三角形局内脑机咋搜寻

大家好，今天我们来讲一下相似三角形所有的模型啊，有很多很多，估计有十几个吧，但是他可以分成几个大类。我们先来看第一大类，这个 a 字型， a 字型的话，第一类他会告诉你谁呢？就比如说第一个图，他一般会告诉你，这个第一是平行于闭穗的， 那既然平行后，马上就能得出来，这个三角形 a、 d、 e， 他是相似于三角形 abc 的，平行可以作为判定相似的一个定理的啊。上几个咱们已经讲过所有的判定定理了，判定相似定理，那对于第二个图的话，他就不一定平行了，但是他会告诉你这个角一是等于角二的， 那我们写因为角 a， 其实角 a 他是一个公共角，对吧？那角 a， 然后角一还等于角二，他一般会告诉你，所以说你看三角形 a、 e、 d， 还有三角形 a、 b、 c 中两组角相等吧，两组角 相当的话，那就是三角形 a。 第一，咱们对应好点点顺序啊，相随三角形 abc， 那接下来他经常用的一个结论是什么？经常考察的一个结论是这样来写他，你看对应边，对应边的话， ad 对应边是 ab 吧，然后这个 ae 的对应边是 ac 吧，但他经常写成什么形式，他就不写成这样的笔直的形式，他经常写成这样的成绩的形式， ad 乘 ac， 他的长度呢？等于 ab 乘 a、 e， 那怎么来？你看哦， a、 d、 a、 c， 这个实际上跟谁有关呢？跟那个原理和原密定理也是有一点关系的。 等到我们讲到元，再详细来说， a、 b 乘 a c 等于 a e 乘 a b 好吗？原来是这个意思，那继续看第三个，其实第三个的话，咱们可以认为左边它其实就是一个 a 字，然后右半部分呢，也是 一个 a 字，他两个 a 字并到一块了，那么第三个呢？他也会保证谁啊？保证这个第一，这条线是平行于 bc 的，就第三个图， 但是他经常考察的结论是什么呢？经常让你证明的结论是，这个 t f 比上 bg， 为什么就一定等于 ef 比上 cg， 那为什么会这样呢？其实好说， 左右两个三角形，也就是三角形 ad f 肯定相当于三角形 abg 吧？相似啊，因为平行所以相似。 那另外的话，三角形 a e f 肯定也相随于三角形 acg 吧。那写到这之后的话，我们就直接写这个顶点的，嗯，顺序，然后根据这个顺序啊，然后写这个笔直就行了。相当的笔直的话，你看 d f 笔上 bg， 这是第一组吧， f 比上 bg， 他等于谁？比谁啊？他当然等于 a f 比上 ag 了，没有问题。那第二组的话，我们继续来写，那第二组应该写谁啊？第二组的话，一样啊，这个 e f 比上 cg， 他还是等于 a f， 你看第二组 a f 比上 aj， 那写呗，那圈一和圈不就联系起来了吗？所以由圈一圈，这两个笔直都等于 a f 比上 aj， 以中间这个 a f 比上 aj 作为例，作为这样一个桥梁吧，联系起来，然后呢，这两个 b 值就相等了。 原来是这个意思，那最后一个的话，一般是内，有可能是内阶矩形，但一般呢，他会考察什么？内阶的正方形，就是说三角形 abc， 他三边呢，是都可以求出来，或者都告诉你的，然后内阶一个正方形，让你求这个正方形的边长， 怎么求呢？我们一会会有例题，直接来看题目吧，题目很多啊，咱们先来看第一个，第一个型属于 a 字型里头第第几个呀？ 哎呀，显然属于第二个吗？对吧？那既然属于第二个的话，我们直接利用什么结论？直接利用他常用的结论，其实就可以求，我们就直接写了啊，角一等于角，哎呀，直接写相似了，三角形 a、 e、 d 相似于三角形 a、 b、 c， 那写完之后的话，根据已知条件吗？写了啊，所以说 a e 比上 a b， 他就等于 d， e 比上 b c， 这是对面的笔直。 d e 告诉你了是等于几， d e 告诉你等于四，然后 b c 告诉你等于八， a e 告诉你等于多少等于六啊，所以说让你求 a b， 这一看就是十二，很容易的。咱们直接来看第二题，第二题的话 啊，是哪个呢？是把两个 a 字考到一块，他也说了，怎么证呢？哎呦，已经说过了吗？你看左边这个三角形 a、 d、 p 相似于，因为平行啊，你写全了，考试的时候啊，我就直接快速的写一下这个思路。 还有三角形 abq 啊，他是相似的，然后三角形 aep 呢，和这个三角形 acq 他也是相似的， 那么由这个第一组相似的话，我们是可以得出什么结论来？由圈一这个相似的话，我们马上就可以得出来，此时他这个 dp 比上 bq 等于谁啊？等于 ap 比上这个 aq， 那根据圈二的话， a p 比上他不也等于这个 p e 比上 qc， 然后就连起来了，不多说了，其实已经讲过了，咱们来看第三个，第三个， 哇，这看起来有点难，他是这么说的，在直角三角形纸片上进行如下的设计， 嗯，什么设计呢？直角三角形的两直角边与展开图啊，展开图，然后呢，与啊他左下角的正方形边重合， 斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知 bc。 哎呦，好说，延长以后吗？这个虚线啊，延长以后，延长什么呢？延长这两个顶点，延长之后呢？跟原来这两条线相交，形成了一个大的直角平角形 abc。 那么我们观察什么呢？其实大家只需要观察图中的 d f 就行了， 在三角形第一 f 中，首先他是一个直角三角形，其次他的直角边是一比三，那斜边的话肯定是更好使了，这个根据购物定律能算出来。哎呀，其实这个一比三的直角三角形 帮我们的大忙了，那我现在再画一个三角形，请大家告诉我。哎，此时这个三角形和一比四的，嗯，变成的比，这是不是一比三？是一比三，那我呢，再用蓝笔来画另外一个小的三角形，请大家告诉我， 这个小的三角形 apq 车特别小啊，能看出来吧？他的笔直呢，是不是也是一比三啊？因为都是相似的。那既然一比三的话，你要注意正方形的零长棱长，不就是图中正方形的边长吗？对吧？正方体的棱长，那就咱们假设他这个棱长是 x， 可以吧？ 那 x 的话，请他告诉此时这个 ap 是多长？你 pq 已经标成 x， 那 ap 不就是他的三分之一吗？三分之一 x， 那下边整个这一段 bp 显然是三倍的 x， 那就好说了。嗯，三分之一 x 加上三倍的 x， 实际上他的长 长度呢，就是等于 ab 的 ab， 我们可以写成三分之十个 x， 那显然根据三比一的比值，也就是相似的这样一个比字，比值 bc 是等于三倍的 ab， 也就是说他等于十倍的 x 等于几啊？他已经告诉你了， bc 长度等于三十六， 所以原来 x 其实也就是正方体的零啊，冷场也可以说是图中正方体的边长，原来是三点六啊，很快就算出来了，关键这道题最关键的地方是哪？最关键是你一开始的时候，你得看出来 图中的红色的这一部分，他的三边比，这是一比，三比更好使得看出这样一个红色的三角形。其他的其实就简单了。我们继续来看第四题， 第四题的话，哎呀，第四题好说，那接正方形，我告诉大家怎样来做这种题。这个题的话，我们只需要怎么样呢？首先看了啊，他 三条边是三四直角边，然后这是个直角，那好说嘛，三四，那斜边 ab 长度不就是五吗？这个长度是知道的啊，那么我们过点 c， 因为他涉及到什么？涉及到正方形的边长，我们假设正方形的边长是 x 啊， 然后过点 c 呢？做这个 ch 是垂直的，注意是高啊，做完这个高了，然后呢，这个 cq 呢，是垂直于 de 的这样一个垂足。那做完这个高以后的话，请大家看图中啊，你看好了，因为什么呢？因为你这个 de 显然是平行 ab 的， 所以有一个 a 字型的相似三角形。谁啊？ cd e， 他是相似于三角形 c ab 的。 那既然相似的话，你要注意三角形，他相似不仅边长是成比例，他这个对应高的比例也成比例吧。你这个小的 小型 cd 高，不就是 cq 比上大的高，这是 c 是吧，等于什么？