清北学生做高考数学压轴题
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06:16查看AI文稿AI文稿咱甭说北京的学生，正常的高中生这道题第三万应该都做不出来，包括那些数学一百四十多分的。这个题我给你翻译一下啊，我保证这家长都能看得懂。这道题当中这是一个 mn 矩阵，它这个地方说的这两句话是它的一个关键，什么意思呢？你不要看这个地方被这个角标给带反，他就说这个数呢？任何一个数， 他等于等于一，他小于等于 m， 一 和 m， 这就是列数。 i 减屁是谁？ i 是 这个屁是这个，说他俩的 距离，或者说他俩的这个行间隔有多少个？比如说我现在在这有这么三个，比如说这是第三行，这第一行，那三减一是几啊？是不是二啊？这个数是不是就二啊？ 如果三减一的话，那同理这是列数，列减列，列减列的话，比如说四减一是几啊？是不是三啊？这是第四列，这第一列对不对？这是第三行，这是第一行，对不对？所以这三减一等于二，这是四减一等于三，三减二等于几啊？因为他俩又要再做减法，三减一等于二等于几啊？是 不等于二，对不对？所以他要满足等于二等于二等于二的话，那就得是第一列，第四列，第一行，第二行，第二行。二减一是几啊？是不是一啊？ 四减一是几啊？是不是三啊？三减一是几啊？是不是二啊？是不是就满足了？所以就翻译成语言了，明白了吗？所以我们的这些矩阵题基本都要先翻译成人话，那么这一句话是什么意思啊？ i j i q p j p q， 就 你找到这组数 i j， 你 比如说我们满足了第一、第四、第一、第二，对吧？你就挨个往里边带，你就会发现这个数，这个数，这个数，这个数，这个数就叫对角，对角，现在这四个数加起来等于零，这句话的意思就是它 现在明白了吗？这个题考的就是问这个矩阵是不是具有这个性质啊？那你就现在来看它具不具有啊？那这四个数加起来是不是零啊？很显然不是啊，所以不是零，那这个数它是不是满足这个矩阵性质啊？这四个数加起来是零吗？是零，这四个数加起来是零吗？ 是不是也是零啊？所以这个是不是就满足啊？是因为他这个时候矩阵比较简单，对不对？所以他在这个地方会存在这个性质。那他说五乘四的这个矩阵当中一个的个数，这是极值问题，有多少？那五乘四这个矩阵里头，那我们就尝试来填一下，这是我当时最早的作题痕迹。一二三四五，一二三四，那五乘四里头有多少种填法呢？这是一个吧？这是两个吧？ 三个吧，四个吧，对不对？同理，这是不也可以啊？这是不也可以啊？这是不也可以啊？你会发现他是不是出现了一个排列组合这个性质啊？就有很多了，很多画框的方式，对不对？但是你会发现你不管怎么框，不管怎么框，你发现中间这个地方他都框不进来这两个数，对不对？你比如说我框这个，他的对角线是这四个，就是他的四个角是这四个，你框这四个就这四个呀？ 他这两个都框不进来，所以这两个框不进来这两个数就可以取大数。所以我一开始做的时候，第一遍就是既然是找一的最大个数，我就把它全设成一，全设成一，这是一，这是一，这是负一，那所以这四个数为零，所以这是一，这是一，所以这是负一，这是一，这是一。同时最后这个是一，这个是一，所以这个数就变成了他， 所以最多的正一的个数你就找出来了。你看我在这写的， 它最关键是所有的数值和最后都等于 s 三，因为你这些数加起来必须是零，就除了第三行一、二、四、五这四行加起来都是零，这是证明过程，所以它所有的数值和都小于中间第三行的数，第三行的数最多填四个亿，完事了， 所以最多就十二个一，这是第二个。第三问就很难了。第三问在这个地方，因为它矩阵数变成六了，六乘六了，这是一个内积，你还要证明这个数它等于零。上来先翻一下这个值，因为他要么取正一，要么他取负一，那么也就是说第 a 行任意一个这列的数都等于是第一行这列的个数。 这句话翻译成人话的意思，就他证明这个语言就是你找到的这个矩阵，第一行只要出来了，剩下的每一行 当然列也是如此，每一行都是他的相同的行或者是相反的行，就这个数，要么都是他，要么就加了个负一，成了个负一，这就是这句话的人话。都理解这个题了吧？他最大的数就是一，就这俩数，明白了吗？所以理解这道题，我们在这个地方我用的是一，就这俩数，明白了吗？所以理解这道题，我们在这个地方我用的是硬解了他这个方法，硬解了这道题没有什么难度啊， 就是从我们应解这个思路上来看，他的思维是比较简单，那你就实在思考不出来，那你要照这么讲，那任何一道数列题，对吧？戈德巴赫猜想，任何一个大于六的偶数都可以分解成两个素数的和，是不是所有人都可以理解啊？二十三。任何一个大于六的偶数二十四可以分解为两个素数的和。十一十三是不都会啊？ 但是他由于是无穷无尽的，是不你就没有办法把它给枚举出来啊。但是由于他这道题是一个六乘六，我就用最笨的方法把它给分列为两个素数和，那我是不是要一气把它试下来啊？ 试到一千万一个亿能行吗？所以我们得需要先去找他的上界，或者是找他的下界在多少数来成数数不就是这么一个一个特点吗？先找他的上界。 所以这题并不代表着说我会做这道题我就可以能够去，是吧？给你们讲高中数学什么乱七八糟的，高中数学那些东西 就又回归到了计算本质了。当然了，这道题最后做下来也是计算，我就用了计算的方法，用计算最简单，不用动脑子。你要想用更宏观的方法来做，那你得需要用一门语言，用分析代数 来解决分析数学或者分析述论。就数学专业的研究生课程，数学专业的研究生课程有这么几个大方向，比如说解偏离分方程啊，搞这个解析述论啊，还有搞代数啊， 就这么几个大方向，包括什么密码学啊，像这道题就是编码的，所以这道题从知识上来讲，这道题是应该没有任何的超纲，但是从思维上来讲，让大家就是语言上来看，就是完全蒙，不知道他在说什么， 那么从思维上来讲，是已经完全超出了我们高中生所能够理解的数学的范畴。那么从出题的这个样式来看，我认为啊，第三问是一道标准的数学研究生考试题，数学专业的，就你比如说我想考北大的数学系，这是他的一个研究生考试题的难度， 他比期末考试题的难度要高。当然这道题如果说我们这是六乘六序阵，如果换成了比如说七乘七序阵的话，那么还会存在更多的一些其他性质的话，那这个时候就得需要去标准来证明了，就不可能再用我这个方法，因为七乘七序阵我们可以大概估一下得五十多个方程， 不可能手算的了。不知道这道题为什么要这么出，在高考里边正经出了一道大学题，但是这个大学知识初中生都可以学的会，除了结构是大学的数都是初中的，语言是初中和高中都能理解的，就这么个东西，你说这道题他出到现在，你喷他超纲吧，他也完全有理由站得住，但是你说这个地方他的思维呢？那就完全超出了。 咱甭说北京的学生，正常的高中生这道题第三万应该都做不出来，包括那些数学一百四十多分的，全国各地都是如此，除了学数净的，就像今年咱们全国一卷也是，今年是不大家整体得降二十分啊，平时考个一百二的，这次也就考一百了吧。今年全国一卷。这个亚洲题我也做了，也是做了三个小时。这两道题称为最近十年最难的亚洲题，也不夸张，全都是大学语言大学东西。 所以这也就是为什么我能做，因为我虽然毕业这么多年，这七八年来一直潜心研究四大历学。四大历学可不是光，四大历学背后有很多东西，数学物理方法，偏微分数学分析，像你们说的先行代数矩阵，这都得要去学习。所以还是听听你王叔的高数徒步先修班吧啊。
116王羽理论物理
00:37查看AI文稿AI文稿我能不能呼吁一下高中数学最后一道压轴题可以难，可以注重思维，但是不能是全计算呢？我认为全计算的压轴题没有任何意义。今天算数学题把我算崩了。 第一道题算的是二一年的天津十八题，在半个小时之内我算上来了，虽然计算量非常非常大，我用 a 四只用了两页，但是还好算上来了。然后我通过答案，通过网上的一些视频去查，每一种方法计算量都非常大，说实话，我感觉不到他的意义所在。 第二道题我就做的非常生气。第二题我做的是北京二六年十九题，这道题我做了整整一个小时，计算量太大了，而且我认为这个计算量是完全没有意义的。我的思路是完全对的，但是手是达不到这个计算量的，这是标准。难，太难，给我气坏了。
1842重新高考，目标700分
02:30查看AI文稿AI文稿今天讲一道二零二六北京高考数学单选压轴题，讲这是三，嗯，这二分之五，嗯， 这是四，嗯，那他要求这个范围，这个讲完，那肯定把它放到三角形里面啊。嗯，连这个，那我这个三，这是 a 三角形 a、 d、 c 里面的话，这个 a、 c 肯定是大于等于二，小于等于四，两边说大于大于大于，这样子吗？对吧？对，那，那，那我 a、 c 的 话，那他我 这个三角形里面用过余弦定律吗？ a、 c 方等于在这里 ab 方加上 b、 c 方，嗯，减二 ab， bc 勾上角 abc， 那 你看，我这里就推出来， a、 c 方是大于四小于十六，然后这一串东西 a 是 大于四小于十六吗？他都给了你啊，这是十六。 b、 c 是 二分之五，就四分之二十五减了两倍了。 b， b 是 乘四乘 b， c 是 乘二分之五，再乘 cosine 角 abc 小于十六，大不对，然后这个是乘过来，这是二十，十六是四分之六十四，四分之八十九减，这是二十吗？是不是就是二十，二十就是四分之这样子。来吧， 二十乘 q 三角 a、 b、 c 嘛。嗯，大于四小于十六，解个不等式不就出来了吗？解二十倍的 q， 三加一大于四嘛，移过来就二十倍的 q， 三加 a、 b、 c， 这小于，这是四分之十六嘛？四分之八十九减四分之十六，这是四分之多少来着？七七七十三，对吧？八十了， 那再再乘过去吗？那就是括号加 a、 b、 c， 一个是小于，这样子吗？是一个，另外一边，另外一个就是四分之八十九减二十倍的括号 a、 b、 c， 这小于十六吗？你再移过来，二十倍的括号加 a、 b、 c 是 大于，是四分之六十四，四分之二十五，再乘过来就是乘个二十五。怎么八十分之二十五就可以约分啊？十六分、十六分之五吗？嗯。 哎，刚刚你是不是看到我跟你是不是想到刚刚讲的那个讲了哪个两边之差？那个这个大于两边之差，小于两边之和，这个不就是，这就不就这样写的吗？
