初三上册数学第四章成比例线段

嗨，同学，今天呢，和老师一起来学习九年级上册第四章图形的相似， 相似这一部分的内容呀，和我们前面所学习过的全等的内容同样的重要，极为的重要啊，极为的重要。在我们的中考当中啊，出现的频率太高了 啊，而很多同学呢，一遇到全能和相似呢，在几何部分呢，他他有困难，所以说今天我们一起来学习一下，希望这节课呢，对你的这一部分的学习有比较大的帮助。 好，首先呢，我们来看内容大纲，总共有四条，第一个呢是知晓线段的比的这个概念，会计算两条线段的比。第二个呢是知晓成比例线段的概念，整握成比例线段的判定方法。 第三，理解并掌握比例的基本性质和等比性质。第四，运用比例的性质呢，进行相关计算。这节课的内容呢，只涉及到一些基本的概念和基本的计算， 相对容易，相对容易，同学们注意听讲啊。好，首先我们从课本素材直接引入，在我们实际生活当中呢，经常会看到很多形状相同的图片，对不对？但是它大小不一样，大小不一样啊， 那么这些图片呢，就来源于我们课本上的这个原图，只在这里呢做了一个嫁接，这些图片的形状改变了吗？ 没有改变，一大一小对不对啊？大小改变了吗？大小是改变的对不对？那么我们有没有一种方式来描绘这些形状相同但 但是大小不一样的图片呢？他们之间有什么关系？怎么来描述？因为形状是相同的啊，那么怎么来描述他们之间大小关系呢？我们就引入了今天的这个比例的这个问题， 这个形状相同而大小不同的两个图形呢，较大的可以看成是由较小的放大得到的，较小的呢，可以看成是由较大的缩小得到的，对不对？那么放大缩小的这个过程当中啊， 我们其实图形的他所对应的这些线段也在放大和缩小，对吧？同学们，这个没有问题，很好理解啊。那么对于这些呃形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用它相对应的啊，在这里呢是相应线段 程度，就是相对应的线段的程度的比，来描述他们之间的大小的关系啊。我们来看一下这个，呃，这个图形和这个图形，你看相应线段，你看哪个是相应线段？其实在这里呢是对应线段的这个哈，你比如说这个和这个 他们是对应的，你不能拿这个去去比这个啊，当然你说老师他是正五边形，然后呢我说对应出来的是一样的，那么你起，那么你这个规律只符合于正多边形吗？ 他不是正多变形的话，就不满足这样的规律了吗？对不对啊？所以说呢，在这里一定要注意啊，相应相应线段的这个比啊，相应线段的这个比值 来描述他们之间的大小，因为我们不可能说图形怎么样，是吧？我们只能通过对应的线段测量它的长度，然后呢得到一个比值，我们不可能 呃去测一个这个行，这个图形的这个大小，对不对啊？究其一点来进行描述就可以了。 那么第一点呢，就是我们刚才的这个知识大纲里面的啊，两条线段的笔，如果选用同一程度单位量的两条线段 abcd 的程度分别是 m 和 n， 在这个需要注意一下，就是同一个程度单位， 就说你拿一个刻度尺去量，那么你量完 a、 b， 那么你拿同样的刻度尺去量 c、 d 啊，中间不要变，它有可能不一样，对不对？这样的你量出来的程度才是一样的啊，很好理解哈， 那么这两条线段的比就是他们长度的比，也就是说两条线段长度，两条线段的比是他们长度的比啊，你量出来的他们程度的这个比值啊，并不是说他们其 它的比值对不对啊？是它们之间长度的比值。长度，它这个是数字吗？数值的一个比值对不对？这样的话才和我们数学有关系，对不对啊？ 嗯，好，那么在这个概念里面呢，我们需要有很多的注意点，那注意点呃，在我们几何里面就是这个样子啊，我们学习第一章的时候我们也了解到啊，他这个小知识点呀，非常的多， 在这里呢，大家要注意听哈，注意听，区分清楚。那么第一点， a、 b 叫做线段笔的前向 a、 b， 你看这是不是两个，这是不是一个笔？ 那他是不是在前面？他是前象，这是不是在后面叫做后象啊？他写成这种样子的，上面的叫前象，后面的叫，下面的叫后象啊，这个要注意哈，别人家告诉你什么，呃，给你提了一个名字叫前象，你不知道前面的那一象 前向。第二条两条线段的笔实际上就是两个竖的笔，对不对？这个刚才说过了，因为你量出来的这个长度，它就是一个数数值吧。第三，求两条线段的笔是所使用的长度单位应该统一，对吧？你用米，你都都用米，你用厘米就都用厘米。 第四，在长度单位进行统一的时候，无论采用哪一种单位，笔直都是相同的，这什么意思呢？就说我把这些上下的这，我把两条线段的这个 单位呢，都长度都是用的米做的单位，那么你比值啊，你比如说等于二分之一啊，如果我都画成厘米，那么它的比值还是二分之一 啊，这个，呃，很容易理解，对吧？啊，因为他本身的这个程度没有发生变化，只是你的计量单位发生了一个变化，那么他们的比值不应不变。第五，虽然两条 线段的比要在单位统一的情况下进行，但是笔直却是一个不带单位的正数，肯定是正数没有问题啊，需要注意的就是他不带单位，不带单位。第六，笔直刻画的两条线段或者是两个图形的大小关系。 这个呢，咱们刚才说了啊，刚才说了我们不可能去测出来两个图形怎么样，对吧？但是他对应的某一条线段的程度啊，来代表他进行一个大小之间关系的一个比值就可以了，就可以。 好，这是这个概念需要注意的这些点哈，也比较容易理解啊，所以说我们在这里呢，简单的做一个练练一练。那么已知线段 a b 他是八厘米， a 撇 b 撇时两厘米，他们的单位长度是不是一样的？所以说我们在这里直接就可以进行比啊， a b 比成 a 撇 b 撇，那么就八比二，四比一嘛，对不对？那 那么它的比值是多少？四比一是不是一分之四？那么它的比值就是四嘛？它的这个值啊，那么 a、 b 就等于四倍的 a 撇、 b 撇，对吧？五边形 a、 b、 c、 d、 e 和 a 撇， b 撇， c 撇， d 撇 e 撇啊，形状相同啊， a、 b 等于五厘米， a 撇、 b 撇，你看 a、 b， a 撇、 b 撇，这是不是相对应的两条线段啊？然后呢，人家也没告诉你是正五边形，对吧？他们的两条线段长度已经测出来了，长度已经测出来，单位是相同的，那是不是就直接直接进行笔直就行了？ ab 比成 a 撇、 b 撇，那么他就等于 五比三的这样一个内容，对吧？这样的一个结果啊，那么他们的大小关系呢？就是五比三啊，对不对？这就表示他们之间啊，你比如说你是五五的这样一个大小啊，我是你下 相对应的这个三的这样一个大小，对不对啊？五分的大小，三分的大小，是不是很好理解哈？这个呢，呃，计算起来也比较简单啊，也比较简单。好，我们看第二部分的内容，就是课本的素材做一做哈，直接过来的。 那么设小方格的这个边长呀，它为，呃，唯一啊，唯一。那么四边形 a、 b、 c、 d 和四边形 e、 f、 g、 h， 它的顶点呢？都在这个格点上。那么 a、 b、 a、 d、 e、 f 和 e、 h 啊，它们的长度分别是多少？ 这个呢，比较好计算哈，比较好计算。你比如说在这里呢，我们能够啊，轻松地就得到 a、 b， 它是等于八的，这个 e、 f 是吧？它是等于四的，那么 a、 d， 它是等于二倍的，根号十的。我在 在这里就不用勾股经理给大家计算了哈，这个表，这个格子这种长度呢，很很常见，很常见，大家应该都会啊，那么在这里呢，我们就可以得到了这些程度之后怎么办？