2022高考立体几何20题

立体几何当中最伟大的定理啊，我认为是三出先听，没有之一啊，尽管他不能再大提他们去使用。 高考当中出现的非常频繁啊，尤其是些小题啊，当然我们在二卷当中叫大题啊，也用到这个，还是先来进行一下这个素质的一个提升。好吧，来看一眼这个 图哈，就是什么叫三锤线定理，他讲的就是说对于一个平面啊，阿尔法还有一条这个他的斜线啊，也是说跟他斜交，那么我们判断这条斜线跟这个平面的一条线 m 啊，是不是垂直一面直线哈啊，我们用的方法叫这个三锤线定理啊， 你是什么内容呢？就是说我们可以先做这个斜线在这个平面的一个投影啊，比如说做出来的话呢，叫做 n 的话，做完之后的话呢，我们要证明这两个垂直，我只需要证明说 m 和 n 如果垂直的话，哎，就能得到这个 斜线跟这个线垂直，也就是说六个字叫线射垂，线斜垂。什么叫线射垂？就是说这个 n 跟你的摄影 m 垂直的时候啊，不要反了，就是 m 跟 n 垂直的时候啊，你能得到啥呢？你能得到我们这个 m 的话呢，也会垂直这个斜线 l， 好吧，这叫三垂线定理哈。呃，那么为什么成立呢？因为它的本质是这个，你看摄影是怎么出来的呀？本质集市就是你就要做摄影，你要做线面垂直啊，对吧？所以你这个地方也会有一个这个线面垂直出来啊，这个线垂直这个面，那么这个红线他会垂直这个 m 呀，哎，你这个摄影又垂直这个 m 的话，那你看你这个 m 不就垂直这个面了吗， 其实这个面的话他当然会出于这个斜线啊。哎，这就是这个情况啊。那么当然我们肯定在大题上不能直接用啊，小题当中却这个经常使用啊，就是找投影对吧？转换成找投影跟他是不是垂直的这么一个问题啊，在大题当中你就证明一下 然后下面垂直就可以了，就像我们刚才说这个你证明他跟这个摄影和这个垂直就可以了吗？啊那我们看这道题哈，这道题的话呢，他是这个二十题的一个位置啊，倒数第三道道题啊。 呃还不是那么好搞哈，因为他图形其实不不是固定的啊，你看一看就是 pu 是垂直于这个就高啊。垂直这个底面 abc 啊，底面 abc 也给化盆诡异啊。 p 是等于这个 pp 的啊，等幺，然后你看他说 ab 这个垂直有 ac 啊，有朋友说这是什么破烂玩意怎么垂直的吗对吧，你可能立体感不好的同学啊，这个就看到你是 莫名其妙的啊啊会有这种感觉啊，待会的话我会告诉你这个处理方法。好吧，那么这样的话他说一是这个终点啊，他让我们证明的是说这个欧意啊，平行这个平面啊，下面平行啊。其实你读完题之后的话这个图大概是什么情况还是要知道一下，就底面 这个直角三角形呃尽管看上去很别扭啊，那 pu 垂直于底面，但是欧点他没有告诉我们落在哪了哈，落点在哪没有告诉我们哈，就是你看就给了一个等腰，事实上这个图形是你看很多东西都不确定，你明白吧， 这就会让人有些糊涂的哈，但是的话呢，我们呃步步派来往也只能这样哈。你你，那你就开始去做题啊，你看，然后我们说欧一平行这个面，那你正常分析吗？欧一平行这个面的话呢，那么你可能就是说证明欧一平行这个面的一条线啊，然后这样怎么去找呢呢啊然后的话我们的找法是可以这样子啊，就是 如果你实在不好找的话啊，你可以过欧一做一个面，跟我们这个 pac 的话呢，有个胶线啊，他一定跟这个胶线是平行的啊，这是线面平行的性质对吧，所以你看我可以过欧一的话做个水呢，哎，你跟这个 b 连起来延延长过去，这样话他跟这个地方，你看 f 话啊，跟 pf 一定是平行的，你只要这样做呢，也可以哈啊，但是我就不讲这种方式的啊，因为我觉得这种方式还是没那么顺畅的啊。我们讲另外的就证明线面平行，还有另外的方式是啥呢？还可以构造面面平行两种方法吗？对吧 啊，所以这个面面平行的构造那么一个就是 oe 吗？对吧？再一个就是终点哎，所以我们可以怎么样呢？哎，再找一个终点中卫线平行这些的啊，你再结合这个 ppp 相等啊，等摇啊，所以我们终点互之于处了吧。应该是 ab 这个终点对不对啊？ 好，那我们就取出来终点哈，然后连起来 of， 然后 ef， 那么这我只需要证明这个 oef 这个面跟这个 pac 平行就可以了啊，那这样的话呢？ ef 啊，因为你取的终点他已经平行 pa 了， 所以这个地方的话呢，我们已经有一个条件了啊，那我们只需要的话呢？是什么情况呢？哎，只需要说再找到这个 of 也平行于这个面就可以了，那 of 在底面这个面，那他只要平行于 c 就可以了，那这个 垂直，你只要 of 跟这个垂直就可以了。怎么整垂直？ pu 又是垂直这个里面的，所以这个 of 像那个摄影一样的呀。啊？你的斜线是谁？你的斜线是不是这个 pf， 对吧？哎，所以我们只需要证明说这个 pf 哈，就这个 pf 这个地方跟这个 ab 垂直就可以了， 那 pf 是否跟这个垂直呢？哎，你这个是挡腰啊，那不就是三线和一不就整完了吗？还有这个题，你看这不是做完了吗？这就是三线定理的一些应用吗？对吧？这个逻辑性非常强哈，我们写下过程啊， 大致写一下哈，就是主要是先证明一个线面垂直啊，这个地方啊，呃，像 pa 垂直这个 ab， 你要先写一下 pa 垂直这个底面嘛，对吧？我就不再写了，这样的话，你看就可以证明出来这个 ab 垂直这个面，那么这样的话呢？