10:54查看AI文稿AI文稿今年高考，嗯，导数就跑了个龙套，那么根据考点守恒呢，明年二七年的高考，导数一定是重中之重，分值呢，往死里增加，难度呢？往死里拉，把你们呢，往死里整！这不是我危言耸听，而是高考命题组一贯尿性。那从现在开始呢，如果导数还是不扎实，一塌糊涂的，等到明年高考完了，不要在我视频评论区偷偷哭， 因为已经给过你们一次导数满分的机会了。来了，宝宝们，其实呢，导数横层面的问题中啊，也就这么四大类的方法，其中呢，使用范围最为广泛，操作最为丝滑便捷，计算量最简单的就是这个餐便饭礼，很多人呢，都听过他的大名，但是真正精通融会贯通的高手呢，却不多。今天呢，我会带着你们由浅入深， 通过三道我珍藏的高考模拟的压轴题，来彻底掌握这门屠龙神技。我们先来看这道山东压轴题，已知呢，横竖 f x， 它等于 a 零 x 加上 x 平方，若存在 x 数一到一，使得 f x 小 于等于 a 加二倍的 x， 成立求这个时数 a 的 取值范围。 遇到求参数取值范围的问题，首先考虑参变分离，既然呢，要参变分离，就是指的是把 a 和 x 分 开，所以呢，我们把所有含 a 的 挪到这个不等式的左边来，把所有不含 a 的 只含 x 的 呢，挪到不等式的右边去，左边呢，提取出公因式 a， 得到 a 倍的括号， x 减零 x 大 于等于我们的 x 平方，减掉二 x。 这边呢，有一些无脑的同学就想着我直接把这个 x 减零 x 除到右边去了。当然呢，你比较侥幸，这边运气比较好是没问题的，但主播这边一定要提醒你们一下，就是但凡要除过去啊，你一定要考虑它是正的负的或者是零，如果正符号不一样，这个不等式是不是要变号？如果是零的话，根本除不了，没有意义。 所以我们第一步啊，按照规范来，应该先要判断一下 x 减龙眼 x 的 正负号的。判断正负呢，有两种办法，如果你是个笨宝宝的话呢，你可以基础反直接去求导，对吧，导数判断这个函数的正负性。但如果你是个聪明宝宝的话呢，来跟着主播操作，你千万不要忘记呢，数形结合贯通了我们高中的三年，直接呢把这个 x 的 图像和龙眼 x 的 图像在图上画出， 你会发现 x 减零 x， 那 因为 x 的 图像永远在零 x 的 上方，所以说这个差值它永远是正的。大于零啊，那没毛病吧，大于零我就直接把它除过去了。好，最后我们得到了残减分的结果， a 大 于等于 x， 平方减二 x 除以 x 减零 x。 下一步呢，我们就要关注到底是一个横乘利问题呢，还是个存在性问题了。这道题目里面他说的是只要存在一个 x 属于一到一，使得这个不能是成立就好。 那么就说明在右边的这一大堆的函数的取值范围里面啊， a 只要比其中的某一个大就行了，那是不是只要比最小的那个大就 ok 了呢？所以我们最后把它变成了大于等右边这一个函数的 mean， 其实就是求右边这整个函数的最小值是多少，把它求出来，那么 a 的 范围呢？只要比这个最小值大于等于就可以了。 那么求右边这一坨乱七八糟函数的最小值，常规方法肯定不行了，来对它进行求导数了，来对它进行求导分母的平方 分子，求导成分母减分母，求导成分子得到了这样的一坨。这边呢，笨宝宝们又开始瞎操作了，因为他也知道我们求完导之后要去判断整个导数的正负型，那这边呢，他又不知道该怎么办，然后他就把括号拆开来去进行运算了。但是你们一定不要去乱划减，一定要铭记求导的根本目的是什么？根本目的是为了判断这个导函数的一个正负号啊， 我们只要搞清楚导函数什么时候正，什么时候负，什么时候取零，那原函数的增减性和极大极小值不就搞定了吗？我们这道题不就是要求的这个最小值吗？所以说，我们要搞清楚这个导函数它的正负号啊。那搞清楚正负号什么样的状态是最容易判断的呢？是乘积的形式，是一个括号乘一个括号乘一个括号，这样子的话，单独每个括号里面正负正负，我们是不是整个函数的正负性就判断出来了？ 所以说第一步并不是拆括号下化简，而是看能不能提取公因子。这边呢，我们以惊人的注意力发现，右边这个 一减掉 x 分 之一，可以先进行个通分，变成 x 分 之 x 减一。然后呢，左边呢，我们提取出一个常数二，发现也有这个 x 减一，那么只要把这个 x 减一一提上面整个分子是不就直接变成了一个乘积的形式呀？况且到最后呢，变成了这个 x 减一，乘以 x 减二，被啰音 x 减二，那分母本身也是一个乘积的形式，而且还是平方，说明分母肯定大于等于零。我们只要看分子这两个括号啥时候正，啥时候负，那不就完事了吗？ 而且呢， x 的 范围它还是一到一，那么这个 s 减一啊，它肯定大于等于零啊。所以说，我们只需要判断右边这个括号， x 减掉二倍龙 x 加二，它的正负性就行了，它好判断吗？非常的好判断。为什么呢？因为我们先看右边这两个东西的组合体，就这个负二龙引 x 再加二， 它呢一定是正的，为什么呢？因为呢，这个二减掉二倍零二 x 啊，它应该是一个单调递减的函数，那么它最小的时候呢？是当我们 x 取最大，也就是说题目里面限制的取 e 的 时候，它取到最小，它最小的时候应该是二，减掉二倍的零二，零 e， 零二刚好是一，所以说它的最小值都是零， 也就说这整个组合体啊，它一定是大于等于零的，然后你再加上一个 x， 那 x 本身呢，是一到一，那所以说我们这三个东西的组合体啊，它一定是正的，那么这个符号是不是也判断出来了？现在我们发现啊，分子、分母全部都是大于等于零的这三个东西，那乘起来，它一定也大于等于零。 导函数如果恒大于零，说明什么？原函数单调递增啊，所以说我们原先的这个函数呢，它的最小值应当就是自变量取最小的时候，也就是 x 取一的时候取到的，我们把 x 等一往里带，得到了 a 应该大于等于 h 一， 最后呢，等于一分之一减二等于负一，所以 a 的 范围就是 中括号，负一到正无穷。全国数学看浙江，浙江数学看温州，今年七百二十万考生中唯一的数学一百五十分满分的奇迹。许可同学就是我们温州人。来看这道题目，给你的一个函数呢，在负一到一上单调递增，求出 m 的 最大值。 看似呢，没有恒成立这三个字眼，并不像前面题目问的那么简单暴力，但是归根到底，他还是一个函数恒成立的问题。不管是数学和物理中啊，都蕴藏着一种出题的套路和方法，就叫做条件深挖。 很多时候，低手跟高手之间的区别并不在于对某个原理的理解。其实呢，横层面问题大家都会，但是很多时候低手他无法做到的就是发掘出隐含条件，将这些包装过的问题呢，转化为最简单的横层面问题。这边呢，我们给一个小贴士，有关于函数单调性的四大条件翻译。 如果直接给你的就是在某个区间上 f x 一 撇大于零或者小于零，那很简单，傻子都知道是不是就告诉你函数的单调递增或者单调递减。那如果像这道题样，给的是函数在某个区间上单调递增，你怎么翻译呢？ 不要傻傻的写成 f x 的 导数大于零，应该要写成大于等于零。我举个简单的例子，如果是 f x 等于 x 的 三次方呢，那么它在零零处的导数就是零，但这并不妨碍它在 r 上是一个单调递增的函数，同理，如果函数单调递减，你应该写成 f x 一 撇小于等于零。 ok， 我 们来看这道题目， 直接进行一个条件翻译，对它求导之后呢，令这个导函数大于等于零横乘立，然后呢，将 m 和 x 分 开，分开的过程中呢，一定要小心谨慎，再谨慎观察一下这个要乘过去的 x 加二它的正负号。这道题呢，非常的幸运，在 x 属于负一到一的区间内， x 加二是大于零横乘立的，所以最终直接把它乘过去不变号，得到了我们 mx 分 开的结果。 m 呢，应该小于等于 x 加二，乘以 e 的 x 次方，这是一个横乘立问题啊，所以说呢， m 应该小于等于右边这一坨函数的最小值，那么就永远的横乘立了。 求这个函数最小值怎么办？对它进行求导，求导完之后呢，提取公式，最后发现在 x 属于负一到一的范围内呢，一的 x 乘以 x 加三这个导函数，它永远都大于等于零，所以原函数呢，单调递增，那么最小值呢？把 x 等于负一这个端点带进去就行了。最后算出来的答案， m 的 最大值应该是 一分之一。那我们刚才这两道题呢，总体来说是比较简单的，简单的核心原因在于不用分类讨论呢，分开了直接求个函数值域就行了，那他的这个思维量上面就小了很多，我们刚才除过去的这一坨，以及乘过去的这一坨，他都是一个正数，正方是定的。 那么难一点的题目呢，它就会在分离的过程中啊，这坨要成或除的东西啊，正负性不确定需要讨论，那这边呢，就是涉及到了编号啊，以及各种各样讨论的问题了。我们来看这道题目给了你一个 f x， 而函数再给了你一个 g x， 现在呢，要求这个 x 大 于等于负二的时候啊， f x 小 于等于 k 倍的 g x， 然后呢，求这个 k 的 值值范围。这边呢，它虽然没说横乘立，但是是默认的啊，只要语文及格的同学应该都读得出它的意思，就要保证 x 大 于等于负二的时候，这个式子就是横乘立。