他让我们分别计算一下， a b 比成 e f， a b 比成 e f 等于二， ad 比成呃， e h 是不是也等于二？ 它等于二，它等于二。那么 a b 比成 a d 呢？ a b 比成 a d， a b 和 a d 是不是它等于？呃，这个根号十分之四，那我在这里这样写一下哈，我们在计算的时候呢，分母要对分母进行有理化的处理，对吧？啊？ 然后呢，我们在这里呢，只是看一下它的这个结果啊，刚好是，那么 e f 比上呃， e h 是不是也是四分之更好使？这样的话呢，我们就能得到 a b 比上 e f 等于 a d 比成 e h 的这样一个结果，对不对啊？ a b 比成 a d 也等于 e f 比成 e h 啊？我们发现了这个，我发现了他们的结论是一样的，哦，不对，我们发现了他们的值是相等的，对不对啊？两组两组是相等的， 这就是我们这个做一做的这样一个需要发现的内容。那么在这里结束了之后啊，结束了之后，我们需要对它进行总结，对吧？那么你说四条线段，我们刚才说线段的比的时候，是不是两条线段前项和后项进行比较就行了，那么你把四条线段放在一起 啊，他们相互之呃，前两个的比值等于后两个的比值啊？对，后两个比值。那么这是不是一个新的知识内容呢？就是我们今天所要学习的比例线段啊，成比例线 段，就是这样的四条线段， a、 b、 c、 d。 如果 a 与 b 的比等于 c 与 b， c 与 d 的比，那 g 就要 a 比上 b 等于 c、 b、 d， 那么这四条线段 a、 b、 c、 d 就叫做成比例线段，构成一定比例的线段， 成比例线段，在这呢，一看到成比例线段是四条，是四条， a， b， c， d， 四条才能构成哈，简称比例线段。就乘一定比例的这个线段啊，乘一定比例线段是四条哈，在这里一定要注意，是四条，在这里还要注意呢，就是他的顺序， a， b， c， d。 如果你四条线段写成 a， b， c， d， 那么你的这个比值就只能写 a 比 b 等于 c 比 d 啊。如果你要是 b， c， d， a， 那么你就必须写成 b 比 c 等于 d 比 a， 这样一个结果啊，这样一个结果， 千万是要注意他们之间的顺序，顺序哈，各个字母的顺序是存在的，通过刚才我们的那个上面的那个是吧？呃，就是前一页的那个计算题， 我们能够知道， a， b 呃， e f a d e h a b a， d， e， f， e， h 他们之间是有关系的，那么他们之间，如果说，根据我们上面的这个定义啊，只要满足四条线段，满足这样的一个比值关系，那么他们就是叫做成比例线段啊， 每条线段的值都已经有了，那么我们能够发现这些都是成比例线段，你自己还去研究一下，看看还存不存在其他的成比例线段的情况。也是同样的四条线段哈，你会发现新的结果和结论啊，在这里呢，我只举一部分，只举一部分。 好，这个作业呢，留给同学们哈，留给同学们，在这里呢，也一样，新的概念，我们再强调一下，注意点，第一， a、 b、 c、 d， 它叫做组成比例的像， 很好理解吧啊，我们刚才说我前向和 b 向，呃，后向，对吧？那么 a 与 d， a 与 d 在外面的叫做外向， b 与 c 在里面的叫做内向。我们在小学的时候就学习过啊，这样的一个成，呃，这个，呃，四个的这样一个比例，对吧？他们的外向之际等于内向之基 啊，我们在这里回顾一下哈，一呢是他们叫什么名字，二呢是他们这样的一个呃，数值关系。第二个呢，是当比例的内向相等的时候，比例的内向相等的时候，你比如说都是 b 或者都是 c， 那都相等的时候，那么 b 或者 c， 他就叫做 ad 的比例中项。比例中项啊，这起的这样一个名字哈，一起。呃，这个，如果题里面给你给你提到比例中项了，你要知道啊，两个外向， 两个内向，他是一样的，他们的平方呢，等于两个外向的，这个呃，他的平方等于两个外向的乘积。第三条，四条线的成比例是一定要注意他们的排列顺序，一定要注意他们的排列顺序，你看这个 这个，他的顺序是不一样的，那么他们写出来的结果也不一样，值也不一样，比值也不一样。好，所以说一定要注意排列顺序。我们随后呢，会有这样的一个训练题， 好，我们看第一题， a， b， c， d 啊，判断 a， b， c， d 是否构成。呃，比例线段，这是不是利用我们学习的知识就行了。既然你这 已经排好顺序了哈， a， b， c， d， 那么就是 a， b， b 嘛，六分之四，三分之二，对不对？那么 c， b， d， 呃，这个二分之一对吧，他俩不相等，不相等就不能构成比例线段啊，你看这样的题是不是很简单？第二题呢，就是甲乙两地相距三十五千米，图上的距离为七厘米，这种图的比例是多少？这个问题啊， 呃，使我们小学的那种哈，比例尺的问题，比在这里这种图的比例尺的时候，使我们这种图上距离比上实际距离，对不对？实际距离啊，你在这里要把这个铅笔画成什么？画成厘米一定要注意单位的问题 啊，这个黑更简单。那么第三题看一下啊，一至三个数，二四、六，添上一个数，是他们能构成一个比例式，能构成一个比例式， 能够让比例是什么意思啊？能够让他们成为成比例线段啊，能够使他们成为比例线段， 明白吗？因为我们刚才所学习的知识就是这个理解哈，你比如说老师，我假设这个数是 x， 我可以放在这个位置，因为他们是有顺序的吗？是，是吧，四个放在一起，他可以放在这个位置，他可以放在这个位置，他可以放在这个位置，有四个位置，明白吗？你需要有讨论四种情况， 讨论四种情况，它有不同的笔直，能够解出来不同的 x。 好，我不带着大家解了哈，因为这个解的非常简单，非常简单，其中呢，有重复的，所以说呢，结果呢？是三个，三个。 好，那么我们再看一下第三部分的内容哈，就是课本的素材意义啊，比例的基本性质，比例的基本性质。如果啊， 四个数， a、 b， c、 d 乘比例乘比例啊，那么接 a、 b、 b 等于 c 比 d， 那么 a、 d 等于 b、 c 吗？那么 a、 d 等于 b、 c 嘛，也就是交叉相乘，呃，也。呃，等于吗？你说等于？我小学就是这么学的啊。十字相乘，然后他们是相等的关系，为什么呢？ 现在能解答吗？根据我们等式的基本性质，我是不是跟他这种情况，我可以在两边同乘一个，呃，这个数，这个，这个叫什么？呃，一样的数，是不是我都乘以 b、 d 就行了嘛？ 我都乘以 b、 d， 那你这里一约一个 b， 这里约一个啊 d， 那是不是就成成为这样一个样子了？那么反过来，如果我知道了 a、 d 等于 b、 c， 那么 a、 b 他们四个呃数乘比例吗？肯定也乘嘛。我在这里逐 除以 b、 d， 对不对？要是来表示现端的话，你不可能为零，对不对？我们在这里呢也要求 a、 b、 c、 d 不为零是吧？啊？不为零哈， 好，那么这就是我们的基本性质的这样一个内容啊。如果它是这样比例的关系，那么它可以写成乘积的，如果它是乘积的，我们要约定，先约定 a、 b、 c、 d 都不为零，那么它可以有这样的比例关系，因为这个叫什么来着？因为。呃，在分母上它不能为零， 是不是啊？啊？他不能为零， 要是存在零的话，那就这个东西就不成立了，对不对啊？不成立了。好，在这里呢还有一个和比的性质啊。和比的性质，这里呢需要给大家总结一下哈。 