是 ab 垂直这个 of， 那这样的话呢？你看 ac 也出于这个吗？啊？所以的话，我们说他平行，平行的话，你看这两个都平行啊，然后的话，你看这个 of 平行这个面呢？啊，其中的话呢，要说明一下，他俩相交哈， 两条香蕉线平行这个面，所以就这样面面平行，这样就在这线面平行，好吧。啊？再看这个第二问哈，第二问是这些数据都给了哈，因为把这个图给他确定下来，然后我们求这个二面角啊，就这个 c 杠 a 一，还有这个 b 啊，所形成的一个平面角的正选址。好吧， 这道题的话呢，一般情况就要间隙的啊，传统方法不是很好做了啊，但是间隙坐标的话呢，你要写好啊，写好的话，对这个图他大大概是个什么情况啊？我们要认知的比较清楚一些啊，其实这个图不是很好看的，所以的话呢，教大家一个方法，我们可以干嘛呢？可以找个载体啊，就把它放在哪里呢？放在长方体或者正方体当中去 啊，这样的话呢，你看起来啊，就会舒服很多哈，我们来画一个试试啊，我们来看一下怎么去镶嵌进去的哈，就是先画底面啊，底面不是直角三角形吗？我们假设 a 在这啊， b 在这， c 在这，你看，哎，他就是一个这个直角三角形，你把这些什么连起来，对吧？啊？然后的话呢，我们有必要把底面重新在这个 面头画出来哈，确定欧的位置哈，因为他讲了，你看这个地方是这个连起来之后，这有两个三十度，这就是六十度啊，这个其实就是三十度，对吧？你把欧确定下来哈，欧的话，实际上是 of 在 ab 的重垂线上，那根据提倡这个条件，他有在这个角 b 的角平分线上啊， 这样的话，我们就画出来这个欧点哈，然后接下来给他给的一些数据哈，比如说像这个三和四哈啊，你把这个欧一点起来的话啊，你看你这个欧一就可以求出来哈，欧一的话呢，我们说他应该是什么呢？这是五吗？这是三吗？这不是四吗？对吧？ 啊，然后的话再根据啊，这些角啊，你比如说这个角啊，他等于这个角吗？这是三十度吗？所以说的话呢，你看这个 of 这些 af 都可以求出来了啊， 是一个是二，一个是二倍钢化三，所以 ab 其实是四倍钢化三啊， ac 的话呢，是他钢化三倍啊，就四倍钢化三乘以钢化三啊，这是十二，对吧？然后的话这是欧点的一个位置放到这啊，然后接下来的话，你看 ppo 出去 这个底面吗？所以你看 pu 做一个这个 p 大概在这么一个位置啊，那么接下来就差不多了，这个图你看你就是重新认识了一下，比这个舒服多了，对吧，这个图实在是太糟糕了啊啊，我们就重新认识一下，然后你去间隙啊，各方面也比较好弄了呀，对吧？你看你这个间隙的话呢，我们显然可以是什么呀， 哎，我以 a 为原点，对吧？这个地方的话呢，我以 s 轴啊，然后 a 七的话呢，我以这个 y 轴，然后这个地方是自己轴，对吧？ 符合这个右手法则就可以了哈。接下来我们是需要求着这两个半平面的一个这个法项量哈，比如说像这个哈， abe 啊，你把这坐标写出来哈，然后了吗？还有我们是 ace 啊，这是一个常规的一个计算啊，求法项量常规的一个计算啊，这个我就不带算了好吧啊，因为他没什么技术含量啊，直接写出来了啊 啊，为了照顾大家平均速度还是再稍微啰嗦一下下啊，就这样的话，你看你把这些作品都写出来哈，像批点作品是最难写的，他写完其他任何的话题啊，我们为什么要写他？因为这终点吗？我们是把批点和逼点 求下之后的话再去充电，好吧？ p 点坐标，这个横向上的话，你看你找到是这在这啊，就他他对应的是这个点，是二倍杠三啊，纵向上的是这个 of 转场啊，线上就是二，那这个 z 写的方向呢？就是这个啊三，所以他的是座位就写出来了。这样你把这两个项链写出来，然后他的法项量哈，我们这个 ab 的法项量 是这个按一，然后跟这个相乘数量即为零，得到 s 一十零，跟这个相乘的话，得到这个式子，这不就是零了吗？对吧？在这式当中你定这个 y 一等于三，得到这一等于负二，第一个法项量就求出来了啊，第二个法项量的话，类似的哈， 这样我们算出 n 二哈，然后的话你去把这个平面角设出来 c， 他的话，那么他的这个高三的 c 他绝对就可以算出来啊，然后夹角公式啊，这样算出来之后，他这道题不需要看到 c， 他是一角正角啊，因为他们球是正选的，对吧？正选肯定是一个正的啊，这样的话我们这道题就算出来啊，哎，这道题的话呢，还是要点素质的啊。

今天主要针对二零二二年新高考全国二字的第二十题进一个讲解，这题考拉词典，它是立体几何啊，第一问就是高一下期学的内容啊，第二问就是高二上一期学的内容， 第一问采用几格法，第二问采用间隙法，非常标准的一道高考类型题啊。那咱们一起来看看这道题。首先证明 oe 平均于平面 pac， 那咱们打眼一看，欧一和这个 pac 这三条边，任意一个边都不带平行的，对不对？所以说咱们得换一种思路想能不能正出来一个面和这个面平行，从而推出来先面平行 啊。这时候他给你条件 p a 和 p b 等这两边的 a b 又垂直于 a c， 说明这是一个直角啊，虽然这个直角 画的不太像，但是他确实是个指甲， e 呢，是 pb 终点啊，这两个边的。