好，那我们呢，继续沿用这个参变分离的思想，先把它的表达式一写，在写的过程中，我们想要把 k 和右边的这一坨二一 x 乘以 x 加一，分开的时候，就发现了一个非常难受的事情， 就是你这个 x 加一啊，它在 x 等于负一要大的，那右边这一坨要除到左边去的呢，除过去就是负的了。 这边我们就得分三类情况讨论了。第一种呢，当 x 刚好等于负一的时候，我们就发现呢，原本要解这个不等式，它退化成一个很简单的式子，直接变成了一减四加二小于等于零，那是不是很成立？是很成立的，但是呢，它对我们解 k 的 范围没有任何帮助， 它没有缩小 k 的 范围，所有的 k 呢，在这种情况下都可以好。第二种情况，当这个 s 它属于负一到正无穷的时候，就比负一大的时候呢，那我们除过去要不要变号？不用，变号是正的，所以说最后就得到 k 大 于等于这一坨， 又要求的是横乘立嘛，所以说就大于等于应该它的最大值。然后呢，第三种情况，当这个 x 啊，它属于负二到负一的时候，那么除过去时候是不是负数要变号，那就变成了 k 应该小于等于这一坨， 那又是横乘以的话，就是这头的最小值。有一个好处呢，在于，不管是第二种情况还是第三种情况，虽然最后 k 解出来的范围不一样，但是他研究这个函数的性质是研究的同一个函数，所以呢，我们另一个 g x 呢，它就等于这个 x 平方加四 x， 再加上二除以二倍的 e x 括号 x 加一，我们来研究一下它这个函数的性质。 好，我们对这个 g x 呢进行求导，母平方分子，先求导成分母，减分母后求导成分子。这边呢，是极其庞大的啊，所以我提醒一下，就这一块东西啊， 你不管是学渣还是学霸，都得给我算一下你什么奇迹迎巧啊，这些东西都是增分项，最基础的呢，还是我们的求导一定要练扎实，如果你求导老求错的话，就不要去学那些乱七八糟的恒成立啊，什么断点效应啊，泰勒展开啊，洛比达呀，那些乱七八糟的，先把这个基本功给我练扎实。刚才提醒过呢，我们求导是不是要研究的就是 一个正负号的问题，所以说呢，有公因子题的，我们先把它提出来，这边呢，我们经观察发现啊，求导完之后，你不算错的话，有一个 x 加二是可以提的， 提出来之后呢，这个括号里面又是一通新风学语的运算和消除啊。最后呢，最简洁的表达式就是这一个了，检查下字有没有算对 来母的平方分子呢，应该是负二， x 乘以 x 加二，括号平方乘 e x， 那 很舒服啊，对吧？这三块呢，都是正的，只剩下一个负二， x 能决定我们整个导函数的正负了。那把这个 g x 一 撇的图像画一下，应该是一条从左上往右下贯穿的函数， 我们呢简单点画个草图，那就直线画一条就行了。意思意思，他的零点呢，应该是 x 等于零，也就是说 x 等于零应该是 g x 这个函数的一个 极大值点，在零之前呢，先增零，后呢，他就开始减。做到这里呢，脑子别混，我们一定要严格的按照之前的分类讨论的情况去做，不要呢擅自行动。我们刚才怎么分类的？第一种，当 x 属于负一到正无穷的时候，我们 k 要大于等于这个函数的最大值， 那负一到正无穷，他应该是不是落在了我们的这一段的区间上？这段区间上最大值是多少？是不是应该是这个 x 取零的时候啊？那 x 取零把它带进去呢？最后得到这个 k 应该大于等于一。 第二种情况，当 x 属于负二到负一的这个区间的时候呢，我们 k 应该要小于等于这个函数的最小值。那负二到负一是不在这一段区间上？最小值什么时候取到 x 等于负二的时候带进来得到呢？ k 应该要小于等于一的平方。那最后呢， 综上所述， k 又要大于等于一，又要小于等于一的平方，这两个约束项是不是都得满足？最后解除 k 的 答案，应该属于 b 区间一到一的平方。好，这道题目呢，就是一个残变分离，但是也需要一个必要的正负号的分类讨论，如果呢？把这三个题型呢都总结下来，记到笔记本上，我相信了，残变分离你就无敌了，拜拜。
1370羊小羊学长
15:05查看AI文稿AI文稿今天我问我们的校长一个问题，怎样提升学生的思维能力，他给了我这样的一道题目，他说，你回去做完之后呢，就明白了，好，二零二二年的北京亚洲题目，这个题目真的特别考察的思维， 他是以竖列的形式呢，单独呈现的。我们来看，这道题目至少要读两遍，通过题干呢，我们说读完之后呢，还是有点晦涩难懂的啊。接下来题目呢，给了我们第一问，作为一个铺垫，说判断这个竖列二一四是不是五连续可表数列， 那么五连续可表的数列的意思就是说，此时啊，此时这个 n 的 值呢，他就应该能够取到一二三四五， 那么竖列片段盒呢，也就能够表示一二三四五，那我们来看看是不是能够表示呢？来竖列的片段盒，这里要注意啊，一项也是竖列的一个片段盒啊，一项可能两项可能三项可能，也可能是四项等等等等，但它一定是连续的。所以呢，我们来看这个里面啊， 二一四，显然一作为一个单独的片段盒呢，它是可以的，然后表示一，表示二加在一起呢，二一呢表示三，然后四单独表示好了，五呢，那就是一四 六能不能表示呢就不能了。所以第一问呢，我们就会发现啊，它是一个五的连续可表述列，但不是六的连续可表述列 啊。答案第一问就完成了。第二问，他说这个数列呢，是八的连续可表数列。问一下啊，让你证明 k 的 最小值呢是四，那这个问题我们怎么去证呢啊？那我们就先证 k 小 于等于三的时候呢，它不行，那怎么去研究这个事呢？比如说 k 等于三的时候， k 等于三的时候呢，这个数列呢，它就三项， 就三项了。那数列的变量和呢？最多有几个数字呢啊？可以去依次数一下，比如说啊， a 一， a 二 a 三，单独的 a 一 加 a 二， a 二加 a 三，或者是 a 一 加 a 二加 a 三，那所以呢，最多就六个，六个是肯定不能表示一到八八个数字的啊，所以它是不合提的，那 k 等于三，如此了， k 小 于等于二，显然就不合提了，所以先把这个事情说明白， k 小 于等于三是不成立的。接下来呢，他说让我们证明 k 的 最小值呢是四， 那我们先得证明 k 等于四的时候呢，他能够把这个事情呢完成。也就是说当 k 等于四的时候呢，此时这个数列呢，应该有四项，这四项呢，能够表示一到八里的所有的数字。 好了，那这个问题怎么去给他做呢？这也体现了高考的一个处理思路啊，就是我们需要借助题目中给的这个台阶。 好了，题目中呢，第一个呢， q 呢，是二一四，我们在想二一四加起来最大是七，他想表示的是这个一到八，所以呢，我们想肯定要添一项，那添谁呢？很显然， 那就添个数字一，那你会发现，哎，这四项加起来最大值刚好是八，那它能不能够表示六呢？我们再去仔细看， 一加四，加一能够表示六，所以借助第一问，我们就会发现，二一四一就能够表示一到八里的所有的数字了。至此的话，这个数列呢，我们就找到了。所以第一问，第二问，应该说是浑然天成的给我们做了一个很好的一个铺垫。 第三问，让我们证明呢，这个数列呢啊，是二十连续可表数列的时候呢，他这个 k 呀是大于等于七的啊。那有了第二问的一个思路之后呢，实际上我们的这个想法呢，就是主要证明 k 小 于等于六的时候呢，不成立就可以了。 好，那接下来呢这个事情呢，我们怎么去一次性给他把这个问题说的特别好呢？我们在这里呢应用一个比较专业的术语啊，首先我们把这个 啊前向合给它表示出来， s n， 那 它竖列的片段合怎么去表示呢？就是 s i 减去 s j， 其中呢 i 是 要大于 j 的， 那通过对 i n j 不 同的复值呢？这样的话，竖列的片段合呢，就依次地能够给它表示出来了。这个时候呢，我们由于啊这个 我们可以这个竖列平方和呢是单独的一项啊，尤其我们可以说是第一项，所以呢在这里呢，我们还可以令 s 零得零，它的这个问题的表述主要在于，当 j 得零的时候， i 得一，那么 s 一 减去 s 零刚好能表示第一项，否则的话第一项是不能够单独表示出来的。 ok， 那 通过这样的一个设法呢，我们就可以将这个问题转化为我们的组合数的问题了。比如说当 k 小 于等于五十的时候，那么此时我们对 i j 进行一个赋值， 那么 i j 赋值相当于什么呢？哎，他们是从零到五这六个数字里面呢，去选出两个放到 i 跟 j 的 这样的一个位置啊，好了，那总共有多少个呢？哎，我们说那就是 c 六二， 因为这里要求的是 a 必须大于 j 啊，这样的话，顺序呢，就不用再次去排了，那只需要选出两个就可以了，所以总共呢就是十五个数字，也就是说当 k 小 于等于五的时候呢，它的这个数列的片长和最多是十五个， 那你显然是不能表示一到二十这样的这个连续的数字的。好，那接下来 当 k 等于六时，同样当 k 等于六时，此时呢 c 七二，那就是二十一个数字，所以也就是说当 k 等于六的时候，有二十一个不同的竖列平方和啊，那这样的话呢，它就可以帮助我们去表示一到二十了， 好吧， ok， 那 接下来呢，我们来看，由于啊，题目中啊还给了这样的一个小解，就是 a 一 加 a， k 呢，小于二十。 好，所以呢，我们当 k 等于六的时候呢，我们说那就是 a 一 加 a 六，它就小于二十。 好， a 一 加 a 六小于二十，那它会让我们想到什么呢？就是啊，这个数列 q 是 一定存在负数的， 一定是存在负数的，而且呢，只有一个负数啊，只有一个负数。那么这里首先解释一下，为什么只有一个负数，因为首先 a 一 到 a 六这些数字啊， 我们说如果有两个负数的话，那我们总共才二十一个数字，二十一个有效数字去表示一到二十，那你如果有两个负数的话， 好吧，那我们扣掉之后呢，就剩十九个，十九个是不能够表示一到二十的这样的一个连续这一个数字的啊，所以呢，这个时候他只能有一个负整数，这第一个，第二个， 这个负数只能是 a 一 或者是 a 六，也就是竖列的首项或者是末项。