出来？是不是？ 我们把二分之 p 带进去，负二乘二分之 p， 然后加上二等于零，可以吗？所以就是负 p 加二等于零， p 等于二，就把横横坐标重坐标带进去啊，可以吗？横坐标是二分之 p 啊，重坐标是零啊，带进去啊， 好， p 等于二啊，所以这个方程 y 方等于二，二得四四 x， 可以 吧？好了，那 p 等于二的话，那这边长度就是一了，那这边长度是一了，这边长度也是一了，所以准先是 x 等于负一了，可以吗？ 哎，我要求。哎，我要求什么呢？我要求什么呢？嗯，没关系，你不用管，你先再把 b 点求出来了 呀。我的，我求 ab 嘛，我求 ab， 能不能把 b 的 纵坐标求出来呀， ok 吗？纵坐标求出来了， a 的 纵坐标也能求呀，可以吗？因为他俩的纵坐标是一样的呀。横坐标不知道这，反正纵坐标是一样的。纵坐标怎么求呀？把 x 等于负一带进去啊。因为这个点的横坐标是负一啊，负一再带进去啊，可以吗？负一带进去，那就负二乘负一，那就是 负，负得正，那就二加二等于四，所以它长度是四，可以吗？不要看着不像哦。这边四，这边音，你别看着不像啊，它就是 ok 吗？只我画成这样子，可以吧？它是四，那 a 点的纵坐标就是四，可以吗？横坐标呢？横坐标怎么求呀？ 这个点在曲线里面，在这个曲线里面。那你就纵坐标知道，你就把纵坐标带进去去解 x， x 就是 它横坐标可以带进去。 四的平方等于四， x 左右两边约一个四，那很多表也是四，所以是四。逗号四， 那它要求 af， 要求 af， 其实就是要求 ab， ok 吗？因为它俩相等。哎，这边是一，这边长度是一，这边长度是四，所以一加四等于五，所以选 c 结束。 好，那继续接着往下吧。好，抛物线 y 方等于八， p 焦点你看，给了你你就先求出来。二 p 等于八， ok 吗？ p 就 等于四，那二分之 p 就 等于二，给了你就画出来， 给了你就写出来，然后再继续画图啊。那就是焦点就是二，多少零 f？ 呃，点 m 在 c 上随便点一个 m 就是 抛物线， c， 知道吧？它这个抛物线叫做 c， 所以 点 m 在 c 上， ok 吗？然后他说他到直线 y 等于负三的距离是五， 这是 y 等于负三， y 等于负三，然后他的准线准线也画出来呗。准线等于负二，可以吗？哎，写错了什么。 y 等于负三， x 等于负三， x 等于负三，这边是 x 等于负二，这是准线，可以吗？然后他说他到这边的距离是五， 这个距离是五，可以吗？哎，这边是二啊，这边是二啊，那他说他是五，那这边就是一了，可以吗？ 啊，别别别，慢一点，慢一点，慢一点。吓死我了，慢一点慢一点，别着急别着急别着急，慢一点，慢一点。我刚说啥呀，你先别着急，这边是二，这边是二， ok 吗？好，这段是二，可以吗？然后这段呢？这段是几 负三嘛？从这到这里，这里肯定是一啊，可以吗？一啊，可以吧，然后他说距离是五，所以这边长度是二， ok 吗？ 这边长度是二。嘿，有没有发现这边如果长度是二，是不是跟这个一样啊？所以他应该在他的正上方呀， ok 吗？反正在那。没没，没关系，你不用管他问的是什么，问 m f m f 和他到准线的距离一样呀，他到准线的距离就是四啊。 啊，这就结束了？我都还没开始做呢还没开始做呢，这边这边就是四啊，他到准线的距离等于他到这边的距离啊，这边是四，这边也是四，还没做呢就结束了。好吧，选 d 好 了， 那这就是本期视频的全部内容呢，我们学了。呃，椭圆双曲线和抛物线。那我们学完这些的话，首先第一个就是前面的选择题或者是填空题，应该是能写的，第二个就是大题的第一问应该也是 ok 的， 然后建议大家就是有空的话去看一下十五课番外系列的 里面的圆锥曲线啊，虽然大家就是写不了大题的，就是大题第二问肯定是写不太了，但第一问是可以写的，然后其次第二问能偷偷拿点分，就是你把式子列上去就能拿个三到五分，大家学不学，不需要动脑，直接 把赤子填上去，那我们就能拿三到五分大家，所以建议大家去十五课翻外系列学一下。好吧，也是主页合集点进去啊，大家看课一定要去合集看，你不要一个视频找一个，一个视频找老麻烦了，点击合集，然后就可以看了，好吧，可以看全部的，一集一集的。 好了，那么这期视频就到这，感谢大家收听，我们下期视频见，拜拜。
