八上数学第四章思维导图一次函数

hello， 大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来学习第四张依次函数的第三节依次函数的图像。今天是第二个课时，好，来看一下知识点清单，主要有两个，首先第一个依次函数的图像和性质， 那么在上一次课当中啊，我们也一起学习了正比例函数 y 等于 k x 啊，它的图像和性质，这里呢，我们一起来做一个复习啊。这里 k a 应该是不等于零的啊，正比例函数 y 等于 k x， 它的图像和性质应该是什么呢？ 我们啊，一起来看一下。哎，这是啊，上节课的时候画出了几个正比的函数的图像，对吧，我们也一起总结了，那么这里啊，要分 k 是大于零还是小于零两种情况，对吧？ k 大于零的时候呢，经过一三象限， k 小于零的时候呢，经过二四象限增 点性呢？ k 大于零时， y 随 x 的增大而增大，那么 k 小于零时呢？ y 随 x 的增大而减小，那么图像的形状呢，它是一条经过圆点的直线啊，那么 k 的绝对值越大，那么它就越靠近 y 轴，对吧，也就是它这个越陡陡效一些啊。好， 接下来我们再复一下啊，用这个秒点法画函数图像，哎，他的步骤有哪些？是不是就说的这个三步走啊，对吧，哎，第一个就是列表找到这个 x 和 y 的这个对应关系，然后呢，秒点对吧？哎，把自变量的值作为横坐标，函数值作为重坐标， 在坐标系当中啊，把点的位置描出来，然后呢，用平滑的曲线把各个点给他连接起来就可以了。好，接下来大家思考一下啊，我们呢，怎样来画出这个依次函数 y 等于二 x 加三，哎，怎么样来画出他的图像呢？其实方 法是不是还是用我们这个描点法呀？对吧？列表描点连线应该就可以了，对吧？好，我们一起来画一下啊， 画出一字函数 y 等于二 x 加三的图像。三步楼，列出来这边的话，其实 x 的范围其实是不是也应该都是任意实数啊，对吧？所以我们在上一次课的时候也说了，我们尽量的以原点为中心，对吧？哎，按照两边的跟原点对称这样的顺序来取， 好，一起看一下啊，哎，我可以取这五个值，对吧？下面这里是对应的函数值，然后接下来呢，就是秒点，把各个点的位置给他拿出来，然后再连线就可以了。好，我们得到了这样的一条，这也是一条直线，对吧？好， 接下来我们一起分析一下啊，你说一对一个依次函数来说，它的图像应该有什么样的特点呢？我们就以这个 y 等于二加三为例，首先啊，它的图像肯定也是一条直线， 对吧？好，那么还有其他的什么特点吗？我们说既然它是一条直线，我们在学习正比率函数当中啊， 一起学习过了，我们如果说啊，想画直线的话，是不是只要找两个点就够了，所以呢，对于依次函数来说呀，我们同样我们想画他的图像，只要确定两个点的坐标就可以。对于这个 y 等于 kx 加 b 来说呀，你看，当 x 等于零的时候，你在一起是不是 y 刚好等于 b 呀，所以他一定过零和 b 这一点， 那么如果我用 y 等于零呢，我可以算出来 x 等于负的 k 分之 b， 所以呢，他一定也过负 k 分之 b 和零这一点，那这两个点是不是刚好就是这个函数图像跟 y 轴还有跟 x 两个交点，对吧？ 实际情况下呢，我们可以根据这个具体的这个表达式啊，选择一些啊，比较适合于计算的计算简便的一些这样的数来进行计算。总而言之，只要你确定两个点， 然后呢，再过这个两个点画直线，那就可以了。我们说依次函数 y 等于 k， x 加 b， 他的图像我们也可以称为直线 y 等于 k， x 加 b。 哎，这两种说法其实都是可以的，所以说我们在函数图像这一部分，就很好的把数和 图形给它连接到了一起。哎，你既可以说依次函数 y 等于 cal 加 b， 你也可以说直线 y 等于 cal 加 b 啊，这都是可以的。 好，接下来我们看一下下一个例题啊，在同一直表系呃，直角坐标系当中，分别画出依次函数 y 等于二， x 加三， y 等于负 x， y 等于负， x 加三和 y 等于五， x 减二的图像。好， 这里是直角坐标系了，对吧？那这个画图的过程啊，我就不和大家按照刚才这个步手画那么细了，大家可以自己按照这个步手来画一下就可以了啊。我们直接给大家看一下最后的这个图像啊，这个二加三就是刚才画的这个图像，对吧？ 其他的几个啊，这个是 y 等于啊，负 x， 这个是 y 等于负 x 加三，然后呢，这个是 y 等于五， x 减二啊，这四条图像我们都画好了，其实画图呢，并不是我们这这个节的主要一个内容，我们的内容是要通过这个图像来研究这个依次函数它的图像和性质啊。 接下来我们思考一下，对于上面这四个函数来说，随着 x 这个值的增大，那么 y 的值分别是怎样来变化的呢？ 我观察下这两个这个红色的和这个紫色的这两个，对吧？他呢， y 应该是随着 x 的增大而增大的，对吧？哎，紫色的这个也是，但是这个黄，呃，这个橙色的和这个蓝色的他俩，他俩的 y 的值啊，又随着 这个 x 增大而减小了，对吧？那么观察于表达式，这个表达式最大的区别在哪呢？是不是这两个他表达式啊，这个 x 前面系数是负的， 对吧？然后这边这两个呢，这个 x 前面的系数都是正的，对吧？所以我就知道，如果 x 前面那个系数是正的，也就是说，对于 y 等于 k， x 加 b 来说，如果那个 k 是正的，那么我这个啊 x 的 y 呢，就随着 x 的增大而增大，如果这个 k 的值是负的， y 就随着 x 的增大而减小， 对吧？好，我们继续看第二个啊， y 等于负 x 与这个直线 y 等于负 x 加三，也就是蓝色的和橙色的，对吧？他俩的位置关系应该是什么样的？我们观察下图像，应该可以看出他俩应该是平行的，对吧？ 你能通过恰当的移动将直线 y 等于负 x 变为直线 y 等于负 x 加三吗？通过移动可以移动吗？我把这个蓝色的好像向上给他平移一下，是不是好像就刚好可以和这个 y 等于负 x 加三重合在一起，应该往上平移几个单位呢？我们看这里他是过圆点了，对吧？往上 平移一个格子，两个格子，三个格子，是不是应该是向上平移三个单位长度啊？刚好他就可以与上面这个橙色的重合在一起，对吧？ 通过这个我们能总结一下吧，对于直线 y 等于 k 加 b 和直线 y 等于 k x 来说，他们有怎样的位置关系？