好，为什么去说这个事呢？比如说我们在这里呢，给他简单的证明一下啊， 你比如说假设其中的某一项是小于零的，那好了，那么整个竖列呢，实际上就分成了这样的两部分 啊，前后呢都是正数啊，中间的是这个 ai 呢，是负数。好了，由于我们这个能够表示一到二十吗？我们是二十连续可表数列，所以我们其中必有一个竖列的偏导数呢，是二十，那只能是谁呢？ 这一部分或者是这一部分。好，那这样的话呢，我们不妨啊，就假设他是前面这一部分的话啊，那么此时我们说 那由于整体相加是小于二十的，所以那他应该是加上了一个负数啊，另外一部分应该是一个负数， 所以呢，我们就此时就可以知道了，从 ai 加到 a 六呢，应该是小于零的，同时呢 ai 也小于零，这两个数列的片段盒都小于零，就会导致这样的一个，我们说二十一个有效的数列片段盒呢，其中就会扣出两个是负数的，那么这样的话呢，就不合题了啊， 那么此时呢，哎，我们不妨啊，令这个 a 一 是小于零的好，令这个剩余的是大于零的，我们接下来如何具体的去给这个问题证明出来呢？ 好，首先呢，我们将这些啊，除 a 以外的所有的有效的竖列片段的横呢，全部给它列出来，列出来之后呢，这里呢，利用了这样一个思想啊，就是 由于他们能够表示一到二十，所以他们所有的这个有效数列的这个片段核呢，加起来呢，就应该等于这个 一到二十的这个核也就是两百一啊，那么通过这个呢，我们就能够知道啊，你会发现，这里 a 二到 a 六啊，前面的这个数字呢，全都是偶数， 只有这个 a 一 前面的是个数呢，是基数，所以呢，通过这个核是 b 为偶数的。 那刚才我们又假设我们说首项跟末项啊，其中必有一个是小于零的，我们假设的是这个 a 一 是小于零，对称性，这是不影响的，所以呢，这个 a 一 一定是小于等于负二的，那么也就是说哦，原来剩余的 这几个数字，他们相加应该是等于二十的。好了，接下来就是整个思维逻辑最难的一段，我们如何去敲定啊？这里的 a 一 是多少， a 六是多少？那我们知道啊，这个 剩余的这个竖列的平方和呢，一定是得表示一到二十的。所以你来看，在这里 a 一 加 a 二，它一定是大于等于一的，所以这个 a 二，它就能够知道它是大于等于三的， a 二是大于等于三的。由于 a 二加到 a 六呢，是等于二十，所以 a 三加 a 六呢，它就一定是小于等于十七的。 a 一 是小于等于负二的，然后 a 二加 a 六呢，是二十，所以整体呢，加起来呢，是小于十八的。 所以接下来的最重要的一个问题就是，我们找到谁是十九啊？由于啊，这个 a 一 呢，它是一个小于等于负二的啊，然后呢， a 二加 a 六呢，等于二十， 然后 a 三加 a 六呢，又是小于等于十七的， a 二本身又大于等于三，这样的几个条件呢，你去思索一下，这个十九他只能是谁呢？是 a 二加 a 三加 a 四加 a 五啊，这个是十九。 好了，那确定是十九之后呢，你就能够确定这个 a 六呢，就得几了呢？等于一好， a 六得一好了。所以呢，整个这个问题呢，就变成这样了啊， a 一 a 二， a 三， a 四， a 五， a 六呢，率先算出来等一，其中 a 一 呢，是小于等于负二的， a 二呢，是大于等于三的， 然后 a 二加 a 五呢，它等于十九，然后这小于等于十七。好了，那接下来我们就在找寻十八能是谁呢？通过这个一，然后这个地方 a 五 a 五呢，它显然是不能得一的 啊， a 五是显然不能得一的，所以呢， a 五不得一的话，那么这里呢，就能够推出 a 二加 a 三加 a 四呢，它是不等于十八的。 a 二加 a 三加 a 四不等于十八好了，无论是四项也好，三项也好，你去找一下你比如说 a 三加 a 四加 a 五，行不行啊？我们说 a 三加到 a 六都小于等于十七，所以这里面也不存在，所以最终只能是谁呢？只能是这六项相加的十八， 这六项相加的是十八，所以就推出了这个首项呢，就应该是负二啊，所以通过这个关系呢，我们就知道了，原来这个数列 q 如果在此时的情况下啊，就六项的情况下，它的首项应该是负二，尾项呢，应该是等于一。 好了，再往下我们就开始具体的分析啊，对 a 二到 a 五进行研究，看看在这些情况下，有没有合提议的，依次的给它排除掉。 我们怎么去研究呢？还是从这个相邻项去入手啊？ a 五刚才说了，它不能得一，那它能不能得二呢？你比如说我考虑一下， a 五如果得二的话，此时会发生一个什么样的事呢？就是这个片段梳理盒呢，跟这个梳理片段盒呢，它就相当了， 这个时候就不合提议了，同样的道理，你就能知道， a 三加 a 四加 a 五也均不等于二，而且 a 三 a 四 a 五呢，还均不能得一。 所以在这里呢，就出现了一个问题啊，三四五项均不得一，也不得二，那么到底谁能够表示一到二十里面其中的第二个项呢？也是谁能表示二呢？哪个偏正和能得二呢？ 所以综合来看，只有唯一的一种情况就是负二加 a 二等于二，所以 a 二得几呢？得四。好了，那么 拿到了三项，一个是负二，一个是四，另外是一个一。接下来我们继续去分析啊， a 五刚才说了，得二不行， a 五能不能得三呢？ 这个时候我们一看， a 五得三也不行了，为啥呀？因为 a 二已经得四了， a 五如果得三的话，他跟一的片长和呢，就刚好等于四了，所以 a 五不等于二，不等于一，不等于二，不等于三。 那么接下来我们就得考虑一下，那三应该怎么表示出来呢？三怎么表示出来呢？好了，显然这里经过你的分析啊，你一定是能够得到 a 三 a 四当中必有一个是三 啊，否则其他的所有的片段盒呢，都不满足这个提议，你去思考这个问题是吧？ 好了，那接下来呢，你就去验证一下 a 三等于三的时候，或者是 a 四等于三的时候，哎，不满足题的情况，这里呢，这个地方就相对来说比较简单了，那最后你会发现，无论是哪种情况，均都是不满足题 啊。至此，最后我们说 k 等于六十不满足题。同样的道理，我们说小于等于五十也不满足题，最终只能证明出 k 大 于等于七了。这应该是全网最详细的最严谨的政法和解析 啊，大家如果觉得老师讲的很详细的话啊，给老师一个好评。
125果籽老爸超级会讲数学
26:40查看AI文稿AI文稿每天一道北京卷，北京高考更轻松！ hello， 各位同学，大家下午好，我是你的大卫老师，许久不见，真的是十分甚是想念。那么话不多说，今天大卫老师给大家带来最新的一套题目，来自于北京高考今年的远追曲线，也叫解析几何亚洲体。 这道题目说实话，作为北京高考的三道压轴题的第一道压轴题，我们讲北京卷数学三道压轴题解析几何压轴题、导数压轴题以及创新大题。这道题目应该是作为最简单的压轴题， 如果按照大卫老师体系，你本质上数学是一百加五十，这五十是作为一道二幺幺线的题目，那么作为你逐梦二幺幺来讲，是道必备技能。话不多说，我们先进入主题啊。 这道题目大卫老师想跟大家说的核心一件事就是我们老生常谈一个话题，关于韦达定律，韦达定律到底怎么样能够掌握他的最终级高阶技巧，那我们接进体系啊。首先呢，给大家回顾一下大卫老师体系， 会外学员都清楚，还有线下的一对一，学员都知道，如果谈到圆锥曲线问题，大卫老师的体系是这样的， 我们讲究分题型，题型分为什么？大体分为三类对不对？首先第一类叫什么？叫哎，老学员都知道，叫嫌长面积类问题。第二类问题叫什么？叫向量比例问题，或者叫角度问题。第三类叫什么？第三类叫定点定值问题。 那么这道题目是嫌长面积还是定点定值呢？这个我们最后揭晓啊。一在设点，一在设参数上，也有三个体系，设参数上我们讲有常规的最常见的动直线销源设直线与 悬椎曲线连立，以或者说与椭圆连立。当然抛物线和双曲线也有可能会考哦，因为全国一卷二卷已经设计了，不太不代表北京卷不会跟进。 然后就是单动点消圆，北京卷历史上也经常考，一六年、一八年和抛物线时代经常考过，还有最三种，第三种最具备技巧性的双动点消圆。这个我们在后续题课里详细讲解，我们总之，核心是什么？ 核心是你要充分了解考试的题型套路，让你在分析这道题干时候先多想，目的是少算。 ok， 那 我们进入今天的正题。 首先来说的是这套题目的内容啊，以及我们这道题目怎么样去破题，不是说这道题是破题，是我们说怎么样把这道题目最精细的破解化才是重点。好，我们来看一眼啊，这道题目的暗号究竟是什么是最重要的啊。 首先第一问，很常规，就让你求椭圆方程啊，给一个顶点，给一个离心率，那相当于，哎，二零 a 给你了， e 也给你， e 等于 c， 比 a a 还等于二。这个第一题目砍瓜切菜超级简单，不说了可以吗？啊，这四分你必须稳稳揣到手，而且是经典的四三椭圆， 哎，又是我们经典的啊，多说一句啊，本质上来讲呢，椭圆的 abc 也有一个小三角，这是经典的三四五模型啊， 不多说，不多说，大家懂即可啊，这东西我们简单说啊，继续。然后就是我们说今天的重头戏了。 第二问，第二问，这道题目呢？嗯，有几点很有意思啊，首先啊，他 k 不 等于正负一， k 等于正负一，代表什么呢？代表着直线一定有意义，对不对？你 k 一 旦不等于啊，不是代表着一定不和这条直线是有重合关系，和 y 等于 x 关系，那么你就思考 y 等于 x 有 没有什么额外的用途， 这是其一。其二呢，他给了你 k 啊，大卫老师在在这强调啊，有的同学啊，因为学了大卫老师的系统课，特别爱干一件事啊，做反射直线啊，就是说白了什么呢？