7125番茄学数
06:00查看AI文稿AI文稿此题学会学霸就位，本期内容十分重要，一定要紧跟达达思路，今天要学的是周期性与基偶性综合。上篇 我们来讲一个比较重要的知识点，叫做函数的一个周期性质与函数基偶性质的一个综合的题目。 那么对于这类题目呢，我们怎么去做啊？我们看一下知识点啊，叫做对于任意的一个函数 f x， 如果 f x 加 t 啊，会等于 f x 的 话，那我们就可以说 f x 是 一个周期函数，其中这个 t 就是 一个周期。那么举个例子，比如说啊，函数 f x 加 四会等于 f x 的 话，那么我们知道函数的周期是多少来着， t 应该是等于四，对不对？所以周期等于四。 那么下一个知识点就是周期函数的一个小结论了啊，或者说总结。第一个总结是什么呢？就是自变量 x 加上一个周期啊，或者是减去一个周期，你加上一个周期，或者是减去一个周期，函数值是不会发生变化的啊。 举个例子，今天星期五的话，那同学们上一周今天星期五，我减去个七天，是不是减去一周啊？他是不是表示的是上周的星期五啊，都是星期五。 所以呢，在函数当中也有同样的例子，就是你加上一个周期，或者是说减去一个周期，它的函数值是不会发生变化的。那么第二个总结呢，就是自变量 x 如果去除以周期数，这个周期数就是 t 啊，如果 x 去除以这个 t 的 话，那么就会可以得到这个余数 a 会有一个 f x 等于 fa 这个余数， 这是第二个结论。那么我们去做例题一，函数 y 等于 f x 是 定义在 l 上的周期 t 为四，然后他告诉你 f 零等于一， 他让你去求一个 f 四，那么我们观察发现，零到四，说白了就是加上一个四啊，因为零加四是不等于四啊，所以呢， f 零加上一个周期，那么零加上一个周期， 那么他就会等于什么？他就会等于一个叫做 f 四的一个值，对不对？说白了就是 f 零会等于 f 四， f 零是不等于一啊，所以 f 四也是等于一，那么这道题选 b 选项好，那么继续我们来看例题二，函数 f x 定义在 r 上，周期 t 等于三，对不对？然后他说 f 负一等于一个五，他让你去求一个谁呢？ f 二对吧？那 f 负一等于五呢？我们观察你会发现，负一加三是不是刚好是等于二的呀？ 那我们就可以干嘛呢？给 f 负一，给他加上一个周期三，那么就可以得到一个叫做 f 负一会等于 f 二， f 负一是不是五啊？所以 f 二也等于五，那么这道题选 c 选项 ok， 行。那么我们来看例题三， 对于函数 f x， 它说定义在 r 上的任意 x 都有一个 f x 加二等于 f x， 这个不就是我们周期函数的定义吗？叫做 f x 加 t 会等于 f x， 那 其中这个 t 为函数的一个周期，是不是它是表示函数的一个周期，那么这道题函数的周期 t 应该等于二，对不对？ 他还告诉你 f 一 等于一，那么去减一个 f 八十九，八十九是不是一个很大很大的数字啊？ 所以呢，我们就用第二个结论叫做自变量 x 去除以这个周期数，那这个周期是二，对不对？那我们就去拿八十九去除以这个周期数二，那么一除，这里上四二四得八，所以呢，还有一个九 写下来，那么上多少呢？四二四得八，那么我们可以得到余数是一，所以呢， f 八十九就会等于 f 一 的值，所以呢， f 八十九也就等于一了，那么这道题选二， b 选项。接下去我们来看例题四， 函数 f x， 他 说定义在 r 上的任意有一个 x 的 值都满足 f x 加二等于 f x， 它是一个什么周期函数，对不对？