山东高考数学题解析
今天给大家拆解一道二六年山东春季高考的真题，那么题目是如图所示，现在有两排，四列八个座位，从中选举两个座位，安排甲乙入座， 要求如果他们在同一排时不能相连，不在同一排的时候要不同列，那么则甲乙不同的做法的总数。那么这个题其实它的核心啊点就是到底甲乙在不在同一排，因为他在不在同一排，他的要求是不一样的。 所以这个题我们如果说为了避免说是出现啊重排或者说漏排的情况，我们最好是进行分类讨论，那分类的话就是按照题目要求，第一类就是甲乙在 同一排，我们在安排的时候，我们可以考虑来甲乙在同一排，那甲乙到底在哪一排？是不可以在？假如说这是第一排是不？这是第二排，你可以在第一排，也可以在第二排，所以他是不是要由从两排里面选一排去放甲乙？ 那么我们在单独去放甲乙的时候，因为他在同一排，而且要不相邻，那我们不相邻，大家记不记得我们不相邻可以怎么去做呢？是不可以去插控啊，对不对？那插控是怎么插的？ 谁不相邻，我们先安排别人，让他们去插空。大家想一想，现在甲乙不相邻，所以我们需要什么？因为除了甲乙，剩下是空座位吗？是不需要让空座位先去 排，所以我们需要先安排两个空座位，那么空座位之间是没有区别的，所以空座位会形成几个空呢？三个空，那么三个空，我们现在把甲乙排进去，那是不是 a 三二从三个空里面选出两个空排，他们之间有顺序，所以这个计算的话就是 c 二一，那就是二乘以三乘以二，所以三四是不是十二种？那有同学 想不来这个东西叫插空，那你要说我想不来插空这个题完全可以通过举例，就每举大家想一下，可以在同一排，那甲能在哪里？甲如果在第一个位置 啊？如果在第一个位置，那对于乙来说，因为不能相连，乙是不是只能在这两个位置？就是，所以甲在第一位的时候，乙只有两个位置，那如果甲在第二个位置，哪在这个位置呢？乙的话是不是只能在这里？所以是一种情况，那 甲如果说在第三个位置呢？那这个时候乙是不是只能在这个位置？是不是再加一种情况？那如果说甲在最后一个位置，甲在这个位置，那乙的是不是这两个位置都可以？是不是一加？所以总共有多少种？六种， 对吧？那这是甲乙在第一排的情况，那么是不是六种？那假如甲乙在第二排的时候，是不是二六十二？是不是也可以算出来啊？那么另外一种情况就是甲乙不在 同一排，那甲乙如果不在同一排，首先对于甲来说，我们可以先考虑甲，再考虑乙，对吧？对于甲来说，是不是他还是从两排里面可以随便选一排？ 比如说甲选了第一排，那乙是不是只能选第二排？那么他从两排里面选一排之后，对于第一排来说，是不是有四个位置供甲去选？所以是不是从四个里面再选一个？ 那假如说甲随便选，甲选在这里，甲随便选了一个位置之后，乙，因为乙不能跟他同一排，也不跟能跟他同一列嘛，对吧？所以对于乙来说，是不是只能是剩下的三个位置随便选一个位置？所以这个结果最后是 c 二，一是二，乘以 四，再乘以三，所以二十四种。最后这两类因为我们分类要用加法，是不是要一加，所以总共是三十六种，所以我们直接选 d 排列组合他的，其实他的难点在于什么？就是很多同学不知道该如何去切入， 就是我们如何，我们是先分类再分类呢？很多的题他既有分布也有分类， 这个我们需要总结一些技巧和方法。另外就是通过大量的练习，就是我们一眼就能看出来这个题的切入点是是否同一排，那我们对是否同一排分两种情况，那么接下来我们考虑问题的时候是不是就能简单一些？
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06:44查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们，我是邓老师，昨天咱们讲了不等式的基本性质区间，今天呢，做几个题练一练哈。先读题，已知集合 a 啊，集合 a 是 x 小 大于等于负三小于三啊， b 是 x 大 于二，用区间记法表示 a， b， a 交 b 啊， a 并并并，在数轴上表示出 a 交 b 及 a 并 b 啊，老师是把 a 和 b 也用数轴来表示出来的啊。 那你看 a 小 于等于，大于等于，是不是用中括号啊？咱们就是中括号。那你看大于二是不是二到正无穷，二到正无穷？ 数轴用这个来表示哈，那咱们求交集 a 交 b 和并集 a 并 b， a 交 b 呢？它就属于属于 a， 也属于 b， 所以 这个地方是且 且是吧。咱如果同学不了解怎么弄的话，可以先把两个竖轴都画下来，你看两个竖轴都画出来，最后吧，然后咱们画到同一个竖轴上看，写一下负三啊，二 二三啊，因为是小于它没有等于，所以是空的啊。大于它没有等于，所以是空的哈，那咱们负三的话，就是有等于，所以是实心的啊。那你看 a 是 什么？负三到三对不对？负三到三啊，那咱们 b 是 x 大 于等于二， x 大 于等于二，这样，那 a 交 b， 它们两个重合的地方在哪？重合地方是不是就在这， 对不对？那你看这个地方都是空的，空的啊，所以这个地方就没有等于小括号，对吧？好， a 并 b 哈， a 并 b， 同样，如果咱们同学一眼看不出来的话，同样是把这个竖轴画上啊，和上一个竖轴是一样的，老师就不仔细说了啊，直接画上， ok， 它说 a 并 b， a 并 b 是 什么？ a 的 所有地方和 b 的 所有地方，对不对？是不是就往这儿 这些是不是就全部？所以说它是从负三到正无穷？ ok， 用竖轴怎么表示负三到正无穷对不对？好，看一下第二题哈，已知负二小于 a 小 于等于三 啊！一小于等于 b 小 于二，是求下列代数式的取值范围啊，一共三小位哈，第一个是 a 的 绝对值啊，第二个是 a 加 b， 第三个是二 a 加 b， 那 一已知负二小于负二小于 a 小 于 a 小 于等于三，这咱们是已知条件，对不对？当负二小于等于 a 小 于 a 小 于 a 小 于 a 小 于零时啊，它是分的，因为它是绝对值，所以咱们要分 零大于零和小于等于零的，对不对？ ok， 看一下，那你看咱们这个小于零时，这个 a 的 绝对值等于大于零小于二，那如果 a 在 正大于等于零和小于等于三十，那 a 的 这个绝对值是不是就是这个？ 好，那看一下。综上所得，咱们 a 的 绝对值就是大于等于零，小于等于三，那你看咱们二 a 加 b， 对 吧？那你看 a 加 b 怎么算？ a 加 b， 列出式子来啊，根据同项不等式，可加得两边分别相加。同项不等式，昨天老师讲了哈，同学们需要仔细记一下啊， 同项啊，同项怎么加？是不是他们都是小于，对吧？那就是这两个相加，那就是这个负二加一， a 加 b 啊，右边的这两个相加就是三加二啊。记，负一小于 a 加 b 小 于五，第二个咱们就出来了哈，看一下第三个 啊，已知条件啊，不等式两边同乘以二，二是什么？咱们这里是不是去求二 a 啊？乘以二中间是不是就变成二了？那两边同乘二是什么？负四小于二， a 小 于等于一，这是咱们第一个式子， 那你看有已知条件，两边同乘负三，为什么乘负三？这里是负三对不对？这里是负三？好，那你看咱们这边就是负六小于负三， b 小 于等于负三，这是咱们的第二个式子啊，因为咱们这个呢是乘以负数，所以这个不等号， 这个不等号要反向啊。那你看，那咱们这个求的是不是？因为咱们这里是乘的负三，所以两个要相加，这个是不是还可以写成 a 加 负三 b， 对 吧？咱们就是这样求的， ok， a 一 一加上二，这个式子加这个式子对不对？就等于负四加负六， 同样是同向不等式，可相加对不对？左边加左边负四加负六啊，右边加右边六加负三，对不对？就等于负四小于二， a 减三， b 小 于等于三啊？答案就出来了，同学们一定要记得写减哈，写减好，看一下咱们第三题 三题哈，比较， a 方加 b 方二括号， a 减 b 减 e 括号的大小。那你看这个咱用什么法 比较？用什么法？咱们昨天讲的做差法对不对？做差法， ok， 那 咱们就是它减它减它， ok， 减它的话，咱们是不是去掉括号，要变号对不对？要变号，同学们一定要记得变号哈，来看一下这里， 这个能合起来对吧？你看他能合成什么？ a 方减二， a 加一，是不是能合成 a 减一的平方？ b 方加二， b 加一是不能合成 b 加一的平方？同学们，平方和公式和平方差，公式一定要记记得哈，老师在这里给大家重复一下， a 加 b 的 平方就等于 a 方加二， a， b 加 b 方， a 减 b 的 平方等于 a 方减二， a， b 加 b 方 啊，唯一不一样的就是这里哈，这里都是和咱们这个括号里面的符号是一样的，右边都是加哈，右边都是加。 好，咱们看一下，因为里面的这个平方它是不是一定会大于等于一啊？里面等于零的话是等于零，但是如果它平方的话，无论里面是正的，负数正的还是负的，它出来一定是正的，对不对？它平方之后一定是正的啊，看一下，那 b 方是不是也一样， b 加一的平方是不是也一样？ 那所以它们一定是它俩相加，一定是大于等于零的，对不对啊？解， a 方加 b 方减二， a 减 b 减一括起来大于等于零，为什么？这里啊，是因为咱们一 k 是 花减钱的对不对？那大于零的话，是不是就是把这个挪到右边？ 是不是就是 a 加 b 的 平方大于等于二，括号 a 减 b 减一对不对？那当且仅当 a 减一等于零和或者是 b 加一等零的时候，即 a 等于一， b 等于负一时啊，才能够取 等号。好，同学们讲题到此结束哈，下节课再见！拜拜！
109蔚途小段老师
01:05查看AI文稿AI文稿这是今年新高考数学一卷的第十九题。这是二零二四年新高考数学一卷的第十九题。包括这些这些，还有这些高三模拟卷中的第十九题，都属于新高考数学改革后出现的创新题型。有同学说，这类压轴大题思维跨度大， 学校里课堂上很少专门去讲，但是自己想要系统学习，专项突破，该怎么办呢？我会推荐同学们使用这本新高考数学第十九题应对策略。因为现在新高考数学的第十九题 经常都会考到竞赛数学甚至大学数学的知识，所以大学数学教授加上有竞赛数学经验的高中数学老师这样配置的专业编委团队， 才能够帮同学们把这类创新题型的底层逻辑讲清楚、讲透彻。书中不仅会结合经典立体系统梳理每类题型的切入角度与思维路径，而且还搭配了足量的针对性练习题，助力同学们实现熟练和巩固。
82数学包
22:56查看AI文稿AI文稿hello， 大家好，我是山东的一名文科生，在今年的高考中呢，取得了六百二十分的分数， 那上一条视频呢，没想到能够受到那么多朋友的关注，也谢谢大家愿意信任我，在评论区分享出自己的困惑，或者说私信我呀。 那由于时间的原因，很多朋友们我还没有回复到，但是我基本上都看了一遍，然后也后期会把大家的困惑一一整理出来，然后总结成视频。 今天呢主要是想和大家分享一下关于数学方面的问题，那我还是先和大家说一下我自身的情况吧。 我的数学呢，在高一高二的时候还算是比较好的，大概我记得应该是能考到一百一十分以上，然后到了高三阶段呢，随着这个因为在复习阶段，综合性的考察比较多，难度上升的比较明显， 然后在高三一般就是在好的时候可以考到一百一十分以上，然后在高三后期那种试卷难度比较大的情况下，八九十分我也都考过，所以在 高三的后期，我的成绩一般就是在九十分到一百一十分之间，就是比较 正常的情况下，那难一点我七八十分，好一点的话一百二十分以上这种情况都有， 最终的高考成绩呢是一百零五分。嗯，我觉得对我来说也算是一个比较平稳的分数，虽然说没有特别高，但我也没有说觉得发挥失常了，这就是我的水平， 所以这期视频就是比较适合你的目标，没有说特别的高，所以这期视频主要是比较适合你的目标在一百分左右，或者说一百一十分。那我觉得下面的一些方法对大家来说还是很有帮助的。 那如果说你的分数要求更高一个层次的话，我的方法可能比较有限，因为我自己的这个水平也是有限的。当然要提醒的一点就是每个人的学习情况是不一样的，我的方法呢，对我来说还是蛮不错的。那对大家来说还是需要自己 甄别一下，或者短暂的试验一下，看看有没有用，如果没有用的话，就不要一直死磕，也不要怀疑自己，可能就是这个方法对你来说不合适。那接下来我们切入正题。 首先来讲一下我观察到的身边就是数学相对来说没有那么好的同学，他的一些问题。第一个我觉得也是最大的一个问题，就是你听老师讲课的状态，或者说，呃，其他同学给你讲题时你的一些思维。 因为我们文科生嘛，平时听正史地或者语文就是主要是理解，但这个像偏向理科性质的这个数学，你听老师讲课的时候就不能用阅读文章一样的方式去 听课，因为这样你只能把老师说了什么话给听懂，但是这个题目的底层逻辑你不会，就是你只是说听懂了这个方法，老师是怎么讲出来的，他是怎么做完的，那这个方法怎么出来的你不知道， 就是你的大脑处于一个被动接受老师的信息这样的状态，而不是说你的大脑主动的去获取老师的思路，老师的下一步的解决方法，解决策略。 所以说你听的是话，而不是解题方法。这也正是为什么很多同学说我听了老师的讲题，我听懂了，但是下一次做题我还是不懂，或者说我直接听不懂老师说了什么， 然后我的数学课就是像听天书一样。但我想说的是，我觉得 大多数我们的数学题，如果不是那种偏难的正常的基础，或者说再高一点层次的题，如果你认真听老师的解析方法的话，你是可以听懂的， 那如果说你基础比较差的话，可能就需要你嫌弃在自己一下弱。然后听老师讲课应该不是一个大问题，重要的是你听老师讲课时的状态，以及你是否有一个很清晰的 目标感，或者说获取感。你要获取到老师的一些方法。像我自己真实的体验来看，我听老师讲课时切换到主动获取的状态之后， 我是能够在大脑中思考老师下一步要讲什么，然后老师讲出来的时候，我能够马上的去把它装到我的脑袋里，那这样下来之后我就会发现，我和我们老师的做题思维就是慢慢去靠近的。很多时候 在老师讲题之前，我大概就能明白他的意思，我也能明白他下一步要讲出什么，或者说他要用什么样的方法。那第二个呢？我是想说你一定要有一个目标感，有一个目标的分数段，比如说我就是想考一百到一百一，那你要明确 达到这个分数段，你要做会哪些题，这些题是你必须掌握的。那再难一点的题，你可能需要暂时先放一放，或者说你不用去攻克他，去死磕，那再简单的题你是不能错的， 要不然可能就会出现每次你都是一塌糊涂，你感觉就是错了一堆，简单的呀，难的都错，所以就导致最后分数特别的低， 这是一点。另外一点就是体现在你做题的时候，比如说我们进入到高三复习之后，一轮复习一般都是分专题来，那你比如说在复习导数这一块， 导数这一块有几个题型，有哪些类型？你在做这个类型的时候，你应该有一种感觉，就是我把这几个题做完，我这类题应该就是大差不差我都会了， 因为你知道这一类题的大体的方法是什么了，大体的思路，那你下次再碰到这种题的时候，你要识别出来，然后把你的方法用进去， 因为我觉得就是我们用的，我不知道大家的是不是都是这样，我们英文复习用的辅导书一般都是先分专题，然后每一专题的几个课时，每一课时又分了一小的那种题型，都分的比较清楚，我觉得大家用好的话还是可以的。 最怕的就是也是我刚开始做题的一个状态，就是没有目标感，就纯粹的就做这些书上的题，做完就算了，我可能会整理一下错题，然后这个清楚的分类，也不知道你 过两天之后你做了哪些题，你也你也不知道，这就导致你根本就不知道自己掌握了哪些题型，遇到的时候也不能识别出来，所以就会导致自己做了很多题，但是不会的题就很多，遇到同类型的题还是不会， 那这一点就隐身到我们要说的是否要大量刷题，对于数学来说，刷题肯定是必要的， 但我想提醒大家的是，刷题的时候不能只求量而不求质。我自己来说，我高三阶段数学没有任，就是没有买课外的任何辅导书， 唯一的就是我报网课的时候，呃，会有那种课件吗？课件上都是题，我可能到了后期会看一看那种题，做了那些题，其他的辅导书我没有买过任何的，因为说实话，我觉得学校花的题已经够我们做的了，大部分的 题型也都能覆盖全，如果你把这些题都分析透，整理透的话，我觉得是没有问题的。人就是达到我这个分数， 在高层次，他们可能是需要刷大量的题，但是对于我们来说可能就是够了，这是第二个点，我们讲的要有目标感。那最后呢？也就是我们今天的重头戏，想和大家介绍一下我做数学错题本的一个方法。 先和大家整体说一下我错题本的一个情况，我刚开始是只有这一个错题本的，然后到了后期，因为这个错题的数量慢慢变多，这一就是这一个，他夹 的是有限的，你看我这个都很满了。然后后来我又加了一个这个，所以最后我是有两个错题本的，然后我是选择了这个 a 五的这个大小， 因为这种大小的一个好处就是老师在讲题的时候，如果你那个时间段能够把这个错题写下来，这种小的本子放在你的 练习题旁边记是很方便的。像那种那个是 b 五吧，应该是那种比较大的，我其他科目用的也是，那有很多用的也是那种大的，那种大的就像用起来可能不是特别灵活，就你单独整理的话是可以的， 但是你上课的时候把那个那个大的放在练习题旁边就是不方便，虽然说这种小的有一个缺点，就是他就是他那个 一页可能写不了几个题，就是可能比较的分散。嗯，你如果想把一种题型都放在一页上看的话是不太行的，但是我可以接受这一点的。第二个呢，是想和大家说一下我的一个分区，嗯， 主要还是根据专题吧，像我是呃函数一类，然后函数里面可能做了一些小的分类，根据我自己的一些情况啊，然后导数里面是单独的整理了一个小模块， 然后就是项链啊，项链，然后是三角竖列立体几何，我是用这种分，这是叫什么呀？嗯，我也不太清楚他叫什么，就是这种贴上的，然后把它分隔开了， 然后后面就是技术原理和统计，我是放在了一块，前面是那个圆锥曲线的， 这是圆锥圆锥曲线的，嗯，分类大概就是这些，然后这个可以忽略这个，因为前面还有一些比较零碎的笔记，在高三之前呢，我也都夹在这里了。后面这三个板块我觉得还是挺重要的。 第一个是这个遗漏的知识，因为数学一般我们是不需要背诵，但你像这种这种函数，这个指数函数和密函数我很多时候我都分不清，所以我就把它记下来，包括 像这种洛必达法则呀，还有一些很零碎的，需要你有一点记忆的质点，我就把它放在了这里 啊，然后，嗯，这是遗漏知识。另外后面到了最后面就是高三复习的后期，我还加了两个模块， 第一个就是这个计算机技，像我们每次做题的时候，每次考试可能都因有因为计算错误的题，那这些题我们会了，我们只是因为计算错误 所以才失分的，但是这样解决不了问题，我是每次会把因为计算错误的 都把它抄在这一个模块，然后考试之前看一看自己之前因为哪些计算问题丢过分，还有一些计算的小技巧吧，像这种，嗯，可以用数学数形结合和导数来简化计算的，我也整理下来了。 还有就是，呃，我经常犯的一个小错误，就是我在约，就是两边不是可以约掉吗？像这个我经常就是把他约掉之后，我就把他当成是零了，其实他应该是一的，我经常因为这个失分。 还有就是这种，呃，求导，然后里面的忘记求导了，然后就导致外面的这个就错了，我都把它记下来。这些都是我经常错误的一些点， 这是这一模块，因为在前期我是把那个分模块就平时的练习题和考试的题目分开整理的，所以就有这一模块，就是单独的考试的一些，这样整理的话就是你分。哎呦，翻过去了， 这种考试和平常练习分开整理的一个好处就是你可以看到你这一次考试哪个地方错的多， 这种比较适合高三的前半段，或者说高一高二那高到了高三的后期，其实我们就不用这么做了，像这种，嗯，我就是把每一次考试哪个题错的什么知识点都写出来，看你的薄肉点是哪里。 最后一个模块呢？就是我看一下最后一个模块是思维不严谨而犯错的一些题目， 像这一个他不是直角三角形，但是我却用了勾股定力来解题，然后这一个 他的那个你求出来是平方，然后人家的那个答案是让你写一的，而不是一方的，那你就错了。这种题 表，包括一些，包括一些审题的问题，我也都记在这里了，因为审题错的， 还有像这种他是让你求最值的，但是我最终把他写成了取值范围，而没有写他的最值。我， 然后像导数，我这里不是写了一个导数点类吗？所以这个里面就是一些很细分的一些考点，比如说这个虚设零点，你零点问题，然后同构函数， 即指点偏移的问题，然后已知单调性音变量，然后来比较自变量的题目， 构造函数比大小的同乘力问题，放缩问题。还有是有一次我们复习到的泰勒公式，这个我们，嗯后期考的还不是特别多， 这是不懂事的一些问题。像这些这些就是我把导出的一些大的题型给单独整理出来了，这样方便我们复习吗？还有这一页就是这个是我当时在做那种大练习册时 遇到的一些问题，这些然后我就单独把这些小细节给列出来了，嗯，比如说这个 求那个最大象、最小象时要用到的做差法和列不等式， 然后再比如说这个当中有不同的类型，不同的类型怎么来消这些小点， 这些我觉得大家可以参考的就是一种补漏的思维，就是你在做题的过程当中，不管是什么样的问题，不管是计算也好呀，还是思维不严谨，还是你这个 没有记忆到位，或者说你的思维想不到这一点，都可以去把它积累下来， 你像这些积累下来，后期的话复习是很方便的。然后我找了一个具体的题来和大家具体说一下，就是有一道错题的时候，我是怎么去整理的吧。这个题是我们二模的时候考到的一道单选择题，是关于向量的， 是说平行四边形 a， b， c， d， 向量 a， e 是 二倍的向量 e， b， 也就是说 e 是 a、 b 的 三等分点，然后 f 是 a， c 和 e、 d 的 交点，问你向量 b， f 等于多少。这个题我当时的卡点就在于，我觉得他这个点太不确定了，然后我当时就卡住了，想了很久也没有想出来，那我在整理的时候第一个， 嗯，我写明白了我当时被困住的点是什么，就是 f 在 定义上的具体位置没有确定，我无从下手。然后我又写出了我的听了老师讲解之后的突破点，要大胆的去设数量关系，利用相关的条件。 