呃，增加一下。你比如说我知道了 a 比 b 等于 c 比 d， 那么我能推出来它吗？ 还是利用等式的基本性质？等式的基本性质，我是不是在两边，在他的两边各加上一，这等式不变吧，各加上一，那么 b 分之 b 啊，这 d 分之 d 是不是就构成这个了？那么这个也一样啊，我两边都减去一， 是不是构成一个这个啊？这叫和比的性质，和分比的性质啊。我们在一些题里面会遇到这样的内容啊，会遇到这样的内容， 呃，在这里呢，我就不给大家呃，就是做详细的一个推推导了，因为这个推导的大家，呃并不难啊并不难。在这里呢，还要给大家留一个小作业啊留一个小作业就是这个，你自己推导一下 这个成立吗？证明一下这个成立不成立 看你自己证明一下这个东西成立不成立啊，成立不成立。 我在这里呢要告诉一下大家哈。呃，前面的这个式子，你在推倒的过程当中用等式的基本性质是可以满足的。同时呢还有一种方法，呃，有的资料上呢叫涉 k 法 啊，不知道你们学校叫什么？叫什么方法哈，你比如说第一个哈和比的性值，我 b 分之 a 等于 d， 分之 c 等于 d 分之 c， 我让它等于 k 等于一个数值，这样的话我能得到 a 等于 b， k， c 等于 d， k k 是一个数值。 note 到这样子吧，然后呢，我把这个 带进去， a 等于 b k 了，我把这个带进去，然后呢，他们都等于 k， 那么是不是他们是相等的，是不是啊？啊？这射 k 法啊， 注意去注意去研究一下啊，注意去研究一下啊，如果研究不清楚的啊，你可以私信老师或者是评论。好，那么第一个已知线段 a， b， c 满足这样的关系， a 比 b 等于 b 比 c， 那你看在这里是不是一样了，同学们，是不是一样了， 对不对？这是什么？ b， c 中向吧啊？ b， c 中向了，是不是？根据这个跟我们前面所学习的关系，我们知道 a， c 等于 b 方， 对吧？啊？ a， c 等于比方，那么呃，已知 a 比 b 等于，呃，这个三比二，那么 b 分之 a 加 b 啊，还有这个 呃 a 减 b 分之 a， 这是不是就很好理解了啊，那我在这里呃，相乘我就知道了吗？我能够得到一个 a 等于二分之三， b 是不是就可以往前带了，对不对？这都是 b 带进去了啊， 我把 a 都换成 b， 是不是就 b 值页就可以出来了啊？所以说呢，在这里呢，咱们还是呃这个比较简单的哈，比较简单的， 嗯，多研究研究啊，多研究研究。在这里呢，还有一个，呃，不一样的内容啊，不一样的内容，所以说呢，在这里啊，关键是要注意你不同的形式之间它是有不同的这个变化的方式的，你比如说这个式子，它可以写成分开的， 它也可以因为分母相同写成一样的，是吧？加一个一或者减一个一，那么它的形状就会发生变化， ok， 同学们， ok 啊， 好，第四部分的内容哈，第四部分的内容 我们在这里呢，一起看一下。第四部分的内容就是等比的性质，在这里呢，也比较简单，已知 a， b， c， d， e， f， 它六个数，六个数啊，我们课本上也是这样写的哈，如果 a、 b， b 等于 c， b， d 等于 e， b， f， 也就说连等的这种情况我也告诉你啊， b 加上 d 加上 f， 不等于零啊，分母之和不等于零，那么 a 加 c 加一，我就说我把上面的这个连等的这种形分数形式的话，我把上面的分子都加起来，比上下面的分母之和 和，那么它就等于其中的一个式子， a， b， b 的值等于 c 比 e， d 的值等于 e， f 的值啊，这里只是写了一个 a， b， b， 那我写成 d， e， d 比 c， 呃， d 分之 c， f 分之 e， 可以吗？可以的，没问题， 它成立嘛。为什么设 k 法让它等于 k， 那么 a 就等于 b， k， c 就等于 d， k， e 就等于 f， k， 我把这里 e 把这里一带入，然后呢，这个 b 加 d 加 f 都舍了啊，就留下一个 k， 那么 k 它本身就等于这些里面，然后再挑一个数就行了， 能理解吗？啊？自己演自己这个啊，推导一下哈，自己推导一下啊，没有任何的问题啊，没有任何的问题。 呃，推导一下还是非常简单的啊，在这里呢，我们的这个结论呢，课本上的结论，他只是把这个上面的这个三项 延成了，延成到 n 项了， a， b， b， c， b， d 也是一直比，比到 n 分之 m， 这是无数个，无数个，我们要规定一下，分母不为，呃，这个分母之和不为零，那么他就会存在这样的一个结果，存在这样的一个结果啊， 这个推导呢，也是比较简单的哈，我在这里呢，就不再推导下面的这个结论了。好，我们看一看，练一练哈。说 a、 b、 c 都是不等于零的实数，他们都不是不等于零的实数，都不等于零，那么他他他他等于 k 去 k 的值， 怎么做都不等于零的数， 是吧？如果说根据我们刚才的定义，那么它是不是都在分母上了？我 a 加 b 加上 c， 如果不等 等于零，那么我是不是就可以，就可以就可以把这个东西推导下来了？把这个东西推导成什么？推导成我们刚才的那个等比性质了啊？我们刚才的那个，呃，等比性质啊。等比性质是什么？等比性质就是刚才的这个哈， 这个我们上面有写的等比性质，这个呢，就是这样的一个内容。那么我们这在这道题里面用等比性质的内容的话，我们就是把分分子都加起，分母都加起来， a 加 b 加 c， 分母都加起来成了二， a 加二， b 加二 c， 是不是？那么他等于几呢？等于二嘛？所以说 k 等于几，所以说 k 等于二， 对不对？但是虽然我们都是不等于零的数啊，这个是根据我们等比性质的这个限制条件所得到的一个结果，它都不等于零，那么它加起来是不是由 不可能等于零？可以吗？可以吧，一正一负啦，或者什么的。呃，这个东西是可以的，他们是可以等于零的，那么这样的话，我 a 加 b 就等于什么等于负 c 嘛， 对不对？ b 加 c 等于负 a 嘛？然后呢，它们的比值是不是就等于负一啦？是不？ k 等于负一？所以呢，在这里呢，要进行情分两种情况呢进行讨论哈。分两种情况进行讨论 啊，你看你在第二次我用这个式子的时候，是不是就没有永远等比的性质？把分子都加起来，把分母都加起来？因为一等于零了，你分母不成立， 所以你在这里就不能用了，你只能用他其中的某一个去求出来值， 好连连啊，我们来看这个啊， b 分之 a 等于三分之四，那么 b 分之 a 加 b， 对不对？我们刚才不是说过了啊，我 a 就等于三分之四的 b 嘛，对不对？我把它带进去嘛，把 a 替换掉，把 a 替换掉，是不是都留下 b 了？是不是就可以约，就可以约这种公因式了啊？很简单啊，那么这个， 这个就是我们刚才登笔性质的一个运用嘛，直接把分子加起来，分母加起来啊，那么这个呢？ 这个怎么办？同学们，这个可不，人家不让加，不让加那是减的， 那是点的，是不是就可以设 k 法啊？当然，当然，这个就不用设了，但是不是，这个五分之二就在这里了，我是不是可以表示出来 a 表示出来 c 表示出来 e， 对不对？对它进行一个替换， ok 吗？ ok 啊，哎，他老是往前跳。今天在这展下展示一下这样的一个结果啊，展示一下这样的结果。 好，我们就本节课呢，进行一个总结。成比例线段就是线段的比， 想承认的程度单位零的 abc 的长度是 mn， 那么他们的比值就是他们长度的比，写成这个样子成比例。现在呢，就是一定是四条，四条还有比例。是啊，四条四个数， 那么就写成这种 a、 b， b 等于 c 比 d 的这种形式啊。那么这四条线段 a 就叫做成比例线段，简称比例线段。再一个内容呢，就是我们看 刚才学习的比例的性质，一个基本性质，一个等比性质，基本性质呢？ a b b 零 c 比 d， 那么它十字相乘也是一样的。如果说我知道了 a d 等于 b c， 那么它们也可以化解成 a b b 零 c 比 d 的这样一个形式。 等比的性质就更好理解了，是吧？ shak 去讨论啊去推论啊推导，那么它这样的话，它就是分子之和啊。呃，这个比上分母之和，它还等于原来的其中的某一单个笔值。 ok 好，这节课呢，说难不难？说简单啊，也不是很简单的样子哈，同学们注意认真思考啊，好，同学们。

