勾股定理必须是直角吗

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  北师版八年级数学上：1.2一定是直角三角形吗，学浪计划

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  哈喽，大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来学习第一章勾股定理的第二节。 一定是直角三角形吗？光光看这个标题啊，可能会有点疑问，对吧？好像这句话呢，没有说完整，对吧？哎，我们如果给他补充完整，应该怎么样来形容呢？是不是应该这样说，如果一个三角形满足，哎，什么什么什么条件，对吧？ 然后呢，他问我们，这个三角形一定是直角三角形吗？好像这样说话比较完整，对吧？哎，那我们今天研究的就是啊，如果一个三角形所要满足的那个条件，哎，这就是我们研究的这个内容啊。好，来看一下直角清单， 一共两个知识点啊，第一个，直角三角形的判定方法。好，首先啊，大家思考一下，那我们学过了这个直角三角形的判定 方法主要有哪些？哎，其实呢，我们学过的其实也很简单，怎么样来判定一个三角形是直角三角形啊，那就是说他只要他有一个角是直角，对吧？哎，那么这样的三角形呢，就是 是直角三角形，其实这个也就是我们的直角三角形的定义吗？对吧？哎，我们可以用这个定义的方法来判定一个直角三角形，他是直角三角形，哎，那么除此之外，哎，大家想一下，我们还有没有其他的一些判定方法呢？ 哎，那么在啊，得到这个问题的答案之前，我们首先还是要来回顾一下我们上一次课所学习的内容啊，勾股定理，他的内容到底是什么？ 这个内容我相信大家都已经非常的熟悉了，对吧？应该达到脱口而出的这样一种程度，对吧？好不，不多说了啊，如果 abc 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a 方加 b 方等于 c 方， 这是勾股定理的内容。好，那接下来请大家思考这样一个问题，如果呀，我把这个勾股定理的内容我给他反过来说， 那我应该如何来进行描述呢？哎，这里大家可以思考一下，锻炼自己逆向思维的这个能力啊。好，我是不是可以这样说，如果啊，一个三角形，他的三条边，哎， 分别为 abc， 对吧？哎，那如果 a 方加 b 方等于 c 方，那么这个三角形呢？就是直角三角形，哎，反过来是不是应该这样来描述，对吧？好，这样的，那大家看一下啊，我先不管这句话是对是错，那首 首先你看，通过这句话，他有一个表示了一个什么样的意义啊？他是不是形容了只要一个三角形满足这样的条件，那么这个三角形是直角三角形，他是不是也是一个表示这个直角三角形判断 定的这样的一个语句啊，对吧？哎，那我用这样的方法呢，能不能判定一个三角形是直角三角形呢？哎，这个就是我们今天重点要学习的一个内容。好，接下来啊，我们自己一起动动手来探究一下，哎，这个结论到底是不是正确的。 好，怎么样的探究呢？下面给出了三组数字，哎，大家呢分别以下列各组数值为这个边长来画三角形， 并且呢，画出三角形以后啊，大家通过测量来判断一下，你画出的这个三角形是不是直角三角形，哎，这里呢没有写单位，哎，大家呢可以根据自己纸张的情况，对吧，你可以用厘米为单位，下面这个哎，比较大了，实在不行你可以用这个啊，毫米为单位，毫米为单位好像稍微小了点，大家反正根据 你的实际情况吧，啊，来动动手。那可能呢，有的同学并不知道，如果给出了三条边的长度，怎样画三角形，对吧？哎，这里呢，我们就以第一组为例啊，我呢和大家一起来画一下，其实我非常喜欢画图，我觉得是非常有意思的一件事情啊， 我们一起来看一下三四五啊，我先呢画出三条线段，使他们的长度分别为三四五，接下来呢，我就要以这三条线段来组成一个三角形， 那这个具体的应该怎样来画呢？我们要用到圆规啊，我把我的这个啊大圆规给他找出来。好，首先呢 我量一下这个三他的尺寸啊，大概是这么长，哎，刚好这么长是三，对吧？好，接下来呢，我在纸上画一条射线，哎，然后呢，我以射线这个端点为一个点，然后呢做一个弧，哎，大家看一下啊，我这样做一个弧， 这样做出来呢，是不是从这个端点呢，到这个弧的这段距离就是三呢，对吧？哎，这里我就刚好画出了这个啊直角三角形的一条边了。好，那接下来我要画这个四，哎，接下来我还是要把这个圆规呢，放到这个四的两端上，对吧？好，我给他画一下啊， 哎，应该是这么长，对吧？好，然后呢，我那个四面小编在哪呢？我还以刚才的这个点啊，以他为圆心，然后呢，我再给他画个弧，这个弧要画的 比较大一些啊，我这样画一条，好，那是不是呢？就是说从这个圆心到这个弧的距离应该都是四，对吧？哎，这里是三，这里是四，那五怎么办呢？我继续啊，我把 这个圆规呢再放在五的两端上，一头在这，一头在这，好，接下来我还以谁为圆心呢？我就不能再以他为圆心了啊，我就 在以这边这个点，刚才我画等于三的这个点，以他为圆心。来，这个啊，画猴对吧？好，画出猴呢，必须跟刚才那个猴叫一个焦点啊，我这样这样画出一条， 好，这个壶画完了把它关掉。那到这呢，我是不就得到这里有一个焦点，然后呢，这里有一个焦点，对吧？然后呢，我接着呢，把这几个焦点呢，我用线给他连起来啊，哎，这样连一条，然后呢，这样再连一条， 这样再连一条啊，好，这样连上了，好，这里呢，这个焦点连的位置不是特别准，因为请大家谅解一下啊，这个用鼠标画图可能确实是不太准确，大家自己在纸上画的时候应该会更精准一些。