好，那接下来 pa 和 pb 还告你 pu 垂直于平面 abc 的，所以说咱们默不露连接 ao， 这时候就有 pu 垂直于 aopu， 也垂直 pu， 因为 pu 垂直面，也就是相当于垂直于面上任何一条子线啊。得到这些以后，我们会发现 pua 全等于三角形 pub 也就能算出来 ov 和 ob 是相等的 啊， o a 和 o b 相等，相等了有什么用？那这个人一来我做锤以后三线合一啊，过点偶像 a b 做锤，那这个，因为这个 c b 是一个直角，所以说我也得做了一个跟他平行的啊，也差不多是长这样啊，这个点，比如说低点， 那这样一来， od 他是平行于 ca 的，因为 od 不在平面 cap 上啊，所以说 od 他就平行于平面 pc， 地点是终点，那这时候我再连接第一，那这时候有第一平均 ap 中微线啊，也就能知道第一也是平均于平面 pac 的， 因为 odod 和 de 相交于点 d 啊，所以说也能得到平面 od， 平行于平面 apc， 所以说就能得到 oe 平行于平面 p a c 啊，咱们第一问就出来了啊。好，接下来咱们看第二问啊，第二问告咱们， a b u 是三十度， c b u 也是三十度， 那这是直角，哎呦，这个直角，这个确实不太像哈。然后 pu 的长度是三， pa 的长度是五，那我把 l 连上，他依然是四啊。 那这样一来的话，咱们得选择一个比较好的位置进行间隙啊，因为他正好 c 和 ab 垂直，所以说我梦不如以 ab 为爱轴， 这是 i 轴，那歪轴就是 ac 的延长线啊，他所在之间没歪轴，那这轴就是过点 a 直接做一个高，他是这轴 啊，这样间隙间隙的话，咱们只要把这四个点求出来就 ok 了啊。因为咱们 ao 和 ob 相等嘛，所以说他也是三十度，那整个就是一百二十度，等于三角形， ab 就是四倍杠二三，那是因为这是直角，这是六十度，所以说这个角就是三十度， 这个变长呢，就是十二。所以说咱们先把 c 点周标求出来哈，就是零豆十二豆零，就是 c 点周标啊， a 点周标比较好求了，对不对？就是零豆零豆零。然后一点怎么求一点？先来写求 p 点， p 点的话，首先他的红坐标很清晰，能知道是二倍高三哈，那他的中坐标呢？就是二啊，数落标呢是三， 这是咱们 p 点，因为一点是 p， p 的终点，那 b 点坐标咱们也知道是四倍，高二三都是零，都是零，所以说一点坐标就是相加除以二啊。 p 个 b 相加除二是三倍，高二三都是一，都是二分之三，一点多标也有了， 你要紧接着咱们这四个点都有了啊， c 点、 a 点，一点和 b 点。接下来就求发项链 啊，先求平面 aec 的发项量，求法项量怎么求？因为有坐标了，我直接写了哈，比如说这是 n 一，那就是 n 一项链乘以这个 c， a 项链等于零，然后继续 n 一项链乘以 c， e 项链也等于零，那这样一来的话，我就可以把这个 n 一项链给具体算出来了哈，这个算出来 n 一项链以后是 高三豆零豆腐六啊。然后咱们紧接着设平面 ab 的反向量， 设这个反应量为 n 二，那同样道理我就不说了哈，那这时候 n 二相量差距也能算出来，就等于 零豆三豆腐二，这个时候求这个二面角的证件值，咱们法项量知道了，就先把咱们两个法项量的夹角给求出来，就是口才 n 一项量和 n 二项量，他的鱼线值这个时候就等于 n 一项量乘以 n 二项量除以他们各自的模， 算出来以后等于十三分之四倍。杠三 啊，这是他们法项量的一个鱼线夹角的鱼线值。那咱们面和面的夹角的鱼线值跟他其实是 有可能是钝角，有可能锐角，但是要不然他就带正号，要不然带符号呗，对不对？但是咱们要求的是正闲值，所以说就忽略了这个问题，因为正闲值的话就是高压一减嘛，对不对？所以说我设 这个角为谁的那就是赛谁的，就得什么呀，高下一剪辑口塞 n 一项链和安然项链夹角的平方啊，算出来这个值以后就是十三分之十一哈，所以咱们这道题答案就是十三分之十一。听懂的大家关注并点赞。

我们来看一下二二年一卷的第十八题，说明你 abcd 中 ad 垂直于 cd， a、 d 等于 c、 d， 嗯，这两个相等，这又垂直，所以他俩合起来是什么意思呢？合起来就是 a、 d、 c 为等腰直角三角形， 然后 a、 d、 b 等于 b， d， c， a， d， b 等于 b， d、 c， 然后一为 a、 c 的终点，证明 b、 d 垂直于平面 a、 c、 d。 让我们证明两个平面，我们先把这两个平面给特殊化，把它给专门给它拎出来，用不同的颜色的笔把它拎出来。 这个 a、 c、 d 在哪里呢？ a、 c、 d 就在这里，然后 b、 e、 d 在这里，然后在其中一个平面中找一条可移的线去垂直另外一个平面。我经过观察就是 ac 哈，比较可以，是不是 ac 比较可以， 为什么呢？因为已经有个三线合一了， ac 垂立 b 一也是很明显的，我们只要再证明 ac 垂立 b 一就可以了。我们要证明 ac 垂立 b 一，就要说明什么呢？就要说明 bc 等于 ab， 所以我们接下来证明 bc 等于 ab 即可啊。那接下来我们看一下怎么证明啊？ 因为 a、 d 他等于 dc 啊，等于 dc， 这个 e 呢，为 ac 的终点，三线合一， 所以我们就可以得到 ac 垂直于 d、 e 这边垂直一根线呢？