那后面就是具体的思路，你看我标了序号一二、三，这个就是你解析的一个过程，因为你解析肯定有第一步，第二步，第三步嘛，那第一步就是利用 afc 贡献来设 af， 大 胆的引入这个你的餐量， 然后又根据三点共线求出这个位，你设的未知数，我到了这里第三个就是表达出来了，就是我们整体的一个思路，就是 你在拿到一道错题的时候，首先思考你为什么解不出来，然后包括听老师讲解也好呀，看答案也好，然后总结出来你要如何去突破，然后写在前面，或者写在后面都可以。 第二步，你把这个解题过程全部理清之后，像我这样写出 一二三步，每一步为什么要这么做？你看这个就是利用 afc 贡献设 af， 为什么要设 af？ 因为这三个贡献可以有利用的条件， 每一步都这样，把它写标好，然后写出来。最后其实还有一个小总结，您看，我写了，本质就是极想要的表达，可直接在不同三角形中转化，两次转化的过程中大胆的设未知数来求解。 这是一个小总结，整体就是这样一个思路，这是单选择题、填空题和大题我基本上都会用到的思路。然后因为多选择题的形式比较特殊嘛，我会，呃，单那个结构可能会不一样， 比如说啊，这个题吧，正好在下面，这个是复数的一个题，复数的题我们知道相对来说也是比较简单的， 那这是个多选择题，对于我已经会的选项，我就不再去管它了，有的时候可能直接在后面打一个对号，然后这个题我应该是在 a、 b、 a 和 d 上出了问题，那 a 我 就标明了是基础知识的遗忘啊，你看我还写了，上次就没有解决，记得上次是一个单选择题，第一道 我就忘了这个虚布到底带不带那个数字，然后你看像这个 d， 我 到这里我就不会计算了。然后我用红笔标明了它的解决方法， 这是我多选题的一个方法，就是，嗯，先明确你是哪几个选项，给你困住，会的选项就打个对号，不用再管他不会的选项，单独标出来也是写明 不会的原因，给出解决方法。也有的时候可以来一个小总结，然后有的时候我是会直接把这个答案给裁剪下来的。 这个其实我一般不用这个方法，用这种方法的时候我就是会把这些把这个答案给解析一下，你看我标明了一二三四五六六步是怎么得出这个答案的？ 我不推荐这个方法的，原因就是这样的话，就是你下一次再碰到你的熟悉度是非常低的，除 非就是你把它整理在这上面，下次再把这个错题拿出来，然后再重新在纸上做一遍，这样会加深印象。但这样的方法有一个优点，就是如果老师在讲的时候，你想整理他，但是时间不够，那这个方法是很节省时间的。 或者说如果有一个题，那个题比较难，你目前感觉解决他有点吃力，但是你又不想放弃，你就可以像这样先把答案裁剪下来，先放在这，如果以后有能力你再来解决他，没有能力那可能就放在这。 然后还有一点就是我在一些大型的复习之后，比如说在一模、二模快结束的时候，我会出一些整理类的模块，比如说这个是二轮复习快结束的时候，我整理的关于数列的，像这个关于数列的， 你看我是，呃，分了几块吧？嗯，这个是一些重要的性质结论，嗯，这你看一二三四这些，这些是一些比较小的点。然后后面就是核相共存中问题中这个 sn 为根号的形式， 后面脸相相消的时候通宵比较复杂，这是几种情况？包括你看第七个就是累加，累成在大体中的一些应用，如果出现这个形式的话，那常用累加。 第八个就是等差等比数列中的证明问题，这些就是比较固定的一些考法，那你在考前整理下来，你会给你增加一些考试上的信心的。包括你看这个立体几何，我也整理了这些，是一些比较小的点， 然后后面也是一些比较容易遗忘的一些点吧，这些都是对着我的那个练习册，然后复习的时候来整理出来的， 后面就不是了，大概就是这些吧。今天主要是想给大家分享一个整体的思路，就是如何去做那个笔记，大家可以按照自己的情况，然后合理的看看有没有能够帮助你的方法，谢谢大家，拜拜。
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59:32查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们好，我是你们的王不狗老师。那这节课呢，我们给大家带来的是二零二六年山东春季高考的往年真题。 ok， 那 我们话不多说，直接来做啊。 首先这个第一题，他说已知集合 a 呢，他是一个零。逗号一。来，我们先来看一下，这个里头有几个元素啊， 是不是有两个元素啊？那这个子集它的一个个数啊，就是二的一个 n 次方，那这个 n 呢？它有二，所以 n 等于二，那这个就是二的一个平方，所以它就等于四。哈，来，我们再说一下啊，真啊，是减一，然后非空， 是让它减一，如果是非空真呢？啊，又非空又真，所以它就减二就可以了，什么意思啊？ 那这个不是二的 n 次方吗？子极的个数啊，那这个真子极的话，他就是二的 n 次方。减一非空，那就是二的一个 n 次方，然后再减一，然后如果是非空，然后又是真的话，那他就是一个二的 n 次方，这样减去二。哈， 那所以这个题答案选 c 啊。来，我们来看这个第二题，已知 a 大 于 b， 那 你随便去给他代数啊，二大于一，然后看这个 a 选项，二加上一个一大于一，没毛病，所以直接选 a 哈。来， b 选项， 二减一小一，这不对。来， c 选项啊，一减去二大于这个一，然后得到负一大于一，这对吗？这不对。来，下面这个 啊，我的一个负二大于负一，这也不对哈。来，我们再来看这个第三题，他说已知负数，他的 z 是 等于负一，加上一个二 i 来， 那这个时候他的 z 八来， z 八是什么？是他的一个共讷负数哈，那这个共讷怎么来做？就是把这里这个数给他换一下，这块是正二，我给他变成负二就可以了，所以他的这个 z 八啊，就等于什么负一，给他减成一个二，哎，其他的不用去管，来，这个对应的这个点是什么？就是啊，这个值 负一逗号，然后他前头这个值负二，对吧？所以这个题答案直接选二 b 啊。好，我们再来看下面的这个第四题。首先分母要不等于零啊， x 不 等于零，其次呢， 偶数次根号底下这块没有写，看到没有，这块没有写，到底是几次，那没有写是几次的话，这块就是一个二次，那二这个数是一个偶数，对不对？那偶数次根号底下这串东西，这串东西呢，它要大于等于零，那所以 x 加二要大于等于零，那解出来就是 x 要大于等于负二， 并且啊，我 x 还不能等于零，所以这个题答案选择我们的一个 c 选项哈，好，我们再来看这个第五题 啊，他说 o a 呢，这是 o a 等于 a 向量来，向量它是有方向的，给它标清楚啊， o a， 然后 ob 也是这么一个样子，它是 b 向量，然后 oc 等于什么？来，那我们来看一下这句话啊，叫做 ac 等于三 b， c 啊， ac 在 这， 然后呢，等于三倍的一个 bc， 是 不是在这啊？对不对啊？来，好，那我们现在来看啊，首先他让我们去求的是什么？是这个 oc 的 这个向量哈， ob 向量是等于 b 的， 来，那 oc 向量，我们来给他写一下啊， oc 可以 等于什么？ 我可以给他 o c， 我 从 o 点走到这个 c 点，我是不是可以先从 o 点走到 a 点，然后再从我的这个 a 点走到这个 c 点啊？那所以就是这么一个样子，那 o a 呢？就是 a 向量，然后 a c a c， 我 们不知道来，我们现在再来把这个题是不是就变成了去求 a c 向量等于什么呀？ 那 ac 向量我们先来看一下啊，从 a 点到 c 点是不是？嗯，这一块来，我们看一下 ac 向量它可以等于什么？它是不是应该等于？来这个地方 ac 是 等于三倍的一个 bc 啊？ 啊？等于三倍的 bc， 那 ac 向量它是不是等于三倍的一个 bc 向量？那也可以说是什么？哎，我们这个 ac 向量也可以说是一个 ab 向量吗？ 那 a c 和 ab 之间的关系是一个什么样子？来啊，我们看 ab 向量加上我们的这个 bc 向量，它是不是等于我们的这个 ac 向量呢？然后呢？我们的这个 bc 啊，它又等于什么啊？三分之一 ac， 对 吧？来，那这个 ab 向量，那这个地方是不是应该是一个三等分点啊？ 对不对？那所以我的这个啊， ab 向量它是不是应该等于三分之二的 ac 向量， 对不对？因为三分之一的 a c 向量是不是就是这个 bc 向量？这块是三分之一，是不是 a c 向量它和它一减是不是三分之二 a c 向量，对吧？好，那这个时候我们再来看 a b 向量就好， 就好弄了，因为我们只有 o a 和 ab， 呃，和这个 o b， 对 吧？那我们三分之二 a c 向量，它就等于我们 ab 向量。来， ab 向量是从 a 点走到这个 b 点，那我现在可以给它看成是不是从 a 点走到这个 o 点，然后再从 o 点走去这个 b 点啊？ 来，那这个 a o 和这个 o a 它是互为相反数的，所以这块就是一个负 a 向量，然后加上 ob 向量，就是就是这个向量 b 在 这里，对不对？好，那它是三分之二 a c， 那 你让两边啊，给它同时乘以二分之三，这边乘以二分之三，这边乘以二分之三，是不是这边就没了呀？对不对？ 那所以它就是等于负二分之三的一个 a 向量，然后再加上一个二分之三是 b 向量，那这个是 ac 向量哈，那我们刚才在找的是不是就是 ac 向量？那我们把 ac 向量这个值给他带过来，就是负二分之三 a 向量，然后加上一个二分之三是 b 向量，那就等于什么？ 来，我们这个是二分之二 a， 减去二分之三 a 负的二分之一 a 向量，然后加上一个二分之三，是不 b 向量，所以这个题直接选 a， 哈，来，下面这个第六题，来，这个不等式啊，你们如果看了我的这个课，对吧？我的这个内部课程哈。哎，你们就可以直接把这个地方给他看成什么？看成等于哈， 那所以 x 减一呢？他就等于是不是正负 c 啊？开这个绝对值符号，那 x 呢？他就等于是不一加减 c 啊， 那我让一加 c 等于五，然后让这个一减 c 等于负三的时候，得出来，我的 c 是 等于几啊？ c 是 等于一个四，对吧？那我们再换啊，如果我让这个一加 c 等于我们的负三，然后呢？让这个一减 c 等于五的话，会得到一个什么？ 会得到，我的 c 是 不是应该等于一个负四啊？来，我们现在来看啊，这个 c 到底要取哪个？这个绝对值出来的一个数，它不可能小于一个负数啊，那所以我的 c 只能取这个正的，对不对？ c 等于四，答案选择二 b， 哈，好，我们现在来看这个第七题，他说直线 m n 和平面阿尔法贝塔。来，你看到这种题 啊，又这个平面，又这个直线呢？你就给我老老实实的去画一个什么呢？或者是抬头起来看一下你的这个教室，看一下你的这个教室，它是一个什么？它是不是一个正方体啊？ 你的教室的这个空间，你把它想象一下，是不是也是一个正方体啊？来，我们现在来看啊，如果两条直线是平行的， m 是 平行于 n 的， 我就说这是 m， 然后呢？我就说，呃，这个地方是这个 n， 然后呢？ m 是 属于我们的这个 r 法啊，这 m 属于 r 法， n 属于贝塔。来啊，我们如果让这个下头的这个面是 r 法，然后呢？我让这个侧着的这个面是这个贝塔的话， 这个面是贝塔哈，然后这个面是这个 r 法哈，然后 m 和 n 是 在这来， m 和 n 它此时是垂直的吗？不是啊，那我们能从 m 到呃， m 平行于 n， 就 推出来 r 平行于贝塔，不能。来，那我们再反过来来看，还是去给他画一个这个正方体哈， 好，那这个时候我们现在来看，如果我想给它反过来推的话，让 r 发平行于贝塔，然后推出来 m 平行于 n， 来啊，我让这个面 是 r 发，然后我让上面这个面是这个贝塔。来，这个时候啊，我们，呃，来看这个 m 呢？ m 它是 r 法里的，我把这个边是 m， 然后呢？我把这个边呢是这个 n 来，此时这两个边它是什么？是不是异面垂直的？那也推不出来，对不对？那所以这个题应该选什么来？左右都不能推，所以它既不充分，也不必要，答案选四 d 啊。好，我们来看这个第八题， 嗯，他说随机变量 x 的 分布列如图所示，则随机变量的一个均值 e x 等于什么？来啊，这个均值是什么？肯定有同学就迷惑了啊，尤其是看了我的这个课的很多同学啊，你们可能都知道，对吧？来，这个均值是什么？ 均值它有一个大名，叫做什么？叫做期望。哈，它是有两个名字的，期望和均值是一个东西来期望， 我们已经交了，就是第一行，然后去乘以第二行，然后挨个去乘相加，那就是一乘以零点二，那也就是零点二，然后加上二乘以零点二五，零点五，然后再加上三乘以零点三，零点九，然后再加上四乘以零点二五，是不是一个一啊？所以他就等于，呃，零点七加零点九， 一点六加上一个一，是不等于二点六啊？所以这个题选 c。 哈，来，下面这个题啊，直线看到没有？垂直，垂直呢，所以它的 k 一 啊。 呃，呃，他的这个 l 一 和 l 二垂直的时候，他就什么？就是我的这个 k 一 乘以我们的 k 二，他应该等于负一，哈， 那就找 k 就 可以了，那这个他就是四 y， 然后等于是二 x 加上一个三啊，来，怎么找 k？ 我 们是不是都给它化成这个 y 等于 k x 加 b 这么一个形式啊？然后这块就是这个 k， 对 吧？那这个 y 就 等于是二分之一 x 加上一个二分之三啊，来，后面这个， 它是一个三 y 是 不是等于负 mx 加上一个七啊？那这个 y 是 等于负的三分之 mx 加上一个三分之七来，此时它的 k， 这个是 k 一， 这个是不是 k 二啊？那所以我的，呃，二分之一乘以一个负三分之 m， 它是不是就等于负一就可以了？ 那所以就是负六分之 m 等于负一，那 m 是 不是等于正六啊？所以这个题答案选四 d 哈，完事。好，我们来看这个第十题啊，现将甲乙丙四个人随机到 a、 b 两个车间进行技能训练，然后呢，每人只能去一个车间， 且每个车间至少要分一个人，则甲被分到 a 车间的一个概率来啊，每个人呢，只能去一个车间，并且每个车间至少要有一个人，这个看起来好像 比较那个啥吧。呃，比较麻烦吧，对吧？那我们先不看这个这一句话啊，我就问你啊，甲乙丙这三个人， 甲乙丙这三个人哈，我们这个时候让他们去随机分到这个 ab 这个车间，那对于甲来说有两种选择。第一步，让甲选有两种选择，然后让乙分有两种选择，让丙分是不是有两种选择，他应该等于几啊？ 是不等于八呀？那所以一共就八个，那你就穷举呗。那我们来看啊，这三个位置啊，前头这个位置就当成甲，这个就当成乙，这个呢，就当成这个丙，来，我们先把这八个穷举一下，他不是都去 a b 车间吗？那我们先让他全去 a 车间， 然后再全去 b 车间，然后呢，我再让这个，呃，这个是甲这乙这丙这甲这乙这丙，能理解哈，然后呢？我们 aba 啊，然后 abb， 然后呢？我再让这个甲刚开始去 b 车间， b a a， 然后 b b a， 然后呢？ b a b 来，是不是一共就这八种可能啊？对吧？嗯，他说了每个人只能去一个车间啊，这个是符合的，然后呢？每个车间至少有一个人，所以这两个是不是要删掉？ 好，那现在一共几种可能？六种可能，这问的概率，那总可能就是六分之来，那甲被分到了我们 a 车间，一二三，对不对？那这个是甲，甲甲是不是去 b 车间了？那所以就六分之三，是不是就二分之一啊？所以选 c 哈，那肯定会有同学说，老师，不对吧，你为什么不用这个？ 呃，排列和组合来做啊？有的题，他很小，你为什么不去穷举他呢？对不对？来，那我们如果用排列组合去做啊，我们先去想啊，呃，我们的这个总可能， 总的，这个可能应该是什么总的可能，呃，就是他们三个人里头我随机去抽一个， 然后呢？现在就变成了一组是一个人，然后呢？抽出来剩下的是两个人，对吧？然后呢，再对他们进行一个 a 二二的一个排序，这是不是总的可能？我们算一下啊，就三乘以二啊，再乘以一，是不是等于六啊？来，这是总的可能，好，那这个时候我们要他符合的， 符合啊，然后符合的时候我们去想一下啊，怎么能让他符合呢？我们让这个甲甲自己一个车间， 一个车间，那这个乙和丙都去啊，这个 b 车间，对吧？啊？乙丙都去 b 车间，那这是第一种可能，对不对？然后呢，我们再让这个甲， 哎，他不是自己不自己，也就是说我的这个乙和丙要分到 a 和 b 里头，哎，一人一个，那算出来是不是二乘一啊？是不是等于二啊？ 啊？那所以这个是有两种可能，那一种可能加上两种可能，一种可能加上两种可能除以总共的可能六种，所以他是二分之一选 c， 哈，来，下面这个第十一题，呃，他说 y 等于 a x 减 b 的 图像如数所示，则结论正确的是来， 嗯，在整理这套题的时候，因为这个市面上所有的题我都看了二零二六的，没有真正的给整理好的题目全是错的，我挨个的又直接把这个画到这了， 啊，就是把这个直线画在这两个点上的，然后我怎么看四个选项都不对，然后我后来，啊，我悟了，哈哈，他这块是这个一， 这块是这个负一，然后呢，这么一条直线，然后呢，他给这个直线了一个方程，给了一个 y 等于 a x 减 b， 来，这个谁对谁错啊？其实很简单啊，其实很简单， 我们就随便去猜这个点，你看，啊，一这么长呢，那这个地方是不是应该是二分之一啊？那这个点，这个焦点的这个位置，这个点他应该是一个什么坐标？ 我应该是零逗号，我给他一个三分之二呗，他更靠近一啊，对吧？他比二分之一大呀，来这个点我给他一个什么，他在负一的左边，哎，我给他一个 啊，负的三分之四逗号零，行不行？我随便去编呗。然后呢，你把这个两个点带到这个里头，他就会得到一个三分之二，等于负 b， 就 得到我们的 b 啊，是等于负的三分之二，好，然后再把这个点往里头去带， 就是零等于负三分之四 a， 然后减上负三分之二，也就是加上一个三分之二，对吧？那所以呢？哎，他就得到了一个什么 啊？这个三和这个三是不是就消了两边同时乘以三啊？那就是一个四 a， 它是不是等于二？那 a 呢？是等于二分之一的，那你就把这两个值拿过来用 负三分之二加上一个二分之一，它是等于负的六分之四。加上一个六分之三，它是等于负六分之一，它大于一吗？不对， a 不 能选来 b 选项。 呃， b 是 负三分之二，负三分之二的一个二分之一次方，他是什么？是不是？呃，这个分母的去根号外头，分子的去根号里头负三分之二的一次方，那二次根号底下的数能小于零吗？ 不能，这个也不能。选来 c 选项，让他两相乘大于一嘛。一个负数负三分之二等于负三分之一，他肯定也不大于一。 d 选项来二分之一的一个负三分之二次，他就等于什么？ 这个怎么来做啊？首先我们去这个符号的时候，让他的分子分母是不是倒过来变成一个一分之二啊？那这个是不是就是二啊？二的一个三分之二次啊，那就等于什么 啊？二，然后给他开一个根，几次根号，三次根号里头是一个平方，他是三次根号下的一个四，这个数肯定是大于一的，所以选四 d 完事啊。 好，我们现在再来看这个第十二题啊。嗯，他说甚而法等于二分之一，然后外零等于什么？来这个甚而法，他是一个什么？甚而法是等于 y 比上这个 r， r 是 什么？ r 是 等于啊，这个是 x， 这个是 y， 它是等于根号下是 x 平方，加上一个 y 平方。我们那个九十九啊，九十九的那个课啊，就是九十九，哎，就这么便宜啊。然后呢？他都给大家讲了，都给大家讲了啊， 呃，这个直，这个通过我那个方法直接就记住了啊，就，就这个你都不需要怎么去背啊。然后呢？你把它都给他带来，就是一个什么根号下，是不是根号三的平方，也就是三，然后加上一个是外零的一个平方，那所以这个就是外比上一个根号下三加上外零的平方，它是等于什么？等于二分之一的？ 好，那这个也外也是外零了，对不对？那你现在这个题你为啥要自己算呢？我们代值试试呗。来 a 选项， a， 这个外零等于一，一比上一个根号下三加上一个 e 的 平方，它就等于根号四分之一，也就等于二分之一。没毛病，选 a 哈，好，我们来看这个第十三题， x 减 x 分 之一的 n 次方的展开式中，已知第二项的二项式系数是七来，这个第二项来，它可以写成 t 二，对吧？它是等于什么？是不 t 一 加上一个一啊，等于啊， c 来 n， 这块是 n 啊，然后呢？一， 然后呢？这个是对应的是不是相当于 n 的 这个口号啊？然后去相乘啊。那我就给他选这个，选什么？ n 减一个， x 选 n 减一个。我不具体的去讲了哈，感兴趣的联系我哈，感兴趣联系我啊，加入我们。然后是不是一个一次方 来，它等于几啊？二项式系数等于七，这个东西等于七，那 c n 一 等于七的话， n 等于几啊？ n 是 不是就等于七啊？那你现在就有了 n 的 这个值了。那这个第三项，我们这个 t 三啊， 他是不是就等于 t 二加上一个一啊？也就等于 c 七二，然后呢，前头是 x 的 一个七减二，然后后头是负 x 分 之一的一个二次，他是不是跟着他走的啊？我不具体讲了，那 c 七二就是七乘六，比上二乘一，然后这是 x 的 五次，再乘以一个，嗯， x 分 之一的一个平方， 那他就得得到这个和这个一约三七二十一，是不是 x 的 来，呃，这个是 x 的 负二次五减二，也就是三次， 所以这个题答案直接选二 b 啊。好，我们来看这个第十四题，现有两排四列八个座位，两排一二三四，呃，一二三四，每一排都是，然后呢，从中选出两个座位让甲乙坐，要求在同一排时不相邻来，我们先给他都当成同一排啊， 当成同一排，现在有四个座位，我取这一排吧，有四个座位。这个时候呢，我先删掉两两个座位，我先让另外两个人去坐，然后呢，我给他用这个插空法啊， 那所以他应该是什么？是不是三个空里头进去甲乙两个人啊？对不对？但是他们有没有可能在第二排？有可能，所以是二乘以。这个好，然后呢，我们再来看后头，他说不在同一排时来，不在同一排怎么做？不在同一排时则，呃， 不在同一排时要不同列，哈哈，这个这个，这个，咱也有仇啊，咱也有仇，对吧？一二三四，一二三四，他不能再同一列来，那我们就给他啊，给他怎么样？呃，先给他都不放在这个同一排， 然后让这个甲两个人里头，我随机挑一个人坐第一排，那我就是 c 二一，对吧？然后这会就确定好了谁坐第一排了。那假如说甲坐第一排了，好，然后呢？对于甲来说是不是有四个座位？ a 四一啊，四个里头选一个去坐啊，或者 c 四一也可以啊。然后乙呢？是不是也是有四个座位啊？是不是 a 四一啊？ 然后呢？我去给他减上，我就让他俩必须得同列，一二三四，哼，是不是四种情况啊？那这个四种情况里头，甲在前还是乙在前，是不是也有讲究？是不是也要 c 二一啊？先抽一个放在第一排，对不对？那所以他就是什么？ 就是二乘四乘四，减上二乘四，那也就是四四十六，三十二，减上一个八，他就等于啊，减二，再减六二十四，哈，那这个是二十四种情况来，这个是二乘三乘二，也就是四三四十二十二加二十四，他是三十六种情况，对吧？ 所以答案选四 d 哈，就你就去分着去想啊。我先第一种解决他，第二块解决他，然后解决他的时候，我是让他所有的随便去做，我管你同不同列呢，然后我减去，让你们都同列，对吧？来， 我们来看这个第十五题，他说已知 g 函数 f x 的 图像是一条曲线啊，在区间零到四上是一个增函数，在四到八上是一个减函数。我们先不去管前头啊，就看这块，后头 他说零到四是一个增函数，那我随便去画啊，我让零到四，让他单调递增来，增函数是向右上走，减函数向右下，这块就向右上走，然后这块就向右下，这个位置啊，就是四，这个位置就是零，这个位置就八啊，对，对应的是这个 x 啊，然后是 g 函数， g 函数是关于哪对称？同学们， g 函数是关于原点对称哈，关于原点对称来，那此时这个点啊，关于原点一对称过来是不是在这么一个地方？然后这个点关于原点对称过来是不是在这么一个地方？那你给它连接起来是不是就这么个样子？那这块就是负四，这块是不是就负八？然后他问 啊，在区间负八，负八到正八啊，也就是在这个图像哪一块在向右下走？我们现在来看这个图像哪一块在向右下走 啊？是不是这块在向右下走，这块也在向右下走？这个时候我们写出来他的一个 x 的 一个范围，那 x 是 大于负八，然后小于这个负八，小于这个负四， 然后呢？或者是什么？ x 是 不是大于这个四啊？然后，呃，大于这个四，然后小于这个八，所以这个题答案选 a。 哈，好，我们现在再来看这个第十六题 啊，他说这个圆的圆心到这个直线来，这个圆心怎么去求？他还没有给我们标准方程，我们不要去配哈，我，我们就记住啊，一次项系数， 一次项是不是在这里啊？这里是不是一次项啊？那这个就是负二，然后让他乘以一个负二分之一来 y 有 没有？没有？所以他相当于加上一个零 y 吧，那就是零乘以一个负二分之一，对不对？那这个就是他的一个坐标，也就是一逗号，零来圆心， 圆心到直线的一个距离，点到直线距离怎么去做？同学们，是不是把这个值他给他带到这，然后他给他带到这，那就得到一个一，加上一个啊？零，然后减，把这个后头也抄上减二，然后绝对值就没了，后头这个等于零，不用去管他。然后根比上根号下， 他前头数是一一的平方，他外前头数是一个正 k 加上一个 k 的 一个平方，他是等于 d 的。 来，我们一减上负二，就是负一，负一绝对值就得到一个正一，下头是一个根号下一加上一个 k 方。来，这个时候啊，我们让这个 k 随便去取值啊，我让 k 等于一的时候， 这个得到一个什么啊？是不是根号二分之一啊？来，根号二分之一，这个数他肯定是大于零小于一的一个数吧。来，我们现在来看啊， 大我，我们刚才随便的去取的值啊，它是大于零小一的一个数。来，这个它没法这样没法大于零小一，这个也取不到，这个都大于一了，也取不到，所以答案直接选 c 完事啊。好，我们来看下面这个啊，把函数 f x 等于 cos 二 x， 来啊，我们给它 左加右减，上加下减，记住这个口诀就可以了。然后呢，这个前头有个二，那这个二要单独提出来，然后里头是一个 x， 是 不是这么个样子？然后呢，再左加右减，这块是向右，所以这块是减三又多少三分之派，那整理一下，就是 sum 来，挨个乘进去就是二 x 减成一个三分之二派， 那这个就得到的是这个 g x， 对 吧？然后呢，他要求的是 g 四分之派，那这个四分之派是不是就把这个 x 换成这个四分之派就可以了？ 那也就是 sum。 二乘四分之派，就是二分之一派，减上一个三分之二派，那这个六分之四派，那前头这个是六分之三派，那这个就得到一个 sum 啊，是不是负的六分之一派？那这个时候我们去用诱导公式啊，诱导公式，大家记好啊，用王老师教你们的，叫做什么半变整不变啊？ 半变整不变，然后呢？符号太阳线， 然后再记住叫做加一减零，四，随意。 好，那我们现在来看这个怎么来做啊？那这个你可以给它当成一个什么，当成一个 seven 来，里头是一个二分之零派，然后减上一个六分之一派，来啊， 啊，这个是半变整不变啊，来这块这个是一个零。哎，零，他实际上是没有这块的，所以他变不变。同学们，这个零他不用变啊，不用变，所以他就是肾啊，一个负六分之一派， 然后呢？呃，这个直接当成正的就可以，这块不用去管啊。然后呢？我们把这个零给他拿出来，然后这块减，那减是什么？减零，那这个零拿出来，零再减上一个零，他等于零来，有第零象限吗？没有，那四随意，我让他加上一个四，他等于几？四，那就是第四象限，也就是在这里。 好，那这个时候我们给他啊，一个什么呢？啊？才字，才字第一笔是不是就是省为正啊？那就是这块就是负的，所以他就是负的，那也就是负的啊，省六十度也就负二分之一，所以这个题答案选二 b。 哈，好，我们来看这个第十八题，嗯，他说 数据中随机抽取一个容量为二百的一个样本，样本啊，极差来，这个是什么东西啊？然后后面又什么？频率比组距来，频率比组距，是不是我们学的那个啊？频率分布直方图啊？是不是这么个样子啊？ 对不对啊？然后这有两个轴，这个呢，就是这个频率比组距，然后这边呢？哎，是不是他的一个值啊？然后他说这个极差是三十六来，同学们看这个极差啊，极差是什么意思啊？ 急叉，就意味着这边最左边这边和最右边这个一减，他是一个三十六，那三十六他给他分成了十二组，那三十六除以二等于几等于三，那也就是每组他的间隔是几啊？是三，那就完事了。这个题 好，然后呢他说频率来频率就是什么？就是我选中的其中一组为六十个，那选中是六十个人，一共多少个？二百个， 这个一除，他就是频率，然后呢与组距的比值，然后呢我再给他怎么样去比上这个组距啊？这个组距是几啊？刚才算了，是不是三啊？是不是这个样子？ 那我们就从上往下算啊，这个和这个一约，然后呢这个是几啊？呃，除二三，这个是十，那所以上头就得到一个零点三，下头是一个三，零点三，除三零点一啊，所以直接选 a， 哈，好，我们来看这个第十九题， 十九题他说已知椭圆的中心啊，和两个焦点，把这个椭圆的长轴四等分，来 啊，椭圆随便去画一个啊，画成这么个样子，然后这块有这个焦点，这块有这个焦点来啊，他说这个焦点这两个点，还有这个椭圆的中心这一块把，这个长轴，长轴是哪一块？ 长轴是不是就是这个？这个对不对？这个就是长轴哈，然后四等分，那也就是说这块长度，这块长度，这块长度，这块长度都是一样的，对不对？来，那我们知道啊，长轴长度是几啊？长轴长度是二 a 啊， 然后呢？它就等于来这段距离是什么？是 c， 因为这个焦点是一个 c， 逗号零，这边呢？这每一块它的一个长度是不是都相等啊？那二 a 是 不是等于四 c 了呀？ 对不对？然后离心率 e， 它就等于 a 分 之 c。 来，我们让两边同时除以 a， 就是 二，等于四，然后这边是 a 分 之 c， 然后在两边同时除以四，那就得到一个。什么是不是二分之一啊？这个题直接秒选 a 哈，选 a， 嗯，完事来，我们现在来看这个啊，这个第二个题啊， 它很有难度啊，你就看到这，看到这啊，你前头这块其实还挺简单啊，几除几是余几，几除几是余几。然后你仔细去看看，其实这个 x 是 多少能算出来的。 但是你再看后头这一句啊，他说这个问题中， x 由小到大构成这个数列 a n， 若 a n 小 于二零二六，则 n 的 最大值。来，我告诉你们，不用做了，不用做了啊，直接给他空了就行了，因为这个你去算的话，他可能比你最后算那个大题还要费劲 啊，比最后算那个大题还要费劲。来，我们来看这个二十一题啊，他说已知 log 以二为底， a 的 四次方就等于是不这个数啊，就等于 a 啊，好，那这个 a 呢？等于这个，那放到这，那也就是 log 二的四次方来，这块是个八八呢，写成二的三次方，对吧？这块是二的三次方来，那下头的去分母上，上头的去分子上，然后其他的照抄 log 二，二来，这块是二的时候，它就消了，这个就没了，所以它就等于什么四分之三完事啊。好，我们来看二十二题， 某几何图形，正视图和左视图都是边上为四的正方形，来啊，都是边上为四的正方形，呃，然后俯视图是圆，俯视图是圆，呃，这么一个圆，哦，那应该是个圆柱吧？ 是个圆柱啊，应该是这么个样子啊。然后呢？现在这个圆柱，我们先来看正视图，是不是这个样子看到的， 对不对？然后边上是四，那也就说明这个圆，它的直径是四，那也就二 r 等于四 r 呢，是不是等于二啊？然后要求它的一个表面积来，那底下的这个圆，它的面积， 底下这个圆是面积是 pi r 方，那因为它有两个，有上底面，有下底面，对吧？那所以我再给他乘以个二，那就得到二乘 pi， 然后再乘以一个什么乘以二平方就是四，所以它就是八 pi 来，那这个侧面， 侧面这一块，我们沿着这块给他切开，然后呢，给他展开，是不是一个长方形啊？来，底下的这个长方形， 这个长是不是应该是圆的周长，圆的周长是二派 r r 呢？等于二，他就是四派，那这块是四派，然后这块是一个四来四派，乘以四十六派，那这个是侧面加上两个底面加在一起啊，应该是二十四派。这个题答案 好，我们来看二十三题，他说已知向量去点乘啊，已知向量坐标，然后点乘等于二，求 m， 哈，就这个就送分啊，对吧？ 来，那首先 x 乘以 x， 二乘以 m 加二，然后呢？再加上一个，是不是负 m， y 乘 y， 哦，不对，这是三减 m 嘞。 嗯哼，就是这种简单题最容易翻车哈。三减 m， 然后给他乘以这个六啊，乘以一个六，那就得到一个二 m 加上一个四，然后加上一个三六十八，然后减上一个六 m， 他 就等于二十二。减去四 m， 他 等于几？等于二。好 来，那这个就会得到负四 m 等于负的二十，那 m 就 等于五。这个题答案就是五，完事哈，好，我们来看这个二十四题。 二十四题，他说乘而法等于三倍的口乘而法，则口乘二而法来。那首先我们先去想啊，我想知道这个口乘二而法，口乘二而法，它应该等于什么？是不是口乘而法的平方减上一个乘而法平方， 那我又不想去求这个乘 r 法，那你就把它删了，就把它变成一，那其他地方就变成二，所以它就是两倍的口乘 r， 法方减上一个一。好，那现在呢？ 我们是不是只需要去求出来口乘 r 法平方，那这个时候我把这个乘 r 法平方加上口乘 r 法的平方等于一和它的一连力， 那这个乘而法等于三倍的口乘而法，所以就变成三倍的口乘而法。这样的一个平方加上一个口乘而法的平方，它是等于一，那就得到九倍的口乘，而法方加上一个口乘，而法方等于一，那也就是十倍的口乘而法方等于一，那这个换句话说，是不是就十分之一啊？ 那你把十分之一给他带到这个地方，他就是二乘以十分之一减一，也就等于五分之一，就等于负五分之四啊，秒了。来，我们看这个二十五题。 嗯，他说已知 f 一 是这个双曲线的一个左焦点来，那这个双曲线 a 方上头是 x， 所以 焦点在 x 轴上啊，双曲线啊，画成椭圆了， 是这么个样子。然后呢，这块是有这个 f 一 点的，然后 f 一 且斜率为二啊的一个直线，来，我们先画一下啊。呃，与这个双线间断线，我把间断线先画了啊，他说过， f 一 且斜率为二的一个直线与双线的间断线交于 ab 两点，嗯， 这个点就是这个 a， 这个点呢，就是这个 b 啊，然后呢，若 b f 一 向量 b， f 一 向量这个， 然后呢，等于两倍的 f e a 等于两倍的这个长度是两倍，则两条渐近线所形成的直角的正切值。哈，一看就不好算啊，直接扔了，不要了，不要了啊，好，我们来看这个二十六题啊， 因为这个题上头那个二十五题啊，好像得知道一下二阶公式啊，然后我们中值一般是不学的啊，所以那个分直接不要了。好，我们来看这个二十六题啊，他说函数 f x 是 这么一个样子啊，这是一个分段函数，对吧？然后第一问，求实数 b 的 一个值，我们找一下 b 在 哪啊？ b 在 这， 那这块他说了，且 f 一 等于负三，那你就把 x 等于一，然后呢，是不是 y 等于负三啊？那给他带到这个里头，那就是一的平方加上一个一乘以个 b 再减二是等于负三的，那就是一， 然后呢，加上一个 b 减二等于负三，那就是 b 减一啊，等于负三，那这个 b 啊，是不是就等于负二啊？第一问就求完了。好，我们来看这个第二问哈，他说函数 f x 的 最小值和最大值。来， 我们先看上头这一块，它是 y 等于这个，它是一个什么指数函数，对吧？那这个里头这个数三分之一，它是大于零小于一的，所以它是单用递减的，那画出来的图像就是这么个样子。 然后它的一个取值范围是负三到零啊，那这块我们说是负三，这个地方呢，我们说是，哎，这个零对不对？那对呢？是不是有两个点？那我们算一下 f 负三， 因为它可以等于负三嘛，那就等于三分之一的一个负三次方。去这个符号的时候，我们让分子分母倒过来，就变成了三的三次方，那三的三次方三九二十七。好，那这个 f 一， 它就等于三分之一的一个，是不是一次方 啊？零次方，那也就得到一个一，对吧。好，那我们现在再来看下头这一行啊，下头这行是 y 等于 x 方减 二， x 再减二，然后呢， x 是 属于我们零到三的，来啊，三是可以取到的。好，这个时候我们看一下啊，它有个这个 a 啊， a 是 等于一，然后 b 是 等于负二， c 呢是等于负二， a 是 大于一的，它的开口是不是向上啊？ 是这样开口，然后这块是不是有个对数轴啊？对，数轴应该是 x 等于负的二， a 分 之 b， 我 们代一下，就是负的二乘一分之负二，也就得到正一啊，那这是 x 等于一， 那 x 等于一的时候，它是最矮的，对不对？那我们就得算一下 f 一 等于什么？就是一的平方减二乘一再减二，它等于负三。好，那然后呢？离这个一最远，是不是对应的是这个三啊？ 这块是三，这块是不是应该是这个零啊？那就是三，那我们这个三也算一下，它就等于三的平方减成一个六减二，也就等于九减六减二，是不是一啊？那这个时候我们找它的一个最大值，这最小值，这，那所以 f x 它的最大值就等于，哎，是不是 f 负三也就等于二十七啊？那 f x 它的一个最小值啊，是不是就等于我们的 f 一 啊？也就等于一啊？那这个题啊，肯定有同学说，老师这个题我从哪去下啊？那就是同名，同名啊，就是这个名字啊，然后呢，它的一个叫做公啊， 这个啊，找就行了，或者是粉丝群啊，私信我啊，私信我。 好，我们来看这个二十七题啊，我每个省的这个往年真题全都有啊，全都有，然后讲解也全都有啊，讲解也全都有 啊，当然这个讲解我肯定会放出来，免费的，还有这个，还有这个 vip 版的啊，好，我们来看二十七题，他说已知等比数列 a n 的 前项和 s n 呢？是等于二的 n 四方减 cd 问，求常数 c， 来，我问大家啊， a 一 是不是等于 s 一 啊？没毛病吧，对不对？ 那我们来让 s 一 算一下，就是二的一次方减上一个 c， 它就等于二减 c。 来，我们再算这个 s 二 s 二，它是不是 a 一 加上一个 a 二啊？ 来，那 a 一， 我们知道是二减 c 啊，这个是等于我们 a 一 的，那就换成二减 c， 然后加上一个 a 二，它就等于二的平方再减上一个 c， 对吧？好，这个时候啊，呃，我们看一下这和这是不是就消了？那就是二加上 a 二，他等于四，那 a 二等于几？求出来了，四减二是不二啊？好啊，然后呢，我们再算一下，这个 s 三啊， s 三，他是不是 a 一 加上 a 二，然后再加上一个 a 三，那 a 一 是几啊？ 是二减 c， 然后呢？ a 二是一个二，然后 a 三不知道加上 a 三，它等于是不是在用这个式子啊？它是一个二的三次方减上一个 c 啊，来，负 c 和负 c 又没了，这边是四加上 a 三就等于，呃，这个是二的三次方是一个八，那 a 三呢？等于几啊？ a 三八除以。呃，八减上四是不是四啊？好，那这个时候我们 a 三比上 a 二，他是不是应该等于 a 二比上 a 一 啊？那这个也就是四比上二就等于二比上二减 c， 来， 这个就是二啊，那二减 c 乘过来就是四减二， c 等于二，那 c 是 不是就等于一啊？那求出来了， c 等于一 啊。第一问求完了。好，那我们现在来看这个第二问，他说 s n 啊，大于 a n 加上一个三十一，来，我们先写下 s n 是 等于二 n 减一的来，这个 a n a n 我 们怎么去求？来 a 一， 知道了 a 一 是等于几啊？ c 呢？是等于一的，那 a 一 是不是就等于一啊？然后 a 二是等于几啊？ a 二等于二，然后 a 三呢？是不是等于四啊？那这个 q 啊，是不是就是后比前 a 二比上 a 一 啊？也可以写成是不是 a 三比上 a 二啊？是不是等于二啊？然后 a n 呢？它就等于是不是 a 一 乘以 q 的 一个 n 减一次啊？ 好，也就等于一乘以二的 n 减一次，它就等于二的 n 减一次，好啊，然后呢，我们现在有这个值，有 s n 的 值，有 a n 的 值，有 a n 的 一个值， 他说 s n 大 于 a n 加上一个三十一，你把值带进来，就是二的 n 次方减一，大于二的 n 减一次方，然后加上一个三十一，哼， 嗯，然后呢，我们给他把常数都拿到右边，三十一加一就是三十二，这边就是二 n， 然后减上二的 n 减一次，对吧？来，这个，我们把这个减一啊，给他拿出来，是不是就变成一个这么一个样子，对不对？ 那前头这个可以看成是不是二分之二啊？二分之这样，那二分之二倍的一个二的 n 次方减去二分之一倍的一个二的一个 n 次方大于三十二， 那这个和这个一减是不是就是二分之一的一个二的 n 次方大于来三十二，三十二，我们算一下，二乘二啊，四四四十六 啊，然后再乘以二，是不是三十二？他是一个二的五次方，对吧？来，这个给他，再给他乘进去啊，就是二的 n 减一次方大于二的五次，来，这个是几啊？是二， 对吧？二是大于一的，那所以他是单增的，同增一减，这个直接删，那 n 减一就大于五， n 呢？就大于六，来，这个题就算完了，他说 n 的 最小值 n 大 于六啊，然后 n 又得去整，所以 n 等于七。哈， 好，我们来看这个第二十八题，他说如图所示，现要测量山两侧 o m 两点的一个距离，这两个点的一个距离，然后呢？ 呃，选取点 a a 点在这，使得 o a m 三点位于一个同一个水平面，测得 o a 两点间的一个距离等于七， o a 等于七，然后 a m 两点间的距离等于十一， o m 是 十一， 然后口塞角 o a m o a m 这个角啊，口塞 o a m， 它是等于十四分之十一。然后第一问，让我们去求，哎，我是不是哪写错了哦， o a 两个点之间是十一哈， 哎呀，这个不提前背课就是不行啊。呃， o a， o a 两个点之间是十一哎， o a 两，哦， o a 两点距离是七， am 是 十一，哎呀，这个不行啊，不行， 下回我好好背课啊，哈哈。 o a 呢是七，然后 am 是 十一，让我们去求 o m 啊， o m 的 长度来，那我们来去想啊，口算 a 它等于什么？它等于应该是另外两条边 b 方加上一个 c 方，然后减去对应的这个边是 a 方，比上一个二 b c 啊，好公式，这个看课啊，看课，看课就记住了，不需要去硬背啊， 我是最不希望你们背东西的好啊，然后呢，这个是这个啊，角哈。然后呢，想求 o m o m 是 不是就是这个小 a 啊？ 啊，那所以另外两条边你就往里头去带就完了吗？七的平方加上十一的平方，减去 a 的 平方，比上二乘七乘以十一啊，他是等于十四分之十一的 二七十四，这个和这个就约了，那两边同时乘以十一就是十一的平方，这边就是七的平方加上十一的平方减上一个 a 方，这个和这个又又约了，所以 a 方呢，就等于七的平方，那 a 呢？就等于七，那 o m 的 一个长度它就等于七啊，这个也是七，你看，哼，它是一个等幺三角形啊，画的也确实挺像。好，我们来看这个第二个啊， 他说计划在 a m 之间选一点 b 啊， a 和 m 之间选一点，那我就随便去画这是 b， 然后修这个 o b， 然后角 o b a 等于一百二十度啊，画的不太像啊。呃， b 取在这， 然后 o b a 这块是一个一百二十度来，然后呢？我们刚才求过哪个角？求过这个角？这个角实际上我们也知道。然后呢？这个边我们知道，在这个三角形里头， 我们知道两个角知道一个边，然后要去求 o b o b 这个边。哎，是不是就用我们的这个正弦就可以了？那也就是 a b c 是不是等于 b 啊？ b 比上我们乘 b 啊，来，这个乘 a， 我 们不知道是几，但是我们知道口乘 a 啊， 这个口乘 a 啊，是什么？口乘 a 是 多少来着啊？口乘 a 是 这个， 那也就是根号下是不是一的平方减去它的一个平方十四平方分之十一的平方，所以它就等于根号下十四的平方，分之十四的平方 一百九十六减去一百二十一啊，你不愿意去背也没办法，我们的课都讲清楚了啊。十四平方分之来九十六减二十一，这个是五，这是七十五，那这就是十四分之二十五乘以三，那就是五倍的根号三。好啊，这个就等于 a 比上甚 a， 也就是 ob。 呃，这个是 o b， 这块直接给它改成 o b 吧，然后比上这个十四分之五倍的一个根号三，然后呢，这个是 b b， 是 不是就是这个 a o 啊？就是七，然后比上这个甚来甚一百二十度， 甚一百二十度，我可以给它写成，是不是甚一个九十度再加上一个三十度啊？