那这个周期等于二，然后他说 f 零等于零， 然后他让你去求一个叫做 f 九十的值，那我们九十去除以周期数二，那么这里算什么？ 四二四得八，那么余数是一，然后再把这个位数零写上去，那么就二五 一十，那么得到余数是零了，所以 f 九十，它就会等于 f 零的一个值， f 零等于零，所以 f 九十也等于零，那么这道题选 a 选项，那接下去我们继续看例题五， 函数 f x， 他 说以周期为二的一个周期函数，且 f x 等于什么 x 平方 x 在 零到一之间，才能把这个值带入到这个函数解析式当中，对不对？所以呢，我要求一个 f 七 t 的 值，那周期 t 是 不是应该等于二啊？那我就去拿七除以周期数二，那么可以得到余数是多少？二三得六，余数是一，那么 f 七就会等于 f 一 了，那 f 一 是多少？一是不是在 x 属于零到一之间？这个所以呢，我就可以把这个一带入到这个函数解析式当中了，它就会等于一的平方，一的平方等于一。那么这道题选 a 选项啊。
1045达达中职数学
08:12查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，最近有很多同学说就是如何把数学的基础分拿到，那么这期视频给大家出一下详细的就是第一个就我们如果只想拿基础分，就是大概是七十分左右，或者是七十到九十分左右，我们需要学哪些知识点？ 然后第二个该怎么去做，然后第三个就是试卷上哪些题目我们要会去做，第四个就是所有的 东西需要准备哪些？好，那我们来看一下啊，就是我们的数学的基础分其实还是蛮多的，首先我们觉得就是首先这个七十分的基础分我们肯定是要拿到的， 就是我们要学会这些，当然你学会这些不一定代表你能考这么多，对吧？好，所以我们来看一下我们需要学会哪些东西吧。好，最基础的分我已经给他列出来了，这些是一定要拿到的，你如果这边的分数拿不到的话，不要往后学，可以吧？首先是负数集合， 复数的话加减加减乘除计算，集合的话交集并集，补集这些是一定要拿到分的，这些十分了。对，然后常用逻辑用语，谁是谁的，什么条件命题的否定，这个出的题的概率也蛮大的。然后不等式怎么去解？不等式这个这个这个要会写 好吧。然后平面向量，这个每年都考了，然后平行垂直比体积表面积也是一样的，每年都考。然后圆锥曲线你不要怕他难哈，他不难的， 椭圆抛物线，双曲线的离，呃，方程跟离心率一定要会去做好吧。然后导数的话也别怕，就是最近我有出一个视频，就是导数那个嘛，好多人看，最近怎么突然推流了。对， 要求切线方程一定要会，这边五分一定拿，然后二项是地理一年没考了，我估计今年会考这边也是五分学完这些最基础的我们能拿五十到六十分。所以如果你这些还是有一点犹豫，就是或者是有些分数拿不稳，建议一定要先把这些学完， 一定要拿到的最基础的分好吗？然后下面是一些比较基础的，肯定是能学的，如果有时间的话再学一下这些。 第一个就是函数的单项性，既有性，周期性，然后三角函数的公式，还有解三角形，因为这两个确实考大题的概率也比较大，然后小题也一定会有， 然后空间向量，直线圆的方程统计，概率，数列求和了，这些是在刚才那些学完的基础上再去学的，肯定有时间学的。你这些花个十天，这些花个五到，这些花个五到十天，也是一定能学完的。好，这两个加起来一共大概就是九十分左右。好， 那我们学完这些我们卷面应该拿哪些分呢？就卷面的话，我们一般就是前五到六个题肯定是要拿到的，这题的话就是二十五到三十分。哎，蒙的那些我还没说呢，就是第七题，第八题还可以蒙，对呢，对不对？那些分数我们现在先没去加，这些就是实打实能拿到的 多选择题，第一个题啊，六分，然后另外两个你看我没怎么去加填空题的，两个题前，填空题前两个一定能拿十分，大题前面两个你不管是你要考多少分啊？前面两个大题我觉得是肯定要拿到的，所以大家到时候一定要去练。 