这个视频我给你讲讲平行线分线段成比例，感觉有点拗口，说人话，就是在一组平行线之间这么画两条直线，可以得到这段比，这段等于这段比上这段，也就是 a、 b、 b， b、 c 等于 d， e、 b、 e、 f。 这个结论可是相当好用，比如告诉你 a、 b 是四， b、 c 是二，而 d、 e 是三，那 e、 f 你知道是多少？不对了，四比二等于三，比上一点五 e、 f 的长度，这就算出来了。 那你再看 ac 全长是六，而 df 全长是四点五，显然四比六和三比上四点五是相等的，那就是说 ab 比 ac 等于 d， e 比上 df， 类似的二比六也等于一点五，比四点五， 所以 bcbac 也等于 ef bdf。 如果这两条线这么换换位置，这些比例依然成立，特殊的 a 跟 d 重合，那这就成了一个三角形，依然有 abbac 等于 aebaf。 而且在三角形里，这些比例还等于 d、 e、 b、 c、 f 这三条线段跟这三条线段对应成比例，写成式子就是， a、 b、 b， a、 c 等于 a、 e、 b， a、 f 等于 b e、 b、 c、 f。 就像是这个三角形按照比例放大成这个三角形，所以个边的比例就相等了。那么问题来了，这个式的很简单，但是你能证明一下吗？其实你只要证明 b、 e、 b、 c、 f 等于 a， e、 b、 a、 f 就成了。这 这个嘛，做一条平行线， em， 平行 bc， 那他就是个平行四边形， cm 就等于 be。 哎，那你再看这两条平行线，分线段成比例，大 cm 比上这条边，不就等于 ae 比上这条边吗？ 所以 b、 e、 b、 c、 f 就等于 a、 e、 b 上 a、 f。 搞定这个结论，你可得记牢，是这个三角形的三条边和这个三角形的三条边对应成比例。 哎，既然这两个三角形各边对应成比例，而且因为平行，角度又相等，那这两个三角形就相似了。 至三角形 abe 相似于三角形 acf。 一般情况下，咱管这个图形叫 a 字形，特别的，如果我把这个小三角形这么旋转一百 八十度，让这两条边平行，那这个图形就是个八字形了。显然，他依然有 a b b， a c 等于 a e， b a f 还等于 b e， 比上 c f， 也就是这组比例依然成立。 而且这两个三角形 abe 和 acf 也还是相似的。以上就是平行线，分线段成比例。我给你讲了三个图，在这个图中有三个结论，这两段的比等于这两段的比，还有他俩的比例等于他俩的比例。 当然，这两对比例也是一样的。而在这个图中，这三条边跟这三条边对应成比例，这两三角形相似， 而且把这个三角形旋转出去，结论不变。好了，为师这就讲完了，朋友们速速刷题去吧！

好，同学们，今天我们来讲一下第三课时啊，关于比例中像和黄金分割点啊。 嗯，书本呢是一百二十一页，一起来看一下第一个比例中项。什么是比例中项啊？上节课我们讲到了线段成比例是不是，那么这比例中项呢？是关于三条线段的啊，那满足一个什么样的东西呢？我们来看一下这里啊，一般如果三个数 abc 满足比例是 b 分之 a 等于 c 分之 b 啊，你看这个交叉位上有两个 b 相同啊，或者呢，表示成为 ab 上 b 等于 bb 上 c 啊，这个 b 相当于起到了一个中间商的一个作用，是不是？那么我们就称这里的 b 为 ac 的一个比例中相 啊，那么这里不一定是这样子字母写的。是不是？如果你的字母用什么 a 比上 c 等于 c 比 上什么 b 的时候，那这里的比例中像是谁啊？是不是应该是 c 啊？ c， 是啊， a b 的一个比例中相，这个你要明白啊，这么换了，你要找到他比例中相的性质啊，他是中间的，这个叫做比例中相啊。那么我们用呃 b 的也可以用两个狮子来表示啊，要么呢是乘积是吧， b 方等于 a c， 要么呢是 b 分之 a 等于 c 分之 b， 这样子来表示他啊。好，我们来看一下做一做这道题， 他问一啊，一是不是一又二分之一和三分之二的一个比例中相啊？如果是比例中相，先写出相应的比例。是啊，我们说你去判断他是不是中相啊，那你要看一下一的方是不是他俩的成绩就可以，是不是？那这个是二分之三，这个是三分之二，两人是倒数的关系， 一乘就是等于一的，对吧？一的方也是等于一的，所以他满足了。这个什么啊，一个数的平方等于另外两个数的乘积，对不对？所以他是比例中小啊？啊，是的 啊，我们把他的比例是给他写出来啊，这应该是一又二分之一去比上一等于一，比上一个三分之二，是吧，这样就可以了。好，然后来看第二小题一，这线段 a b l， a 是三， b 是二十七，求 ab 的一个比例中向线段， 那么这里的比例中项线段你要搞清楚啊，是他俩的一个什么乘积啊，然后再开放，是不是你不要去找什么二十七的平方除以三了啊，那不对，就是，所以应该找到比例中项，比例中项是这两人的乘积啊，他也更好的，是吧？所以比例中 下应该三乘以二十七啊，这个开方开出来，这里是三乘以九，所以呢，拿出来正好是九，对吧？所以比例中下线段 中像线段应该是九啊。还有一个，这里要提醒一下，正常这里 你进行一个开方，是吧？我这个是默认取了一个算数平方根啊，但是我们一般的开方他其实是会有两个指的，对不对？一个数的啊，九的平方是 这一个纸，那个负九的平方也是这一个纸，对不对？所以这里因为我是什么线段，所以我取了一个正数，把负的给舍掉了，这个地方要明白一下啊。好，然后我们来看图，图下的啊，这个蒙娜丽莎对吧？达芬奇的名画，他说呢， 拉力上的脸啊，被围在了一个矩形 abcd 中啊，图形四边形 bcef 呢？是一个正方形啊，这个部分是正方形，那么量一量是吧？这个比上这个是否等于这一段比这一段啊？那你自己去量一下就可以了啊，你会发现其实是相等的， 是吧？那这个就是我们的黄金分割的一个性质啊。啊，我们比如说啊，有一条线段 ab， 那么里面有一个点点 p 啊，你保证前面线段大于后面线段就可以了啊，那如果正好有一个笔直也成立的话，那么我们 p 点就是黄金分割点啊，哪个笔直呢？就是 我们的 bp 小线段比上这条线段等于这一条线段比上大线段啊，三段之间比，如果有这种比的话，就 称屁，是我们的黄金分割啊，这个屁把这条线段给他黄金分割了，是吧？点屁就是我们的黄金分割点啊，这个地方注意一下，那么他们之间的比啊，小线段比上大线段，这个笔应该是等于黄金笔啊，这个笔叫做黄金笔 啊，他这里给到我们的是 af 跟 bf 之间啊，这个 f 点其实就是黄金分割点，是吧？