无穷小替换乘除可换、加减慎用！#高数 #无穷小 #函数与极限 #知识点总结 #蜂考

无穷小无穷大函数替换

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发布时间：2025-10-24 11:02

蜂考不挂科

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$在常规的数学意义下，1+2+3+4+5+…这个无穷级数是发散的，它的和趋于无穷大。但是拉马努金在一些研究中对发散级数有非常深刻的见解和特殊的处理方式。他有一些关于函数和级数的等式可以用于给某些看似发散得毫无意义的级数赋予一种特殊的“值”。例如，在黎曼ζ - 函数（Riemann zeta - function）\zeta(s)=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}中，当s=- 1时，形式上对应的就是1+2+3+4+…这个级数。通过解析延拓（analytic continuation）的方法，在更广泛的复变函数的领域中，\zeta(-1)=-\frac{1}{12}，这和常规理解的级数求和不同，是一种基于复杂数学理论的赋值。这种结论在弦理论等物理领域也有一些奇特的应用。$
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在常规的数学意义下，1+2+3+4+5+…这个无穷级数是发散的，它的和趋于无穷大。

但是拉马努金在一些研究中对发散级数有非常深刻的见解和特殊的处理方式。他有一些关于函数和级数的等式可以用于给某些看似发散得毫无意义的级数赋予一种特殊的“值”。

例如，在黎曼ζ - 函数（Riemann zeta - function）\zeta(s)=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}中，当s=- 1时，形式上对应的就是1+2+3+4+…这个级数。通过解析延拓（analytic continuation）的方法，在更广泛的复变函数的领域中，\zeta(-1)=-\frac{1}{12}，这和常规理解的级数求和不同，是一种基于复杂数学理论的赋值。这种结论在弦理论等物理领域也有一些奇特的应用。
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