那这个九十度是一个二分之一派吧， 那这个是一半半变整变，所以它就变成口剩三十度，然后呢，这个一加一减零，后头是加三十度，那加它就加一，一加一就是二，那所以就是第二项线原函数是剩剩，是才字第一笔，那这块为正啊，这个就是正的。所以口剩三十度是几啊？同志们， 口剩三十度，呃，应该等于的是，我想想啊，稍等啊，稍等啊，我突然脑子卡了啊，呃，是不是二分之根号三啊？ 那这块就是二分之根号三。来，我们两边让他同时乘以分母啊。 o b 的 一个绝对值，乘以二分之根号三，他就等于七。乘以十四分之五倍的根号三，来两边根号三。先消了，这个和这个消是二，这个二和这个又消了，那直接就求出来了， o b 啊，是不是就等于五啊？你看，简单吧，这个题 来二十九题啊，他说如图所示。嗯，在长方形 abc 中已知 ab 等于四， ab 啊，他是四，然后 bc 啊， bc 等于二，然后 e、 f 分 别是这个中点， e、 f 中点啊，这块中点，这块也相等，然后将这个长方形 a、 b、 c、 d 沿 e、 f 折成直二面角来。什么叫直二面角？直二面角的意思啊？因为啊直 二啊，所以直二面角是不是应该就是我的这个 q f， 它是垂直于这个平面啊？ abc 的 好，那然后他说连接这些，然后怎么样？他说，第一问，求证 ec， 来，我们看一下 ec 啊啊，你们考试的时候千万不要直接在图上画哈，在草纸上给他重新画一遍图 ec 在 这，然后垂直于平面 bc q 这个平面，哎，怎么看都不像垂直的，哼。哎呀，怎么看都不像垂直的啊， 啊，我再看一遍啊， e c 垂直于啊， b q f 哈， b q f 你 看，我就说怎么都不像垂直的，因为它都有这个焦点啊，你看，一定要画的仔细哈啊， e c 哎， 然后垂直于这个 b q f 这个是 f 哈，好，我们现在来看啊，它垂直的话来，首先啊，这块是中点啊，因为 e 是 ab 中点， 那所以我的这个 e b 等于几啊？是不等于二啊？那因为 e b 啊，是等于我们的这个 bc 的 啊，又因为角啊， e b c 是 不等于九十度啊？那所以啊，四边形 f c e b 是 不是正方形啊？正方形。好，那我们先来看一下正方形，然后呢，这个 e c 在 这啊，这个是 e， 这个是 c， 然后呢， f b 呢？在这哦，对角线哎， f b 啊，那所以我的这个 e b 是 不是直接垂直于？呃，我不是 e b 啊， e c 抱歉啊，没背课就是不行啊。然后 e c 是 垂直于我的这个 f b 啊，因为它是一个什么，是不是直角三角形啊？好，然后呢，又因为啊，又因为我的这个 q f 是 不是垂直于这个？呃，平面 平面 a b c d 啊，那所以我的这个 q f 它是不是也垂直于我们的这个 ec 啊？那 q f 加上我的这个 f b 是 不是等于 f 啊？且我的这个 q f 和我的这个 f b 它都是属于平面 呃， q f 都是属于平面。呃， b q f 的， 那所以我是不是就已经证出来了，这个 ec 它是垂直于这个平面， 嗯， b q f 哈，你如果是这个证明听不太懂的话，没关系啊，没关系，因为我们的那个九十九的那个 vip 课啊，给你们直接用向量讲的， 用向量讲呢？好，我们来看这个第二文，他说点 e 到平面 b c q 的 一个距离，来到这个平面 b c q 的 一个距离，来一个点到平面的距离，只要是你看过我的课，你必定会知道它是什么，是不是用这个 v 它的一个体积去算啊？来，那这个我们先来看一下这个图啊，啊，他说 e 点到 b c q， 我 先呃， b c q， 这， 然后 e 点是不是得从 e 点做一个对它的一个垂直的？那当然我们肯定是做不出来的，那你就给它，哎，给它这样一画 啊，那就是 v， 我 先让这个 e， 然后杠 bc q， 它是不是应该等于这个 v 来 bc q e， 那 我让这个 q 当做这个顶点，然后呢？ e bc。 肯定有同学蒙了，这两个是一个呀，是一个，是一个三棱锥啊。那首先啊，我先让这个底下的这块当做平面，这个 b c q 啊当做平面， 然后呢，我让这个 e 点当做这个顶点，那是不是就是这么样子的？一个 一个这个，这个，这个应该叫啥三棱锥啊？然后我们现在换一下，我让下头的这个当做这个平面， 是不是这一块当这个平面，然后我让这个 q 点当这个顶点，我让这个 q 当这个顶点，是不是这样？ 哎，你看画出来好像是一样的呀，没有区别啊，对不对？那我们就算这个就可以了。来，因为这个底下这块是平的呀， 平的这个边长是几啊？二，这是二哈，所以它的面积就是等于二分之一，乘以二，乘以二，再乘以高就行了。来，高的话是哪一条垂直的？呃，是不是这个 q f 呀？ q f 是 不是就是高啊？垂直于这个平面的呀，对不对？ q f 等于几？ q f 他 是不是折过来的？他是不是也是二啊？那所以他就这个和这个就没了，他是不是就等于四啊？好，那我们再来算这个 v 啊， e 杠 bc q， 非常抱歉啊，刚才呢，那个我忘了给他写三分之四了，我重新写一下啊， 那首先呢，这个第一啊，这个第二问哈他的这个 v， 嗯，然后呢？我用这个呃 q 点，然后呢杠这个 e b c， 他 就等于是不是三分之一，然后乘以这个 e b c 的 一个面积，也就是二分之一，乘以 二，再乘以二，然后再乘以这个 q f 是 一个二，那所以他应该等于三分之四哈，那我们，哎，因为我刚才后面又去写这个 v 啊，这个 e 杠这个 bc q 的 时候，然后我把这个三分之一给它乘上了，所以导致怎么都算不对了啊，那就是三分之一，然后乘以，呃，这个应该是一个二分之一，然后乘以 bc， 我 知道是一个二，然后 q c q c， 我 不知道 呃，哎，这个也不一定是九十度哦，刚才还犯了一个这个错啊，这个我们也得验证一下它到底是不是一个九十度啊。来，首先啊，我们这个 q c q c 啊，它应该等于根号下是不是我们 q f 的 一个平方，然后加上我们的这个 f b 的 一个平方，也就等于 啊，不，不是啊， f c 的 一个平方，也就等于根号下二的平方，加上一个二的平方，它就等于应该是一个根号八啊， 然后呢？呃，我再看一下啊，根号八，这块是根号八来，那这个我们是不是求出来这条边才知道？那这个 f b 也是同样的一个道理，是不是这样去勾股定律啊？也能求出来一个根号八，然后呢？这个边是几，这个边是二， 呃，然后这个边是二，来，我们斜边在这个三角形里头给它勾股定律一下，应该是根号下，呃，根号下一个十二， 那这个时候它的平方加上一个二四加上一个八，哎，然后开根是根号十，哦，是垂直的，那我就直接乘了啊，乘以我们的 这个 q c 应该是一个根号八，然后再乘以一个，我们是不是一点到我们这个平面 bc q 的 一个距离啊？那我就写一个 d 吧，它就应该等于什么？ 是不是三分之啊？四啊？好，那这个和这个就成没了，他就得到三分之来，这个根号八，他是一个二倍的根号二，然后 d 他 是等于三分之四，这个和这个一约一除二，这是二，然后一乘是不是 d 就 等于一个根号二啊？ 这样我们就求出来了，那所以我们 e 到我们平面 b c q 的 一个距离，它就是根号二。这个题说实话啊，就填空和那个选择最后一个呢？因为我算了半个小时我都没算出来答案。好，呃，那，呃，有一道我算出来了，但是那个我是用了超纲的一个知识啊，超纲的知识？ 好，我们来看三十题，他说倾斜角是四十五度的一个直线， l 过这个抛物线来，抛物线一次是 x， 前头是二 p， 二 p p 大 于零，那一次是 x， 然后前头二 p 又是大于零的，所以开口朝向 x 轴的一个正方向，那你直接画出来抛物线这样，然后这画上准线这块画上交点啊，他说交点 f 与我的这个抛物线交于 a b 两点啊，倾斜角四十五度，这样画吧， 这个点就是 a， 下头这个点就是 b， a 点坐标是 x 一， 逗号 y 一， b 点坐标是 x 二，逗号 y 二，然后 af 的 一个长度， af 的 长度是等于 x。 一 加一都给你了，来，我们先要知道啊，抛物线上这一个点到我的这个 焦点和到我的这个准线的一个距离是相等的，这个地方的长度是不是一个二分之 p 啊？那所以 x 一 加上二分之 p 的 距离就应该等于我们 af， 那 af 呢？它是等于 x， 一 加一你就得得到了二分之 p， 是 不是等于啊？也就是我们的这个，呃，抛物线的第一要 e， 对 吧？这个一直去强调啊，我们课上来 p 是 不是就等于二啊？那所以外方是不是就等于四 x 啊？好，到手四分。 来，我们来看这个第二问啊，他说弱点 p 在 抛物线上，然后呢？呃，抛物线上，抛物线上随便去取这个点，这个点就是这个 p 啊， p a b， 哦， p a b 是 等于四倍的根号二啊，它的面积 s， 三角形 p a b 啊，就等于什么啊？应该是二分之一乘以 p 点到 ab 的 一个距离 d， 然后再乘以 ab 的 长度来。 p 是 等于二啊，然后 ab 的 长度我还不知道呢， ab 的 长度不知道，没关系啊，没关系，来，我们先来写 ab， 它的一个长度就应该等于先写公式啊，是不是我们的那个？ 呃，这个弦长公式啊，一加上一个 k 方，然后比上根号下 x 一 加 x 二的一个平方，然后再减上四倍的 x 一 x 二。哎，好像不用用弦长公式啊，我想想啊，这段的距离已经知道了，是 x 一 加上一个一来这段的距离这块， 哦，可以啊，这是二分之 p 二分之 p， 他 现在是一，然后这是 x 二，哦，这是 x 二加上一个一，那所以这段距离就是 x 一 加 x 二，是不是再加上一个二啊？哼， 对不对？不用写上公式啊，不用，写上公式更简单了，来， x 一 加 x 二，你看到这个你肯定要求他，那所以外方等于四 x 和我们的这个直线啊， k 是 等于贪心他尔法贪心他四十五度是等于几啊？等于一 三九二十七，然后给他三分之根号九，是不是一啊？啊，这个 k 有 了，然后呢？经过的这个点点也有啊，这个 f 坐标应该是什么？是不是二分之 p？ 逗号零，二分之 p 是 一啊，一逗号零也有啊， 这个直线都知道了，哈哈哈，对不对？那所以就是 y 减零等于一倍的一个 x 减一，这块是 k， 这块是这个点，这块点 y 减点等于 k 倍的 x 减点， 那就是 y 等于，是不是 x 减一啊？ y 等于 x 减一，来，连立一下，把这个 y 等于这个换到这一块，那所以 x 减一的平方等于四 x， 那 就 x 平方减二， x 加上一个一，再减四， x 是 不等于零，那 x 平方减六， x 加一等于零来，那 x 一 加 x 二 是等于什么？负的 a 分 之 b 啊，伟大定律啊，那就等于二分之一乘以 d 再乘以啊，这是负的一分之负六，它就等于六加二就是八啊。然后呢，它是等于四倍的一个根号二，对吧？那就是四啊，那直接就得到了一个什么，哎， 啊，在这这个和这个一约就是四，这个四和这个四就消了。 d 是 不是就等于我们的一个根号二啊？好，那现在有了这个 d， 嗯， d 是 一个根号二，然后让我们去求这个点 p 的 一个坐标，怎么去求？ 来，这个地点我可以给它写成一个 m， 逗号 n 吧。来，地点又在我们的这个抛物线上，外方等于四 x 上，那所以这个，呃， 用 n 去表示，哎，随便吧随便吧， n 方就等于什么？是不是四 m， 那 所以 n 就 等于二倍的根号 m， 那 所以这个就变成了 m， 逗号二倍的根号 m。 好， 那我们再用点到直线的一个距离去，是不是一次就出来了呀？ 啊，他到我们的这个线来，线是什么来着？线是 x， 呃，把它换成标准式，这个拿过来哈，这个地方肯定有同学没看到。在哪在这啊，来，那，拿过去，他是一个 x， 减上 m， 再减一等于零。来，哦，这块又是 m， 那 重了 哦， x 减上 y 啊，减上 y， 不好意思啊。然后呢，你把这个点带进去，就是 m， 减上二倍的根号 m， 然后减一的一个绝对值比上根号下啊，它前头数是一， 加上它前头数是负一负一的平方就等于根号二分之上头是 m， 减上二倍的根号 m， 再减一，然后呢，它就等于根号二，那所以 m 减上二倍的根号 m， 再减一的绝对值，它是不是就等于二啊？那所以 m 减上二倍的根号 m 啊，减一它就等于是不是正负二啊？那所以 m 减上二倍的根号 m， 它是不是等于一加减二啊？啊，那这个时候， 哎呀，我真是，我真是看着这个题啊，我就来气，来啊，一减二它是等于负一啊，我就讨厌算数啊，我就讨厌算数。来，我把这边擦一下， 他是等于负一，那这个横坐标他能是小于零了吗？啊？因为抛物线，抛物线是搁哪啊？同志们是不是搁这个右边啊，对不对？搁这个原点右边，那所以他肯定只能等于正。呃，一加二啊，那所以我的这个就是 m 减上二倍的根号 m 就 等于一加二就是三啊，来，好烦啊。来两边。呃，让他这个挪一下， m 减三，然后等于二倍的根号 m， 这样的话你让两边平方他好算啊。 那就是 m 平方减六， m 加上一个九就等于啊。四 m 那 所以就是 m 平方减上十， m 加上九，他等于几啊？哎，我刚才那块那个推倒对不对啊？让他直接等于这个，哎，不管了啊，等于零啊。然后呢？ m 就 等于负 b， 也就是十，然后加减根号下 b 方一百，减上四九三十六除以二， a 除以二，也就是十，然后加减根号下一百，减上一个三十六， 这是四，然后这是六十四六十四，然后除以二 m 就 等于十加减八除以二， 那 m 一 就等于十，八除以二也就等于九 m 二呢，就等于十减八，二除以二就是一。来，那这个时候我们算。呃，这个值放一下那所以这个 m 这个屁点就是一逗号二 或者是什么？呃，一逗号二乘三六。来，这个时候你给他这两个点啊，看一眼啊，放回去看，对不对啊？
147王不苟
01:23查看AI文稿AI文稿高考的数学和山东专升本高数相比，到底哪个更难？今天这个视频给大家讲明白。单看试卷题目的灵活度，专升本的高数整体是低于高考数学的。 高考数学题灵活多变，综合性强，有很多压轴难题，非常考验解体思维。而山东专升本高数分为高数一、高数二、高数三，难度依次降低，绝大多数都是基础题型，套路固定，很少出现偏题、怪题，把公式记牢，多杀真题就可以拿分。但是二者学的内容不一样。 高考学的是高中数学知识，专升本的高数主要考察极限、导数、微积分这些大学内容，很多知识点的难度高中根本不学，相当于重新学一套新知识。难度最高的是高数一，整体的水平接近高考文科数学中档难度，高数二难度更低。高数三以基础计算为主啊，是最简单的一类。 这里纠正一个误区，不要拿你当年的高考数学的分数，直接预判专升本高数能不能学好，高中数学不好，不代表专升本高数就学不会。高考看重思维天赋，专专升本高数更看重，它是记公式，反复刷题练习。 但是也要提醒大家，题目简单不等于上岸容易，像计算机这类啊，考高数一的热门专业，报考人数多，想冲公办院校，分数线就比较高，千万不要因为考题不难就放松警惕，不清楚自己专业考哪一类高数，不知道怎么规划的，可以把你的专业打在评论区或私信我啊，我帮大家分析。
05:32查看AI文稿AI文稿好，哎，他们以这角阿尔法的顶点为坐标原点使边与 x 轴的非负半轴重合中，边上有两个点啊，一个是 a 点，一个 b 点，对吧？ 他给了这个口三按阿尔法等于三分之二，让你求这个 a 减 b 的 绝对值，对吧？好，这个我看到这个口三按阿尔法，我，我第一件事就想到的是那个二倍角公式，对吧？啊？我先把这个口三按阿尔法给它展开， 口塞二个阿尔法啊，那第一个就是口塞阿尔法方，对吧？减去塞阿尔法方，它还等于二倍的口塞阿尔法方减一它还等于一减去二倍的。什么塞阿尔法的平方，对吧？ 好，那这里呢，他给了两个点吗？对吧？啊？我们用第一个点，那你看这个口塞阿尔法 啊，咱们这些写着定义口在 r 吧，是不是等 x 比上根号下一加，这个 x 方加 y 方呢，对吧？对吧？口在 r 吧， 没错啊，好，那你带进去啊，那就是横着包是一吗？有一除以根号下一加 a 方，对不对？好，那这个口在 r 吧，还有一种表达方式，呃， 是不是用那个另外一个点，对吧？用另外一个点表示，另外一个点表示呢？就是横坐标是二，是不是除以根号下是不是 e 加上 b 方 四加。哦，对对对，是四加，我看错了啊，它是横坐标，是的，是的。哦，这是四啊， 好，四加 b 方，对吧？好，那这个其实我们可以找到 a 和 b 的 一个关系吧，对吧？你这两边平方是不是一除以一加 a 方，对吧？是不是等于四除以四加 b 方，对吧？啊？稍微交叉相乘的就是四加上 b 方，这个乘它，对吧？是不是等于四加上四 a 方啊，对吧？因为这两个是抵消了，对吧？好，所以得到这个是，嗯， b 的 绝对值，是等于二倍的 a 的 绝对值，对吧？ 好，咱们先写在这里，然后呢，它这个地方是给了一个具体的数字嘛，对吧？那我其实可以先算出 a 或者算出 b， 对不？对？啊？那你先这样子，你看用这个我换个颜色，我们口塞 r 法是不是等于这个，对吧？那你把这个是不是带进去了，对吧？啊，所以呢，就是二倍的它的平方那是不是二乘以 一加 a 的 平方分之一，对吧？减一是不是等于那个三分之二，对吧？好，这个我们算一下，那就是一加 a 方分之二是等于这个加，这个是三分之五，对吧？好，这样就可以把 a 算出来， 好，那就是六等于五加上五 a 方，对吧？所以 a 方是等于啊。五， a 方等于一，所以 a 方是等于五分之一，对吧？好， a 方等五分之一。呃， 其实我们还不知道它是第几相线，对吧？好，先不管了，所以我们先算出 a 等于几？ a 是 不是正负五分之根号尾，对吧？好，刚，咱们算出啊， b 的 绝对值等于二倍的 a 的 绝对值的，所以呢，这个，嗯， b 的 绝对值应该等于啊，五分之二倍根号五，对吧？所以 b 是 等于正负五分之二倍根号五，对吧？ 好，这时候呢，有一个问题，就是 a 和 b 我 不知道是一正一负呢，还是一都是同正，对吧？嗯啊，那怎么去看呢？好，我们这里画一个平面直角坐标系 啊，中间上面一个点，你看这两个点的横坐标是不是都是正的？那要么他就是位于第一象限， 要么就是位于第四象限，对吧？如果两个点都在第一象限的话，这是 a 点，这个是 b 点，那他们的 a 和 b 都是对，都是大于零的，这是一种情况。那如果都是位于第四象限，那 a 和 b 都是 对， a 和 b 都是小于零的啊。好，咱们先取第一种情况。好，第一种就是 a 和 b 都大于零的， a 就是 五分之根号五，对吧？那 b 就是 五分之二倍根号五。好，你算一下这个，这个是 a 减 b 的 绝对值，那这个应该是 对五分之根号五，对吧？好，那所以应该选的是 b， 但是你肯定在想，那万一 a 和 b 都是负的，那怎么样啊？那你看啊， a 等于负五分之根号五，对吧？那 b 就 等于负五分之二倍根号五，这个算完之后还是多少？ 哎，还是五分之根号五啊，所以就不影响。所以这道题答案选的是 b 选项，对吧？嗯。
40张生讲数学
01:29查看AI文稿AI文稿经常有高中的同学在问，有没有专门讲解新高考数学第十九题，也就是新定义大题的书。今天他来了，就是这本由山东大学数学学院张天德教授领衔编写的新高考数学第十九题应对策略。像是新 心情境新定义下的集合论问题、心情境新定义下的函数问题、心情境新定义下的竖列问题、心情境新定义下的几何问题、心情境新定义下的概率同 统计问题、新情境新定义下的出等述论问题，以及新情境新定义下的大学数学问题，都有针对每类问题，都会先进行详细的方法技巧的总结，再结合经典例题， 一步步拆解分析思路，最后搭配上针对性的练习题，助力同学们学以治用，实现熟练和巩固。由于今年新高考数学一卷的第十九题风格贴近上海卷压轴题， 之前像是二零二四年新高考数学一卷的第十九题也参考了北京卷的压轴题出题思路，所以这本书中也特意收入了上海、北京两地的优质市题。 可以说，关于新高考数学第十九题这类创新题型，从方法沉淀到实战演练，书中都为同学们安排的明明白白。
18数学包