啊，那么由于这个 bf 跟 bc 是相等的，所以这个车型的长跟宽啊，他也有一个黄金分割的一个线段比 好，那也就是说什么他这个脸纵向的是一个黄金风格啊，横向呢，也蛮做，横向之间也满足一个黄金风格，所以他比较优美啊，图像比较美丽。好，我们来看一下黄金分割怎么去 啊，那么这里给了一个呃，解题过程啊，我们来看一下怎么来的啊，他的图意呢？是怎么样子的？我们分析一下啊，他是先去表示出了一个比例关系啊，啊，他把这个 a p 比 a b 比上这个 a p 的笔值呢？哎，假设它为 x， 那相当于什么呢？我就先设了一下啊，先设 a b 为一是吧？ a p 呢？为 x， 那么 bp 的场怎么表示啊？ bp 的场属于一减 x 来表示啊，这个只是大概表示一下啊，那由于我们那个比例是乘的是吧？啊，有一个 bp 比上一个 p a 等于 p a 比上一个 ab， 我们把量先带进去 啊，这里呢是一减 x 啊， pa 呢是 x， 这个也是 x 啊， ab 呢是一是吧？根据这个交叉相乘性质，我们可以得到 b 方 x 方是等于一减 x 啊，那么 x 给他移过来，应该是加 x 减一等于零，是吧？这里我们可以求一下 x 的值啊。利用球跟公式， r a 分之负 b， 正负根号， b 方减 c c 是不是二？ a 应该是一是吧，二乘以一啊， 复辟，复辟就是复一了啊，正复根号 b 方 b 方是一减四乘一个一乘一个负一，是吧，就变成了加四好，所以呢， x 一是等于二分之负一加上 根号 x， 二呢是等于二分之负一减根号。那么由于我们这些是线段啊，你看这个 他是个负数，对不对？所以呢，我们就把它舍掉了啊，舍掉了，那么我们就可以求出啊，这个二分之根号五减一，其实就是我们的黄金笔啊，黄金笔，这个就是一个笔， 黄金笔啊，那么我们就可以表示出来了啊。嗯，这边也给了一个过程，那么一样的啊，求出来，然后我们这里进行了一个取值啊，他这个笔呢，是约等于零点六一八的啊，零点六一八， 零点六一八啊，我们淘宝那个年终大促也是零点六一八哎，那他取的也是一个啊，比较优美的 一个数字是吧？好，然后我们来看一下这个啊，古希腊的一些建筑啊， 啊，人们是黄金分割为最美丽的一个几何比率啊啊，广泛应用于建筑图案设计等等方面啊，比如说这个什么样的图形啊，他这个长方形，长宽之比就等于黄金比 啊。在自然界中也有很多黄金分割的例子啊，比如说什么蝴蝶对吧，还有呢，是哎，我们胳膊人人体的一个形状也有啊，也满足， 那么当你满足这种比例关系是黄金笔的时候呢，就相对来说啊，身材啊，整体啊，看起来就比较协调一点啊。好，然后我们来看一下利五啊，利用黄金分割，求一些线段长度啊，这里给的是已知线段， ab 是等于二分之根号五加 加一， p 是他的一个黄金分割点， ap 呢，满足了大于 pb 是吧？那么求 apbp 的长啊，这个总的是二分之根号五加一啊，求这两条线段的长分别是多少 啊？那你既然知道了这个黄金笔的话，那你就可以列比利时了嘛，对不对啊？因为我们的 a b 比上 a， a p 比上 a b 啊，小的比大的应该是满足二分之根号五减一的，这个 b 是不是啊，再加上现在 a b 已知了，你把它带进去啊，用这个纸袋带进去 啊，带进去呢，只有一个 p， a p 是位置嘛，所以 a p 是不是就可以求了啊？ a p 求出来正好是等于一，是不是？ a p 是一，总长是二分之根号五加一，所以 b p 是 剪一下就行了，利用二分之根号五减一去求得啊，他应该是二分之根号五减一了啊，加两条线段就都有了，对吧？好，我们来看一下课内练习啊，一起来做一下 第一题啊，求下列各组线段 ab 的一个比例中项。线段比例中项啊，要找什么成绩的啊？平方开方啊，成绩以后把它进行一个开方，就是我们的一个比例中项，那么这里我们可以写成 根号三乘一个三倍根号三，对吧，然后进行一个开放。好，这里面应该是什么三，这两个人相乘也是三，所以他是九，对吧？那开方开出来应该也是等于三，第一个比例中三应该是三，第二个，那应该拿什么 二分之根号三减一去乘以二分之根号三加一啊，然后进行一个开发，那里面我们又可以写成什么？这个应该是四分之 啊，根号三加一乘一个根号三减一，这个是完平方啊，完全两个平方，是吧？平方差，所以我们可以写成三减一啊， 三减一，然后也是开放，所以这个里面应该是四分之二啊，四分之二，四分之二开更好，开出来应该是二分之更好二 啊，所以这里的值应该是二分之根号二。好，然后我们来看一下第二小题啊，理智 p 是线段 ab 的一个黄金分割点啊，满足了上前面线段大于后面线段啊， 由 ap 笔上 pb 的一个纸， ap 笔上 pb 的一个纸啊，那么因为我们他说这个是黄金分割点啊，我们可以知道的一个是什么 pb 笔上啊， ap 的纸， 这个是满足他那个什么二分之根号五减一的，对不对？黄金比，那么他现在其实就是他的什么倒数，对不对？所以啊，我们的这个 ap 比上 bp 啊，他其实应该是根号五减一分之二， 对吧？那这个根号五减一分之二，我们进行有理化啊，分母有理化哎，上下同乘一个根号五加一 哎，然后进行化解，是吧？底下呢，就变成了五减一，那就是四，是吧？上面呢，应该是 是二倍根号五加二啊，二倍根号五加二啊，那这个值就变成了一个啊，二分之 根号五加一啊，所以你要去估一下这个二分之根号五加一月等于是多少啊？因为我们知道根号五大概是二点二四左右，是吧？那你二点二四加上一个一，那就三点二四，三点二四再除一个二啊，那这里的值应该是约等于 约等于啊，约等于一点六啊，一点六，这样就可以了。好，然后我们来看第二小题 啊，弱 a b 是等于二的啊，求 b p 的一个值， a b 线段是二啊， 那么我们可以求什么长线段一致的，对不对？我们利用相似饼去求出 ap 是吧？ ap 等于我们的 ab 乘以二分之根号五减一，是吧？然后呢啊，这个 ab 是等于二的，所以他其实就相当于是根号五减一，对吧？那么 pb 是多少？ bb 是不是应该等于二去减去一个根号五减一啊？总长是二，这一段呢，是根号五减一，所以他剪一下就可以了啊， 所以这个值应该是等于根号五减一加一啊，也就是三减根号五啊，三减根号五，这样就可以了。好，这是这一部分内容啊，我们下一次再见。