这两个表达是，很显然，他们 x 的前面的系数是相同的，也就那个 k 的值是相同的，对吧？ 其实当 k 的值相同的时候，我们可以得出一个结论，他两条直线就是平行的，对吧？你看，对于这样啊，表达出来说也是一样的，他都是 k 嘛，对吧？哎， 如果说 x 前面的系数是一样的，这两条直线就是平行的，哎，这也是我们可以得出来的一个结论啊。这个呢，我们在后面讲平移的时候，还会带带大家做一个更详细的一个了解。 好，那么第三个呢，是什么呢？说这个直线 y 等于二 x 加三与这个直线 y 等于负 x 加三，也就是这个红色的和这个橙色的它来 有什么共同点？我们观察一下这两个北大市啊，这个北大市和这个北大市，我发现他们这个 b 的值是不是相同啊？也就是长竖向，对吧？都是正三。 哎，那我观察图像的图像有什么特点？他们好像与 y 轴的焦点都交相交于这个点，这个点坐标应该就是零三，对吧？哎，也就是说什么呢，我可以从函数的表达式当中啊，这个 b b 的值只要相同，那么我就可以判断出这两个直线呢，相交于 y 轴上的同一个点。 好，接下来你能从函数 y 等于 k， x 加 b 的图像上直接看出这个 b 的数值吗？比如这个 y 等于二个。点赞啊，我现在只只给你看它的图像，我发现这个图像呢，与 y z 焦点是 零三，这一点，对吧？所以呢，我就可以判断出，你这个函数的表达式当中啊，对应的那个长竖向就应该是三， 对吧？哎，你只要能令 x 等于零，实际上 y 也是等于三的，所以我只要知道你这个图像与 y 轴的焦点重坐标，我就知道这个 b 的值了。哎，这个也是可以判断出来的。那么对于这两个函数来说，只要它的 b 的值相同，那么它与 y 轴的焦点就一定是同一个点。 那除此以外的，我们再观察一下这个紫色的和这个红色的，很显，这个紫色的也更陡一些，他离更靠近外轴一些，对吧？哎，那也就是这个紫色，他 k 的值比这个红色的更大。哎，那随着 k 的值的增大呢， 这个图像啊，也是越来越靠近外轴的，对负的情况下，其实也是一样的。那实际其实啊，这个姓字的跟我们学习正比的函数呢，其实是一样的，对吧？也就是这个 k 的绝对值越大。 哎，那这个图像怎么样，图像就越抖，对吧？哎，这个呢，跟正比的函数是一样的，我们就不再单独拿出来进行这个说明了啊。好， 接下来啊，我们就一起来总结一下啊，一次函数 y 等于 kx 加 b， 他的图像和性质分别有哪些？我们还是从以下几个方面，一个是图像的形状，一个是他经过的象限，还有他的增减性来进行判断。很显然，我们应该分成几种情况，首先呢， k 大于零和 k 小于零，这可以肯定是分两种情况，对吧？ 因为 k 的正负号不一样的话呢，你这个图像啊，他的性质肯定是不一样的。接下来我们还得对这个 b 这个长竖向进行一个分类，因为长竖向的正负号啊，如果是不一样的话，对这个图像也是有影响的，对吧？好，我们一起来看一下。第一种，当 k 等大于零， b 也大于零的时候，你说这个图像应该是什么样？ 很显然，他应该是啊， y 随着 x 增大而增大的，对吧？并且呢，这个图像与 y 轴的焦点就是零 b 嘛，对吧？你 b 如果大于零，这个焦点一定是在 y 轴的正半轴上，对吧？好，我们大概画一下图像啊， 图像就应该是这个样子，哎，应该是这样。这个地方应该怎么记比较简单一些呢？大家可以找自己的一呃 习惯的一些方法，对吧？比如说，你可以拿出你的，伸出你的左手，让你的手掌呢和这个小臂啊，保持在一条直线上啊，然后让你的指尖指向你的右上方，哎，这个时候呢，从你的指尖到你的小臂这个走向其实就是这个 啊，图像的他的一个一个方向，哎，这是一种方法，大家可以找自己的方法来记忆啊。那么对于 b 小于零的时候呢，肯定方向还是这个方向，只不过呢，他与歪轴的焦点呢，必须得在歪轴的副半轴上，对吧？所以呢，他图像画出来就应该是这样的，哎，方向是一样的，只是这个焦点焦点在歪轴的下方 啊，在 x 的时候的下方啊，好，接下来我们再看。当 y 小啊，哎，当 k 小于零的时候，那么又分两种情况啊， k 小于零， b 大于零，那应该怎么样的呢？它的图 图像就应该是这样走，哎，这个又怎么记呢？你可以伸出右手，对吧？哎，跟刚才左手刚好是相反的，哎，用同样的方法，你就可以想出这个当 k 小于零的时候，这个图像他的一个走向，那因为 b 呢，又是大于零的，所以呢，他与歪轴的焦点一定是在歪轴的正版轴上，也在上面，对吧？所以图像是这样， 那对于 b 小于零的时候呢，大致的方向不变，但是呢，他与 y 轴的焦点一定是在 y 轴的副半轴上，所以呢，这个图像又变成这样子，对吧？好，那么他们经过象限，这就很显然了，这个第一种情况经过一二三象限，对吧？哎，那么对于第二种情况呢，应该是经过的是一三四象限， 好，这种情况。第三种呢，应该经过的是一二四相见。好，最后一种情况应该经过的是二三四相见，对吧？好，那对于增减性来说呢，当 k 大于零的时候， 那这跟 b 就没有什么关系了，对吧？哎，只要你 k 大于零，那么 y 都是随着 s 增大而增大的，那么当 k 小于零的时候呢， y 都是随着 x 的增大而减小的，这个跟正比例函数就 都是一致的了，对吧？对于这个表格啊，我想说，只能用非常重要的四个字来进行了啊，这个表格上内容一定要记住，并且要达到一个非常非常熟练的程度，所以具体的记忆方法呢，大家可以用这个我刚才给大家啊介绍的这种方法，当然呢，也可以选择自己只能 啊适合自己记忆的一些方法。总而言之啊，这个方法啊，这个表格非常重要啊，一定要把它记住好。 先来做一个例题啊，已知直线 y 一啊，等于 k， x 加 b 经过一二四象限，那么问我们这个直线 y 二，它的是等于什么？它等于 b， x 加 k， 它不 经过哪一个象限？哎，这就考察我们对于这个依次函数图像的一个啊理解程度了，对吧？好，第一个经过一二四象限，那我是不是可以把图像先画出来，如果是一二四象限的话，应该是哪几个？一二四经过这三个象限，他不经过第三象限，对吧？所以呢，这个图像画出来一定是这样子 好，根据这个图像，我就可以判断出 k 和 b 到底是大于零还小于零的。首先这样 y 随着 x 的增大而减小，所以我就得到这个 k 啊，一定是小于零的。 