31:58查看AI文稿AI文稿好了，同学们，那现在由我给大家讲解一下二零二六年春考数学试题。 呃，今年的考题相较于往年来讲啊，没有什么太大的题型变化啊，跟我们本身预测的方向也是一样的，那它也是比较符合历年的这个考试题型啊。呃，简单的题，它基本上就是 考单纯的公式应用啊，那也有一定的难度啊，你比如说我们在这个排列组合里面啊，这个十四题啊，包括后面的选择题，二十题，数列问题 以及这个填空题中啊出现的解析几何二十五题啊，求夹角这个问题。呃，他是其实将我们的解析几何和三角函数进行了一下小小的结合。呃，再就是大题里面这个 三十题。呃，二十九题，其实考大家的立体感吗？啊，很多同学对于这个折起来之后这个，呃几何图形看不太明白。 再就是三十题啊，三十题其实本身看到这个题感觉上比较简单的，因为抛物线它整体这个解析式比较简单，与我们平时求面积这个问题啊，很多同学看到之后就能想到，但是呢，它里面有一个啊，未知量，就是这个 a 点的位置和 b 点位置， 所以很多同学对于这个题也是做的不好啊，当然有可能是时间问题，很多同学时间来不及的话，三十一是没有法做的啊。那接下来由我为大家讲一下这里面的一部分题型哈。 呃，那我们先来看一下这个第四题。呃，第四题，它是一个比较常规的题型，考到的是定域问题，对于定域，我们知道它是 x 的 取值范围，那对于定域的求法，我们只需要去记住四点特殊位置即可。第一点， 当我们遇到偶次根号下的式子，应该整体是大于等于零的啊。第二点， 分母啊，如果说出现分式，那我分母位置应该不等于零。第三点，对于真数的 啊，对数的真数位置，它整体也要大于零。第四点，就是零指数的底数位置，它应该是不等于零的。 呃，基本上我们考察到的就这就这四个特殊位置。那像有的同学说啊，我们学过对数，说这个对数的底数啊，需要大于零且不等于一，这个是对的，但是呢，我们在春考中基本上不太会出现。 那这个需要注意的问题就是什么呢？就是对于这个特殊位置，你不能遗漏，而且你要会去求这个不等式解析。你像对于今天这个第四题啊，他只有两个特殊位置，一个就是 x 加二在偶次根号下，所以偶次根号下，也就是 x 加二，整体应该是大于等于零的啊。其次，我 x 还在分母位置，所以 x 是 不等于零的。那这两个不等式整体也是比较好求的啊， x 加二大于等于零，也就是 x 大 于等于负二， x 不 等于零，那不用求，直接 x 不 等于零。它现在给到我们的选项啊，是区间的表示形式。那我们也要会去算区间的表示形式 啊，大于等于负二，也就是负二到正无穷，那我不能等于零，我需要把这个零给扣掉，所以区间写法是负二到零前 b 后开区间。注意啊， b 区间和开区间的区别，并上零到正无穷，开区间就可以了啊，所以这个题应该选自己选项。 呃，对于定域的考法是比较频繁的啊，基本上三年一循环。呃，如果说他在选择填空里不考到定域问题的话，那其实他有可能在大题中涉及到你。比如说我们在 呃函数里啊，证明函数基有性时，我们也需要先去证求出它的定域，然后才能去继续去证它的基有性。好，下一部分，第八题， 第八题，这个题啊，它是离散型随机变量啊，这个分布列，那它是我们二零二五年新加的一个内容啊。对于这个内容，二零二五年它的这个考点是概率和等于一 啊，一直加到偏，它的概率之和啊，等于一，那今年它考到的是 x， 这个随变量的均值，也就是 e x， 那 它用到的公式就是 e x 等于 x 一 p 一 加上 x 二， p 二，一直加到 x n p n 啊， x n p n 啊，那对于这个式怎么说？直接运算就可以啊，上下相乘，再相加一乘以零点二，加上二乘以零点二五，再加上三乘以零点三，再加上四乘以零点二五 啊，那就是零点二，加上零点五，再加零点九，是零点三啊，那再加四乘以零点二五是一啊，零点六。 呃，零点七，一点六啊，它相加等于二点六啊，这个是我们随机变量的第二个考点啊，就是 e x， 就是 均值的求法。那在离散型随机变量里，我们说它其实总共就三个考点， 第三个考点就是我们说的这个 d x， 也就是方差的求法。这个公式比前两个公式都要复杂啊，它是 x 一 减去 ex 啊，乘以 p 一， 平方乘以 p 一， 再加上 x 二减 ex 乘以 p 二，一直往下相加就可以了啊，那现在两个考点已经考到，三个考点考到两个，那我们其实完全可以大胆预测一下，二零二七年会不会考这个呢？ 当然我们说统计部分啊，其实很多同学的这个呃侧重点偏了。呃，统计部分其实是我认为比较好得分的一个部分啊，它每一部分的考点非常的集中，而且它基本上全是考你公式应用的，所以基础差的同学可以在统计上多入手一些。 好，我们继续来看一下十三题。 为什么要讲到十三题呢？因为十三题本身它也属于统计部分的一类啊。呃，这个 二项式它是必考内容啊，不管每年的这个呃考试题怎么变，二项式是必考内容，而且二项是我们说只需要掌类掌握七类题啊，那你二项式的话就不会有问题。 那他现在考到的说是第二项的二项是系数是七，问你第三项是多少？根据我们总结的题型啊，那他说第二项我们可以去写一下它的通项公式，也就是 t m 加一啊。 t 二 第二项也就是 t 二， t 二等于 c n 一， 那 c n 一， 它说这个是我们的二项式系数吗？ c n 一 等于七，就说明我这个 n 是 等于七的， n 等于七，让我求第三项，我再 把它换成 t， 就是 t 三应该等于 c t 二 x 啊， n 减 m 也就是五次方，然后再乘以负 x 分 之一的二次方。对于二项式，我们需要整理的就是把常数先挪到前面，你像这里面常数就是负一的平方，也就是一，然后再 c 七二 c 七二。 好，我们重新写一下啊，这个 c 七二，然后 x 五次方， 后面是 x 分 之一的平方，那 x 分 之一的平方以 x x 分 之一，就是 x 负一次方的平方啊，也就是 x 的 负二次方，所以它是 c 七二 啊， x 的 三次方，那对于这个 c 七二，我们需要运算结果， c 七二啊，根据公式， c n m c n m 等于 a n m 比上 a m m 啊，也就等于七乘六，比上二乘一啊。 好，那我们可以继续往下看下一个题。呃，关于二项式啊，它的基础其实是指数运算啊，在我们这个讲函数的时候的指数运算，负指数啊啊，分数指数啊等等，它都会涉及到啊。我们来看一下十五题， 十五题他考察到的题型主要就是函数的数形结合，那在春考里，数形结合是一个比较重要的部分。我们说如果对于这个函数 你不太明白的话，你可以去试着画一下它的图像，它的图像我们画的要求就是我只要能满足基本题意就可以，当然你不能与我们的题意相违背啊。好， 首先我们看到这是一个奇函数，那对于奇函数，我们知道的是他的图像特点就是关于坐标原点零零对称，他说这是一条曲线，在区间零到四上是增函数，在四到八上是减函数，那我就可以取到零到四， 四到八，他让你增你就增，他让你减你就减，那我就可以画出零到八的一个减图啊，在这这觉得是四哈， 那现在他问我负八到八的单调递减区间是哪一部分，那我就可以根据我的，根据我这个图像啊，去把它画一下啊，那因为它是一个奇函数，所以它整体图像是应该对称的 啊，这是负四，就是负八，根据我们的对称的特点就可以了啊，那现在他问你单调递减区间的话，那我们就可以做出选择了，整体我往下的一个趋势就是单调递减的 啊，它是这样子的啊，好，那对于这个题啊，嗯，它问你单调地点区间，其实我如果说出现选项四二八的话，也是可以去去选的啊，但是现在它是一个选择题，你只取它正确的部分就行。 好，那接着我们来看一下这个十六题，对于这个十六题啊，他考察到的是直线和圆的位置关系。那对于直线与圆的位置关系，咱们说了也是年年考啊，他考到三个部分啊，一个就是直线与圆相交， 再一个是相切啊，最后一个是相离，那他每年考到的点就是这么几个啊，香蕉相切 啊，直线和圆啊，香蕉相切和相离， 那对于相交，我们考察到的就是这个弦长啊，把这个弦长公式一记，就是二倍的根号下二方减地方，那这个题就可以完成。那相切的话，它是考你切线方程。 那第三点就是我们这个今年考到的点就是相离，然后他告诉我们说 这个直线和，呃，其实我们基本上考到这个相邻哈，考察到的是圆上的点到直线的最大距离和最小距离，那最大距离其实就是 d 加最小距离就是 d 减啊，现在他说我原先到直线的距离为 d， 那 其实我们就知道 啊，这个就是 d 啊，那现在他问我们说下列下列结论正确的是，那其实我就可以去把这个 d 来表示一下，对于这个圆来讲，我可以把它变成最标准的形式，或者说你直接根据公式也可以啊。现在这个一般式我再变成标准式，就是 x 方 减二， x 加一加外方，那我平白无故给它加了一，我要再减去，也就是减一减三，也就是减四等于零。 那我标准方程就是 x 减一的平方加上外方等于四，也就说我这个圆儿圆心坐标是一，逗号零，然后半径 r 应该等于二。 那首先我说了，你这个式子，我是 d 在 这里，我的 r 在 这里，那我相邻 d 必须要大于 r 才会相邻啊。 b， d 必须要大于 r 才会相邻。所以我就算出啊，我这个 d 应该是大于半径二的啊，这个其实和我们之前的考点有点不太一样，但是呢，它也是考察的 d 与 r 的 关系。 好了，那我们继续来看。 嗯，我们来看一下这个二十一题啊，关于这个对数函数的问题，关于这个对数应用啊，高考完之后就有同学问老师啊，说这个表示形式忘了，那我们来看一下对于这个对数形式。 对数形式，我们来看一下它给到的，说 log 以二为底 a 的 对数等于四，那也就可以把它用对话纸的方向去看一眼，就是二的四次方等于 a， 那 等于十六。 下下面让你求的就是 log 以十六为底八的对数。好同学说这个十六为底八的就是怎么办？四又不呃，八又不能变成四多少倍，但是我们说了这个，其实考察到的就是八和十六都是二的某次方， 所以我可以将这个十六变成二的四次方啊，然后八变成二的三次方。根据真数的指数可以直接提前啊，变成倍数底数的提前，底数的指数提前变成倒数，所以的它等于四分之三啊。 嗯，对于这个知识，实际上考察到的我认为是比较偏的啊，因为对数这部分，很多同学这个运算都忽略掉了，哪个呢？就是这个底数，所以对于这个春考，我们说了，把细小的点都要把它把握住 啊。我们再来看一下二十四题啊， 啊，二十四题， 对于这个题啊，其实做法有很多呀，很多同学就是，嗯，对于这个题，他的形式转换过多，反而不习惯啊。但其实我们说这个题方法很多啊，老师先给你讲两个方法，第一个方法就是我们一向过去得到 三弦阿尔法等于三倍的扣三弦阿尔法。那这个题啊，主要考察到的是同角三角函数基本关系式，而先给你写一下关系吧，同角三角函数基本关系式啊，有两个，三弦阿尔法方加上扣三弦阿尔法方等于一。再一个就是 tangent 阿尔法 等于三二法，比上扣三二法啊，这两个公式就可以解决这个问题啊，那我知道了，三言二法等于三倍的扣三言二法。那我直接代入到第一个式子就行，也就是三言二法方 加上扣三言阿尔法方等于一。那对于这个式子中，三言阿尔法是三倍的扣三言阿尔法平方就等于九倍的扣三言阿尔法方 加上扣三衍阿尔法方等于一啊，也就是十倍的扣三衍阿尔法方等于一，也就是扣三衍阿尔法方应该等于十分之一。 那对于这个题，这是第一种做法啊。第二种做法，还有同学说，我根据 三衍阿尔法等于三倍的扣三衍阿尔法两边同时除以扣三衍阿尔法，可以得到 tangent 阿尔法等于三 啊。然后将我要求的扣三页阿尔法的平方把它整体除以一，那一又是一的代换啊，三页阿尔法方加上扣三页阿尔法方 啊，再将这个式子整体除以正切呃，于弦的平方就得到正切，也就是一比上 tangent 阿尔法平方加一 啊，两种方法都可以，整体也是啊，比较简单的一个应用啊。但是很多同学看到这个十字之后，呃，会有一点点慌啊，因为它正弦和余弦相加相减了。 好了，那我们再接着来看一下大体，嗯，大体啊，其实是很多同学比较容易失分的地方，因为大体你一个是需要注意啊，你的解析思路，再一个就是你需要注意一下你的作题步骤 啊，这两年其实这个卷面也是占一定的分数的啊。啊。首先我们来看一下这个题， 呃，其实等差等比历年都会考啊，他会交替着去考， 那一年考的是等比，有没有可能他去考一个啊？等差混合等比呢？那都是有可能的。但是我说等差等比数列这一块，他的性价比是最高的，因为他的公式基本上你背了就会考到啊。 来看一下第一个，第一个其实是在新航标一轮复习书上有一个原题哈，这个第一个是原题，那，那我们要去算这个值的话，呃，第一个我们要去求函数值的话，呃，常数值的话，我们要先去把它这个呃 式子看一下啊，它等比数列嘛，那我 sn 有 了，那人家说我需不需要去用那个已知 sn 求 an 那 个步骤啊？其实我认为是不用的，因为你这个常数值直接去求就可以了啊，因为他已经告诉我是等比数列了，所以我只需要去求出 a 一， 求出 a 二，求出 a 三，那我有了这三项之后，我直接根据一个中项的性质，也就是 a 二的平方 啊，等于 a 一 乘 a 三就好了啊，那这个题我去求 a 一 a 二 a 三，根据的这个式子就是 a n 等于 s n 减去 s n 减 e 啊，就是根据这样子的啊。好，那我们可以把这个式子 去整体去写一下啊。首先第一部分你要写几啊？因为 s n 等于 二的 n 次方减 c， 所以 我 a 一 等于 s 一 s 一， 我代入也就是二减 c， 那 a 二应该等于 s 二减去 s 一， s 二，我代入也就是四减 c， 再减去这个二减 c 啊，那也就是展开括号变成了加 c 四减二，也就是二，那 a 三 a 三应该等于 s 三减去 s 二， s 三应该是二的三次方，也就是八减 c。 哈 啊，八减 c 减去二减 c， 八减二，它应该等于六 啊，这个带错了啊，这个是 s 二十四，所以它应该等于四啊，那我们这个式子就可以得出来了啊，我这个 a 二 a 三 a 一 都有了，那我可以根据一个中项的性质，也就是 a 二的平方等于 a 一 乘以三啊，那我写在下面就可以在，因为啊，它是一个等比数列，所以 a 二的平方等于 a 一 乘 a 三，那么 a 二的平方等于四，它就应该等于 二减 c 再乘以这个四啊，所以二减 c 应该等于一，所以 c 应该等于一 啊，所以我这个 s n 就 有了 s n 就 应该等于二的 一次方减一啊，那当然这个题是二的 n 次方减一啊，那这个题让你求 c 的 话，你到这步就已经可以了。那么第二问它涉及到了这个 a n， 我 就要去把这个 a n 来求一下啊，那这个 a n 的 话， 直接根据 a 一 a 二 a 三就可以去求了啊，那我们可以得到 a 一 等于一， a 二等于二。所以实际上我第二问这个 a n 啊， a n 应该等于 a 一 乘以 q 的 n 减一次方，也就是一乘以二的 n 减一次方 啊，那对于这个式子啊，我们就可以得到 a n， a n 就是 二的 n 减一次方。那第二问涉及到 s n 和 a n， 我 先把这页删掉啊。 啊，那这个 a n 等于二的 n 减一次方，那第二问令我说了，我要 s n 大 于 a n 加上三十一嘛，那我就可以先去求一下 s n 啊，那 s n 第一问题，我们算出 a 一 等于一，然后 q 等于二，我就可以根据 s n 前项和公式啊，一减 q 就是 一减二分之 a 一 乘以 一减二的 n 次方，那把它化简一下，一减二是负一，给到上面就是二的 n 次方减一。 那我现在要解的式子就是二的 n 次方减一，大于二的 n 减一次方，加上三分之三十一。那对于这个式子，我可以移向移到左边去，它就会变成 二的 n 次方减二的 n 减一次方大于三十一，挪过来变成三十一加，也就是三十二 啊，那我们就会说到一个指数运算二的 n 次方，实际上我写在这里啊，二的 n 次方，实际上就是二乘二的 n 减一次方，那二乘二的 n 减一次方，减二的 n 减一次方，也就剩了一个二的 n 减一次方大于三十二， 三十二是二的五次方啊，所以我们就可以去把它这个式子的，因为它以底数为二嘛。啊，因为它底数是二，所以整体是单调递增的，那单调递增的五， n 减一就应该大于五， 所以 n 应该大于六。他现在问到你 n 的 最小值，那我们不能取六，因为我这个不等式的范围是没有六的啊，那所以我 n 的 最小值 为七。那，那其实通过这个题我们可以得到一个什么结果呢？就是 对于高考，他的出题其实是比较比较灵活的啊，这两年，那他其实考察到的还是我们的前向和还是我们的啊，通向公式。这里面其实他还考察到了我们指数的运算啊，指数的应用 啊，包括最后我们在取值的时候，很多同学看到 n 大 于六，就取了六，但实际上我们是取不到六这个值的。 好，我们再接着来看二十八题，嗯，二十八题考察到的是一个解三角形的问题啊，对于解三角形，我们说其实， 嗯，感觉上它是比较难的，但是呢，对于这个解三角形，这次考察到的它是比较简单的啊。 好了，我们来看一下，呃，这个这个题啊，先来复习一下这个解三角形的一些知识点吧。啊，对于解三角形的话，我们说它用到的知识点无非就是于弦定里，正弦定里啊，于弦定里里面 余弦定里面包括边的余弦和角的余弦啊，边的余弦？是啊， a 方等于 b 方加 c 方减二 b， c 乘以扣三 a。 那 这个式子什么情况下用呢？当我已知两边及夹角时 啊，你像这个式子啊，边 b 边 c 角 a。 我 知道这三个量两边积夹角时，我用边等于弦是最方便的。那如果是角扣三 e a a 等于 b 方加 c 方减 a 方比上二 b c。 你 像这个式子啊，就是当我已知这个三边关系的时候，它用这个是最好的。当我正弦定零， a 比上三 e， a 等于 b 比上三阴， b 等于 c 比上三一 c 等于二 r。 那 我们说这个式子啊，两边及对角或者两角一边用这个是最棒的，因为我们说直接可以得出结果啊。那我们来看一下这个题需要什么条件 啊？首先它告诉了我们一些条件，在高考中遇到这种题，你应该先用铅笔啊，把它基本条线描就是写上去，然后看一下它条件是什么。首先它说 o a j 的 距离等于七， 然后 a m 这样的距离等于十一，然后角 o a m 的 余弦值知道了。那现在我标了这三个条件之后，我就可以直接说，我们刚才的第一个公式用的就是它啊，现在就是两边及夹角，我去解三角形 a o m 就 可以了 啊，那因为这个地方有点窄，所以我先写第一问，然后我们再去分析第二问啊，我就可以直接去解 啊，在三角形 o a m 中，我把条件设为以列，因为 o a 等于七啊， o a 等于七， 稍微有点卡顿啊啊，因为 o a 等于七， am 等于十一，然后扣三音减二， o a m 等于十四分之十一，所以我们可以直接把公式列出来，就是 o m 的 平方应该等于 a m 的 平方，加上 o a 的 平方，减去二乘以 a m 乘以 o a 乘以扣三阴减 o a m。 一定要把数据带准确啊，那 a m 等于十一，它的平方就是一百二十一，加上 o a 的 平方应该是四十九，减去这是十一，这是七，然后这个值是十四分之十一， 那我们二七十四可以跟它约掉，就是一百二十一啊，所以它等于四十九，千万不要着急下结论啊，我们算的时候 n m 的 平方，所以我们再不要忘去开根号，这个 o m 应该等于根号下四十九，也就等于七啊。这第一问的结果， 我把这个标上去， o m 等于七啊，它俩都是七，然后把这个删掉啊，再看第二问 啊，这是七，这是七，这是十一，然后这个角是十四分之十一啊，然后第二问，他说我在 a m 之间选择一点 b， 然后修建这个栈道，角 o b a， 这个角等于一百二十度，让我求 o b 的 长度， 那对于这个三角形 o a b， 我 标的的条件你也可以看到啊，两个角以及这条边，那现在我们用到的实际上就是一个正弦定律了啊，对边比对角等于对边比对角，也是一步可以算出 o a， 但是这里面有个问题，就是我知道的这个角 o a m 并不是知道的这个角，而是知道它的余弦值，所以首先我第一步要先去算出它的正弦值啊，我就可以 第二问啊，因为扣三一减二 o a m 等于十四分之十一，所以我这个三一减二 o a m， 它应该等于根号下一减十四分之十一的平方，十四的平方就是一百九十六啊，一百一十一的平方是一百二十一，它俩相减就应该等于 七十五，那也就是根号下一百九十六分之七十五，那一百九十六就是十四，那七十五，我可以把七十五变成二十五乘以三，所以它应该等于三倍根五。 那现在这个三角形 o a b 中 啊， a o o a 给的是 o a， 那 我们就用 o a 哈， o a 等于七，然后这个三阴减二 o a m， 刚才我们算它等于十四分之三倍，根号五。还有一个是这个三阴减二 o b a， 也就是刚才给的，人家这是一百二十度嘛，三根值应该等于二分之根三啊，所以我们知道的是 o a 对 边比上三根减二， o b a 等于要求的这个 o b 比上三根减二 o a m 啊，那所以我就可以直接代量啊， o a 等于七七比上三一减二 o b a， 也就是二分之根三 啊，等于 o b 比上刚才我们算的这个十四分之三倍根号五。 呃，那对于这个题啊，很多同学有个问题，就是它的运算啊，运算，我认为这个题交叉相乘是更好一些的，交叉相乘完了之后，就是二倍二分之根三倍的 o b 啊，等于它俩相乘的话，你看相乘约掉七就是二分之三跟五啊，那我把二同时乘上去，再除以根三就可以了。 除以根三啊，他就变成了三分之三倍，根号下十五 啊，这是一个运算啊啊，那对于这个三角函数题，他其实解的比较简单，我们说往常年他考到解三角形 就会非常的复杂，他可能需要连续的解两到三个三角形才能出现结果。但今年他给的这个题确实是比较简单，可能也是因为他把这个难题压在了三十题上。啊啊，那今天我要试讲的部分就这么多啊。
111我欲医天