嗨，同学，今天呢，和老师一起来学习九年级上册教材习题四点二的内容。 首先呢，我们还是同样跟四点一一样习题四点一一样，我们先把第一节的这个内容呀复习复习一下。 首先呢，它是成比例线段。在这里面呢，我们说了两个概念，一个是线段的比，一个是成比例线段。而重点呢，在于成比例线段， 明白吗？线段的比当中分为它是两项，是吧？前项和后项。然后呢，它的长度比呢，是它的呃，不对，它的线段的比是它线段长度的比，这里的长度呢，单位要化成一致，但是它的比值是一个不带单位的正 对不对？这是我们需要注意的点，如果你不清楚了，请把前面的呃知识课程的内容再复习一下。 第二个呢是成比例线段。成比例线段呢，一定是四条线段，四条线段做比较，如果 a 比 b 等于 c 比 d 啊，那么这四条线段呢，就叫做成比例线段，也叫做比例线段啊，构成比一定比例的一种线段啊，简称比例线段。 在这里呢，需要注意的呢，就是说 abcd， 他是有顺序的，你比如说我写成 bacd， 他可能就是另一种形式了。另一种形式啊，一定要注意在这里的一个顺序 啊，顺序是最重要的啊。好，那么我们再看第二部分，就是比例的 一个性质。性质呢，主要是运用来呃，用来计算的啊，其中有基本性质， a b b 等于 c b d， 那么 a d 等于 b c 是不是十字相乘，它的对角相乘，它是一样的， 会反映到我们小学宿舍学习的知识点呢，就是外向之和等于内向之和。那不对，外向之积等于内向之积啊，刚才说错了， 外向之机等于内向之机，对不对啊？那么他如何来进行一个转化呢？我们在两边同乘以分母 b、 d 就行了吗？对不对？或者同除以 b、 d 是不是有相反也是可以成立的等比性质呢？ 他是用什么呃办法来证明的呢？就射 k 法是吧啊，让 a， b， b 等于 c， 比 d 等于等于等等，等于 n 分之 m 等于 k， 然后呢，我就能够知道 a 等于 b， k， c 等于 dk， 是不是这样的话，我们把分子全部换掉，然后呢，能够得到一个这个结果，他也等于 k 值，所以说呢，他等于技能等于 b 分之 a， 在这里写上 d 分之 c 也是可以的，写成 n 分之 m 也是可以的。这个呢，在咱们前面都讲过啊，讲过。 好，那么我们今天呢，来看一下四点二的这样一个内容啊。第一题呢，是已知 a 比 b 等于 c 比 d 等于 e， b， f 等于三分之二， b 加 d 加 f 不等于零，这是很标准的 等比性质，对不对？ 很标准吧？很标准哈，很标准，来，我们翻前看一下，对不对啊？ 所以说呢，在这里没有多，没有过多可讲的，对不对啊？那么我们直接运用了那个呃性质公式就可以是吧？啊，我们让分子之和啊，比上分母之和，他是不是还等于原先的 b 分之 a， 也就是说它还等于三分之二的这样一个内容，是吧？非常简单啊，非常简单， 对吧？好，下一个，如图，已知每个小方块的边长均为一啊，小方块的边长均为一。我们很多这样的题哈，很多这样的题 求出来， a， b， d， e， b， c， d c， a， c， e， c 的长，并计算这两个三角形周成的比。哎， 刘老师，这很简单呀，你看 a， b， 它等于什么？一二三四，呃，五六是吧？这一二三四这个边呢？是一二， 那么是不是就有在，既然在小方格里面是不是都满足勾股定理的这样一个内容？这样的话呢，我们算出来， ab 啊，他等于根号下二的平方加上四的平方，这是二十是吧？那么有根号二十也是二倍的根号五没有单位，所以说我们这里也不加单位。 ab， a， b 算出来之后呢，它算 d， e， 我们先算外面这个大三角形的哈，因为它被最后被人三角形的比嘛， 这样的话呢，我们就能够得到。呃，这个 b， c， b， c 呢？大家算一下哈， b， c 的这个呢，它等于二的根号十，对吧？这是二，这是一二三 三四五六六啊， a， c， 然后呢，我们就可以求 a， c 啊， a， c 在这里呢是二， b 的根号是三这样一个内容， 那么，呃，这是外面的这个三角形。有了，我们看看里面的三角形， d， e， i， 呃， d c， i， 呃， d c， e 啊， d c， e， 因为它呢，也就是说我们求 d e， d， e 是不是很好求根号五啊，根号五，那么 d， c 呢？ d， c 是不是一三？根号十，然后呢，这个是 e， c 啊， e， c， 你看 e， c 才放在这里，这不是一二，这是一二三，是吧？二二得四，三三得九，根号十三，对吧？根号十三， 然后呢，你说，老师，既然每边每个编程都知道了，那么他的周长比，我是不是把这个三三边加起来就是三角形？ abc 的周长，这 这三边加起来是三角形 e、 d、 c 的周长，然后呢，我直接笔直一下就可以了吗？对不对啊？笔直一下就可以了，你看这个根号五根号十根号十三，根号五根号十根号十三。所以说呢，不提出一个二，那么就整个他的周长比上他的周长肯定就等于二， 你说老师不？我不这样算啊，我就，我就比较骚包啊，我就比较，呃，这个厉害啊，我就要用今天所学的知识了， 今天所学的是知识啊，还有咱们课本上是不是有例题啊，他也算过这个周成的，他通过一定的笔去算了一个周长，对不对？那么通过周长也能算到一个笔，对不对？那么你看 运用我们，呃，这个，呃，等比性质啊，等比性质，那他是不是我可以得到 a、 b 等比比上 d、 e， 它等于啊？二比一，那么这个，呃， b、 c 比上 d， c 是不是也等于二比一？还有什么？ a、 c 比上 e、 c 是不是也等于二比一， 对不对？那么这样的话呢，也就说这三个式子都相等了，那么它的分子加起来比上它的分母加起来是不是还等于它本身的一个比值， 对不对？这个分子加起来是不是正好是 a、 b、 c 的周长？分母加起来正好是 e、 d、 c 的周长，明白了吗？在这里可以分开处理啊，可以用不同的形式处理，都是对的。 好，第三题，第三题，我们在讲课的时候呢，本身就已经说过了，如果 b 分之 a 等于 d 分之 c 啊，呃，求证一下，他或者他成立不成立，结论正确吗？正确啊，为什么呢？ 运用等式的性质，我两边同时加一。同时加一啊，两边都加一，那么是不是得到他了？我如果两边同时减一等号两边同时减一，是不是得到他了啊？这个很简单哈，我们在上课的时候已经讲过了。所以说在这里呢，我只是提醒一下大家。 好，同学们， ct 四点二的内容呢？本身就很少啊。说是这这个使用的呃，知识点呢？也就是那个等比性质。等比性质，所以说其他的内容呢？没有很多哈。虽然在这节课我们就上到这里。谢谢同学们啊。同学们辛苦了。好，再见。

这个视频我给你讲讲平行线分线段成比例，感觉有点拗口，说人话，就是在一组平行线之间这么画两条直线，可以得到这段比，这个等于这段比上这个也就是 abbbc 等于 debe f。 这个结论可是相当好用，比如告诉你 ab 是四， bc 是二，而第一是三，那 ef 你知道是多少？不？对了，四比二等于三，比上一点五， ef 的长度，这就算出来了。 那你再看 ac 全长是六，而 df 全长是四点五。显然四比六和三比上四点五是相等的，那就是说 abbac 等于 d， e 比上 df， 类似的二比六也等于一点五，比四点五， 所以 bcbac 也等于 efbdf。 如果这两条线这么换换位置，这些比例依然成立，特殊的 a 跟 d 重合，那这就成了一个三角形，依然有 abbac 等于 aebaf。 而且在三角形里，这些比例还等于 d、 e、 b、 c、 f 这三条线段跟这三条线段对应成比例，写成式子就是 a b b a c 等于 a e b， a f 等于 b e、 b c、 f。 就像是这个三角形按照比例放大成这个三角形，所以个边的比例就相等了。那么问题来了，这个式子很简单，但是你能证明一下吗？其实你只要证明 b e bcf 等于 aebaf 就成了。 这个嘛，做一条平行线， em 平行 bc， 那他就是个平行四边形。 cm 就等于 b e、 a。 那你再看这两条平行线分线段成比例大， cm 比上这条边，不就等于 a e 比上这条边吗？ 所以 b e、 b、 c、 f 就等于 a e 比上 a、 f。 搞定这个结论，你可得记牢，是这个三角形的三条边和这个三角形的三条边对应成比例。 哎，既然这两个三角形个边对应成比例，而且因为平行，角度又相等，那这两个三角形就相似了，是三角形 abe 相似于三角形 acf。 一般情况下，咱管这个图形叫 a 字型，特别的，如果我把这个小三角形这么旋转一 百八十度，让这两条边平行，那这个图形就是个八字形了。显然，他依然有 abbac， 等于 aebaf， 还等于 beb 上 cf， 也就是这组比例依然成立， 而且这两个三角形 abe 和 acf 也还是相似的。以上就是平行线，分线段成比例。我给你讲的三个图，在这个图中有三个结论，这两段的比等于这两段的比，还有他俩的比例等于他俩的比例。 当然，这两对比例也是一样的。而在这个图中，这三条边跟这三条边对应成比例，这俩三角形相似，而且把这个三角形旋转出去，结论不变。好了，为师这就讲完了，徒儿们速速刷题去吧！