好，那 b 呢，我们就看他关于歪轴这个焦点坐标呗，对吧，我发现这个焦点坐标呢，是在这个歪轴的正半轴上，所以呢，我觉得说这个 b 啊，他一定应该是大于零的 好，判断出 k 和 b 的符号以后，我们再看后面这个直线，他的表达是这个时候呢， b 啊，变成了 x 前面的系数，对吧？那很显 b 是大于零的，我们刚才说 b 大于零的时候，这个这 图像应该怎么样？是不是从左到右应该是上升的？也就是说呢， y 呀，应该是随着 x 增大而增大的，哎，是这样的，是这样往上写的， 那么对于 k 来说呢， k 是小于零的哎，他长竖向，如果小于零，就说明这个图像跟歪轴的焦点一定是在歪轴的副半轴上，对吧？哎，所以我这个图像我换一种颜色啊，画出来一定是这样子的， 对吧？你看，因为这里他大于零，哎，他又小于零，所以这个图像是这样的，并且与歪轴的这个啊，焦点是在歪轴的副版轴上，你只要你对这个图像非常的熟悉啊，那解决这种问题应该是 啊，没啥问题的啊，哎，对，今天，因为今天啊经我们新课刚讲，所以呢，有些地方大家可能记不住，对吧，没关系啊，课后呢，及时的进行复习巩固。哎，希望呢，我们在下次做习题的时候，大家对这个啊图像都已经记得非常清楚了啊 啊，最后答案是这个啊， b 选项啊，很显然这个蓝色的没有经过第二象限，对吧？好，接下来第二支点啊，一四函数的平移。 好，我们看一下，类似在同一直表直角坐标系当中分别画出一次函数，这个啊，一二三三个一次函数图像，这图像的话，大家就可以自己画一下了啊，我就不和大家这个啊一步一步的画了，我直接把这个图像给大家展示一下啊，这样的，这个是第一个啊， 这是第二个，这是第三个，为了看清楚啊，我这个歪轴上这个单位长度啊，我给他放大了一点，要不他三条直线挨得太密了，大家可能看不太清楚，对吧。啊，平时画图的时候也是可以根据实际情况，你这横轴啊，和重轴的单位长度是可以不一致的。好，接下来呢，这三条啊，直线我们都已经画出来了，接下来我们就要分 一下了，哎，他们有什么样的特点啊？看一下。首先看一下他们三个表达式有什么样的特点。光看表达式的话，我很明显应该看出 x 前面的系数是一样的，都是三分之一，对吧？哎，那同时呢，他们这三条直线与位置上有什么关系啊？很显然，三条直线是相互平行的， 对吧？所以这里啊，可以得到一个什么结论，是不是只要我们刚才总结过了，只要这个 x 前面的系数相同，那这个直线之间就是平行的这样一种关系，那如果反过来，如果直线平行，我们可以得到什么结论？那是不是同样也可以得到结论， x 前面系数也就 k 的值一定是相等， 对吧？哎，这就是我们得到的第一个结论啊。我们一起来看一下两条直线， y 一等于 k 一， x 加 b 一， y 二等于 k 二， x 加 b 二，如果他们平行，我就可以得到 k 一是等于 k 二。当然还有个情况就是 b 一是不能 等于 b 二，如果你两个 k 值也相等，两个 b 值也相等，那他不是平行，他是重合了，对吧？哎，所以这里要加上一个 b 一，要不等于 b 二。同时，如果说给你表达式当中告诉你了， k 一等于 k 二， b 一不等于 b 二，那么我们反过来也同样成立，这两条直线就是平行的， 这是我们得到的第一个结论啊，我们看第二个啊，直线一和三，哪个是一啊？这个是一对吧？哎，一就蓝色的和橙色的可以看作由直线二进行怎样的平移得到， 也就红色的，他怎么样平移能得到这个橙色的？又怎么样平移能得到这个蓝色的？很显然呢，他如果向上平移，是不是就可以得到 这个橙色的了？如果他向下平移呢，就可以得到蓝色的，对吧？那平移几个单位长度呢？往上平移这个这段距离是一啊，对吧？那很显然，他向上平移一个单位长度，是不是就与这个 橙色的融合了，对吧？所以我发现啊，向上这样我写在这里啊。向上，哎呦，换个颜色吧啊， 向上一个单位，那么我观察表达式是有什么特点？是不是在这后面加了一个一啊，对吧？哎，就加了一个一。 如果你向下平移一个单位呢？那是不是跑到蓝色的直线上面去了？而观察表达式呢，是不是就在后面减去一个一就可以了，对吧？哎，这我们就可以总结一个什么规律，如果你是向上平移一个单位长度，那就加一，那如果是两个单位长度啊，应该就是加二， 对吧？哎，向下也是同样，你如果向下平移一个单位长度呢，就是减一，哎，向下平移两个单位长度呢，就是减二，哎，这就是我们图像啊，通过上下平移与他的表达式之间的一个关系，我们一起来看一下啊。对于直线 y 等于 k x 来说啊，你如果把它向上平移，这里是 h 个单位长度啊，这里 h 是大于零的，那么得到直线呢，就是在这个 k x 后面啊，加上一个 h 就可以了。如果你向下平移 h 个单位长度呢，就是用 k x 减去一个 h 就可以了，这可以减去成什么呢？上加下减， 对吧？哎，具体加多少减多少呢？那你就看你平移了几个单位长度吗？对吧？哎，这样就可以了，这是把这个函数图像啊，进行上下平移与他的这个表达式之间的一个关系。好，接下来我们看一下， 有同学可能也发现了，为什么呢？我好像不单单可以通过上下平，我把这个蓝红色的这个直线呢，好像向右平移三个单位长度也能得到蓝色的， 同时呢，我把它向左平移三个单位长度也能得到橙色的，这个是不是涉及到一个左右平移的一个问题，对吧？哎，不管向左平移 还是先要平移，都是三个单位长度，但是呢，我们观察表达是你在后面加一啊，对吧？哎，加一和减一好像跟三是不是没有什么关系啊？ 哎，那这里我们又应该怎么样去考虑呢？我们观察一下这个函数这个表达，是啊， y 等于三， i 三分之一， x 加一，我如果给它变形一下，我是不是可以写成这样？ y 等于三分之一，我把它拿出来，把那个 x 和一啊放到括号里面，那它是不是应该变成 x 加三了， 对吧？哎，第三条直线啊，这个他是不是也可以写成他呀？哎，那这后边这里是不是有一个三了？那他跟我们这个平移三个单位长度是不是应该有一些关系了，对吧？哎，所以就说什么呢，当我们向左平移的时候， 我在 x 上面加上一个三，那如果 x 前面有系数怎么办呢？我就把 x 加三给它括起来就行了，对吧？所以这里我就得数向左平 移，向左平移啊，三个单位，我呢加上三就可以了，但注意，这张三是给 x 加三的啊，前面的系数是保持不变的，所以这里要加括号。同时呢，我如果向右平移，我观察一下向右平移三个单位长度，得到的是蓝色的直线， 对吧？