那边长比值不就是 d e 比上 ab 吗？ 我们直接换了啊，这个 cq 我同学说不会了，你别着急吗？ cq 我们完全就可以用这个大的长度，谁呀？这个大的长等于几吧？大家告诉我 先。这个 c h 呢？他是等于这个 ab 等于 ac 乘 bc 再除 ab， 这个是面积法得出来的三四五分之十二吗？对吧？ 那所以说 cq 的话，他等于五分之十二，再减去下边这个 x 不就可以了吗？所以呢，等于五分之十二再减 x， 那下边还是五分之十二？ 那右边其实就好说了，你这个 d 的长度显然是等于几？ d 的长度显然是写 x， 而 ab 长度呢，那肯定是五倍，所以我们很快就算 x。 原来等于三十七分之六十啊，虽然数字很奇怪，但是算法就是这样的，一定要注意对应高的比值， cq 比上四 h， 等于 d， 比上 ab， 只要知道这样一组 a 字形的相似，读出相似比来就好算了啊，记住，最后答案是三十七分之六十。 来看下一类啊，一共是四个模型的，那下一类也有三个模型，其实他们算是一类，咱们找其中一个啊，看哪个呢？ 看一下第二个吧，第二个和第一个一样啊，第二个的话是什么意思啊？脚臂，他是一个公共的脚字母型的吧， 那子母型的话，大家看好了哎。这个角 a 是个什么角？角 a 的话，图中记住了，角圈就是角 a 和角 c， 这两个角圈是相等的。那太好了，你两组角相等，所以三三角形 b a、 d 相似于三角形 b a d b bc a 吧。那写这个笔直关系的话，咱们应该写什么？那就直接写成这个 b a 比上 bc 等于 bd 比上 b a。 但是考试的时候他经常会写什么呢？他经常会写的是这样一个结论，他不跟你写笔直，他就写成 b a 方等于 bc 乘 bd。 好，原来是这么回事啊，公平公正，行字母形的相似就这么回事。 但是有一类特殊的情况就是第三种，如果说在直角三角形 acb 中出现了斜边上的高，那此时图中的话，咱们倒一倒角 互余的关系吗？圈和叉是互余的，因为图中九十度非常多啊，然后是圈叉，那既然有三个，你看左边一个小的，右边一个小的，这个 abc 算算，一个大的直角平角形，这三个直角平角形我直接写吧，三角形 abc 相似于三角形 cdb 相似于三角形 acb， 那三个三角形两角之间都是相似的。相似的话，我们还是根据这样一个共勉共有的结论，最后会推出三个结论来。什么呢？ ac 方等于 ad 乘 ab， 实际上他是通过什么呀？他是通过 acd 和 acb 相似得出来的。相似的话呢，咱们可以写这个相似笔啊， ac 比上 ab 等于 a， d 比上 a c， 你看我画圈的这两个结论还一样吗？完全一样啊，只不过是由笔直换成了这样的乘法的关系。 所以说，我还是想说啊，我画这个五角星这一部分呢，他就是适用定理的结论。这个定理呢，以前是可以直接用的，但是现在后来因为减负，我们把这个知识点删 删掉了，就不可以直接用了。那还有什么结论？同样的从点位出发， b c 方等于 b d 乘 b a 啊，这也是试用点类的结论， 从点滴出发， dc 方等于 d， a 乘 db。 以前我们专门讲过摄影定理对不对？那讲完了这个定理的话，我们就来看一下这个第一题吧。第一题的话特别简单啊， 他怎么说？其实我刚我们刚才已经讲过这个证明了，对吧？你直角三角形出现在斜面上的高，根据三个相似， b 乘 b， c 等于 b a 方，这个就不多说了啊。第一题咱刚才其实已经写过了，来看什么呢？来看第二题。第二题的话，特别关键的有两个条件，大家先看图啊， 已知 ad 是角平分线，就说图中呢，这两个角呢是相等的，并且 ef 是垂直平，你说垂直平分线我们可以 想到什么？垂直平分线，我们可以想到垂直平分线上的点到线段，两个点距离相等。所以这个题呢，当你看到垂直平分线以后，就应该直接连接这个 f a 好了，连接 f a， 你既然 f e 是重垂线的话，其实 f a 和 f d 是一样长的，我们直接写啊，因为 e f 我简写了，他呢是谁谁谁的他的重垂线，你既然是重垂线的话，所以说实际上 f a 就等于 f d。 原来这个问题他是让你证明什么呀？ fd 的平方，那我们现在不就转换成了 f a 的平方等于 fb 乘 fc 吗？如何转换成这样一个规则？好说呀，那接下来我们只需要证明什么？ 我们只需要证明 f a 笔上这个就很熟悉了吧，你把成绩关系改成这样的笔直关系，是不是？然后等于 fc 比上 f？ 哎呦，当我看到画圈的这一部分的时候，我就已经知道要证明哪两个三角形相似了，我接下来只需要证明三角形 f a c 相似于三角形 fb a 就行了。 那这两个三角形为什么相似呢？其实就很简单，我们倒两个角就行。看好了啊，同学们，第一个，哎呦，第一个的话，你这个角 b f a 等于角 a fc， 这是一个公共角，这个公共角当然可以用了，没有问题。那这个公共角完了以后的话，我们还得找另外一组角吧。这两个角差是不是相等了？没有问题，这是角盆盆线， 那得出来这个角平分线以后的话，我们标其中一个角啊，看红色这个角。红色这个角的话，请大家告诉我可以写成什么形式啊？我可以写成这样的角壁，这个 就直接写成角币了。角币加上两个角差的形式，外角关系吗？因为此时 ac f 是作为 acb 的外角出现的，你看外角等于不像这两个内角和。那我接下来再用蓝笔来标一下， 请大家来看另外一组角。哎，这一组角他具体是等于多少呢？有同学说，老师他的话应该也等于角比较上两个角差吧。然后为什么等于两个角差？你别着急，你看好了啊，这个其实很好。说 来，同学们，请大家告诉我，这两个蓝色的角相等，相等啊，中垂线两边这两个角肯定相等，你瞧，这两条边 fd 等于 f a 了，所以说两个底角相等吧， 两个底角相等的话，请大家告诉我，此时 a d f 这个角，那不就是一个角 b 加上一个角叉，外角关系，那上面 也是一个角币加上一个角差，所以一个角币加上一个角差的话，我再继续加，我再加一个角差，我此时此刻标的蓝色的角，那么就相当于原来这个角币角差。哦，我知道了，角币加上两个角差啊，所以经过倒角的话， 我们是可以得出来第二个结论，只不过第二个倒角的过程呢，稍微复杂一点点。 fc a 他是等于角 f a b 的，刚刚都等于角币加上两个角叉吗？你看， 那由圈一圈这两组角相等的话，两组角相等当然就相似了，然后沿着箭头往下写就行了，可以吧，我把思路呢给你理顺了，先逆推往下推出来，我们要证明的是谁相似，然后呢，再找这两个三角形里头的对应角，就可以 继续来看啊。那接下来我们再看一个坐标系里头的相似的问题，这个就特别简单了，我们看，因为这个角一等于角 二，然后呢，这个角 c o a 等于角，这个 a o b 这个是公文的直角吗？所以说这个三角形 o c a， 它是相似于三角形欧 c a o a b 的， 也就是说，其实我那个笔抽就不写我直接写这个成绩的关系，因为他是小题嘛，也就是说肯定会得出来这个 oa 方等于 oc 乘欧 b 的 ov 等于几啊？二的平方，那你这个 oc 是我们要求的，那 ob 是多少？ ob 是四啊， 那所以说我们算出来 oc 等于一吗？那既然 oc 等于一的话，所以说 c 点的坐标就是零逗号一。原来这个题呢，这么简单，那我们就接着来看下一个知识点了啊。 第三类的话，也是三个图，一共有四个图啊，还是挺麻烦的，前两个特别简单。第一个呢，因为 ab 平行，所以上下两个线条就相似，不多说了。 第二个的话，其实跟这个四点共圆也有一定的关系吧，跟这个四点共圆，因为你看了啊，首先角差对顶角相等，然后角 a 等于角 c， 所以我们马上可以得出来的是，三角形 a o b 相似于三角形 c o d。 