比如说啊，我们常见来讲， y 等于 等于 k， x 加 b， 对 吧，这是我们都熟悉的啊，我们习惯晚上叫正射直线，还有种形式呢，叫反射，就是射 x， x 等于 t， y 加加 b 吧，我们不不说的那么完全的一样参数，我们那个结局用这个形式，这个形式，我明确来讲啊， 有的题目如果是给哎，你比如说啊，在横轴上哎，横轴上有固定点，那么有奇效，或者说对于抛物线，对于抛物线在连力上有特别简单的运算作用。 但是如果对于已经给出了斜率 k， 已经给出了斜率 k， 千万不要自己设 t 啊，不要和命局老师对着干， 你应该将命题老师视为你的盟友，而不是仇人啊，你和命题老师关系是合作而不是敌对啊，这是第一件事。其次呢，我们来解读解读这道题的重点条件啊。首先，关于 y 等于 x 对 称， 这是你能不能把这道题目能够破解的核心关键技巧，以及我特别想跟大家说的是什么？圆锥曲线在北京卷最高频的一类话题，就是对称结合，什么？结合弦长面积，或者结合定点定值，那么这道题目最后给大家揭晓，绝对不是结合的弦长面积，是结合定点定值问题， 它是以弦长面积为表层缩影的，是定点定值问题真正的实质。哎，也就说我们讲内外合一来讲，内部还是定点定值问题，所以是北京卷的最经典，而且求 k 又是一道经典题目，求值问题，好，我们来继续。 那么首先大家看一下这个图啊，重点分析这个条件啊，如果，那么，那么如果 a b q 减 a c q 的 面积绝对值等于八分之五。观察图形图不不跟大家多说啊，图画图是大家必备技能啊， 常规来讲，你可以练练大象尺啊，当然考试还是要画图技能的。 a b q 减去 a c q 减等于八分之五， 我们打简单连根线啊，你会发现啊，好遥远对不对？ abq 和 acq 又隔了十万八千里，那么遥远怎么办？遥远 既然分开了，我们就把它合起来，什么就这样，本质上是天下大事，分九币和合九币，所以我们就给它合起来怎么合？利用对称点对不对？我们有一个天然的是叫什么？关于 y 等于 x 对 称， y 等于 x 对 称更像什么？更像我们常规来讲的坐标系对称， 那么坐标系对称作为四大对称里边最特殊的一个，你一定要记好他作为什么。作为大老师刚刚答一个学员来讲，你千万不要把你的面积和 你的你的点坐标在对称，是不是弄反了？也就是说，如果你选择把 c 对 称过来，如果我们设 bc 和椭圆来交点， b 为 x y 一， c 为 x， y x 二 y， 那 么 d 一定是 y 二 x 二。换句话说，对称后的点坐标 y 与 x 要交换位置， 那么为了防止你 c 弄错和图画起来不好看，答案，老师在这里选择将 b 关于 y 等于 x 对 称，对称得到点 d， 要注意的是什么？ d 一定不在椭圆上，如果在椭圆上，那么代表着椭圆就和圆一样了。所以这件事不可能啊， 我们一定是会在落在一个大概不在轴上，也不在那一个点。但是这不重要，重要的是什么？重要的是你要把 d 对 称过来。哎，我们继续看，换个颜色给哪位老师跟你说清楚。哎，这是 b 点，这是 d 点，这个时候变成了什么呢？变成了 a a b q a d q 减去 a c q， 哎，我们都转到同侧，转到同侧就很舒服了。因为什么呢？因为这是我们经典的 同底来看啊，看，跟着老大卫老师的笔来，这是经典的同底哎，等高哎，等高哎，以 a q 为底，等高面等高。问题等高的三角形。那么我们做什么呢？做减法， 将 a b q 哎减去 a c q， 自然得到。什么？就是 a d q 减去 a c q， 那 么自然你得到的代求面积就是大卫老师阴影图的，你只需要表示 a c q 的 阴影面积就足够了。 那么好在观察 a c q， 这个时候 c 点坐标能不能得到？我们假设它是 x 二 y 二， b 点是 x 一 y 一 嘛，那么 d 点坐标是不是也已知？对，你要注意啊， d 点坐标是 y 一 啊， 很多大卫老师学员都在这里翻车了啊，当然是高二的学员是 y 一 x 一， a 点坐标已知。一。一不多说，这个时候就来了 大卫老师另一个体系啊，我们讲面积问题，最重要的是什么？是通过哪个公式来表述，来表示他？高中来讲，高中阶段，哎，我们希望大卫老师，大卫老师希望你掌握面积，掌握四个公式， 首先是初中一以贯之，由平行四边形面积推导而来的二分之一底乘高，哎，这个都会，对吧？这是方法一，方法二是什么？方法二是我们最经典的由三角形正弦函数导出了什么？二分之一 a b 三 c， 这个公式大家千万不要紧在解三角形那到第十七题，想到这个公式，这道公式对于破解有一些向量、比例以及角度问题是很常用的， 因为赛 c 很 有可能会约掉，那么你得到是什么？得到的仍然是定点定值问题，能懂我说的吗？经过了约分化简之后，这个公式也会有奇效，所以不要忘记它好吗？ 第三个方法是什么？第三个方法是更精简的一类，叫割补法，也叫什么？也叫千锤宽乘水平高啊。这道题目呢，因为不典型大学老师把这方法铺垫在这。这是第三种方法开始就已经进入到很高阶，很有技巧性的思维了 啊，是思维高能量的方法，但是很重要，必须要会，想冲二幺二学员，大家必须要会。这是第三种方法。还有第四种方法啊，就是今天大老师给你们带来的二级结论，而且这个二级结论大家千万不要用思路啊，就是说二级结论我就不学，二级结论就是超纲。那么我说不对， 有一句话叫万丈高楼平地起，你有没有想过，所有东西本质上也是基础，所有基础知识的排列组合，你如果带着这种有色眼镜去看，那么你将会错失很多巩固你基础知识的好机会。而且再者说，这个 第四个方法本质上也是教材上的方法，不信大卫老师带你看啊，我们来看人教版教材。呃，大卫老师都不找最新的啊，二零二六的更好，二零二四也行， 带你看一下人教 b 版高中数学必修第三册，在讲这个关于向量点乘又叫内积的时候提到一个公式，来，我们跟随教材啊，这还是一九版的啊，数学必修三啊，人教版，人教 b 版啊， 人教 b 版有什么好处呢？他的练习题很质量非常高，大概是九十页。哎，对啊，我们待会来说向量数三角形面积关系啊，来，我们继续看大卫老师的讲义。来， 第一步啊，第一问说完之后啊，然后呢？来，我们有一个关键叫对称变换，哎，根据 y 等 x 变换，然后呢？哎，哎，这个贡献贡献不用多说啊，哎，这个时候的面积呢，化为同侧就简单了。重要的是什么？重要的是面积，你怎么表示？哎，如果这个时候回到这个图， 你选择什么呢？你选择最基础版本啊，大哥，老师，我选择第一种方法，哎，我觉得很简单，第一种方法已经很简单了啊，那就是什么呢？你选择了千锤宽乘水平高啊，不是，你选择了底层高，对吧？底层高当然可以， 那么你固然选择什么呢？你固然是选择，哎，以，这个时候已经化简成 a、 c、 d 了，那么你自然的自然而然选择，哎，以 a b， 呃，以 a d 为底对吧？以 a d 为底和点 d 或者说点 c， 哎，都一样到直线 a， 呃， a q 吧， a q 的。 呃，距离啊，点到距离公式，而且不难给它化成一般式，对吧？ x 减 y 等于零，然后呢？你带点啊， x 二 y 二，哎，去套入 d 的 公式啊，带入这个直线也除以这个根号下 a 方加 b 方也不难。确实是不难，但是不够好。 为什么不够好？我问你，孩子们麻不麻烦，有没有可能出错？有没有可能出错，就是我们说大卫老师的体系在于什么？在于你要算很多题，做重要题，写少数题什么意思？ 有些题目需要你精确的计算好，那么你就写一写，有些题目只要看一看，在脑中过一过思维流程的时候你就看就可以。 还有一些题目是什么，是需要你落在板书上，哎，你偏要去防止过程性，哎，你比如说啊，你看了很多题哎，了解这个题型套路，你是带着什么？你不是带着一根笔在进行刷题，你是拿着一个刷子在刷题，这叫刷题。 看很多题，了解这些题型的普遍套路，哎，做重要题，重要题目，在脑中积累一遍流程套路以及模板就可以了。写少数题去积累格式， 那么这些东西是你要写少数题的，你积累一下格式，你确保，哎，公式别背错套路的时候呢？不紧张，在考场上有这种稳定状态就可以写和算，我们不要这么算啊，写是写，算是算，这样你才能节约时间去思考创新大题以及导数压轴题 来继续。那么这道题真正应该怎么算？包括外观的。大卫老师，来啊，直接用什么？直接用我们的面积二级结论， 有的同学学的二一结论和额外背景知识也多了，大家会知道这个东西叫什么呢？这个东西叫向量外积啊，有个差乘的几何意义？ 我们知道差乘表示的是平行面积，但其实这个就是这样，书上呢，没有过多去赘述啊，感兴趣的同学呢，可以私信大伟老师或者去阅读教材啊。 书上是明确在最后给了这个公式的，当然是拓展阅读，也就是说你需要证明，但是你不用管，你在考场上你也不用去证，因为你也证不明白，万一你再证错了，而且更何况这道题是 a c d， 是不是是非坐标？原点的形式下，你要进行等效平移，是 a 为原点，求 o a 向量 o b 向量再进行外积啊，你就要求 ac 向量， ad 向量再进行外积，你别求啊，我怕你求错了，求求你不要求，因为我怕你求错了好吗？啊，就像大伟老师给学员打一点，我真的求求你啊，你不要求 啊，因为我真的怕你求错了好不好啊，这是一件事情啊。然后呢，我们接着说，回来再看这个表示，你会表示成什么呢？哎，你只要 b 点关于 d 点 d 的 新坐标，不写错不写错。然后呢，把这个东西按照公式表示出来，你根据大卫老师的体系，你就能得到这个表达式， 这个表达式就是我开头说的东西，你要不要拆？大卫老师经典一个问题就是要不要拆？很多学员说，哎，拆呀， 为什么不拆呢？大卫老师，我都看见曙光了，这个时候，哎，我多重多一拆开，哎， x 一 x 二 出现了， x 一 加 x 二，哎，提一个复号也出现了最后一个加一个长处，我直接代用什么呢？哎，我香香的伟大定律。