好，蓝色的直线表达式呢？是这个，那他呢，是不是又可以写成是三分之一乘以括号里面的 x 减三呢？ 对吧？所以呢，我如果向右平移三个单位长度怎么样？我其实就是减去三，只是我把 x 减三，对吧？你这个前面的系数还保留啊， x 减三要放在一个括号里面， 对吧？所以我是不是就这里又得出来一个左右平移的一个规律，对吧？哎，向左平移几个单位，我就加几，向右平移几个单位呢，我就减几，这是不就是左加右减呢，对吧？哎，只是呢，如果前面 x 有系 的时候，一定要注意要把这个 x 加几啊，要给他括起来，因为我们操作的是 x， 如果上下移动的话，就不用了，你直接在函数值后面加上几就可以了，对吧？因为我们这里操作的是那个 y， 左右平移的时候操作的是那个 x， 一定要记住啊这里，这是他们两个之间的区别，也是比较容易出错的一个点。好，我们一起来看向左平移哎， h 个单位， 那这得到直线就是 y 等于 k， 乘以括号 x， 加一句，哎，这里是加，如果向右平移 h 个单位长度，得到直线，就是 y 等于 k， 乘以括号 x 减 h， 这里是不是就是左加，然后右减呢？对吧？所以呢，关于这个异色函数平角，我们得到了一个这样的一个规律，上加下减， 左加右减。哎，但是距离操作的对象是不一样的，上加下减我们可以直接在函数值后面进行加减，如果是左加右减， 我们必须要针对 x 进行加减， x 前面如果有了系数，你就要把它放在括号里给他括起来，哎，你变化的这个必须也要乘以相应的这个系数才行，那个他说了，你的操作的是 y 等于 kx， 对吧？哎，那我如果想操作这个 y 等于 kx 加 b 怎么办？ k f 加上 b 怎么办，对吧？我把这个 y 等于 kf 加 b 进行左右上下拼，那又怎么办？加上 b 你就不用管他，因为他只是个长竖向。如果是把这个函数向上拼一个单位，我们根据规律上加下减，对吧？那你就直接后面加一就行了啊，如果下一个单位呢，就直接减一就行了，对吧？这个 b 你就直接无视他就可以了。 但是如果是左右平移的话，我们又应该怎么办呢？如果把这个 kx 加 b 向左啊，我看向左平移一个单位，我们根据公式跟这个口诀的话，左加右减应该是加，对吧？ 加呢，但是我们操作的是 x， 所以呢，它的表达式应该就应该变成 y 等于 k， 注意，怎么办？放在一个括号里面，对吧？哎，左把 x 加上一个，那这个加 b 怎么办？正常写下来就行了。哎，所以呢，把这个向左平一个单位长度得到的表达式就是这个这里，当然你可以把括号去掉，进行进一步的一个整理， 对吧？所以呢，这就是我们这个函数平移的一个规律啊。好，接下来呢，我们看一个这个 例题，将直线 y 等于二 x 加一，向右平移一个单位后，哎，那么其直线表达是应该是什么？根据刚才口诀，上加下减，左加右减，对吧？哎，向右平移，你要减， 哎，这里操作的是谁啊？因为他是左右，对吧？左右我肯定要操作这个 x， 所以呢，表达式应该是 y 等于二倍的，应该把 x x 减去一个一，对吧？哎，那这里就得放括号里面了， x 减一就得是这样的，那后边这加一怎么办？加一正常写下来就行了，对吧？这里可以给他进行一个整理，去掉括号，他应该等于二 x 减去一，所以呢，哎，这样平一个单位长度以后，表达是就变为了 y 等于二 x 减一。所以这个题啊，最后的答案应该就是 b 选项。 好，我们一起来总结一下今天所学内容啊。啊，学的就是这个依次函数的图像，我们用了两个课时的时间来进行学习。首先一起学习了什么是函数图像，哎，他的定义应该是什么？ 把一个函数字变量的每一个值与对应的函数值分别作为一个点的横坐标和重坐标，在直角坐标系当中描述相应的点，所有这些点组成的图形就叫做该函数的图像。好，接下来呢，学习了画函数图像的一个步骤，对吧？ 我们用的是秒点法，哎，单步走，先列表，再秒点，后连线，连线的时候注意要用平滑的曲线进行连线。好，接下来学习了正比的函数的图像与性质，对吧？从以下几个方面，首先，它的形状经过圆点的一条直线，对吧？那经过象限和增点性呢，跟他那个 k 的正负是有关系？ 好，那一字函图像呢，也是这几个方面，对吧？哎，那形状呢，首先肯定也是一条直线，那经过的象线和增减性啊，这个是跟什么呢？跟 k 和 b 的这个正负是有关系的。哎，那个表格内容，大家一定要把它记清楚， 那么对于依次函数平移来说，那么总结一口诀，上加下减，左加右减，对吧？哎，上下移动的时候呢，直接操作的是 y， 哎，就直接在那个整个的表达式后面进行加减就可以了，如果左加右减的话，我们操作的是 x， 对吧？哎， x 前面如果有了系数，那一定要把那个呃加减， x 的加减呢， 放一个括号，哎，要把它系数藏在外面。好，那以上呢，就是我们啊今天这节课学习的主要内容啊，下次课呢，和大家一起来学习，进行一个习题的练习，欢迎大家收看。好，如果喜欢的话，记得关注明老师初中数学课堂，如果大家学习中有问题，欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见。

哈喽，大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来学习第四章依次函数的第三节依次函数的图像啊，今天是第一个课时，这个函数的图像和性质啊，在我们学习函数当中是一个重点啊，同时也是一个难点，这部分资产非常的重要啊，大家一定要引起重视。 好，我看一下知识点清单啊，不多，只有两个知识点。好，第一个函数的图像，我们先来看一下什么叫做函数的图像啊，把一个函数字变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和重坐标，在直角坐标系内描出相应的点， 所有这些点组成的图形叫做该函数的图像。哎，我们知道一个函数啊，你给定一个自变量的值，都有唯一的一个函数值与它对应，对吧？哎，那我就把自变量的值做横坐标，哎，对应的这个函数值 就做动作表，光看概念可能有点抽象啊，我们把这个摩天轮啊，这个图像拿出来，哎，这个呢，就是一个摩天轮的 旋转时候啊，他的那个啊，高度随着这个时间变化的这样的一个图像，对吧？那我们当时也知道什么呢？你给进任意一个时间点，我都有对应的这个高度跟他相对应，对吧。