32:13查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，今天呢，我们来讲解一下二零二三年山东省春季高考数学真题。下面我们来看一下第一题。 第一题考个是集合的内容啊，我们看一下题，他说集合 m 和集合 n， 那 我们求集合 m 与 n 它们的什么集啊？交集啊，交集，我们说交集就是找相同，对吧？ 找相同部分， 那我们看看这个集合 m 和集合 n 它们的相同部分是什么？ 集合 m， 首先是 a、 b、 c， 那 我们是不是看看这个 n 里面有没有 a、 b， c 啊？哎，我们看 n 里面第一个是 b， b 呢？是不是也它俩是相同的， 那 c 呢？ c 是 不是和 m 里面也有相同的？哎，看 d 和 e， d 和 e 是 不是就不和 m 相同了啊？ m 集合里的元素相同了， a 呢，我们在这个 n 集合里也找不到，所以说最终就只有两个被我们找到了，那就是 b 和 c 是 它们共同的部分，那 b 和 c 就是 它们的交集，哎，对不对？所以第一题应该选择 a。 好，再看一下第二题。第二题呢，这个题考的是我们函数的定义域，函数的定义域呢，实际上就是考察我们对什么对基本出等函数定义域的一些理解。哎，你像如果我们给大家一个分式，我们下 x 分 之一， 对不对？它的定域是不是定义为 x 不 能等于零啊？ x 属于二，属于整个实数基，但这个 x 不 能等于零啊，哎，这是分数的定域，那同时， 哎，那根号恰的定域呢？根号 x， 根号 x， 它的定域是不是 x 要大于等于零？哎， x 要大于等于零，这是它的定域啊。 那我们看一下这道题怎么考的？这道题给的我们是一个分数的形式，对不对？分式的形式， 分式底下呢？它是 x 减三，我刚才告诉大家，如果啊，它是分数的话，哎，它是不是应该满足这样的一个定律呢？但是我，我们这里呢，我们写的是 x 分 之一，这里呢是 x 减三，对不对？那我们如何 去判断它的定义的？魔说，这里面的 x 啊，它代表的只是一个什么？一个整体的代表 什么？整体的就是分母，整体的代表 什么意思啊？也就是自变量啊，分母叫做什么？分母？这里面这个 x 就是 整体的啊，一个代表， 那我们可以把它写成什么？写成一个底下一个框框分之一啊，底下一个框框分之一，那它的定义域是什么？首先这个框框不能等于零，第二呢，这个框框要属于整个实数级，对不对？嗯， 那同样这里面我们是不是也可以把这个 x 看成一个框框，哎，我们就这样写，哎，看到叫根号根啊，根号下框框，那它的定义呢？应该就是框框大于等于零，实际上框框代表了什么？代表的是根号下的这个整体，对不对？哎， 我们写一下啊，叫做 啊，代表根号下的一个整体啊，同样这个呢，代表这个分母的整体，对吧？分母的整体 啊，这个呢就表示分母，对不对啊？分母不能等于零，那我们看一下这道题，我们说 x 减三，这个整体，我是不是可以卡它看成一个框框，它是不是不能等于零啊？对不对？嗯，它不能等于零，它并且呢属于整个实数集，对不对？那所以说， 哎，它不能等于零，且 x 减三要属于整个实数集，那我们可以得出什么？得出 x 不 能等于三，他又要在整个实数集上，是不是就相当于我们在数轴上 哎，找到了 x 等于三的这个点，但是呢，我们把 x 等于三这个中间给它挖去，对吧？给它挖去一样，哎，给它挖去，给它掏出来，哎， 就代表的是这个意思啊。 所以 x 减三啊，不等于零，并且 x 减三属于整个实数级，那它的定，那么它啊就是分母这个定义。我们首先先确定了啊，父母的定义，它是不是就是负无穷到三，因为它不能等于三，等于三的话，分母就等于零了，对不对啊？再并上一个什么 三到正无穷啊，对不对？这是分母的定义。好，分母的定义我们看完了，我们再看一下分子的定义啊， 分子的定义是什么呢？是根号哎，根号 x， 刚才我们说到 x， 我 们可以看成根号下啊，一个框，那底下这个框是不是整体要大于等于零啊？那我们说这个框是不是也就是根号 x， 那 这里面的框 我们说 x 对 不对？就是这个 x， 它呢应该大于等于零，对不对？我们写成集合的形式啊，写成我们这个 区间的形式，是不是又表示，呃，它呢应该是大于等于零的，应该是零到正无穷啊，零到正无穷，对不对？好， 那我们说求定义域啊，求这个函数的定义域呢？要分子和分母它们共同取它们共同的定义域，也就是第 u 第一道选择要我们求的这个交集，我们要取什么？ 取一和二啊，这两个定域的交集对不对？我们看一下怎么取啊？啊？我们刚才说一的定域啊，它是在这，哎，是吧？这取到零，取不到零，取不到三啊， 啊，所以把这个三舍去，把，它是在这两部分那，哎，那，那那个根号下的这个 s 大 于等于零呢？哎， s 大 于等于零，我们要把这个零先找到啊，把零先找到， 零呢？在这个点大于等于零，它是不是应该就是实心的啊？实心的，然后大于零等于零，哎，应该往这走，所以说我们看一看它们共同相交的部分在哪里， 是不是在这里啊？在这两块啊，对吧？在这两块，那这两块我们先表示一下这第一块，再表示一下这第二块。第一块我们看到那他是不是从大于等于零到小于三这个部分，所以说第一块呢？应该是 这样表示啊，大于等于零啊， b 之间零到三，哎，并上。什么并上？我们刚才说的这个三到正无穷，哎，三到正无穷，好，那这个呢，应该就是我们最终的答案，我们看一下最终答案的话，我们看这个题应该选什么呢？ 对，这个题应该是选 d。 好 好，大家明白了吗？好，下面我们看一下第三题。 第三题啊，考的是这个命题的真伪性啊，让我们判的命题是真是假，那么看一下啊，给了我们几个命题啊？给了我们两个命题，一个呢是屁命题 啊，一个是它 q 命题， p 命题当然很好判断，它告诉我们什么，它说 p 命题是四大于等于三，那四大于等于三，它对不对呢？那肯定是对的，所以说第一个命题是什么命题？对的，它就是真命题啊，真命题。 那第二个命题我们是不是需要判断一下了？他说第二个命题，什么？他说对于任意的啊，这个表示任意， 对于任意的 x 属于整个实数，这个二表示实数，对吧？对，整个实数级，也就是整个数轴上的值啊，整个数轴上的值，它说二 x 都大于零，哎，都大于零，这个对不对呢？我们看一下二 x， 这是一个什么函数啊？ 这是一个指数函数，哎，这是一个指数函数，我们说指数函数，我们应该，哎，怎么去判断呢？ 好给大家表示一下啊，我们说指数函数，它有两类对不对？一个是什么呀？一个是 y 等于 a x， 其中 a 呢？是大于一的，另一个呢？ 另一类的是什么？是 y 等于 a x， a 呢？是小于大于零的啊， 对吧？还有这两类。那第一类呢，我们说如果 a 是 大于一的，那么它的图像应该是这样的，横过啊，零一点啊，横过这个零一点，并且图像是这样的啊。那第二类就是说 这样的，它横过同样也是横过零一点，但它是什么样的？它是一个减的，哎，它是一个减函数， 对吧？它是一个减函数，但我们观察一下它们的这个整个的定律，是不是就是这个实数轴啊？你看 就是一个十数轴，对不对？因为他们的图像是这样的，在整个，哎，在整个什么？在整个这个二维平面上无限延伸的啊，无限延伸的啊，无限延伸， 所以他们的定义域呢？是整个实数基啊，没有错，所以说这个是符合了，对吧？这个是符合了，但啊，这个符合，但，后面呢？我们说大于零，它意思就表示 y 等于二 x， 这个指数函数，它永远是大于零的，哎，它的函数值永远是大于零的，对不对呢？我们看 y 等于二， x 它的 a 是 不是等于二，那等于二，我们就要找到 找到这两种，它属于哪一种，哎，它是不是属于这一种啊？啊？ a 等于二，因为底数它是二，所以它是不是属于这一种？属于这种，我们看一下它的整个函数图像，是不是横存在于我们的这个啊？ y， y 等于零这个值的上方呀，也就是 x 轴的上方，对不对？哎， s 轴的上方存在于这个上方，那存在于这个上方，它就说明它是大于零的，那大于零的就说明什么？说明它是对的啊，所以说这个 q 命题啊，它也是真的，哎，也是真的，好，既然它是真的，那就时候两个命题，哎，都是真命题，所以第三题应该选 a， 嗯， 好，下面我们再看一下第四题。第四题呢，考的是一个向量的问题啊， 他说 a 向量等于负一啊，二， b 向量呢，等于二和 m， 告诉我们 a 向量和 b 向量平行，这是一个重点信息。平行萌之前跟大家讲到过，如果两个向量平行，是不是意味着什么啊？ 向量平行，实际上就表示它们的对应线段成比例，对不对？哎， 就是这个向量啊，这两个线段的成比例，如果是 a 向量平行于 b 向量，哎，也就是说，我们可以推出这个 a 向量呢，一定会等于这样一个 lan 的 贝的 b 向量啊，因为它们只有成比例了才能啊，它们平行一定是成比例的啊， 因为向量是和什么有关，只和它的大小，和它的方向有关，对吧？那如果这是 a 向量，哎，这是 b 向量，对不对？那我就说它们平行，它们平行，我们就得出它们一定成比例，对吧？啊， 好，很比例，那进而我们就知道什么，哎，知道了什么？知道了它们的对应的坐标，是不是也应该乘比例啊？于是 y 二比上 y 一， 是不是等于 x 二比上 x 一 呢？进而我们能够推出来， x 一 乘以 y 二等于 x 二乘以 y 一。 嘿，只要满足这个条件，嘿，满足什么条件？满足我刚才写的这个， 他俩相乘啊，就是前面的这个 x 一 啊， x 二 y 一 y 二是满足， 只要满足，哎，前面的 x 一 啊，乘以这个，后面的 y 二等于后面的 x 二乘以前面的 y 一 啊，他们就是平行的了啊，这是一个重要的结论啊，重要的结论，希望大家记住。 好，那我们就用这个公式，哎，来来，给大家算一下啊， 来这里， x 一 乘以 y 二，那就是负一，对吧？负一乘以甲，负一乘以 m 等于什么？ d s 二乘以 y 一， 已知二乘二，哎，等于四，所以说负 m 是 等于四的，那负 m 等于四的，我们退出什么？ m 就 应该等于负四，对不对？所以说这道题答案了，应该选 d 啊，我们的负四。 好，再看一下第五题啊，第五题呢，给了我们一个图像啊，然后问我们这个，他们甲乙之间的关系啊，这两条线有什么关系？首先我们要看一下啊，这是什么图像 啊？这是路程，也就是距离时间图像。 对啊，距离时间图像，距离时间图像，给大家讲授距离时间图像，它是代表着什么啊？它代表它的斜率啊， 斜率代表什么？就代表着速度，它们的速度啊，为什么呢？我们看一下啊，距离和时间图像啊，它们斜率代表速度。我们看，如果 来，我现在给大家重新画一个图， 这是距离啊，距离， 距离 y， 时间呢？我用 t 表示，对不对？我呢直接画一条直线，我们说速度是等于什么速度？ v 是 不是等于啊？距离除以时间呀？哎， 距离除以时间，那我们看一下，我如果截取这一段，截取的哪一段？截取的就是这一段 啊？我求，我要求他的速度，我是不是就是我用我的距离除以时间，但我看看距离是什么？ 嗯，这是 t 一， 这是 t 二啊，这是 y 一， 就是 y 二，哎，我们看一下，我们说距，速度是等于距离除以时间的，只要我们能够推出在这个图像上，它的斜率等于距离除以时间，是不是就说明它的斜率就是速度了？哎， 我们看一下，我们求一下它的斜率，它的斜率是什么？是 y 二减去 y 一， 比上什么？比上 t 二减去 t 一， 对不对啊？ 啊？ t 二减去 t 一， 但 y 二减去 y 一 是什么？是不是就是这一段的距离呀？哎，就是 y 二到啊， y 一 是不是就是 y 一 到 y 二的距离啊？ 啊？ y 一 到 y 二的距离啊，那 t 二减 t 一 代表什么？ t 二减 t 一， 哎，是不是就是 t 二？那 t 一 到 t 二的 时间，哎？ t 一 到 t 二的时间，那是不是上面是不是就是距离啊？下面就是就是，不是就是时间，那么它们代表什么？是不是代表了速度啊？ 哎，代表着速度，所以具体时间图像，他们的斜率就是表示着速度，对不对？哎，那我们就看一下可好了。他问我的什么，问我谁跑得快？跑得快，谁跑得快，不就是说谁的速度大吗？ 哎，我们就看一看，谁的速度大，那就表明谁的斜率大，就问我们谁的斜率大？哎，谁的速度快就是谁的斜率大。哦，你们看 啊，起跑就是从零点开始起跑的啊，就是从原点啊。前个零，他说零到 x 一 是起跑阶段， x 二到 x 三是冲刺阶段。下面正确的是，他说起跑阶段就是这段啊，零到 x 一， 假跑得快，假跑得快，你们刚才说 快就等于什么大斜率大，哎，那我们看谁的斜率大。哎，甲是不是在零到一，它的斜率基本上都是这样一条，这样的对不对？而乙的斜率呢？是这样的， 那谁在上头，谁的斜率就大呀，对吧？或者我们直接一看也就看出来，所以，哎，假的斜率大，对不对？零到一阶段，假的斜率大，所以 a 选项应该是正确的 啊。他啊， b 选项，他说甲乙阶段啊，甲乙跑的一样快，肯定不对呀，你斜率都不一样，速度都不一样，对吧，怎么能一样快呢？ c 选项，那冲刺阶段，冲刺阶段是这儿啊， x 二啊， x 二 到 x 三，甲跑得快，甲跑得快，他说甲跑得快，对吧？那甲跑得快，应该甲的斜率大。哎，我们看一下啊，冲刺阶段，甲的斜率是横横着的，哎，基本上像这样啊， 那乙的斜率大，乙的斜率是这样的呀，对吧？那谁在上头呀？那是不是乙的斜率在上头啊？乙更斜啊，乙比甲更斜，那乙比甲更斜，那乙的速度快啊，所以说不对呀，应该乙大于甲呀。啊， 那 d 选项， d 选项，他说从此阶段甲乙跑的一样快，哎，肯定也不对呀，所以说，这个题就应该选 a， 对 吧？重要的就是快就等于斜率大，谁快谁的斜率就大。 下面再看一下第六题，第六题呢，告诉我们，三 x 十二负二四是等比数列，让我们求实数 x 的 取值啊， 哎，我们看一下等比数列，也就是说后项比前项啊，他们的值是一个常数，对不对？让我们看看，他告诉我们十二和负二十四了，哎，我们通过这两项，是不是可以把它的公比给求出来 啊？公比啊，就说 id 还等于负的，二十四比上十二也等于负二，对不对？公比就是负二，那公比是负二，那 x 呢？ x 不 就是十二比上 x， 它等于公比吗？应该也等于负二呀， 对吧？哦，这样一算，那十二除以负二等于 x， 那 x 就 等于负六，哎， x 就 等于负六啊，这样就算出来了，哼！所以这个第六题啊，应该选 a， 好， 那下面呢，我们再看一下第七题，嗯， 好，第七题呢，他说 f x 等于 m 减二， x 加四，在负无穷的正无穷上是减函数啊，注意啊，减函数，然后问我们实数 x 的 取值范围啊， 我们说一次函数，它有增函数，有减函数，对吧？哎，这样的属于什么函数？属于增函数。 哎，这样的呢，就属于什么函数？属于减函数，哎，对吧？属于减函数。那增，如果它是增函数，它应该 有什么特点呢？我们就说啊， y 等于 k， x 加 b 的 这个 k 呢，应该是大于零的啊， 这个呢， k 代表它的谐音，它的 k 应该是大于零了。那这个减函数的 y 等于 k， x 加 b 啊，它的 k 呢，应该是小于零了啊，小于零了，那我们看看题目，告诉我们它是一个减函数，那我们把它看成一个什么 k x 加 b 的 形式，是吧？ y 等于 k， x 加四，对吧？那这个 k 是 几呢？ k 不 就是 m 减二嘛，它说是减函数，那实际上就是 这个 k 小 于零，那也就是 m 减二小于零，那 m 小 于几啊？ m 小 于几啊？ m 小 于二，我们用这个区间的形式把它表示出来，那就是负无穷到二， 对吧？所以第七题应该选择 b 选项。 好，再看一下这个第八题。 第八题它说直线 l 呢？在 y 轴上的截距啊，是负二， 且直线啊，且这个直线呢，与 x 减 y 是 平行的。那问我们直线 l 的 方程啊，我们跟我们之前讲到过，如果两个直线是平行的，我们怎么去设这条直线呢？哎，怎么去设？如果啊， 怎么去设啊？如果告诉我们，已知直线是 x 减 y 加 c 一 等于零，它告诉我们与另一条直线 l 二平行，那 l 二怎么去设啊？我们看一下啊， l 二就是 x 减 y 加 c 二等于零，我们看下哪里变了？ c 一 和 c 二这里变了，对不对？哪里没有变？前面这部分没有变，记住，如果他让他说了平行平行，那就是哪里不变，这部分不变，然后这部分变一下就可以了 啊。同样，如果说 x 减二， y 啊加 c 一 等于零，让我们求啊，给了我们一个点，让我们求另一个直线的平行，那我们怎么是设另一根直线呢？同样也是 x 减二， y 这里不变，哪里变了？这里变，对吧？好 啊，所以大家一定要记清楚。那针对这个题，我们看看这里面是不是，如果我们用啊，用这个去计算的话，这里面的这个原来的这个 c 一 是不是零啊，对吧？因为他就是 x 减 y， 后面加的这个 c 一 就是零，那我们就射，哎，射 x 减 y 等于零啊， l 一 呢，是 x 减 y 等于零，那 l 二呢？就是我们要求的直线啊，我们要求的直线就应该设为 s 减 y 再加 c 二啊，等于零啊，这里写 c 也可以啊，写 c 二也可以啊，等于零， 对不对？还告诉我们在 y 轴上的截距是负二， y 轴上的截距，哎，不就是 在 y 轴上的这个点吗？啊，他是负二，对吧？这是负二，那实际上他给了我们就相当于给了我们一个点啊，这个点就代表的是 x 等于零， y 等于负二的点，那我们怎么去算？直接代入啊，代入 啊，减零负二到 l 二中，哎，你可以得到负二减零加上 c 二等于零，对不对？那所以说 c 二等于几啊？ c 二啊， c 二不就是等于二吗？ 啊？啊，不对啊，这里写错了啊， x 啊， x 减 y 加 c 二呢？把这个零负二点带进去啊，零 x 等于零，那就是零，减去什么？减去负二，加上 c 二等于零，对吧？ 那也就是说二加 c 二等于零，那退出来，什么退出来？ c 二呢？是等于负二的，哎， c 二等于负二， c 二等于负二，我们看看我们就是不是可以把这个式子给写出来了，哎，这个式子就变成了 x 减 y 减二等于零， s 减 y 减二等于零，那我们看看谁符合呀？不就是 b 选项符合吗？对吧？嗯，好，这是第八题，我们看一下第九题， 第九题，它告诉我们这个是几何体的三式图，我们一定要知道啊，这个图，三式图是怎么表示的啊？这个呢？应该。这个是正式图啊，这个是正式图， 这个呢叫测试图啊，叫测试图。那这个呢？就叫俯视图，哎，就是从上头看，这个呢，叫从前面看，这个呢，就从侧面看，那很显然，这是一个什么图啊？这是一个圆锥，对不对 啊？就是你圆锥啊，就是一个圆锥，什么样呢？又画出来之后是这样的， 哎，这样一个圆锥，我们从正面看，哎，我又不加这条线了。 从正面看呀，你看啊，从正面看看到的是这个，从侧面看看到的是，哎，这个对吧？看到的是这个，从上面看不就是看到这个圆吗？嗯啊，这个题也很简单，好看一下。第十题， 第十题，这是考的一个不等式啊，求不等式的一个问题啊，其中呢，还考到一个，呃，这叫做对数函数，另一个呢，就是解绝对值不等式，我们首先要要知道啊。嗯， 这个解决这种对数函数不等式的时候啊，大家应该要怎么去做？如果 它告诉我们一个数 e 啊，我们一定要立马把它转化成什么，把它转化为 e， 等于 log a a 这样的形式啊，就是转换成这种形式。那如果是这个题呢，告诉我们这个 a 这个底数是几啊？是二，对不对？所以说我们应该把这个一转换成几，把这个一呢，应该转化成奥格二二啊，把这个一应该转化成 log 二二。 好，那我们再写写出来哈，你这是 log 二 x 减一的绝对值是大于 log 二二的，这样我们是不是就可以只去比较了，我们在比较的时候，我们看到这个底数相同，我们是不是只需要比较什么？ 比较真数的大小啊？实际上就比较真数的大小，因为这个他的这个底数二呢，是大于一的啊，是大于一的， 所以它是一个什么函数啊？它是一个这样的一个增函数，对不对？二是大于一的，它是一个增函数啊，这个就是 log a a x 啊，这个函数其中呢？这个 a 是 大于一的，那如果 a 是 小于一的， 它是不就变成这样了？哎， log a x， 这个 a 是 小于一大于零的啊，这是它的一个 啊，这是他的一个这个需要注意的地方，所以说他是一个增函数，那是一个增函数，我们就知道了，这个 x 减一的绝对值是不是应该大于二啊？ 啊？ x 减一的绝对值就是他们的这个自变量部分，是不是应该谁越大啊？自变量越大，自变量越大，值越大，那值越大，自变量也就越大，这才符合他是增函数，对不对？ 好，那这里就用了，这里就到了。什么到了，我们解决什么函数不等式啊？解决绝对值函数不等式的情况，解决绝对值不等式，我们怎么去做啊？我们去说第一步就是直接去绝对值号，好， 哎，去绝对值号，去绝对值号，那中间就变成了 x 减一，对吧？ 啊？ s 减一，把这个绝对值号去掉，那两边呢？它应该是。首先它是不是大于二啊？ 那它还有什么？还应该是小于负二的啊？去绝对值，我们就这样去啊，中两中间的绝对值号去掉，两边啊，变成同一个数，那其中另一边变成一个负的，哎， 那它应该是大于二了，对吧？哦，这里不对啊， x 减一，首先它是大于二的，应该是 x 减一，要小于负二，哎，小于负二，对吧？ 好，那我们算一下这两个式子，第一个呢，就是 x 减一呢，大于负二，那算出来就是 x 大 于三。第二个呢，跟我算出啊，应该是 x， 把这个一挪过去，就是 x 小 于负一，对不对 啊？ x 大 于三， x 小 于负一，所以说我们看看他这两个哪一个符合？ s 大 于三，我们把它写成这个集合的形式，写成这个区间的形式啊，就是三到正无穷。另一个呢，就是负无穷到负一啊，负无穷到负一 啊，然后他俩并起来啊，他俩并起来，我们看一看哪个一个符合，是不是就是 c 选项，所以说这个答案呢，应该选 c 好 好。
673中职数学杨老师网课
03:58查看AI文稿AI文稿好，下课，下课。老师，老师，我考试时候开这个破根号开了半个小时，这题啊，简单五秒钟，等一万八，要搞定这个题哈，咱们先复习一下，零到九的平方分别是多少？你看，如果说个位是零的只有谁啊？ 零，只有零，他是唯一的，是吧？嗯，那个位是五的话是谁呢？嗯，五只有五，是吧？那我再问你哈，个位是一的有谁啊？有一的平方，一的平方，九的平方。你看他俩个位都是一啊，那个位是四的有谁呀？ 二的平方和八的平方。发现规律了吧，个位是九的是他俩，个位是六的是他俩。咱先来看看比较简单的，比如说一二二五给他去开平方根，他的个位是谁来着？五五也就意味着他这个开完之后的个位只能是谁啊？ 五五呗，是不是？所以直接把这个五是不是就写出来了？然后第二步，干嘛把这个二十五给它划去？划完之后呢？我们看前面还有一个什么十二， 我们要找到最接近十二的一个平方数接近，但不超过是谁啊？三的平方，三的平方。对，这个三的就直接搞定了。那我们试一试三十五，就是这个题的答案简不简单？你可以验算一下，三十五乘三十五就是一千二百二十五，简单，对吧？那我们来看一个稍微高点难度的根号下 七百二十九。先看什么呀？第一步，先看个位这个九，来找找有谁呀？三个平方也可以是谁啊？七的平方，所以现在个位能不能确定啊？不能，不太能，要不然是三，要不然是七。第二步呢？同样写完这个位之后，把后面两个给它划掉，只看前面这个七， 哎呀，不超过它，最接近于它的是谁的平方呀？只能是谁啊？二乘二，二乘二，所以把这个二写下来，十位是确定了那个位到底是二十三还是二十七呢？再教你一个判断的方法，来看一看啊。我们用这个二呢去乘它的加一，什么意思？二乘三等于多少？ 等于六是吧？你看七比六怎么样？大，直接选大的就是二十七，简不简单？简单，咱们再来举一个例子，二七零四开方是谁？ 首先先看什么呀？个位，先看个位是谁啊？四找一找呗，二可以，还有谁啊？八可以八，所以他的个位要不然是二，要不然是 八，没毛病吧？没毛病。第二步，干啥划掉后两位是不是？嗯，来看前面是二十七，找一个呢？最接近他，但是不超过他的平方数是谁啊？看看二十五，因为六六三十六超过他了，所以他的十位也确定的是谁啊？ 五，因为五乘五等于二十五，对吧？那你想到底是五十二还是五十八呢？不好判断。这样我们干嘛用五去乘五加一等于六五六 三十二十七比三十小，直接就选这个小的，也就是五十二，搞定了吧。搞定，那现在呢，咱们来看一看咱最难的这一道题呗。一五 八七六。第一步，看各位，这是六找一找有四个平方四个平方和有 六的平方，六个平方，四和六，是吧？嗯，就他的个位，要不然是四，要不然是六，然后干嘛划掉后两位？划掉后两位前面是一百五十八，那我们就想想，又不能超过一百五十八，还最接近于他的平方是谁呢？不太好想是吧？你看十一的平方等于一百二十一。 十二的平方咱让是不是让你背过呀？一百四十四啊，还记得哈，代言人一百四十四，那十三的平方呢？得多少？一百六十九。一百六十九，背的很好哈。哎，超过了是吧？啊，最接近的是谁来着？十二十二的平方，所以你看，哎，前面一定就是十二啊。那问题是一二四还是一二六呢？怎么办？ 用十二乘谁啊？十三，咱们讲过十几乘十几，一合鸡一，然后合是二加三等于几五，二加三等于五，哈鸡呢？二乘三等于几二，十三等于六等于六。一百五十六是不搞定了呀。哦，那最后一步来看看，一百五十八比一百五十六大，还是些大 大，那既然大，我选四还是六选六选大的这个，所以一百二十六的平方一定就是一万五千八百七十六，不信你回去验算一下。