好，这样呢，我 我们就画出了一个三角形，使他的三条边长分别为三、四、五。哎，剩下的这两组呢，哎，其他参考类似的方法，自己画一下就行。画出之后呢， 大家量一下这个角度，哎，主要就量这个角呗，这两个角度锐角很明显了，对吧？哎，看这个角呢，到底是不是九十度。好，通过这个实验，我想啊，大家应该会得到一些 这个结论了。好，大家做完了以后，我们再继续这个这个进行播放啊。好，接下来大家思考一下啊，就以上啊，每一组的这个数值有着怎样的关系，大家可以回过头去看一下，对吧？三四五，哎，他们有的什么样的关系， 哎，每组数有什么样的关系？大家思考一下，然后呢，得出了结论之后，大家思考一下，通过自己刚才的这个探索啊，能得出什么样的一个结论。首先我们看一下刚才几组数之间有什么关系啊？他们是不是两个比较小的平方和 可以等于比较差大的那个数，对吧？也就是说，三的平方加四的平方等于五的平方，然后呢，五的平方加十二平方等于十三的平方，七的平方加二十四 平方等于二十五个平方，这是刚才每组数值啊，他有这样的一个关系，那我们通过自己画三角形，我们可以得到什么结论？就是说，刚才啊，我们以这几组数值为这个边长画出的三角形，应该都是直角三角形，哎， 只要大家稍画的稍微准一点啊，不要像我那样出现了一点点误差，对吧？哎，当然了，用手画啊，这个一些小的误差其实是可以被允许的啊，所以最后我们就得到一个结论，你以这样的边边长为边画这个三角形啊，确实得出了旧式直角三角形， 那么这个结论呢，也就是我们今天要学习的一个主要的内容，我们把它叫做什么呢？把它叫做勾股定理的逆定理，我们一起来看一下内容啊。勾股定理，逆定理，如果三角形的三边长 abc 满足 a 方加 b 方等于 c 方，那么这个三角形是直角三角形， 哎，你看他刚好是跟这个勾股定理的内容啊，是反过来讲，对吧？哎，同时呢，虽然我反过来以后呢，但是他仍然是成立的，也就这个结论呢，还是正确的。 所以呢，既然原来的那个结论叫勾股定理，那我们就把现在这个结论就叫做勾股定理的逆经理。到这啊，有没有可能有点疑问了，说，老师，你这个 做验证啊，我上一课刚讲过，对吧，我们做验证不能拿这个具体的数值啊，或者通过测量这个方法，我们应该有更严谨更科学的一个验证方法，才能验证一个定理的正确性，对吧？哎，其实呢，我们关于勾股定理这个逆定理，他是有一个证明的方法的，哎， 但是呢，因为我们教材当中没有讲，对吧，所以呢，我这里啊，也不和大家过做这个更多展开的一个介绍了，如果大家有兴趣的话，可以在网上自己去搜索一下，他用的是什么呀？用的主要是一个叫做反正法的这样一种证明方法，哎， 我相信啊，咱们大家应该能看得懂，哎，这些呢，作为我们一个拓展的知识，哎，我希望呢，大家如果说在学有余力的情况下，也是去了解一下，对我们的学习应该是只有好处没有坏处的好。学习了这个定理知识之后，那我接下来就要用一下这个定理了，对吧？好，我呢 通过一个例题，咱们一起来巩固强化一下啊。第一，判断如下，以 abc 为三边长的三角形，是不是直角三角形，哎，如果是的话，请指出哪一条边所对的角是直角。 好，那我看一下吧。第一个， a 等于十五， b 等于十二， c 等于九，这个怎么样来啊，判定他是不是有三角形啊？有人说了，看 a 方加 b 方是不等于 c 方呗，对吧？那但是这道题大家注意啊， a 和 b 的值都比 c 大，那你说 a 方加 b 方能等于 c 方吗？那肯定是不可能的，对不对？哎，而且呢，我已经不止一次的强调过， 我们啊，在说这个 a 方加 b 方等于 c 方的时候，一定要注意什么呀？一定要说那个 c 啊，他必须得表示的是斜边的情况下，我们才能用 a 方加 b 方等于 c 方，那这道题，你说这个 c 可能是斜边吗？这不可能啊，斜边肯定是最大的那一条边，对吧？所以呢，我们在应用这个勾股定理，逆定理的时候，一定要注意什么呀？你不要 单一的就用 a 方加 b 方等于 c 方，我们应该用什么判定方法呢？我们应该用比较小的那两个数计算他们的平方格，看看他是否等于比较大的那个数的平方，你就用这个方法才行，对吧？好，我们一起来看一下，最大数肯定是，哎呀，是十五，对吧？那 a 的平方哎， 他呢，就应该等于十五的平方，应该是等于二百二十五，好，接下来比较小的是 b 和 c， 对吧？哎，那 b 方加上 c 方的值又等于多少呢？ b 方十二平方是一百四十四， 他呢，应该是八十一，对吧，他俩相加，大家可以自己算一下，结果也是等于二百二十五，所以呢，对这道题来说，他是有 b 方加上 c 方，哎， 等于 a 方，他是这样的一个关系，对吧？那你说他是不是直角三角形啊，那当然是直角三角形啊，对吧？哎，所以啊，我们在用这个定理的时候一定不要太太僵硬，对吧？太死板，我们要灵活一点，我们用的时候呢，就是你用比较小的这两个边长计算他们的平方格，看看是不是等于比较大的那个 数的平方就可以了。哎，这次才是我们正确的打开这个勾股定理逆经理的这个方式，哎，这里大家一定要注意一下。好，所以呢，第一个问题，他是这个直角三角形，那哪一条边所对的角是直角，肯定是最长的那一条边，对吧？所以呢，就是长度为 a 啊，也是长度为十五的这条边，他所对的角就是 直角。好，进来看第二个吧，十，十二，二十，那有刚才的经验，我们应该怎么算？我看算两个比较小的平方格，对吧？我要算这个 a 的平方加上 b 的平方的值，算一下他等于多少，然后呢，我再算一下 c 的平方 值是多少，然后呢，我看一下他俩是不是相等的，对吧？哎，这里大家自己去计算啊。最后呢，算出结果应该是怎么样啊？