所以我们说这个摩天轮的高度啊，他是时间 t 的函数，高度 h 是时间 t 的函数， 那你说这个还是图像，他是应该怎么样来把它画出来的呢？是吧？哎，今天咱们就以他为例啊，咱们一起来研究一下啊，我先建立一个这个新的小图标系， 因为这个 t 和 h 啊，都是不可能是负的，所以我只把这个这么就画出来就可以了，对吧？好，根据概念是什么呢？字变量的每一个值与对应的函数值，我得找到这个对应关系啊，比如说我找一个 t 等于零的时候，我可以看一下 h 的值是多少，这就是 一组对应值，对吧？或者 t 等于一的时候，看一下 h 的值是多少，这也是一组对应值。为了表示清楚这种对应关系呢，我们可以用一个列表的方式来把它展现出来，哎，上面这行表示就是时间，哎，时间 t， 那我这边呢，取了三个点，分别是 t 等于零， t 等于一和 t 等二的时候，但实际上我们后面还是应该取更多的点，那空间有限，实在是取不下了，对吧？啊，我就以这三个值为例。啊，那对应的 h 的值怎么办呢？这里啊，在实际的时候，我们只有靠测量的方式，对吧？哎，他刚开始 还没开始转的时候，我量一下最底下这个座位，对吧？距离地面的高度是多少，哎，比如说我量出来呢，这个高度是三米了， 那应该是根据概念，就把这个什么呀，把这个字变量 t， 对吧？哎，把它的值呢，就作为横坐标，把对应的函数值，也就是这个 h 等于三，作为纵坐标，我就得到了一个对应点，哎，这个点的坐标很显然就应该 是零三，哎，现在这样的一个点有了点坐标，我是不是可以秒点了，对吧？零三应该在哪个位置？很显然应该在 y 轴上，大概在这个位置，对吧？哎，我把这个点给他描出来，好，这我就得到了一个点，好，继续看。七等于一的时候，我可以再去量一下，哎，这个时候呢，哎， 跑到离地面多高的距离去了，对吧？可以可以，这个是可以测量出来的呀，对吧？我测量出来，比如说这时候的高度呢，变成十二米了， 那把它作为横坐标，把它作为重坐标，我又得到了一个点，对吧？这个点的坐标就应该是一和十二，哎，一十二位，我再在这个啊坐标系当中给他描出来，啊，那应该就是，哎，大概在这个位置， 对吧？然后继续当 t 等于二的时候，哎，我可以再量一下，比如这个时候呢，高度跑到三十七米去了，对吧？那对应点的坐标就应该是二三十七，对吧？哎，然后呢，我再把这个二三十七在这个啊坐标系当中拿出来，哎，以此类 a 推啊，建议三四五六，我就不一个一个的去写了。总而言之呢啊，每当提取一个值都有唯一的一个 h 的值跟他对应，我都可以得到一个明确的一个点的坐标，对吧？好，我把剩下点的坐标分别都给他描出来， 哎，好，把这个点的最高证明是以后剩下的。我干嘛？我是不是开始画图像了呀，对吧？哎，我就需要把这些点呢给他连起来，但是连的时候要注意一点是什么呢？不要这样直直的连过去，中间好像都拐拐角了。这样的啊，我们描连线的时候必须要一个平滑的一种曲线把它连接上， 哎，一定要平滑，那有人就说，你这两个点之间我怎么着，我应该是直的连，我还是往上面弯还是往下面弯呢，对吧？哎，所以说我们如果说需要更精确的做图，我们需要在零和一之间多取几个值，比如说你取零点一分钟，零点二分钟，你分别测量那个 h 的值，对吧？哎，这样你就可以在这两个点中间 标出来很多其他的点，这样我就可以知道你这个曲线到底从哪边拐，对吧？哎，这是精确作图的时候，就需要我们多取一些值来做这个秒点的一个依据啊。好，我把这些点给他连起来，哎，这样我就得到了这个啊，摩天轮的高度， 这个与这个时间 t 啊这个函数关系，他的这样的一个图像，这个呢就叫做函数图像。那么回忆一下我们刚才画图这个过程，我们经历了哪些的过程，对吧？哎，首先第一步呢怎么样？我呢通过这个啊， 四变量和这个函数值的关系，我找到点的坐标，然后呢把点的坐标给他描出来，对吧？哎，最后呢再把点给他连起来，我们把这种啊画函数图像的方法呢，就叫做描点法，哎，就是描点法来画函数的图像，那在我们学习过程当中啊，所研究这个函数图像都是通过这个描点法来 画出来。好，我们一起归纳一下，用秒点法来画函数图像，它的一个步骤应该是什么？哎，首先看一下第一步干嘛呀？ 第一步是列表，对吧？列表呢主要是为了找到自备量和函数值的一个对应的关系，这里要注意的是什么呢？咱们自备量取出来要有一些代表性，比如刚才那摩天轮，对吧？你最好呢把它的最低点和最高点所对应的那个自备量的词都给他取到， 有一定的代表性，并且呢，要注意，最好是按照从小到大的顺序来进行选取，哎，这是列表，列完表之后呢，我就得到了点的坐标了，对吧？有点坐标之后，第二步我就可以描点了，哎，这里如果你描出的点越多，我们画出的图像就会越准确。 好，第三步呢，就是连线啊，把那描述的点呢，按照这个横坐标由小到大的顺序，哎，也是由由左向右呗，对吧？哎，咱把这个描述的点用平滑的曲线给他连接， 哎，不要那样拐直角那样连啊，是平滑的曲线，这个呢，就是我们用这个描点法呀，来画函数图像他的一个步骤。好，了解了步骤之后，接下来我们看一下啊，第二个支点，正比例函数的图像和性质，我们现在已经知道了怎么画一个函数图像了，对吧？那我们看了一下，对于最简单的这种正比例函数啊， 我们呢怎样来画他的图像？好，第一个例子，画出正比的函数， y 等于 x 和 y 等于二 x 的图像，根据刚才的步骤，我们应该怎么办？第一步应该是啊，这个列表，对吧？第二步，我们要点第三步连线，对吧？哎，我先把这三个步骤啊，先给他列出来啊。好，那列表的时候应该怎么列呢？ 首先我应该找到，比如说第一个 y 等于 x， 对吧？哎，我让 x 取一个值，看看 y 的值是多少， x 再取一个值，再看看 y 的值是多少，对吧？哎，对于第二个 y 等于二的来说呢，也是一样，所以这里啊，正常应该 是列两个表啊，我这边空间也是比较有限，所以呢，我这边就列了，把他们写在一起了，哎，大家能看得明白就行，同时要注意什么呢？因为对这两个函数来说呀，你这个 x 啊， 其实他对这个取值范围没有什么限制，对吧？他取任意的时数都可以，所以你不可能取到这个 x 的最大值和最小值，所以啊，我在这两头分别用了省略号，哎，表示这后面还有，对吧？只是呢，我不可能写出来那么多， 那 x 的范围中间这些数我应该怎么样来写呢？我们观察一下这个坐标系最中间这个位置应该是圆点，对吧？