这个我太熟悉了，我从高二就开始啊，天天练的就是这个直线与椭圆连立，然后呢，呱呱呱呱呱呱呱。伟大定律判别式，哎，八分，我就这么拿的。 我说可以，但是呢，如果你的眼界只局限于此呢，那你可能这辈子就是八分十分了，你注定拿不到这个十四分。我们回顾一下啊，我们为什么要设伟大定律？这是这节课的重点啊。为什么要伟大定律？ 为什么？是因为什么？是因为我们想设而不求。哎，我们将 x 一 x 二作为整体出现，我们不是为了求某个根，而是为了让它的固定结构，换句话说是整体。我们的观点叫整体，叫能整体就不独立，能独立 的时候呢，也不是道题啊，叫宁，呃，不叫，叫那个啊宁拆十座庙是吧？嗯，这东西你可以拆，也不破。什么不破？好结构对不对？ 这个好结构是非常好的结构，这是明显的什么？这是明显的定值问题啊。这个是定值问题，咱你可能没看出来啊，大卫老师接着跟你说，你就明白了啊，换到这里其实已经很明朗了， 定值问题是什么啊？是如果说你能够想到一件事，来啊，看大卫老师的 ppt， 你 去把把这个点一，你给它带到椭圆上啊。我们在现行回归角度来讲呢，叫残差，会有一定会有残差。什么叫残差？就是我们一定听的一件事，你判断这个点在不在椭圆上，哎，你可以去代入，如果代入的值大于就在椭圆外，小于在椭圆内， 那么你小于你已知一一点在椭圆内，那么他一定会有残差。什么叫残差？就是残差，他一定会有一固定的点，使得这个直线绕椭圆去旋转， 这个是放射变换的东西，我不去细讲了啊，但是你知道你如果什么呢？哎，重点来了啊，听好，孩子们听好啊，这节课的重头戏来了啊，让你们不白听这么久。重头戏来了啊，是什么？是如果说 你把这个椭圆和直线连立，椭圆和直线连立来回到这一节啊，椭圆和直线连立，你能够得到这个式子，对不对？就是把 y 等于 k， x 一 k 括号 x 减一加一一点设斜截式带入到椭圆，一般是整理成这个样， 你给它设成一个，你给它记为一个关于 x 的 单值函数是 k 为常数， x 一 x 二是两个根。把 x 一 带入， 这个时候你会得到什么？哎，你会发现四 k 方和八 k 方再加上后面四 k 就 约掉了，同时八 k 和这的八 k 也约掉了，这正八 k， 这是负八 k 也约掉了，你会得到一个定值为负五，而这个负五， 你用负的 a 分 之这个 f k 一 的值，这个东西就搞定了， 根本不用什么 x 一 乘 x 二加 x 一 x 二那种东西，不用，不信你们可以去验证，而且这是一个普遍结论，大卫老师最后会升华啊，为什么是这个东西？我解释过了啊，不多说，所以继续走。那么到这咱们化简 完整版怎么化简？直接把这个二级结论套进来，二分之一乘它的什么等于负的四 k 方加三，这是二次项系数，就是它，哎，就跟负的 a 分 之 b 一 样。这个还是伟大定律雏形，但是分子极其简单，你给他带进来，得到什么？ 直接会得到。哎，二分之五倍的一减 k 方，因为绝对值嘛。四 k 方加三等于八分之五，五和五还约掉，这再约掉，再约出一个四再通分。哎，我用用用，用直线啊， 用曲线在通分。哎，你再化简，就这么个表达式，就这个表达式，你就 k 方， k 方大于一，对不对？如果 k 方大于一的时候是矛盾，所以 k 方一定小于一，你去拆绝对值，不用加符号化简， k 方得八分之一，解得 k 等于正负四分之二，完事。 所以孩子们，复盘一下，这节课你不白来。大家，老师想跟你说的是什么啊？首先，哎，第一问特别简单啊，得到 a 等于二， e， c 也出来了， b 方就出来了，对吧？这个东西小三角啊，就是一个物理定律的问题，不多说啊。 然后，最重要是什么？千万别犯错， y 等于 x， b 对 称过来时候， d 是 什么？ d 是 y e x， 一， 别输，别在小错误上翻车。然后把面积进行一个贡献，同底等高的转化，转化成 a c d， a， c， d 用二级结论，用向量外基的形式表示成这样啊。这个东西很简单详细，大学老师给你一讲，或者你看书就会，重点是什么，不白来的是什么？ 是，对于这个结构，你要想明白，伟达定律的核心是适而不求，能整体，绝不隔离。我们说没有办法了，拆我们也不怕，但能不拆，绝对不拆，更何况这是什么定点对称好结构，是大瑞老师常提的定点定制问题的最经典 定参数对称叫对称表达定律，还不是非对称表达定律。那么你直接怎么样？你直接根据直线与椭圆连力的这个二次多项式，关于 x 单值函数，你把一代入就能得到五负五， 底下是二次项系数，对不对？那么这个东西就自然等于什么？就自然等于负的分之这个值来复盘一下啊，然后就得到了这个表达式，表达式和等于八分之五连力就解决了 k 的 值。 再来一遍啊，核心函数来了啊，定点定值，定点待值，最精华的一步啊！定点待值，前期也重要，前期是基础啊，定点待值复盘二级结论卡来，孩子们记笔记。 如果你将动直线与椭圆连立与或者说就与圆锥曲线哎，与椭圆连立，得到了这个关于 x 的 单值函数啊，或者叫你们常见的叫一二次方程， 高中叫一二组成大学一二单值函数啊，你们要习惯习惯这种说法，因为大学老师不会说这些东西啊，一根乘积啊，大学老师起名为一根乘积二级结论， x 减 t 乘 x 减 t 的 二级结论是什么？就是 a 分 之 f t p g 啊， 不白来，就在这个公式啊， a 分 之 f， d 直接带忘掉什么 x 一 乘 x 二乱七八糟的东西，有负 a 分 之 b， a 分 之 c， 这个 a 分 之 c， 那 的负 a 分 之，麻不麻烦？固定的乘积直接套这个公式秒杀。来，再来一遍啊，大宝给你讲完这个你再看一遍啊， x 一 减一乘 x 二减一，对不对？来， 这个时候来重新看，我清个屏， 听屏了啊，重新看啊，是不是到这步了， 哎，到这步了，刚才到这步了，对吧？到这步，大家听蒙了，都听蒙了，对不对？到这步都听蒙了，对不对？说很多同学就拆了啊，一拆的话就直接带熟悉的 x 乘 x 二减 n， 括号 x 一 加 x 二加一了啊，不要这样，按我的思路连立之后，哎，当然啊， 带大家得过程分，该写判别式，写判别式，该写直线与椭圆连理，写椭圆连理，该写你的伟大理，写你伟大理。但你记住，只做机械的照抄，不做真正实际的预算啊，预算按我的思路来。还有啊，如果这个 哎，差乘的格式，差乘的格式不会写，不会写就写什么，就按照底层高去做，就写你们熟悉的哎，点到直线距离啊，用方法一，不用方法四，方法四在脑子里啊，在你草稿纸上算来说重点啊， 直接把什么 t 等于一带入大卫老师的单值函数带 f k 等于一得什么？四 k 方加四 k 方减八 k 方约掉，八 k， 八 k 负八 k 正八 k 约掉，剩下什么？就剩下常数项负五 a 分 之 f k 括号 t t 等于一，那就是 a 分 之 f 一 f 一 等于负五，那就是四 k 方加三。这个大 a 啊，这就是大 a 啊，四 k 方加三分之负五解决战斗， 你有了这，你再带回这里，这不就相当于什么一个最经典关于 k 的 一二次方程问题了。四 k 方加三分之负五，再乘一减 k 方，哎，取完绝对值等于八分之五，哎， 一下化解对吧。嗯，不多说了，不多说了，最后，超级 easy 好 吗！孩子们，超级 easy！ 八 k 方等于四 k 方等于八分之一，超级 easy， 真的 超级超级 easy 好 吧，啊，超级 easy！ 行了，总结一下啊，大卫老师这个二级结论，那么很多同学会说了，是不是大卫老师你为了这道题目做了二级结论呢？你将一个现象设为规律，大卫老师还跟你说，真不是。 首先，在北京卷圆锥曲线上特别爱考一类，就是定点定值问题，而定点定值问题有更多的结论 带你去学习，比如说 x 一 减 x 二的根差形式等于什么呢？哎，懂得的可以打在评论区或者私信大卫老师。还有根差除以一根乘积的形式，更是在二零二二年的北京卷考过 o。 那 么这种关于分子上是 x 一 减 x 二， x 减 t 乘 x 减 t， 更有没有新的二级结论呢？哎，大卫老师回答你，当然有，而且带起来更爽更爽， 本质上是根差除以一根乘积是更爽的二级结论。还有，大卫老师想跟你说的是什么？如果一差一贷的形式能不能不做，并不用完整的伟大展开呢？是当然可以的， 这符合这个东西是殊途同归。因为为什么我们能够比常规解法更稳妥呢？比较的我们不是会不会，而是我们是否删掉了无关紧要的庸俗计算，我们只算需要计算的点， 只算什么呢？只算核心表达，用它来一步压缩好不好？这些易错点分母展开，这只符号呢，我们都去规避了， 不是计算量大。所以说北京高考考生是什么呢？你能不能发现命题人的暗线隐藏价值和规律好不好？这正是一根未知。 还有更好的在去年牺牲一摸的迁移二，更是有大卫老师最灵魂的双动点消元体系，看似是一道证明题，本质上还是一道默写题。大卫老师说了，如果你能够掌握大卫老师的圆锥形全体系，那这道题目就是在默写 好不好？那么非常感谢各位同学的陪伴，那么这期视频就到这里啊，需要的同学呢，可以私信大卫老师，伟大定理啊，就像伟大一样伟大啊！三道卷卷曲线，本质上呢是殊途同归的啊，都是同一套体系啊！ 总结一下就是，我们见对称，先画图，见面积，先表示见焦点，不求根见定点小待之。 我是你，大卫老师，希望这个视频能够帮到你啊，如果没有帮上你的话，也十分抱歉。我们后续还有导数题目啊，有史以来北京卷最经典的导数题目，大卫老师做一期下期预告，关于北京卷的整体大局观是什么样的？为什么有这道题？为什么有第二问？为什么有第三问？第三问的巅峰之作？大卫 只会后期详细给大家讲解啊，以及保证你能够深入浅出，深入大学课堂里，但并不拿大学的知识碾压你 真正要练的是什么？是不是你的方法，而是这道题目的灵魂。不要把会算当做会做二级，结论绝对不是炫技，而是稳定减少运算，每次复盘记录记录方法，记录你的不足，你的明天就会更好。 我是对大悦老师，真的希望这个视频能够帮到你，每天几分钟，考试更轻松，如果能帮到你的话，真的十分荣幸。大悦老师在这里衷心的祝你能够在二零二七的北京高考，甚至二零二八以及二零二九北京高考金榜题名， 天道酬勤，我们下个视频，再见。