有了这个相似之后的话，我们要写这个对应边的笔字，是不是这个 a o 比上 c o 等于 b o 比上 d o， 但是他考试时候，他一般的那个大题就不给你写笔字，他就写成成绩，也就是说 a o 乘 d o 等于 b o 乘 c o， 这还是挺有意思。实际上这个结论的话，就是其中一个原味定理的结论啊。 b o c o， 然后等于 a o d o， 就这样一个意思吗？ 那第三个图的话，还是继续要看。第三个图的话，其实也好说，你看，首先平行吧，那平行的话，你看 这个圈一和圈二两个三角形相似吧，然后圈三和圈四这两个三角形也相似吧。他经常让你证明什么呢？ 经常让你证明的是 a e 比上 b e 等于 d f 比上 c f。 那写成这种样子以后的话，你千万别看不出来。咱换一种写法，更比性质分子，比分子，它其实相当于它比上 d f 等于 b 比上 c f， 那写成这个样子以后的话， b e 比上 cf， 为什么呀？好说，因为他们都等于什么？都等于中间，中间这个焦点会写成点 o 吗？其实他们都等于这样的 oe 比上 of。 剩下我就不多说了，你自己就可以退出来 追。最后一个模型的话，他也会告诉你什么，也会告诉你这三条边两者之间是平行的，会得出一些有意思的结论， 比如说让你证明这个 ef 分之一等于 ab 分之一，加上 cd 分之一，为什么这三条边平行的时候可以得出这个结论来？我们来看题，有专门的题目来看第一个吧，第一个特别简单了，他其实就是柔和了。第一种情况啊，多画了几条平行线 看，嗯，首先看长度了啊，首先是平行的，那而且 m n 呢？他是中位线，已经告诉你是终点了，我们假设这个 ab 的长度是一， 那这个 mn 的话，他这个长度应该是几啊？那这个 cd 啊，先看这 od 的长度，是一比四，那好说， o a， od 一比四，那 abcd 不也是一比四吗？这是四， 终位线的话，这就是二了。那标完这个之后的话，要注意面积之比和什么三角形相似的话，他的面积之比和相似比是平方的关系。首先我们 看了啊，如果我们假设，假设谁呢？假设这个三角形 b， o a， 就最上面这个小的三角形，它的面积呢？是 x， 嗯，同样 x， 那根据一比二的相似比，所以说这个三角形 o， m， n， 那应该等于几倍？不是两倍了，是二的平方倍，等于四倍吧。那还有这个三角形 ocd， 他的话应该不是四倍，是四的平方倍，十六倍 x， 为什么？因为面积比是相似比的平方，所以我们接下来算完之后的话就很好说了，你看 你说十六减去，哦，那我知道了，我总的面积他是等于多少的？我总的面积呢？他是等于十六十六再减去四，那下边是十二啊，对不对？所以说你说面 知笔是多少？ abo 战纳 x， 我们算的这个面积呢，是十二，所以说这道题选 c 就可以了，对不对？选 c。 来继续来看下一个题，下一个题的话，你看就是最后一个模型了吧， 这个模型的话，为什么会有这样一个结论呢？我来说一下，大家来想啊，最后这个问题，三条线段对吧？你说三角形相似，他跟什么联系非常紧密啊？跟这个线段笔直啊，联系非常紧密，索性和左右两边直接改成他，其实相当于让你证明 ef 左右边成 ef 了， ab 分之 e f 加上 cd 分之 e f 等于一，只要证明了他就行，你说这个，哎，这个 e f 比上 ab 平行呢，太好用了。大家看这个圈一和圈啊，其实你这个圈一相当于谁呢？相当于三角形 c， e f 和三角形 cba， 他的相似笔是不是这个是没有问题的，所以说我可以把这个 e f 和 ab 的笔直转换成谁呀？我直接转换成这样的 c f 比上 ac 不就可以了吗？这个呢，是圈一。 继续来看圈的话也一样，我这个三角形 a， e f 和三角形 adc 是相似的， 那既然说这两个三角形相似的话，那我还应该转换成什么？所以说此时 e f 比上 cd 的话，我其实就等于什么？我就等于 a f 比上，哦， a f 比上 ac 啊， 所以我这个圈一和圈实际加起来是什么呢？所以实际上我加起来你现在应该懂了吧？他实际上就相当于 ac 分之 c f 加上 ac 分之 a f， 你现在不就分母一样了吗？分母一样了，我就可以写成 ac 分之，肉眼可见的。你说这个 a f 加 cf， 那不就是 ac 分之 ac 等于一啊。原来这个一是这么来的。所以这道题的关键是什么？ 因为想到相似呢，他一般跟线段笔直联系是非常紧密的，所以我们左右两边乘以 f， 接下来就简单了，对不对？就转换成这样的模型了，八字形。那我们继续来做一个非常类似的题目，这个第三题。 第三题的话，你千万不要被他迷惑了，我想说的是什么呢？我想说的是他的结论还是三角形 bed 分之一，他一定还是等于三角形 abd 面积分之一，再加上三角形 bcd 面积分之一。为什么会有这样的结果？首先，平行我就 不多说了，其次，你想啊，面积一般跟什么联系不开？面积一般跟高，他的联系是非常紧密的，对吧？扯不开这个关系，那既然是联系非常紧密，那我就做高啊， 过 a 点做什么？做 a h， 过 e 点做 ep， 过 c 点做 cq， 那其实非常一样，跟刚才这个括号二就结果一样了。什么呀？刚才括号二的话，我们完全可以利用同样的结论，这个 ep 分之一呢？ 同样的，他是等于这个 a 之分之一，再加上谁，再加上 c q 分之一。然后接下来你在转行中这样的面积比较容易了吧。接下来我就详细不多说了，你肯定就会了，自己要多想一想吧。那还有第四类和第五类模型呢？我们来看第四类一线三等奖。什么叫一线三等奖 呢？以中间这两个为例吧，另外两个的话会遇到题目。咱们来看中间这两个啊，什么叫一线三等？一条线上有三个相等的角吗？ 你看这个是不是相等的呀？然后呢？一线三直角，这不是也是一线三种角吗？对吧？那既然是如此的话，那我们来看一道这个中考原题。中考题目的话，我们看图中是一个正形角形，还有一个六十度， 图中的角差都是多少度？六十度，六十度啊，六十度。那既然是六十度的话，我想说的是三角形谁呀？三角形 abd， 他肯定是相似于三角形 dce 的，为什么我这么笃定呢？很好说，看了同学们，圈加叉是不是等于这样的一个外角啊，对吧？这个外角是圈加叉，根据圈 叉的话，你已经有一个叉了，所以这个圈不就出来啊。你看这两个三角形的一个圈相等，一组叉相等，所以相似吧。那相似出来以后的话，接下来我们要求谁好说，写成笔直吗？这个 ab 比上谁啊？这 ab 比上 dc， 他就等于 bd 比上 ce。 这个 ab 的话，我们看一下啊， ab 等于多长？ ab 等于九啊，这个 dc 呢？ dc 的话是三六九。那我就直接写了， 九比上六等于三，比上 c e， 所以我们很快算出来，原来这个 c e 等于二啊。这个题当然不是让算，这个 c 呢， a e 呢？ a e 好说，你下边是二吧，总长度是九，所以说最后答案这个 a e 呢，是等于九减二等于七的，所以最后答案就算出来了，这是中考的第十七题，是一个填空 问题啊。那好，继续来看。第二题的话，你看就是直角了，一条线上有三个直角，将直角顶点点屁，在线段 ab 上滑动，就是说点屁，他是一个动点左右是可以滑动，其他位置的点都是不能动的啊。我们标一下，除了这两个直角以外的话，还有一个长度是 ac 等于二， a b 的长度呢，等于十倍，嗯，然后这个 b 的长度呢？规定了等于八了，现在他让你求什么呢？他现在让你求的是一定记住了啊，这个角有已知条件，可以得是直角。 一线三等角的话，同样的道理啊，角圈加直角等于角圈加上直角，那去掉中间这个直角，这不就角圈吗？所以还是一线三等角，很容易出相似的，这个三角形 cp， 他一定相似于三角形 ppd。 那写完 这个相似以后的话，我们就直接写呗， ac 比上 pb， 他是等于 ap 比上 bd 的，现在求的是 ap 长度，我们就假设 ap 是 x， 那后边就是我们就是多少呢？就是十减 x 了，对吧？