应该是不等的，哎，如果不等，那就说这个三角形啊，不是直角三角形 好。第三个， a 比 b 比 c， 等于五比十，二比三，哎，这个有点特殊，他没告诉我们具体的值，他给的是一个比例关系，对吧？那这种情况下我们又应该怎么办呢？ 既然给了比例关系，我们可以怎么样？我们不用去管他具体的值是多少，我们可以用未知数的形式，哎，以字母的形式把它射出来就行了啊，那既然是这个比例关系，我可以射什么呀？我是不是可以射 a 的 等于多少啊？五 x 就行了呗，对吧？哎，然后呢， b 呢？就应该等于十二 x， 哎，然后呢， c 呢？应该是等于十三 x， 你看 我通过这个社会之术的形式，我是不是就把他们三条的这个边的长度给他表示出来了，对吧？然后同样他肯定这个五 x 和十二 x 是比较小的，十三 x 是比较大的，对吧？哎，然后呢，我同样计算这个 a 方加上 b 方， 哎，然后呢，再转一下 c 方，看他们的值是不是相等，对吧？哎， a 方加 b 方，这里算出来应该就等于什么呀？二十五 x 平方加一百四十四 x 平方， 应该等于一百六十九 x 平方，那这个十三 x 平方也等于一百六十九 x 平方，所以呢，我判断他俩是相等，既然相等，那我就得出这个三角形啊，也是直角三角形，哎，并且呢，哪一条角是直角啊，那肯定是最大的一条边， c， 对吧？哎， c 这条边， 他所对的角就是直角。好，以上就是我们通过勾股定理的逆境里啊，来这个判定直角三角形的一方法，这里是一个详细的一个答案，大家可以推荐他核对一下啊，中间强调的比较注意的地方就是这个啊，哎呀， a 也可以表示斜边，对吧？ c 呢，也可以表示直角边， 一定要引起注意啊。好，先来第二只点，勾股数，这个就比较简单了啊，我们直接看勾股数的这个定义就行了。什么是勾股数呢？满足 a 方加 b 方等于 c 方的三个正整数，称为勾股数，像我们刚才所说的三十五，对吧？什么那个五十二十三，哎，这都是勾股数啊， 常见的勾股数啊，这里呢，举了几个例子，当然不止这么多了，对吧？大家可以自己去总结一下，提醒大家注意的一个就是这个红色的字啊，正整数。 有的时候啊，三个数也满足， a 方加 b 方等于 c 方，比如说我，我写三个数，零点三，这个零点三，然后呢，零点四， 然后零点五，哎，再计算一下，零点三的平方加零点四的平方，他就是也等于零点五的平方，但你能说这三个数是勾，是这个勾股数吗？不可以，人家要求必须得是正整数，对吧？哎，所以我们计概念时要计数进行，有这些关键点也是易错点啊。好， 先来看一个这个教材上的一个例题啊，下表当中每一列啊，第一列啊，第一列，每组数都是勾股数啊，这几个，这几组啊，都是勾股数，然后呢，让你补全下表， 也就是说什么你要把每一组计算他们的二倍，三倍，四倍，包括十倍，对吧？哎，他们数个是多少？然后呢，让你判断一下，乘以这些倍数之后，那么每一组数是否还是勾数？哎，那 二倍，三倍，四倍，十倍。这里这个表啊，我就不和大家一起经济算了，这基本上就小学的这个知识吗？对吧？就算个乘乘法就行了，是吧？算完乘法之后呢，我们要做的事情就是还是用这个最后得出那个结果啊，算一下两个小的平方和是否等于这个大的数的这个平方，算一下就可以了， 最后得出结论还是成立的，哎，还是成立，就是说两个小数的平方和等于大数的平方，也就是说呢，你把它扩大到二倍，三倍，四倍或者是十倍，你得到那个结果，他还是勾股数，哎， 然后现在他就扩展了，如果说变成任意背，他是否还是勾股数？那任意背这个我们又应该怎么样表示？还是用字母表示就行了呗，对吧？如果三个数，我这样写，如果三个数满足 a 方加上 b 方等于 c 方，哎，当然是正等数了，对吧？我们说他们是勾股数，那么我把他们同时扩大到 原来的 n 倍，那是不是变成了 n a 括号的平方加上这个 nb 括号的平方，你说他算出来这个值应该等于多少，但是你自己算一下，对吧，他是不是就应该等于 n 方，然后里面应该是 a 方加 b 方啊，对吧？哎，那他自然而然的也就等于 n 方乘以 c 的平方，对吧？哎，所以呢，他就应该等于 nc 的平方， 也就是说呀，你如果把一组勾股数，把它每一个数都扩大到原来的 n 倍，那么他仍然存存在的这个啊，两个小的平方和等于大的这个平方， 对吧？哎，所以呢，我说他仍然还是勾股数，但是有个前提就是你这个，恩必须得是正整数，哎，否则呀，你乘以这个倍数之后，你得到数，如果不是正整数，那我当然不能说这组数是勾股数了，对吧？哎，这个 前提条件大家一定要注意一下。好，好，这里啊，我们也可以得出一个结论，一组个股数，哎，你把每一个数都变为原来的正整数位， 那么得到的数呢？仍然是一组勾股数啊。好，今天内容啊，也比较简单了啊，我们一起进行一下总结，我们主要学的就是这个直角三角形的判定的方法，对吧？哎，主要内容呢，一个是勾股定理的内定理，哎， 内容就是这个，如果三角形三边长 abc， 满足 a 方加 b 方等于 c 方，那么这个三角形是直角三角形。应用的时候呢，我们就只要把比较小的那两个数，对吧，计算平方和看是否等于比较大的那个数的平方就可以了。 好，接下来呢就学习了勾股数，对吧？哎，满足 a 方加 b 方等于 c 方的三个正整数，对吧，这里要注意哎，他们呢 又称为勾数。好，这节课的内容就到这里，下节课呢，我们一起来做一些啊练习题啊，欢迎大家收看。好，如果喜欢的话记得点下关注，如果大家学习中有问题，欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见。