我们再 找一根线啊，再找根线，又因为啊，又因为 db 呢，它等于 db 等于 db， 角 adb， 它等于角 bdc， 所以三角形 a、 d、 b 他全等于三角形 b、 d、 c 啊， b， d、 c， 所以这个 a、 b 呢，实际上就等于 b、 c。 又因为以为 ac 的终点啊，终点说三线合一就可以用了， 所以这个 ae 呢，他就是垂直于 be， ae 垂直 be， 又因为 啊，这个 a、 e 写上 a、 c 更好一点， a c 垂直 b e， 又因为 b e 消 d e， 它等于一点，所以这个 a c， 它就垂直于这个平面 bde， 然后这是线面垂直的判定定理，是垂直两个线条线就垂直这个平面，那面面垂直的判定定理，就是说只要有一根线去垂另外一个平面，这个线在在在 这线一垂直于面二线一在面一里面，两个面就垂直啊。 ac， 它包含与这个平面 adc 中，所以平面 adc 就垂直于平面 b、 d、 e 这第一问就证明出来了，接下来我们来看一下第二问。好，我们来看一下第二问。第二问是 a、 b 等于 b、 d 等于二这个条件我们先把它给标出来， a b 等于 b、 d， 这等于二， 然后这个 abc 也是二，叫 acb 等于六十度，这个是六十度，那么这个 ac 也是二，这是一，这是一啊，是一， 然后这这又是个等腰直角三角形，那这边这边就是根号二，这是根号二， 那这个呢？是一啊，第一也是一，这全部都可以写出来了。 f 在 bd 上， f 在 bd 上 三角形。 a、 f、 c 面积最小的时候， a、 f、 c 的面积是什么时候最小？因为这个 a、 c 是垂直于这个平面 ac 垂直平面 bde， 所以 ac 它就垂直于这个 ef， 所以 ef 叫叫 fec 是直角三角形 fac 直角三角形要求 cf 的最小值，实际上就是求 ef 的最小值， 这是从 ef 的最小的，那 ef 的最小的是什么呢？就是一点到这个到这个 bd 的距离是最小的，就是 ef 垂直于 bd 的时候是最小。 此时我们可以采用等面计划，求出这个 c 点到这个 adb 的高就可以了。 好的，那接下来我们看一下这个解析的过程啊。解析的过程，首先第一步我们交代所有的边长啊，所有的边长，因为 a、 b， 他等于 b， d 是等于二，由一可知， 这个 bc 他也是等于二。又因为角 acb 等于六十度，所以三角形 abc 为正三角形， 所以这个 a、 c， 他也等于二，也等于二。又一又有一只， 这个 a、 d、 c 为等腰直角三角形， 直角三角形，这个一致就知道了哈，直角三角形，所以这个 a、 d， 他就等于这个 d、 c 等于根号二，这个 d、 e 呢？等于 一啊，等于一。算了之后呢，我们接下来分析啊，因为因为什么呢？ ac 是垂直于这个平面 bde， 这个 ef 呢，是包含于这个平面 b、 d， e， 所以这个 a、 c， 他就垂直于 e、 f， 把这个 e、 f 画一下画出来， 所以 s 三角形 三角形 a、 f、 c， 他就等于两倍的 s， 三角形 f， e、 c， 因为什么呢？因为这个就是这样的哈，他实际上是这样的一个东西， 这是 e， 这是 f 啊，这是 a， 这是 c， 这个是终点吗？所以这个三角形的面积是等于这个面积的两倍啊，这个意思，那他就等于什么呢？他就等于两倍的，两倍的什么呢？这个 ef 乘以这个 e、 c， e、 c 就是一，这除以二，就是等于 e、 f， 这是三角形 affc 的面积的 ef， 所以说我们只要求助 ef 的最小值就可以了。 ef 的最小值在三角形 形三角形 b、 e、 d 中，因为这个 d、 e 呢，它是等于一，这个一 b 呢，是等于根号三， d、 b 呢？等于二，所以这个 d、 e 的平方加上 e、 b 的平方，它就等于 d、 b 的平方， 所以这个 d、 e， 他就垂直于 b， e 啊。由等面你可知，二分之一的 d， e 乘以 e、 b， 他就等于二分之一的 b， d 乘以 e、 f 的最小值。所以这个 e、 f 的最小值就是高吗？就是高，最小。你看 e、 f 是这样的话，就是更大一点啊。 这个 e、 f 的最小值等于什么？可以算出来，这个 d， e 是一，这个 e、 b 是更好。三、 一乘一，根号三，比例是二，二分之根号三，所以 ef 就等于二分之根号三。四十 cf， 他就等于根号下 ef 的平方加上 c 一的平方，等于二分之根号七。然后接下来我们再用一个等体积转化就可以了， 因为这个 d、 e 呢，它是垂直于 eb， d， e 呢，它又垂直于 a、 c， 所以 d， e 呢？就垂直于这个平面。 a， b， c， v， d， a， b， c， 它就等于 v， c， a， d， b 记三分之一 s， 三角形 a， b， c 再乘以 d， e 等于三分之一 s， 三角形 a， d， b 乘以这个勾 h， 那这个要说一下啊，说一下， 我们设 c 到 a， d， b 的 高为 h， 就这样，然后这个 abc 这个面积是可以求出来啊，然后 adb 也可以求出来，然后第一眼就知道了，这高就算出来了。