那我们带入呗，带入这个 ac 的话就是二， 这个 pb 的话是十减 x， 嗯，那么这个 ap 是多少？ ap 就是 x 啊，然后 bd 是八，那就算呗，老老实实算，十六等于十， x 减 x 方， x 方减十 x， 然后再加十六等于零，这个音是分解是非常容易的， x 减二，然后 x 减八等于零， 所以说最终算出来这个 x 有可能等于几啊？其中一个是二，另外一个是等于八，所以说 ab 的长度呢，有几个？有两个都得写，一个是二，一个是八，写完就可以了。 那接着来看下一个最后一种类型了，做平行线的这种类型，大家现在来看这个模型五啊，模型五的话，我先用红色部分画出来这个，这个在小学奥数的话，他叫什么呢？叫燕尾模型，或者说燕尾定理啊， 叫燕尾定理，但是到了初中竞赛的话，他叫什么呢？叫梅式定理，或者说梅念劳斯定理。大家知道就行啊，不知道也没有关系，如果你不知道这些定理的话，其实只需要做一条平行线就可以解决这种问题了。做平行线的话，关键是看点 c 和点地这两个点， 点 d 可以怎么样？可以做这样的平行线，它是平行于 bf 的，也可以做什么平行线呢？你也可以做 ac 的平行线， 对吧？好，那点子也一样，你不仅可以做 ab 的平行线，也可以做 df 的平行线。所以说一共有四种做法，用任何一种呢，都可以可以解决不同的问题。哈， 那我们做一道题来看一下吧。这个题怎么办？这个题的话，他是告诉你这个 a d 等于 a e 了， a d 等于 a e 的话，图中其实两个角差就相当，因为是等要三角形吧，等边对等角是不是？那我这道题的话，我首先这样，我做平行线的话，我做谁呢？我做这样的 cf， cf 谁啊？ cf 平行于 ab。 嗯，那做完这样的平行线以后的话，肯定是容易出这个相似的这个三角形，谁我们就直接倒角其实就可以了。首先角叉有了吧， 另外一个角叉，哎，你说我画圈这两个角叉为什么相等啊？因为他是平行内塑料相等，对不对？得出来这个平行以后的话，他看有什么笔啊，有这样的线段笔吧，线段笔的话，我们就写成什么写相似了，三角形 pc f， 他实际上是相似于三角 小型 pbd 的，那就写，所以说这个 bp， bp 比上 cp， 这是谁啊？就等于 bd 比上 cf， 就哪不一样啊，大家看就这个 cfccfc 相等吗？相等啊，你直接把这个 cf 写上 ce 就行了，因为两个角相等，等角对等，边等，然后三角形嘛，是不是就正完了呀？ 所以说遇到这样的燕子尾巴的形状，大家只需要考虑做平行就行了，不同的问题。嗯，平行线的做法不一样，反正也就是四种吧，一个是点地引出来的平行，一个是点四引出来，两组平行，一共是四组平行， 对不对？那么这节课我们就讲到这，你一定要回去以后多看几遍啊，分享康康知识，感受数学之美。我是杨帆老师，下节课再见！

这第六题啊，看第六题怎么去做了，他说根据圆规作图，就吃规作图是吧？他痕迹可以用直尺成功找到三角形的类型的是多少？这三角形类型是多少？他说 a、 b、 c、 d 四个选项对不对？问你哪个是 可以找到三角形的内心，是吧？所以大家看到这个题目，看到这个三角形内心，首先弄清楚什么叫内心，是吧？三角形的内心是指什么东西呢？大家想一想，怎么叫三角形的内心， 我们说是什么呀？三角形类型我们直白来讲就是什么，就是相当于找一个什么呀，就是这个三角形里面有个什么？有一个内切圆，对不对？有一个内切圆啊，这个圆呢，一定跟这个三角形的三条边干嘛呢？ 是不是相切呢？如果跟这个三角形相切呢？我们把它叫做这个圆，这个圆的圆形，我们把它叫做类型，是吧？只要保证这个圆呢跟三角形的三角边相切呢，我们就把它叫做类型。 说，所以呢，我们也是做草稿纸啊，我们在草稿纸再挥挥这个知底啊，就是三角形的类型，是这什么东西呢？说白了你就是要在这个三角形里面，假如说我这边画了个三角形 abc 啊，就是这个三角形里面画一个圆，对不对啊？画一个圆之后呢？保证什么特点呢？必须要保证什么？保证这个 圆跟这个三条边呢？刚好要干完，通通要相切，是吧？那怎么去保证他要相切呢？我们怎么做呢？怎么利用一个圆规，用一个尺子把它做出来，是吧？ 让大家想想我们老师怎么做的了，只要做一个内切圆，就是啊，这个内切圆的圆形就叫做三角形的内心啊，啊，这个怎么去做？利用一个圆规怎么去做呢？ 用了什么方法？我们老师怎么去总结的？叫做什么呀？是不是叫做用他的什么？是不是找他的角平分线对不对？ 是不是找任意两个角的角平分线，这边把 ab 或者做 abc 的或者角 b 的平分线，做角 c 的平分线，他们的焦点就叫什么呢？叫做类型，是吧？看看我们一会我们来总结一下原理是什么样的啊？ 那我们接下来是不要找做角平线呗，做角 a、 b， c 的角平线，就是做角 b 的角平线，对，那做角平平线怎么做的呀？我们回忆回忆做图，因为这种题虽然是个选择题。对，但是在我们考试当中还会做什么？还要出填空题说让你用吃亏作图去写步骤呗，是吧？那这个 我们怎么做的？假如说做角臂的角度线吗？我们怎么做的呀？他说是不以臂点，为什么呀？以臂点为圆心对不对？然后呢？适当长为半径对不对？做一个什么？假如我这做一个啊，做一个跟他的焦点对不对？以睫毛长为半径吧，做圆跟他 交易这个点对不对？我们再交易这个 a， b， c， d， 我要命一个字母啊，是 e， f 对不对？是 e f， a， b， c， d， d， f 啊， d f， 然后呢，我们找出 a、 b 两端的什么两个交点呢？对不对？然后呢？ 大于什么？一定要注意啊，这个要小心个问题，一定要是大于二分之一第一啊，因为什么要大于二分之一第，如果，如果是不大于二分之一第二，如果等于二分之一，第二有可能就在这交相交了，这边相交有可能在这边相 是香蕉了，对不对？所以我们一般是要大于尽量大一点，有有可能是干嘛呢？不准确了对不对？所以啊，有有可能还画不出来，是吧，所以尽量大一点啊，大于二分级立场为半径。对， 我这边肯定是比二分低低要大，对不对？所以我们这边做过圆，大做，做过圆啊，然后我这边做一个线是吧，然后这边以地点为圆形呢，这个为半径的。 这个月啊，就我的目的就是要做他的脚跟线的，这个不好看啊，就跟他橡胶是吧， 不能交交于这个点是吧，这是不是一条线呢？我们一会就可以做出来是吧，我们接着用尺子给他连起来啊，下面交于这个点，那我就把连起来呗。是，这是不是角并线出来了， 就是一定要注意，阿姨做谁的角平线就以谁为圆心，然后呢，实在的长度为半径对不对？做个圆，然后交于他的角的两边，对不对？两边线啊，这是胶线，角平线凿出来对不对？那个虽然也不是很标准是吧？对，然后呢，我们再看看 做角 c 的呗，再做这两个，注意一定是是两个的。什么是两个的？角平平的焦点啊，才是他类型啊，我们看看再做再做一个做角 c 的吧。角 c， 我们演示一下你刚才的 半径是吧？半径，半径以 c 为原先呗，做他焦点啊，以 c 为原先做他焦点呗。加入这个点啊，假如说这是连命的字母啊， e， 这是 f g 呗，是吧？这是 f g 啊，然后呢，已分别 e， f g 以 f 为圆形， f g 为圆形对不对？大于二分之一 f g 呢？为半径也是画圆对不对？画圆啊，你就看看它估计在哪相交对不对？你就再画个圆弧就行了。 然后呢，这边以 c 点为圆心对不对？以这点为圆心啊，左画圆大于二分之一画圆对不对？是不是？交于这个点对不对？ 就加入这个点，这个点相交的是吧？相交然后就连起来就行了是吧？用尺子啊，连起来就是吃亏做错一个特点啊，所以记住这类 类型，说白是注意啊，是角平分线的交点啊，角平分线的交点，然后交点画的来说还有点点误差。是，但我们大致只知道这个什么怎么来的就行啊，这，这就是我要求的什么类型啊？类型污点对做怎么去做的啊？我们一定要注意， 就是角平线，所以你要想办法找出你这个三角形，认取两个三角形的一个角对不对？