既然你对 x 的取值范围没有要求，我最好呢由这个圆点呢跟对称，哎，在圆点的两侧这样一次来进行选取， 这样呢，我画出来图像是可以画在这个坐标系的中间这个位置的，如果你从四五六哎，你从这边开始开始选点的话，你画出的图像是不是偏到这边来了，对吧？哎，那 一个是也不方便我们看，对吧，另外一个也确实是不美观，也不利于我们发现他的一些特点，对吧？哎，所以呢，这都是选取这个自备量值的时候需要注意的一个地方， 那我最好呢是把原点零 x 零放在中间，那这边就是负一负二，这边正一正二，哎，这样选取你画出来的图像刚好在中间位置，哎，比较方便看起来啊，好，所以呢，根据以上的分析，我取了这五个值，负二，负一，零一二。好，接下来呢，我们要算一下， 对于这两个函数来说啊，对应的那个 y 的值应该是多少，对吧？对于 y 等于 x 来说，不用说了吧，对吧？他的和 x 都是相等的，对， y 的值，哎，就是这个跟 x 值是一样的， 那接下来我是不是得到了点的坐标了，对吧？首先第一个坐标就应该是负二负二，那对应的点应该就在这个位置，第二个呢？负一负一，哎，这个点应该这个位置，对吧？零零就应该是原点，一，一在这个位置，二，二在这个位置。这几个点是不是都 都可以给他描出来了，对吧？好，我依次给他描出来啊，这里对应的应该就是有五个点，好，描点结束之后，接下来是不是就该连线了，对吧？哎，我把这五个点一连 就可以了，注意，这两边要出头啊，你不要从这个点刚好连到这个点去，变成一条线段了，这为什么呢？你看这边为什么要出头啊？就是因为你两边人家还有啊，对吧？不代表这个负二就是个这个图像的终点呐，人家负三负四怎么取都行，那网上也一样，三四五六七八随便取啊，对吧？ 所以你，你必须得画出头啊，你不要把它刚好锁在这两个点中间去了，对吧？哎，好像这里，这里是起点，这里是终点一样，那这样肯定就不准确了，对吧？好， 接来 y 等于二 x 也是一样啊， x 呢，我还是可以取这几个值，对吧？我算一下，对于 y 等于二 x 来说，对应的 y 的值应该是多少，那就让他乘以二就行了呗，对吧？这个计算就不用说了吧，对吧？哎，如果这个数还算起来有困难的话 话，可能听我们这个这个课也没有太大的意义了，是吧？好，我看对应的值啊，负四负二，零二四，哎，那对应点的坐标呢？很显第一个点就应该是负二负四，应该这样看，对吧？负二负四呢，应该在哪里？ x 等于负二， y 等于负四，是不是大概应该在这个点呢？ 然后接下来呢？负一负二，那就应该是在这个点，对吧？哎，零零，然后呢，一二在这里，二四应该就在这里，哎，根据这个呢，我可以描出另外五个点的这个 位置，然后接下来呢，还是连线，对吧？连线这样一连，哎，注意两边梳头，对吧？所以呢，这条黑色的就是 y 等于二 x 的图像，哎，通过这种描点法，我们分别做出了这两个正比例函数的图像。好， 有了图像之后啊，我现在这样单独给他拿出来了，啊，我们思考一下啊，你看一下这个两个正比例函数，他们 图像有什么样的性质，哎，这个性质我们从哪几方面来进行考虑呢？哈，首先第一个就是他的图像是什么样形状，我观察一下这个红色的和这黑色的这两个图像啊，好像都是直线，大家发现了吧， 哎，并且呢，这两个直线有个共同特点，好像都经过了原点这个位置，对吧？哎，所以呢，这两个函数啊，他们的图像都是经过原点的一条直线， 哎，那其次还可以从哪一方面进行研究呢？就是这个图图像啊，他所经过的象限，哎，我们看一下，不管是红色的和和还是这个黑色的，都是经过的是第一象限和第三象限，他没有经过第二象限和第四象限，对吧？ 哎，这也是他们的一个特点，还有什么样特点呢？就是这个随着这个 x 的增大，他 y 的姿势如何变化？他比如这红色的，他是这样这样往上斜着走的， 对吧？那你看，随着 x 的增大， y 的值是不是也也逐渐增大呀？对吧？因为 y 是越往上越大的嘛，你这样斜着往上走， x 越大， y 也越大，那黑色的也是一样啊，也就是说呢，随着 x 的增大， y 的值也是随着增大的， 那还有些什么样特点呢？就是这两个两条直线呢，好像倾斜的程度不太一样，大家发现了吧，好像这个黑色的这条直线呢，用我们通俗的话讲，好像更陡一些，哎，也就是说呢，他好像更靠近这个歪轴，对吧？他离这个歪轴更近一些，更陡一些，哎，这也是他们的一个特点， 对吧？那我们观察一下，他为什么会比他抖呢？他俩的表达式有什么特点？这里是二 x， 这里应该是可以认为是一乘以 x， 对吧？比如说 x 的系数呢，好像越大，这条直线呢，就越抖，哎，就越靠近这个外轴，哎，这又是一场性质，对吧？所以呢，通过以上的归纳，我们 可以总结出来啊，正比例函数呢，他的图像是一条经过圆点的直线，哎，同时呢，应该是对于这两个函数来说啊，他经过的是第一和第三象限。 第三个呢，函数值随自变量的增大而增大。最后一个呢，就是啊， k 的值越大，那么这个图像越靠近 y 手，这句话也可以换个说法， k 的值越大，怎么样啊？随着 x 的增大， y 的值啊，增加的越快，你看是不是？ 哎， x 比如说都是从一加到二，但是这个 y 的值，它上面黑色的明显增加的快，这个呢， y 的值好像增加的慢一些，平缓一些，对吧？哎，这就是我们总结的这两个正比的函数，它图像的一些性质啊。 好，接下来啊，我们再换一个，换两个啊， y 等于负 x 和 y 等于负二 x， 这里啊，我就希望同学们能够自己来画了啊，你可以不必把这个方格子画出来啊， 哎，你就直接呢在这个啊这边用这个小刻度啊，来给他比一下就行了，因为我这里呢是为了从上面直接拷贝过来的，这样用起来比较方便一点，对吧？啊，这里建议大家暂停啊，有答案之后我们再继续。 好，根据刚才的思路呢，肯定那三步呗，对吧，第一步列表秒点连线，还是老三样，对吧？哎，那取值也跟刚才也可以取的一样，没有问题啊，对吧？好，那对应的函数值呢，我也可以画出来，那对应的描的点呢，坐标呢，我也都得到了，对吧？好，秒点连线。好，我们一起看一下。 这个呢，就应该是 y 等于负 x 画图像，哎，是这样的，红色的啊，那 y 等于负二 x 呢，我画出来 黑色的啊，那是这道，大家自己检查下，看自己画对了没有啊。好，那我们再分析一下吧，这两个正比两函数，这系数变成负的了，对吧？哎，刚才是正的，现在负的，那他这个图像又有哪些性质呢？