那我们求一下啊，求一下 s， 三角形 a， b， c， 他就等于二分之一，乘以二，乘以二，再乘以 c， 引三分之拍等于多少呢？等于根号三 跟老三。然后再看一下这个 adb， 哈， adb 可以把它拿出来，这个是放在超过纸上写哈，这个是 b， 这个是 a， 这个是 d， 这个是二，这个是二，这是根号二。做一个垂线下来，这是二分之根号二 四，减去二分之一，那就二分之七就是二分之可好？十四啊，你告十四。所以 s 三角形 a、 d、 b， 那时间就等于二分之一 乘以根号二，再乘以二分之根号十四等于多少呢？ 等于二分之根号七。所以，所以这个 h 他就等于时间就等于二分之根号七。上面是个根号三，等于七分之二倍的根号二十一。 所以，所以这个 cf 与与 a、 d、 b 数乘加 see， 他的正弦直 c 塔等于什么呢？等于 h b 上 c、 f 等于七分之二倍的根号二十一。比上 c、 f， c、 f 等于多少呢？ 在这里，二分之根号七，二分之根号七 等于七分之四倍的根号三，九分之四倍的根号三就可以了啊，这就是这个，用等体积来求到一个是正贴。呃，正闲值啊，正闲值。当然这个题目也可以采用空间项链间隙法，比较简单啊。这个我就不说了。

好，今天咱们讲一下新高考一卷数学的第十九题，说有一个值，三棱柱在这，对吧？他的体积是四，然后他还告诉我，三角形 a 一 b、 c， 他的面积是一个二倍的根号二。然后第一问，让我们求点 a 到平面 a 一 b、 c 的距离， 那么看到这个，他告诉我体积的话，又告诉我这个面的一个面积，我是不是可以考虑用一个等体积法求高的方法，把这个面距离给求出来，对不对？好，所以说第一步我们先把这个大的一个三龙柱的体积表示一下。 好，它的体积是不是等于底面积乘以高啊？最后得到的结果应该是四，对不对？因为题中告诉我了。好，接下来我再把这个三棱锥 a 一 abc， 他的体积也表示出来。好，很明显，我知道三角形 abc 的面积乘以 aa 等于四，那么这个三龙锥的体积我们是不是不是也可以直接表示出来等于三分之一乘以四，等于三分之四， 那么好，这时候我切换一下他的面积表达方式。好，此时我不以这个三角形 abc 为这个三棱锥的底面啊，我考虑用三角形 abc 做这个三棱锥的底面， 那么这时候这个三棱锥的高是不是就是点 a 到平面 abc 的距离？所以说我设一个未知数啊，设 a 到平面 a， e， b、 c 的距离是 d， 好，射出来这个距离以后， 我换一种方式来表达他的体积。好吧，好，我们来看题干中 a、 b、 c 的面积，是不是他已经告诉我了，是不是一个二倍的根号二啊？那么这样的话，我是不是可以通过这个公式把 d 给求出来，对不对？那这样的话我们就知道， 好，这样的话是不是 d 求出来了？也就是说 a 到平面 abc 的距离就求出来了？好，第一问我们就解决了。 好，接下来我们来做一下。第二问，说点 d 呢，是这个 a、 e、 c 的一个终点，然后还告诉我 a、 a 一和 a、 b 长度是一样的，然后他又告诉我这个面 a、 e， b， c 垂直于侧面 a， b， b， e， a 一，然后让我们来求这个二面角 a、 b， d， c 的一个正弦值。 那么想解决这道题的话，我们是不是考虑用间隙的方法来做，对吧？哎，所以说这道题我的这个思路大致是这样的啊，呃，我们首先我们来看 bc 这条线是不是面 a 一 bc 和 abc 的一个交线啊，对不对？而这两个面是不是都都垂直于这个侧面，所以说这个 bc 其实也垂直于这个侧面，对不对？所以说我考虑。哎，先把这个条件写出来，正出来， bc 和 ab 是垂直的。好，那么我来写一下啊， 好，这个 bc 垂直于 ab， 我们已经。呃，正出来了，那接下来我们应该可以这样间隙了。但是还有一个问题，就是这些点的这个坐标我们该怎么表示？因为他们都没 没有告诉我他们具体的长度，所以说这道题需要想办法引入一个量来求出他们个点的坐标，对吧？这时候我考虑怎么样呢？我可以考虑过 a 点向 a、 e、 b 做一条垂线，我们来看看会有什么效果。 好，我们在这做一条垂线，我设这个垂组为 h， 那么我们这就可以写做这个 ah 垂直于 aeb。 好呢，根据题，我们知道这个 a、 b、 c 啊，是和这个 a、 b b 一 a 一这两个面是互相垂直的，那么这个 a、 h 又垂直于他们的交线，那么我们是不是就可以通过这个条件来推出 a h 垂直于面 a e、 b c 啊？所以说我把它写一下， 好，我写出来以后我正出来了， ah 是垂直于平面 abc 的，那么这样的话，我们是不是就知道这个 ah 其实就相当于第一第一位中的这个 d 啊？所以说 ah 的长度是不是有了 啊？所以说 ah 就等于这个 d 呗，等于什么？根号二是吧？ 那 a h 的长度有了，我们看还有这个条件没有用，对不对？我们知道这个三角形 a e a b 是一个直角三角形，而且 a e a 等于 a b， 所以说它是一个什么三角形啊？ 等腰直角三角形对不对？