1.4万清华猴神侯子疼
02:19查看AI文稿AI文稿好，下课了啊，老师，这道题简直考试考疯了。这个题你们怎么算的呀？猛猛的算，猛猛算，算多久？算？半个小时啊， 天呐，看一看吧，这是啥呀？这明显让我们去进行这个约分。你考时候是不是这么算的？我先算他乘他算出来，结果再去除以他。那你疯了呗，算完之后天都黑了。其实这个题我们要注意它有个东西叫 回文数。什么叫回文数呢？在语文里面咱之前学过这个叫回文句，举个例子哈，比如说上海自来水来自海上，倒过来什么呀？上海自来水来自海上， 对吧？比如说蜜蜂酿蜂蜜，倒过来呢，也是蜜蜂酿蜂蜜，这叫回文句。数学里面有没有这样的回文数呢？有，举个例子，一乘一等于多少啊？等于多少一，哎，等于一。 那十一乘十一等于多少？一百二十一，哎，幺二幺。你看一二一，正着读，倒着读，是不是一样的呀？这个就给他起个名叫回文数啊。那继续幺幺幺乘幺幺幺，能口算吗？算不 出来，算不出来。我能告诉你哈，一二三二一，来看，正着读，倒着读，一不一样一样，找到规律了吧。你看这个三是不是正好对应这里的三个三呀？那咱猜一下啊，大胆猜测， 四个一乘四个一等于多少？一二三四三二一。哎呦，你这比计算器还快，是不是应该正着读，倒着读是不是也一样的？就有这个规定，一直到九个一乘九个一都可以。那你现在来看一下这个分母，有感觉了吗？一二三四五六 五四三二一。他能写成什么呀？写什么呀？几个一乘几个一？六个一。哎，六个一乘六个一，猜的是对的，所以这分母咱就是幺幺幺幺幺幺六个一。乘什么？幺幺幺幺幺幺六个一，那分母搞定分子跟这六个一有关系吗？有，看到了吧？这是几个七啊？ 六个七。六个七能写成什么呀？七乘什么呀？七乘以六个一，非常棒，是不是找他们之间关系啊？倍数关系，一二三四五六。继续。那这六个八呢？八乘以六个一，八乘一，二三四五六。然后你就看 分子是不是他，分母是他能怎么样？直接约分。约分怎么办？他和他约掉，他和他约掉，所以你看分子只剩下谁啊？七乘八。那这个问题又变成了，七乘八等于多少？这也太难了吧，等于多少呀？哎，五十六岁这个题就搞定了，学完之后下次考试不要再算半个小时了好不好？下课吧。
138.8万清华猴神侯子疼
01:35查看AI文稿AI文稿好，下课了哈，老师。老师，这题有一堆圈了，看的我蒙圈呀。哎，这还蒙圈，看一看填的是啥。连续的自然数能不能一个一个试呀？肯定不行是吧？那你看啊， 四十六，这是几个圈？ one， two， three， four， 四个，四个它是一个偶数，那下面呢？一二三四五五个，它是一个基数。 其实计数跟偶数呢，方法上稍微有一丢丢的小小的区别，它的偶数更好做一些。为啥咱举个例子啊？你看一二三四是不是四个连续自然数啊？一加四等于几？五五二加三呢？五也等于五，这就是个规律，可以记一下，也意味着它加上它，对吧？那这个和是啥？不就是四十六 除以二等于二十三吧，也就是他加他等于二十三，你想谁加谁等于二十三呀，还得是连续的谁呀？十一加十二就比较好想了。十一加上十二，是不是二十三？这个十三这个就是十。那这个偶数跟他，你看你这样中间这个怎么办？我们稍微研究一下，比如说我们就设中间这个是 n， 那 你看他是连续的，说明他是 n， 怎么样？加一还是减一？减一，那这个呢？ n 加一，那这个呢？ n 加二， n 加二。 那把他们加起来哈，对吧？他加，他加，他加，你发现减二和加二怎么样？消掉了，开心消的减一加一又抵 消了，他们的核就是五个 n， 那 所以六十五可以怎么样？直接除以谁除以五，他们的个数等于的中间这个数等于多少？十三十三，是吧，是不是直接就搞定了？这是十三，这个十四、十五，十二和十一。可以把这个记一下啊。好好下课了吧，没问题了吧。好，拜拜。
11.4万清华猴神侯子疼
04:38查看AI文稿AI文稿这道乐口题很经典，我们一起来看一下已知这个函数的定义域，那这个函数的定义域呢？是零到 m， 求这个 m 的 取值范围。 首先我们先明确一点，所谓的定义域就是 x 的 取值范围，那如果我们要求 m 的 取值范围，是不是得把 x 的 取值范围先求出来呀？ 那我们来看一下已知这一个函数的定义域是零到二，那我是不是能得到这个 x 的 取值范围？应该是大于等于零，小于等于二， 那这个地方是二 x 加一，通过 x 的 取值范围，我们是不是能得到二 x 加一的取值范围， 所以我们就能得到二 x 加一的取值范围应该是大于等于一，小于等于五。那接下来我们再来看一下求它的取值范围。 那为了让你好理解，我们可以把这个括号啊看作一件衣服，谁能穿上这件衣服，那这两个人的尺寸就一样， 那这件衣服被二 x 加一，这个人穿着了，也被这一个人穿着了，所以我就能得到这两个式子的取值范围。一样， 所以我就可以这样写，负的 x 方加二， x 加四的取值范围，它也是大于等于一，小于等于五。那接下来呢，我们就求这个不等式中 x 的 取值范围。 那为了好解，我们把这个式子啊给他拆成两部分，那我们先看这个圈一这个式子，我们把一给他移到左边去，那这个式子就变成负 x 的 平方， 加上二 x 加三，应该是大于等于零。那接下来我们就用十字相乘法进行因式分解，我们这边写负一一，那这边呢是三乘以一， 所以十字交叉相乘能凑出这个二来，所以这个式子我就可以写成负 x 加三，括起来乘以 x 加一，然后大于等于零。 那我们可以把这一部分呀看作一个二次函数，也就是说这个二次函数的值域要大于等于零，那这是他的图像，那这个焦点一个呢？是负一，一个是三， 那如果想要它大于等于零的话，我是不是应该取上边这个位置，所以它的 x 的 取值范围应该是大于等于负一，小于等于三。 那我们把第一个不等式的取值范围写在这，我们开始来算第二个不等式的取值范围，还是我们把这个五啊给他移到左边去，所以他就等于负， x 方加二， x 减一，小于等于零， 两边同时乘以负一，所以就是 x 方减二， x 加一，不等号改变方向大于等于零，那这边是不是就是 x 减一括起来的平方，然后大于等于零呀？ 因为这个式子永远大于等于零，所以我们就知道这个式子永远大于等于零，所以我们就知道这个二式他的取之范围是全体实数， 因为 x 的 取值要满足这两个不等式，所以我们要取它们的交集，也就是 x 大 于等于负一，小于等于三，那我在数轴上给它画出来。 那我们再来看题，要想让这一个区间满足他的定义域，那这个定义域的范围是不是应该在负一到三之间呀？所以我们来写一写，那这个地方是零， 那 m 肯定是在这个 i 三的左边，所以我就能得到 m 的 取值范围，他肯定大于零，小于等于三。如果你能听懂，来做一下这个举一反三的题。
987杨星星讲数学
07:13查看AI文稿AI文稿好，每日一题，持续进步。感谢点赞关注啊！今天我们继续来做二零二六年高考物理山东卷，我们做到第八题了，嗯，这道题啊，也是求弹簧的伸长量啊，也就是公式 f 等于 k x。 那么这个题啊，整个看下来，他其实也是一个几何题啊，几何题塞到屋里的东西不多。嗯，先看下这个题啊，这是一个正四面体，一个结构，然后呢，这三条零啊，分别套上三个小球，这三个小球啊，在这个，这三个波浪线啊，就是弹簧， 在弹簧作用下啊，这三个小球处于水平，处于同一水平线上啊，然后保持静止。现在呢，让我们求每根弹簧伸长量。好，那每个弹簧伸长量，我们来一个俯视图啊，从上往下看，哎，他三个小球啊，应该是 三个小球，应该是这种关系，对吧？这种关系，然后是一个，呃，这是球，这是球，这是球，然后这是弹簧。弹簧。然后呢，每一个角度应该多少是六十度，因为它是什么呀？正四面体，是吧？正四面体好了，六十度。那么 我们举个例子啊，对，这个弹簧，我们来进行受力分析，呃，受力分析，我们看这个，呃，这个小球啊，对这个小球做受力分析，我们，呃，从侧面看，从侧面看的话，这小球应该是这样，对吧？他应该是，嗯， 这样，小球在这，然后这是一个棱，然后我们现在对他进行受力分析，他肯定会受到一个棱对他的支持力，哎，这块是垂直的，然后本身受到一个重力，然后呢？这两根，这两根弹簧啊，一个是， 嗯，这个方向，一个是这个方向水平方向啊，然后他们的合力应该是这样，对吧？他们的合力应该是这样，嗯，这样， 这个小球错了，这三个力啊，他就变成平衡力了。然后我们只需要求出什么呢？我们只需要求出，哎，这个什么角度，对吧？角度，角度我们就求出来。嗯，两根弹簧合力大小，求出合力大小之后我们再带到这个 这个图像上，这个图像上之后，我们看这小球在这，然后呢，这两个小球分别对他有一个，呃，弹簧分别对他有一个拉力，是不是？然后呢？我们可以对他进行一个分析， 好分析之后啊，这是六十度，这是直角，然后这是一半，就是三十度，我们通过三角函数啊，就能求出单个的弹簧，对，小球力， 对吧？啊？求出这个力之后，我们可以用 f 等于 k x 就 求出这个弹簧伸长量了。所以啊，关键是什么呢？关键是我们要求出这个角度是多少角度啊？因为正四面体是一个几何体，我们就不多对数了啊。 首先我们可以做一个叫什么？哎，这叫辅助线，辅助到这，是不是？然后我们做一条垂线，是不是做一条垂线？然后我们可以怎么的设一个什么？设这个叫什么呀？棱长是 l， 是 不是？棱长是 l， 那 么这个一半啊，角度可能是三十度，三十度我们可以 继续啊，做一个什么呀？哎，做一个垂线就各种各种做，嗯，这就可以，也可以做垂线，然后我们根据三角函数在三十度直角边的斜边一半，是不是啊？嗯，然后呢？哎，能求出他的整个这个这些， 嗯，整个的这个长度也能求出整个的这个长度。对，我们这样画，这样画，这样画好一点，好，这也是垂直的。然后呢，我们通过三角函数，通过这个我们就可以求出这条线，我们用红笔画吧。啊， 通过三角函数，我们就可以求出这条线，这条线的长度，然后呢？嗯，这条线我们也知道，是不是这条线我们也知道省略是 l 吗？是不是？然后这两条边我们通过，通过什么？通过勾股定律，我们求出这条边的 长度，是不是就能求出这条边长度？这条边长度之后我们就能求出这个角的三角函数关系，这个角呢，和刚才我们说的 这个角是不是一样的？他们这个水平面之间角啊，也是这个角，这个角我们求出来之后，那么这个题是不就好做了？好，通过求啊，我们需要这个角是 c 啊，这个角是 c， 这个 c 它等于什么呢？这个 c， 我 们，我们，我们再画一个图啊，这个 c， 再画个图，好，再画个图，哎，好，嗯，画的有点抽象啊，都不要紧啊，这个是 l 完，我们得出这个是三分之根号三 l， 然后呢，这条高也是这条高啊，这条高我们得出是三分之根号六 l， 好， 得出这个之后我们就得这个习特了，这个习特得出来之后，我们就可以求出通过三角函数可以求的，那我看 把它把这个三个力啊放在一个一个图像里，那我们看这个习特是不是这，然后这个是 mg， 是 不是？哎，然后这个呢？就是拉力，对吧？这个弹簧的拉力，两个弹簧拉力的合力， 那么就是弹进它习特就等于一个 mg， 好， 弹进习特等于多少啊？这 三分之根号六 l， 去除一个三分之根号三 l， 那 么就变成根号六除以根号三了吗？是不是就等于根号二啊？好，那么就是 f 就 等于根号二倍的 m g， f 就 等于根号，嗯，根号二倍的 m g。 好， 得到这个数之后， 我们看看。那么这个小球弹簧三个小球，是不是这个就是多少啊？根号二倍的 mg， 对 吧？然后那一半呢？一半就是二分之根号二 mg， 然后三十度对直角边的斜边一半，我们 是不能求出这个是多少了，对吧？哎，通过这个和三十度角函数，三角函数，我们就能求出来这个斜边是多少呢？他就是， 呃，它这个单根单根拉力是多少就求出来了。我们这单根是 f 啊，那单根是 f， 通过这个三角函数我们就可以求出来单根 f 是 多少啊？ 嗯，我们算一下啊，这块是二分之根号二倍的 mg， 二分之根号二倍 mg， 去除以一个根号三，除以一个根号三，再乘以一个二，是不是再乘以个二？好了，我们又得出多少啊？ 嗯，三分之根号六倍的 m g， 是 不是？哎，三分之根号六倍 m g， 那 么三分之根号六倍的 m g， 它应该等于多少呢？应该等于 k x， 是 不是应该等于 k x， 所以 啊，我们能得出 x 的 多少啊？哎，一项就是三分之根号六倍的 m g 除以一个 k。 好， 那我们看哪个哪个是答案呢？哎，第二项是答案啊，所以这个题选什么？选第二项。
24数理学堂
04:03查看AI文稿AI文稿各位同学，大家上午好，咱今天讲一下二零二四年新高考一卷第十八题，大家可以看到这个题目。 这个题目当时的时候是一个压轴题，属于倒数第二道，难度还是比较大的。你先看一下这个题目的形式，它是一种常见的函数类型，是对数函数、加密函数的形式。 先看第一问的考点，他考察的是不等式横乘的求参数范围。第二问，他是考察的是中心对称。第三问呢，他考察的是参数的取值范围。 那现在分类给大家说一下。首先你看第二问，为什么先看第二问呢？因为第二问还在课本上，其实八十七页十三题我们能找到它的溯源， 它既然让你证明是中心对称图形，那大家脑子里边最起码有一个意识。什么样的意识呢？就是说这个中心对称中心的横坐标一定是定义域的终点， 定义域是零到二，所以说对称中心的横坐标一定是一。这样的话，我就可以直接求 f x 加 f 二减 x 等于多少。 下面给大家给出了一个证明过程哈， f x 加 f 二减 x， 最后乘出来等于二 a， 所以 说它就关于一 a 对 称这个题就解决了第二问。 那现在回过头来再看第一问。第一问，若 b 等于零， f x 一 撇大于零，求 a 的 最小值。 这里我求完导之后，当然你先得先求定义域。求完导之后，咱有三种方法可以求 a 的 最小值。大家先看到第一种方法，就是判断其单调性求对值， 比较简单的，这是常规方法。第二种方法就是全方和不等式求对值。第三种方法当然就是基本不等式的应用了， 那现在看到第三位，第三位有五种方法可以解约，但是运算量都是挺大的。先看第一种方法，就叫分离参数法，分离参数法是大家最容易想到的，但是它的运算量也是最大的， 分离之后啊，他需要用到洛比达法则，求极限问题。第二种方法就是含参数，既然含参数，咱就对参数进行分离讨论， 分离讨论的时候有几个注意点哈，端点函数值与导数值等于零，必要和充分性的一个探索在大家要注意一下 含参数讨论呢，他是直接能面对这个问题，但是通用，但是要注意，参数决定了函数的性质，这是我们分类的依据，在分类的时候你要分准确对参数。 第三种方法就是个端点效应哈，韩餐的讨论法，也可以根据端点效应进行多次求导，寻找到必要条件，然后进行充分性证明，大家可以看到运餐量也是比较大。 第四种方法运餐量相对来说要小很多，就是说通过转转换函数法，切线法， 通过参数半分离，我不把参数全部分离出来，我只分离出一半来，相当于转化为直线与曲线的位置关系问题借助导出的几何意义来解决。第四种方法应该是解决这个问题最好的一种方法，比较简单。 第五种方法就是咱在数学选学内容中的泰勒展开式，这种方法也可以来解决的问题。具体的解析步骤我不给大家详细讲了，只讲一下方法和思路，供大家参考。好，谢谢大家。
40临沂数学王老师
14:39查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这段时间我在免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二、高三都可以。我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！ 我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！这是二零二零年山东卷新高考一卷的第二十二题，也是一道非常经典的圆锥曲线压轴题。想冲一百三十分，第一问必须三分钟拿下，第二问才是真正拉开差距的关键。 这题真正难点不在第一问，而是第二问的定点定长问题。如果一上来思路不清晰，硬算绝对会掉进出题人的坑里。咱们先来看题目， 椭圆 c 的 方程是 a 的 平方分之 x 的 平方加上 b 的 平方，分之 y 的 平方等于一，其中 a 大 于 b 大 于零，它的离心率是二分之根号二，并且过点 a， 坐标是二，逗号一。第一问求椭圆 c 的 方程。 第二问，点 m 和点 n。 在 椭圆 c 上， a， m 垂直于 a， n， a， d 垂直于 m， n， d 为垂足，证明存在定点 q， 使得线段 d， q 的 长度为定值。咱们的大方向很明确，第一问直接带入条件解方程组。第二问，咱们用设线法结合维达定律找定点，最后利用直角三角形的性质找定长。 第一问非常基础，咱们快速拿下题目，给了两个条件，一个是离心率，一个是经过点 a， 咱们知道离心率 e 等于 a 分 之 c。 题目说 e 等于二分之根号二， 咱们把等式两边同时平方，得到 e 的 平方等于 a 的 平方，分之 c 的 平方也就等于二分之一。接下来有个非常重要的技巧，咱们不要留着 c， 因为椭圆里头有个基本关系式， c 的 平方等于 a 的 平方，减去 b 的 平方。咱们把 c 的 平方替换掉，式子就变成了 a 的 平方分之括号， a 的 平方减去 b 的 平方，反括号等于二分之一。 咱们把它拆开就是一减去 a 的 平方分之 b 的 平方等于二分之一。把负项移到右边，数字移到左边，一减去二分之一等于二分之一。所以 a 的 平方分之 b 的 平方等于二分之一。交叉相乘，咱们就得到了第一个关键关系式， a 的 平方等于两倍的 b 的 平方。 接下来用第二个条件，椭圆过点 a， 坐标二，逗号一。咱们把 x 等于二， y 等于一。代入椭圆的标准方程， 得到 a 的 平方分之四，加上 b 的 平方分之一等于一。现在咱们把刚才求出来的 a 的 平方等于两倍的 b 的 平方带入到这个式子里，第一项就变成了两倍的 b 的 平方分之四。 分子分母约分掉一个二，就变成了 b 的 平方分之二，所以式子变成了 b 的 平方分之二，加上 b 的 平方分之一等于一。两边同乘 b 的 平方直接得到 b 的 平方等于三。 既然 b 的 平方等于三，那 a 的 平方等于两倍的 b 的 平方二乘以三，所以 a 的 平方等于六。到这里， a 的 平方和 b 的 平方都求出来了，咱们把它们写回标准方程，所以椭圆 c 的 方程就是六分之 x 的 平方加上三分之 y 的 平方等于一。第一问咱们就顺利拿下了。 接下来看第二问，这是这道题最值钱的地方，题目说 am 垂直于 an， 然后又搞出来一个垂足 d， 还要证明 d q 是 定值。很多同学在这里会犯错，一看到这么多垂直就蒙了。咱们别急，一步一步来。 遇到这种直线和圆锥曲线交点的问题，咱们先设直线方程，因为直线 m n 的 斜率不一定存在。为了严谨并且方便计算，咱们设直线 m n 的 方程为 x 等于 t 乘以 y， 加上 m。 然后咱们设点， m 的 坐标是 x 一， 逗号 y 一 点 n 的 坐标是 x 二，逗号 y 二。接下来我们要干什么？我们要把直线方程带入椭圆方程，利用维达定律找出坐标之间的关系。 咱们把椭圆方程变形一下，六分之 x 的 平方加三分之 y 的 平方等于一。两边同乘六，变成 x 的 平方加上两倍的 y 的 平方等于六。 现在把 x 等于 t 乘以 y， 加上 m， 带进去得到括号， t 乘以 y 加上 m， 反括号的平方加上两倍的 y 的 平方等于六。咱们把括号展开， t 的 平方乘以 y 的 平方，加上两倍的 t 乘以 m 乘以 y， 加上 m 的 平方，然后加上后面的两倍的 y 的 平方。把右边的六移到左边，变成减六，整体等于零。接下来合并同类项，把 y 的 平方提取出来，系数是 t 的 平方加二。把 y 提取出来，系数是两倍的 t 乘以 m， 长数项是 m 的 平方减六。所以整理好的方程是括号 t 的 平方加二。反括号乘以 y 的 平方加上两倍的 t 乘以 m 乘以 y， 加上 m 的 平方减六等于零。 根据维达定律，两根之合 y 一 加上 y 二等于负的二次项系数分之一。次项系数在这里就是负的分子是两倍的 t 乘以 m， 分 母是 t 的 平方加二。 两根之积 y 一 乘以 y 二等于二次项系数分之长竖项在这里就是分子是 m 的 平方减六，分母是 t 的 平方加二。这步很关键，维达定律写出来，咱们就有了武器。 接下来怎么用题目里的垂直条件？题目说 a m 垂直于 a n， 这意味着什么？意味着向量 a m 点成向量 a n 必须等于零 点。 