我们还 还是可以从刚才的那几点来想，首先啊，形状也都是经过原点的实现，没错，对吧，那经过象限呢？不一样了，刚才那个经过一三象限，对吧？哎，那这两个呢，很显然他是经过的是二四象限， 对不对？哎，他经过的是第二和第四讲解，哎，跟刚才那两个不一样了，是不是？那第三点呢？增减性，我们发现什么呢？好像随着 x 的增大， y 是一路减小的，对吧？哎，那这个增减性跟刚才好像也不一样了，哎，函数值是随着字变量的增大而减小， 那么这个倾斜程度我们应该怎样来衡量呢？很显黑色的更陡峭一些，对吧？但是如果你看系数呢，这个负二啊，他好像比负一小，对吧？那刚才那个呢，是 k 的值越大，越越陡，越靠近外轴，那这里呢？如果你又说 k 的值越小，越靠近这个外轴，那跟刚才那个不是 矛盾了吗？对不对？所以这里为了同一时间，我们可以怎么样负二啊，虽然比负一小，但是人家负二的绝对值比较大呀，对吧？那所以我们是不是可以这样归纳， k 的绝对值越大，那么这个图像啊，他越靠近外轴，是不可以这样来说呀。 哎，那刚才正的时候呢，那他也是绝对值越大，越靠近 y 轴啊，那这里这两个不就统一了吗？对吧？所以呢，我们这样说， k 的值越大，那么随着 x 的增长啊， y 的值减小的就越快，对吧？哎，这个因为 y 的值随着 x 他是减小的，就刚才那个是增大， 对吧？那越靠近 y 轴越陡效，那就说明什么呢？ x 的随着它的增长， y 的值减小的就更快，哎，这两个说法其实都是一样的，哎，注意，当这个 k 是负数的时候，我们要加上绝对值，哎，这样表述才比较准确啊。好，接下来我们把刚才研究这四个函数给它放在一起，我们要 归纳一下正比的函数，这时候注意表达，是啊， y 等于 kx， 它的图像性质到底应该如何来进行归纳？很显然，根据定义啊，这里 k 是不能等于零的，对吧？好，我们要第一条，它的形状，这四个我发现都是一条经过原点的直线， 对吧？哎，那倾斜程度呢？刚才已经总结过了， k 的绝对值越大，他越靠近外轴。哎，没错吧，绝对值越大，越靠近外轴。哎，这形状这块总结完了啊，那么经过象限，哎呦，这可就不一样了， 我发现，当这个 k 啊，他是正数的时候呢，经过一三象限，负数的时候经过二四象限，这是不是要分两种情况来进行讨论，对吧？ 哎，这个经过的象限呢，跟 k 的正负是有关系的，你要分成两种情况来进行讨论。那增减性呢，也是不是也要分两种情况呢？ k 如果是正的大于零的，随着 x 的增大呢？ y 是增大的， k 如果 负责小于零，随着 x 增大呢？ y 又是减小的，对吧？所以呢，我们总结一下这个函数 y 等于 kx， 它的图像性质的时候，应该怎样来总结呢？就应该分成这两种情况。哎，大于零的时候经过什么象限，增减性如何？小于零的时候经过哪两个象限，增减性是什么样的？ 但是共同一点都是他们都是经过原点，一条直线，并且呢， k 的绝对值越大，越靠近拐手。这个表格中的内容，我要郑重的提醒大家啊，一定要记住，而且要非常的熟练。哎，非常的熟练，这是我们的一个学习的一个要求啊，非常的重要。好， 先来看一个例题啊，教材上来，下列正比例函数当中， y 的值随 x 的增大而减小的有，哎，随着 x 的增大而减小，我们刚才已经分析过了，那这种情况的话，应该是说明什么呀？对于这个 y 等于 k， x 来说，那 k 在什么样的范取值范围里面， y 会随着这个 x 增大而减小啊？是不是要求这个 k 一定是要小于零的呀，对吧？哎，那我就看这几个表达，是不是哪个 k 的值小于零啊？很显然，这个 负零点六它小于零，对吧？那这个呢？根号五它大于零，八也是大于零的，那一和三都不对，根号二减根号三，这肯定是小于零的，对吧？所以呢，我们就有啊，只有第二个和第四个这两个啊，才是 y 的值是随着 x 的增大而变小的啊。好， 这样再思考一个问题啊，就以这个 y 等于二 x 为例啊，大家观察一下，如果说满足这个关系是 y 等于二 x 的这个 x 和 y 的值，比如说 x 等于一， y 等于二， x 等于二， y 等于四，对吧？哎，那么它所对应的这个点啊，是不是 都在这个函数图像上？这里你可以自己去列举，对吧？哎，零零啊，然后，哎，等于一二啊，二四啊，哎，等于三八等于六三六，我们会发现，所有这样的点呢，都是在这条直线上，哎，大家可以自己去描一下，试一下啊。那第二种说法呢，是什么呢？ 这个函数图像上也就这个直线上啊，所有的这些点是否都满足这个关系式？哎，这个大家也可以自己去试一下，对吧？你过每个点，像 x 轴和 y 轴做斜线，对吧？你得到那个对应点，那个坐标，你可以看一下 y 的值啊，他始终都是 x 的二位，也就是说，这上面图像上每个点坐标都满足这个关系式。 这里呢，我们又得出了一个结论，对于满足这个关系式， y 等于 k x 的 x， y 他们所对应的点，哎，横坐标就是 x， 中位标就是 y， 对吧？哎，只要你的坐标满足这个关系式，那么呢，你这个点， 那就一定在这个函数图像上，哎，一定在这条直线上。同时反过来说，如果你这个点在图像上，那么你的坐标一定是满足这个关键式的，他俩一定是一一对应的，这样的关系啊，好， 我们看一个例题啊，下列哪些点在正比的函数， y 等于负 x 负五 x 的图像上，如果他在这个图像上，就说明什么呀？你的点的坐标一定要满足这个关系日，对吧？那我接下来看一下吧，对于这个点来说，哪个是 x， 哪个是 y 呀？那可能前面这个啊，他是 x， 他是 y 呀，对吧？ 哎，那你看这个五，他能等于负五乘以一吗？很显然不能等于啊，对吧？所以第一个是不是？不是啊？第一个他肯定不在这个图像上，哎，方法就是看他满不满的这关键字就行，或者呢，你也可以说，横坐标乘以负五，是不是等于重坐标，对吧？我看第二个负一和五，把这个负一乘以负五，是不 刚好等于五啊？哎，所以这个点呢，就在这个函数图像上，你看是不是非常简单，哎，第三个，把这个零点五也乘一个负五，那刚好等于负的二点五，哎，刚好等于他，对吧？这第三个点也在图像上，第四个呢，把这个负五乘以负五，是不是应该等于正二十五啊？ 那你看你这个动作标是一不等于正二十五，所以这个点一定不在这个函数头像上，哎，这个没什么难的，对吧？ 好，接下来就思考一个问题啊，根据正比的函数 y 等于 k x 图像特点，如何快速画出他的图像？