求函数解析式换元法
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03:16查看AI文稿AI文稿这个视频我给你讲讲如何用换元法来求函数解析式。在讲换元法之前，我们先看一个非常简单的例子，来找找换的感觉。比如已知 fx 等于 x 平方加一，求 fx 加三的解析式。 先看 fx 这个函数的意思就是给你一个 x， 你就把它平方再加一，既然这样，那给你一个 x 加三，当然就把 x 加三平方再加一喽，这样你就得到了 fx 加三的表达式， x 加三的平方再加一，化解一下得 x 方加六， x 再加十。以后再遇到这种已知 fx 让你求 f 一坨等于几的问题，你 只要用这一坨代替原来算式里的所有 x 就可以了。刚才通过 fx 求 f 一坨，你会了，那如果反过来告诉你 f 一坨让你求 fx， 你会吗？比如我把题目改一下，变成已知 fx 加三等于 x 方加一，让你求 fx 的解析式，你又该咋做呢？题目让你求的是 fx 的解析式，就是要把 fx 写成一个关于 x 的表达式。其实这个表达式也不见得非得用 x 来写， 你把这里的 x 用一坨来代替也是可以的，所以要求这个关于 x 表达式也就变成了要求关于这一坨的表达式了。那怎么求这个 f 一坨呢？显然得利用已有的算式， fx 加三等于 x 方加一了。 你只要把 x 加三看做这一坨，然后想法子把右边也写成关于这一坨的式子就行。不过老是一坨一坨的话，实在太麻烦了，咱还是用个字母 t 来表示这一坨吧，这样 x 加三这个整体就等于 t， 而右边的柿子 也得写成关于 t 的表达式。那怎么把右边这个关于 x 的表达式变成关于 t 的表达式呢？这简单，只要想法子把 x 用 t 来表示就行。你看， x 加三等于 t， 所以 x 就等于 t 减三，这不就把 x 用 t 表示出来了吗？再把它带回去，右边就变成了 t 减三的平方再加一，这样右边就变成了一个关于 t 的表达式。去过号得 t 方减六， t 再加十， 因此 ft 就等于 t 的平方减六， t 再加十，也就是 f 一坨，等于这一坨的平方减六倍的这一坨再加十， 这样题目就做完了，哦，不，对，题目要求的是 fx， 不是 f 一图，所以咱还是用 x 来代替这一图。答案就是 x 平方减六， x 加十。以后再遇到这种问题， 你就把左侧括号里的柿子打包成一坨，也就是设他为 t， 然后再想法子把右边的 x 也用 t 来表示，变成 成一个关于 t 的表达式就行。其实这种打包成一坨再设他为 t 的方法有一个专业的名字，叫做换元法，当然你也可以叫他换坨法。呵呵。好了，讲了这么多，该总结一下了，这个视频我主要给你讲了一坨又一坨的故事， 如果已知 fx 让你求 f 一坨，你只要用这个一坨代替原来算式里的所有 x 就可以了。如果已知 f 一坨让你求 fx， 你就用换元法把这一坨设为 t， 再把右边式子里的 x 都用题来表示就行。以上就是这个视频的全部内容，本姑娘讲解完毕，各位同学赶紧刷题去吧！
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04:58查看AI文稿AI文稿大家好，看这道题，尤其是初学函数的同学函数。 f x 加一等于 x 方加三 x 九、 f x 加二的解析式 要求 f x 加二的解析式。这一类的题目，我们首先要求出 f x， 这个 f x 相当于就是一个桥梁，先从 f x 加一到 f x， 然后再从 f x 过渡到 f x 加二。 那怎么求 fx 呢？一般就是两种方法，换元法和配凑法。无论是换元还是配凑，其实质是一样的，都是把 f 后面括号里的这个式子看成一个整体，然后把右侧的式子用含这个整体的式子给他表示出来。那怎么表示呢？用换元法我们就列 x 加一等于 t， x 等于 t 减一， x 加一等于 t， 那么 f t 就等于这个 x 都用 t 减一替换了，那就是 t 减一的平方加上三倍的 t 减一等于 t 平方加 t 再减二， ft 等于 t 平方加 t 再减二，然后 把这个 t 用 x 替换，那么 f x， 它就等于 x 方加 x 再减二。 现在求出 fx 以后，要求 fx 加二，那就把这个 x 再用 x 加二替换了，那右侧的 x 也用 x 加二替换，那么 fx 加二就等于 x 加二的平方加上 x 加二再减二，等于 x 方加五， x 再加四。那么这时候我们就求出了 f x 加二的解析式。 