a 的 坐标是二，逗号一，所以向量 a m 的 坐标是 x 一 减二，逗号 y 一 减一。向量 an 的 坐标是 x 二减二，逗号 y 二减一。 向量点乘的公式是，横坐标相乘加上纵坐标相乘，所以得到括号 x 一 减二，反括号，乘以括号 x 二减二，反括号，加上括号 y 一 减一，反括号等于零。但是这里有 x 又有 y， 太复杂了，咱们要用直线方程把 x 替换掉。 因为 x 一 等于 t 乘以 y 一 加上 m， 所以 x 一 减二，就等于 t 乘以 y 一 加上 m 减二。 同理， x 二减二，就等于 t 乘以 y 二加上 m 减二。咱们把这两个式子带进去。第一部分变成了括号 t 乘以 y 一 加上 m 减二，反括号，乘以括号 t 乘以 y 二加上 m 减二，反括号。咱们把这个乘积展开。第一项是 t 的 平方乘以 y 一 乘以 y 二反括号。咱们把这个乘积平方乘以 y 二。 交叉项提取出共音式，加上 t 乘以括号 m 减二，反括号，再乘以括号 y 一 加 y 二反括号。长竖项是括号 m 减二，反括号的平方。别忘了还有后面的纵坐标部分，把它展开是 y 一 乘以 y 二减去括号， y 一 加 y 二反括号加上一。 现在咱们把含有 y 一 乘以 y 二的项合并，含有 y 一 加 y 二的项也合并。 y 乘以 y 一 加 y 二的系数变成了 t 的 平方加一， y 一 加 y 二的系数变成了 t 乘以 m 减去两倍的 t， 再减去一 长竖项是括号， m 减二，反括号的平方再加上一，整体加起来等于零。接下来咱们把维达定律求出来的和与积代入到这个式子里，代入后，咱们给方程两边同时乘以分母，也就是 t 的 平方加二，把分母去掉。第一项变成了括号 t 的 平方加一，反括号乘以括号 m 的 平方减六反括号。 第二项变成了括号 t 乘以 m 减两倍的 t 减一，反括号，乘以负的两倍的 t 乘以 m。 第三项变成了中括号，括号 m 减二，反括号的平方加一，反中括号乘以括号 t 的 平方加二，反括号。大家坚持住，这里的计算量比较大，但是只要细心展开就会发现奇迹。咱们分别展开这三项， 第一项展开是 t 的 平方乘以 m 的 平方减去六倍的 t 的 平方加上 m 的 平方减去六。第二项展开是负两倍的 t 的 平方乘以 m 的 平方加上四倍的 t 的 平方乘以 m， 加上两倍的 t 乘以 m。 第三项里， m 减二的平方加一，展开是 m 的 平方减四， m 加五，把它和 t 的 平方加二相乘， 展开得到 t 的 平方乘以 m 的 平方减去四倍的 t 的 平方乘以 m， 加上五倍的 t 的 平方，加上两倍的 m 的 平方减去八米，加上十。现在咱们把这三堆式子加起来，注意看，奇迹出现了， t 的 平方乘以 m 的 平方，第一项有一个，第二项有负两个，第三项有一个，加起来刚好抵消，变成零。 t 的 平方乘以 m 的 项，第二项有正四个，第三项有负四个也抵消了。 剩下 t 的 平方向。负六个加上五个等于负的 t 的 平方，剩下 t 乘以 m 的 象只有两倍的 t 乘以 m， 剩下 m 的 平方向一个，加上两个等于三倍的 m 的 平方，剩下 m 的 象只有负八米 长，竖向负六加上十等于正四。所以整个长长的式子最后化简成了负的 t 的 平方加上两倍的 t 乘以 m， 加上三倍的 m 的 平方，减去八米，加上四等于零。为了好看，咱们两边同乘，负一变成 t 的 平方减去两倍的 t 乘以 m， 减去三倍的 m 的 平方，加上八米，减去四等于零。 这是一个关于 t 的 一元二次方程，咱们可以用求根公式或者因式分解来解，把它看作关于 t 的 方程判别式。德尔塔等于负两米的平方，也就是四倍的 m 的 平方减去四乘以一乘以括号。负三倍的 m 的 平方加八 m 减四反括号 展开就是四倍的 m 的 平方加上十二倍的 m 的 平方，减去三十二米，加上十六。合并得到十六倍的 m 的 平方减去三十二米，加上十六。把十六提出来，就是十六乘以括号， m 减一反括号的平方。 这是一个完全平方式，所以 t 等于二分之二， m 加减。根号下这个判别式，也就是加减四乘以括号， m 减一反括号。咱们分两种情况，第一种取加号 t 等于二分之两米加上四， m 减四，也就是二分之六米减四，化简，得到 t 等于三， m 减二。 第二种，取减号 t 等于二分之两米减去四， m 加上四，也就是二分之负两米加四化简得到 t 等于二减 m。 接下来我们要判断这两个结果哪个可用。如果 t 等于二减 m， 咱们把它变形得到 m 等于二减 t， 把这个 m 带回咱们一开始设的直线方程。 x 等于 t 乘以 y 加上 m， 就 变成了 x 等于 t 乘以 y， 加上二减 t。 一 项整理一下， x 减二等于 t 乘以括号， y 减一，反括号。你看这个方程，不管 t 去什么值，当 y 等于一的时候， x 一定等于二。也就是说，这条直线永远经过点二逗号一， 但是点二逗号一是点 a 的 坐标啊。题目要求， m 和 n 是 椭圆上的点，如果直线经过点 a， 那 m 或者 n 就 和 a 重合了，这样就够不成三角形了。所以这种情况必须舍去。你看，这里就是一个容易踩坑的地方，大家算出来两个关系式，一定要记得回头检验。 既然舍去了第二种，那就只剩下第一种情况， t 等于三米减二。接下来我们要干什么？我们要把这个关系带回直线方程，去寻找直线横过的定点。 咱们把 t 等于三米减二，代入一开始设的 x 等于 t 乘以 y， 加上 m， 得到 x 等于括号。三 m 减二，反括号乘以 y 加上 m， 咱们把括号展开， x 等于三倍的 m 乘以 y 减去二， y 加上 m。 现在咱们把含有 m 的 项放在一起，不含 m 的 项放在一起，把减去二 y 移到等号左边变成 x 加上二 y， 右边把 m 提取出来变成 m 乘以括号，三 y 加上一反括号。 所以式子变成了 x 加上二 y 等于 m 乘以括号，三 y 加上一反括号。这不很关键，要想让这个等式不管 m 取什么值都成立，唯一的办法就是让 m 前边的系数等于零，并且等号另一边也等于零。也就是说，三 y 加上一必须等于零，同时 x 加上二 y 也必须等于零。 从第一个式子三 y 加上一等于零，咱们可以直接算出来， y 等于负的三分之一。把 y 等于负的三分之一代入第二个式子， x 加上二乘以负的三分之一等于零，也就是 x 减去三分之二等于零，所以 x 等于三分之二。这就意味着，不管直线 m、 n 怎么转，它永远经过一个定点。咱们给这个定点起个名字叫 p， 它的坐标就是三分之二。逗号，负的三分之一。找到了定点 p， 这道题就迎刃而解了。 接下来咱们看看题目里的垂足 d 是 怎么回事。题目说 a、 d 垂直于 m n， d 是 垂足，而直线 m、 n 又永远经过定点 p。 大家在脑子里画个图， a 是 一个定点， p 也是一个定点， d 是 直线 m n 上的点，并且角 a、 d、 p 永远是九十度。这里有个非常重要的技巧， 初中几何咱们学过，直径所对的圆周角是直角，既然角 a、 d， p 等于九十度，那么点 d 一定在一个圆上，这个圆就是以线段 a、 p 为直径的圆。 既然 d 在 这个圆上，圆心到圆上任意一点的距离都是相等的，都等于半径，所以题目让我们找的那个定点 q， 其实就是线段 a p 的 中点，也就是这个圆的圆心，而定值 d q 就是 这个圆的半径。你看，复杂的代数问题瞬间变成了清晰的几何问题，接下来咱们只要算出终点 q 的 坐标和半径长度就行了。 点 a 的 坐标是二，逗号一，点 p 的 坐标是三分之二，逗号负的三分之一。根据中点坐标公式，横坐标相加除以二，纵坐标相加除以二。 q 的 横坐标是二分之二，加上三分之二二，就是三分之六。加三分之二等于三分之八，再除以二等于三分之四。 q 的 纵坐标是二分之一，加上负的三分之一，一减三分之一等于三分之二，再除以二等于三分之一。所以定点 q 的 坐标就是三分之四，逗号三分之一。那定值 d q 的 长度呢？它等于线段 ap 长度的一半。 咱们先算 ap 的 长度， ap 等于根号下横坐标之差的平方，横坐标之差是二，减去三分之二等于三分之四，它的平方是九分之十六。 纵坐标值差是一，减去负的三分之一，也就是一。加上三分之一等于三分之四，它的平方也是九分之十六。 所以 ap 等于根号下九分之十六，加上九分之十六，也就是根号下九分之三十二，九分之三十二。开根号分母是三分子，根号三十二，化简是四倍的根号二，所以 ap 的 长度是三分之四倍的根号二。 最后定值 d q 等于 a p 的 一半，也就是二分之一乘以三分之四倍的根号二。约分之后等于三分之二倍的根号二。到这里咱们就完美证明了存在定点 q， 使得 d q 的 长度为定值。第二问，彻底拿下 这道题。最终的答案是，第一问，椭圆方程为六分之 x 的 平方，加上三分之 y 的 平方等于一。第二问的定点 q， 坐标是三分之四，逗号三分之一，定长是三分之二倍的根号二。 做个简单总结，遇到圆锥曲线里的垂直和定点问题，记住口诀，射线带入找维达，垂直点成划定点，直角定弦找圆心。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。 最后留一道同类思考题给大家。已知抛物线 c 的 方程是 y 的 平方等于四 x 过点 p， 也就是四，逗号零做直线，交抛物线于 a 和 b 两点点 m， 坐标是负二，逗号零，设直线 m， a 和 mb 的 斜率分别是 k 一 和 k 二。求证， k 一 乘以 k 二是一个常数。 提分快的同学不是刷的多，是补的准连自己。分快的同学不是刷得多，是补的准，连自己。这段时间我在免费给同学们做一次数学摸底， 做完发我，我给你出一份分析报告，配一份规划，先补什么后补什么，一目了然。高一高二高三都可以，我一天只能看几份入口。就在评论区的杨老师摸底规划群，你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
78杨老师数学精讲
03:08查看AI文稿AI文稿山东春季高考如何突破亚洲铁块题？这道题对于中职生和一般考生来说是非常难的，因为他连这个图都无法画全。 其实这个题啊，我们利用硕型结合的思想来做这个题应该是比较简单快一点的看一下啊，简单的画一个草图， 他说抛物线，那我们简单的画一个抛物线看一下啊。嗯，以 圆点为圆星，以屁为半径，那再画一个圆，画上一个圆，画上一个圆，那交抛物线 p q 俩点，那我们交 p q 俩点， p q 俩点， 嗯，交 y 轴与 m m， 那 是不是就是零 p， 所以 这段的长度它一定是个 p p q， 交 x 轴与 n， 那 现在要问你探径题， o m o 的 值相当于就是要让，要让你去哪求哪个角呢？是求这个角， 那这个角的贪婪心角 o m n， 那 是不是就是对比斜 o m 比上一个 o m o m 是 一个未知量， o m 是 不是一个屁 啊？屁，它是个已知量，那我们首先能知道这个圆的方程是 x 平方加 y 平方，它等于一个屁平方。抛物线的方程 x， 那 个 y 平方等于二 p x 代入消元吗？ x 平方再加二 p x 再解上一个 p 平方等于零。 显然利用十字相乘，那我们无法解决呢？就利用求根公式吗？ 又因为他在 x 的 正半轴 x， 他 一定是正的，他就等于二 a 二乘一分之负 p 负二 p， 哎，我们再加根号下 四 p 平方，再减上一个 c a c 啊，四 p 平方再减四 a c， 相当于再加四 p 平方，那是不是简单的开出来，这是八 p 平方，开出来是个二倍的根号，二，同时除以一个二，所以个二 p， 个二 p 是 不是减上一个 p？ 个二 p 减 p， 那 是不是这就是 o x o 的 横坐标，也是 o o 的 长度？那是不是这道题就迎人 而解了？是不是就变成了个二屁？解屁，再除以了个屁，那是不是就变成了个二解一了 啊？也也可以写成负一再加个二啊。个二解一难度不大，利用数形结合来解决此类问题，也称为纸老虎，有没有发现 啊？基本上没有什么数字均要通过化解硝元来解决此类问题。
04:29查看AI文稿AI文稿hello， 同学们，我是段老师，今天呢，咱们讲集合之间的关系的一个解答题，看一下咱们的问题哈，看一下咱们的问题是什么啊？已知集合 a 等于 a 减二啊。逗号，二， a 方加五 a 啊。 集合 a 有 两个元素组成，这是一个元素，这是一个元素，且负三属于 a 啊，意思就是负三是在 a 里面的一个元素，对不对啊？就有就是 说咱们先不看问题的话啊，是不是根据这一句话都能推算出啊？有两个可能性啊，第一， a 减二等于负三，第二个二 a 方加五 a 等于负三，是不是咱们就能退出来这两个？好，继续往下看题哈，一、求实数 a 的 值。二、写出集合 a 的 所有子集 一啊，咱们用这个规范的方式来书写哈，如果是做选择题和解答题的话，就不用这么麻烦，但是如果咱做这个解答题的话，就必须要按照这个步骤来哈，这不会丢分 啊。来第一步看，因为负三属于 a 啊，是不是就是条件题目给的条件啊，根据集合元素的确定性，集合元素确定性是不是元素是确定的啊？ 所以分两种情况讨论，就像老师刚才说的第一种， a 减二等于负三，或者是说二 a 方加五 a 等于负三啊，咱们就解这个 方程就好了解这个式子啊， a 减二等于负三，那 a 就 等于负一，对吧。那如果当 a 等于负一时，咱们代入啊，代入其中一个公式，那等于负三负三的话，是不是就 和这个 a 减二等于负三是不是就一样了，对不对啊？你看负一负一， 负一加负二是不是也等于负三负三是不是？所以你看咱们此时集合 a 是 不是就等于负三？逗号负三了啊？不满足咱们集合的互异性对不对？互异性是什么？集合中不能出现两个相同的元素，所以这个 a 等于一，不对？舍去哈，舍去 啊，看一下，咱们二若二 a 方加五， a 减三啊，减加五 a 等于负三，那把负三挪到左边是不是就加三了啊？这一步的话，咱们就写在草稿纸上就行哈，不用写在卷子上。 但，但是老师现在让你们明白，就写在卷子上了哈，括起来了就可以写在草稿纸上。那你看这个是什么意外而词方程啊，咱们就用十字相乘法哈， a 二 a 二 a 乘 a 就 等于二 a 方，对不对啊？一和三分减一，三得三，对不对？那你看，咱们先斜着相乘，先看一下他 三乘 a 相加等于三 a， 二 a 加乘一就等于二 a， 二 a 加三 a 是 不是就等于中间这个五 a 对 不对？等于五 a 对 不对？三 a 加二 a 等于五 a 啊？好，咱们写的话是怎么写？写的话就是横着写，你看 a 加一，但是如果这个地方是负数的话，这个地方就是减 减哈，但是咱们这边没有负数，都是正数，所以就是都是加 a 加一啊， a 加一，二， a 加三，二 a 加三哈，还是等于零？ 那咱们是不是通过这个就能看出来， a 等于负一或 a 等于负二分之三，对不对？但因为上面这种情况，因为这个一，咱们这个 a 等于负一，就舍弃了，对不对？舍弃了，所以直接代入这个 a 等于负二分之三， 那你看 a 带入负二分之三时， a 减二等于负二分之三，减二就等于二负二分之七，对不对？那带入这个二 a 方加五 a 等于这个二乘负二分之三括起来的平方啊，因为这个是复数，所以咱们要括起来平方，对不对啊？五乘负二分之三等于负三 啊，那因为咱们 a 等于负二分之七，逗号负三，满足咱们这个元素的互异性哈。 综上所述啊，实数 a 就 等于负二分之三啊。看一下咱们第二个问题是什么？写出集合 a 的 所有子集，集合 a 的 所有子集，咱们是不是第一个？已经算出来集合 a 是 什么了，对吧？集合 a 是 负二分之七，逗号负三啊。那你看解得 a 的 所有子集位，不要忘记这个空集啊，空集也是 任意集合的子集啊，空集啊，逗号啊，负二分之七，他可以作为这个 a 的 子集，对不对？负三也可以作为 a 的 子集啊，任何集合是他本身的子集，对不对？所以说负二分之七，逗号负三也是他的子集。好，同学们 一定要记住啊，每一步都要写清楚，不要落掉任何一步啊。作为简答题的话，还有一个最重要的步骤，你要写减啊。 ok， 这个题到此为止，咱们下节课再见！同学们，再见！
26蔚途小段老师
05:34查看AI文稿AI文稿同学们，你不要忘记这是高考题！高考题就用到两个公式，就是一个晕倒里和真晕倒里。如果说跟着我长期上课，同学你一定知道怎么做，看到这道题，你要开心才对，这才是真题啊！各位山东春考的家长们 以及同学们，停下来认真听两分钟，家长们，你有没有发现，自己家的孩子选择填空能蒙一蒙，一道大题直接摆烂？尤其是三角函数大题，以及这个原理曲线大题， 椭圆抛物线双曲线每年春考必考，可是大多数学生啊，根本拿不到全的分数。之前连续将近二十期视频我们啃完了原理曲线，就是所谓的椭圆抛物线双曲线的历年更新啊，将近更新了将近十几年了！然后呢？具体几何数列、 函数，所有乘法大题我还没有更新。那么从今天开始，我们就要开始更新三函数以及具体几何数列，所有的乘法大题全部都是 春考的真题！那么如果说想让孩子跟着刷题的家长们，一定要点上关注，分享给你的孩子。有很多家长跟我吐槽，孩子初中基础差，中职数学课堂跟不上，大题没有解决框架，看到成绩又害怕，上课听懂，下课独立做题就废。眼看春考的时间越来越近，以及马上开学， 分数始终上不去，想冲公办却卡在数学英语上面，机会摆在眼前。中职中职英语线上暑假提升班正在招生中，开学周末长期班 以及高三春考冲刺班同步开班，全程贴合山东春考大纲，针对性补齐大题短板，教孩子标准化答题步骤，考场踩点拿分，想要了解的家长们直接后台私信我，或者打在评论区。那么我们来一起看一道这道二零二零年山东省春交考 第二十八题三角函数的大题。我们来看第一问，他说 o v 之间的距离是七千米， am 之间是十一千米，我们给他标上啊，然后呢， 他说 coso a m o a m， 我 们给他标上啊，这是十四分之十一，是吧？好，那么求 o m 之间的距离，也就是说求这个边对不对？好，那么第一问啊，其实难度不是特别大，你看，知道两条 边，然后知道它的夹角，我们要求另一条边啊，我们要用到余弦定理啊，这里大家应该是可以知道的，那么余弦定理我们来复习一下啊，比如说这个 o m c 啊，比如说 c 方是不是等于 a 方减去二 a b cosc 啊？好，我们依照这个公式，我们可以得到， 那么 c 方我们不知道，我们可以设 o m 平方，对不对？ o m 平方等于这个 a m 方加上 o a 方， 减去二倍的 a m 乘以 o a， 然后呢，乘以 cosine 角 o a m。 好， 这是我们的一个基础的公式，我们一定要写上对不对？好，那么我们将数递去就可以得到啊，七的平方加上十一的平方，减去二乘以七，乘以十一， 再乘以十四分之十一。好，那么最终结果我们可以得到 o m 方等于四十九啊，因为它是这个长度，所以说 o m 就 等于七，对不对？好，那么第一问啊，我们还是可以轻松拿分的，是不是我们用到了这个 余弦定比啊？余弦定比这个比较突出，这是我们最常考的一种啊，第一问啊，第二问的话呢，我们来看一下第二问，好，他说 am 之间啊，取一个点啊，然后的话呢，修修这个栈道， ob 是 吧？角 oba 等于一百二十度。好，我们找一个大概的位置啊，找一个大概的位置，大概在这个地方啊， 好，假如说这个点是 b 点啊，我们连接 ob 啊，那么他说了 ab 是 一百二十度，对吧？好，让我们求 ob 的 长。 好，那我们来看一看这道题应该怎么做？你看，大家看这里，因为我们已经知道这个角度 oba 这个蓝色的角角度是一百二十度，然后也知道它的对边。好，然后我们现在是不是需要把 ob 这个边长求出来，我们应该怎么求？ 好，我们这里又用到正弦定力啊，正弦定力，好，如果说正弦定力不知道怎么做，打在公屏上啊，我们来说一下这里的公式是什么？ a b c a 是 不是等于 b？ b c b c 等于 c b c 啊，等于个二 r 啊，二 r 一定要写，那么继续，我们由 题目中条件可以得到 cos 角 o m 等于十四分之一，那么我们就可以得到三角 o m 啊，因为 cos 角 o a m 等于十四分之十一，那么三角 o m 等于几呢？好，如果说长期跟我上辅导课，同学们应该已经知道怎么做了啊，好，我直接写出来啊，三就等于十四分之五倍的平方三。好，这里呢，我就不带大家去计算了啊，大家可以自行计算，那么 o a m 三已经求出来了，那么 o b 是 不是我们就能求出来啊？好，我们把它带进去啊，就等于 o b 比上三角 o a m 好， 等于 o a 比上三角 o b a 好， 我们给这个数带进去就可以得到， 之后我们就可以把这个方程解出来，得到 o b 等于个五好，那么 o b 就是 五公里啊！这个题啊，我们就完整的讲完了，大家感受一下。是不是看着题干，文字一大段好像很难， 实际上拆清楚解析思路就特别简单。同学们，你不要忘记这是高考题，高考题就用到两个公式，就是一个晕晕倒地和正晕倒地。如果说跟着我长期上课同学，你一定知道怎么做，看到这道题你应该开心才对，这才是真题啊！ 好，如果说很多同学学不会，就是没有人带你梳理题型的框架，自己拿到大题就发怵，上课上课跟不上课后，课后没人答是吧？那么没有听懂的同学，在课后反复观看这个视频，把步骤整理到错题本上， 想要系统跟着刷中考大题，三角函数、立体几何、数列函数全套题型，我会持续更新，一定要点上关注，别到时候找不到我。咱们中学英语暑假线上听课班、开学周末巩固班，还有高三冲刺班正在招生，孩子们，如果说你大题没有思路，基础薄弱，想稳稳抓住大题得分，直接私信我，大家点赞、收藏加关注，需要转发给你身边需要的人！