  5386明老师初中数学课堂
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  勾股定理小学知识也能做

  3046我是个屁
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  勾股定理的动态证明 #勾股定理 #毕达哥拉斯定理 #直角三角形 #几何

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  勾股定理由来及其证明#知识分享 #数学 #父母课堂 #

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  勾股定理，在直角三角形中，两条直角边 a 和 b 的平方和等于斜边 c 的平方，这个结论就是勾股定理。 为啥这个定理叫勾股定理呢？这是因为在古时候，数学家把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为鼓，斜边称为弦。在公元前一世纪的周笔算经中有勾三股四弦五的记载，意思是如果一个直角三角形的短直角边是三，长直角边是四，那么斜边的长度是五。 勾股定理最早的证明是古希腊数学家必达格拉斯在公元前五世纪给出的，所以在国外也成为必达格拉斯定理。相传他正出这个定理后，非常高兴，沙利白头妞进行庆祝，于是也有人称他为百牛定理。 下面我们看一下购物厅里是怎么挣出来的。左右两个大正方形，边长都是 a 加币，面积相等。在左右各山区四个 相同的直角三角形扣，剩下的面积还是相等的。这时左边剩两个正方形，面积和是 a 方加 b 方，右边剩一个正方形，面积是 c 方，所以 a 方加 b 方等于 c 方。了解到这些后，我们就能用勾股定理计算线段长度了。

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  北师版八年级数学上：第一章复习#北师版八年级

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  终于有人把勾股定理讲清楚了#八年级数学 #勾股定理公式运用 #数学老师

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  大家好，我是小猴，今天我们来讲数学勾股定理，这是八年级上册的第一章的内容。首先我们来说啊，什么是勾股定理？直角三角形中一定是直角三角形，因为这种题会出这个和这个就是两个直角边，分别被称为勾和股， 而剩下的一条斜边被称为弦，又是什么叫勾股定理？通俗来讲就是 a 方加 b 方等于 c 方，但你不能确保 a 和 b 和 c， 就是确定了勾股和弦，所以要活用， 就是你要看清楚是两个直角边和斜边这样一个关系，比较普通的便是呢，就是说在这加上一条竖线，然后问你这有多长，告诉你 这两个，这个属于两只球一斜，非常好办，也就是说我们只需要用勾补定就能求出一条边啊，非常简单。但是男友也是有在这加一个正方形，在这加一个正方形，在这也加一个正方形。问你这两个就是 s 一加上 s 二， 然后还有 s 三，他们三个的关系是什么样的？其实很简单， a 方加 b 方领 c 方，因为我们 s 二和 s 一还有 s 三都是通过 abc 为一条边去画的正方形， 所以跟原来一样，还是 a 方加 b 方面， c 方面，也就是 s， e 加 s 等于 f 三，这就是最一些比较重要的辨识了，今天你学会了吗？

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  用大白话告诉小朋友《勾股定理》是什么？ 勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
  中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
  勾股定理现约有五百种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
  周朝时期，商高提出并证明了勾股定理。
  #小学数学 #勾股定理 #小学数学教学 #数学动画 #初中数学 @所见所闻 @一嘚儿修猫

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  勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
  勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
  在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。#数学

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  【初中数学】初二下17.1勾股定理（知识点）#初中数学