做他们做两个角的角平线，然后他们焦点就是什么，就是我们说的这个类型啊。啊，类型我们来 检验一下，为什么可以是保证他相亲呢？我们知道角平线有什么特点，角平线上的点到两端点的距离干嘛呢？是不是垂直的呀？来我们看看啊，就稍微总结一下这个规律，有的同学就是，虽然我们记住这前面对，但是有的考试当中不会用啊，说白了我们就是要干嘛呢？ 叫过欧点做他垂直的呗，你看啊，为什么他是能相切啊，为什么通通跟他能跟着他们相切的呢？跟这个三角形的三条边相切呢？因为你会发现他们相切这个垂直，这个线是不是都是半径，是不是相等的呢？ 大家看看是不是？这个能理解吗？对啊，把这个原理给记住啊，就只要是角平分线啊，我们的角平线上，角平分线上的点呢？到两端的距离 是相等的，对不对？因为他角平线随着两段距离这个点，这段距离和这段距离和这段距离是不通过相等，所以这三条边是不是相等的？三条边相等啊，我们知道，这是不是就是圆形的啊？ 距离是不是就垂直？这是垂直，这是垂直。如果以这个为半径的是画个圆，是不是一定是相亲的呢？这个大家能理解吗？就是啊，所以我们找类型啊，就是做， 说白了就是什么呀？就是找角平分线的焦点啊，类型的话啊，类型说说明是角，角平分线的焦点，对不对？角平分线的焦点啊，角平分线的焦点， 对，所以大家做题目类似也是一样的啊，尽量是类型，是做角中线的焦点，就是类型。那除了考这个知点之外，我们再还回忆回忆，他还会考什么？是外形对不对？顺便我们把这个题目给理解扩展一下啊，有，有类型，有外形对不对？ 对，这是这道题啊，这道题他就考类型的，一会我们把答案选出来，我们先把这个总结一下，因为他有可能考类型，有可能考外形，是吧？啊？外形呢，是怎么去做呢？让他想想类型，我们这是角平分线的焦点，是吧？那外形呢？是谁的焦点呢？让他想想 外形是谁的？教练，外形是叫什么东西？说白了，这三角形的三个点呢，是在这个圆上对不对？是不是在圆上？那是不是相当于什么？相当于什么呢？是外尖圆是吧？相当于一个外尖圆，是不是相当于 是这个圆形到两个到三个点点的距离是不是相等呢？那是想到什么东西啊？就是想到这个 b c a、 c 的什么垂直平分线啊，所以一定要注意，要是垂直平分线上的焦点啊，所以外形是垂直平分线的焦点啊，做题的时候一定要小心啊，垂直平分线的焦点啊， 垂直平平线上的焦点，所以做题目的时候也是一样的，一个是外形是垂直平面垂直平平线的焦点，然后内心是角平平线上的焦点啊，注意，大家注意区别是内心是相相当于这三个顶点这个圆色啊，啊，内心是这什么东西？ 就这个圆呢？跟这个三角形三角边呢相切啊啊，要怎么保证他的相起来就是做这个角的，做三角形的什么角平行线啊？就任何两个角的平行线的焦点，就是叫类型啊，那这外形怎么找呢？就是找任何两边的什么垂直平行线的焦点啊， 垂直平行线上的焦点呢？就是我们指的是外线啊，所以这是大家可以跟刚才的证明是一样的，垂直平行线和正对比就是也是一样的啊， 是先做他的中心对不对？也是以什么大于这个二分之 b 层为半径呗，画两个，画两个，这边画个圆弧，这边画个圆弧，然后以这个大于二分之 bc 为半径，是吧？这边画，然后交于这个点，然后一垂直了，就垂直平行线画出来了。这是 垂直平平线怎么去画的啊？跟这个刚才讲东西有点类似啊，但是我们要把这个方法记住，外形是垂直 平行线的焦点，内行是指角平行线的焦点，是吧？所以我们看看这个答案应该选哪个答案，所以我们要找 是类型，他是角平平线，看看是哪一种方法。是做角平线，很明显这是以这个为原型，好像 b， 这个是我们的准确答案，对啊， a， 这个你会发现这个呢？嗯，做他垂直平平线的对不对啊，这个是角平平线是吧，这是垂直平平的 焦点，是吧？垂直平平线啊，所以这个是混的，应该是两个要都是角平平线的角平线啊，所以角平线很明显是 b， 对不对？ b， 这是我们要的准确答案，是吧， 看看大家能理解啊，这就是澳 b 这个选项啊，就是做类型的，就是找他们的小平分线交点，如果外形的话，就做他们垂直平分线交点啊，啊，像 c 这个选项就应该就是什么？就是外形啊，就垂直平分线交想垂直平分线， 垂直平分线的焦点就是这么做的啊，就是这么做的，是吧，所以答案是选啊 b， 大家弄清楚了吧，希望同学课后的时候把这个。

大家好，这节课我们来讲一下三角形的重心问题，什么是三角形的重心呢？三角形的重心指的是在三角形 a、 b、 c 中点， d 是终点点，一点 f 都是终点， 然后连接终点之后的话，这个 ad 就是中线了吧， be 还有 cf， 这三条中线肯定是共点的，会交于同一个点点 g， 那么这个点 g 啊，就叫做三角形的重心了。 那么重心有什么特点呢？除了三线共点这个性质之外的话，还有这样一个点，这一定是中心的三等分点，而且这个点这是靠近哪个点，靠近某一条边中点的三等分点，也就是说 a g 是等于 gd 的两倍的，这就是重心的性质，那么这个性质我们来看一下啊， 这重心定语是这么说的，这个定理在中考高考里头可以直接用的啊，三角形的三条中线教育一点好，这是第一 结论。然后该点到顶点的距离，实际上也就是刚才的 ga， 当然你要写 gb 的话也行，然后该点到顶点的距离是他到对边终点距离的二倍，那么这个点的话就叫三角形的重心了啊，这是他特有的名字。 那么关键是这样一个重心定理，他是怎么去推出来的，怎么去证明呢？初中生是可以做的到的啊，咱们讲两种证明方法，这个第一种证明方法是这么说的， 这样已知点 e 和点 f， 他已经是终点了，这两条中线肯定是会交易同一个点的，我们把这个点呢标为点 g 好了，两条中线肯定交易点 g。 第三条的话，咱们就不要这样说，不要直接说连接中线 ad 了，那应该怎么说呢？我们延长 aj， 你刚才这两条中线不是肯定交于点 j 吗？我延长终点，延长这个 a aj 之后啊，交于点地，只需要证明点地也是终点，也就是说证明 a 地是中线就够了。那好，现在呢，已经做完这样的，那辅助线应该怎么做呢？辅助线这样来做啊，告诉大家， 辅助线的话，我已经告诉你了，你找终点就可以，其中 h 点呢，是 bg 的终点，已经告诉你了，然后这个 i 点呢，是 cg 的终点。我们现在任务很简单，就是想证明延长 ag 之后，这个焦点点 b 是个终点，这是第一条啊，这是第一条， 然后第二条的话，你还得证明这样的比例，当然了，你只要证明了其中一个比例，其他就都一样了，所以其他我就不多说了啊。那好，咱先来看第一条吧，如何证明这个点地为终点呢？辅助线，因为我已经告诉你了，所以说辅助线里头最关键的啊，你看好这个 f 点和 h 点是终点， 那 fh 是谁的中位线啊？这还不好说吗？ fh 是三角形 b， aj 里头的中位线啊，所以 fh 呢，平均等于二分之一的 aj， 这是中位线定理， 那同理可得，这个 ei 不也是平行等于二分之一 aj 吗？这个 ei 的话，就需要看右边这一部分的三角形 cga， 你看 ei 是 cga 的中危线，那么根据中卫线定理也能得出来， 也就是说我们得出来了这两条线，一个是 fh， 一个是 eifh 和 ei 平且相等，一组对边平且相等，我们推出来了，谁是平行四边形啊？所以说我就直接写了啊，直接得到一个平行四边形 fh 二一好了。得到这个平行四边形之后的话，接下来我们的任务，你一定要记住我们的任务了，我们现在就想证明 明这个点地是终点，如何证明点地是终点呢？想一想啊，大家看好了啊，这三条平行线告诉我，他们之间的距离一样不一样，肯定一样啊，根据平行线等比例分线段，因为 fg 等于最爱，这是什么性质啊？ fg 等于最爱，这个是 平四边形对角线互相平分的性质。那好，所以说这三条平行线之间的距离是相等的。