这个视频我给你讲讲平行线分线段成比例，感觉有点拗口，说人话，就是在一组平行线之间这么画两条直线，可以得到这段比这段等于这段比上这段，也就是 a、 b 比 d， c 等于 d， e 比 e、 f。 这个结论可是相当好用。比如告诉你 a、 b 是四， b、 c 是二，而 d、 e 是三，那 e、 f 你知道是多少？不对了，四比二等于三，比上一点五 e、 f 的长度，这就算出来了。 那你再看 ac 全长是六，而 df 全长是四点五。显然四比六和三比上四点五是相等的，那就是说 ab 比 ac 等于 d， e 比上 df， 类似的二比六也等于一点五，比四点五， 所以 b、 c 比 a、 c 也等于 e、 f 比 d、 f。 如果这两条线这么换换位置，这些比例依然成立，特殊的 a 跟 d 重合，那这儿就成了一个三角形，依然有 a、 b 比 a、 c 等于 a， e 比 a、 f， 而且在三角形里，这些比例还等于 b、 e 比 c、 f。 这三条线段跟这三条线段对应成比例，写成式子就是 a、 b 比 a、 c 等于 a， e 比 a、 f 等于 b， e 比 c、 f。 就像是这个三角形按照比例放大成这个三角形，所以个边的比例就相等了。那么问题来了，这个式的很简单，但是你能证明一下吗？其实你只要证明 b、 e 比 c、 f 等于 a， e 比 a、 f 就成了。 这个嘛，做一条平行线， e、 m 平行 b、 c， 那它就是个平行四边形， c、 m 就等于 b、 e。 哎，那你再看这两条平行线分线段成比例，那 c、 m 比上这条边，不就等于 a、 e 比上这一条边吗？ 所以 b、 e 比 c、 f 就等于 a、 e 比上 a、 f。 搞定这个结论，你可得记牢，是这个三角形的三条边和这个三角形的三条边对应成比例。 哎，既然这两个三角形个边对应成比例，而且因为平行，角度又相等，那这两个三角形就相似了，是三角形 a、 b、 e 相似于三角形 a、 c、 f。 一般情况下，咱管这个图形叫 a 字形。特别的，如果我把这个小三角形这么旋转一百 八十度，让这两条边平行，那这个图形就是个八字形了。显然，他依然有 a b 比 a c 等于 a e 比 a f 还等于 b e 比上 c f， 也就是这组比例依然成立。 而且这两个三角形 a、 b、 e 和 a c、 f 也还是相似的。以上就是平行线，分线段成比例。我给你讲了三个图，在这个图中有三个结论，这两段的比等于这两段的比，还有他俩的比例等于他俩的比例。 当然，这两对比例也是一样的。而在这个图中，这三条边跟这三条边对应成比例，这俩三角形相似，而且把这个三角形旋转出去，结论不变。好了，为师这就讲完了，图案们速速刷题去吧！

我们来学习平行线分线段成比例。那上节课咱们了解到这个成比例线段的一些计算。那在这里啊，这里有个例题。这个例题呢，就是说咱们有三个直线平行， 那他呀分别交两个直线，呃于这么些点， 好让我们来做这个这样的一些计算。那利用这个方格纸做计算呢，这种基本的技能呢，我们已经练习过多次了 啊。在这里啊，计算得到的一些笔直，就是说啊，对应的啊，分割的这个线段啊，他这个笔直啊，他都是相等的。那第二问呢，就是如果说我这个 平行的这条线啊，我变动一下，那这个分割的线段就变了，但是分割的线段变了以后，依然是这个对应的线段。你要 a 一 a 二比上 a 二， a 三和这个 b 一 b 二比上 b 二 b 三，他还是相等。 那如果说呢，就说我们三条线都给他动一下任意的三条平行线，那这个结构的比例，就说虽然笔直不等，但是我们对应的这个笔和笔啊，他都是相等的。 也就是上面说的这种啊， aea 二有序号，对应的 aaa 二比上 a 二， a 三和 b 一边比上边二比三，虽然这个值他会发生改变，但是 这个笔之间它是个相等的关系。好。那所以呢，我们就出现了啊，咱们的初中数学里面的第九个基本假设，就是两条直线被一组平行线所结，那所得的对应线段成比例。 好。第九个基本假设。前面咱们已经接触过多个基本假设， 让我们来回顾一下啊，初中几何咱们学到的九条基本事实。 那第一个是指的确定一条直线啊，需要两个点，两点确定一条直线。 那第二个呢，是讲线段，就是两点之间线段最短 啊。第三个是过一点有且只有一条直线与这条直线垂直啊，就是讲垂直关系的啊，有且只有一条 好，然后第四个是两条直线被第三条直线所结，然后同位角相等的话，两条直线平行，那这个是平行线的一个判定啊，所以这也是一个基本实施。 好。第五个呢，也是关于平行的一个性质啊，过直线外一个点，尤且只有一条直线与这条直线平行，我们跟第三个垂直关系。那这个第五个 是平行关系的话啊，过一个点，有且只有一条，然后六七八都是全等三角形的判定法则啊。第六个边角边，第七个角边角，第八个边边边。 然后第九条就是咱们学到的啊，两条直线被一组平行线所接，所得的对应线段是成比例的。 好，这样的话，咱们就把这九条基本事实都学了一遍啊，又过了一遍。 好，那这个呢，我们后面这个问题啊，会让我们呀再进一步 平行线，然后我们构造一些不同的直线，然后啊，还可以达到新的推论啊，如四杠八和四杠九这样的图， 那有平行线，有咱们前面的基本事实，那么是不是可以写出一些啊，线断成比例的等式啊， 让我们来写一下啊。四杠八，四杠八 a 一 a 二，那比上 a 二 a 三， 那这个等于什么呢？等于一比二比二比三好。那还有对应的啊，那这种对应就是序号对应 啊， aa 三啊，直接跨过来这个长的 aa 三，然后比上 a 二 a 三啊，他是不是可以等于 bb 三啊，比上 b 二 b 三 好，那还可以写更多的。而且分子分母还可以换过来啊，左边分子分母对调，右边也是对调，他这个等式还是成立的。 那比如说，那我们是 a 二， a 三，比上 aa 三啊，和这个 b 二比三比上第一比赛也是相等的啊。所以这里好多。 如果说我们构造了一个新的线，那就新的一条线，那这条线呢？他就交这个 abc 啊，交这个点就是 cec 啊， c 三。 结果你会发现啊，那我这个线，这条新的线，它会有点不同，我们依然可以建立这样的等式啊。这些等式是可以建立的。那 aa 啊，你看啊， a 二 a 三 等于 c 一 c 二啊， c 二 c 三。 好。