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  同学们大家好，欢迎大家来到小孙数学本节课我们学习的内容是勾股定理， 大家听说过勾股定理吗？勾股定理是古希腊数学家必达格拉斯发现的， 西方国家称勾股定理为必达格拉斯定理。那必达格拉斯呢，是古希腊著名的数学家，相传啊，在两千五百年以前，他在朋友家做客的时候，发现朋友家用的地砖铺成的地面， 反映了直角三角形的某些特性。那下面请你观察图中啊有三个正方形，大家看这三个正方形， 他们围成了一个等腰直角三角形。那么我们能否由这些 正方形面积的关系来推导出这个等腰直角三角形的三边关系呢？ 我们看这两个正方形的面积等于什么呢？每一个正方形的面积啊，等于两个小的等腰直角三角形的面积。 那下面这个大正方形的面积呢，是四个等腰直角三角形的面积。所以啊，这两个小正方形的面积和就等于这个大正方形的面积。 那如果呢，我们设这两个小正方形的边长为 a， 这大正方形的边长为 b， 可以得出什么呢？ 是不是能得出 a 方加 a 方等于 b 方啊？这 a 方呢，就是小正方形的面积， 那两个小正方形的面积相加，就等于大正方形的面积。比方 好了，那我们看 a、 ab 是这个等腰直角三角形的三条边，这 a 呢？这两条 a 呀，是两条直角边，这个 b 呢是斜边。 那于是呢，由这个图啊，我们得出了两条直角边的平方和等于斜边的平方。 那有的同学说了，等腰直角三角形啊，他是特殊的直角三角形，那他三条边的关系当然也特殊了，所以呢，问题就来了，对于一般的直角三角形，他三条边有这种关系吗？啊？是否也是两条直角边的平方和 等于斜边的平方呢？我们来看这个图，在这个网格中，每个小方格的面积是一 下面呢，我们算一下正方形 a、 b 和 c 这三个正方形的面积，看一看能得出什么结论。 好，我们先看正方形 a 的面积，那正方形 a 的面积啊，是四个小方格，那所以他的面积就是四。再看正方形 b 的，他是九个小方格，所以他的面积是九。那正方形 c 的面积怎么求呢？ c 的面积求起来呢，稍微复杂一些，我们可以用割补的方法，把正方形 c 放到一个大的正方形中，那所以呢，这个正方形 c 的面积 就等于这红色的大正方形，减去什么呢？他旁边的啊，四个角的四个直角三角形的面积，那我们看这个大正方形，红色的正方形，他的面积是多少啊？我们数数格就行了， 一共是二十五个格，所以呢，这个大正方形的面积就是二十五好，再减去四个直角三角形，那这每一个直角三角形的面积都是一样的好，也就是减去四倍的其中的一个直角三角形的面积。 底呢，是二，高是三，也就是二分之一乘底底是二，高是三。好了，我们算一下，二十五，减去十二等于十三， 所以呢，正方形 c 的面积呢，是十三。大家看一看，你发现了什么？正方形 a 的面积是四， b 的面积是九， c 的面积是十三，我们发现了 a 的面积加 b 的面积等于 c 的面积。现在我设正方形 a， 他的边长是小 a， 正方形 b 的编程是小 b， 那正方形 c 的编程是小 c， 由 a 加 b 等于 c， 我们可以得出什么呢？这正方形 a， 他的面积就是编长的平方，也就是 a 方。那正方形 b 呢，是编长的平方 b 方正方形 c， 他的面积是编长的平方 c 方，也就是 是 a 方加 b 方等于 c 方。我们看 abc， 除了是正方形的边长，他还是什么呢？他是这个直角三角形的三条边，对不对？其中 a 和 b 是两条直角边， c 呢是斜边， 所以呢，我们得出了这直角三角形三条边的关系，两条直角边的平方和 a 方加 b 方等于斜边 c 的平方。 所以呢，不仅仅是等腰直角三角形的三边具有特殊关系，一般的直角三角形的三边也满足这个关系。于是呢，我们就可以猜想啊，得到一个命题，如果直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b， 斜边长为 c， 那 a 方加 b 方等于 c 方。那下面呢，我们来证明这个命题。证明命题的方法很多，我们看一下这个实验， 他就很好的证明了，这个命题是不是和刚才咱们讲过的那个大网格正方形 abc 的面积是一样的呀？好，大家可以看一下， 书中给了我们一个证明方法，就是赵爽贤徒，我国古代的赵爽啊，利用贤徒证明了命题。那下面呢，给大家讲解一下。赵爽贤徒， 他是把边长为 a 和 b 的两个正方形连在一起啊，那比如这个啊，这是一个，这是一个正方形啊，他的边长是 a， 那左边这个大的，你看啊，这是一个大正方形，那这个大正方形的边长呢？是 b， 那把这两个正方形啊连在一起。另外呢，这个图形啊，他还可以分割为四个全等的直角三角形，外加一个小正方形。好，那全等的话，那这条边我们看一下，这条边是不是也是 a 呀？ 好，那这四个直角三角形外加这个小正方形，他还可以形成一个大正方形。我们看一下动图， 大家看是不是？好，这是四个直角三角形外加一个小的 正方形，它可以形成一个大正方形。那么对于这个大正方形呢，我们可以设边长为 c。 好了，那大家想分割前后面积是不变的，分割之前呢，两个正方形的面积一大一小的啊，两个正方形的面积，一个是以边长为 a 的正方形，一个是以边长为 b 的正方形。那 a 方加 b 方 是不是就是分割之前的面积啊？那分割之后的这个大正方形的面积就是以 c 为边长的啊，这个大正方形的面积和分割之前的是不是一样啊？ 所以呢，我们得出了 a 方加 b 方等于 c 方，赵爽啊，就正出了 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 那么赵爽正出的这个命题一呀，啊，就是 a 方加 b 方等于 c 方啊，这个命题一，我们就把它称为勾股定理，那勾股定理的内容呢，就是 如果直角三角形的两条直角边长分别为 ab， 斜边长为 c， 那么 a 方加 b 方等于 c 方，这就是勾股定理的具体内容。那如果我们用几何语言来表示勾股定理呢？我们看 在直角三角形 a、 b、 c 中，一定是直角三角形，角 c 等于九十度能推出三边关系， a 方加 b 方等于 c 方。那今后呢，如果 遇到直角三角形啊，给了我们其中的两条边啊，求另一条边，是不是可以求了？比如说给出了 a 和 b， 我们就可以求出斜边 c 了，利用 c 方等于 a 方加 b 方，继而呢，求出 c， c 等于根号下 a 方加 b 方。那有的同学说，老师，那 c 不是应该等于正负根号下他吗？我们看啊，这 c 指的是边长，边长不能为负， 所以我们只能取这个正的。那如果给出斜边和其中的一条直角边，我们也可以求另外一条直角边。比如给出 a 和 c， 我们可以求 b， 那就利用 b 方等于 c 方减 a 方，可以求出 b 等于根号下塌。同理呢，可以求出 a， a 方等于 c 方减 b 方，求出 a 的变长。那希望呢，大家对勾股定理呢，会灵活的运用好。以上呢，就是本节课的全部内容，下面我们回顾一下本节课都学习了什么。 我们一起探究了勾股定理，掌握了直角三角形中的三边关系，两条直角边的平方和等于斜边的平方。那下节课呢，我们利用勾股定理来解决一些简单的问题，同学们，我们下节课见。