然后第三个题的话，如果是实在不会的话没有关系，第一问五分也是稳稳拿下，然后剩下的大题如果能拿一分就能拿，能能写第一问就写，第一问肯定能写的，倒数两个肯定是两个里面，第一问里面肯定是最少，有一个是能拿的，多的话就是五到十分了。 好吧，所以这里面我们把这些掌握的话，我们就有多少分了，我们就有七十到九十分了。对，七十到九十分。好， 那我们该怎么做呢？该怎么学这些东西呢？好，我这边有详细的，就是第一个就是大家基础比较差的话，肯定是自学很困难，所以我建议直接听我主页的零基础十五课就好了，免费的，不要问我怎么买。是免费的 ok 吗？ 最近我在重新录制，因为，呃，现在已经录制了很多了，就是现在我觉得就是去年呃，录制的不好的内容，我会给他呃再录一遍，所以大家会陆续看到，我偶尔会又会发新的十五课的内容，这是因为去年录制的我给他换掉了，所以大家一定要去听十五课，我这个十五课就是根据这些 把最基础的先给大家掌握，就我仅此而已。对，所以大家直接听就好了，我给大家有做一些小改变， 好，听完十五课之后，如果然后这十五课我建议大家直接就十五天完成就好了。有些是有些比较简单，一天看两课，有些比有些就是一天看一课，十五天之内一定要完成。我不是说了吗？就是半个月把数学基基础拿到吗？很够的时间，非常非常够。 那听完之后的话，如果时间允许，一定要去听十五课番外。为什么要听十五课番外？是因为你大题学完知识点动不了笔去做的，能理解吧？大题一定要去听十五课番外，讲的也比较细节，所以一定要去听十五课番外系列里面的大题讲解，好吗？ 好，那听完课我们要做什么呢？好，建议大家是这样子的，每听完一个板块准备你准备十张试卷， 比如说我听完复述，我准备十张试卷，我把所有的复式的题目全都写一遍， ok 吗？写十个就 ok 了。可以了，我们这时间比较紧迫了，对不对？写十个就可以了。 好，如果大家没有的话，我会给大家准备好，里面可能就是包含了二四年高考题，二五年高考题，以及近期近期的一些热门的高考卷，我大概在今明两天应该会准备。好吧。好吧，然后一般都会放在评论区顶至或者是群聊里面。好吧， 大家到时候可以自取。还没准备好还没准备好我，我今天去准备好吗？好，然后结束之后啊，就是这两步完成之后哈，一定要听完就要跟练习哦，这一次都要跟这十张试卷的练习哦，可以吗？不然的话学完之后效果不好知道吧？ 好，然后前两步结束之后啊，前两步结束之后，每天拿一张试卷刷题巩固复习，直到高考 高考前两天，然后就差不多，到时候我还会出视频教大家高考就是临近高考怎么去做。这个你放心，到时候你直接关注我就好了。对，到时候我会教大家高考前怎么去做。嗯， 好了，然后之前一直有听我建议的，一直在用一数一百奖的同学可以直接继续用着，因为我觉得就是你把一数一百奖基础版先学好之后再去刷试卷，我觉得这样效果是最佳的，因为我感觉， 因为大家已经在用了吗？你可以继续用着，如果是有的同学还没开始用，或者是一书一百奖二六年的都买不到了，你可以就按这种方法来就好了，可以吗？之前有一直在用一书一百奖的，直接继续用，可以吧？ 用完之后到时候就是一般都都听的差不多快一半或者是快结束了吗？到时候再准备十张试卷，然后每个板块的题像刚才说的那样，你再相应刷完，刷完之后再每天一张试卷，我觉得这样就反正是最好的，因为你拿一书一百页学完之后肯定是最扎实的。嗯，好的， 那这就是这些内容了。然后的话还有一些就是蒙题小技巧。蒙题小技巧我我估计就是明天或者后天出蒙题。蒙题 就选择题嘛，对不对？选择题就是选择前，呃，就是最后两个和多选的。那那两个题嘛， 我到时候会教一下大家蒙题技巧，准确率确实挺高的，大家可以关注一下。然后这就是半个月怎么把数学的基础分拿到，一定能拿到，你只要是努力去学，一定能拿到，不要问我剩下二十多天啊，还能不能行，能不能行，一定能行的，只要你花时间去做， 你不要觉得就是以前漏了很多，现在捡不起来了一样，现在就这些内容，然后如果大家就是这些内容找不到知识点之类的，你可以也是一样的，评论区顶置，或者是 在那个群里面，然后我都有发，就是我自己总结的这个知识点，我觉得还挺不错的，就是把所有的基础的知识点都囊括起来了，一共二十一，大家有需要自己找一下吧。好吧 好了，那这就是半个月把基础知识都学稳的一个呃呃。视频吧，那如果大家觉得不错的话，可以给我点个关注，然后如果身边有需要的同学可以分享一下。好了，那么感谢大家收听我们下期视频见，拜拜。