那么如，如果我过点臂再做一条平行线，我标一下 l 一、 l 二、 l 三， 你说 l 一、 l 二、 l 三，他俩之间的距离相等吗？他俩之间距离也相等，为什么？因为 fh 是中危线，距离肯定相等的， 同类可达 l 四。那你过这个点 c l 五，也就是说这五条平行线之间的距离都是相等的。那既然距离都是相等的话，根据平行线等比分线段， l 一平行于 l 三， 且平均 l 五，而且他们之间距离都相等，所以说此时点地他就是 bc 终点。这个平行线等比例分线呢，是在初三学相似之前就会有的，所以说初中生可以理解这种重点方法。 那好，第一条我这个点，这也是终点已经整完了吧，根据的是平行线等比例分阶段。那第二条，你接下来证明什么？接下来证明这个 a g 等于二倍的 g d 就非常容易了。那我们大概写一下，方法很多啊，我就讲其中一种。那你现在看好了， 这个就写成圈一吧，这个证明点，这是三，怎么点？那好，再接下来证明这个圈就简单了啊，大家看好了，我标一下， 看这同学们我画的这样一个红色的三角形里头，你看这个 hd 肯定是平写等于谁的一半啊？平写等于二分之一的 cg 吧，这个肯定都知道了，然后 根据的刚才的平行线等比例分析呢，我们也知道，实际上这个 fg 呢，他就是等于二分之一的 cg， 而且他跟 cg 是贡献的，也就是说由这两条我们可以得出来，这个 hd 平行且等于谁啊？ fg， 那既然 h d 和 f g 平且相等的话，也就是这样一个平行四边形不就出来了吗？所以说出现了一个平行四边形 f h， d j 出现了这个平行四边形之后，那剩下的我想就不用多说了吧，所以说此时 d j 就等于 f h， d j 等于 f h 的话， f h 刚才已经说过了，他就是等于二分之一的 a j， 所以说我们换一下，不就相当于 a j 等于二 v 的 d j， 然后就证明完了吧。实际上还有另外一种更简单的方法，但是这种方法的话，需要你学过数学竞赛里头的。嗯，边缘赛啊 定理才可以，准确来说是边缘赛瓦定理的逆定理，这个的话我之前也讲过，有兴趣你可以看一看啊。那好，这个赛瓦定理啊边缘赛瓦定理是这么说的， 你看，因为这个此时啊点 f， 点 d 和点 e 都是终点吧。那显然 af 转圈啊，顶点指的是三角形顶点，分点指的是终点， def 是三个终点。分点嘛，顶分分顶， 哎，再乘顶，分分顶。那就是 b d， d， c 再乘顶，分分顶 c， e， e， a， 它成绩肯定是一，为什么分子分母相呢？一吧一乘一乘一。所以说根据边缘下法定理的逆定力。这时我们直接说三条中线， a， d， b， e 和 cf 供点就行了。这个点呢就叫做什么？就叫做重心。那好了，分享课堂知识。刚数学之美，我是安帆老师，下期再见。

你知道吗？在我们每一个人的三角形里，也是说我们的人生说明书里都会藏着十二组神奇的联合马，所以今天我们将一一的把它拆解出来。那我们首先看到在我们的三角形的啊，左边部分 会有一组，我们先看到了一组八四三啊，有八四三，累计出去我们再看，有一组四三七，还有一组八三二，所以我们首先把这几组先给他找出来，第一组联合码是八四三 啊，这是第一组八四三，第二组呢是四三七，也就是四加三等于七啊，写着出去我们第二组是四三七，这是第二组，第三组是八加三等于二啊，这一组啊有点拐，但是也很清晰的能够找到第三 三组啊，是八三二，第四组是外面的，这一组是二加七等于九。对，第一个加数是二，第二个加数倍加数是七，所以七二加七等于九，所以第四组出来了二七九， 这是左边，左边找到完了以后再找到上面的部分，也就说啊，三加七等于一，也就是我们通常讲的一个人的坐镇吗？啊， 做这马是非常重要的，当然了，核心的是我们讲他的主性格嘛，也就是他是几号人，在这个个案当中他就是一个一号人，所以三角形里面最上面的位置就代表他是几号人，所以 这个一怎么来的？是通过三加七得来的，所以这组是第五组啊，也叫三七幺，是第五组， 那三加一等于四斜的这一条，我们叫第六组啊，三幺四啊。再看这边左这个右边七加一等于八，这也是一组第七组啊，是七幺八， 这是七幺八。完了以后我们再看，上面还有一组叫八加四等于三，所以这是第八组联合码啊，等于八四三啊。 右边我们再来看右边的部分啊，右边的部分是一加六等于七，这是第九组一六七啊，一加七等于八，这是第十组 幺七八。第十一种是六加七等于四啊，六加七等于四，所以第十 十一组是六七四。最后一组也就是三角形的最外领内外侧的一组就是第十二组，这个八四三 八四三啊，所以十二组联合马我们就找到了，你学会了吗？

三角形很多的时候，到底应该怎么查？快来看看你会不会将一个等边三角形各边四等分后，再连接相应线段，得到下图。你知道图中共有多少个三角形吗？ 这个图非常复杂，里边大大小小的三角形很多，如果想查出有多少个三角形，我们要做一个合理的分类，仔细观察会发现啊，这里三角形呢，有长成这个样子的， 也有长成这个样子的，他们的区别在于，有的是这个顶点是朝上的啊，有的是这个顶点朝下的， 这个事情分清楚了，我们也不要着急查。除此之外，我们会发现啊，除了这样的顶点朝上的，我们还有更大一些的，也就是说他可以 由一个小块组成，也可以由一二三四四块组成，当然也可以由 这么大块啊，在这个四块基础上，补了一二三四五，也就是一共是九个小三角形组成，当然还有最大的那个啊，在九的基础上，再加一二三四五六七，也就是最大的是十六块。 好，这个是顶点朝上的，现在我们来看一看，顶点朝下的有几种，把这些擦掉， 丁点朝下的有一块组成的，我们画一下 也可以有四块， 除此以外，我们就没有其他的画法了。现在开始正式的来查一查三角形有多少个。首先我们来看一看顶点朝上的，且只有一个小块组成的， 第一行有一个，第二行，两个，第三行呢？三个，第四行四个，所以我们写一加二加三加四，这一共是十个。 再看一看，以四个组合的，首先这一部分，一个、两个、 三个、四个、五个、六个，所以说这应该写六，我们再看一看，有九块组成的， 把多余的擦掉，九块组成的可以是这个一，也可以是这个二三，所以呢它有三个， 最后一个最大的这个 v 一的。好，这样顶点向上的呢？我们都画出来了，再看一看顶点向下的，顶点向下的在第一行是没有的，这是有一 一个、两个、三个、四、五六，所以说它有六个，再看一下由四块组成的， 通过观察你会发现在这里只有唯一的一个画法，就是在这个位置，其他地方呢都不能画， 所以有一个，现在我们把这些加在一起，看一看总数是多少？十加六，加三加一，再加六加一，最后的结果呢是二十七个，你学会了吗？

这个视频咱来讲讲中位线。什么是中位线呢？就是三角形中任选两个边的中点，这么一连就是中位线了，显然选这俩中点，这么连也是中位线，这俩中点的连线也是中位线。 那三角形就有三条中位线了，两个终点相连，就是中位线的定义。知道了啥是中位线，你还得知道他有啥用？你猜这条中位线跟这条边，也就是 d、 e 和 bc 在数量上和位置上分别有啥关系？几何中经常问你这两个关系， 所谓数量关系，其实就是大小关系了，比如他俩相等，或者谁是谁的几倍之类的。而位置关系呢，一般就是平行或者垂直，显然这两条线的位置关系应该是平行的。那数量关系呢？看着像是一 ok， 那第一就等于二分之一 bc 以及第一平行 bc， 这其实就是他俩的关系。可是怎么证明呢？这俩都是终点，关于终点，你能想起来啥？辅助线？对喽，备长， 你把第一这么延长出来，让这两段相等，得到 f， 再连接 cf， 这两段是背长的，而点一是终点，这两段也相等。这明显就是个八字形全等的结构， 是三角形 aade 全等于三角形， cfe 判定肯定是 sas 有了这对全等，自然这两条对应边相等。 哎，这俩对应角也相等，那这两条边就是平行且相等，是 ad 平行等于 fc。 其实咱学了平行四边形，这个结构刚好就是对角 互相评分吗？那他就是个平行四边形了，自然有对边平行且相等。既然这两条边平行且相等，那这两条边肯定也是平行且相等。哎，那他不就是个平行四边形了吗？ 这两条边就平行且相等了，这两段相等，那就是二倍的第一，平行等于 bc， 这就搞定了。 你看背长之后获得了个平行四边形，有了这对平行且相等，然后换到他俩是 db， 平行等于 fc， 再得到这个平行四边形，也就是 dbcf 就挣出来了，第一刚好跟 bc 平行，同时他又是他的一半。也就是说，我告诉你 d 一是七，那你就可以知道 bc 得十四。这就是中蔚线的性质， 是不是很好记？那就来个小题试试呗。在这个平行四边形中选 bc， 终点 e， 那 oe 是哪个三角形的中位线呢？嘿嘿， o 是这条线的终点， e 是这条线的终点， oe 显然是这个三角形的中位线， 显然欧意也是这个三角形的中卫线。那如果我告诉你欧意是四，那这两边的长度你能穷吗？对喽，他俩都是欧意的两倍得八。 题目做完了，总结一下，三角形两个终点连线就是中位线，他跟第三条边平行，而且等于他的一半。好了，为师这就讲完了，图案们速速刷题去吧！