36我不敌考神
00:57查看AI文稿AI文稿清华姚班北大书院霸天虎解体挑战 这题你看五十八和七十三差十五，三十四是十六，说明第一年弟弟没有算，弟弟还没出生，所以弟弟应该三岁，姐姐比弟弟大两岁，就弟弟五岁，减去他们两个八岁六十五，所以六十五分配下来，爸爸三十四，妈妈三十一，七八九，七十一， 四十八， a， 四四乘二，四十八，四幺零。 较轻的假宾，用一枚头牌选三次，过瘾。第一次，两边各放五枚，如果有一边比较轻，就选那五枚，如果两枚一样的话，就选剩下五枚。对这五枚进一步操作， 这五枚里面各写两枚，放在天平的左右两端，如果他们一样重，说明剩下那枚是假币，哪边轻就最后这两枚中有假币，最后再称一次，一定就能找到那个假币，所以三次就可以搞定。这个八零五还是不行啊，这个加速度还是太低了。
355学而思
03:57
01:11查看AI文稿AI文稿你想知道清北强基数学到底怎么考？考什么思维？这本清北强基考什么？把一千三百一十四套清北强基数学试题做成了一本真题加思路加方法的训练册， 题目覆盖更广，从常规基础到组合、代数、变形与函数、数列等综合问题都有，难度更深入。重点不在刷套路，而在引导你学会观察、转化、构造、递推的解析路径，同时区分度更高，每道题都配分析与解答， 展示更简洁优美的推理过程，帮你把会做变成会讲、会总结目录按年份整理，从近年的测试到更早期的试题脉络，一目了然。适合想提升数学思维做拓展训练的同学，也适合老师背课找题型。 想系统见识清北风格题怎么设置，怎么拆解，这本书可以作为你的进阶题库与方法参考，强烈推荐！ 你想知道清北强基数学到底怎么考？考什么思维？这本清北强基考什么？把一千三百一十四套清北强基数学试题做成了一本真题加思路加方法的训练册，题目覆盖更广，从常规基础到。
10小麦数理泛舟
07:41查看AI文稿AI文稿高考导数压轴题每年必考十二分，但很多同学看到分类讨论和引零点，直接就懵了，其实核心思维就那么几步， 今天学长带你从零开始彻底搞懂它。看完你会发现，导数压轴题完全可以拿满分来看这道二零一二年新课标。第二十一题，第一问，求 f x 的 单调区间。注意，这个函数里面有个参数 a。 第二问， a 等于一的时候，给定不等式横乘立求整数 k 的 最大值。这道题难在哪里？ 两个方面，第一，第一问要分类讨论参数 a。 第二、第二问要用到引零点代换。这两个都是导数压轴题的核心难点，但别怕，今天帮你秒变清晰！ 首先复习一个老朋友，自然常数 e， e 约等于二点七一八，二八是一个五厘数， e 的 x 次方是一个非常特殊的指数函数， 它的图像长这样，永远在 x 轴上方过零到一的开区间。这个点往左无限趋近于零，但碰不到，往右增长速度越来越快。最神奇的是， e 的 x 次方求导后还是它自己，就像你照镜子，镜子里还是你一样， 这个性质在导数体里是王牌武器。来看一个超级重要的定律，导数其实就是函数在某一点的瞬时变化率，几何上就是切线的斜率。 什么意思呢？如果导数 f x 大 于零，说明切线向上倾斜，函数在这点就是上升的。 反过来，导数小于零，切线向下倾斜，函数下降。特别的，如果一个区间内导数处处大于零，那整个区间上函数都单调递增，反之亦然。这个定律就是我们解单调性问题的根本武器。 接下来这个工具是导数压轴题的王牌。零点存在定例。简单说，如果一个连续函数在区间两端一正一负，那中间一定有一个零点。 比如这个图 h 一 是负的， h 二是正的，那中间某个点 alpha 处 h alpha 一定等于零。 重点来了，如果这个零点求不出来具体的数，别慌，我们不需要知道它具体是多少，只需要用它满足的关系式来作代换，这就叫引零点。这是高考压轴题的核心思维，一定要掌握 好。开始做第一问。第一步，求导 f x 等于 e 的 x 次方减去 a， 很 简单。第二步，看参数 a 的 取值。为什么要分类讨论？因为 a 的 取值会决定 f x 能不能等于零。 如果 a 小 于等于零，那 e 的 x 次方减去 a 横大于等于零，因为 e 的 x 次方最小也大于零，减去一个负数或零肯定更大。所以 f x 大 于等于零，函数在全体实数上单调递增。 你记住， a 小 于等于零，整条路都是上坡。但如果 a 大 于零，情况就变了，令 f x 等于零得到 x 等于 l n a 在 l n a 左边， e 的 x 次方小于 a， 倒数负递减 在 l n a 右边， e 的 x 次方大于 a， 倒数正递增。就像翻过一座山，先下后上。来到第二问， 首先代 a 等于一， f x 等于 e 的 x 次方减 x 减二， f x 等于 e 的 x 次方减一，原不等式变成 x， k 乘以 e 的 x 次方减一，加 x 加一大于零。关键来了，怎么把参数 k 单独弄出来？ 注意到，当 x 大 于零时， e 的 x 次方大于一，所以 e 的 x 次方减一大于零，我们可以把 x 减 k 这个整体除过去， 经过几步简单的变形， k 就 被单独分到了。左边 k 小 于左圆括号， x 加一，右圆括号除以 e 的 x 次方减一，再加 x。 好了，另，右边那个表达式为 g x。 问题就变成了， k 小 于 g x 横成立。求 k 的 最大整数等价于什么？ k 小 于 g x 的 最小值。 接下来对 g x 求导，这里需要用到商的求导法则推导出来， g x 等于 e 的 x 次方乘以 e 的 x 次方减 x 减二。除以 e 的 x 次方减一的平方 分母横为正，前面的 e 的 x 次方也横为正。所以 g x 的 符号完全由中间的那个部分 e 的 x 次方减 x 减二决定。我们令它为 h x， 那 么 h x 等于 e 的 x 次方减一， x 大 于零时， e 的 x 次方大于一，所以 h x 大 于零， h x 在 零到正无穷的开区间上单调递增，只增不减。 好，我们来验证。端点， h 一 约等于负，零点二八二小于零， h 二约等于三点三八九大于零，一正一负。 所以根据零点存在定理，在一和二之间存在唯一的一个 alpha， 使得 h alpha 等于零， 这个 alpha 就是 我们说的引零点。记住这个关系， e 的 alpha 次方等于 alpha 加二。虽然 alpha 求不出来具体值，但这个关系式就是关键。 好了，现在来做最关键的一步。既然 h x 的 符号决定了 g x 的 符号，那我们就知道了， x 在 零到 alpha 之间时， h x 为负， g x 为负， g x 递减。 x 大 于 alpha 时， h x 为正， g x 为正， g x 递增，所以 g x 在 x 等于 alpha 处取到最小值。 接下来就是见证奇迹的时刻，把之前的关系带进去， g alpha 等于 alpha， 加一，除以 e 的 alpha 次方减一，再加 alpha， 带入 e 的 alpha 次方等于 alpha， 加二，分母就变成了 alpha， 加一 分子分母约调 g， alpha 等于一加 alpha， 太漂亮了对不对？这就是引零点带换的魅力，不求零点值，用关系式就能化解。因为 alpha 在 一到二之间，所以 g alpha 等于一加 alpha 就 在二到三之间。 k 小 于一个在二到三之间的数，又是整数，那 k 最大就是二。搞定好了，总结一下今天的核心思维，第一，分类讨论，遇到含参导数，先看参数对导数符号的影响。 第二，分离参数，把参数单独分离，转化成求函数最值。第三，引零点零点不求具体值，用关系式代换。第四，估值取整，知道范围就够了，整数最大值自然出来。 掌握了这套思维模型，导数压轴题再也不怕有任何高中数学问题，欢迎在评论区留言，学长会尽量帮你解答，记得三连支持，我们下期再见！
