无理数真的无语吗小报

你会觉得反人类，困惑不解，但是只要仔细听，认真思考，你会回来感谢我的。 有理数和无理数都是无穷多的数，那么他们可以比较多少吗？上个视频我们解释了，可以表示为两个整数比的数就是有理数， 那么五里数就是不能写成两个整数笔的数，常见的比如根号、二和派都属于五里数， 那么无理数和有理数一样多吗？在回答这个问题之前，我们要突破两个认知屏障，接下来我说的话可能会惊掉你的下巴啊！你会觉得反人类，困惑不解，但是只要仔细听，认真思考，你会回来感谢我的。 我们先来一道热身题吧，全体整数的数量和偶数的数量谁更多呢？ 你也许会说，这还用说，肯定是整数更多，因为整数包含基数和偶数啊，但是这只是你的直觉，直觉是会骗人的。事实上，整数和偶数的数量是一样多的， 这就是我们要突破的第一层屏障比较无穷大，不能凭借直觉，不能考虑包含与被包含的关系。怎么办？回忆一下我们小时候怎么比较两堆东西的数量呢？ 拿烧饼和香肠举例，只要把烧饼和香肠拿出来一对一的比较，一个烧饼配一个香肠，如果烧饼用完了，而香肠还有 剩余，那么我们就可以知道是香肠更多。这个源于人类对于物体数量最原始最朴素的感知，就是数学家康图尔提出的 教两个无穷大的方法对应法。接下来我们将用这个方法来解决视频一开始提出的问题。

我有个朋友，他问我说，为什么有理数不能布满整个数轴，无理数真的存在吗？我说派不就是个无理数吗？后来我仔细想一下他的问题哈，我们对无理数定义是说无限不循环角数叫做无理数。那你怎么能够知道派在一百万位或者是两百万位之后，他还会继续存在呢？后来我的老师又告诉我说，无理数就是不能够被写成两个整数相处的那种。也有 有点问题，为什么呢？因为这个定义他是否定式的，就像你不能够说明一种颜色，他不是黑的，所以他就是白色一样。无理数其实是先被发现后被定义的，怎么被发现的呢？也是这样，时间长为一字正方形，对角线画图和数值焦点到底是多少？有理数表示不了啊，所以我们把它定义为。

百分之九十九的初中生一定不知道怎么证明根号二是一个无理数，正着去正是没法正出来的，那我们就要反着正，我们先假设结论的反面是成立的，我们再证明矛盾就可以了，这就是反正法。 那具体怎么操作呢？其实就是先假设根号二是一个有理数，而有理数的要求是必须能够表示成分数的形式，而且分子分母不可约分。什么意思？例如像五分之八，哎，这是不是就是分子分母不可约分？ 牛老师，那六呢？六可以表成一分之六啊。所以所有的有理数都可以表示成这样的形式，那就能得到 p 等于根号二倍的 q。 在同时平方得到 p 方等于二倍的 q 方，说明什 p 方是偶数，那 p 就得是个偶数。那接下来我们可以设 p 等于二 m， 带到这个式子当中，我们就可以得到二 m 的平方等于二倍的 q 方。我们还可以得出 q 方等于二 m 方， 说明 q 方也是偶数， q 也是偶数，说明什么问题？两个 p 和 q 都是偶数的话，都可以提出公因数二就可以约分了。和这句话 矛盾，所以证明出根号二就是无理数。听懂的给个关注，记得点赞加收藏！