关注张老师学数学就是玩！再来看一道尖子生产啊，关于三边关系的证明题啊！如图， d e 是三角形 abc 内两点求证， ab 加 ac 大于 bb 加 de 加 ec。 让你求证 ab 加 ac 这两条边大于这三条边之和， 这一看又是没法正，没法正干嘛？是不是又要做辅助线，把那个过渡编做出来？怎么做？来，咱们做一下啊，咱们分别延长第一啊，交 ab 鱼 m 点叫 a c 与 n 点吧，我们为什么这么做？来，咱们来看啊， a b 这条边我是不是分成了 a m 和 m b a c 这条边分成了 a n 和 n c 来， a m 和 a n 这条边是不是大， 大于 mn 啊？大于 mn mn 这里边既有 de 我们要求的那个边，还有 dm 和 en 这两条过渡编，这两条过渡编我们大于的话，这两条过渡编是不是在这个大于号的右边？ 好，同样的道理，还剩下 mb 和 nc， mb 加 md 是不是大于 db， nc 加 ne 是不是大于 ec？ mb 也有了， nc 也有了，同样 db 和 ec 也有了中间的这个过渡边， dm 和 en 是不是这个时候在不等式的左边啊？ 他们一相加的话，左边也有 d， md 和 en， 右边也有 md 和 en， 是不是这两条过渡边就可以抵消掉？剩下就是我们要求的那个结果？来，咱们来 来写一下啊，证明延长第一，分别交 ab， ac 与点 mn， 因为 am 加 an 是不是大于 mn 啊？ 好，这个三角形里边 mb 加 md 是不是大于这个 bd？ 同样的道理，这个三角形 nc 加上 en 是不是大于了 ec 这三个式子都是大于号，我们把这三个式子一二三我们相加，所以一加二加三得到什么？是不是 am 加 an 加 mb， 加 mb 加 nc 加 en？ 来，咱们 看啊， am 加上 mb， 这是不是 ab， 对吧？ an 加 nc， 是不是 ac 还剩一个什么？是不是还剩一个 md， 还剩一个 en， 对不对？好，这边呢？大于什么？这边 mnbdec， mn 可以拆成什么？是不是 md 加上 d， e 加上 e n， 然后再加上这个什么 b d， 再加上这个 e， c， 对不对？等不等？射在两边同时有 mdmd， 我们是不是可以消掉 en？ en 是不是也可以消掉？所以最后剩什么？所以最后剩了 a， ab 加 ac 大于什么？大于这是什么？ bd 加 de 加 ec， 对吧？这样就解出来了。所以说，看到啊，看到这种又是没法直接挣的，这种啊，还是要做辅助线，做一条什么？做一条过渡边，这个过渡边呢，存在是帮你构成三角形三边关系的一个非常重要的一个条件。 你看这个题，我们构成了这个三边关系之后，我们既让这两条过渡边在不等式的右边，又让两条过渡边同时在他的左边， 像左边右边都有的话，一抵消，剩下这个柿子我们就推出来。好，这个题咱们今天先讲到这啊，关注炸老师学数学就是玩下课。

我们来看在这个图形中，怎样能快速的找到所有的三角形呢？ 那么这里我们用找脚的方法去找。先看三角形 a、 b、 c。 看这个大三角形中有几个小三角形，一、 二、三、四有四个小三角形，那么他一共的三角形个数就是四加三加二加 一，四加一是五，二加三是五二五一十 是十个三角形。接着我们再看三角形 a、 d、 一。这个大三角形中他同样有一、二、三、四四个小三角形，那么三角形的总个数也是这种方法，还是十个。 接着我们再来看大三角形 a、 d、 f。 这个大三角形中同样含着四个小三角形，那么三角形的总个数还是十个。 那现在所有的三角形都找到了吗？显然没有。还有三角形 d、 e、 f。 这个三角形中我们看有几个小三角形，这是一个、 两个、三个，再加上最大这三角形四个，那么这个三角形中一共藏着三十四个三角形， 三十四个。这样我们就快速的找到了这个图形中所有的三角形，不重复，不遗漏，这是一个很好的数图形的方法。

大家好，我是钟老师。今天呢，钟老师先给大家讲的第一道题是利用全等三角形的定义，指出全等三角形中的边边并角。 我们从题当中可以看知三角形 ab 和三角形 acd 全等。那可以看到 a 点是一个公共的顶点，而角一等于角二，那就是一点和一点是对应的， 一点和一点他是并关系。然后角 b 等于角气，那一点和气点是对应的。由此我们从题中可以得到的是三角形 a、 b、 e 全等于三角形 a、 c、 e。 那这时候我们利用这样的一个对应关系，我们直接就可以写出 顶边一个是 ab 等于 ac， 那就是 ab 与 ac 是对应的。那么第二个就是 b 和 c、 e、 e 与 c、 d。 第三个是 a、 e 与 a、 d 是对应的。 好，接着我们再来写并脚 听角。我们知道题当中说角一等于角二，那么第二个就是角闭于角 细哎，因为角一与角二相等，所以角一与角二是等，角 b 等角细，角 b 与角系。那最后一个就是角 e， a、 e 与角 c、 a、 d。 那么这里边的对应关系一定要表达清晰确好，这是第一道题。

同学们大家好，今天咱们来学习四年级数学下册速教版第七单元。第一节认识三角形， 咱们先复习一下，找出下面图形中的三角形。第一幅图金字塔，咱们可以找出一个三角形，那就是金字塔的一个面的三条边， 然后自行车，咱们找一个三角形出来，这里自行车的大梁， 再看大桥，那么这里咱们找出的三角形就是桥生，然后加上两根掉 抱着桥的绳索。咱们再看一下，这是一个房屋，外面有个空调挂机，咱们找到一个三角形，就在这里空调外机的支架，它是个三角形， 这是咱们生活中常见的三角形，咱们今天来学习一下，一画一个三角形，说一说三角形有什么特点？好，大家都会画三角形，那么它有什么特点呢？咱们来观察一下， 首先咱们看这句话，三条线段，首先它是三条线段，然后是三条首尾 相接，同学们看首尾相接，首尾相接都有相接的地方， 围层的围层的图形叫三角形。三条线段，首尾相接，围层的图形叫三角形，那么它它有什么元素呢？边，这三条线段就叫三角形的边，它有三条边， 那么首尾相接的地方，它就会形成角，所以三角形有三个角， 每一个角它都有一个丁点，所以三角形有三个丁点。 来咱们再看一下， 从四个点中任意选三个灯点，能画出一个三角形吗？同学们，咱们观察一下，这里一号点，二号点，三号点， 四号点，咱们刚才已经知道一个三角形，它有三个灯点，那么咱们随意的找三个灯点， 三个点作为丁点，他能不能画出三角形呢？咱们看一号、二号、三号点，能不能一号、二号、三号他可以画出三角形，那么一号、 一号在上面，那么咱们看一下二号、三号、四号，他能不能二号、三号、四号连起 来，它是一条直线，它不能构成，不能构成三角形， 所以咱们就知道三角形的三个丁点不能在同一条直线上。 