05:39查看AI文稿AI文稿我们来看这道二零一一年高考导数压轴题。已知函数 f x 等于 a， l n x x 加一加 b， x 在 x 等于一处的切线为 x 加二， y 减三等于零。第一问，求 a。 好， 正式开始做题。第一问，求 a 和 b 送分题啊，同学们，先把 x 等于一，代入函数 l n 一 等于零，所以 f 一 就等于 b， 再把点一到 b 代入切线方程一加二， b 减三等于零，解得 b 等于一，然后求导。注意啊，这里要用商的求导法则，分子乘分母的导减，分子导成分母，再除以分母平方代入 x 等于一，得到 f， 撇一等于二分之 a 减一， 切线斜率是多少？把 x 加二， y 减三等于零，写成 y 等于负二分之一， x 加二分之三，斜率负二分之一，所以二分之 a 减 e 等于负二分之一，解得 a 等于一，搞定了， a 和 b 都等于一， 第二问才是真正的压轴。要证明 f x 大 于 x， 减一分之 l， n x， 思路是什么？构造函数把所有东西挪到一边，变成证明 f x 减去， x 减一分之 l， n， x 大 于零。 我们把 f x 带进去一痛猛如虎的通分化简看好了，最后得到这个形式，一，减 x 方分之一，乘以括号里两倍 l， n， x 减去某分之 x 方减一。 我们现在只需要判断这个式子的正负令 h x 等于括号里的那一坨，就是两倍 l， n x 减去某分之 x 方减一。只要搞清 h x 的 正负，问题就解决了。这就是传说中的构造函数法导数证明题的核心套路。 现在来分析 h x， 先把它化简一下，某分之一就是 x 减某分之一， 所以 h x 等于两倍， l n x 减 x 加某分之一，求导两倍 l n x 的 导数是某分之二，减 x 的 导数是减一，加某分之一的导数是减 x 方分之一。 整理一下看到没？分子是负的。 x 减一的平方分母是 x 方， x 减一的平方永远大于等于零，分母 x 方大于零，所以整个是小于等于零的。 也就是说， h x 在 x 大 于零的整个区间上都是单调递减的。注意了，这个符号前面有个减号，所以导数一定小于零。这个结论太关键了。 最后一步了，同学们， h 一 等于多少？带进去两倍 l n 一 减一分之一，减一等于零，减零等于零， 而 h x 是 单调递减的。所以当 x 在 零到一之间时， h x 大 于 h 一 等于零，同时异减 x 方呢， 也大于零，正数除以正数大于零。再看右边，当 x 大 于一时， h x 小 于零，异减 x 方也小于零， 负数除以负数还是大于零。所以两种情况都推出， f x 减去， x 减一分之 l n x 大 于零。也就是说， f x 大 于 x， 减一分之 l n x。 证明完毕。看到没？只要构造好函数分析，单调性分情况讨论，这十二分不就到手了吗？ 很多同学一看到这个 l n 就 慌了，其实 l n x 就是 以 e 为底的对数， e 是 多少？ 约等于二点七一八，一个神奇的数。你只需要记住三件事，第一， l n 一 等于零，这是最常用的。第二， l n x 的 定义域是 x 大 于零。 第三， l n x 的 导数是某分之一，记住这三条 l n 就 没什么可怕的了。来看这个图， e 的 x 次方和 l n x 是 关于 y 等于 x 对 称的清楚了没？导数是什么？ 说白了就是函数在某一点的瞬时变化率，你开车看速度表，那个速度就是为宜。对时间的导数。在几何上，导数就是曲线在某点处切线的斜率，看到这条红色的切线没， 它的斜率就是 f。 撇一常用的求导公式你得记牢了， l n x 的 导数是某分之一的，导数是负的， x 方分之一。 还有，如果 fpx 大 于零，函数就递增，小于零就递减。这个单调性就是我们证明不等式的杀手锏。 来总结一下导数证明题的核心套路，第一步，构造函数，把所有东西挪一边，令它为 h x。 第二步，求导分析单调性，这是最关键的一步。 第三步，找一个特殊点，比如 h 一 等于零，然后分情况讨论符号，三步走清清楚楚以后再看到导数证明题，就按这个套路来，绝对不慌。 有任何高中问题，欢迎在评论区留言，我会尽量给大家解答。关注满分，学长每天带你练一个答题思维，数学提分就是这么简单！
09:06查看AI文稿AI文稿好，呃，那么碰到咱们这种压轴的题目，怎么才能想得到？呃，那么接下来呢，我们通过二零二六年的高考压轴题啊，给大家讲三步操作，你只要学会这三步操作，其实呢，所谓的难题并没有这么难。 好，那么首先呢，我们来看第一步啊，第一步怎么办呢？就是近几年咱们的高考里面呢，增加了很多新的符号理解啊，那么对于这种符号你怎么办？那么第一步就是我们先要看一个它的外观长什么样， 这个外观你怎么看？第一，按顺序，顺序，首先是数，是不是这样子的，那么数完了之后呢，就是叫做数量的关系啊，哎，所以我们简单的来系叫做数量的关系。哎，所以这是我们要第一步看的， 那比如说这个关系就是不等式，你清楚啊，那么它的数量关系是什么呢？你看这是 x 零加 d， 这是个 x 零，它两个相减，是不是就是前面这个 d 啊？好，哎，所以你就认识清楚了， 所以这个它表示什么意思呢？来把它再写个数字来理解啊，所以是 f 二加一，它大于 f 二，那么这就什么什么意思呢？哎，这就是第二，是吧？第二，哎，这就是第二， 那么里面的元素是谁呢？你看元素是不是就是这个一啊？所以就是元素是一，那一是你里面的就是一，属于第二。看懂了没？ 这就理解了外观了啊，外观理解完成之后还没结束，外观理解完，那么就深入到内部，内部是什么意思？哎，你就要理解他表达了什么样的含义，是吧？ 那么这个含义怎么看呢？你不，你不认识啊，你不认识是吧？所以叫做正面不认识，我们看反面，你认不认识？比如说反面，我写出来 f x 零加 d， 哎，它等于 f x 零，这个你认不认识？哎？把 x 零加了一个数，又是原来的一，你发现这是你学过的周期，好，认识了。 或者说也可以用什么来理解，叫做平移来理解，哎，给 x 零平移了一下，还是在原来地方，所以你看第一问，马上就清楚了，什么叫第负一， 就是把负一给他平移完之后，比原来大了吗？说等号，你会，那么大于号你不就会了吗？就正面反面， 那么有些呢？一般的理解不了，怎么办呢？哎，我们可以从特殊的层面去理解，你看这叫用什么？用策略来理解啊？用策略来理解他 第二个，那么第三个呢？就是说对一个符号怎么办呢？数学它讲的是结构，是吧？所以我们要从里面提取出结构， 那么这是什么样的结构呢啊？我们把它做一个整理，叫做 f x 零加 d， 减上一个 f x 零，然后呢，你再给他除以 d， 他 不就好了吗？是吧？如果说 d 大 于零，你看一下是不是你学过的几何喜率啊？哎，很显然它就是表示喜率嘛， d 大 于零就是喜率嘛？喜率大于零，那么 d 小 于零呢？就是喜率小于零，现在认不认识，马上认识了，所以你看对于个符号的理解，是吧？你不能直接 啊，我们要通过三个层级来理解，所以这三个层级我们每天都要把它去强化，要融汇到咱们平时的做题当中。 好，呃，下面我们继续来关注这个 f 零大于等于一的问题，那么你怎么说明一个函数值比一大呢？如果你直接说明呢，他会比较难，为什么？因为你看没有具体的解析式，你是无从下手的， 所以这种情况下呢，我们从反面入手啊，所以就是反面来解决，那么反面的话，就是我们假设爱你的 f 零他是小雨衣的， 那么 f 零小雨衣能干什么呢？你看，很显然我们是没有办法往下去推的，所以这时候呢，就有一个非常关键的点， 就是我们要区分大雨衣跟小雨衣的时候，他整个问题他的差异不同的点在什么地方，所以我们要找到这个差异的点啊， 那么什么地方有差异？你想如果 f 零他是在下方的话，那么这时候产生一个什么问题呢？你看他会把函数呢分成上下两段的， 如果在上面的话，下面的整个值它是一体的，所以你看在这里面呢是有问题的，所以我们就从这个差一的地方入手，那么从而呢，我们就在上方找到一个 x 一， 所以呢，我们在这地方呢就写存在 f x 一， 它就大于 f 零了， 那么同样的倒立，那么在后面呢？在后面啊，这是 x 一， 在后面，这呢我们就能找到 x 二， 所以这时候呢，我们同样的倒立，就从在 x 二使到 f x 二呢，你想一下它比 f 零是不是小了，所以我们在差一的地方呢取两个值， 那么这面呢，你不要取，为什么？因为这面你取它是没法没有解析式的啊，只在小于零的时候有，所以我们在小于零的这地方呢去算就行了。 好，那么接下来我们想对于这两个你怎么办呢？你看对于这两个呢，我们的往下的解决方向其实只有两条路，一条路就是得到集合的关系，第二条路呢，就是往这个定义上面去靠拢，只有这两条路。 所以下面呢，我们先来考虑，先来考虑比较明显的，这条路就是往集合当中去靠拢，那么所以呢，你看它大，所以这就说明 dx 一 它是包含于 d 零， 是不是这样子的？那么再看这个 d 零呢？它又包含于谁呀？ 呃， d 零它有包含与 d x 二的，所以这是记号的包含关系呢，就清楚了， 当然单纯有包含关系，你什么都推不了，是吧？什么都推不了，所以接下来呢，我们再怎么办呢？我们再往前面这个定义上面呢去靠拢，往形式上面去变一下啊， 那么形式上面怎么去变呢？所以这就是我们前面讲到的，你要理解它的含义，所以呢，我取个数字你来感受一下， 比如说 f 二加一大于 f 二，那么这说明什么意思呢？你看，说明 x 零是二，所以这个集合哎，他就是第二， 然后呢，你的 d 是 谁呢？是一，说明一在这里面，那么就是一属于第二，就是这个意思，那么所以我们根据这个你看两个以大，所以我们把它变成这种形式啊，所以 前面呢，你就得写零，后面这呢，哎，保持不变 x 一， 那么在后面呢，它就是大于 f 零，形式呢，一模一样了。所以呢，我们就能得出来，你的 x 一 它是属于 d 零的， 属于 d 零的， x 一 属于 d 零，那么 x 一 属于 d 零，你还根据这个关系，那么自然而然你就能推出什么了，推出 x 一， 它就属于 d x 二了， 那么 x 一 属于 d x 二，你能干什么呢？你看根据这个定义，一旦你属于他，我是不是就写成这种形式了？所以逆向操作，那么这时候呢，我们就得到 f 肯定是大于 f x 二的，那么前面这呢，你就写 x 二，然后呢这个 x 一 呢？写上，你看行驶跟它是不是一模一样了？ 好，那么接下来我们继续看这个成不成立，你注意啊， x 二是什么数？负数 x 一 呢？也是负数，两个负数一加，这个值肯定比 x 二是不是就大了？就在这块来了，所以你看图， 两个一加在这块，这块的值能不能比 f x 的 值大？很显然小了嘛。所以这个就推出来矛盾了啊，这个就推出来矛盾了，一旦推出矛盾，这就说明假设不成立，整个结果呢就是正确的。 也就说我们在整个操作过程当中的核心是什么？就是要理解咱们的这个符号，符号，咱们整个问题难如登天啊。