但是这个 a 一和这个 c 一，这里重合了。而且这样的一个图 图形，他变成三角形。所以咱们前面这个基本事实呢，就变成个推论啊。推论就是说平行于三角形一边的直线。那在这个三角形里面就很明显了， 与另外两边相交，相交的是 a 二四二，那结则的对应线段成比例啊。这是一个推论，那实际上它是基于上面。 然后我们来看一下例题造型 abc， 那这里有个 ef， ef 是他的点，且符合这个 ef 平行 apc。 所以说呢， 啊，这里面 a e 啊，告诉我们一些数啊，我们标上 a e e b。 呃，然后 f c 是四，那这个 a f 是多少啊？问 要问 af 多少，那我们就可以直接建立咱们的这个比例等式。那对应的啊，这一段和这一段，那这边就是这段和这段。所以写出来带入数值得答案 好。第二问他两个平行，如果这个 ab 告诉了 ae 有了，那 af 有了，能给你 fc， 那这个呢？就涉及到 你需要把对应的这个线段给他找出来。因为你要求 fc， 那你这边对应的是个 b e， 所以咱们要把这个 b e 啊给他列出来 啊，所以这个撤掉，我们重新来。因为条件变了吗？那 ab 是十，这一段是十，然后 a 是六， 那这就是四，那所以这就是四，然后这边是五啊，这边 fc 单列。 咱们有这样的一个条件啊， a e 十六，然后 a e 比上 b e， 那直接可以套第二个。呃，套这个十字啊， a e 比上六，比上四， 他等于五啊，比上 fc， 所以 fc 等于多少呢？那等于这个三分之十。 好，那他呀。这个教材给的另一种减法，就是说左边的这两个比对。那我们先找到 ab 的对应， ab 的对应是 ac， 所以先把 ac 求出来。然后呢，减掉 af 也可以啊。这是两种减法， 两张直线，三个平行线所接。那这个啊，一目了然。 x 是多少呢？先建立等式啊。如图，可以建立这个等式三陛下 x， 那这边 四变成七，所以 x 多少啊？直接给解出来啊，四分之十一。 呃，习题四点三的第一题 a b 五，然后这是五，这是七啊。 e f 至四。 然后第一是多少？好，那也就说第一个式子，咱们代入的话，第一步你肯定写列出来，那咱们成比例的等式。第二步呢，代入啊，五七，然后这边是第一啊，四 啊。所以的话，这样的话，第一就出来了。第一是七分之二十。 好。第二问的话呢，嗯，数值都变了，所以我们要重新标注一下啊，重新标 那 d 是六，然后 e f 是七，嗯， ab 五，然后 acac 这个长的。所以说我们得先把 bc 求出来啊，然后再加上 ab， 嗯，所以那我们建立那个 abbc 的这个啊，就是五比上 bc 这边呢，是六比七好， bc 是多少？ 六分之三十五。然后然后 ac 呢？就是他两个加起来，嗯，五，加上六分之三十五，就等于啊，六分之六十五。 这第二个。然后再来看第二题，那第二题呢？是三角形中。嗯，那用到我们这个推论啊，第一分别是 ab 和 ac 上的点，有这个平行的条件。 好，然后呢，这里面有数，然后求乐 ec， 我们可以标注一下啊， ab 是三点二，然后 db 是一点二， a 一，十二点四，然后这个球这个好，那就是还是一样的啊，因为因为他这个平行，然后建立这个比例的等式， a， b， b， b 和 a 和 ec。 好，然后我们带入 啊，所以呢，三点二，一点二点四，还有一 c。 然后所以呢，这个一 c 就出来了 啊，这里可爱，约分啊，约分一下。然后这是零点九啊，零点九。 然后我们再来看后面第二个，那 ab 这又变了啊，这数值又变了。然后看一下第二个数值，五， 还这么写，然后五呢，三，这是五，这是三，这是二， 那这是四，这一大段是四。然后问你 ac 是多少。好，那我们只能是用这个比例了，用这大的。所以啊，因为所以这等式。那我们比完以后呢，就是写上那就是三，这是五。 所以咱先求，嗯， a， 求 a， 然后我这是 好，那把 a 取出来， ae 是五分之十二。然后呢， ec 呢， 意思就是四减五分之十二，你就五分之八啊， 就是五分之八。好，那因为咱们这个是变成小数的形式，所以一点六零。 然后第三题嗯，第三题三角形 mc 中 这个都是他们的点，然后又是平行，那你要呢，还是有这些等式，然后这笔直了，你看 abaab 和 b 啊， abbac 这个多了，出来了一个条件啊， ac 和 ec， 那这多出来一个条件，我们看看它是有用的啊，我们可以联系一下啊，因为这个 ab 和这个 ac， 然后呢，等于这个 b 比上 ec， 其实我们可以把这个变形一下，就变成我们想要的这种平行线，可以结的啊，结三角形的这个变的形式。 所以呢，这个式子我们可以啊，两边啊，给它对调一下对吧， ab 比上 ac 啊，或者说咱们就说左右两边同除以 ac， 然后再乘以个 b， 所以 ab 呢，比上 ac， 他等你啊， b e 非常 ec。 你看这样的话呢，就跟这个联系起来啊，也就是说咱可以写成 b d 啊，比上 a d 啊，然后他现在让你求的就是这个 ab 比上 b d 啊，咱这点是这样的话，有 b d 了，对吧？然后还是一样的 啊，有 bd 好， abac， 这个是多少写出来三十五好，有三十五 好，然后 ec 和 be 有五分之三啊， ecbe 五分之三。 嗯，然后加上这个平行的这个部分啊，所以啊，给对调一下， ab 非常 bd， 就等你什么啊，就可以推得一个事， 就说如果说我们做 b， d 做分母，然后 a d 呢，做分子，那就是五分之三。 那你看一下，我们绕绕绕去呢，就是绕到这个边上，那这个是最关键的，那个咱们要做的就是这个总的啊， ab 这个这个大边比上这个其中一部分比例 好。那这个总的呢，就是 ad 加上 bd 啊。所以呢，这个你像 ad 加 bd 怎么写呢？ 叫 b 力和 ab 这个笔啊，就是 ad 以上 bd， 也就是五分之三，再加上一个 abd 和 bd， 那这个部分是一， 这是一，这五十三加起来，所以是五分之八。我们再来看一下第四题。嗯，第四题啊，如图所示，这个三角形里面有 d， e 和 ef， 它都平行于这个边。 所以咱们用这个推论啊，捷德对应线的成比例啊，可以用两次来把它穿起来。那 ad 和 db 啊，二比三， 我们标注一下二三，那当然这个不知道多少啊，二 x 三 x， 然后 bc 呢，这个总长，然后求 bf。 那你看啊，我，我们来看第一的时候呢，这个二三， 这也是二三，这个分的，这个分数好，然后那 ef 呢，这就是二，这就是三啊。这样的话，咱就理解理解这个事情了。因为这个地方很分的话啊，就是个 bc， 就是二十厘米 啊。所以啊，我们可以啊，把这个 bf 作为一个未知量，对吧，就直接咱们不设 x 了，就把它作为一个未知量就好了啊。那也就是说咱们在这做下文章。 那 ad， 咱们直接对应一个比这个 ab 啊，因为因为两条吗？嗯，这个 ad 啊，比上 d， b 等于二比三。所以呢，直接写啊， a d 比上 a， b 就等于那只有五份吗？所以是二比五。 那其实啊，把这两条写上，因为 i d， e 平行于 bc， 然后 e f 呢，又平行于 ab 啊。所以 嗯，这个 ab 啊，比较 ab 就绕过来了啊，直接就变成了 bf， 两比三 等于这个五分钟 好代入嘛。所以 b f 等于八八零。