1.2万番茄学数
04:33查看AI文稿AI文稿哈喽，各位同学好，今天给大家讲解一下解三角形的大题的专题。首先我们来看第一个技巧，如果含有平方三兄弟的时候，我们要用余弦定力，那首先我们余弦定力已经给他写出来了，形容一二三这样的公式就叫余弦定力。 然后什么叫平方三兄弟，就我们就先看第一题，这就叫平方三兄弟。如果一个题当中有三个平方相加减， 那准确来说是两个平方相加减去第三个平方，那么在一起的时候我们就要用余弦定理， 那至于是用 cos 一 c 还是 cos 一 b 还是 cos 一 a， 你 就看减谁的平方就用 cos 一 谁，因为这个题目是减 c 方，所以我们就用 cos 一 c， cos 一 c， 它就等于 a 方加 b 方减 c 方除以二 a b， 那么我们把分子这个整体通过提杠的条件带入的话，那么我们就带入之后化点就是二分之根号二，然后的话我们 q 三 e c 就 得到等于二分之根号二， c 是 三角形的内角，在零到派这个范围内，那么 c 就 只能取四分之派啊。第一题我们搞定，这就是使用的这个基本的技巧，见到平方三兄弟，我们就用余弦定里好来看第二个题目。 第二个题目同样是给了三个平方，但是他不在等式的一边，我们首先要整理成标准的平方三兄弟啊，标准的是在等式的一边，而且是两个平方减一个平方，那有些人我移到左边行不行？ 移到左边的话，那这个就等于 b c 了，那这时候我们移到左边，这是我们移到右边，左边的话， 它就出现一个平方减两个平方，这个形式不标准，右边的话，我们把 a 方移到右边的话，就得到 b 方加 c 方减 a 方，把 b c 移到左边，那这个形式就符合标准的平方三兄弟，我们平方三兄弟再给大家强调，首先要在等式的一边， 然后是两个平方减一个平方，这才是标准形式。那有了这一个题，相信大家对平方三兄弟这个模型有了进一步的了解，那这个时候是减的 a 的 平方，所以我们使用 cosine a， 它就等于 b 方加 c 方减 a 方除以二 b c 同样把分子这个整体用 b c 啊整体整体代换的话，我们就得到那么二分之一，即 cosine a， 它就等于二分之一 a 又是三角形的内角，所以我们这个 a 就 很容易搞定，它就是三分之派，也就是六十度。好，这是我们讲的第一个技巧 来看第二个技巧，也就是我们的在有些选择填空题里面的话，我们经常会用到，这也可以说是一个秒杀大招。摄影定理，首先什么叫摄影定理？我们有这样的一个结构形式，摄影定理 这个形式其实非常有几个特征，比如说 c 倍的 cosine a， 加上 a 倍的 cosine c， 它就等于缺失了 b， 那 同样 a 倍的 cosine b， 如果加上 b 倍的 cosine a， 它就等于缺失了 c， 那如果 b 倍的扩散于 c， 加上 c 倍的扩散于 b， 它就等于缺失的 a， 这个结构形式它非常有特征。相信大家如果知道第一个式子，那么第二个，第三个就是类似的结构。类似的结构。好，来我们看题目， 这个题目里面很容易，是不是这里给了一个非常明显的结构？这就是相当于是我们对应的， 对应的我们的一个余弦定里的摄影定数的摄影定的一个结构型，那所以得到二 b q 三 a 右边那就可以等于 b 了， 那就可以马上得到二 q 三 a 就 等于一 q 三 a， 它是等于二分之一的， q 三 a 等于二分之一的话， a 又是大于零小于派的，所以 a 它就等于三分之派。 好，如果是对于选择填空题，那么我们可以用这个摄影地理对于这样的结构来秒杀它。