那如果用配凑法呢？我们直接把 x 加一看成一个整体后，要把右侧的式子用含 x 加一的式子表示出来。那怎么凑呢？ f x 加一等于我们把这个三 x 给它改写成二， x 加 x， 那就是 x 方加二， x 加 x， x 方加二， x， 我再加个一，这就是 x 加一的平方了。然后这个 x 的后面我再加个一，又一个 x 加一了，加了两个一，再减， 减掉一个二，保证式子的值不发生变化，那它就等于 x 加一的平方加上 x 加一再减二。 那么这时候我们就把等式右侧的式子用含 x 加一的式子表示出来，表示出来以后，把这个 x 加一再看成 x， 那么 f x， 它就等于 x 方加 x 再减二，这样我们就求出 f x 了，然后再用 x 加二去替换。实际上，当我们比较熟练的时候，配出这个式子， 我们也可以不求 fx， 为什么呢？因为 x 加二，此时他和 x 加一是同等的关系，那我就可以直接用 x 加二把这个 x 加一替换了， 那么右侧的 x 加一也都用 x 加二替换，所以 f x 加二，它就等于 x 加二的平方加上 x 加二再减二，就等于 x 方加五， x 再加四，这就是 f x 加二它的解析式。
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00:50查看AI文稿AI文稿一分钟学会换圆法，求函数解析式！题目已知 f 根号下 x 加一等于 x 减三倍，跟 x 求 f x 的函数解析式相当于把 f 根号下 x 加一变成 f x， 它的本质其实是把这个括号里的一堆堆变成一个字母。既然需要变成一个字母，那我们就假设这个括号里面的整体根号下 x 加一是字母 t， 也就是把未知数由 x 变为 t， 所以叫还原法。 换圆一定要写心圆的范围，因为根号下 x 大于等于零，所以 t 大于等于一，这时 x 就会等于 t 减一的完全平方，那么圆式就变为了 ft 等于 t 减一，完全平方减三倍的 t 减一。整理一下，是 t 方减五， t 加四。 注意不要忘记定义域 t 是大于等于一的，那么最终 f x 就等于 x 平方减五， x 加四， x 大于等于一，你学会了吗？
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05:22查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们看求函数解析式的第二种方法，换元法和配凑法。换元法和配凑法各有忧虑，换元法比较直观，也就是动脑子少，动手多，配凑法比较抽象，动脑 脑子多，动手少。但是对于有些题目的话，配凑法是比较高效的。首先看第一题， fx 加一等于 x 方加四， x 加五，求 fx 的解析式。我们先用换元法，那就列 x 加一等于 t， x 就等于 t 减一，那就把这个式子里头的 x 都用 t 减一替换了。 ft 就等于 t 减一的平方加上四倍的 t 减一，再加五， f t 就等于 t 平方加二， t 再加二，然后再用 x 把 t 换了，这只是我们的一种习惯，所以 f x 就等于 x 方加二， x 再加二，这就是 fx 的解析式。那么再看，如果用配凑法的话，那就得把 x 加一看成一个整体，然后 往后面这个式子用 x 加一这个整体给它替换了。那怎么替换它呢？你看 x 方加四， x 加五，把这个四 x 拆成二， x 加二， x 把这个五拆成一加四，那就出现 x 方加二， x 再加一，他就是 x 加一的平方，然后又加的是这有一个二 x， 这还有一个四，那就是二 x 加四， 二 x 加四的话，那我就得写成二倍的 x 加一再加二。因为这时候的 x 加一，他是一个整 体，你始终不能把它拆开，所以现在这个式子和这个式子他是等价的，那么我就把这个式子用 x 加一给他替换出来了，这时候的 x 加一，他就是一个整体， 所以 f x 他就等于 x 方加二， x 再加二，这还是 fx 的解释，是 这是配凑法。其实这道题的话，换元法和配凑法没有太大的差别，感觉换元法还更好一些。那么再看第二题，第二题 fx 加 x 分之一等于 x 方加 x 方 分之一，求 fx 的解析是这道题如果换元的话可就太麻烦了，但是这个题要是用配错法是非常快的。你看 x 加 x 分之一 和 x 方加 x 方分之一，他们是有很密切的关系的，其实 x 方加 x 方分之一，他就等于 x 加 x 分之一的平方再减二，他是他的平方再减二。那么这时候你看我把它看成一个整体，所以把它用 xt 换了以后，看作是一个整体， 那么 fx 他就等于 x 的平方再减二，很快就求出他的解析式了。 但是这时候要注意，你的这个 x 替换的是 x 加 x 分之一，所以要注意自便量的取值范围。 x 加 x 分之一，他是一个对勾函数，当 x 大于零时，在这取到一个最小值二，当 x 小于零时，在这取到一个最大值负二，所以他是大于等于 二或小于等于负二的，所以这个解析是他的自辨量有取之范围，就是 他 x 大于等于二或 x 小于等于负啊。好，今天到这，请看下一届。