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  8瑞哥带你玩转初中数学
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  一个视频了解勾股定理！ #学生党 #知识 #学霸笔记 #干货分享 #学霸秘籍

  124洋葱小课堂
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  大家所熟知的勾股定理其实并不被国际所承认 #勾股定理 #数学赵观察 #数学史 #数学

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  我们知道在直角三角形 abc 中，假定角 c 是九十度的话， a 对的边是小 ab 对的边是小 bc 对的边是小 c， 我们就知道了 c 方是等于 a 方加 b 方的。那么我的问题来了，在国内咱们叫做勾股定理，那么为什么国际上不承认这件事情？为什么在国际上我们把这个定理叫做 b？ 达克拉斯定理， 为什么我们在学校学习的过程中不去叙述和讲这件事情？首先第一件事，我们现在在整个的数学史上，我们去定义一个定理或者命名一个定理的话，通常有两种不同的命名方式。第一种是什么呀？ 谁最早提出假设的？以谁为命名？第二个是什么呢？谁最先证明的以谁为命名？我们知道，实际上在中国古代的商高和周必算经中，最早提出了勾股数，不是勾股定理。周必算经最早基本成 评书是在公元前一千年左右，而比他再早个八百年左右的时候，已经就有这么一波人，叫做梅索波达米亚人，其实就是古巴比利人的一个分支，他们就已经开始用购股书了， 而且用的贼大，就上万的购物书他们都已经找到了。然后在大约公元前一千五百年的时候，古埃及建造那个巨大的金字塔也在用购物书，他们这些都比中国发现的早，所以这个时候是国际上市，不太承认中国最早发现了购物书。 更重要的是，我们在周必算经中提出了一系列的勾股数，他没有提出一个猜想或者说假设，这是最重要的。 说白了，他举了一些特例告诉我们，你干活的时候啊，这些数能用或者勾股数可以使，但是呢，没有把它提炼成一种假设，没有提炼成假设就不能叫做提 出了一桩特定的定理的前身，所以我是不能这么认知的。而这件事情恰恰是我们在出生阶段一个特别容易出错的点，所以这个事我要说的就是我们在出生阶段经常会犯的一个错误是，你以为一个特例他就是一个定力，这是不对的。一个特例不是一个定力， 一个特例他也只能提出一个假设或者说猜想，一个猜想要经过严格的证明才能成为一个定理，这是数学上的逻辑，所以勾股定理这个东西确实在轨迹上不可以承认，而确实也有他不可以承认的原因的。

  6721数学赵观察
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  勾股定理是初中阶段频繁出现的知识点，其中直角三角形这类几何题还有80%的学生掉坑，视频看3遍，理清思路和方法#初中数学#数学思维#李再春讲数学#勾股定理#直角三角形

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  勾股定理的实际运用实在是太过于广泛了，拿下这道题目，考试的四分就到手了，我们来看题，现在告诉我们呢，水池的底宽为十尺，这个点呢刚好是水池的正中间的点，那我们就能够得到这个长度呢，应该是五， 还告诉我们这边有一个芦苇，芦苇高出水面一尺，也就说这一块的一个长度是一，如果说把这个芦苇呢拉向一边，他的顶部呢，刚好跟我们的水池边的一个水面高度是相重合的，让我们去求芦苇的高度， 那在这里边啊，假如说我们就直接设芦苇的高度呢是 x， 那我们就能够得到水池的深度呢，应该是 x 减一，那你就会发现，此时 我们就可以在这一个直角三角形里边去利用勾股定律来进行计算了，因为水池的深度呢是 x 减一，而芦苇的一个高度呢，应该是 x， 所以说我们的方程就应该是 x 方，也就是我们斜边的平方等于两条直角边的平方的和，我们只需要去求解这个方程，就能够解出来我们 x 的值了。在这里边我们展开之后呢，应该是 x 方等于二十五， 再加上 x 方减二， x 再加一两个 x 方抵消掉了二， x 等于二十六，所以 x 应该等于十三， 也就是我们芦苇的高度就出来了。那这个勾股定的实际应用你看懂了吗？