那对于等腰直角三角形的话，我知道他这个 ah， 他这个斜边上的高的长度，那么是不是他任何一条边的长度我们就都可以求了，对不对啊？ 我就可以写啊，因为在这个直角三角形啊，直角三角形这个 a e、 a b 中啊，我们知道这个 a e a 等于 a b， 还有就是 a h 垂直于 a e b， 并且这个 ah 还等于一个根号二，所以我是不是就可以得到 aea 等于 a b 就等于钢号二倍的他，对不对？等于几啊？等于二嘛，对吧？然后这个 a e、 b 这个斜边对不对？ a e b 就等于多少？就等于个二倍的钢号二。 好，我们再来看上边，我们是不是推出 bc 垂直于这个平面 abba 呀？就是 bc 垂直于这个侧面， 所以说我是不是可以得到 bc 也垂直于谁啊？ aeb 啊，对不对？我可以写，因为这个 bc 啊，是垂直于平面 abba， ae 的，所以我们就知道 bc 是垂直于谁啊？垂直于这个 aeb 的， 那么好呢，在这个直角三角形啊，这个 a 一 bc， 那么我们就可以知道这个三角形 a 一 bc， 他的面积就等于二分之一倍的 a 一 b 乘以 bc， 对不对？等于多少？等于一个题干中告诉我二倍的根号二， 那么 ab 的长度有没有？ ab 的长度是不是在这？是不是二倍的更好？二，所以我就可以知道 bc 的长度就等于什么？就等于四倍 的根号二，去除一个 aeb， 然后代数，最后求出来 bc 的长度是几就是二，所以说求出来呢，这么多长度了，那么各个点的坐标我是不是间隙以后就能确定了？好，接下来我们开始间隙啊，因为地方有线，所以说我又换了一张纸， 那么我已经把刚才咱们求的结果，比如说 ab 等于二， bc 等于二，包括他们的这个侧棱 aaebb， ecc 一等于二，他们的长度都已经标出来了， 那么接下来我就可以以 b 为原点，以 bc 为 x 轴，以 ba 为外轴，以 bbe 为 z 轴，我们间隙啊，好，那么这个轴呢？它是一个 x 轴，对不对啊？然后这呢是一个外轴， 好，然后上方这是一个这种画一点歪啊，好，那么我把这个写一下 好，建完戏以后，那么他们各自点的这个坐标，我是不是就可以标一下了？比如说 c 点的坐标，他是不是就是一个二零零啊？然后这个 b 点坐标，当然他是远点了，对不对？ 然后这个 a 点坐标，他相当于就是一个零二零，那么这道题这个 b 一点我用不到，对不对？那么我把 a 一点的坐标不要写 a 一点的坐标，呃，是一个零二二， 最后这儿这个地点我也要用到，对不对？题中告诉我，这个地点是一个 a、 e、 c 的终点，那么地点坐标是不是就是 a 一和 c， 他们坐标之何在？除以二啊，对不 对？那么就是他们相对应的坐标之和除以二，其实就是一一一。好，那么他们各自点的坐标我标出来啊，对吧？那接下来呢？我这个设设出这个两个平面的法项量，我们要求的这两个平面的一个法项量。好，我先设 这个平面 abd 啊，这个平面的发现量，好吧，设这个 n 为他的发现量， 同样道理，我设这个 m 项链啊，是另一个面的法项量，对吧？用 x 零 y 零 z 零来表示， 好射出反向内以后，我们把他们给求出来，对吧？呃，首先我们知道这个 n 项量，对不对？他应该是乘以这个 b a 项链等于零，还有一个是 n 项量去乘以一个 b d 项 项链，对吧？应该等于零。那么因为 b 点是原点，所以说 b a 项链和 b d 项链的这个值，其实就是他们的一个坐标的值，对吧？所以说我一乘就可以直接得出结果。呃，得到第一个，首先得到一个二 y 等于零， 对吧？第二个得到一个 x， 加上 y， 再加上一个 z 也等于零，那这样的话，我可以推出啊，得到一个就是 y 等于零，然后 x 等于负 z， 然后我另这个 x 等于一，那么我就可以得到这个 n 项量， 他相当于是一个一零负一，同样道理，这个 m 项链，对吧？他应该乘以谁啊？乘以 b c 项链等于零，对吧？还有一个 m 项链乘以一个 b d 项链也等于零，对吧？那么把数带进去以后， 可以得到，一个是 x 零等于零，另外一个是 x 零，加上 y 零，加上 z 零等于零，这样的话，我就可以得到啊，这个 x 零等于零，然后这边是一个 y 零等于负 z 零， 然后我让这个 y 零等于一，对吧，就可以得到这个 m 项量等于一个零一负一。 好，下一步我们求一下两个法项量夹角的鱼线值，对不对？那么我们求那个正的值吧，所以说就是一个扣赛啊，这样绝对值。这个 m m 项链和这个 n 项链的一个，呃，夹角的鱼线值，他等于什么呢？两个的项链的基对不对？ 两个下量的机除以他们的膜啊，除以他们膜的机，对吧？好，然后等于什么呢？哎，我们来看 看一下，一乘零零，一乘零零负，一乘负一就就是一，好，下一边呢？呃，这个，他的这个魔长是不是一个根号二，对吧？呃，这边是一个根号二，然后这边也是一个根号二，所以说他的结果应该等于多少？等于二分之一， 对不对？好，那既然他们夹角的这个鱼线值啊，我们算的那个正值是二分之一，那么他们夹角的这个正线值对不对？我们是不是就得到了？应该等于多少？是不是应该是一个二分之一个号三呀？ 好，那么我们知道啊，因为这个法项量啊，他的这个夹角与二面角互补，对不对？ 好，所以我就可以知道这个二面角 abd c， 他的一个正弦值也等于多少二分之二十三。好，所以说这道题的结果就是这个。