133雷老师讲数学
04:53查看AI文稿AI文稿距离高考还有二十一天的时间，如何在二十天的时间将高考数学从零到八十分的速成呢？来，接下来脚步跟着主播稳稳拿下基础分，每一个视频呢，都能提升五到十分左右，记得点赞加收藏！如果二零二六年考到椭圆双曲线切点问题，选择题、填空题、解答题，第一题 都有可能出现，它的分值是五到十分左右。遇到这种题目怎么去做呢？来，我们直接用公式，用口诀秒杀。首先第一个口诀法，代换及切线，口诀是什么呢？就是把 x 的 平方换成 x 零 x， 把 y 的 平方换成 y 零， y x 零 y 零分别代表什么？切点坐标。第二种方法呢？公式法，双曲线方程， x 的 平方加 y 的 平方比上 b 的 平方等于一 直线， l 的 切线呢？ y 等于 k， x 加 m， 所以 它的切点坐标 t 呢？会等于负 m 分 子 a 的 平方， km 分 子 b 的 平方。好，我们来看到第一题， 已知椭圆，告诉我们切线方程，告诉我们，让我们去求切点坐标，对不对？我们用第一种方法怎么去做呢？切线方程已经告诉我们了，让我们去求 切点坐标，怎么办呢？直接把这个平方平方换掉，换成什么切点坐标啊？来切点坐标 x 零，我不知道乘以 x 比上一个什么四，对不对？把平方换成这个，然后 y 呢？一样的道理， y 零乘以一个 y 比上一个三等于一， 它会等于这个式子，会等于切线方程，那就是它会等于什么？ x 加二， y 减四等于零， 这个式子连累我们能得到什么呢？切线方程可以写成什么？ x 加二， y 等于四，对不对？好，这里 x， 这里 y， 这里 x， 这里 y 等于四，他这里等于一，那就左边乘一个四会得到什么？ x 零乘以 x， 再加上三分之四， y 零乘以一个 y 等于四，对不对？ 好，它等于四，它也等于四，左边左边一样的相等，所以能解出 x 零等于几等于一， y 零呢？等于二分之三，直接秒了。 来，我们看，用第二种方法让我们去求切点坐标。切点坐标 p 是 不是会等于负？ m 分 子 a 的 平方 k， m 分 子 b 的 平方？好，这个公式我们要知道的是什么呢？是不是 a 的 平方， b 的 平方 k 以及 m？ 来，我们看题目，题目告诉我们什么 a 的 平方等于几？ a 的 平方等于四， b 的 平方等于三， k 会等于什么？把这个切线方成 x 加二， y 减四等于零，换成 y 等于负二分之一， x 加二，那我们能得到什么？ k 等于负二分之一， m 呢？等于二，对不对？直接套公式 来。 p 点坐标会等于什么？负 m 是 几二， a 的 平方是四， k 是 负二分之一，好， y 点坐标 m 是 二， b 的 平方是三，直接 p 会等于几？负二分之四乘负二分之一，那就是一，对不对？二分之三。好，直接秒了。好，我们再来看第二题，已知告诉我们切点对不对？ 已知一个双曲线切线，让我们去求它切线方程。好，口诀法，切线方程，它会等于什么？ x 零乘以 x 比上一个什么九减去 y 零乘 一个 y， 比上十六等于一，就是把这个 x 平方 y 平方直接换掉，对不对？好，切点告诉我们六四对不对？那我是 x 零跟 y 零分别为六四对不对？六乘以一个 x 比上一个九，减去什么？ y 是 四对不对？四乘以一个 y 比上十六等于一。好， 好，这一个式子我们能画出什么？三分之二， x 减去四分之一， y 等于一，那就是八， x 减去三， y 等于十二，这个就是切线方程。 好，我们再来看到第二种公式法，公式法是我们知道什么？一个是双曲线对不对？还有一个切点，让我们去求他的切线方程。切线方程是什么格式啊？