  607希望学−李再春老师
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  第一章 勾股定理
  第二节 一定是直角三角形吗+习题1.2
  暑假预习版#2025年新版 #八年级 #数学 #北师大 #学习

  481霜霜老师讲数学
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  06:26

  北师数学八年级上册‖1.2一定是直角三角形吗？习题1.3#初中数学 #勾股定理 #北师大版数学 #八年级数学

  164冯老师爱数学（基础知识版）
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  16:10

  北师大版八年级上册数学微课：1.2一定是直角三角形吗

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  大家好，这里是主线天才数学课堂，我是小天老师。现在我们要讲的是北师大版八年级上册主题第一章勾股定理。第二节一定是这叫张小琴吗？ 先看这节课的学习目标第一，了解只有三角形的判定条件。第二，能够运用勾股数去解决简单实际的问题。 那么我们来就这样一个问题，下面有三组数，分别是五十、二、十三，还有七、二十四、二十五。 第三组数字八十五、十七啊。思考这两个问题，第一个问题第三组数据满不满， 就是说有两条边的平方，加起来等于第三条边的平方。第二个，然后以这三条边为三边的边长做一个三角形，用两角去去量一下他们是不是直角三角形。 好。那么我们就一个个来看这三组数。首先我们发现这三组数啊，他都是满足 a 平方加 v 方的七平方的。比如说 我就拿这个作为例子，他是满足五的平方加十二的平方，我们算一下，他是等于二十五，加上一百四十四，就刚好等于一百六十九，就是刚好十三的平方啊。并且我们说他 也是能够构成直角三角形的啊。能不能我们量一下这个是这个也是这个，还是 从政治的问题里面呢？你发现什么结论吗？ 啊，如果说三条边啊，满足有两条边的平方等于第三条边的平方，那么这个三角形他就是直角三角形。 那可能同学就问了，你测量这可能是误差的呀。啊，那么我们就来 证明一下这个结论。比如说像这一个一啊，图有章，条边 a 平方加 babc， 并且满足 ap 方加 b 平方等于七平方， 那么这个三角形会不会是直角造型呢？我们来证明一下 啊。我们证明他是直角上的筋，我只要挣到他是直角就可以了啊。有一个角是直角，并且这个是直角，因为最长的边是七啊，他所对的边是直角 啊。那证明这个是直角三角形。那么现在我们能不能构造一个三角形，跟他全等得来呢？好，我们看一下是怎么构造的 啊。我们做一个脚啊， mcn 跟这个脚向上啊，跟脚气向上 啊。好，这里不是做做跟他相等，是做一个直角啊。我们自己做一个直角，做一个直角，然后再截取 啊，脚的两边，跟那个脚的两边相等啊，相等啊。把 b 和 a 接过来，最后我们再把它连起来 啊。左边这个我们不知道，但是我们知道右边这个他的确我们做的时候他是一个直角三角形。那么根据之前的内容啊，我们得到勾股定理 啊，算出来可以算出他的斜边 abb 的平方啊，是等于 a 平方加 b 平方的。 但是有题目，刚才的题目说了， a 平方加平方也等于七的平方，那也等于这个 ab 的平方呢。那也就说 ab 和 ab 一是相等的，那也就说这两个三角形已经有三条变相等了，他是全等的。全等的话呢，角七跟角七一就相等，就等于九十度了。 所以从这个结论呢，我们证明的到啊，我们把它叫做勾股定理的逆定理。他是怎么说的呢？就说一个三角形里面满足啊有两条边的平方和等于第三 三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形啊，这里对于这一个其实我们可以用来判定啊，根据三条边的情况来判定他是不是直角三角形 啊。对于这个定理我们一定要注意啊， c 是最长的那条边，也就是它是最大的处置。好，我们接下来看看一下题。一啊，这里有两个零件，如果要满足角 a 跟角 dbc 是直角的话呢，他就符合要求。那么现在他给了各条边的数据给我们， 我们来判断一下看看。要算这个角是不是直角呢？根据刚才的逆定里，我们只要算他的平方和是不是等于第三角的平方就可以了啊。我们算啊，算出来三的平方加四的平方等于五的平方，也就等于第三角边的平方了。 那这样的话我们就存在之中，两边的和平方和等于第三条边的平方，那么他就是直角三角形啊。并且角 a 是直角，最长的那条边所对的角是直角。 同样的方法来算 d， b， c 啊，两边的平方，呃，等于第三大标平方，他也是直角， d， b， c 也是直角啊。这两个都是我们中 如果他的逆境里啊算出来的，那所以他是符合要求的。 好，我们再看利啊。下面我们要判断以下的三角形是不是 直角三角形啊。如果是哪一个角是直角，那这个我们可以根据刚才的勾股定理逆定理。那你要想到了， 我们刚才也强调过了，最长的那条边是斜边，那么很有可能这条就是斜边啊，这条是 一定是斜边的。那么我们就来算他的算法。那 a 平方加 b 平方等不等于七平方呢？我们算一下知道了啊， a 平方加 b 平方等于二百八十九，刚好是等于 十七个平方，所以他的确是满足 a 平方在平方的新平方啊。那这个肯定就是直角三角形了。