来看一下今年新高考一卷的立体几个考察。以往呢是两小一大的题，今年出现的三小一大，三小一大就二十七分了。第四题考察的是台体的体积公式。第八题考察的外接球的一个综合问题。第九题考察的是线线角线面角， 而大体考察点面具和二面角。可以说考察的很全面了。我们来看一下这个单选压轴。 这个题考察的是正四龙锥的一个外接球问题。我们说正龙锥以及侧轮相等的龙锥都可以用圆锥模型。这个在我五月五号的视频里面有讲解。 我们可以列方程，也可以利用直角三角形摄影定理得出。外接球的半径公式是这么一个，他告诉你体积，也就是知道半径。我们的底下的外接员半径 h 跟 l 有这么一个关系。那么体积公式呈现出一个关于 l 的一个函数。当然大部分做到这可能会想到利用导数去求他的范围。这里呢，我说一下高一同学也能做的一个方法，那就是三亿元不等式， 就是三个重数的算数平均数不小于他们的几个平均数。也就是 a 乘 b 乘 c， 小于等于三分之 a 加 b 加 c 的三次方。把最大之球套答案只有 c 选项。

好，立体几何在历年的高考当中是必考的一个内容，那么立体几何的解答过程啊，有的时候用几何法，有的时候用坐标法， 用几何法呢，通常呢我们需要做辅助线，这呢可能有一定的难度，用坐标法呢，可能会涉及到一些个计算，计算量呢有些大，那么还有没有其他的办法 去解决立体结合当中的，比如说求某些角的有关问题呢？这个回答是肯定的，今天呢，我就给同学们介绍一种既不用坐标法， 也不用几何法去如何求在立体几何当中有关角的一些个问题。 首先呢，我们先看下面这样一个事实，在空间四边形当中有如下这样一个重要的结论，我们看， 比如说空间四边形 a、 b， c， d， 它的两条对角线 a c 和 b d， 那么它的数量金 和这个空间四边形的四个边之间有怎样的关系呢？我们很容易证明他有这样的关系， 向量的平方也是它膜的平方，所以说呀，那么这个空间四边形对 表现的数量级，他跟他和这四个四条边他们之间的关系啊，是这样，那么这个 问题啊，很容易证明，我们把这个结论称之为空间四边形对角线向量定理。 那么这个定理啊， 如何去记呢？我们仔细观察这四个字母，我们把字母 a 和字母四 d 看成是 y 字母， 把这个 c 和二 b 呢看做内字母， 那么这两个项目的数量级呢？右边的表达式就应该等于两个外字母的平方， 这个呢是俩俩内的平方， 然后减去外内的平方，再减去内外的平方， 这样呢，我们就把这个定理啊给记住了，对吧？ 那么这个证明啊，也非常容易啊，我们可以利用向量 ab 和向量 ac 的数量机写出一个式子， 然后呢，再用向量 ac 和向量 ad 的数量级再写出一个式子，然后两式一减，就是这个式子，或者是 我们由右边可以推出左边，我通过右边数量机的运算法则进行运算，可以推出他等于左边啊，这里啊，我们简要的说明一下啊，比如我们正的一下右边， 我们把这个项链和这个项链利用平方叉得到 a d 向量加 a b 向量点儿乘上， 然后我们把这两个相应的平方合到一起，加上 等于 这个等于向量 b d， 这个等于项量 b b， 然后提出向量 b d 剪， 显然这个项链和这个项链相加， 这两个项链你看都在哪呢？ 这两个项链合到一起就是项链 a c， 这两个项链合到一起也是项链 a c， 你看这是不是就等于左边呢？二倍的， 那么这个定理啊，这个事实呢，我们还可以通过 他得到两个推论，推论一， 如果向量 a c 和向量 d b 要是互相垂直的话， 那么他的引流，所以说呢，我们可以得到这样的柿子 弱则 等于， 这很容易吧，我们再看一下推动二， 根据数量级定义它的 a c 膜乘 b d 膜，再乘口感音 a c b d 夹角余弦，那么我们就可以得到这样一个结论， 等于 分子就是， 所以啊，我们可以得出这样两个结论， 下面呢，我们就利用啊这个定理去解决一些高考真题。 一七年全国二卷第十期有一个直三轮扣，这个角是一百二十度， a b 长得二， b c c e c 得一，求叶面直线 a b 一和 b c 所乘角的余弦值。 那么我们利用刚才我讲的四边形对角线向量定理啊，我们可以这样来做，首先我们看他要求的 a b 一和 b c 一这两个叶面直线所成角，那么我们看成两个项链， 这两个向量的所乘的角的余弦值。我们先把它算出 分母是二倍的向量， a b 一的门称 分子，两个 y 字母 加上两个内字母， 减外内， 再减内外， 你看是不是直接就可以算了他，我们算一下他等于多少呢？二， a b 一等于多少啊？根号五吧， b c 一得杠二吧。 a c 一， a c 一的长等于多少？ a c e 的长呢？我们需要算一下，这是先把 a c 长算出它等于根号七，这个容易算啊，这是二，这是一角角一百二，用余弦定理可以算出它的根号七，那么一，这是直角三角形，所以说 a c 一的平方应该等于八，对吧？ 