同学们看二号、三号、四号他们在同一条直线上，所以就是不可以作为顶点画出三角形。那么一号、三号、四号可不可以呢？当然可以将一号跟四号连起来，那么一、三、四，这又是一个三角形。 来继续，我来判一判下面的图形是三角形吗？为什么？第一个老师说他不是， 为什么呢？三条线段首尾相接，这两个地方它没有接起来， 所以它不是。看第二个图形，它也不是，它也没有接起来。第三个图形它接起来了，但是有一条它是曲线，不是线段。 第四个图形，三条线段首尾相接组成的图形就是三角形。第五个图形，三条线段只接于一个点，它不是三角形。 第二，你能聊出图中人字聊的高吗？同学们看人字聊的高，这是一个房屋的大聊人字聊 它的高在哪里呢？就是在中间这个位置。哎，咱们把它标出来蓝线，这就是蓝线，垂直于这个房屋的水平面，所以这个蓝线它就是它的高， 那么咱们可以聊一聊它，这里老师就不聊了。第二，三角形的高，刚才咱们说到了人字料的高，那么这个三角形它不是一个人字料，因为它是一个不规则的三角形，那么它的高该怎么画呢？哎， 同学们看，这就是他的高，那么咱们来怎么描述他呢？从三角形的一个丁点到对边的 垂直线段是三角形的高。同学们看，首先咱们要清楚，垂直线段是高，也就是说三角形的 一个高，他就是一个垂直线段，谁的垂直线段呢？一个点点到对边的垂直线段，放到这个图里，咱们知道这里四个点点，老师把它描大一点，那么他到他的对面 对边，那么下边这条边就是他的对边对边的垂直线段，垂直线段在这里，这里是垂直符号垂直线段，那他就是 这个三角形的一个高。同学们，明白了没？这条对边是三角形的底 底，咱们看，再看这句话，这条对边是三角形的底，那么这条红线是高，那么这是顶点，顶点到对边的垂线是高，那么下面这条边叫啥呀？叫底，咱们记住， 下面这条叫底，来画出三角形底边上的高。同学们看，已经告诉咱们底边在这里，那咱们找到他对面的点，在这里做一条垂线，好高，做出来了 一个丁点，到对面边的垂线就是高，那么这对面这条边就是底。咱们看这句话， 从三角形的底所对的顶点起，向底边画垂直线段，这就是画三角形底边上的高的方法。哎，咱们从图里找找，从三角形底边所对的 点点起，底边所对的点点起，从这里起，向底边画垂直线段，向底边画垂直线段，那么这条垂直线段就是高，就做出来了。是不是很简单？来 来，同学们，这是底，那么从底边所对的点点向这个底边做垂直线段，那么这条线就是高，那么咱们 剩下来该这个底了，这个底， come on。 从这个点点做垂直线段又是高，所以三角形一确定一个底就能做一个高，确定一个底就可以做一个高， 所以咱们可以做出三条高线，三个底他们都是对应的，自己的高跟自己的底是对应的。 a、 d， 练一练，哪些是三角形，哪些不是，为什么啊？第一个，它是为什么三条线段首尾相结组成的图形是三角形。第二个 不是，为什么他是曲线，曲线，同学们，曲线跟线段是有区别的，所以他不对。第三个正确，跟咱们的定义相符， 第四个正确。第五个，同学们看，这里又出现了一条曲线，所以也是错误的。 来画出下面三角形个边对应的高，同学们，看个边对应的高。哎，咱们画第一个， 以这条边为底，以下面的为底，那它的高就是哪里呢？它的对对面的顶点的 向它做垂线，好跟这条底跟这条边重合，这条红线它就是它的高。那么如果以 这条边为底的话，那么做垂线就从这个点点开始做，它的高 就在这这条红线，如果以这个斜边为第一， 以这个斜边为底，那么做做画他的高，那就是从这个点点做垂线，这就是他的高。同学们发现这是一个直角三角形，直角三角形他其中的 两个高就是它的两条边，他们重合了，那么斜边这个长边的 高可以画出来，不重合就是它剩下的两个高，它是重画的。哎，咱们再看第二个图形，这是个动角三角形，同学们看，这里有个动角，那么他做高的时候又稍微特殊一点。 大家看，如果以这条长边为敌，咱们坐高就从这个洞角的点点画垂线完成，很简单。那么如果要是换一下，以左边这条 b i 为底，或者右边这条点为底，那么从对面做垂线该咋做？同学们看，这叫行外高。什么叫行外高？就是图形外面的高。同学们看，先将 两个底延长，这黑色的线就是延长线，然后在他的对面的点点上做垂线。同学们看， 这个垂线垂直于它的延长线上，这个垂线 垂直于它的延长线上，这两个高就是弦外高。在图线外面， 通过本科学习，你有什么收获？咱们首先学习到了什么是 三角形，他有什么特点，然后三角形的高是什么？然后三角形的高怎么做出来，怎么画出来。还有一个特殊的高是直角，三角形的两颗高，还有钝角，三角形，形外高，同学们都要注意一下。

五年级数学三角形的高在哪里？大家好，很多学生在做三角形面积计算的时候，总是把底和高搞错，今天老师教大家一个方法，很快可以找准底和高。我们来看三角形，他有三边，有三个顶点，我们准备好一块三角板， 他要转一条边为底，我们拿哪？拿直角，拿直角去对好这个边，先把直角对齐，一条边直角他有一个直角，有两条边，一条边对齐，你要到底，另外一条直角边一定要是对齐另外剩下的第三个顶点好，那么这一条边上的线的长度就是他的高。 同样的道理，我们要是把这一条边看成底的话，直角直角有两条边，拿一条边去对齐这一个底，另外一条直角边一定要对齐第三个顶点，你看这里一个两个用掉了，那第三个在这里一定要对齐第三个顶点，去把他的高给画出来，这条线跟他垂跟底垂直，就是这条边底上的高，底和高一定要是直角， 一定要是垂直关系啊，这是内角三角形第三条边，大家可以自己去做，自己去找直角三角形，我们来看直角，他本身有一个直角了，那我们按照刚才的方法去摆，你就会发现他有两个是重合，你看这里已经重合了，已经跟直角重合，那这条是底，这条就是高。反过来如果把这条看成底了，这条就是高，那斜边这条对长边上的高，怎么去找呢？还是用我们刚才的绝招啊， 直角直角的一条边对齐，这条线段你对齐，把它对齐之后，那直角不还有一条边吗？另外一条边你看你如果是没有对准的话，我们慢慢移动，慢慢移动，一定要让他对齐第三个顶点，把这条垂直的线段给画出来，那么他就是 鞋边上的高了，这条就是鞋边上的高啊，最难做的呢，是最容易出问题的，就是钝角三角形的高，很容易出现问题，我们来看，按刚才的方法，还是按刚才老师教你的方法啊？直角三角板的直角，这个直角一条边，一条边去对齐他的底，你看对齐他一条线段，他要的，如果是这 一条底他给到你，你要去找他的高的话，我们一定是移动你的三角板，移动三角板，这样沿着这根线去推动去移动，让另外一条直角三角板的另外一条直角边去对齐第三个顶点，那么这个就是 以对边为底的高，那后面这两条呢，是找高最难的一种方法，我们还是按方法来，你看啊，摆好这块三角板，一条直角边，摆好对齐这条边，然后呢我们去一 移的时候，很多同学移到这里的时候呢，就犯错误了，就移，不敢移了他我们要检查这条边有没有对齐第三个顶点，第三个顶点在这里啊，他没有对到，所以我们继续要往外移动，往外移动，注意不要离开这条线啊，在你移动的时候，因为你外面没有，我们这个时候可以把它先补起来，把它延长出来啊，继续往前移，当他移到跟这个顶点对齐了，当 好对齐的时候，把这条线段给画出来，那么这里就够出来，你看把直角板打开，这不就是一个直角吗？那么这个就是底，这条就 是高啊，同样的道理，大家还是拿你看这个沙雕法，你看直角，如果是把它换成这个的为底呢？如果要把这个当成底，那他的高在哪里呢？一样的道理，我们 平那慢慢的移，沿着这根线去移动，没有的地方呢？我们就把它先呢，把它向外先延长出来，把它往外面画一点点啊延长，我们要一定要怎么样啊？对齐第三个零点，那么这条线就是他的高， 如果在隔着纸上我们也是这样去找，找到对应的底，乘它对应的高，这条底上的高，底层高除以二才是三角形的面积，你听明白了吗？