并且啊，最长的那边，手对着脚，脚膝是直角。那同样的方法呢？第二题也是这样，同样的方法 啊，但是我们算到他并不相等，不相等呢，他就不是直角上限了，那就不存在哪个就是直角的问题了。 第二个指点，我们在勾股数。首先我们要明确什么叫勾股数。勾股数就是说我们要满足 啊， a 平方加 b 平方的等于七平方的三个正等数啊。也就说他要满足两个条件。第一个条件要满足这个 a 平方加平方等于七平方啊。第二个条件是三个正整数，我们就把它叫做勾股数啊。我们常见的勾股数有很多啊，比如说三四五 啊，五十，二十，三六八十，能看到这些反都是满足的啊。其次，我们常见的一些指甲上就是这些边啊构成的 啊。那这我们有个镜子说勾股柱，如果你扩大相同的倍数，得到了金柱，同样是勾股柱。比如说我把这个三十五过程扩成 三十，可全部扣的他十倍五十，你看他也是这种数，可以满足三十个平方加四十个等于五十个平方对吧？或者是也不一定是值，可能是两倍，三倍等等都可以啊，都可以。 好，我们这些练习来巩固一下。如果现在毕竟能够满足是直角三角形，那么他们的笔可以是啊，这里面出现的笔。 那么其实我们可以设啊，比如说我可以。呃，有一种比较好的设法，中间连笔的时候啊，我们可以设为三 x 四 x tx 来。再来转。渣男是平方，在正面上能不能接着对话啊，所以就可以判断他是不是只要站起来啊。所以经过计算呢，我们逼犬向才是的。 那其他都不行啊，你自己算一下看看。第二题将他直角在三角边扩大成样的倍数，能得到的三角形。哎，这个跟刚才是不是类似的呀，扩大成人的倍数，他也是勾股处啊。当然，这里的倍数不一定是说整数的， 那他依然是要照镜。 所以这个问题啊，我们可以。呃，你们可以去验证一下。其实这像第一题也可以验证了啊，原来是五至二十张的。好，我们把它五 x 至二 x， 三十三 x 结构满足他依然是直角少数。 好。第三题，如果知道三条线段 abc， 并且满足 a 平方等于 c 平方，减 b 平方满足这 一个条件，那么这三条线上组成的上线是不是在上线呢？你会发现，哎，他给出的这个是指啊， 跟我们的不太一样哦。那其实我们可以将这个变形啊，变形把这个移过来啊。一个左边，这是 a 平方加 b 平方等于四平方 啊。所以啊，我们得出来，他的确也是直接上行啊，因为你可以变形成这个样子。第四点 啊，在正方向 abcd 里面， ab 等于四， ae 等于二， ef 等于一啊，里面有几个只有。 那这样的话，我们就可以先把这边全部标出来啊，因为是正方形呢，是二二型啊。比较容易判断直角三角形。因为他是正方形。就有三个啊，三个白色的这三个， 这第一个，第二个，第三个。这三个我们是可以确定他是直角线，因为一都有存在直角 啊。但是中间这一个三角形是不是在三角形呢？这个字我们要判断。 那你看呢，这三个都是只有造型。那我是不是可以求出 b e， e f 跟 b f， 因为他都知道两边。由于勾股定理我可以算出来的是吧？勾股定理算出来，你说算出 b 一的平方等于二十 十，同样一 f 的平方等于五，那 b f 的平方等于二十五， 等于二十五啊。我们发现 b 一的平方加一， f 的平方是二十加二十五，结果等于二十五，最终是等于 bf 的平方了。 你就说哎，里面这个三角形， b、 e、 f 来说，他满足两边的平方和等于第三边的平方，那么他就是只要三角形 啊。所以总共这里应该有四个啊。有四个，这叫三号线， 总共有四个。好，再来看一道难一点的 a、 b、 c、 d 是一个四变形啊，并且有 a b 等于等于 a d， 那他就是直角， a a、 d 等于三， 这个等于三， ab 等于四啊。还有 cd 等于十二， bbc 等于十三。 问你啊，求这个四边形的面积。首先我们看这个四边形啊，它并不是啊，我们常见的规则的四边形，所以没有面积公式。那么我们想的办法就是割补了。割补的方法， 然后这里有个直角，我们要用上的话，我们就想着采取补的方法连接比例。这样补了之后你会发现四边形是等于大 大的三角形。 cbd 演技是个小的直角三角形 bad 的面积，那由于里面这个小的他已经是直角上行，我们可以用勾股定理把 bd 给算出来 啊，把 bd 算出来等于五，然后外面这一个三角形啊，三条边，我都知道五十二十三，哎，这个好像是勾股数啊。那么我们要判断，如果判断 啊，他也是这样的，那他的面积就好求了。我们来看判断一下啊。 b 一七的平方加七的平方啊，就刚好五的平方加十二的平方，刚刚好就等于十三的平方啊。所以他就是只有少数。那太好了，那只有少数。 哪条是直角的，哪个角是直角的？这个角是直角，最长的那边是对的。好，那现在我们可以求他四边形的面积了，等于三角形的面积啊。直角上行 bdc 的面积，减去直角上行 abd 的面积，等于二分之一的 bd 乘 cd 啊。两指照片吗？这个也是二分之一 ab 乘 ad 啊。对，然后再输进去算就可以了 啊。这个内容啊。啊，说的比较好，因为他用了勾股定理，他存在制造造型，可以用勾股定理。第二个还用了勾股定理的逆定力 去解决这个问题的。判断他是不是只要少见。好，我们来讲解一下这些个内容。主要讲了 勾股定理的逆地，还要讲到一个勾股之类。这个逆定力啊，记得他是用来判定 直接锻炼性的，一个依据，一个方法。好，那么以上就是这些课内容啊，谢谢大家。

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