我们刚才啊，画画一个图好像都要描五个点，是吧？好像也很麻烦，大家应该感觉到了，对吧？我们怎么样先想办法能快速的把这图像去给他画出来， 哎，那大家思考一下。首先既然我们已经知道了正比例函数，它的图像是一个什么样的形状啊？是不是一条直线呢？对吧？哎，那我们学过跟直线有关的这个知识，我们学过什么呀？ 他是不是有一个基本事实叫做什么呀？两点确定一条直线，对吧？也就是说什么我想画一条直线呢？我只要知道这个直线上两个点的位置，我把这两个点一连，我就得到这个直线的位置了， 对吧？那通过这个方法，我们是不是也思考，我们想画这个正比的函数图像，我只要确定图像上两个点的坐标， 我只要找到两个点坐标，我在坐标系上啊，把这两个点注两个点一描一连线，我就可以快速的画出这个正比的函数的图像，对吧？好，那这个方法叫做什么呢？就叫做两点法作图， 但是要注意这个作图啊，只适用于你的图像是直线的时候，你的图像图像如果不是直线就折线或者是曲线，你只画两个点，那你很显然不能准确的画出他的图像，对吧？哎，那么两点法作图，对于这个 y 等于 k x 来说，我们怎样 找到那两个点？首先经过刚才的分析啊，哎，这两个点怎么找呢？他肯定经过原点呢，因为从表达式也可以看出， i 等于零的时候，我不管你 k 等于几 y 都等于零，所以呢，我确定他肯定是经过原点的，对吧？哎，所以原点就已经可以作为一个点了。 那除了圆点之外，我是不是还需要一个点？那另外一个点的坐标怎么找呢？对于这个表达式来说，已令 x， 那就就等于一算了啊，等于一好算呢， x 等于一， y 是不等于 k 呀？所以呢，我们可以得到另外一个点的坐标，就是一和 k， 哎，那如果说 k 是大于零的啊，那 e 和 k， 你说这个点坐标在哪里啊？一，大概是在这个位置，对吧？那 k 如果大于零，我就大概让他在在这个位置吧。啊，哎，这里表示一，这里是 k， 那你说 ek 这个点应该在哪里啊？坐谁线呗，这不，找到了这个点，哎，这个点的坐标就是 ek。 然后呢， 我把圆点和这个脸两点一连，哎，我是不是就快速的画出了 y 等于 x 它的图像，哎，这就是两点法作图。好， 再看下例题啊，教材上的画出下列正比例函数图像这两个题，哎，大家自己思考一下，就用我们那个两点法，来来来，做一下啊，看能不能做的出来啊。 好，我先把这个对半器画出来再说一遍啊，这个格子啊，格子可以不画的，没关系啊。好，既然我想只想知道两点，那其中一个点我已经知道了，不就是零零吗？对吧？你看第一个 y 等于四， x i 等于零， y 就等于零， 那零零我已经找到了，我只要再找一个点就行了呗。那我对应的应该是谁啊？ x 等于一，刚才说了一 k， 对吧？ x 等于一的时候， y 等于四，一和四，这是不是又是一个点呐，对吧？所以这里时候我列表的时候啊，我其实就找这两个点就行了，哎，一个呢，是 x 等于 零，比如说这个表啊，这里 x， 这里是 yx 等于零， y 也等于零，对吧？然后呢， x 等于一， y 等于四，这不就是一 k 吗，对吧？所以这两个点，一个是零零，一个是一四，一四在哪？一四应该在这，对吧？我把这两个点这样一连，这条直线是不是就出来了？ 哎，这就是我们第一个啊，图像就可以这样快速的画出来啊。第二个 y 等于负三分之二， x， 那这个怎么列表啊？还是根据刚才的思路来呗。那零零肯定可以啊，对吧？哎，零零 后面怎么找？你可以找这个一和负三分之二，可以的，没有问题啊，就是一 k 吗？对吧？但这个负三分之二好像不是特别好画，大家发现了没有？ 这里为了再简单一点，我们可以考虑怎么办？既然你分母是三呢，这里就我不妨，我就让 x 等于三，可以吧？ x 等于三的话， y 就变成整数了呀，这样一乘的话， y 就等于负 负二，对吧？我找这个点也可以啊，所以我们做图的时候要灵活一点，怎么方便怎么快就怎么来，对吧？那零零在这三，负二在哪呢？三在这，负二在这，在这里，点那把它和原点这样一连，哎，他图像是不是也快速的画出来了，对吧？好，大家看一下啊，自己的思维和我讲的是不是一样的啊， 看下好列表，这，这样列表就简单了，对吧？找两组数就可以了。好，然后呢，画图啊，这个是这个 y 等于四 x， 这个呢，是 y 等于负的三分之二 x， 哎，这图像就画出来。好， 再看一个下个例题啊，也是教材上啊，写出图中直线 l 所对应的函数表达式，你看这里给一条直线，这个直线很明显经过了原点，对吧？他应该就是一个正比例函数，但是这种啊，给图像求表达式的问题好像也有点默 生，对吧，但是不要急，我们一起来分析下。这里呢，除了给了这个经过原点之外，我们还看到他还经过了这样一个点，一三，他是不是也给了我们两个点的信息了，相当于，对吧？哎，那我们其实就可以求出他的表达式，既然你是一个正比例函数，我们的正比例函数通用表达式就是 y 等于 k， x 啊，对吧？我们就设你的表达式就为 y 等于 k x， 哎，这里呢，注意， k 一定是不能等于零的。好，那既然呢，你经过了一三这个点， 也就是一三这个点呢，在你的头像上，那他的坐标这个一三就一定得满足你这个关系日，这我们刚讲过，他俩是一一对应的，对吧？一三，如果满足你这个关系日，我是不是就可以把一三带进去啊？把一三带进去， x 是谁呀？ x 就是一嘛，对吧？哎， y 呢？ y 是谁呀？ y 就是三嘛，对吧？哎，那就三等于 k 乘以一，对吧，那是不是 k 的值就可以求出来了， k 就等于三呢？如果 k 等于三的话，你再把它带回到这个表达式当中，那这表达式是不是就求来了？那是不是就是 y 等于三 x， 对吧？哎，其实就是一个求 k 的一个过程，对吧？你看从这个方法是不是求这个表达式是很容易的，对吧？好看答案啊， 哎，这个答案就是 y 等于三 x， 哎，你先设它的表达式为 y 等于 k， x 把点的坐标往里一带，就可以求出 k 的值，哎，最后呢，表达式的值就确定了。好 啊，今天内容呢，就和大家一起学到这里啊，下一次课呢，和大家一起来学习一字函数图像的第二个课时，欢迎大家收看，如果喜欢的话，记得关注明老师初中数学课堂，如果有问题欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见！