是不是 y 等于 k， x 加 m， 然后他的点坐标呢？是什么公式？ p， 他 会等于什么？负 m 分 子 a 平方， km 分 子 b 平方，对不对？那我要已知的是什么？是不是 a 平方， b 平方 k m 好， a 平方等于几？我们知道的是不是等于九？ b 平方呢？它会等于十六，对不对？ 好，来，我们看 k， 我 不知道， m， 我 不知道要把它求出来对不对？好，我们通过这个点坐标，我们知道什么？负 m 分 之 a 平方， k， 它会等于 x 的 点，那就是等于六，对不对？好，我们再去看 这个呢？ m 分 之 b 平方，它会等于什么？四，这里是一个减号啊，我们公式呢，前面有个加，所以这里呢，是一定要去带符号的，这里应该是什么？负 b 的 平方。 好，这个式子我们能解出什么？ m 呢？它会等于负四，通过 m 等于负四，再带到这里面去，我们能得到 k 会等于什么？三分之八啊， 所以呢，再把这个 m k 带到这个切线方程，那就是 y 等于三分之八， x 减去一个四，把它换成一般式，会变成什么呢？是不是八？ x 减去一个三， y 再减十二会等于零啊？跟我们刚刚算的是不是一样？
1.9万小昇讲邪修数学
02:38查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，我是番茄学术，距离高考最后七天，我们怎么去学数学？很多同学不要怕学不会，以前你学不会是以前，现在的话就是你可以直接看我合集就好了，我合集主要是讲的非常的基础，网上你找不到第二个讲的比我细的博主了。然后大家可以看一下这 一些同学学习的效果，然后大家也可以其实在评论区也能看得到，很多同学都学的还不错。好，然后我们直接这样学就好了。 如果你现在零基础的话，你直接去我主页看完两小时速通高考数学，看完之后，如果哪些板块不会的题，一定直接去看十五课学会高中数学对应板块啊，顺序大概是这样子啊，先把最基础的分拿到， 如果你看完之后哪些不懂，你先把这里面的先看完， ok 吗？看完之后再去学。另外这些我已经给大家标出来了，学完这些的话，四十分是打底的。那当然你学完之后肯定不止四十分啊，五十到六十分是可以的，学完这些的话，你大大概是七十分到九十分类。 然后时间安排的话，就是因为大家其实学完两小时的话，很多其实大家都知道了，所以学完这些的话，大概我觉得花个六小时就差不多了。嗯，然后结束之后学这些的话，也再花个六小时，我觉得也差不多了。那学完之后我们的分数肯定是六七十分是打底的。 就还有一些其他的同学，如果你现在就是十五课看不赢的话，你也可以按照这个思路去，就是两小时速通高考，看完之后再去看十五课就好了，好吧？然后练习的话，我们就十五课里面，因为每一个 每一个时候我都会说做哪些哪些练习，那我们现在就不用做练习练习了，我们直接拿到就是我主页还有个合集叫做高考冲刺，那里面是讲题目的内里面的练习，大家直接做内里面的练习就好了，内里面的练习都是我精挑细选啊，近几年高考考过的那些就是这些板块所有的， 嗯，都有。如果这里面这些高考冲刺里面没有对应板块的话，那我们那些题我们就不要做了，可以吗？然后除了这些练习的话，我们还再做一下近两年高考卷啊，这些结束之后，我觉得六七十分是非常非常非常稳的， ok 吗？ 然然后另外一些同学如果要求高一点，他想考个及格之类的，那也可以去就是那个番外里面看。就是还有一个十五科番外系列吗？把那里面的学好的话啊，九十分到一百一十分之间是没有太大问题的， 那我们剩下最后七天的话，花十二个小时把这六七十分拿到，我觉得是稳稳的， ok 吗？所以大家赶紧行动起来吧， 这真的是最后的规划了，如果，如果你们等到高考前一天，我们我只能推荐你看两小时初中高考数学了，现在的话我们还可以干嘛呀？还可以去十五课，不会的多学一点点好吗？那祝大家学习顺利吧，我们下期视频见。加油加油，拜拜。
6476番茄学数