加上 b e b 的平方的一减， a b 方 减四， b 一， c 一方减一， 那么计算的结果是不是很快就出来了，等于五分之， 很好使，这样呢，我们就可以啊，选出选项是 c， 这种办法是不是很快就出来，对吧？哎， 那么如果不这样做的话，那么我们应该是通过平移，然后呢解三角形，或者是用坐标法，当然这种算法是最简单， 那么如果要是选择和填空，不要求解题过程的话，那么你利用这个结论是不是很快就得到答案了？ 我们再看下一个高考题，二零二三年全国二卷第二题三棱锥 a、 b、 c、 d 中 d、 a、 d、 b 和 d、 c 相等 b、 d 和 c、 d 垂直角 a、 d、 b 等于六十度。 呃，角 a、 d、 c 也等于六十度啊，这个还有一个条件啊，角 a、 d、 c 也等于六十度， 意为 b、 c 的终点。第一问，证明 b、 c 垂直于点，我们可以这样来证明啊，我们 写在这吧，口才音向量 d， c 啊，向量 b， c 啊，向量 b， c 和 d， a 这两项量的甲者余年我算一下，他等于零就可以了，看，对吧？他等于分母。 分子呢，就是两个外字母 加上两个内字母， 减去外内， 减去内外 b、 a 方，我们不妨列 d， a、 d、 b、 d、 c 都等于一， 那么 b、 a 方得多少啊？是不是也得一啊？ 等边三角形对吧？ c、 d 方是不是也得一啊？ b、 d 方 是不是有点一样？ c 方 c 方 a、 d、 c 也是等边三角形。 因为 a、 d、 c 等于六十度嘛， 等于。所以啊， b、 c 和 d、 h 看我们是不是就是不用做辅助线就可以正常，对吧？呃，第二 第二呢？如果向量 e、 f 等于向量 d， a。 如果向量 e、 f 等于向量 d、 a 的话，那说明 零四边形 d、 e、 f、 a 是平行四边形。现在让我们求这个二面角的正线值。首先我们看这个二面角是哪两个向量所乘的角呢？棱是 a， b， a， b， a， d， b 是等边，所以说取 a、 b 的终点 o， 取 a， b 终点 o 连 o d。 哦，连 o d 啊， 那么 o、 d 力量和棱 a、 b 是垂直的。 先往再看这个 d、 e 啊，和 c、 b 是垂直的，我连接一下 a、 e， 那么 d、 e 呢？等于 b、 c 的一半，等于二分之杠二 a、 e 呢？在这个三角形当中，我们看在这个三角形当中的话呢，它也是 可以算出是二分之根号二，因为这个是二分之根号二，这个是一，对吧？因为这个是一， 这个是一，这是刚好二，所以说我们可以算出这个三角形的中线长啊，实际上这也是个直角， 那这样一来的话呢，我们就可以得到 d e 和 e a 也是垂直的一嘛，二分之二，二分之二，对吧？勾股定理在 e 定理，所以说 d e 呢，就和面 a c、 b 是垂直的， d e 呢又和 a f 平行，所以说 a f 呢，也和这个面是垂直的，这样一来呢， a f 就和 a b 是垂直的，我们可以可以证明啊，我们就简单一些了啊，可证 a f 和 a b 也是垂直， 这样一来我们就得到了 o d 啊， o d 这个项链和 a f 这个项链 所夹的角，就是这个二边角的平面角，对吧？接下来呢，就是 o d 和 a f 这两个项链所乘的角，就是这个二面角的平面角。我们算他的一边直 分母二倍的 o d d 长横 o f 的长分子是两个外字母， 在平方加两个内字母，平方减外内 减内外， 我们只要把这个值给他算出就 ok 了。我们现在开始算二， od 的长， o d 的长，这是等变三角形的中线嘛，对不对？那 o d 的长显就是二分之根二三， a f 的长，也就是 d e 的长是二分之杠二， 那么 o f 的长呢？我们把 o f 的长啊换一下，因为这是个直角，对吧？ o f 的长呢，应该是 o a 方加上 a f 方， o a 方这里就没有了，对吧？给约掉了。然后呢，实际上这是 a f 方， a f 方加上 d a 方，对吧？ 然后再减去 d x， 我们继续算分母呢，那就是二分之刚好六了。 那么 a f 方就是 d e 方，等于二分之二，在平方， d a 的平方呢？就是一。现在看一下这个 d f 啊， d f， 那么这个 d f 方等于什么？关键在这里，是吧？ d f 方呢，我们可以把它放到这个三角形里， 这个三角形这个角啊，应该是一百三十五度，因为 a e d 九十， a e f 四十五， a f 和 a e 是相等，对吧？ 所以一百三十五。这样话呢，我们可以根据余弦定理就可以直接算出 df 方， df， 对吧？对，就是他，那么这个结果呢，我们很容易算出他等于多少呢？等于负三分之幺六， 这说明啊，这个二面角的平面角呢，是一个钝角，他的余弦值是负三分之八六，那么我们就不难算出他的正弦 值啊，是三分之刚好三，所以这个答案呢，那就是三分之刚好三，我们是不是就把这个问题给解决了？ 因此呢，我今天提供的方法，这是一种啊，全新的方法，当然考试的时候可不可以这样做， 如果你把四边形对角线向量定理啊，先说明，以后再利用他去这样书写过程，我认为他没有理由给你扣分，但是你不能直接用，对吧？ 这是今天呢，我给同学们提供啊，除了几何法和自个法以外的另外一种方法，仅供同学们参考。