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723青蛙🐸老师
04:13查看AI文稿AI文稿这个视频我给你讲一种新的求值域方法。换元法。啥是换元法？咋换？换成啥？比如这个函数 y 等于 x 加上根号下 x 加二，让你求他的值域，嘿嘿，这下蒙圈了吧，这个函数从没见过，咋求值域？ 别紧张，我接下来教你的换元法，专治这种疑难问题。根号看着总归是凡人，那就把它换掉。所以第一步就设根号下 x 加二等于 t， 那函数就变成了 y 等于 x 加 t， 这还有 x 还没换完，还得换成 t， 咋换呢？看这根号， x 加二等于 t， 左右平方，那 x 加二就等于 t 方 一项一项 x 就等于 t 方减二，关系找到了，就把它带进去，所以原来的式子就变成了 y 等于 t 方减二加 t， 这时候再求值域，是不是就轻车熟路了？为了方便，期间我把这俩换个位置，求值域就画个草图来看。开口向上，对称轴是 x 等于负二一分之 b 算一下，也就是负二分之一，所以对称轴就是负二分之一。那么显然在顶点处取得最小值， 把横坐标带进去算一下，总坐标就是负四分之九，过程我就不交代了，所以最小值就是负四分之九，那么这个二次函数的直遇就是负四分之九，到正无穷。怎么样？是不是听着很有道理？如果你真这么想，那就挂了。仔细想想，哪还有问题， 看看最后这个函数，想想他的定律，也就是 t 的取值范围，真的没有要求吗？找找看谁是 t。 根号像 x 加二等于 t， 这一整块怎么的都不可能是个负数，所以 a t 也不可能是负数，那么 t 一定大于等于零。原来 t 是有范围的，怎么样，傻眼了吧！看来在最后的函数中， t 也必须大于等于零，那么这个二次函数的图像并不是一整个抛物线， t 必须大于等于零，也就是这段抛物线。 再看一下值域，最小值就取不到零点了，得在 x 等于零处取得。算一算最小值，把零带进去， y 就等于负二。现在才真正算清楚这个函数的最小值了，函数的值域就可以确定下来，这不是负四分之九，而是负二，也就是负二到正无穷。 好了，回顾一下刚才的整个过程，对于这类函数求值遇的问题，最关键的一点就是处理二次根式。方法很简单，先把二次根式进行画圆，再用新字母代替函数中所有 x 就成。不过你千万得注意，在换元时一定要注明新字母的范围。现在对于换元法解决这类问题有点感觉了吧，那我把这个式子再加上一个限制条件，在题目中我就告诉你， x 属于二到七，现在再来求值域，咋求呢？ 其实 x 规定必须在二到七之间，那么这个式子里的 t 的范围也会发生改变，不再是大于等于零。为了方便，期间我把左右换一下， t 就等于根号 x 加二， 当 x 取最小值二十， t 也有最小值，算一下九十根号四，也就是二。当 x 取最大值七十， t 也有最大值，算一下九十根号九，也就是三。所以 t 的范围就必须是二到三了，你得重新注明，在解析师的后面，再看这个二次函数，他的直遇也就变 变了。同样，你得找到图像上二到三的这个部分，也就是这段显然，最小值在 t 等于二的时候取得，最大值在 t 等于三的时候取得。你把 t 等于二和 t 等于三分别带回函数方程中算一下， 最小值就是四，最大值就是十，我就不再啰嗦了，所以这个函数的直遇就是四到十了。 看来对于这种类型，如果题目中加上了 x 的限制条件，你在换元的时候就得重新考虑 t 的范围。 好了，这种换元法求职欲我就讲完了，总结总结吧。在遇到这类题目时，最关键的就是处理好二次根式，先把二次根式进行换元，再用新的字母代替原来函数中的所有 x。 不过有一点我还得强调一下，在换元时一定要注意新字母的取值范围。以上就是这个视频的全部内容，本姑娘讲解完毕，各位同学赶紧刷题去吧！
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